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SEBENTA DE BETÃO ESTRUTURAL 2 | ISEL | MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL

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  • Departamento de Engenharia Civil

    Beto estrutural II

    ( folhas da disciplina )

    verso actualizada segundo Eurocdigo 2

    Prof. Antnio Sousa Gorgulho

    ISELISELISELISEL

  • Pg. 2

    NDICE

    CAP. I LAJES....................................................................................................4 I.1 PRINCIPAIS TIPOS E CLASSIFICAES...........................................................4 I.2 LAJES VIGADAS.................................................................................................11 I.2.1 PRINCPIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO E COMPORTAMENTO.................11 I.2.2 REDISTRIBUIO DE ESFOROS E SEU SIGNIFICADO EM TERMOS DE ESTADO LIMITE ULTIMO DE FLEXO......................................................................18 I.2.3 DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA NICA DIRECO..................................................................................................................23 I.2.4 DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECES................................................................................................................28 I.2.5 ESTADOS LIMITES LTIMOS: FLEXO E ESFORO TRANSVERSO....................40 I.2.6 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAO: FENDILHAO E DEFORMAO...............43 I.2.7 DISPOSIO DE ARMADURAS.................................................................................53 I.2.7.1 Lajes Armadas numa s direco.........................................................................................57

    I.2.7.2 Lajes Armadas em duas direces........................................................................................70 I.2.8 ESCADAS....................................................................................................................88

    I.2.8.1- Principais Tipos e respectivos Modelos de Clculo................................................................88 I.2.8.2- Determinao das cargas nos lanos.....................................................................................92

    I.2.8.3- Pormenorizao de armaduras..............................................................................................93 I.2.9 LAJES SUJEITAS A CARGAS CONCENTRADAS....................................................95

    I.2.9.1- Lajes Armadas numa s direco..........................................................................................95 I.2.9.2- Lajes Armadas em 2 direces..............................................................................................98

    I.2.10 ABERTURAS EM LAJES..........................................................................................99 I.3 LAJES FUNGIFORMES.....................................................................................104 I.3.1 MTODOS DE ANLISE E DIMENSIONAMENTO..................................................104 I.3.2 MTODO DOS PRTICOS EQUIVALENTES..........................................................106 I.3.3 ESTADO LIMITE LTIMO DE PUNOAMENTO.....................................................112 I.3.3.1 Mecanismo de Rotura por Punoamento............................................................................112 I.3.3.2 Verificao da Segurana...................................................................................................113 I.3.4 PR-DIMENSIONAMENTO. DISPOSIO DE ARMADURAS...............................136 I.4 LAJES PR-FABRICADAS DE VIGOTAS PR-ESFORADAS E BLOCOS DE ENCHIMENTO.............................................................................148 I.4.1 CONSTITUIO. TCNICAS DE EXECUO. VANTAGENS E DESVANTAGENS DA SUA UTILIZAO...............................................................148

  • Pg. 3

    I.4.1.1 Constituio........................................................................................................................148 I.4.1.2 Sistema Construtivo.Tcnicas de Execuo.......................................................................150 I.4.1.3 Vantagens e desvantagens deste tipo de lajes...................................................................151 I.4.2 VERIFICAO DA SEGURANA............................................................................152 I.4.2.1 Estados Limites ltimos......................................................................................................152 I.4.2.2 Estados Limites de Utilizao..............................................................................................152 I.4.3 MODELOS DE COMPORTAMENTO ESTRUTURAL. CLCULO DE ESFOROS..............................................................................................................155 I.4.4 DISPOSIES CONSTRUTIVAS.............................................................................156 CAP. II SAPATAS DE FUNDAO...............................................................162 II.1 VERIFICAO DA SEGURANA DO SOLO DE FUNDAO.......................162 II.1.1 ESTADOS LIMITES LTIMOS................................................................................162 II.1.2 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAO.....................................................................165 II.2 VERIFICAO DA SEGURANA DA SAPATA...............................................166 II.2.1 CLCULO DE ARMADURAS..................................................................................167 II.2.1.1 Sapatas com Cargas Centradas.........................................................................................167

    II.2.1.2 Sapatas com Cargas Excntricas sem vigas de fundao................................................170 II.2.1.3 Sapatas com Cargas Excntricas interligadas por vigas de fundao...............................174

    II.2.2 ESTADO LIMITE LTIMO DE PUNOAMENTO....................................................178 CAP. III INTRODUO AO BETO PR-ESFORADO..............................179 III.1 INTRODUO.................................................................................................179 III.2 TCNICAS E SISTEMAS DE PR-ESFORO...............................................180 III.3 EFEITO DO PR-ESFORO: VIGA EM BETO ARMADO E BETO ARMADO PR-ESFORADO.........................................................................181 III.4 DIMENSIONAMENTO DO PR-ESFORO EM VIGAS ISOSTTICAS........184 III.4.1 CARGAS EQUIVALENTES AO EFEITO DO PR-ESFORO..............................188

  • Pg. 4

    CAP. I LAJES

    I.1 PRINCIPAIS TIPOS E CLASSIFICAES

    Depois de estudados em BE1 os elementos de Beto Armado com comportamento linear: vigas e pilares, passamos a estudar em BE2 os elementos laminares, de comportamento bidimensional: lajes.

    Viga comportamento linear Laje comportamento bidimensional

    Os elementos de comportamento linear tm uma dimenso ( vo ) muito superior s outras duas ( dimenses da seco ) e a sua deformada uma linha ( funo em R ). Os elementos, como as lajes, de comportamento bidimensional tm 2 dimenses ( vos ) muito superiores a uma terceira que a espessura e a sua deformada quando carregados a de uma superfcie ( funo em R2 ) Entre os elementos laminares pode falar-se em placas, lajes ou cascas. Designam-se por placas os elementos laminares com carregamento actuando segundo o seu plano mdio

    So exemplo de elementos laminares com comportamento de placa :

  • Pg. 5

    Paredes de beto armado sujeitas a cargas verticais Pavimentos de beto sujeitos a aces horizontais

    Designam-se por lajes os elementos laminares actuados por cargas, perpendiculares ao seu plano mdio.

    So exemplos de lajes: Paramento vertical de um muro de suporte Paredes planas de um reservatrio Pavimentos de um Edifcio sujeitos a cargas verticais

    Finalmente designam-se por cascas todos os elementos laminares no planos.

    So exemplos deste tipo de elementos: Paredes de um reservatrio circular Coberturas curvas

    Passando agora ao estudo das lajes, vamos inici-lo pelo conhecimento dos vrios tipos e classificaes das lajes, por forma a identificar de imediato as caractersticas de quaquer laje a partir da sua designao/classificao. Os vrios tipos de classificao de uma laje vo ser apresentados por ordem decrescente de importncia, para a sua identificao.

    - Quanto ao Tipo de Apoio Lajes Vigadas so lajes apoiadas em vigas Lajes Fungiformes so lajes apoiadas directamente em pilares. Lajes Apoiadas em Meio Elstico so lajes apoiadas directamente no solo

    de fundao, por exemplo.

  • Pg. 6

    - Quanto sua Constituio

    Lajes em Beto Armado Que podem ser : - Macias: de espessura constante ou varivel - Aligeiradas ou Nervuradas desde que o seu peso prprio seja inferior ao da laje macia de igual espessura. A reduo de peso conseguida atravs da introduo de blocos de cofragem recuperveis ou perdidos, que originam nervuras, uni ou bidireccionais, solidarizadas por uma lajeta de compresso. Os moldes recuperveis so plsticos, dando origem a uma superfcie descontnua com as nervuras aparentes.

    Os moldes perdidos podem ser em: Beto leve ( normalmente tipo LECA e tripartidos ) Cermicos Plsticos Poliestireno Expandido ( difceis de fixar para a betonagem )

    e originam uma superfcie inferior contnua. Pode ou no haver lajeta inferior, consoante os blocos estejam colocados acima ou directamente sobre a cofragem.

    Lajes de vigotas pr-esforadas Constitudas por vigotas pr-esforadas, nas quais se apoiam blocos de cofragem

  • Pg. 7

    ( abobadilhas ) cermicos ou de beto, solidarizados por uma lajeta de compresso em beto, a executar em obra.

    As dimenses apresentadas dizem respeito a um determinado tipo de laje.

    Lajes Mistas Ao-Beto As solues mistas, hoje em dia mais comuns so: - Lajes mistas com chapa de ao colaborante

    que constituem solues muito leves e esbeltas ( 10 a 15 cm de espessura ) e evitam o recurso a cofragens de madeira, exigindo apenas um sistema de escoramento vertical. Apoiam em vigas metlicas, vigas de beto ou paredes resistentes de alvenaria. Trata-se de uma soluo muito utilizada em obras de remodelao/recuperao de edifcios antigos. - Lajes mistas com perfis I Constitudas por perfis metlicos, em geral de seco em I, que suportam as foras de traco, ligados por conectores metlicos a uma lajeta de beto que absorve as foras de compresso.

  • Pg. 8

    - Quanto ao Modo de Flexo Dominante ( s para lajes vigadas ) Lajes Armadas numa s direco

    Neste caso os momentos flectores numa das direces ( direco do menor vo ) so muito superiores aos da outra.

    lx / ly > 2

    Lajes Armadas em duas direces ou em cruz Os momentos flectores nas duas direces principais de flexo so da mesma ordem de grandeza

    0,5 lx / ly 2

  • Pg. 9

    - Quanto ao Comportamento Lajes Finas - h < l / 10 ( situaes correntes )

    Na anlise destas lajes podem adoptar-se as hipteses simplificativas da Resistncia de Materiais que so: - desprezar a contribuio do esforo transverso na deformabilidade da laje - hiptese das fibras perpendiculares ao plano mdio se manterem rectas e perpendiculares superfcie deformada

    Lajes Espessas h l / 10 No so vlidas as hipteses simplificativas anteriores

    Lajes Isotrpicas Tm um comportamento ortotrpico ( lajes nervuradas )

    - Quanto ao Modo de Fabrico Betonadas in situ

    Constituem ainda a soluo maioritria, muito embora a utilizao de solues com componente de pr-fabricao v avanando gradualmente ano aps ano.

    Pr-fabricao Total Soluo pouco utilizada, pois exige a montagem dos painis de laje inteiramente pr-fabricados sobre as vigas de apoio, procedendo-se posteriormente sua solidarizao em obra. A elevada sismicidade de algumas zonas do nosso pas contribui tambm para a pouca utilizao deste sistema, j que obriga a cuidados muito especiais na concepo e dimensionamento das zonas de ligao laje-viga.

    Pr-fabricao Parcial Nestas solues apenas a parte inferior da laje pr-fabricada, evitando o recurso a cofragens inferiores contnuas. Podem ser: - pr-lajes que so lajetas de espessura constante entre 5 e 7 cm, pr-esforadas e que so montadas sobre os apoios

  • Pg. 10

    - pranchas alveoladas pr-esforadas, montadas justapostas sobre os apoios.

    - etc

    Depois de colocadas estas lajes em posio, executa-se a parte superior da laje, servindo aquelas de cofragem perdida para a betonagem a realizar em obra . Estas solues de pr-fabricao parcial j so mais comuns, sobretudo porque evitam o recurso a cofragem inferior. A sua utilizao torna-se mais econmica para grandes reas e com vrias repeties.

  • Pg. 11

    I.2 LAJES VIGADAS

    I.2.1 PRINCPIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO E COMPORTAMENTO

    Em termos de dimensionamento, a regulamentao nacional permite a utilizao no clculo de esforos em lajes vigadas, da:

    Sem redistribuio de esforos Teoria da Elasticidade

    Com redistribuio de esforos

    Mtodo Esttico

    Teoria da Plasticidade Mtodo Cinemtico

    A utilizao do clculo elstico com redistribuio de esforos e do clculo plstico esto no entanto limitadas por algumas condies. A verificao da segurana dever ser feita de acordo com a teoria dos estados limites:

    Flexo Estados Limites ltimos Esforo Transverso

    Abertura de Fendas Estados Limites de Utilizao

    Deformao

    Normalmente as lajes vigadas que constituem os pavimentos de um Edifcio s so dimensionadas para as cargas verticais, perpendiculares ao seu plano mdio, sendo a resistncia s aces horizontais assegurada pela estrutura reticulada de pilares e

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    vigas. Face s aces horizontais as lajes funcionam como placas com cargas actuando segundo o seu plano mdio, o que conduz a pequenas tenses. J no caso das lajes de pavimento, fungiformes, a inexistncia de vigas obriga ao seu dimensionamento tambm s aces horizontais.

    Condies de Apoio e Simbologia de Clculo

    As condies de apoio de um painel de laje vigada so: - bordo encastrado quando h continuidade para um painel adjacente

    - bordo simplesmente apoiado quando se trata de um apoio limite sem continuidade

    - bordo livre quando no h viga de apoio

    Por exemplo para o conjunto de painis da figura:

  • Pg. 13

    ter-se-:

    Em termos de simbologia de clculo, os Momento Flectores nas lajes seguem uma conveno diferente dos momentos nas seces de vigas ou pilares. Assim enquanto numa seco de viga ou pilar : Mxx representa o momento flector cujo vector resultante tem a direco de X, ou seja , trata-se de um momento em torno de X. No caso das lajes: Mx representa o momento flector que produz tenses normais de flexo segundo o eixo X, ou seja o momento que tem o vector resultante segundo Y ou momento em torno de Y.

    Deste modo nos painis A, B, C e D anteriormente representados, os momentos flectores a determinar seriam:

    Como se pode perceber os momentos so representados por setas simples que pretendem mostrar o momento em projeco no plano. O sentido da seta no tem significado em termos de sinal, sabendo-se que momentos no centro do painel sero sempre positivos enquanto momentos sobre encastramentos sero sempre negativos.

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    Nos painis com bordo livre haver que distinguir entre os momentos segundo a direco do bordo na zona central e os mesmos momentos junto ao bordo. Isto porque h um aumento significativo desses momentos junto ao bordo livre. Os momentos flectores e esforos transversos em lajes so sempre calculados por unidade de largura. Mx - [ KNm/m ] ; Vx - [ KN/m ]

    Anlise Qualitativa do Comportamento Elstico das Lajes

    a) Laje Apoiada numa direco e com Bordos Livres na outra

    Neste caso a laje, quando carregada, fica sujeita a um estado de flexo cilndrica, com curvatura nula segundo a direco Y e portanto comportamento semelhante ao de uma viga com o mesmo vo. No entanto, na laje vai surgir um efeito que no se verifica nas vigas e que se pode explicar simplificadamente da seguinte forma: Considerando a laje como um conjunto de vigas ou faixas justapostas lateralmente, quando a laje se deforma verifica-se que a deformao transversal de cada faixa impedida pela faixas adjacentes, originando tenses segundo a direco perpendicular ao vo, que produzem um momento flector de compatibilidade dado por: My = . Mx em que:

    coeficiente de Poisson do material e que no caso do beto armado se pode considerar igual a 0,2 em fase elstica. Portanto numa laje armada numa s direco, apesar de possuir curvatura nula na outra direco, haver sempre um momento flector de compatibilidade segundo esta outra direco devido ao efeito de Poisson.

  • Pg. 15

    b) Laje Apoiada nos Quatro Bordos, com um lado muito maior que o outro ( ly / lx > 2)

    Neste caso o comportamento muito semelhante ao anterior, ficando a laje sujeita a um estado de flexo cilndrico em praticamente toda a largura, com uma perturbao pouco significativa nas extremidades devido presena dos apoios. Podendo portanto igualmente afirmar-se que a curvatura segundo Y praticamente nula.

    c) Laje Apoiada nos Quatro Bordos, com lados de comprimento semelhante ( 0,5 ly / lx 2)

    O comportamento qualitativo neste caso pode ser compreendido a partir da analogia com uma grelha de vigas nas duas direces, intersectando-se no centro da laje.

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    Olhando para a superfcie deformada, facilmente se conclui que sendo a curvatura maior segundo o menor vo da laje, tambm o sero os momentos flectores j que M = EI. 1/R = EI.K Deste modo podemos concluir que no caso de uma laje rectangular apoiada em todo o contorno, os maiores momentos aparecem segundo a direco do menor vo. Esta concluso extensiva a outras condies de fronteira desde que sejam idnticas nas duas direces.

    Comportamento de uma laje at rotura

    A figura representa o diagrama de comportamento P- de uma laje at uma situao de rotura. Assim teremos: 1 Fase elstica ( Estado I ) em que o modelo elstico linear para o comportamento da laje praticamente exacto A Valor da carga para o qual se d o incio da fendilhao 2 Fase fendilhada ( Estado II ) em que o modelo elstico vlido para o clculo dos esforos ( no exacto ) devendo ter-se em conta o efeito da fendilhao na deformao. B Valor da carga para o qual se d incio fase de cedncia das armaduras ( plastificao ) 3 Fase de plastificao em que as fendas comeam a agrupar-se, formando bandas ( charneiras plsticas ). A distribuio de esforos j significativamente diferente da distribuio elstica. C Valor da carga para o qual se d incio ao processo de rotura

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    4 Fase de rotura em que se d a deformao e formao de mecanismo por rotao em torno das charneiras plsticas ( linhas de rotura ) e esmagamento do beto. vlida nesta fase a Teoria da Plasticidade. Aspecto da face inferior de uma laje apoiada nos quatro bordos, na fase que precede a rotura:

    Da anlise do diagrama podem reter-se os seguintes aspectos muito importantes para o estudo de qualquer laje: - No linearidade da deformao com o valor da carga a partir do ponto de incio da fendilhao. - O modelo elstico s produz esforos semelhantes aos reais em fase elstica - Uma laje bem dimensionada dever funcionar nas condies usuais de servio junto do ponto de incio de fendilhao, acima ou abaixo e no necessariamente sempre abaixo.

  • Pg. 18

    I.2.2 REDISTRIBUIO DE ESFOROS E SEU SIGNIFICADO EM TERMOS DE ESTADO LIMITE ULTIMO DE FLEXO

    Anlise Plstica

    Como se verificou no fim do captulo anterior , a distribuio de esforos numa laje prxima da situao de rotura, no tem nada a ver com a distribuio que se obteria fazendo um clculo elstico. Deste modo como explicar o clculo rotura de armaduras com base no valor de esforos obtidos elasticamente? A resposta est no Teorema Esttico da Anlise Plstica. Segundo o art 48 do REBAP a anlise plstica em lajes ser feita em termos da verificao da segurana expressa atravs da condio de que o valor de clculo das aces inferior ao valor de clculo da resistncia em termos de aces. No valor de clculo das aces devem considerar-se as combinaes de aces com os respectivos coeficientes de segurana f e no valor de clculo da resistncia, expressa em termos de aces,devem considerar-se os valores de clculo das propriedades dos materiais determinados com base nos coeficientes de segurana m. A possibilidade de fazer clculo plstico, nomeadamente atravs da aplicao do teorema esttico, obriga segundo o REBAP:

    a que em qualquer ponto e em qualquer direco, a % de armadura de traco da laje no exceda a que conduz a um valor de x/d igual a 0,25, sendo x a profundidade da linha neutra e d a altura til da seco ( exigncia de ductilidade )

    e a que a distribuio de momentos considerada no difira muito da distribuio de momentos elstica:

    0,5. Mapoioel Mapoio 1,25.Mapoioel em que Mapoioel o momento negativo elstico sobre determinado apoio. Segundo o EC2: A anlise plstica pode ser feita sem qualquer verificao directa da capacidade de rotao se: i) a rea da armadura de traco limitada de modo a que em qualquer seco xu / d 0,25 , fck 50 MPa xu / d 0,15 , fck >50 MPa ii) ao das armaduras da classe B ou C ( aos de maior ductilidade) iii) 0,5 M-apoios / M vo 2,0

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    Ento segundo o Teorema Esttico da Anlise Plstica: - A carga distribuda p associada a um campo de esforos equilibrado e em que no seja excedida em nenhum ponto a capacidade resistente da laje M (p) Mrd, constitui um valor inferior ou igual ao da carga ltima pu . em que: M (p) momento da distribuio equilibrada de esforos devido carga p Mrd momento resistente da laje Este teorema pois a justificao da possibilidade de utilizar os resultados da anlise elstica para a verificao da segurana ao estado limite ltimo, uma vez que a soluo elstica uma das possveis distribuies de esforos equilibradas. A utilizao do mtodo esttico no clculo de lajes origina o chamado mtodo das faixas ou bandas.

    Como se representa na figura podemos admitir que a carga p suportada em bandas nas direces x e y, sendo um coeficiente de repartio da carga em cada uma das direces. Teremos assim uma banda de laje segundo x que suporta uma carga de .p e uma banda segundo y que suporta uma carga de ( 1- ).p Para iguais condies de fronteira nas 2 direces o valor de para a menor direco dever ser entre 0,5 e 1 para relaes de vos entre 0,5 e 2. Para relaes de vos superiores a 2, dever ser 1 na direco do menor vo ( flexo cilndrica ). Para condies de fronteira diferentes nas 2 direces, deve considerar-se uma % de carga maior na direco com condies de fronteira mais rgidas.

    . lx 2 > ( 1- ). ly 2

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    Anlise Elstica com redistribuio de esforos

    Quando se dimensiona uma laje com base na distribuio elstica de esforos d jeito, por vezes, pensar numa redistribuio desses esforos. Pode desta forma conseguir-se uma melhor distribuio de armaduras, diminuindo a densidade destas em zonas fortemente armadas, normalmente em armaduras superiores sobre apoios e consequentemente aumentando as armaduras inferiores no vo. Deste modo obtm-se uma melhor pormenorizao de armaduras, maior ductilidade da laje e sobretudo maior facilidade de execuo. A redistribuio de esforos uma aplicao do mtodo esttico que consiste em somar distribuio de esforos elsticos ( que equilibrada ) um campo de esforos auto-equilibrado, obtendo-se assim uma soluo ainda equilibrada. Tomemos o exemplo simples de uma laje bi-encastrada armada segundo uma nica direco, portanto com um comportamento semelhante de uma viga bi-encastrada, sujeita a uma carga uniformemente distribuda:

    O diagrama de momentos elstico :

    Adicionando a este campo de esforos elstico, o campo de esforos auto-equilibrado:

    Obter-se-:

  • Pg. 21

    Que continua a ser um campo de esforos equilibrado e portanto de acordo com o Teorema Esttico, vlido para a verificao ao estado limite ltimo. Caso o campo de esforos auto-equilibrado que se adicionou fosse de:

    O resultado seria uma redistribuio total dos momentos negativos nos apoios:

    Como se trata tambm de um campo de esforos equilibrado, a verificao ao estado limite ltimo permanece vlida para esta distribuio. No entanto como os esforos em servio so prximos dos elsticos, sendo a redistribuio significativa, os nveis de tenso em servio podem tornar-se elevados conduzindo a fendilhao e/ou deformaes inaceitveis. Tal seria a situao neste caso de redistribuio total. Por este motivo o REBAP impe no seu Art 50 que a redistribuio de momentos em lajes seja no mximo de 25% para os momentos nos apoios. Convm tambm salientar que a utilizao da redistribuio de esforos elsticos para o dimensionamento ao Estado Limite ltimo s aplicvel se as zonas mais esforadas apresentarem um comportamento suficientemente dctil de forma a

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    permitir que as capacidades resistentes das seces se adaptem aos esforos actuantes.

    Segundo o EC2 Para lajes contnuas em que a relao entre vos adjacentes esteja entre 0,5 e 2: k1 + k2. xu / d, fck 50 MPa k3 + k4. xu / d, fck >50 MPa relao entre o momento aps a redistribuio e o momento flector elstico k1=0,44 k2 = 1,25.(0,6+0,0014/cu2) = 1,25 K3=0,54 K4 = 1,25.(0,6+0,0014/cu2) 0,44 + 1,25. xu / d, fck 50 Mpa 0,7 para aos das classes B e C

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    I.2.3 DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA NICA DIRECO

    Normalmente as lajes vigadas so dimensionadas com base numa anlise elstica, por ser uma tcnica de fcil aplicao, recorrendo habitualmente a tabelas, e, por conduzir a um bom comportamento em servio. Como se viu anteriormente, nos casos em que a anlise elstica no simples, pode aplicar-se o Teorema Esttico da Anlise Plstica. As lajes vigadas armadas numa s direco tm um comportamento em tudo idntico ao das vigas, pelo que o seu clculo elstico feito como se se tratasse de uma viga com a espessura da laje e 1 m de largura.

    Clculo de Painis Isolados

    Neste caso utilizam-se as frmulas de clculo elstico para vigas de um s tramo com as respectivas condies de apoio.

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    Clculo de Conjunto de Painis Contnuos

    Suponhamos o conjunto de painis representado na figura:

    Atendendo relao entre vos de cada painel, tratam-se de painis armados na direco do menor vo. Deste modo e tal como sucedia nos painis isolados, o clculo dever ser feito como se se tratasse de uma viga, neste caso contnua de 5 tramos, de espessura igual da laje e 1m de largura.

    Um aspecto importante a ter em conta no clculo da laje contnua a possibilidade de alternncia de sobrecargas nos painis. A importncia deste aspecto tem a ver com o valor das sobrecargas e a sua relao com as cargas permanentes. Quanto maior for essa relao mais importante ser a sua considerao no clculo.

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    A no considerao deste efeito, por exemplo quando se sobrecarregam todos os tramos , pode originar mau funcionamento em servio por parte do pavimento, podendo ocorrer fendilhao e flechas exageradas. A alternncia de sobrecargas deve ser considerada em cada caso de acordo com a respectiva linha de influncia. Assim para o caso do pavimento apresentado, ter-se-ia por exemplo, para a obteno do Mmx positivo no 1 tramo: Linha de influncia de M a meio vo do 1 tramo

    Alternncia de sobrecargas a considerar

    Pode assim enunciar-se a seguinte regra para a obteno do Mmx positivo num dado tramo:

    Sobrecarrega-se o tramo em questo e os outros alternadamente. No caso dos Mmx negativos sobre os apoios, vamos considerar a obteno desse momento sobre o 1 apoio: Linha de influncia de M sobre o 1 apoio

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    Alternncia de sobrecargas a considerar

    Pode assim enunciar-se a seguinte regra para a obteno do Mmx negativo sobre um dado apoio: Sobrecarregam-se os dois tramos adjacentes ao apoio em questo e os outros alternadamente. Em termos de esforo transverso proceder-se-ia de igual forma, com base na respectiva linha de influncia . Caso se pretendesse calcular o esforo transverso mximo na seco imediatamente direita do 1 apoio ter-se-ia: Linha de influncia de V na seco direita do 1 apoio

    Alternncia de sobrecargas a considerar

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    I.2.4 DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS DIRECES

    No caso de painis de laje com relao entre vos compreendida entre 0,5 e 2,0, a laje apresenta momentos flectores significativos segundo as duas direces, pelo que como j se viu anteriormente, considera-se como armada em duas direces. A anlise elstica de um sistema de painis contnuos armados em 2 direces pode ser feita de diferentes formas: a) Anlise do sistema global utilizando mtodos numricos, nomeadamente o mtodo dos elementos finitos. Este mtodo de clculo exige o recurso ao clculo automtico. Permite obter uma distribuio elstica de esforos muito parecida com a real, nomeadamente porque considera a deformabilidade das vigas de suporte do sistema. b) Anlise dos painis de laje isolados com recurso a tabelas de clculo ( Bares, Hahn, Montoya, etc ), seguida de uma posterior redistribuio da diferena entre os momentos sobre apoios comuns, para obteno da distribuio no conjunto dos painis. Este mtodo permite obter uma distribuio de esforos equilibrada e portanto vlida para a verificao dos estados limites ltimos, no entanto diferente da distribuio elstica real, j que simplificadamente no considera a deformabilidade das vigas de suporte. c) Anlise do conjunto de painis utilizando tabelas em que a continuidade dos momentos sobre os apoios comuns a painis adjacentes considerada directamente. Tambm despreza a deformabilidade das vigas de apoio. O mtodo dos elementos finitos hoje largamente utilizado atravs de vrios programas de clculo conhecidos como o SAP ou o ROBOT, pelo que na maior parte dos casos este constitui o mtodo de clculo das lajes de pavimento. No entanto nos casos mais simples de pavimentos com plantas de formas muito regulares, o mtodo simplificado descrito na alnea b) continua a ser bastante utilizado, j que no exige para alm das tabelas, grandes meios de clculo. Ser pois este o mtodo de clculo a seguir neste curso, utilizando para o efeito as Tabelas para o clculo de lajes de R. Bares. Para ter em conta a alternncia de sobrecargas, dado que como se referiu, o clculo feito para os painis isolados, utilizada uma tcnica conhecida por Mtodo de Marcus, vlida para sistemas de lajes sujeitas a cargas uniformemente distribudas e com vos adjacentes semelhantes.

  • Pg. 29

    Mtodo de Marcus

    Suponhamos o seguinte sistema de painis:

    Isolando os painis, teramos os seguintes modelos de clculo :

    - Painis A Painis de Canto

  • Pg. 30

    - Painis B Painis de Bordo

    - Painel C Painel Interior

    Como se observa nos modelos de clculo anteriores, os bordos sem continuidade so considerados como apoios simples e os bordos com continuidade como encastramentos.

    O facto de se considerarem os apoios em vigas de bordadura como apoios simples, permitindo a rotao livre, significa que se despreza a rigidez de toro dessas vigas.

  • Pg. 31

    De facto devido fendilhao, a rigidez de toro das vigas decresce rapidamente para valores de cerca de 1/4 a 1/10 do valor elstico, o que torna os momentos na laje junto viga muito pequenos. Por outro lado se se considerassem os momentos flectores na ligao viga de bordadura, como algumas tabelas de clculo de lajes o fazem ( tabelas do ACI , por exemplo ) haveria que, por equilbrio, ter em conta os momentos torsores na viga aquando do clculo desta. Como na prtica, no se considera essa aco sobre a viga, pode tornar-se contra a segurana da estrutura, a utilizao de tabelas que forneam os valores dos momentos sobre apoios descontnuos.

    - Mmx

    Como se viu no caso do conjunto de painis armados numa s direco, os momentos negativos sobre apoios de continuidade so mximos se a sobrecarga actuar simultaneamente nos 2 painis adjacentes a esse bordo. No caso actual de um conjunto de painis armados em duas direces a concluso mantm-se vlida. Deste modo e admitindo a hiptese inicial de os painis terem vos semelhantes, quando ambos os painis adjacentes viga de apoio esto igualmente sobrecarregados, a rotao desse apoio ser muito pequena, pelo que se pode admitir que a condio de apoio nesse bordo o encastramento.

  • Pg. 32

    Pode ento enunciar-se como regra para a obteno dos momentos negativos mximos em determinado painel que o painel deve ser calculado para a totalidade das cargas ( cp+sob) e com os bordos com continuidade considerados como encastrados.

    - Mmx +

    Para obteno dos momentos positivos mximos nos painis A e C, por exemplo, a distribuio de sobrecargas que produz esses momentos ser a seguinte:

    que pode ser decomposta em:

    a) b)

  • Pg. 33

    Para a situao de carga a) em que todos os painis esto igualmente carregados com cp+sob/2 novamente lcito considerar que as vigas de apoio com continuidade praticamente no rodam, pelo que os apoios com continuidade devem ser considerados no clculo dos painis individualizados como encastramentos. No entanto para a situao de carga b), estando os painis adjacentes a cada viga de apoio com continuidade, carregados com + sob/2 e sob/2, ento essas vigas j tendero a rodar, pelo que neste caso os bordos com continuidade devem ser considerados no clculo como encastramentos. Pode ento enunciar-se que para a obteno dos momentos flectores positivos mximos num determinado painel, tendo em conta a possvel alternncia de sobrecargas, tem de adicionar-se o momento positivo obtido para cp+sob/2 actuando o painel com os bordos de continuidade considerados como encastramentos, com o momento positivo obtido para sob/2, actuando o mesmo painel, mas em que agora os bordos com continuidade devem ser considerados como apoios simples. So estas regras simples, que permitem, de uma forma simplificada, obter o efeito da alternncia de sobrecargas sobre o clculo dos painis feito individualmente, que constituem o chamado mtodo de Marcus para o clculo de lajes armadas em duas direces.

    - Equilbrio entre Painis Adjacentes

    Feito o clculo dos momentos flectores para cada painel individualmente, h que no final proceder ao reequilbrio dos momentos negativos calculados para cada um dos painis adjacentes a cada apoio de continuidade. Esses momentos sero diferentes sempre que os painis o sejam, pelo que, para que a viga no fique sujeita a momento torsor o momento ter de ser o mesmo direita e esquerda do apoio. Por exemplo, no caso do pavimento em anlise, entre os painis de canto A e os painis de bordo B, sobre a viga de apoio 1, ter-se-:

  • Pg. 34

    O valor elstico de MAB estar compreendido entre MA e MB e depender da rigidez flexo dos painis adjacentes.

    Pode ser obtido a partir da redistribuio da diferena entre momentos no apoio pela frmula:

    MAB = MB + (MA - MB ) x KB / KA + KB ( frmula de iteraco do Mtodo de Cross )

    Ou

    MAB = MA x KB / KA + KB + MB x KA / KA + KB Em que: KA rigidez flexo do painel A na direco em causa KB rigidez flexo do painel B na direco em causa

    Se os vos forem semelhantes, que era uma das condies iniciais para a aplicao do Mtodo de Marcus, ter-se-: KA ~ KB e ento:

    MAB = (MA + MB) / 2

    Que normalmente a expresso adoptada na prtica. Para esta simplificao na obteno do momento negativo final sobre o apoio comum estar do lado da segurana e poder cobrir as situaes de maiores diferenas entre momentos, deve sempre verificar-se se:

    MAB 0,8 x Mmx (MA ; MB)

  • Pg. 35

    No caso em que:

    MAB < 0,8 x Mmx (MA ; MB) considera-se MAB = 0,8 x Mmx (MA ; MB)

    Quando feito este reequilbrio de momentos sobre o apoio, h sempre descida do diagrama de momentos de um dos lados. Por exemplo, no caso analisado, o momento positivo no painel A para a combinao de aces que conduziu ao MAmx no apoio sofre um acrscimo, porque com a redistribuio, o diagrama de momentos desce no painel A. Por outro lado o Mmx + no painel A determinado com base numa combinao de aces diferente, mais desfavorvel, pelo que haver que verificar se este momento positivo de dimensionamento obtido pelo mtodo de Marcus no ultrapassado pelo momento positivo anterior aps a redistribuio. Tal depende da importncia da considerao da alternncia de sobrecargas que como se viu est ligada relao entre a sobrecarga e a carga permanente. Para as relaes usuais entre carga permanente e sobrecarga e se: MAB 0,8 x Mmx (MA ; MB) ento o momento positivo de dimensionamento obtido pelo mtodo de Marcus normalmente superior. Para casos de maiores sobrecargas ou sobretudo se MAB < 0,8 x Mmx (MA ; MB) , ento deve sempre verificar-se se o momento positivo aps a redistribuio de esforos no ultrapassa o momento positivo de dimensionamento.

  • Pg. 36

    Hiptese 1 Hiptese 2

    Mmx + = Mx ( M+ hip.1 + M ; M+ hip.2 )

    No caso de vos adjacentes bastante diferentes, deve efectuar-se o reequilbrio final de momentos negativos sobre os apoios, com base nas frmulas de rigidez apresentadas. Nestes casos sucede normalmente que aps a redistribuio o vo menor fica apenas com momentos negativos.

    Nesta situao coloca-se habitualmente no vo menor uma armadura superior corrida e uma armadura inferior que normalmente metade da dos vos adjacentes.

  • Pg. 37

    - Dimensionamento de painis adjacentes a uma consola

    No caso de painis armados em 2 direces e adjacentes a uma consola o mtodo de clculo um pouco diferente, devido existncia da consola, j que a influncia desta tem de ser considerada, quando se calcula o painel isoladamente. Suponhamos por exemplo o seguinte conjunto de painis:

    Calculemos ento o painel A. Comecemos por verificar se a consola garante, quando sujeita s cargas permanentes (cp) o encastramento ao painel A:

    1 - Clculo de M no bordo adjacente consola para o painel actuado por 1.5.(cp+sob) ( cargas majoradas) e considerando esse bordo como encastrado.

  • Pg. 38

    2 - Clculo de M no mesmo bordo mas agora calculado pelo lado da consola quando esta est sujeita apenas s cp.

    Se M-cons(cp) < My-A(cp+sob), considera-se que a consola permite a rotao do bordo adjacente, no garantindo portanto o encastramento ao painel A e prosseguindo o clculo deste, considerando esse bordo como um apoio simples.

    3 - Clculo dos momentos no painel A

    No final e porque a consola existe de facto, dever fazer-se a correco de My+

    My+ Final = My+ - = My+ - (M-cons(cp) /2 )

  • Pg. 39

    Se pelo contrrio M-cons(cp) My-A(cp+sob), considera-se que a consola no permite a rotao do bordo adjacente, garantindo portanto o encastramento ao painel A e prosseguindo o clculo deste, considerando esse bordo como um apoio encastrado.

    3 - Clculo dos momentos no painel A

    No final e para corrigir a situao de clculo para a situao real tem de fazer-se a correco de My+

    My+ Final = My+ - = My+ - (M-cons(cp)- My-A(cp+sob))/2

    4 - Clculo do momento negativo final sobre o bordo de ligao consola calculado a partir da consola

  • Pg. 40

    I.2.5 ESTADOS LIMITES LTIMOS: FLEXO E ESFORO TRANSVERSO

    Estado Limite ltimo de Flexo

    Normalmente no clculo de lajes macias vigadas despreza-se a rigidez de toro. Caso contrrio poder-se- utilizar uma frmula simplificada para ter em conta o efeito dos momentos torsores na verificao do estado limite ltimo de flexo, que :

    MxRd MxSd + | MxySd | MyRd MySd + | MxySd |

    Estado Limite ltimo de Esforo Transverso

    Nas situaes correntes de lajes vigadas procura-se dimensionar a espessura da laje de forma a que esta no necessite de armaduras de esforo transverso, dada a dificuldade de montagem destas armaduras. Regulamentarmente no h exigncia de armadura de esforo transverso mnima pelo que procura-se sempre absorver o esforo transverso custa da resistncia do beto, que para lajes sem armadura de esforo transverso, de acordo com o REBAP:

    Vcd = 0,6. ( 1,6 d ). 1 . bw . d sendo que: 1,6 d 1,0 e bw = 1m

    Segundo o EC2 Essa resistncia dada por:

    VRd,c = [CRd,c.k.(100.L.fck)1/3+k1.cp].bw.d [vmin+ k1.cp] .bw.d Onde, CRd,c=0,18/ c =0,18/1,5=0,12 K=1+(200/d) 2, com d em mm L= AsL/ bw.d 0,02 (AsL representa a rea de armadura de traco, prolongada de um comprimento no inferior a d+lb,net para alm da seco considerada ) k1 = 0,15 cp=Nsd/ Ac < 0,2.fcd em MPa (Nsd representa o esforo normal devido a cargas aplicadas ou ao pr-esforo, devendo ser considerado positivo quando for de compresso e Ac representa a rea da seco transversal de beto) vmin = 0,035.k3/2. fck1/2

  • Pg. 41

    Quanto ao clculo do esforo transverso em lajes vigadas armadas em duas direces, ele pode ser feito directamente a partir das tabelas de Bares, como se mostra na figura seguinte, correspondente a uma situao de laje simplesmente apoiada nos 4 bordos:

    Na prtica, no entanto, normalmente utilizado um mtodo simplificado, baseado numa repartio de cargas a 45 entre bordos adjacentes com idnticas condies de apoio ou 60 / 30 para uma situao respectivamente de bordo encastrado versus bordo simplesmente apoiado. Nas figuras seguintes so apresentados exemplos com determinao dos diagramas de reaces ao longo dos bordos, e o respectivo valor de esforo transverso mximo, recorrendo a este mtodo.

  • Pg. 42

    Atravs deste mtodo simplificado de repartio das cargas pelos apoios, pois possvel determinar as reaces das lajes nas vigas, possibilitando um posterior clculo da estrutura reticulada tridimensional constituda apenas por pilares e vigas. Nas lajes de pavimento de edifcios correntes , no h normalmente necessidade de recorrer a armaduras de esforo transverso para verificar a segurana a este estado limite ltimo. Os problemas de esforo transverso em lajes surgem por exemplo nos apoios inferiores em lajes verticais de muros de suporte, com vrios troos, como o caso das paredes de conteno em caves enterradas .

  • Pg. 43

    I.2.6 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAO: FENDILHAO E DEFORMAO

    Estado Limite de Fendilhao

    Calculada a armadura para garantir a verificao da segurana aos estados limites ltimos, o REBAP permite a verificao do estado limite de fendilhao em lajes, de uma forma simplificada, a partir de uma disposio adequada de armaduras. Deste modo, de acordo com o REBAP, e para as solicitaes correntes, o clculo da abertura de fendas dispensado se o espaamento das armaduras principais no exceder os seguintes valores:

    Ambiente Ao A235 Ao A400 Ao A500 Pouco Agressivo ---- 25 cm 20 cm Moderadamente Agressivo

    ---- 15 cm 10 cm

    Muito Agressivo ---- Clculo de abertura

    de fendas obrigatrio

    Clculo de abertura de fendas obrigatrio

    Analisando o quadro anterior conclui-se que para o ao A235 no ser preciso a verificao deste estado limite, enquanto que as limitaes para o espaamento mximo de armaduras principais se agravam do ao A400 para o A500. No caso de ambientes muito agressivos ( ambientes martimos, industriais muito poludos, etc ) o clculo de abertura de fendas obrigatrio desde que se utilizem os aos A400 ou A500. A justificao para estas situaes est no facto da abertura de fendas estar directamente relacionada como se sabe com a corroso das armaduras. Assim quanto maior for a agressividade do meio ambiente mais acelerado ser o processo de corroso pelo que maiores sero as exigncias no controle da fendilhao. Relativamente influncia da classe de resistncia do ao, como o processo de corroso tambm mais acelerado quanto maior for a tenso de servio no ao, tambm se compreende o agravamento das exigncias com o aumento daquela classe.

  • Pg. 44

    Segundo o EC2 A verificao do estado limite de fendilhao numa laje tambm pode ser feita de uma forma indirecta atravs da adopo de uma armadura mnima e da imposio de limites ao dimetro mximo dos vares e ao afastamento mximo entre os mesmos. Por exemplo no caso de lajes de beto armado de Edifcios, solicitadas flexo sem traco axial significativa, no so necessrias medidas especficas para controlar a fendilhao quando a espessura total da laje no superior a 200 mm e se respeitem as indicaes do EC2 sobre disposio de armaduras. Para lajes de espessura superior a 0,20m, tendo em ateno a limitao da fendilhao expressa no quadro seguinte:

    Ambiente Combin. de aces

    Beto armado Beto pr-esfor.

    Frequente --- 0,2 mm Pouco agressivo (X0,XC1) Quase Perman. 0,4 mm* ---

    Frequente --- 0,2 mm Mod. agressivo (XC2,XC3,XC4) Quase Perman. 0,3 mm descompresso

    Frequente --- descompresso Muito agressivo (XD1,XD2,XS1,XS2,XS3) Quase Perman. 0,3 mm descompresso

    *- apenas por razes estticas e no de durabilidade diz-se que a fendilhao est controlada no caso de deformaes impostas, se o dimetro dos vares no for superior ao do quadro seguinte aps a respectiva correco, e, no caso de outras aces, se for respeitado o dimetro mximo, depois de corrigido, ou, o espaamento mximo entre vares, indicado tambm no quadro.

    Mximo dimetro do varo (mm)

    Mximo espaamento entre vares (mm)

    Tenso no ao [MPa]

    wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm

    160 40 32 25 300 300 200 200 32 25 16 300 250 150 240 20 16 12 250 200 100 280 16 12 8 200 150 50 320 12 10 6 150 100 --- 360 10 8 5 100 50 --- 400 8 6 4 50 --- --- 450 6 5 --- --- --- ---

  • Pg. 45

    A tenso no ao ser a tenso na armadura no instante aps a fendilhao. Poder considerar-se fyk no caso de deformaes impostas, que a tenso considerada no clculo da armadura mnima, embora, caso o dimetro das armaduras no satisfaa o estabelecido no quadro, dever adoptar-se o par (s,) que respeite o controlo indirecto dessa tabela, passando a armadura mnima a ser calculada com esse valor de s .No caso de cargas aplicadas poder estimar-se de forma simplificada a tenso nas armaduras considerando s ~ fyd/1,5. O dimetro mximo dos vares s* deve ser corrigido de acordo com: Flexo - s = s*.( fct,ef/2,9).kc.hcr/(2.(h-d)) Traco simples - s = s*.( fct,ef/2,9). hcr/(8.(h-d)) Com s dimetro corrigido mximo dos vares s* - dimetro mximo dos vares obtido no quadro hcr - altura traccionada antes da fendilhao ( =h para traco simples e h/2 para flexo simples ) kc = 0,4 para flexo simples Por exemplo, para traco simples considerando beto C30/37 (fct,ef=2,9 MPa) e d=0,9h obtm-se s = 1,25.s* Para flexo simples considerando beto C30/37 (fct,ef=2,9 MPa) e d=0,9h obtm-se s = s*

    Estado Limite de Deformao

    A necessidade de limitar a deformao nas lajes importante, no s do ponto de vista da aparncia, evitar as tradicionais barrigas na laje, mas tambm por forma a limitar os danos em elementos no estruturais suportados pelas lajes como: paredes de alvenaria, painis pr-fabricados, vos envidraados, etc. Nas figuras seguintes apresentam-se alguns danos que se podem observar em paredes de alvenaria devidos a deformao excessiva dos pavimentos.

  • Pg. 46

    As lajes, sendo elementos estruturais particularmente esbeltos, so bastante sensveis deformao. O REBAP estabelece no seu art 72 como valor limite de deformao, em lajes correntes de edifcios, uma flecha de 1/400 do vo para combinaes frequentes de aces. Quando a laje suportar paredes de alvenaria, esse valor no deve exceder 1,5 cm por forma a evitar a fissurao daquelas.

    Segundo o EC2 o valor limite de deformao para garantir a aparncia e condies de utilizao de uma laje, dever ser de 1/250 do vo para combinaes quase permanentes de aces. Admite a execuo de uma contra-flecha mxima de 1/250 do vo para compensar parcial ou totalmente as deformaes. As flechas susceptveis de danificar elementos no estruturais ( alvenarias, envidraados,etc) devem ser limitadas a 1/500 do vo para as flechas que ocorram depois da construo, para combinaes quase permanentes de aces .

    A estimativa das deformaes em lajes pode ser realizada, por exemplo, recorrendo ao mtodo dos coeficientes globais que permite avaliar aproximadamente o agravamento da flecha instantnea elstica ao longo do tempo, devido a factores como a retraco e fluncia do beto e fendilhao da seco. Este factor andar para as situaes correntes entre 3 a 5. Relativamente flecha instantnea elstica, ela depende sobretudo da chamada esbelteza da laje ( l/h ).

  • Pg. 47

    De facto, analisando a expresso da deformao elstica:

    ac = k . p. l4/ EI em que k uma constante que depende das condies de apoio e modos de flexo da laje que para uma laje de espessura constante h ser:

    ac / l = 12. k . p. (l/h)3/ E

    Verfica-se assim que o valor da flecha instantnea elstica varia com o cubo da esbelteza da laje, pelo que ser essa a varivel principal a ter em conta quando se faz o pr-dimensionamento de uma laje pensando na verificao do estado limite de deformao. Desta forma compreende-se o art 102 do REBAP que prope valores de esbelteza mxima para as lajes de modo a garantir a verificao deste estado limite . Neste artigo o REBAP tambm indica algumas espessuras mnimas para lajes, tendo em conta:

    - razes construtivas, nomeadamente salvaguardando afastamentos e recobrimentos mnimos de armaduras - garantia da capacidade resistente - deformabilidade - isolamento acstico e que so: - h 5 cm para lajes de terraos no acessveis - h 7 cm para lajes sujeitas predominantemente a cargas distribudas - h 10 cm para lajes sujeitas a cargas concentradas - h 12 cm para lajes sujeitas a cargas concentradas importantes - h 15 cm para lajes apoiadas directamente em pilares ( fungiformes ) Estes valores so mesmo os valores mnimos permitidos no permitindo qualquer dispensa do clculo da deformao ou de qualquer outro estado limite. Para que a verificao do estado limite de deformao possa ser dispensada, uma vez garantida a segurana aos estados limites ltimos, a espessura ter de ser superior ao seguinte valor:

    h li / 30.

    li vo equivalente da laje li = .l ( sendo l o menor dos vos no caso de lajes armadas em duas direces )

  • Pg. 48

    E sendo , funo das condies de apoio e modo de flexo da laje:

    por sua vez um parmetro cujo valor depende da classe de resistncia do ao adoptado, sendo dado por:

    Ao 1.4 A235 1.0 A400 0.8 A500

    A justificao para estes valores, obrigando uma laje com A500 a uma espessura superior mesma laje com A400 e esta de espessura superior laje com A235, tem a ver com a ductilidade do ao ( capacidade de deformao do ao para alm da cedncia ) .

  • Pg. 49

    De facto sendo o A235 mais dctil que o A400 e este mais dctil que o A500, uma laje com um ao mais dctil ter sempre maior capacidade de deformao. No quadro seguinte indicam-se os valores mximos de l/h a que a expresso anterior conduz.

    Verifica-se para algumas situaes mais desfavorveis que estes valores so excessivos, no garantindo a limitao da deformao a l /400 para as combinaes frequentes de aces. Entre esses casos mais desfavorveis podem considerar-se as situaes de grandes sobrecargas ( sob > 5 KN/m2) e existncia de bordo livre em lajes armadas em duas direces. Nestes casos para garantir o valor limite de deformao recomendvel utilizar a expresso:

    h li / 21.

    que mais conservadora, originando menores valores para a esbelteza mxima. No quadro seguinte indicam-se precisamente os valores mximos das esbeltezas obtidos da expresso do REBAP e da anterior, para o caso mais comum do ao A400. Apresenta-se tambm o valor da espessura mnima da laje para um vo de 6 m, a que as duas expresses conduzem.

  • Pg. 50

    A necessidade de limitar a deformao em pavimentos de edifcios particularmente importante no caso de existirem paredes divisrias de alvenaria ou fachadas envidraadas que possam sofrer danos devidos deformao excessiva das lajes. Como j anteriormente se referiu, para evitar a fendilhao nestes elementos, a deformao deve ainda ser limitada a um mximo de 1,5 cm. De acordo com o REBAP esta condio garantida de uma forma indirecta, atravs da expresso:

    h (li)2 / 180.

    Tambm aqui, para as situaes mais desfavorveis anteriormente descritas, a limitao da flecha mxima a 1,5 cm s garantida de uma forma mais eficaz se utilizarmos a expresso mais conservadora:

  • Pg. 51

    h (li)2 / 125.

    Verifica-se que no caso de lajes suportando paredes de alvenaria a observncia conjunta das 2 expresses, condicionada at um determinado vo pela expresso geral e a partir da pela expresso anterior. conveniente uma chamada de ateno para que as condies anteriores no sejam encaradas como regras de pr-dimensionamento, muito embora na prtica funcionem normalmente como tal, mas sim como limites de esbelteza a observar para de um modo indirecto limitar o valor das deformaes. Ser pois, sempre possvel, adoptar valores de espessuras inferiores aos indicados, desde que se proceda ao clculo das deformaes a longo prazo.

    Segundo o EC2 o Estado Limite de Deformao tambm pode ser verificado limitando a esbelteza da laje (l/h). Assim desde que as lajes de beto armado de Edifcios sejam dimensionadas satisfazendo os limites l/d (vo/altura til) que se seguem pode admitir-se que a respectiva flecha no ir exceder os limites estabelecidos.

    l/d k.[11+1,5.fck. 0/ + 3,2 .fck. (0/ -1)3/2], se 0

    l/d k.[11+1,5.fck. 0/(-`) + 1/12 .fck. ( `/0)], se >0 em que: k coeficiente que tem em conta o sistema estrutural 0 taxa de armaduras de referncia (0=fck x 10-3) taxa de armaduras de traco na seco de vo ou no apoio no caso de uma consola ` - taxa de armaduras de compresso na seco de vo ou no apoio no caso de uma consola Estas expresses foram obtidas, admitindo que para as aces no estado limite de utilizao, a tenso no ao, numa seco fendilhada a vo ou no apoio de uma consola igual a 310 MPa para A500. No caso de outros aos os valores obtidos devem ser multiplicados por = 310/s ~ 500/fyk. As,adoptado/As,nec. rotura Os valores de k esto dados no quadro seguinte, bem como L/d mximos, que foram calculados para C30/37;A500 e considerando Mqp ~ 50%Msd

  • Pg. 52

    L/d max. Sistema Estrutural

    k Beto muito comprimido =1,5%

    Beto pouco comprimido =0,5%

    Lajes simplesmente apoiadas, armadas numa ou em 2 dir.

    1,0

    14

    20

    Painel lateral de lajes contnuas, armadas numa ou em 2 dir.

    1,3

    18

    26

    Painel interior de lajes contnuas, armadas numa ou em 2 dir.

    1,5

    20

    30

    Lajes fungiformes 1,2 17 24 Consolas 0,4 6 8

    Para lajes armadas em 2 direces L o menor vo. Para lajes fungiformes L o maior vo. Para lajes aligeiradas os valores de L/d mximos obtidos devem ser multiplicados por 0,8. Os valores obtidos para a esbelteza mxima so conservativos como alis deveriam ser.

    No caso de lajes vigadas que suportem paredes divisrias e com L>7 m os valores de L/d devem ser multiplicados pelo factor 7/Lef No caso de lajes fungiformes que suportem paredes divisrias e com L>8,5 m os valores de L/d devem ser multiplicados pelo factor 8,5/Lef Alguns exemplos para A500 e =0,5%: Painel lateral de laje vigada: L=5,0 m d=0,19 m h=0,22 m L=7,0 m d=0,27 m h=0,30 m Laje fungiforme: L=6,0 m (macia) d=0,25 m h=0,28 m L=8,0 m (aligeirada) d=0,42 m h=0,45 m

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    I.2.7 DISPOSIO DE ARMADURAS

    Aspectos Gerais

    a) Armaduras Mnimas ( REBAP Art 104 )

    As percentagens mnimas de armadura em lajes so iguais s das vigas.

    AO mn A235 0,25% A400 0,15% A500 0,12%

    Quanto armadura de distribuio o REBAP no impe uma percentagem mnima. Para evitar fissurao no prevista, h autores que recomendam para essa armadura um mn = 0,10%.

    Segundo o EC2 As armaduras mnimas em lajes tambm so iguais s das vigas, e so dadas por: Asmn=0,26.fctm/fyk.b.d 0,0013.b.d (com b=1 m) As armaduras mximas por sua vez so: Asmx=0,04.Ac

    b) Espaamento mximo da armadura

    Os espaamentos das armaduras no devem de uma maneira geral ter valores excessivamente grandes. Este aspecto est directamente relacionado com o comportamento da laje e com a sua execuo. De facto em termos de comportamento pode afirmar-se que quanto menor for o espaamento das armaduras melhor ser o comportamento da laje. Isto porque melhor ser o controlo da fendilhao e maior ser a garantia de resistncia local mnima a uma carga concentrada. Por outro lado, menores espaamentos tornaro a execuo da laje mais complicada, exigindo maiores cuidados na betonagem e vibrao do beto e montagem de mais armaduras, tornando esta operao mais cara. Ponderados estes aspectos o REBAP apresenta os seguintes valores para

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    espaamentos mximos:

    Armaduras Principais ( REBAP-Art 105 ) . s 1.5.h . s 35 cm

    Segundo o EC2 . s 3.h . s 40 cm passando para: . s 2.h . s 25 cm em zonas com cargas concentradas ou zonas de momento mximo.

    Armaduras de Distribuio ( REBAP-Art 108 ) . s 35 cm Segundo o EC2 . s 3,5.h . s 45 cm passando para: . s 3.h . s 40 cm em zonas com cargas concentradas ou zonas de momento mximo.

    Como se verificou anteriormente, tambm o controle da fendilhao dispensado em alguns casos, desde que se respeitem determinados espaamentos mximos na armadura principal.

    c) Interrupo das Armaduras Principais ( REBAP Art 106 )

    No caso das lajes a resistncia s cargas aplicadas por flexo e por efeito de arco. A resistncia ao esforo transverso garantida em parte pelo efeito de arco.

  • Pg. 55

    Devido a este efeito de arco, na rotura, a fora necessria junto ao apoio pouco inferior exigida a meio vo. Por este motivo, devido necessidade de atirantar o arco, o REBAP impe que pelo menos metade da armadura do vo siga at ao apoio. Este aspecto de grande importncia nas lajes no se verifica nas vigas. Segundo o EC2 a regra idntica. Relativamente s outras regras para interrupo de armaduras, elas so semelhantes ao que se adopta nas vigas, fazendo-se a interrupo de vares a partir de uma translao do diagrama de foras na armadura devidas flexo (diagrama de momentos) (al = 1,5.d segundo REBAP e al = d segundo EC2 ) Na prtica este processo muito pouco utilizado, sobretudo nos casos correntes, em que se adoptam distncias aos apoios para interrupo de armaduras superiores e inferiores, em funo do vo ( l/3 a l/5).

    d) Posicionamento das Armaduras

    Este um aspecto puramente prtico de execuo da laje, mas que pode ser determinante, para o comportamento daquela , se no for correctamente considerado. Para garantir, durante a betonagem, que as armaduras inferiores e superiores fiquem posicionadas correctamente so utilizados, respectivamente, espaadores e cavaletes. Os espaadores so, em geral, constitudos por pequenos paraleleppedos de argamassa de beto com a altura desejada ( recobrimento ) nos quais foi introduzido um arame que permite a fixao do varo.

  • Pg. 56

    Os cavaletes para posicionamento das armaduras superiores, tambm designados estribos de montagem, so vares dobrados, sobre os quais pousam as armaduras superiores.

    Estes elementos devem ser dispostos com uma densidade adequada, de modo a garantirem que durante a betonagem as armaduras se mantm na posio correcta, ainda que sujeitas aco do pessoal que efectua as operaes. Nas lajes, durante a colocao e compactao do beto, acontece frequentemente, que devido falta de cuidado do pessoal, ao insuficiente nmero de cavaletes e no utilizao de pranchas provisrias de madeira para deslocao do pessoal, as armaduras superiores podem baixar vrios centmetros. Este problema sobretudo grave nas consolas. No quadro seguinte apresentam-se os valores mximos recomendados das distncias entre os espaadores e cavaletes. Apresenta-se tambm o dimetro aconselhvel dos vares que constituem os cavaletes em funo da espessura da laje.

    da armadura principal (mm) S (m) 12 0,50 > 12 0,70

    Espessura da laje h (cm) cavaletes (mm)

    < 15 8 15 a 30 12

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    I.2.7.1 Lajes Armadas numa s direco

    Neste caso, como j se viu, os esforos que surgem na direco do maior vo, My, so pequenos, comparados com os esforos segundo o menor vo, Mx, uma vez que a zona central est praticamente sujeita a flexo cilndrica ( curvatura nula segundo o maior vo ). Admite-se portanto que a laje funciona apenas segundo o menor vo. As armaduras principais, que so as necessrias para garantir a capacidade resistente da laje so determinadas, considerando uma viga equivalente de largura unitria com as condies de apoio que se verificam nessa direco. A verificao dos estados limites de utilizao, em particular do de fendilhao, assegurada por outras armaduras ( de distribuio, de canto e suplementar ) e pela sua conveniente pormenorizao. Nos casos em que a laje apenas apoiada em 2 bordos extremos paralelos, como acontece normalmente nas escadas, a capacidade resistente ter de ser obviamente garantida na direco dos apoios.

    Armadura de Distribuio

    Nas lajes armadas numa s direco, perpendicularmente s armaduras principais, deve ser sempre colocada uma armadura de distribuio. Esta armadura que no necessria para a verificao dos estados limites ltimos, tem como funes: - principalmente controlar a abertura de fendas nas condies de servio - posicionar as armaduras principais durante a fase de montagem das armaduras e de betonagem da laje, formando em conjunto com as armaduras principais uma malha ortogonal rgida. - garantir uma certa resistncia da laje a possveis cargas concentradas

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    Como j se viu na anlise elstica de uma laje com um coeficiente de Poisson , sujeita flexo cilndrica segundo a direco X, surgem momentos na direco perpendicular, My ( maior vo ) dados por: My = . Mx O efeito de Poisson numa laje de beto armado depende, como j anteriormente referido, do nvel de fendilhao instalado, o que torna difcil a sua correcta quantificao. Para o beto no fendilhado ~ 0,20, o que origina um momento, na direco transversal, igual a 20% do momento principal. Mesmo considerando = 0 ( situao que se verifica prximo da rotura, devido fendilhao ) surgem momentos My junto aos apoios paralelos ao menor vo, com um valor tambm prximo de 0,2.Mx. de referir que os momentos que surgem segundo o maior vo, so sempre de compatibilidade, pelo que a sua correcta avaliao no essencial para assegurar a capacidade resistente. Para ter em conta estes efeitos, o REBAP (Art 108) preconiza uma armadura de distribuio igual a 20% da armadura principal de clculo. Este valor tem-se mostrado suficiente na generalidade dos casos. Segundo o EC2 a armadura de distribuio idntica. Portanto, em concluso, pode referir-se que numa laje, sempre que exista uma armadura resistente numa direco, deve ser colocada na direco perpendicular, pelo menos a armadura de distribuio.

    Disposies Tipo de Armaduras

    As armaduras principais devem ficar sempre colocadas de modo a funcionarem com o maior brao, pelo que as armaduras de distribuio so sempre colocadas interiormente s principais.

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    A disposio de armaduras a adoptar determinada, tendo sobretudo em conta a distribuio de esforos em que se baseia o dimensionamento da laje. As dispensas de armaduras so efectuadas de acordo com as regras indicadas no REBAP, ou seja, de modo semelhante ao das vigas, procedendo translao do diagrama de momentos flectores e prolongando os vares a interromper, do comprimento de amarrao, a partir da seco onde esta deixa de ser necessria para a verificao do estado limite ltimo de flexo. No entanto na prtica, como foi dito, para lajes com condies de apoio correntes e sujeitas a cargas distribudas uniformes possvel indicar disposies de armaduras tipo, as quais dispensam a necessidade de determinao dos pontos onde se dispensam as armaduras com base no clculo. As disposies tipo a seguir indicadas no so vlidas, no caso de a carga no ser uniformemente distribuda ( trapezoidais, concentradas, etc ) e no caso das condies de apoio serem diferentes das admitidas ( por exemplo quando 2 painis adjacentes tm vos bastante diferentes a hiptese de encastramento no correcta ). Apresentam-se apenas, nestas disposies tipo, armaduras principais e de distribuio, ficando a pormenorizao das armaduras suplementares para controle da fendilhao para uma fase posterior.

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    a) Laje Apoiada no contorno

    b) Laje Apoiada num bordo e encastrada no outro

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    Relembra-se que lbnet ( comprimento de amarrao do ferro ) segundo o REBAP para beto C20/25 e ao A400 igual a 35 para situaes de boa aderncia e 50 para m aderncia. Segundo o EC2 para amarraes rectas e beto C20/25 e ao A400, obtm-se 40 para situaes de boa aderncia e 55 para m aderncia. Considera-se que esto em situao de boa aderncia: ( idntico no EC2 ) - estribos que faam com a horizontal um ngulo entre 45 e 90 - todas as armaduras superiores e inferiores desde que a laje tenha uma espessura no superior a 25 cm - todas as armaduras que estejam na metade inferior ou a mais de 30 cm da face superior para lajes de espessura superior a 25 cm.

    c) Laje encastrada nos dois bordos

  • Pg. 62

    d) Laje em consola

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    O REBAP no seu art 108 recomenda que na face oposta da aplicao das cargas se coloque uma armadura disposta transversalmente ao vo ( Ay+) com uma rea igual ou superior a 20% da rea da armadura principal ( Ax - ). Esta armadura destina-se absoro de eventuais cargas concentradas. Por outro lado, os elementos em consola localizados no exterior dos edifcios ( varandas e palas ) esto, em geral, sujeitos a variaes trmicas superiores s dos elementos localizados no interior. O efeito restritivo que a estrutura do edifcio exerce sobre a deformao livre da consola pode gerar tenses suficientes para produzir fendilhao transversal. Estas fendas podem ter aberturas superiores a 1 mm o que as torna visveis distncia.

    Na figura representa-se o andamento das tenses de traco ao longo do vo da consola e a tracejado a deformada da consola por efeito de uma diminuio de temperatura. Caso no se coloquem armaduras para absorver estas traces, mximas junto ao encastramento, surge fendilhao transversal do tipo da que se representa na figura.

    Para consolas com comprimento ao longo da fachada do edifcio inferior a 2.l no se verifica em geral este tipo de fendilhao. Este problema est associado a um estado limite de utilizao, no estando por isso em causa a capacidade resistente do elemento. Tratando-se de uma fendilhao devida a um efeito de deformao imposta, suficiente para o seu controlo a colocao de uma armadura mnima de traco.

    min = fctm / fsyk x 100 em que:

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    fctm valor mdio da tenso de rotura do beto traco simples ( 2,2 MPa para C20/25) fsyk tenso de cedncia das armaduras ( 400 MPa para A400 ) logo: Ay - + Ay + = .h / 100 = fctm / fsyk x h

    Esta armadura garante a limitao das aberturas de fendas a valores aceitveis regulamentares, devendo ser colocada de modo simtrico nas 2 faces da laje.

    Esta situao ocorre tambm em muros de suporte em consola, j que comum o muro apresentar um comprimento superior a 2.H, sendo H a sua altura e portanto o vo da consola. A sua sapata, normalmente muito rgida, provoca o efeito restritivo do encastramento dimunuio de comprimento do muro sob efeito de uma diminuio de temperatura, pelo que a situao exactamente igual descrita anteriormente. Neste caso a fendilhao que ocorre devido a este efeito vertical. Segundo o EC2 A expresso para o clculo da armadura mnima a colocar na zona traccionada para uma deformao imposta ou qualquer outra aco dada por: As,min = kc.k.Act.fct,ef / s onde kc coeficiente que tem em conta a distribuio de tenses na seco, imediatamente antes da fendilhao kc = 1 para traco simples ( casos atrs referidos ) kc = 0,4 para flexo simples k coeficiente que tem em conta o efeito no uniforme das tenses auto-equilibradas na diminuio de fct,ef k=1 , para esp. 0,3 m 0,65

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    Act rea de beto traccionada antes da abertura da 1 fenda (Act = Ac para traco pura e Act = Ac/2 para flexo simples). fct,ef em geral fctm s = fyk (tenso mxima admissvel na armadura imediatamente aps a fendilhao) Por exemplo para flexo simples considerando fct,ef = 3 MPa e Ao A400 obtm-se As,min = 0,15% . Ac (valor indicado no REBAP para A400)

    Armaduras Suplementares

    a) Armadura Superior junto aos bordos simplesmente apoiados

    Embora no clculo se considere, em geral, que uma laje simplesmente apoiada no contorno, aparecem momentos negativos na ligao contnua viga de apoio devido ao facto da laje, ao deformar-se, impor uma rotao viga de bordo, qual esta se ope devido sua rigidez de toro, produzindo-se assim traces na face superior da laje.

    No necessrio considerar esta toro no dimensionamento aos estados limites ltimos da viga, por ser uma toro de compatibilidade. Caso a viga esteja travada por panos de alvenaria superior e inferiormente, ento este efeito acentua-se, pois aumenta o grau de encastramento da laje na viga. Atendendo a estas traces na face superior da laje junto ao apoio, podem surgir fendas, pelo que conveniente colocar uma armadura na face superior. A armadura necessria para controlar a fendilhao a armadura mnima. No entanto em alguns casos esta armadura pode considerar-se excessiva, colocando-se ento uma armadura inferior, no mnimo 6//.20.

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    Esta armadura deve ser colocada junto a todos os bordos considerados simplesmente apoiados, quando no houver outra armadura superior. Segundo o EC2 num apoio extremo da laje, a armadura superior dever ser capaz de resistir pelo menos a 15% do Mmx+ no vo adjacente.

    b) Armadura Superior sobre apoios paralelos direco em que a laje armada

    Se existir uma viga ou uma parede na zona central da laje, segundo a direco do menor vo, esta provoca momentos negativos na laje, My, na zona da parede ou viga. O momento negativo aproximadamente igual ao momento mximo positivo da laje. Deve-se portanto, colocar na face superior, na zona do apoio, uma armadura igual armadura principal da face inferior.

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    Se o apoio no for muito rgido ( viga relativamente flexvel ) admissvel reduzir um pouco essa armadura ( at 60% da armadura do vo ) , conseguindo-se mesmo assim evitar nveis de fendilhao inconvenientes. Segundo o EC2 no caso em que haja encastramento parcial ao longo de um dos bordos da laje, no considerado no clculo, a armadura superior dever ser capaz de resistir pelo menos a 25% do Mmx+ no vo adjacente.

    c) Armaduras de Canto

    Nos cantos em que os 2 bordos concorrentes so simplesmente apoiados, surgem momentos torsores. Deste modo deve ser colocada uma armadura para controlar uma possvel fendilhao devida a esses momentos. Esta armadura suplementar s ser necessria na face superior, j que na face inferior a necessidade de prolongar metade da armadura mxima no vo, at ao apoio, vai cobrir este efeito.

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    d) Armaduras de Bordo Livre

    Quando numa laje existe um bordo livre devem dispr-se armaduras que melhorem a resistncia dessa zona, evitando a danificao das arestas devido a eventuais aces concentradas.

    O REBAP ( art 109 ) indica como mnimo da armadura transversal:

    0,05d para A235 ( d em cm ) Ast (cm2/m) 0,025d para A400, A500 ( d em cm )

    s ( espaamento ) 35 cm ( recomenda-se s mn ( h, 20 cm ) )

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    I.2.7.2 Lajes Armadas em duas direces

    No caso de lajes armadas em duas direces ( ly/lx 2 ) h que considerar os esforos segundo as duas direces e portanto colocar armaduras segundo ambas.

    Disposio de Armaduras

    Numa laje armada em 2 direces a armadura que fica orientada segundo a direco em que se desenvolvem os maiores esforos deve ser colocada de modo a funcionar com o maior brao, isto , ser sempre a armadura exterior.

    Disposies Tipo de Armaduras

    A distribuio de armaduras funo da distribuio de esforos. As dispensas de armaduras so efectuadas de acordo com as indicaes do REBAP. semelhana do j apresentado para as lajes armadas numa s direco, tambm se apresentam de seguida algumas disposies tipo para as lajes armadas em duas direces, vlidas para situaes correntes de vos e cargas uniformemente distribudas. Nos esquemas seguintes s se apresentam as armaduras principais e de distribuio, apresentando-se numa fase posterior as armaduras suplementares para controle de fendilhao. As regras bsicas na disposio de armaduras sero basicamente as mesmas j utilizadas no caso das lajes armadas numa s direco.

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    a) Laje Isolada apoiada no contorno

    b) Painel Interior ( todo encastrado no contorno )

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    c) Painel de Bordo ( 3 bordos encastrados e 1 apoiado )

  • Pg. 73

    d) Painel de Canto ( 2 bordos encastrados e 2 apoiados )

  • Pg. 74

    e) Painel com 3 bordos encastrados e 1 bordo livre

  • Pg. 75