algebra liniara si geometrie analitica diferentiala

Download Algebra liniara si geometrie analitica diferentiala

Post on 28-Jun-2015

897 views

Category:

Documents

15 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

ALGEBRA LINIARAsiGEOMETRIE ANALITICAculegere de problemePAVEL MATEICuprinsCapitolul 1. Complemente de calcul matriceal 11. Preliminarii 12. Probleme rezolvate 43. Probleme propuse 114. Indicatii si r aspunsuri 12Capitolul 2. Vectori liberi 131. Preliminarii 132. Probleme rezolvate 163. Probleme propuse 184. Indicatii si r aspunsuri 22Capitolul 3. Spatii vectoriale 251. Preliminarii 252. Probleme rezolvate 263. Probleme propuse 284. Indicatii si r aspunsuri 30Capitolul 4. Aplicatii liniare si matrice 331. Preliminarii 332. Probleme rezolvate 343. Probleme propuse 354. Indicatii si r aspunsuri 36Capitolul 5. Valori si vectori proprii 391. Preliminarii 392. Probleme rezolvate 403. Probleme propuse 424. Indicatii si r aspunsuri 44Capitolul 6. Spatii euclidiene 471. Preliminarii 472. Probleme rezolvate 493. Probleme propuse 544. Indicatii si r aspunsuri 56Capitolul 7. Forme p atratice 591. Preliminarii 592. Probleme rezolvate 613. Probleme propuse 644. Indicatii si r aspunsuri 66iiiiv CUPRINSCapitolul 8. Elemente de calcul tensorial 691. Preliminarii 692. Probleme rezolvate 723. Probleme propuse 754. Indicatii si r aspunsuri 76Capitolul 9. Planul si dreapta n spatiu 771. Preliminarii 772. Probleme rezolvate 803. Probleme propuse 824. Indicatii si r aspunsuri 86Capitolul 10. Conice 891. Preliminarii 892. Probleme rezolvate 913. Probleme propuse 954. Indicatii si r aspunsuri 97Capitolul 11. Cuadrice 991. Preliminarii 992. Probleme rezolvate 1033. Probleme propuse 1074. Indicatii si r aspunsuri 109Bibliograe 111CUPRINS vPREFA TAPrezenta culegere de probleme se adreseaza studen tilor din universita tile tehnice,economice, militare etc. Ea are la baza ndelungata experien ta pedagogica a autoru-lui n cadrul Catedrei de Matematica si Informatica din Universitatea Tehnica deConstruc tii Bucure sti si respecta programa analitica n vigoare (post Bologna).Obiectivul lucrarii l constituie xarea cuno stin telor teoretice si aprofundareaacestora prin probleme care nuan teaza rezultatele teoretice si pun n eviden ta im-portan ta lor. La redactare am avut n vedere mbinarea rigorii matematice cu clar-itatea si accesibilitatea prezentarii. Inten tia mea a fost ca materialul de fa ta sascoata n eviden ta legaturile algebrei liniare cu geometria analitica, cu alte ramuriale matematicii:analiza matematica, analiza numerica, ecua tii diferen tiale, seriiFourier, precum si cu mecanica, teoria elasticita tii etc.Cartea furnizeaza celor interesa ti un material de studiu din domeniul algebreiliniare si al geometriei analitice. Sunt tratate urmatoarele capitole: complemente decalcul matriceal, vectori liberi, spa tii vectoriale, aplica tii liniare si matrice, vectori si valori proprii, spa tii euclidiene, forme patratice, elemente de calcul tensorial,planul si dreapta n spa tiu, conice si cuadrice.Fiecare capitol este structurat astfel: un breviar teoretic cu deni tiile no tiu-nilor folosite, teoremele si formulele de baza necesare rezolvarii problemelor, prob-leme reprezentative rezolvate n detaliu, probleme propuse, indica tii si raspunsurila problemele propuse.Pentru cei interesa ti de mprospatarea cuno stin telor teoretice, recomand cartea"Algebra liniara, geometrie analitica si diferen tiala", vol. I ([8]), aparut n anul2002 la editura AGIR.Autorul mul tume ste calduros referen tilor stiin tici-prof. univ. dr. GavriilPaltineanu si prof. univ. dr. Sever Angel Popescu-pentru amabilitatea, rabdarea siefortul depus n parcurgerea materialului. Sugestiile si observa tiile facute se regas-esc n forma nala a lucrarii. Mul tumiri anticipate tuturor celor care vor faceobserva tii pe marginea lucrarii de fa ta.Bucure sti, iulie 2007Autorulemail: pavel.matei@gmail.comCAPITOLUL 1Complemente de calcul matriceal1.PreliminariiMatrice triunghiulare. Fie 1 o matrice inferior triunghiular a si l o matricesuperior triunghiular a:1 =

|110 0 ... 0|21|220 ... 0|31|32|33... 0... ... ... ... ...|n1|n2|n3... |nn

, l =

n11n12n13... n1n0 n22n23... n2n0 0 n33... n3n... ... ... ... ...0 0 0 ... nnn

.Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor depe diagonala principal a. n consecint a, o matrice triunghiular a este nesingular a(adic a are determinant nenul) dac a si numai dac a toate elementele de pe diagonalaprincipal a sunt nenule. Produsul a dou a matrice inferior (superior) triunghiulareeste o matrice inferior (superior) triunghiular a Inversa unei matrice inferior (su-perior) triunghiular a nesingular a este o matrice inferior (superior) triunghiular aDac a |II = 0, i = 1. :, matricea inferior triunghiular a 1 este inversabil a, inversa sa1 = (/I,) ind dat a de formulele(1.1) /I, =

1|II, dac a i = , 1|II

I1|=,|I|/|,

, dac a i,0, dac a i < ,.De asemenea, dac a nII = 0, i = 1. :, matricea superior triunghiular a l esteinversabil a, inversa sa C = (cI,) ind dat a de formulele(1.2) cI, =

1nII, dac a i = , 1nII

,|=I+1nI|c|,

, dac a i < ,0, dac a i,.Factorizarea 1l. Fie = (aI,) o matrice p atratic a de ordinul :. Dac a minoriiprincipali12 1.COMPLEMENTE DE CALCUL MATRICEAL(1.3) I =

a11a12... a1Ia21a22... a2I... ... ... ...aI1aI2... aII

, i = 1. : 1,sunt nenuli, atunci exist a o matrice inferior triunghiular a 1 cu 1 pe diagonala prin-cipal a si o matrice superior triunghiular a l astfel nct = 1l, descompunereaind unic a.Prezent am algoritmul de descompunere, conform [9]. Fie (0)= , deci dac a(0)=

a(0)I,

, atunci a(0)I,= aI,, i = 1. :, , = i. :. Pentru ecare r = 1. : 1, xat,se calculeaz a matricea (:)=

a(:)I,

, ale c arei elemente sunt date de formulelea(:)I,=

a(:1)I,, dac a i = 1. r, , = 1. :0, dac a i = / + 1. :, , = 1. ra(:1)I, a(:1)I:a(:1)::a(:1):,, dac a i. , = r + 1. :.De fapt, (:)= 1:(:1), r = 1. : 1, unde 1: este matricea care difer a dematricea unitate numai prin coloana r, ale c arei elemente sunt|I: =

0, dac a i = 1. r1, dac a i = ra(:1)I:a(:1)::, dac a i = r + 1. :.O astfel de matrice se numeste matrice Frobenius.Inversa matricei 1: este omatrice de acelasi tip. Mai precis, dac a 11:=

|tI,

, atunci 11:difer a de matriceaunitate numai prin coloana r, ale c arei elemente sunt|tI: =

0, dac a i = 1. r1, dac a i = ra(:1)I:a(:1)::, dac a i = r + 1. :.n nal, 1 = 111112...11n1, iar l = (n1).Metoda eliminarii a lui Gauss. Fie sistemul de ecuatii algebrice liniare:(1.4)

a11 r1 +a12 r2 +... +a1n rn = /1a21 r1 +a22 r2 +... +a2n rn = /2....................................an1 r1 +an2 r2 +... +ann rn = /n,care se mai scrie matriceal sub formar = /,unde(1.5) =

a11a12... a1na21a22... a2n... ... ... ...an1an2... ann

, r =

r1r2..rn

, / =

/1/2../n

.1.PRELIMINARII 3Folosim notatiile de mai sus. Presupunem c a I = 0, i = 1. :. Atunci a(:):: = 0,r = 1. : 1, a(n1)nn= 0. Metoda const a n eliminarea succesiv a a necunoscutelor.Astfel, pentru ecare r xat, se elimin a necunoscuta r: din ecuatiile r + 1, ...,:, ceea ce este echivalent cu operatia de nmultire la stnga a matricei (:1)cumatricea Frobenius 1:. Este clar c a, la eliminarea unei necunoscute, se modic asi termenii liberi corespunz atori ecuatiilor din care se elimin a necunoscuta. Dac a/(0)I= /I, i = 1. :, atunci/(:)I=

/(:1)I, dac a i _ r/(:1)I a(:1)I:a(:1)::/(:):, dac a i = r + 1. :.De aceea, vom lucra cu matricea extins a a sistemului =

a11a12... a1na21a22... a2n... ... ... ...an1an2... ann/1/2../n

.Vom calcula succesiv (:)= 1: (:1), r = 1. : 1, (0)= . n nal, seajunge la sistemul superior triunghiular lr = /(n1), unde l = (n1). Acestsistem se rezolv a regresiv:rn = /(n1)na(n1)nnrI =/(n1)In,=I+1a(n1)I,r,a(n1)II, i = : 1. .... 1.Elementele a(1)11 , a(2)22 , ..., a(n1)nn, se numesc elemente pivot. n cazul general,se poate ntmpla ca unii pivoti s a se anuleze. Dac a a(|)|| = 0 si cel putin unul dinelementele de pe coloana / si de pe liniile / + 1. / + 2. .... : este nenul, e acestaa(|):| , atunci permut am liniile / si r ntre ele si continu am eliminarea.Din motivede stabilitate numeric a, trebuie s a efectu am permut ari de linii nu numai cnd unelement pivot este egal cu zero ci si cnd el este foarte mic (n valoare absolut a).Pentru a avea erori de rotunjire ct mai mici, se alege elementul pivot, la efectuareapasului /, astfel: e r cel mai mic num ar ntreg pentru care

a(|):|

=max|

View more