UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOV FACULTATEA DE CONSTRUCTII SPECIALIZARI : CCIA , INST, DPCF FACULTATEA INGINERIE ELECTRICA SI STIINTA CALCULATOARELOR SPECIALIZAREA : AUTOMATICA PROF.UNIV.DR. ATANASIU GHEORGHE

ALGEBR LINIAR, GEOMETRIE ANALITIC

I GEOMETRIE DIFERENIAL

2007

PARTEA I: GEOMETRIE ANALITIC

Cuprins

Cap. 1 Noiuni preliminare............................................................1

Cap. 2 Spaii vectoriale................................................................17

Cap. 3 Spaii punctuale euclidiene..............................................48

Cap. 4 Geometria liniar n spaiu..............................................92

Cap. 5 Translaia i rotaia reperului cartezian.......................129

Cap. 6 Schimbri de repere n plan i spaiu............................134

Cap. 7 Conice...............................................................................138

Cap. 8 Cuadrice...........................................................................163

Cap. 9 Generri de suprafee.....................................................180

1

Capitolul 1

NOIUNI PRELIMINARE n acest capitol se reamintesc noiuni de baz ca: mulimi, relaii binare, funcii, precum i elemente fundamentale ale algebrei liniare: matrice, determinani, sisteme liniare de ecuaii, predate n liceu. Obiective operaionale: 1.1. S stpneasc operaiile i relaiile binare pe acestea 1.2. S-i reaminteasc noiunea de funcie i funciile elementare studiate 1.3. S cunoasc noiunea de matrice i operaiile cu acestea 1.4. S rein proprietile determinanilor i calculul lor 1.5. S fie capabil s rezolve sisteme liniare de ecuaii cu dou i trei necunoscute Coninutul capitolului: 1.1 Mulimi, relaii binare i funcii 1.2 Matrice i determinani 1.3 Sisteme liniare de ecuaii 1.4 Legi de compoziie 1.5 Bibliografie

1.1 Mulimi, relaii binare i funcii Mulimi Prin mulime se nelege o colecie de obiecte care vor fi numite elemente. Noiunea de mulime, ca orice noiune primar, nu se definete ca alte noiuni prin genul proxim i diferena specific ci se caracterizeaz numind individual elementele sau specificnd o proprietate pe care o au elementele sale i nu o au alte obiecte.

2

Vom nota cu majuscule A , B, C,X, Y iar elementele mulimilor cu litere mici a, b, c,x, y.

Pentru unele mulimi care vor fi des utilizate se folosesc notaii consacrate. Se noteaz cu N mulimea numerelor naturale, cu Z mulimea numerelor ntregi, cu Q mulimea numerelor raionale, cu R mulimea numerelor reale iar cu C mulimea numerelor complexe.

Legtura dintre un element i mulimea din care face parte este dat de relaia numit relaia de apartenen. Dac A este o mulime i x un element al su vom scrie xA i vom citi x aparine lui A.

Dac A i B sunt dou mulimi, vom spune c A este o submulime a lui B i vom scrie A B (A este inclus n B) dac orice element al mulimii A este i element al mulimii B.

Simbolic scriem A B x, x A x B. n teoria mulimilor admitem existena mulimii care nu are nici un

element, notat cu i numit mulimea vid. Mulimea vid este o submulime a oricrei mulimi.

Dou mulimi sunt egale, A i B, dac i numai dac A B i B A. Relaia de incluziune ne permite s definim clasa prilor unei

mulimi X, notat cu P(X) i care are ca obiecte toate submulimile mulimii X. Definim n clasa prilor P(X), ale unei mulimi X, operaiile:

reuniunea a dou mulimi A i B reprezint mulimea

A B= {x / x A sau x B}

intersecia a dou mulimi A i B reprezint mulimea

A B= {x / x A sau x B}

Dou mulimi se numesc disjuncte dac A B =

diferena mulimilor B i A nseamn mulimea

B \ A = {x / x B sau x A} Dac A B atunci B \ A se numeste complementara lui A n raport

cu B i se noteaz cu CBA. n clasa prilor P(X) ale mulimii X, notm cu A = CXA, complementara lui A n raport cu X, i o vom numi simplu complementara lui A. Este simplu de dovedit c dac A, B P(X) atunci B \ A = B A . produsul cartezian al mulimilor A i B nseamn mulimea

AB = {(a,b)/a A i b B}

3

Un element (a,b) AB se numete pereche ordonat. Dou perechi ordonate (a1,a2) i (b1,b2) sunt egale dac i numai dac a1 = b1 i a2 = b2. n mod analog se pot defini operaiile de reuniune, intersecie i produs scalar pentru trei sau mai multe mulimi. Prin produsul cartezian al mulimilor X1, X2,, Xn, nelegem mulimea sistemelor ordonate (x1,x2,, xn) cu x1 X1, i = n,1 , adic

X1 X2 Xn= {(x1,x2,, xn) / xi XI, , i = n,1 , }

Un element al acestui produs cartezian l vom numi n - upl. Dou n uple (x1,x2,, xn) i (y1,y2,, yn) sunt egale dac i numai dac x1 = y1, x2 = y2,, xn = yn.

Dac X1 = X, , i = n,1 atunci vom folosi notaia X X X = X. Numim partiie pe mulimea X o familie da pri ale lui X, disjuncte

dou cte dou i a cror reuniune este egal cu X. Relaii

Fie A i B dou mulimi nevide. O coresponden ntre elementele celor dou mulimi se numete

relaie binar. Dac a A i b B i notm cu R relaia ntre A i B, atunci vom citi a este n relaia R cu b i vom nota cu aRb. Mulimea A se numete mulime de plecare iar B mulimea de sosire. Cele dou mulimi nu au un rol simetric, motiv pentru care vom gndi elementele ce sunt n relaia R ca pe nite perechi ordonate. Astfel, o relaie binar o putem defini ca o submulime G a produsului cartezian AB. O relaie R ntre elementele mulimilor A i B va fi dat prin tripletul R = (G:A,B), unde G AB va fi numit graful relaiei R iar A i B sunt mulimea de plecare respectiv mulimea de sosire.

Dac B = A, relaia binar R se numete simplu relaie binar pe mulimea A. O relaie binar pe o mulime se noteaz de regul cu

R, ,,etc.

1.1.1 Definiie. O relaie binar pe A se numete relaie de echivalen dac a, b, c A, urmtoarele condiii sunt verificate:

1) a a - reflexivitatea 2) a b b a - simetria 3) a b i b c a c - tranzitivitatea. Dac o relaie de echivalen pe A, atunci pentru orice a A definim mulimea

={b A / b a } numit clasa de echivalen n raport cu relaia a elementului a. Un element al unei clase de echivalene va fi numit reprezentant al acestei clase.

4

1.1.2 Teorem. Dac A este o mulime nevid i este o relaie de

echivalen pe mulimea A, atunci: 1) a A ( a )

2) =b , a b 3) dac i b sunt dou clase de echivalen atunci = b sau b = 4) reuniunea claselor de echivalen este egal cu A.

Mulimea claselor de echivalen determinate de relaia pe A se

noteaz cu A/ i se numete mulimea ct a lui A n raport cu relaia . n baza teoremei 1.2 rezult c o relaie de echivalen determin o partiie pe A i reciproc. O partiie pe mulimea A este definit de clasele de echivalen. Reciproc, o partiie a mulimii A determin o relaie de echivalen pe A; dou elemente din A se gsesc n relaie dac ele aparin la aceeai submulime a partiiei. Exemple 1o Relaia de paralelism n mulimea dreptelor din spaiu este o relaie de echivalen. Dou drepte d1 i d2 din spaiu spunem c sunt paralele dac exist un plan ce le conine i care satisfac una din proprietile: d1 d2= sau d1 = d2. Putem constata uor c relaia de paralelism astfel definit este o relaie de echivalen. Clasa de echivalen a unei drepte d este format din mulimea tuturor dreptelor paralele cu d. Aceast clas de echivalen se numete direcia determinat de dreapta d n spaiul considerat. 2o Numere cardinale. Dou mulimi A i B se zic cardinal echivalente sau echivalente dac exist o bijecie de la A la B. Aceast relaie este o relaie de echivalen n clasa tuturor mulimilor. Clasele de echivalen se numesc numere cardinale. Vom nota cardinalul mulimii A cu cardA. Dac N este mulimea numerelor naturale vom nota cardinalul acesteia cu 0 (alef zero). Orice mulime cardinal echivalent cu N se numete numrabil. Dac A i B sunt dou mulimi, card A = m i card B = n, atunci card (A B ) = m n. 1.1.3 Teorem. O relaie binar pe mulimea A, notat cu , se numete relaie de ordine dac

a,b,5 A, sunt satisfcute urmtoarele proprieti: 1) a a - reflexivitatea 2) a b i b a a = b - antisimetria 3) a b i b c a c - tranzitivitatea. O mulime A pe care s-a definit o relaie de ordine se numete

mulime ordonat i o vom nota prin ( A, ). Dac pentru orice a,b 5 A avem a b sau b a, atunci mulimea

5

(A, ) se numete total ordonat sau lan. ntr-o mulime ordonat (A, ) un element a 5 A se numete prim

element (respectiv ultim element) al lui A dac a x (respectiv x a) oricare ar fi x 5 A.

Elementul a 5 A se zice maximal (respectiv minimal) dac din a x (respectiv x a) rezult x = a.

Dac B A , un element a 5 A se zice majorant (respectiv minorant) al lui B dac x a (respectiv a x) oricare ar fi x 5 B.

Un element a 5 A se numete supremum (respectiv infimum) pentru mulimea B, dac x a pentru x B i dac x a , x B atunci a a (dac a x pentru x B i dac a x, x B atunci a a). Elementul a 5 A (dac exist) se noteaz cu sup (B) (respectiv inf (B)). O mulime total ordonat (A, ) se zice inductiv dac orice submulime a sa are un majorant. n teoria mulimilor se demonstreaz c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1o Axioma alegerii. Dac A1,A2,,An este o familie de mulimi nevide atunci A1A2An . 2o Lema lui Zorn. O mulime inductiv nevid are cel puin un majorant. O mulime ordonat (A, ) se zice bine ordonat, dac orice submulime nevid a sa are un prim element. 3o Teorema lui Zermelo. Dac A este o mulime nevid, atunci exist o relaie de ordine , astfel nct (A, ) este o mulime bine ordonat.

Funcii O relaie binar particular o reprezint noiunea de funcie. Fie dou mulimi oarecare E i F. 1.1.4 Teorem. Se numete funcie sau aplicaie definit pe E cu valori n F, o coresponden f prin care fiecrui element x E i se asociaz un singur element y F.

Proprietatea relaiei binare f , ce definete o funcie pe E cu valori n F, se numete univocitate, adic x1,x2 E, x1= x2 f(x1) = f(x2).

Prin funcie se nelege deci, ansamblul format din mulimea de plecare F numit domeniu de definiie, mulimea de sosire F numit mulimea n care funcia ia valori i legea de coresponden f. Elementul y F care corespunde prin f elementului x E se noteaz prin

y = f(x) sau x y

Elementul x E va fi numit variabil independent sau argument iar y = f(x) F se numete imaginea lui x prin f.

Vom folosi notaia f : E F, y = f(x). Notm cu F: ( E: F) mulimea tuturor funciilor definite pe E cu

valori n F. Dac E = F, vom nota mulimea funciilor de la E la F prin

6

F (E). Dou funcii f1,f2 F (E, F) sunt egale, f1 = f2, dac i numai dac f1(x) = f2(x), x E. Graful corespondenei univoce f, notat cu Gf = {(x,f (x)) / x E } E F. Dou funcii f1 i f2 sunt egale dac submulimile produsului cartezian E F,

1fG i

2fG sunt egale.

O funcie f : E F se numete injectiv dac

x1,x2 E, x1 x2 f(x1) f(x2) Funcia f : E F se numete surjectiv dac

y F, 0 x E astfel nct y = f(x) Mulimea f(E) se numete imaginea funciei f i se noteaz cu

Imf = {yF/ 0 x E astfel nct y= f(x)} Funcia f : E F este surjectiv dac i numai dac f(E) = F. Oricrei

aplicaii f : E F i se poate asocia aplicaia surjectiv f : E f(E) avnd acelai grafic. Funcia f : E F se numete bijectiv dac f este injectiv i surjectiv. Dou mulimi sunt n coresponden biunivoc dac exist o aplicaie bijectiv f : E F. S considerm funciile f : E F i g : F G. Funcia ( g o f ):E F definit prin relaia ( g o f )(x) = : g(f(x)) se numete compunerea funciilor f i g. Funcia 1EF(E) definit prin relaia 1E(x) = x, x E se numete funcia identic a mulimii E. Graficul acestei funcii reprezint diagonala produsului cartezian EE. O funcie f:EF se numete inversabil dac exist o funcie f 1:FE numit inversa funciei f, care satisface condiiile f 1o f = 1E i f o f -1 = 1E.

O funcie f : E F este inversabil dac i numai dac f este bijectiv. Dac y = f(x) F, atunci x = f 1(y) E este numit imaginea invers sau contraimaginea lui y. O funcie punctual f :E F nu admite ntotdeauna invers, dar gndit ca o aplicaie de mulime are sens s vorbim de imaginea invers (reciproc) a unei submulimi F F n raport cu f, adic

f 1(F)= {x E / f (x) = y F} O funcie f :E F este injectiv dac i numai dac y F, mulimea f 1({y}) conine cel mult un element.

1.2 Matrice i determinani

7

Fie M ={1,2,,m} i N = {1,2,,n} dou mulimi finite i X un inel cu unitate. 1.2.1 Definiie. O aplicaie A : M N X, A (i,j) = aij X se numete matrice de tipul m n cu elemente din inelul X. Valorile A(i,j) = aij se numesc elementele matricei A : M N X i n mod tradiional mulimea Im A ,organizat ntr-un tabel dreptunghiular cu m linii i n coloane, notat cu A, va fi numit matrice dreptunghiular.

A =

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

,.....,,.......................

,......,,,......,,

21

22221

11211

Pe scurt, matricea A va fi notat cu A = (aij), .,1,,1 njmi == O matrice cu o singur linie sau coloan se va numi matrice linie respectiv matrice coloan sau vector. Schimbarea liniilor n coloane n matricea A se numete transpunerea lui A, iar matricea care se obine se noteaz cu A' i se numete transpusa matricei A. Dac m = n, matricea A va fi numit matrice ptratic, iar n va fi numit ordinul matricei. n cele ce urmeaz, elementele matricelor folosite vor fi considerate din corpul numerelor reale R sau complexe C, notat cu K. Mulimea matricelor de tipul m n cu elemente din K va fi notat cu M mn(K).

Definim pe mulimea M mn(K) operaiile de adunare a dou matrice i produsul unei matrice cu un scalar.

Dac A = (aij) i B = (bij) sunt dou matrice de tipul m n atunci matricea A+B =:(aij+ bij) este numit suma matricelor A i B. Proprietile operaiei de adunare a dou matrice rezult din proprietile pe care le are suma din corpul K. Matricea cu toate elementele nule va fi notat cu O i o vom numi matricea zero, iar matricea A =: (-aij) va fi opus lui A.

Dac K i A= (aij) M mn(K),atunci matricea A= :( aij)

definete produsul matricei A cu scalarul . Dac A M mn(K) i B M np(K) atunci matricea de tipul m p dat de

AB =:

=

n

jjkijba

1

Va fi numit produsul matricei A cu matricea B.

S considerm mulimea matricelor ptratice de ordinul n, notat cu

8

M n(K) . n mulimea M n(K) produsul a dou matrice nu este comutativ. Dac matricele A,B M n(K) satisfac proprietatea A B = B A acestea vor fi numite comutabile.

O matrice ptratic A cu proprietatea A = A(A = -A) se numete simetric ( antisimetric). Orice matrice ptratic poate fi scris n mod unic ca suma dintre o matrice simetric i o matrice antisimetric.

O matrice ptratic cu toate elementele situate dedesubtul sau deasupra diagonalei principale nule se numete matrice triunghiular.

O matrice ptratic A = (aij) pentru care : k astfel nct akk 0 i i j, aij = 0, se numete matrice diagonal. Matricea diagonal n care aij = 1, i = n,1 se numete matrice unitate de ordinul n i se noteaz cu In.

O matrice ptratic cu proprietatea AA = AA = I se numete matrice ortogonal.

Dac A este o matrice ptratic, atunci pot fi definite inductiv puterile lui A:

A = 1, An = AAn-1, n N* Fie polinomul f(x)=aox p+ a1x p-1++ ap-1x +ap cu coeficienii din cmpul K.

Numim polinom de matrice, matricea

f(A) = aoAp+a1Ap-1++ap-1A+apIn

unde A M n(K) i In este matricea unitate de ordinul n. 1.2.2 Definiie. Se numete determinantul matricei ptratice A M n(K) elementul detA K dat de

detA = nS

pnaaa ,....,, )2()1( 21

unde Sn este grupul permutrilor de ordinul n, iar 1= reprezint signatura permutrii nS .

9

De cum este definit determinantul unei matrice ptratice A rezult c det(A) = detA, motiv pentru care orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adevrat i pentru coloane. S enunm principalele proprieti ale determinanilor:

-dac elementele unei linii sunt reprezentate ca sume de cte doi termeni, atunci determinantul se descompune ntr-o sum de doi determinani.

-dac elementele unei linii se multiplic cu un numr t , atunci determinantul se multiplic cu t. n general det(tA) = tdet A.

-dac ntr-un determinant se schimb dou linii ntre ele, atunci se schimb i semnul determinantului.

-valoarea unui determinant nu se schimb dac la elementele unei linii adugm o combinaie liniar format cu elementele celorlalte linii.

Dac aij este un element al matricei A, notm cu ij determinantul obinut prin suprimarea liniei i i a coloanei j, numit minorul elementului aij, iar cu ij = (-1)i+j ij complementul algebric al acestui element. Calculul determinantului matricei A, folosind teorema de dezvoltare dup linia i, i = n,1 , este dat de formula

DetA = ikn

kika

=1,

Matricele ptratice A Mn(K) pentru care detA 0 se numesc matrice nesingulare. Matricea A-1 cu proprietile A A-1 = A-1 A = I se numete inversa matricei A. Matricea A este inversabil dac i numai dac A este nesingular. Inversa matricei A se poate determina astfel: se calculeaz detA 0, se afl reciproca A* prin nlocuirea elementelor matricei A cu complemenii algebrici corespunztori dup care obinem

A-1 = *det

1 AA

ntruct, n general, produsul a dou matrice nu este comutativ, avem (AB) 1 = B-1A-1. Mulimea matricelor de ordinul n nesingulare mpreun cu operaia de nmulire a dou matrice formeaz un grup numit grupul liniar general de ordinul n, notat cu GL (n;K). Grupul liniar general GL (n;K) conine cteva subgrupuri remarcabile:

GO (n;K) = {A GL(n;K)/A = A-1} numit grupul ortogonal de ordinul n

SO (n;K) = {A GL(n;K)/A = A-1 i detA = 1} numit grupul ortogonal special de ordinul n.

10

1.3 Sisteme de ecuaii liniare Fie sistemul de m ecuaii cu n necunoscute

Sistemul (3.1) poate fi scris condensat sub forma:

Dac notm cu A = (aij), matricea de tipul m n, matricea coeficienilor necunoscutelor sistemului X = (x1,x2,,xn) i B = (b1,b2,,bm), sistemul (3.1) se scrie n mod echivalent sub forma matriceal:

AX = B (3.1)

Prin soluie a sistemului (3.1) nelegem n-upla (x1,x2,,xn ) care satisface simultan toate ecuaiile sistemului.

Ordinul maxim al deteminanilor cu elemente din A , nenuli este numit rangul matricei A, iar un astfel de determinant este numit determinant principal. Ecuaiile ce conin elemente din determinantul principal se numesc ecuaii principale iar celelalte se numesc ecuaii secundare. Analog vom numi necunoscute principale, respectiv necunoscute secundare.

Se numete determinant caracteristic, determinantul obinut prin bordarea determinantului principal cu coeficienii corespunztori dintr-o ecuaie secundar i coloana termenilor liberi, respectiv necunoscute secundare. 1.3.1 Teorem. (Rouche) Un sistem de ecuaii liniare este compatibil dac i numai dac toi determinanii sunt nuli.

n cazul n care rangul matricei A, r = rang A, este egal cu numrul

ecuaiilor, convenim c teorema lui Rouche este satisfcut. Un sistem compatibil admite soluiile unic (este determinat ) dac

toate necunoscutele sunt principale, r = n. n caz contrar sistemul admite o infinitate de soluii (este nedeterminat), r < n.

Dac r = m = n sistemul (3.1) este numit sistem Cramer, caz n care

componentele soluiei sunt date de nixx ii ,1, === .

Sistemul (3.1) n care bi=0, i = n,1 se numete sistem omogen. Un sistem omogen este ntotdeauna compatibil, admind cel puin soluia banal

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

.............................................

...

...

2211

22222221

11212111

( )1.3

,1=

=n

jijij bxa mj 1 ( )

'1.3

11

(0,0,..,0). Pentru ca un sistem de ecuaii liniare i omogene s admit i soluii diferite de soluia banal impunem condiia r < n.

1.4 Legi de compoziie

Fie X o mulime nevid. 1.4.1 Definiie Se numete lege de compoziie intern pe X (sau operaie algebric) o aplicaie * a produsului cartezian X X cu valori n X.

Legea de compoziie intern * asociaz oricrei perechi (x,y) X X

un element z = x * y X,numit compusul lui x cu y. Exemple 1o Pe mulimea numerelor complexe C i pe orice submulime

a sa se definete legea de compoziie intern + : C C C, (z1,z2) a z = z1 + z2 numit suma a dou numere complexe.

2o n clasa P(X) a prilor unei mulimi X operaia de intersecie a dou mulimi definete pe P(X) o lege de compoziie intern.

Fie Y X o submulime nevid i * o lege de compoziie intern pe X, atunci mulimea Y se numete parte stabil n raport cu operaia * dac x, y Y avem x * y Y. Dac Y X este parte stabil n raport cu operaia * definit pe X, atunci restricia aplicaiei * la mulimea Y Y se numete lege de compoziie indus de * pe Y.

n cele ce urmeaz vom prezenta cteva proprieti, notate cu I , ale operaiiilor algebrice cu ajutorul crora se definesc structurile algebrice fundamentale.

Ia) asociativitatea

x, y, z X, x* (y * z) = (x * y) * z

Ib) elementul neutru x X, e X astfel nct x * e = e * x = x Dac legea de compoziie este de tip aditiv, elementul neutru e se

numete elementul nul i va fi notat cu 0 (zero) , iar n cazul unei legi de tip multiplicativ e este numit element unitate i va fi notat cu 1 (unu).

Ic) elementul simetric

dac x X, x X astfel nct x * x = x * x = e

12

Dac legea de compoziie este de tip aditiv, elementul simetric x va fi numit opusul lui x i va fi notat cu x, iar dac legea de compoziie este de tip multiplicativ atunci x va fi numit inversul lui x i va fi notat cu x-1.

Dac o lege de compoziie intern pe X este asociativ i admite element neutru, atunci orice element are cel mult un simetric. n adevr, dac x ar admite dou elemente simetrice x i xatunci

x = x* e = x * (x*x) = (x * x)* x = e * x = x

Id) comutativitatea x, y X avem x * y = y * x Dac pe mulimea X sunt definite dou legi de compoziie notate cu * i respectiv o proprietatea (D) x, y, z X, x*(y o z) = (x * y) o (x * z)

va fi numit distributivitatea legii * fa de legea o . 1.4.2 Definiie. O submulime X mpreun cu o lege de compoziie intern asociativ se numete monoid sau semigrup.

Dac n plus operaia algebric * are element neutru ( este

comutativ) se spune c (X,*) este un monoid cu unitate sau unitar (monoid comutativ sau abelian).

1.4.3 Definiie. O mulime G mpreun cu o lege de compoziie intern * asociativ cu element neutru i care are proprietatea c orice element din G este inversabil se numete grup.

n plus dac legea de compoziie intern este comutativ atunci (G,*) se numete grup abelian.

Vom spune c operaia * definit pe mulimea G cu proprietile enunate determin pe G o structur de grup, iar proprietile Ia,Ib,Ic (Ic satisfcut pentru x X) vor fi numite axiomele structurii de grup. Dac operaia * este adunarea (nmulirea) atunci grupul se numete grup aditiv ( multiplicativ).

ntr-un grup (G,*) ecuaiile: a * x = b i x * a = b au soluii unice. Exemple 1 Mulimea numerelor ntregi Z mpreun cu operaia de adunare este

un grup abelian. n schimb mulimea Z nzestrat cu operaia de nmulire nu este grup, singurele elemente inversabile sunt 1 i 1.

2 ntr-un semigrup cu unitate, submulimea elementelor inversabile formeaz mpreun cu operaia indus o structur de grup. 1.4.4 Definiie. Submulimea H G a grupului (G.*) se numete subgrup al grupului G dac legea de compoziie intern induce pe H o structur de grup, adic (H,*) este grup.

13

1.4.5 Propoziie. Dac (G.*) este un grup i H G o submulime, atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

1) H este un subgrup al lui G 2) x,y H x * y H i x H x H

1.4.6 Definiie. Dou elemente x, y H se zic echivalente la dreapta modulo

H, x y, dac y-1x H.

Relaia este o relaie de echivalen pe H. Mulimea claselor de echivalen la dreapta se numete mulimea factor i se noteaz cu G/H. Analog se pot defini i clasele de echivalen la stnga. Dac G este un grup comutativ atunci o clas de echivalen la stnga este clas de echivalen la dreapta i reciproc. 1.4.7 Definiie. Un subgrup H al grupului (G.*) se numete divizor normal (subgrup normal) dac x h x-1 H pentru x G i h H. ntr-un grup abelian orice subgrup este un divizor normal. 1.4.8 Propoziie. Dac H este un divizor normal al grupului (G, ) atunci clasele de echivalen la dreapta coincid cu clasele de echivalen la stnga i n plus mulimea G/H poate fi nzestrat cu o structur de grup numit grupul factor. 1.4.9 Definiie. Fie grupurile (G,*) i (G,o). O aplicaie f : G Gse numete morfism (homomorfism sau omomorfism) de grupuri dac este satisfcut relaia:

f(x * y)= f(x) o f(y), x,y G Dac aplicaia f este bijectiv ( injectiv, surjectiv) atunci morfismul f

va fi numit izomorfism (monomorfism, epimorfism). n cazul n care G = G, morfismul (izomorfismul) de grupuri

f : G G este numit endomorfism (automorfism). 1.4.10 Definiie. O mulime nevid A, mpreun cu dou legi de compoziie interne, dintre care una se noteaz de obicei aditiv +, iar cealalt multiplicativ , se numete inel dac sunt ndeplinite condiiile:

1 (A,+) este grup abelian

2 (A, ) este semigrup 3 operaia de nmulire este distributiv fa de adunare:

x(y + z) = xy + xz, x,y,z A. Dac (A,+,) este un inel pentru care nmulirea este comutativ atunci

(A,+,) va fi numit inel comutativ.

14

Dac (A,+,) este un inel n care nmulirea admite element neutru, atunci (A,+,) se va numit inel cu unitate sau inel unitar.

1.4.11 Definiie. Un inel unitar (K,+,) n care orice element nenul este inversabil se numete corp.

Un corp n care nmulirea este comutativ va fi numit corp comutativ sau cmp.

1.4.12 Definiie. O aplicaie f : K L unde K i L sunt dou corpuri (inele), se numete morfism de corpuri (inele) dac sunt satisfcute proprietile:

1) f(x+y) = f(x)+f(y), x,y K 2) f(xy) = f(x) f(y), x,y K

Dac n plus, f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de corpuri (inele).

Exemple

1 Mulimea (Z,+,) formeaz un inel cu unitate numit inelul ntregilor.

2 Mulimea M(m;A), a matricelor ptratice de ordinul m cu elemente din inelul A, mpreun cu operaiile de adunare i nmulire a dou matrice, formeaz o structur de inel unitar.

3 Mulimea numerelor reale R dotat cu operaiile de adunare i nmulire formeaz un corp comutativ.

Fie X i dou mulimi nevide oarecare

1.4.13 Definiie. Se numete lege de compoziie extern pe X cu operatori din o aplicaie f : X X care asociaz oricrei perechi ordonate (a,x) X, un element z = : ax X.

De exemplu dac A = (aij) Mnm(K) este o matrice de tip nm cu elemente din corpul K, iar ca mulime de operatori scalari considerm mulimea numerelor reale R, atunci produsul unei matrice cu un numr real, A = : (aij), definete o lege de compoziie extern pe muimea Mnm(K).

15

Dac mulimile X i A sunt nzestrate cu operaii algebrice interne atunci pe mulimea X pot fi definite alte tipuri de structuri.

1.4.14 Definiie. Fie A un inel unitar. Se numete A modul de stnga ( sau modul la stnga peste A) o mulime nevid X pentru care sunt ndeplinite condiiile:

I. (X, +) este o structur de grup abelian

II. legea de compoziie extern : A X X satisface axiomele: a) (x + y) = x + y b) ( + ) x = x + x c) ( x) = ( ) x d) 1 x = x, pentru , A i x,y X.

Observaii

1 Noiunea de A modul la dreapta se definete n mod similar, considernd aplicaia : A X X, (x,a) x a.

2 Dac inelul A este comutativ, atunci orice A modul la stnga este un A modul la dreapta, i reciproc.

3 Dac A este un corp comutativ (cmp) atunci (X, +, ) se numete spaiu vectorial. Aceat structur va fi studiat n capitolul urmtor.

Structurile algebrice definite anterior pot fi prezentate schematic n modelul urmtor, unde * (+ sau ) desemneaz o lege de compoziie intern pe X ce satisface una sau mai multe proprieti din grupa I, iar definete o lege de compoziie extern ce satisface grupa a II a de axiome.

16

Un model similar poate fi construit pentru substructuri.

1.5 BIBLIOGRAFIE

1.5.1 Nstsescu C. i colectiv: Exerciii i probleme de algebr pentru clasele IX-XII,E.D.P., Bucureti, 1991.

1.5.2 Nstsescu C., Ni C., Stnescu I., Elemente de algebr superioar, Manual pentru clasa a XI-a, E.D.P., Bucureti, 1984.

1.5.3 Nstsescu C., Ni C., Brandiburu M., Joia D., Algebr, Culegere de probleme pentru liceu , clasele IX-XII, Ed. Rotech. Pro 1997.

1.5.4 Petric I., Lazr I., Probleme de Algebr pentru liceu, vol.III ( clasele XI-XII), Ed. Petrion, 1997.

A - cmp

(X, *)

17

Capitolul 2

SPAII VECTORIALE

Acest capitol este dedicat prezentrii noiunii de spaiu vectorial i studierii subspaiilor sale vectoriale. Submulimile de vectori liniar independeni i liniar dependeni permit definirea noiunilor de baz i dimensiune ale unui spaiu vectorial. n final, sunt prezentate spaiile vectoriale euclidiene, adic acele spaii vectoriale pe care s-a definit un produs scalar, ceea ce permite concretizarea noiunilor de lungime a unui vector, unghiul a doi vectori, ortogonalitate, .a.

Obiective operaionale:

2.1. S prezinte, exemplificnd, noiunea de spaiu vectorial 2.2. S fie capabil s decid cnd o submulime nevid a unui spaiu vectorial este un subspaiu vectorial al acestuia 2.3. S rein noiunile de baz i dimensiune 2.4. S vizualizeze spaiile vectoriale n-dimensionale pentru n=1,2,3 i s exemplifice abstractizarea lor.

Coninutul capitolului:

2.1 Spaiu vectorial:definiie i exemple 2.2 Subspaii vectoriale 2.3 Baz i dimensiune 2.4 Spaii vectoriale euclidiene 2.5 Probleme rezolvate 2.6 Teme de rezolvat pentru evaluare 2.7 Bibliografie

18

2.1. Spaiu vectorial: definiie i exemple

Noiunea de spaiu vectorial constituie obiectul de studiu al algebrei liniare i reprezint una dintre cele mai importante structuri algebrice utilizat n diferite ramuri ale matematicii precum i n disciplinele aplicate. 1.1 Definiie. O mulime nevid V se numete spaiu vectorial (liniar)

peste cmpul K (pe scurt K-spaiu vectorial) dac sunt indeplinite urmtoarele condiii:

I. (V, +) formeaz o structur de grup abelian (de tip aditiv), adic

a) (x+y)+z = x+(y+z) , x, y, z V b) V 0 astfel nct V x , x + 0 = 0 + x c) V x , Vx , x + (-x) = (-x) + x = 0 d) V x, y , xy y x +=+

II. Legea de compoziie extern : K V, (, x) = x, satisface axiomele:

a) (x + y) = x + y b) ( + ) x = x + x c) (x) = () x d) 1 x = x, , K, x, y V.

Condiiile I i II reprezint axiomele spaiului vectorial peste cmpul K.

Elementele mulimii V se numesc vectori, elementele cmpului K se numesc scalari, iar legea de compoziie extern se numete nmulirea cu scalari.

Dac corpul comutativ K este corpul numerelor reale R sau complexe C, vom vorbi atunci despre un spaiu vectorial real, respectiv spaiu vectorial complex.

n majoritatea cazurilor vom ntlni spaii vectoriale peste corpul numerelor reale i le vom numi simplu "spaii vectoriale", iar n celelalte cazuri vom indica cmpul scalarilor.

Dac notm cu 0V vectorul nul al grupului aditiv V i cu 0K scalarul nul, atunci din axiomele care definesc spaiul vectorial V peste cmpul K avem urmtoarele proprieti: 2.1.2 Corolar Dac V este un spaiu vectorial peste cmpul K, atunci

pentru, xV, K au loc proprietile: 1) 0K x = 0V 2) 0V = 0V 3) (-1) x= -x .

19

Demonstraie: 1) Folosind axiomele IIb i IId avem 0K x = (0K + 0K)x = = 0K x + 0K x 0K x = 0V . 2) innd cont de Ib i IIa, 0V = (0V + 0V) = 0V + 0V din care obinem

VV 00 = . 3) din axiomele grupului aditiv ale cmpului K, consecina 1) i axioma Ic avem x + (-1)x = [1 + (-1)]x = 0Kx = 0V de unde obinem (-1) x= -x. Exemple

1 Fie K un corp comutativ. innd cont de structura aditiv abelian a cmpului K, atunci mulimea K reprezint un K-spaiu vectorial. Mai mult dac K' K este un subcorp, atunci K este un K'-spaiu vectorial. Mulimea numerelor complexe C poate fi privit ca un C-spaiu vectorial sau R-spaiu vectorial respectiv Q-spaiu vectorial.

2 Mulimea Kn = K K K, unde K este un corp comutativ,

este un K-spaiu vectorial, numit spaiul aritmetic (standard),n raport cu operaiile : x,y V , K , x= (x1, x2,..,xn), y = (y1, y2,..,yn)

),...,,(: 2211 nn yxyxyxyx +++=+ ),...,,(: 21 nxxxx = 3 Mulimea matricelor Mmn(K), este un K-spaiu vectorial n raport cu operaiile: )(: ijij baBA +=+ )(: ijaA = , A = (aij), B = (bij) Mmn(K), K. 4 Mulimea K[X] a polinoamelor cu coeficieni din cmpul K este

un K-spaiu vectorial n raport cu operaiile: ,...),(: 1100 babagf ++=+ , ,...),(: 10 aaf = ,

f = (a0, a1,..), g = (b1, b2,..) K[X], K. 5 Mulimea soluiilor unui sistem de ecuaii liniare i omogene

formeaz un spaiu vectorial peste cmpul K al coeficienilor acestui sistem. Soluiile unui sistem de m ecuaii cu n necunoscute, privite ca elemente din Kn (n-uple), pot fi nsumate i nmulite cu un scalar respectnd adunarea i produsul cu scalari definite pe Kn.

6 Mulimea vectorilor liberi V3 din spaiul punctual al geometriei

elementare este un R-spaiu vectorial Pentru a construi aceast mulime s considerm spaiul geometric E3

i mulimea M = E3 E3 = {(A, B)/ A, B E3}. Elementele mulimii M sunt numite bipuncte sau segmente orientate i vor fi notate prin AB . Punctul A va fi numit originea iar B va fi numit extremitatea segmentului AB . n cazul n care originea i extremitatea coincid se obine segmentul nul (A, A).

20

Dreapta determinat de punctele A i B se numete dreapta suport a segmentului AB . Dou segmente orientate au aceeai direcie dac dreptele suport sunt paralele sau coincid.

Dou segmente orientate nenule AB i CD cu aceeai direcie, au acelai sens dac extremitile lor se afl n acelai semiplan determinat de dreapta ce unete originile celor dou segmente,

Fig.1

Lungimea (modulul sau norma) unui segment orientat AB se definete ca fiind lungimea geometric a segmentului neorientat [AB], adic distana de la punctul A la punctul B i va fi notat cu | AB | (|| AB ||). Segmentul nul are lungimea zero .

Pe mulimea M introducem relaia de echipolen "~". Dou segmente orientate AB i CD se zic echipolente dac acestea

au aceeai direcie ,acelai sens i aceeai lungime, (fig.2) :

fig.2 Se verific uor c relaia de echipolen este o relaie de

echivalen pe mulimea M ( este reflexiv, simetric i tranzitiv). Mulimea claselor de echivalen, n raport cu aceast relaie:

M/~ = {( BA, ) | A,B E3 } = V3 definete mulimea vectorilor liberi ai spaiului geometric E3. Clasa de echivalen a segmentului orientat AB va fi notat cu vAB = i va fi numit vector liber iar segmentul orientat AB AB va fi numit reprezentantul vectorului liber v n punctul A. Direcia, sensul i lungimea care sunt comune tuturor elementelor unei clase de echivalen definesc direcia, sensul i lungimea vectorului liber. Pentru lungimea unui vector liber vom folosi notaiile | v | sau || v ||. Vectorul liber de lungimea zero se numete vectorul nul i se noteaz cu 0 . Un vector liber de lungime unu se numete vector unitate sau versor.

Doi vectori liber u i v sunt egali vu = dac reprezentanii lor

sunt dou segmente orientate echipolente.

A

C

D

B

C A

21

Doi vectori liberi care au aceeai direcie se numesc vectori coliniari. Doi vectori coliniari cu aceeai lungime i de sensuri opuse se numesc vectori opui.

Trei vectori liberi se numesc coplanari dac segmentele orientate corespunztoare sunt paralele cu un plan.

Mulimea V3 poate fi organizat ca un grup aditiv abelian. Dac vectorii liberi u i v sunt reprezentai de segmentele

orientate AB i respectiv AC , atunci vectorul reprezentat de segmentul orientat AD definete suma vectorilor u i v i se noteaz cu vuw += (fig. 3)

fig.3 Regula ce definete suma a doi vectori liberi u i v este numit

regula paralelogramelor (sau regula triunghiului). Suma a doi vectori liberi +: V3 V3

V3, vuvu +a),( este o

lege de compoziie intern bine definit (nu depinde de alegerea reprezentanilor). Axiomele de grup aditiv abelian sunt uor de verificat.

Legea de compoziie extern

: K V3

V3, vv =),(

unde vectorul v este caracterizat de aceeai direcie cu v , acelai sens dac 0> , sens opus dac 0

22

2.2 Teorem. Dac U este o submulime a K-spaiului vectorial V,

atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1 U este subspaiu vectorial n V 2 x, y U, K avem

a) x + y U b) x U

3 x, y U , , U x + y U. Demonstraie

1 2: dac U V este un subspaiu rezult c pentru UyxUyx + , i pentru U x i Ux K ,

ntruct cele dou operaii induc pe submulimea U o structur de spaiu vectorial.

2 3: UxKUyx b , ,, i UyxUy a + . 3 1: U x, y i pentru = 1, = -1 rezult c x - y U

ceea ce demonstreaz c U V este un subgrup abelian. Pe de alt parte pentru U x, y , K i Ux = 0 iar axiomele II din definiia unui spaiu vectorial se verific imediat, deci submulimea U V posed o structur de spaiu vectorial.

Exemple

1 Mulimea {0} V este subspaiu n V, numit subspaiul nul al lui V. Orice subspaiu diferit de spaiul vectorial V i de subspaiul nul {0} se numete subspaiu propriu.

2 Mulimea matricelor simetrice (antisimetrice) de ordinul n este

un subspaiu al mulimii matricelor ptratice de ordinul n. 3 Mulimea polinoamelor cu coeficieni reali de grad n,

R[X] = {f R[X]/grad f n} reprezint un subspaiu vectorial al spaiului vectorial al polinoamelor cu coeficieni reali.

4 Submulimile Rx = {(x, 0)/x R} R2 Ry = {(0, y)/x R} R2.

sunt subspaii vectoriale ale spaiului aritmetic R2. Mai general, mulimea punctelor de pe orice dreapt ce trece prin originea spaiului R2, determin un subspaiu vectorial. Aceste subspaii vectoriale reprezint mulimea soluiilor unor ecuaii liniare i omogene n dou necunoscute.

23

2.2.3 Propoziie.

Fie V1 i V2 dou subspaii n K-spaiul vectorial V. Submulimile V1 V2 V i V1 + V2 = = VVvVvvvvVv += }, ,/{ 221121 sunt subspaii vectoriale.

Demonstraie. Pentru x, y V1 V2 x, y V1 i 2 Vx, y cum V1 i V2 sunt subspaii vectoriale ale lui V rezult c pentru K, avem

1 Vy x + i 2 Vy x + , deci x + y V1 V2. Folosind Teorema 2.1 rezult prima parte a propoziiei.

Dac 2121 VVuuu ++= i 2121 VVvvv ++= atunci pentru K, , =+++=+ )()( 2121 vvuuyau )()( 2121 vvuu +++ .

Cum V1 i V2 sunt subspaii vectoriale, 111 V v u + i 222 V v u + , c.c.t.d.

Observaie. Submulimea V1 V2 V nu este un subspaiu vectorial. Exemplu. Subspaiile vectoriale Rx i Ry definite n exemplul 4, verific relaiile:

Rx Ry = {0} i Rx + Ry = R2. n adevr, dac (x, y) Rx Ry (x, y) Rx i (x, y) Ry y = 0 i x = 0, ceea ce dovedete c subspaiul Rx Ry este format numai din vectorul nul.

Pentru (x, y) R2 , (x, 0) Rx , (0, y) Ry , astfel nct (x, y) = (x, 0) + (0, y) ceea ce demonstreaz c R2 Rx + Ry. Incluziunea invers este evident. 2.2.4 Propoziie.

Fie V1 , V2 V dou subspaii vectoriale i v V1 + V2. Descompunerea 21 v vv += este unic dac i numai dac V1 V2 = {0} .

Demonstraie: Necesitatea condiiei o demonstrm prin reducere la absurd. Presupunem c V1 V2 {0} v 0 ce poate fi scris v = 0 +v sau v = v+ 0, ceea ce ar contrazice unitatea scrierii, deci V1 V2 = {0}.

Pentru a demonstra suficiena condiiei admitem c ' v' vv vv 2121 +=+= . Deoarece 111, V' vv i 222 , V' vv , vectorul 2211 ' v' vv vu == este coninut n V1 V2. Cum V1 V2 = {0}

rezult c ' v v 11 = i ' v v 22 = , adic unicitatea descompunerii. Dac V1 i V2 sunt dou subspaii vectoriale ale subspaiului

vectorial V i V1 V2 = {0} atunci suma V1 + V2 se numete sum direct i se noteaz cu V1 V2. n plus, dac V1 V2 = V, atunci V1 i V2 se numesc subspaii suplimentare. n cazul n care V1 V este un spaiu vectorial dat i exist un unic subspaiu V2 V astfel nct V = V1 V2, atunci V2 se numete complementul algebric al subspaiului V1.

24

Exemplu. Subspaiile vectoriale Rx i Ry, satisfcnd proprietile Rx Ry = {0}, Rx + Ry = R2, sunt subspaii vectoriale suplimentare, iar spaiul aritmetic R2 poate fi reprezentat sub forma R2 = Rx Ry. Acest fapt permite ca orice vector (x, y) R2 s poat fi scris n mod unic ca suma vectorilor (x, 0) R2 i (0, y) R2, (x, y) = (x, 0) + (0, y). Observaie. Noiunile de sum i sum direct pot fi extinse la un numr finit de termeni. 2.2.5 Definiie. Fie V un spaiu vectorial peste cmpul K i S o

submulime nevid a sa. Un vector v V de forma +++= ipp xxxv ,2211 K, xi R

(2.1) se numete combinaie liniar finit de elemente din S.

2.2.6 Teorem. Dac S este o submulime nevid a lui V, atunci mulimea

tuturor combinaiilor liniare finite de elemente din S, notat cu L(S) sau , este un subspaiu vectorial al lui V, numit subspaiul generat de submulimea S sau acoperirea liniar a lui S.

Demonstraie Aplicnd rezultatul teoremei 2.1 pentru x, y L(S), , K,

= ==+=+

p

i

q

jjjii yxyax

1 1

= =+

p

i

q

jjjii yx

1 1)()( suma

reprezint tot o combinaie liniar finit cu elemente din S, deci L(S)y x + .

2.2.7 Consecin. Dac V1 i V2 sunt dou subspaii vectoriale ale

spaiului vectorial V atunci L(V1 V2)=V1 + V2. Demonstraia este imediat. 2.2.8 Definiie. O submulime S V se numete sistem de generatori

pentru spaiul vectorial V dac subspaiul generat de submulimea S coincide cu V, L (S)=V.

Dac submulimea S este finit, i pentru orice vector v V,

i K, ni ,1= astfel nct =

=n

iii xv

1 , atunci spunem c spaiul vectorial V

este finit generat. O generalizare a noiunii de spaiu vectorial este dat de noiunea de

varietate liniar.

25

2.2.9 Definiie. Se numete varietate liniar n spaiul vectorial V o

submulime L V pentru care exist un vector x0 L astfel nct mulimea }/{ 0 LV == xxxvL este un subspaiu vectorial al lui V.

Subspaiul VL se numete subspaiul director al varietii liniare L.

Exemplu . S considerm spaiul vectorial standard R2 nzestrat cu sistemul axelor de coordonate x O y (fig. 4)

S considerm o dreapt L care trece prin punctul Lbax = ),( 000 . Punctul ),( 000 bbaaxxv == , (a, b) L este situat pe o dreapt paralel cu L R2 ce trece prin origine (demonstraia este imediat).

fig.4

n concluzie submulimea punctelor din spaiul vectorial R2 situate pe orice dreapt (L) din plan reprezint o varietate liniar avnd drept spaiu vectorial director dreapta ce trece prin origine i care este paralel cu dreapta (L).

Un subspaiu vectorial reprezint un caz particular de varietate liniar; este acea varietate liniar a spaiului vectorial V ce conine vectorul nul al spaiului vectorial V (v0 = 0).

Fie V un K-spaiu vectorial i submulimea S = {x1,x2,,xp} V. 2.2.10 Definiie. Submulimea de vectori S = {x1, x2, , xp} V se

numete liniar independent ( liber sau vectorii x1, x2, , xn sunt liniar independen) dac egalitatea 0...2211 =+++ pp xxx , i K, pi ,1= , are loc numai dac 0...21 ==== p .

O mulime (finit sau nu) de vectori dintr-un spaiu vectorial este liniar independent dac orice sistem finit de vectori este un sistem de vectori liniar independeni.

y

x

b

b-b0

V1 L

x

v

a a-a0 0 a0

x0 b0

26

2.2.11 Definiie. Submulimea de vectori S = {x1, x2, , xp} V se numete liniar dependent (legat sau vectorii x1, x2,.., xn sunt liniar dependeni), dac () 1, 2, , p K nu toi nuli pentru care 0...2211 =+++ pp xxx .

Remarc: Dac anularea unei combinaii liniare finite, format cu vectorii x1, x2, , xn V, permite exprimarea unui vector n funcie de ceilali (adic existena mcar a unui coeficient nenul) atunci vectorii x1, x2, , xp sunt liniar dependeni, n caz contrar acetia sunt liniar independeni. 2.2.12 Teorem. Dac S = {x1, x2, , xp} V este o mulime liniar

independent i L(S) acoperirea liniar a lui S, atunci orice mulime de p + 1 elemente din L(S) este liniar dependent.

Demonstraie. Fie vectorii yi = =

p

ja

1ij xj , i = 1,2,, p + 1 din acoperirea

liniar L(S). Relaia 1y1 + 2y2 + +p+1yp+1 = 0 este echivalent cu

01

1

1=

=

+

=j

p

j

p

iiji xa . innd cont c vectorii p, x, , xx 21 sunt liniar

independeni obinem pentru pj ,1= relaiile 1a1j + 2a2j + ++p+1ap+1j = 0, care reprezint un sistem de p ecuaii liniare cu p + 1 necunoscute (i), admite i soluii diferite de soluia banal, ceea ce nseamn c vectorii y1, y2,, yp+1 sunt liniar dependeni, c.c.t.d.

2.3. Baz i dimensiune

Fie V un K-spaiu vectorial 2.3.1 Definiie. O submulime B (finit sau nu) de vectori din V se

numete baz a spaiului vectorial V dac: 1) B este liniar independent 2) B reprezint un sistem de generatori pentru V.

Spaiul vectorial V se zice c este finit generat sau finit dimensional

dac exist un sistem finit de generatori. 2.3.2 Teorem. (de existen a bazelor) Dac V {0} este un spaiu

vectorial finit generat i S este un sistem de generatori pentru V, atunci exist o baz B S a spaiului vectorial V. (Din orice sistem finit de generatori al unui spaiu vectorial se poate extrage o baz).

27

Demonstraie: Mai nti s demonstrm c S conine i vectori nenuli. Presupunem c S = {0}, atunci { }0 V \ x poate fi scris sub forma x = 0 = 0 (S sistem de generatori) absurd ceea ce arat c presupunerea fcut este fals, deci S {0}.

Fie acum x1 S un vector nenul. Mulimea L = {x1} S reprezint un sistem liniar independent. Continum s adugm vectori nenuli din S pentru care submulimea L s reprezinte o mulime liniar independent. S presupunem c S conine n elemente, atunci S are 2n submulimi finite. Dup un numr finit de pai vom gsi L S, un sistem de vectori liniar independeni i pentru L S cu L L, L reprezint o submulime liniar dependent (L este maximal n sensul relaiei de ordine).

L este un sistem de generatori pentru V. n adevr, dac L = { x1, x2, , xm} pentru m = n L = S i este un sistem de generatori, iar dac m < n, atunci { } S \L x, x L L' mm = ++ 11 , reprezint un sistem de vectori liniar dependei (L este maximal) i

=++ =

m

iiimm xxLSx

111 ,/ ,

xi L, , mi 1= . Rezult c = mn

ii xxVx ,, K, xi L, mi ,1= . Mulimea L satisface condiiile teoremei 4.1 deci formeaz o baz a spaiului vectorial V, c.c.t.d. 2.3.3 Consecin. Dac V {0} i S V un sistem finit de generatori i

L1 S un sistem liniar independent, atunci exist o baz B a spaiului vectorial V, aa nct L1 B S.

Un spaiu vectorial V este finit dimensional dac are o baz finit

sau dac V = {0}, n caz contrar se numete infinit dimensional. Exemple

1n spaiul aritmetic Kn submulimea vectorilor B={e1,e2,, en}, unde e1={1, 0, , 0}, e2={0, 1, , 0},, en={0, 0, , 0, 1}, reprezint o baz a spaiului vectorial Kn, numit baza canonic.

2 n spaiul vectorial al polinoamelor cu coeficieni reali R[X] submulimea B = {1, x, x2,..,xn,..}, constituie o a baz. R[X] este un spaiu infinit dimensional. 2.3.4 Propoziie. ntr-un K-spaiu vectorial V finit generat, orice dou

baze au acelai numr de elemente. Demonstraie. S considerm n spaiul vectorial V finit generat bazele Bi B, avnd card B= n, respectiv card B= n. Folosind conseciena 3.3 obinem pe rnd n n i n n, deci n = n.

Propoziia precedent permite introducerea noiunii de dimensiune a unui spaiu vectorial.

28

2.3.5 Definiie. Se numete dimensiune a unui spaiu vectorial finit generat, numrul de vectori dintr-o baz a sa, notat cu dimV. Spaiul nul {0} are dimensiunea 0.

Observaie Dac V este un spaiu vectorial cu dimV = n atunci:

a) un sistem de n vectori este baz este liber independent. b) un sistem de n vectori este baz este sistem de generatori. c) Orice sistem de m > n vectori este liniar dependent.

Vom nota un K-spaiu vectorial n-dimensional cu Vn, dimVn = n. 2.3.6 Propoziie. Dac B ={e1, e2,, en} este o baz a K-spaiului

vectorial Vn atunci orice vector x Vn admite o exprimare unic

==

n

iiii K , e x

1.

Demonstraie Presupunem c x Vn ar avea i o alt exprimare

=

=n

iiiex

1 . Egalnd cele dou exprimri obinem

==

n

iiii ) e(

10 , o

combinaie liniar nul a vectorilor liniar independeni ai bazei, echivalent cu ,n i, ii 1== .

Scalarii 1, 2,, n se numesc coordonatele vectorului x n baza B, iar bijeciile K f: Vn , ),..., , (x n21a se numete sistem de coordonate pe V.

2.3.7 Teorem. (Steinitzteorema schimbului). Dac B = {e1, e2,, en}

este o baz n spaiul vectorial Vn i S = {f1, f2,, fp} este un sistem de vectori liniar independeni din Vn atunci p n i dup o eventual renumerotare a vectorilor bazeiB, sistemul B ={f1, f2,, fp, ep+1,, en} reprezint de asemenea o baz pentru V.

Demonstraie: Aplicnd rezultatul consecinei 3.3 i faptul c orice dou baze au acelai cardinal rezult c p n. Pentru a doua parte a teoremei folosim metoda induciei matematice complete. Pentru p = 1, f1 V se scrie n baza B sub forma

=

=n

iiief

11 .Cum f1 0 rezult c exist cel puin un i 0. Admind c

1 0 avem nn e -... -e

- f

e

12

1

21

11

1= , adic {f1, e2,, en} este un sistem de vectori generatori ai spaiului Vn, deci o baz. Admind c {f1, f2,, fp-1, ep,, en} este o baz atunci vectorul fp S se poate exprima sub forma fp = 1f1 + 2f2++ p-1fp-1+ pep++ nen. n aceast relaie cel

29

puin un coeficient dintre p, p+1,, n este nenul, cci n caz contrar mulimea S ar fi liniar dependent. Fcnd eventual o renumerotare a vectorilor ep, ep+1, , en, putem presupune c p 0 i obinem

np

np

p

pp

pp

p

p

pp e

...-e

-f

f

-... -f

- f

e += ++ 11112

1

21

1 1 , din care

rezult c {f1, f2,, fp, ep+1,, en} este un sistem de n vectori generatori ai spaiului n-dimensional Vn, deci o baz pentru Vn, c.c.t.d. 2.3.8 Consecin. (teorema completrii) Orice sistem de vectori liniar

independeni dintr-un spaiu vectorial Vn poate fi completat pn la o baz n Vn.

2.3.9 Consecin. Orice subspaiu V al unui spaiu vectorial finit

generat Vn admite cel puin un subspaiu suplimentar. 2.3.10 Teorem. (Grassmann - teorema dimensiunii). Dac V1 i V2 sunt

dou subspaii vectoriale ale K-spaiului vectorial Vn atunci

din (V1 + V2) = dimV1 + dimV2 dim(V1 V2) (3.1)

Demonstraie: Fie {f1, f2,, fr} o baz a subspaului (V1V2) V1. n virtutea consecinei 3.8 putem completa acest sistem de vectori liniar independeni la o baz n V1 , fie aceasta dat de mulimea B1={f1,f2,,fr,er+1,,es}.n mod similar considerm n spaiul vectorial V2, baza B2 ={f1, f2,, fr, gr+1, ,gp}. Se demonstreaz uor c submulimea B ={f1,f2,,fr,er+1,..,es,gr+1,..,gp},este un sistem de generatori pentru V1+ V2. Submulimea B este liniar independent. In adevr ,

= += +== += +=

=+=++r

i

s

ri

p

riiiiiii

r

i

s

ri

p

riiiiiii g - e f g e f

1 1 11 1 1

0 ,

ceea ce nseamn c vectorul +=

=p

riii V V g v

121 , deoarece suma din

membrul stng reprezint un vector al subspaiului V1 iar cea din membrul

drept un vector din V2. n spaiul V1V2 avem +=

==p

riii gv

1

=

r

iii f

1

011

= =+=

r

iii

p

riii fg r+1 = r+2 = ... = r+p = 1 = 2 = ... = r = 0.

Folosind acest rezultat n prima relaie i innd cont de faptul c B1 este o baz n V1 rezult 1 = 2 = = r = r+1 = r+2 = = 0, deci B este liniar independent, adic o baz n V1+V2.

n aceste condiii putem scrie dim (V1+V2) = r + s + p = = (r +s) + (r + p) r = dimV1 + dimV2 - dim(V1V2). c.c.t.d.

30

2.3.11 Consecin.

Dac spaiul vectorial Vn este reprezentat sub forma V1 = V1 V2 atunci dimVn = dimV1 + dimV2.

S considerm un K-spaiu vectorial Vn i B = {e1, e2,, en} respectiv B = {e1, e2,, en} dou baze n Vn. Orice vector din B poate fi exprimat n funcie de elementele celeilalte baze. Aadar avem relaiile:

+++=

+++=+++=

nnnnnn

nn

nn

e a... e a eae'..........................................

e a... e a eae'e a... e a eae'

2211

22221122

12211111

sau ,n j, ea e'n

iiijj

===

11 (3.2)

Notnd cu B = t[e1, e2,, en], B = t[e1, e2,, en] i cu

=

nnnn

n

n

,..., a, aa......................

,..., a, aa,...,a, aa

A

21

22221

11211

matricea de tip n n, care are drept coloane

coordonatele vectorilor ej, ,n j 1= , relaiile (4.2) pot fi scrise sub forma

B = tAB (3.2)

Fie acum un vector x Vn, exprimat n cele dou baze ale spaiului vectorial Vn prin relaiile:

=

=n

iiiex x

1 i respectiv

==

n

jjj ex x

1'' (3.3)

innd seama de relaiile (3.2), obinem

= ====

=

==

n

ii

n

jjij

n

iiij

n

jj

n

jjj ex'a eax' ex x

1 1111'' .

Cum B este baz, egalitatea == =

=

n

iii

n

ii

n

jjij exex'a

11 1 este

echivalent cu

=

=n

jjiji x'a x

1, ,n i 1= (3.4)

relaii ce caracterizeaz transformarea de coordonate ale unui vector la o schimbare a bazei spaiului vectorial Vn .

Dac notm cu X = t[x1, x2,,xn] matricea coloan a coordonatelor vectorului x Vn n baza B i respectiv cu X = t[x1, x2,,xn], matricea coordonatelor aceluiai vector x Vn n baza B, putem scrie

31

X = AX (3.4)

Matricea A = (aij) se numete matricea de trecere de la baza B la baza B. n concluzie,ntr-un spaiu vectorial finit dimensional avem teorema de schimbare a bazei : 2.3.12 Teorem. Dac n spaiul vectorial Vn, schimbarea bazei B cu

baza B este dat de relaia B = tAB, atunci relaia ntre coordonatele unui vector x Vn, n cele dou baze ,este dat de X = AX.

Fie Vn un spaiu vectorial i B = {e1, e2,,en} o baz a sa. Dac

vectorii v1, v2,, vp Vn, p n sunt exprimai prin relaiile vj =

=

n

ia

1ijei , atunci matricea A = (aij), avnd drept coloane coordonatele

vectorilor v1, v2,,vp, va fi numit matricea de trecere de la vectorii e1, e2,...,en la vectorii v1, v2,, vp . 2.3.13 Teorem. Rangul matricei A este egal cu numrul maxim al

vectorilor coloan liniar independeni. Demonstraie S presupunem c rang A = r, adic

= rrrr

r

r

,..., a, aa......................

,..., a, aa,...,a, aa

21

22221

11211

0.

0 implic liniar independena vectorilor v1, v2, ..., vr. Fie coloana vk, r k p i determinanii

i = ik

rk

k

iri

rrr

r

aa

a

aaaa

aa 1

1

1

111

..............

, ni ,1=

Fiecare din aceti determinani este nul deoarece pentru i r, i are

dou linii identice, iar pentru i > r, ordinul lui i este mai mare dect rangul r. Dezvoltnd dup ultima linie avem

ai1i1 +ai2 i2 ++air ir + ail D = 0 ail ==

r

j 1 j aij ; j =ij D, ni ,1=

Aceste relaii scalare exprim faptul c orice coloan vk, r k p, este o combinaie liniar a primelor r coloane ale matricei A, deci orice r + 1 vectori sunt liniar dependeni.

32

2.3.14 Consecin. Dac B = {e1, e2,, en} este o baz n Vn , atunci mulimea B = {e1, e2,, en},

=

==n

iiijj ,n j ,eae

1

1 ' este baz a lui Vn dac i

numai dac matricea de trecere A = (aij) este nesingular.

Fie V i W dou spaii vectoriale peste cmpul K. 2.3.15 Definiie. O aplicaie T : V W cu proprietile:

T (x + y) = T(x) + T(y), x, y V T(x) =T (x) , x V, V se numete morfism de spaii vectoriale sau transformare liniar.

O transformare liniar bijectiv ntre dou spaii vectoriale va fi numit izomorfism de spaii vectoriale. 2.3.16 Teorem. Dou spaii vectoriale V i W peste cmpul K, de

dimensiune finit, sunt izomorfisme dac i numai dac au aceeai dimensiune.

Un sistem de coordonate pe un spaiu vectorial finit dimensional Vn, f : V Kn , x Vn a (x1, x2, xn) Kn este un izomorfism de spaii vectoriale.

2.4. Spaii vectoriale euclidiene

Fie V un spaiu vectorial real. Dac adugm, pe lng structura de spaiu vectorial, noiunea de

produs scalar, atunci ntr-un astfel de spaiu vectorial pot fi definite noiunile de lungime a unui vector, unghiul a doi vectori, ortogonalitate s.a. 2.4.1 Definiie. O aplicaie g: V V R, >+< x,z y,x zx,y , x, y, z V b) = , x, y V, R c) = , x, y V d) 0, = 0 x = 0 , x V

se numete produs scalar pe spaiul vectorial V.

33

2.4.2 Corolar Dac V este un spaiu vectorial euclidian atunci au loc relaiile:

1) = + 2) = , x, y, z V, R

2.4.3 Definiie. Un spaiu vectorial V pe care s-a definit un produs scalar se numete spaiu vectorial euclidian (sau V posed o structur euclidian).

2.4.4 Teorem. Dac spaiul vectorial V este un spaiu vectorial

euclidian atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz:

2 (4.1)

egalitatea avnd loc dac i numai dac vectorii x i y sunt liniar dependeni.

Demonstraie: Dac x = 0 sau y = 0 atunci are loc egalitatea n relaia 5.1. Presupunem x i y V nenuli i considerm vectorul z = x + y, , R. Din proprietile produsului scalar obinem : 0 = = 2 + 2 + 2 , egalitatea avnd loc pentru z = 0. Dac lum = > 0 atunci obinem + 2 + 2 0, iar pentru = - inegalitatea devine - 2 0. c.c.t.d. Exemple 1 n spaiul aritmetic Rn pentru orice dou elemente x=(x1,x2,...,xn) i y = (y1, y2,..., yn), operaia =: x1y1 + x2y2 +...+ xnyn (4.2) definete un produs scalar. Produsul scalar astfel definit, numit produsul scalr uzual ,nzestreaz spaiul aritmetic Rn cu o strcutur euclidian.

2 Mulimea C([a, b]) a funciilor continue pe intervalul [a, b] este un spaiu vectorial n raport cu produsul scalar definit de

=>< ba g(x) dxf(x) f, g (4.3)

34

2.4.5 Teorem. ntr-un spaiu vectorial euclidian V funcia || ||: V R+ definit prin V x , x,x || x || > 0, x 0 i || x || = 0 x = 0 b) || || = | | || x ||, x V, R

c) ||x+ y|| ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului). Demonstraie: Condiiile a) i b) rezult imediat din definiia normei i proprietile produsului scalar. Axioma c) rezult folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz

>++>

35

Dac norma definit pe spaiul vectorial V este euclidian atunci distana definit de aceasta se numete metric euclidian.

n concluzie, orice spaiu euclidian este un spaiu metric. O structur euclidian pe V induce pe orice subspaiu V V o

structur euclidian. Produsul scalar definit pe un spaiu vectorial V permite

introducerea noiunii de ortogonalitate. 2.4.7 Definiie. In spaiul vectorial V vectorii x, y V se numesc

ortogonali dac < x, y > = 0 . O mulime S V se spune c este ortogonal dac vectorii si sunt

ortogonali doi cte doi. O mulime ortogonal se numete ortonormat dac fiecare element

al su are norma egal cu unitatea. 2.4.8 Propoziie. ntr-un spaiu vectorial euclidian V orice mulime

ortogonal, format din elemente nenule, este liniar independent.

Demonstraie Fie S V \ {0} i 1x1 + 2x2 ++ nxn, o combinaie liniar oarecare finit de elemente din S. nmuliind scalar cu xj S, relaia =

=n

iii x

10 devine 1 + 2 ++ n = 0.

Cum S este ortogonal, = 0, i j i j(xj, xj) = 0. Pentru xj 0, nj ,1= , > 0, de unde rezult c j = 0, nj ,1= , adic S este liniar independent. 2.4.9 Consecin. ntr-un spaiu vectorial euclidian n-dimensional Vn,

orice mulime ortogonal format din n vectori este o baz n Vn.

Dac n spaiul vectorial euclidian Vn considerm baz ortogonal B = {e1, e2,, en}, atunci orice vector x Vn poate fi scris n mod unic sub forma

=

=n

iiie x

1

, unde >==

37

w2 = v2 + kw1 0 i determinm k mpunnd condiia = 0. Obinem

, ww, wvk ><

=== 111 ,,

Dac A = (aij) este matricea de trecere de la baza B la B atunci

relaiile de mai sus se exprim matriceal sub forma tAA = In, adic A este o matrice ortogonal.

38

2.4.17 Propoziie. La o schimbare de baz ortonormat B = tAB, ntr-un spaiu vectorial euclidian Vn,, transformarea de coordonate este dat de X = AX, unde A este o matrice ortogonal.

2.5. Probleme rezolvate

2.5.1 S se arate c mulimea matricelor cu elemente reale de forma

=abcd

badccdabdcba

M

constituie un spaiu vectorial cu patru dimensiuni peste corpul numerelor reale R i s se determine o baz n acest spaiu. Soluie: Se verific axiomele spaiului vectorial. 1. Suma a dou matrice de forma dat este o matrice de aceeai form.

.

3333

3333

3333

3333

2222

2222

2222

2222

1111

1111

1111

1111

21

=

=

+

=+

abcdbadc

cdabdcba

abcdbadc

cdabdcba

abcdbadc

cdabdcba

MM

unde s-a notat a3 = a1 + a2, b3 = b1 + b2, c3 = c1 + c2, d1 = d1 + d2. I1) Adunarea de matrice fiind asociativ pe orice mulime de matrice este asociativ i n cazul particular ales. I2) Elementul neutru (matricea nul) este de forma indicat:

39

I3) Elementul opus lui M este de aceeai form:

I4) Adunarea de matrice fiind comutativ pe orice mulime de matrice, este adevrat n acest caz.

Produsul matricei M cu este o matrice de forma

.; R

abcdbadc

cdabdcba

M

=

II1) (M1+M2) = M1+M2. II2) (+)M = M+M. II3) (M) = ()M. II4) 1M = M; 1 R. Proprietile II1, II2, II3, II4 sunt adevrate deoarece sunt valabile n general.

Axiomele fiind verificate, rezult c mulimea dat este un spaiu vectorial peste corpul R, al numerelor reale. Se consider acum matricele:

,

1000010000100001

=A ,

01001000

00010010

=B ,

0010000110000100

=C

.

=abcd

badccdabdcba

M

.

0000000000000000

0

=

40

=0001001001001000

D

Rezult relaia:

.dDcCbBaA

abcdbadccdabdcba

M +++=

=

de unde rezult c se obine aA + bB + cC + dD = 0 dac i numai dac a = b = c = d = 0, deci matricele A, B, C, D sunt liniar independente. Aceeai relaie arat c orice matrice M este o combinaie liniar a matricelor A, B, C, D. Deci matricele A, B, C, D formeaz o baz, adic spaiul vectorial al matricelor M de forma dat are patru dimensiuni. 2.5.2. S se demonstreze c urmtoarea pereche de operaii nu definete o structur de spaiu vectorial pe R2:

(x1,x2) + (y1,y2) = (x1 + y1,y2) k(x1,x2) = (kx1,kx2), k R.

Soluie: Se cerceteaz proprietile primei operaii: (x1,x2) + (y1,y2) = (y1,y2) + (x1,x2) . (x1,x2) + (y1,y2) = (1)( x1 + y1,y2) (y1,y2) + (x1,x2) = (1)( y1 + x1,x2) (x1,x2) + (y1,y2) (y1,y2) + (x1,x2) Deoarece adunarea nu este comutativ se poate trage concluzia c R2 mpreun cu cele dou operaii nu formeaz structur de spaiu vectorial. 2.5.3 n R3 se consider vectorii

1x = (1,2,3), 2x = (2,3,1), 3x = (a+3, a+1, a+2) aR. S se afle valorile lui a pentru care aceti vectori sunt liniari dependeni i s se scrie relaia de dependen liniar. Soluie: Pentru ca vectorii s fie liniari dependeni, trebuie s existe scalarii 1, 2, 3 nu toi nuli astfel nct s avem: 1 1x + 2 2x + 3 3x = 0 , 0 = (0, 0, 0)

41

sau 1(1,2,3) + 2(2,3,1) + 3 (a + 3, a + 1, a + 2) = (0,0,0). Se obine sistemul liniar i omogen ( )

( )( )

=+++=+++=+++

0230132

032

321

321

321

aa

a ,

care are soluii nebanale dac determinantul su este nul:

( ) .6;063213132321

==+=+++

aaaaa

Deci pentru a = -6 vectorii dai sunt liniar dependeni. Pentru a afla relaia de dependen liniar se nlocuiete cu a = -6 n sistemul de mai sus

=+=+

=+

0430532

032

321

321

31

Se exprim 1, 2 n funcie de 3 din primele dou ecuaii 1 = 3; 2 = 3; 3 0. nlocuind i simplificnd cu 3 obinem relaia de dependen liniar

;0321 =++ xxx ntre vectorii

( ) ( ) ( ).4,5,3,1,3,2,3,2,1 321 === xxx Observaie. Pentru a -6 vectorii dai sunt liniari independeni, deci ei formeaz o baz n R3. 2.5.4. S se determine dimensiunile subspaiilor sumei i interseciei subspaiilor generate de sistemele de vectori:

( ) ( ) ( ){ }3,1,1,2,2,1,1,3,2 321 ==== uuuU

42

( ) ( ) ( ){ }3,3,1,1,1,1,1,2,1 321 ==== vvvV n R3. S se verifice teorema lui Grassmann prin aceste aplicaii. Soluie: Vectorii 321 ,, uuu sunt liniar dependeni, o baz n [ ]U poate fi { },, 21 uu deci [ ] { },, 212211 RuuU += dim [ ]U = 2. Vectorii, 321 ,, vvv sunt liniari dependeni i [ ] { } [ ] .2dim,, 212211 =+= VRvvV Subspaiul [ ]U + [ ]V este generat de reuniunea sistemelor U i V. O baz n reuniune este { }121 ,, vuu i deci dim ( [ ]U + [ ]V ) = 3, adic [ ]U + [ ]V = R3. Subspaiul [ ]U + [ ]V conine vectorii pentru care ,22112211 vvuu +=+ adic 21 + 2 = 1 + 2, 31 + 22 = 21 + 2, -1 + 22 = 1 - 2, sistem cu trei ecuaii i necunoscute principale 1 , 2 , 1 , iar 2 = , necunoscut secundar. Obinem 1 = , 2 = , 1 = 2. Astfel c vom avea [U][V] = {(3, 5, ) / , R},iar dim[U][V] =1. Se verific teorema Grassmann: dim[U]+dim[V]=dim([U]+[V])+dim([U] [V]). 2.5.5.S se arate c n spaiul matricelor (Mm(K),+,) submulimile definite prin S = {AMm(K)/At=A}(matrice antisimetrice) formeaz subspaii vectoriale i Mm = SA. Soluie: Dac A,B S, atunci (A+B)t=At+Bt = A+B A,B S i ()t = At = S. Analog pentru A. Dac AMm(K), atunci matricele

SAAB t += )(21 i AAAC t = )(

21 verific A = B+C.

n plus SA = {0}, astfel c Mn = SA. 2.5.6. S se gseasc o baz a sumei i interseciei spaiilor vectoriale W i U generate de vectori

)3,2,0,3(),1,1,1,2(),1,0,1,2( 321 == aaa

).5,1,2,1(),2,1,1,0(),1,2,1,1( 321 == bbb Soluie: Se verific uor c vectorii 321 ,, aaa , sunt liniar independeni. Verificm dac sistemul de vectori { 1321 ,,, baaa } sunt liniari independeni. Combinaia liniar: ,014332211 =+++ baaa

43

deoarece

1311221010111322

0 sistemul omogen n 4321 +++ admite

numai soluia banal deci 04321 ==== fapt care arat c n W+U exist 4 vectori liniar independeni. Cercetm liniar dependena a 5 vectori { }21321 ,,,, bbaaa dar deoarece rangul matricei sistemului omogen este maxim 4, rezult c cei 5 vectori sunt liniar dependeni, deci dim (W+U) = 4, astfel { },,,, 1321 baaa formeaz o baz a sumei. Pentru WU presupunem c () UWv atunci Wv i Uv . Dac

Wv atunci 332211 aaav ++= iar Uv deci 332211 bbbv ++=

fapt care duce la 332211 aaa ++ = 332211 bbb ++ .

+=++=+

+==+

321321

32132

32121

31321

523222

2322

Condiia de compatibilitate a sistemului este:

0

523112210

2011322

321

321

321

31

=+++

echivalent cu 02 321 =+

=v (1-3, 1-2+23,21-2+3,-1+22-23) = (1-3,0,( 1-2+23)+ 1-3,-2(1-2+23)+ 1-3) = (1-3,0, 1-3, 1-3) = (1,0,1,1)( 1-3) deci dim (WU) = 1 2.5.7. S se stabileasc formulele de transformare ale coordonatelor cnd se trece de la baza E = { }4321 ,,, eeee la baza E = { }4321 ',',',' eeee unde:

)2,1,3,1('),2,1,1,2('),2,2,1,0('),1,0,1,2(' 4321 ==== eeee .

)1,0,1,1()1,0,1,1(),1,1,1,1(),0,1,2,1( 4321 ==== eeee

44

Soluie: Scriem fiecare din vectorii noii baze ca o combinaie liniar a vectorilor din vechea baz, determinnd astfel componentele matricei de trecere.

443322111' eeeee +++= relaie care devine: (2,1,0,1) = (1+2-3-4, 21-2+23-4, -1+2+3, 2+3+4). Astfel se obine sistemul:

=++=++

=+=+

10

1222

432

321

4321

4321

, cu soluiile

====

0011

4

3

2

1

n acest fel am obinut prima coloan a matricei de trecere. Procednd la fel pentru 21 ',' ee i 4'e obinem coloanele (2), (3) i (4) ale aceleiai matrice.

Prin urmare : .

''''

''''

,

0100111010111001

4

3

2

1

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

=

=

=

xxxx

A

xxxx

sau

xxxx

a

xxxx

iarA

Relaia de legtur dintre noile coordonate i cele vechi este:

2.5.8. n spaiul R3 se consider urmtoarele sisteme de vectori:

B = { })3,2,1(),0,0,1(),0,1,1( 321 === eee B={ })9,7,6('),3,2,2('),3,3,1(' 321 === eee

a) S se arate c B i B sunt baze i s se gseasc matricea de trecere de la B la B.

b) S se gseasc expresia vectorului 321 752 eeex ++= n baza B. Soluie: a) Vectorii din B (respectiv B) sunt liniari independeni i fiind n

numr de trei formeaz baz. Pentru a determina matricea schimbrii de baz descompunem 1'e dup B, i anume

3312211111' esesese ++= sau

.

''

''

43214

43

212

4321

+==

+=+=

xxxxxxx

xxxxxxx

45

==+=++

3332

1

31

3111

312111

sss

sss

===

11

1

31

21

11

sss

Analog 1,1,0' 3222123322221122 ===++= sssesesese 3,2,0' 3323133332231133 ===++= sssesesese

Astfel c:

311211101

b) Dac X = (2 5 7)t (matrice coloan), atunci componentele X ale lui x n baza B se obin din ecuaia matriceal X = S X. Calculm

,112

325111

1

=S

i deci

.210

752

112325111

'

=

=X

Astfel c ,'2'1'0 321 eeex ++= n baza B.

2.6. TEME DE REZOLVAT PENTRU EVALUARE

2.6.1.. Fie V i W dou K-spaii vectoriale. S se arate c V W

= ={(x, y)| x V, y W} este un K-spaiu vectorial n raport cu operaiile : (x1, y1) + (x2, y2) =: (x1 + x2, y1 + y2) (x, y) =: ( x, y), x1, x2 V, y1, y2 W, K.

2.6.2. S se precizeze dac operaiile definite pe mulimile indicate

determin o structur de spaiu vectorial: a) x, y R2 ; x = (x1, x2), y = (y1, y2), R

=++=+

),0(: ),(:

2

2211

xxyxyxyx

b)

=++=+

),(:),(:

21

1221

xxxyxyxyx

, x, y R2, R

46

c) =

+= :

: 3 33

xxyxyx

, x, y R, R

d)

=++=+

),,(:),,(:

123

233211

xxxxyxyxyxyx

, x, y R3, R

2.6.3 S se stabileasc care dintre submulimile de mai jos formeaz subspaii vectoriale n spaiile vectoriale indicate

a) S1 = {(x, y) R2 | 2x - y = 0} b) S2 = {(x, y) R2 | 2x - y + 1 = 0} c) S3 = {(x, y) R2 | x2 - y2 - 1 = 0} d) S4 = {(x1, x2, x3) R3 | x1 - x2 + 2 x3 = 0} e) S5 = {(x1, x2, x3) R3 | x1 + x2 - x3 = 0, x1 - x2 = 0}

2.6.4 Fie v1, v2, v3 V, trei vectori liniar independeni. S se

determine R astfel nct vectorii

+=+=+=

133

322

211

vvuvvuvvu

s fie liniar independeni, respectiv liniar dependeni.

2.6.5 S se arate c vectorii x,y,zR3, x = (-1,1,1), y = (1,1,1), z = (1,3,3),

sunt liniar dependeni i s se gseasc relaia de dependen liniar. 2.6.6 S se determine suma i intersecia subspaiilor generate de

sistemele de vectori

U = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 2), u3 = (0, -1, 2)} V = {v1 = (1, 1, 2), v2 = (0, 2, 4)}

2.6.7 S se precizeze care din urmtoarele sisteme de vectori

formeaz baze n spaiile vectoriale date:

a) S1 = {u1 = (1, 2), u2 = (2, -1)} R2 b) S2 = {u1 = (1, 0, -1), u2 = (2, 1, -3), u3 = (1, -1, 0)} R3 c) S3 = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, -1, 1), u3 = (1, -1, 1)} R3 d) S4 = {1, 1-x, (1-x)2, (1-x)3} R3[x]

S5 =

1111

,1011

,0011

,0001

M2(R) 2.6.8. S se verifice dac urmtoarele operaii definesc produse

scalare pe spaiile vectoriale considerate

a) = 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 , x = (x1,x2), y = (y1, y2) R2

47

b) = x1y1 - 2x2y2 , x = (x1, x2), y = (y1, y2) R2 c) = x1y1 + x2y3 + x3y2 , x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) R3

2.6.9 S se ortonormeze sistemele de vectori n raport cu produsul scalar uzual

a) v1 = (1, -2, 2), v2 = (-1, 0, -1), v3 = (5, 3,-7) b) v1 = (1, 1 , 0), v2 = ( 1, 0, 1 ) , v3= (0, 0, 1) .

2.7.BIBLIOGRAFIE

2.7.1. Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Curs de algebr, geometrie

analitic, geometrie diferenial i ecuaii difereniale. Partea I-a, Universitatea Transilvania Braov, 1992.

2.7.2. Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M., Algebr liniar, geometrie analitic, geometrie diferenial i ecuaii difereniale. Culegere de probleme. Editura ALL, Bucureti, Ediia I-a, 1994, Ediia a II-a, 1998.

2.7.3. Atanasiu Gh., Lazr V., Purcaru M., Curs de algebr liniar i geometrie analitic (pentru colegiu). Universitatea Braov, 2000.

2.7.4. Piti Gh., Curs de algebr, geometrie i ecuaii difereniale, Partea I-a, Universitatea Transilvania Braov, 1992.

2.7.5. Udrite C., Radu C., Dicu C., Mlncioiu O., Algebr, Geometrie i Ecuaii difereniale, E.D.P., Bucureti, 1982.

48

Capitolul 3 SPAII PUNCTUALE EUCLIDIENE Spaiile n care vor fi studiate majoritatea noiunilor de geometrie din acest volum sunt spaii n care noiunile de punct i vector sunt indispensabile. Noiunea de spaiu afin permite folosirea celor dou noiuni ntr-un cadru bine definit. Acest capitol este dedicat, n mod special, nsuirii cunotinelor de algebr vectorial: noiunea de vector, operaii elementare cu vectori, produse de vectori, ct i a consecinelor geometrice aplicative: calculul lungimilor, unghiurilor, ariilor i volumelor formate de vectori. Cea mai mare parte a disciplinelor tehnice folosesc intens aceast algebr.

Obiective operaionale: 3.1. S neleag noiunile de spaiu afin, spaiu punctual euclidian i spaiu punctual euclidian al vectorilor liberi 3.2. S rein proprietaile produsului scalar i ale produsului vectorial care vor fi generalizate la teoria cmpurilor scalare i vectoriale 3.3. S poat rezolva orice problem care necesit lungimi de vectori, arii de paralegornume, volume de paralelipiped i cazurile lor particulare

Coninutul capitolului: 3.1. Spatiul afin: definiie i exemple 3.2. Combinaii afine. Repere n spaii afine 3.3. Subspaii afine 3.4. Spaiul afin geometric al vectorilor liberi 3.5. Spaiul punctual euclidian al vectorilor liberi

3.5.1. Proiecii ortogonale 3.5.2. Produsul scalar 3.5.3. Produsul vectorial 3.5.4. Dublu produs vectorial 3.5.5. Produsul mixt 3.6. Probleme rezolvate 3.7. Teme de rezolvat pentru evaluare 3.8. Bibliografie

3.1 Spaiul afin: definiie i exemple

n cele ce urmeaz vom considera o mulime nevid A = {A, B, C, ..., P, Q, R, ...} i vom conveni ca elementele sale s se numeasc puncte iar un element (A, B) A A s se numeasc bipunct al lui A. Punctul A se va numi originea bipunctului, iar punctul B se va numi extremitatea bipunctului (A, B). Bipunctele (A, B) i (B, A) se vor numi bipuncte simetrice. 3.1.1 Definiie. Numim spaiu afin, tripletul (A, V, ) n care A este o mulime nevid

de puncte, V un K-spaiu vectorial i funcia : AA A, VvBA =),( , care satisface condiiile:

A1) A, B, C A, (A, B) + (B, C) = (A, C) A2) AVv , A exist un punct B A, unic determinat de

49

relaia vBA =),( .

Mulimea A se numete mulime suport a spaiului afin i elementele sale vor fi numite punctele spaiului afin. Spaiul vectorial V se numete spaiul vectorial director al spaiului afin, iar elementele sale vor fi numite vectorii sapiului afin. Aplicaia este numit funcia de structur afin.

Elementele unui spaiu afin sunt puncte i vectori. Spaiul afin (A, V, ) se zice real sau complex dup cum spaiul vectorial V este

real sau complex. Dac n axioma A1) considerm A = B = C, atunci (A, A) = 0 , A A. Deci

oricrui bipunct (A, A) i corespunde prin funcia de structur vectorul nul V0 . Vectorii corespunztori unei perechi de bipuncte simetrice sunt vectori opui.

n adevr, dac lum C = B, n axioma A1) , avem (A, B) = - (B, A). 3.1.2 Consecin. Funcia este surjectiv i n plus, pentru fiecare punct O A

fixat , O : A V , O (A) = (O, A), A A , este bijectiv.

Demonstraia este imediat innd cont de axiomele A1) i A2). ntr-un spaiu afin (A, V, ) funcia determin o relaie de echivalen pe

mulimea bipunctelor lui A, pe care o vom numi relaia de echipolen. Vom spune ca bipunctul (A, B) este echipolent cu bipunctul (C, D) dac acestea au

aceeai imagine prin .

(A, B) ~ (C, D) (A, B) = (C, D) (1.1)

Se verific uor c relaia ~ este reflexiv, simetric i tranzitiv, adic este o relaie de echivalen pe A A.

Spaiul factor A A/~ este n coresponden bijectiv cu spaiul vectorial V. Fiecrui vector Vv i corepunde o singur clas de echivalen de bipuncte echipolente, anume

-1( v ) = { (A,B)A A | (A,B) = v } (1.2) Cnd identificm spaiul factor A A/~ cu spaiul vectorial

V prin aceast bijecie, clasa bipunctului (A, B) notat cu AB , poart numele de vector liber al spaiului afin. n aceste condiii axiomele A1) i A2) pot fi scrise n felul urmtor:

A,B,C A , CACBBArrr =+ (1.3)

AVv , A , B A, unic aa nct vAB = Fie O A un punct fixat i A = {O} A = {(O, A) / A A } mulimea bipunctelor de origine O. innd cont de Consecina 1.2 i c relaia A A a (O,A)A este o coresponden bijectiv, rezult c A se poate identifica att cu A ct i cu spaiul vectorial director V. Cnd se identific A cu spaiul vectorial V se induce pe A structura vectorial din V. Vectorii acestui spaiu se numesc vectori legai ai spaiului afin sau vectori tangeni

n O la A i vor fi notai prin OA . Cnd se identific A cu spaiul vectorial A , prin bijecia

50

A A (O, A) A o, nseamn c s-a considerat A ca spaiu vectorial, avnd punctul O ca origine.

Vectorul OAAOOA = ),( se va numi vector de poziie. Practic n orice punct O A al unui spaiu afin (A, V, ) se poate construi un spaiu vectorial A , care se identific cu A . n urma acestor identificri, se justific noiunea de dimensiune a unui spaiu afin ca fiind dimensiunea spaiului vectorial director V.

Dac dimV= n, atunci spaiul afin de dimensiune n se va nota cu (A n, Vn) sau simplu A n. Observaii 1 Un alt mod de a defini un spaiu afin pornete de la definirea unei relaii de echivalen pe mulimea bipunctelor unei mulimi nevide A i apoi se cere ca spaiul ct s satisfac anumitor axiome [ ]. 2 Dac spaiul vectorial V este un spaiu vectorial euclidian atunci spaiul afin (A, V, ) este numit spaiu punctual euclidian. Dac dimV= n, vom nota atunci prin E n spaiul punctual euclidian corespunztor. Structura euclidian a spaiului vectorial director V va permite studiul proprietilor metrice ale unor submulimi din spaiul punctual euclidian E n. 3 Exist spaii afine care nu sunt spaii vectoriale. Dar, orice spaiu vectorial este un spaiu afin, ntruct funcia : V V V, vuvu rrrr =),( , verific axiomele A1) i A2). Spaiul afin astfel definit (V, V, ) se numete spaiul afin canonic asociat spaiului vectorial V. Exemple 1 Spaiul afin standard S considerm spaiul aritmetic Kn. Acest spaiu poate fi organizat ca un spaiu vectorial (ex.2, 1, Cap.2) cruia i putem asocia spaiul afin canonic (Kn, Kn, ) unde funcia de structur afin este definit de relaia (A, B) = (b1 - a1, b2 - a2, ..., bn - an) , pentru A = (a1, a2, ..., an) i B = (b1, b2, ..., bn) . Acest spaiu afin este numit spaiul afin standard i va fi notat tot cu Kn. n caz particular pentru K = R , avem spaiul afin standard (Rn, Rn, ), n care spaiul vectorial director Rn este un spaiu euclidian (ex.1, 4, Cap.2), deci spaiul afin (Rn, Rn, ) devine un spaiu punctual euclidian. 2 Spaiul afin geometric al vectorilor liberi Considerm ca mulime suport spaiul punctual al geometriei elementare E3 , spaiul vectorial al vectorilor liberi V3 (ex.6, 2, Cap.2), ca spaiu vectorial director i funcia : E3 E3 V3, (A,B) = AB V3, care asociaz bipunctului (A, B) clasa de echivalen a acestuia, ca funcie de structur afin. Obinem n acest fel spaiul afin geometric al vectorilor liberi A3 = (E3, V3, ). Acest spaiu a constituit modelul spaiilor afine. Vom studia n detaliu acest spaiu n capitolul urmtor. 3 Varietile liniare ale unui spaiu vectorial V sunt spaii afine. O varietate liniar a unui spaiu vectorial V reprezint o submulime L de forma

'V+= aL , unde V este o subspaiu vectorial al lui V. Dac vom considera funcia

: L L V, vwwava =++ ),(' , atunci axiomele A1) i A2) sunt verificate i deci tripletul ( L, V, ) este un spaiu afin. n caz particular, orice subspaiu vectorial este un spaiu afin.

3.2. Combinaii afine. Repere n spaii afine

51

Fie spaiul afin (A, V, ), un sistem de puncte {A0, A1, ..., Ap} A i scalarii 0, 1, ..., p K. 3.2.1 Definiie. Numim combinaie afin a punctelor {A0,A1,...,Ap}A, punctul P A

dat de P = 0A0 + 1A1 + ...+ pAp cu 0 + 1 + ...+ p = 1 (2.1)

Relaia (2.1) poate fi neleas ca o relaie vectorial ntre vectorii de poziie ai punctelor P, A0, A1, ..., Ap, folosind ca punct origine un punct oarecare O A, adic

pp OAOAOAOP +++= ...1100 (2.1) Combinaia afin (2.1) poate fi scris i sub forma

==

+

=

p

iii

p

ii AAP

10

11 , i K, pi ,1= (2.2)

Scalarii 0, 1, ..., p cu proprietatea 0 + 1 + ... + p = 1 se numesc coeficienii combinaiei afine sau ponderi. 3.2.2 Definiie. Un sistem finit de puncte din A se numete afin dependent dac

exist un punct n sistem care s se exprime ca o combinaie afin a celorlalte puncte din sistem. n caz contrar vom spune c sistemul este afin independent.

3.2.3 Propoziie. Sistemul de puncte este afin dependent (independent) dac i numai

dac sistemul de vectori }{ 02010 pAA, ...,AA,AA este liniar dependent (independent).

Demonstraie. Dac sistemul de puncte {A0, A1, ..., Ap} este afin dependent atunci un punct poate fi exprimat ca o combinaie afin a celorlalte. S presupunem c A0 este o combinaie afin a sistemului {A0, A1, ..., Ap}

A0 = 1A1+ ...+ pAp , cu 1 + 2 +... + p = 1 (2.3) Considernd pe A0 ca origine relaia (3) poate fi scris sub forma vectorial

pp AAAAAA 0202101 ...0 +++= (2.4) Deoarece cel puin unul din coeficienii combinaiei este nenul rezult c vectorii

pAAAAAA 02010 ,...,, sunt liniar dependeni.

Reciproc. S presupunem c sistemul de vectori },...,,{ 02010 pAAAAAA este liniar dependent, adic exist scalarii 1, 2, ..., p K nu toi nuli aa nct are loc egalitatea

0... 0202101 =+++ pp AAAAAA (2.5) S considerm cazul 1 + 2 + ...+ p = , 0. Demonstrm c ecuaia (2.5) n A0 are soluie unic. n adevr, alegnd O A ca origine, ecuaia (5) poate fi scris sub forma :

0)(...)()( 0202101r=++++++ pp OAOAOAOAOAOA

de unde rezult

52

pp OAOAOAOA +++= ...221101 sau p

p OAOAOAOA

+++= ...22110

adic A0 este unic determinat i n plus, 1...21 =+++

p . Deci A0 este o

combinaie afin a celorlalte puncte. Dac 1 + 2 + ...+ p = 0, cum cel puin un scalar este nenul, de exemplu p, din (5) obinem

101

202

101

0 ... = pp

p

ppp AAAAAAAA

Considernd 0 = 0 obinem 1

12

21

100 ...

= pp

p

ppp AAAAA

unde 1... 1210 = p

p

pp

, adic sistemul de puncte {A0, A1, ..., Ap} este afin

dependent. Fie An un spaiu afin n-dimensional. 3.2.4 Definiie. Un sistem de puncte R = {A0, A1,..., An} se numete reper afin n

spaiul afin An dac sunt ndeplinite condiiile: 1) R este un sistem de puncte afin independent 2) Orice punct P An poate fi exprimat ca o combinaie afin a punctelor din R .

Dac R este un reper afin, atunci pentru P A avem

nn AAAP +++= ...1100 , P An (2.6) n care 1...210 =++++ n (2.7) Sistemul de puncte {A0, A1, ..., An} afin independent, ce formeaz un reper afin, determin n mod unic sistemul de vectori liniar independeni nAAAAAA 02010 ,...,, ce reprezint o baz a spaiului vectorial director Vn al spaiului afin An.

Dac considerm punctul A0 = O ca punct origine al spaiului afin An i notnd baza spaiului vectorial director cu nn AAeAAeAAe 0202101 ,...,, === r putem defini ntr-un spaiu afin An noiunea de reper cartezian. 3.2.5 Definiie. Se numete reper cartezian ntr-un spaiu afinAn ,

o pereche R = {O; B}, n care O este un punct fixat n An , iar B = { neee ,...,, 21 } este o baz a spaiului vectorial director.

Fie B = { neee ,...,, 21 } o baz a spaiului vectorial director Vn. Atunci, pentru fiecare punct P An, vectorul de poziie OP poate fi scris n mod unic sub forma:

nnexexexOPrrr +++= ...2211 (2.8)

53

Scalarii x1, x2,..., xn vor fi numii coordonatele carteziene ale punctului P n raport cu reperul R = {O; B}, iar bijecia nnn ,...,x,xxP K )( 21 aA va fi numit funcie de coordonate corespunztoare reperului R = {O; B}. Fie R = {O; B}, un reper cartezian n An. Un alt reper R = {O; B}, din An va fi determinat n mod unic dac cunoatem vectorul de poziie al punctului O fa de reperul iniial R i relaia dintre B = { neee ',...,',' 21 } i baza iniial B = { neee ,...,, 21 }, adic

njaeae

eaOOijn

niiji

i

n

ii

,1 , 0)det( ,'

'

1

10

=

=

=

=

= (2.9)

Dac P An este un punct oarecare i (xi), (xj), i,j = n,1 sunt coordonatele sale n reperul R respectiv R, atunci din relaia POOOOP ' ' += obinem formulele

njiaaxax ijijiji ,1, , 0)det( , ' 0 =+= (2.10) numite ecuaiile transformrii de coordonate obinute la schimbarea reperului R cu R. Dac notm cu X = t[x1, x2, ..., xn], X =