culegere probleme- algebra liniara si geometrie analitica (dement01 fl)

Download Culegere Probleme- Algebra Liniara Si Geometrie Analitica (Dement01 FL)

Post on 28-Nov-2015

68 views

Category:

Documents

14 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Culegere Probleme- Algebra Liniara Si Geometrie Analitica (Dement01 FL)

TRANSCRIPT

  • ALGEBRA LINIARAsi

    GEOMETRIE ANALITICAculegere de probleme

    PAVEL MATEI

  • Cuprins

    Capitolul 1. Complemente de calcul matriceal 11. Preliminarii 12. Probleme rezolvate 43. Probleme propuse 114. Indicatii si raspunsuri 12

    Capitolul 2. Vectori liberi 131. Preliminarii 132. Probleme rezolvate 163. Probleme propuse 184. Indicatii si raspunsuri 22

    Capitolul 3. Spatii vectoriale 251. Preliminarii 252. Probleme rezolvate 263. Probleme propuse 284. Indicatii si raspunsuri 30

    Capitolul 4. Aplicatii liniare si matrice 331. Preliminarii 332. Probleme rezolvate 343. Probleme propuse 354. Indicatii si raspunsuri 36

    Capitolul 5. Valori si vectori proprii 391. Preliminarii 392. Probleme rezolvate 403. Probleme propuse 424. Indicatii si raspunsuri 44

    Capitolul 6. Spatii euclidiene 471. Preliminarii 472. Probleme rezolvate 493. Probleme propuse 544. Indicatii si raspunsuri 56

    Capitolul 7. Forme patratice 591. Preliminarii 592. Probleme rezolvate 613. Probleme propuse 644. Indicatii si raspunsuri 66

    iii

  • iv CUPRINS

    Capitolul 8. Elemente de calcul tensorial 691. Preliminarii 692. Probleme rezolvate 723. Probleme propuse 754. Indicatii si raspunsuri 76

    Capitolul 9. Planul si dreapta n spatiu 771. Preliminarii 772. Probleme rezolvate 803. Probleme propuse 824. Indicatii si raspunsuri 86

    Capitolul 10. Conice 891. Preliminarii 892. Probleme rezolvate 913. Probleme propuse 954. Indicatii si raspunsuri 97

    Capitolul 11. Cuadrice 991. Preliminarii 992. Probleme rezolvate 1033. Probleme propuse 1074. Indicatii si raspunsuri 109

    Bibliograe 111

  • CUPRINS v

    PREFATAPrezenta culegere de probleme se adreseaza studentilor din universitatile tehnice,

    economice, militare etc. Ea are la baza ndelungata experienta pedagogica a autoru-lui n cadrul Catedrei de Matematica si Informatica din Universitatea Tehnica deConstructii Bucuresti si respecta programa analitica n vigoare (post Bologna).

    Obiectivul lucrarii l constituie xarea cunostintelor teoretice si aprofundareaacestora prin probleme care nuanteaza rezultatele teoretice si pun n evidenta im-portanta lor. La redactare am avut n vedere mbinarea rigorii matematice cu clar-itatea si accesibilitatea prezentarii. Intentia mea a fost ca materialul de fata sascoata n evidenta legaturile algebrei liniare cu geometria analitica, cu alte ramuriale matematicii: analiza matematica, analiza numerica, ecuatii diferentiale, seriiFourier, precum si cu mecanica, teoria elasticitatii etc.

    Cartea furnizeaza celor interesati un material de studiu din domeniul algebreiliniare si al geometriei analitice. Sunt tratate urmatoarele capitole: complemente decalcul matriceal, vectori liberi, spatii vectoriale, aplicatii liniare si matrice, vectorisi valori proprii, spatii euclidiene, forme patratice, elemente de calcul tensorial,planul si dreapta n spatiu, conice si cuadrice.

    Fiecare capitol este structurat astfel: un breviar teoretic cu denitiile notiu-nilor folosite, teoremele si formulele de baza necesare rezolvarii problemelor, prob-leme reprezentative rezolvate n detaliu, probleme propuse, indicatii si raspunsurila problemele propuse.

    Pentru cei interesati de mprospatarea cunostintelor teoretice, recomand cartea"Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala", vol. I ([8]), aparut n anul2002 la editura AGIR.

    Autorul multumeste calduros referentilor stiintici-prof. univ. dr. GavriilPaltineanu si prof. univ. dr. Sever Angel Popescu-pentru amabilitatea, rabdarea siefortul depus n parcurgerea materialului. Sugestiile si observatiile facute se regas-esc n forma nala a lucrarii. Multumiri anticipate tuturor celor care vor faceobservatii pe marginea lucrarii de fata.

    Bucuresti, iulie 2007Autorul

    email: pavel.matei@gmail.com

  • CAPITOLUL 1

    Complemente de calcul matriceal

    1. Preliminarii

    Matrice triunghiulare. Fie L o matrice inferior triunghiulara si U o matricesuperior triunghiulara:

    L =

    0BBBB@l11 0 0 ::: 0l21 l22 0 ::: 0l31 l32 l33 ::: 0::: ::: ::: ::: :::ln1 ln2 ln3 ::: lnn

    1CCCCA , U =0BBBB@u11 u12 u13 ::: u1n0 u22 u23 ::: u2n0 0 u33 ::: u3n::: ::: ::: ::: :::0 0 0 ::: unn

    1CCCCA .

    Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor depe diagonala principala. n consecinta, o matrice triunghiulara este nesingulara(adica are determinant nenul) daca si numai daca toate elementele de pe diagonalaprincipala sunt nenule. Produsul a doua matrice inferior (superior) triunghiulareeste o matrice inferior (superior) triunghiulara Inversa unei matrice inferior (su-perior) triunghiulara nesingulara este o matrice inferior (superior) triunghiularaDaca lii 6= 0, i = 1; n, matricea inferior triunghiulara L este inversabila, inversa saB = (bij) ind data de formulele

    (1.1) bij =

    8>>>>>>>>>:

    1

    lii, daca i = j

    1lii

    0@i1Xk=j

    likbkj

    1A , daca i > j0, daca i < j

    .

    De asemenea, daca uii 6= 0, i = 1; n, matricea superior triunghiulara U esteinversabila, inversa sa C = (cij) ind data de formulele

    (1.2) cij =

    8>>>>>>>>>:

    1

    uii, daca i = j

    1uii

    jX

    k=i+1

    uikckj

    !, daca i < j

    0, daca i > j

    .

    Factorizarea LU . Fie A = (aij) o matrice patratica de ordinul n. Daca minoriiprincipali

    1

  • 2 1. COMPLEMENTE DE CALCUL MATRICEAL

    (1.3) i =

    a11 a12 ::: a1ia21 a22 ::: a2i::: ::: ::: :::ai1 ai2 ::: aii

    , i = 1; n 1,sunt nenuli, atunci exista o matrice inferior triunghiulara L cu 1 pe diagonala prin-cipala si o matrice superior triunghiulara U astfel nct A = LU , descompunereaind unica.

    Prezentam algoritmul de descompunere, conform [9]. Fie A(0) = A, deci dacaA(0) =

    a(0)ij

    , atunci a(0)ij = aij , i = 1; n, j = i; n. Pentru ecare r = 1; n 1, xat,

    se calculeaza matricea A(r) =a(r)ij

    , ale carei elemente sunt date de formulele

    a(r)ij =

    8>>>>>:a(r1)ij , daca i = 1; r, j = 1; n0, daca i = k + 1; n, j = 1; r

    a(r1)ij

    a(r1)ir

    a(r1)rr

    a(r1)rj , daca i; j = r + 1; n

    .

    De fapt, A(r) = Lr A(r1), r = 1; n 1, unde Lr este matricea care difera dematricea unitate numai prin coloana r, ale carei elemente sunt

    lir =

    8>>>:0, daca i = 1; r1, daca i = r

    a(r1)ir

    a(r1)rr

    , daca i = r + 1; n.

    O astfel de matrice se numeste matrice Frobenius. Inversa matricei Lr este omatrice de acelasi tip. Mai precis, daca L1r =

    l0ij, atunci L1r difera de matricea

    unitate numai prin coloana r, ale carei elemente sunt

    l0ir =

    8>>>:0, daca i = 1; r1, daca i = ra(r1)ir

    a(r1)rr

    , daca i = r + 1; n.

    n nal, L = L11 L12 ::: L1n1, iar U = A(n1).Metoda eliminarii a lui Gauss. Fie sistemul de ecuatii algebrice liniare:

    (1.4)

    8>>>:a11 x1 + a12 x2 + :::+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + :::+ a2n xn = b2::::::::::::::::::::::::::::::::::::an1 x1 + an2 x2 + :::+ ann xn = bn

    ,

    care se mai scrie matriceal sub forma

    Ax = b,

    unde

    (1.5) A =

    0BB@a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n::: ::: ::: :::an1 an2 ::: ann

    1CCA , x =0BB@x1x2::xn

    1CCA , b =0BB@b1b2::bn

    1CCA .

  • 1. PRELIMINARII 3

    Folosim notatiile de mai sus. Presupunem ca i 6= 0, i = 1; n. Atunci a(r)rr 6= 0,r = 1; n 1, a(n1)nn 6= 0. Metoda consta n eliminarea succesiva a necunoscutelor.Astfel, pentru ecare r xat, se elimina necunoscuta xr din ecuatiile r + 1, ...,n, ceea ce este echivalent cu operatia de nmultire la stnga a matricei A(r1) cumatricea Frobenius Lr. Este clar ca, la eliminarea unei necunoscute, se modicasi termenii liberi corespunzatori ecuatiilor din care se elimina necunoscuta. Dacab(0)i = bi, i = 1; n, atunci

    b(r)i =

    8>:b(r1)i , daca i rb(r1)i

    a(r1)ir

    a(r1)rr

    b(r)r , daca i = r + 1; n

    .

    De aceea, vom lucra cu matricea extinsa a sistemului

    eA =0BB@a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n::: ::: ::: :::an1 an2 ::: ann

    b1b2::bn

    1CCA .Vom calcula succesiv eA(r) = Lr eA(r1), r = 1; n 1, eA(0) = eA. n nal, se

    ajunge la sistemul superior triunghiular Ux = b(n1), unde U = A(n1). Acestsistem se rezolva regresiv:

    xn =b(n1)n

    a(n1)nn

    xi =

    b(n1)i

    nPj=i+1

    a(n1)ij xj

    a(n1)ii

    , i = n 1; :::; 1.

    Elementele a(1)11 , a(2)22 , ..., a

    (n1)nn , se numesc elemente pivot. n cazul general,

    se poate ntmpla ca unii pivoti sa se anuleze. Daca a(k)kk = 0 si cel putin unul dinelementele de pe coloana k si de pe liniile k + 1; k + 2; :::; m este nenul, e acestaa(k)rk , atunci permutam liniile k si r ntre ele si continuam eliminarea. Din motivede stabilitate numerica, trebuie sa efectuam permutari de linii nu numai cnd unelement pivot este egal cu zero ci si cnd el este foarte mic (n valoare absoluta).Pentru a avea erori de rotunjire ct mai mici, se alege elementul pivot, la efectuarea

    pasului k, astfel: e r cel mai mic numar ntreg pentru carea(k)rk = max

    kim

    a(k)ik .Se permuta liniile k si r astfel nct a(k)rk devine pivot.

    Algoritmul lui Gauss se poate aplica si pentru rezolvarea sistemelor dem ecuatiicu n necunoscute. Pe parcursul algoritmului pot apare urmatoarele situatii:

    -coecientii unei ecuatii devin toti nuli, iar termenul liber corespunzator estenenul, caz n care sistemul este incompatibil;

    -coecientii unei ecuatii sunt toti nuli si termenul liber corespunzator este nul,atunci ecuatia respectiva este consecinta a celorlaltor.

    Algoritmul lui Gauss ne permite sa rezolvam simultan p sisteme de ecuatii cuaceeasi matrice A, dar cu termeni liberi diferiti. n acest caz, la ecare pas operatiileaplicate asupra matricei sistemului se