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MTODO DE CROSS Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 2 1-INTRODUO OMtododeCrosstambmconhecidopeloMtododeDistribuiodeMomentos,ummtodode anlise estrutural aplicado a estruturas reticuladas continuas desenvolvido por Hardy Cross (1936). um mtodo relativamente simples para o clculo de momentos flectores em vigas continuas, prticos planos, grelhas e at em prticos espaciais. baseadono Mtododos Deslocamentos es se aplica a estruturas comdeslocamentosdotiporotaoeapesar destalimitaoummtodoaindautilizadopara oclculo de estruturas. OmtododeCross,teveumimpactoinicialmuitograndepoispossibilitouaresoluomanualde estruturashiperstticasnumaalturaemqueasestruturasembetoarmadoestavamatorna-semuito comuns.Comodecorrerdosanoseosavanosdosprogramasdeclculoinformticos,geralmente utilizando por base o mtodo dos deslocamentos, a utilizao do Mtodo de Cross tem vindo a diminuir. O seu estudo acadmico continua a ser efectuado pois trata-se um mtodo bastante intuitivo e serve para uma melhor compreenso do comportamento flexo de estruturas reticuladas. 2-CONVENO DE SINAIS No Mtodo de Cross a conveno positiva de sinais utilizada apresentada na Figura 1: Figura 1 3-RIGIDEZ DE UMA BARRA Define-serigidezdeumabarra,emcertaextremidadesupostasimplesmenteapoiada,omomentoque necessrioaplicarparaproduzirumarotaounitria,conservandoaoutraextremidadeperfeitamente encastrada. Na Figura 2 apresenta-se o esquema que conduz determinao da rigidez Kee na extremidade esquerda.Ocorrespondentemomentodeencastramentonaextremidadeoposta(direita)designa-sepor momento transmitido, Kde e o cociente entre o momento transmitido e a rigidez designa-se por coeficiente de transmisso da extremidade esquerda e. Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 3 Figura 2 Nas barras de seco constante de momento de inrcia I e comprimento L a rigidez da barra vale: Kcc= 4EII e o momento transmitido vale: Kdc= 2EII assim o coeficiente de transmisso vale: uc = KdcKcc= 12 Para a extremidade direita procedemos de modo anlogo e obtemos as seguintes caractersticas Rigidez da barra na extremidade direita: Kdd= 4EII o momento transmitido vale: Kcd= 2EII o coeficiente de transmisso vale: ud = KcdKdd = 12 4-COEFICIENTE DE DISTRIBUIO Ao fazer a distribuio dos momentos desequilibrados, os valores correspondentes s barras concorrentes numn,obtm-sedistribuindoomomentodesequilibrado,proporcionalmentesrespectivasrigidezes nessasextremidades.Parafacilitarasoperaesdevemoscalcularoscoeficientesdedistribuionon, ouseja,determinarococienteentrearigidezdabarra,emcausa,pelasomadasrigidezesdetodasas barras que confluem no n, como se ilustra no esquema da Figura 3. Figura 3 keekde=1 rad1 324d1d3d4d2 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 4 Assim,numnemqueconcorremasbarras1,2,3e4,derigidezrespectivamente,K1,K2,K3 eK4,os coeficientes de distribuio dos momentos so: J1 =K1 41J2 =K2 41JS =K3 41J4 =K4 41 Sendo d1+d2+d3+d4 =1 O Mtodo de Cross pode sintetizar-se nos seguintes passos: 1.Clculo dos coeficientes de rigidez das barras, dos coeficientes de distribuio e dos coeficientes de transmisso; 2.Fixar ou bloquear as rotaes; 3.Clculo dos momentos iniciais ou momentos de encastramento perfeito; 4.Faseinteractiva,numdeterminadon,calcula-seomomentonoequilibrado,distribuindo-seo seusimtricopelasextremidadesdasbarrasqueconvergemnessenetransmitindo-seos momentos distribudos pelas outras extremidades das barras. 5-EXEMPLOSDEAPLICAODOMTODODECROSSAESTRUTURASDENS FIXOS Exemplo 1 ConsidereaestruturareticuladacontnuarepresentadanaFigura4,solicitadacomoaseindica.Considere queomdulodeelasticidadelongitudinalequeomomentodeinrciavalemEI=constante.Utilizandoo mtodo de Cross, desenhe o diagrama de momentos flectores MM e de esforo transverso TT. Figura 4 Resoluo Coeficientes de rigidez K =IL KAB =I6KBC =I4

Coeficientes de transmisso 12 12 KN/mCAB6.0 m 4.0 m Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 5 Coeficientes de distribuio `11111111uAB = 1.uuBA = KABKAB + KBC =I6I6+ I4= u.4uBC = KBCKAB + KBC =I4I6+ I4= u.6uCB = 1.u

Momentos iniciais ou de encastramento perfeito Figura 5 A determinao dos momentos iniciais feita segundo o esquema da figura 5 e com base no mtodo dos deslocamentos, tendo em ateno a conveno de sinais do mtodo de cross, assim temos: `11111111HAB = -pl212= -12 6212= -S6 kN. mHBA = pl212= 12 6212= S6 kN. mHBC= -pl212= -12 4212= -16 kN. mHAB= pl212= 12 4212= 16 kN. m

Resoluo do Mtodo de Cross OmtodointeractivodomtododeCrossapresentadonaFigura6.Depoisdedeterminadosos momentos iniciais, temos deequilibrar osns,neste exemplo como apenas temosumn para equilibrar (nB)bastaumaiterao.Somamososmomentosaesquerdaedireitadon(36-16=20),omomento desequilibrando no n B de 20 kN.m ser necessrio subtrair -20 kN.m. Para isso temos de multiplicar o momento de 20 kN.m pelos coeficientes1\ de distribuio e fica: | -2u u.4 = -8 kN. m-2u u.6 = -12 kN. m

Depoisdeequilibradoonnecessriotransmitirmetadedovalordomomentodeterminadoparacada um dos ns correspondentes. CABMCBMABMBAMBC Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 6 Figura 6 OdiagramademomentosflectoresfinaledeesforotransversosoapresentadosnasFiguras7e8 respectivamente. Figura 7 Figura 8 Exemplo 2 ConsidereaestruturareticuladacontnuarepresentadanaFigura9,solicitadacomoaseindica.Considere queomdulodeelasticidadelongitudinalequeomomentodeinrciavalemEI=constante.Utilizandoo mtodo de Cross, desenhe o diagrama de momentos flectores MM e de esforo transverso TT. Figura 9 Resoluo Coeficientes de rigidez K =IL 0.4 0.6-36 36 -16 16-8 -4 -12 -6-40 +28 -28 +10-40-28-1038-3428.519.520 KN/mDAC6.0 m 4.0 mB25 KN2.0 m 3.0 m Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 7 `1111KAB =ISKBC =I6KCD =I4

Coeficientes de transmisso 12 Coeficientes de distribuio `1111111111111111uAB = 1.uuBA = KABKAB + KBC =ISIS+ I6= u.SSuBC = KBCKAB + KBC =I6IS+ I6= u.4SuCB = KBCKBC + KCD =I6I6+ I4= u.4uuCD = KCDKBC + KCD =I4I6+ I4= u.6uuDC = 1.u

Momentos iniciais ou de encastramento perfeito Figura 10 A determinao dos momentos iniciais feita segundo o esquema da figura 10, assim temos: `1111111111HAB = -pob2l2= -2S 2 S2S2= -18 kN. mHBA = po2bl2= 12 22 SS2= 12 kN. mHBC= -pl212= -2u 6212= -6u kN. mHCB = pl212= 2u 6212= 6u kN. mHC= u kN. mHC = u kN. m

DACMDCMABMCBMCDBMBAMBC Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 8 Resoluo do Mtodo de Cross OmtodointeractivodomtododeCrossapresentadonaFigura11.Depoisdedeterminadosos momentosiniciais,temosdeequilibrarosnsBeC.Convmcomearoprocessopelonmais desequilibrado, neste caso pelo n C. O processo termina quando atingimos um grau de preciso de 0.01. Figura 11 OdiagramademomentosflectoresfinaledeesforotransversosoapresentadosnasFiguras12e13 respectivamente. Figura 12 Figura 13 6-SIMPLIFICAO DE CROSS - FACTOR 1C possvelaplicarasimplificaodecrossabarrasemqueaprioriseconheaarelaoentreos momentosfinaisnasextremidades.ocasodebarrascomumapoioarticuladanumdosseusextremos ou de barras colocadas em posies de simetria estrutural e solicitadas simtrica ou anti-simetricamente. 0.55 0.45 0.40 0.60-18 12 -60 60 0 0-24 -36 -18 -12+27 +33 +16.5 +13.5-5.4 -8.1 -4.05 -2.71.21 1.49 0.75 0.61-0.24 -0.37 -0.19 -0.120.05 0.07 0.04 0.03-0.01 -0.02 -0.01 -0.010.01 0.0-0.7146.57-46.5744.49 -44.49-22.25-0.71-46.57-44.4922.255.8360.3516.69-59.65-19.17 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 9 Vejamos qual o momento a aplicar numa extremidade suposta simplesmente apoiada, para produzir uma rotao unitria (1 radiano), quando a outra extremidade est tambm simplesmente apoiada, Figura 14. Figura 14 A solicitao correspondente a rotao , (ver Figura 15): Figura 15 Aplicando o Teorema dos Trabalho Virtuais (T.T.V) vem: 0m

m = 1 = ]MM

EIus =ML223 =ML3EI

De onde vem N =3EILquando =1 vem N =3EIL Isto N = SEIL= S44EIL= S4K Nota: Numabarradesecoconstante,omomentoaplicadonumaextremidade,capazdefazerrodardeuma unidade, quando a outra extremidade est simplesmente apoiada, vale 34 da rigidez K da barra, definindo-se por factor de cross1c 1c = 34 MLMLML=1M=M2L1L1L1L1L13L13 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 10 Exemplo 3 Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 16, solicitada como a se indica. O mdulo deelasticidadelongitudinaleomomentodeinrciasoapresentadosnaFigura.Utilizandoomtodode Cross,paraumaprecisode0.01eaplicandoasimplificaodos 34,desenheodiagramademomentos flectores MM e de esforo transverso TT: Figura 16 Coeficientes de distribuio `1111111111111111uAB = 1.uuBA = S4 KABS4 KAB + KBC=S4 ISS4 IS+ I6 = u.47uBC = KBCS4 KAB + KBC=I6S4 IS+ I6= u.SSuCB = KBCKBC + KCD =I6I6+ I4= u.4uuCD = KCDKBC + KCD =I4I6+ I4= u.6uuDC = 1.u

NaFigura17apresentam-seosmomentosiniciais,apartirdosmomentosdeencastramentoperfeito.A nica particularidade a destacar anulao domomento emA.Como o apoio articulado e o momento inicialmenteobtidoodeencastramentoperfeito(-18kN.m),alibertaodoncorrespondea acrescentar-lhe o momento de + 18 kN.m, transmitindo-se outra extremidade 9 kN.m Figura 17 Na Figura 18 apresenta-se a resoluo do mtodo de Cross 20 KN/mDAC6.0 m 4.0 mB25 KN2.0 m 3.0 mI6I4I50.47 0.53 0.40 0.60-1812 -60 60 0 0+18 +90 +21 Dbora Rodrigues de Sousa Macanjo FerreiraEstruturas II 11 Figura 18 OdiagramademomentosflectoresfinaledeesforotransversosoapresentadosnasFiguras19e20 respectivamente. Figura 19 Figura 20 Exemplo 4 Considere a estrutura reticulada contnua representada na Figura 21, solicitada como a se indica. O mdulo de elasticidade longitudinal e que o momento de inrcia so apresentados na Figura. Utilizando o mtodo de Cross, para uma preciso de 0.01 e aplicando a simplificao dos 34 determine o valor dos momentos finais. Figura 21 0.47 0.53 0.40 0.60021 -60 60 0 0-24 -36 -18 -12+27.03+23.97 +13.52-5.41 -8.11 -4.06 -2.701.43