ornea-o introducere in geometria diferentiala

Post on 19-Oct-2015

265 views

Category:

Documents

34 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Un curs bun mai ales pt studentii la mate.

TRANSCRIPT

  • LIVIUORNEA

    O INTRODUCERE

    N

    GEOMETRIA DIFERENTIALA

  • Introducere

    Multumiri. Le snt ndatorat colegilor si studentilor care au citit parti din manu-scris, n diferite etape ale scrierii lui, au corectat greseli si mi-au facut observatii ex-trem de utile, mi-au furnizat informatii istorice sau bibliografice. i mentionez aici,n ordine alfabetica; Ion Dinca, Dragos Fratila, Alin Galatan, Cristian Gavrus, CatalinGherghe, Adriana Nastase, Mihaela Pilca, George Popescu, Cornelia Vizman. Tuturor,calde multumiri.

  • Cuprins

    Introducere 2

    Partea 1. Curbe si suprafete n R3 7

    Capitolul 1. Proprietati locale ale curbelor 81. Parametrizarea canonica 82. Invarianti euclidieni locali 123. Curbe plane 23

    Capitolul 2. Proprietati globale ale curbelor 301. Teorema de clasificare 302. Teorema indicelui 333. Inegalitatea izoperimetrica 36

    Capitolul 3. Proprietati locale ale suprafetelor 391. Definitii. Exemple 392. Planul tangent. Functii diferentiabile 443. Parametrizari speciale 504. Prima forma fundamentala 525. A doua forma fundamentala. Curbura 566. Curbe pe suprafete. Geodezice 727. Derivata covarianta 778. Teorema fundamentala a teoriei suprafetelor 81

    Capitolul 4. Proprietati globale ale suprafetelor 851. De la local la global. O caracterizare a sferei 852. Suprafete orientabile 863. Teorema Gauss-Bonnet 90

    Partea a 2-a. Varietati diferentiabile abstracte 99

    Capitolul 5. Varietati diferentiabile 1001. Definitii. Exemple 1002. Structuri diferentiabile 1033. Aplicatii si functii diferentiabile 1104. Grupuri Lie 1135. Partitia unitatii 113

  • 4 CUPRINS

    6. Constructii: actiuni de grupuri, spatii de acoperire 1167. Orientare 121

    Capitolul 6. Vectori tangenti si cotangenti 1231. Spatiul tangent 1232. Diferentiala unei aplicatii ntr-un punct 1283. Spatiul cotangent 1314. Fibratul tangent si fibratul cotangent 132

    Capitolul 7. Imersii. Submersii. Subvarietati 1351. Definitii. Exemple 1352. Teorema rangului 1363. Teorema valorii regulate. Noi exemple 1384. Teorema de scufundare a lui Whitney 140

    Capitolul 8. Cmpuri vectoriale si tensoriale 1431. Cmpuri vectoriale. Crosetul a doua cmpuri 1432. Cmpuri invariante pe grupuri Lie. Algebra Lie a unui grup Lie. 1483. Grupul local cu un parametru asociat unui cmp vectorial 1504. Subgrupuri cu un parametru ale unui grup Lie. Aplicatia exponentiala 1555. Derivata Lie pe directia unui cmp vectorial 1606. Teoreme de ndreptare a cmpurilor de vectori 1627. Distributii. Teorema lui Frobenius 1638. Tensori si cmpuri de tensori 167

    Capitolul 9. Forme diferentiale. Integrare 1741. Tensori alternati 1742. Forme diferentiale 1783. Derivata Lie a formelor diferentiale. 1854. Integrare pe varietati. Formula lui Stokes 192

    Capitolul 10. Fibrari vectoriale 2011. Definitii. Exemple 2012. Sectiuni 2033. Reducerea grupului structural 2044. Operatii cu fibrari 206

    Capitolul 11. Conexiuni lineare n fibrari vectoriale 2111. Definitie. Existenta. Formule locale 2112. Tensorul de curbura 2143. Conexiuni induse n fibrari vectoriale 2164. Transport paralel dea lungul curbelor 2185. Conexiuni lineare n fibratul tangent 223

    Capitolul 12. Spatii Riemann 2301. Definitii. Exemple. 2302. Conexiunea Levi-Civita 236

  • 53. Curbura riemanniana 2414. Geodezice 252

    Bibliografie 265

  • Partea 1

    Curbe si suprafete n R3

  • CAPITOLUL 1

    Proprietati locale ale curbelor

    1. Parametrizarea canonica

    Capitolul acesta este dedicat studiului celor mai simple obiecte ale geometriei di-ferentiale. Definitia pe care o vom da ,,curbei (si, mai apoi, ,,suprafetei si ,,varietatii)trebuie sa permita utilizarea tehnicilor de analiza matematica. Ne intereseaza aici, casi n restul cartii, sa gasim proprietati care sa identifice o curba printre alte obiectecu structura diferentiabila (asa numiti invarianti diferentiali) si proprietati geometricecare sa distinga, de exemplu, un cerc de o elipsa sau de o elice (asa numiti invariantimetrici). De fapt, ceea ce urmarim este sa dam un sens precis notiunilor intuitive de,,curbura si ,,torsiune. Ne vor preocupa att proprietatile locale, ct si cele globale.Vom arata ca, n unele cazuri, informatii de natura locala conduc la concluzii globale.

    Prin Rn (spatiul euclidian n-dimensional) vom nota spatiul afin Rn dotat cu pro-dusul scalar canonic notat ,. Cnd spunem ,,vector din Rn ntelegem de fapt vectordin Rn , legat n 0. n primele doua capitole ne vommargini la studiul unor submultimiale spatiului euclidian 3-dimensional.

    Sa precizam ca, n tot ce urmeaza, n lipsa unei alte mentiuni explicite, ,,diferen-tiabil nseamna ,,de clasa C.Definitia 1.1.1. O submultime R3 se numeste curba diferentiabila (pe scurt, curba)daca pentru orice punct p exista o vecinatate deschisa U a sa n R3 si o aplicatiediferentiabila : (a,b)U astfel nct:

    i) e homeomorfism ntre (a,b) siU ;ii) dt 6= 0 n orice t (a,b).

    p

    a b

    U

    O pereche (U ,) ca n definitie se numeste parametrizare (locala) pentru . Esteclar ca multimile de tipulU snt deschise n topologia relativa a lui si formeazao acoperire a sa. Conditia i) spune ca, local, o curba se poate deforma la un intervaldeschis. Aici cuvntul local e esential: gnditi-va la un cerc; acesta nu se poate deformacontinuu la un interval. n consecinta, un cerc si, mai general, orice curba nchisa

  • 1 PARAMETRIZAREA CANONICA 9

    care se poate deforma la un cerc vor fi descrise cu cel putin doua parametrizari locale.Vom vedea ca, surprinzator poate, orice curba conexa se poate descrie folosind unasau doua parametrizari.

    Daca notam (x1,x2,x3) coordonatele n R3, atunci o aplicatie diferentiabila :(a,b) R3 se scrie explicit sub forma (t ) = (x1(t ),x2(t ),x3(t )) cu xi functii reale di-ferentiabile de o variabila reala. Conditia ii) cere ca, n orice t0 (a,b), cel putin o deri-vata

    dxi

    dt|t0 6= 0; altfel spus: (

    dx1

    dt|t0 )2+ (

    dx2

    dt|t0 )2+ (

    dx3

    dt|t0 )2 6= 0. Observati ca aceasta

    conditie pare foarte restrictiva: din moment ce existenta derivatelor functiilor coor-donate asigura existenta unui vector tangent n fiecare punct, se exclud din discutiecurbele ,,cu colturi. De fapt, daca exista doar o multime finita de colturi, studiul ncapoate fi facut pe fiecare portiune dintre doua ruperi consecutive. Asemenea curbe senumesc diferentiabile pe portiuni.

    Pentru a simplifica expunerea, vom discuta mai nti despre curbe parametrizate,adica pur si simplu despre aplicatii diferentiabile : I R3. La acestea se refera studiullocal al curbelor.

    Exemplul 1.1.2. Cercul C := S1(r ) = {(x1,x2,0); (x1)2+ (x2)2 = r 2} se poate acoperi cudoua parametrizari locale:

    1 : (0,2)R3, 1(t )= (r cos t ,r sin t ,0),2 : (,3)R3, 2(t )= (r cos t ,r sin t ,0).

    Se observa ca punctul neacoperit de prima parametrizare se afla n imaginea celei de-adoua.

    Exemplul 1.1.3. Elicea circulara este curba des-crisa de parametrizarea (unica):

    (t )= (a cos t ,a sin t ,bt ), a,b > 0, t R.Imaginea ei e situata pe cilindrul circular drept(x1)2 + (x2)2 = a2, 2b (pasul elicei) fiind dis-tanta masurata pe o generatoare ntre doua in-tersectii consecutive cu elicea.

    Ce se ntmpla cnd un punct al lui se afla n imaginea a doua parametrizari, fieele (t ) si (s)? n primul rnd, cum si snt homeomorfisme pe cte o submultime alui , se poate exprima t ca functie continua de s si reciproc (scrierea unui parametrun functie de celalalt se numeste schimbare de coordonate). Mai mult nsa, folosind ceade-a doua conditie din definitie putem demonstra ca orice schimbare de coordonate eun difeomorfism:

    Propozitia 1.1.4. Fie : (a,b)U si : (c,d)V doua parametrizari n jurullui p W =U V . Atunci h = 1 :1(W ) 1(W ) e difeomorfism.Demonstratie. Trebuie sa aratam ca schimbarea de coordonate t = t (s), s 1(W ) edifeomorfism (stiind ca e homeomorfism).

  • 10 Proprietati locale ale curbelor

    UV

    W

    a b c d 1(W) 1(W)

    p

    h

    Demonstratia consta ntr-o aplicare aproape directa a teoremei functiei inverse.Fie s0 1(W ), t0 = h(s0), deci(s0)= (t0). Cum dt 6= 0 n orice t (a,b), putem

    presupune (dupa o eventuala rotatie a axelor de coordonate) cadx1

    dt|t0 6= 0. Fie acum

    F : (a,b)R2R3 data prin:F (t , (,))= (x1(t ),x2(t )+,x3(t )+).

    Evident F e diferentiabila si restrictia sa la (a,b) {(0,0)} coincide cu . Determinantulsau iacobian n t0 este:

    dx1

    dt|t0

    dx2

    dt|t0

    dx3

    dt|t0

    0 1 00 0 1

    =dx1

    dt|t0 6= 0.

    Conform Teoremei functiei inverse, exista o vecinatate U a lui F (t0, (0,0)) = (t0) nR3 pe care F1 exista si e diferentiabila. Pe de alta parte, cum e continua, gasim o

    vecinatate I a lui s0, I (c,d) astfel nct (I ) U . n fine, vedem ca h |I= F1 |I e di-ferentiabila ca o compunere de aplicatii diferentiabile, ceea ce ncheie demonstratia.

    Sntem, astfel, ndreptatiti sa numim reparametrizare a unei portiuni de curba :(a,b) R3 orice difeomorfism h : (c,d) (a,b). De exemplu, difeomorfismul t 7b+ a t este o reparametrizare numita schimbare de orientare pentru ca are ca efectparcurgerea n sens invers a curbei. n general, despre o reparametrizare h care verificadh

    dt> 0 (respectiv < 0) se spune ca pastreaza (respectiv schimba) orientarea. E, de

    asemenea, natural sa ne punem problema gasirii, daca exista, a unor parametrizarisimple care sa usureze calculele.

    Pentru o curba parametrizata , vectoruld

    dtse numeste vector tangent sau vec-

    tor viteza. Daca n t0 componentele lui snt (dx1

    dt|t0 ,

    dx2

    dt|t0 ,

    dx3

    dt|t0 ), atunci ecuatiile

    tangentei la Im n (t0) snt:

    (1.1)x1x1(t0)

    dx1dt |t0

    = x2x2(t0)dx2dt |t0

    = x3x3(t0)dx3dt |t0

    .

    Conditia ii) din definitie asigura e