arhiva 2008 geometrie diferentiala completa alfabetic

Click here to load reader

Post on 18-Aug-2015

1.491 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  1. 1. Geometrie diferen ial An.1 Sem.2 MI Info A Curbe Plane B Curbe in spatiuGrila actuala C Suprafete D Prima grila (157 subiecte) E Grila 2007 - Curbe plane - True / False F Grila 2007 - Curbe strimbe - True / False G Grila 2007 - Suprafete - True / False H Grila 2007 - Completion Autor: Cris_43 Deva Anul I. MI Informatica, naerpo@xnet.ro Cercul cu centrul n origine i de raza r scris n coordonate polare are ecua ia A 1 a a.p=rb. x = p cos t , y = p sin t (t ) Conditia de ...........................ORTOGONALITATE....................... a doua curbe ( 1 ) i ( 2 ) pe o suprafatar = r ( u, v ) C 25 este: Edu u + F ( du v + dv u ) + Gdv u = 0 Curba (C) de ecua ie: ( C ) : x = 1 + t 3 , y = t 2 + t 3 , z = 5t 2 + 2t 2 + 3, t este:D 103 c a. situat n planul: x + 8 y 10 z 3 = 0 c. situat n planul: 3x + 2 y z = 0 b. tangenta la planul: 3 x + 2 y + z 1 = 0 d. tiat de planul: 3 x + 2 y z = 0 n dou puncte. x = r cos Curba (C) definit prin ecua iile parametrice: y = r sin este o: D 85 z = kba. elips n spa iu.c.elice conic. b. elice circular. d.alt curb din spa iu. Curba a carei ecuatie implicita este: 2 2 2 A 41 (C ) : x 3 + y 3 = a 3 ( a > 0) se numeste ..ASTROIDA.. Curba a carei ecuatie implicita este: 22 2H 197 (C ) : x 3 + y 3 = a 3 ( a > 0) se numeste .....................ASTROIDA..................... Curba de ecuatie ( C ) : = a (1 + cos ) reprezinta A 4 c a. un cerc scris n coordonate b. un lantisorc. o cardioida apolare i de raza 21
  2. 2. Curba de ecuatie: E 3( C ) : = a (1 + cos )F este numita (se numeste) si cicloida. Curba de ecuatie: E 6( C ) : = a (1 + cos )T este numita (se numeste) si cardioida. Curba de ecuatie: = at B 34z = 0reprezinta ......................SPIRALA LUI ARHIMEDE...................... Curba definita de ecuatiile parametrice: x = a ( t sin t ) E 2(C ) : F y = a (1 cos t ) se numeste cisoida. Curba definita de ecuatiile parametrice: x = a ( t sin t ) E 4(C ) : T y = a (1 cos t ) se numeste cicloida. Curba definita parametric de ecuatiile: x = at cos t ( C ) : y = at sin t , t [0, 2 ] B 2 z = bt c reprezint:a. o elips n spa iu. c. o elice conica. b. o elice circulara.d. alt curba n spa iu. x = r cos Curba ( C ) definita prin ecuatiile parametrice: y = r sin este o: B 1 z = k ba. elips n spa iu. c. elice conica. b. elice circulara.d. alt curba din spa iu. Curba definit parametric de ecua iile: x = at cos t( C ) : y = at sin t , t [0, 2 ] D 88 z = bt c reprezint:a. o elips n spa iu.c. o elice conic. b. o elice circular. d. alt curb n spa iu. 2
  3. 3. Curba definit parametric prin ecua iile: x = r cos ( C ) y = r sin D 136 z = k c reprezinta o:a. spiral logaritmic c. elice circular b. elice conicad. cerc n spa iu. Curba n spa iu: ( C ) : x = 3 + 2t + 4t 3 , y = 4 + 3t + 2t 3 , z = 2 + 4t + 3t 3 , t este situat ntrun plan ( P ) de ecua ie: D 102 ba. 10 x + y 8 z 27 = 0 c. 10 x y + 8 z 27 = 0 b.x + 10 y 8 z + 27 = 0d. x 10 y + 8 z 27 = 0 Curba lui Viviani, definit implicit de ecua iile: 22 22x + y + z r = 0 (C ) 2 2 x + y rx = 0 admite reprezentarea parametric: x = r cos t x = r sin t cos t D 135 2 b a. y = r sin t cos t , t [ 0, 2 ]c. y = r sin t , t [ 0, 2 ] z = r sin t z = r cos t x = r cos 2 t x = r sin 2 t b. y = r sin t cos t , t [ 0, 2 ]d. y = r sin t cos t , t [ 0, 2 ] z = r sin t z = r sin t H 198 Curba plana a carei .....................CURBURA.....................constanta este un cerc. A 42Curba plana a carei ..CURBURA.. constanta este un cerc. Curba stramba a carei ecuatie implicita este x2 + y 2 r 2 = 0 H 213 (C ) : z = 0reprezinta un .....................CERC..................... Curba stramba a carei reprezentare parametrica este x = at cos t ( C ) : y = at sin t (t ) H 216 z = bt ste o elice .....................CONICA..................... 3
  4. 4. Curba stramba a carei reprezentare parametrica este x = r cos tH 224( C ) : y = r sin t ( t ) (C): z = kteste o elice CIRCULARA............. Curba strimba a carei ecuatie implicita este: x2 + y 2 r 2 = 0 B 18 (C ) : z = 0reprezinta un ......................CERC...................... Curba strimba a carei reprezentare parametrica este: x = at cos t B 16 ( C ) : y = at sin t , ( t ) z = bteste o elice ......................CONICA...................... Curba strimba a carei reprezentare parametrica este: x = r cos t B 17 ( C ) : y = r sin t , ( t ) z = kt este o elice ......................CIRCULARA...................... Curbe de ecuatie implicita x2 + y 2 + z 2 r 2 = 0 B 33 z = 0este un ......................CERC......................Curbele ( C1 ) i ( C2 ) admit n punctul M un contact de ordinul n, dac cele dou curbe au (n +1) puncte A 100..CONFUNDATE..A 98Curbele plane a cror curbur este constant sunt ..CERCURI...A 91Curbura cercului de raza 1/2 este..2.. 1 B 32Curbura unui cerc de razaeste egala cu ......................4......................4 1 Daca n punctul M (x,y) (C): F ( x, y ) = 0, F C( D ) , D 2 2 A 48 ( F ) xy Fx Fy < 0,22 atunci M se numeste ..PUNCT IZOLAT.. al curbei. C 38Dac normala n punctul curent al unei suprafe e pstreaz direc ia fix, suprafa a este un ....PLAN Determinati punctele singulare ale curbei( C ) : y 2 ( x 2 )( x 1) = 0 A 14i sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare.ba. A ( 0, 2 ) y = x 2 b.A ( 0, 2 ) y = ( x 2 ) 4
  5. 5. Distanta de la un punct M la punctul T, unde tangenta (MT ) taie axa Ox se numeste A 59 ..SEGMENTTANGENTA.. Ecuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita: ( S ) : z = f ( x, y ) este: G 8X x Y y Zz T= =p q 1 unde p = z si q = z xyEcuatia normalei intr-un punct ordinar M la o suprafata definita de ecuatia explicita: ( S ) : z = f ( x, y ) este: G 9X x Y y Zz F ==p q1 unde p = z si q = z .xyEcuatia planului normal la sfera:( S ) : x2 + y 2 + z3 = R2 G 4T in punctul M ( x0 , y0 , z0 ) ( S ) este xx0 + yy0 + zz0 = 0 . Ecuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita: ( S ) : z = f ( x, y ) G 6 este:F p ( X x ) + q (Y y ) + ( Z z ) = 0 undep = z si q = zx yEcuatia planului tangent la o suprafata definita de ecuatia explicita: ( S ) : z = f ( x, y ) G 7 este:T p ( X x ) + q (Y y ) ( Z z ) = 0 undep = z si q = zx yEcuatia planului tangent la sfera:( S ) : x2 + y 2 + z3 = R2 G 5F in punctul M ( x0 , y0 , z0 ) ( S ) este xx0 + yy0 + zz0 = R 2 . Ecuatiile: x = R cos sin G 1 y = R sin sin ( [0, ) , [0, 2 ]) T z = R cos constituie o reprezentare parametrica a unei sfere. 5
  6. 6. Ecuatiile: x = R cos sin G 2 y = R sin sin ( [0, ) , [0, ]) F z = R cos constituie o reprezentare parametrica a unei semi-sfere. Ecua ia tangentei la curba x = et cos t A 53 (C ) : y = e sin t t n punctul A(1,0).este ..X - y - 1 = 0.. Ecua ia: (Y y ) Fy + ( X x ) Fx = 0 A 52 reprezinta ..TANGENTA.. la o curba regulata F ( x, y ) = 0 , dusa printr-un punct( x, y ) al curbei. Elementul de arc al curbei circulare: x = a cos ( C ) : y = a sin ( [0, 2 ]) F 1 z = kF esteds = 2 a 2 + k 2 Elementul de arc al curbei circulare: x = a cos ( C ) : y = a sin ( [0, 2 ]) F 2 z = k T esteds = 2 a 2 + k 2 d Elementul de arc al curbei: ( C ) : = a (1 + cos ) E 10este: T ds = 2a cosd 2 Elementul de arc al curbei: ( C ) : = a (1 + cos ) E 9 este: F2 ds = 2a cos d .26
  7. 7. Elementul de arc pe curba: x = a cos ( C ) : y = a sin , t [0, 2 ] z = k D 141 c este: a.ds = a 2 k 2 dc. ds = a 2 + k 2 d1 b.ds = a 1 + k 2 dd. ds =1 + k 2 da Elementul de arc pe elicea conic: x = at cos t( C ) y = at sin t z = bt D 139 este:da.ds = a 2t 2 + b 2 dt c.ds = a + b 2t 2 dt b2 b.ds = t 2 + dtd.ds = a 2 + t 2 + b 2 dt a2 Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie: E 12 ( C ) : y = chx T este: ds = chx . Elementul de arc pe lantisorul de ecuatie: E 11 ( C ) : y = chx F este: ds = shx . Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba: x = t +1 ( C ) y = t 2 + t + 2 obtinem ecuatiile implicite ale curbei: z = t 2 + 2 D 143b x + ( z 1)2 2 = 0 x 2 + 2 ( z 1) y = 0 a. ( C ) c.(C ) x y z 3 = 0x y z = 0 z + 2 ( x 1)2 2 = 0 x + ( y 1)2 2 z = 0 b. ( C) d.( C)x y z + 3 = 0 x y z + 3 = 0 7
  8. 8. Eliminnd parametrul t ntre ecua iile curbei: x = r cos 2 t ( C ) : y = r sin cos t z = r sin t s se scrie ecua iile curbei (C) sub form implicit. D 84b x + y z r = 0 2 22 2 2 2 x + y ry = 0a. 22 2 c. 22 x + y + z rx = 0 x + y rz = 0 x2 + y 2 + z 2 r 2 = 0 22 2 x + y + z rx = 0b. 22 d. 22 2 x + y rx = 0 x + y + z rz = 0 Eliminnd parametrul ntre ecua iile parametrice ale curbei: x = 2a sin 2 (C ) sin 3 (cisoida lui Diocles) y = 2a cos D 21 se ob ine ecua ia curbei sub form implicit:b a. y ( x 2 + y 2 ) 2ax 2 = 0 c. x ( x2 + y 2 ) + a2 ( x2 y 2 ) = 0 b. x ( x 2 + y 2 ) + 2ay 2 = 0 d. x ( x 2 + y 2 ) 2ay 2 = 0 C 32 Elipsoidul este o suprafata ..REGULATA.. Fie ( S ) dat de ecua ia explicit: ( S ) : z = f ( x, y ) , ( x, y ) D 2 C 21Coeficientii lui ....GAUSS...................... se scriu sub forma: E = 1 + p 2 , F = pq, G = 1 + q 2Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana iar M ( C ) a.i prin M trec dou ramuri ce admit tangente distincten acest punct (vezi figura ).A 19aAtunci:2 22a. ( F )xy Fx Fy > 0 22b.( F )xy Fx Fy = 0 22c. ( F ) xy Fx Fy < 0228
  9. 9. Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana iar M ( C ) un punct izolat (vezi figura ). A 20 a Atunci: 22 2a. ( F )xy Fx Fy < 022b. ( F ) xy Fx Fy = 0 22 c. ( F )xy Fx Fy > 0 22Fie ( C ) : F ( x, y ) = 0 o curba plana i M ( x, y ) un punct regulat. Atunci dreapta de ecuatie:A 82( X x ) Fy (Y y ) Fx = 0se numeste ..NORMALA.. la curba dusa prin punctul M 3Fie ( S ) o suprafata reprezentat prin ecuatiile ei parametrice Se stie ca unghiul a doua curbecoordonate este dat de relatia:C 29F cos =. EG Condtia de ortogonalitate a curbelor este ..F = 0... Fie ( C ) un arc de curb plana, iar1 def = lim,R x 0