geometrie diferentiala subiecte propuse sem ii an 1 geometrie fara raspuns

Click here to load reader

Post on 25-Oct-2015

212 views

Category:

Documents

8 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

...

TRANSCRIPT

  • Setul 1

    1. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n

    la curba 1y x

    n punctul de abscis

    2. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

    i normalei n

    la curba: cos

    sin

    t

    t

    x e t

    y e t

    n punctul

    1,0A

    3. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

    i normalei n la curba: 3 2 23 9 0x x y y n punctul 0,3A .

    4. Sa se calculeze segmentul de tangenta MT , segmentul de normala MN , subtangenta PT

    i subnormala PN

    pentru curba 3 2

    2 3 0C x xy x y

    n punctul M

    n care curba

    C

    taie axa Oy . S-au notat T - punctul de interesectie al curbei b

    cu axa Ox , N - punctul de interesectie al curbei C cu axa Ox , P - proiectia punctului M pe axa Ox .

    O

    y

    x

    ,M x yC

    ,0TT x ,0NN X,0P x

    5. Fie curbele 2

    1 2: , : 1 .2x xC y e C y x

    Sa se calculeze curburile 1K

    i 2K

    corespunz toare lui 1C

    i respectiv 2C n punctul comun .A

    6. Sa se determine ecuatia cercului osculator la elips n punctul de interesectie cu semiaxa pozitiv a absciselor.

    7. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei: 3 3: 3 0C x y axy

    8. Fie curba:

  • 3

    22

    43:

    1

    tx t

    C ty t

    Calculati R - raza de curbura n punctul curent pe curba.

    9. Fie curba:

    3

    22

    43

    1

    tx t

    Cy t

    Se tie c raza de curbura este dat de rela ia 544R y . Calculati R in functie de nS

    este segmentul de normala al curbei, atunci:

    10. Sa se calculeze raza de curbura a curbei C

    dat prin coordonatele sale polare:

    sin , m

    C mn

    11. Sa se calculeze elementul de arc pe curba definita n coordonate

    polare:

    sin , m

    C mm

    12. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

    1 cosC a

    (cardioid )

    13. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

    2

    x xe eC y chx (l n i orul)

    14. Fie curba C

    definita n coordonate polare de ecua ie: C . Not m V - unghiul dintre tangenta MT

    i raza vectoare OM . Calculati tg V

    15. Fie curba C

    definita n coordonate polare de ecua ie: C . Sa se scrie ecuatiile tangentei t

    i normalei n la curba C n punctul curent

    16. Sa se calculeze unghiul V dintre tangenta MT

    i raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare al curbei kC ae

    (spirala logaritmic ).calculati tg V.

    17. Sa se afle subtangenta PT

    i subnormala PN

    intr-un punct arbitrar M

    situat pe parabola 2

    y 2C px .

  • 18. Sa se afle segmentul de tangenta MT intr-un punct oarecare al curbei

    th: 1

    ch

    x t tC

    yt

    19. Sa se afle tangenta polara MT , normala polara MN , subtangenta polara PT

    i subnormala polara PN intr-un punct oarecare al spiralei logaritmice:

    , 0kC ae k

    20. Fie un cerc de raz a . Fie A

    un punct pe cerc i O

    punctul diametrar opus lui A . O secant oarecare dus prinO

    taie cercul n punctul C

    i tangenta n A

    la cerc n punctul B . Sa se afle locul geometric al punctului P astfel nct BP OC .

    21. Eliminnd parametrul

    ntre ecuatiile parametrice ale curbei: 2

    3

    2 sin sin2cos

    x a

    C cisoida lui Dioclesy a

    se ob ine ecuatia curbei sub form implicita:

    22. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale strofoidei: 2 2 2 2 0x x y a x y

    23. Sa se g seasc punctele de interesectie ale curbei C

    definita parametric de ecua ile:

  • 3

    2

    3 3

    x t tC t

    y t

    i dreapta :

    2 6 0d x y

    24. Sa se scrie ecuatiie tangentelor duse prin originea 0,0O la curba : 2

    4 13 4 \ , 4 3 3 22 1

    tx

    tC ttyt

    25. Sa se scrie ecuatia explicit a curbei C

    definita parametric de ecuatiile: 2

    4 13 4 \ , 4 3 3 22 1

    tx

    tC ttyt

    26. Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curba 3 3 2

    3 0C x y x

    paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate:

    27. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n n punctul 1,1M la curba:

    42 1

    12

    xx

    xCx

    28. Sa se scrie ecuatiile tangentei t i normalei n n punctul1

    ,32

    M la curba:

    24 13 4

    : \ ,4 3 3 22 1

    tx

    tC ttyt

    29. Sa se scrie ecuatia tangentei i normalei n punctul 2, 1M

    la curba: 3 2 2: 3 2 9 0C x x y y x

    30. Sa se g seasc lungimile segmentelor de tangenta MT , de normala MN , subtangenta PT

    i subnormala PN intr-un punct M situat pe curba:

  • : tg , , , ,12 2 4

    C y x x M

    31. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , de normala MN i

    subnormala PN n punctul 1,12

    M la cicloida

    sin

    t 0,21 cos

    x t tC

    y t

    32. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , normala MN , subnormala PN n punctul 1,1M la folium-ul lui Descartes:

    3 3

    2 0C x y xy

    33. Sa se calculeze lungimea subtangentei PT

    la curba exponen ial :

    , ,bxC y ae x a b - constante nenule

    34. Sa se g seasc familia de curbe care au subtangenta constant i egal cu1b

    35. Sa se afle raza de curbura a l n i orului: xy acha

    , x

    36. Sa se afle raza de curbura a cicloidei: sin

    0,21 cos

    x a t tC t

    y a t

    37. Sa se afle raportul dintre raza de curbura R i lungimea segmentului

    normala MN corepunz tore curbei sin

    0,21 cos

    x a t tC t

    y a t

    38. Sa se afle curbura K

    i raza de curbura R

    n punctul 1, 1M

    la curba: 3 3

    2 0C x y xy ,

    2,x y

    39. Sa se g seasc expresiile curburii K i razei de curbura R

    n coordonate polare: cos

    : sin

    xC

    y

    40. Sa se g seasc curbura K

    i raza de curbura R

    n punctul4

    M

    la curbura:

    5sin 2 , 0, 2C

  • 41. Sa se calculeze curbura i raza de curbura a cardioidei: 2 1 cosa

    n

    punctul2

    M

    42. Sa se calculeze subtangenta PT i subnormala PN la cicloida: sin

    :1 cos

    x a t tC

    y a t

    n punctul M arbitrar situat pe curba:

    43. Sa se scrie ecuatia tangentei la curba politrop : 0 , 1m nx y m n

    44. Fie curba 2: 1 xC y e

    i M un punct arbitrar situat pe curba. Not m R , raza de curbura,

    tS

    i nS

    lungimile segmentelor subtangenta, respectiv subnormala corespunz toare punctului M . Calculati R.

    45. Fie curba : cos , .n nC a n n

    Not m nS - lungimea segmentului subnormala polara i R

    - raza de curbura. Atunci:

    46. Fie curbura 2 3: , C y x px p . Sa se determine punctele singulare ale curbei

    47. Fie curba 2 3 , C y x px p

    i fie ,03pA

    un punct singular al curbei.

    Specificati natura punctului A

    48. Sa se determine punctele singulare ale curbei 22: 1C y x x

    i Sa se scrie ecuatiile tangentelor n aceste puncte.

    49. Fie curba C

    definita implicit de ecuatia: : , 0C F x y

    i 0 0,M x y

    un punct singular. Care este conditia ca un punct sa fie nod.

    50. Sa se afle punctele singulare ale curbei:

    C : 3 3, 3 0, 0F x y x y axy a

    51. Fie curba:

    C : 22, 0, , 0F x y y x a x b a b

    Sa se studieze punctele singulare ale curbei. 52. Sa se g seasc punctele singulare ale curbei:

    C : 4 2 32 0x ax y ay

    53. Sa se discute natura punctelor multiple ale curbei:

  • 2 3, y x px p

    (parametru)

    54. Fie curba plana C : 3 2 2 3 2 2, 2 2 0 F x y x xy yx y x y

    Sa se stabileasc punctele singulare ale curbei.

    55. Sa se determine punctele singulare ale curbei C : 22 1y x x i Sa se scrie ecuatiile tangentelor n aceste puncte.

    56. Sa se determine punctele singulare ale conicei dat pe ecuatia general :

    211 12 22 13 23 33: , 2 2 2 0C F x y a x a xy a a x a y a

    57. Sa se precizeze concavitatea i convexitatea arcului de elips :

    cos

    y=bsintx a t

    AB

    0,t

    58. Sa se studieze convexitatea i concavitatea curbei C : a (spirala lui Arhimede).

    59. Sa se determine evolventa cercului de ecua ie:

    cos:

    sinx a t

    y a t, 0, 2t

    60. Sa se determine evolven a lan i orului de ecua ie:

    : xy acha

    0a

    61. Sa se calculeze curbura intr-un punct oarecare al curbei:

    C : sin

    1 cosx a t t

    y a t

    62. Fie curba de ecua ie:

    C : xy acha

    , 0a (l n i orul)

    Not m: 1R

    - curbura curbei i nS - segmentul normala corespunz toare unui punct arbitrar pe

    curba. Calculati 1R

    63. Fie curba de ecua ie:

    C : kae , (spirala logaritmic )

  • Not m: 1R

    - curbura curbei i nS - segmentul normala corespunz tor unui punct arbitrar pe

    curba. Calculati 1R

    64. Sa se determine curbele plane ale c ror curbura este constant .

    65. Sa se determine curbele plane ale c ror ecua ie intrinsec este:

    2 21 aR a b

    , a const

    66. Sa se stabileasc ordinl de contact r n vrful 0,1V ntre parabola:

    1C : 2

    2xy aa

    i l n i orul

    2C : xy acha

    67. Sa se stabileasc ordinl de contact r n punctul 2,0A ntre elipsa:

    1 :C

    sinx acost

    y b t

    i cercul:

    22 42

    2 0c b

    x ya a

    , 2 2 2c a b

    68. Sa se determine cercul osculator intr-un punct M

    al curbei plane C

    dat pe ecuatiile sale parametrice.

    C : x x t

    y y t

    69. Fie C : 2 2 2x y r

    ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :