cap7 perdidas primarias y secundarias fluidos

Universidad Iberoamericana Len/Fluidos/Miguel A. Arredondo 1

CAPITULO VII

DETERMINACIN DE PRDIDAS

PRIMARIAS Y SECUNDARIAS EN TUBERAS

7.1 ASPECTOS GENERALES.

En los problemas analizados en el captulo IV no ha sido necesario el clculo de las

prdidas de carga por friccin ya que se ha dado como un dato de los mismos problemas. Sin

embargo, en estructuras hidrulicas grandes, la determinacin de estas prdidas es muy

importante, por lo que ha sido objeto de investigaciones terico-experimentales para llegar a

soluciones satisfactorias.

Para estudiar el problema de resistencia al flujo resulta necesario volver a la clasificacin

inicial de los flujos y considerar las grandes diferencias de su comportamiento entre los flujos

laminar y turbulento.

Como ya se indic en el captulo VI, Osborne Reynolds (1883) sobre la base de sus

experimentos fue el primero que propuso el criterio para distinguir ambos tipos de flujo mediante

el nmero que lleva su nombre, el cual permite evaluar la preponderancia de las fuerzas viscosas

sobre las de inercia.

Para un ducto circular, el nmero de Reynolds se expresa como

ReDV

(7.1)

donde cualquier sistema de unidades consistente se puede emplear, ya que Re es un nmero

adimensional.

Como ya se mencion en el Captulo VI, Reynolds encontr que en un ducto el flujo

laminar se vuelve inestable cuando Re rebasa un valor crtico transformndose despus en

turbulento. Diversas investigaciones han encontrado que el valor crtico se presenta cuando

Re=2000; sin embargo, otros experimentos han demostrado que, dependiendo en mucho de los

disturbios iniciales, el flujo laminar se puede tener incluso con valores de Re de hasta 50000. En

otros casos, el flujo laminar se conserva slo hasta valores tan bajos como 1000, dndose esta

situacin en tuberas muy rugosas.

7.2 CONCEPTO GENERALIZADO DEL NMERO DE REYNOLDS.

CONCEPTO DE RADIO HIDRULICO.

Como no todos los conductos que transportan fluidos son circulares, es necesario emplear

alguna dimensin geomtrica lineal que caracterice la forma del ducto y que se pueda emplear en

lugar del dimetro.


Para el caso del flujo turbulento completamente desarrollado, se define como radio

hidrulico (Rh) a la relacin:

hhh

A = R

P (7.2)

en donde:

Ah = rea hidrulica, rea de la seccin transversal ocupada por el fluido dentro del conducto.

Ph = permetro hmedo, permetro de la seccin transversal del conducto en el que hay

contacto del lquido con la pared.

No se debe interpretar el radio hidrulico como el radio equivalente para un ducto

circular totalmente lleno, ya que, para esta situacin se tiene que:

2

2 2 4

h

h

h

r r DAR = = = =

rP

(7.3)

Con base en lo anterior, definimos el dimetro hidrulico o equivalente como:

4e hD R (7.4)

siendo este valor el que se emplear en la evaluacin del nmero de Reynolds en ductos no

circulares. Por tanto, para problemas de flujo de fluidos en conductos, la expresin general del

nmero de Reynolds est dada por:

Re eD V

(7.5)

Conviene hacer notar que esta prctica slo conduce a resultados aproximados. Slo es

vlida cuando el flujo es turbulento. Para secciones anulares - tan comunes en los equipos de

transferencia de calor - se obtienen resultados aceptables hasta Di /Do = 0.3; por encima de este

valor se precisa corregir los resultados mediante coeficientes que llegan a valer 0.5 cuando Di /Do = 0.8.

Como otro ejemplo pongamos el caso de un conducto rectangular completamente lleno:

2W + 2L

LW = Rh

7.3 ECUACIN GENERAL PARA LA FRICCIN.

La siguiente discusin se aplica a flujo laminar o turbulento y a cualquier forma de

seccin transversal.

Considere un flujo estacionario en un conducto de seccin transversal A (fig.1). Las

presiones en las secciones 1 y 2 son P1 y P2, respectivamente. La distancia entre las dos


secciones es L. Por la condicin de equilibrio en el flujo estacionario, la suma de las fuerzas que

actan sobre cualquier elemento de fluido debe ser igual a cero.

Por lo tanto, si aplicamos un balance en la direccin del flujo (Fig. 2):

1 2 sin 0oF PA P A LA PL (7.6)

donde o es el esfuerzo cortante (fuerza tangencial por unidad de rea) en la pared el tubo.

Fig. 1 Diagrama de energa

Fig. 2 Balance de fuerzas

Del diagrama se observa que sen = (z2 - z1)/L y dividiendo cada trmino entre A,

1 2 2 1 oP P PL

z zA

(7.7)

Si aplicamos ahora un balance de energa entre las secciones 1 y 2 de la fig.1, se

obtendr:

1 21 2-fP P

h z z

(7.8)

Igualando las ecuaciones 7 y 8,

f oP L

h A

(7.9)

y sustituyendo Rh = A/P,

f oh

L = h

R

(7.10)

Podemos suponer que el esfuerzo cortante en la pared es una funcin de , , V, y alguna caracterstica geomtrica, la cual se tomar como el dimetro equivalente De. Entonces:

o = (, De, , , V)

Si aplicamos el mtodo del anlisis dimensional, tenemos:


3 3

3

3

122 2

3

2

3

Variables repetitivas:

Determinacin de los nmeros

=

e e

e

e

ee

ee

e ee

ee

e

e

D L L D

DL LV t

t V V

MM L D

L

DMD

Lt VDD

V

D VDMVD

DLtD

V

L DD

Lo anterior se puede expresar como:

2

,o e

e

D VK

V D

(7.11)

Combinando las ecuaciones 9 y 11 y recordando que = g:

2

22

f

h

L Vh K

R g (7.12)

que se puede aplicar a cualquier forma de seccin transversal.

Si sustituimos De = 4Rh, la ecuacin queda como:

2

2f

e

L Vh f

D g (7.13)

donde:

8 8 ,e

h

V Df K

D

(7.14)

La ecuacin 7,13 se conoce como la ecuacin de friccin en tubera, y comnmente se le

denomina Ecuacin de Darcy-Weisbach.

Los manuales de hidrulica estn llenos de tablas, curvas y nomogramas para el clculo

del trmino hf en la ecuacin de energa; sin embargo, se deben utilizar con precaucin. Algunas

de ellas slo sirven para tubera de hierro fundido, por lo que no aparece el trmino de rugosidad

absoluta ; resultar errneo emplear esas tablas para tubera de cobre o concreto. Otras tablas se han calculado slo para el agua, por lo que el trmino viscosidad no aparecer explcito pues es un factor constante; emplear estas tablas para el flujo de aceite es incorrecto.


La ecuacin de Darcy-Weisbach que se dedujo, es de uso universal; lo que cambiar de

un autor a otro es la manera de calcular el factor f en la ecuacin.

7.4 CLCULO DEL COEFICIENTE DE FRICCIN.

Los casos posibles para la determinacin de f se reducen a cuatro:

Rgimen laminar:

a) Con tuberas lisas (/D = 0): tuberas de vidrio o cobre.

b) Con tuberas rugosas: tuberas de hierro, concreto, etc.

Rgimen turbulento:

a) Con tuberas lisas

b) Con tuberas rugosas.

La experiencia y la teora han demostrado que:

En general, f = (Re, /D),

En rgimen laminar f = (Re), esto es, f no es funcin de la rugosidad.

En rgimen turbulento con nmero elevado de Reynolds f = (/D).

Diversos investigadores han encontrado ecuaciones que nos permiten encontrar f para los

casos mencionados. Las principales ecuaciones y condiciones de aplicacin son las siguientes.

1.- Clculo de f en rgimen laminar (tuberas lisas y rugosas): frmula de Poiseuille.1

64

Ref (7.15)

2.- Clculo de f en rgimen turbulento y tuberas lisas, para 2000< Re < 100,000: Ecuacin de

Blausius.

0.25

0.316

Ref (7.16)

3.- Clculo de f en rgimen turbulento y tuberas lisas, para Re>100,000: primera frmula de

Krmn-Prandtl.

1 2 log Re 0.8 f f (7.17)

4.- Calculo de f en rgimen turbulento y tuberas rugosas.

1 Esta ecuacin toma la forma f=k/64 para ductos no circulares. Algunos valores de k son: cuadrado, 56.91; rectngulo 2:1, 62.19; rectngulo 5:1, 76.28. Referencia: http://me.queensu.ca/courses/mech451/losses.htm, abril 12

del 2005.


4.1 Tuberas comerciales o de rugosidad natural: Frmula de Colebrook-White.

1 2.51

0.869 ln3.7 Re

Df f

(7.18)

4.2 Para nmeros de Reynolds muy elevados cuanto la tubera es ms rugosa: segunda

frmula de Krmn-Prandtl.

1

2 log 1.742

D

f

(7.19)

7.5 DIAGRAMA DE MOODY.

Las ecuaciones anteriores permiten el clculo del coeficiente de friccin f; sin embargo,

no siempre resulta sencillo su determinacin ya que no todas las ecuaciones ponen a f en forma

explcita, por lo que en ocasiones se debe realizar la solucin por tanteos.

Para evitar el tipo de solucin mencionado, las ecuaciones se han representado

grficamente mediante el llamado Diagrama de Moody, que se muestra esquemticamente en la

fig.3, en donde la relacin entre f y Re en la regin de flujo turbulento aparece en una serie de

curvas para diferentes valores de rugosidad relativa.

La curva ms baja es para tubos lisos y cada curva arriba de sta es para tuberas que

presentan progresivamente ms rugosidad relativa.


Fig. 3 Diagrama de Moody para el coeficiente de friccin en conductos de paredes lisas y rugosas. Tomada de Frank M. White, Fluid Mechanics, Edit. McGrawHill, Fourth Edition

7.6 OTRAS ECUACIONES PARA DETERMINAR F.

En los ltimos aos se han desarrollado ecuaciones que permiten expresar f

explcitamente. Las ms importantes son:

a) Tuberas lisas, 2000 < Re < 5 x 106

2

1.82 log Re 1.64f

(7.20)

b) Ecuacin de P. K. Swamee y A. K. Jain, para tuberas rugosas, 10 6 < /D < 10 2, 5000 < Re < 108

2

0.9

1.325

5.74ln

3.7 Re

f

D

(7.21)

Esta ecuacin produce una f con una desviacin de alrededor del 1% de la ecuacin de

Colebrook y se puede usar convenientemente con una calculadora manual.

7.7 PROBLEMAS SIMPLES DE TUBERAS.

Por problemas simples de tuberas se hace referencia a tubos o tuberas en donde la

friccin es la nica prdida. El tubo se puede colocar en cualquier ngulo respecto a la

horizontal. Seis variables entran los problemas: Q, L, D, hf, v y . En general, L, v y , la


longitud, la viscosidad cinemtica del fluido y la rugosidad absoluta de la tubera se dan o se

pueden determinar. Los problemas simples se pueden dividir en tres tipos:

Tipo Datos Encontrar:

I Q, L, D, v, hf

II hf, L, D, v, Q

III hf, L, Q, v, D

El problema tipo I busca evaluar la prdida de energa o la cada de presin para una tubera o sistema dado para un gasto volumtrico conocido;

el problema tipo II busca calcular el gasto volumtrico o la velocidad del fluido para una tubera o sistema dado, para una prdida de energa o cada de presin pre-establecida; y

el problema tipo III busca determinar el tamao adecuado de la tubera (dimetro) para transportar un gasto volumtrico dado, con una prdida de energa o cada de presin

preestablecida.

En los tres casos, se conocen la tubera y la configuracin del sistema (i.e., longitud de la

tubera y material, cambios de altura, as como tambin el nmero, tipo y localizacin de los

accesorios y vlvulas) y se especifica el fluido. Con esta informacin, el ingeniero basa los

clculos en las relaciones entre prdidas de energa, gasto volumtrico y tamao de la tubera. En

un sistema completo, los clculos deben incluir los efectos de los accesorios y vlvulas y las

prdidas por friccin en la tubera. Con frecuencia, tales clculos son lo bastante precisos para

tuberas muy largas, con relativamente pocas prdidas secundarias (o locales), o cuando la

prdida de energa por friccin en la tubera se puede aislar de otras prdidas.

Si solamente se consideran las prdidas por friccin en la tubera, los tres tipos de

clculos se basan en la ecuacin de Darcy-Weisbach (ec. 7.13), donde los coeficientes de

friccin se evalan con alguna de las ecuaciones 7.15 a 7.21, dependiendo de las condiciones del

problema.

Si el flujo es laminar, los tres tipos de problema son simples ya que las ecuaciones 7.13,

7.15 y la del gasto volumtrico se pueden combinar y despejar para cualquier variable en

trminos de las otras.

Si el flujo es turbulento, los clculos son ms difciles, ya que en las ecuaciones del

coeficiente de friccin y en el diagrama de Moody V y D aparecen explcitamente. Ambos estn

en el nmero de Reynolds. El trmino D tambin aparece en la rugosidad relativa. Adems de

estas complicaciones, la frmula de Colebrook est implcita en f, lo que condujo a la

popularidad del diagrama de Moody, el cual proporciona f de modo directo si se conocen Re y

/D, mientras que la frmula de Colebrook requiere iteraciones. Sin embargo, en la actualidad las iteraciones ya no son un serio problema como lo eran antes, ya que existen frmulas explcitas

para f que son bastante aproximadas al valor de Colebrook y, adems, las calculadoras y

computadoras realizan clculos iterativos rpidamente.


Solucin para el problema tipo I.

1) Solucin por el diagrama de Moody

1.- Se determina Re.

2.- Se calcula /D.

3.- En el diagrama de Moody o con la ecuacin se evala f.

4.- Se determina hf por la ecuacin de Darcy-Weisbach.

Solucin para el problema tipo II.

Primeramente pondremos hf en funcin del gasto. Como sabemos:

2

4

DQ A V V

sustituyendo en la ecuacin de Darcy, resulta:

2

22 2 4

25

16

82 2

f

Q

L L L Q V D f f = fhD g D g gD

Despejando Q de la ecuacin anterior nos queda:

2 5fg hD

Q = 8 f L

Como en este caso no se conoce la velocidad V no se puede evaluar el nmero de

Reynolds y por lo mismo no se conocer f.

a) Solucin por el diagrama de Moody.

Para resolver este caso por el diagrama de Moody se procede iterativamente:

1.- Suponemos un valor de f n ; se recomienda el valor de f = 0.02

2.- Con el valor de f se encuentra Q.

3.- Se evala el nmero de Reynolds.

4.- Se calcula /D.

5.- Se lee en el diagrama de Moody el valor de f n + 1 .

6.- Si f n f n + 1 se emplea f n + 1 como nuevo valor inicial.


7.- El clculo se detiene cuando se encuentra un valor de f preciso a dos cifras

significativas.

Solucin para el problema tipo III.

De la ecuacin para hf en funcin del gasto, despejamos D:

2

52

8

f

f LQD

h g

Al igual que en el caso anterior, no es posible determinar el nmero de Reynolds ni

tampoco la rugosidad relativa /D, puesto que la incgnita es D.

a) Solucin por el diagrama de Moody.

1.- Suponemos un valor de f n .

2.- Con f se calcula D.

3.- Con el valor de D, se podr evaluar el Re y /D.

4.- Se lee en el diagrama de Moody el valor de f n + 1 .

5.- Si f n f n + 1 se emplea f n + 1 como nuevo valor inicial.

6.- El clculo se detiene cuando se encuentra un valor de f correcto a dos cifras

significativas.

7.8 Frmulas empricas: Ecuacin de Hazen-Williams,

El gran nmero de frmulas existentes para el clculo de tuberas para conduccin de

agua ciertamente impresiona y pone en duda a aquellos que se inician en esta parte de la

hidrulica.

Una de las frmulas que result de un estudio estadstico cuidadoso es la Hazen-

Williams; ah se consideraron los datos experimentales disponibles obtenidos por un gran

nmero de investigadores y con datos de observaciones de los propios autores (Allen Hazen y

Gardner S. Williams, 1903). Esta frmula es de empleo generalizado en los Estados Unidos,

Canad y Mxico, aunque la norma mexicana obliga al uso de la la ecuacin de Darcy-

Weisbach.

La frmula se expresa como:

n

f

m

RQh

L D (7.22)

en donde:


4.727USCS

10.675SI

n

n

R C

R C

y con n = 1.852, m = 4.8704 y C depende del tipo de material del ducto.

La frmula de Hazen-Williams, siendo una de las ms perfectas, requiere para su

aplicacin provechosa el mayor cuidado en la adopcin del coeficiente C. La seleccin

negligente de este coeficiente o la fijacin de un valor medio invariable reduce mucho la

precisin que se puede esperar de tal frmula. Los lmites de aplicacin de esta frmula son de

los ms amplios: dimetros de 50 a 3500 mm.

Las frmulas explcitas para gasto y dimetro son, en el sistema USCS:

0.54

2.630.4323h

Q C DL

(7.23)

0.2053 0.3803

1.3756L Q

D h C

(7.24)

y en el sistema internacional (SI):

0.54

2.630.2784h

Q C DL

(7.25)

0.2053 0.3803

1.6261L Q

D h C

(7.26)

Para tubos de fierro y acero, el coeficiente C es una funcin del tiempo, de modo que su

valor debe fijarse teniendo en cuenta la vida til que se espera para la tubera. Para

determinaciones rpidas, los estadounidenses generalmente utilizan C = 100, para tubos de fierro

fundido. Tal valor corresponde en promedio a un perodo de servicio comprendido entre 15 y 20

aos. En Latinoamrica no se hace limpieza o sustitucin de las tuberas en un perodo tan corto,

razn por la cual, si fuese establecido un coeficiente promedio para el empleo corriente en el

pas, su valor debera ser inferior a 100 (90 por ejemplo).


Valores del coeficiente C para la ecuacin de Hazen Williams

Tipo de material C

Acero Corrugado (placa ondulada)

Acero con Uniones lock-bar, nuevo

Acero galvanizado (nuevo y en uso)

Acero remachado, nuevo

Acero remachado, en uso

Acero soldado o con remache avellanado y embutido (nuevo)

Acero soldado o con remache avellanado y embutido (usado)

Acero soldado con revestido especial (nuevos y en uso)

Asbesto-cemento

Cobre

Concreto, buena terminacin

Concreto, terminacin comn

Hierro fundido limpio

Hierro fundido, sin incrustaciones (usado)

Hierro fundido, en uso

Hierro fundido, tubos revestidos de cemento

Barro vitrificado

Latn

Madera cepillada o en duelas

Baldosas, conductos bien ejecutados

Vidrio

Plstico

Plomo

60

130

125

110

85

120

90

130

140

130

130

120

130

110

90

130

110

130

120

100

140

140

130


7.9 PRDIDAS MENORES

Las prdidas que ocurren en tuberas debido a entradas, salidas, ensanchamientos,

contracciones, dobleces, codos, juntas, vlvulas (an completamente abiertas), etc. se llaman

prdidas menores. Este es un nombre incorrecto porque en muchas situaciones son ms

importantes que las prdidas debidas a la friccin en el tubo consideradas en las secciones

anteriores. En casi todos los casos las prdidas secundarias se determinan por experimentacin.

Sin embargo, una excepcin importante es la prdida de carga debida a una expansin brusca en

una tubera.

Un mtodo de calcular estas prdidas es mediante el coeficiente de resistencia definido

por la frmula

2

2i i

Vh K

g (7.27)

en donde la Ki es el coeficiente de un accesorio particular.

La prdida total para una seccin de dimetro D, es

2

1 1 2

n n

i i

i i

Vh K

g

en donde i nos indica un accesorio particular hasta cubrir los n accesorios presentes en el

sistema; las prdidas se calculan para cada seccin de tubera con dimetro diferente, pues eso

hace que cambie la velocidad.

Por lo general K depende de la forma geomtrica del dispositivo, proximidad con otros

accesorios, as como de la velocidad y propiedades del fluido. Igual que el coeficiente de friccin

f, en flujo plenamente turbulento, K llega a ser independiente de la velocidad y propiedades del

fluido y depende slo de la forma geomtrica. Los valores de K son proporcionados por los

fabricantes.

Otro mtodo para calcular las prdidas secundarias es mediante el concepto de longitud

equivalente, lo que puede definirse como la longitud de ducto recto que produce la misma

prdida de carga (hL) que el accesorio. Entonces,

2

2

eq

L

L Vh f

D g (7.28)

en que Leq es la longitud equivalente del accesorio y f, D y V son condiciones existentes en la

tubera recta.

Para un determinado accesorio se tiene: 2 2

2 2

eq

L

L V Vh f K

D g g

Al despejar Le se tiene:

eq

eq

L KDf K L

D f


Algunos textos proporcionan tablas de longitudes equivalentes para accesorios. Se

anexan algunas tablas para valores de K.


Valores de K para diversos accesorios. Tomados del texto Fluid Mechanics, Frank M. White, Fourth Edition.

Valores de K para diversos accesorios. Tomados del Munson, Fluid Mechanics, Fourth Edition


Valores de K para condiciones de salida de un depsito

Valor de K como funcin del redondeo del borde de entrada

Valores de K para condiciones de salida


Valor de K para contracciones bruscas

Valor de K para expansiones bruscas

Valor de K para difusores cnicos


Valores de K para diversos accesorios

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