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CAPITULO VII

DETERMINACIÓN DE PÉRDIDAS

PRIMARIAS Y SECUNDARIAS EN TUBERÍAS

7.1 ASPECTOS GENERALES.

En los problemas analizados en el capítulo IV no ha sido necesario el cálculo de las

pérdidas de carga por fricción ya que se ha dado como un dato de los mismos problemas. Sin

embargo, en estructuras hidráulicas grandes, la determinación de estas pérdidas es muy

importante, por lo que ha sido objeto de investigaciones teórico-experimentales para llegar a

soluciones satisfactorias.

Para estudiar el problema de resistencia al flujo resulta necesario volver a la clasificación

inicial de los flujos y considerar las grandes diferencias de su comportamiento entre los flujos

laminar y turbulento.

Como ya se indicó en el capítulo VI, Osborne Reynolds (1883) sobre la base de sus

experimentos fue el primero que propuso el criterio para distinguir ambos tipos de flujo mediante

el número que lleva su nombre, el cual permite evaluar la preponderancia de las fuerzas viscosas

sobre las de inercia.

Para un ducto circular, el número de Reynolds se expresa como

ReDV

(7.1)

donde cualquier sistema de unidades consistente se puede emplear, ya que Re es un número

adimensional.

Como ya se mencionó en el Capítulo VI, Reynolds encontró que en un ducto el flujo

laminar se vuelve inestable cuando Re rebasa un valor crítico transformándose después en

turbulento. Diversas investigaciones han encontrado que el valor crítico se presenta cuando

Re=2000; sin embargo, otros experimentos han demostrado que, dependiendo en mucho de los

disturbios iniciales, el flujo laminar se puede tener incluso con valores de Re de hasta 50000. En

otros casos, el flujo laminar se conserva sólo hasta valores tan bajos como 1000, dándose esta

situación en tuberías muy rugosas.

7.2 CONCEPTO GENERALIZADO DEL NÚMERO DE REYNOLDS.

CONCEPTO DE RADIO HIDRÁULICO.

Como no todos los conductos que transportan fluidos son circulares, es necesario emplear

alguna dimensión geométrica lineal que caracterice la forma del ducto y que se pueda emplear en

lugar del diámetro.

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Para el caso del flujo turbulento completamente desarrollado, se define como radio

hidráulico (Rh) a la relación:

hh

h

A = R

P (7.2)

en donde:

Ah = área hidráulica, área de la sección transversal ocupada por el fluido dentro del conducto.

Ph = perímetro húmedo, perímetro de la sección transversal del conducto en el que hay

contacto del líquido con la pared.

No se debe interpretar el radio hidráulico como el radio equivalente para un ducto

circular totalmente lleno, ya que, para esta situación se tiene que:

h

h

h

r r DAR = = = =

rP

2

2 2 4 (7.3)

Con base en lo anterior, definimos el diámetro hidráulico o equivalente como:

e hD R 4 (7.4)

siendo este valor el que se empleará en la evaluación del número de Reynolds en ductos no

circulares. Por tanto, para problemas de flujo de fluidos en conductos, la expresión general del

número de Reynolds está dada por:

Re eD V

(7.5)

Conviene hacer notar que esta práctica sólo conduce a resultados aproximados. Sólo es

válida cuando el flujo es turbulento. Para secciones anulares - tan comunes en los equipos de

transferencia de calor - se obtienen resultados aceptables hasta Di /Do = 0.3; por encima de este

valor se precisa corregir los resultados mediante coeficientes que llegan a valer 0.5 cuando Di /Do

= 0.8.

Como otro ejemplo pongamos el caso de un conducto rectangular completamente lleno:

h

LW = R

2L + 2W

7.3 ECUACIÓN GENERAL PARA LA FRICCIÓN.

La siguiente discusión se aplica a flujo laminar o turbulento y a cualquier forma de

sección transversal.

Considere un flujo estacionario en un conducto de sección transversal A (fig.1). Las

presiones en las secciones 1 y 2 son P1 y P2, respectivamente. La distancia entre las dos

secciones es L. Por la condición de equilibrio en el flujo estacionario, la suma de las fuerzas que

actúan sobre cualquier elemento de fluido debe ser igual a cero.

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Por lo tanto, si aplicamos un balance en la dirección del flujo (Fig. 2):

sin oF P A P A LA PL 1 2 0 (7.6)

donde τo es el esfuerzo cortante (fuerza tangencial por unidad de área) en la pared el tubo.

Fig. 1 Diagrama de energía

Fig. 2 Balance de fuerzas

Del diagrama se observa que senα = (z2 - z1)/L y dividiendo cada término entre γA,

1 22 1 o

P P PLz z

A

(7.7)

Si aplicamos ahora un balance de energía entre las secciones 1 y 2 de la fig.1, se

obtendrá:

-1 21 2f

P P h z z

(7.8)

Igualando las ecuaciones 7 y 8,

f o

P L h

A

(7.9)

y sustituyendo Rh = A/P,

f o

h

L = h

R

(7.10)

Podemos suponer que el esfuerzo cortante en la pared es una función de ρ, μ, V, ε y

alguna característica geométrica, la cual se tomará como el diámetro equivalente De. Entonces:

, , , ,o eD V

Si aplicamos el método del análisis dimensional, tenemos:

3 3

3

Variables repetitivas:

ee e e

DL L MD L L D V t M L D

t V V L

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Determinación de los números

=

ee

ee

e ee

ee

e

e

DMD

Lt VDD

V

D VDMVD

DLtD

V

L DD

3

122 2

3

2

3

Lo anterior se puede expresar como:

,2

o e

e

D VK

V D

(7.11)

Combinando las ecuaciones 9 y 11 y recordando que μ = ρg:

2

22

f

h

L Vh K

R g (7.12)

que se puede aplicar a cualquier forma de sección transversal.

Si sustituimos De = 4Rh, la ecuación queda como:

2

2f

e

L Vh f

D g (7.13)

donde:

,8 8 e

h

V Df K

D

(7.14)

La ecuación 7,13 se conoce como la ecuación de fricción en tubería, y comúnmente se le

denomina Ecuación de Darcy-Weisbach.

Los manuales de hidráulica están llenos de tablas, curvas y nomogramas para el cálculo

del término hf en la ecuación de energía; sin embargo, se deben utilizar con precaución. Algunas

de ellas sólo sirven para tubería de hierro fundido, por lo que no aparece el término de rugosidad

absoluta ε; resultará erróneo emplear esas tablas para tubería de cobre o concreto. Otras tablas se

han calculado sólo para el agua, por lo que el término viscosidad μ no aparecerá explícito pues es

un factor constante; emplear estas tablas para el flujo de aceite es incorrecto.

La ecuación de Darcy-Weisbach que se dedujo, es de uso universal; lo que cambiará de

un autor a otro es la manera de calcular el factor f en la ecuación.

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7.4 CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE FRICCIÓN.

Los casos posibles para la determinación de f se reducen a cuatro:

Régimen laminar:

a) Con tuberías lisas (ε/D = 0): tuberías de vidrio o cobre.

b) Con tuberías rugosas: tuberías de hierro, concreto, etc.

Régimen turbulento:

a) Con tuberías lisas

b) Con tuberías rugosas.

La experiencia y la teoría han demostrado que:

En general, f = φ(Re, ε/D),

En régimen laminar f = φ(Re), esto es, f no es función de la rugosidad.

En régimen turbulento con número elevado de Reynolds f = φ(ε/D).

Diversos investigadores han encontrado ecuaciones que nos permiten encontrar f para los

casos mencionados. Las principales ecuaciones y condiciones de aplicación son las siguientes.

1.- Cálculo de f en régimen laminar (tuberías lisas y rugosas): fórmula de Poiseuille.1

Re

f 64

(7.15)

2.- Cálculo de f en régimen turbulento y tuberías lisas, para 2000< Re < 100,000: Ecuación de

Blausius.

.

.

Ref

0 25

0 316 (7.16)

3.- Cálculo de f en régimen turbulento y tuberías lisas, para Re>100,000: primera fórmula de

Kármán-Prandtl.

log Re . f f

12 0 8 (7.17)

1 Esta ecuación toma la forma f=k/64 para ductos no circulares. Algunos valores de k son: cuadrado, 56.91;

rectángulo 2:1, 62.19; rectángulo 5:1, 76.28. Referencia: http://me.queensu.ca/courses/mech451/losses.htm, abril 12

del 2005.

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4.- Calculo de f en régimen turbulento y tuberías rugosas.

4.1 Tuberías comerciales o de rugosidad natural: Fórmula de Colebrook-White.

.

. ln. Re

Df f

1 2 510 869

3 7 (7.18)

4.2 Para números de Reynolds muy elevados cuanto la tubería es más rugosa: segunda

fórmula de Kármán-Prandtl.

log .D

f

12 1 74

2 (7.19)

7.5 DIAGRAMA DE MOODY.

Las ecuaciones anteriores permiten el cálculo del coeficiente de fricción f; sin embargo,

no siempre resulta sencillo su determinación ya que no todas las ecuaciones ponen a f en forma

explícita, por lo que en ocasiones se debe realizar la solución por tanteos.

Para evitar el tipo de solución mencionado, las ecuaciones se han representado

gráficamente en escala doblemente logarítmica mediante el llamado Diagrama de Moody, que se

muestra esquemáticamente en las fig.3 y fig. 4, en donde la relación entre f y Re en la región de

flujo turbulento aparece en una serie de curvas para diferentes valores de rugosidad relativa.

La curva más baja es para tubos lisos y cada curva arriba de ésta es para tuberías que

presentan progresivamente más rugosidad relativa.

Fig. 3 Esquema de cómo se representan las ecuaciones del coeficiente de fricción f en el Diagrama de Moody.

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Fig. 4 Diagrama de Moody para el coeficiente de fricción en conductos de paredes lisas y rugosas. Tomado de Frank M. White, Fluid Mechanics, Edit. McGrawHill, Fourth Edition

7.6 OTRAS ECUACIONES PARA DETERMINAR f.

En los últimos años se han desarrollado ecuaciones que permiten expresar f

explícitamente. Las más importantes son:

a) Tuberías lisas, 2000 < Re < 5 x 106

. log Re .2

1 82 1 64f

(7.20)

b) Ecuación de S. E. Haaland (1983)2

.. log

.Re

10

92

1

6 91 8

3 7

f

D

(7.21)

Los resultados obtenidos a partir de esta relación se encuentran dentro del 1% de

los obtenidos a partir de la ecuación de Colebrook para valores de Re entre 42 10 y 610 .

2 Haaland, SE (1983). "Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Flow". Journal of Fluids

Engineering (ASME) 103 (5): 89–90

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c) Ecuación de P. K. Swamee y A. K. Jain3, para tuberías rugosas, 10

–6 < ε/D <10

–2,

5000 < Re < 108

2

0.9

1.325

5.74ln

3.7 Re

f

D

(7.22)

Esta ecuación se puede usar convenientemente con una calculadora manual. Con

respecto a la ecuación de Colebrook, el error que produce es menor al 1% para

todos los valores de rugosidad sólo cuando Re 48 10 y, en general, cuando la

rugosidad relativa es mayor a 10-3

y Re<105, la ecuación de Swamee-Jain

sobreestima f hasta en un 3%.

d) Ecuación de P. K. Swamee (1993)4, para flujo laminar y turbulento y la transición

entre ambos, 0 < Re < 108:

.

.

.. ln

Re . Re Re

0 12516

8 6

0 9

64 5 74 25009 5

3 7f

D

(7.23)

e) Ecuación de G. Papaevangelou, C. Evangelides, C. Tzimopoulos5, para tuberías

rugosas, 10 –5

< ε/D < 0.05, 4000 < Re < 108:

.

. . log Re

.log

. Re

4

2

0 9142

0 2479 0 0000947 7

7 366

3 6115

f

D

(7.24)

Esta ecuación produce un error menor al 0.8%.

7.7 PROBLEMAS SIMPLES DE TUBERÍAS.

Por problemas simples de tuberías se hace referencia a tubos o tuberías en donde la

fricción es la única pérdida. El tubo se puede colocar en cualquier ángulo respecto a la

horizontal. Seis variables entran los problemas: Q, L, D, hf, v y ε. En general, L, v y ε, la

longitud, la viscosidad cinemática del fluido y la rugosidad absoluta de la tubería se dan o se

pueden determinar.

3 Swamee, P.K.; Jain, A.K. (1976). "Explicit equations for pipe-flow problems". Journal of the Hydraulics Division

(ASCE) 102 (5): 657–664.

4 Swamee, P. (1993). “Design of a submarine oil pipeline”, Journal of Transportation Engineering, ASCE, Vol.

119, No. 1, pp. 159-170.

5 A new explicit relation for the friction coefficient in the Darcy-Weisbach equation. G. Papaevangelou, C.

Evangelides, C. Tzimopoulos. Aristotle University of Thessaloniki, Greece.

http://blogs.sch.gr/geopapaevan/files/2010/07/full-paper_pre1128act.pdf. 27 de abril del 2011.

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Los problemas simples se pueden dividir en tres tipos:

Tipo Datos Encontrar:

I Q, L, D, v, ε hf

II hf, L, D, v, ε Q

III hf, L, Q, v, ε D

El problema tipo I busca evaluar la pérdida de energía o la caída de presión para una tubería

o sistema dado para un gasto volumétrico conocido;

el problema tipo II busca calcular el gasto volumétrico o la velocidad del fluido para una

tubería o sistema dado, para una pérdida de energía o caída de presión pre-establecida; y

el problema tipo III busca determinar el tamaño adecuado de la tubería (diámetro) para

transportar un gasto volumétrico dado, con una pérdida de energía o caída de presión

preestablecida.

En los tres casos, se conocen la tubería y la configuración del sistema (i.e., longitud de la

tubería y material, cambios de altura, así como también el número, tipo y localización de los

accesorios y válvulas) y se especifica el fluido. Con esta información, el ingeniero basa los

cálculos en las relaciones entre pérdidas de energía, gasto volumétrico y tamaño de la tubería. En

un sistema completo, los cálculos deben incluir los efectos de los accesorios y válvulas y las

pérdidas por fricción en la tubería. Con frecuencia, tales cálculos son lo bastante precisos para

tuberías muy largas, con relativamente pocas pérdidas secundarias (o locales), o cuando la

pérdida de energía por fricción en la tubería se puede aislar de otras pérdidas.

Si solamente se consideran las pérdidas por fricción en la tubería, los tres tipos de

cálculos se basan en la ecuación de Darcy-Weisbach [ec. (7.13)], donde los coeficientes de

fricción se evalúan con alguna de las ecuaciones (7.15) a (7.24), dependiendo de las condiciones

del problema.

Si el flujo es laminar, los tres tipos de problema son simples ya que las ecuaciones (7.13),

(7.15) y la del gasto volumétrico se pueden combinar y despejar para cualquier variable en

términos de las otras.

Si el flujo es turbulento, los cálculos son más difíciles, ya que en las ecuaciones del

coeficiente de fricción y en el diagrama de Moody V y D aparecen explícitamente. Ambos están

en el número de Reynolds. El término D también aparece en la rugosidad relativa. Además de

estas complicaciones, la fórmula de Colebrook está implícita en f, lo que condujo a la

popularidad del diagrama de Moody, el cual proporciona f de modo directo si se conocen Re y

ε/D, mientras que la fórmula de Colebrook requiere iteraciones. Sin embargo, en la actualidad las

iteraciones ya no son un serio problema como lo eran antes, ya que existen fórmulas explícitas

para f que son bastante aproximadas al valor de Colebrook y, además, las calculadoras y

computadoras realizan cálculos iterativos rápidamente.

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Solución para el problema tipo I.

1) Solución por el diagrama de Moody

1.- Se determina Re.

2.- Se calcula ε/D.

3.- En el diagrama de Moody o con la ecuación se evalúa f.

4.- Se determina hf por la ecuación de Darcy-Weisbach.

Solución para el problema tipo II.

Primeramente pondremos hf en función del gasto. Como sabemos:

DQ A V V

2

4

sustituyendo en la ecuación de Darcy, resulta:

f

Q

L L L Q V D f f = fhD g D g gD

2

22 2 4

25

16

82 2

Despejando Q de la ecuación anterior nos queda:

2 5fg hD

Q = 8 f L

Como en este caso no se conoce la velocidad V no se puede evaluar el número de

Reynolds y por lo mismo no se conocerá f.

a) Solución por el diagrama de Moody.

Para resolver este caso por el diagrama de Moody se procede iterativamente:

1.- Suponemos un valor de f n ; se recomienda el valor de f = 0.02

2.- Con el valor de f se encuentra Q.

3.- Se evalúa el número de Reynolds.

4.- Se calcula ε/D.

5.- En el diagrama de Moody o con la ecuación se evalúa f n + 1 .

6.- Si f n f n + 1 se emplea f n + 1 como nuevo valor inicial.

7.- El cálculo se detiene cuando se encuentra un valor de f preciso a dos cifras

significativas.

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Solución para el problema tipo III.

De la ecuación para hf en función del gasto, despejamos D:

f

f LQD

h g

2

52

8

Al igual que en el caso anterior, no es posible determinar el número de Reynolds ni

tampoco la rugosidad relativa ε/D, puesto que la incógnita es D.

a) Solución por el diagrama de Moody.

1.- Suponemos un valor de f n .

2.- Con f se calcula D.

3.- Con el valor de D, se podrá evaluar el Re y ε/D.

4.- En el diagrama de Moody o con la ecuación se evalúa f n + 1 .

5.- Si f n f n + 1 se emplea f n + 1 como nuevo valor inicial.

6.- El cálculo se detiene cuando se encuentra un valor de f correcto a dos cifras

significativas.

7.8 Fórmulas empíricas: Ecuación de Hazen-Williams,

El gran número de fórmulas existentes para el cálculo de tuberías para conducción de

agua ciertamente impresiona y pone en duda a aquellos que se inician en esta parte de la

hidráulica.

Una de las fórmulas que resultó de un estudio estadístico cuidadoso es la Hazen-

Williams; ahí se consideraron los datos experimentales disponibles obtenidos por un gran

número de investigadores y con datos de observaciones de los propios autores (Allen Hazen y

Gardner S. Williams, 1903). Esta fórmula es de empleo generalizado en los Estados Unidos,

Canadá y México.

La fórmula se expresa como:

n

f

m

RQh

L D (7.25)

en donde:

4.727USCS

10.675SI

n

n

R C

R C

y con n = 1.852, m = 4.8704 y C depende del tipo de material del ducto.

La fórmula de Hazen-Williams, siendo una de las más perfectas, requiere para su

aplicación provechosa el mayor cuidado en la adopción del coeficiente C. La selección

negligente de este coeficiente o la fijación de un valor medio invariable reduce mucho la

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precisión que se puede esperar de tal fórmula. Los límites de aplicación de esta fórmula son de

los más amplios: diámetros de 50 a 3500 mm.

Las fórmulas explícitas para gasto y diámetro son, en el sistema USCS:

0.54

2.630.4323h

Q C DL

(7.26)

0.2053 0.3803

1.3756L Q

D h C

(7.27)

y en el sistema internacional (SI):

0.54

2.630.2784h

Q C DL

(7.28)

0.2053 0.3803

1.6261L Q

D h C

(7.29)

Para tubos de fierro y acero, el coeficiente C es una función del tiempo, de modo que su

valor debe fijarse teniendo en cuenta la vida útil que se espera para la tubería. Para

determinaciones rápidas, los estadounidenses generalmente utilizan C = 100, para tubos de fierro

fundido. Tal valor corresponde en promedio a un período de servicio comprendido entre 15 y 20

años. En Latinoamérica no se hace limpieza o sustitución de las tuberías en un período tan corto,

razón por la cual, si fuese establecido un coeficiente promedio para el empleo corriente en el

país, su valor debería ser inferior a 100 (90 por ejemplo).

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Valores del coeficiente C para la ecuación de Hazen Williams

Tipo de material C

Acero Corrugado (placa ondulada)

Acero con Uniones lock-bar, nuevo

Acero galvanizado (nuevo y en uso)

Acero remachado, nuevo

Acero remachado, en uso

Acero soldado o con remache avellanado y embutido (nuevo)

Acero soldado o con remache avellanado y embutido (usado)

Acero soldado con revestido especial (nuevos y en uso)

Asbesto-cemento

Cobre

Concreto, buena terminación

Concreto, terminación común

Hierro fundido limpio

Hierro fundido, sin incrustaciones (usado)

Hierro fundido, en uso

Hierro fundido, tubos revestidos de cemento

Barro vitrificado

Latón

Madera cepillada o en duelas

Baldosas, conductos bien ejecutados

Vidrio

Plástico

Plomo

60

130

125

110

85

120

90

130

140

130

130

120

130

110

90

130

110

130

120

100

140

140

130

7.9 PÉRDIDAS MENORES

Las pérdidas que ocurren en tuberías debido a entradas, salidas, ensanchamientos,

contracciones, dobleces, codos, juntas, válvulas (aun completamente abiertas), etc. se llaman

pérdidas menores (también llamadas menores o secundarias). En el diseño hidráulico de las

tuberías, la energía perdida por fricción a lo largo de las tuberías es la que predomina en las

tuberías de 30 metros o más. Para longitudes más cortas, el conjunto de las pérdidas locales de

energía podrán ser iguales o mayores que las pérdidas de fricción a lo largo de la tubería. En casi

todos los casos las pérdidas secundarias se determinan por experimentación; sin embargo, una

excepción importante es la pérdida de carga debida a una expansión brusca en una tubería.

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Un método de calcular estas pérdidas es mediante el coeficiente de resistencia definido

por la fórmula

2

2i i

Vh K

g (7.30)

en donde la Ki es el coeficiente de un accesorio particular.

La pérdida total para una sección de diámetro D, es

n n

i i

i i

Vh K

g

2

1 1 2

en donde i nos indica un accesorio particular hasta cubrir los n accesorios presentes en el

sistema; las pérdidas se calculan para cada sección de tubería con diámetro diferente, pues eso

hace que cambie la velocidad.

Por lo general K depende de la forma geométrica del dispositivo, proximidad con otros

accesorios, así como de la velocidad y propiedades del fluido. Igual que el coeficiente de fricción

f, en flujo plenamente turbulento, K llega a ser independiente de la velocidad y propiedades del

fluido y depende sólo de la forma geométrica. Los valores de K son proporcionados por los

fabricantes.

Otro método para calcular las pérdidas secundarias es mediante el concepto de longitud

equivalente, lo que puede definirse como la longitud de ducto recto que produce la misma

pérdida de carga (hL) que el accesorio. Entonces,

eq

L

L Vh f

D g

2

2 (7.31)

en que Leq es la longitud equivalente del accesorio y f, D y V son condiciones existentes en la

tubería recta.

Para un determinado accesorio se tiene:

eq

L

L V Vh f K

D g g

2 2

2 2

Al despejar Leq se tiene:

eq

eq

L KDf K L

D f

Algunos textos proporcionan tablas de longitudes equivalentes para accesorios. Se

anexan algunas tablas para valores de K.

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Valores de K para diversos accesorios. Tomados del texto Fluid Mechanics, Frank M. White, Fourth Edition.

Valores de K para diversos accesorios. Tomados de Munson, Fluid Mechanics, Fourth Edition

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Valores de K para condiciones de salida de un depósito

Valor de K como función del redondeo del borde de entrada

Valores de K para condiciones de salida

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Valor de K para contracciones bruscas

Valor de K para expansiones bruscas

Valor de K para difusores cónicos

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Valores de K para diversos accesorios

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