19041894 algebra liniara geometrie analitica geometrie diferentiala

Download 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

Post on 12-Apr-2018

1.229 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 7/21/2019 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

    1/395

    UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOVFACULTATEA DE CONSTRUCTII

    SPECIALIZARI : CCIA , INST, DPCF

    FACULTATEA INGINERIE ELECTRICA SI STIINTA

    CALCULATOARELOR

    SPECIALIZAREA : AUTOMATICA

    PROF.UNIV.DR. ATANASIU GHEORGHE

    ALGEBRLINIAR,GEOMETRIE ANALITIC

    IGEOMETRIE DIFERENIAL

    2007

  • 7/21/2019 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

    2/395

    PARTEA I: GEOMETRIE ANALITIC

    Cuprins

    Cap. 1 Noiuni preliminare............................................................1

    Cap. 2 Spaii vectoriale................................................................17

    Cap. 3 Spaii punctuale euclidiene..............................................48

    Cap. 4 Geometria liniarn spaiu..............................................92

    Cap. 5 Translaia i rotaia reperului cartezian.......................129

    Cap. 6 Schimbri de repere n plan i spaiu............................134

    Cap. 7 Conice...............................................................................138

    Cap. 8 Cuadrice...........................................................................163

    Cap. 9 Generri de suprafee.....................................................180

  • 7/21/2019 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

    3/395

    1

    Capitolul 1

    NOIUNI PRELIMINARE

    n acest capitol se reamintesc noiuni de baz ca: mulimi, relaii binare,funcii, precum i elemente fundamentale ale algebrei liniare: matrice,determinani, sisteme liniare de ecuaii, predate n liceu.

    Obiective operaionale:

    1.1. Sstpneascoperaiile i relaiile binare pe acestea1.2. S-i reaminteascnoiunea de funcie i funciile elementare studiate1.3. Scunoascnoiunea de matrice i operaiile cu acestea1.4. Sreinproprietile determinanilor i calculul lor1.5. S fie capabil s rezolve sisteme liniare de ecuaii cu dou i treinecunoscute

    Coninutul capitolului:

    1.1 Mulimi, relaii binare i funcii1.2Matrice i determinani1.3 Sisteme liniare de ecuaii1.4 Legi de compoziie1.5 Bibliografie

    1.1Mulimi, relaii binare i funcii

    Mulimi

    Prin mulime se nelege o colecie de obiecte care vor fi numiteelemente.Noiunea de mulime, ca orice noiune primar, nu se definete caalte noiuni prin genul proxim i diferena specific ci se caracterizeaznumind individual elementele sau specificnd o proprietate pe care o auelementele sale i nu o au alte obiecte.

  • 7/21/2019 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

    4/395

    2

    Vom nota cu majusculeA , B, C,X, Y iar elementele mulimilor culitere mici a, b, c,x, y.

    Pentru unele mulimi care vor fi des utilizate se folosesc notaiiconsacrate. Se noteaz cu N mulimea numerelor naturale, cu Z mulimeanumerelor ntregi, cu Q mulimea numerelor raionale, cu R mulimeanumerelor reale iar cu Cmulimea numerelor complexe.

    Legtura dintre un element i mulimea din care face parte este datde relaia numitrelaia de apartenen. DacAeste o mulime i xunelement al su vom scriexAi vom citi xaparine luiA.

    DacAiBsunt doumulimi, vom spune cAeste o submulime aluiBi vom scrieA B (A este inclusn B) dacorice element al mulimiiA este i element al mulimii B.

    Simbolic scriemA B x, x Ax B.n teoria mulimilor admitem existena mulimii care nu are nici un

    element, notat cu i numit mulimea vid. Mulimea vid este osubmulime a oricrei mulimi.

    Doumulimi sunt egale,AiB, daci numai dacA BiB A.

    Relaia de incluziune ne permite sdefinim clasa prilor uneimulimiX, notatcu P(X)i care are ca obiecte toate submulimile mulimiiX.

    Definim n clasa prilorP(X),ale unei mulimiX, operaiile:

    reuniunea a doumulimiAiBreprezintmulimea

    A B= {x / xA sauxB}

    interseciaa doumulimiAiBreprezintmulimea

    A B= {x / xA sauxB}

    Doumulimi se numesc disjuncte dacA B =

    diferena mulimilorB iAnseamnmulimea

    B \A= {x / xB saux A}

    DacA BatunciB \Ase numeste complementaraluiA n raportcu Bi se noteazcu CBA. n clasa prilor P(X)ale mulimii X,notm cu

    A = CXA, complementara lui A n raport cu X, i o vom numi simplucomplementara luiA.Este simplu de dovedit cdacA, B P(X)atunciB \A = B A .

    produsul cartezianal mulimilorAiBnseamnmulimea

    AB = {(a,b)/aA i bB}

  • 7/21/2019 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

    5/395

    3

    Un element (a,b) ABse numetepereche ordonat.Douperechi ordonate (a1,a2) i (b1,b2) sunt egale daci numai daca1 =b1i a2 =b2.

    n mod analog se pot defini operaiile de reuniune, intersecie iprodus scalar pentru trei sau mai multe mulimi.

    Prin produsul cartezian al mulimilor X1, X2,, Xn, nelegem

    mulimea sistemelor ordonate (x1,x2,, xn) cux1X1,i = n,1 , adic

    X1 X2 Xn= {(x1,x2,, xn) /xiXI, ,i = n,1 , }

    Un element al acestui produs cartezian l vom numi n - upl.Doun uple (x1,x2,, xn) i (y1,y2,, yn) sunt egale daci numai dacx1 =y1,x2 =y2,, xn =yn.

    DacX1 = X, ,i = n,1 atunci vom folosi notaiaX X X = X.Numimpartiiepe mulimeaXo familie da pri ale lui X, disjuncte

    doucte doui a cror reuniune este egalcuX.

    Relaii

    FieAiBdoumulimi nevide.O coresponden ntre elementele celor dou mulimi se numete

    relaie binar.DacaA i bBi notm cu Rrelaia ntreAiB, atuncivom citi a este n relaia R cu b i vom nota cu aRb. Mulimea A senumete mulime de plecare iarBmulimea de sosire. Cele doumulimi nuau un rol simetric, motiv pentru care vom gndi elementele ce sunt n relaiaRca pe nite perechi ordonate. Astfel, o relaie binaro putem defini ca o

    submulime G a produsului cartezian AB. O relaieR

    ntre elementelemulimilorAi Bva fi datprin tripletul R= (G:A,B),unde GA Bva finumit graful relaiei R iar A i B sunt mulimea de plecare respectivmulimea de sosire.

    DacB = A, relaia binarR se numete simplu relaie binar pemulimeaA.O relaie binarpe o mulime se noteazde regulcu

    R, ,,etc.

    1.1.1 Definiie. O relaie binar pe A se numete relaie deechivalendaca, b, cA, urmtoarele condiii sunt verificate:

    1) a a - reflexivitatea

    2) a b b a - simetria3) a bi b c a c - tranzitivitatea.

    Dac o relaie de echivalen pe A, atunci pentru orice a Adefinim mulimea

    ={bA / b a}numit clasa de echivalen n raport cu relaia a elementului a. Unelement al unei clase de echivalene va fi numit reprezentantal acestei clase.

  • 7/21/2019 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

    6/395

    4

    1.1.2 Teorem. Dac A este o mulime nevidi este o relaie de

    echivalenpe mulimea A, atunci:1)a A ( a )2) =b,a b3) daci b sunt douclase de echivalenatunci

    = b sau b = 4) reuniunea claselor de echivaleneste egalcu A.

    Mulimea claselor de echivalendeterminate de relaia pe AsenoteazcuA/i se numete mulimea cta luiAn raport cu relaia .

    n baza teoremei 1.2 rezultco relaie de echivalendeterminopartiie peAi reciproc. O partiie pe mulimeaAeste definitde clasele deechivalen. Reciproc, o partiie a mulimii A determin o relaie deechivalenpeA; douelemente dinA se gsesc n relaie dacele aparin laaceeai submulime a partiiei.

    Exemple

    1o Relaia de paralelism n mulimea dreptelor din spaiu este o

    relaie de echivalen. Dou drepte d1 i d2 din spaiu spunem c suntparalele dac exist un plan ce le conine i care satisfac una dinproprietile:d1d2= sau d1= d2. Putem constata uor crelaia de paralelism astfeldefiniteste o relaie de echivalen.

    Clasa de echivalen a unei drepte d este format din mulimeatuturor dreptelor paralele cu d. Aceast clas de echivalen se numetedirecia determinatde dreapta dn spaiul considerat.

    2oNumere cardinale. DoumulimiAiBse zic cardinal echivalentesau echivalente dac exist o bijecie de la A la B. Aceast relaie este orelaie de echivalen n clasa tuturor mulimilor. Clasele de echivalen senumescnumere cardinale.Vom nota cardinalul mulimiiAcu cardA. DacNeste mulimea numerelor naturale vom nota cardinalul acesteia cu 0(alefzero). Orice mulime cardinal echivalentcu Nse numete numrabil.

    DacA iBsunt doumulimi, card A = mi cardB = n, atunci card(AB ) = m n.

    1.1.3 Teorem. O relaie binarpe mulimea A, notatcu , se numete

    relaie de ordine daca,b,5A, sunt satisfcute urmtoarele proprieti:1) a a - reflexivitatea2) a b i b a a = b - antisimetria3) a b i b c a c - tranzitivitatea.

    O mulimeApe care s-a definit o relaie de ordine se numetemulime ordonat i o vom nota prin (A, ).

    Dacpentru orice a,b 5Aavem a b saub a, atunci mulimea

  • 7/21/2019 19041894 Algebra Liniara Geometrie Analitica Geometrie Diferentiala

    7/395

    5

    (A, ) se numetetotal ordonatsaulan.ntr-o mulime ordonat (A, ) un element a 5 A se numete prim

    element (respectiv ultim element)al luiAdaca x (respectivx a)oricarear fix 5A.

    Elementul a 5Ase zice maximal(respectiv minimal)dacdin a x(respectivx a) rezultx = a.

    DacB A , un element a 5 A se zice majorant (respectivminorant)al luiBdacx a (respectiv a x) oricare ar fix 5B.Un element a 5Ase numete supremum (respectiv infimum) pentru

    mulimeaB,dacx apentru x Bi dacx a , x Batuncia a (daca x pentru x Bi daca x, x Batunci a a).Elementul a 5A (dacexist) se noteazcusup (B) (respectiv inf (B)).

    O mulime total ordonat (A, ) se zice inductiv dac oricesubmulime a sa are un majorant.

    n teoria mulimilor se demonstreaz c urmtoarele afirmaii suntechivalente:

    1o Axioma alegerii. Dac A1,A2,,An este o familie de mulimi

    nevide atunciA1A2An .2o Lema lui Zorn. O mulime inductiv nevid are cel puin un

    majorant.O mulime ordonat (A, ) se zice bine ordonat, dac orice submulimenevida sa are un prim element.

    3oTeorema lui Zermelo. DacAeste o mulime nevid, atunci existo relaie de ordine , astfel nct (A, ) este o mulime b

Recommended

View more >