1.geometrie diferentiala

Download 1.Geometrie Diferentiala

Post on 08-Feb-2016

90 views

Category:

Documents

9 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • III

    CCUUPPRRIINNSS

    Prefa

    Capitolul 1. EELLEEMMEENNTTEE DDEE GGEEOOMMEETTRRIIEE DDIIFFEERREENNIIAALL AA CCUURRBBEELLOORR PPLLAANNEE ......1 1.1. Reprezentarea analitic a curbelor plane ..................................................... 1 1.2. Stabilirea ecuaiilor unor curbe plane .......................................................... 2

    1.2.1. Cisoida lui Diocles ............................................................................ 2 1.2.2. Cicloida ............................................................................................ 4 1.2.3. Epicicloida. Cardioida ....................................................................... 5 1.2.4. Hipocicloida. Astroida ...................................................................... 8 1.2.5. Ecuaia unei drepte n coordonate polare ......................................... 10 1.2.6. Spirale ............................................................................................. 10

    1.2.6.1. Spirala lui Arhimede .......................................................... 10 1.2.6.2. Spirala hiperbolic ............................................................. 11 1.2.6.3. Spirala logaritmic ............................................................. 12

    1.2.7. Lemniscata ...................................................................................... 12 1.2.8. Concoide ......................................................................................... 13

    1.2.8.1. Concoida cercului .............................................................. 13 1.2.8.2. Concoida unei drepte (concoida lui Nicomede) .................. 14

    1.3. Tangenta i normala la o curb plan ntr-un punct ordinar ............................ 14 1.4. Subtangenta, subnormala, segmentul tangent, segmentul normal ....... 18 1.5. Lungimea unui arc de curb plan. Elementul de arc .................................... 20 1.6. Curbura i raza de curbur a unei curbe plane .......................................... 24 1.7. Contactul ntre dou curbe plane ................................................................ 28 1.8. Cercul osculator al unei curbe plane ............................................................ 31 1.9. Puncte multiple ale unei curbe plane ............................................................ 35 1.10. nfurtoarea unei familii de curbe plane .................................................. 40 1.11. Evoluta (desfurata) unei curbe plane ....................................................... 46 1.12. Evolventa (desfurtoarea) unei curbe plane ............................................. 48 1.13. Teorema fundamental a teoriei curbelor plane ........................................... 53 1.14. Clase remarcabile de curbe plane. Curbe speciale ....................................... 54 1.15. Cteva consideraii asupra curbelor n reprezentare polar ........................... 58 1.16. Probleme propuse ..................................................................................... 63

    Capitolul 2. EELLEEMMEENNTTEE DDEE GGEEOOMMEETTRRIIEE DDIIFFEERREENNIIAALL AA CCUURRBBEELLOORR NN SSPPAAIIUU ............................................................................................................................... 66 2.1. Reprezentarea analitic a curbelor n spaiu ............................................... 66 2.2. Lungimea unui arc regulat de curb. Element de arc ..................................... 69 2.3. Tangenta la o curb n spaiu ....................................................................... 76 2.4. Planul normal la o curb n spaiu ................................................................ 81 2.5. Planul osculator la o curb n spaiu .......................................................... 84 2.6. Normala principal la o curb n spaiu ........................................................ 87

    A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark

  • IV

    2.7. Binormala la o curb n spaiu ................................................................... 91 2.8. Planul rectificant la o curb n spaiu ........................................................... 94 2.9. Triedrul lui Frenet ...................................................................................... 96 2.10. Indicatoare sferice. Curbur. Torsiune ....................................................... 99 2.11. Formulele lui Frenet ............................................................................... 103 2.12. Aplicaii ale formulelor lui Frenet ............................................................ 107 2.13. Calculul curburii i al torsiunii ................................................................ 113 2.14. Forma local a unei curbe n spaiu n vecintatea unui punct ordinar ......... 122 2.15. Clase remarcabile de curbe n spaiu ........................................................ 126 2.16. Contactul ntre dou curbe n spaiu. Contactul ntre o curb i o

    suprafa .............................................................................................. 137 2.17. Probleme propuse ................................................................................... 151

    Capitolul 3. EELLEEMMEENNTTEE DDEE GGEEOOMMEETTRRIIEE DDIIFFEERREENNIIAALL AA SSUUPPRRAAFFEEEELLOORR ....... 155 3.1. Reprezentarea analitic a unei suprafee .................................................. 155 3.2. Curbe trasate pe o suprafa. Curbe coordonate .......................................... 157 3.3. Planul tangent la o suprafa ...................................................................... 165 3.4. Normala la o suprafa. Orientarea unei suprafee ....................................... 170 3.5. Prima form fundamental a unei suprafee ................................................ 175 3.6. Aplicaii ale primei forme fundamentale: elementul de arc; lungimea unui arc; msurarea unghiurilor; aria unei poriuni de suprafa .... 180 3.7. A doua form fundamental a unei suprafee .............................................. 191 3.8. Curbura unei curbe trasate pe o suprafa ................................................... 195 3.9. Seciune normal. Teorema lui Meusnier. Curburi normale i tangeniale ..... 197 3.10. Curburi principale. Direcii principale. Curbur total. Curbur medie.

    Clasificarea punctelor unei suprafee .................................................... 201 3.11. Linii asimptotice. Linii de curbur. Linii geodezice .................................. 212 3.12. Clase remarcabile de suprafee ................................................................ 225

    3.12.1. Suprafee riglate ....................................................................... 225 3.12.2. Suprafee desfurabile ............................................................. 228 3.12.3. Suprafee cilindrice ................................................................... 231 3.12.4. Suprafee conice ....................................................................... 232 3.12.5. Suprafee conoide ..................................................................... 233 3.12.6. Suprafee de rotaie ................................................................... 234 3.12.7. Suprafee minimale ................................................................... 235 3.12.8. Suprafee de curbur total constant ........................................ 237 3.12.9. Suprafee ieica ....................................................................... 240 3.12.10. Suprafee elicoidale ................................................................ 240

    3.13. Invariani pe o suprafa .......................................................................... 241 3.14. Probleme propuse ................................................................................... 248

    Bibliografie ......................................................................................................................... 253

  • V

    PPRREEFFAA

    nceputurile geometriei difereniale se gsesc n lucrrile lui Leibniz (1646-1716) i sunt indisolubil legate de nceputurile analizei matematice.

    Teoria curbelor plane a fost elaborat n a doua jumtate a secolului al XVII-lea i n prima jumtate a secolului al XVIII-lea. L. Euler (1707-1783) a studiat curburile seciunilor normale ale suprafeelor, a dat definiia direciilor principale i a curburii unei suprafee, proprietile suprafeelor desfurabile i unele proprieti ale curbelor n spaiu. A doua etap n dezvoltarea geometriei difereniale a fost inaugurat de G. Monge, care n

    lucrarea Application de lanalyse a la geometrie, publicat n 1795, construiete teoria curbelor n spaiu. S-a ocupat, de asemenea, cu studiul generrii suprafeelor prin curbe.

    A treia etap n dezvoltarea geometriei difereniale o inaugureaz K. Gauss (1777-1855), care s-a ocupat de teoria suprafeelor, pornind de la geodezie.

    Contribuii la dezvoltarea acestei teorii au avut de asemenea: J. Schouten, G. Darboux, E.J. Cartan, G. Fubini, I.N. Lobacevski, I. Bolyai, E. Beltrami, F. Klein, H. Poincar, B. Riemann i alii.

    Prima lucrare de geometrie diferenial din ara noastr este scris de E. Bacaloglu, care n 1859 a considerat o alt curbur a unei suprafee pe lng curbura total i medie.

    Primul geometru romn, ale crui lucrri de geometrie diferenial s-au impus ateniei matematicienilor din ntreaga lume, este Gh. ieica (1873-1939). Deoarece el a introdus i studiat o clas de curbe i una de suprafee, care astzi i poart numele, el este considerat unul dintre creatorii geometriei centro-afine. Contribuii importante la dezvoltarea geometriei difereniale proiective i afine a curbelor i

    a suprafeelor au adus i: acad. Al. Myller i acad. O. Mayer. Un alt geometru roman, Al. Pantazi (1896-1948), format n coala ge

View more