geometrie diferentiala subiecte propuse sem ii an 1 geometrie fara raspuns

Setul 1

1. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n

la curba 1y x

n punctul de abscis

2. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

i normalei n

la curba: cos

sin

t

t

x e t

y e t

n punctul

1,0A

3. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

i normalei n la curba: 3 2 23 9 0x x y y n punctul 0,3A .

4. Sa se calculeze segmentul de tangenta MT , segmentul de normala MN , subtangenta PT

i subnormala PN

pentru curba 3 2

2 3 0C x xy x y

n punctul M

n care curba

C

taie axa Oy . S-au notat T - punctul de interesectie al curbei b

cu axa Ox , N - punctul de interesectie al curbei C cu axa Ox , P - proiectia punctului M pe axa Ox .

O

y

x

,M x yC

,0TT x ,0NN X,0P x

5. Fie curbele 2

1 2: , : 1 .2x xC y e C y x

Sa se calculeze curburile 1K

i 2K

corespunz toare lui 1C

i respectiv 2C n punctul comun .A

6. Sa se determine ecuatia cercului osculator la elips n punctul de interesectie cu semiaxa pozitiv a absciselor.

7. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei: 3 3: 3 0C x y axy

8. Fie curba:

3

22

43:

1

tx t

C ty t

Calculati R - raza de curbura n punctul curent pe curba.

9. Fie curba:

3

22

43

1

tx t

Cy t

Se tie c raza de curbura este dat de rela ia 544R y . Calculati R in functie de nS

este segmentul de normala al curbei, atunci:

10. Sa se calculeze raza de curbura a curbei C

dat prin coordonatele sale polare:

sin , m

C mn

11. Sa se calculeze elementul de arc pe curba definita n coordonate

polare:

sin , m

C mm

12. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

1 cosC a

(cardioid )

13. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

2

x xe eC y chx (l n i orul)

14. Fie curba C

definita n coordonate polare de ecua ie: C . Not m V - unghiul dintre tangenta MT

i raza vectoare OM . Calculati tg V

15. Fie curba C

definita n coordonate polare de ecua ie: C . Sa se scrie ecuatiile tangentei t

i normalei n la curba C n punctul curent

16. Sa se calculeze unghiul V dintre tangenta MT

i raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare al curbei kC ae

(spirala logaritmic ).calculati tg V.

17. Sa se afle subtangenta PT

i subnormala PN

intr-un punct arbitrar M

situat pe parabola 2

y 2C px .

18. Sa se afle segmentul de tangenta MT intr-un punct oarecare al curbei

th: 1

ch

x t tC

yt

19. Sa se afle tangenta polara MT , normala polara MN , subtangenta polara PT

i subnormala polara PN intr-un punct oarecare al spiralei logaritmice:

, 0kC ae k

20. Fie un cerc de raz a . Fie A

un punct pe cerc i O

punctul diametrar opus lui A . O secant oarecare dus prinO

taie cercul n punctul C

i tangenta n A

la cerc n punctul B . Sa se afle locul geometric al punctului P astfel nct BP OC .

21. Eliminnd parametrul

ntre ecuatiile parametrice ale curbei: 2

3

2 sin sin2cos

x a

C cisoida lui Dioclesy a

se ob ine ecuatia curbei sub form implicita:

22. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale strofoidei: 2 2 2 2 0x x y a x y

23. Sa se g seasc punctele de interesectie ale curbei C

definita parametric de ecua ile:

3

2

3 3

x t tC t

y t

i dreapta :

2 6 0d x y

24. Sa se scrie ecuatiie tangentelor duse prin originea 0,0O la curba : 2

4 13 4 \ , 4 3 3 22 1

tx

tC ttyt

25. Sa se scrie ecuatia explicit a curbei C

definita parametric de ecuatiile: 2

4 13 4 \ , 4 3 3 22 1

tx

tC ttyt

26. Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curba 3 3 2

3 0C x y x

paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate:

27. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n n punctul 1,1M la curba:

42 1

12

xx

xCx

28. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n n punctul1

,32

M la curba:

24 13 4

: \ ,4 3 3 22 1

tx

tC ttyt

29. Sa se scrie ecuatia tangentei i normalei n punctul 2, 1M

la curba: 3 2 2: 3 2 9 0C x x y y x

30. Sa se g seasc lungimile segmentelor de tangenta MT , de normala MN , subtangenta PT

i subnormala PN intr-un punct M situat pe curba:

: tg , , , ,12 2 4

C y x x M

31. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , de normala MN i

subnormala PN n punctul 1,12

M la cicloida

sin

t 0,21 cos

x t tC

y t

32. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , normala MN , subnormala PN n punctul 1,1M la folium-ul lui Descartes:

3 3

2 0C x y xy

33. Sa se calculeze lungimea subtangentei PT

la curba exponen ial :

, ,bxC y ae x a b - constante nenule

34. Sa se g seasc familia de curbe care au subtangenta constant i egal cu1b

35. Sa se afle raza de curbura a l n i orului: xy acha

, x

36. Sa se afle raza de curbura a cicloidei: sin

0,21 cos

x a t tC t

y a t

37. Sa se afle raportul dintre raza de curbura R i lungimea segmentului

normala MN corepunz tore curbei sin

0,21 cos

x a t tC t

y a t

38. Sa se afle curbura K

i raza de curbura R

n punctul 1, 1M

la curba: 3 3

2 0C x y xy ,

2,x y

39. Sa se g seasc expresiile curburii K i razei de curbura R

n coordonate polare: cos

: sin

xC

y

40. Sa se g seasc curbura K

i raza de curbura R

n punctul4

M

la curbura:

5sin 2 , 0, 2C

41. Sa se calculeze curbura i raza de curbura a cardioidei: 2 1 cosa

n

punctul2

M

42. Sa se calculeze subtangenta PT i subnormala PN la cicloida: sin

:1 cos

x a t tC

y a t

n punctul M arbitrar situat pe curba:

43. Sa se scrie ecuatia tangentei la curba politrop : 0 , 1m nx y m n

44. Fie curba 2: 1 xC y e

i M un punct arbitrar situat pe curba. Not m R , raza de curbura,

tS

i nS

lungimile segmentelor subtangenta, respectiv subnormala corespunz toare punctului M . Calculati R.

45. Fie curba : cos , .n nC a n n

Not m nS - lungimea segmentului subnormala polara i R

- raza de curbura. Atunci:

46. Fie curbura 2 3: , C y x px p . Sa se determine punctele singulare ale curbei

47. Fie curba 2 3 , C y x px p

i fie ,03pA

un punct singular al curbei.

Specificati natura punctului A

48. Sa se determine punctele singulare ale curbei 22: 1C y x x

i Sa se scrie ecuatiile tangentelor n aceste puncte.

49. Fie curba C

definita implicit de ecuatia: : , 0C F x y

i 0 0,M x y

un punct singular. Care este conditia ca un punct sa fie nod.

50. Sa se afle punctele singulare ale curbei:

C : 3 3, 3 0, 0F x y x y axy a

51. Fie curba:

C : 22, 0, , 0F x y y x a x b a b

Sa se studieze punctele singulare ale curbei. 52. Sa se g seasc punctele singulare ale curbei:

C : 4 2 32 0x ax y ay

53. Sa se discute natura punctelor multiple ale curbei:

2 3, y x px p

(parametru)

54. Fie curba plana C : 3 2 2 3 2 2, 2 2 0 F x y x xy yx y x y

Sa se stabileasc punctele singulare ale curbei.

55. Sa se determine punctele singulare ale curbei C : 22 1y x x i Sa se scrie ecuatiile tangentelor n aceste puncte.

56. Sa se determine punctele singulare ale conicei dat pe ecuatia general :

211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a

57. Sa se precizeze concavitatea i convexitatea arcului de elips :

cos

y=bsintx a t

AB

0,t

58. Sa se studieze convexitatea i concavitatea curbei C : a (spirala lui Arhimede).

59. Sa se determine evolventa cercului de ecua ie:

cos:

sinx a t

y a t, 0, 2t

60. Sa se determine evolven a lan i orului de ecua ie:

: xy acha

0a

61. Sa se calculeze curbura intr-un punct oarecare al curbei:

C : sin

1 cosx a t t

y a t

62. Fie curba de ecua ie:

C : xy acha

, 0a (l n i orul)

Not m: 1R

- curbura curbei i nS - segmentul normala corespunz toare unui punct arbitrar pe

curba. Calculati 1R

63. Fie curba de ecua ie:

C : kae , (spirala logaritmic )

Not m: 1R

- curbura curbei i nS - segmentul normala corespunz tor unui punct arbitrar pe

curba. Calculati 1R

64. Sa se determine curbele plane ale c ror curbura este constant .

65. Sa se determine curbele plane ale c ror ecua ie intrinsec este:

2 21 aR a b

, a const

66. Sa se stabileasc ordinl de contact r n vrful 0,1V ntre parabola:

1C : 2

2xy aa

i l n i orul

2C : xy acha

67. Sa se stabileasc ordinl de contact r n punctul 2,0A ntre elipsa:

1 :C

sinx acost

y b t

i cercul:

22 42

2 0c b

x ya a

, 2 2 2c a b

68. Sa se determine cercul osculator intr-un punct M

al curbei plane C

dat pe ecuatiile sale parametrice.

C : x x t

y y t

69. Fie C : 2 2 2x y r

ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :