algebra liniara geometrie analitica geometrie diferentiala

Download Algebra liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

Post on 12-Jun-2015

9.631 views

Category:

Documents

17 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRASOV FACULTATEA DE CONSTRUCTII SPECIALIZARI : CCIA , INST, DPCF FACULTATEA INGINERIE ELECTRICA SI STIINTA CALCULATOARELOR SPECIALIZAREA : AUTOMATICAPROF.UNIV.DR. ATANASIU GHEORGHEALGEBRÄ‚ LINIARÄ‚, GEOMETRIE ANALITICÄ‚ ÅžI GEOMETRIE DIFERENÅ¢IALÄ‚2007PARTEA I: GEOMETRIE ANALITICÄ‚CuprinsCap. 1 NoÅ£iuni preliminare............................................................1 Cap. 2 SpaÅ£ii vectoriale.............................................

TRANSCRIPT

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOV FACULTATEA DE CONSTRUCTII SPECIALIZARI: CCIA , INST, DPCF FACULTATEA INGINERIE ELECTRICA SI STIINTA CALCULATOARELOR SPECIALIZAREA : AUTOMATICA PROF.UNIV.DR. ATANASIU GHEORGHE ALGEBR LINIAR, GEOMETRIE ANALITIC I GEOMETRIE DIFERENIAL 2007 PARTEA I:GEOMETRIE ANALITIC Cuprins Cap. 1Noiuni preliminare............................................................1 Cap. 2Spaii vectoriale................................................................17 Cap. 3Spaii punctuale euclidiene..............................................48Cap. 4Geometria liniar n spaiu..............................................92 Cap. 5Translaia i rotaia reperului cartezian.......................129 Cap. 6Schimbri de repere n plan i spaiu............................134 Cap. 7Conice...............................................................................138 Cap. 8Cuadrice...........................................................................163 Cap. 9Generri de suprafee.....................................................180 1Capitolul1 NOIUNI PRELIMINARE nacestcapitolsereamintescnoiunidebazca:mulimi,relaiibinare, funcii,precumielementefundamentalealealgebreiliniare:matrice, determinani, sisteme liniare de ecuaii, predate n liceu. Obiective operaionale: 1.1. S stpneasc operaiile i relaiile binare pe acestea 1.2. S-i reaminteasc noiunea de funcie i funciile elementare studiate1.3. S cunoasc noiunea de matrice i operaiile cu acestea 1.4. S rein proprietile determinanilor i calculul lor 1.5.Sfiecapabilsrezolvesistemeliniaredeecuaiicudouitrei necunoscute

Coninutul capitolului: 1.1 Mulimi, relaii binare i funcii 1.2 Matrice i determinani 1.3 Sisteme liniare de ecuaii 1.4 Legi de compoziie 1.5 Bibliografie 1.1 Mulimi, relaii binare i funcii Mulimi Prinmulimesenelegeocoleciedeobiectecarevorfinumite elemente. Noiunea de mulime, ca orice noiune primar, nu se definete ca altenoiunipringenulproximidiferenaspecificcisecaracterizeaz numindindividualelementelesauspecificndoproprietatepecareoau elementele sale i nu o au alte obiecte. 2Vom nota cu majuscule A , B, C,X, Yiar elementele mulimilor cu litere mici a, b, c,x, y. Pentruunelemulimicarevorfidesutilizatesefolosescnotaii consacrate.SenoteazcuNmulimeanumerelornaturale,cuZmulimea numerelorntregi,cuQmulimeanumerelorraionale,cuRmulimea numerelor reale iar cu C mulimea numerelor complexe. Legtura dintre un element i mulimea din care face parte este dat derelaianumitrelaiadeapartenen.DacAesteomulimeixun element al su vom scrie xA i vom citi x aparine lui A. Dac A i B sunt dou mulimi, vom spune c A este o submulime a lui B i vom scrie A B (A este inclus n B) dac orice element al mulimii A este i element al mulimii B. Simbolic scriem A B x, x A x B. nteoriamulimiloradmitemexistenamulimiicarenuareniciun element,notatcuinumitmulimeavid.Mulimeavidesteo submulime aoricrei mulimi. Dou mulimi sunt egale, A i B, dac i numai dac A B i B A. Relaiadeincluziunenepermitesdefinimclasaprilorunei mulimi X, notat cu P(X) i care are ca obiecte toate submulimile mulimii X. Definim n clasa prilor P(X), ale unei mulimi X, operaiile: reuniuneaa dou mulimi A i B reprezint mulimea A B= {x / x A sau x B} intersecia a dou mulimi A i B reprezint mulimea A B= {x / x A sau x B} Dou mulimi se numesc disjuncte dac A B = diferenamulimilor B i A nseamn mulimea B \ A = {x / x B sau x A} Dac A B atunci B \ A se numeste complementara lui An raport cuBisenoteazcuCBA.nclasaprilorP(X)alemulimiiX,notmcu A =CXA,complementaraluiAnraportcuX,iovomnumisimplu complementara lui A.Este simplu de dovedit c dac A, B P(X) atunci B \ A = B A . produsul cartezian al mulimilor A i B nseamn mulimea AB = {(a,b)/a A i b B} 3Un element (a,b) AB se numete pereche ordonat. Dou perechi ordonate (a1,a2) i (b1,b2) sunt egale dac i numai dac a1 = b1 i a2 = b2. nmodanalogsepotdefinioperaiiledereuniune,interseciei produs scalar pentru trei sau mai multe mulimi. PrinprodusulcartezianalmulimilorX1,X2,,Xn,nelegem mulimea sistemelor ordonate (x1,x2,, xn) cu x1 X1, i =n , 1 , adic X1 X2 Xn= {(x1,x2,, xn) / xi XI, , i =n , 1 ,} Un element al acestui produs cartezian l vom numi n - upl. Doun uple (x1,x2,, xn) i (y1,y2,, yn) sunt egale dac i numai dac x1 = y1, x2 = y2,, xn = yn. Dac X1 = X, , i =n , 1atunci vom folosi notaiaX X X= X. NumimpartiiepemulimeaXofamiliedaprialeluiX,disjuncte dou cte dou i a cror reuniune este egal cu X. Relaii Fie A i B dou mulimi nevide. Ocorespondenntreelementelecelordoumulimisenumete relaie binar. Dac a Ai b B i notm cu R relaia ntre A i B, atunci vomcitiaestenrelaiaRcubivomnotacuaRb.MulimeaAse numete mulime de plecare iar B mulimea de sosire. Cele dou mulimi nu au un rol simetric, motiv pentru care vom gndi elementele ce sunt n relaia Rcapeniteperechiordonate.Astfel,orelaiebinaroputemdefinicao submulimeGaprodusuluicartezianAB.OrelaieRntreelementele mulimilor A iB va fi dat prin tripletul R = (G:A,B), unde G AB va fi numitgrafulrelaieiRiarAiBsuntmulimeadeplecarerespectiv mulimea de sosire. DacB=A,relaiabinarRsenumetesimplurelaiebinarpe mulimea A. O relaie binar pe o mulime se noteaz de regul cuR, ,,etc. 1.1.1Definiie.OrelaiebinarpeAsenumeterelaiede echivalen dac a, b, c A, urmtoarele condiii sunt verificate: 1) a a- reflexivitatea 2) a b b a- simetria 3) a b i b c a c- tranzitivitatea. DacorelaiedeechivalenpeA,atuncipentruoriceaAdefinim mulimea ={b A / b a } numitclasadeechivalennraportcurelaiaaelementuluia.Un element al unei clase de echivalene va fi numit reprezentant al acestei clase. 4 1.1.2Teorem.DacAesteomulimenevidiesteorelaiede echivalen pe mulimea A, atunci: 1) a A ( a ) 2) =b , a b 3) dac ib sunt dou clase de echivalen atunci =bsau b= 4) reuniunea claselor de echivalen este egal cu A. MulimeaclaselordeechivalendeterminatederelaiapeAse noteaz cu A/ i se numetemulimea ct a lui A n raport cu relaia . nbazateoremei1.2rezultcorelaiedeechivalendetermino partiie pe A i reciproc. O partiie pe mulimea A este definit de clasele de echivalen.Reciproc,opartiieamulimiiAdeterminorelaiede echivalen pe A; dou elemente din A se gsesc n relaie dac ele aparin la aceeai submulime a partiiei. Exemple 1oRelaiadeparalelismnmulimeadreptelordinspaiuesteo relaiedeechivalen.Doudrepted1id2dinspaiuspunemcsunt paraleledacexistunplanceleconineicaresatisfacunadin proprietile:d1d2=saud1=d2.Putemconstatauorcrelaiadeparalelismastfel definit este o relaie de echivalen. Clasadeechivalenauneidreptedesteformatdinmulimea tuturordreptelorparalelecud.Aceastclasdeechivalensenumete direciadeterminat de dreapta d n spaiul considerat. 2o Numere cardinale. Dou mulimi A i B se zic cardinal echivalente sauechivalentedacexistobijeciedelaAlaB.Aceastrelaieesteo relaiedeechivalennclasatuturormulimilor.Claseledeechivalense numesc numere cardinale. Vom nota cardinalul mulimii A cu cardA. Dac N este mulimea numerelor naturale vom nota cardinalul acesteia cu 0 (alef zero). Orice mulime cardinal echivalent cu N se numete numrabil. Dac A i B sunt dou mulimi, card A = m i card B = n, atunci card (A B ) = m n. 1.1.3 Teorem. O relaie binar pe mulimea A, notat cu , se numete relaie de ordine daca,b,5 A, sunt satisfcute urmtoarele proprieti: 1) a a - reflexivitatea 2) a b i b a a = b - antisimetria 3) a b i b c a c- tranzitivitatea. O mulime A pe care s-a definit o relaie de ordine se numete mulime ordonati o vom nota prin ( A, ). Dac pentru orice a,b 5 A avem a b sau b a, atunci mulimea 5(A, ) se numete total ordonat sau lan. ntr-omulimeordonat(A,)unelementa5Asenumeteprim element (respectiv ultim element) al lui A dac a x (respectiv x a) oricare ar fi x 5 A. Elementul a 5 A se zicemaximal (respectiv minimal) dac din a x (respectiv x a) rezult x = a. DacBA,unelementa5Asezicemajorant(respectiv minorant) al lui B dac x a (respectiv a x) oricare ar fi x 5 B. Unelementa5Asenumetesupremum(respectivinfimum)pentru mulimea B, dac x a pentru x B i dac x a , x B atuncia a (dac a xpentru x B i dac a x, x B atunci a a). Elementul a 5 A (dac exist) se noteaz cu sup (B) (respectiv inf (B)). Omulimetotalordonat(A,)seziceinductivdacorice submulime a sa are un majorant. nteoriamulimilorsedemonstreazcurmtoareleafirmaiisunt echivalente: 1o Axiomaalegerii.DacA1,A2,,Anesteofamiliedemulimi nevide atunci A1A2An. 2o LemaluiZorn.Omulimeinductivnevidarecelpuinun majorant. Omulimeordonat(A,)sezicebineordonat,dacoricesubmulime nevid a sa are un prim element. 3o Teorema lui Zermelo. Dac A este o mulime nevid, atunci exist o relaie de ordine , astfel nct (A, ) este o mulime bine ordonat. Funcii O relaie binar particular o reprezint noiunea de funcie. Fie dou mulimi oarecare E i F. 1.1.4Teorem.SenumetefunciesauaplicaiedefinitpeEcuvalorin F,ocorespondenfprincarefiecruielementxEiseasociazun singur element y F. Proprietatea relaiei binare f , cedefineteo funcie pe E cu valori n F, se numete univocitate, adic x1,x2 E, x1= x2 f(x1) = f(x2). Prinfunciesenelegedeci,ansamblulformatdinmulimeade plecareFnumitdomeniudedefiniie,mulimeadesosireFnumit mulimeancarefunciaiavaloriilegeadecorespondenf.Elementul y F care corespunde prin f elementului x E se noteaz prin y = f(x) sau x y Elementul x E va fi numit variabil independentsau argument iar y = f(x) F se numete imaginealui x prin f. Vom folosi notaiaf : E F, y = f(x). NotmcuF:(E:F)mulimeatuturorfunciilordefinitepeEcu valori n F. Dac E = F, vom nota mulimea funciilor de la E la F prin 6F (E). Dou funciif1,f2 F (E, F) sunt egale, f1 = f2, dac i numai dac f1(x) = f2(x), x E. Graful corespondenei univoce f, notat cuGf= {(x,f (x)) / x E} E F. Doufunciif1 if2suntegaledacsubmulimileprodusului cartezian E F, 1fGi 2fGsunt egale. O funcie f : E Fse numeteinjectivdac x1,x2 E, x1x2 f(x1) f(x2) Funcia f : E F se numetesurjectiv dac y F, 0 x E astfel nct y = f(x) Mulimea f(E) se numete imagineafunciei f i se noteaz cu Imf = {yF/ 0 x E astfel nct y= f(x)} Funcia f : E F este

Recommended

View more >