geometrie diferentiala prima grila

Download Geometrie diferentiala prima grila

Post on 31-May-2018

218 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

    1/43

    Geometrie diferentiala

    Multiple ChoiceIdentify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.

    ____ 1.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba 1y x= + n punctul de abscis e

    a. ( )

    ( ) 2: 0

    : 2 0

    t x ey e

    n ex y e

    + =

    + + =

    b. ( )

    ( ) 2: 0

    : 2 0

    t ex y e

    n x ey e

    =

    + + =

    c. ( )

    ( ) 2: 0

    : 2 0

    t x ey e

    n ex y e

    + =

    =

    d. ( )

    ( )

    2: 2 0

    : 0

    t ex y e

    n x ey e

    + + =

    + =

    ____ 2.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba:cos

    sin

    t

    t

    x e t

    y e t

    =

    =

    n punctul ( )1,0A

    a. ( )

    ( )

    : 1 0

    : 1 0

    t x y

    n x y

    + =

    =

    b. ( )

    ( )

    : 1 0

    : 1 0

    t x y

    n x y

    =

    + =

    c. ( )

    ( )

    : 0

    : 1

    t x y

    n x y

    =

    + =

    d. ( )( )

    : 1 0

    : 1 0

    t x y

    n x y+ + = + =

    ____ 3.S se scrie ecuaiile tangentei ( )t i normalei ( )n la curba: 3 2 23 9 0 x x y y+ + = n punctul ( )0,3A

    a. ( )

    ( )

    : 3 0

    : 0

    t y

    n x

    + =

    =

    b. ( )

    ( )

    : 0

    : 0

    t x y

    n x y

    =

    + =

    c. ( )

    ( )

    : 3 0

    : 0

    t y

    n x

    =

    =

    d. ( )

    ( )

    : 0

    : 0

    t x

    n y

    =

    =

    ____ 4.S se calculeze segmentul de tangent T, segmentul de normal N, subtangenta PT subnormala PN pentru curba ( ) 3 2 2 3 0C x xy x y + + = n punctul n care curba ( )C taie axa Oy

    S-au notat T- punctul de intersecie al curbei ( )b cu axa Ox , N- punctul de intersecie al curbei ( )C

    cu axa Ox , P- proiecia punctului pe axa Ox .

  • 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

    2/43

    a. 15 2 3

    , 15 2, , 217 7

    MT MN PT PN = = = =

    b. 15 2 315 2, , 21,

    7 7MT MN PT PN = = = =

    c. 3 15 221, , , 15 2

    7 7MT MN PT PN = = = =

    d. 3 15 2, 21, 15 2,

    7 7MT MN PT PN = = = =

    ____ 5.Fie curbele ( ) ( )2

    1 2: , : 1 .

    2

    x xC y e C y x= = + + S se calculeze curburile 1K i 2K corespunztoare lu

    ( )1C i respectiv ( )2C n punctul comun .A

    a.( ) 1 2 3

    11, 0 ,

    2 A K K = =

    b.( ) 1 23 3

    1 21,1 , ,

    2 3 A K K = =

    c.( ) 1 2

    10,1 ,

    2 2

    A K K = =

    d.( ) 1 2

    1 11,0 , K ,

    3 2 2A K = =

    ____ 6.S se determine ecuaia cercului osculator la elips n punctul de intersecie cu semiaxa pozitiv aabsciselor.a. 22 2 4

    2

    2

    a b bx y

    a a

    + =

    b. 2 22 2

    1x y

    a b+ =

    c. 22 2 42

    2

    a b bx y

    a a

    ++ + =

    d. 2 2 42

    2

    a b bx y

    a a

    + =

    ____ 7.S se scrie ecuaiile parametrice ale curbei: ( ) 3 3: 3 0C x y axy+ =

  • 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

    3/43

    a.

    ( )3

    2

    3

    3

    1

    3

    1

    atx

    tC t

    aty

    t

    = +

    = +

    b.

    ( )

    2

    3

    3

    3

    1 3

    1

    atx

    tC tat

    yt

    =

    + = +

    c.

    ( )2

    2

    2

    3

    1

    3

    1

    atx

    tC t

    aty

    t

    = +

    = +

    d.

    ( )

    2

    3

    2

    4

    3

    1

    3

    1

    atx

    tC t

    aty

    t

    = +

    = +

    ____ 8.Fie curba:

    ( )

    ( )

    3

    22

    43:

    1

    tx t

    C t

    y t

    = +

    = +

    Notm R - raza de curbur n punctul curent pe curb. Atunci:a. 2

    34R y= b. 3

    24R y= c. 5

    44R y=

    d.4

    54R y= ____ 9.Fie curba:

    ( )

    ( )

    3

    22

    43

    1

    tx t

    C

    y t

    = +

    = +

    Se tie c raza de curbur este dat de relaia5

    44R y= . DacnS este segmentul de normal al curbei

    atunci:a. nR S=

    b. 2 nR S=

    c. 4 nR S= d. 1

    nSR

    =

    ____ 10. S se calculeze raza de curbur a curbei ( )C dat prin coordonatele sale polare:

    ( ) sin ,m

    C mn

    =

  • 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

    4/43

    a.1

    1m

    mm

    Rn

    +

    =

    b.1

    1

    m

    mm

    Rm

    +=+

    c. 11 mm

    mR

    m

    +

    +=

    d. 1

    1

    m

    mm

    Rm

    =+

    ____ 11. S se calculeze elementul de arc pe curba definit n coordonate polare: ( ) sin ,m

    C mm

    =

    a. 1sin

    m

    ds dm

    =

    b. 1sin

    1

    m

    nds d

    m

    + =

    +

    c. 1sin

    m

    ds m d m

    =

    d. 1sin

    m

    ds m d m

    +

    =

    ____ 12. S se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) ( )1 cosC a = + (cardioid)

    a.2 sin

    2ds a d

    =

    b.2 cos

    2ds a d

    =

    c. 2

    cos2

    ads d

    =

    d. 2

    sin2

    ads d

    =

    ____ 13. S se calculeze elementul de arc pe curba: ( ) 2

    x xe eC y chx

    += = (lnior)

    a. ds shx dx= b. ds thx ds= c. ds chx= d. 2 ds sh x dx=

    ____ 14. Fie curba ( )C definit n coordonate polare de ecuaie: ( ) ( )C = . Notm V - unghiul dintre

    tangenta T i raza vectoare OM . Atuncia. 1

    tgV

    =

    b. 1tgV

    =

    c.tgV

    =

  • 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

    5/43

    d.tgV

    =

    ____ 15. Fie curba ( )C definit n coordonate polare de ecuaie: ( ) ( )C = . S se scrie ecuaiile tangente

    ( )t i normalei ( )n la curba ( )C n punctul curent

    a.( ) ( )

    ( ) ( )

    :

    :

    tgt Y y X xtg

    tgn Y y X x

    tg

    =

    =

    b.( ) ( )

    ( ) ( )

    :

    :

    tgt Y y X x

    tg

    tgn Y y X x

    tg

    + =

    =

    +

    c.( ) ( )

    ( ) ( )

    2:

    :

    2

    tgt Y y X x

    tg

    tgn Y y X x

    tg

    =

    =

    d. ( ) ( )

    ( ) ( )

    :

    1:

    t Y y tg X x

    n Y y X xtg

    =

    =

    ____ 16. S se calculeze unghiul V dintre tangenta Ti raza vectoare OM , unde este un punct oarecareal curbei ( ) kC ae = (spirala logaritmic)

    a. tgV k = b.

    2

    1tgV

    k=

    c. 1tgV

    k=

    d. tgV k =

    ____ 17. S se afle subtangenta PT i subnormala PN ntr-un punct arbitrar situat pe parabola( ) 2y 2C px= .

    a. 2 , PT x PN p= = b. 2 , PT y PN p= =

  • 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

    6/43

    c. , 2 PT p PN x= = d. , 2 PT p PN y= =

    ____ 18. S se afle segmentul de tangent T ntr-un punct oarecare al curbei ( ) 1 x t tht

    Cy

    cht

    =

    =

    a. 12MT =

    b. 1MT =

    c. 1MT =

    d. 12

    MT =

    ____ 19. S se afle tangenta polar T , normala polar N, subtangenta polarPT i subnormala polarPNntr-un punct oarecare al spiralei logaritmice: ( ) , 0kC ae k = >

    a. 2 21 11 , 1 , ,T k MN k k PT PN k k k

    = + = + = =

    b. 2 21 1, , 1 , 1T k MN PT k PN k k k k = = = + = +

    c. 2 21 , 1 , ,T k MN k PT PN k k k

    = + = + = =

    d. 2 2, 1 , 1 ,MT k MN k PT k PN k k

    = = + = + =

    ____ 20. Fie un cerc de raz a . Fie A un punct pe cerc i O punctul diametrar opus luiA . O secant oarecaredus prin O taie cercul n punctul Ci tangenta nA la cerc n punctulB . S se afle locul geometric apunctuluiP astfel nct BP OC= .a.

    ( )3

    3

    cosastroida

    sin

    x t

    y a t

    =

    =

    b.( )

    2

    32 sin

    cisoida lui Dioclessin2

    cos

    x a

    y a

    =

    =

    c. ( )spirala logaritmickae =

    d. ( )

    ( )( )

    sincicloida

    1 cos

    x a t t

    y a t

    =

    =

    ____ 21. Eliminnd parametrul ntre ecuaiile parametrice ale curbei:

  • 8/14/2019 Geometrie diferentiala prima grila

    7/43

    ( ) ( )

    2

    3

    2 sin

    sin2

    cos

    x a

    C cisoida lui Dioclesy a

    =

    =

    se obine ecuaia curbei sub form implicit:a. ( )2 2 22 0 y x y ax+ =

    b. ( )2 2 22 0 x x y ay+ + = c. ( ) ( )2 2 2 2 2 0x x y a x y+ + = d. ( )2 2 22 0 x x y ay+ =

    ____ 22. S se scrie ecuaiile parametrice ale strofoidei: ( ) ( )2 2 2 2 0x x y a x y+ + = a.

    2

    2

    2

    1

    1

    atx

    tt

    aty

    t

    = +

    = +

    b. ( )

    ( )

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    1

    a t

    x tt

    at ty

    t

    = +

    = +

    c. ( )

    ( )

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    1

    at tx

    tt

    a ty

    t

    = +

    =+

    d.

    ( )

    ( )

    2

    22

    22

    1

    1

    atx

    tt

    atyt

    =

    +

    = +

    ____ 23. S se gseasc punctele de intersecie ale curbei ( )C definit parametric de ecuaile:

    ( )3

    2

    3

    3

    x t t C t

    y t

    =

    =

    i dreapta :( ) 2 6 0d x y+ + =

    a. ( ) ( ) ( )0, 3 , -18, 6 , 2, 2 A B C

    b. ( ) ( ) ( )0, 3 , 18, 6 , 2,2 A B C

    c. ( ) ( ) (

View more