sebenta algebra

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Algebra Linear

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lgebraLinearBSebentadaUnidadeCurricularEngenhariadeComunicaes(1oano/1osemestre)EngenhariaMecnica(1oano/1osemestre)GasparJosBrandoQueirozAzevedoMachadoDepartamentodeMatemticaparaaCinciaeTecnologiaUniversidadedoMinho2006/2007iiIndice1 Matrizes 11.1 Apontamentossobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Exerccios sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3 Solues dos Exerccios sobre Matrizes . . . . . . . . . . . . . 352 Determinantes 372.1 Apontamentossobre Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Exerccios sobre Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3 Solues dos Exerccios sobre Determinantes. . . . . . . . . . 533 Sistemas de Equac oes Lineares 553.1 Apontamentossobre Sistemas de Equaes Lineares . . . . . 553.2 Exerccios sobre Sistemas de Equaes Lineares . . . . . . . . 713.3 Solues dos Exerccios sobre Sistemas de Equaes Lineares . 744 Espac os Vectoriais 774.1 Apontamentossobre Espaos Vectoriais . . . . . . . . . . . . 77iii4.2 Exerccios sobre Espaos Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . 1194.3 Solues dos Exerccios sobre Espaos Vectoriais . . . . . . . 1255 Transformac oes Lineares 1275.1 Apontamentossobre TransformaesLineares . . . . . . . . . 1275.2 Exerccios sobre TransformaesLineares . . . . . . . . . . . 1385.3 Solues dos Exerccios sobre TransformaesLineares . . . . 1416 Valores e Vectores Pr oprios 1436.1 Apontamentossobre Valores e Vectores Prprios . . . . . . . 1436.2 Exerccios sobre Valores e Vectores Prprios . . . . . . . . . . 1486.3 Solues dos Exerccios sobre Valores e Vectores Prprios . . 150Ap endice A 151Indice Remissivo 152ivCaptulo 1Matrizes1.1 Apontamentos sobre Matrizes1.1def (a) produtocartesianodedoisconjuntosSejamAeBconjuntos.Chama-seprodutocartesianodeAeB, queserepresentaporAB, ao conjunto(a, b)[a A, b B.(b) produto cartesiano de um nmero nito de conjuntos Sejam n N e os conjuntos A1, A2, . . . , An. Chama-se produto cartesiano deA eB, que se representaporA1 A2 An, ao conjunto(a1, a2, . . . , an)[a1 A1, a2 A2, . . . , an An, .(c) potncia cartesianade um conjunto Sejamn N eXum con-junto. Chama-se potncia cartesiana de ordemn do conjuntoX,que se representaporXn, ao conjunto(x1, x2, . . . , xn)[x1, x2, . . . , xn X,12 1 Matrizesidenticando-seX1comX.1.2exe ExpliciteR2eC3.res R2= (x, y)[x, y R.C3= (z1, z2, z3)[z1, z2, z3 C.1.3def (a) matriz, tipode umamatriz, matriz real, matriz complexaSejamm, n N. Chama-sematrizdotipom n(l-semporn) aumafunocomdomnio (i, j) N2[i =1, . . . , m, j =1, . . . , necomconjuntodechegada RouC, dizendo-sequeuma matrizreal ou complexa, respectivamente.(b) mn(R) Representa-se por mn(R) oconjuntodas ma-trizes reais do tipomn.(c) mn(C) Representa-se por mn(C) o conjunto das matrizescomplexas do tipomn.1.4obs (a) possvel considerar matrizes cujos elementos no so nem nme-rosreais, nemnmeroscomplexos(e.g., polinmios), masnestecurso apenas aqueles casos so os com interesse.(b) Quandonorelevantedestinguiroconjuntodosnmerosreais(R) do conjunto dos nmeros complexos (C), usa-se o smbolo K,tendo-sea seguinte denio:1.5def mn(K) Representa-se por mn(K) o conjunto das matrizes dotipomn, independentementede serem reais ou complexas.1.6def escalar Chama-se escalar a um elementodeK.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 31.7def SejamA mn(K),i 1, . . . , m ej 1, . . . , n.(a) elementode umamatriz Chama-se elementodalinhai edacoluna j da matriz A, que se representa por ai,j ou (A)i,j, a A(i, j).(Se no houver ambiguidade relativamente ao ndice da linha e aondice da coluna representa-seporaijou(A)ij.)(b) linha de uma matriz Chama-se linhai da matrizA, que se rep-resenta por i,A, a (ai1, ai2, . . . , ain). (Se no houver ambiguidaderelativamente matriz representa-sepori.)(c) colunadeumamatrizChama-secolunajdamatrizA, queserepresenta por cj,A, a (a1j, a2j, . . . , amj). (Se no houver ambigu-idade relativamente matriz representa-seporcj.)1.8obs (a) Regra geral usam-se letras maisculas para representar matrizes.(b) Representa-se porA = [aij] mn(K) a matrizA =

a11a12 a1na21a22 a2n............am1am2 amn,em quea11, a12, . . . , a1n, a21, a22, . . . , a2n, am1, am2, . . . , amn K.(c) Aletrai aparecenestecursoquercomoaunidadeimaginriadosnmeroscomplexos, quercomoaletrausual pararepresen-taralinhadeumamatriz. Noentanto, ocontextosersempresucientepara identicaro signicado correcto.(d) Quandoseestperantematrizesdoconjunto 11(K), ocon-texto ser suciente para distinguir se se est a fazer referncia matriz ou ao nico elementoque a constitui.4 1 Matrizes1.9exe D um exemplo de uma matriz pertencentea 23(R).res A =

1 1/2 42 0

.1.10exe Explicitea matrizA = [aij] 23(R),aij= j i.res A =

0 12101

.1.11exe Considerea matrizA = [12345678].(a) Indique o elemento que est na segunda linha e na terceira colunada matrizA.(b) Indique a segunda linha da matrizA.(c) Indique a terceiracoluna da matrizA.res (a) a23= 7.(b) 2= (5, 6, 7, 8).(c) c3= (3, 7).1.12def SejaA mn(K).(a) matriz coluna Diz-se queA uma matrizcoluna sen = 1.(b) matriz linha Diz-se queA uma matriz linha sem = 1.1.13obs habitual representarmatrizes linha e matrizes coluna por letras mi-nsculaseosseuselementosapenascomumndice. Assim,eusandoestanotao,as formas damatrizcolunax comm linhase damatrizlinhaycomn colunas so:x =

x1x2...xm, y=

y1y2 yn

.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 51.14exe (a) D um exemplo de uma matriz coluna complexa com 2 elementos.(b) D um exemplo de uma matrizlinha real com3 elementos.(c) Indiqueseaseguinteproposioverdadeiraoufalsa: Hma-trizes que so simultaneamente matrizes linha e matrizes coluna.res (a) p =

1+2i1

.(b) q= [ 04 1 ].(c) Proposioverdadeirapois as matrizes quepertencemaocon-junto 11(K) so matrizes linhapois s tm uma coluna e somatrizes coluna pois s tm uma linha.1.15def SejaA mn(K).(a) matrizrectangularDiz-sequeAumamatrizrectangular sem = n.(b) matrizquadrada, ordemdeumamatriz Diz-sequeAumamatrizquadradasem=n, dizendo-senestecasoqueAumamatriz de ordemn.1.16exe (a) Indique se aseguinte proposio verdadeiraoufalsa: A=[123000] uma matriz rectangular.(b) D um exemplo de uma matrizreal de ordem2.res (a) A proposio verdadeira pois o nmero de linhas da matriz, que2, diferentedo nmerode colunas da matriz, que 3.(b) X=

1 20 1

.6 1 Matrizes1.17def SejaA = [aij] nn(K).(a) diagonalprincipaloudiagonaldeumamatriz Chama-sediag-onalprincipaldamatrizAou diagonaldamatrizA aoelemento(a11, a22, . . . , ann) deKn.(b) diagonal secundria de uma matriz Chama-se diagonal secundriada matrizA ao elemento(a1n, a2,n1, . . . , an1) deKn.(c) matriz diagonalA diz-se uma matriz diagonal sei = j aij=0.(d) matriz escalar Adiz-se umamatriz escalar se umamatrizdiagonalcoma11= a22= . . . = ann.(e) matriz triangular superior A diz-se uma matriz triangular supe-rior sei > j aij= 0.(f) matriz triangular inferior A diz-se uma matriz triangular inferiorsei < j aij= 0.1.18obs (a) As denies anterioress se aplicam a matrizes quadradas.(b) Aumamatrizdiagonal setodososelementosforadadiagonalso zeros.(c) A uma matriz triangular superior se todos os elementos abaixoda diagonalso zeros.(d) A uma matriz triangularinferior se todos os elementos acimada diagonalso zeros.1.19exe (a) D um exemplo de uma matriz diagonalde ordem4.(b) D um exemplo de uma matriz escalar de ordem3.(c) D um exemplo de uma matriz triangularsuperior de ordem2.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 7(d) Dumexemplodeumamatriztriangularinferiordeordem3eindique a sua diagonal principale diagonalsecundria.(e) D um exemplo de uma matriz simultaneamente triangular supe-rior e triangularinferior de ordem2.res (a) A =1000020000000000

.(b) B=

1 0 00 1 00 0 1

.(c) C= [1201].(d) D =

1 0 01 0 02 12

.(e) E= [1002].1.20def (a) matriznula, 0mn,0 Chama-sematriznulaaumamatrizcu-joselementossotodosiguaisa0. Representa-seamatriznuladotipomnpor0mnoupor0senohouverambuiguidaderelativamenteao tipo.(b) matrizidentidade, In, I Chama-se matriz identidade ma-triz escalar cujos elementos dadiagonal sotodos iguais a 1.Representa-seamatrizidentidadedeordemnpor InouporIse no houver ambuiguidaderelativamente ordem.1.21exe (a) Indique a matriz nula do tipo2 4.(b) Indique a matriz identidadede ordem3.res (a) 024= [00000000].(b) I3=

100010001

.1.22def matrizes iguais Sejamas matrizes A=[aij] mn(K) e B=[bij] pq(K). Diz-sequeAeBsomatrizes iguais sem=p,n = qeaij= bij, i 1, . . . , m, j 1, . . . , n.8 1 Matrizes1.23obs Usa-se esta denio em algumas demonstraes relativas a matrizes.1.24def soma de matrizes Sejam as matrizes A = [aij], B= [bij] mn(K).Chama-sesomadasmatrizesAeBmatrizZ=[zij] mn(K),zij= aij+bij, escrevendo-seZ= A +B.1.25def produtodeumamatrizporumescalarSejamamatrizA=[aij] mn(K)eoescalar K. Chama-seprodutodamatrizApeloescalarmatrizZ=[zij] mn(K), zij=aij, escrevendo-seZ= A.1.26obs (a) S se pode somar matrizes do mesmos tipo.(b) sempre possvel multiplicaruma matrizpor um escalar.(c) Seja a matrizA. Ento,em vez de(1)A escreve-se A.(d) SejamasmatrizesAeBdomesmotipo. Ento, tendoemcon-siderao a alnea anterior, em vez de A+(B) escreve-se AB.(e) A matriznula o elementoneutro da soma de matrizes.1.27exe Sejam as matrizesA =

12 10 1 4

eB=

3 0 21 12

.(a) CalculeA+B.(b) Calcule2A.(c) Calcule12A3B.res (a) A +B=

12 10 1 4

+

3 0 21 12

=

22 310 2

.(b) 2A = 2

12 10 1 4

=

24 20 2 8

.(c)12A3B=12

12 10 1 4

3

3 0 21 12

=

19/2 1 11/23 7/2 8

.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 91.28teo (a) A, B mn(K) : A +B= B +A.(b) A, B, C mn(K) : (A +B) +C= A+ (B +C).(c) A mn(K) : A+ 0mn= A.(d) A mn(K) : A+ (A) = 0mn.(e) , K, A mn(K) : ()A = (A).(f) , K, A mn(K) : ( +)A = A +A.(g) K, A, B mn(K) : (A +B) = A +B.(h) A mn(K) : 1A = A.dem (a) Como, pordeniodesomadematrizes, asmatrizesA + BeB+A so do tipo mn e como, para i = 1, . . . , m e j= 1, . . . , n,(A +B)ij= (A)ij+ (B)ijpordeniodesomadematrizes= (B)ij+ (A)ijpelapropriedadecomutativadosescalares= (B +A)ijpordeniodesomadematrizes,tem-se que as matrizesA +BeB +A so iguais.(b) Como, por denio de soma de matrizes, as matrizes (A+B)+CeA + (B+ C)sodotipomnecomo, parai =1, . . . , mej= 1, . . . , n,((A +B) +C)ij= (A +B)ij + (C)ijpordeniodesomadematrizes= ((A)ij+ (B)ij) + (C)ijpordeniodesomadematrizes= (A)ij+ ((B)ij+ (C)ij) pelapropriedadeassociativadosescalares= (A)ij+ (B +C)ijpordeniodesomadematrizes,tem-se que as matrizes(A +B) +CeA+ (B +C) so iguais.10 1 Matrizes(c) Como,pordeniode somadematrizes,as matrizesA + 0mneA so do tipomn e como, parai = 1, . . . , m ej= 1, . . . , n,(A+ 0)ij= (A)ij+ (0mn)ijpordeniodesomadematrizes= (A)ij+ 0 pordeniodematriznula= (A)ij0oelementoneutrodasomadeescalares,tem-se que as matrizesA+BeB +A so iguais.(d) Como, pordeniodesomadematrizes, asmatrizesA + BeB+A so do tipo mn e como, para i = 1, . . . , m e j= 1, . . . , n,(A+ (A))ij= (A)ij+ (A)ijpordeniodesomadematrizes= (A)ij (A)ijpor 1.26obs (c)= 0 poissoescalaressimtricos,tem-se que as matrizesA+ (A) e0mnso iguais.(e) Exerccio.(f) Exerccio.(g) Exerccio.(h) Exerccio.1.29def produto ou multiplicao de matrizes Sejam as matrizesA = [aij] mn(K)eB=[bij] np(K). Chama-seprodutooumultipli-caodamatriz Apelamatriz Bmatriz Z=[zij] mp(K),zij=nk=1aikbkj, escrevendo-seZ= AB.1.30obs (a) S se pode efectuar a multiplicao da matriz A pela matriz BseonmerodecolunasdamatrizAforigual aonmerodelinhas1.1 Apontamentos sobre Matrizes 11da matriz B. Neste caso, o nmero de linhas da matriz resultanteigual aonmerodelinhasdamatrizAeonmerodecolunasdamatrizresultanteigual aonmerodecolunasdamatrizB.Em notao simplicada,tem-se: AmnBnp= Zmp.(b) Sejamas matrizesA = [aij] 32(R)eB= [bij] 24(R).Ento, como o nmero de colunas da matrizA igual ao nmerodelinhasdamatrizB, possvel efectuaraoperaoAB. Porexemplo o elemento(AB)23obtm-se considerando2,Aec2,B:

2 1

45 =

13 ....A=[aij]M32(R). .. .B=[bij]M24(R). .. .ABM34(R)(AB)23=2k=1a2kbk3= a21b13 +a22b23= 2 4 + 1 5 = 13.1.31exe Considere as matrizes A =

101 1

e B=

1 120 21

. Efectue, se possvel,as seguintes operaes:(a) AB.(b) BA.(c) BI3.(d) I2B.res (a) Comoonmerodecolunas damatrizAigual aonmerodelinhas da matrizB, possvel efectuar a operaoAB, tendo-seAB=

1 01 1

1 1 20 2 1 =

1 1 21 3 3.12 1 Matrizes(b) ComoonmerodecolunasdamatrizB,que3,diferentedonmerode linhasdamatrizA,que 2,no possvelefectuaraoperaoBA.(c) Comoonmerodecolunas damatrizBigual aonmerodelinhas da matrizI3, possvel efectuar a operaoBI3, tendo-seBI3=

1 1 20 2 1

1 0 00 1 00 0 1 =

1 1 20 2 1.(d) Comoonmerodecolunas damatrizI2igual aonmerodelinhas da matrizB, possvel efectuar a operaoI2B, tendo-seI2B=

1 00 1

1 1 20 2 1 =

1 1 20 2 1.1.32teo (a) A mn(K), B np(K), C pq(K) : (AB)C=A(BC).(b) A, B mn(K), C np(K) : (A +B)C= AC +BC.(c) A mn(K), B, C np(K) : A(B +C) = AB +AC.(d) A mn(K) : ImA = AIn= A.(e) K, A mn(K), B np(K):(AB)=(A)B=A(B).dem Exerccio.1.33obs (a) A matriz identidade o elemento neutro da multiplicao de ma-trizes.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 13(b) SejamA, BeCmatrizesdomesmotipo. Ento, tem-sequeaexpresso A+B+Cno resulta ambgua devido propriedadeassociativa da soma de matrizes.(c) SejamA mn(K), B np(K)eC pq(K). Ento,tem-sequeaexpressoABCnoresultaambguadevidopro-priedade associativa da multiplicao de matrizes, fazendo sentidoa seguintedenio:1.34def potnciadeumamatrizSejamp NeAumamatrizquadrada.Chama-sep-simapotnciadamatrizA,queserepresentaporAp,apk=1A.1.35obs A multiplicao de matrizes no goza da propriedade comutativa. Faz,pois, sentido a seguinte denio:1.36def matrizes comutveis SejamA e Bmatrizes da mesma ordem. Diz-seque as matrizesA eBso comutveisseAB= BA.1.37exe Sejam A e Bmatrizes quadradas da mesma ordem. Ento, simpliquea expresso(A+B)2(AB)(A +B) 2B2.res (A+B)2(AB)(A+B) 2B2= (A+B)(A+B) (AB)(A+B) 2B2= A2+AB+BA+B2A2AB+BA+B22B2= 2BA.1.38exe Considere a matrizA = [2011]. CalculeA3.res ComoA uma matriz quadrada, possvel determinarA3, tendo-seA3=

2 01 1

2 01 1

2 01 1 =

4 03 1

2 01 1 =

8 07 1.Nota: como a multiplicaode matrizes associativa, tambm se temA3= A(AA).14 1 Matrizes1.39obs No se dene a operao diviso de matrizes.1.40def matrizinvertvel ouno-singular, matrizno-invertvel ousingularSejaA nn(K). Diz-sequeAumamatrizinvertvel ouno-singularse existir umamatrizZ nn(K) tal queAZ= ZA = In.Caso contrrio,diz-se queA uma matriz no-invertvelou singular.1.41teo Seja A nn(K) tal que uma matriz invertvel. Ento, existe umae uma s matrizZ nn(K) tal queZA = AZ= In.dem SejamX, Y nn(K) tais queAX= In(1)=XA,AY(2)=In= Y A.Ento,X= XInIoelementoneutrodamultiplicaodematrizes= X(AY ) por(2)= (XA)Y amultiplicaodematrizesassociativa= InY por(1)= Y, Ioelementoneutrodamultiplicaodematrizes,i.e., existe uma nica matriz que satisfaz a condio de invertibilidade.1.42def matrizinversaSejaAumamatrizdeordemn invertvel. Chama-sematriz inversa da matrizA, que se representa por A1, nica matrizZtal queAZ= ZA = In.1.43teo SejamA e Bduas matrizes quadrada da mesma ordem. Ento,AB=I A1= B.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 151.44obs (a) SeA a matrizinversadamatrizB, entoB a matrizinversada matrizA.(b) SejamAeBduasmatrizesquadradadamesmaordem. Ento,AB=I BA=I. Assim,bastavericarAB=IouBA=Ipara se concluir que as matrizes A e B so invertveis com A1=BeB1= A.1.45teo (a) SejaA uma matriz invertvel. Ento,A1tambm uma matrizinvertvele(A1)1= A.(b) SejamA, Bnn(K) matrizes invertveis. Ento,ABtambm uma matriz invertvele(AB)1= B1A1.dem (a) ComoA uma matriz invertvel,tem-se queAA1= A1A = I.Logo,A1 invertvele A1

1= A.(b) SejamA, Bnn(K) matrizes invertveis. Ento, existemA1, B1 nn(K) tais queAA1(1)=In= AA1,BB1= In(2)=BB1,pelo que(AB)(B1A1) = A(BB1)A1amultiplicaodematrizesassociativa= AInA1por(2)= AA1Ioelementoneutrodamultiplicaodematrizes= In, por(1)pelo queAB invertvelcom(AB)1= B1A1umavezque ainversa de uma matriz nica.16 1 Matrizes1.46obs (a) H matrizes quadradas que no admitem inversa.(b) Apresenta-se no nal deste captulo uma condio para caracteri-zar matrizes invertveis e um mtodo geral para clcular inversas.1.47exe Sejam as matrizesA =13

1 11 2

eB=

2 111

.(a) DetermineAB.(b) O que pode concluirda alnea anterior?(c) As matrizesA eBso comutveis?res (a) AB=13

1 11 2 2 111

=13 [3003] = [1001].(b) As matrizes so invertveiscomA1= BeB1= A.(c) Sim, poisAB= BA = I2.1.48def matriztranspostaSejaamatrizA=[aij] mn(K). Chama-setranspostadamatrizAmatrizZ=[zij] nm(K), zij=aji,escrevendo-seZ= AT.1.49obs (a) sempre possvel calcular a matriz transposta de uma matriz.(b) Calculara transposta de uma matriz corresponde a trocar linhascom colunas.1.50exe Sejam as matrizesA =

1 200 2 1

eu =

11

.(a) CalculeAT.(b) CalculeAATuTu .res (a) AT=

1 0220 1

.(b)AATuTu=

1 200 2 1

1 0220 1

[ 1 1 ]

11

=12

5 44 5

=

5/2 225/2

.Nota: relembrar 1.8obs (d).1.1 Apontamentos sobre Matrizes 171.51teo (a) A mn(K) :

AT

T= A.(b) A, B mn(K) : (A +B)T= AT+BT.(c) K, A mn(K) : (A)T= AT.(d) A mn(K), B np(K) : (AB)T= BTAT.(e) A nn(K) :

AT

1=

A1

T.dem (a) Exerccio.(b) Exerccio.(c) Exerccio.(d) Como,pordeniodatranspostadeumamatrizedamultipli-cao de matrizes, as matrizes(AB)TeBTATso do tipop me como,parai = 1, . . . , m ej= 1, . . . , n,

(AB)T

ij= (AB)jipeladeniodematriztransposta=nk=1(A)jk(B)kipeladeniodeprodutodematrizes=nk=1(B)ki(A)jkpelapropriedadecomutativadosescalares=nk=1(BT)ik(AT)kjpeladeniodematriztransposta= (BTAT)ij, peladeniodeprodutodematrizes,tem-se que as matrizes(AB)TeBTATso iguais.(e) Exerccio.1.52def matrizsimtricaSejaAumamatrizquadrada. Diz-sequeAumamatriz simtricaseA = AT.18 1 Matrizes1.53exe D um exemplo de uma matriz simtrica de ordem3.res A =

0 1 21 1032 3 1

.1.54def matrizortogonalSejaA nn(K). Diz-sequeAumamatrizortogonalseAAT= ATA = In.1.55obs Se A uma matriz ortogonal, ento A uma matriz invertvel eA1=AT.1.56exe Veriqueque a matrizA = [cos sen sen cos ], R, ortogonal.res ComoAAT=

cos sen sen cos

cos sen sen cos =

cos2 + sen2 cos sen sen cos sen cos cos sen sen2 + cos2=

1 00 1,i.e.,AAT= I2, tem-se queA uma matriz ortogonal.1.57obs Recorde: sejaz =a+bi C. Chama-se conjugadode z, queserepresentaporz, aa bi C.1.58def SejaA = [aij] mn(C).(a) matrizconjugada Chama-sematrizconjugadade AmatrizZ= [zij] mn(C),zij= aij, escrevendo-seZ= A.(b) matriz transconjugada Chama-se matriz transconjugada de A matrizZ=[zij] mn(C), zij=aji(ondeajirepresentaoconjugadodeaji), escrevendo-seZ= AH.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 191.59obs (a) sempre possvel calcular a matriz conjugada e a matriz transcon-jugada de uma matriz.(b) Calcular a matriz conjugada de uma matriz corresponde a conju-gar os seus elementos.(c) Calcularamatriztransconjugadadeumamatrizcorrespondeaconjugar os seus elementose a trocar depois linhas com colunas.1.60exe Seja a matrizA =

02i i1 0 1

. Ento,determineAT,A eAH.res AT=

0 12i0i 1

,A =

02+i i1 0 1

,AH=

0 12+i0i 1

.1.61teo (a) A mn(C) :

AH

H= A.(b) A, B mn(C) : (A +B)H= AH+BH.(c) C, A mn(C) : (A)H= AH.(d) A mn(C), B np(C) : (AB)H= BHAH.(e) A nn(C) :

AH

1=

A1

H.dem Exerccio.1.62def matrizhermticaSejaA nn(C). Diz-sequeAumamatrizhermticaseA = AH.1.63exe D um exemplo de uma matrizhermticade ordem3.res A =

0 1i 21+i 2 3+2i2 32i 1

.1.64def matrizunitria SejaA nn(C). Diz-seque AumamatrizunitriaseAAH= AHA =In.1.65obs Se A uma matriz unitria, ento A uma matriz invertvel e A1=AH.20 1 Matrizes1.66exe Veriqueque a matrizA =12

i33 i

unitria.res ComoAAH=14

i33 i

i33 i=14

4 00 4=

1 00 1,i.e.,AAH= I2, tem-se queA uma matriz unitria.1.67def SejaA = [aij] mn(K).(a) linhanula Diz-sequei umalinhanulada matrizA seai1=ai2== ain= 0.(b) colunanulaDiz-sequecjumacolunanuladamatrizAsea1j= a2j== amj= 0.(c) pivChama-sepivaoelementodiferentedezeromais es-querda de uma linha no-nula.(d) colunapivChama-secolunapivaumacolunadamatrizseexiste um elementopiv nessa coluna.1.68exe Seja a matriz A =

000010200003040

. Identique os pivs e as colunas piv damatrizA.res Pivs: a15,a22ea32.Colunas piv: c2ec5.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 211.69def SejaA mn(K).(a) matrizemescadaDiz-sequeAumamatrizemescadaseonmero de elementos nulos que precedem o piv aumenta de linhapara linha at que, possivelmente,sobrem apenas linhas nulas.(b) matriz em escada reduzida Diz-se que A uma matriz em escadareduzida se uma matriz em escada, se todos os pivs so iguais aum e se estes so os nicos elementos no-nulos nas colunas piv.1.70exe Indiquequaisdasseguintesmatrizessomatrizesemescadaeemes-cada reduzida:A =

1 0 10 1 1, B=

1 0 2 00 2 0 0, C=

0 1 2 0 30 0 0 1 00 0 0 0 0,D =

0 0 1 0 2 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 2 0 4 00 0 0 0 0 5 0, E=

1 0 1 0 0 0 00 1 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0,F=

1 00 1, G =

1 10 1, H=

0 00 0, u =

100, v=

110.res Matrizes em escada: A,B,C,F,G,H,u.Matrizes em escada reduzida: A,C,F,H,u.22 1 Matrizes1.71def SejamA mn(K), i 1, . . . , m, j 1, . . . , n, K ` 0e K.(a) operaoelementardotipoInaslinhasdeumamatrizD-seonomedeoperaoelementardotipoInaslinhasdamatrizA,que se representapori j, troca de duas linhas.(b) operaoelementardotipoIInaslinhasdeumamatrizD-seo nome de operao elementar do tipo II nas linhas da matrizA,queserepresentapori i,substituiodeumalinhaporum seu mltiplono-nulo.(c) operao elementardo tipo III nas linhas de uma matriz D-seo nome de operao elementar do tipo III nas linhas da matrizA,queserepresentapori i + j,substituiodeumalinhapela sua soma com um mltiplode outra linha.1.72obs Nadenioanterior apenas se consideramoperaes sobre linhas,apesar de tambm ser possvel denir operaes sobre colunas. Fazendoestecursoapenasfazrefernciaaoperaeselementaressobrelinhas,estas passaro a ser referenciadas apenas por operaes elementares.1.73def matrizesequivalentes, A B SejamA, B mn(K). Diz-sequeAeBsomatrizesequivalentes, escrevendo-seA B, sesepodeobterumaapartirdaoutraatravsdumasequncia(nita)deoperaes elementarescom linhas.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 231.74exe Seja a matriz A =

024011022205

. Efectue a seguinte sequncia de operaesnamatriz A: 1 2, 3 3 21, 1 1 23, 2 122e1 12.res

0 2 4 01 1 0 22 2 0 51 2

1 1 0 20 2 4 02 2 0 53 321

1 1 0 20 2 4 00 0 0 11 123

1 1 0 00 2 4 00 0 0 12 122

1 1 0 00 1 2 00 0 0 11 1 2

1 0 2 00 1 2 00 0 0 1.24 1 Matrizes1.75teo SejaA mn(K). Ento, existeumanicamatrizemescadare-duzidaque equivalente matrizA.1.76obs Seja A uma matriz no-nula. Ento, existe uma innidade de matrizesem escada que so equivalentes matrizA.1.77def SejaA uma matriz.(a) fe(A)Representa-seporfe(A)oconjuntodasmatrizesemes-cada que so equivalentes matrizA.(b) fer(A)Representa-seporfer(A)anicamatrizemescadare-duzidaque equivalente matrizA.1.78obs SejaA uma matriz.(a) Note-se quefe(A) um conjunto de matrizes e quefer(A) umamatriz.(b) Em 1.79obs apresenta-seumalgoritmoparadeterminarumel-ementodefe(A)eem 1.80obs apresenta-seumalgoritmoparadeterminarfer(A).1.1 Apontamentos sobre Matrizes 251.79obs SejaA=[aij] mn(R). Ento, oseguintealgoritmodeterminaum elementodefe(A):Passo1[inicializaro algoritmo]i 1j ndice da coluna no-nulamais esquerda da matrizAPasso2[seleccionarelementopiv]seaij= 0entok minq i + 1, . . . , m[aqj = 0i kmsePasso3[anularos elementosabaixo do piv]parap i + 1atmfazerp p apjaijimparaPasso4[terminar?]se j se obteve uma matriz em escadaentoterminarsenoi i + 1j ndiceda coluna no-nulamais esquerda da matrizquese obtm eliminandona matrizA as linhas1, . . . , i1ir para o Passo 2mse26 1 Matrizes1.80obs SejaA=[aij] mn(R). Ento, oseguintealgoritmodeterminafer(A):Passo1[inicializaro algoritmo]determinarA= [aij] fe(A)i ndice da ltima linha no-nulada matrizAj ndiceda coluna piv da linhaiPasso2[colocar elementopiv a um]seaij = 1entoi 1aijimsePasso3[anularos elementosacima do piv]parap 1ati 1fazerp p apjimparaPasso4[terminar?]se j se obteve uma matriz em escada reduzidaentoterminarsenoi i 1j ndice da coluna piv da linhaiir para o Passo 2mse1.1 Apontamentos sobre Matrizes 271.81exe Seja a matriz A =

000301120221

. Determine um elemento de fe(A) e fer(A).res

0 0 0 30 1 1 20 2 2 1. .. .A1 2

0 1 1 20 0 0 30 2 2 13 321

0 1 1 20 0 0 30 0 0 3. .. .Afe(A)3 3 +2

0 1 1 20 0 0 30 0 0 02 132

0 1 1 20 0 0 10 0 0 01 122

0 1 1 00 0 0 10 0 0 0. .. .fer(A).28 1 Matrizes1.82def matrizelementarSejaE nn(K). Diz-sequeEumamatrizelementar se se pode obter atravs de uma operao elementar sobre amatrizIn.1.83exe A partirdeI4,determineas matrizeselementaresobtidasatravsdasseguintesoperaes elementares:(a) 2 4.(b) 3 23.(c) 3 3 21.res (a)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 12 4

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0.(b)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 13 23

1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 1.(c)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 13 321

1 0 0 00 1 0 02 0 1 00 0 0 1.1.1 Apontamentos sobre Matrizes 291.84teo As matrizes elementares so invertveis e as suas inversas so matrizeselementares.1.85teo SejamA, B mn(K) tais queA B. Ento, existe um nmeronito de matrizes elementares E1, E2, . . . , Ek, tais que B= E1E2 EkA.1.86teo SejaA mn(K). Ento, existe umnmeronitode matrizeselementaresE1, E2, . . . , Ek, tais quefer(A) = E1E2 EkA.1.87teo SejaA nn(K). Ento,A invertvelse e s seA o produto dematrizes elementares.1.88obs (a) SejaA nn(K). Ento,A invertvelse e s sefer(A) = In.(b) Sejamk NeA nn(K)umamatrizinvertvel. Ento,existem matrizeselementaresE1, E2, . . . , Ektais queIn= Ek E2E1A,pelo queA = E11E12 E1kIn,ou aindaA1= In

E1k

1

E12

1

E11

1= Ek E2E1In,i.e., A1obtm-seapartirdeInatravsdasmesmasoperaeselementaresque transformamA emIn.30 1 Matrizes1.89exe Verique que amatriz A=

112010225

invertvel e determine asuainversa.res

1 1 2 1 0 00 1 0 0 1 02 2 5 0 0 1. .. .A|I33 3 21

1 1 2 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 2 0 11 1 23

1 1 0 5 0 20 1 0 0 1 00 0 1 2 0 11 12

1 0 0 5 1 20 1 0 0 1 00 0 1 2 0 1. .. .I3|A1.Assim, A uma matriz invertvel pois fer(A) = I3 comA1=

5 1 20 1 02 0 1

.Calcule-se,apenas para efeito de vericao,queAA1= I3:AA1=

1 1 20 1 02 2 5

5 1 20 1 02 0 1 =

1 0 00 1 00 0 1.1.2 Exerccios sobre Matrizes 311.2 Exerccios sobre Matrizes1.1exe Considere as matrizesA =

1 1 0 02 1 1 2, B=

1 0 00 2 00 0 3, c =

111, D=

1 12 20 0,e =

i 1 0 i

, F=

2 +i 10 1 2i, g=

1

, H=

1 00 1.(a) Indique as matrizesrectangularese o seu tipo.(b) Indique as matrizesquadradas e a sua ordem.(c) Indique as matrizeslinha.(d) Indique as matrizescoluna.(e) Indique as matrizesdiagonais.(f) Indique as matrizesescalares.(g) Indique as matrizestriangulares superiores.(h) Indique as matrizestriangulares inferiores.1.2exe Considere as matrizesA =

1 1 02 1 1, B= [bij] 23(R),bij= i j,C= [cij] 22(R),cij=

0 se i < j,(1)i+1se i = j,1 se i > j,u =

120.Indiqueseestobemdenidasasseguintesexpresses,efectuandoasoperaes nesses casos:32 1 Matrizes(a) A + 2B.(b) A C.(c) AC.(d) CA.(e) C3.(f)ABT+BAT2.(g) (CBATC)2.(h) uuT.(i) uTu.(j) uTATBu.1.3exe Determineosvaloresa, b, c C, paraqueamatrizS=

1ab1232c3

sejasimtrica.1.4exe Indique quais das seguintes matrizes so ortogonais:A =

132323231323232313, B=

12121212, C=

45353545.1.5exe Determineosvaloresa, b, c C,paraqueamatrizT=

0 a b1 c i2i i3

sejahermtica.1.6exe Mostre queB=15

3 4i43i

uma matriz unitria.1.7exe ConsidereamatrizD=

i 0 2i2 1 0

. MostrequeestbemdenidaaexpressoDDHDDTe determine o seu valor.1.8exe Mostre que o produto de uma matriz pela sua transposta uma matrizsimtrica.1.9exe MostrequeseAeBsomatrizescomutveiseBumamatrizin-vertvel,entoAB1= B1A.1.10exe SejamAeBmatrizes comutveis einvertveis. Ento, mostreque(AB)1= A1B1.1.2 Exerccios sobre Matrizes 331.11exe Umamatriz real e quadrada Adiz-se anti-simtricase AT=A.Mostre que, dada qualquer matriz real e quadrada B, a matriz BBT anti-simtrica.1.12exe Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais ainda uma matrizortogonal.1.13exe Seja A uma matriz quadrada tal que Ap= 0 para algum p N. Ento,mostre que(I A)1= I +p1k=1Ak.1.14exe Determine,paracadaumadasseguintesmatrizes,umamatrizequiv-alenteque seja umamatrizemescadae amatrizequivalenteque sejauma matriz em escada reduzida.(a) A =11020000000020400015

.(b) B=

6 3 441 61 2 5

.(c) C=10020001001000100202

.(d) D =

1 23 12 12 23 1 2 3

.(e) E=1 3 120 11 532 5 3 14 1 1 5

.(f) F=

12 1 2 124 1 2336 2 65

.(g) G =1002000300000000

.(h) x =

113

.1.15exe Calcule,se possvel, as matrizes inversas das seguintes matrizes:(a) A =

1 0 12 0 011 0

.(b) B= [1224].34 1 Matrizes(c) C=

1 2 32 1 04 2 5

.(d) D = [1110].1.16exe SabendoqueasmatrizesA, B, C nn(K)soinvertveis, resolvaem ordem aXa equao matricialC1(A +X)B1= In.1.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Matrizes 351.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Matrizes1.1sol (a) A23,c31,D32,E14.(b) B ordem 2,F ordem 2,g ordem 1,H ordem 2.(c) e,g.(d) c,g.(e) B,g,H.(f) g,H.(g) B,F,g,H.(h) B,g,H.1.2sol (a) A+ 2B=

1 1 44 1 1

.(b) a expressoACno est bem denida.(c) a expressoACno est bem denida.(d) CA =

11 032 1

.(e) C3=

1 01 1

.(f)ABT+BAT2=

1 11 1

.(g) (CBATC)2= [2002].(h) uuT=

120240000

.(i) uTu = [ 5 ].(j) uTATBu = [ 2 ].1.3sol a = 1,b = 2,c = 3.1.4sol A eC.1.5sol a = 1,b = 2i,c R.36 1 Matrizes1.7sol DDHDDT=

2920i20i 29

.1.14sol Nota: associada a cada matriz no-nula,existe uma innidadede ma-trizesquelhesoequivalentesequeestonaformaemescada. Assoluesqueaseguirseapresentam, resultamdaaplicaodoalgo-ritmoapresentadoem 1.79obs .(a)11020002040001500000

fe(A), fer(A) =1100 100010 20001 50000 0

.(b)63 403 26300 0

fe(B), fer(B) =107901 26900 0

.(c)100 2 0001 0 0000 21000 0 2

fe(C), fer(C) =10000001000001000001

.(d)1 2 3 10 3 4 40 073103

fe(D), fer(D) =10015701047001 107.(e)1 312011 530 0 0 00 0 0 0

fe(E), fer(E) =10411131101 51131100 0 000 0 0.(f)12 1 2 100 3 6 100 0 213

fe(F), fer(F) =1200430010 00001 16.(g) G fe(G), fer(G) =1000000100000000

.(h)

100

fe(x), fer(x) =

100

.1.15sol (a) A1=012001211120.(b) A matrizB singular.(c) C1=

5 4 3107 68 6 5

.(d) D1=

0 11 1

.1.16sol X= CB A.Captulo 2Determinantes2.1 Apontamentos sobre Determinantes2.1def matrizcomplementar deumelementodeumamatriz SejamA=[aij] nn(R)e, 1, . . . , n. Chama-sematrizcomplementardo elementoa, que se representapor A, aA=

[1] se n = 1,matriz que seobtmapartirda matriz A eliminando e cse n > 1.2.2exe Seja a matrizA =

123456789

.(a) Determinea matriz complementardo elemento(A)12.(b) Determine A33.res (a) A12= [4679].(b) A33= [1245].3738 2 Determinantes2.3def determinantedeumamatrizSejaA = [aij] nn(K). Chama-sedeterminanteda matrizA, que se representapordet(A), [A[ ou

a11a12 a1na21a22 a2n............an1an2 ann

,ao escalar denido recursivamentepordet(A) =

a11se n = 1,nj=1a1j(1)1+jdet(A1j) se n > 1.2.4obs SejaA=[aij] 11(K). Note-sequequandoseescrevedet(A)=[a11[ = a11, [[ no representa o valor absoluto mas sim o determinante.O contexto ser sempre suciente para interpretar o signicado correctode [[.2.5exe SejaX= [x11x12x21x22 ] 22(K).(a) Determine X11e X12.(b) Calcule [X[.res (a) X11= [x22 ] e X12= [x21 ].2.1 Apontamentos sobre Determinantes 39(b)det(X) =

x11x12x21x22

=2j=1x1j(1)1+jdet(X1j)= x11(1)1+1det(X11) +x12(1)1+2det(X12)= x11 1 x22 +x12 (1) x21= x11x22x12x21.2.6obs SejaA = [aij] 22(K). Ento, det(A) pode-se calcularatendendoa+ +a1144iiiiiiiia12||yyyyyyyya21a22tendo-sedet(A) = a11a22 a12a21.2.7exe Determine [1234[.res [1234[ = 1 4 2 3 = 2.40 2 Determinantes2.8exe SejaY= [yij] 33(K). Calcule [Y [.res SejaY=

y11y12y13y21y22y23y31y32y33

. Ento,det(Y ) =

y11y12y13y21y22y23y31y32y33

=3j=1y1j(1)1+jdet(Y1j)= y11(1)1+1det(Y11)+y12(1)1+2det(Y12)+y13(1)1+3det(Y13)= y111

y22y23y32y33

+y12 (1)

y21y23y31y33

+y13 1

y21y22y31y32

= y11(y22y33y23y32)y12(y21y33 y23y31)+y13(y21y32 y22y31)= y11y22y33 +y12y23y31 +y13y21y32y11y23y32y12y21y33y13y22y31.2.1 Apontamentos sobre Determinantes 412.9obs Regra de Sarrus (apenas se aplica a matrizes de ordem 3): sejaA =[aij] 33(K). Ento,det(A) pode-se calcularatendendo a+a1144hhhhhhhha12a13||zzzzzzzz+a2144hhhhhhhha2244hhhhhhhh||zzzzzzzza23||zzzzzzzz+a3144iiiiiiiia3244iiiiiiii||yyyyyyyya33||yyyyyyyya11a1244iiiiiiii||yyyyyyyya13a21a22a23tem-se quedet(A) = a11a22a33 +a21a32a13 +a31a12a23a13a22a31a23a32a11 a33a12a21,ou, atendendoa+ + +a1144iiiiiiiia1244iiiiiiiia1344iiiiiiii||yyyyyyyya11||yyyyyyyya12||yyyyyyyya21a2244iiiiiiii||yyyyyyyya2344iiiiiiii||yyyyyyyya2144iiiiiiii||yyyyyyyya22a31a32a33a31a32 tem-se quedet(A) = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32a13a22a31a11a23a32 a12a21a33.42 2 Determinantes2.10exe SejaA =

912345678

. Calculedet(A).res Atendendoa900bbbbbbb1 2300bbbbbbb400bbbbbbb5600bbbbbbb700bbbbbbb89 100bbbbbbb23 4 5tem-se quedet(A) = 9 4 8 + 3 7 2 + 6 1 52 4 6 5 7 9 8 1 3 = 27,ou atendendoa900bbbbbbb100bbbbbbb200bbbbbbb913 400bbbbbbb500bbbbbbb300bbbbbbb46 7 8 6 7tem-se quedet(A) = 9 4 8 + 1 5 6 + 2 3 42 4 6 9 5 7 1 3 8 = 27.2.1 Apontamentos sobre Determinantes 432.11def co-factor de um elemento de uma matriz ou complemento algbrico deumelementodeumamatriz SejaA=[aij] nn(K). Chama-seco-factor ou complemento algbrico do elementoaij, que se representaporAij, a(1)i+jdet(Aij).2.12exe Seja a matrizA =

5 23 4

.(a) Determineo co-factor do elementoa11.(b) Determineo complementoalgbricodo elementoa12.(c) DetermineA21.(d) DetermineA22.res (a) A11= (1)1+1det(A11) = 1 [ 4[ = 4.(b) A12= (1)1+2det(A12) = 1 [3[ = 3.(c) A21= (1)2+1det(A21) = 1 [ 2[ = 2.(d) A22= (1)2+2det(A22) = 1 [ 5[ = 5.2.13teo (Teoremade Laplace)SejaA nn(K). Ento,det(A) =nj=1(A)jAj. .. .desenvolvimentoatravsdalinha, {1, 2, . . . , n}=ni=1(A)iAi.. .. .desenvolvimentoatravsdacoluna, {1, 2, . . . , n}2.14obs (a) Notarqueadenio 2.3def consistenoclculododetermi-nanteatravs do desenvolvimentosegundo a primeiralinha.(b) Comoregraprticaparacalculardeterminantesatravsdoteo-rema de Laplace, deve-se fazer o desenvolvimento a partir da linhaou coluna que tiver mais zeros.44 2 Determinantes2.15teo SejamA = [aij], B= [bij] nn(K) e K. Ento,(a) se A for uma matriz diagonal ou triangular (inferior ou superior):det(A) =ni=1aii.(b) Se todos os elementosde uma linhaA so nulos: det(A) = 0.(c) SeA tem duas linhas iguais: det(A) = 0.(d) SeBresultadeAportrocadeduaslinhas(operaoelementardo tipo I):det(B) = det(A).(e) SeBresultadeA por multiplicaodos elementosde umalinhadeA por (operao elementardo tipo II):det(B) = det(A).(f) SeBresulta de A adicionando a uma linha um mltiplo de outralinha (operaoelementardo tipo III): det(B) = det(A).(g) det(A) = ndet(A).(h) det(AT) = det(A).(i) det(AB) = det(A) det(B).(j) A invertvelse e s sedet(A) = 0.(k) SeA uma matrizinvertvel,ento,det(A1) =1det(A).2.16obs (a) det(I) = 1.(b) Todas as propriedades do teorema anterior que se referem a linhastambmso aplicveisa colunas.(c) Sejam A = [aij], B= [bij] nn(K) tais que B fe(A) e que seobteve a partir da matriz A atravs das operaes elementares dotipoI e II (por exemplo,por aplicaodo algoritmoapresentadoem 1.79obs ). Ento, det(A) =(1)sni=1bii, emque sonmerode trocas de linhas realizadas.2.1 Apontamentos sobre Determinantes 452.17exe Considere as matrizesA =

1 2 30 2 30 0 3, B=

1 1 12 2 23 3 3, C=

1 2 10 0 02 1 2,D =

1 00 1, P 33(K) tal queP uma matriz invertvel.Usando as propriedadesdos determinantes,calcule:(a) det(A).(b) det(B).(c) det(C).(d) det(D).(e) det(2A).(f) 2 det(A).(g) det(A3).(h) det(2ATAAT).(i) det(ATA1BT).(j) det(A1DA).(k) det(ABCD).(l) det(P1AP).res (a) SendoAumamatriztriangular(superior),tem-sequedet(A)=1 2 3 = 6.(b) Sendo1,B= 2,B, tem-se quedet(B) = 0.(c) Sendo2,Cuma linha nula,tem-se quedet(C) = 0.(d) SendoDumamatrizdiagonal,tem-sequedet(D) = (1)1=1.(e) det(2A) = (2)3det(A) = 8 6 = 48.(f) 2 det(A) = 2 6 = 12.(g) det(A3) = (det(A))3= 63= 216.46 2 Determinantes(h) det(2ATAAT) = det(2AT) det(A) det(AT) = det(2A) det(A) det(A) =236 6 6 = 1728.(i) det(ATA1BT) = det(AT) det(A1) det(BT) = det(A)1det(A) det(B) =det(B) = 0.(j) det(A1DA) = det(A1) det(D) det(A) =1det(A) det(D) det(A) =det(D) = 1.(k) det(ABCD) = det(A) det(B) det(C) det(D) = 600(1) =0.(l) det(P1AP) = det(P1) det(A) det(P) =1det(P) det(A) det(P) =det(A) = 6.2.18exe ConsidereasmatrizesA, B, CeDdoexerccoanterior. Indiqueasque so invertveis.res As matrizesA eDso invertveispois os seus determinantesso dife-rentesde zero.2.19exe Seja a matrizA =0102112010032101

.(a) Calculedet(A)atravsda denio(podendousar qualquer pro-cesso para calculardeterminantesde matrizes de ordem 3).(b) Calculedet(A)poraplicaodoteoremadeLaplaceatravsdodesenvolvimentoapartirdaterceiracoluna(podendousarqual-querprocessoparacalculardeterminantesdematrizesdeordem3).(c) Calculedet(A) atravsde 2.16obs (c).2.1 Apontamentos sobre Determinantes 47res (a)det(A) =4j=1(A)1j(1)1+jdet(A1j)= (A)11(1)1+1det(A11) + (A)12(1)1+2det(A12)+ (A)13(1)1+3det(A13) + (A)14(1)1+4det(A14)= 0 + 1 (1)

1 2 01 0 32 0 1

+ 0 + 2 (1)

1 1 21 0 02 1 0

= 0 + 1 (1) 10 + 0 + 2 (1) 2= 14.Clculos auxiliares:

120103201

= 1(0130)2(1132)+0(1002) = 10.

112100210

= 1(0001)1(1002)+2(1102)= 2.(b)det(A) =4i=1(A)i3(1)i+3det(Ai3)= (A)13(1)1+3det(A13) + (A)23(1)2+3det(A23)+ (A)33(1)3+3det(A33) + (A)43(1)4+3det(A43)= 0 + 2 (1)

0 1 21 0 32 1 1

+ 0 + 0= 2 (1) 7= 14.48 2 DeterminantesClculosauxiliares:

012103211

= 0(0131)1(1132)+2(1102)= 7.(c)det(A) =

0 1 0 21 1 2 01 0 0 32 1 0 1

=

1 1 2 00 1 0 21 0 0 32 1 0 1

1 2=

1 1 2 00 1 0 20 1 2 30 1 4 1

3 3 14 4 21=

1 1 2 00 1 0 20 0 2 50 0 4 3

3 3 +24 4 +2=

1 1 2 00 1 0 20 0 2 50 0 0 7

4 4 23= (1 1 (2) (7))= 14.2.1 Apontamentos sobre Determinantes 492.20obs Pedindo-seodeterminantedeumamatriz, senoforexplicitadonoenunciadooprocessodeclculo, estepodeserfeitoporummtodoqualquer, nomeadamenteaquele que se acharmais simples.2.21def matriz adjunta Seja A = [aij] nn(K). Chama-se matriz adjuntadeAmatrizZ=[zij] nn(K), zij=Aji, escrevendo-seZ=adj(A).2.22obs A matriz adjunta a transposta da matrizdos co-factores.2.23exe (a) Determinea matriz adjuntada matrizA =

5 23 4

.(b) Determinea matriz adjuntada matrizX=

abcd

.res (a) Atendendo a 2.12exe , tem-se que adj(A) =

4 32 5

T=

4 23 5

.(b) AtendendoaX11= (1)1+1det(X11) = 1 [d[ = d,X12= (1)1+2det(X12) = 1 [c[ = c,X21= (1)2+1det(X21) = 1 [b[ = b,X22= (1)2+2det(X22) = 1 [a[ = a,tem-se queadj(X) =

d cb a

T=

d bc a

.2.24teo Seja A nn(K) uma matriz invertvel. Ento, A1=1det(A) adj(A).2.25exe Considere a matrizA =

3 21 0

.(a) Verique que a matrizA invertvel.(b) Determinea inversa da matrizA pelo mtodo da adjunta.res (a) Comodet(A) =3 0 (2)1 =2 =0, Aumamatrizinvertvel.50 2 Determinantes(b) A1=1det(A) adj(A) =12

0 213

=

0 11/23/2

.Calcule-se,apenas para efeito de vericao,queAA1= I2:AA1=

3 21 0

0 11/2 3/2 =

1 00 1.2.2 Exerccios sobre Determinantes 512.2 Exerccios sobre Determinantes2.1exe Calcule o determinanteda matrizA =1 2 1 11 1 2 10 1 0 11 2 2 1

por dois proces-sos distintos.2.2exe Calcule o determinantedas seguintes matrizes:A =

4 11 4, B=

cos sen sen cos , R, C=

2 1 11 1 10 2 2,D =

0 1 21 2 02 3 2, E=

0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 1, F=

2 3 3 21 1 1 11 2 2 32 1 2 1.2.3exe SejamAumamatrizquadradatal que [A[ =2eB=2AT. Mostreque a proposio A matrizB invertvel. verdadeira.2.4exe Considere a matrizA = [3211].(a) Calculedet(A).(b) Determineadj(A).(c) DetermineA1pelo mtodo da adjunta.2.5exe Sejamp N eA uma matriz quadrada tal queAp= 0. Mostre queA uma matriz singular.2.6exe SejaA uma matriz ortogonal. Mostre quedet(A) = 1.2.7exe SejaA = [aij] nn(K),aij= 1. Mostre quedet(A nIn) = 0.52 2 Determinantes2.8exe SejaA nn(K).(a) Mostre que [ adj(A)[ = [A[n1.(b) Mostre que se A uma matriz invertvel e n2, ento adj(adj(A)) =[A[n2A.2.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Determinantes 532.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Determinantes2.1sol det(A) = 1.2.2sol det(A) =15, det(B) =1, det(C) =0, det(D) =0, det(E) =1,det(F) = 2.2.4sol (a) det(A) = 1.(b) adj(A) =

1 21 3

.(c) A1=

1 21 3

.54 2 DeterminantesCaptulo 3Sistemas de Equac oes Lineares3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equac oes Lineares3.1def sistemadeequaeslineares, matrizdoscoecientes, vectordoster-mosindependentes, vectordasincgnitas, matrizaumentadaouma-trizampliada, conjuntosoluo SejamA=[aij] mn(K)eb=[bi] m1(K). Diz-seque(S)umsistemademequaesli-neares nasn incgnitasx1, x2, . . . , xn K com matriz dos coecientesA e vector dos termos independentesb se(S) o sistema

a11x1+ a12x2+ a13x3++ a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ a23x3++ a2nxn= b2..................am1x1+ am2x2+ am3x3++ amnxn= bm.Chama-sevectordasincgnitasdosistema(S)matrizcolunax=[xi] n1(K). Chama-se matriz aumentadaou matriz ampliada do5556 3 Sistemas de Equac oes Linearessistema(S), que se representaporA[b, matriz

a11a12a13 a1nb1a21a22a23 a2nb2..................am1am2am3 amnbm.Chama-se conjunto soluo do sistema (S), que se representa por CS(S),ao conjunto(x1, . . . , xn) Kn[Ax1...xn

= b.3.2obs Note-sequeosistema(S) dadenioanterior podeser escritonaforma matricial

a11a12a13 a1na21a22a23 a2n...............am1am2am3 amn

x1x2x3...xn=

b1b2...bm,ou, em notao matricial,comoAx = b.3.3def sistema de equaes no lineares Chama-se sistema de equaes nolinearesaumsistemadeequaesquenoumsistemadeequaeslineares.3.4exe (a) Dumexemplodeumsistemadeduasequaeslinearesatrsincgnitas.(b) Dumexemplodeumsistemadeduasequaesnolinearesaduas incgnitas.3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equac oes Lineares 57res (a)

x + 2y = 13x y = 0.(b)

x + xsen(y) = 1x ey= 0.3.5def Seja(S) o sistema de equaes linearesAx = b.(a) sistema homogneoDiz-seque(S) umsistema homogneoseb = 0.(b) sistemahomogneoassociadoSeb =0, chama-sesistemaho-mogneoassociado ao sistema(S) ao sistemaAx = 0.3.6exe (a) Dumexemplodeumsistemahomogneodeduasequaesatrs incgnitas.(b) Identique o sistema homogneo associado ao sistema de equaeslineares

x + 2y = 13x y = 0.res (a)

x + 2y + 2z = 03x y + z = 0.(b)

x + 2y = 03x y = 0.3.7def Seja(S) um sistema de equaes lineares.(a) sistema possvel Diz-se que (S) um sistema possvel se CS(S) =.58 3 Sistemas de Equac oes Lineares(b) sistemapossvel e determinado Diz-se que (S) umsistemapossvel e determinadose#CS(S)= 1.(c) sistemapossvel eindeterminadoDiz-seque(S)umsistemapossvel e indeterminadose#CS(S)> 1.(d) sistemaimpossvelDiz-seque(S)umsistemaimpossvel seCS(S)= .3.8def caractersticadeumamatrizSejaA mn(K). Chama-secarac-terstica da matrizA, que se representa porc(A), ao nmero de linhasno nulas de uma matriz em escada que seja equivalente matrizA.3.9teo SejaA nn(K). Ento, A umamatriz invertvel see ssec(A) = n.3.10teo Seja (S) o sistema de equaes lineares de m equaes nas n incgnitasAx = b. Ento,

c(A) = c(A[b) : sistema possvelc(A) = c(A[b) = n : sistema possvel e determinadoc(A) = c(A[b) < n : sistema possvel e indeterminadoc(A) < c(A[b) : sistema impossvel.3.11obs Seja(S)osistemadeequaeslinearesdemequaesnasnincg-nitas Ax=b. Ento, sen>mosistemanopodeserpossvel edeterminado.3.12def varivel piv, varivel livre SejamAx=bumsistemadeequaeslineareseA fe(A). Secj,A umacolunapiv, diz-sequexj umavarivelpiv. Caso contrrio,diz-se que uma varivel livre.3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equac oes Lineares 593.13exe Seja(S)osistemadeequaeslinearescujamatrizdoscoecientesA =

12 2112 0 1

e cujo vector dos termos independentesb = [31].(a) Determineum elementodefe(A[b).(b) Identiqueas colunas piv do sistema(S).(c) Identiqueas variveis piv do sistema(S).(d) Identiqueas variveis livres do sistema(S).res (a)

1 2 2 1 31 2 0 1 12 2 1

1 2 2 1 30 0 2 0 2. .. .fe(A|b).(b) Colunas piv de(S): c1ec3.(c) Variveispiv de(S): x1ex3.(d) Variveislivres de(S)x2ex4.3.14teo MtododeGaussparaaresoluodesistemasdeequaeslineares:seja(S)osistemadeequaes lineares Ax=b. Ento, oseguintealgoritmodeterminaCS(S):Passo1determinarum elementodefe(A[b).Passo2identicaras variveis livres.Passo3aplicarmtodo de substituio de trs para a frente.3.15teo Mtodode Gauss-Jordanparaaresoluodesistemas de equaeslineares: seja(S)osistemadeequaeslineares Ax=b. Ento, oseguintealgoritmo determinaCS(S):60 3 Sistemas de Equac oes LinearesPasso1determinarfer(A[b).Passo2identicaras variveis livres.Passo3aplicar mtodo de substituio de trs para a frente.3.16exe (a) Dumexemplodeumsistemadeduasequaeslinearesaduasincgnitas possvel e determinado, resolva-o atravs do Mtodo deGauss e faa a sua interpretaogeomtrica.(b) Dumexemplodeumsistemadeduasequaeslinearesaduasincgnitas possvel e indeterminado,resolva-o atravs do Mtodode Gauss e faa a sua interpretaogeomtrica.(c) Dumexemplodeumsistemadeduasequaeslinearesaduasincgnitas impossvel, resolva-oatravs doMtododeGauss efaa a sua interpretaogeomtrica.res (a) Seja(S1)osistemadeequaes lineares cujamatrizdos coe-cientesA=

1 11 1

ecujovectordostermosindependentesb = [10],i.e.,(S1)

x + y = 1x y = 0.Resoluo de(S1) atravs do mtodo de Gauss:

1 1 11 1 02 2 1

1 1 10 2 1.Comoc(A)=2, c(A[b)=2en=2(nmerodeincgnitas)c(A)= c(A[b)= n, (S1)umsistemapossveledeterminado3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equac oes Lineares 61equivalenteao sistema de equaes lineares

x + y = 1 2y = 1

x = 1 12=12y= 12=12ou seja,CS(S1)= (12,12).CS(S1)pode ser geometricamente interpretado como sendo ospontos deintersecodas rectas x + y =1e x y =0(queneste caso um s):11xyx +y= 1x y= 01212(b) Seja(S2)osistemadeequaeslineares cujamatrizdoscoe-cientesA=

1 12 1

ecujovectordostermosindependentesb =

12

, i.e.,(S2)

x + y = 12x 2y = 2.Resoluo de(S2) atravsdo mtodo de Gauss:62 3 Sistemas de Equac oes Lineares

1 1 12 2 22 2 + 21

1 1 10 0 0.Comoc(A)=1, c(A[b)=1en=2(nmerodeincgnitas)c(A) = c(A[b) < n , (S2) um sistema possvel e indeterminadoequivalenteao sistema de equaes lineares

x + y = 10 = 0.Sendoyuma varivellivre, tem-se

x = 1 y= Kou seja,CS(S2)= (1 , )[ K.CS(S2)pode ser geometricamente interpretado como sendo ospontos deintersecodas rectas x + y =1e 2x 2y = 2(que neste caso so uma innidade):3.1 Apontamentos sobre Sistemas de Equac oes Lineares 6311xyx +y= 1 2x 2y= 2(c) Seja(S3)osistemadeequaeslineares cujamatrizdoscoe-cientes A=[1111] e cujovector dos termos independentes b = [12], i.e.,(S3)

x + y = 1x + y = 2.Resoluo de(S3) atravsdo mtodo de Gauss:

1 1 11 1 22 2 1

1 1 10 0 1.Comoc(A) =1ec(A[b) =2c(A) n,m = n em < n, sempre que tal seja possvel.3.2 Exerccios sobre Sistemas de Equac oes Lineares 733.5exe DiscutaosseguintessistemasdeequaeslinearesAx=bemfunodos respectivos parmetros reais:(a) A =

11 34 223 1

,b =

21

.(b) A =

10 32k 112 k

,b =

321

.(c) A =

12 1 033 5 c03 2 3

,b =

23t

.(d) A =

12200211101a

,b =

12t

.3.6exe Determine, por dois processos distintos, para que valores de a matrizA =

1 1111 1

invertvel.3.7exe Considere a matrizA =

110101011

.(a) CalculeA1.(b) Mostreque osistemaAx = b possvel edeterminado,qualquerque seja o vectordos termos independentesb 31(K).(c) Usando aalnea(a),resolva osistemaAx = b,em queb = [bi] 31(K),bi= i.3.8exe Considere o seguinte sistema no linearnas incgnitas,e.

2 sen cos + 3 tan = 34 sen + 2 cos 2 tan = 106 sen 3 cos + tan = 9.Mostreque,nestecaso,possvelconcluirqueosistemaimpossvelrecorrendoao mtodo de Gauss.3.9exe Determinea equaoda parbolaque passa nos pontos(1, 2), (1, 6)e(2, 3).74 3 Sistemas de Equac oes Lineares3.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Sistemas de Equac oes Li-neares3.1sol (a) PD. CS(Sa)= (1, 2).(b) Imp. CS(Sb)= .(c) PI. CS(Sc)= (52,2354, )[ K.(d) PI. CS(Sd)= (s, 1 t, s, t)[t, s K.3.2sol (a) CS(Sa)= (1, 1, 1, 1).(b) CS(Sb)= (0, 1, 0, 0).3.3sol (S1) (a) A =

1 1 11 101 0 1

, b =

300

, x =

x1x2x3

, A[b =

1 1 131 1001 0 10

.(b) PD. CSAx=b= (1, 1, 1).(c) PD. CSAx=0= (0, 0, 0).(S2) (a) A =

110101211

, b =

224

, x =

x1x2x3

, A[b =

110210122114

.(b) PI. CSAx=b= (2 t, t, t)[t K.(c) PI. CSAx=0= (t, t, t)[t K.(S3) (a) A =

111110221

, b =

321

, x =

x1x2x3

, A[b =

111311022211

.(b) Imp. CSAx=b= .(c) PI. CSAx=0= (s, s, 0)[s K.(S4) (a) A =

1 1 12 2 21 1 1

, b =

121

, x =

x1x2x3

, A[b =

1 1 1 12 2 2 21 1 1 1

.(b) PI. CSAx=b= (1 +s t, s, t)[s, t K.(c) PI. CSAx=0= (s t, s, t)[s, t K.3.5sol (a) PD: = 3. PI: = 3. Imp: nunca.(b) PD:k = 2 k = 5 . PI:k= 2. Imp: k= 5.3.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Sistemas de Equac oes Lineares 75(c) PD: nunca. PI:c = 3 t = 3. Imp: c = 3 t = 3.(d) PD: nunca. PI:a = 1 t = 1. Imp: a = 1 t = 1.3.6sol K` 2, 1.3.7sol (a) A1=12

1 1 11 1 11 1 1

.(c) CSAx=b= (0, 1, 2).3.9sol x22x + 3.76 3 Sistemas de Equac oes LinearesCaptulo 4Espac os Vectoriais4.1 Apontamentos sobre Espac os Vectoriais4.1obs Apresenta-senadenioquesesegueageneralizaodanoodevector entendidocomoumaentidadecomumtamanhoeumadi-reco. Oestudogenricodeumespaovectorial permite-nosesta-belecerpropriedadesvlidasparaumconjuntoalargadodeentidadesmatemticas.7778 4 Espac os Vectoriais4.2def espao vectorial SejamVum conjunto no vazio e as operaes : V V V(x, y) x y, : KV V(, x) x.Diz-se que o sxtuplo(V, , , K, +, ) um espao vectorialse:(a) x, y V: x y= y x.(b) x, y, z V: (x y) z= x (y z).(c) 1elementodeV(representadopor0V ), x V: x 0V= x.(d) x V, 1elementodeV(representadopor x) : x (x) =0V .(e) K, x, y V: (x y) = x y.(f) , K, x V: ( +) x = x x.(g) , K, x V: () x = ( x).(h) x V: 1 x = x.4.3def Seja o espao vectorialdenido por(V, , , K, +, ).(a) escalar Chama-se escalares aos elementosdeK.(b) vector Chama-se vectores aos elementosdeV .(c) somade vectores Chama-se somade vectores operao .multiplicaodeumescalarporumvectorChama-semultipli-caode um escalar por um vector operao .(d) espao vectorial real Diz-se queV um espao vectorial real seK = R.4.1 Apontamentos sobre Espac os Vectoriais 79(e) espaovectorial complexoDiz-sequeV umespaovectorialcomplexo seK = C.4.4obs (a) Parasimplicaralinguagem, emvezdesejaoespaovectorialdenidopor(V, , , K, +, ) diz-se sejaVum espao vectorialsobreKquando as operaes de soma de vectores e de multipli-cao de um escalar por um vector estiveremsubentendidas.(b) Se no causar confuso, em vez dex y escreve-sex +y, em vezdex (y) escreve-sex ye em vez de x escreve-sex.4.5obs Na denio que se segue, relembram-se ou introduzem-se conjuntos easrespectivasoperaesusuais, queserousadosnaapresentaodeexemplos de espaos vectoriais.4.6def (a) Kn Sejan N. Representa-seporKno conjuntodosn-tuploscom elementosemK,i.e.,Kn= (x1, x2, . . . , xn)[x1, x2, . . . , xn K.As operaes usuais neste conjunto so:(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) =(x1 +y1, x2 +y2, . . . , xn +yn),(x1, x2, . . . , xn) = (x1, . . . , xn).(b) mn(K)Sejamm, n N. Representa-sepor mn(K)oconjuntodasmatrizescommlinhasencolunascomelementosemK,i.e.,mn(K) = A : 1, . . . , m 1, . . . , n K.80 4 Espac os VectoriaisAs operaes usuais neste conjuntoso:[(A +B)ij] = [(A)ij+ (B)ij],[(A)ij] = [(A)ij].(c) Kn[x] Sejan N. Representa-sepor Kn[x] oconjuntodospolinmiosnavarivel xcomcoecientesemKequetmgraumenorou igual an,i.e.,Kn[x] = a0xn+ +an1x +an[a0, . . . , an1, an K.As operaes usuais neste conjuntoso:(a0xn+ +an1x +an) + (b0xn+ +bn1x +bn) =(a0 +b0)xn+ + (an1 +bn1)x + (an +bn),(a0xn+ +an1x +an) =(a0)xn+ + (an1)x + (an).(d) K[x] Representa-se porK[x] o conjunto dos polinmios na var-ivel xdequalquergraucomcoecientes emK. Asoperaesusuais neste conjunto so idnticas s denidas no conjunto Kn[x].(e) C(a, b), Ck(a, b), C(a, b) Sejama, b Rtaisqueansolinearmentedepen-dentes.(b) Cconjuntode geradoresdeV#C n.(c) CconjuntodenvectoreslinearmenteindependentesdeVCconjuntogerador.(d) Cconjuntoden vectoresgeradores deV os vectoresso line-armenteindependentes.(e) Cconjuntodegeradores de V constitudopor vectores linear-menteindependentes #C= n.4.2 Exerccios sobre Espac os Vectoriais 1194.2 Exerccios sobre Espac os Vectoriais4.1exe Mostre que o conjuntoR+com as operaes : R+R+ R+(x, y) x y= xy, : RR+ R+(, x) x = x um espao vectorial real.4.2exe Mostre que o conjuntoR com as operaes : R R R(x, y) x y= x +y + 1, : R R R(, x) x =x + +x 12 um espao vectorial real.4.3exe Mostre que os seguintes conjuntos com as operaes indicadas no soespaosvectoriaisreais, identicandoaspropriedadesdadeniodeespao vectorial que no so vericadas:(a) R2,(a, b) (c, d) = (a, b) e (a, b) = (a, b).(b) R2, (x1, x2) (y1, y2) =(x1+y1, x2+y2) e (x1, x2) =(2x1, 2x2).(c) R3, (x1, x2, x3)(y1, y2, y3) = (x1+y1, 0, x2+y2) e (x1, x2, x3) =(x1, x2, x3).120 4 Espac os Vectoriais4.4exe Mostre que o conjuntoR+com as operaes : R+R+ R+(x, y) x y=xy, : R R+ R+(, x) x = xno um espao vectorial real, identicando as propriedades da deniode espao vectorial que no so vericadas.4.5exe Averiguese os seguintes conjuntos so subespaos deR3:(a) S1= (x, y, z) R3: x = y.(b) S2= (x, y, z) R3: x = y + 2.4.6exe Escreva,sepossvel,ovectorv=(3, 3) R2comocombinaolineardos seguintes vectores deR2, e interpretegeometricamenteos resulta-dos obtidos:(a) v1= (1, 1).(b) v1= (1, 2).(c) v1= (1, 2), v2= (4, 2).(d) v1= (1, 1), v2= (2, 2).(e) v1= (1, 1), v2= (1, 1).(f) v1= (1, 1), v2= (0, 1), v3= (2, 0).4.7exe Sejamu=(1, 2, 4), v=(2, 5, 6), w=(1, 1, 10), r=(1, 0, ) R3.(a) Escreva o vectorwcomo combinaolinear deu ev.4.2 Exerccios sobre Espac os Vectoriais 121(b) Indiqueparaque valoresde R ovectorrumacombinaolinear deu ev.4.8exe Escrevau=5t2 8t + 6comocombinaolinear de v =t2 t ew = 2t24.4.9exe Indiquequaisdosseguintesconjuntosdevectoressoconjuntosger-adores do espao vectorial R2.(a) A = (1, 0), (0, 1).(b) B= (1, 2), (1, 0).(c) C= (1, 0), (0, 1), (1, 3).(d) D = (1, 2).(e) E= (1, 2), (2, 4), (1, 2).(f) F= (1, 1), (2, 2).4.10exe Seja X= (1, 0, ), (, , ), (1, 0, 0), (0, 0, 1) R3. Indique para quevalores de eo conjuntoX um conjunto geradordeR3.4.11exe Verique se os seguintes conjuntosso linearmenteindependentes:(a) (3, 1), (4, 2)emR2.(b) (3, 1), (4, 2), (7, 2)emR2.(c) (0, 3, 1), (2, 4, 1), (2, 8, 5)emR3.(d) (1, 2, 0, 2), (5, 0, 1, 1), (8, 6, 1, 5)emR4.4.12exe Indique paraque valores do parmetroreal,os vectoresa = (1, 2)eb = (, 1) deR2so linearmenteindependentes.122 4 Espac os Vectoriais4.13exe Considerenoespaovectorial real R3os vectores v1=(1, 1, 1) ev2= (2, 2, 0) em que 1, 2, 1, 2 R so constantes reais. Indique,em funo de 1, 2, 1 e 2uma condio necessria e suciente paraos vectoresv1ev2serem linearmenteindependentes.4.14exe Considere o espao vectorial real R3e um seu subespao S= (x, y, z) R3[x=y. DeterminedoisvectoreslinearmenteindependentesuevdeSe mostre que qualquer vectorw S uma combinaolineardeu ev.4.15exe Mostre que o conjunto

1 10 00 0,

0 01 10 0,

0 00 01 1,

1 01 01 0,

0 10 10 1

linearmenteindependente.4.16exe SejamVum espao vectorial e v1, v2, v3 um conjunto de vectores deVlinearmente independente. Ento, mostre que os seguintes conjuntostambmso linearmenteindependentes:(a) v1, v1 +v2.(b) 2v1, v1 +v2, v1 +v3.(c) v1 +v2, v1 +v3, v2 +v3.4.17exe Considerenoespaovectorialreal R2[x]osvectoresu=1, v=1 xew=(1 x)2. Veriquequeosvectores u, vewsolinearmenteindependentes.4.18exe Averiguequais dos seguintes conjuntos de vectores so bases deR2:4.2 Exerccios sobre Espac os Vectoriais 123(a) A = (1, 1), (3, 0).(b) B= (1, 1), (0, 2), (2, 3).(c) C= (1, 1), (0, 8).(d) D = (1, 2), (2, 4).4.19exe Averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases deR3[x]:(a) A = 1, x, x2, x3.(b) B= 1, 1 +x, 1 +x +x2, 1 +x +x2+x3, x3.(c) C= 2, x, x2+x3, x +x2+x3.(d) D = 1, 1 +x, x2+x3.4.20exe Determine os valores do parmetro para os quais o conjunto (, 6), (1, ) uma base deR2.4.21exe Considere o seguinte subconjuntodo espao vectorial real R4:V= (x, y, z, w) R4[x = y 3z z= 2w.(a) Mostre queV um subespao vectorialdeR4.(b) Determineuma base e a dimenso deV .4.22exe SejamF = (x, y, z) R3[z =0umsubconjuntode R3e u1=(0, 2, 0), u2= (1, 0, 0)eu3= (1, 6, 0)trs vectores deR3.(a) Mostre queF subespao vectorial deR3.(b) Verique queF= 'u1, u2, u3`.(c) O conjunto u1, u2, u3 uma base deF?(d) Indique a dimenso deF.124 4 Espac os Vectoriais4.23exe SejamV umespaovectorial, v1, v2, v3ev4vectoresdeV e v1, v2uma base deV .(a) A = v1, v2, v3, v4 um conjuntogerador deV ?(b) A constitudopor vectores linearmenteindependentes?(c) B= v1 um conjunto geradordeV ?(d) B constitudopor vectores linearmenteindependentes?(e) SejaCumsubconjuntodeV quegeraV . Quepodedizersobreo nmerode vectores deC?(f) Seja D um subconjunto de Vconstitudo por vectores linearmenteindependentes. Que pode dizer sobre o nmero de vectores de D?(g) EmquecondiesqueE= v1, v4umconjuntogeradordeV ?4.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Espac os Vectoriais 1254.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Espacos Vectoriais4.3sol (a) Propriedades(a), (c), (d) e (f).(b) Propriedades(f).(c) Propriedades(c), (d) e (f).4.4sol (a), (b), (f)4.5sol (a) Sim.(b) No.4.6sol (a) v= 3v1.(b) vno uma combinaolinear dev1.(c) v= v1 +12v2.(d) v= v1 +32v2, R.(e) vno uma combinaolinear dev1ev2.(f) v= ( 3)v1 +v2 +62v3, R.4.7sol (a) w = 7u 3v.(b) = 8.4.8sol u = 8v 32w.4.9sol A,BeC.4.10sol R, R ` 0.4.11sol (a) Sim.(b) No.(c) Sim.126 4 Espac os Vectoriais(d) No.4.12sol R ` 12.4.13sol 1 R,2 R ` 0,1 R,2 R ` 0.4.18sol A eC.4.19sol A.4.20sol R ` 6,6.4.21sol (b) Porexemplo,oconjunto (1, 1, 0, 0), (6, 0, 2, 1)umabasedeVe dim(V ) = 2.4.22sol (c) No.(d) dim(F) = 2.4.23sol (a) Sim.(b) No.(c) No.(d) Sim.(e) #C 2.(f) #D2.(g) EumconjuntogeradordeV ssev1ev4foremvectoreslinear-menteindependentes.Captulo 5Transformac oes Lineares5.1 Apontamentos sobre Transformac oes Lineares5.1obs Nadenioqueseseguerev-seoconceitodefuno, estudando-seneste captulo um seu caso particular as transformaes lineares.5.2def funo, imagem de um elemento por meio de uma funo Sejam A eB conjuntos e x A. Diz-se que f uma funo de A em B se associaa cada elemento de A um e s um elemento de B, representando-se porf(x) a imagemdex porf.5.3def SejamVeV espaos vectoriaisreais eTuma funo deVemV.(a) transformaolinear ouhomomorsmo Diz-seque T umatransformao linear ou um homomorsmo se se vericar as seguintespropriedades:i.x, y V: T(x +y) = T(x) +T(y).ii.x V, R : T(x) = T(x).127128 5 Transformac oes Lineares(b) L(V, V ) Representa-se por L(V, V ) o conjunto de todas astransformaes lineares deVemV.5.4exe SejaT: R R3, T(x1, x2)=(x2, 0, x1 + x2). MostrequeTumatransformaolinear.res Propriedade(i)Deniogeral:x, y V: T(x +y) = T(x) +T(y).Exemplopresente:x = (x1, x2), y= (y1, y2) R2: T(x +y) = T(x) +T(y).T(x +y) = T((x1, x2) + (y1, y2))= T(x1 +y1, x2 +y2)= (x2 +y2, 0, x1 +y1 +x2 +y2). (i.1)T(x) +T(y) = T(x1, x2) +T(y1, y2)= (x2, 0, x1 +x2) + (y2, 0, y1 +y2)= (x2 +y2, 0, x1 +y1 +x2 +y2). (i.2)Como as expresses (i.1) e (i.2) so iguais, conclui-se que a propriedade(i) vlida.5.1 Apontamentos sobre Transformac oes Lineares 129Propriedade(ii)Deniogeral:x V, R : T(x) = T(x).Exemplo presente:x = (x1, x2) R2, R : T(x) = T(x).T(x) = T((x1, x2))= T(x1, x2)= (x2, 0, x1 +x2). (ii.1)T(x) = T(x1, x2)= (x2, 0, x1 +x2)= (x2, 0, x1 +x2). (ii.2)Comoasexpresses(ii.1)e(ii.2)soiguais,conclui-sequeaproprie-dade (ii) vlida.Como as expresses (i) e (ii) so vlidas, conclui-se que T uma trans-formao linear.5.5exe SejaT: R1[x] R,T(ax +b) =

10 (ax +b)dx. Mostre queT umatransformaolinear.res Exerccio.130 5 Transformac oes Lineares5.6exe Sejag: R2R2, g(a, b)=(a2, 0). Mostrequegnoumatrans-formaolinear.res Exerccio.5.7def endomorsmoSejaV umespaovectorial. Chama-seendomormodeVa uma transformao linear deVemV .5.8exe Indique quais das seguintes aplicaes lineares so endomorsmos:(a) T1: R2R3,T1(x1, x2) = (x2, 0, x1 +x2).(b) T2: R2R2,T2(x1, x2) = (0, 0).(c) T3: R1[x] R,T3(ax +b) =

10 (ax +b)dx.res (a) No.(b) Sim.(c) No.5.9teo SejamV eVespaos vectoriaiseTumafunodeVemV . Ento,T uma transformao linear se e s sex, y V, , R : T(x +y) = T(x) +T(y).5.10obs O teorema anterior indica um processo alternativo denio 5.3defde vericarse uma funo uma transformaolinear.5.11teo SejaT L(V, V). Ento,tem-se:(a) T(0V ) = 0V .(b) x V: T(x) = T(x).(c) x, y V: T(x y) = T(x) T(y).5.1 Apontamentos sobre Transformac oes Lineares 1315.12obs OteoremaanteriorpermiteconcluirqueseT(0V ) =0V ou x V:T(x) = T(x) ou x, y V: T(x y) = T(x) T(y),entoTnoumatransformaolinear. Note-se, ainda, quehfunesemqueT(0V )=0V , x V : T(x)= T(x)e x, y V : T(x y)=T(x) T(y) e que no so transformaes lineares.5.13exe Sejag: R2R3, g(a, b)=(a, 1, a + 2b). Mostrequegnoumatransformaolinear.res Comog(0R2 )=g(0, 0)=(0, 1, 0) =(0, 0, 0)=0R3, conclui-sequegno uma transformaolinear.5.14obs SejamT L(V, V ), C= (v1, . . . , vn)umabaseordenadadeV ,C=(v1, . . . , vm) uma base ordenadadeVev V . Ento,11, . . . , n K : v = 1v1 + +nvn,1a11, . . . , am1 K : T(v1) = a11v1 + +am1vm,...1a1n, . . . , amn K : T(vn) = a1nv1 + +amnvm.Tem-se,ento, que:T(v) = T(1v1 + +nvn)= 1T(v1) + +nT(vn)= 1(a11v1 + +am1vm) + +n(a1nv1 + +amnvm)= (1a11 + +na1n)v1 + + (1am1 + +namn)vm= 1v1 + +mvm,132 5 Transformac oes Linearesem que

1...m =

a11 a1n.........am1 amn

1...n.5.15def matriz de uma transformao linear entre espaos de dimenso nita,AT,C,C , ATSejamT L(V, V ), C=(v1, . . . , vn)umabaseorde-nadadeV eC=(v1, . . . , vm)umabaseordenadadeV . Chama-sematrizdatransformaolinearTrelativamentesbasesCeC, queserepresentaporAT,C,C , matriz[aij] mn(K)introduzidanaobservao anterior.Se V= Rn, V= Rme C e C so as respectivas bases cannicas, entorepresenta-se por ATa matriz da transformao linear Trelativamentes basesCeC.5.16exe Determine a matriz da transformao linear T L(R3, R2), T(x, y, z) =(x + 2z, 3x y), relativamentes bases cannicas deR3eR2.res ComoT(1, 0, 0) = (1, 3)T(0, 1, 0) = (0, 1)T(0, 0, 1) = (2, 0),tem-se queAT=

1 0 23 1 0.5.1 Apontamentos sobre Transformac oes Lineares 1335.17def SejaT L(V, V ).(a) imagem de uma transformao linear, 1T Chama-se imagem deT, que se representapor 1T, a1T:= T(x) V [x V .(b) ncleodeumatransformaolinear, ^T Chama-sencleodeT, que se representapor ^T, a^T:= x V [T(x) = 0V .5.18exe Seja T L(R3, R2), T(x1, x2, x3) = (x1+x3, x1+2x2x3). Determine:(a) 1T.(b) ^T.res (a)1T= T(x1, x2, x3)[x1, x2, x3 R= (x1 +x3, x1 + 2x2 x3)[x1, x2, x3 R= '(1, 1), (0, 2), (1, 1)`.(b)^T= (x1, x2, x3) R3[T(x1, x2, x3) = 0R2 = (x1, x2, x3) R3[(x1 +x3, x1 + 2x2 x3) = (0, 0).Tem-se,ento, que resolver o seguinte sistema:

x1+ x3= 0x1+ 2x2 x3= 0.134 5 Transformac oes LinearesEnto,como

1 0 1 01 2 1 02 21

1 0 1 00 2 2 0,obtendo-se

x1+ x3= 02x2 2x3= 0

x1= ax2= ax3= a R.Assim,^T= (a, a, a)[a R= '(1, 1, 1)`.5.19teo SejaT L(V, V). Ento,(a) 1T um subespao deV.(b) ^T um subespao deV .5.20teo SejamT L(V, V ) e u1, . . . , unumconjuntogerador de V (emparticular,uma base). Ento,(a) Tca denida desde que se conheam os vectores T(u1), . . . , T(un).(b) 1T= 'T(u1), . . . , T(un)`.5.21exe Resolva de novo 5.18exe (a), atendendoao teorema anterior.res Seja e1, e2, e3 a base cannica deR3,i.e., e1= (1, 0, 0),e2= (0, 1, 0)ee3= (0, 0, 1). Ento,1T= 'T(1, 0, 0), T(0, 1, 0), T(0, 0, 1)`= '(1, 1), (0, 2), (1, 1)`.5.1 Apontamentos sobre Transformac oes Lineares 1355.22exe SejaT L(R2, R3),tal queT(2, 2) = (0, 1, 1)e ^T= '(1, 3)`. Deter-mine a imagemporTde um elementogenricodo seu domnio.res Como S =(2, 2), (1, 3) umconjuntolinearmente independente(verique!),S uma base deR2(pois#S= dim(R2)), pelo que qual-quer elementodeR2 uma combinaolinear nica dos elementos deS, vindo(x, y) = (2, 2) +(1, 3).Tem-se,ento, que resolver o seguinte sistema:

2 + = x2 + 3 = y.Ento,como

2 1 x2 3 y2 21

2 1 x0 2 y x,obtendo-se

2 + = x2 = y x

=3xy4=yx2.Assim,(x, y) =3x y4(2, 2) +y x2(1, 3)pelo queT(x, y) = T

3x y4(2, 2) +y x2(1, 3)

=3x y4T(2, 2) +y x2T(1, 3) porTserumatransformaolinear=3x y4(0, 1, 1) +y x2(0, 0, 0) porNT=(1, 3)= (0, 3x y4, 3x y4).136 5 Transformac oes Lineares5.23def SejaT L(V, V).(a) caractersticadeumatransformaolinear, cTChama-seca-racterstica de T, que se denota por cT, dimenso do subespao1T.(b) nulidadedeumatransformaolinear, nT Chama-senulidadedeT, que se denotapornT, dimenso do subespao ^T.5.24teo SejaT L(V, V). Ento,(a) c(AT) = cT.(b) Se dim(V ) = n, tem-se quen = cT+nT.5.25exe Seja T L(R3, R2), T(x1, x2, x3) = (x1+x3, x1+2x2x3). Determine:(a) cT.(b) uma base de 1T.(c) nT.(d) uma base de ^T.res (a) ComoT(1, 0, 0) = (1, 1)T(0, 1, 0) = (0, 2)T(0, 0, 1) = (1, 1),tem-se queAT=

1 0 11 2 1.5.1 Apontamentos sobre Transformac oes Lineares 137Ento,comoAT=

1 0 11 2 12 2 1

1 0 10 2 2,tem-se que c(AT) = 2, pelo que, aplicando 5.24teo (a), vem cT dim(1T) = 2.(b) ComocT=dim(1T)=2,conclui-seque 1T=R2,peloque,porexemplo, (1, 0), (0, 1) uma base de 1T.(c) Aplicando 5.24teo (b),tem-sequedim(R3)=cT+ nT, i.e., 3=2 +nT, pelo quenT= 1 (este valor conrmado pelo nmero devariveis livres em ^T).(d) Como ^T= '(1, 1, 1)` e nT=1, tem-se que, por exemplo,(1, 1, 1) uma base de ^T.138 5 Transformac oes Lineares5.2 Exerccios sobre Transformac oes Lineares5.1exe Considerea funoT: R2R3,T(x, y) = (x y, 0, x). Calcule:(a) T(2, 1).(b) T(y, 1).(c) T(y, x).(d) T(x + 2y, 2y x).5.2exe Indique se as seguintes funes so transformaes lineares:(a) T1: R2R2,T1(x, y) = (0, x).(b) T2: R3R2,T2(x, y, z) = (x +y + 2, z 3).(c) T3: R2R,T3(x, y) = [x y[.(d) T4: R2R3,T4(x1, x2) = (x2, 0, x1).(e) T5: R2R2,T5(x1, x2) = (x1 + 1, x2).(f) T6: 22(R) R,T6(A) = a11.(g) T7: 22(R) R,T7(A) = (a11)2.(h) T8: nn(R) R,T8(A) = det(A).(i) T9: R2x R,T9(ax2+bx +c) = a.(j) T10: C1(a, b) C(a, b),T10(f) = f.5.3exe Sejam, R. Determine arelaoentre e demodoqueatransformaoT: R R2,T(x) = (x + 2, x), seja linear.5.4exe Determinea imagem,a caracterstica,o ncleo,anulidadeea matrizrelativamente s bases cannicas das seguintes transformaes lineares:5.2 Exerccios sobre Transformac oes Lineares 139(a)T1: R2 R(x, y) x +y.(b)T2: R3 R2(x, y, z) (x +y +z, 2x + 2y + 2z).(c)T3: R3 R3(x, y, z) (x z, 0, y 2z).(d)T4: R4 R3(x, y, z, w) (x y, z w, x 3w).5.5exe Paracadaumadasalneasseguintes, determineafunoTsabendoque uma transformaolinear denidapor:(a) T(1, 0) = (1, 1, 2)eT(0, 1) = (3, 0, 1).(b) T(1, 2) = (3, 1, 5)eT(0, 1) = (2, 1, 1).(c) T(1, 1, 1) = 3,T(0, 1, 2) = 1 eT(0, 0, 1) = 2.5.6exe Seja T L(R3, R3), tal que T(0, 0, 1) = (0, 0, 1) e ^T= '(1, 1, 1), (0, 1, 1)`.DetermineT(x, y, z) para qualquer(x, y, z) R3.5.7exe SejaT: 22(R) 22(R),T(A) =

(A)11+(A)12(A)22(A)222(A)11

.(a) Mostre queT uma transformao linear.(b) Determineas dimenses de ^Te de 1T.140 5 Transformac oes Lineares5.8exe SejamM nn(R)eT: nn(R) nn(R),T(A) = AM MA.(a) Mostre queT uma transformaolinear.(b) ConsidereM=[1203]. DetermineumabaseeadimensoparaoncleodeT.5.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Transformac oes Lineares 1415.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Transformac oes Lineares5.1sol (a) T(2, 1) = (1, 0, 2).(b) T(y, 1) = (y 1, 0, y).(c) T(y, x) = (y x, 0, y).(d) T(x + 2y, 2y x) = (2x, 0, x + 2y).5.2sol (a) Sim.(b) No.(c) No.(d) Sim.(e) No.(f) Sim.(g) No.(h) No.(i) Sim.(j) Sim.5.3sol = 2.5.4sol (a) 1T1= R,cT1= 1,^T1= (x, x)[x R = '(1, 1)`, nT1= 1,AT1= [ 11 ].(b) 1T2= (x, 2x)[x R = '(1, 2)`, cT2= 1,^T2= (y z, y, z)[y, z R = '(1, 1, 0), (1, 0, 1)`, nT2= 2,AT2= [111222].142 5 Transformac oes Lineares(c) 1T3= (x, 0, z)[x, z R = '(1, 0, 0), (0, 0, 1)`, cT3= 2,^T3= (z, 2z, z)[z R = '(1, 2, 1)`, nT3= 1,AT3=

10 100 001 2

.(d) 1T4= R3,cT4= 3,^T4= (3w, 3w, w, w)[w R = '(3, 3, 1, 1)`, nT4= 1,AT4=

1 10 00 0 1 11 0 0 3

.5.5sol (a) T(x, y) = (x + 3y, x, 2x +y).(b) T(x, y) = (x + 2y, 3x +y, 7x y).(c) T(x, y, z) = 8x 3y 2z.5.6sol T(x, y, z) = (0, 0, z y).5.7sol (b) nT= 1,cT= 3.5.8sol (b) Porexemplo: 1 10 0

, [1001],nT= 2.Captulo 6Valores e Vectores Pr oprios6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Pr oprios6.1def vector prprio de uma matriz associado a um valor prprio SejaA nn(R). Diz-sequex Cn` 0CnumvectorprpriodamatrizA associado ao valor prprio C seAx = x.6.2def espectrodeumamatrizSejaA nn(R). Chama-seespectrodeA, que se representa por (A), ao conjunto de todos os valores prpriosdeA.6.3def subespao prprio de umvalor prprio SejamAnn(R) e (A). Chama-sesubespaoprpriodovalor prprio, queserepresentaporE, ao conjuntoE:= x Cn[Ax = x.6.4teo SejamA nn(R) e (A). Ento,E um subespao deCn.143144 6 Valores e Vectores Pr oprios6.5obs (a) Note-se que existem matrizes reais cujos valores prpriosso n-meros complexos.(b) Cada vectorprprio est associado apenas a um valor prprio.(c) Sex um vector prprio associado ao valor prprio, ento,x, = 0, tambm um vector prprio associado ao valor prprio.(d) SejamA nn(R) e (A). Ento,E= x Cn[x um vector prprio associadoao valor prprio 0Cn.(e) Chama-se subespao prprioao conjunto Edevido ao teoremaanterior.(f) O seguinte teoremaindica-nos um processo de calcular(A).6.6teo SejaA nn(R). Ento, (A) se e s sedet(AIn) = 0.6.7def SejaA nn(R).(a) polinmio caracterstico de uma matriz Chama-se polinmiocaracterstico da matriz A, que se representa por A(), ao polinmioA() := det(A In).(b) equao caracterstica de uma matriz Chama-se equao carac-tersticada matrizA equaoA() = 0 .(c) multiplicidadealgbricadeumvalorprprioSejaumvalorprprio deA. Chama-se multiplicidade algbrica de multipli-cidadedo escalar enquantoraz da equao caracterstica.(d) valor prprio simples Seja um valor prprio deA. Diz-se que um valor prprio simples se tem multiplicidadealgbrica um.6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Pr oprios 1456.8teo SejaAnn(R). Ento, ocoeciente dotermode graundopolinmiocaractersticodamatrizA(1)neoseutermoindepen-dentede det(A).6.9obs SejaA nn(R). Ento,A() = (1)nn+ + det(A).6.10obs SejaA nn(R). Ento,(a) os valores prprios damatriz Asoos zeros doseupolinmiocaracterstico.(b) SeumvalorprpriodamatrizA,entoosvectoresprpriosassociadosasoassoluesno-nulasdosistemahomogneo(A In)x = 0.(c) Do Teorema Fundamental da lgebra resulta que A() temexactamenten zeros, podendo alguns deles ser iguais. Assim, se-jamn1, n2, . . . , nmas multiplicidadesdosm( n)zerosdistintos1, 2, . . . , mdeA(). Ento,A() = (1)n( 1)n1( 2)n2 ( m)nm,em que n1+n2++nm= n. Aos nmeros n1, n2, . . . , nm chama-se multiplicidade algbrica dos valores prprios 1, 2, . . . , m,respectivamente.6.11teo Seja A uma matriz quadrada. Ento, A invertvel se e s se 0/ (A).6.12exe Considere a matrizA =

21 001 102 4

.(a) Determineo espectro da matrizA.(b) Determineoespaoprprioassociadoaovalorprpriodemenormdulo da matrizA.146 6 Valores e Vectores Pr opriosres (a) SejaAI3=

2 1 00 1 10 2 4 .Ento, aplicandooTeoremadeLaplaceefazendoodesenvolvi-mentoa partirda primeiracoluna, obtm-sedet(A I3) = (2 )((1 )(4 ) + 2)= (2 )(25 + 6)= (2 )2( 3),pelo que(A) = 2, 3,sendoque1= 2umvalorprpriodemultiplicidadealgbricadois e2= 3 um valor prprio simples.C.A.: 25 + 6 = 0 =5 25 242 = 2 = 3.(b) Para determinar o espao prprio associado ao valor prprio 1=2, tem que se resolver o sistema(A2I3)x1= 0.6.1 Apontamentos sobre Valores e Vectores Pr oprios 147Aplicando o Mtodo de Gauss, vem:

0 1 0 00 1 1 00 2 2 02 2 +13 3 21

0 1 0 00 0 1 00 0 2 03 3 22

0 1 0 00 0 1 00 0 0 0pelo que

x11= a Cx12= 0x13= 0.Assim, tem-se:E2= (a, 0, 0)[a C.148 6 Valores e Vectores Pr oprios6.2 Exerccios sobre Valores e Vectores Pr oprios6.1exe Determine oespectrodas seguintes matrizes, bemcomoos espaosprpriosassociados aos seus valores prprios:A =

1 42 3, B=

1 12 1, C=

1 3 33 5 36 6 4,D =

3 0 10 2 01 0 3, E=

1 2 12 0 21 2 3, F=

4 0 12 1 02 0 1.6.2exe SejaA = [aij] nn(K). Ento,dene-se o traoda matrizA, quese representapor tr(A),comosendotr(A) =ni=1aii. Considerando,agora,a matrizB= [bij] 22(K), mostre queB() = 2tr(B) + det(B).6.3exe SejaT L(Rn, Rn). Digasesoverdadeirasoufalsasasseguintesarmaes:(a) a matrizAT invertvelse e s seCSATx=0= 0.(b) A matrizAT invertvelse e s se#CSATx=b= 1, b Rn.(c) A matrizAT invertvelse e s sedet(AT) = 0.(d) A matrizAT invertvelse e s se 1T= Rn.(e) AmatrizATinvertvel seesseascolunasdamatrizATsolinearmenteindependentes.(f) AmatrizATinvertvel seesseaslinhasdamatrizATsolinearmenteindependentes.6.2 Exerccios sobre Valores e Vectores Pr oprios 149(g) A matriz AT invertvel se e s se as colunas da matriz ATgeramRn.(h) A matrizAT invertvelse e s se as linhas da matrizATgeramRn.(i) A matriz AT invertvel se e s se as colunas da matriz ATformamuma base deRn.(j) A matriz AT invertvel se e s se as linhas da matriz ATformamuma base deRn.(k) A matrizAT invertvelse e s senT= 0.(l) A matrizAT invertvelse e s secT= n.(m) A matrizAT invertvelse e s se0/ (AT).150 6 Valores e Vectores Pr oprios6.3 Soluc oes dos Exerccios sobre Valores e Vectores Pr oprios6.1sol (a) (A) = 1, 5.E1= (2, )[ C.E5= (, )[ C.(b) (B) = i, i.Ei= (1+i, )[ C.Ei= (1i, )[ C.(c) (C) = 2, 4,emqueovalorprprio1= 2 temmultiplici-dade algbricadois.E2= ( , , )[, C.E4= (2,2, )[ C.(d) (D) = 2, 4,em que o valor prprio1= 2 tem multiplicidadealgbricadois.E2= (, , )[, C.E4= (, 0, )[ C.(e) (E) = 0, 2,em que o valor prprio2= 2 tem multiplicidadealgbricadois.E0= (, , )[ C.E2= (, 0, )[ C.(f) (F) = 1, 2, 3.E1= (3, , )[, C.E2= (2, , )[ C.E3= (, , )[ C.6.3sol Todas as armaes so verdadeiras.Ap endice AAlfabetoGregoMinscula Maiscula Nome EquivalenteLatino A alfa a B beta b gama g delta d E psilon e Z zeta z H eta e,h teta t I iota i K capa k lambda l M miu m N niu n csi cso O micron o pi p P r r sigma s T tau t psilon u,y, f X qui c,x psi ps mega w151Indice RemissivoA B, 22base, 112base ordenada, 112C(a, b), 80C(a, b),80Ck(a, b),80cT, 136caractersticade uma matriz, 58caractersticadeumatransformaolinear,136co-factor de um elemento de uma ma-triz, 43coluna de uma matriz, 3coluna nula,20coluna piv, 20combinaolinear, 104, 116complemento algbrico de um elementode uma matriz, 43conjuntogerador, 108conjunto linearmente independente, 110conjuntosoluo, 55coordenadas de um vector numa baseordenada,112dim(V ), 114determinantede uma matriz,38diagonalde uma matriz, 6diagonalprincipal,6diagonal secundriadeumamatriz,6dimenso de um espao vectorial, 114elementode uma matriz, 3endomorsmo,130152INDICE REMISSIVO 153equao caracterstica de uma matriz,144escalar, 2, 78espao gerado, 107espao vectorial, 78espao vectorial complexo,79espaovectorial dedimensonita,114espao vectorial real, 78espectro de uma matriz, 143fe(A), 24fer(A), 24funo, 127homomorsmo,127imagem de um elemento por meio deuma funo, 127imagemde uma transformao lin-ear, 133mn(K), 79Kn, 79Kn[x], 80L(S), 107L(V, V ), 127, 128linha de uma matriz,3linha nula, 20mn(C), 2mn(K), 2mn(R), 2matriz, 2matriz adjunta,49matriz ampliada,55matriz aumentada,55matriz coluna, 4matriz complementar de um elementode uma matriz,37matriz complexa, 2matriz conjugada, 18matrizdeumatransformaolinearentre espaos de dimenso nita,132matriz diagonal,6matriz dos coecientes,55matriz elementar,28matriz em escada, 21matriz em escada reduzida,21matriz escalar, 6matriz hermtica,19matriz identidade,7matriz inversa, 14matriz invertvel,14154INDICE REMISSIVOmatriz linha,4matriz no-invertvel,14matriz no-singular,14matriz nula,7matriz ortogonal,18matriz quadrada,5matriz real, 2matriz rectangular,5matriz simtrica,17matriz singular,14matriz transconjugada,18matriz transposta, 16matriz triangularinferior, 6matriz triangularsuperior, 6matriz unitria,19matrizes comutveis,13matrizes equivalentes,22matrizes iguais, 7multiplicaode matrizes, 10multiplicaodeumescalarporumvector,78multiplicidadealgbricadeumvalorprprio,1441T, 133^T, 133nT, 136ncleodeumatransformaolinear,133nulidade deumatransformaolin-ear, 136operao elementar do tipo I nas lin-has de uma matriz, 22operao elementar do tipo II nas lin-has de uma matriz, 22operao elementar dotipoIII naslinhas de uma matriz,22ordem de uma matriz, 5piv, 20polinmiocaractersticodeumama-triz, 144potnciacartesianadeumconjunto,1potncia de uma matriz, 13produto cartesiano de dois conjuntos,1produto cartesiano de um nmero nitode conjuntos, 1produto de matrizes, 10produtodeumamatriz por umes-calar, 8sistema de equaes lineares, 55INDICE REMISSIVO 155sistema de equaes no lineares, 56sistema homogneo,57sistema homogneoassociado, 57sistema impossvel, 58sistema possvel, 57soma de matrizes, 8soma de vectores, 78subespao, 100subespao prprio de um valor prprio,143tipo de uma matriz, 2transformao linear,127valor prpriosimples, 144varivel livre, 58varivel piv, 58vector, 78vector das incgnitas,55vector dos termos independentes,55vector prprio de uma matriz associ-ado a um valor prprio,143vectores linearmente dependentes, 110vectores linearmente independentes,110'x1, . . . , xn`, 107