algebra liniara, geometrie analitica, geometrie diferentiala si

Download Algebra liniara, geometrie analitica, geometrie diferentiala si

Post on 10-Dec-2016

359 views

Category:

Documents

31 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Prefata

    Cartea de fata a fost elaborata n cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelordidactice universitare si a studentilor n domeniul utilizarii unor instrumente moderne de predare-nvatare-evaluare pentru disciplinele matematice, n vederea crearii de competente performante sipractice pentru piata muncii.

    Finantat din Fondul Social European si implementat de catre Ministerul Educatiei, Cercetarii,Tineretului si Sportului, n colaborare cu The Red Point, Oameni si Companii, Universitatea dinBucuresti, Universitatea Tehnica de Constructii din Bucuresti, Universitatea ,,Politehnica dinBucuresti, Universitatea din Pitesti, Universitatea Tehnica ,,Gheorghe Asachi din Iasi, Universi-tatea de Vest din Timisoara, Universitatea ,,Dunarea de Jos din Galati, Universitatea Tehnica dinCluj-Napoca, Universitatea 1 Decembrie 1918 din Alba-Iulia, proiectul contribuie n mod directla realizarea obiectivului general al Programului Operational Sectorial de Dezvoltare a ResurselorUmane POSDRU si se nscrie n domeniul major de interventie 1.2 Calitate n nvatamantulsuperior.

    Proiectul are ca obiectiv adaptarea programelor de studii ale disciplinelor matematice la cerintelepietei muncii si crearea de mecanisme si instrumente de extindere a oportunitatilor de nvatare.

    Evaluarea nevoilor educationale obiective ale cadrelor didactice si studentilor legate de uti-lizarea matematicii n nvatamantul superior, masterate si doctorate, precum si analizarea efi-cacitatii si relevantei curriculelor actuale la nivel de performanta si eficienta, n vederea dezvoltariide cunostinte si competente pentru studentii care nvata discipline matematice n universitati,reprezinta obiective specifice de interes n cadrul proiectului. Dezvoltarea si armonizarea cur-riculelor universitare ale disciplinelor matematice, conform exigentelor de pe piata muncii, elabo-rarea si implementarea unui program de formare a cadrelor didactice si a studentilor interesatidin universitatile partenere, bazat pe dezvoltarea si armonizarea de curriculum, crearea unei bazede resurse inovative, moderne si functionale pentru predarea-nvatarea-evaluarea n disciplinelematematice pentru nvatamantul universitar sunt obiectivele specifice care au ca raspuns materi-alul de fata.

    Formarea de competente cheie de matematica si informatica presupune crearea de abilitati decare fiecare individ are nevoie pentru dezvoltarea personala, incluziune sociala si insertie pe piatamuncii. Se poate constata nsa ca programele disciplinelor de matematica nu au ntotdeauna nvedere identificarea si sprijinirea elevilor si studentilor potential talentati la matematica. Totusi,studiul matematicii a evoluat n exigente pana a ajunge sa accepte provocarea de a folosi noiletehnologii n procesul de predare-nvatare-evaluare pentru a face matematica mai atractiva.

    In acest context, analiza flexibilitatii curriculei, nsotita de analiza metodelor si instrumentelorfolosite pentru identificarea si motivarea studentilor talentati la matematica ar putea raspundedeopotriva cerintelor de masa, cat si celor de elita.

    3

  • 4

    Viziunea pe termen lung a acestui proiect preconizeaza determinarea unor schimbari n abor-darea fenomenului matematic pe mai multe planuri: informarea unui numar cat mai mare demembri ai societatii n legatura cu rolul si locul matematicii n educatia de baza n instructie si ndescoperirile stiintifice menite sa mbunatateasca calitatea vietii, inclusiv popularizarea unor maridescoperiri tehnice si nu numai, n care matematica cea mai avansata a jucat un rol hotarator.De asemenea, se urmareste evidentierea a noi motivatii solide pentru nvatarea si studiul matem-aticii la nivelele de baza si la nivel de performanta; stimularea creativitatii si formarea la viitoriicercetatori matematicieni a unei atitudini deschise fata de nsusirea aspectelor specifice din altestiinte, n scopul participarii cu succes n echipe mixte de cercetare sau a abordarii unei cercetariinter si multi disciplinare; identificarea unor forme de pregatire adecvata de matematica pentruviitorii studenti ai disciplinelor matematice, n scopul utilizarii la nivel de performanta a aparatuluimatematic n construirea unei cariere profesionale.

    Continutul acestui manual se adreseaza studentilor si profesorilor de la universitatile tehnice,acoperind principalele notiuni de Geometrie Analitica, Geometrie Diferentiala si elemente deAlgebra Tensoriala.

    Capitolele si paragrafele acestei carti se refera la:- elemente de geometrie analitica, incluzand dreapta si planul n spatiu, conice n plan si cuadrice

    n spatiul euclidian tridimensional;- aspecte locale si globale ale teoriei curbelor si suprafetelor, elemente intrinseci ale unei curbe

    sau ale unei suprafete, formule de calcul;- bazele teoriei tensorilor, a derivarii covariante si a operatorilor diferentiali (gradient, hessiana,

    divergenta, rotor si laplacian);Exemplele si problemele care nsotesc textul de baza asigura functionalitatea manualului,

    oferindu-i un grad avansat de independenta n raport cu bibliografia existenta.

  • Cuprins

    I Geometrie Analitica 9

    1 Vectori liberi 111.1 Vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Adunarea vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Inmultirea unui vector liber cu un scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Proiectie ortogonala pe o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Produs scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Produs vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8 Produs mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2 Dreapta si planul n spatiu 292.1 Reper cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Ecuatiile dreptei n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.2.1 Dreapta determinata de un punct si un vector nenul . . . . . . . . . . . . . 302.2.2 Dreapta determinata de doua puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3 Dreapta orientata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.3 Ecuatia planului n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1 Planul determinat de un punct si un vector normal nenul . . . . . . . . . . 332.3.2 Plane particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.4 Planul determinat de un punct si doi vectori necoliniari . . . . . . . . . . . 352.3.5 Ecuatia normala a planului (Hesse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.6 Plan orientat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.7 Semispatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.8 Reuniunea si intersectia a doua plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.9 Fascicule de plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.4 Unghiuri n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.1 Unghiul dintre doua drepte orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.2 Unghiul dintre doua plane orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.3 Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat . . . . . . . . . . . . 40

    2.5 Distante n spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.1 Distanta de la un punct la o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.2 Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    5

  • 6

    2.5.3 Perpendiculara comuna a doua drepte oarecare din spatiu . . . . . . . . . . 422.5.4 Distanta dintre doua drepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.6 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3 Schimbari de repere n spatiu 473.1 Translatia reperului cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Rotatia reperului cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    4 Conice 554.1 Tipuri de conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Reducerea la forma canonica a ecuatiei unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.2.1 Metoda valorilor proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.2 Metoda roto-translatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4.3 Intersectia dintre o dreapta si o conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Pol si polara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Diametru conjugat cu o directie data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6 Axele unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.7 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.8 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . .