sebenta algebra
DESCRIPTION
Algebra LinearTRANSCRIPT
Álgebra Linear BSebenta da Unidade Curricular
Engenharia de Comunicações (1o ano/1o semestre)
Engenharia Mecânica (1o ano/1o semestre)
Gaspar José Brandão Queiroz Azevedo Machado
Departamento de Matemática para a Ciência e Tecnologia
Universidade do Minho
2006/2007
ii
Indice
1 Matrizes 1
1.1 Apontamentos sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exercícios sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Soluções dos Exercícios sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . 35
2 Determinantes 37
2.1 Apontamentos sobre Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Exercícios sobre Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Soluções dos Exercícios sobre Determinantes . . . . . . . . . . 53
3 Sistemas de Equacoes Lineares 55
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equações Lineares . . . . . 55
3.2 Exercícios sobre Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . 71
3.3 Soluções dos Exercícios sobre Sistemas de Equações Lineares . 74
4 Espacos Vectoriais 77
4.1 Apontamentos sobre Espaços Vectoriais . . . . . . . . . . . . 77
iii
4.2 Exercícios sobre Espaços Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3 Soluções dos Exercícios sobre Espaços Vectoriais . . . . . . . 125
5 Transformacoes Lineares 127
5.1 Apontamentos sobre Transformações Lineares . . . . . . . . . 127
5.2 Exercícios sobre Transformações Lineares . . . . . . . . . . . 138
5.3 Soluções dos Exercícios sobre Transformações Lineares . . . . 141
6 Valores e Vectores Proprios 143
6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Próprios . . . . . . . 143
6.2 Exercícios sobre Valores e Vectores Próprios . . . . . . . . . . 148
6.3 Soluções dos Exercícios sobre Valores e Vectores Próprios . . 150
Apendice A 151
Indice Remissivo 152
iv
Capıtulo 1
Matrizes
1.1 Apontamentos sobre Matrizes
1.1def (a) Jproduto cartesiano de dois conjuntosK Sejam A e B conjuntos.
Chama-se produto cartesiano de A e B, que se representa por
A×B, ao conjunto
(a, b)|a ∈ A, b ∈ B.
(b) Jproduto cartesiano de um número finito de conjuntosK Sejam n ∈N e os conjuntos A1, A2, . . . , An. Chama-se produto cartesiano de
A e B, que se representa por A1 ×A2 × · · · ×An, ao conjunto
(a1, a2, . . . , an)|a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An, .
(c) Jpotência cartesiana de um conjuntoK Sejam n ∈ N e X um con-
junto. Chama-se potência cartesiana de ordem n do conjunto X,
que se representa por Xn, ao conjunto
(x1, x2, . . . , xn)|x1, x2, . . . , xn ∈ X,
1
2 1 Matrizes
identificando-se X1 com X.
1.2exe Explicite R2 e C3.
res R2 = (x, y)|x, y ∈ R.
C3 = (z1, z2, z3)|z1, z2, z3 ∈ C.
1.3def (a) Jmatriz, tipo de uma matriz, matriz real, matriz complexaK
Sejam m,n ∈ N. Chama-se matriz do tipo m × n (lê-se “m por
n”) a uma função com domínio (i, j) ∈ N2|i = 1, . . . ,m, j =
1, . . . , n e com conjunto de chegada R ou C, dizendo-se que é
uma matriz real ou complexa, respectivamente.
(b) JMm×n(R)K Representa-se por Mm×n(R) o conjunto das ma-
trizes reais do tipo m× n.
(c) JMm×n(C)K Representa-se porMm×n(C) o conjunto das matrizes
complexas do tipo m× n.
1.4obs (a) É possível considerar matrizes cujos elementos não são nem núme-
ros reais, nem números complexos (e.g., polinómios), mas neste
curso apenas aqueles casos são os com interesse.
(b) Quando não é relevante destinguir o conjunto dos números reais
(R) do conjunto dos números complexos (C), usa-se o símbolo K,
tendo-se a seguinte definição:
1.5def JMm×n(K)K Representa-se porMm×n(K) o conjunto das matrizes do
tipo m× n, independentemente de serem reais ou complexas.
1.6def JescalarK Chama-se escalar a um elemento de K.
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 3
1.7def Sejam A ∈Mm×n(K), i ∈ 1, . . . ,m e j ∈ 1, . . . , n.
(a) Jelemento de uma matrizK Chama-se elemento da linha i e da
coluna j da matriz A, que se representa por ai,j ou (A)i,j , a A(i, j).
(Se não houver ambiguidade relativamente ao índice da linha e ao
índice da coluna representa-se por aij ou (A)ij .)
(b) Jlinha de uma matrizK Chama-se linha i da matriz A, que se rep-
resenta por ℓi,A, a (ai1, ai2, . . . , ain). (Se não houver ambiguidade
relativamente à matriz representa-se por ℓi.)
(c) Jcoluna de uma matrizK Chama-se coluna j da matriz A, que se
representa por cj,A, a (a1j , a2j , . . . , amj). (Se não houver ambigu-
idade relativamente à matriz representa-se por cj .)
1.8obs (a) Regra geral usam-se letras maiúsculas para representar matrizes.
(b) Representa-se por A = [aij ] ∈Mm×n(K) a matriz
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
,
em que a11, a12, . . . , a1n, a21, a22, . . . , a2n, am1, am2, . . . , amn ∈ K.
(c) A letra “i” aparece neste curso quer como a unidade imaginária
dos números complexos, quer como a letra usual para represen-
tar a linha de uma matriz. No entanto, o contexto será sempre
suficiente para identificar o significado correcto.
(d) Quando se está perante matrizes do conjunto M1×1(K), o con-
texto será suficiente para distinguir se se está a fazer referência à
matriz ou ao único elemento que a constitui.
4 1 Matrizes
1.9exe Dê um exemplo de uma matriz pertencente a M2×3(R).
res A =[
1 1/2 −4√2 0 π
].
1.10exe Explicite a matriz A = [aij ] ∈M2×3(R), aij = j − i.
res A =[
0 1 2−1 0 1
].
1.11exe Considere a matriz A = [ 1 2 3 45 6 7 8 ].
(a) Indique o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna
da matriz A.
(b) Indique a segunda linha da matriz A.
(c) Indique a terceira coluna da matriz A.
res (a) a23 = 7.
(b) ℓ2 = (5, 6, 7, 8).
(c) c3 = (3, 7).
1.12def Seja A ∈Mm×n(K).
(a) Jmatriz colunaK Diz-se que A é uma matriz coluna se n = 1.
(b) Jmatriz linhaK Diz-se que A é uma matriz linha se m = 1.
1.13obs É habitual representar matrizes linha e matrizes coluna por letras mi-
núsculas e os seus elementos apenas com um índice. Assim, e usando
esta notação, as formas da matriz coluna x com m linhas e da matriz
linha y com n colunas são:
x =
x1
x2
...
xm
, y =[y1 y2 · · · yn
].
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 5
1.14exe (a) Dê um exemplo de uma matriz coluna complexa com 2 elementos.
(b) Dê um exemplo de uma matriz linha real com 3 elementos.
(c) Indique se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa: “Há ma-
trizes que são simultaneamente matrizes linha e matrizes coluna”.
res (a) p =[
1+2i1
].
(b) q = [ 0 4 −1 ].
(c) Proposição verdadeira pois as matrizes que pertencem ao con-
junto M1×1(K) são matrizes linha pois só têm uma coluna e são
matrizes coluna pois só têm uma linha.
1.15def Seja A ∈Mm×n(K).
(a) Jmatriz rectangularK Diz-se que A é uma matriz rectangular se
m 6= n.
(b) Jmatriz quadrada, ordem de uma matrizK Diz-se que A é uma
matriz quadrada se m = n, dizendo-se neste caso que A é uma
matriz de ordem n.
1.16exe (a) Indique se a seguinte proposição é verdadeira ou falsa: “A =
[ 1 2 30 0 0 ] é uma matriz rectangular.”
(b) Dê um exemplo de uma matriz real de ordem 2.
res (a) A proposição é verdadeira pois o número de linhas da matriz, que
é 2, é diferente do número de colunas da matriz, que é 3.
(b) X =[
1 20 −1
].
6 1 Matrizes
1.17def Seja A = [aij ] ∈Mn×n(K).
(a) Jdiagonal principal ou diagonal de uma matrizK Chama-se diag-
onal principal da matriz A ou diagonal da matriz A ao elemento
(a11, a22, . . . , ann) de Kn.
(b) Jdiagonal secundária de uma matrizK Chama-se diagonal secundária
da matriz A ao elemento (a1n, a2,n−1, . . . , an1) de Kn.
(c) Jmatriz diagonalK A diz-se uma matriz diagonal se i 6= j ⇒ aij =
0.
(d) Jmatriz escalarK A diz-se uma matriz escalar se é uma matriz
diagonal com a11 = a22 = . . . = ann.
(e) Jmatriz triangular superiorK A diz-se uma matriz triangular supe-
rior se i > j ⇒ aij = 0.
(f) Jmatriz triangular inferiorK A diz-se uma matriz triangular inferior
se i < j ⇒ aij = 0.
1.18obs (a) As definições anteriores só se aplicam a matrizes quadradas.
(b) A é uma matriz diagonal se todos os elementos fora da diagonal
são zeros.
(c) A é uma matriz triangular superior se todos os elementos “abaixo”
da diagonal são zeros.
(d) A é uma matriz triangular inferior se todos os elementos “acima”
da diagonal são zeros.
1.19exe (a) Dê um exemplo de uma matriz diagonal de ordem 4.
(b) Dê um exemplo de uma matriz escalar de ordem 3.
(c) Dê um exemplo de uma matriz triangular superior de ordem 2.
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 7
(d) Dê um exemplo de uma matriz triangular inferior de ordem 3 e
indique a sua diagonal principal e diagonal secundária.
(e) Dê um exemplo de uma matriz simultaneamente triangular supe-
rior e triangular inferior de ordem 2.
res (a) A =
[1 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 0
].
(b) B =[−1 0 0
0 −1 00 0 −1
].
(c) C = [ 1 20 1 ].
(d) D =[
1 0 01 0 02 −1 2
].
(e) E = [ 1 00 2 ].
1.20def (a) Jmatriz nula, 0m×n, 0K Chama-se matriz nula a uma matriz cu-
jos elementos são todos iguais a 0. Representa-se a matriz nula
do tipo m × n por 0m×n ou por 0 se não houver ambuiguidade
relativamente ao tipo.
(b) Jmatriz identidade, In, IK Chama-se matriz identidade à ma-
triz escalar cujos elementos da diagonal são todos iguais a 1.
Representa-se a matriz identidade de ordem n por In ou por I
se não houver ambuiguidade relativamente à ordem.
1.21exe (a) Indique a matriz nula do tipo 2× 4.
(b) Indique a matriz identidade de ordem 3.
res (a) 02×4 = [ 0 0 0 00 0 0 0 ].
(b) I3 =[
1 0 00 1 00 0 1
].
1.22def Jmatrizes iguaisK Sejam as matrizes A = [aij ] ∈ Mm×n(K) e B =
[bij ] ∈ Mp×q(K). Diz-se que A e B são matrizes iguais se m = p,
n = q e aij = bij,∀i ∈ 1, . . . ,m,∀j ∈ 1, . . . , n.
8 1 Matrizes
1.23obs Usa-se esta definição em algumas demonstrações relativas a matrizes.
1.24def Jsoma de matrizesK Sejam as matrizes A = [aij], B = [bij ] ∈Mm×n(K).
Chama-se soma das matrizes A e B à matriz Z = [zij ] ∈ Mm×n(K),
zij = aij + bij , escrevendo-se Z = A + B.
1.25def Jproduto de uma matriz por um escalarK Sejam a matriz A = [aij ] ∈Mm×n(K) e o escalar α ∈ K. Chama-se produto da matriz A pelo
escalar α à matriz Z = [zij ] ∈ Mm×n(K), zij = αaij , escrevendo-se
Z = αA.
1.26obs (a) Só se pode somar matrizes do mesmos tipo.
(b) É sempre possível multiplicar uma matriz por um escalar.
(c) Seja a matriz A. Então, em vez de (−1)A escreve-se −A.
(d) Sejam as matrizes A e B do mesmo tipo. Então, tendo em con-
sideração a alínea anterior, em vez de A+(−B) escreve-se A−B.
(e) A matriz nula é o elemento neutro da soma de matrizes.
1.27exe Sejam as matrizes A =[−1 2 1
0 1 −4
]e B =
[3 0 21 −1 2
].
(a) Calcule A + B.
(b) Calcule 2A.
(c) Calcule 12A− 3B.
res (a) A + B =[−1 2 1
0 1 −4
]+
[3 0 21 −1 2
]=
[2 2 31 0 −2
].
(b) 2A = 2[ −1 2 1
0 1 −4
]=
[−2 4 20 2 −8
].
(c) 12A− 3B = 1
2
[ −1 2 10 1 −4
]− 3
[3 0 21 −1 2
]=
[−19/2 1 −11/2−3 7/2 −8
].
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 9
1.28teo (a) ∀A,B ∈Mm×n(K) : A + B = B + A.
(b) ∀A,B,C ∈Mm×n(K) : (A + B) + C = A + (B + C).
(c) ∀A ∈Mm×n(K) : A + 0m×n = A.
(d) ∀A ∈Mm×n(K) : A + (−A) = 0m×n.
(e) ∀α, β ∈ K,∀A ∈Mm×n(K) : (αβ)A = α(βA).
(f) ∀α, β ∈ K,∀A ∈Mm×n(K) : (α + β)A = αA + βA.
(g) ∀α ∈ K,∀A,B ∈Mm×n(K) : α(A + B) = αA + αB.
(h) ∀A ∈Mm×n(K) : 1A = A.
dem (a) Como, por definição de soma de matrizes, as matrizes A + B e
B +A são do tipo m×n e como, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n,
(A + B)ij = (A)ij + (B)ij por definição de soma de matrizes
= (B)ij + (A)ij pela propriedade comutativa dos escalares
= (B + A)ij por definição de soma de matrizes,
tem-se que as matrizes A + B e B + A são iguais.
(b) Como, por definição de soma de matrizes, as matrizes (A+B)+C
e A + (B + C) são do tipo m × n e como, para i = 1, . . . ,m e
j = 1, . . . , n,
((A + B) + C)ij = (A + B)ij + (C)ij por definição de soma de matrizes
= ((A)ij + (B)ij) + (C)ij por definição de soma de matrizes
= (A)ij + ((B)ij + (C)ij) pela propriedade associativa dos escalares
= (A)ij + (B + C)ij por definição de soma de matrizes,
tem-se que as matrizes (A + B) + C e A + (B + C) são iguais.
10 1 Matrizes
(c) Como, por definição de soma de matrizes, as matrizes A + 0m×n
e A são do tipo m× n e como, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n,
(A + 0)ij = (A)ij + (0m×n)ij por definição de soma de matrizes
= (A)ij + 0 por definição de matriz nula
= (A)ij 0 é o elemento neutro da soma de escalares,
tem-se que as matrizes A + B e B + A são iguais.
(d) Como, por definição de soma de matrizes, as matrizes A + B e
B +A são do tipo m×n e como, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n,
(A + (−A))ij = (A)ij + (−A)ij por definição de soma de matrizes
= (A)ij − (A)ij por 1.26obs (c)
= 0 pois são escalares simétricos,
tem-se que as matrizes A + (−A) e 0m×n são iguais.
(e) Exercício.
(f) Exercício.
(g) Exercício.
(h) Exercício.
1.29def Jproduto ou multiplicação de matrizesK Sejam as matrizes A = [aij ] ∈Mm×n(K) e B = [bij ] ∈ Mn×p(K). Chama-se produto ou multipli-
cação da matriz A pela matriz B à matriz Z = [zij ] ∈ Mm×p(K),
zij =∑n
k=1 aikbkj, escrevendo-se Z = AB.
1.30obs (a) Só se pode efectuar a multiplicação da matriz A pela matriz B se
o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 11
da matriz B. Neste caso, o número de linhas da matriz resultante
é igual ao número de linhas da matriz A e o número de colunas
da matriz resultante é igual ao número de colunas da matriz B.
Em notação simplificada, tem-se: Am×nBn×p = Zm×p.
(b) Sejam as matrizes A = [aij] ∈ M3×2(R) e B = [bij ] ∈ M2×4(R).
Então, como o número de colunas da matriz A é igual ao número
de linhas da matriz B, é possível efectuar a operação AB. Por
exemplo o elemento (AB)23 obtém-se considerando ℓ2,A e c2,B :
∗ ∗
2 1
∗ ∗
∗∗∗∗
4
5
∗∗
=
∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ 13 ∗∗ ∗ ∗ ∗
︸ ︷︷ ︸A=[aij ]∈M3×2(R)
︸ ︷︷ ︸B=[bij ]∈M2×4(R)
︸ ︷︷ ︸AB∈M3×4(R)
(AB)23 =
2∑
k=1
a2kbk3 = a21b13 + a22b23 = 2× 4 + 1× 5 = 13.
1.31exe Considere as matrizes A =[−1 0
1 1
]e B =
[1 −1 20 −2 1
]. Efectue, se possível,
as seguintes operações:
(a) AB.
(b) BA.
(c) BI3.
(d) I2B.
res (a) Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de
linhas da matriz B, é possível efectuar a operação AB, tendo-se
AB =
−1 0
1 1
1 −1 2
0 −2 1
=
−1 1 −2
1 −3 3
.
12 1 Matrizes
(b) Como o número de colunas da matriz B, que é 3, é diferente do
número de linhas da matriz A, que é 2, não é possível efectuar a
operação BA.
(c) Como o número de colunas da matriz B é igual ao número de
linhas da matriz I3, é possível efectuar a operação BI3, tendo-se
BI3 =
1 −1 2
0 −2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1 −1 2
0 −2 1
.
(d) Como o número de colunas da matriz I2 é igual ao número de
linhas da matriz B, é possível efectuar a operação I2B, tendo-se
I2B =
1 0
0 1
1 −1 2
0 −2 1
=
1 −1 2
0 −2 1
.
1.32teo (a) ∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K),∀C ∈ Mp×q(K) : (AB)C =
A(BC).
(b) ∀A,B ∈Mm×n(K),∀C ∈Mn×p(K) : (A + B)C = AC + BC.
(c) ∀A ∈Mm×n(K),∀B,C ∈Mn×p(K) : A(B + C) = AB + AC.
(d) ∀A ∈Mm×n(K) : ImA = AIn = A.
(e) ∀α ∈ K,∀A ∈ Mm×n(K),∀B ∈ Mn×p(K) : α(AB) = (αA)B =
A(αB).
dem Exercício.
1.33obs (a) A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de ma-
trizes.
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 13
(b) Sejam A, B e C matrizes do mesmo tipo. Então, tem-se que a
expressão A + B + C não resulta ambígua devido à propriedade
associativa da soma de matrizes.
(c) Sejam A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K) e C ∈ Mp×q(K). Então,
tem-se que a expressão ABC não resulta ambígua devido à pro-
priedade associativa da multiplicação de matrizes, fazendo sentido
a seguinte definição:
1.34def Jpotência de uma matrizK Sejam p ∈ N e A uma matriz quadrada.
Chama-se p-ésima potência da matriz A, que se representa por Ap, a∏p
k=1 A.
1.35obs A multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa. Faz,
pois, sentido a seguinte definição:
1.36def Jmatrizes comutáveisK Sejam A e B matrizes da mesma ordem. Diz-se
que as matrizes A e B são comutáveis se AB = BA.
1.37exe Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Então, simplifique
a expressão (A + B)2 − (A−B)(A + B)− 2B2.
res (A + B)2 − (A−B)(A + B)− 2B2 = (A + B)(A + B)− (A−B)(A +
B)−2B2 = A2 +AB +BA+B2−A2−AB +BA+B2−2B2 = 2BA.
1.38exe Considere a matriz A = [ 2 01 1 ]. Calcule A3.
res Como A é uma matriz quadrada, é possível determinar A3, tendo-se
A3 =
2 0
1 1
2 0
1 1
2 0
1 1
=
4 0
3 1
2 0
1 1
=
8 0
7 1
.
Nota: como a multiplicação de matrizes é associativa, também se tem
A3 = A(AA).
14 1 Matrizes
1.39obs Não se define a operação “divisão de matrizes”.
1.40def Jmatriz invertível ou não-singular, matriz não-invertível ou singularK
Seja A ∈ Mn×n(K). Diz-se que A é uma matriz invertível ou não-
singular se existir uma matriz Z ∈ Mn×n(K) tal que AZ = ZA = In.
Caso contrário, diz-se que A é uma matriz não-invertível ou singular.
1.41teo Seja A ∈Mn×n(K) tal que é uma matriz invertível. Então, existe uma
e uma só matriz Z ∈Mn×n(K) tal que ZA = AZ = In.
dem Sejam X,Y ∈Mn×n(K) tais que
AX = In(1)= XA,
AY(2)= In = Y A.
Então,
X = XIn I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes
= X(AY ) por (2)
= (XA)Y a multiplicação de matrizes é associativa
= InY por (1)
= Y, I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes,
i.e., existe uma única matriz que satisfaz a condição de invertibilidade.
1.42def Jmatriz inversaK Seja A uma matriz de ordem n invertível. Chama-se
matriz inversa da matriz A, que se representa por A−1, à única matriz
Z tal que AZ = ZA = In.
1.43teo Sejam A e B duas matrizes quadrada da mesma ordem. Então, AB =
I ⇒ A−1 = B.
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 15
1.44obs (a) Se A é a matriz inversa da matriz B, então B é a matriz inversa
da matriz A.
(b) Sejam A e B duas matrizes quadrada da mesma ordem. Então,
AB = I ⇔ BA = I. Assim, basta verificar AB = I ou BA = I
para se concluir que as matrizes A e B são invertíveis com A−1 =
B e B−1 = A.
1.45teo (a) Seja A uma matriz invertível. Então, A−1 também é uma matriz
invertível e (A−1)−1 = A.
(b) Sejam A,BMn×n(K) matrizes invertíveis. Então, AB também é
uma matriz invertível e (AB)−1 = B−1A−1.
dem (a) Como A é uma matriz invertível, tem-se que AA−1 = A−1A = I.
Logo, A−1 é invertível e(A−1
)−1= A.
(b) Sejam A,B ∈ Mn×n(K) matrizes invertíveis. Então, existem
A−1, B−1 ∈Mn×n(K) tais que
AA−1 (1)= In = AA−1,
BB−1 = In(2)= BB−1,
pelo que
(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1a multiplicação de matrizes é associativa
= AInA−1por (2)
= AA−1I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes
= In, por (1)
pelo que AB é invertível com (AB)−1 = B−1A−1 uma vez que a
inversa de uma matriz é única.
16 1 Matrizes
1.46obs (a) Há matrizes quadradas que não admitem inversa.
(b) Apresenta-se no final deste capítulo uma condição para caracteri-
zar matrizes invertíveis e um método geral para cálcular inversas.
1.47exe Sejam as matrizes A = 13
[1 −11 2
]e B =
[2 1−1 1
].
(a) Determine AB.
(b) O que pode concluir da alínea anterior?
(c) As matrizes A e B são comutáveis?
res (a) AB = 13
[1 −11 2
] [2 1−1 1
]= 1
3 [ 3 00 3 ] = [ 1 0
0 1 ].
(b) As matrizes são invertíveis com A−1 = B e B−1 = A.
(c) Sim, pois AB = BA = I2.
1.48def Jmatriz transpostaK Seja a matriz A = [aij ] ∈ Mm×n(K). Chama-se
transposta da matriz A à matriz Z = [zij ] ∈ Mn×m(K), zij = aji,
escrevendo-se Z = AT .
1.49obs (a) É sempre possível calcular a matriz transposta de uma matriz.
(b) Calcular a transposta de uma matriz corresponde a trocar linhas
com colunas.
1.50exe Sejam as matrizes A =[
1 −2 00 2 1
]e u =
[1−1
].
(a) Calcule AT .
(b) Calcule AAT
uTu.
res (a) AT =[
1 0−2 20 1
].
(b) AAT
uT u=
[1 −2 00 2 1
][ 1 0−2 20 1
]
[ 1 −1 ][
1−1
] = 12
[5 −4−4 5
]=
[5/2 −2−2 5/2
].
Nota: relembrar 1.8obs (d).
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 17
1.51teo (a) ∀A ∈Mm×n(K) :(AT
)T= A.
(b) ∀A,B ∈Mm×n(K) : (A + B)T = AT + BT .
(c) ∀α ∈ K,∀A ∈Mm×n(K) : (αA)T = αAT .
(d) ∀A ∈Mm×n(K), B ∈Mn×p(K) : (AB)T = BT AT .
(e) ∀A ∈Mn×n(K) :(AT
)−1=
(A−1
)T.
dem (a) Exercício.
(b) Exercício.
(c) Exercício.
(d) Como, por definição da transposta de uma matriz e da multipli-
cação de matrizes, as matrizes (AB)T e BTAT são do tipo p×m
e como, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n,
((AB)T
)ij
= (AB)ji pela definição de matriz transposta
=
n∑
k=1
(A)jk(B)ki pela definição de produto de matrizes
=
n∑
k=1
(B)ki(A)jk pela propriedade comutativa dos escalares
=
n∑
k=1
(BT )ik(AT )kj pela definição de matriz transposta
= (BT AT )ij , pela definição de produto de matrizes,
tem-se que as matrizes (AB)T e BT AT são iguais.
(e) Exercício.
1.52def Jmatriz simétricaK Seja A uma matriz quadrada. Diz-se que A é uma
matriz simétrica se A = AT .
18 1 Matrizes
1.53exe Dê um exemplo de uma matriz simétrica de ordem 3.
res A =[
0 1 21 10 −32 −3 1
].
1.54def Jmatriz ortogonalK Seja A ∈ Mn×n(K). Diz-se que A é uma matriz
ortogonal se AAT = AT A = In.
1.55obs Se A é uma matriz ortogonal, então A é uma matriz invertível e
A−1 = AT .
1.56exe Verifique que a matriz A = [ cos α − sen αsen α cos α ], α ∈ R, é ortogonal.
res Como
AAT =
cos α − sen α
sen α cos α
cos α sen α
− sen α cos α
=
cos2 α + sen2 α cos α sen α− sen α cos α
sen α cos α− cos α sen α sen2 α + cos2 α
=
1 0
0 1
,
i.e., AAT = I2, tem-se que A é uma matriz ortogonal.
1.57obs Recorde: seja z = a + bi ∈ C. Chama-se conjugado de z, que se
representa por z, a a− bi ∈ C.
1.58def Seja A = [aij ] ∈Mm×n(C).
(a) Jmatriz conjugadaK Chama-se matriz conjugada de A à matriz
Z = [zij ] ∈Mm×n(C), zij = aij, escrevendo-se Z = A.
(b) Jmatriz transconjugadaK Chama-se matriz transconjugada de A à
matriz Z = [zij ] ∈ Mm×n(C), zij = aji (onde aji representa o
conjugado de aji), escrevendo-se Z = AH .
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 19
1.59obs (a) É sempre possível calcular a matriz conjugada e a matriz transcon-
jugada de uma matriz.
(b) Calcular a matriz conjugada de uma matriz corresponde a conju-
gar os seus elementos.
(c) Calcular a matriz transconjugada de uma matriz corresponde a
conjugar os seus elementos e a trocar depois linhas com colunas.
1.60exe Seja a matriz A =[
0 2−i i1 0 1
]. Então, determine AT , A e AH .
res AT =[
0 12−i 0
i 1
], A =
[0 2+i −i1 0 1
], AH =
[0 1
2+i 0−i 1
].
1.61teo (a) ∀A ∈Mm×n(C) :(AH
)H= A.
(b) ∀A,B ∈Mm×n(C) : (A + B)H = AH + BH .
(c) ∀α ∈ C,∀A ∈Mm×n(C) : (αA)H = αAH .
(d) ∀A ∈Mm×n(C),∀B ∈Mn×p(C) : (AB)H = BHAH .
(e) ∀A ∈Mn×n(C) :(AH
)−1=
(A−1
)H.
dem Exercício.
1.62def Jmatriz hermíticaK Seja A ∈ Mn×n(C). Diz-se que A é uma matriz
hermítica se A = AH .
1.63exe Dê um exemplo de uma matriz hermítica de ordem 3.
res A =[ 0 1−i 2
1+i 2 3+2i2 3−2i 1
].
1.64def Jmatriz unitáriaK Seja A ∈ Mn×n(C). Diz-se que A é uma matriz
unitária se AAH = AHA = In.
1.65obs Se A é uma matriz unitária, então A é uma matriz invertível e A−1 = AH .
20 1 Matrizes
1.66exe Verifique que a matriz A = 12
[−i
√3√
3 −i
]é unitária.
res Como
AAH =1
4
−i
√3
√3 −i
i
√3
√3 i
=1
4
4 0
0 4
=
1 0
0 1
,
i.e., AAH = I2, tem-se que A é uma matriz unitária.
1.67def Seja A = [aij ] ∈Mm×n(K).
(a) Jlinha nulaK Diz-se que ℓi é uma linha nula da matriz A se ai1 =
ai2 = · · · = ain = 0.
(b) Jcoluna nulaK Diz-se que cj é uma coluna nula da matriz A se
a1j = a2j = · · · = amj = 0.
(c) JpivôK Chama-se pivô ao elemento diferente de zero mais à es-
querda de uma linha não-nula.
(d) Jcoluna pivôK Chama-se coluna pivô a uma coluna da matriz se
existe um elemento pivô nessa coluna.
1.68exe Seja a matriz A =[
0 0 0 0 10 2 0 0 00 3 0 4 0
]. Identifique os pivôs e as colunas pivô da
matriz A.
res Pivôs: a15, a22 e a32.
Colunas pivô: c2 e c5.
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 21
1.69def Seja A ∈Mm×n(K).
(a) Jmatriz em escadaK Diz-se que A é uma matriz em escada se o
número de elementos nulos que precedem o pivô aumenta de linha
para linha até que, possivelmente, sobrem apenas linhas nulas.
(b) Jmatriz em escada reduzidaK Diz-se que A é uma matriz em escada
reduzida se é uma matriz em escada, se todos os pivôs são iguais a
um e se estes são os únicos elementos não-nulos nas colunas pivô.
1.70exe Indique quais das seguintes matrizes são matrizes em escada e em es-
cada reduzida:
A =
1 0 1
0 1 1
, B =
1 0 2 0
0 2 0 0
, C =
0 1 2 0 3
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
,
D =
0 0 1 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 2 0 4 0
0 0 0 0 0 5 0
, E =
1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0
,
F =
1 0
0 1
, G =
1 1
0 1
,H =
0 0
0 0
, u =
1
0
0
, v =
1
1
0
.
res Matrizes em escada: A, B, C, F , G, H, u.
Matrizes em escada reduzida: A, C, F , H, u.
22 1 Matrizes
1.71def Sejam A ∈ Mm×n(K), i ∈ 1, . . . ,m, j ∈ 1, . . . , n, α ∈ K \ 0 e
β ∈ K.
(a) Joperação elementar do tipo I nas linhas de uma matrizK Dá-se
o nome de operação elementar do tipo I nas linhas da matriz A,
que se representa por ℓi ↔ ℓj , à troca de duas linhas.
(b) Joperação elementar do tipo II nas linhas de uma matrizK Dá-se
o nome de operação elementar do tipo II nas linhas da matriz A,
que se representa por ℓi ← αℓi, à substituição de uma linha por
um seu múltiplo não-nulo.
(c) Joperação elementar do tipo III nas linhas de uma matrizK Dá-se
o nome de operação elementar do tipo III nas linhas da matriz A,
que se representa por ℓi ← ℓi + βℓj, à substituição de uma linha
pela sua soma com um múltiplo de outra linha.
1.72obs Na definição anterior apenas se consideram operações sobre linhas,
apesar de também ser possível definir operações sobre colunas. Fazendo
este curso apenas faz referência a operações elementares sobre linhas,
estas passarão a ser referenciadas apenas por “operações elementares”.
1.73def Jmatrizes equivalentes, A ←→ BK Sejam A,B ∈ Mm×n(K). Diz-se
que A e B são matrizes equivalentes, escrevendo-se A ←→ B, se se
pode obter uma a partir da outra através duma sequência (finita) de
operações elementares com linhas.
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 23
1.74exe Seja a matriz A =[
0 2 4 01 1 0 22 2 0 5
]. Efectue a seguinte sequência de operações
na matriz A: ℓ1 ↔ ℓ2, ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1, ℓ1 ← ℓ1 − 2ℓ3, ℓ2 ← 12ℓ2 e
ℓ1 ← ℓ1 − ℓ2.
res
0 2 4 0
1 1 0 2
2 2 0 5
←−−−−−−−−−→ℓ1 ↔ ℓ2
1 1 0 2
0 2 4 0
2 2 0 5
←−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1
1 1 0 2
0 2 4 0
0 0 0 1
ℓ1 ← ℓ1 − 2ℓ3
←−−−−−−−−−→
1 1 0 0
0 2 4 0
0 0 0 1
ℓ2 ← 12ℓ2
←−−−−−−−−−→
1 1 0 0
0 1 2 0
0 0 0 1
ℓ1 ← ℓ1 − ℓ2
←−−−−−−−−−→
1 0 −2 0
0 1 2 0
0 0 0 1
.
24 1 Matrizes
1.75teo Seja A ∈ Mm×n(K). Então, existe uma única matriz em escada re-
duzida que é equivalente à matriz A.
1.76obs Seja A uma matriz não-nula. Então, existe uma infinidade de matrizes
em escada que são equivalentes à matriz A.
1.77def Seja A uma matriz.
(a) Jfe(A)K Representa-se por fe(A) o conjunto das matrizes em es-
cada que são equivalentes à matriz A.
(b) Jfer(A)K Representa-se por fer(A) a única matriz em escada re-
duzida que é equivalente à matriz A.
1.78obs Seja A uma matriz.
(a) Note-se que fe(A) é um conjunto de matrizes e que fer(A) é uma
matriz.
(b) Em 1.79obs apresenta-se um algoritmo para determinar um el-
emento de fe(A) e em 1.80obs apresenta-se um algoritmo para
determinar fer(A).
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 25
1.79obs Seja A = [aij ] ∈ Mm×n(R). Então, o seguinte algoritmo determina
um elemento de fe(A):
Passo 1 [inicializar o algoritmo]
i← 1
j ← índice da coluna não-nula mais à esquerda da matriz A
Passo 2 [seleccionar elemento pivô]
se aij = 0 então
k ← minq ∈ i + 1, . . . ,m|aqj 6= 0
ℓi ↔ ℓk
fimse
Passo 3 [anular os elementos abaixo do pivô]
para p← i + 1 até m fazer
ℓp ← ℓp −apj
aijℓi
fimpara
Passo 4 [terminar?]
se já se obteve uma matriz em escada então
terminar
senão
i← i + 1
j ← índice da coluna não-nula mais à esquerda da matriz que
se obtém eliminando na matriz A as linhas ℓ1, . . . , ℓi−1
ir para o Passo 2
fimse
26 1 Matrizes
1.80obs Seja A = [aij ] ∈ Mm×n(R). Então, o seguinte algoritmo determina
fer(A):
Passo 1 [inicializar o algoritmo]
determinar A′ = [a′ij ] ∈ fe(A)
i← índice da última linha não-nula da matriz A′
j ← índice da coluna pivô da linha i
Passo 2 [colocar elemento pivô a um]
se a′ij 6= 1 então
ℓ′i ←1
a′ijℓ′i
fimse
Passo 3 [anular os elementos acima do pivô]
para p← 1 até i− 1 fazer
ℓ′p ← ℓ′p − a′pjℓ′i
fimpara
Passo 4 [terminar?]
se já se obteve uma matriz em escada reduzida então
terminar
senão
i← i− 1
j ← índice da coluna pivô da linha i
ir para o Passo 2
fimse
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 27
1.81exe Seja a matriz A =[
0 0 0 30 1 1 20 2 2 1
]. Determine um elemento de fe(A) e fer(A).
res
0 0 0 3
0 1 1 2
0 2 2 1
︸ ︷︷ ︸A
←−−−−−−−−−→ℓ1 ↔ ℓ2
0 1 1 2
0 0 0 3
0 2 2 1
←−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1
0 1 1 2
0 0 0 3
0 0 0 −3
︸ ︷︷ ︸A′∈fe(A)
←−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 + ℓ2
0 1 1 2
0 0 0 3
0 0 0 0
←−−−−−−−−−→ℓ2 ← 1
3ℓ2
0 1 1 2
0 0 0 1
0 0 0 0
ℓ1 ← ℓ1 − 2ℓ2
←−−−−−−−−−→
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
︸ ︷︷ ︸fer(A)
.
28 1 Matrizes
1.82def Jmatriz elementarK Seja E ∈ Mn×n(K). Diz-se que E é uma matriz
elementar se se pode obter através de uma operação elementar sobre a
matriz In.
1.83exe A partir de I4, determine as matrizes elementares obtidas através das
seguintes operações elementares:
(a) ℓ2 ↔ ℓ4.
(b) ℓ3 ← 2ℓ3.
(c) ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1.
res (a)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
←−−→ℓ2 ↔ ℓ4
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
.
(b)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
←−−−→
ℓ3 ← 2ℓ3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
.
(c)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
←−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1
1 0 0 0
0 1 0 0
−2 0 1 0
0 0 0 1
.
1.1 Apontamentos sobre Matrizes 29
1.84teo As matrizes elementares são invertíveis e as suas inversas são matrizes
elementares.
1.85teo Sejam A,B ∈Mm×n(K) tais que A←→ B. Então, existe um número
finito de matrizes elementares E1, E2, . . . , Ek, tais que B = E1E2 · · ·EkA.
1.86teo Seja A ∈ Mm×n(K). Então, existe um número finito de matrizes
elementares E1, E2, . . . , Ek, tais que fer(A) = E1E2 · · ·EkA.
1.87teo Seja A ∈Mn×n(K). Então, A é invertível se e só se A é o produto de
matrizes elementares.
1.88obs (a) Seja A ∈Mn×n(K). Então, A é invertível se e só se fer(A) = In.
(b) Sejam k ∈ N e A ∈ Mn×n(K) uma matriz invertível. Então,
existem matrizes elementares E1, E2, . . . , Ek tais que
In = Ek · · ·E2E1A,
pelo que
A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k In,
ou ainda
A−1 = In
(E−1
k
)−1 · · ·(E−1
2
)−1 (E−1
1
)−1
= Ek · · ·E2E1In,
i.e., A−1 obtém-se a partir de In através das mesmas operações
elementares que transformam A em In.
30 1 Matrizes
1.89exe Verifique que a matriz A =[
1 1 20 1 02 2 5
]é invertível e determine a sua
inversa.
res
1 1 2 1 0 0
0 1 0 0 1 0
2 2 5 0 0 1
︸ ︷︷ ︸A|I3
←−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1
1 1 2 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 −2 0 1
ℓ1 ← ℓ1 − 2ℓ3
←−−−−−−−−−→
1 1 0 5 0 −2
0 1 0 0 1 0
0 0 1 −2 0 1
ℓ1 ← ℓ1 − ℓ2
←−−−−−−−−−→
1 0 0 5 −1 −2
0 1 0 0 1 0
0 0 1 −2 0 1
︸ ︷︷ ︸I3|A−1
.
Assim, A é uma matriz invertível pois fer(A) = I3 com A−1 =[
5 −1 −20 1 0−2 0 1
].
Calcule-se, apenas para efeito de verificação, que AA−1 = I3:
AA−1 =
1 1 2
0 1 0
2 2 5
5 −1 −2
0 1 0
−2 0 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
1.2 Exercıcios sobre Matrizes 31
1.2 Exercıcios sobre Matrizes
1.1exe Considere as matrizes
A =
1 1 0 0
2 −1 1 2
, B =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
, c =
1
1
1
,D =
1 1
2 2
0 0
,
e =[i 1 0 i
], F =
2 + i 1
0 1− 2i
, g =
[1],H =
1 0
0 1
.
(a) Indique as matrizes rectangulares e o seu tipo.
(b) Indique as matrizes quadradas e a sua ordem.
(c) Indique as matrizes linha.
(d) Indique as matrizes coluna.
(e) Indique as matrizes diagonais.
(f) Indique as matrizes escalares.
(g) Indique as matrizes triangulares superiores.
(h) Indique as matrizes triangulares inferiores.
1.2exe Considere as matrizes
A =
−1 1 0
2 −1 1
, B = [bij ] ∈M2×3(R), bij = i− j,
C = [cij ] ∈M2×2(R), cij =
0 se i < j,
(−1)i+1 se i = j,
1 se i > j,
u =
1
2
0
.
Indique se estão bem definidas as seguintes expressões, efectuando as
operações nesses casos:
32 1 Matrizes
(a) A + 2B.
(b) A− C.
(c) AC.
(d) CA.
(e) C3.
(f)ABT + BAT
2.
(g) (CBATC)2.
(h) uuT .
(i) uT u.
(j) uT AT Bu.
1.3exe Determine os valores a, b, c ∈ C, para que a matriz S =[
1 a b1 2 32 c 3
]seja
simétrica.
1.4exe Indique quais das seguintes matrizes são ortogonais:
A =
13
23 −2
3
23
13
23
−23
23
13
, B =
1√2
1√2
− 1√2
1√2
, C =
45
35
35 −4
5
.
1.5exe Determine os valores a, b, c ∈ C, para que a matriz T =[
0 a b1 c i2i −i 3
]seja
hermítica.
1.6exe Mostre que B = 15
[3 4i−4 3i
]é uma matriz unitária.
1.7exe Considere a matriz D =[
i 0 2i2 −1 0
]. Mostre que está bem definida a
expressão DDHDDT e determine o seu valor.
1.8exe Mostre que o produto de uma matriz pela sua transposta é uma matriz
simétrica.
1.9exe Mostre que se A e B são matrizes comutáveis e B é uma matriz in-
vertível, então AB−1 = B−1A.
1.10exe Sejam A e B matrizes comutáveis e invertíveis. Então, mostre que
(AB)−1 = A−1B−1.
1.2 Exercıcios sobre Matrizes 33
1.11exe Uma matriz real e quadrada A diz-se anti-simétrica se AT = −A.
Mostre que, dada qualquer matriz real e quadrada B, a matriz B−BT
é anti-simétrica.
1.12exe Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais ainda é uma matriz
ortogonal.
1.13exe Seja A uma matriz quadrada tal que Ap = 0 para algum p ∈ N. Então,
mostre que (I −A)−1 = I +∑p−1
k=1 Ak.
1.14exe Determine, para cada uma das seguintes matrizes, uma matriz equiv-
alente que seja uma matriz em escada e a matriz equivalente que seja
uma matriz em escada reduzida.
(a) A =
[1 1 0 2 00 0 0 0 00 0 2 0 40 0 0 1 5
].
(b) B =[ 6 3 −4−4 1 −61 2 −5
].
(c) C =
[1 0 0 2 00 0 1 0 01 0 0 0 10 0 2 0 2
].
(d) D =[
1 −2 3 −12 −1 2 23 1 2 3
].
(e) E =
[ 1 3 −1 20 11 −5 32 −5 3 14 1 1 5
].
(f) F =[ 1 2 −1 2 1
2 4 1 −2 33 6 2 −6 5
].
(g) G =
[1 0 0 20 0 0 30 0 0 00 0 0 0
].
(h) x =[
1−13
].
1.15exe Calcule, se possível, as matrizes inversas das seguintes matrizes:
(a) A =[
1 0 −12 0 0−1 1 0
].
(b) B = [ 1 22 4 ].
34 1 Matrizes
(c) C =[−1 2 −3
2 1 04 −2 5
].
(d) D = [ 1 11 0 ].
1.16exe Sabendo que as matrizes A,B,C ∈ Mn×n(K) são invertíveis, resolva
em ordem a X a equação matricial C−1(A + X)B−1 = In.
1.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Matrizes 35
1.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Matrizes
1.1sol (a) A2×3, c3×1, D3×2, E1×4.
(b) B — ordem 2, F — ordem 2, g — ordem 1, H — ordem 2.
(c) e, g.
(d) c, g.
(e) B, g, H.
(f) g, H.
(g) B, F , g, H.
(h) B, g, H.
1.2sol (a) A + 2B =[−1 −1 −4
4 −1 −1
].
(b) a expressão A− C não está bem definida.
(c) a expressão AC não está bem definida.
(d) CA =[−1 1 0−3 2 −1
].
(e) C3 =[
1 01 −1
].
(f)ABT + BAT
2=
[−1 −1−1 1
].
(g) (CBAT C)2 = [ 2 00 2 ].
(h) uuT =[
1 2 02 4 00 0 0
].
(i) uT u = [ 5 ].
(j) uT AT Bu = [−2 ].
1.3sol a = 1, b = 2, c = 3.
1.4sol A e C.
1.5sol a = 1, b = −2i, c ∈ R.
36 1 Matrizes
1.7sol DDHDDT =[
29 −20i20i 29
].
1.14sol Nota: associada a cada matriz não-nula, existe uma infinidade de ma-
trizes que lhe são equivalentes e que estão na forma em escada. As
soluções que a seguir se apresentam, resultam da aplicação do algo-
ritmo apresentado em 1.79obs .
(a)
[1 1 0 2 00 0 2 0 40 0 0 1 50 0 0 0 0
]∈ fe(A), fer(A) =
[1 1 0 0 −100 0 1 0 20 0 0 1 50 0 0 0 0
].
(b)
[6 3 −40 3 − 26
30 0 0
]∈ fe(B), fer(B) =
[1 0 7
9
0 1 − 269
0 0 0
].
(c)
[1 0 0 2 00 0 1 0 00 0 0 −2 10 0 0 0 2
]∈ fe(C), fer(C) =
[1 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
].
(d)
[1 −2 3 −10 3 −4 40 0 7
3− 10
3
]∈ fe(D), fer(D) =
[1 0 0 15
7
0 1 0 − 47
0 0 1 − 107
].
(e)
[1 3 −1 20 11 −5 30 0 0 00 0 0 0
]∈ fe(E), fer(E) =
[1 0 4
111311
0 1 − 511
311
0 0 0 00 0 0 0
].
(f)
[ 1 2 −1 2 10 0 3 −6 1
0 0 0 −213
]∈ fe(F ), fer(F ) =
[1 2 0 0 4
30 0 1 0 0
0 0 0 1 −16
].
(g) G ∈ fe(G), fer(G) =
[1 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
].
(h)[
100
]∈ fe(x), fer(x) =
[100
].
1.15sol (a) A−1 =
[0 1
20
0 12
1
−1 12
0
].
(b) A matriz B é singular.
(c) C−1 =[ −5 4 −3
10 −7 68 −6 5
].
(d) D−1 =[
0 11 −1
].
1.16sol X = CB −A.
Capıtulo 2
Determinantes
2.1 Apontamentos sobre Determinantes
2.1def Jmatriz complementar de um elemento de uma matrizK Sejam A =
[aij ] ∈ Mn×n(R) e ξ, η ∈ 1, . . . , n. Chama-se matriz complementar
do elemento aξη, que se representa por Aξη, a
Aξη =
[1] se n = 1,
matriz que se obtém a partir
da matriz A eliminando ℓξ e cη
se n > 1.
2.2exe Seja a matriz A =[
1 2 34 5 67 8 9
].
(a) Determine a matriz complementar do elemento (A)12.
(b) Determine A33.
res (a) A12 = [ 4 67 9 ].
(b) A33 = [ 1 24 5 ].
37
38 2 Determinantes
2.3def Jdeterminante de uma matrizK Seja A = [aij ] ∈ Mn×n(K). Chama-se
determinante da matriz A, que se representa por det(A), |A| ou
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
ao escalar definido recursivamente por
det(A) =
a11 se n = 1,n∑
j=1
a1j(−1)1+j det(A1j) se n > 1.
2.4obs Seja A = [aij ] ∈ M1×1(K). Note-se que quando se escreve det(A) =
|a11| = a11, |·| não representa o valor absoluto mas sim o determinante.
O contexto será sempre suficiente para interpretar o significado correcto
de | · |.
2.5exe Seja X = [ x11 x12x21 x22 ] ∈M2×2(K).
(a) Determine X11 e X12.
(b) Calcule |X|.
res (a) X11 = [ x22 ] e X12 = [ x21 ].
2.1 Apontamentos sobre Determinantes 39
(b)
det(X) =
∣∣∣∣∣∣x11 x12
x21 x22
∣∣∣∣∣∣
=
2∑
j=1
x1j(−1)1+j det(X1j)
= x11(−1)1+1 det(X11) + x12(−1)1+2 det(X12)
= x11 × 1× x22 + x12 × (−1)× x21
= x11x22 − x12x21.
2.6obs Seja A = [aij] ∈M2×2(K). Então, det(A) pode-se calcular atendendo
a
+ +
a11
""EE
EEEE
EEa12
||yyyy
yyyy
a21 a22
tendo-se
det(A) = a11a22 − a12a21.
2.7exe Determine | 1 23 4 |.
res | 1 23 4 | = 1× 4− 2× 3 = −2.
40 2 Determinantes
2.8exe Seja Y = [yij] ∈M3×3(K). Calcule |Y |.
res Seja Y =[ y11 y12 y13
y21 y22 y23y31 y32 y33
]. Então,
det(Y ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y11 y12 y13
y21 y22 y23
y31 y32 y33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
3∑
j=1
y1j(−1)1+j det(Y1j)
= y11(−1)1+1 det(Y11)
+ y12(−1)1+2 det(Y12)
+ y13(−1)1+3 det(Y13)
= y11 × 1×
∣∣∣∣∣∣y22 y23
y32 y33
∣∣∣∣∣∣
+ y12 × (−1)×
∣∣∣∣∣∣y21 y23
y31 y33
∣∣∣∣∣∣
+ y13 × 1×
∣∣∣∣∣∣y21 y22
y31 y32
∣∣∣∣∣∣
= y11(y22y33 − y23y32)
− y12(y21y33 − y23y31)
+ y13(y21y32 − y22y31)
= y11y22y33 + y12y23y31 + y13y21y32
− y11y23y32 − y12y21y33 − y13y22y31.
2.1 Apontamentos sobre Determinantes 41
2.9obs “Regra de Sarrus” (apenas se aplica a matrizes de ordem 3): seja A =
[aij ] ∈M3×3(K). Então, det(A) pode-se calcular atendendo a
+ a11
""DD
DDDD
DDa12 a13
||zzzz
zzzz
−
+ a21
""DD
DDDD
DDa22
""DD
DDDD
DD
||zzzz
zzzz
a23
||zzzz
zzzz
−
+ a31
""EE
EEEE
EEa32
""EE
EEEE
EE
||yyyy
yyyy
a33
||yyyy
yyyy
−
a11 a12
""EE
EEEE
EE
||yyyy
yyyy
a13
a21 a22 a23
tem-se que
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21,
ou, atendendo a
+ + +
a11
""EE
EEEE
EEa12
""EE
EEEE
EEa13
""EE
EEEE
EE
||yyyy
yyyy
a11
||yyyy
yyyy
a12
||yyyy
yyyy
a21 a22
""EE
EEEE
EE
||yyyy
yyyy
a23
""EE
EEEE
EE
||yyyy
yyyy
a21
""EE
EEEE
EE
||yyyy
yyyy
a22
a31 a32 a33 a31 a32
− − −tem-se que
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.
42 2 Determinantes
2.10exe Seja A =[
9 1 23 4 56 7 8
]. Calcule det(A).
res Atendendo a
9
>>
>>>>
> 1 2
3
>>
>>>>
> 4
>>
>>>>
>
5
6
>>
>>>>
> 7
>>
>>>>
>
8
9 1
>>
>>>>
>
2
3 4 5
tem-se que
det(A) = 9× 4× 8 + 3× 7× 2 + 6× 1× 5
− 2× 4× 6− 5× 7× 9− 8× 1× 3 = −27,
ou atendendo a
9
>>
>>>>
> 1
>>
>>>>
> 2
>>
>>>>
>
9
1
3 4
>>
>>>>
>
5
>>
>>>>
>
3
>>
>>>>
>
4
6 7 8 6 7
tem-se que
det(A) = 9× 4× 8 + 1× 5× 6 + 2× 3× 4
− 2× 4× 6− 9× 5× 7− 1× 3× 8 = −27.
2.1 Apontamentos sobre Determinantes 43
2.11def Jco-factor de um elemento de uma matriz ou complemento algébrico de
um elemento de uma matrizK Seja A = [aij ] ∈ Mn×n(K). Chama-se
co-factor ou complemento algébrico do elemento aij , que se representa
por Aij , a (−1)i+j det(Aij).
2.12exe Seja a matriz A =[−5 −2
3 −4
].
(a) Determine o co-factor do elemento a11.
(b) Determine o complemento algébrico do elemento a12.
(c) Determine A21.
(d) Determine A22.
res (a) A11 = (−1)1+1 det(A11) = 1× | − 4| = −4.
(b) A12 = (−1)1+2 det(A12) = −1× |3| = −3.
(c) A21 = (−1)2+1 det(A21) = −1× | − 2| = 2.
(d) A22 = (−1)2+2 det(A22) = 1× | − 5| = −5.
2.13teo (Teorema de Laplace) Seja A ∈Mn×n(K). Então,
det(A) =
n∑
j=1
(A)ξjAξj
︸ ︷︷ ︸desenvolvimento
através da linha ξ,∀ξ ∈ 1, 2, . . . , n
=
n∑
i=1
(A)iηAiη .
︸ ︷︷ ︸desenvolvimento
através da coluna η,∀η ∈ 1, 2, . . . , n
2.14obs (a) Notar que a definição 2.3def consiste no cálculo do determi-
nante através do desenvolvimento segundo a primeira linha.
(b) Como regra prática para calcular determinantes através do teo-
rema de Laplace, deve-se fazer o desenvolvimento a partir da linha
ou coluna que tiver mais zeros.
44 2 Determinantes
2.15teo Sejam A = [aij], B = [bij ] ∈Mn×n(K) e α ∈ K. Então,
(a) se A for uma matriz diagonal ou triangular (inferior ou superior):
det(A) =∏n
i=1 aii.
(b) Se todos os elementos de uma linha A são nulos: det(A) = 0.
(c) Se A tem duas linhas iguais: det(A) = 0.
(d) Se B resulta de A por troca de duas linhas (operação elementar
do tipo I): det(B) = − det(A).
(e) Se B resulta de A por multiplicação dos elementos de uma linha
de A por α (operação elementar do tipo II): det(B) = αdet(A).
(f) Se B resulta de A adicionando a uma linha um múltiplo de outra
linha (operação elementar do tipo III): det(B) = det(A).
(g) det(αA) = αn det(A).
(h) det(AT ) = det(A).
(i) det(AB) = det(A) det(B).
(j) A é invertível se e só se det(A) 6= 0.
(k) Se A é uma matriz invertível, então, det(A−1) = 1det(A) .
2.16obs (a) det(I) = 1.
(b) Todas as propriedades do teorema anterior que se referem a linhas
também são aplicáveis a colunas.
(c) Sejam A = [aij ], B = [bij ] ∈Mn×n(K) tais que B ∈ fe(A) e que se
obteve a partir da matriz A através das operações elementares do
tipo I e II (por exemplo, por aplicação do algoritmo apresentado
em 1.79obs ). Então, det(A) = (−1)s∏n
i=1 bii, em que s é o
número de trocas de linhas realizadas.
2.1 Apontamentos sobre Determinantes 45
2.17exe Considere as matrizes
A =
1 2 3
0 2 3
0 0 3
, B =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, C =
1 2 1
0 0 0
2 1 2
,
D =
−1 0
0 1
, P ∈M3×3(K) tal que P é uma matriz invertível.
Usando as propriedades dos determinantes, calcule:
(a) det(A).
(b) det(B).
(c) det(C).
(d) det(D).
(e) det(−2A).
(f) −2 det(A).
(g) det(A3).
(h) det(2AT AAT ).
(i) det(AT A−1BT ).
(j) det(A−1DA).
(k) det(ABCD).
(l) det(P−1AP ).
res (a) Sendo A uma matriz triangular (superior), tem-se que det(A) =
1× 2× 3 = 6.
(b) Sendo ℓ1,B = ℓ2,B, tem-se que det(B) = 0.
(c) Sendo ℓ2,C uma linha nula, tem-se que det(C) = 0.
(d) Sendo D uma matriz diagonal, tem-se que det(D) = (−1) × 1 =
−1.
(e) det(−2A) = (−2)3 det(A) = −8× 6 = −48.
(f) −2 det(A) = −2× 6 = −12.
(g) det(A3) = (det(A))3 = 63 = 216.
46 2 Determinantes
(h) det(2AT AAT ) = det(2AT ) det(A) det(AT ) = det(2A) det(A) det(A) =
23 × 6× 6× 6 = 1728.
(i) det(AT A−1BT ) = det(AT ) det(A−1) det(BT ) = det(A) 1det(A) det(B) =
det(B) = 0.
(j) det(A−1DA) = det(A−1) det(D) det(A) = 1det(A) det(D) det(A) =
det(D) = −1.
(k) det(ABCD) = det(A) det(B) det(C) det(D) = 6×0×0× (−1) =
0.
(l) det(P−1AP ) = det(P−1) det(A) det(P ) = 1det(P ) det(A) det(P ) =
det(A) = 6.
2.18exe Considere as matrizes A, B, C e D do exercíco anterior. Indique as
que são invertíveis.
res As matrizes A e D são invertíveis pois os seus determinantes são dife-
rentes de zero.
2.19exe Seja a matriz A =
[0 1 0 21 1 2 01 0 0 32 1 0 1
].
(a) Calcule det(A) através da definição (podendo usar qualquer pro-
cesso para calcular determinantes de matrizes de ordem 3).
(b) Calcule det(A) por aplicação do teorema de Laplace através do
desenvolvimento a partir da terceira coluna (podendo usar qual-
quer processo para calcular determinantes de matrizes de ordem
3).
(c) Calcule det(A) através de 2.16obs (c).
2.1 Apontamentos sobre Determinantes 47
res (a)
det(A) =4∑
j=1
(A)1j(−1)1+j det(A1j)
= (A)11(−1)1+1 det(A11) + (A)12(−1)1+2 det(A12)
+ (A)13(−1)1+3 det(A13) + (A)14(−1)1+4 det(A14)
= 0 + 1× (−1)×
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0
1 0 3
2 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ 0 + 2× (−1)×
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2
1 0 0
2 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 + 1× (−1)× 10 + 0 + 2× (−1)× 2
= −14.
Cálculos auxiliares:∣∣∣ 1 2 01 0 32 0 1
∣∣∣ = 1×(0×1−3×0)−2×(1×1−3×2)+0×(1×0−0×2) = 10.∣∣∣ 1 1 21 0 02 1 0
∣∣∣ = 1×(0×0−0×1)−1×(1×0−0×2)+2×(1×1−0×2) = 2.
(b)
det(A) =
4∑
i=1
(A)i3(−1)i+3 det(Ai3)
= (A)13(−1)1+3 det(A13) + (A)23(−1)2+3 det(A23)
+ (A)33(−1)3+3 det(A33) + (A)43(−1)4+3 det(A43)
= 0 + 2× (−1)×
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 2
1 0 3
2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ 0 + 0
= 2× (−1)× 7
= −14.
48 2 Determinantes
Cálculos auxiliares:∣∣∣ 0 1 21 0 32 1 1
∣∣∣ = 0×(0×1−3×1)−1×(1×1−3×2)+2×(1×1−0×2) = 7.
(c)
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 0 2
1 1 2 0
1 0 0 3
2 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2 0
0 1 0 2
1 0 0 3
2 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ℓ1 ↔ ℓ2
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2 0
0 1 0 2
0 −1 −2 3
0 −1 −4 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ℓ3 ← ℓ3 − ℓ1
ℓ4 ← ℓ4 − 2ℓ1
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2 0
0 1 0 2
0 0 −2 5
0 0 −4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ℓ3 ← ℓ3 + ℓ2
ℓ4 ← ℓ4 + ℓ2
= −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2 0
0 1 0 2
0 0 −2 5
0 0 0 −7
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ℓ4 ← ℓ4 − 2ℓ3
= −(1× 1× (−2)× (−7))
= −14.
2.1 Apontamentos sobre Determinantes 49
2.20obs Pedindo-se o determinante de uma matriz, se não for explicitado no
enunciado o processo de cálculo, este pode ser feito por um método
qualquer, nomeadamente aquele que se achar mais simples.
2.21def Jmatriz adjuntaK Seja A = [aij ] ∈Mn×n(K). Chama-se matriz adjunta
de A à matriz Z = [zij ] ∈ Mn×n(K), zij = Aji, escrevendo-se Z =
adj(A).
2.22obs A matriz adjunta é a transposta da matriz dos co-factores.
2.23exe (a) Determine a matriz adjunta da matriz A =[−5 −2
3 −4
].
(b) Determine a matriz adjunta da matriz X =[
a bc d
].
res (a) Atendendo a 2.12exe , tem-se que adj(A) =[−4 −3
2 −5
]T=
[−4 2−3 −5
].
(b) Atendendo a
X11 = (−1)1+1 det(X11) = 1× |d| = d,
X12 = (−1)1+2 det(X12) = −1× |c| = −c,
X21 = (−1)2+1 det(X21) = −1× |b| = −b,
X22 = (−1)2+2 det(X22) = 1× |a| = a,
tem-se que adj(X) =[
d −c−b a
]T=
[d −b−c a
].
2.24teo Seja A ∈Mn×n(K) uma matriz invertível. Então, A−1 = 1det(A) adj(A).
2.25exe Considere a matriz A =[
3 −21 0
].
(a) Verifique que a matriz A é invertível.
(b) Determine a inversa da matriz A pelo método da adjunta.
res (a) Como det(A) = 3 × 0 − (−2) × 1 = 2 6= 0, A é uma matriz
invertível.
50 2 Determinantes
(b) A−1 = 1det(A) adj(A) = 1
2
[0 2−1 3
]=
[0 1
−1/2 3/2
].
Calcule-se, apenas para efeito de verificação, que AA−1 = I2:
AA−1 =
3 −2
1 0
0 1
−1/2 3/2
=
1 0
0 1
.
2.2 Exercıcios sobre Determinantes 51
2.2 Exercıcios sobre Determinantes
2.1exe Calcule o determinante da matriz A =
[ 1 2 −1 1−1 −1 2 −10 −1 0 1−1 −2 2 −1
]por dois proces-
sos distintos.
2.2exe Calcule o determinante das seguintes matrizes:
A =
4 −1
−1 4
, B =
cos α − sen α
sen α cos α
, α ∈ R, C =
2 1 1
1 1 1
0 2 2
,
D =
0 −1 2
−1 2 0
2 −3 −2
, E =
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 1
, F =
2 3 3 2
1 1 1 1
1 2 2 3
2 1 2 1
.
2.3exe Sejam A uma matriz quadrada tal que |A| = 2 e B = 2AT . Mostre
que a proposição “A matriz B é invertível.” é verdadeira.
2.4exe Considere a matriz A = [ 3 21 1 ].
(a) Calcule det(A).
(b) Determine adj(A).
(c) Determine A−1 pelo método da adjunta.
2.5exe Sejam p ∈ N e A uma matriz quadrada tal que Ap = 0. Mostre que A
é uma matriz singular.
2.6exe Seja A uma matriz ortogonal. Mostre que det(A) = ±1.
2.7exe Seja A = [aij ] ∈Mn×n(K), aij = 1. Mostre que det(A− nIn) = 0.
52 2 Determinantes
2.8exe Seja A ∈Mn×n(K).
(a) Mostre que | adj(A)| = |A|n−1.
(b) Mostre que se A é uma matriz invertível e n > 2, então adj(adj(A)) =
|A|n−2A.
2.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Determinantes 53
2.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Determinantes
2.1sol det(A) = −1.
2.2sol det(A) = 15, det(B) = 1, det(C) = 0, det(D) = 0, det(E) = 1,
det(F ) = 2.
2.4sol (a) det(A) = 1.
(b) adj(A) =[
1 −2−1 3
].
(c) A−1 =[
1 −2−1 3
].
54 2 Determinantes
Capıtulo 3
Sistemas de Equacoes Lineares
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares
3.1def Jsistema de equações lineares, matriz dos coeficientes, vector dos ter-
mos independentes, vector das incógnitas, matriz aumentada ou ma-
triz ampliada, conjunto soluçãoK Sejam A = [aij] ∈ Mm×n(K) e
b = [bi] ∈ Mm×1(K). Diz-se que (S) é um sistema de m equações li-
neares nas n incógnitas x1, x2, . . . , xn ∈ K com matriz dos coeficientes
A e vector dos termos independentes b se (S) é o sistema
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
......
.... . .
......
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm.
Chama-se vector das incógnitas do sistema (S) à matriz coluna x =
[xi] ∈Mn×1(K). Chama-se matriz aumentada ou matriz ampliada do
55
56 3 Sistemas de Equacoes Lineares
sistema (S), que se representa por A|b, à matriz
a11 a12 a13 · · · a1n b1
a21 a22 a23 · · · a2n b2
......
.... . .
......
am1 am2 am3 · · · amn bm
.
Chama-se conjunto solução do sistema (S), que se representa por CS(S),
ao conjunto
(x1, . . . , xn) ∈ Kn|A
[ x1
...xn
]= b.
3.2obs Note-se que o sistema (S) da definição anterior pode ser escrito na
forma matricial
a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
......
.... . .
...
am1 am2 am3 · · · amn
x1
x2
x3
...
xn
=
b1
b2
...
bm
,
ou, em notação matricial, como Ax = b.
3.3def Jsistema de equações não linearesK Chama-se sistema de equações não
lineares a um sistema de equações que não é um sistema de equações
lineares.
3.4exe (a) Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares a três
incógnitas.
(b) Dê um exemplo de um sistema de duas equações não lineares a
duas incógnitas.
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares 57
res (a)
x + 2y = 1
3x − y = 0.
(b)
x + x sen(y) = 1
x − ey = 0.
3.5def Seja (S) o sistema de equações lineares Ax = b.
(a) Jsistema homogéneoK Diz-se que (S) é um sistema homogéneo se
b = 0.
(b) Jsistema homogéneo associadoK Se b 6= 0, chama-se sistema ho-
mogéneo associado ao sistema (S) ao sistema Ax = 0.
3.6exe (a) Dê um exemplo de um sistema homogéneo de duas equações a
três incógnitas.
(b) Identifique o sistema homogéneo associado ao sistema de equações
lineares
x + 2y = 1
3x − y = 0.
res (a)
x + 2y + 2z = 0
3x − y + z = 0.
(b)
x + 2y = 0
3x − y = 0.
3.7def Seja (S) um sistema de equações lineares.
(a) Jsistema possívelK Diz-se que (S) é um sistema possível se CS(S) 6=∅.
58 3 Sistemas de Equacoes Lineares
(b) Jsistema possível e determinadoK Diz-se que (S) é um sistema
possível e determinado se #CS(S) = 1.
(c) Jsistema possível e indeterminadoK Diz-se que (S) é um sistema
possível e indeterminado se #CS(S) > 1.
(d) Jsistema impossívelK Diz-se que (S) é um sistema impossível se
CS(S) = ∅.
3.8def Jcaracterística de uma matrizK Seja A ∈ Mm×n(K). Chama-se carac-
terística da matriz A, que se representa por c(A), ao número de linhas
não nulas de uma matriz em escada que seja equivalente à matriz A.
3.9teo Seja A ∈ Mn×n(K). Então, A é uma matriz invertível se e só se
c(A) = n.
3.10teo Seja (S) o sistema de equações lineares de m equações nas n incógnitas
Ax = b. Então,
c(A) = c(A|b) : sistema possível
c(A) = c(A|b) = n : sistema possível e determinado
c(A) = c(A|b) < n : sistema possível e indeterminado
c(A) < c(A|b) : sistema impossível.
3.11obs Seja (S) o sistema de equações lineares de m equações nas n incóg-
nitas Ax = b. Então, se n > m o sistema não pode ser possível e
determinado.
3.12def Jvariável pivô, variável livreK Sejam Ax = b um sistema de equações
lineares e A′ ∈ fe(A). Se cj,A′ é uma coluna pivô, diz-se que xj é uma
variável pivô. Caso contrário, diz-se que é uma variável livre.
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares 59
3.13exe Seja (S) o sistema de equações lineares cuja matriz dos coeficientes é
A =[
1 2 −2 11 2 0 1
]e cujo vector dos termos independentes é b = [ 3
1 ].
(a) Determine um elemento de fe(A|b).
(b) Identifique as colunas pivô do sistema (S).
(c) Identifique as variáveis pivô do sistema (S).
(d) Identifique as variáveis livres do sistema (S).
res (a)
1 2 −2 1 3
1 2 0 1 1
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
1 2 −2 1 3
0 0 2 0 −2
︸ ︷︷ ︸∈fe(A|b)
.
(b) Colunas pivô de (S): c1 e c3.
(c) Variáveis pivô de (S): x1 e x3.
(d) Variáveis livres de (S) x2 e x4.
3.14teo Método de Gauss para a resolução de sistemas de equações lineares:
seja (S) o sistema de equações lineares Ax = b. Então, o seguinte
algoritmo determina CS(S):
Passo 1 determinar um elemento de fe(A|b).
Passo 2 identificar as variáveis livres.
Passo 3 aplicar método de substituição de trás para a frente.
3.15teo Método de Gauss-Jordan para a resolução de sistemas de equações
lineares: seja (S) o sistema de equações lineares Ax = b. Então, o
seguinte algoritmo determina CS(S):
60 3 Sistemas de Equacoes Lineares
Passo 1 determinar fer(A|b).
Passo 2 identificar as variáveis livres.
Passo 3 aplicar método de substituição de trás para a frente.
3.16exe (a) Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares a duas
incógnitas possível e determinado, resolva-o através do Método de
Gauss e faça a sua interpretação geométrica.
(b) Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares a duas
incógnitas possível e indeterminado, resolva-o através do Método
de Gauss e faça a sua interpretação geométrica.
(c) Dê um exemplo de um sistema de duas equações lineares a duas
incógnitas impossível, resolva-o através do Método de Gauss e
faça a sua interpretação geométrica.
res (a) Seja (S1) o sistema de equações lineares cuja matriz dos coefi-
cientes é A =[
1 11 −1
]e cujo vector dos termos independentes é
b = [ 10 ], i.e.,
(S1)
x + y = 1
x − y = 0.
Resolução de (S1) através do método de Gauss:
1 1 1
1 −1 0
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
1 1 1
0 −2 −1
.
Como c(A) = 2, c(A|b) = 2 e n = 2 (número de incógnitas) —
c(A) = c(A|b) = n —, (S1) é um sistema possível e determinado
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares 61
equivalente ao sistema de equações lineares
x + y = 1
− 2y = −1⇔
x = 1− 12 = 1
2
y = −1−2 = 1
2
ou seja,
CS(S1) = (12 , 1
2).
CS(S1) pode ser geometricamente interpretado como sendo os
pontos de intersecção das rectas x + y = 1 e x − y = 0 (que
neste caso é um só):
1
1
x
y
x + y = 1
x− y = 0
12
12
(b) Seja (S2) o sistema de equações lineares cuja matriz dos coefi-
cientes é A =[
1 1−2 −1
]e cujo vector dos termos independentes é
b =[
1−2
], i.e.,
(S2)
x + y = 1
−2x − 2y = −2.
Resolução de (S2) através do método de Gauss:
62 3 Sistemas de Equacoes Lineares
1 1 1
−2 −2 −2
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 + 2ℓ1
1 1 1
0 0 0
.
Como c(A) = 1, c(A|b) = 1 e n = 2 (número de incógnitas) —
c(A) = c(A|b) < n —, (S2) é um sistema possível e indeterminado
equivalente ao sistema de equações lineares
x + y = 1
0 = 0.
Sendo y uma variável livre, tem-se
x = 1− α
y = α ∈ K
ou seja,
CS(S2) = (1− α,α)|α ∈ K.
CS(S2) pode ser geometricamente interpretado como sendo os
pontos de intersecção das rectas x + y = 1 e −2x − 2y = −2
(que neste caso são uma infinidade):
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares 63
1
1
x
y
x + y = 1 ≡ −2x− 2y = −2
(c) Seja (S3) o sistema de equações lineares cuja matriz dos coefi-
cientes é A = [ 1 11 1 ] e cujo vector dos termos independentes é
b = [ 12 ], i.e.,
(S3)
x + y = 1
x + y = 2.
Resolução de (S3) através do método de Gauss:
1 1 1
1 1 2
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
1 1 1
0 0 1
.
Como c(A) = 1 e c(A|b) = 2 — c(A) < c(A|b) —, (S3) é um
sistema impossível equivalente ao sistema de equações lineares
x + y = 1
0 = 1
tendo-se
CS(S3) = ∅.
64 3 Sistemas de Equacoes Lineares
CS(S3) pode ser geometricamente interpretado como sendo os
pontos de intersecção das rectas x + y = 1 e x + y = 2 (que
neste caso não existem):
1 2
1
2
x
y
x + y = 1x + y = 2
3.17exe Considere os sistemas de equações lineares
(S1)
x1 + x2 − x3 = 1
−x1 + x2 − x3 = −1
x2 + 2x3 = 3,
(S2)
x + y + z = 1
x + z = 2.
(a) Resolva (S1) através do métodos de Gauss.
(b) Resolva (S1) através do métodos de Gauss-Jordon.
(c) Resolva (S2) através do métodos de Gauss.
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares 65
(d) Resolva (S2) através do métodos de Gauss-Jordon.
res (a)
1 1 −1 1
−1 1 −1 −1
0 1 2 3
←−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 + ℓ1
1 1 −1 1
0 2 −2 0
0 1 2 3
←−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 − 12ℓ2
1 1 −1 1
0 2 −2 0
0 0 3 3
Assim, (S1) é um sistema equivalente ao sistema
x + y − z = 1
2y − 2z = 0
3z = 3
⇔
x = 1−1+11 = 1
y = 0+2×12 = 1
z = 33 = 1
ou seja,
CS(S1) = (1, 1, 1).
66 3 Sistemas de Equacoes Lineares
(b)
1 1 −1 1
−1 1 −1 −1
0 1 2 3
←−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 + ℓ1
1 1 −1 1
0 2 −2 0
0 1 2 3
←−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 − 12ℓ2
1 1 −1 1
0 2 −2 0
0 0 3 3
←−−−−−−−−−→ℓ3 ← 1
3ℓ3
1 1 −1 1
0 2 −2 0
0 0 1 1
ℓ1 ← ℓ1 + ℓ3
ℓ2 ← ℓ2 + 2ℓ3
←−−−−−−−−−→
1 1 0 2
0 2 0 2
0 0 1 1
ℓ2 ← 12ℓ2
←−−−−−−−−−→
1 1 0 2
0 1 0 1
0 0 1 1
ℓ1 ← ℓ1 − ℓ2
←−−−−−−−−−→
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
Assim, (S1) é um sistema equivalente ao sistema
x = 1
y = 1
z = 1
ou seja,
CS(S1) = (1, 1, 1).
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares 67
(c) 1 1 1 1
1 0 1 2
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
1 1 1 1
0 −1 0 1
.
Assim, (S2) é um sistema equivalente ao sistema
x + y + z = 1
− y = 1.
Sendo z uma variável livre, tem-se
x = 1− (−1)− α = 2− α
y = −1
z = α ∈ K
ou seja,
CS(S2) = (2 − α,−1, α).
(d) 1 1 1 1
1 0 1 2
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
1 1 1 1
0 −1 0 1
.
←−−−−−−−−−→ℓ2 ← −ℓ2
1 1 1 1
0 1 0 −1
.
Assim, (S2) é um sistema equivalente ao sistema
x + y + z = 1
y = −1.
Sendo z uma variável livre, tem-se
x = 1− (−1)− α = 2− α
y = −1
z = α ∈ K
68 3 Sistemas de Equacoes Lineares
ou seja,
CS(S2) = (2− α,−1, α).
3.18exe Discuta o seguinte sistema de equações lineares em função dos parâ-
metros reais α e β:
x1 + x2 + x3 − x4 = 0
2x1 + 2x3 = β
2x1 + (α + 2)x2 + 2x3 − x4 = 0
(α + 1)x1 + 2x2 − x4 = 0.
res
1 1 1 −1 0
2 0 2 0 β
2 α + 2 2 −1 0
α + 1 2 0 −1 0
←−−−−−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1
ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1
ℓ4 ← ℓ4 − (α + 1)ℓ1
1 1 1 −1 0
0 −2 0 2 β
0 α 0 1 0
0 1− α −1− α α 0
←−−−−−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 + α2 ℓ2
ℓ4 ← ℓ4 + 1−α2 ℓ2
1 1 1 −1 0
0 −2 0 2 β
0 0 0 α + 1 αβ2
0 0 −1− α 1 (1−α)β2
←−−−−−−−−−−−−−→
ℓ3 ↔ ℓ4
1 1 1 −1 0
0 −2 0 2 β
0 0 −1− α 1 (1−α)β2
0 0 0 α + 1 αβ2
3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equacoes Lineares 69
α = 1:
1 1 1 −1 0
0 −2 0 2 β
0 0 0 1 β
0 0 0 0 −β2
• α 6= −1: c(A) = 4, c(A|b) = 4 e n = 4 (número de incógnitas) —
c(A) = c(A|b) = n —, pelo que o sistema é possível e determinado.
• α = −1 e β = 0: c(A) = 3, c(A|b) = 3 e n = 4 (número de
incógnitas) — c(A) = c(A|b) < n —, pelo que o sistema é possível
e indeterminado.
• α = −1 e β 6= 0: c(A) = 3 e c(A|b) = 4 — c(A) < c(A|b) —, pelo
que o sistema é impossível.
3.19teo (Regra de Cramer) Seja Ax = b um sistema de n equações lineares
a n incógnitas possível e determinado. Então, x = 1|A| adj(A) b, i.e.,
xi = ∆i
|A| , i = 1, . . . , n, em que ∆i é o determinante da matriz que se
obtém a partir da matriz A, na qual se substitui a i-ésima coluna pelo
vector dos termos independentes, b.
3.20exe Seja (S) o sistema de equações lineares Ax = b, com A =[
1 2−3 6
]e
b = [ 12 ].
(a) Mostre que (S) é um sistema possível e determinado.
(b) Determine o conjunto solução de (S) através da Regra de Cramer.
70 3 Sistemas de Equacoes Lineares
res (a) Como det(A) = 1×6−2× (−3) = 12 6= 0, c(A) = 2, c(A|b) = 2 e
n = 2 (número de incógnitas) — c(A) = c(A|b) = n —, pelo que
(S) é um sistema possível e determinado.
(b)
x1 =
∣∣∣∣∣∣1 2
2 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2
−3 6
∣∣∣∣∣∣
=2
12=
1
6, x2 =
∣∣∣∣∣∣1 1
−3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2
−3 6
∣∣∣∣∣∣
=5
12.
Assim, CS(S) = (16 , 5
12).
3.2 Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Lineares 71
3.2 Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Lineares
3.1exe Classifique quanto ao número de soluções e determine o conjunto solução
dos seguintes sistemas de equações lineares:
(a) (Sa)
x1 + 2x2 = 5
3x2 = 6.
(b) (Sb)
x1 + 2x2 = 1
0x2 = 2.
(c) (Sc)
x1 + 2x2 + 3x3 = 14
4x2 + 5x3 = 23.
(d) (Sd)
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x2 + x4 = 1.
3.2exe Resolva pelo método de Gauss, pelo método de Gauss-Jordan e pela
regra de Cramer os seguintes sistemas de equações lineares:
(Sa)
x + y + z + w = 0
2x − y + z − w = 5
y − w = 0
x − w = 2.
(Sb)
x + y + z + 2w = 1
2x − y + z − w = −1
y + 3w = 1
2x − 2y + 2z − w = −2.
72 3 Sistemas de Equacoes Lineares
3.3exe Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
(Sa)
x1 + x2 + x3 = 3
x1 − x2 = 0
−x1 + x3 = 0.
(Sb)
x1 + x2 = 2
x1 + x3 = 2
2x1 + x2 + x3 = 4.
(Sc)
x1 + x2 + x3 = 3
x1 + x2 = 2
2x1 + 2x2 + x3 = 1.
(Sd)
x1 − x2 + x3 = 1
−2x1 + 2x2 − 2x3 = −2
−x1 + x2 − x3 = −1.
Responda às seguintes questões para cada um destes sistemas de equações
lineares:
(a) identifique a matriz dos coeficientes A, o vector dos termos inde-
pendentes b, o vector das incógnitas x e a matriz ampliada A|b.
(b) Classifique o sistema quanto ao número de soluções e determine
o seu conjunto solução.
(c) Classifique o sistema homogéneo associado quanto ao número de
soluções e determine o seu conjunto solução.
3.4exe Dê exemplos de sistemas de m equações lineares a n incógnitas possíveis
e determinados, possíveis e indeterminados e impossíveis para m > n,
m = n e m < n, sempre que tal seja possível.
3.2 Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Lineares 73
3.5exe Discuta os seguintes sistemas de equações lineares Ax = b em função
dos respectivos parâmetros reais:
(a) A =[
1 1 α3 4 22 3 −1
], b =
[2α1
].
(b) A =[ 1 0 −3
2 k −11 2 k
], b =
[−3−21
].
(c) A =[
1 2 1 03 3 5 c0 3 −2 −3
], b =
[23t
].
(d) A =[
1 2 2 00 2 1 11 0 1 a
], b =
[12t
].
3.6exe Determine, por dois processos distintos, para que valores de α a matriz
A =[
α 1 11 α 11 1 α
]é invertível.
3.7exe Considere a matriz A =[
1 1 01 0 10 1 1
].
(a) Calcule A−1.
(b) Mostre que o sistema Ax = b é possível e determinado, qualquer
que seja o vector dos termos independentes b ∈M3×1(K).
(c) Usando a alínea (a), resolva o sistema Ax = b, em que b = [bi] ∈M3×1(K), bi = i.
3.8exe Considere o seguinte sistema não linear nas incógnitas α, β e γ.
2 sen α − cos β + 3 tan γ = 3
4 sen α + 2cos β − 2 tan γ = 10
6 sen α − 3 cos β + tan γ = 9.
Mostre que, neste caso, é possível concluir que o sistema é impossível
recorrendo ao método de Gauss.
3.9exe Determine a equação da parábola que passa nos pontos (1, 2), (−1, 6)
e (2, 3).
74 3 Sistemas de Equacoes Lineares
3.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Li-
neares
3.1sol (a) PD. CS(Sa) = (1, 2).
(b) Imp. CS(Sb) = ∅.
(c) PI. CS(Sc) = (5−α2 , 23−5α
4 , α)|α ∈ K.
(d) PI. CS(Sd) = (−s, 1− t, s, t)|t, s ∈ K.
3.2sol (a) CS(Sa) = (1,−1, 1,−1).
(b) CS(Sb) = (0, 1, 0, 0).
3.3sol (S1) (a) A =[
1 1 11 −1 0−1 0 1
], b =
[300
], x =
[x1x2x3
], A|b =
[1 1 1 31 −1 0 0−1 0 1 0
].
(b) PD. CSAx=b = (1, 1, 1).
(c) PD. CSAx=0 = (0, 0, 0).
(S2) (a) A =[
1 1 01 0 12 1 1
], b =
[224
], x =
[x1x2x3
], A|b =
[1 1 0 21 0 1 22 1 1 4
].
(b) PI. CSAx=b = (2 − t, t, t)|t ∈ K.
(c) PI. CSAx=0 = (−t, t, t)|t ∈ K.
(S3) (a) A =[
1 1 11 1 02 2 1
], b =
[321
], x =
[x1x2x3
], A|b =
[1 1 1 31 1 0 22 2 1 1
].
(b) Imp. CSAx=b = ∅.
(c) PI. CSAx=0 = (−s, s, 0)|s ∈ K.
(S4) (a) A =[
1 −1 1−2 2 −2−1 1 −1
], b =
[1−2−1
], x =
[x1x2x3
], A|b =
[1 −1 1 1−2 2 −2 −2−1 1 −1 −1
].
(b) PI. CSAx=b = (1 + s− t, s, t)|s, t ∈ K.
(c) PI. CSAx=0 = (s − t, s, t)|s, t ∈ K.
3.5sol (a) PD: α 6= 3. PI: α = 3. Imp: nunca.
(b) PD: k 6= 2 ∧ k 6= −5 . PI: k = 2. Imp: k = −5.
3.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Sistemas de Equacoes Lineares 75
(c) PD: nunca. PI: c 6= 3 ∨ t = 3. Imp: c = 3 ∧ t 6= 3.
(d) PD: nunca. PI: a 6= −1 ∨ t = −1. Imp: a = −1 ∧ t 6= −1.
3.6sol α ∈ K \ −2, 1.
3.7sol (a) A−1 = 12
[ 1 1 −11 −1 1−1 1 1
].
(c) CSAx=b = (0, 1, 2).
3.9sol x2 − 2x + 3.
76 3 Sistemas de Equacoes Lineares
Capıtulo 4
Espacos Vectoriais
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais
4.1obs Apresenta-se na definição que se segue a generalização da noção de
“vector” entendido como uma entidade com um tamanho e uma di-
recção. O estudo genérico de um espaço vectorial permite-nos esta-
belecer propriedades válidas para um conjunto alargado de entidades
matemáticas.
77
78 4 Espacos Vectoriais
4.2def Jespaço vectorialK Sejam V um conjunto não vazio e as operações
⊕ : V × V −→ V
(x, y) 7−→ x⊕ y,
⊙ : K× V −→ V
(α, x) 7−→ α⊙ x.
Diz-se que o sêxtuplo (V,⊕,⊙,K,+, ·) é um espaço vectorial se:
(a) ∀x, y ∈ V : x⊕ y = y ⊕ x.
(b) ∀x, y, z ∈ V : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z).
(c) ∃1 elemento de V (representado por 0V ),∀x ∈ V : x⊕ 0V = x.
(d) ∀x ∈ V,∃1 elemento de V (representado por −x) : x ⊕ (−x) =
0V .
(e) ∀α ∈ K,∀x, y ∈ V : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y.
(f) ∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.
(g) ∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).
(h) ∀x ∈ V : 1⊙ x = x.
4.3def Seja o espaço vectorial definido por (V,⊕,⊙,K,+, ·).
(a) JescalarK Chama-se escalares aos elementos de K.
(b) JvectorK Chama-se vectores aos elementos de V .
(c) Jsoma de vectoresK Chama-se soma de vectores à operação ⊕.
Jmultiplicação de um escalar por um vectorK Chama-se multipli-
cação de um escalar por um vector à operação ⊙.
(d) Jespaço vectorial realK Diz-se que V é um espaço vectorial real se
K = R.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 79
(e) Jespaço vectorial complexoK Diz-se que V é um espaço vectorial
complexo se K = C.
4.4obs (a) Para simplificar a linguagem, em vez de “seja o espaço vectorial
definido por (V,⊕,⊙,K,+, ·)” diz-se “seja V um espaço vectorial
sobre K” quando as operações de soma de vectores e de multipli-
cação de um escalar por um vector estiverem subentendidas.
(b) Se não causar confusão, em vez de x⊕ y escreve-se x + y, em vez
de x⊕ (−y) escreve-se x− y e em vez de α⊙ x escreve-se αx.
4.5obs Na definição que se segue, relembram-se ou introduzem-se conjuntos e
as respectivas operações usuais, que serão usados na apresentação de
exemplos de espaços vectoriais.
4.6def (a) JKnK Seja n ∈ N. Representa-se por Kn o conjunto dos n-tuplos
com elementos em K, i.e.,
Kn = (x1, x2, . . . , xn)|x1, x2, . . . , xn ∈ K.
As operações usuais neste conjunto são:
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) =
(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),
α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn).
(b) JMm×n(K)K Sejam m,n ∈ N. Representa-se por Mm×n(K) o
conjunto das matrizes com m linhas e n colunas com elementos
em K, i.e.,
Mm×n(K) = A : 1, . . . ,m × 1, . . . , n → K.
80 4 Espacos Vectoriais
As operações usuais neste conjunto são:
[(A + B)ij] = [(A)ij + (B)ij ],
[(αA)ij ] = [α(A)ij ].
(c) JKn[x]K Seja n ∈ N. Representa-se por Kn[x] o conjunto dos
polinómios na variável x com coeficientes em K e que têm grau
menor ou igual a n, i.e.,
Kn[x] = a0xn + · · ·+ an−1x + an|a0, . . . , an−1, an ∈ K.
As operações usuais neste conjunto são:
(a0xn + · · ·+ an−1x + an) + (b0x
n + · · · + bn−1x + bn) =
(a0 + b0)xn + · · · + (an−1 + bn−1)x + (an + bn),
α(a0xn + · · ·+ an−1x + an) =
(αa0)xn + · · ·+ (αan−1)x + (αan).
(d) JK[x]K Representa-se por K[x] o conjunto dos polinómios na var-
iável x de qualquer grau com coeficientes em K. As operações
usuais neste conjunto são idênticas às definidas no conjunto Kn[x].
(e) JC(a, b), Ck(a, b), C∞(a, b)K Sejam a, b ∈ R tais que a < b e
k ∈ N. Representa-se por C(a, b) o conjunto das funções reais
de variável real contínuas em (a, b), por Ck(a, b) o conjunto das
funções reais de variável real tais que existem todas as derivadas
de f até à ordem k (inclusivé) e f e todas as derivadas de f até
à ordem k (inclusivé) são contínuas em (a, b), e por C∞(a, b) o
conjunto das funções reais de variável real tais que existem todas
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 81
as derivadas de f e f e todas as derivadas de f são contínuas em
(a, b), i.e.,
C(a, b) = f : (a, b)→ K|f é contínua em (a, b),
Ck(a, b) = f : (a, b)→ K|f ∈ C(a, b) e dpfdxp ∈ C(a, b), p = 1, . . . , k,
C∞(a, b) = f : (a, b)→ K|f ∈ C(a, b) e dpfdxp ∈ C(a, b),∀p ∈ N.
As operações usuais nestes conjuntos são:
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(αf)(x) = αf(x).
4.7exe Mostre que R2 com as operações usuais é um espaço vectorial real.
res As operações usuais em R2 são
x + y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),
αx = α(x1, x2) = (αx1, αx2).
com x1, x2, y1, y2, α ∈ R (como já se disse, quando estão em causa as
operações usuais, em vez de x⊕ y escreve-se x + y e em vez de α ⊙ x
escreve-se αx).
No que se segue, verificam-se as oito propriedades de 4.2def .
Propriedade (a)
Definição geral:
∀x, y ∈ V : x⊕ y = y ⊕ x.
Exemplo presente:
∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : x + y = y + x.
82 4 Espacos Vectoriais
x + y = (x1, x2) + (y1, y2)
(1)= (x1 + y1, x2 + y2). (a.1)
y + x = (y1, y2) + (x1, x2)
(1)= (y1 + x1, y2 + x2)
(2)= (x1 + y1, x2 + y2). (a.2)
(1) por definição da operação soma de vectores.
(2) pela propriedade comutativa da soma de números reais.
Como as expressões (a.1) e (a.2) são iguais, conclui-se que a proprie-
dade (a) é válida.
Propriedade (b)
Definição geral:
∀x, y, z ∈ V : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z).
Exemplo presente:
∀x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ R2 : (x+ y)+ z = x+(y +x).
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 83
(x + y) + z = ((x1, x2) + (y1, y2)) + (z1, z2)
(1)= (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2)
(1)= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2)
(2)= (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2). (b.1)
x + (y + z) = (x1, x2) + ((y1, y2) + (z1, z2))
(1)= (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2)
(1)= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2))
(2)= (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2). (b.2)
(1) por definição da operação soma de vectores.
(2) pela propriedade associativa da soma de números reais.
Como as expressões (b.1) e (b.2) são iguais, conclui-se que a proprie-
dade (b) é válida.
Propriedade (c)
Definição geral:
∃1 elemento de V (representado por 0V ),∀x ∈ V : x⊕ 0V = x.
Exemplo presente:
∃10R2 = (a, b) ∈ R2,∀x = (x1, x2) ∈ R
2 : x + 0R2 = x.
84 4 Espacos Vectoriais
x + 0R2 = x⇔ (x1, x2) + (a, b) = (x1, x2)
(1)⇔ (x1 + a, x2 + b) = (x1, x2)
(2)⇔ x1 + a = x1 ∧ x2 + b = x2
(3)⇔ a = 0 ∧ b = 0.
(1) por definição da operação soma de vectores.
(2) pela definição da igualdade de dois elementos de R2.
(3) pelas propriedades dos números reais.
Assim, conclui-se que 0R2 = (0, 0) é o elemento neutro da soma de
vectores, sendo a propriedade (c) válida.
Propriedade (d)
Definição geral:
∀x ∈ V,∃1 elemento de V (representado por −x) : x⊕ (−x) = 0V .
Exemplo presente:
∀x = (x1, x2) ∈ R2,∃1 − x = (a, b) ∈ R
2 : x + (−x) = 0R2 .
x + (−x) = 0R2 ⇔ (x1, x2) + (a, b) = (0, 0)
(1)⇔ (x1 + a, x2 + b) = (0, 0)
(2)⇔ x1 + a = 0 ∧ x2 + b = 0
(3)⇔ a = −x1 ∧ b = −x2.
(1) por definição da operação soma de vectores.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 85
(2) igualdade de dois elementos de R2.
(3) pelas propriedades dos números reais.
Assim, conclui-se que −x = (−x1,−x2) é o elemento simétrico do
elemento x = (x1, x2) ∈ R2, sendo a propriedade (d) válida.
Propriedade (e)
Definição geral:
∀α ∈ R,∀x, y ∈ V : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y.
Exemplo presente:
∀α ∈ R,∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : α(x + y) = αx + αy.
α(x + y) = α((x1, x2) + (y1, y2))
(1)= α(x1 + y1, x2 + y2)
(2)= (α(x1 + y1), α(x2 + y2))
(3)= (αx1 + αy1, αx2 + αy2). (e.1)
αx + αy = α(x1, x2) + α(y1, y2)
(2)= (αx1, αx2) + (αy1, αy2)
(1)= (αx1 + αy1, αx2 + αy2). (e.2)
(1) por definição da operação soma de vectores.
(2) por definição da operação multiplicação de um vector por um es-
calar.
(3) pela propriedade distributiva da multiplicação relativamente à soma
em R.
86 4 Espacos Vectoriais
Como as expressões (e.1) e (e.2) são iguais, conclui-se que a propriedade
(e) é válida.
Propriedade (f)
Definição geral:
∀α, β ∈ R,∀x ∈ V : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.
Exemplo presente:
∀α, β ∈ R,∀x = (x1, x2) ∈ R2 : (α + β)x = αx + βx.
(α + β)x = (α + β)(x1, x2)
(1)= ((α + β)x1, (α + β)x2)
(2)= (αx1βx1, αx2 + βx2). (f.1)
αx + βx = α(x1, x2) + β(x1, x2)
(1)= (αx1, αx2) + (βx1, βx2)
(3)= (αx1 + βx,αx2 + βx2). (f.2)
(1) por definição da operação multiplicação de um vector por um es-
calar.
(2) pela propriedade distributiva da multiplicação relativamente à soma
em R.
(3) por definição da operação soma de vectores.
Como as expressões (f.1) e (f.2) são iguais, conclui-se que a propriedade
(f) válida.
Propriedade (g)
Definição geral:
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 87
∀α, β ∈ R,∀x ∈ V : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).
Exemplo presente:
∀α, β ∈ R,∀x = (x1, x2) ∈ R2 : (αβ)x = α(βx).
(αβ)x = (αβ)(x1, x2)
(1)= ((αβ)x1, (αβ)x2)
(2)= (αβx1, αβx2). (g.1)
α(βx) = α(β(x1, x2))
(1)= α(βx1, βx2)
(1)= (α(βx1), α(βx2))
(2)= (αβx1, αβx2). (g.2)
(1) por definição da operação multiplicação de um vector por um es-
calar.
(2) pela propriedade associativa da multiplicação de números reais.
Como as expressões (g.1) e (g.2) são iguais, conclui-se que a proprie-
dade (g) válida.
Propriedade (h)
Definição geral:
∀x ∈ V : 1⊙ x = x.
Exemplo presente:
∀x = (x1, x2) ∈ R2 : 1x = x.
88 4 Espacos Vectoriais
1x = 1(x1, x2)
(1)= (1x1, 1x2)
(2)= (x1, x2)
= x.
(1) por definição da operação multiplicação de um vector por um es-
calar.
(2) 1 é o elemento neutro da multiplicação de reais.
Assim, conclui-se que a propriedade (h) é válida.
Assim, uma vez que as oito propriedades da definição 4.2def de
espaço vectorial são verificadas, conclui-se que o conjunto R2 com as
operações usuais é um espaço vectorial real.
4.8exe Mostre que os seguintes conjuntos com as operações usuais são espaços
vectoriais reais:
(a) Kn.
(b) Mm×n(K).
(c) K[x].
(d) C(a, b).
res (a) Exercício.
(b) Exercício.
(c) Exercício.
(d) Exercício.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 89
4.9exe Mostre que o conjunto Mn×n(R) com as operações
⊕ : Mn×n(R)×Mn×n(R) −→ Mn×n(R)
(A,B) 7−→ A⊕B = AT + BT
⊙ : R×Mn×n(R) −→ Mn×n(R)
(α,A) 7−→ α⊙A = αA,
não define um espaço vectorial real.
res Para resolver este exercício é necessário identificar (pelo menos) uma
propriedade da definição 4.2def que não é satisfeita. No entanto,
e por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades (ape-
sar de não se explicitar na resolução deste exercício, esta faz uso das
propriedades das operações com matrizes).
Note-se que neste exercício, uma vez que a definição de uma das ope-
rações não é a usual — soma de elementos de Mn×n(R) —, usa-se a
notação x⊕ y e α⊙ x.
Propriedade (a)
Definição geral:
∀x, y ∈ V : x⊕ y = y ⊕ x.
Exemplo presente:
∀A,B ∈Mn×n(R) : A⊕B = B ⊕A.
A⊕B = AT + BT . (a.1)
B ⊕A = BT + AT
= AT + BT . (a.2)
90 4 Espacos Vectoriais
Como as expressões (a.1) e (a.2) são iguais, conclui-se que a proprie-
dade (a) é válida.
Propriedade (b)
Definição geral:
∀x, y, z ∈ V : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z).
Exemplo presente:
∀A,B,C ∈Mn×n(R) : (A⊕B)⊕ C = A⊕ (B ⊕ C).
(A⊕B)⊕ C = (AT + BT )⊕ C
= (AT + BT )T + CT
= ((AT )T + (BT )T ) + CT
= A + B + CT . (b.1)
A⊕ (B ⊕ C) = A⊕ (BT + CT )
= AT + (BT + CT )T
= AT + ((BT )T + (CT )T )
= AT + B + C. (b.2)
Como existem elementos de Mn×n(R) tais que produzem expressões
diferentes para (b.1) e (b.2), conclui-se que a propriedade (b) não é
válida.
Propriedade (c)
Definição geral:
∃1 elemento de V (representado por 0V ),∀x ∈ V : x⊕ 0V = x.
Exemplo presente:
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 91
∃1 elemento de Mn×n(R) (representado por 0),∀A ∈ Mn×n(R) : A⊕0 = A.
A⊕ 0 = A⇔ AT + 0T
= A
⇔ 0T
= A−AT
⇔ 0 = (A−AT )T
⇔ 0 = AT −A.
Assim, uma vez que 0 não é independente de A, conclui-se que a pro-
priedade (c) não é válida.
Propriedade (d)
Definição geral:
∀x ∈ V,∃1 elemento de V (representado por −x) : x⊕ (−x) = 0V .
Exemplo presente:
Esta propriedade não faz sentido verificar, uma vez que não existe
elemento neutro da soma (ver propriedade anterior).
Propriedade (e)
Definição geral:
∀α ∈ K,∀x, y ∈ V : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y.
Exemplo presente:
∀α ∈ R,∀A,B ∈Mn×n(R) : α⊙ (A⊕B) = α⊙A⊕ α⊙B.
92 4 Espacos Vectoriais
α⊙ (A⊕B) = α⊙ (AT + BT )
= α(AT + BT )
= αAT + αBT . (e.1)
α⊙A⊕ α⊙B = αA⊕ αB
= (αA)T + (αB)T
= αAT + αBT . (e.2)
Como as expressões (e.1) e (e.2) são iguais, conclui-se que a propriedade
(e) é válida.
Propriedade (f)
Definição geral:
∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.
Exemplo presente:
∀α, β ∈ R,∀A ∈Mn×n(R) : (α + β)⊙A = α⊙A⊕ β ⊙A.
(α + β)⊙A = (α + β)A
= αA + βA. (f.1)
α⊙A⊕ β ⊙A = αA⊕ βA
= (αA)T + (βA)T
= αAT + βAT . (f.2)
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 93
Como existem elementos de Mn×n(R) tais que produzem expressões
diferentes para (f.1) e (f.2), conclui-se que a propriedade (f) não é
válida.
Propriedade (g)
Definição geral:
∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).
Exemplo presente:
∀α, β ∈ R,∀A ∈Mn×n(R) : (α · β)⊙A = α⊙ (β ⊙A).
(α · β)⊙A = (αβ) ⊙A
= αβA. (g.1)
α⊙ (β ⊙A) = α⊙ (βA)
= αβA. (g.2)
Como as expressões (g.1) e (g.2) são iguais, conclui-se que a proprie-
dade (g) é válida.
Propriedade (h)
Definição geral:
∀x ∈ V : 1⊙ x = x.
Exemplo presente:
∀A ∈Mn×n(R) : 1A = A.
1A = A.
94 4 Espacos Vectoriais
Assim, conclui-se que a propriedade (h) é válida.
Como as propriedades (b), (c), (d) e (f) da definição 4.2def não são
válidas, conclui-se que o conjunto Mn×n(R) com as operações dadas
não é um espaço vectorial real (volta-se a frisar que bastava uma pro-
priedade falhar para se concluir que não se estava perante um espaço
vectorial).
4.10exe Mostre que o conjunto R2 com as operações
⊕ : R2 ×R2 −→ R2
((a, b), (c, d)) 7−→ (a, b)⊕ (c, d) = (0, b + d),
⊙ : R×R2 −→ R2
(α, (a, b)) 7−→ α⊙ (a, b) = (2αa, 2αb),
não define um espaço vectorial real.
res Para resolver este exercício é necessário identificar (pelo menos) uma
propriedade da definição 4.2def que não é satisfeita. No entanto, e
por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades.
Note-se que neste exercício, uma vez que a definição das duas operações
não é a usual, usa-se a notação x⊕ y e α⊙ x.
Apesar de não se explicitar na resolução deste exercício, esta faz uso
das propriedades dos números reais.
Propriedade (a)
Definição geral:
∀x, y ∈ V : x⊕ y = y ⊕ x.
Exemplo presente:
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 95
∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : x⊕ y = y ⊕ x.
x⊕ y = (x1, x2)⊕ (y1, y2)
= (0, x2 + y2). (a.1)
y ⊕ x = (y1, y2)⊕ (x1, x2)
= (0, y2 + x2)
= (0, x2 + y2). (a.2)
Como as expressões (a.1) e (a.2) são iguais, conclui-se que a proprie-
dade (a) é válida.
Propriedade (b)
Definição geral:
∀x, y, z ∈ V : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y ⊕ z).
Exemplo presente:
∀x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ R2 : (x⊕ y)⊕ z = x⊕ (y⊕ z).
96 4 Espacos Vectoriais
(x⊕ y)⊕ z = ((x1, x2)⊕ (y1, y2))⊕ (z1, z2)
= (0, x2 + y2) + (z1, z2)
= (0, (x2 + y2) + z2)
= (0, x2 + y2 + z2). (b.1)
x⊕ (y ⊕ z) = (x1, x2)⊕ ((y1, y2)⊕ (z1, z2))
= (x1, x2) + (0, y2 + z2)
= (0, x2 + (y2 + z2))
= (0, x2 + y2 + z2). (b.2)
Como as expressões (b.1) e (b.2) são iguais, conclui-se que a proprie-
dade (b) é válida.
Propriedade (c)
Definição geral:
∃1 elemento de V (representado por 0V ),∀x ∈ V : x⊕ 0V = x.
Exemplo presente:
∃1 elemento de R2 (representado por 0 = (a, b)),∀x ∈ R
2 : x⊕ 0 = x.
x⊕ 0 = x⇔ (x1, x2)⊕ (a, b) = (x1, x2)
⇔ (0, x2 + b) = (x1, x2)
⇔ 0 = x1 ∧ x2 + b = x2
⇔ x1 = 0 ∧ b = 0.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 97
Assim, conclui-se que a propriedade (c) não é satisfeita, pois não só o
vector 0 não é único, como não é possível que a relação fosse satisfeita
para qualquer elemento de x ∈ R2.
Propriedade (d)
Definição geral:
∀x ∈ V,∃1 elemento de V (representado por −x) : x⊕ (−x) = 0V .
Exemplo presente:
Esta propriedade não faz sentido verificar, uma vez que não existe
elemento neutro da soma (ver propriedade anterior).
Propriedade (e)
Definição geral:
∀α ∈ K,∀x, y ∈ V : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y.
Exemplo presente:
∀α ∈ R,∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : α⊙ (x⊕ y) = α⊙ x⊕ α⊙ y
α⊙ (x⊕ y) = α⊙ ((x1, x2)⊕ (y1, y2))
= α⊙ (0, x2 + y2)
= (0, 2α(x2 + y2))
= (0, 2αx2 + 2αy2). (e.1)
α⊙ x⊕ α⊙ y = α⊙ (x1, x2)⊕ α⊙ (y1, y2)
= (2αx1, 2αx2)⊕ (2αy1, 2αy2)
= (0, 2αx2 + 2αy2). (e.2)
98 4 Espacos Vectoriais
Como as expressões (e.1) e (e.2) são iguais, conclui-se que a propriedade
(e) é válida.
Propriedade (f)
Definição geral:
∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.
Exemplo presente:
∀α, β ∈ R,∀x = (x1, x2) ∈ R2 : (α + β)⊙ x = α⊙ x⊕ β ⊙ x.
(α + β)⊙ x = (α + β)⊙ (x1, x2)
= (2(α + β)x1, 2(α + β)x2)
= (2αx1 + 2βx1, 2αx2 + 2βx2). (f.1)
α⊙⊕xβ ⊙ x = α⊙ (x1, x2)⊕ β ⊙ (x1, x2)
= (2αx1, 2αx2)⊕ (2βx1, 2βx2)
= (0, 2αx2 + 2βx2). (f.2)
Como existem elementos de R2 tais que produzem expressões diferentes
para (f.1) e (f.2), conclui-se que a propriedade (f) não é válida.
Propriedade (g)
Definição geral:
∀α, β ∈ K,∀x ∈ V : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).
Exemplo presente:
∀α, β ∈ KR,∀x = (x1, x2) ∈ R2 : (α · β)⊙ x = α⊙ (β ⊙ x).
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 99
(α · β)⊙ x = (α · β)⊙ (x1, x2)
= (2(αβ)x1, 2(αβ)x2)
= (2αβx1, 2αβx2). (g.1)
α⊙ (β ⊙ x) = α⊙ (β ⊙ (x1, x2))
= α⊙ (2βx1, 2βx2)
= (2α(2βx1), 2α(2βx2))
= (4αβx1, 4αβx2). (g.2)
Como existem elementos de R2 tais que produzem expressões diferentes
para (g.1) e (g.2), conclui-se que a propriedade (g) não é válida.
Propriedade (h)
Definição geral:
∀x ∈ V : 1⊙ x = x.
Exemplo presente:
∀x = (x1, x2) ∈ R2 : 1⊙ x = x.
1x = 1(x1, x2)
= (2x1, 2x2)
6= (x1, x2)
= x.
Assim, conclui-se que a propriedade (h) não é válida.
100 4 Espacos Vectoriais
Como as propriedades (c), (d), (f), (g) e (h) da definição 4.2def
não são satisfeitas, conclui-se que o conjunto R2 com as operações
dadas não é um espaço vectorial real (volta-se a frisar que bastava
uma propriedade não se verificar para se concluir que não se estava
perante um espaço vectorial).
4.11teo Seja V um espaço vectorial. Então,
(a) ∀α ∈ K : α0V = 0V .
(b) ∀x ∈ V : 0x = 0V .
(c) ∀α ∈ K,∀x ∈ V : −(αx) = (−α)x e (−α)(−x) = αx.
(d) ∀α ∈ K,∀x ∈ V : αx = 0V ⇒ (α = 0 ∨ x = 0V ).
(e) ∀α, β ∈ K,∀x ∈ V \ 0V : αx = βx⇒ α = β.
(f) ∀x1, x2 ∈ V : x1 + x = x2 ⇒ x = x2 − x1.
(g) ∀x, x1, x2 ∈ V : x + x1 = x + x2 ⇒ x1 = x2.
4.12def JsubespaçoK Sejam o espaço vectorial (V,⊕,⊙,K,+, ·) e F um subcon-
junto não-vazio de V . Diz-se que F é um subespaço V se (F,⊕,⊙,K,+, ·)ainda for espaço vectorial.
4.13teo Sejam V um espaço vectorial sobre K e F ⊂ V . Então, F é um
subespaço de V se e só se:
(a) 0V ∈ F .
(b) ∀x, y ∈ F : x + y ∈ F .
(c) ∀α ∈ K,∀x ∈ F : αx ∈ F .
4.14obs Note-se que o teorema 4.13teo é um processo mais prático de verificar
se um subconjunto de um espaço vectorial é um subespaço do que a
definição 4.12def .
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 101
4.15exe Mostre que F = (x1, x2) ∈ R2|x2 = 0 é um subespaço de R2.
res Sendo F ⊂ R2, verifiquem-se as três propriedades do teorema 4.13teo :
Propriedade (a)
0R2 = (0, 0) ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida.
Propriedade (b)
Sejam x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F . Então, x + y = (x1, 0) + (y1, 0) =
(x1 + y1, 0) ∈ F , pelo que a propriedade (b) é válida.
Propriedade (c)
Sejam α ∈ K e x = (x1, 0) ∈ F . Então, αx = α(x1, 0) = (αx1, 0) ∈ F ,
pelo que a propriedade (c) é válida.
Conclui-se, assim, que F é um subespaço de R2.
4.16exe Mostre que o conjunto das matrizes simétricas de ordem n é um sub-
espaço deMn×n(K).
res Seja F o conjunto das matrizes simétricas de ordem n, i.e., F = A ∈Mn×n(K)|A = AT , que é um subconjunto deMn×n(K). Verifiquem-
se, agora, as três propriedades do teorema 4.13teo :
Propriedade (a)
0Mn×n(K) = 0n×n ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida.
Propriedade (b)
Sejam A,B ∈ F . Então, (A + B)T = AT + BT = A + B, A + B ∈ F ,
pelo que a propriedade (b) é válida.
Propriedade (c)
102 4 Espacos Vectoriais
Sejam α ∈ K e A ∈ F . Então, como (αA)T = αAT = αA, αA ∈ F ,
pelo que a propriedade (c) é válida.
Conclui-se, assim, que F é um subespaço de Mn×n(K).
4.17exe Mostre que:
(a) O conjunto das matrizes reais e diagonais de ordem n é um sub-
espaço de Mn×n(R).
(b) Kn[x] é um subespaço de K[x].
(c) Ck(a, b) é um subespaço de C(a, b)
(d) C∞(a, b) é um subespaço de Ck(a, b).
(e) 0V é um subespaço de V .
(f) V é um subespaço de V .
res (a) Exercício.
(b) Exercício.
(c) Exercício.
(d) Exercício.
(e) Exercício.
(f) Exercício.
4.18exe Mostre que o conjunto G = (x1, x2) ∈ R2|x2 = 1 não é um subespaço
de R2.
res Para resolver este exercício é necessário identificar (pelo menos) uma
propriedade do teorema 4.13teo que não é satisfeita. No entanto, e
por questões didácticas, vai-se verificar todas as propriedades.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 103
Sendo G ⊂ R2, verifiquem-se as três propriedades do teorema 4.13teo :
Propriedade (a)
0R2 = (0, 0) /∈ G, pelo que a propriedade (a) não é válida.
Propriedade (b)
Sejam x = (x1, 1), y = (y1, 1) ∈ G. Então, x + y = (x1, 1) + (y1, 1) =
(x1 + y1, 2) /∈ G, pelo que a propriedade (b) não é válida.
Propriedade (c)
Sejam α ∈ K e x = (x1, 1) ∈ G. Então, αx = α(x1, 1) = (αx1, α) /∈ G,
pelo que a propriedade (c) não é válida.
Como as propriedades (a), (b) e (c) do teorema 4.13teo não são satis-
feitas, conclui-se que o conjunto G não é um subespaço de R2 (volta-se
a frisar que bastava uma propriedade não se verificar para se concluir
que não se estava perante um subespaço).
4.19exe Mostre que o conjunto das matrizes hermíticas de ordem n não é um
subespaço de Mn×n(C).
res Seja F o conjunto das matrizes hermíticas de ordem n, i.e., F = A ∈Mn×n(C)|A = AH, que é um subconjunto deMn×n(C). Verifiquem-
se, agora, as três propriedades do teorema 4.13teo :
Propriedade (a)
0Mn×n(C) = 0n×n ∈ F , pelo que a propriedade (a) é válida.
Propriedade (b)
Sejam A,B ∈ F . Então, como (A + B)H = AH + BH = A + B,
A + B ∈ F , pelo que a propriedade (b) é válida.
104 4 Espacos Vectoriais
Propriedade (c)
Sejam α ∈ K e A ∈ F . Então, como (αA)H = αAH = αA, αA /∈ F .
Assim, conclui-se que a propriedade (c) não é válida.
Como a propriedade (c) do teorema 4.13teo não é satisfeita, conclui-
se que o conjunto G não é um subespaço de Mn×n(C).
4.20teo Seja A ∈Mm×n(K). Então, CSAx=0 é um subespaço de Kn.
dem Para mostrar que CSAx=0 ⊂ Kn é um subespaço de Kn, aplique-se o
teorema 4.13teo (no que se segue identifia-se Kn com Mn×1(K)):
Propriedade (a)
Seja Como A0n×1 = 0, tem-se que 0Kn = 0n×1 ∈ CSAx=0, pelo que a
propriedade (a) é válida.
Propriedade (b)
Sejam x1, x2 ∈ CSAx=0. Então, como A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 =
0 + 0 = 0, tem-se que x1 + x2 ∈ CSAx=0, pelo que a propriedade (b) é
válida.
Propriedade (c)
Sejam α ∈ K e x ∈ CSAx=0. Então, como A(αx) = α(Ax) = α0 = 0,
tem-se que αx ∈ CSAx=0, pelo que a propriedade (c) é válida.
Assim, conclui-se que CSAx=0 é um subespaço de Kn.
4.21def Jcombinação linearK Sejam V um espaço vectorial sobre K, x ∈ V e
S = x1, . . . , xk ⊂ V . Diz-se que x é uma combinação linear dos
elementos de S se
∃α1, . . . , αk ∈ K : x = α1x1 + · · ·+ αkxk.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 105
4.22exe Sejam x = (1, 4), x1 = (1, 2), x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2).
(a) Mostre que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2) e
x2 = (1, 1) e escreva x como combinação linear de x1 e de x2.
(b) Mostre que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2),
x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2).
(c) Mostre que x = (1, 4) não é uma combinação linear de x2 = (1, 1)
e x3 = (2, 2).
res (a) Mostrar que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2) e
x2 = (1, 1) é, por definição, mostrar que
∃α, β ∈ R : x = αx1 + βx2,
i.e., que é possível o sistema de equações lineares (Sa) dado por
(1, 4) = α(1, 2) + β(1, 1) ⇔
α + β = 1
2α + β = 4.
Então, como 1 1 1
2 1 4
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1
1 1 1
0 −1 2
,
a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica
da matriz ampliada, pelo que o sistema (Sa) é possível, concluindo-
se que x é uma combinação linear de x1 e x2. Para escrever x como
combinação linear de x1 e x2, resolve-se o sistema (Sa), tendo-se
α = 3
β = −2,
vindo
x = 3x1 − 2x2.
106 4 Espacos Vectoriais
(b) Mostrar que x = (1, 4) é uma combinação linear de x1 = (1, 2),
x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2) é, por definição, mostrar que
∃α, β, γ ∈ R : x = αx1 + βx2 + γx3,
i.e., que é possível o sistema de equações lineares (Sb) dado por
(1, 4) = α(1, 2) + β(1, 1) + γ(2, 2)⇔
α + β + 2γ = 1
2α + β + 2γ = 4.
Então, como
1 1 2 1
2 1 2 4
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1
1 1 2 1
0 −1 −2 2
,
a característica da matriz dos coeficientes é igual à característica
da matriz ampliada, pelo que o sistema (Sb) é possível, concluindo-
se que x é uma combinação linear de x1, x2 e x3. Para escrever x
como combinação linear de x1, x2 e x3, resolve-se o sistema (Sb),
tendo-se
α = 3
β = −2− 2a
γ = a ∈ R,
vindo
x = 3x1 + (−2− 2a)x2 + ax3, a ∈ R.
(c) Mostrar que x = (1, 4) não é uma combinação linear de x2 = (1, 1)
e x3 = (2, 2) é equivalente a mostrar que é impossível o sistema
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 107
de equações lineares (Sc) dado por
(1, 4) = α(1, 1) + β(2, 2) ⇔
α + β = 1
α + β = 4.
Então, como 1 1 1
1 1 4
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
1 1 1
0 0 3
,
a característica da matriz dos coeficientes é menor do que a carac-
terística da matriz ampliada, o sistema (Sc) é impossível, concluindo-
se que x não é uma combinação linear de x2 e x3.
4.23def Jespaço gerado, L(S), 〈x1, . . . , xn〉K Sejam V um espaço vectorial sobre
K e S = x1, . . . , xn ⊂ V . Chama-se espaço gerado pelo conjunto S,
que se representa por L(S) ou por 〈x1, . . . , xn〉, ao conjunto de todas
as combinações lineares dos elementos de S.
4.24teo Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = x1, . . . , xn ⊂ U ⊂.
Então,
(a) L(S) é um subespaço de V .
(b) U subespaço de V ⇒ L(S) ⊂ U .
4.25obs Sejam V um espaço vectorial K e S = x1, . . . , xn ⊂ V . Então,
(a) L(S) = α1x1 + · · · + αnxn|α1, . . . , αn ∈ K.
(b) Chama-se “espaço gerado” ao conjunto L(S) devido à alínea (a)
do teorema anterior.
(c) L(S) é o “menor” subespaço de V que contém S no sentido da
alínea (b) do teorema anterior..
108 4 Espacos Vectoriais
4.26def Jconjunto geradorK Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = x1, . . . , xn ⊂V . Diz-se que S é um conjunto gerador de V se V = L(S).
4.27obs Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = x1, . . . , xn ⊂ V . Então,
S é um conjunto gerador de V se
∀x ∈ V,∃α1, . . . , αn ∈ K : x = α1x1 + · · ·+ αnxn,
i.e., que é possível o sistema de equações lineares x = α1x1+· · ·+αnxn,
qualquer que seja x ∈ V .
4.28exe (a) Verifique se R2 = 〈(2, 0)〉.
(b) Verifique se R2 = 〈(2, 0), (3, 4)〉.
(c) Verifique se R2 = 〈(2, 0), (3, 4), (0, 1)〉.
res (a) Verificar se R2 = 〈(2, 0)〉 é equivalente a verificar se, qualquer que
seja x = (x1, x2) ∈ R2, é possível o sistema de equações lineares
(S1) dado por
(x1, x2) = α(2, 0) ⇔
2α = x1
0α = x2.
Então, como a representação matricial do sistema (S1) é
1 x1
0 x2
,
que já está em escada, a característica da matriz dos coeficientes
é menor do que a característica da matriz ampliada se x2 6= 0,
pelo que o sistema (S1) nem sempre é possível, concluindo-se que
R2 6= 〈(1, 0)〉, i.e., (2,0) não é um conjunto gerador de R2.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 109
(b) Verificar se R2 = 〈(2, 0), (3, 4)〉 é equivalente a verificar se, qual-
quer que seja x = (x1, x2) ∈ R2, é possível o sistema de equações
lineares (S2) dado por
(x1, x2) = α(2, 0) + β(3, 4) ⇔
2α + 3β = x1
0α + 4β = x2.
Então, como a representação matricial do sistema (S2) é 2 3 x1
0 4 x2
,
que já está em escada, a característica da matriz dos coeficientes
é igual à característica da matriz ampliada qualquer que seja
x = (x1, x2) ∈ R2, pelo que o sistema (S2) é sempre possível,
concluindo-se que R2 = 〈(2, 0), (3, 4)〉, i.e., (2,0),(3,4) é um
conjunto gerador de R2.
(c) Verificar se R2 = 〈(2, 0), (3, 4), (0, 1)〉 é equivalente a verificar se,
qualquer que seja x = (x1, x2) ∈ R2, é possível o sistema de
equações lineares (S3) dado por
(x1, x2) = α(2, 0) + β(3, 4) + γ(0, 1) ⇔
2α + 3β + 0γ = x1
0α + 4β + γ = x2.
Então, como a representação matricial do sistema (S3) é 2 3 0 x1
0 4 1 x2
que já está em escada, a característica da matriz dos coeficientes
é igual à característica da matriz ampliada qualquer que seja
110 4 Espacos Vectoriais
x = (x1, x2) ∈ R2, pelo que o sistema (S3) é sempre possível,
concluindo-se que R2 = 〈(2, 0), (3, 4), (0, 1)〉, i.e., (2,0),(3,4),(0,1)
é um conjunto gerador de R2.
4.29obs (a) Um espaço vectorial pode admitir diversos conjuntos geradores.
(b) Cojuntos geradores distintos podem gerar o mesmo espaço vecto-
rial.
4.30def Sejam V um espaço vectorial sobre K e S = x1, . . . , xn ⊂ V .
(a) Jconjunto linearmente independenteK Diz-se que S é um conjunto
linearmente independente se
∀α1, . . . , αn ∈ K : α1x1+· · ·+αnxn = 0V ⇒ α1 = · · · = αn = 0.
(b) Jvectores linearmente independentesK Se S é um conjunto linear-
mente independente, os elementos de S dizem-se vectores linear-
mente independentes.
(c) Jconjunto linearmente dependenteK Se S não é um conjunto line-
armente independente, diz-se que S é um conjunto linearmente
dependente.
(d) Jvectores linearmente dependentesK Se S é um conjunto linear-
mente dependente, os elementos de S dizem-se vectores linear-
mente dependentes.
4.31exe (a) Indique, justificando, se (2, 0) é um conjunto linearmente inde-
pendente ou linearmente dependente.
(b) Indique, justificando, se (2, 0), (3, 4) é um conjunto linearmente
independente ou linearmente.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 111
(c) Indique, justificando, se (2, 0), (3, 4), (0, 1) é um conjunto line-
armente independente ou linearmente dependente.
res (a) Como
α(2, 0) = (0, 0)⇔
2α = 0
0α = 0⇔ α = 0,
conclui-se que (2, 0) é um conjunto linearmente independente.
(b) Como
α(2, 0) + β(3, 4) = (0, 0) ⇔
2α + 3β = 0
0α + 4β = 0⇔
α = 0,
β = 0,
conclui-se que (2, 0), (3, 4) é um conjunto linearmente indepen-
dente.
(c) Como
(x1, x2)α(2, 0) + β(3, 4) + γ(0, 1) = (0, 0)⇔
2α + 3β + 0γ = 0
0α + 4β + γ = 0⇔
α = 3a8 ,
β = −a4 ,
γ = a ∈ R,
conclui-se que (2, 0), (3, 4), (0, 1) é um conjunto linearmente de-
pendente.
4.32teo Sejam V um espaço vectorial e S1 ⊂ S = x1, . . . , xn ⊂ S2 ⊂ V .
(a) Se S é um conjunto linearmente dependente, então, S2 é um con-
junto linearmente dependente.
112 4 Espacos Vectoriais
(b) se S é um conjunto linearmente independente, então, S1 é um
conjunto linearmente independente.
4.33def JbaseK Sejam V um espaço vectorial e S = x1, . . . , xn ⊂ V . Diz-se
que S é uma base de V se S é um conjunto gerador de V linearmente
independente.
4.34exe (a) Indique, justificando, se (2, 0) é uma base de R2.
(b) Indique, justificando, se (2, 0), (3, 3) é uma base de R2.
(c) Indique, justificando, se (2, 0), (3, 3), (0, 1)) é uma base de R2.
res (a) Atendendo ao exercício 4.30exe (a), (2, 0) não é um conjunto
gerador de R2, pelo que também não é uma sua base.
(b) Atendendo aos exercícios 4.30exe (b) e 4.35exe (b), (2, 0), (3, 3)é um conjunto gerador de R2 linearmente independente, pelo que
é uma base de R2.
(c) Atendendo ao exercício 4.30exe (c), (2, 0), (3, 3), (0, 1) não é
um conjunto linearmente independente, pelo que também não é
uma base de R2.
4.35def Jbase ordenadaK Sejam V um espaço vectorial e S = (x1, . . . , xn) ∈ V n.
Diz-se que S é uma base ordenada de V se S = x1, . . . , xn é uma
base de V .
4.36obs O objectivo da definição anterior é permitir distinguir entre ordenações
diferentes dos seus elementos, situação que não acontece em conjuntos.
Faz sentido, agora, a seguinte definição:
4.37def Jcoordenadas de um vector numa base ordenadaK Sejam V um espaço
vectorial, S = (x1, . . . , xn) uma base ordenada de V e x ∈ V . Chama-
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 113
se coordenadas do vector x relativamente à base ordenada S, que se
representa por [x]S , a (α1, . . . , αn) ∈ Kn se
x = α1x1 + · · ·+ αnxn.
4.38obs Como uma base é um conjunto linearmente independente, o sistema
linear que é necessário resolver para determinar as coordenadas de um
vector numa base ordenada é sempre possível e determinado, pelo que
as coordenadas de um vector numa base ordenada são únicas.
4.39exe (a) Seja S1 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) uma base ordenada de R3.
Determine as coordenadas de x = (0, 2, 3) na base ordenada S1.
(b) Seja S2 = ((0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)) uma base ordenada de R3.
Determine as coordenadas de x = (0, 2, 3) na base ordenada S2.
(c) Seja S3 = ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)) uma base ordenada de R3.
Determine as coordenadas de x = (0, 2, 3) na base ordenada S3.
res (a) Como (0, 2, 3) = 0(1, 0, 0)+2(0, 1, 0)+3(0, 0, 1), tem-se que [x]S1 =
(0, 2, 3).
(b) Como (0, 2, 3) = 2(0, 1, 0)+0(1, 0, 0)+3(0, 0, 1), tem-se que [x]S2 =
(2, 0, 3).
(c) Para responder à questão, tem que se resolver o sistema
α(1, 1, 1) + β(0, 1, 1) + γ(1, 0, 1) = (0, 2, 3) ⇔
α + γ = 0
α + β = 2
α + β + γ = 3.
114 4 Espacos Vectoriais
Recorra-se, agora, ao método de Gauss:
1 0 1 0
1 1 0 2
1 1 1 3
←−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
ℓ3 ← ℓ3 − ℓ1
1 0 1 0
0 1 −1 2
0 1 0 3
←−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 − ℓ1
1 0 1 0
0 1 −1 2
0 0 1 1
,
tendo-se
α = −1,
β = 3,
γ = 1,
pelo que (0, 2, 3) = −(1, 1, 1)+3(0, 1, 1)+(1, 0, 1), ou seja, [x]S3 =
(−1, 3, 1).
4.40exe Seja S = ([ 1 00 0 ] , [ 0 1
0 0 ] , [ 0 01 0 ] , [ 0 0
0 1 ]) uma base ordenada de M2×2(R).
Determine as coordenadas de A =[−2 3
5 4
]na base ordenada S2.
res Como[−2 3
5 4
]= −2 [ 1 0
0 0 ] + 3 [ 0 10 0 ] + 5 [ 0 0
1 0 ] + 4 [ 0 00 1 ], tem-se que [A]S =
(−2, 3, 5, 4).
4.41teo Sejam V um espaço vectorial e o conjunto x1, . . . , xn uma base de
V . Então, todas as bases de V têm n vectores.
4.42def Jdimensão de um espaço vectorial, dim(V ), espaço vectorial de dimen-
são finitaK Sejam V um espaço vectorial e x1, . . . , xn uma base de
V . Chama-se dimensão do espaço vectorial V ao número de elementos
que constituem a base, escrevendo-se dim(V ) = n. Diz-se, ainda, que
V é um espaço vectorial de dimensão finita.
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 115
4.43obs (a) Note-se que a definição anterior faz sentido pois o teorema que a
precede garante que todas as bases de um espaço vectorial têm o
mesmo número de elementos.
(b) Seja V um espaço vectorial. Então, dim(0V ) = 0.
4.44teo (a) dim(R3) = 3 e
e1, e2, e3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), e
f1, f2, f3, f1 = (−1, 0, 0), f2 = (0, 1, 1), f3 = (1, 1, 1), são dois
exemplos de bases de R3 (à primeira chama-se base canónica de
R3).
(b) dim(Rn) = n.
(c) dim(M2×3(R)) = 6 e E11, E12, E13, E21, E22, E23, em que
E11 = [ 1 0 00 0 0 ] , E12 = [ 0 1 0
0 0 0 ] , E13 = [ 0 0 10 0 0 ] ,
E21 = [ 0 0 01 0 0 ] , E22 = [ 0 0 0
0 1 0 ] , E23 = [ 0 0 00 0 1 ] ,
é uma base deM2×3(R) (base canónica deM2×3(R)).
(d) dim(Mm×n(R)) = mn.
(e) dim(R2[x]) = 3 e 1, x, x2 é uma base de R2[x] (base canónica
de R2[x]).
(f) dim(Rn[x]) = n + 1.
(g) C(a, b) não é um espaço vectorial de dimensão finita.
4.45teo Seja V um espaço vectorial tal que dim(V ) = n e S um subconjunto
de V com n elementos.
(a) Se S é um conjunto linearmente independente, então S é uma
base de V .
116 4 Espacos Vectoriais
(b) Se S é um conjunto gerador de V , então S é uma base de V .
4.46teo Sejam V um espaço vectorial com dimensão finita e X e Y subespaços
de V . Então,
(a) dim(X) 6 dim(V ).
(b) dim(X) = dim(V ) se e só se X = V .
4.47def Jespaço nulo de uma matrizK Seja A ∈ Mm×n(K). Chama-se espaço
nulo da matriz A, que se representa por N(A), a CSAx=0.
4.48teo Seja A ∈Mm×n(K).
(a) dim(〈ℓ1,A; . . . ; ℓm,A〉 = c(A).
(b) dim(〈c1,A; . . . ; cn,A〉 = c(A).
(c) dim(N(A)) é igual ao número de variáveis livres do sistema Ax =
0.
4.49obs Seja A ∈Mn×n(K). Então,
(a) c1,A, . . . , cn,A é um conjunto linearmente dependente se é só se
det(A) = 0.
(b) c1,A, . . . , cn,A é um conjunto linearmente independente se é só
se det(A) 6= 0.
(c) ℓ1,A, . . . , ℓn,A é um conjunto linearmente dependente se é só se
det(A) = 0.
(d) ℓ1,A, . . . , ℓn,A é um conjunto linearmente independente se é só
se det(A) 6= 0.
4.50exe Determine o espaço nulo e a sua dimensão das seguintes matrizes:
4.1 Apontamentos sobre Espacos Vectoriais 117
(a) A = [ 1 02 2 ].
(b) B = [ 1 1 1 12 2 0 2 ].
res (a)
1 0 0
2 2 0
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1
1 0 0
0 2 0
⇒
⇒
x1 = 0
x2 = 0,
ou seja,
N(A) = (0, 0).
Como o sistema não tem variáveis livres, tem-se que dim(N(A)) =
0.
(b) Comece-se por determinar N(B):
1 1 1 1 0
2 2 0 2 0
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − 2ℓ1
1 1 1 1 0
0 0 −2 0 0
⇒
x1 = −α− β,
x2 = α ∈ R,
x3 = 0
x4 = β ∈ R,
ou seja,
N(B) = (−α− β, α, 0, β)|α, β ∈ R
= α(−1, 1, 0, 0) + β(−1, 0, 0, 1)|α, β ∈ R
= 〈(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1)〉.
118 4 Espacos Vectoriais
Assim, (−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1) é uma base de N(B) pois é um
conjunto linearmente independente (verificar).
4.51obs Seja V um espaço vectorial tal que dim(V ) = n. Então,
(a) quaisquer m vectores de V com m > n são linearmente depen-
dentes.
(b) C conjunto de geradores de V ⇒ #C > n.
(c) C conjunto de n vectores linearmente independentes de V ⇒ C
conjunto gerador.
(d) C conjunto de n vectores geradores de V ⇒ os vectores são line-
armente independentes.
(e) C conjunto de geradores de V constituído por vectores linear-
mente independentes ⇒ #C = n.
4.2 Exercıcios sobre Espacos Vectoriais 119
4.2 Exercıcios sobre Espacos Vectoriais
4.1exe Mostre que o conjunto R+ com as operações
⊕ : R+ × R
+ −→ R+
(x, y) 7−→ x⊕ y = xy,
⊙ : R× R+ −→ R
+
(α, x) 7−→ α⊙ x = xα
é um espaço vectorial real.
4.2exe Mostre que o conjunto R com as operações
⊕ : R× R −→ R
(x, y) 7−→ x⊕ y = x + y + 1,
⊙ : R× R −→ R
(α, x) 7−→ α⊙ x =αx + α + x− 1
2
é um espaço vectorial real.
4.3exe Mostre que os seguintes conjuntos com as operações indicadas não são
espaços vectoriais reais, identificando as propriedades da definição de
espaço vectorial que não são verificadas:
(a) R2, (a, b) ⊕ (c, d) = (a, b) e α⊙ (a, b) = (αa, αb).
(b) R2, (x1, x2) ⊕ (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) e α ⊙ (x1, x2) =
(α2x1, α2x2).
(c) R3, (x1, x2, x3)⊕(y1, y2, y3) = (x1+y1, 0, x2+y2) e α⊙(x1, x2, x3) =
(αx1, αx2, αx3).
120 4 Espacos Vectoriais
4.4exe Mostre que o conjunto R+ com as operações
⊕ : R+ × R
+ −→ R+
(x, y) 7−→ x⊕ y = xy ,
⊙ : R× R+ −→ R
+
(α, x) 7−→ α⊙ x = xα
não é um espaço vectorial real, identificando as propriedades da definição
de espaço vectorial que não são verificadas.
4.5exe Averigue se os seguintes conjuntos são subespaços de R3:
(a) S1 = (x, y, z) ∈ R3 : x = y.
(b) S2 = (x, y, z) ∈ R3 : x = y + 2.
4.6exe Escreva, se possível, o vector v = (3, 3) ∈ R2 como combinação linear
dos seguintes vectores de R2, e interprete geometricamente os resulta-
dos obtidos:
(a) v1 = (1, 1).
(b) v1 = (1, 2).
(c) v1 = (1, 2), v2 = (4, 2).
(d) v1 = (1, 1), v2 = (2, 2).
(e) v1 = (1,−1), v2 = (−1, 1).
(f) v1 = (1,−1), v2 = (0, 1), v3 = (2, 0).
4.7exe Sejam u = (1, 2,−4), v = (2, 5,−6), w = (1,−1,−10), r = (1, 0, α) ∈R
3.
(a) Escreva o vector w como combinação linear de u e v.
4.2 Exercıcios sobre Espacos Vectoriais 121
(b) Indique para que valores de α ∈ R o vector r é uma combinação
linear de u e v.
4.8exe Escreva u = 5t2 − 8t + 6 como combinação linear de v = t2 − t e
w = 2t2 − 4.
4.9exe Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores são conjuntos ger-
adores do espaço vectorial R2.
(a) A = (1, 0), (0, 1).
(b) B = (1, 2), (−1, 0).
(c) C = (1, 0), (0, 1), (1, 3).
(d) D = (1, 2).
(e) E = (1, 2), (2, 4), (−1,−2).
(f) F = (1,−1), (−2, 2).
4.10exe Seja X = (1, 0, α), (α, β, β), (1, 0, 0), (0, 0, 1) ⊂ R3. Indique para que
valores de α e β o conjunto X é um conjunto gerador de R3.
4.11exe Verifique se os seguintes conjuntos são linearmente independentes:
(a) (3, 1), (4, 2) em R2.
(b) (3, 1), (4,−2), (7, 2) em R2.
(c) (0,−3, 1), (2, 4, 1), (−2, 8, 5) em R3.
(d) (−1, 2, 0, 2), (5, 0, 1, 1), (8,−6, 1,−5) em R4.
4.12exe Indique para que valores do parâmetro real α, os vectores a = (1,−2)
e b = (α,−1) de R2 são linearmente independentes.
122 4 Espacos Vectoriais
4.13exe Considere no espaço vectorial real R3 os vectores v1 = (α1, β1, 1) e
v2 = (α2, β2, 0) em que α1, α2, β1, β2 ∈ R são constantes reais. Indique,
em função de α1, α2, β1 e β2 uma condição necessária e suficiente para
os vectores v1 e v2 serem linearmente independentes.
4.14exe Considere o espaço vectorial real R3 e um seu subespaço S = (x, y, z) ∈
R3|x = y. Determine dois vectores linearmente independentes u e v
de S e mostre que qualquer vector w ∈ S é uma combinação linear de
u e v.
4.15exe Mostre que o conjunto
1 1
0 0
0 0
,
0 0
1 1
0 0
,
0 0
0 0
1 1
,
1 0
1 0
1 0
,
0 1
0 1
0 1
é linearmente independente.
4.16exe Sejam V um espaço vectorial e v1, v2, v3 um conjunto de vectores de
V linearmente independente. Então, mostre que os seguintes conjuntos
também são linearmente independentes:
(a) v1, v1 + v2.
(b) 2v1, v1 + v2,−v1 + v3.
(c) v1 + v2, v1 + v3, v2 + v3.
4.17exe Considere no espaço vectorial real R2[x] os vectores u = 1, v = 1 − x
e w = (1 − x)2. Verifique que os vectores u, v e w são linearmente
independentes.
4.18exe Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R2:
4.2 Exercıcios sobre Espacos Vectoriais 123
(a) A = (1, 1), (3, 0).
(b) B = (1, 1), (0, 2), (2, 3).
(c) C = (1, 1), (0, 8).
(d) D = (1,−2), (−2, 4).
4.19exe Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R3[x]:
(a) A = 1, x, x2, x3.
(b) B = 1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3, x3.
(c) C = 2, x, x2 + x3, x + x2 + x3.
(d) D = 1, 1 + x, x2 + x3.
4.20exe Determine os valores do parâmetro α para os quais o conjunto (α, 6), (1, α)é uma base de R
2.
4.21exe Considere o seguinte subconjunto do espaço vectorial real R4:
V = (x, y, z, w) ∈ R4|x = y − 3z ∧ z = 2w.
(a) Mostre que V é um subespaço vectorial de R4.
(b) Determine uma base e a dimensão de V .
4.22exe Sejam F = (x, y, z) ∈ R3|z = 0 um subconjunto de R
3 e u1 =
(0, 2, 0), u2 = (1, 0, 0) e u3 = (−1, 6, 0) três vectores de R3.
(a) Mostre que F é subespaço vectorial de R3.
(b) Verifique que F = 〈u1, u2, u3〉.
(c) O conjunto u1, u2, u3 é uma base de F?
(d) Indique a dimensão de F .
124 4 Espacos Vectoriais
4.23exe Sejam V um espaço vectorial, v1, v2, v3 e v4 vectores de V e v1, v2uma base de V .
(a) A = v1, v2, v3, v4 é um conjunto gerador de V ?
(b) A é constituído por vectores linearmente independentes?
(c) B = v1 é um conjunto gerador de V ?
(d) B é constituído por vectores linearmente independentes?
(e) Seja C um subconjunto de V que gera V . Que pode dizer sobre
o número de vectores de C?
(f) Seja D um subconjunto de V constituído por vectores linearmente
independentes. Que pode dizer sobre o número de vectores de D?
(g) Em que condições é que E = v1, v4 é um conjunto gerador de
V ?
4.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Espacos Vectoriais 125
4.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Espacos Vectoriais
4.3sol (a) Propriedades (a), (c), (d) e (f).
(b) Propriedades (f).
(c) Propriedades (c), (d) e (f).
4.4sol (a), (b), (f)
4.5sol (a) Sim.
(b) Não.
4.6sol (a) v = 3v1.
(b) v não é uma combinação linear de v1.
(c) v = v1 + 12v2.
(d) v = αv1 + 3−α2 v2, α ∈ R.
(e) v não é uma combinação linear de v1 e v2.
(f) v = (β − 3)v1 + βv2 + 6−β2 v3, β ∈ R.
4.7sol (a) w = 7u− 3v.
(b) α = −8.
4.8sol u = 8v − 32w.
4.9sol A, B e C.
4.10sol α ∈ R, β ∈ R \ 0.
4.11sol (a) Sim.
(b) Não.
(c) Sim.
126 4 Espacos Vectoriais
(d) Não.
4.12sol α ∈ R \ 12.
4.13sol α1 ∈ R, α2 ∈ R \ 0, β1 ∈ R, β2 ∈ R \ 0.
4.18sol A e C.
4.19sol A.
4.20sol α ∈ R \ −√
6,√
6.
4.21sol (b) Por exemplo, o conjunto (1, 1, 0, 0), (−6, 0, 2, 1) é uma base de
V e dim(V ) = 2.
4.22sol (c) Não.
(d) dim(F ) = 2.
4.23sol (a) Sim.
(b) Não.
(c) Não.
(d) Sim.
(e) #C > 2.
(f) #D 6 2.
(g) E é um conjunto gerador de V sse v1 e v4 forem vectores linear-
mente independentes.
Capıtulo 5
Transformacoes Lineares
5.1 Apontamentos sobre Transformacoes Lineares
5.1obs Na definição que se segue revê-se o conceito de função, estudando-se
neste capítulo um seu caso particular — as transformações lineares.
5.2def Jfunção, imagem de um elemento por meio de uma funçãoK Sejam A e
B conjuntos e x ∈ A. Diz-se que f é uma função de A em B se associa
a cada elemento de A um e só um elemento de B, representando-se por
f(x) a imagem de x por f .
5.3def Sejam V e V ′ espaços vectoriais reais e T uma função de V em V ′.
(a) Jtransformação linear ou homomorfismoK Diz-se que T é uma
transformação linear ou um homomorfismo se se verificar as seguintes
propriedades:
i. ∀x, y ∈ V : T (x + y) = T (x) + T (y).
ii. ∀x ∈ V,∀α ∈ R : T (αx) = αT (x).
127
128 5 Transformacoes Lineares
(b) JL(V, V ′)K Representa-se por L(V, V ′) o conjunto de todas as
transformações lineares de V em V ′.
5.4exe Seja T : R −→ R3, T (x1, x2) = (x2, 0, x1 + x2). Mostre que T é uma
transformação linear.
res Propriedade (i)
Definição geral:
∀x, y ∈ V : T (x + y) = T (x) + T (y).
Exemplo presente:
∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 : T (x + y) = T (x) + T (y).
T (x + y) = T ((x1, x2) + (y1, y2))
= T (x1 + y1, x2 + y2)
= (x2 + y2, 0, x1 + y1 + x2 + y2). (i.1)
T (x) + T (y) = T (x1, x2) + T (y1, y2)
= (x2, 0, x1 + x2) + (y2, 0, y1 + y2)
= (x2 + y2, 0, x1 + y1 + x2 + y2). (i.2)
Como as expressões (i.1) e (i.2) são iguais, conclui-se que a propriedade
(i) é válida.
5.1 Apontamentos sobre Transformacoes Lineares 129
Propriedade (ii)
Definição geral:
∀x ∈ V,∀α ∈ R : T (αx) = αT (x).
Exemplo presente:
∀x = (x1, x2) ∈ R2,∀α ∈ R : T (αx) = αT (x).
T (αx) = T (α(x1, x2))
= T (αx1, αx2)
= (αx2, 0, αx1 + αx2). (ii.1)
αT (x) = αT (x1, x2)
= α(x2, 0, x1 + x2)
= (αx2, 0, αx1 + αx2). (ii.2)
Como as expressões (ii.1) e (ii.2) são iguais, conclui-se que a proprie-
dade (ii) é válida.
Como as expressões (i) e (ii) são válidas, conclui-se que T é uma trans-
formação linear.
5.5exe Seja T : R1[x] −→ R, T (ax + b) =∫ 10 (ax + b)dx. Mostre que T é uma
transformação linear.
res Exercício.
130 5 Transformacoes Lineares
5.6exe Seja g : R2 −→ R2, g(a, b) = (a2, 0). Mostre que g não é uma trans-
formação linear.
res Exercício.
5.7def JendomorfismoK Seja V um espaço vectorial. Chama-se endomorfimo
de V a uma transformação linear de V em V .
5.8exe Indique quais das seguintes aplicações lineares são endomorfismos:
(a) T1 : R2 −→ R3, T1(x1, x2) = (x2, 0, x1 + x2).
(b) T2 : R2 −→ R2, T2(x1, x2) = (0, 0).
(c) T3 : R1[x] −→ R, T3(ax + b) =∫ 10 (ax + b)dx.
res (a) Não.
(b) Sim.
(c) Não.
5.9teo Sejam V e V ′ espaços vectoriais e T uma função de V em V ′. Então,
T é uma transformação linear se e só se
∀x, y ∈ V,∀α, β ∈ R : T (αx + βy) = αT (x) + βT (y).
5.10obs O teorema anterior indica um processo alternativo à definição 5.3def
de verificar se uma função é uma transformação linear.
5.11teo Seja T ∈ L(V, V ′). Então, tem-se:
(a) T (0V ) = 0V ′ .
(b) ∀x ∈ V : T (−x) = −T (x).
(c) ∀x, y ∈ V : T (x− y) = T (x)− T (y).
5.1 Apontamentos sobre Transformacoes Lineares 131
5.12obs O teorema anterior permite concluir que se T (0V ) 6= 0V ′ ou ∃x ∈ V :
T (−x) 6= −T (x) ou ∃x, y ∈ V : T (x− y) 6= T (x) − T (y), então T não
é uma transformação linear. Note-se, ainda, que há funções em que
T (0V ) = 0V ′ , ∀x ∈ V : T (−x) = −T (x) e ∀x, y ∈ V : T (x − y) =
T (x)− T (y) e que não são transformações lineares.
5.13exe Seja g : R2 −→ R3, g(a, b) = (a, 1, a + 2b). Mostre que g não é uma
transformação linear.
res Como g(0R2) = g(0, 0) = (0, 1, 0) 6= (0, 0, 0) = 0R3 , conclui-se que g
não é uma transformação linear.
5.14obs Sejam T ∈ L(V, V ′), C = (v1, . . . , vn) uma base ordenada de V , C ′ =
(v′1, . . . , v′m) uma base ordenada de V ′ e v ∈ V . Então,
∃1α1, . . . , αn ∈ K : v = α1v1 + · · · + αnvn,
∃1a11, . . . , am1 ∈ K : T (v1) = a11v′1 + · · ·+ am1v
′m,
...
∃1a1n, . . . , amn ∈ K : T (vn) = a1nv′1 + · · · + amnv′m.
Tem-se, então, que:
T (v) = T (α1v1 + · · ·+ αnvn)
= α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn)
= α1(a11v′1 + · · ·+ am1v
′m) + · · ·+ αn(a1nv′1 + · · · + amnv′m)
= (α1a11 + · · ·+ αna1n)v′1 + · · ·+ (α1am1 + · · ·+ αnamn)v′m
= β1v′1 + · · ·+ βmv′m,
132 5 Transformacoes Lineares
em que
β1
...
βm
=
a11 · · · a1n
.... . .
...
am1 · · · amn
α1
...
αn
.
5.15def Jmatriz de uma transformação linear entre espaços de dimensão finita,
AT,C,C′ , AT K Sejam T ∈ L(V, V ′), C = (v1, . . . , vn) uma base orde-
nada de V e C ′ = (v′1, . . . , v′m) uma base ordenada de V ′. Chama-se
matriz da transformação linear T relativamente às bases C e C ′, que
se representa por AT,C,C′ , à matriz [aij ] ∈ Mm×n(K) introduzida na
observação anterior.
Se V = Rn, V ′ = Rm e C e C ′ são as respectivas bases canónicas, então
representa-se por AT a matriz da transformação linear T relativamente
às bases C e C ′.
5.16exe Determine a matriz da transformação linear T ∈ L(R3,R2), T (x, y, z) =
(x + 2z, 3x − y), relativamente às bases canónicas de R3 e R2.
res Como
T (1, 0, 0) = (1, 3)
T (0, 1, 0) = (0,−1)
T (0, 0, 1) = (2, 0),
tem-se que
AT =
1 0 2
3 −1 0
.
5.1 Apontamentos sobre Transformacoes Lineares 133
5.17def Seja T ∈ L(V, V ′).
(a) Jimagem de uma transformação linear, IT K Chama-se imagem de
T , que se representa por IT , a
IT := T (x) ∈ V ′|x ∈ V .
(b) Jnúcleo de uma transformação linear, NT K Chama-se núcleo de
T , que se representa por NT , a
NT := x ∈ V |T (x) = 0V ′.
5.18exe Seja T ∈ L(R3,R2), T (x1, x2, x3) = (x1+x3, x1+2x2−x3). Determine:
(a) IT .
(b) NT .
res (a)
IT = T (x1, x2, x3)|x1, x2, x3 ∈ R
= (x1 + x3, x1 + 2x2 − x3)|x1, x2, x3 ∈ R
= 〈(1, 1), (0, 2), (1,−1)〉.
(b)
NT = (x1, x2, x3) ∈ R3|T (x1, x2, x3) = 0R2
= (x1, x2, x3) ∈ R3|(x1 + x3, x1 + 2x2 − x3) = (0, 0).
Tem-se, então, que resolver o seguinte sistema:
x1 + x3 = 0
x1 + 2x2 − x3 = 0.
134 5 Transformacoes Lineares
Então, como 1 0 1 0
1 2 −1 0
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ↔ ℓ2 − ℓ1
1 0 1 0
0 2 −2 0
,
obtendo-se
x1 + x3 = 0
2x2 − 2x3 = 0⇔
x1 = −a
x2 = a
x3 = a ∈ R.
Assim,
NT = (−a, a, a)|a ∈ R
= 〈(−1, 1, 1)〉.
5.19teo Seja T ∈ L(V, V ′). Então,
(a) IT é um subespaço de V ′.
(b) NT é um subespaço de V .
5.20teo Sejam T ∈ L(V, V ′) e u1, . . . , un um conjunto gerador de V (em
particular, uma base). Então,
(a) T fica definida desde que se conheçam os vectores T (u1), . . . , T (un).
(b) IT = 〈T (u1), . . . , T (un)〉.
5.21exe Resolva de novo 5.18exe (a), atendendo ao teorema anterior.
res Seja e1, e2, e3 a base canónica de R3, i.e., e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0)
e e3 = (0, 0, 1). Então,
IT = 〈T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0, 0, 1)〉
= 〈(1, 1), (0, 2), (1,−1)〉.
5.1 Apontamentos sobre Transformacoes Lineares 135
5.22exe Seja T ∈ L(R2,R3), tal que T (2, 2) = (0, 1, 1) e NT = 〈(1, 3)〉. Deter-
mine a imagem por T de um elemento genérico do seu domínio.
res Como S = (2, 2), (1, 3) é um conjunto linearmente independente
(verifique!), S é uma base de R2 (pois #S = dim(R2)), pelo que qual-
quer elemento de R2 é uma combinação linear única dos elementos de
S, vindo
(x, y) = α(2, 2) + β(1, 3).
Tem-se, então, que resolver o seguinte sistema:
2α + β = x
2α + 3β = y.
Então, como 2 1 x
2 3 y
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
2 1 x
0 2 y − x
,
obtendo-se
2α + β = x
2β = y − x⇔
α = 3x−y4
β = y−x2 .
Assim,
(x, y) =3x− y
4(2, 2) +
y − x
2(1, 3)
pelo que
T (x, y) = T
(3x− y
4(2, 2) +
y − x
2(1, 3)
)
=3x− y
4T (2, 2) +
y − x
2T (1, 3) por T ser uma transformação linear
=3x− y
4(0, 1, 1) +
y − x
2(0, 0, 0) por NT = 〈(1, 3)〉
= (0,3x− y
4,3x− y
4).
136 5 Transformacoes Lineares
5.23def Seja T ∈ L(V, V ′).
(a) Jcaracterística de uma transformação linear, cT K Chama-se ca-
racterística de T , que se denota por cT , à dimensão do subespaço
IT .
(b) Jnulidade de uma transformação linear, nT K Chama-se nulidade
de T , que se denota por nT , à dimensão do subespaço NT .
5.24teo Seja T ∈ L(V, V ′). Então,
(a) c(AT ) = cT .
(b) Se dim(V ) = n, tem-se que n = cT + nT .
5.25exe Seja T ∈ L(R3,R2), T (x1, x2, x3) = (x1+x3, x1+2x2−x3). Determine:
(a) cT .
(b) uma base de IT .
(c) nT .
(d) uma base de NT .
res (a) Como
T (1, 0, 0) = (1, 1)
T (0, 1, 0) = (0, 2)
T (0, 0, 1) = (1,−1),
tem-se que
AT =
1 0 1
1 2 −1
.
5.1 Apontamentos sobre Transformacoes Lineares 137
Então, como
AT =
1 0 1
1 2 −1
←−−−−−−−−−→
ℓ2 ← ℓ2 − ℓ1
1 0 1
0 2 −2
,
tem-se que c(AT ) = 2, pelo que, aplicando 5.24teo (a), vem cT ≡dim(IT ) = 2.
(b) Como cT = dim(IT ) = 2, conclui-se que IT = R2, pelo que, por
exemplo, (1, 0), (0, 1) é uma base de IT .
(c) Aplicando 5.24teo (b), tem-se que dim(R3) = cT + nT , i.e., 3 =
2 + nT , pelo que nT = 1 (este valor é confirmado pelo número de
variáveis livres em NT ).
(d) Como NT = 〈(−1, 1, 1)〉 e nT = 1, tem-se que, por exemplo,
(−1, 1, 1) é uma base de NT .
138 5 Transformacoes Lineares
5.2 Exercıcios sobre Transformacoes Lineares
5.1exe Considere a função T : R2 −→ R3, T (x, y) = (x− y, 0, x). Calcule:
(a) T (2, 1).
(b) T (y, 1).
(c) T (y, x).
(d) T (x + 2y, 2y − x).
5.2exe Indique se as seguintes funções são transformações lineares:
(a) T1 : R2 −→ R2, T1(x, y) = (0,−x).
(b) T2 : R3 −→ R2, T2(x, y, z) = (x + y + 2, z − 3).
(c) T3 : R2 −→ R, T3(x, y) = |x− y|.
(d) T4 : R2 −→ R3, T4(x1, x2) = (x2, 0, x1).
(e) T5 : R2 −→ R2, T5(x1, x2) = (x1 + 1, x2).
(f) T6 :M2×2(R) −→ R, T6(A) = a11.
(g) T7 :M2×2(R) −→ R, T7(A) = (a11)2.
(h) T8 :Mn×n(R) −→ R, T8(A) = det(A).
(i) T9 : R2x −→ R, T9(ax2 + bx + c) = a.
(j) T10 : C1(a, b) −→ C(a, b), T10(f) = f ′.
5.3exe Sejam α, β ∈ R. Determine a relação entre α e β de modo que a
transformação T : R −→ R2, T (x) = (x + α− 2β,−x), seja linear.
5.4exe Determine a imagem, a característica, o núcleo, a nulidade e a matriz
relativamente às bases canónicas das seguintes transformações lineares:
5.2 Exercıcios sobre Transformacoes Lineares 139
(a)
T1 : R2 −→ R
(x, y) 7−→ x + y.
(b)
T2 : R3 −→ R2
(x, y, z) 7−→ (x + y + z, 2x + 2y + 2z).
(c)
T3 : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x− z, 0, y − 2z).
(d)
T4 : R4 −→ R3
(x, y, z, w) 7−→ (x− y, z − w, x− 3w).
5.5exe Para cada uma das alíneas seguintes, determine a função T sabendo
que é uma transformação linear definida por:
(a) T (1, 0) = (−1, 1, 2) e T (0, 1) = (3, 0, 1).
(b) T (1, 2) = (3,−1, 5) e T (0, 1) = (2, 1,−1).
(c) T (1, 1, 1) = 3, T (0, 1,−2) = 1 e T (0, 0, 1) = −2.
5.6exe Seja T ∈ L(R3,R3), tal que T (0, 0, 1) = (0, 0, 1) eNT = 〈(1, 1, 1), (0, 1, 1)〉.Determine T (x, y, z) para qualquer (x, y, z) ∈ R3.
5.7exe Seja T :M2×2(R) −→M2×2(R), T (A) =[
(A)11+(A)12 (A)22−(A)22 2(A)11
].
(a) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) Determine as dimensões de NT e de IT .
140 5 Transformacoes Lineares
5.8exe Sejam M ∈ Mn×n(R) e T :Mn×n(R) −→Mn×n(R), T (A) = AM −MA.
(a) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) Considere M = [ 1 20 3 ]. Determine uma base e a dimensão para o
núcleo de T .
5.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Transformacoes Lineares 141
5.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Transformacoes Lineares
5.1sol (a) T (2, 1) = (1, 0, 2).
(b) T (y, 1) = (y − 1, 0, y).
(c) T (y, x) = (y − x, 0, y).
(d) T (x + 2y, 2y − x) = (2x, 0, x + 2y).
5.2sol (a) Sim.
(b) Não.
(c) Não.
(d) Sim.
(e) Não.
(f) Sim.
(g) Não.
(h) Não.
(i) Sim.
(j) Sim.
5.3sol α = 2β.
5.4sol (a) IT1 = R, cT1 = 1,
NT1 = (x,−x)|x ∈ R = 〈(1,−1)〉, nT1 = 1,
AT1 = [ 1 1 ].
(b) IT2 = (x, 2x)|x ∈ R = 〈(1, 2)〉, cT2 = 1,
NT2 = (−y − z, y, z)|y, z ∈ R = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉, nT2 = 2,
AT2 = [ 1 1 12 2 2 ].
142 5 Transformacoes Lineares
(c) IT3 = (x, 0, z)|x, z ∈ R = 〈(1, 0, 0), (0, 0, 1)〉, cT3 = 2,
NT3 = (z, 2z, z)|z ∈ R = 〈(1, 2, 1)〉, nT3 = 1,
AT3 =[
1 0 −10 0 00 1 −2
].
(d) IT4 = R3, cT4 = 3,
NT4 = (3w, 3w,w,w)|w ∈ R = 〈(3, 3, 1, 1)〉, nT4 = 1,
AT4 =[ 1 −1 0 0
0 0 1 −11 0 0 −3
].
5.5sol (a) T (x, y) = (−x + 3y, x, 2x + y).
(b) T (x, y) = (−x + 2y,−3x + y, 7x− y).
(c) T (x, y, z) = 8x− 3y − 2z.
5.6sol T (x, y, z) = (0, 0, z − y).
5.7sol (b) nT = 1, cT = 3.
5.8sol (b) Por exemplo:[
1 −10 0
], [ 1 0
0 1 ], nT = 2.
Capıtulo 6
Valores e Vectores Proprios
6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Proprios
6.1def Jvector próprio de uma matriz associado a um valor próprioK Seja A ∈Mn×n(R). Diz-se que x ∈ Cn \ 0Cn é um vector próprio da matriz
A associado ao valor próprio λ ∈ C se Ax = λx.
6.2def Jespectro de uma matrizK Seja A ∈ Mn×n(R). Chama-se espectro de
A, que se representa por λ(A), ao conjunto de todos os valores próprios
de A.
6.3def Jsubespaço próprio de um valor próprioK Sejam A ∈ Mn×n(R) e
λ ∈ λ(A). Chama-se subespaço próprio do valor próprio λ, que se
representa por Eλ, ao conjunto
Eλ := x ∈ Cn|Ax = λx.
6.4teo Sejam A ∈Mn×n(R) e λ ∈ λ(A). Então, Eλ é um subespaço de Cn.
143
144 6 Valores e Vectores Proprios
6.5obs (a) Note-se que existem matrizes reais cujos valores próprios são nú-
meros complexos.
(b) Cada vector próprio está associado apenas a um valor próprio.
(c) Se x é um vector próprio associado ao valor próprio λ, então, αx,
α 6= 0, também é um vector próprio associado ao valor próprio λ.
(d) Sejam A ∈Mn×n(R) e λ ∈ λ(A). Então,
Eλ = x ∈ Cn|x é um vector próprio associado
ao valor próprio λ ∪ 0Cn.
(e) Chama-se “subespaço próprio” ao conjunto Eλ devido ao teorema
anterior.
(f) O seguinte teorema indica-nos um processo de calcular λ(A).
6.6teo Seja A ∈Mn×n(R). Então, λ ∈ λ(A) se e só se det(A− λIn) = 0.
6.7def Seja A ∈Mn×n(R).
(a) Jpolinómio característico de uma matrizK Chama-se polinómio
característico da matriz A, que se representa por ΠA(λ), ao polinómio
ΠA(λ) := det(A− λIn).
(b) Jequação característica de uma matrizK Chama-se equação carac-
terística da matriz A à equação ΠA(λ) = 0 .
(c) Jmultiplicidade algébrica de um valor próprioK Seja λ um valor
próprio de A. Chama-se multiplicidade algébrica de λ à multipli-
cidade do escalar λ enquanto raíz da equação característica.
(d) Jvalor próprio simplesK Seja λ um valor próprio de A. Diz-se que
λ é um valor próprio simples se tem multiplicidade algébrica um.
6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Proprios 145
6.8teo Seja A ∈ Mn×n(R). Então, o coeficiente do termo de grau n do
polinómio característico da matriz A é (−1)n e o seu termo indepen-
dente de λ é det(A).
6.9obs Seja A ∈Mn×n(R). Então, ΠA(λ) = (−1)nλn + · · ·+ det(A).
6.10obs Seja A ∈Mn×n(R). Então,
(a) os valores próprios da matriz A são os zeros do seu polinómio
característico.
(b) Se λ é um valor próprio da matriz A, então os vectores próprios
associados a λ são as soluções não-nulas do sistema homogéneo
(A− λIn)x = 0.
(c) Do Teorema Fundamental da Álgebra resulta que ΠA(λ) tem
exactamente n zeros, podendo alguns deles ser iguais. Assim, se-
jam n1, n2, . . . , nm as multiplicidades dos m(6 n) zeros distintos
λ1, λ2, . . . , λm de ΠA(λ). Então,
ΠA(λ) = (−1)n(λ− λ1)n1(λ− λ2)
n2 · · · (λ− λm)nm,
em que n1+n2+· · ·+nm = n. Aos números n1, n2, . . . , nm chama-
se multiplicidade algébrica dos valores próprios λ1, λ2, . . . , λm,
respectivamente.
6.11teo Seja A uma matriz quadrada. Então, A é invertível se e só se 0 /∈ λ(A).
6.12exe Considere a matriz A =[
2 1 00 1 −10 2 4
].
(a) Determine o espectro da matriz A.
(b) Determine o espaço próprio associado ao valor próprio de menor
módulo da matriz A.
146 6 Valores e Vectores Proprios
res (a) Seja
A− λI3 =
2− λ 1 0
0 1− λ −1
0 2 4− λ
.
Então, aplicando o Teorema de Laplace e fazendo o desenvolvi-
mento a partir da primeira coluna, obtém-se
det(A− λI3) = (2− λ)((1− λ)(4 − λ) + 2)
= (2− λ)(λ2 − 5λ + 6)
= (2− λ)2(λ− 3),
pelo que
λ(A) = 2, 3,
sendo que λ1 = 2 é um valor próprio de multiplicidade algébrica
dois e λ2 = 3 é um valor próprio simples.
C.A.: λ2 − 5λ + 6 = 0⇔ λ =5±√
25− 24
2⇔ λ = 2 ∨ λ = 3.
(b) Para determinar o espaço próprio associado ao valor próprio λ1 =
2, tem que se resolver o sistema
(A− 2I3)x1 = 0.
6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Proprios 147
Aplicando o Método de Gauss, vem:
0 1 0 0
0 −1 −1 0
0 2 2 0
←−−−−−−−−−→ℓ2 ← ℓ2 + ℓ1
ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ1
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 2 0
←−−−−−−−−−→
ℓ3 ← ℓ3 − 2ℓ2
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 0
pelo que
x11 = a ∈ C
x12 = 0
x13 = 0.
Assim, tem-se:
E2 = (a, 0, 0)|a ∈ C.
148 6 Valores e Vectores Proprios
6.2 Exercıcios sobre Valores e Vectores Proprios
6.1exe Determine o espectro das seguintes matrizes, bem como os espaços
próprios associados aos seus valores próprios:
A =
1 4
2 3
, B =
1 −1
2 −1
, C =
1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4
,
D =
3 0 −1
0 2 0
−1 0 3
, E =
1 2 1
2 0 −2
−1 2 3
, F =
4 0 1
−2 1 0
−2 0 1
.
6.2exe Seja A = [aij] ∈Mn×n(K). Então, define-se o traço da matriz A, que
se representa por tr(A), como sendo tr(A) =∑n
i=1 aii. Considerando,
agora, a matriz B = [bij ] ∈M2×2(K), mostre que
ΠB(λ) = λ2 − tr(B)λ + det(B).
6.3exe Seja T ∈ L(Rn,Rn). Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes
afirmações:
(a) a matriz AT é invertível se e só se CSATx=0 = 0.
(b) A matriz AT é invertível se e só se #CSATx=b = 1, ∀b ∈ Rn.
(c) A matriz AT é invertível se e só se det(AT ) 6= 0.
(d) A matriz AT é invertível se e só se IT = Rn.
(e) A matriz AT é invertível se e só se as colunas da matriz AT são
linearmente independentes.
(f) A matriz AT é invertível se e só se as linhas da matriz AT são
linearmente independentes.
6.2 Exercıcios sobre Valores e Vectores Proprios 149
(g) A matriz AT é invertível se e só se as colunas da matriz AT geram
Rn.
(h) A matriz AT é invertível se e só se as linhas da matriz AT geram
Rn.
(i) A matriz AT é invertível se e só se as colunas da matriz AT formam
uma base de Rn.
(j) A matriz AT é invertível se e só se as linhas da matriz AT formam
uma base de Rn.
(k) A matriz AT é invertível se e só se nT = 0.
(l) A matriz AT é invertível se e só se cT = n.
(m) A matriz AT é invertível se e só se 0 /∈ λ(AT ).
150 6 Valores e Vectores Proprios
6.3 Solucoes dos Exercıcios sobre Valores e Vectores Proprios
6.1sol (a) λ(A) = −1, 5.E1 = (−2α,α)|α ∈ C.E5 = (α,α)|α ∈ C.
(b) λ(B) = −i, i.E−i = ( α
1+i , α)|α ∈ C.Ei = ( α
1−i , α)|α ∈ C.
(c) λ(C) = −2, 4, em que o valor próprio λ1 = −2 tem multiplici-
dade algébrica dois.
E−2 = (β − α, β, α)|α, β ∈ C.E4 = (α
2 , α2 , α)|α ∈ C.
(d) λ(D) = 2, 4, em que o valor próprio λ1 = 2 tem multiplicidade
algébrica dois.
E2 = (α, β, α)|α, β ∈ C.E4 = (−α, 0, α)|α ∈ C.
(e) λ(E) = 0, 2, em que o valor próprio λ2 = 2 tem multiplicidade
algébrica dois.
E0 = (α,−α,α)|α ∈ C.E2 = (α, 0, α)|α ∈ C.
(f) λ(F ) = 1, 2, 3.E1 = (−α
3 , β, α)|α, β ∈ C.E2 = (−α
2 , α, α)|α ∈ C.E3 = (−α,α, α)|α ∈ C.
6.3sol Todas as afirmações são verdadeiras.
Apendice A
Alfabeto Grego
Minúscula Maiúscula Nome Equivalente Latino
α A alfa a
β B beta b
γ Γ gama g
δ ∆ delta d
ε E épsilon e
ζ Z zeta z
η H eta e,h
θ Θ teta t
ι I iota i
κ K capa k
λ Λ lambda l
µ M miu m
ν N niu n
ξ Ξ csi cs
o O ómicron o
π Π pi p
ρ P ró r
σ Σ sigma s
τ T tau t
υ Υ ípsilon u,y
ϕ, φ Φ fi f
χ X qui c,x
ψ Ψ psi ps
ω Ω ómega w
151
Indice Remissivo
A←→ B, 22
base, 112
base ordenada, 112
C(a, b), 80
C∞(a, b), 80
Ck(a, b), 80
cT , 136
característica de uma matriz, 58
característica de uma transformação
linear, 136
co-factor de um elemento de uma ma-
triz, 43
coluna de uma matriz, 3
coluna nula, 20
coluna pivô, 20
combinação linear, 104, 116
complemento algébrico de um elemento
de uma matriz, 43
conjunto gerador, 108
conjunto linearmente independente, 110
conjunto solução, 55
coordenadas de um vector numa base
ordenada, 112
dim(V ), 114
determinante de uma matriz, 38
diagonal de uma matriz, 6
diagonal principal, 6
diagonal secundária de uma matriz,
6
dimensão de um espaço vectorial, 114
elemento de uma matriz, 3
endomorfismo, 130
152
INDICE REMISSIVO 153
equação característica de uma matriz,
144
escalar, 2, 78
espaço gerado, 107
espaço vectorial, 78
espaço vectorial complexo, 79
espaço vectorial de dimensão finita,
114
espaço vectorial real, 78
espectro de uma matriz, 143
fe(A), 24
fer(A), 24
função, 127
homomorfismo, 127
imagem de um elemento por meio de
uma função, 127
imagem de uma transformação lin-
ear, 133
Mm×n(K), 79
Kn, 79
Kn[x], 80
L(S), 107
L(V, V ′), 127, 128
linha de uma matriz, 3
linha nula, 20
Mm×n(C), 2
Mm×n(K), 2
Mm×n(R), 2
matriz, 2
matriz adjunta, 49
matriz ampliada, 55
matriz aumentada, 55
matriz coluna, 4
matriz complementar de um elemento
de uma matriz, 37
matriz complexa, 2
matriz conjugada, 18
matriz de uma transformação linear
entre espaços de dimensão finita,
132
matriz diagonal, 6
matriz dos coeficientes, 55
matriz elementar, 28
matriz em escada, 21
matriz em escada reduzida, 21
matriz escalar, 6
matriz hermítica, 19
matriz identidade, 7
matriz inversa, 14
matriz invertível, 14
154 INDICE REMISSIVO
matriz linha, 4
matriz não-invertível, 14
matriz não-singular, 14
matriz nula, 7
matriz ortogonal, 18
matriz quadrada, 5
matriz real, 2
matriz rectangular, 5
matriz simétrica, 17
matriz singular, 14
matriz transconjugada, 18
matriz transposta, 16
matriz triangular inferior, 6
matriz triangular superior, 6
matriz unitária, 19
matrizes comutáveis, 13
matrizes equivalentes, 22
matrizes iguais, 7
multiplicação de matrizes, 10
multiplicação de um escalar por um
vector, 78
multiplicidade algébrica de um valor
próprio, 144
IT , 133
NT , 133
nT , 136
núcleo de uma transformação linear,
133
nulidade de uma transformação lin-
ear, 136
operação elementar do tipo I nas lin-
has de uma matriz, 22
operação elementar do tipo II nas lin-
has de uma matriz, 22
operação elementar do tipo III nas
linhas de uma matriz, 22
ordem de uma matriz, 5
pivô, 20
polinómio característico de uma ma-
triz, 144
potência cartesiana de um conjunto,
1
potência de uma matriz, 13
produto cartesiano de dois conjuntos,
1
produto cartesiano de um número finito
de conjuntos, 1
produto de matrizes, 10
produto de uma matriz por um es-
calar, 8
sistema de equações lineares, 55
INDICE REMISSIVO 155
sistema de equações não lineares, 56
sistema homogéneo, 57
sistema homogéneo associado, 57
sistema impossível, 58
sistema possível, 57
soma de matrizes, 8
soma de vectores, 78
subespaço, 100
subespaço próprio de um valor próprio,
143
tipo de uma matriz, 2
transformação linear, 127
valor próprio simples, 144
variável livre, 58
variável pivô, 58
vector, 78
vector das incógnitas, 55
vector dos termos independentes, 55
vector próprio de uma matriz associ-
ado a um valor próprio, 143
vectores linearmente dependentes, 110
vectores linearmente independentes,
110
〈x1, . . . , xn〉, 107