Departamento de Engenharia Civil

Betão estrutural II

( folhas da disciplina )

versão actualizada segundo Eurocódigo 2

Prof. António Sousa Gorgulho

ISELISELISELISEL

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ÍNDICE CAP. I – LAJES....................................................................................................4

I.1 – PRINCIPAIS TIPOS E CLASSIFICAÇÕES...........................................................4

I.2 – LAJES VIGADAS.................................................................................................11

I.2.1 – PRINCÍPIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO E COMPORTAMENTO.................11

I.2.2 – REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS E SEU SIGNIFICADO EM TERMOS DE

ESTADO LIMITE ULTIMO DE FLEXÃO......................................................................18

I.2.3 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA ÚNICA

DIRECÇÃO..................................................................................................................23

I.2.4 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS

DIRECÇÕES................................................................................................................28

I.2.5 – ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS: FLEXÃO E ESFORÇO TRANSVERSO....................40

I.2.6 – ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO: FENDILHAÇÃO E DEFORMAÇÃO...............43

I.2.7 – DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS.................................................................................53

I.2.7.1 – Lajes Armadas numa só direcção.........................................................................................57

I.2.7.2 – Lajes Armadas em duas direcções........................................................................................70

I.2.8 – ESCADAS....................................................................................................................88

I.2.8.1- Principais Tipos e respectivos Modelos de Cálculo................................................................88

I.2.8.2- Determinação das cargas nos lanços.....................................................................................92

I.2.8.3- Pormenorização de armaduras..............................................................................................93

I.2.9 – LAJES SUJEITAS A CARGAS CONCENTRADAS....................................................95

I.2.9.1- Lajes Armadas numa só direcção..........................................................................................95

I.2.9.2- Lajes Armadas em 2 direcções..............................................................................................98

I.2.10 – ABERTURAS EM LAJES..........................................................................................99

I.3 – LAJES FUNGIFORMES.....................................................................................104

I.3.1 – MÉTODOS DE ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO..................................................104

I.3.2 – MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTES..........................................................106

I.3.3 – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO.....................................................112

I.3.3.1 – Mecanismo de Rotura por Punçoamento............................................................................112

I.3.3.2 – Verificação da Segurança...................................................................................................113

I.3.4 – PRÉ-DIMENSIONAMENTO. DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS...............................136

I.4 – LAJES PRÉ-FABRICADAS DE VIGOTAS PRÉ-ESFORÇADAS E

BLOCOS DE ENCHIMENTO.............................................................................148

I.4.1 – CONSTITUIÇÃO. TÉCNICAS DE EXECUÇÃO. VANTAGENS E

DESVANTAGENS DA SUA UTILIZAÇÃO...............................................................148

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I.4.1.1 – Constituição........................................................................................................................148

I.4.1.2 – Sistema Construtivo.Técnicas de Execução.......................................................................150

I.4.1.3 – Vantagens e desvantagens deste tipo de lajes...................................................................151

I.4.2 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA............................................................................152

I.4.2.1 – Estados Limites Últimos......................................................................................................152

I.4.2.2 – Estados Limites de Utilização..............................................................................................152

I.4.3 – MODELOS DE COMPORTAMENTO ESTRUTURAL. CÁLCULO DE

ESFORÇOS..............................................................................................................155

I.4.4 – DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS.............................................................................156

CAP. II – SAPATAS DE FUNDAÇÃO...............................................................162

II.1 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DO SOLO DE FUNDAÇÃO.......................162

II.1.1 – ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS................................................................................162

II.1.2 – ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO.....................................................................165

II.2 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DA SAPATA...............................................166

II.2.1 – CÁLCULO DE ARMADURAS..................................................................................167

II.2.1.1 – Sapatas com Cargas Centradas.........................................................................................167

II.2.1.2 – Sapatas com Cargas Excêntricas sem vigas de fundação................................................170

II.2.1.3 – Sapatas com Cargas Excêntricas interligadas por vigas de fundação...............................174

II.2.2 – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO....................................................178

CAP. III – INTRODUÇÃO AO BETÃO PRÉ-ESFORÇADO..............................179

III.1 – INTRODUÇÃO.................................................................................................179

III.2 – TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO...............................................180

III.3 – EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO: VIGA EM BETÃO ARMADO E BETÃO

ARMADO PRÉ-ESFORÇADO.........................................................................181

III.4 – DIMENSIONAMENTO DO PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS ISOSTÁTICAS........184

III.4.1 – CARGAS EQUIVALENTES AO EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO..............................188

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CAP. I – LAJES I.1 – PRINCIPAIS TIPOS E CLASSIFICAÇÕES Depois de estudados em BE1 os elementos de Betão Armado com comportamento

linear: vigas e pilares, passamos a estudar em BE2 os elementos laminares, de

comportamento bidimensional: lajes.

Viga – comportamento linear Laje – comportamento bidimensional

Os elementos de comportamento linear têm uma dimensão ( vão ) muito superior às

outras duas ( dimensões da secção ) e a sua deformada é uma linha ( função em R ).

Os elementos, como as lajes, de comportamento bidimensional têm 2 dimensões

( vãos ) muito superiores a uma terceira que é a espessura e a sua deformada

quando carregados é a de uma superfície ( função em R2 )

Entre os elementos laminares pode falar-se em placas, lajes ou cascas.

Designam-se por placas os elementos laminares com carregamento actuando

segundo o seu plano médio

São exemplo de elementos laminares com comportamento de placa :

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• Paredes de betão armado sujeitas a cargas verticais

• Pavimentos de betão sujeitos a acções horizontais

Designam-se por lajes os elementos laminares actuados por cargas, perpendiculares

ao seu plano médio.

São exemplos de lajes:

• Paramento vertical de um muro de suporte

• Paredes planas de um reservatório

• Pavimentos de um Edifício sujeitos a cargas verticais

Finalmente designam-se por cascas todos os elementos laminares não planos.

São exemplos deste tipo de elementos:

• Paredes de um reservatório circular

• Coberturas curvas

Passando agora ao estudo das lajes, vamos iniciá-lo pelo conhecimento dos vários

tipos e classificações das lajes, por forma a identificar de imediato as características

de quaquer laje a partir da sua designação/classificação.

Os vários tipos de classificação de uma laje vão ser apresentados por ordem

decrescente de importância, para a sua identificação.

- Quanto ao Tipo de Apoio

• Lajes Vigadas – são lajes apoiadas em vigas

• Lajes Fungiformes – são lajes apoiadas directamente em pilares.

• Lajes Apoiadas em Meio Elástico – são lajes apoiadas directamente no solo

de fundação, por exemplo.

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- Quanto à sua Constituição

• Lajes em Betão Armado

Que podem ser :

- Maciças: de espessura constante ou variável

- Aligeiradas ou Nervuradas desde que o seu peso próprio seja inferior ao da laje

maciça de igual espessura.

A redução de peso é conseguida através da introdução de blocos de cofragem

recuperáveis ou perdidos, que originam nervuras, uni ou bidireccionais, solidarizadas

por uma lajeta de compressão.

Os moldes recuperáveis são plásticos, dando origem a uma superfície descontínua

com as nervuras aparentes.

Os moldes perdidos podem ser em:

• Betão leve ( normalmente tipo LECA e tripartidos )

• Cerâmicos

• Plásticos

• Poliestireno Expandido ( difíceis de fixar para a betonagem )

e originam uma superfície inferior contínua.

Pode ou não haver lajeta inferior, consoante os blocos estejam colocados acima ou

directamente sobre a cofragem.

• Lajes de vigotas pré-esforçadas

Constituídas por vigotas pré-esforçadas, nas quais se apoiam blocos de cofragem

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( abobadilhas ) cerâmicos ou de betão, solidarizados por uma lajeta de compressão

em betão, a executar em obra.

As dimensões apresentadas dizem respeito a um determinado tipo de laje.

• Lajes Mistas Aço-Betão

As soluções mistas, hoje em dia mais comuns são:

- Lajes mistas com chapa de aço colaborante

que constituem soluções muito leves e esbeltas ( 10 a 15 cm de espessura ) e evitam

o recurso a cofragens de madeira, exigindo apenas um sistema de escoramento

vertical.

Apoiam em vigas metálicas, vigas de betão ou paredes resistentes de alvenaria. Trata-

se de uma solução muito utilizada em obras de remodelação/recuperação de edifícios

antigos.

- Lajes mistas com perfis I

Constituídas por perfis metálicos, em geral de secção em I, que suportam as forças de

tracção, ligados por conectores metálicos a uma lajeta de betão que absorve as forças

de compressão.

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- Quanto ao Modo de Flexão Dominante ( só para lajes vigadas )

• Lajes Armadas numa só direcção

Neste caso os momentos flectores numa das direcções ( direcção do menor vão ) são

muito superiores aos da outra.

lx / ly > 2

• Lajes Armadas em duas direcções ou em cruz

Os momentos flectores nas duas direcções principais de flexão são da mesma ordem

de grandeza

0,5 ≤ lx / ly ≤ 2

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- Quanto ao Comportamento

• Lajes Finas - h < l / 10 ( situações correntes )

Na análise destas lajes podem adoptar-se as hipóteses simplificativas da Resistência

de Materiais que são:

- desprezar a contribuição do esforço transverso na deformabilidade da laje

- hipótese das fibras perpendiculares ao plano médio se manterem rectas e

perpendiculares à superfície deformada

• Lajes Espessas – h ≥ l / 10

Não são válidas as hipóteses simplificativas anteriores

• Lajes Isotrópicas

Têm um comportamento ortotrópico ( lajes nervuradas )

- Quanto ao Modo de Fabrico

• Betonadas “in situ”

Constituem ainda a solução maioritária, muito embora a utilização de soluções com

componente de pré-fabricação vá avançando gradualmente ano após ano.

• Pré-fabricação Total

Solução pouco utilizada, pois exige a montagem dos painéis de laje inteiramente pré-

fabricados sobre as vigas de apoio, procedendo-se posteriormente à sua solidarização

em obra.

A elevada sismicidade de algumas zonas do nosso país contribui também para a

pouca utilização deste sistema, já que obriga a cuidados muito especiais na

concepção e dimensionamento das zonas de ligação laje-viga.

• Pré-fabricação Parcial

Nestas soluções apenas a parte inferior da laje é pré-fabricada, evitando o recurso a

cofragens inferiores contínuas. Podem ser:

- pré-lajes que são lajetas de espessura constante entre 5 e 7 cm, pré-esforçadas e

que são montadas sobre os apoios

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- pranchas alveoladas pré-esforçadas, montadas justapostas sobre os apoios.

- etc Depois de colocadas estas lajes em posição, executa-se a parte superior da laje,

servindo aquelas de cofragem perdida para a betonagem a realizar em obra .

Estas soluções de pré-fabricação parcial já são mais comuns, sobretudo porque

evitam o recurso a cofragem inferior.

A sua utilização torna-se mais económica para grandes áreas e com várias repetições.

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I.2 – LAJES VIGADAS

I.2.1 – PRINCÍPIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO E COMPORTAMENTO

Em termos de dimensionamento, a regulamentação nacional permite a utilização no

cálculo de esforços em lajes vigadas, da:

Sem redistribuição de esforços

• Teoria da Elasticidade

Com redistribuição de esforços

Método Estático

• Teoria da Plasticidade

Método Cinemático

A utilização do cálculo elástico com redistribuição de esforços e do cálculo plástico

estão no entanto limitadas por algumas condições.

A verificação da segurança deverá ser feita de acordo com a teoria dos estados

limites:

Flexão

• Estados Limites Últimos

Esforço Transverso

Abertura de Fendas

• Estados Limites de Utilização

Deformação

Normalmente as lajes vigadas que constituem os pavimentos de um Edifício só são

dimensionadas para as cargas verticais, perpendiculares ao seu plano médio, sendo a

resistência às acções horizontais assegurada pela estrutura reticulada de pilares e

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vigas. Face às acções horizontais as lajes funcionam como placas com cargas

actuando segundo o seu plano médio, o que conduz a pequenas tensões.

Já no caso das lajes de pavimento, fungiformes, a inexistência de vigas obriga ao seu

dimensionamento também às acções horizontais.

• Condições de Apoio e Simbologia de Cálculo

As condições de apoio de um painel de laje vigada são:

- bordo encastrado quando há continuidade para um painel adjacente

- bordo simplesmente apoiado quando se trata de um apoio limite sem

continuidade

- bordo livre quando não há viga de apoio

Por exemplo para o conjunto de painéis da figura:

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ter-se-á:

Em termos de simbologia de cálculo, os Momento Flectores nas lajes seguem uma

convenção diferente dos momentos nas secções de vigas ou pilares.

Assim enquanto numa secção de viga ou pilar :

Mxx – representa o momento flector cujo vector resultante tem a direcção de X, ou

seja , trata-se de um momento em torno de X.

No caso das lajes:

Mx – representa o momento flector que produz tensões normais de flexão segundo o

eixo X, ou seja é o momento que tem o vector resultante segundo Y ou momento em

torno de Y.

Deste modo nos painéis A, B, C e D anteriormente representados, os momentos

flectores a determinar seriam:

Como se pode perceber os momentos são representados por setas simples que

pretendem mostrar o momento em projecção no plano. O sentido da seta não tem

significado em termos de sinal, sabendo-se que momentos no centro do painel serão

sempre positivos enquanto momentos sobre encastramentos serão sempre negativos.

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Nos painéis com bordo livre haverá que distinguir entre os momentos segundo a

direcção do bordo na zona central e os mesmos momentos junto ao bordo. Isto porque

há um aumento significativo desses momentos junto ao bordo livre.

Os momentos flectores e esforços transversos em lajes são sempre calculados por

unidade de largura.

Mx - [ KNm/m ] ; Vx - [ KN/m ]

• Análise Qualitativa do Comportamento Elástico das Lajes

a) Laje Apoiada numa direcção e com Bordos Livres na outra

Neste caso a laje, quando carregada, fica sujeita a um estado de flexão cilíndrica,

com curvatura nula segundo a direcção Y e portanto comportamento semelhante

ao de uma viga com o mesmo vão.

No entanto, na laje vai surgir um efeito que não se verifica nas vigas e que se

pode explicar simplificadamente da seguinte forma:

Considerando a laje como um conjunto de vigas ou faixas justapostas

lateralmente, quando a laje se deforma verifica-se que a deformação transversal

de cada faixa é impedida pela faixas adjacentes, originando tensões segundo a

direcção perpendicular ao vão, que produzem um momento flector de

compatibilidade dado por:

My = ν . Mx em que:

ν – coeficiente de Poisson do material

e que no caso do betão armado se pode considerar igual a 0,2 em fase elástica.

Portanto numa laje armada numa só direcção, apesar de possuir curvatura nula na

outra direcção, haverá sempre um momento flector de compatibilidade segundo esta

outra direcção devido ao efeito de Poisson.

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b) Laje Apoiada nos Quatro Bordos, com um lado muito maior que o outro

( ly / lx > 2)

Neste caso o comportamento é muito semelhante ao anterior, ficando a laje sujeita

a um estado de flexão cilíndrico em praticamente toda a largura, com uma

perturbação pouco significativa nas extremidades devido à presença dos apoios.

Podendo portanto igualmente afirmar-se que a curvatura segundo Y é

praticamente nula.

c) Laje Apoiada nos Quatro Bordos, com lados de comprimento semelhante

( 0,5 ≤ ly / lx ≤ 2)

O comportamento qualitativo neste caso pode ser compreendido a partir da analogia

com uma grelha de vigas nas duas direcções, intersectando-se no centro da laje.

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Olhando para a superfície deformada, facilmente se conclui que sendo a curvatura

maior segundo o menor vão da laje, também o serão os momentos flectores já que

M = EI. 1/R = EI.K

Deste modo podemos concluir que no caso de uma laje rectangular apoiada em todo o

contorno, os maiores momentos aparecem segundo a direcção do menor vão.

Esta conclusão é extensiva a outras condições de fronteira desde que sejam idênticas

nas duas direcções.

• Comportamento de uma laje até à rotura

A figura representa o diagrama de comportamento P-δ de uma laje até uma situação

de rotura. Assim teremos:

1 – Fase elástica ( Estado I ) em que o modelo elástico linear para o comportamento

da laje é praticamente exacto

A – Valor da carga para o qual se dá o início da fendilhação

2 – Fase fendilhada ( Estado II ) em que o modelo elástico é válido para o cálculo dos

esforços ( não exacto ) devendo ter-se em conta o efeito da fendilhação na

deformação.

B – Valor da carga para o qual se dá início à fase de cedência das armaduras

( plastificação )

3 – Fase de plastificação em que as fendas começam a agrupar-se, formando bandas

( charneiras plásticas ). A distribuição de esforços já é significativamente diferente da

distribuição elástica.

C – Valor da carga para o qual se dá início ao processo de rotura

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4 – Fase de rotura em que se dá a deformação e formação de mecanismo por rotação

em torno das charneiras plásticas ( linhas de rotura ) e esmagamento do betão.

É válida nesta fase a Teoria da Plasticidade.

Aspecto da face inferior de uma laje apoiada nos quatro bordos, na fase que precede a

rotura:

Da análise do diagrama podem reter-se os seguintes aspectos muito importantes para

o estudo de qualquer laje:

- Não linearidade da deformação com o valor da carga a partir do ponto de início da

fendilhação.

- O modelo elástico só produz esforços semelhantes aos reais em fase elástica

- Uma laje bem dimensionada deverá funcionar nas condições usuais de serviço junto

do ponto de início de fendilhação, acima ou abaixo e não necessariamente sempre

abaixo.

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I.2.2 – REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS E SEU SIGNIFICADO EM TERMOS DE

ESTADO LIMITE ULTIMO DE FLEXÃO

• Análise Plástica

Como se verificou no fim do capítulo anterior , a distribuição de esforços numa laje

próxima da situação de rotura, não tem nada a ver com a distribuição que se obteria

fazendo um cálculo elástico.

Deste modo como explicar o cálculo à rotura de armaduras com base no valor de

esforços obtidos elasticamente?

A resposta está no Teorema Estático da Análise Plástica.

Segundo o artº 48 do REBAP a análise plástica em lajes será feita em termos da

verificação da segurança expressa através da condição de que o valor de cálculo das

acções é inferior ao valor de cálculo da resistência em termos de acções.

No valor de cálculo das acções devem considerar-se as combinações de acções com

os respectivos coeficientes de segurança γf e no valor de cálculo da resistência,

expressa em termos de acções,devem considerar-se os valores de cálculo das

propriedades dos materiais determinados com base nos coeficientes de segurança γm.

A possibilidade de fazer cálculo plástico, nomeadamente através da aplicação do

teorema estático, obriga segundo o REBAP:

• a que em qualquer ponto e em qualquer direcção, a % de armadura de tracção

da laje não exceda a que conduz a um valor de x/d igual a 0,25, sendo x a

profundidade da linha neutra e d a altura útil da secção ( exigência de

ductilidade )

• e a que a distribuição de momentos considerada não difira muito da

distribuição de momentos elástica:

0,5. Mapoioel ≤ Mapoio ≤ 1,25.Mapoioel

em que Mapoioel é o momento negativo elástico sobre determinado apoio.

Segundo o EC2:

A análise plástica pode ser feita sem qualquer verificação directa da capacidade de

rotação se:

i) a área da armadura de tracção é limitada de modo a que em qualquer secção

xu / d ≤ 0,25 , fck ≤50 MPa

xu / d ≤ 0,15 , fck >50 MPa

ii) aço das armaduras é da classe B ou C ( aços de maior ductilidade)

iii) 0,5 ≤ │M-apoios │/ │M vão│≤ 2,0

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Então segundo o Teorema Estático da Análise Plástica:

- A carga distribuída p associada a um campo de esforços equilibrado e em que não

seja excedida em nenhum ponto a capacidade resistente da laje M (p) ≤ Mrd, constitui

um valor inferior ou igual ao da carga última pu .

em que:

M (p) – momento da distribuição equilibrada de esforços devido à carga p

Mrd – momento resistente da laje

Este teorema é pois a justificação da possibilidade de utilizar os resultados da análise

elástica para a verificação da segurança ao estado limite último, uma vez que a

solução elástica é uma das possíveis distribuições de esforços equilibradas.

A utilização do método estático no cálculo de lajes origina o chamado método das

faixas ou bandas.

Como se representa na figura podemos admitir que a carga p é suportada em bandas

nas direcções x e y, sendo α um coeficiente de repartição da carga em cada uma das

direcções. Teremos assim uma banda de laje segundo x que suporta uma carga de

α.p e uma banda segundo y que suporta uma carga de ( 1- α ).p

Para iguais condições de fronteira nas 2 direcções o valor de α para a menor direcção

deverá ser entre 0,5 e 1 para relações de vãos entre 0,5 e 2. Para relações de vãos

superiores a 2, α deverá ser 1 na direcção do menor vão ( flexão cilíndrica ).

Para condições de fronteira diferentes nas 2 direcções, deve considerar-se uma % de

carga maior na direcção com condições de fronteira mais rígidas.

α. lx 2 > ( 1- α ). ly 2

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• Análise Elástica com redistribuição de esforços

Quando se dimensiona uma laje com base na distribuição elástica de esforços dá jeito,

por vezes, pensar numa redistribuição desses esforços.

Pode desta forma conseguir-se uma melhor distribuição de armaduras, diminuindo a

densidade destas em zonas fortemente armadas, normalmente em armaduras

superiores sobre apoios e consequentemente aumentando as armaduras inferiores no

vão. Deste modo obtém-se uma melhor pormenorização de armaduras, maior

ductilidade da laje e sobretudo maior facilidade de execução.

A redistribuição de esforços é uma aplicação do método estático que consiste em

somar à distribuição de esforços elásticos ( que é equilibrada ) um campo de esforços

auto-equilibrado, obtendo-se assim uma solução ainda equilibrada.

Tomemos o exemplo simples de uma laje bi-encastrada armada segundo uma única

direcção, portanto com um comportamento semelhante à de uma viga bi-encastrada,

sujeita a uma carga uniformemente distribuída:

O diagrama de momentos elástico é:

Adicionando a este campo de esforços elástico, o campo de esforços auto-equilibrado:

Obter-se-á:

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Que continua a ser um campo de esforços equilibrado e portanto de acordo com o

Teorema Estático, válido para a verificação ao estado limite último.

Caso o campo de esforços auto-equilibrado que se adicionou fosse de:

O resultado seria uma redistribuição total dos momentos negativos nos apoios:

Como se trata também de um campo de esforços equilibrado, a verificação ao estado

limite último permanece válida para esta distribuição.

No entanto como os esforços em serviço são próximos dos elásticos, sendo a

redistribuição significativa, os níveis de tensão em serviço podem tornar-se elevados

conduzindo a fendilhação e/ou deformações inaceitáveis. Tal seria a situação neste

caso de redistribuição total.

Por este motivo o REBAP impõe no seu Artº 50 que a redistribuição de momentos em

lajes seja no máximo de 25% para os momentos nos apoios.

Convém também salientar que a utilização da redistribuição de esforços elásticos para

o dimensionamento ao Estado Limite Último só é aplicável se as zonas mais

esforçadas apresentarem um comportamento suficientemente dúctil de forma a

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permitir que as capacidades resistentes das secções se adaptem aos esforços

actuantes.

Segundo o EC2

Para lajes contínuas em que a relação entre vãos adjacentes esteja entre 0,5 e 2:

δ ≥ k1 + k2. xu / d, fck ≤50 MPa

δ ≥ k3 + k4. xu / d, fck >50 MPa

δ – relação entre o momento após a redistribuição e o momento flector elástico

k1=0,44 k2 = 1,25.(0,6+0,0014/εcu2) = 1,25

K3=0,54 K4 = 1,25.(0,6+0,0014/εcu2)

δ ≥ 0,44 + 1,25. xu / d, fck ≤50 Mpa

δ ≥ 0,7 para aços das classes B e C

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I.2.3 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS NUMA ÚNICA

DIRECÇÃO

Normalmente as lajes vigadas são dimensionadas com base numa análise elástica,

por ser uma técnica de fácil aplicação, recorrendo habitualmente a tabelas, e, por

conduzir a um bom comportamento em serviço.

Como se viu anteriormente, nos casos em que a análise elástica não é simples, pode

aplicar-se o Teorema Estático da Análise Plástica.

As lajes vigadas armadas numa só direcção têm um comportamento em tudo idêntico

ao das vigas, pelo que o seu cálculo elástico é feito como se se tratasse de uma viga

com a espessura da laje e 1 m de largura.

• Cálculo de Painéis Isolados

Neste caso utilizam-se as fórmulas de cálculo elástico para vigas de um só tramo com

as respectivas condições de apoio.

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• Cálculo de Conjunto de Painéis Contínuos

Suponhamos o conjunto de painéis representado na figura:

Atendendo à relação entre vãos de cada painel, tratam-se de painéis armados na

direcção do menor vão.

Deste modo e tal como sucedia nos painéis isolados, o cálculo deverá ser feito como

se se tratasse de uma viga, neste caso contínua de 5 tramos, de espessura igual à da

laje e 1m de largura.

Um aspecto importante a ter em conta no cálculo da laje contínua é a possibilidade de

alternância de sobrecargas nos painéis.

A importância deste aspecto tem a ver com o valor das sobrecargas e a sua relação

com as cargas permanentes.

Quanto maior for essa relação mais importante será a sua consideração no cálculo.

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A não consideração deste efeito, por exemplo quando se sobrecarregam todos os

tramos , pode originar mau funcionamento em serviço por parte do pavimento,

podendo ocorrer fendilhação e flechas exageradas.

A alternância de sobrecargas deve ser considerada em cada caso de acordo com a

respectiva linha de influência.

Assim para o caso do pavimento apresentado, ter-se-ia por exemplo, para a obtenção

do Mmáx positivo no 1º tramo:

Linha de influência de M a meio vão do 1º tramo

Alternância de sobrecargas a considerar

Pode assim enunciar-se a seguinte regra para a obtenção do Mmáx positivo num dado

tramo:

Sobrecarrega-se o tramo em questão e os outros alternadamente.

No caso dos Mmáx negativos sobre os apoios, vamos considerar a obtenção desse

momento sobre o 1º apoio:

Linha de influência de M sobre o 1º apoio

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Alternância de sobrecargas a considerar

Pode assim enunciar-se a seguinte regra para a obtenção do Mmáx negativo sobre um

dado apoio:

Sobrecarregam-se os dois tramos adjacentes ao apoio em questão e os outros

alternadamente.

Em termos de esforço transverso proceder-se-ia de igual forma, com base na

respectiva linha de influência .

Caso se pretendesse calcular o esforço transverso máximo na secção imediatamente

à direita do 1º apoio ter-se-ia:

Linha de influência de V na secção à direita do 1º apoio

Alternância de sobrecargas a considerar

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I.2.4 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES VIGADAS ARMADAS EM DUAS

DIRECÇÕES

No caso de painéis de laje com relação entre vãos compreendida entre 0,5 e 2,0, a

laje apresenta momentos flectores significativos segundo as duas direcções, pelo que

como já se viu anteriormente, considera-se como armada em duas direcções.

A análise elástica de um sistema de painéis contínuos armados em 2 direcções pode

ser feita de diferentes formas:

a) Análise do sistema global utilizando métodos numéricos, nomeadamente o método

dos elementos finitos.

Este método de cálculo exige o recurso ao cálculo automático.

Permite obter uma distribuição elástica de esforços muito parecida com a real,

nomeadamente porque considera a deformabilidade das vigas de suporte do sistema.

b) Análise dos painéis de laje isolados com recurso a tabelas de cálculo ( Bares,

Hahn, Montoya, etc ), seguida de uma posterior redistribuição da diferença entre os

momentos sobre apoios comuns, para obtenção da distribuição no conjunto dos

painéis. Este método permite obter uma distribuição de esforços equilibrada e portanto

válida para a verificação dos estados limites últimos, no entanto diferente da

distribuição elástica real, já que simplificadamente não considera a deformabilidade

das vigas de suporte.

c) Análise do conjunto de painéis utilizando tabelas em que a continuidade dos

momentos sobre os apoios comuns a painéis adjacentes é considerada directamente.

Também despreza a deformabilidade das vigas de apoio.

O método dos elementos finitos é hoje largamente utilizado através de vários

programas de cálculo conhecidos como o SAP ou o ROBOT, pelo que na maior parte

dos casos este constitui o método de cálculo das lajes de pavimento.

No entanto nos casos mais simples de pavimentos com plantas de formas muito

regulares, o método simplificado descrito na alínea b) continua a ser bastante utilizado,

já que não exige para além das tabelas, grandes meios de cálculo.

Será pois este o método de cálculo a seguir neste curso, utilizando para o efeito as

Tabelas para o cálculo de lajes de R. Bares.

Para ter em conta a alternância de sobrecargas, dado que como se referiu, o cálculo é

feito para os painéis isolados, é utilizada uma técnica conhecida por “Método de

Marcus”, válida para sistemas de lajes sujeitas a cargas uniformemente distribuídas e

com vãos adjacentes semelhantes.

Pág. 29

• Método de Marcus

Suponhamos o seguinte sistema de painéis:

Isolando os painéis, teríamos os seguintes modelos de cálculo :

- Painéis A – Painéis de Canto

Pág. 30

- Painéis B – Painéis de Bordo

- Painel C – Painel Interior

Como se observa nos modelos de cálculo anteriores, os bordos sem continuidade são

considerados como apoios simples e os bordos com continuidade como

encastramentos.

O facto de se considerarem os apoios em vigas de bordadura como apoios simples,

permitindo a rotação livre, significa que se despreza a rigidez de torção dessas vigas.

Pág. 31

De facto devido à fendilhação, a rigidez de torção das vigas decresce rapidamente

para valores de cerca de 1/4 a 1/10 do valor elástico, o que torna os momentos na laje

junto à viga muito pequenos.

Por outro lado se se considerassem os momentos flectores na ligação à viga de

bordadura, como algumas tabelas de cálculo de lajes o fazem ( tabelas do ACI , por

exemplo ) haveria que, por equilíbrio, ter em conta os momentos torsores na viga

aquando do cálculo desta. Como na prática, não se considera essa acção sobre a

viga, pode tornar-se contra a segurança da estrutura, a utilização de tabelas que

forneçam os valores dos momentos sobre apoios descontínuos.

- Mmáx –

Como se viu no caso do conjunto de painéis armados numa só direcção, os momentos

negativos sobre apoios de continuidade são máximos se a sobrecarga actuar

simultaneamente nos 2 painéis adjacentes a esse bordo.

No caso actual de um conjunto de painéis armados em duas direcções a conclusão

mantém-se válida.

Deste modo e admitindo a hipótese inicial de os painéis terem vãos semelhantes,

quando ambos os painéis adjacentes à viga de apoio estão igualmente

sobrecarregados, a rotação desse apoio será muito pequena, pelo que se pode admitir

que a condição de apoio nesse bordo é o encastramento.

Pág. 32

Pode então enunciar-se como regra para a obtenção dos momentos negativos

máximos em determinado painel que o painel deve ser calculado para a

totalidade das cargas ( cp+sob) e com os bordos com continuidade

considerados como encastrados.

- Mmáx +

Para obtenção dos momentos positivos máximos nos painéis A e C, por exemplo, a

distribuição de sobrecargas que produz esses momentos será a seguinte:

que pode ser decomposta em:

a) b)

Pág. 33

Para a situação de carga a) em que todos os painéis estão igualmente carregados

com cp+sob/2 é novamente lícito considerar que as vigas de apoio com continuidade

praticamente não rodam, pelo que os apoios com continuidade devem ser

considerados no cálculo dos painéis individualizados como encastramentos.

No entanto para a situação de carga b), estando os painéis adjacentes a cada viga de

apoio com continuidade, carregados com + sob/2 e – sob/2, então essas vigas já

tenderão a rodar, pelo que neste caso os bordos com continuidade devem ser

considerados no cálculo como encastramentos.

Pode então enunciar-se que para a obtenção dos momentos flectores positivos

máximos num determinado painel, tendo em conta a possível alternância de

sobrecargas, tem de adicionar-se o momento positivo obtido para cp+sob/2

actuando o painel com os bordos de continuidade considerados como

encastramentos, com o momento positivo obtido para sob/2, actuando o mesmo

painel, mas em que agora os bordos com continuidade devem ser considerados

como apoios simples.

São estas regras simples, que permitem, de uma forma simplificada, obter o efeito da

alternância de sobrecargas sobre o cálculo dos painéis feito individualmente, que

constituem o chamado método de Marcus para o cálculo de lajes armadas em duas

direcções.

- Equilíbrio entre Painéis Adjacentes

Feito o cálculo dos momentos flectores para cada painel individualmente, há que no

final proceder ao reequilíbrio dos momentos negativos calculados para cada um dos

painéis adjacentes a cada apoio de continuidade. Esses momentos serão diferentes

sempre que os painéis o sejam, pelo que, para que a viga não fique sujeita a

momento torsor o momento terá de ser o mesmo à direita e à esquerda do apoio.

Por exemplo, no caso do pavimento em análise, entre os painéis de canto A e os

painéis de bordo B, sobre a viga de apoio 1, ter-se-á:

Pág. 34

O valor elástico de MAB estará compreendido entre MA e MB e dependerá da rigidez à

flexão dos painéis adjacentes.

Pode ser obtido a partir da redistribuição da diferença entre momentos no apoio pela

fórmula:

MAB = MB + (MA - MB ) x KB / KA + KB ( fórmula de iteracção do Método de Cross )

Ou

MAB = MA x KB / KA + KB + MB x KA / KA + KB

Em que:

KA – rigidez à flexão do painel A na direcção em causa

KB – rigidez à flexão do painel B na direcção em causa

Se os vãos forem semelhantes, que era uma das condições iniciais para a aplicação

do Método de Marcus, ter-se-á:

KA ~ KB e então:

MAB = (MA + MB) / 2

Que normalmente é a expressão adoptada na prática.

Para esta simplificação na obtenção do momento negativo final sobre o apoio comum

estar do lado da segurança e poder cobrir as situações de maiores diferenças entre

momentos, deve sempre verificar-se se:

MAB ≥ 0,8 x Mmáx (MA ; MB)

Pág. 35

No caso em que:

MAB < 0,8 x Mmáx (MA ; MB) considera-se MAB = 0,8 x Mmáx (MA ; MB)

Quando é feito este reequilíbrio de momentos sobre o apoio, há sempre descida do

diagrama de momentos de um dos lados.

Por exemplo, no caso analisado, o momento positivo no painel A para a combinação

de acções que conduziu ao MAmáx – no apoio sofre um acréscimo, porque com a

redistribuição, o diagrama de momentos desce no painel A.

Por outro lado o Mmáx + no painel A é determinado com base numa combinação de

acções diferente, mais desfavorável, pelo que haverá que verificar se este momento

positivo de dimensionamento obtido pelo método de Marcus não é ultrapassado pelo

momento positivo anterior após a redistribuição.

Tal depende da importância da consideração da alternância de sobrecargas que como

se viu está ligada à relação entre a sobrecarga e a carga permanente.

Para as relações usuais entre carga permanente e sobrecarga e se:

MAB ≥ 0,8 x Mmáx (MA ; MB) então o momento positivo de dimensionamento obtido

pelo método de Marcus é normalmente superior.

Para casos de maiores sobrecargas ou sobretudo se MAB < 0,8 x Mmáx (MA ; MB) ,

então deve sempre verificar-se se o momento positivo após a redistribuição de

esforços não ultrapassa o momento positivo de dimensionamento.

Pág. 36

Hipótese 1 Hipótese 2

Mmáx + = Máx ( M+ hip.1 + ∆M ; M+ hip.2 )

No caso de vãos adjacentes bastante diferentes, deve efectuar-se o reequilíbrio final

de momentos negativos sobre os apoios, com base nas fórmulas de rigidez

apresentadas.

Nestes casos sucede normalmente que após a redistribuição o vão menor fica apenas

com momentos negativos.

Nesta situação coloca-se habitualmente no vão menor uma armadura superior corrida

e uma armadura inferior que é normalmente metade da dos vãos adjacentes.

Pág. 37

- Dimensionamento de painéis adjacentes a uma consola

No caso de painéis armados em 2 direcções e adjacentes a uma consola o método de

cálculo é um pouco diferente, devido à existência da consola, já que a influência desta

tem de ser considerada, quando se calcula o painel isoladamente.

Suponhamos por exemplo o seguinte conjunto de painéis:

Calculemos então o painel A.

Comecemos por verificar se a consola garante, quando sujeita às cargas permanentes

(cp) o encastramento ao painel A:

1º - Cálculo de M – no bordo adjacente à consola para o painel actuado por

1.5.(cp+sob) ( cargas majoradas) e considerando esse bordo como encastrado.

Pág. 38

2º - Cálculo de M – no mesmo bordo mas agora calculado pelo lado da consola

quando esta está sujeita apenas às cp.

Se M-cons(cp) < My-A(cp+sob)γ, considera-se que a consola permite a rotação do

bordo adjacente, não garantindo portanto o encastramento ao painel A e

prosseguindo o cálculo deste, considerando esse bordo como um apoio simples.

3º - Cálculo dos momentos no painel A

No final e porque a consola existe de facto, deverá fazer-se a correcção de My+

My+ Final = My+ - ∆ = My+ - (M-cons(cp) /2 )

Pág. 39

Se pelo contrário M-cons(cp) ≥ My-A(cp+sob)γ, considera-se que a consola não permite

a rotação do bordo adjacente, garantindo portanto o encastramento ao painel A e

prosseguindo o cálculo deste, considerando esse bordo como um apoio encastrado.

3º - Cálculo dos momentos no painel A

No final e para corrigir a situação de cálculo para a situação real tem de fazer-se a

correcção de My+

My+ Final = My+ - ∆ = My+ - (M-cons(cp)- My-A(cp+sob)γ)/2

4º - Cálculo do momento negativo final sobre o bordo de ligação à consola calculado a

partir da consola

Pág. 40

I.2.5 – ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS: FLEXÃO E ESFORÇO TRANSVERSO

Estado Limite Último de Flexão

Normalmente no cálculo de lajes maciças vigadas despreza-se a rigidez de torção.

Caso contrário poder-se-á utilizar uma fórmula simplificada para ter em conta o efeito

dos momentos torsores na verificação do estado limite último de flexão, que é:

MxRd ≥ MxSd + | MxySd |

MyRd ≥ MySd + | MxySd |

Estado Limite Último de Esforço Transverso

Nas situações correntes de lajes vigadas procura-se dimensionar a espessura da laje

de forma a que esta não necessite de armaduras de esforço transverso, dada a

dificuldade de montagem destas armaduras.

Regulamentarmente não há exigência de armadura de esforço transverso mínima pelo

que procura-se sempre absorver o esforço transverso à custa da resistência do betão,

que é para lajes sem armadura de esforço transverso, de acordo com o REBAP:

Vcd = 0,6. ( 1,6 – d ). ζ 1 . bw . d sendo que: 1,6 – d ≥1,0 e bw = 1m

Segundo o EC2

Essa resistência é dada por:

VRd,c = [CRd,c.k.(100.ρL.fck)1/3+k1.σcp].bw.d ≥ [vmin+ k1.σcp] .bw.d

Onde,

CRd,c=0,18/ γc =0,18/1,5=0,12

K=1+√(200/d) ≤ 2, com d em mm

ρL= AsL/ bw.d ≤ 0,02 (AsL representa a área de armadura de tracção, prolongada de

um comprimento não inferior a d+lb,net para além da secção considerada )

k1 = 0,15

σcp=Nsd/ Ac < 0,2.fcd em MPa (Nsd representa o esforço normal devido a cargas

aplicadas ou ao pré-esforço, devendo ser considerado positivo quando for de

compressão e Ac representa a área da secção transversal de betão)

vmin = 0,035.k3/2. fck1/2

Pág. 41

Quanto ao cálculo do esforço transverso em lajes vigadas armadas em duas

direcções, ele pode ser feito directamente a partir das tabelas de Bares, como se

mostra na figura seguinte, correspondente a uma situação de laje simplesmente

apoiada nos 4 bordos:

Na prática, no entanto, é normalmente utilizado um método simplificado, baseado

numa repartição de cargas a 45º entre bordos adjacentes com idênticas condições de

apoio ou 60º / 30º para uma situação respectivamente de bordo encastrado versus

bordo simplesmente apoiado.

Nas figuras seguintes são apresentados exemplos com determinação dos diagramas

de reacções ao longo dos bordos, e o respectivo valor de esforço transverso máximo,

recorrendo a este método.

Pág. 42

Através deste método simplificado de repartição das cargas pelos apoios, é pois

possível determinar as reacções das lajes nas vigas, possibilitando um posterior

cálculo da estrutura reticulada tridimensional constituída apenas por pilares e vigas.

Nas lajes de pavimento de edifícios correntes , não há normalmente necessidade de

recorrer a armaduras de esforço transverso para verificar a segurança a este estado

limite último.

Os problemas de esforço transverso em lajes surgem por exemplo nos apoios

inferiores em lajes verticais de muros de suporte, com vários troços, como é o caso

das paredes de contenção em caves enterradas .

Pág. 43

I.2.6 – ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO: FENDILHAÇÃO E DEFORMAÇÃO

Estado Limite de Fendilhação

Calculada a armadura para garantir a verificação da segurança aos estados limites

últimos, o REBAP permite a verificação do estado limite de fendilhação em lajes, de

uma forma simplificada, a partir de uma disposição adequada de armaduras.

Deste modo, de acordo com o REBAP, e para as solicitações correntes, o cálculo da

abertura de fendas é dispensado se o espaçamento das armaduras principais não

exceder os seguintes valores:

Ambiente Aço A235 Aço A400 Aço A500

Pouco Agressivo ---- 25 cm 20 cm

Moderadamente

Agressivo

---- 15 cm 10 cm

Muito Agressivo

---- Cálculo de abertura

de fendas

obrigatório

Cálculo de abertura

de fendas

obrigatório

Analisando o quadro anterior conclui-se que para o aço A235 não será preciso a

verificação deste estado limite, enquanto que as limitações para o espaçamento

máximo de armaduras principais se agravam do aço A400 para o A500.

No caso de ambientes muito agressivos ( ambientes marítimos, industriais muito

poluídos, etc ) o cálculo de abertura de fendas é obrigatório desde que se utilizem os

aços A400 ou A500.

A justificação para estas situações está no facto da abertura de fendas estar

directamente relacionada como se sabe com a corrosão das armaduras.

Assim quanto maior for a agressividade do meio ambiente mais acelerado será o

processo de corrosão pelo que maiores serão as exigências no controle da

fendilhação.

Relativamente à influência da classe de resistência do aço, como o processo de

corrosão é também mais acelerado quanto maior for a tensão de serviço no aço,

também se compreende o agravamento das exigências com o aumento daquela

classe.

Pág. 44

Segundo o EC2

A verificação do estado limite de fendilhação numa laje também pode ser feita de uma

forma indirecta através da adopção de uma armadura mínima e da imposição de

limites ao diâmetro máximo dos varões e ao afastamento máximo entre os mesmos.

Por exemplo no caso de lajes de betão armado de Edifícios, solicitadas à flexão sem

tracção axial significativa, não são necessárias medidas específicas para controlar a

fendilhação quando a espessura total da laje não é superior a 200 mm e se respeitem

as indicações do EC2 sobre disposição de armaduras.

Para lajes de espessura superior a 0,20m, tendo em atenção a limitação da

fendilhação expressa no quadro seguinte:

Ambiente Combin. de

acções

Betão armado Betão pré-esforç.

Frequente --- 0,2 mm Pouco agressivo

(X0,XC1) Quase Perman. 0,4 mm* ---

Frequente --- 0,2 mm Mod. agressivo

(XC2,XC3,XC4) Quase Perman. 0,3 mm descompressão

Frequente --- descompressão Muito agressivo

(XD1,XD2,XS1,XS2,XS3) Quase Perman. 0,3 mm descompressão

*- apenas por razões estéticas e não de durabilidade

diz-se que a fendilhação está controlada no caso de deformações impostas, se o

diâmetro dos varões não for superior ao do quadro seguinte após a respectiva

correcção, e, no caso de outras acções, se for respeitado o diâmetro máximo, depois

de corrigido, ou, o espaçamento máximo entre varões, indicado também no quadro.

Máximo diâmetro do varão

(mm)

Máximo espaçamento entre varões

(mm)

Tensão

no aço

[MPa]

wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm

160 40 32 25 300 300 200

200 32 25 16 300 250 150

240 20 16 12 250 200 100

280 16 12 8 200 150 50

320 12 10 6 150 100 ---

360 10 8 5 100 50 ---

400 8 6 4 50 --- ---

450 6 5 --- --- --- ---

Pág. 45

A tensão no aço será a tensão na armadura no instante após a fendilhação. Poderá

considerar-se fyk no caso de deformações impostas, que é a tensão considerada no

cálculo da armadura mínima, embora, caso o diâmetro das armaduras não satisfaça o

estabelecido no quadro, deverá adoptar-se o par (σs,Φ) que respeite o controlo

indirecto dessa tabela, passando a armadura mínima a ser calculada com esse valor

de σs .No caso de cargas aplicadas poderá estimar-se de forma simplificada a tensão

nas armaduras considerando σs ~ fyd/1,5.

O diâmetro máximo dos varões Φs* deve ser corrigido de acordo com:

Flexão - Φs = Φs*.( fct,ef/2,9).kc.hcr/(2.(h-d))

Tracção simples - Φs = Φs*.( fct,ef/2,9). hcr/(8.(h-d))

Com

Φs – diâmetro corrigido máximo dos varões

Φs* - diâmetro máximo dos varões obtido no quadro

hcr - altura traccionada antes da fendilhação ( =h para tracção simples e h/2 para

flexão simples )

kc = 0,4 para flexão simples

Por exemplo, para tracção simples considerando betão C30/37 (fct,ef=2,9 MPa) e

d=0,9h obtém-se Φs = 1,25.Φs*

Para flexão simples considerando betão C30/37 (fct,ef=2,9 MPa) e d=0,9h obtém-se

Φs = Φs*

Estado Limite de Deformação

A necessidade de limitar a deformação nas lajes é importante, não só do ponto de

vista da aparência, evitar as tradicionais “barrigas” na laje, mas também por forma a

limitar os danos em elementos não estruturais suportados pelas lajes como: paredes

de alvenaria, painéis pré-fabricados, vãos envidraçados, etc.

Nas figuras seguintes apresentam-se alguns danos que se podem observar em

paredes de alvenaria devidos a deformação excessiva dos pavimentos.

Pág. 46

As lajes, sendo elementos estruturais particularmente esbeltos, são bastante sensíveis

à deformação.

O REBAP estabelece no seu artº 72 como valor limite de deformação, em lajes

correntes de edifícios, uma flecha de 1/400 do vão para combinações frequentes de

acções.

Quando a laje suportar paredes de alvenaria, esse valor não deve exceder 1,5 cm por

forma a evitar a fissuração daquelas.

Segundo o EC2 o valor limite de deformação para garantir a aparência e condições de

utilização de uma laje, deverá ser de 1/250 do vão para combinações quase

permanentes de acções.

Admite a execução de uma contra-flecha máxima de 1/250 do vão para compensar

parcial ou totalmente as deformações.

As flechas susceptíveis de danificar elementos não estruturais ( alvenarias,

envidraçados,etc) devem ser limitadas a 1/500 do vão para as flechas que ocorram

depois da construção, para combinações quase permanentes de acções .

A estimativa das deformações em lajes pode ser realizada, por exemplo, recorrendo

ao método dos coeficientes globais que permite avaliar aproximadamente o

agravamento da flecha instantânea elástica ao longo do tempo, devido a factores

como a retracção e fluência do betão e fendilhação da secção.

Este factor andará para as situações correntes entre 3 a 5.

Relativamente à flecha instantânea elástica, ela depende sobretudo da chamada

esbelteza da laje ( l/h ).

Pág. 47

De facto, analisando a expressão da deformação elástica:

ac = k . p. l4/ EI em que k é uma constante que depende das condições

de apoio e modos de flexão da laje

que para uma laje de espessura constante h será:

ac / l = 12. k . p. (l/h)3/ E

Verfica-se assim que o valor da flecha instantânea elástica varia com o cubo da

esbelteza da laje, pelo que será essa a variável principal a ter em conta quando se faz

o pré-dimensionamento de uma laje pensando na verificação do estado limite de

deformação.

Desta forma compreende-se o artº 102 do REBAP que propõe valores de esbelteza

máxima para as lajes de modo a garantir a verificação deste estado limite .

Neste artigo o REBAP também indica algumas espessuras mínimas para lajes, tendo

em conta:

- razões construtivas, nomeadamente salvaguardando afastamentos e recobrimentos

mínimos de armaduras

- garantia da capacidade resistente

- deformabilidade

- isolamento acústico

e que são:

- h ≥ 5 cm para lajes de terraços não acessíveis

- h ≥ 7 cm para lajes sujeitas predominantemente a cargas distribuídas

- h ≥ 10 cm para lajes sujeitas a cargas concentradas

- h ≥ 12 cm para lajes sujeitas a cargas concentradas importantes

- h ≥15 cm para lajes apoiadas directamente em pilares ( fungiformes )

Estes valores são mesmo os valores mínimos permitidos não permitindo qualquer

dispensa do cálculo da deformação ou de qualquer outro estado limite.

Para que a verificação do estado limite de deformação possa ser dispensada, uma vez

garantida a segurança aos estados limites últimos, a espessura terá de ser superior

ao seguinte valor:

h ≥ li / 30.η

li – vão equivalente da laje

li = α.l ( sendo l o menor dos vãos no caso de lajes armadas em duas direcções )

Pág. 48

E sendo α , função das condições de apoio e modo de flexão da laje:

η por sua vez é um parâmetro cujo valor depende da classe de resistência do aço

adoptado, sendo dado por:

η Aço

1.4 A235

1.0 A400

0.8 A500

A justificação para estes valores, obrigando uma laje com A500 a uma espessura

superior à mesma laje com A400 e esta de espessura superior à laje com A235, tem a

ver com a ductilidade do aço ( capacidade de deformação do aço para além da

cedência ) .

Pág. 49

De facto sendo o A235 mais dúctil que o A400 e este mais dúctil que o A500, uma laje

com um aço mais dúctil terá sempre maior capacidade de deformação.

No quadro seguinte indicam-se os valores máximos de l/h a que a expressão anterior

conduz.

Verifica-se para algumas situações mais desfavoráveis que estes valores são

excessivos, não garantindo a limitação da deformação a l /400 para as combinações

frequentes de acções.

Entre esses casos mais desfavoráveis podem considerar-se as situações de grandes

sobrecargas ( sob > 5 KN/m2) e existência de bordo livre em lajes armadas em duas

direcções.

Nestes casos para garantir o valor limite de deformação é recomendável utilizar a

expressão:

h ≥ li / 21.η

que é mais conservadora, originando menores valores para a esbelteza máxima.

No quadro seguinte indicam-se precisamente os valores máximos das esbeltezas

obtidos da expressão do REBAP e da anterior, para o caso mais comum do aço A400.

Apresenta-se também o valor da espessura mínima da laje para um vão de 6 m, a que

as duas expressões conduzem.

Pág. 50

A necessidade de limitar a deformação em pavimentos de edifícios é particularmente

importante no caso de existirem paredes divisórias de alvenaria ou fachadas

envidraçadas que possam sofrer danos devidos à deformação excessiva das lajes.

Como já anteriormente se referiu, para evitar a fendilhação nestes elementos, a

deformação deve ainda ser limitada a um máximo de 1,5 cm.

De acordo com o REBAP esta condição é garantida de uma forma indirecta, através

da expressão:

h ≥ (li)2 / 180.η

Também aqui, para as situações mais desfavoráveis anteriormente descritas, a

limitação da flecha máxima a 1,5 cm só é garantida de uma forma mais eficaz se

utilizarmos a expressão mais conservadora:

Pág. 51

h ≥ (li)2 / 125.η

Verifica-se que no caso de lajes suportando paredes de alvenaria a observância

conjunta das 2 expressões, é condicionada até um determinado vão pela expressão

geral e a partir daí pela expressão anterior.

É conveniente uma chamada de atenção para que as condições anteriores não sejam

encaradas como regras de pré-dimensionamento, muito embora na prática funcionem

normalmente como tal, mas sim como limites de esbelteza a observar para de um

modo indirecto limitar o valor das deformações.

Será pois, sempre possível, adoptar valores de espessuras inferiores aos indicados,

desde que se proceda ao cálculo das deformações a longo prazo.

Segundo o EC2 o Estado Limite de Deformação também pode ser verificado limitando

a esbelteza da laje (l/h).

Assim desde que as lajes de betão armado de Edifícios sejam dimensionadas

satisfazendo os limites l/d (vão/altura útil) que se seguem pode admitir-se que a

respectiva flecha não irá exceder os limites estabelecidos.

l/d ≤ k.[11+1,5.√fck. ρ0/ρ + 3,2 .√fck. (ρ0/ρ -1)3/2], se ρ≤ρ0

l/d ≤ k.[11+1,5.√fck. ρ0/(ρ-ρ`) + 1/12 .√fck. √( ρ`/ρ0)], se ρ>ρ0

em que:

k – coeficiente que tem em conta o sistema estrutural

ρ0 – taxa de armaduras de referência (ρ0=√fck x 10-3)

ρ – taxa de armaduras de tracção na secção de ½ vão ou no apoio no caso de uma

consola

ρ` - taxa de armaduras de compressão na secção de ½ vão ou no apoio no caso de

uma consola

Estas expressões foram obtidas, admitindo que para as acções no estado limite de

utilização, a tensão no aço, numa secção fendilhada a ½ vão ou no apoio de uma

consola é igual a 310 MPa para A500.

No caso de outros aços os valores obtidos devem ser multiplicados por

η= 310/σs ~ 500/fyk. As,adoptado/As,nec.à rotura

Os valores de k estão dados no quadro seguinte, bem como L/d máximos, que foram

calculados para C30/37;A500 e considerando Mqp ~ 50%Msd

Pág. 52

L/d max.

Sistema Estrutural

k Betão muito

comprimido

ρ=1,5%

Betão pouco

comprimido

ρ=0,5%

Lajes simplesmente

apoiadas, armadas

numa ou em 2 dir.

1,0

14

20

Painel lateral de

lajes contínuas,

armadas numa ou

em 2 dir.

1,3

18

26

Painel interior de

lajes contínuas,

armadas numa ou

em 2 dir.

1,5

20

30

Lajes fungiformes 1,2 17 24

Consolas 0,4 6 8

Para lajes armadas em 2 direcções L é o menor vão.

Para lajes fungiformes L é o maior vão.

Para lajes aligeiradas os valores de L/d máximos obtidos devem ser multiplicados por

0,8.

Os valores obtidos para a esbelteza máxima são conservativos como aliás deveriam

ser.

No caso de lajes vigadas que suportem paredes divisórias e com L>7 m os valores de

L/d devem ser multiplicados pelo factor 7/Lef

No caso de lajes fungiformes que suportem paredes divisórias e com L>8,5 m os

valores de L/d devem ser multiplicados pelo factor 8,5/Lef

Alguns exemplos para A500 e ρ=0,5%:

Painel lateral de laje vigada:

L=5,0 m → d=0,19 m → h=0,22 m

L=7,0 m → d=0,27 m → h=0,30 m

Laje fungiforme:

L=6,0 m (maciça)→ d=0,25 m → h=0,28 m

L=8,0 m (aligeirada)→ d=0,42 m → h=0,45 m

Pág. 53

I.2.7 – DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS

• Aspectos Gerais

a) Armaduras Mínimas ( REBAP – Artº 104 )

As percentagens mínimas de armadura em lajes são iguais às das vigas.

AÇO ρmín

A235 0,25%

A400 0,15%

A500 0,12%

Quanto à armadura de distribuição o REBAP não impõe uma percentagem

mínima. Para evitar fissuração não prevista, há autores que recomendam para

essa armadura um ρmín = 0,10%.

Segundo o EC2

As armaduras mínimas em lajes também são iguais às das vigas, e são dadas por:

Asmín=0,26.fctm/fyk.b.d ≥ 0,0013.b.d (com b=1 m)

As armaduras máximas por sua vez são:

Asmáx=0,04.Ac

b) Espaçamento máximo da armadura

Os espaçamentos das armaduras não devem de uma maneira geral ter valores

excessivamente grandes.

Este aspecto está directamente relacionado com o comportamento da laje e com a

sua execução.

De facto em termos de comportamento pode afirmar-se que quanto menor for o

espaçamento das armaduras melhor será o comportamento da laje. Isto porque

melhor será o controlo da fendilhação e maior será a garantia de resistência

local mínima a uma carga concentrada.

Por outro lado, menores espaçamentos tornarão a execução da laje mais

complicada, exigindo maiores cuidados na betonagem e vibração do betão e

montagem de mais armaduras, tornando esta operação mais cara.

Ponderados estes aspectos o REBAP apresenta os seguintes valores para

Pág. 54

espaçamentos máximos:

Armaduras Principais ( REBAP-Artº 105 )

. s ≤ 1.5.h

. s ≤ 35 cm

Segundo o EC2

. s ≤ 3.h

. s ≤ 40 cm

passando para:

. s ≤ 2.h

. s ≤ 25 cm

em zonas com cargas concentradas ou zonas de momento máximo.

Armaduras de Distribuição ( REBAP-Artº 108 )

. s ≤ 35 cm

Segundo o EC2

. s ≤ 3,5.h

. s ≤ 45 cm

passando para:

. s ≤ 3.h

. s ≤ 40 cm

em zonas com cargas concentradas ou zonas de momento máximo.

Como se verificou anteriormente, também o controle da fendilhação é dispensado

em alguns casos, desde que se respeitem determinados espaçamentos máximos na

armadura principal.

c) Interrupção das Armaduras Principais ( REBAP – Artº 106 )

No caso das lajes a resistência às cargas aplicadas é por flexão e por efeito de arco.

A resistência ao esforço transverso é garantida em parte pelo efeito de arco.

Pág. 55

Devido a este efeito de arco, na rotura, a força necessária junto ao apoio é pouco

inferior à exigida a meio vão.

Por este motivo, devido à necessidade de atirantar o arco, o REBAP impõe que pelo

menos metade da armadura do vão siga até ao apoio. Este aspecto de grande

importância nas lajes não se verifica nas vigas.

Segundo o EC2 a regra é idêntica.

Relativamente às outras regras para interrupção de armaduras, elas são semelhantes

ao que se adopta nas vigas, fazendo-se a interrupção de varões a partir de uma

translação do diagrama de forças na armadura devidas à flexão (diagrama de

momentos) (al = 1,5.d segundo REBAP e al = d segundo EC2 )

Na prática este processo é muito pouco utilizado, sobretudo nos casos correntes, em

que se adoptam distâncias aos apoios para interrupção de armaduras superiores e

inferiores, em função do vão ( l/3 a l/5).

d) Posicionamento das Armaduras

Este é um aspecto puramente prático de execução da laje, mas que pode ser

determinante, para o comportamento daquela , se não for correctamente considerado.

Para garantir, durante a betonagem, que as armaduras inferiores e superiores fiquem

posicionadas correctamente são utilizados, respectivamente, espaçadores e cavaletes.

Os espaçadores são, em geral, constituídos por pequenos paralelepípedos de

argamassa de betão com a altura desejada ( recobrimento ) nos quais foi introduzido

um arame que permite a fixação do varão.

Pág. 56

Os cavaletes para posicionamento das armaduras superiores, também designados

estribos de montagem, são varões dobrados, sobre os quais pousam as armaduras

superiores.

Estes elementos devem ser dispostos com uma densidade adequada, de modo a

garantirem que durante a betonagem as armaduras se mantêm na posição correcta,

ainda que sujeitas à acção do pessoal que efectua as operações.

Nas lajes, durante a colocação e compactação do betão, acontece frequentemente,

que devido à falta de cuidado do pessoal, ao insuficiente número de cavaletes e à não

utilização de pranchas provisórias de madeira para deslocação do pessoal, as

armaduras superiores podem baixar vários centímetros. Este problema é sobretudo

grave nas consolas.

No quadro seguinte apresentam-se os valores máximos recomendados das distâncias

entre os espaçadores e cavaletes. Apresenta-se também o diâmetro aconselhável dos

varões que constituem os cavaletes em função da espessura da laje.

Φ da armadura principal (mm) S (m)

≤ 12 0,50

> 12 0,70

Espessura da laje h (cm) Φ cavaletes

(mm)

< 15 8

15 a 30 12

Pág. 57

I.2.7.1 – Lajes Armadas numa só direcção

Neste caso, como já se viu, os esforços que surgem na direcção do maior vão, My,

são pequenos, comparados com os esforços segundo o menor vão, Mx, uma vez que

a zona central está praticamente sujeita a flexão cilíndrica ( curvatura nula segundo o

maior vão ).

Admite-se portanto que a laje funciona apenas segundo o menor vão. As armaduras

principais, que são as necessárias para garantir a capacidade resistente da laje são

determinadas, considerando uma viga equivalente de largura unitária com as

condições de apoio que se verificam nessa direcção.

A verificação dos estados limites de utilização, em particular do de fendilhação, é

assegurada por outras armaduras ( de distribuição, de canto e suplementar ) e pela

sua conveniente pormenorização.

Nos casos em que a laje é apenas apoiada em 2 bordos extremos paralelos, como

acontece normalmente nas escadas, a capacidade resistente terá de ser obviamente

garantida na direcção dos apoios.

• Armadura de Distribuição

Nas lajes armadas numa só direcção, perpendicularmente às armaduras principais,

deve ser sempre colocada uma armadura de distribuição. Esta armadura que não

é necessária para a verificação dos estados limites últimos, tem como funções:

- principalmente controlar a abertura de fendas nas condições de serviço

- posicionar as armaduras principais durante a fase de montagem das armaduras e

de betonagem da laje, formando em conjunto com as armaduras principais uma

malha ortogonal rígida.

- garantir uma certa resistência da laje a possíveis cargas concentradas

Pág. 58

Como já se viu na análise elástica de uma laje com um coeficiente de Poisson ν,

sujeita à flexão cilíndrica segundo a direcção X, surgem momentos na direcção

perpendicular, My ( maior vão ) dados por:

My = ν . Mx

O efeito de Poisson numa laje de betão armado depende, como já anteriormente

referido, do nível de fendilhação instalado, o que torna difícil a sua correcta

quantificação.

Para o betão não fendilhado ν ~ 0,20, o que origina um momento, na direcção

transversal, igual a 20% do momento principal.

Mesmo considerando ν = 0 ( situação que se verifica próximo da rotura, devido à

fendilhação ) surgem momentos My junto aos apoios paralelos ao menor vão, com

um valor também próximo de 0,2.Mx.

É de referir que os momentos que surgem segundo o maior vão, são sempre de

compatibilidade, pelo que a sua correcta avaliação não é essencial para assegurar

a capacidade resistente.

Para ter em conta estes efeitos, o REBAP (Artº 108) preconiza uma armadura de

distribuição igual a 20% da armadura principal de cálculo. Este valor tem-se

mostrado suficiente na generalidade dos casos.

Segundo o EC2 a armadura de distribuição é idêntica.

Portanto, em conclusão, pode referir-se que numa laje, sempre que exista uma

armadura resistente numa direcção, deve ser colocada na direcção perpendicular,

pelo menos a armadura de distribuição.

• Disposições Tipo de Armaduras

As armaduras principais devem ficar sempre colocadas de modo a funcionarem

com o maior braço, pelo que as armaduras de distribuição são sempre colocadas

interiormente às principais.

Pág. 59

A disposição de armaduras a adoptar é determinada, tendo sobretudo em conta a

distribuição de esforços em que se baseia o dimensionamento da laje.

As dispensas de armaduras são efectuadas de acordo com as regras indicadas no

REBAP, ou seja, de modo semelhante ao das vigas, procedendo à translação do

diagrama de momentos flectores e prolongando os varões a interromper, do

comprimento de amarração, a partir da secção onde esta deixa de ser necessária

para a verificação do estado limite último de flexão.

No entanto na prática, como foi dito, para lajes com condições de apoio correntes

e sujeitas a cargas distribuídas uniformes é possível indicar disposições de

armaduras tipo, as quais dispensam a necessidade de determinação dos pontos

onde se dispensam as armaduras com base no cálculo.

As disposições tipo a seguir indicadas não são válidas, no caso de a carga não ser

uniformemente distribuída ( trapezoidais, concentradas, etc ) e no caso das

condições de apoio serem diferentes das admitidas ( por exemplo quando 2

painéis adjacentes têm vãos bastante diferentes a hipótese de encastramento não

é correcta ). Apresentam-se apenas, nestas disposições tipo, armaduras principais

e de distribuição, ficando a pormenorização das armaduras suplementares para

controle da fendilhação para uma fase posterior.

Pág. 60

a) Laje Apoiada no contorno

b) Laje Apoiada num bordo e encastrada no outro

Pág. 61

Relembra-se que lbnet ( comprimento de amarração do ferro ) é segundo o REBAP

para betão C20/25 e aço A400 igual a 35Φ para situações de boa aderência e 50Φ

para má aderência.

Segundo o EC2 para amarrações rectas e betão C20/25 e aço A400, obtém-se

40Φ para situações de boa aderência e 55Φ para má aderência.

Considera-se que estão em situação de boa aderência: ( idêntico no EC2 )

- estribos que façam com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º

- todas as armaduras superiores e inferiores desde que a laje tenha uma

espessura não superior a 25 cm

- todas as armaduras que estejam na metade inferior ou a mais de 30 cm da face

superior para lajes de espessura superior a 25 cm.

c) Laje encastrada nos dois bordos

Pág. 62

d) Laje em consola

Pág. 63

O REBAP no seu artº 108 recomenda que na face oposta à da aplicação das

cargas se coloque uma armadura disposta transversalmente ao vão ( Ay+) com

uma área igual ou superior a 20% da área da armadura principal ( Ax - ). Esta

armadura destina-se à absorção de eventuais cargas concentradas.

Por outro lado, os elementos em consola localizados no exterior dos edifícios

( varandas e palas ) estão, em geral, sujeitos a variações térmicas superiores às

dos elementos localizados no interior. O efeito restritivo que a estrutura do edifício

exerce sobre a deformação livre da consola pode gerar tensões suficientes para

produzir fendilhação transversal. Estas fendas podem ter aberturas superiores a 1

mm o que as torna visíveis à distância.

Na figura representa-se o andamento das tensões de tracção ao longo do vão da

consola e a tracejado a deformada da consola por efeito de uma diminuição de

temperatura.

Caso não se coloquem armaduras para absorver estas tracções, máximas junto ao

encastramento, surge fendilhação transversal do tipo da que se representa na

figura.

Para consolas com comprimento ao longo da fachada do edifício inferior a 2.l não

se verifica em geral este tipo de fendilhação. Este problema está associado a um

estado limite de utilização, não estando por isso em causa a capacidade resistente

do elemento.

Tratando-se de uma fendilhação devida a um efeito de deformação imposta, é

suficiente para o seu controlo a colocação de uma armadura mínima de tracção.

ρmin = fctm / fsyk x 100 em que:

Pág. 64

fctm – valor médio da tensão de rotura do betão à tracção simples ( 2,2 MPa para

C20/25)

fsyk – tensão de cedência das armaduras ( 400 MPa para A400 )

logo:

Ay - + Ay + = ρ.h / 100 = fctm / fsyk x h

Esta armadura garante a limitação das aberturas de fendas a valores aceitáveis

regulamentares, devendo ser colocada de modo simétrico nas 2 faces da laje.

Esta situação ocorre também em muros de suporte em consola, já que é comum o

muro apresentar um comprimento superior a 2.H, sendo H a sua altura e portanto

o vão da consola.

A sua sapata, normalmente muito rígida, provoca o efeito restritivo do

encastramento à dimunuição de comprimento do muro sob efeito de uma

diminuição de temperatura, pelo que a situação é exactamente igual à descrita

anteriormente.

Neste caso a fendilhação que ocorre devido a este efeito é vertical.

Segundo o EC2

A expressão para o cálculo da armadura mínima a colocar na zona traccionada

para uma deformação imposta ou qualquer outra acção é dada por:

As,min = kc.k.Act.fct,ef / σs

onde

kc – coeficiente que tem em conta a distribuição de tensões na secção,

imediatamente antes da fendilhação

kc = 1 para tracção simples ( casos atrás referidos ) kc = 0,4 para flexão simples

k – coeficiente que tem em conta o efeito não uniforme das tensões auto-

equilibradas na diminuição de fct,ef

k=1 , para esp.≤ 0,3 m

0,65<k<1, para 0,3m<esp.<0,8m (interpola-se para achar k)

k=0,65, para esp.≥ 0,8 m

Pág. 65

Act – área de betão traccionada antes da abertura da 1ª fenda (Act = Ac para tracção

pura e Act = Ac/2 para flexão simples).

fct,ef em geral fctm

σs = fyk (tensão máxima admissível na armadura imediatamente após a

fendilhação)

Por exemplo para flexão simples considerando fct,ef = 3 MPa e Aço A400 obtém-se

As,min = 0,15% . Ac (valor indicado no REBAP para A400)

• Armaduras Suplementares

a) Armadura Superior junto aos bordos simplesmente apoiados

Embora no cálculo se considere, em geral, que uma laje é simplesmente apoiada

no contorno, aparecem momentos negativos na ligação contínua à viga de apoio

devido ao facto da laje, ao deformar-se, impor uma rotação à viga de bordo, à qual

esta se opõe devido à sua rigidez de torção, produzindo-se assim tracções na face

superior da laje.

Não é necessário considerar esta torção no dimensionamento aos estados limites

últimos da viga, por ser uma torção de compatibilidade.

Caso a viga esteja travada por panos de alvenaria superior e inferiormente, então

este efeito acentua-se, pois aumenta o grau de encastramento da laje na viga.

Atendendo a estas tracções na face superior da laje junto ao apoio, podem surgir

fendas, pelo que é conveniente colocar uma armadura na face superior.

A armadura necessária para controlar a fendilhação é a armadura mínima. No

entanto em alguns casos esta armadura pode considerar-se excessiva, colocando-

se então uma armadura inferior, no mínimo Φ6//.20.

Pág. 66

Esta armadura deve ser colocada junto a todos os bordos considerados

simplesmente apoiados, quando não houver outra armadura superior.

Segundo o EC2 num apoio extremo da laje, a armadura superior deverá ser capaz

de resistir pelo menos a 15% do Mmáx+ no vão adjacente.

b) Armadura Superior sobre apoios paralelos à direcção em que a laje é armada

Se existir uma viga ou uma parede na zona central da laje, segundo a direcção do

menor vão, esta provoca momentos negativos na laje, My, na zona da parede ou

viga.

O momento negativo é aproximadamente igual ao momento máximo positivo da

laje. Deve-se portanto, colocar na face superior, na zona do apoio, uma armadura

igual à armadura principal da face inferior.

Pág. 67

Se o apoio não for muito rígido ( viga relativamente flexível ) é admissível reduzir

um pouco essa armadura ( até 60% da armadura do vão ) , conseguindo-se

mesmo assim evitar níveis de fendilhação inconvenientes.

Segundo o EC2 no caso em que haja encastramento parcial ao longo de um dos

bordos da laje, não considerado no cálculo, a armadura superior deverá ser capaz

de resistir pelo menos a 25% do Mmáx+ no vão adjacente.

c) Armaduras de Canto

Nos cantos em que os 2 bordos concorrentes são simplesmente apoiados, surgem

momentos torsores. Deste modo deve ser colocada uma armadura para controlar

uma possível fendilhação devida a esses momentos. Esta armadura suplementar

só será necessária na face superior, já que na face inferior a necessidade de

prolongar metade da armadura máxima no vão, até ao apoio, vai cobrir este efeito.

Pág. 68

d) Armaduras de Bordo Livre

Quando numa laje existe um bordo livre devem dispôr-se armaduras que

melhorem a resistência dessa zona, evitando a danificação das arestas devido a

eventuais acções concentradas.

O REBAP ( artº 109 ) indica como mínimo da armadura transversal:

0,05d para A235 ( d em cm )

Ast (cm2/m) ≥

0,025d para A400, A500 ( d em cm )

s ( espaçamento ) ≤ 35 cm ( recomenda-se s ≤ mín ( h, 20 cm ) )

Pág. 69

Pág. 70

I.2.7.2 – Lajes Armadas em duas direcções

No caso de lajes armadas em duas direcções ( ly/lx ≤ 2 ) há que considerar os

esforços segundo as duas direcções e portanto colocar armaduras segundo

ambas.

• Disposição de Armaduras

Numa laje armada em 2 direcções a armadura que fica orientada segundo a

direcção em que se desenvolvem os maiores esforços deve ser colocada de modo

a funcionar com o maior braço, isto é, será sempre a armadura exterior.

• Disposições Tipo de Armaduras

A distribuição de armaduras é função da distribuição de esforços. As dispensas de

armaduras são efectuadas de acordo com as indicações do REBAP.

À semelhança do já apresentado para as lajes armadas numa só direcção,

também se apresentam de seguida algumas disposições tipo para as lajes

armadas em duas direcções, válidas para situações correntes de vãos e cargas

uniformemente distribuídas. Nos esquemas seguintes só se apresentam as

armaduras principais e de distribuição, apresentando-se numa fase posterior as

armaduras suplementares para controle de fendilhação.

As regras básicas na disposição de armaduras serão basicamente as mesmas já

utilizadas no caso das lajes armadas numa só direcção.

Pág. 71

a) Laje Isolada apoiada no contorno

b) Painel Interior ( todo encastrado no contorno )

Pág. 72

c) Painel de Bordo ( 3 bordos encastrados e 1 apoiado )

Pág. 73

d) Painel de Canto ( 2 bordos encastrados e 2 apoiados )

Pág. 74

e) Painel com 3 bordos encastrados e 1 bordo livre

Pág. 75

É de referir que no caso da existência de bordo livre as dispensas de armaduras

não são idênticas nas 2 direcções, passando a ser função de cada vão.

Isto deve-se ao facto da existência do bordo livre conduzir a distribuições de

esforços muito diferentes nas 2 direcções.

Pág. 76

f) Painel com 3 bordos apoiados e 1 bordo livre

• Disposições Alternativas

Tratando-de de disposições tipo de armaduras é sempre possível adoptar

disposições alternativas, mais ou menos simples de aplicar em obra , continuando

a satisfazer todas as regras para disposição de armaduras impostas pela

regulamentação.

Pág. 77

. Armaduras Superiores em lajes de grandes vãos ( superiores a 6m )

Em lajes de vãos maiores pode ser justificável em termos de economia de aço,

adoptar uma disposição de armaduras negativas que corresponde a efectuar a sua

dispensa em 2 fases.

. Disposição de Armaduras Superiores sem recurso a armaduras de distribuição

Neste tipo de disposição metade da armadura resistente numa direcção é

prolongada passando a constituir a armadura de distribuição das armaduras

Pág. 78

resistentes da direcção perpendicular. Esta disposição justifica-se pois os

momentos negativos junto ao bordo são inferiores aos da zona central.

A principal vantagem desta disposição de armaduras é construtiva pois é mais

simples requerendo um menor número e gama de varões, correspondendo por

isso a menores custos de montagem.

No entanto a quantidade total de aço é ligeiramente superior.

. Disposição de Armaduras Superiores com levantamento de varões

Podem também ser adoptadas soluções com levantamento de varões, em que os

varões dispensados na face inferior são levantados de modo a que possam

constituir parte da armadura superior.

Esta solução muito em voga há alguns anos atrás, não traz grandes vantagens já

que se traduz num acréscimo de mão de obra na dobragem dos varões a levantar,

não compensada pelo número de cavaletes ou estribos de montagem que se

poupam.

Como regra para facilitar a montagem de armaduras deve procurar utilizar-se a

menor gama possível de diâmetros de varões e de espaçamentos. Deve também

procurar definir-se o comprimento dos varões de forma a utilizar, com o mínimo de

perdas, os varões com comprimento Standard de 12 m.

Pág. 79

• Armaduras Suplementares

a) Armadura de Canto

Na figura seguinte indica-se a deformação de um painel de laje apoiado no

contorno, no caso de não estar impedido o levantamento da laje.

Nas situações usuais o deslocamento dos cantos está impedido pelas vigas,

pilares ou paredes, pelo que surgem forças de reacção no canto Ro associadas a

momentos torsores nas direcções dos bordos, Mxy = Ro/2

A acção deste esforço produz uma superfície torsa com curvatura nas 2 direcções

de sinais contrários.

A acção da reacção de canto produz uma curvatura negativa segundo a direcção

AA’. A carga distribuída vertical provoca uma curvatura positiva segundo a

direcção BB’.

Pág. 80

Este efeito corresponde a momentos flectores principais positivos e negativos de

valores iguais ao momento torsor e a actuarem com direcções que fazem um

ângulo de 45º com os bordos laterais.

Na figura seguinte indicam-se estes esforços e as tracções e fendilhação que eles

provocam.

Para absorver as tracções devidas a estes esforços e evitar que a fendilhação seja

elevada é necessário colocar armaduras junto às 2 faces da laje ( armadura de

canto ) segundo a direcção das tensões de tracção.

Na prática é usual a colocação de uma malha equivalente ortogonal por ser a mais

simples.

Pág. 81

Esta malha com uma área de armadura As distribuída em cada direcção tem uma

resistência segundo a direcção diagonal igual à de uma armadura com igual área

distribuída segundo essa diagonal.

É de salientar também que os cantos das lajes são sensíveis aos efeitos de

restrição que os pilares e vigas de contorno oferecem à deformação por retracção

do betão, ou a variações de temperatura, podendo verificar-se fendilhação nestas

zonas com direcções diferentes das devidas ao efeito de canto. A distribuição de

armaduras ortogonais indicada é também conveniente para o controle da

fendilhação devida a estes efeitos.

Por exemplo, numa laje quadrada, apoiada em todo o contorno, o valor do

momento torsor é da ordem de grandeza do momento flector positivo no vão

( Mx+ = My+ = 0.042 pl2 e Mxy = 0.04pl2 ).

Assim para lajes armadas em 2 direcções, junto aos cantos formados por 2 bordos

apoiados, é recomendada uma armadura, com uma área igual à da maior

armadura de momentos positivos, disposta numa área quadrada de lado igual a ¼

do menor vão.

Nos casos em que apenas um dos bordos é apoiado o momento torsor é menor,

razão porque se coloca uma armadura inferior. Se os 2 bordos são encastrados

então não existe momento torsor.

As figuras seguintes esquematizam as armaduras de canto nas várias situações

de painéis.

1) Painel Isolado

Pág. 82

2) Painel de Canto

3) Painel de Bordo

Pág. 83

4) Painel com 3 bordos apoiados e 1 bordo livre

Para relações ly/lx menores, os momentos principais oblíquos são fundamentais

para o funcionamento da laje, havendo necessidade nesses casos de dispor de

uma importante armadura de canto para uma eficiente ancoragem da reacção Ro.

esta armadura deve ser obtida com base no cálculo, através da distribuição de

momentos.

Pág. 84

Todos os esquemas acima representados, à excepção do caso anterior, dizem

respeito apenas às armaduras de canto a colocar na face superior.

Na face inferior da laje, se não for dispensada a armadura principal junto aos

apoios, como foi indicado nas disposições tipo, não se torna necessário nenhum

reforço da armadura junto do canto.

Nos cantos em que os 2 lados são apoiados, a laje tende a desligar-se do apoio

( levantamento do canto ) . Deste modo se não existir uma força de compressão

( parede ou pilar ) é necessário garantir a ligação da laje ao apoio através de uma

conveniente pormenorização das armaduras. Esta ligação pode ser efectuada

ataravés da amarração da armadura de canto no elemento de suporte.

b) Armadura Superior junto aos bordos simplesmente apoiados

Pág. 85

Segundo o EC2 num apoio extremo da laje, como já se referiu, a armadura

superior deverá ser capaz de resistir pelo menos a 15% do Mmáx+ no vão

adjacente.

• Armaduras de Esforço Transverso

Em geral, uma laje deve ser dimensionada de modo que não sejam necessárias

armaduras de esforço transverso. Porém, nos casos em que tal armadura é

necessária, deve adoptar-se uma armadura mínima, a qual pode ser constituída

por estribos e/ou varões inclinados.

Portanto se Vsd > Vcd com Vcd = 0.6.(1.6-d). ζ1. bw.d será necessária

armadura de esforço transverso.

Normalmente as lajes com problemas de esforço transverso, são as lajes de muros

de suporte de caves com vários pisos, por exemplo, quando há limitações

arquitectónicas de espessura nos pisos inferiores.

AÇO ρwmín

A235 0,16%

A400 0,10%

A500 0,08%

ρw = Asw / bw.s.sen α

A armadura de esforço transverso deve obedecer aos seguintes

condicionamentos:

Se Vsd ≤ 1/3. ζ2 . d a armadura pode ser realizada somente com varões

inclinados

Se Vsd > 1/3. ζ2 . d pelo menos a armadura mínima deve ser realizada

com estribos

Os limites máximos do espaçamento das armaduras transversais, quer na direcção

do vão, quer transversalmente são:

Armaduras Direcção do vão Transversalmente

Estribos 0.6d 1.5d ( ≤ 60 cm )

Pág. 86

Varões inclinados a 45º 1.2d 1.5d ( ≤ 60 cm )

Não é aconselhável colocar estribos com afastamento entre ramos superior a d.

. Solução com Estribos

. Solução com Varões Inclinados

Pág. 87

Segundo o EC2 uma laje que necessite de armaduras de esforço transverso deve

ter pelo menos h=200 mm.

Caso se conclua que a laje precisa de armaduras de esforço transverso, então

dever-se-á pelo menos colocar a armadura mínima dada por:

ρw,mín = 0,08. √fck / fyk ( idêntica à das vigas )

No caso duma laje com armaduras de esforço transverso o esforço transverso

resistente virá:

VRd,s= Asw/s. z. fywd. (cotθ+cotα). senα com 1≤cotθ≤2,5

VRd,máx = bw. z. ν. fcd. (cotθ+cotα) / ( 1+cot2θ)

Sendo:

α – ângulo formado pela armadura de esforço transverso com o plano médio da

laje

θ – ângulo formado pela escora comprimida de betão com o plano médio da laje

Asw – área da secção tranversal das armaduras de esforço transverso

s - espaçamento dessas armaduras

fywd- valor de cálculo da tensão de cedência das armaduras de esforço transverso

v = 0,6.(1-fck/250) (coeficiente de redução para a resistência ao esforço

transverso devido à fendilhação)

Se │Vsd│ ≤ 1/3 . Vrd,max a armadura de esforço transverso poderá ser constituída

exclusivamente por varões inclinados.

O espaçamento longitudinal máximo de estribos é de 0,75.d

O espaçamento longitudinal máximo de varões inclinados é de d

O espaçamento transversal máximo entre armaduras de esforço transverso é de

1,5.d

Pág. 88

I.2.8 – ESCADAS

I.2.8.1- Principais Tipos e respectivos Modelos de Cálculo

As escadas constituem quase sempre casos particulares de lajes armadas numa

só direcção.

Seguidamente apresentam-se alguns dos principais tipos de escadas e respectivos

modelos de funcionamento estrutural.

A partir da compreensão da definição destes modelos, é possível para qualquer

outro tipo de escada, esquematizar o respectivo modelo de cálculo.

1. Escada com Patins apoiados na extremidade ( sem Bomba)

As cargas e os vãos deverão sempre ser contabilizados em projecção horizontal.

Em termos de apoios deverá sempre considerar-se a possibilidade de

deslocamento de um dos lados por forma a que não surjam momentos negativos

nas mudanças de direcção ( ligação lanço-patim ).

Pág. 89

2. Escada com Patins apoiados na extremidade ( com Bomba)

3. Escada com Patins em bordo livre com apoios laterais ( sem Bomba )

Pág. 90

4. Escada com Patins em bordo livre com apoios laterais ( com Bomba )

5. Escadas em consola

a) Patins em consola

Pág. 91

b) Lanços em consola

c) Toda a Escada em consola

Pág. 92

Neste último caso, em que toda a escada está em balanço, a análise estrutural tem

de ser feita por um programa tridimensional de elementos finitos ou por recurso a

formulário próprio para este tipo de escadas que é possível encontrar em

bibliografia especializada.

Uma análise simplificada conduziria a dimensões e densidades de armadura

incomportáveis.

I.2.8.2- Determinação das cargas nos lanços

Como já referido anteriormente, as cargas nos lanços deverão ser contabilizadas

em projecção horizontal, pelo que a forma mais simples de avaliação daquelas por

metro de largura de lanço será:

α = ângulo de inclinação da escada

a = altura do degrau ( espelho )

b = largura do degrau ( cobertor )

h = espessura do lanço

hv = espessura do lanço na vertical

α = arctg (a/b )

hv = h/ cos α

Cargas Permanentes ( em proj. horizontal )

• peso próprio do lanço = 25 x h/ cos α [ KN/m2 ]

• peso próprio do revestimento [ KN/m2 ]

• peso próprio dos degraus = 25 x a/2 [ KN/m2 ]

Pág. 93

Sobrecarga ( em proj. horizontal )

S= 3 KN/m2 em acessos privados

S= 5 KN/m2 em acessos públicos

I.2.8.3- Pormenorização de armaduras

As regras de disposição de armaduras nas escadas são as já adoptadas nas lajes

armadas numa só direcção.

Por exemplo para a escada correspondente ao 1º tipo dos anteriormente

analisados, a pormenorização seria:

Um aspecto muito importante na pormenorização das armaduras nas escadas é a

necessidade de absorção da força de desvio vertical e descendente, e, portanto

contra a segurança, que se gera na ligação do lanço ao patim superior.

Para neutralizar essa força, as armaduras inferiores do lanço e do patim têm de ser

prolongadas do respectivo comprimento de amarração conforme pormenor da

figura seguinte.

Pág. 94

Outro aspecto que levanta dúvidas é a necessidade ou não, de colocar armaduras

nos degraus.

Essas armaduras servem apenas para protecção mecânica do degrau,

nomeadamente da aresta, face a impactos mais violentos, pelo que caso sejam

colocadas deverão seguir as regras das armaduras de bordo livre, vistas

anteriormente.

É usual a colocação deste tipo de armaduras quando o revestimento dos degraus

não assegure a protecção mecânica destes.

Pág. 95

I.2.9 – LAJES SUJEITAS A CARGAS CONCENTRADAS

I.2.9.1- Lajes Armadas numa só direcção

No caso da acção de uma carga concentrada importante, se a carga estiver

suficientemente afastada dos bordos paralelos à direcção do vão, o cálculo é feito

considerando uma faixa de largura bm , correspondendo à largura de influência da

carga.

Esta largura de influência da carga designa-se por largura efectiva.

É determinada a partir de:

bm = by + b1

conforme a figura

ax, ay – dimensões em planta da base de actuação da carga

bx, by – dimensões da base de actuação da carga ao nível do plano médio da laje,

considerando uma degradação da carga a 45º

Pág. 96

by = ay + (s + d/2 ) x 2 bx = ax + (s + d/2 ) x 2 em que: s = espessura do revestimento da laje sob a carga ( no caso em que a carga

concentrada é devida à existência de um pilar s = 0 )

d = altura útil da laje

Por sua vez b1 pode ser obtido a partir do seguinte quadro presente no REBAP

( artº 103 ) dependendo como se pode ver das condições de apoio e do tipo de

esforço a determinar.

A armadura específica para a carga concentrada, embora calculada considerando a

largura bm, deve ser distribuída, segundo o REBAP, numa faixa cy com largura de

0,5bm não inferior a by. Além desta há que colocar uma armadura de distribuição no

valor de 60% daquela, distribuída numa faixa cx de largura 0,5bm, não inferior a bx,

disposta em toda a largura bm e amarrada para além desta, conforme a figura

seguinte.

Pág. 97

1 – Ax + calculada para uma viga equivalente de altura h e largura bm ( concentrada

numa largura cy )

2- Armadura de distribuição igual a 60% de Ax+ ( concentrada numa largura cx )

cx = Máx ( 0,5bm;bx )

cy = Máx ( 0,5bm;by )

No caso de uma consola a pormenorização de armaduras deve ser:

1- Armadura principal superior concentrada numa largura cy

2- Armadura de distribuição na face inferior igual a 60% da armadura principal superior

e disposta numa largura cx

Pág. 98

CORTE

I.2.9.2- Lajes Armadas em 2 direcções

O dimensionamento e distribuição de armaduras, no caso de lajes armadas em 2

direcções submetidas a cargas concentradas, pode ser analisado considerando-se

uma “grelha” de faixas perpendiculares, em que a largura das faixas se determina

segundo as regras vistas para as lajes armadas numa só direcção.

As armaduras obtidas a partir do cálculo da grelha de vigas equivalentes deverão ser

distribuídas nas larguras cy e cx definidas de acordo com as regras vistas para as

lajes armadas numa só direcção.

Pág. 99

I.2.10 – ABERTURAS EM LAJES

A análise da capacidade resistente de uma laje com aberturas pode tornar-se bastante

complicada, exigindo por vezes uma análise de elementos finitos. O seu

comportamento depende muito da posição, forma e dimensão da abertura.

Quando as dimensões das aberturas não excedem determinados limites, podem

adoptar-se regras simplificadas para a pormenorização das zonas próximas das

aberturas.

Indicam-se a seguir os limites máximos a partir dos quais não é aconselhável a

utilização de regras simplificadas.

a) Laje armada numa direcção

. Abertura Isolada

b ≤ lx / 5

b ≤ ly / 4

Pág. 100

b) Laje armada em 2 direcções

. Abertura Isolada

Máx. ( bx ; by ) ≤ Mín ( lx ; ly ) / 5

Quando os limites máximos atrás indicados não são excedidos, o

dimensionamento da laje é efectuado admitindo-se não existirem aberturas, sendo

suficiente passar pelo lado destas uma armadura de área igual à que é

interrompida pela abertura.

Pág. 101

ax = by/2 + lbnet

ay = bx/2 + lbnet

No caso das lajes armadas numa só direcção, a armadura principal junto ao bordo

da abertura deve ser prolongada até aos apoios.

Quando as aberturas são de dimensões relativamente grandes ( > 0,5m ) é

conveniente colocar além da armadura atrás indicada, uma outra junto aos cantos,

segundo a diagonal, para melhor controlar eventuais fendas.

No caso de pequenas aberturas próximas, o conjunto pode ser encarado como

uma única abertura.

b ≤ 1,5 a

b = maior largura de abertura

a = distância entre aberturas

No caso das dimensões das aberturas serem superiores aos valores anteriormente

indicados o dimensionamento das armaduras nas zonas adjacentes às aberturas

Pág. 102

terá de ser feito a partir de análises mais exaustivas recorrendo a um programa de

elementos finitos, ou adoptando métodos mais simplificados, como, por exemplo, o

método das bandas.

Este método, tal como a sua designação sugere, consiste em idealizar nessa zona

junto à abertura um modelo de funcionamento equilibrado, com bandas ou faixas

de laje descarregando umas nas outras, até canalizar todas as cargas para os

apoios.

No cálculo de escadas em que se canalizam as cargas dos lanços para os patins

e destes para os apoios laterais, é no fundo o mesmo método que se utiliza.

. Modelo para a aplicação do método das bandas numa laje armada numa única

direcção

Na figura seguinte apresenta-se um dos possíveis modelos equilibrados para a

zona da abertura utilizando o método das bandas.

Este modelo não será obviamente o único possível, sendo no entanto o que

garante uma melhor distribuição das armaduras de reforço junto à abertura.

Uma chamada de atenção para as bandas adjacentes à abertura, que deverão ter

larguras não muito grandes ( 0,30m a 0,50m ), por forma a obter-se o efeito de

reforço, com concentração de armaduras, pretendido.

Pág. 103

O cálculo das bandas de largura superior a 1m poderá ser feito por metro de largura,

enquanto o das bandas de reforço, de largura inferior a 1m, deverá ser feito para essa

largura, como se se tratasse de uma viga.

Pág. 104

I.3 – LAJES FUNGIFORMES

As lajes fungiformes, como já se referiu anteriormente, têm de ser

dimensionadas, não só para as acções verticais, mas também para as acções

horizontais, pois o efeito de pórtico é assegurado pela própria laje.

I.3.1 – MÉTODOS DE ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO

Relativamente às lajes fungiformes podemos dividir os diferentes métodos de cálculo

em 2 grupos consoante considerem ou não uma análise de elementos finitos.

Temos assim:

Métodos recorrendo a elementos finitos

• Análise do sistema estrutural global ( lajes,vigas, caso existam, paredes e

pilares ) considerando os pilares e vigas como elementos tipo “frame” ( barra )

e as paredes e lajes como elementos tipo “shell” ( elementos de superfície).

Este tipo de análise permite a consideração das acções horizontais e a

obtenção da interacção laje-pilar, muito importante para o cálculo de lajes

deste tipo.

• Análise do pavimento em laje fungiforme por meio de elementos finitos, sendo

o efeito dos pilares tido em conta apenas nas condições de fronteira, ou seja,

os pilares são substituídos por apoios elásticos de rigidez equivalente. Este tipo

de análise tem a vantagem de envolver modelos de cálculo sensivelmente

menores que o método anterior. No entanto só é possível considerar as acções

verticais.

Métodos Simplificados

• Análise da laje recorrendo a um modelo de grelha equivalente. Neste caso os

pilares são substituídos também por apoios elásticos de rigidez equivalente e

só é possível a análise da acção das cargas verticais. A distribuição de

esforços que se obtém não é igual à distribuição elástica, mas verifica o

equilíbrio, o que como vimos face ao teorema estático da análise plástica, a

torna válida para o dimensionamento.

Pág. 105

• Análise do sistema estrutural global através de modelos de pórtico equivalente.

Neste caso e desde que, a regularidade, de forma da laje e implantação dos

pilares, o permita, a estrutura é dividida em pórticos planos justapostos

segundo as 2 direcções. Esta análise permite a consideração do efeito das

acções horizontais. Também aqui a distribuição de esforços obtida é diferente

da elástica, sendo no entanto equilibrada.

É este último método, designado por método dos pórticos equivalentes e que o

REBAP aborda no artº 119, que se desenvolve seguidamente.

Ao contrário das lajes vigadas, nas lajes fungiformes os maiores esforços

devidos às acções verticais surgem segundo o maior vão ( direcção principal

de flexão ) porque as faixas entre pilares, no menor vão, são mais rígidas.

Na figura seguinte indica-se um possível caminho de cargas.

Pág. 106

Como se pode ver a carga do vão que é transmitida numa direcção é conduzida até

aos pilares através de bandas perpendiculares a essa direcção que funcionam como

vigas.

Deste modo a transmissão da carga segundo cada direcção no vão e nas bandas,

pode ser resumida no quadro seguinte:

x y

vão α.q.ly (1-α).q.lx

bandas 2.(1-α).q.ly/2 2.α.q.lx

total q.ly q.lx

O que permite concluir que nestas lajes há necessidade de considerar a totalidade da

carga nas 2 direcções.

I.3.2 – MÉTODO DOS PÓRTICOS EQUIVALENTES

Como já anteriormente se referiu, a aplicação deste método de cálculo de esforços em

lajes fungiformes, exige uma regularidade perfeita da laje quer em termos de forma

( planta rectangular ) , quer em termos da implantação dos pilares, definindo

alinhamentos perfeitos nas 2 direcções de cálculo.

A existência de grandes aberturas, uma forma em planta diferente ou pilares fora de

alinhamentos, inviabilizará a sua utilização.

Segundo este método, a estrutura é dividida em 2 conjuntos independentes de

pórticos em direcções ortogonais.

Os principais problemas deste método são a definição das larguras equivalentes de

laje a adoptar nos pórticos e, após o cálculo, a distribuição pela laje dos esforços

obtidos em cada modelo de pórtico.

Na figura seguinte representa-se a planta de um pavimento em laje fungiforme, com a

respectiva definição dos pórticos equivalentes em cada uma das direcções.

Como se pode ver a cada alinhamento de pilares, corresponde um pórtico, sendo a

largura das travessas definida, considerando metade da distância entre alinhamentos,

para cada lado.

Pág. 107

Teríamos neste caso, 4 pórticos equivalentes segundo a direcção X e 5 pórticos

equivalentes segundo a direcção Y.

Apresentam-se seguidamente os modelos simplificados para acções verticais e para

acções horizontais.

Para as acções verticais a totalidade da carga é considerada em cada uma das

direcções, sendo a largura da travessa a definida em planta, metade da distância para

os alinhamentos adjacentes para cada lado.

Como se pode constatar a carga distribuída total no pórtico será em [KN/m],

resultando do produto da carga uniformemente distribuída na laje [KN/m2] pela largura

total da travessa [m].

Pág. 108

Para as acções horizontais, de acordo com o REBAP, deve apenas considerar-se

metade da rigidez das travessas.

Segundo o EC2, para acções horizontais, a rigidez das travessas deve descer para

40% do valor total.

A justificação para esta recomendação é a de que sob o efeito destas acções a zona

afastada do alinhamento dos pilares é dificilmente mobilizável.

Para além disso essa redução para metade ou 40% da rigidez das travessas, traduzir-

se-á num acréscimo de segurança já que dessa forma se penalizam mais os pilares,

como convém em análises face a acções horizontais.

A resistência a forças horizontais de um edifício com lajes fungiformes é conseguida

pelo efeito de pórtico, o que obriga a uma transmissão de momentos entre a laje e o

pilar. O facto, de no cálculo se tomar só metade da rigidez das travessas para as

acções horizontais, reduz os momentos que são transmitidos entre o pilar e a laje

tornando-os mais realistas.

Este critério pretende concentrar nas faixas de pilares, os esforços e

consequentemente a capacidade resistente ajustando-se assim melhor à sua

distribuição efectiva.

Segundo o EC2 o valor do momento que se pode transmitir entre a laje e os pilares de

bordo ou de canto deve ser limitado ao momento resistente de uma secção

rectangular igual a 0,17.be.d2.fck .

Sendo be a largura efectiva definida de acordo com a figura seguinte:

A-Bordo da Laje

Pág. 109

Aos diagramas de esforços obtidos elasticamente, devem somar-se redistribuições de

modo a que os momentos transmitidos entre a laje e esses pilares não ultrapassem

aquele limite.

De acordo com o REBAP, para efeitos do cálculo da distribuição de armaduras na laje,

considera-se em cada pórtico uma faixa central de largura ly2/4 + ly3/4 e 2 faixas

laterais de largura ly2/4 e ly3/4, isto para o pórtico anteriormente analisado: PTX3

Segundo o EC2 no caso dos vãos lx e ly serem diferentes, a largura da faixa central

sobre os pilares deverá ser tomada nas 2 direcções igual à metade do menor dos

vãos, sendo a largura das faixas laterais ajustada em conformidade. Quando existirem

capitéis de largura superior a 1/3 do menor vão pode considerar-se que a largura da

faixa central sobre os pilares é a largura dos capitéis, ajustando-se a largura das faixas

laterais em conformidade.

Pág. 110

A – Faixa Central

B – Faixa Lateral

A distribuição pelas faixas central e lateral, do momento total obtido no modelo de

pórtico deve ser feita nas seguintes percentagens:

Mom. Flector FC – Faixa Central FL – Faixa Lateral

M+ 55% 45%

M- 75% 25%

Segundo o EC2 essa distribuição deverá ser:

Mom. Flector FC – Faixa Central FL – Faixa Lateral

M+ 50 - 70% 30 - 50%

M- 60 – 80% 20 – 40%

Tal repartição tem em consideração de uma forma simplificada a distribuição real dos

esforços.

Na figura seguinte indica-se a distribuição, dos momentos negativos num dos nós do

pórtico PTX3, ao longo da largura da travessa, obtida por uma solução de elementos

finitos e a distribuição simplificada proposta pelo REBAP.

Pág. 111

Quando se analisam as lajes fungiformes pelo método dos elementos finitos ou se

simula o seu comportamento através de uma grelha plana, obtêm-se valores de M-

sobre os pilares demasiado gravosos para o dimensionamento, correspondendo a um

“pico” do diagrama de momentos.

Considerando que o andamento dos momentos é arredondado , o dimensionamento

das armaduras pode ser feito para o valor médio do momento na faixa central.

Na figura seguinte apresenta-se uma outra técnica para diminuição do pico de M-

sobre o pilar, tendo em conta a largura do pilar na sua ligação à laje.

No caso, relativamente comum, da travessa do pórtico extremo se apoiar numa viga

de bordadura de altura superior a 1.5xh(laje) a faixa adjacente à viga ( faixa central do

pórtico extremo ) deve ser dimensionada para ¼ dos momentos que seriam

necessários no caso de não existência da viga.

A viga de bordadura, por sua vez, deve ser dimensionada para a carga total atribuída

à faixa adjacente mais as cargas próprias aplicadas na viga ( p. ex. paredes de

fachada do edifício ).

Pág. 112

I.3.3 – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO

I.3.3.1 – Mecanismo de Rotura por Punçoamento

O punçoamento ocorre em lajes fungiformes, em sapatas flexíveis e em qualquer laje

quando sujeita a uma carga concentrada.

Pode associar-se este estado limite último, à formação de um tronco de cone que tem

tendência a desligar-se do resto da laje e resulta da interacção de efeitos de corte e

flexão na zona da laje próxima do pilar.

A rotura por punçoamento constitui um mecanismo de colapso local associado a uma

rotura frágil ( sem aviso prévio ) e que pode gerar um colapso progressivo da

estrutura, pois a rotura junto a um pilar implica um incremento de carga em pilares

vizinhos.

As principais causas duma rotura deste tipo têm estado associadas a acções mais

fortes do tipo sísmico e são normalmente originadas por:

• Cálculos incorrectos ou pura e simplesmente inexistentes

• Má betonagem do nó de ligação laje-pilar

• Execução de aberturas na laje, junto ao pilar, não previstas no projecto da laje.

Normalmente ocorrem, como se disse, por acção de sismos mais fortes, já que nesse

caso aumenta a excentricidade da carga a transmitir aos pilares, agravando a situação

de punçoamento.

Pág. 113

I.3.3.2 – Verificação da Segurança (REBAP)

A verificação da segurança em relação a este estado limite último é feita em termos

de esforços de corte por unidade de comprimento, numa zona designada por contorno

crítico de punçoamento e que se define a uma distância d/2 da face do apoio.

v sd ≤ v rd

v sd – esforço de corte unitário de cálculo por punçoamento por unidade de

comprimento do contorno crítico

v rd – esforço de corte unitário resistente por punçoamento por unidade de

comprimento do contorno crítico

v sd = V sd / u para cargas centradas ( a laje só transmite esforço axial ao pilar )

v sd = V sd / u + v’ sd para cargas excêntricas ( a laje transmite ao pilar esforço axial e

momento flector )

em que:

V sd – valor de cálculo do esforço global de punçoamento ( carga axial transmitida pela

laje ao pilar )

u – perímetro ou contorno crítico de punçoamento

v’ sd - termo corrector de penalização pela existência de excentricidade

Relativamente ao esforço resistente, por unidade de comprimento, quando não

existem armaduras de punçoamento tem-se:

v rd = ( 1,6 – d ). ζ 1 . d sendo que: 1,6 – d ≥1,0

Esta forma de definir a resistência ao punçoamento é um método indirecto e que não

tem em consideração o mecanismo de rotura.

Como se pode ver o esforço de corte resistente por punçoamento por unidade de

comprimento, apenas devido ao betão, é superior ao correspondente valor por esforço

transverso, que é 60% daquele.

Pág. 114

. Determinação de u ( contorno crítico de punçoamento )

. Pilares Interiores

1. Pilares Rectangulares Não Alongados ( a ≤2b )

u = 2a + 2b +π.d

2. Pilares Circulares

u = π. ( D + d )

Pág. 115

3. Pilares de Secção Composta

4. Pilares Rectangulares Alongados ( a >2b )

Para pilares alongados o mecanismo resistente nas zonas afastadas dos cantos é por

esforço transverso e portanto mais desfavorável.

b1 = Mín ( b; 2.8d )

a1 = Mín ( a; 2b; 5.6d - b1 )

u1 – parte do contorno crítico associada à resistência por punçoamento

Pág. 116

u2 – parte do contorno crítico associada à resistência por esforço transverso

Como o esforço de corte resistente por esforço transverso é 60% do correspondente

valor por punçoamento, virá:

u= u1 + 0.6.u2

. Pilares Próximos do Bordo da Laje

1. Junto a Bordo

2. Junto a Canto

Pág. 117

. Pilares Próximos de Aberturas

1. Junto a Abertura (1)

2. Junto a Abertura (2)

. Punçoamento provocado por Cargas Excêntricas

A resistência ao punçoamento sob o efeito de uma carga excêntrica é um tema ainda

hoje sob investigação e cuja formulação tem vindo a sofrer bastantes alterações nos

últimos anos ( p. ex. há grandes diferenças entre a 1ª versão do EC2 e a última a ser

publicada em breve ).

Pág. 118

A excentricidade do ponto de aplicação da carga em relação ao centro de gravidade

da área limitada pelo perímetro crítico ocorre em particular em pilares de bordo ou

canto, em sapatas excêntricas e em resultado da acção sísmica nas estruturas.

O momento aplicado na laje é transmitido ao pilar em parte por flexão e em parte por

torção, havendo que garantir essa transmissão de esforços através de uma

pormenorização adequada de armaduras.

Quando a excentricidade da carga é devida à excentricidade da área carregada ( pilar

de bordo ou canto para a acção das cargas verticais ) a verificação da segurança ao

Estado Limite Último de Punçoamento pode ser feita de acordo com recomendações

do FIP-CEB, reduzindo a extensão do contorno crítico e considerando a equação da

verificação da segurança para cargas centradas

1. Pilar de Bordo

2. Pilar de Canto

Pág. 119

Contudo, a verificação da segurança ao punçoamento com cargas excêntricas pode

ser sempre realizada pela estimativa do esforço de corte máximo, a partir da

consideração das excentricidades entre o ponto de aplicação da carga e o centro de

gravidade da área limitada pelo perímetro crítico. Nesse caso deve considerar-se o

contorno crítico sem qualquer redução.

Para áreas carregadas rectangulares o REBAP indica:

v sd máx = V sd / u . [ 1 + 1.5 ( ІexІ + ІeyІ ) / √ ( bx.by ) ]

em que:

ex, ey – excentricidades segundo x e y do ponto de aplicação da carga relativamente

ao centro de gravidade da área limitada pelo contorno crítico

bx, by – dimensões segundo x e y da área limitada pelo contorno crítico

Pág. 120

Para áreas circulares:

v sd máx = V sd / u . [ 1 + 2 ( ІeІ ) / do ]

sendo:

e = √ ( ex2 ) + ( ey2 )

do – diâmetro do contorno crítico

Vejamos agora quais as alternativas que se colocam quando v sd > v rd :

• Se v rd < v sd ≤ 1.6.v rd Armaduras de Punçoamento: estribos ou

varões levantados

• Se v sd > 1.6.v rd - Aumento da espessura da laje : global ou local

( capitel )

-Aumento das dimensões do pilar: globais ou na

ligação à laje ( capitel )

O REBAP impõe que v sd máx = 1.6.v rd pelo que quando é ultrapassado este valor não é

possível a verificação da segurança recorrendo apenas ao dimensionamento de

armaduras específicas.

Pág. 121

. Lajes com Capitéis e Sapatas Flexíveis

. Capitéis Prismáticos ou Cónicos ( aumento da secção do pilar na ligação à laje )

O ângulo de abertura do capitel ( α ) deverá ser no máximo de 45º, pois acima disso

deixa de contribuir para a resistência ao punçoamento, conforme se observa na figura

seguinte.

. Capitéis Rectangulares ( aumento da espessura da laje junto ao pilar )

O capitel de um pilar centrado rectangular ( axb ) de apoio de uma laje de altura útil d,

deve ter como dimensões mínimas ( 5d + a ) x ( 5d + b )

Pág. 122

A verificação ao punçoamento deve ser feita para o 1º contorno crítico dentro do

capitel e a verificação ao esforço transverso para o 2º contorno crítico exteriormente

ao capitel.

. Laje Nervurada

. Sapata Flexível

No caso das sapatas flexíveis deve fazer-se uma redução no valor da força actuante

de punçoamento correspondente à reacção do terreno na área interior ao contorno

crítico.

Pág. 123

. Armaduras de Punçoamento

Como se viu anteriormente, caso v rd < v sd ≤ 1.6.v rd ,deverão dimensionar-se

armaduras específicas de punçoamento.

O dimensionamento das armaduras transversais de punçoamento deverá ser feito,

segundo o REBAP, para um esforço igual a ¾ da força de punçoamento actuante, tal

que:

Asp = ¾ v sd. u / fsyd . sen α ( com fsyd ≤ 350 Mpa )

Asp – área das armaduras de punçoamento

α – ângulo entre essas armaduras e o plano da laje

Este critério de dimensionamento apresentado pelo REBAP é discutível em particular

pela descontinuidade que gera para situações em que v sd ~ v rd

Noutros regulamentos, incluindo o EC2, tal não se verifica, com a definição de uma

armadura mínima, sempre que seja ultrapassada a resistência do betão, que vai

aumentando gradualmente à medida que v sd aumenta.

A limitação da tensão nas armaduras de punçoamento pretende melhorar a ductilidade

da ligação laje-pilar ( garantindo uma melhor resistência por corte ) e as condições de

amarração das armaduras.

As armaduras de punçoamento mais convenientes são os estribos, pois além da

resistência ao corte garantem a cintagem da zona comprimida e o consequente

aumento da resistência e deformabilidade dessa zona. Não é aconselhável o uso só

de varões inclinados.

Em qualquer caso há que garantir uma boa amarração para as armaduras de

punçoamento.

Pág. 124

I.3.3.2 – Verificação da Segurança (EC2)

O mecanismo de resistência ao punçoamento apresenta-se na figura seguinte:

Como se pode observar a força de punçoamento será equilibrada pela:

• Componente vertical da força de compressão radial (1)

• Componente vertical da força de atrito entre os inertes na fenda (2)

• Componente vertical da força do efeito de ferrolho (3)

Segundo o EC2 o modelo de verificação do punçoamento no Estado Limite Último é o

seguinte:

CORTE

A – secção de controlo básico

Pág. 125

PLANTA

B – Área básica de controlo Acont

C – Perímetro básico de controlo, u1

D – Área carregada Aload

rcont - outro perímetro de controlo

A resistência ao esforço transverso deve ser verificada na face do pilar e no perímetro

básico de controlo, u1. Se for necessária armadura de esforço transverso deve

determinar-se um outro perímetro uout,ef a partir do qual já não é necessária armadura

de esforço transverso.

As regras aqui formuladas são válidas para o caso de cargas uniformemente

distribuídas. Em casos especiais como sapatas a carga no interior do perímetro básico

de controlo contribui para a resistência do sistema estrutural e pode ser deduzida na

determinação do valor de cálculo da tensão de punçoamento.

Pág. 126

. Determinação de u1 (perímetro básico de controlo)

O perímetro básico de controlo u1 é definido a uma distância 2.d da área carregada,

devendo o seu traçado corresponder a um comprimento que seja o mínimo.

d=(dx + dy) /2 – a altura útil deverá ser a média das alturas úteis das 2 direcções

.Pilares interiores

. Pilares Próximos de Aberturas

Pág. 127

. Pilares Próximos do Bordo da Laje

Nestas situações o bordo livre não entra no cálculo do perímetro básico de controlo.

. Sapatas ou lajes de espessura variável

Em lajes ou sapatas de espessura variável, pode considerar-se como se vê na figura,

a altura útil d, como a altura útil no perímetro da área carregada

. Lajes com capitéis

Pág. 128

A – secção de controlo básico

B – área carregada Aload

No caso de lajes sobre capitéis circulares ou cónicos para os quais lH < 2hH só é

necessário verificar as tensões de punçoamento na secção de controlo exterior ao

capitel e tem-se:

rcont = 2.d + lH + 0,5.c

No caso de lajes sobre um pilar rectangular com um capitel rectangular com lH < 2hH e

de dimensões l1 = c1 + 2. lH1 e l2 = c2 + 2. lH2 com l1 ≤ l2, pode considerar-se rcont como o

menor dos seguintes valores:

rcont = 2.d + 0,56.√ l1. l2

rcont = 2.d + 0,69. l1

Também aqui só há que verificar o punçoamento para a secção de controlo exterior ao

capitel.

A – secções de controlo básico

B – área carregada Aload

Pág. 129

No caso de lajes sobre capitéis em que lH > 2.(hH + d) devem verificar-se as secções

de controlo, tanto no interior do capitel como na laje.

No caso de pilares circulares as distâncias desde o centro de gravidade do pilar até às

secções de controlo, são iguais a :

rcont,ext = 2.d + lH + 0,5.c

rcont,int = 2.(d + hH) + 0,5.c

. Verificação da resistência

A verificação da segurança em relação a este estado limite último é feita em termos

de verificações da tensão de punçoamento na face do pilar e no perímetro básico de

controlo u1. Como já se referiu, se for necessária armadura de esforço transverso deve

determinar-se um outro perímetro de controlo uout,ef a partir do qual a armadura de

esforço transverso já não seja necessária. Definem-se os seguintes valores de cálculo

da tensão de punçoamento ( em MPa) ao longo das secções de controlo.

v Rd,c – valor de cálculo da resistência ao punçoamento de uma laje sem armadura de

punçoamento, ao longo da secção de controlo considerada.

v Rd,cs – valor de cálculo da resistência ao punçoamento de uma laje com armadura de

punçoamento, ao longo da secção de controlo considerada.

v Rd,máx – valor de cálculo da resistência máxima ao punçoamento, ao longo da secção

de controlo considerada.

Assim devem efectuar-se as seguintes verificações:

1- No perímetro da área carrregada não deve ser excedido o valor máximo da tensão

de punçoamento

v sd ≤ v Rd,max

2- Não é necessária armadura de punçoamento se:

v sd ≤ v Rd,c

3- É necessária armadura de punçoamento se:

v sd > v Rd,c

No caso da reacção de apoio ser centrada em relação ao contorno de controlo a

tensão de punçoamento é igual a:

v sd = Vsd / ui . d

sendo:

Pág. 130

Vsd – valor de cálculo da reacção de apoio

ui – perímetro do contorno de controlo considerado

No caso da reacção de apoio ser excêntrica em relação ao contorno de controlo a

tensão de punçoamento virá:

v sd = β. Vsd / ui . d

1ª situação – Pilar rectangular interior com excentricidade apenas segundo um eixo

Neste caso β = 1 + k. (Msd/Vsd) . u1/ W1

em que:

u1 – perímetro básico de controlo

k – coeficiente dependente da relação entre as dimensões do pilar c1 e c2, sendo o seu

valor função da proporção do momento não equilibrado transmitido por esforço

transverso não uniforme e por flexão e torção.

Valores de k para áreas carregadas rectangulares

c1/c2 ≤0,5 1,0 2,0 ≥3,0

k 0,45 0,60 0,70 0,80

W1 – é função da distribuição de tensões tangenciais no perímetro básico de controlo

conforme a figura

Distribuição de tensões tangenciais devidas a um momento não equilibrado na

ligação entre uma laje e um pilar interior rectangular

u1

W1= ∫0 │e│.dl

dl – comprimento elementar do contorno

e – distância de dl ao eixo em torno do qual actua o momento Msd

Pág. 131

No caso de um pilar rectangular:

W1 = c12/2 + c1.c2 + 4 c2.d + 16.d2 + 2π.d. c1

Em que:

c1 – dimensão do pilar na paralela à excentricidade da carga

c2 – dimensão do pilar na perpendicular à excentricidade da carga

2ª situação – Pilar circular interior com excentricidades segundo um ou dois eixos

Neste caso β = 1 + 0,6. π.e / (D+4.d)

em que:

e = √(ex2 + ey

2)

D – diâmetro do pilar

3ª situação – Pilar rectangular interior com excentricidades segundo os dois eixos

Neste caso pode considerar-se que β ≈ 1 + 1,8. √ ((ex/by)2 +(ey/bx)

2)

Em que:

ex, ey – excentricidades segundo as direcções x e y provocadas respectivamente pelos

momentos em torno de y e em torno de x

bx, by – dimensões segundo x e y do perímetro básico de controlo

4ª situação – Pilar rectangular de bordo com excentricidade perpendicular ao bordo da

laje e dirigida para o interior da mesma ( momento devido a cargas verticais)

Considerando que no caso do pilar de bordo não há excentricidade na direcção

paralela ao bordo, pode considerar-se o esforço de punçoamento uniformemente

distribuído ao longo do perímetro de controlo u1* definido nas figuras seguintes para

pilares de bordo e de canto.

Pág. 132

Neste caso:

v sd = Vsd / u1*. d

5ª situação – Pilar rectangular de bordo com excentricidade perpendicular ao bordo da

laje dirigida para o interior da mesma ( momento devido a cargas verticais) e em

simultâneo excentricidade paralela ao bordo

Neste caso v sd = β. Vsd / u1*. d

Com β = u1 / u1* + k. epar . u1/ W1

Em que:

epar – excentricidade na direcção paralela ao bordo da laje provocada por momento

em torno do eixo perpendicular ao bordo

k – coeficiente obtido através do quadro anterior a partir da relação c1/2.c2

W1 = c22/4 + c1.c2 + 4 c1.d + 8.d2 + π.d. c2

6ª situação – Pilar rectangular de canto com excentricidade segundo os dois eixos e

para o interior da laje ( momentos devido a cargas verticais)

Neste caso v sd = β. Vsd / u1*. d

Com β = u1 / u1*

7ª situação – Pilar rectangular de bordo com excentricidade perpendicular ao bordo da

laje dirigida para o exterior da mesma ( momento devido a cargas horizontais)

Neste caso β = 1 + k. (Msd/Vsd) . u1/ W1

Em que:

W1 = c2.d + c1.c2/2 + c12/2 + 10.d2 + π.d. c1 – 2.d2. π

Pág. 133

8ª situação – Pilar rectangular de canto com excentricidade perpendicular ao bordo da

laje dirigida para o exterior da mesma ( momento devido a cargas horizontais)

Neste caso β = 1 + k. (Msd/Vsd) . u1/ W1

Em que:

W1 = c2.d + c1.c2/2 + c12/2 + 5.d2 + π.d. c1/2 –d2. π ( considerando excentricidade

segundo a direcção do lado c1)

No caso de estruturas em que a estabilidade lateral não depende do funcionamento

em pórtico das lajes e dos pilares e em que os vãos dos tramos adjacentes não

diferem mais de 25%, podem utilizar-se valores aproximados de β:

Pilar de Canto – β = 1,5

Pilar de Bordo - β = 1,4

Pilar Interior - β = 1,15

Resistência ao punçoamento de lajes e de sapatas de pilares sem armaduras de

esforço transverso

O valor de cálculo da resistência ao punçoamento é dado em MPa por:

v Rd,c = C Rd,c. k. (100.ρL. fck )1/3 + k1.σcp ≥ (vmín + k1.σcp)

em que:

CRd,c=0,18/ γc =0,18/1,5=0,12

K=1+√(200/d) ≤ 2, com d em mm

ρL = √( ρLx .ρLy) ≤ 0,02

ρLx e ρLy – percentagens de armaduras de tracção nas direcções x e y. Devem ser

calculadas como valores médios numa largura de laje igual à largura do pilar acrescida

de 3.d para cada lado

σcp= (σcx + σcy)/2 – tensões normais no betão na secção crítica de controlo nas

direcções x e y ( positivas se de compressão )

σcx = Nsd,x/Acx e σcy = Nsd,y/Acy

Nsd,x e Nsd,y – esforços normais nas faixas de laje sobre pilares interiores e esforço

normal na secção de controlo para pilares de bordo. O esforço pode ser resultante de

uma acção exterior ou do pré-esforço.

Ac – área de betão associada ao esforço Nsd considerado

k1= 0,10

vmin = 0,035.k3/2. fck1/2

Pág. 134

A resistência ao punçoamento de sapatas de pilares deve ser verificada nos

perímetros de controlo localizados a uma distância não superior a 2.d da periferia do

pilar.

No caso de acções concêntricas a força útil actuante é:

Vsd,red = Vsd - ∆Vsd

∆Vsd – reacção do terreno deduzida do peso próprio da sapata, no interior do perímetro

de controlo considerado

vsd = Vsd,red / u.d

v Rd,c = C Rd,c. k. (100.ρL. fck )1/3 .2.d/a ≥ (vmín .2d/a)

em que:

a – distância da periferia do pilar ao perímetro de controlo considerado

No caso de acções excêntricas:

vsd = Vsd,red / (u.d). [1 + k. (Msd/Vsd,red) . u/ W ]

em que k e W são obtidos como no caso de lajes com pilares com punçoamento

excêntrico.

Resistência ao punçoamento de lajes e de sapatas de pilares com armaduras de

esforço transverso

No caso em que seja necessária armadura de esforço transverso, esta deverá ser

calculada de acordo com:

v Rd,cs = 0,75. v Rd,c + 1,5.(d/sr). Asw. fywd,ef. (1/u1.d) . senα

em que:

Asw – área de um perímetro de armaduras de esforço transverso em torno do pilar

(mm2)

sr – espaçamento radial dos perímetros de armaduras de esforço transverso (mm)

fywd,ef – valor de cálculo da tensão efectiva de cedência das armaduras de

punçoamento, dada por

fywd,ef = 250+0,25d(mm) ≤ fywd

α – ângulo entre as armaduras de punçoamento e o plano da laje

No caso de se adoptar apenas uma única fiada de varões dobrados para baixo, pode

considerar-se d/ sr = 0,67

Como já se referiu anteriormente, na vizinhança do pilar a resistência ao punçoamento

é limitada a um máximo de:

v sd = β. Vsd / u0 . d ≤ vRd,máx

sendo:

u0 – perímetro do contorno do pilar (mm) para pilar interior

Pág. 135

u0 = c2 + 3.d ≤ c2 + 2.c1 (mm) para pilar de bordo

u0 = 3.d ≤ c2 + c1 (mm) para pilar de canto

vRd,máx = 0,5. v . fcd com v = 0,6. (1 - fck/250)

O contorno de controlo para o qual não é necessária armadura de punçoamento, uout

ou uout,ef deve ser calculado por:

uout,ef = β. Vsd / v Rd,c. d

A armadura de punçoamento periféricamente mais exterior, deve ser colocada a uma

distância não superior a k.d ( k=1,5) no interior de uout ou uout,ef conforme as figuras

seguintes:

Pág. 136

I.3.4 – PRÉ-DIMENSIONAMENTO. DISPOSIÇÃO DE ARMADURAS

Em termos de pré-dimensionamento de lajes fungiformes o REBAP dá apenas

algumas indicações para lajes aligeiradas ou nervuradas.

• Largura mínima de nervuras – 5 cm ( usual 12 a 15 cm )

• Distância máxima entre faces de nervuras – 80 cm

• Espessura mínima da lajeta superior – 5 cm ( usual 7,5 cm a 10 cm )

Relativamente às armaduras neste tipo de lajes o REBAP indica que:

• As armaduras transversais de esforço transverso nas nervuras devem

satisfazer as disposições referentes a vigas

• As lajetas deverão ser armadas nas 2 direcções com varões cujo espaçamento

não exceda 25 cm.

Quanto a estas indicações referentes a armaduras pode dizer-se que é conveniente,

para o posicionamento das armaduras inferiores na nervura, a utilização de estribos.

No entanto a obrigatoriedade desta armadura transversal ser superior à mínima é

discutível, já que, nas zonas onde o esforço transverso pode ser absorvido sem

recurso a armaduras transversais, estas não seriam necessárias devido ao

comportamento global de laje.

Na figura seguinte resumem-se todas estas indicações.

Considerando estas indicações manifestamente insuficientes para qualquer pré-

dimensionamento, indicam-se seguidamente algumas fórmulas e aspectos a

considerar, na concepção inicial duma estrutura deste tipo.

• Espessura da laje:

- H ≥ l ( maior vão ) / 30 a 35 para lajes fungiformes maciças

- H ≥ l ( maior vão ) / 20 a 25 para lajes fungiformes aligeiradas

• Dimensão de pilares:

- a ≥ l ( maior vão adjacente ) / 16 ( 30 cm no mínimo )

• Zonas maciçadas em lajes aligeiradas:

- As zonas maciçadas à volta dos pilares deverão ter em planta uma largura

compreendida entre a + 5d e a largura das faixas centrais.

Pág. 137

Um critério aceitável é fazer l1/6 + l2/6 ( 1/6 do vão para cada lado do pilar )

- Na bordadura da laje quando não haja viga deverá haver sempre uma banda

maciça com uma largura mínima de 25 cm ou H ( altura da laje )

Segundo o EC2 as lajes nervuradas para serem calculadas como lajes têm de ter:

Pág. 138

- b ≤ 1,5 m

- c ≤ 4.d

- a ≥ b/10 ou 50 mm

- b ≤ 10.h

- a ≥ 40 mm para lajes com moldes perdidos

No item I.2.6 apresentaram-se as fórmulas conducentes às esbeltezas (l/d) máximas

em lajes, também válidas para lajes fungiformes.

Estas expressões foram obtidas, admitindo que para as acções no estado limite de

utilização, a tensão no aço, numa secção fendilhada a ½ vão ou no apoio de uma

consola é igual a 310 MPa para A500.

No caso de outros aços os valores obtidos devem ser multiplicados por

η= 310/σs ~ 500/fyk. As,adoptado/As,nec.à rotura

Assim para betão C30/37 e aço A500, no caso das lajes fungiformes maciças

obtiveram-se as seguintes esbeltezas máximas, considerando Mqp ~ 50%Msd:

Para betão muito comprimido ( ρ = 1,5%) – L/d ≤ 17

Para betão pouco comprimido ( ρ = 0,5%) – L/d ≤ 24

No caso das lajes fungiformes aligeiradas devem multiplicar-se os valores de L/d

anteriores por 0,8, vindo :

Para betão muito comprimido ( ρ = 1,5%) – L/d ≤ 14

Para betão pouco comprimido ( ρ = 0,5%) – L/d ≤ 19

L é o maior vão da laje.

No caso de lajes fungiformes que suportem paredes divisórias e com L>8,5 m os

valores de L/d devem ser multiplicados pelo factor 8,5/Lef

. Disposições tipo de armaduras

Nestas lajes existem esforços devido às acções horizontais, o que torna difícil a

definição de disposições tipo, à semelhança do que foi feito para as lajes maciças

vigadas. Só quando o dimensionamento é condicionado pelas acções verticais e as

lajes apresentam uma certa regularidade é possível definir uma disposição tipo. A

dispensa de armaduras neste tipo de lajes deve ser em geral realizada com base na

distribuição de esforços.

Habitualmente representam-se em plantas distintas, as armaduras em cada uma das

direcções, para não sobrecarregar demasiado o desenho , permitindo uma leitura

inequívoca do mesmo.

Pág. 139

Na outra direcção a disposição seria em tudo idêntica.

Na dispensa da armadura positiva, há que ter em conta os momentos positivos que

podem ocorrer na zona do pilar, devido a acções horizontais, em particular a acção

sísmica.

Pág. 140

Na outra direcção a disposição seria idêntica.

A pormenorização da armadura negativa sobre o pilar deve ser especialmente cuidada

devido à grande concentração de esforços nessa zona. Numa largura bm = bp + 4d é

aconselhável reduzir o espaçamento entre varões não excedendo o valor de d/2.

Há no entanto que ter em atenção a necessidade de vibração do betão em condições

aceitáveis, o que nessa zona se torna sempre complicado.

Um outro aspecto importante neste tipo de lajes, em termos de pormenorização de

armaduras é a conveniência em fazer passar armaduras inferiores contínuas na

ligação pilar-laje, de tal forma que o somatório dos diâmetros obedeça à relação:

1,3 ∑ Φ2 . √ (fyk . fck) ≥ V sd

Pág. 141

fyk – tensão de rotura do aço

fck – tensão característica de rotura do betão à compressão ( provete cúbico )

Garante-se deste modo que, no caso de rotura, esta seja menos frágil, reduzindo a

possibilidade de uma rotura em cadeia.

Segundo o EC2 devem respeitar-se as seguintes regras para disposição de armaduras

na zona dos pilares:

- Pilares Interiores

Nos pilares interiores, a não ser que se efectuem cálculos rigorosos para as condições

de utilização, deve adoptar-se uma armadura superior com uma área de 0,5.As

distribuída numa largura de cada lado do pilar igual a 1/8 da largura do painel da laje.

As é a área das armaduras necessárias para resistir ao momento negativo total

resultante da soma dos 2 semi-painéis de cada lado do pilar.

Nos pilares interiores deve adoptar-se uma armadura inferior ( ≥ 2Φ12 ) em cada

direcção ortogonal, atravessando o pilar.

Pág. 142

As. fyd + Asp . fpd ≥ Psd

Em que:

As – área de armaduras passivas que atravessam o pilar nas duas direcções

Asp – área de armaduras activas que atravessam o pilar nas duas direcções

Psd – força transmitida ao pilar

- Pilares de Bordo ou de Canto

As armaduras perpendiculares a um bordo livre, necessárias à transmissão de

momentos da laje para um pilar de bordo ou de canto, devem ser colocadas na largura

efectiva be

Pág. 143

Armadura superior junto a um pilar de bordo

- bordo da laje

Armadura superior junto a um pilar de canto

. Armaduras de Punçoamento

Relativamente às armaduras de punçoamento aconselha-se, como já referido

anteriormente, a adopção de estribos em vez de varões inclinados pois pelo facto de

estarem dispostos verticalmente encontram-se melhor aproveitados para resistir ao

Pág. 144

punçoamento, para além do facto de ao aumentarem a cintagem da zona comprimida

possibilitam um correspondente aumento de resistência e ductilidade.

SOLUÇÃO COM ESTRIBOS

No caso de pilares circulares pode também ser adoptada uma solução do tipo:

Pág. 145

SOLUÇÃO COM VARÕES INCLINADOS

Uma solução menos habitual, mas bastante eficiente na resistência ao punçoamento

de lajes, consiste na introdução de elementos metálicos que podem ser de 2 tipos:

• Com elementos cortados de 1 perfil I

• Com elementos de barra soldados a uma placa inferior e com uma ancoragem

na parte superior

Uma outra solução possível, sobretudo quando os pilares são metálicos é a adopção

de capitéis metálicos.

Segundo o EC2 quando são necessárias armaduras de punçoamento estas devem

ser colocadas entre a área carregada ou o pilar de apoio e k.d ( k=1,5) no interior do

perímetro de controlo a partir do qual a armadura de esforço transverso deixa de ser

Pág. 146

necessária. Deverão, no caso de se adoptarem estribos, ser constituídas, pelo menos,

por 2 conjuntos de estribos periféricos de espaçamento não superior a 0,75.d

A – perímetro de controlo exterior que requer armaduras transversais

B – Primeiro perímetro de controlo exterior que não requer armaduras transversais

O espaçamento dos ramos dos estribos de 1 conjunto periférico não deve ser superior

a 1,5.d no interior do 1º perímetro de controlo ( localizado a menos de 2.d da área

carregada ) e não deve ser superior a 2.d para os perímetros exteriores ao 1º

perímetro de controlo na extensão que se considera contribuir para a capacidade

resistente ao esforço transverso.

Para armadura de punçoamento constituída por varões inclinados deverão seguir-se

as seguintes regras:

Pág. 147

Quando é necessária armadura de punçoamento a área mínima será ( área de um

ramo de um estribo ) dada por:

Asw,mín ≥ 0,08 .( √fck / fyk ) / ((1,5.senα + cosα ) / ( sr.st )

Em que:

sr – espaçamento dos estribos na direcção radial

st – espaçamento dos estribos na direcção tangencial

Apenas pode ser incluída no cálculo do esforço transverso a componente vertical dos

cabos de pré-esforço que passam a uma distância inferior a 0,5.d do pilar.

A distância entre a face de 1 apoio, ou o contorno de uma área carregada, e as

armaduras de punçoamento mais próximas, consideradas no dimensionamento, não

deverá ser superior a d/2. Se se utilizar apenas uma única fiada de varões inclinados,

a sua inclinação poderá se reduzida para 30º .

Pág. 148

I.4 – LAJES PRÉ-FABRICADAS DE VIGOTAS PRÉ-ESFORÇADAS E

BLOCOS DE ENCHIMENTO

I.4.1 – CONSTITUIÇÃO. TÉCNICAS DE EXECUÇÃO. VANTAGENS E

DESVANTAGENS DA SUA UTILIZAÇÃO

I.4.1.1 – Constituição

A figura diz respeito a um determinado tipo de laje.

1. Vigotas

Na figura seguinte apresenta-se um exemplo de vigota pré-fabricada, pré-esforçada:

Como se pode verificar as vigotas são pré-fabricadas, em betão pré-esforçado por fios

de aço liso, aderentes. O betão deverá ser no mínimo da classe C30/37.

Os fios de pré-esforço têm, em geral, as seguintes características :

fpu = 1800 MPa ; fp0.2k = 1550 MPa ; εu = 4 %

Os fios são lisos para que não sejam introduzidas forças localizadas importantes.

O comprimento de transferência do pré-esforço ao betão é da ordem dos 200xΦ(fio)

Pág. 149

As perdas de tensão atingem freqüentemente valores da ordem de 25% da tensão

inicial.

As vigotas devem ser mantidas em cura durante 5 a 7 dias, até lhes ser transmitido o

pré-esforço. Este período normalmente é reduzido para 2 a 3 dias, adoptando

processos de aceleração da cura por tratamento por vapor.

2. Blocos de Cofragem

Os blocos de cofragem ou enchimento são em geral cerâmicos, mas também podem

ser de betão, sendo num caso e noutro furados conforme a figura.

Na figura é representado um bloco de determinado fabricante, variando as dimensões

e forma dos blocos consoante o fabricante, ainda que não significativamente.

3. Betão Complementar

Na camada superior deve colocar-se uma camada de betão complementar com as

seguintes características:

C20/25 com pelo menos 300 Kg de cimento por m3 de betão

A espessura mínima desta camada de betão deverá ser:

Pág. 150

- Para b ≤ 50 cm t ≥ 3 cm

- Para b > 50 cm t ≥ 4 cm

Nesta camada deverá ser colocada uma armadura com as seguintes características:

Asd – armadura perpendicular à direcção das vigotas :

• Espaçamento ≤ 25 cm

• Mínimo 1,13 cm2/m; Φ6//0.25 para A235

• Asd ≥ 0.2 (Asp)vigotas x fsp / fsyk ( fsp = 1550 MPa; fsyk = 235 MPa para A235 )

A’s – armadura com a direcção das vigotas:

• Espaçamento ≤ 35 cm

• A’s ≥ Asd / 5

Por exemplo para um pavimento com vigotas com 3Φ5, afastadas de 34 cm, obter-se-

ia:

Asp = 3x0.52π/4 x 1/0.34 = 1.73 cm2/m

Para A235:

Asd = 0.2 x 1.73 x 1550/235 = 2.38 cm2/m

I.4.1.2 – Sistema Construtivo.Técnicas de Execução.

Pode resumir-se o processo de execução nas seguintes etapas:

1º- Nivelamento dos apoios que podem ser vigas ou paredes resistentes de alvenaria

2º- Escoramento provisório para apoio das vigotas ( distância máxima de 2m )

3º- Colocação das vigotas

4º- Colocação dos blocos de aligeiramento entre vigotas

5º- Disposição das armaduras de distribuição

6º- Colocação de passadiços para trânsito do pessoal

7º- Rega das vigotas e blocos

8º- Colocação do betão da camada complementar

9º- Cura do betão

Pág. 151

I.4.1.3 – Vantagens e desvantagens deste tipo de lajes

Vantagens deste tipo de lajes

a) Aligeiramento ( para uma dada altura representam uma redução de peso

da ordem dos 40% em relação a uma laje maciça )

b) Dispensam o uso de cofragens contínuas. Hoje em dia isso traduz uma

vantagem importante em termos económicos.

c) A montagem é simples e rápida

d) Apresentam bom isolamento térmico

Desvantagens

Algumas das desvantagens que de seguida se apresentam podem ser parcialmente

resolvidas através de adequadas disposições construtivas.

a) Apresentam um baixo contraventamento horizontal na direcção perpendicular

às vigotas, o que motiva mau comportamento face a acções do tipo sísmico

para zonas de maior sismicidade. Por este motivo não devem ser utilizadas

nessas zonas, em Edifícios com mais de 2, 3 pisos.

b) Apresentam descontinuidade do paramento inferior ( juntas entre as vigotas e

os blocos de aligeiramento ) exigindo por esse motivo cuidados especiais na

aplicação de rebocos.

c) A resistência a cargas localizadas é baixa sobretudo na zona dos blocos de

aligeiramento.

d) Apresentam um fraco isolamento sonoro, devido à sua reduzida inércia ( em

especial para pesos de pavimento inferiores a 350 Kg/m2 )

e) Permitem a circulação de água no seu interior, pelo que não são aconselháveis

em coberturas ou terraços em que não exista uma cobertura ou sistema de

impermeabilização de elevada qualidade e durabilidade.

Pág. 152

I.4.2 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

De acordo com o REBAP o dimensionamento deste tipo de pavimento deve

verificar os vários Estados Limites: últimos e de utilização.

I.4.2.1 – Estados Limites Últimos

Os Estados Limites Últimos a verificar nestas lajes são o de Flexão e de

Esforço Transverso.

Essa verificação é feita comparando os valores de cálculo resistentes, dados

pelas tabelas do fabricante ou respectivo documento de homologação do

LNEC, com os valores de cálculo actuantes devidos às combinações

fundamentais de acções, isto é:

Msd ≤ Mrd

Vsd ≤ Vrd

I.4.2.2 – Estados Limites de Utilização

Os Estados Limites de Utilização a verificar são o de Fendilhação e de

Deformação.

Fendilhação

Os Estados Limites de Fendilhação a verificar são o de descompressão e o de

formação de fendas e não o de largura de fendas como é habitual.

Resumem-se nos quadros seguintes os Estados Limites de Fendilhação a

verificar e quais as combinações de acções a utilizar segundo o REBAP e EC2.

Pág. 153

REBAP

Estado Limite Combinação de Acções

Descompressão

-Quase Permanentes ( ambiente

pouco ou moderadamente agressivo )

- Frequentes ( ambiente muito

agressivo )

Formação de Fendas

-Frequentes ( ambiente pouco ou

moderadamente agressivo )

- Raras ( ambiente muito agressivo )

EC2

Estado Limite Combinação de Acções

Descompressão

-Quase Permanentes ( ambiente

moderadamente agressivo )

-Frequentes ( ambiente muito

agressivo )

Formação de Fendas

-Frequentes ( ambiente pouco ou

moderadamente agressivo )

A verificação dos Estados Limites de Descompressão e de Formação de

Fendas é efectuada através da comparação dos momentos de descompressão

e de fendilhação da secção com os momentos devidos às combinações de

acções indicadas no quadro anterior.

Assim para um ambiente moderadamente agressivo que corresponde ao caso

de um edifício corrente tem-se:

Mqp ≤ Mo

Mfreq ≤ Mfctk

Em que:

Mqp – momento devido à combinação quase permanente de acções

Mfreq – momento devido à combinação freqüente de acções

Pág. 154

Mo – momento de descompressão da secção ( momento para o qual em fase

elástica a fibra mais traccionada apresenta tracção nula )

Mfctk – momento de fendilhação da secção ( momento a partir do qual se inicia

a formação de fendas )

Quando nas tabelas do fabricante ou respectivo Documento de Homologação

não surgir o valor de Mo , tal significa que verificada a formação de fendas está

automaticamente verificada a descompressão da secção.

Deformação

O Estado Limite de deformação é verificado comparando o valor da flecha a

tempo infinito devida à combinação freqüente de acções com o limite máximo

estabelecido no REBAP e que é L/400. No caso de lajes suportando paredes

de alvenaria esse limite máximo é de 1,5 cm.

Segundo o EC2

O Estado Limite de deformação é verificado comparando o valor da flecha a

tempo infinito devida à combinação quase permanente de acções com o limite

máximo estabelecido no EC2 e que é L/250. No caso de lajes suportando

paredes de alvenaria esse limite máximo é de L/500 para a mesma

combinação de acções.

O factor de rigidez em flexão ( EI ) é também fornecido pelas tabelas da laje e

corresponde ao produto do módulo de elasticidade pela inércia de uma secção

de largura unitária, tendo em consideração o efeito da fendilhação e do betão

entre fendas. Não tem em conta o efeito da fluência.

Para estes pavimentos podem obter-se as flechas a longo prazo multiplicando

as flechas elásticas iniciais pelo factor:

a∞ = ao. ( 1 + Mcp.φ / Mfreq )

em que:

Mcp – momento devido às acções permanentes

Mfreq. – momento devido à combinação frequente de acções

Φ – coeficiente de fluência a que se pode em geral atribuir o valor 2

Se as cargas forem uniformemente distribuídas será:

Pág. 155

a∞ = ao. ( 1 + cp.φ / ( cp + ψ1.sob) )

Os Documentos de homologação de cada tipo de pavimento contêm um

quadro semelhante ao que se apresenta:

TIPO DE

LAJE

Mrd

( KNm/m )

Vrd

( KN/m)

Mo

( KNm/m )

Mfctk

( KNm/m )

EI

(KNm2/m )

A escolha do tipo de laje far-se-á então comparando os valores de cálculo

actuantes com os valores resistentes.

I.4.3 – MODELOS DE COMPORTAMENTO ESTRUTURAL. CÁLCULO DE

ESFORÇOS

As lajes de vigotas funcionam sempre como lajes armadas numa direcção.

Estão essencialmente concebidas para a resistência a momentos flectores

positivos, mas podem também ser utilizadas em situações de estruturas

contínuas, em que o modelo de viga contínua é o mais adequado.

A determinação dos esforços de cálculo para efeitos da verificação da

segurança ao Estado Limite Último pode ser feita com base em 3 modelos:

• Modelo elástico linear, obtendo-se a envolvente de esforços.

• Modelo elástico linear, seguido de redistribuição que não pode exceder

25% em qualquer secção.

• Modelos da Teoria da Plasticidade

É precisamente este último que se considera mais apropriado e simples para

os pavimentos de vigotas.

Utilizando o Teorema Estático ( admissível segundo o REBAP se x(prof. da

linha neutra)/d < 0.25 ) pode admitir-se um momento negativo nos apoios igual

a 50% do momento elástico e calcular o momento positivo máximo por simples

considerações de equilíbrio, conforme se indica na figura:

Pág. 156

Deste modo consegue-se tirar um maior partido da resistência das vigotas a

momentos positivos, ao mesmo tempo que considerando a continuidade de

esforços sobre os apoios intermédios, ainda que reduzidos a 50%, se

consegue uma economia na laje a escolher, face à solução sem continuidade.

I.4.4 – DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS

Na figura seguinte, apresenta-se a planta de parte de um pavimento com lajes pré-

fabricadas de vigotas pré-esforçadas.

Através dos cortes 1-1, 2-2 , 3-3 e 4-4 apresentam-se as disposições construtivas

fundamentais para o bom funcionamento deste tipo de pavimentos.

Pág. 157

CORTE 1-1 ( pormenor de apoio periférico )

Neste corte há 2 aspectos fundamentais a reter:

- a entrega das vigotas nos apoios que deve ser no mínimo de 0,10m, sendo

preferencialmente de 0,15m

- a criação de uma cinta maciça com cerca de 0,25m de largura em todo o contorno do

painel por forma a melhorar a rigidez deste no seu próprio plano, fundamental face a

qualquer acção horizontal.

CORTE 2-2 ( pormenor de apoio de continuidade )

Nos apoios intermédios, com continuidade, devem-se interromper as vigotas por forma

a que as tensões de compressão devidas ao pré-esforço sejam pequenas junto ao

apoio, permitindo que as vigotas, sejam consideradas em conjunto com o betão da

zona maciçada, como secção resistente à compressão.

A zona maciçada junto ao apoio deve ser de pelo menos 1/10 do vão.

Pág. 158

CORTE 3-3 ( pormenor de viga periférica sem apoio)

Neste pormenor evidencia-se de novo a cinta maciça envolvente do painel com uma

largura mínima de 0,25 m.

CORTE 4-4 ( pormenor de tarugo)

Os tarugos correspondem a nervuras maciças com cerca de 0,10m que devem

coincidir com as zonas de escoramento das vigotas ( aproximadamente de 2.0m em

2.0m ). Contribuem também para melhorar a rigidez do pavimento na direcção

perpendicular às vigotas.

Uma boa solução para melhorar o comportamento deste tipo de pavimentos face a

acções horizontais é dispor os painéis com orientações das vigotas segundo as 2

direcções.

Pág. 159

Para completar o estudo deste tipo de lajes apresentam-se seguidamente pormenores

construtivos, para algumas situações especiais, que requerem nestas lajes alguns

cuidados.

.Apoio em viga invertida

.hipótese A

Nesta hipótese que só deve ser adoptada para cargas ligeiras, consegue-se ficar com

o paramento inferior sem ressaltos. O apoio das vigotas na viga é realizado através do

prolongamento dos fios de pré-esforço em 10 a 15 cm.

Pág. 160

hipótese B

Nesta situação ficamos com um ressalto na face inferior da laje com cerca de 3 a 5

cm, mas o apoio permite suportar cargas superiores relativamente à hipótese anterior.

.Consolas

No caso de consolas adjacentes a uma laje deste tipo deve atender-se a que:

- as vigotas devem ser interrompidas no apoio, não se prolongando para a consola, já

que desse modo complicariam a disposição das armaduras inferiores transversais ao

vão ,para além de que tal não implicaria qualquer melhoria de comportamento

estrutural.

- na laje adjacente deve deixar-se uma zona maciça com pelo menos metade do vão

da consola para servir de contrabalanço. Isto, independentemente das vigotas estarem

dispostas numa ou noutra direcção.

Pág. 161

.Execução de Aberturas

A execução de aberturas em lajes deste tipo terá de ser planeada desde logo na fase

de projecto, de acordo com o esquema que seguidamente se apresenta. Caso haja

necessidade de executar a abertura à posteriori, então deverá sempre proceder-se a

reforço da laje.

CORTE A-A

Como se pode ver no corte as vigotas interrompidas pela abertura terão de ser

suportadas por uma armadura de suspensão a colocar nas zonas maciças adjacentes

à abertura.

Pág. 162

CAP. II – SAPATAS DE FUNDAÇÃO O dimensionamento e consequente verificação da segurança de uma sapata de

fundação tem de ser feito sob 2 aspectos, já que a sapata é um elemento estrutural

que não está isolado, apoiando no solo de fundação. Deste modo há que verificar a

segurança em termos de:

- solo de fundação

- sapata como elemento de betão armado

II.1 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DO SOLO DE FUNDAÇÃO

II.1.1 – ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

• Rotura por corte ou punçoamento do solo

De acordo com Terzaghi a tensão de rotura por corte ou punçoamento do solo, pq,

é função de vários parâmetros dos quais se destacam:

pq = f ( c,Φ, γ , t, b, ... )

c- coesão

Φ – ângulo de atrito interno

γ – peso específico

t – profundidade

b – dimensão da sapata de fundação

A verificação da segurança para este estado limite último no solo consiste assim

em satisfazer a relação:

Nsd ≤ pq . A`

Em que A` representa a área activa da fundação ( área efectivamente comprimida)

No entanto, esta verificação é normalmente realizada, não com base na tensão de

rotura do solo pq , mas sim com base na tensão admissível ou de segurança

daquele (σadm).

A tensão admissível a utilizar é normalmente fornecida pela geotecnia e obtém-se

da tensão de rotura pq dividindo-a por um coeficiente de segurança à volta de 3.0.

A verificação da segurança para este estado limite último será então expressa por:

σsolo ≤ σadm

Pág. 163

Sendo a tensão no solo σsolo obtida a partir do conjunto de esforços mais desfavorável,

considerando uma combinação rara de acções.

Para a determinação desta tensão utiliza-se um método simplificado, desprezando a

resistência à tracção da ligação entre a sapata e o terreno e admitindo um estado de

plastificação do solo que conduz a um diagrama de tensões uniforme aplicado na área

activa da secção, que é um modelo válido para uma sapata com um comportamento

rígido.

A carga N e os momentos Mxx e Myy aplicados no centro de gravidade da base da

sapata são estaticamente equivalentes a uma carga única N aplicada num ponto de

coordenadas ex e ey dadas por:

ex = Myy / N e ey = Mxx / N

A resultante das tensões terá de ser coincidente com este ponto de aplicação de N.

a =2( A/2 – ex)

b = 2( B/2 – ey)

A`= axb

Pág. 164

Nb = N ( na base do pilar) + p.p. da sapata

σsolo = Nb / A`

Para verificação da segurança ter-se-á:

• σsolo ≤ σadm para a combinação rara de cargas verticais ( cp + sob )

• σsolo ≤ 2 σadm para a combinação cp + 1,5 sismo

Neste último caso a tensão admissível no solo multiplica-se por 2 dado o carácter

instantâneo da acção sísmica.

• Estados Limites últimos de Equilíbrio

A verificação da segurança para estes estados limites últimos só faz sentido para

sapatas de elementos isolados, como muros de suporte, fustes verticais, etc.

• Escorregamento

N. tg δ / H ≥ 1,5

δ- ângulo de atrito solo-sapata ( 2/3 Φ )

• Derrubamento

Mest / Mderrub ≥ 1,5

Pág. 165

Mest – momento estabilizante resultante em torno da aresta A

Mderrub - momento derrubante resultante em torno da aresta A

II.1.2 – ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

A verificação destes estados limites no solo consiste no controlo de assentamentos

provocados por deformações instantâneas ou deformações lentas ( diferidas).

O controle de assentamentos deve ser feito para as acções quase permanentes e

devem analisar-se quais os seus efeitos na superestrutura.

Por exemplo devido a assentamentos diferenciais entre sapatas podem ocorrer danos

severos em estruturas.

Pág. 166

II.2 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DA SAPATA A verificação da sapata como elemento de Betão Armado deverá seguir a teoria dos

Estados Limites. Assim deverão ser verificados os seguintes Estados Limites:

• Estados Limites Últimos

- Flexão

- Punçoamento

- Aderência

• Estados Limites de Utilização

- Fendilhação

- Deformação

O dimensionamento de uma sapata e a consequente verificação dos Estados Limites

acima referidos, pode ser feita recorrendo a diferentes métodos.

Em termos dimensionais, enquanto as dimensões em planta surgem da verificação da

tensão admissível no solo como atrás se explicou, a altura da sapata é normalmente

ditada pelo chamado critério de rigidez.

a`- maior distância entre a face do pilar e a face da sapata

- H ≥ a`/ 2 sapata rígida

- H < a`/ 2 sapata flexível

Deve procurar-se sempre que a sapata seja rígida , já que desta forma terá melhor

comportamento, nomeadamente deixará de ter punçoamento.

Para além disso, sob uma sapata de comportamento flexível, devido à sua

deformabilidade, não se pode, em geral, admitir que a tensão no solo é uniforme.

Deste modo a altura H de uma sapata deve estar entre os valores:

a `/ 2≤ H ≤ a`

Pág. 167

II.2.1 – CÁLCULO DE ARMADURAS

Existem dois modelos para cálculo de armaduras em sapatas:

• Método de Labelle ( ou método das Bielas ) aplicável apenas a sapatas rígidas

• Método das Consolas para sapatas rígidas ou flexíveis

Para sapatas rígidas o modelo de comportamento utilizado no método das Bielas

simula melhor o verdadeiro comportamento da sapata , pelo que deverá ser esse o

aplicado.

Neste método procura explicar-se o modelo de funcionamento interno da sapata

através de escoras de betão e tirantes de armadura ( modelo de “ strut e tie “) para

absorver as cargas aplicadas.

O método das Consolas, por sua vez, simula o comportamento da sapata sujeita ao

diagrama de tensões do solo, a partir de consolas laterais invertidas encastradas no

elemento vertical ( parede ou pilar). Este modelo de comportamento, ainda que

possível em sapatas rígidas, será muito mais correcto para sapatas mais esbeltas

( sapatas flexíveis ).

II.2.1.1 – Sapatas com Cargas Centradas

a) Sapata Contínua

Pág. 168

a.1) Método das Bielas

tg α = d / ( ( a - ao ) / 4 ) e

tg α = (Nb /2) / Ft logo:

Ftsd = Nb . γ ( a – ao ) / 8 . d

Em que:

Ftsd – força de cálculo no tirante de armaduras horizontal junto à base da sapata

Nb = N + pp sapata

γ = 1,5

logo as armaduras em cm2/m virão dadas por:

As = Nbsd . ( a – ao ) / 8 . d . fsyd

a.2) Método das Consolas

Pág. 169

S- secção de encastramento

l = ( a – ao ) / 2 + 0,15. ao

Msd = σ . γ . l2 / 2

Msd – momento flector de cálculo na secção de encastramento da consola a

absorver por armaduras inferiores

Considerando o braço do binário z = 0,9 d, as armaduras virão em cm2/m :

As = Msd / 0,9.d . fsyd

b) Sapata Isolada

b.1) Método das Bielas

Generalizando agora as fórmulas vistas na alínea a) para as duas direcções

obtem-se em cm2/m:

Asx = Nbsd . ( a – ao ) / 8 . d . fsyd . b

Asy = Nbsd . ( b – bo ) / 8 . d . fsyd . a

Pág. 170

b.2) Método das Consolas

lx = ( a – ao ) / 2 + 0,15. ao

Msdx = σ . γ . lx 2 / 2

Asx = Msdx / 0,9.d . fsyd

ly = ( b – bo ) / 2 + 0,15. bo

Msdy = σ . γ . ly 2 / 2

Asy = Msdy / 0,9.d . fsyd

II.2.1.2 – Sapatas com Cargas Excêntricas sem vigas de fundação

a) Sapata Contínua

a.1) Método das Bielas

• e = M / Nb > a/4

tg α = d / ( ( e - ao(0,5-k) ) e

tg α = Nb / Ft logo:

Pág. 171

Ftsd = Nbsd . ( e - ao. ( 0,5 – k ) ) / d

Com 0 ≤ k ≤ 0,25, função de (e=M/N)/ao e dado pela seguinte tabela :

e/ao 0 0,25 0,5 1 1,5

k 0,25 0,20 0,15 0,1 0,05

As ( cm2/m) = Ftsd / fsyd

• e = M / Nb ≤ a/4

R1 = a/2. σsolo

tg α = d / ( ( a/4 - ao(0,5-k) ) e

tg α = R1 / Ft logo:

Ftsd = R1. γ . ( a / 4 - ao. ( 0,5 – k ) ) / d

As ( cm2/m) = Ftsd / fsyd

Pág. 172

a.2) Método das Consolas

• e = M / Nb > a/4

Msd = σ . γ . l’ . ( l – l’ / 2 )

• e = M / Nb ≤ a/4

Msd = σ . γ . l2 / 2

Pág. 173

b) Sapata Isolada

b.1) Método das Bielas

- Direcção X

• ex = Myy / Nb > a/4

Ftsdx = Nbsd . ( ex - ao. ( 0,5 – k ) ) / d

Asx ( cm2/m) = Ftsdx / fsyd . b’

em que:

b’ – dimensão segundo y da área activa da base da sapata

• ex = Myy / Nb ≤ a/4

R1x = a/2. b’. σsolo

Ftsdx = R1x. γ . ( a / 4 - ao. ( 0,5 – k ) ) / d

Asx ( cm2/m) = Ftsdx / fsyd . b’

- Direcção Y

• ey = Mxx / Nb > b/4

Ftsdy = Nbsd . ( ey - bo. ( 0,5 – k ) ) / d

Asy ( cm2/m) = Ftsdy / fsyd . a’

Pág. 174

em que:

a’ – dimensão segundo x da área activa da base da sapata

• ey = Mxx / Nb ≤ b/4

R1y = b/2. a’. σsolo

Ftsdy = R1y. γ . ( b / 4 - bo. ( 0,5 – k ) ) / d

Asy ( cm2/m) = Ftsdy / fsyd . a’

b.2) Método das Consolas

Neste caso trata-se de aplicar exactamente a formulação vista para o caso da

sapata contínua, mas agora em ambas as direcções.

II.2.1.3 – Sapatas com Cargas Excêntricas interligadas por vigas de fundação

A adopção de vigas de fundação interligando as sapatas é uma boa prática de

construção, já que não só permite a absorção de qualquer possível assentamento

diferencial entre sapatas, como permite uma maior economia na dimensão

daquelas, em virtude dos momentos flectores na base dos pilares passarem a ser

absorvidos pelas vigas de fundação.

Apenas em situações de fundação em solos rochosos, com elevada capacidade de

suporte, se devem dispensar as vigas de fundação.

Em termos de funcionamento estrutural, para que este possa ser o considerado no

dimensionamento, deverão as vigas de fundação trabalhar ao nível das sapatas,

mais concretamente com a face superior alinhada com a face superior das

sapatas, conforme a figura.

Por vezes em obra, para evitar a abertura de uma vala estreita, com alguma

profundidade, para se poder executar a viga de fundação ao nível das sapatas, há

a tentação de executar aquelas junto à superfície, conforme a figura.

Pág. 175

Esta situação é de evitar, já que do ponto de vista estrutural é má, originando nos

pilares a criação de um troço curto, altamente rígido que chamará grandes

momentos, sobretudo para acções sísmicas, para além de que a própria viga de

fundação deixa de ter o funcionamento considerado no cálculo.

Para cálculo de um sistema de fundações constituído por sapatas interligadas por

vigas de fundação, deverá esse sistema, ser, desde logo, considerado no modelo

de cálculo através da modelação representada na figura.

Deste modo as sapatas passam a estar sujeitas a uma tensão uniformemente

distribuída por parte do solo em toda a largura, correspondendo a uma força

resultante vertical e centrada, enquanto as vigas de fundação absorvem os

momentos flectores, devidos aos próprios momentos na base dos pilares ou a

posições excêntricas dos pilares.

Pág. 176

b1’ , b2’ – dimensão da área activa na outra direcção das sapatas S1 e S2

Caso não hajam excentricidades na outra direcção teremos b1 e b2

Para cálculo de armaduras nesta direcção, na sapata excêntrica S1, deverá

utilizar-se o método das bielas, que conduzirá a:

tg α = d / ( a1/2 – k.ao) e

tg α = Nb 1 / Ft logo:

Ftsd = Nb 1. γ . (a1 / 2 – k.ao) / d

As ( cm2/m) = Ftsd / fsyd . b1’

Pág. 177

Na sapata S2, ter-se-á segundo a mesma direcção:

tg α = d / ( a2/4 + ao(0,5 -k)) e

tg α = (R2/2) / Ft logo:

Ftsd = R2/2. γ . ( a2/4 + ao(0,5 - k)) / d

As ( cm2/m) = Ftsd / fsyd . b2’

Pág. 178

II.2.2 – ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE PUNÇOAMENTO

Como já anteriormente se referiu este estado limite último só se verifica em

sapatas flexíveis e deve ter em conta o valor da força de corte na secção do

contorno crítico de punçoamento.

No cálculo do esforço global de punçoamento deve ser deduzida a resultante das

tensões no interior da área delimitada pelo contorno crítico.

Vsd = Nbsd - σsolo . Ao ≤ Vrd

Em que:

Ao – área delimitada pelo contorno crítico

Segundo o EC2 a resistência ao punçoamento de sapatas de pilares deve ser

verificada nos perímetros de controlo localizados a uma distância não superior a 2.d

da periferia do pilar.

No caso de acções concêntricas a força útil actuante é:

Vsd,red = Vsd - ∆Vsd

∆Vsd – reacção do terreno deduzida do peso próprio da sapata, no interior do perímetro

de controlo considerado

vsd = Vsd,red / u.d

v Rd,c = C Rd,c. k. (100.ρL. fck )1/3 .2.d/a ≥ (vmín .2d/a)

em que:

a – distância da periferia do pilar ao perímetro de controlo considerado

No caso de acções excêntricas:

vsd = Vsd,red / (u.d). [1 + k. (Msd/Vsd,red) . u/ W ]

em que k e W são obtidos como no caso de lajes com pilares com punçoamento

excêntrico.

Pág. 179

CAP. III – INTRODUÇÃO AO BETÃO PRÉ-ESFORÇADO III.1 – INTRODUÇÃO

Define-se pré-esforço como a introdução de um estado permanente de tensões numa

estrutura, com o objectivo de melhorar o seu comportamento em serviço e também a

sua capacidade resistente.

Os primeiros sistemas de pré-esforço datam de 1870-1880, no entanto só após o

desenvolvimento dos aços de alta resistência ( 1928) e com Freyssinet (1930) é que

aparecem os primeiros sistemas bem desenvolvidos de ancoragens e macacos

hidráulicos para aplicação do pré-esforço.

Freyssinet está ligado ao sistema de pós-tensão ( aplicação do pré-esforço após a

peça de betão estar executada ) enquanto que os primeiros sistemas de pré-tensão se

devem ao alemão Hoyer.

Em Portugal a 1ª ponte realizada em betão pré-esforçado foi a nova ponte da Vala

Nova, entre Benavente e Salvaterra de Magos, construída em 1953-1954 ( 3 tramos

isostáticos com cerca de 34 m de vão cada ).

Inicialmente o betão pré-esforçado era calculado sem a contribuição da armadura

ordinária ou passiva, enquanto que hoje falamos em betão armado pré-esforçado em

que a secção é analisada a partir da contribuição conjunta dos dois tipos de armadura

( activa e passiva ).

As principais utilizações do pré-esforço são em:

• Pontes

• Edifícios com grandes vãos

• Coberturas com grandes vãos

• Grandes reservatórios ou silos

• Ancoragens

• Barragens

• Túneis, etc

Pág. 180

III.2 – TÉCNICAS E SISTEMAS DE PRÉ-ESFORÇO

Pré-tensão – As armaduras são tensionadas antes da colocação do betão, sendo a

transferência realizada por aderência, quando o betão adquire a necessária resistência

e se libertam as armaduras das ancoragens iniciais.

Este sistema implica, em geral, grandes perdas, porque a transferência do pré-esforço

se faz para um betão com poucos dias de cura.

É o sistema utilizado na produção fabril de elementos pré-fabricados.

Pós-tensão – As armaduras são tensionadas depois do betão ter adquirido a

resistência necessária, sendo a transferência garantida nas ancoragens.

Existem 2 sistemas de pós-tensão:

- Com Aderência quando os cabos de pré-esforço ficam aderentes à

secção de betão mediante a injecção de calda de cimento nas bainhas.

- Sem Aderência quando as armaduras estão desligadas da peça de

betão, pois escorregam no interior da bainha.

O betão pós-tensionado é característico da aplicação “in situ”, em construções de

médio e grande vão.

Os sistemas de pré-esforço por pós-tensão mais comuns na Europa são:

- Freyssinet

- VSL – Lösinger

- CCL

- Stronghold

- Dividag

- BBRV

- Macalloy

Pág. 181

III.3 – EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO: VIGA EM BETÃO ARMADO E BETÃO

ARMADO PRÉ-ESFORÇADO

O pré-esforço é uma deformação imposta à estrutura que tem como objectivos:

• Permitir um melhor aproveitamento dos materiais e uma utilização racional de

betões e aços de alta resistência

• Aumentar a faixa de comportamento sem fendilhação

• Diminuir as deformações ( introduzindo deformações e tensões de sentido

contrário às resultantes do peso próprio e outras acções de serviço )

• Reduzir o peso próprio das soluções estruturais ( em comparação com

soluções em betão armado )

A utilização do pré-esforço envolve cuidados adicionais na concepção e execução por

causa de:

• Perdas de pré-esforço instantâneas e diferidas, sendo estas últimas devidas à

fluência e retracção do betão e relaxação das armaduras e podem atingir cerca

de 25% do valor do pré-esforço inicial. A existência destas perdas é uma das

razões porque se devem utilizar aços de alta resistência no betão pré-

esforçado.

• Maior sensibilidade das armaduras de pré-esforço à corrosão, devido à elevada

tensão a que o aço trabalha.

• Aumento da complexidade do processo construtivo.

Pág. 182

Seguidamente apresentam-se diagramas de comportamento para o betão armado e

betão armado pré-esforçado, para comparação.

Comparação do comportamento de uma viga de betão armado e de betão

armado pré-esforçado. Análise da variação das tensões no aço e no betão

Pág. 183

Comparação do comportamento de uma viga de betão armado e de betão

armado pré-esforçado sujeita à flexão. Relações momento-curvatura e carga-

flecha

Pág. 184

III.4 – DIMENSIONAMENTO DO PRÉ-ESFORÇO EM VIGAS ISOSTÁTICAS

A verificação da segurança numa estrutura com pré-esforço, será feita

igualmente de acordo com a teoria dos estados limites e para os seguintes

estados:

• Resistência : flexão, esforço transv.,

torção, punçoamento

Estados Limites Últimos

• Encurvadura

• Fendilhação e Níveis de Tensão

Estados Limites de Utilização

• Deformação

Segundo o REBAP a verificação do estado limite de fendilhação para armaduras

ordinárias difere da mesma verificação para armaduras de pré-esforço.

Estado Limite de Fendilhação para Armaduras Ordinárias

Ambiente Combinação de Acções Estado Limite

Pouco Agressivo Frequente w = 0.3 mm

Moderadamente Agressivo Frequente w = 0.2 mm

Muito Agressivo Rara w = 0.1 mm

Pág. 185

Estado Limite de Fendilhação para Armaduras de Pré-Esforço

Ambiente Combinação de Acções Estado Limite

Frequente w = 0.2 mm

Pouco Agressivo Quase Permanente Descompressão

Frequente w = 0.1 mm

Moderadamente Agressivo Quase Permanente Descompressão

Rara w = 0.1 mm

Muito Agressivo Frequente Descompressão

Segundo o EC2 ter-se-á:

Ambiente Combin. de

acções

Betão armado Betão pré-esforç.

Frequente --- 0,2 mm Pouco agressivo

(X0,XC1) Quase Perman. 0,4 mm* ---

Frequente --- 0,2 mm Mod. agressivo

(XC2,XC3,XC4) Quase Perman. 0,3 mm descompressão

Frequente --- descompressão Muito agressivo

(XD1,XD2,XS1,XS2,XS3) Quase Perman. 0,3 mm descompressão

O Estado Limite de Descompressão ( tracção = 0 ) deve ser verificado quando da

aplicação do pré-esforço ( to ) e a longo prazo ( t∞ ) depois de terem ocorrido a

totalidade das perdas de tensão nos cabos de pré-esforço.

O REBAP inclui também uma verificação do nível das tensões de compressão no

betão a calcular para uma combinação rara de acções.

A tensão máxima de compressão no betão não deverá exceder:

σc < fck,,j / 1,5

fck,,j – valor característico da tensão de rotura por compressão do betão com a idade

de j dias

Esta verificação deverá ser feita a to e t∞.

Segundo o EC2 deve-se limitar a tensão de compressão no betão para uma

combinação característica de acções (rara) a 0,6.fck nas zonas expostas a ambientes

correspondentes às classes de exposição XD, XF e XS.

Relativamente à verificação do Estado Limite de Deformação, não há regras para além

da anteriormente estabelecida para o betão armado:

Pág. 186

a∞ ≤ l / 400 ( sendo a∞ obtido para uma combinação freqüente de acções)

Segundo o EC2 ter-se-á:

a∞ ≤ l / 250 ( sendo a∞ obtido para uma combinação quase permanente

de acções)

No entanto recomenda-se que a verificação deste estado limite seja feita em função do

tipo de obra.

Quanto ao melhor critério para o dimensionamento do pré-esforço ele não é uniforme,

variando em função do tipo de obra:

- Pontes com viga contínua de grande vão

Verificação da descompressão para as cargas permanentes

( carga equivalente ~ 80% cp )

- Pontes com viga contínua de pequeno vão

Verificação da descompressão para as cargas permanentes só nos apoios

( carga equivalente ~ 70% cp )

- Pontes construídas em consola, por avanços sucessivos

Verificação do Estado Limite de Deformação e da segurança aos Estados Limites

Últimos. As armaduras ordinárias são importantes no controle da fendilhação.

- Consolas laterais em pontes

Anular flechas devido à carga permanente

( carga equivalente ~ cp )

- Lajes pré-esforçadas

Se (sob / cp) ≤ 1,0 carga equivalente ~ 80% cp

Se (sob / cp) > 1,0 carga equivalente ~ cp

Há várias formas de definir o grau de pré-esforço de uma secção:

Pág. 187

. Grau mecânico de pré-esforço

λ = Asp . f0.1k / ( Asp . f0.1k + As . fyk ) ou

λ’ = Asp . f0.1k . dp / ( Asp . f0.1k . dp + As . fyk . ds )

em que:

f0.1k - tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,1% da armadura de pré-

esforço

fyk – tensão de cedência das armaduras ordinárias

. Grau de pré-esforço

k = Mo / MG + MQ

em que:

Mo – momento de descompressão

MG – momento para as cargas permanentes

MQ – momento para as sobrecargas

. Grau de carga equivalente

k = Sp / SG

Sp – efeito devido ao pré-esforço ( momento, flecha )

SG – efeito devido às cargas permanentes

Ou

K = q / g

q- carga equivalente ao pré-esforço

g – cargas permanentes

Pág. 188

Pode resumir-se o processo de dimensionamento de uma viga de betão armado e pré-

esforçado nos seguintes passos:

1. Pré-dimensionamento da secção

2. Cálculo do valor do pré-esforço e traçado dos cabos

- cálculo do valor do pré-esforço mínimo a partir da verificação dos estados limites

de descompressão nas secções críticas

- escolha do traçado dos cabos e verificação do estado limite de descompressão

nas várias secções, a partir do conceito de fuso limite ou zona de cabos.

- cálculo das perdas e revisão dos cálculos anteriores, se necessário.

3. Verificação da segurança aos Estados Limites Últimos de Flexão e conseqüente

obtenção das armaduras ordinárias necessárias.

4. Verificação da segurança aos Estados Limites de Utilização: fendilhação,

deformação, limites da tensão de compressão no betão e conseqüente obtenção

das armaduras ordinárias necessárias.

5. Verificação da segurança ao Estado Limite Último de Esforço Transverso entrando

em linha de conta com o pré-esforço.

6. Verificação da segurança e dimensionamento das zonas dos blocos de ancoragem

7. Pormenorização de armaduras. Definição de aspectos construtivos como plano de

aplicação do pré-esforço, injecções, etc.

III.4.1 – CARGAS EQUIVALENTES AO EFEITO DO PRÉ-ESFORÇO

O pré-esforço corresponde a uma deformação imposta auto-equilibrada.

A figura representa as acções equivalentes ao efeito do pré-esforço na estrutura de

betão ( conjunto de forças que o cabo exerce sobre a viga de betão armado ).

Como numa deformação imposta auto-equilibrada

∑ Fv = 0 e ∑ Fh = 0

Pág. 189

então as forças que o betão exerce sobre o cabo são de sinal contrário.

Demonstra-se que para um cabo parabólico as acções equivalentes ao cabo de pré-

esforço actuando sobre a secção de betão são:

Este sistema de esforços constitui sempre um sistema de forças auto-equilibrado.

Os esforços produzidos por estas cargas são designados por esforços “isostáticos” e

são resultantes das tensões induzidas na secção de betão armado ( sem incluir o cabo

de pré-esforço ).

Se se considerar também o cabo de pré-esforço as tensões na secção produzem

esforços nulos.

Numa estrutura isostática o pré-esforço não produz esforços: produz uma deformação

imposta.

Esforços isostáticos numa secção

Pág. 190

Os quais produzem as seguintes tensões normais na secção:

Para um cabo de traçado linear tem-se:

que são as acções equivalentes do cabo de pré-esforço sobre a secção de betão.

Nas figuras seguintes representam-se as cargas equivalentes e os esforços isostáticos

produzidos por um cabo rectilíneo e por um cabo parabólico de pré-esforço.

Cabo Rectilíneo de Pré-Esforço

Sem Excentricidade nos Apoios

. Cargas Equivalentes

Pág. 191

. Esforços Isostáticos

Com Excentricidade nos Apoios

. Cargas Equivalentes

. Esforços Isostáticos

Pág. 192

Cabo Parabólico de Pré-Esforço

. Cargas Equivalentes

. Esforços Isostáticos

Este conceito de cargas equivalentes pode ser utilizado para verificar directamente os

estados limites de tensão.

Por exemplo pode determinar-se qual o valor do pré-esforço para que determinada

tensão de tracção não seja excedida sob a acção de uma carga p para uma viga

simplesmente apoiada.

Pág. 193

No caso de se pretender verificar o Estado Limite de Descompressão a ½ vão, virá

σ = 0.

O pré-esforço pode ser tratado como uma acção nas condições de serviço e em

regime não fissurado, não podendo ser tratado dessa forma na verificação de Estados

Limites Últimos de secções e estruturas.

O pré-esforço corresponde a uma deformação imposta e não a uma carga.

Numa estrutura isostática os esforços exteriores numa secção, devidos ao pré-esforço

são nulos.

Não há alteração dos valores das reacções. Só nas estruturas hiperestáticas o pré-

esforço pode introduzir esforços exteriores hiperestáticos ( auto-equilibrados ),

alterando os valores das reacções com o exterior.