geometrie diferentiala prima grila

Post on 31-May-2018

218 views

Category:

Documents

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

• 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

1/43

Geometrie diferentiala

Multiple ChoiceIdentify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.

____ 1.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba 1y x= + n punctul de abscis e

a. ( )

( ) 2: 0

: 2 0

t x ey e

n ex y e

+ =

+ + =

b. ( )

( ) 2: 0

: 2 0

t ex y e

n x ey e

=

+ + =

c. ( )

( ) 2: 0

: 2 0

t x ey e

n ex y e

+ =

=

d. ( )

( )

2: 2 0

: 0

t ex y e

n x ey e

+ + =

+ =

____ 2.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba:cos

sin

t

t

x e t

y e t

=

=

n punctul ( )1,0A

a. ( )

( )

: 1 0

: 1 0

t x y

n x y

+ =

=

b. ( )

( )

: 1 0

: 1 0

t x y

n x y

=

+ =

c. ( )

( )

: 0

: 1

t x y

n x y

=

+ =

d. ( )( )

: 1 0

: 1 0

t x y

n x y+ + = + =

____ 3.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba: 3 2 23 9 0 x x y y+ + = n punctul ( )0,3A

a. ( )

( )

: 3 0

: 0

t y

n x

+ =

=

b. ( )

( )

: 0

: 0

t x y

n x y

=

+ =

c. ( )

( )

: 3 0

: 0

t y

n x

=

=

d. ( )

( )

: 0

: 0

t x

n y

=

=

____ 4.S se calculeze segmentul de tangent T, segmentul de normal N, subtangenta PT subnormala PN pentru curba ( ) 3 2 2 3 0C x xy x y + + = n punctul n care curba ( )C taie axa Oy

S-au notat T- punctul de intersecie al curbei ( )b cu axa Ox , N- punctul de intersecie al curbei ( )C

cu axa Ox , P- proiecia punctului pe axa Ox .

• 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

2/43

a. 15 2 3

, 15 2, , 217 7

MT MN PT PN = = = =

b. 15 2 315 2, , 21,

7 7MT MN PT PN = = = =

c. 3 15 221, , , 15 2

7 7MT MN PT PN = = = =

d. 3 15 2, 21, 15 2,

7 7MT MN PT PN = = = =

____ 5.Fie curbele ( ) ( )2

1 2: , : 1 .

2

x xC y e C y x= = + + S se calculeze curburile 1K i 2K corespunztoare lu

( )1C i respectiv ( )2C n punctul comun .A

a.( ) 1 2 3

11, 0 ,

2 A K K = =

b.( ) 1 23 3

1 21,1 , ,

2 3 A K K = =

c.( ) 1 2

10,1 ,

2 2

A K K = =

d.( ) 1 2

1 11,0 , K ,

3 2 2A K = =

____ 6.S se determine ecuaia cercului osculator la elips n punctul de intersecie cu semiaxa pozitiv aabsciselor.a. 22 2 4

2

2

a b bx y

a a

+ =

b. 2 22 2

1x y

a b+ =

c. 22 2 42

2

a b bx y

a a

++ + =

d. 2 2 42

2

a b bx y

a a

+ =

____ 7.S se scrie ecuaiile parametrice ale curbei: ( ) 3 3: 3 0C x y axy+ =

• 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

3/43

a.

( )3

2

3

3

1

3

1

atx

tC t

aty

t

= +

= +

b.

( )

2

3

3

3

1 3

1

atx

tC tat

yt

=

+ = +

c.

( )2

2

2

3

1

3

1

atx

tC t

aty

t

= +

= +

d.

( )

2

3

2

4

3

1

3

1

atx

tC t

aty

t

= +

= +

____ 8.Fie curba:

( )

( )

3

22

43:

1

tx t

C t

y t

= +

= +

Notm R - raza de curbur n punctul curent pe curb. Atunci:a. 2

34R y= b. 3

24R y= c. 5

44R y=

d.4

54R y= ____ 9.Fie curba:

( )

( )

3

22

43

1

tx t

C

y t

= +

= +

Se tie c raza de curbur este dat de relaia5

44R y= . DacnS este segmentul de normal al curbei

atunci:a. nR S=

b. 2 nR S=

c. 4 nR S= d. 1

nSR

=

____ 10. S se calculeze raza de curbur a curbei ( )C dat prin coordonatele sale polare:

( ) sin ,m

C mn

=

• 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

4/43

a.1

1m

mm

Rn

+

=

b.1

1

m

mm

Rm

+=+

c. 11 mm

mR

m

+

+=

d. 1

1

m

mm

Rm

=+

____ 11. S se calculeze elementul de arc pe curba definit n coordonate polare: ( ) sin ,m

C mm

=

a. 1sin

m

ds dm

=

b. 1sin

1

m

nds d

m

+ =

+

c. 1sin

m

ds m d m

=

d. 1sin

m

ds m d m

+

=

____ 12. S se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) ( )1 cosC a = + (cardioid)

a.2 sin

2ds a d

=

b.2 cos

2ds a d

=

c. 2

cos2

=

d. 2

sin2

=

____ 13. S se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) 2

x xe eC y chx

+= = (lnior)

a. ds shx dx= b. ds thx ds= c. ds chx= d. 2 ds sh x dx=

____ 14. Fie curba ( )C definit n coordonate polare de ecuaie: ( ) ( )C = . Notm V - unghiul dintre

tangenta T i raza vectoare OM . Atuncia. 1

tgV

=

b. 1tgV

=

c.tgV

=

• 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

5/43

d.tgV

=

____ 15. Fie curba ( )C definit n coordonate polare de ecuaie: ( ) ( )C = . S se scrie ecuaiile tangente

( )t i normalei ( )n la curba ( )C n punctul curent

a.( ) ( )

( ) ( )

:

:

tgt Y y X xtg

tgn Y y X x

tg

=

=

b.( ) ( )

( ) ( )

:

:

tgt Y y X x

tg

tgn Y y X x

tg

+ =

=

+

c.( ) ( )

( ) ( )

2:

:

2

tgt Y y X x

tg

tgn Y y X x

tg

=

=

d. ( ) ( )

( ) ( )

:

1:

t Y y tg X x

n Y y X xtg

=

=

____ 16. S se calculeze unghiul V dintre tangenta Ti raza vectoare OM , unde este un punct oarecareal curbei ( ) kC ae = (spirala logaritmic)

a. tgV k = b.

2

1tgV

k=

c. 1tgV

k=

d. tgV k =

____ 17. S se afle subtangenta PT i subnormala PN ntr-un punct arbitrar situat pe parabola( ) 2y 2C px= .

a. 2 , PT x PN p= = b. 2 , PT y PN p= =

• 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

6/43

c. , 2 PT p PN x= = d. , 2 PT p PN y= =

____ 18. S se afle segmentul de tangent T ntr-un punct oarecare al curbei ( ) 1 x t tht

Cy

cht

=

=

a. 12MT =

b. 1MT =

c. 1MT =

d. 12

MT =

____ 19. S se afle tangenta polar T , normala polar N, subtangenta polarPT i subnormala polarPNntr-un punct oarecare al spiralei logaritmice: ( ) , 0kC ae k = >

a. 2 21 11 , 1 , ,T k MN k k PT PN k k k

= + = + = =

b. 2 21 1, , 1 , 1T k MN PT k PN k k k k = = = + = +

c. 2 21 , 1 , ,T k MN k PT PN k k k

= + = + = =

d. 2 2, 1 , 1 ,MT k MN k PT k PN k k

= = + = + =

____ 20. Fie un cerc de raz a . Fie A un punct pe cerc i O punctul diametrar opus luiA . O secant oarecaredus prin O taie cercul n punctul Ci tangenta nA la cerc n punctulB . S se afle locul geometric apunctuluiP astfel nct BP OC= .a.

( )3

3

cosastroida

sin

x t

y a t

=

=

b.( )

2

32 sin

cisoida lui Dioclessin2

cos

x a

y a

=

=

c. ( )spirala logaritmickae =

d. ( )

( )( )

sincicloida

1 cos

x a t t

y a t

=

=

____ 21. Eliminnd parametrul ntre ecuaiile parametrice ale curbei:

• 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

7/43

( ) ( )

2

3

2 sin

sin2

cos

x a

C cisoida lui Dioclesy a

=

=

se obine ecuaia curbei sub form implicit:a. ( )2 2 22 0 y x y ax+ =

b. ( )2 2 22 0 x x y ay+ + = c. ( ) ( )2 2 2 2 2 0x x y a x y+ + = d. ( )2 2 22 0 x x y ay+ =

____ 22. S se scrie ecuaiile parametrice ale strofoidei: ( ) ( )2 2 2 2 0x x y a x y+ + = a.

2

2

2

1

1

atx

tt

aty

t

= +

= +

b. ( )

( )

2

2

2

2

1

1

1

1

a t

x tt

at ty

t

= +

= +

c. ( )

( )

2

2

2

2

1

1

1

1

at tx

tt

a ty

t

= +

=+

d.

( )

( )

2

22

22

1

1

atx

tt

atyt

=

+

= +

____ 23. S se gseasc punctele de intersecie ale curbei ( )C definit parametric de ecuaile:

( )3

2

3

3

x t t C t

y t

=

=

i dreapta :( ) 2 6 0d x y+ + =

a. ( ) ( ) ( )0, 3 , -18, 6 , 2, 2 A B C

b. ( ) ( ) ( )0, 3 , 18, 6 , 2,2 A B C

c. ( ) ( ) (