algebra liniara, geometrie

Download Algebra Liniara, Geometrie

Post on 14-Jul-2015

1.276 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

UNIVERSITATEA DE TIINE AGRICOLE I MEDICIN VETERINAR A BANATULUI TIMIOARA Facultatea de Management Agricol ID IMAPA

Conf.Dr. Ciprian RUJESCU

Curs de

Algebr liniar, geometrie analitic i diferenial

- TIMIOARA 2009

CUPRINS

1. Algebr vectorial 2. Dreapta i planul n spaiu 3. Geometria diferenial a curbelor i suprafeelor n spaiu 4. Conice pe ecuaia general. Suprafee de ordinul II. Sfera Bibliografie

1 28 51 67 96

.1. Algebr vectorial 1. Sisteme de coordonate pe dreapt Definiia 1 O dreapt pe care s-a luat o origine O, o unitate u de msur i un sens de parcurs, se numete ax (figura 1).

sens negativ O(0)

u M(x)

sens pozitiv

fig.1. Punctului M i se asociaz xR care se numete coordonata punctului fa de axa considerat i ea depinde de origine, unitate de msur i de sens.

a M1(-x) O(0) O'(a)

M2(x-a) M(x)

fig.2. Datorit faptului c exist un sens pozitiv i sensul opus este sensul negativ, punctului M(x) i corespunde punctul M1(-x). Dac lum o nou origine O'(a) atunci punctul M are coordonata x fa de vechea origine i coordonata x-a fa de noua origine (figura 2).

O

M1(x1)

M2(x2)

fig.3.

Definiia 2 Segmentul M1 M 2 unde M1(x1), M2(x2) se numete orientat de la M1 la M2 i avem : M1 M 2 = {x[x1,x2]}, M1 M 2 = x2 - x1, lungimea algebric M1 M 2 = x2 - x1, M1 M 2 fiind segmentul neorientat i M1M2 = M1 M 2 (figura 3). Observaia 1 Lungimea algebric este pozitiv dac M2 este la dreapta lui M1 i negativ, n sens contrar, dac sensul pozitiv este luat de la stnga la dreapta. Teorema 1 (Relaia lui Chasles). Dac avem punctele M1(x1), M2(x2), M3(x3), atunci M1 M 2 + M 2 M 3 + M 3 M1 = 0. Demonstraie Avem:

M 1 M 2 = x 2 - x1M 2 M 3 = x 3 - x2 M 3 M 1 = x 1 - x3

care prin adunare dau relaia cerut. Definiia 3 Fie M1(x1), M2(x2), x1< x2 i M(x) atunci x =x1 + x2 este 1+

coordonata punctului care mparte segmentul M1M2 n raporul unde

=

M1 M x x1 . = MM 2 x2 x

Expresia coordonatei se afl uor din = x(1-) = x2 + x1 sau x =

x x1 sau x2 - x1 = x -x1 sau x2 x

x1 + x2 x + x2 , dac = 1 atunci x = 1 i M este 1+ 2

mijlocul segmentului M1 M 2 . Observaia 2 Dac avem M(x), coordonata x se mai numete i abscis, iar dac xR, axa pe care se afl punctul M se numete axa numerelor reale sau axa real.

2. Sisteme de coordonate n plan

a) Coordonate carteziene Mulimea punctelor ordonate (x,y)R2 (figura 1), unde xR, yR se numete plan, deci un punct M(x,y) are dou coordonate i anume abscisa x i ordonata y astfel c dreptele Ox Oy se numesc dreapta absciselor i respectiv dreapta ordonatelor i ele formeaz un sistem cartezian rectangular n plan sau reper cartezian rectangular, notat xOy.y

B(y)

M(x,y)

O

A(x)

x

fig.1.

Dac avem M1(x1,y1), M(x,y), M2(x2,y2) i segmentul M1 M 2 (figura 2), punctul M fiind situat pe acest segment atunci raportul n care M mparte segmentul M1M2 este = y=M1 M x + x2 i coordonatele lui M sunt x = 1 , 1+ MM 2

y1 + y2 care se afl la fel ca cele de pe dreapt. 1+ M1 M M2

fig.2.

b) Coordonate polare Dac avem M(x,y) i sistemul xOy, cu unghiul pe care l face axa Ox cuOM i = OM atunci punctul M poate fi determinat de (,) care se numesc

coordonate polare (figura 3). Corespondena (x,y)(,) fiind biunivoc pentru 0 i 0 < 2. Din figura 3 avem corespondena (x,y)(,) prin relaiile:

x = r cos, y = r sin. Corespondena (,)(x,y) este dat prin relaiile =x 2 + y 2 , = arctg

y , pentru determinarea lui se alege din mulimea x

soluiilor ecuaiei trigonometrice tg = sin =

y x , valoarea lui pentru care cos = , x r

y , r 0, deci soluia dintr-un singur cadran. ry

y O x

M(x,y)

x

fig.3.Observaia 1 se numete unghi polar i OM raz polar.3. Sisteme de coordonate n spaiu

a) Coordonate carteziene Mulimea tripletelor ordonate (x,y,z)R3, unde x,y,zR se numete spaiu. Dac alegem axele Ox, Oy, Oz astfel ca: Ox (Oy, Oz) i Oy Oz atunci ele formeaz un sistem sau un reper cartezian rectangular, notat Oxyz. Axele Ox, Oy, Oz se numesc axe de coordonate, respectiv axa absciselor, ordonatelor i cotelor, iar planele Oxy, Oyz, Ozx se numesc plane de coordonate. Un punct M(x,y,z) are coordonatele x = abscisa, y = ordonata, z = cota. Din figura 1 rezult:

A = (AM'M) Ox unde (AM'M)Oyz, A(x, 0, 0) B = (BM'M) Oy unde (BM'M)Oxz, B(0, y, 0) C = (CM'M) Oz unde (CM'M)Oxy, C(0, 0, z)z

C(0,0,z)

M

B(0,y,0) O y

A(x,0,0) x

M'(x,y,0)

fig.1.n concluzie M determin punctele A, B, C. Observaia 1 Dac M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), atunci coordonatele punctului M care mparte segmentul M1 M 2 n raportul sunt x=

x1 + x2 y + y2 z + z2 ,y= 1 ,z= 1 1+ 1+ 1+

i la fel, dac = 1, atunci M este mijlocul segmentului M1 M 2 . b. Coordonate cilindrice Punctul M poate fi definit i de coordonatele (, , z), numite coordonate cilindrice, unde = OM ' (figura 2), este unghiul pe care-l face OM ' cu axa Ox, z cota punctului M(x, y, z). Deci avem urmtoarea coresponden biunivoc (x, y, z) (, , z) unde 0, 0 < 2, z(-,) = R. Corespondena (x, y, z) (, , z) este dat de relaiile: x = cos y = sin iar corespondena , , z este dat de relaiile: z = z

=

x 2 + y 2 , = arctg

y , z = z, conform figurii 2. xz

C

M(x,y,z)

O A x M'

B y

fig.2.c) Coordonate sferice Punctul M(x ,y, z) poate fi definit de (r, , ) numite coordonate sferice unde r = OM , este unghiul pe care-l face axa Oz cu OM , este unghiul pe care-l face axa Ox cu OM ' , se numete latitudine, iar se numete longitudine.z

C

M(x,y,z) r O B y

A x

M'

fig.3.Din figura 3 rezult urmtoarele: r 0, [0,), [0,2) i n continuare, pentru corespondena (x,y,z)(r,,) vom avea: cos =

x n OAM' i deci x = OM'cos, apoi OM '

y n OM'B deci y = OM'sin. cos = 2 OM ' z sin 2 = r n OMM' avem: i deci cos = OM ' r 2 z = r cos, OM' = r sin i n concluzie avem: x = r sin cos (1) y = r sin sin z = r cos deci (x, y, z) (r, , )

Corespondena (r, , ) (x, y, z) rezult din (1), astfel c:

r = x 2 + y 2 + z 2 z = arccos x2 + y2 + z2 y = arctg x (x, y, z) (r, , ).

deci i aici avem corespondena biunivoc

Observaia 2 n unele cri se mai obinuiesc notaiile (r, u, v) pentru coordonatele sferice.4. Vectori pe dreapt

Noiunile din fizic de for, vitez, acceleraiile sunt stri fizice caracterizate prin mrime, direcie i sens. Definiia 1 Obiectul matematic ataat unei stri fizice caracterizate prin mrime, direcie i sens se numete vector. n matematic pentru vectori se folosesc segmentele orientate. Pentru vectorul AB avem mrimea AB , direcia determinat de punctele A i B, iar sensul de la A la B. Vectorul AB are A ca punct de aplicaie iar B extremitatea lui.

Ca notaii pentru vectori se folosesc duble litere mari: AB , CD , ... sau r r simplu litere mici: a , b , ... . Pentru vectorul AB , dac A este fix atunci vectorul este legat, dac AB este constant i A mobil atunci vectorul este alunector. r r Definiia 2 Se numete versor al unui vector a , un vector u , care are r r aceeai direcie i sens cu a i u = 1. r Definiia 3 Vectorul 0 care are mrimea nul se numete vector nul, el nu r r are direcie i sens, vectorii a i b sunt egali dac au aceeai mrime, direcie i r r sens, iar a este opusul lui b dac au aceeai mrime, direcie i sensuri opuse, r r adic a = -b . Teorema 1 Mulimea vectorilor de pe dreapt formeaz grup comutativ fa de operaia de adunare a vectorilor. Demonstraie Se definesc urmtoarele operaii: r r r r 1. a = a = (a) u , unde u = 1, unde R este un scalar (stare fizic, ce se caracterizeaz numai prin mrime). r r r r r r r r r 2. a + b = c , astfel: a = a u , b = b u , c = (a+b) u . Proprietile grupului fiind: r r r r r r - asociativitatea: (a + b ) + c = a + (b + c ) r r r r r r - elementul neutru: 0, a..: a + 0 = 0 + a = a r r r r r r - elementul simetric: - a , a..: a + a = a + (a ) = 0 r r r r - comutativitatea: a + b = b + a S se demonstreze de exemplu comutativitatea: r r r r r r r r r r a + b = au + bu = (a + b)u = (b + a )u = bu + au = b + a r r r Definiia 4 Vectorii v1 , v2 ,..., vn sunt liniar dependeni dac exist n scalari 1, 2, ... , n; nu toi nuli, adic:k =1

2 0 astfel ca: k

n

r r r 1 v1 +2 v2 +...+n vn .

r r r r Definiia 5 Vectorii v1 i v2 sunt coliniari, dac v1 = v2 , 0. r r Teorema 2 Vectorii v1 i v2 sunt coliniari dac i numai sunt liniari

dependeni.r r r r Demonstraie Presupunem c v1 coliniar cu v2 , atunci v1 = v2 , 0), r r r deci v1 - v2 = 0 deci 1 = 1, 2 = - 0 i 12 + 22 = 1 + 2 0 deci vectorii v1 r i v2 sunt liniar dependeni. r r Reciproc, s presupunem c v1 i v2 sunt liniar dependeni, atunci exist r r 1, 2, 12 + 22 0 (presupunem 1 0), astfel c 1 v1 + 2 v2 = 0, deci

r r r r r v1 = 2 v2 = v2 , unde = 2 , n concluzie vectorii v1 i v2 sunt coliniari. 1 1 5. Vectori n plan i n spaiu

a) Vectori n planr Definiia 1 Vectorul v = AB se numete liber, dac punctul A este

oarecare n plan, direcia i sensul fiind aceeai i se numete legat, dac punctul A este fix.y

(P)q v

j i p x

fig.1.

Un vector n plan se caracterizeaz prin doi parametri directori care reprezint proieciile vectorului pe cele dou axe de coordonate.

r Din figura 1 se observ deci c v (p,q). r r Definiia 2 Fie v1 (p1,q1), v2 (p2,q2), prin definiie r r v1 + v2 = (p1+p2, q1+q2).

Observaia 1 Mulimea vectorilor din plan n raport cu adunarea vectorilor formeaz grup comutativ. r r Definiia 3 v = v = (p, q), deci am definit nmulirea unui vector cu un scalar. Observaia 2 Mulimea vectorilor din plan n