algebra liniara si geometrie analitica

Download Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

Post on 16-Oct-2015

37 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 5/25/2018 Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

    1/203

    Leonard Du

    ALGEBR LINIARiGEOMETRIE ANALITIC

  • 5/25/2018 Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

    2/203

    Prefa

    Algebra liniar i geometria analitic reprezint de multvreme instrumentefundamentale pentru disciplinele matematice, abstracte sau aplicate. Cursurile dealgebrliniari geometrie se regsesc n programa analitica oricrei universiti cuprofil tehnic. Conceptele introduse i rezultatele obinute n cadrul unui astfel de curs,

    fiind preluate i utilizate de numeroase discipline tehnice, au condus la necesitateaintroducerii algebrei liniare i a geometriei ca materie de studiu pentru toatespecializrile din Universitatea Tehnicde Construcii Bucureti.

    Aceast lucrare are la baz cursurile pe care le-am predat la Facultatea deHidrotehnici respectprograma analitica primului semestru aferentspecializriiIngineria Mediului. Principalele teme tratate sunt: calcul vectorial, geometrie analitic

    n spaiu, spaii vectoriale i spaii euclidiene, valori proprii i vectori proprii, formeptratice i forme biliniare. De asemenea sunt prezentate i cteva metode numerice nalgebra liniar: metode de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare sau pentrudeterminarea valorilor proprii i a vectorilor proprii. Toate rezultatele teoretice sunt

    nsoite de demonstraii complete, ceea ce permite parcurgerea independenta acesteilucrri de ctre studenii anului I. Dei cartea are un pronunat caracter teoretic, pe

    parcursul ei am inclus numeroase exerciii avnd rezolvri complete, iar fiecarecapitol se ncheie cu o seciune de exerciii propuse, cu diferite grade de dificultate.Astfel, lucrarea poate fi folositi n cadrul seminarului.

    Doresc smulumesc D-lui. Prof. Dr. Ghiocel Groza pentru atenia cu care acitit manuscrisul i pentru observaiile pertinente i constructive care au marcatpozitiv conceperea acestei lucrri.

    Bucureti, septembrie 2009 Leonard Du

  • 5/25/2018 Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

    3/203

    Cuprins

    Capitolul I: Vectori liberi..................................................................................1. Vectori liberi..........................................................................................2. Operaii cu vectori liberi........................................................................3. Expresia analitica unui vector liber....................................................4. Produsul scalar......................................................................................5. Produsul vectorial..................................................................................6. Produsul mixt........................................................................................7. Exerciii.................................................................................................

    Capitolul II: Planul i dreapta n spaiu...........................................................1. Planul.....................................................................................................2. Dreapta..................................................................................................3. Fascicol de plane...................................................................................4. Unghiuri n spaiu..................................................................................5. Distane n spaiu...................................................................................6. Exerciii.................................................................................................

    Capitolul III:Spaii vectoriale..........................................................................1. Noiunea de spaiu vectorial. Exemple..................................................2. Dependeni independenliniar.......................................................3. Sistem de generatori. Baza unui spaiu vectorial................................4. Subspaii vectoriale...............................................................................5. Schimbarea bazei unui spaiu vectorial.................................................6. Exerciii.................................................................................................

    Capitolul IV:Spaii euclidiene..........................................................................1. Produs scalar. Norm.............................................................................2. Ortogonalitate. Baze ortonormate.........................................................3. Polinoame ortogonale............................................................................4. Exerciii.................................................................................................

    Capitolul V:Transformri liniare....................................................................1. Definiie. Exemple. Proprieti..............................................................2. Nucleul i imaginea unei transformri liniare.......................................3. Matricea asociatunei transformri liniare...........................................4. Exerciii.................................................................................................

    114

    12

    14192426

    29293337404348

    50505254606567

    707076

    8290

    929296

    102107

  • 5/25/2018 Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

    4/203

    Capitolul VI:Sisteme de ecuaii liniare............................................................1. Metoda lui Gauss...................................................................................2. Factorizarea LU.....................................................................................3. Factorizarea Cholesky...........................................................................4. Metode iterative de rezolvare ale sistemelor de ecuaii liniare.............5. Exerciii.................................................................................................

    Capitolul VII:Valori proprii i vectori proprii...............................................1. Valori proprii i vectori proprii.............................................................2. Localizarea valorilor proprii..................................................................3. Diagonalizarea unui endomorfism (sau a unei matrice)........................4. Metoda puterii.......................................................................................5. Exerciii.................................................................................................

    Capitolul VIII:Clase speciale de matrice........................................................

    1. Matrice ortogonale.................................................................................2. Matrice simetrice...................................................................................3. Rotaii i simetrii...................................................................................4. Exerciii.................................................................................................

    Capitolul IX:Forme biliniare. Forme ptratice..............................................1. Forme biliniare......................................................................................2. Forme ptratice. Reducerea la forma canonic.....................................3. Signatura unei forme ptratice. Teorema ineriei..................................4. Exerciii.................................................................................................

    Bibliografie..........................................................................................................

    Indice...................................................................................................................

    109109114

    123127135

    138138146149155158

    160

    160164166174

    176176179189192

    195

    197

  • 5/25/2018 Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

    5/203

    1

    Capitolul I

    Vectori liberi

    1. Vectori liberi

    Fie 3E spaiul tridimensional al geometriei elementare, spaiu conceput ca omulime de puncte i n care sunt valabile axiomele lui Euclid.

    Definiii 1.1: Se numete vector legat sau segment orientat o perecheordonatde puncte 33 EE(A,B)

    fig. 1

    Punctul A se numete originea, iar B vrful sau extremitatea vectorului legat(A,B).

    Dac BA , atunci dreapta determinat de punctele A i B se numetedirecia vectorului legat (A,B). Dac BA = , atunci obinem vectorul legat (A,A),numit vector legat nul. Direcia oricrui vector legat nul este nedeterminat.

    Se numete lungime sau normsau modul a unui vector legat (A,B) numrulreal pozitiv care reprezint distana dintre punctele A i B (relativ la o unitate demsurfixat).

    Evident, un vector legat este nul daci numai dac lungimea lui este zero.

    Definiii1.2:Fie (A,B) i (C,D) doi vectori legai nenuli.

    A

    B

  • 5/25/2018 Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

    6/203

    2

    1. Spunem c(A,B) i (C,D) au aceeai direcie dacdreptele lor suport suntparalele. n cazul particular n care dreptele suport coincid, vom spune cvectoriilegai sunt coliniari.

    2. Dac A,B,C,D sunt puncte necoliniare, vectorii legai (A,B) i (C,D) auaceeai direcie, iar punctele B i D se aflde aceeai parte a dreptei AC, vom spunec(A,B) i (C,D) au acelai sens (fig. 2). DacA,B,C,D sunt puncte coliniare i exist

    dou puncte E, F, nesituate pe dreapta determinat de cele patru puncte iniiale,astfel nct vectorul legat (E,F) are acelai sens i cu (A,B) i cu (C,D), vom spune c(A,B) i (C,D) au acelai sens. Doi vectori care au aceeai direcie dar nu au acelaisens, se spune cau sensuri opuse.

    fig. 2

    Definiia 1.3:Doi vectori legai (A,B) i (C,D) se numesc echipoleni i vomnota (A,B)~(C,D), dacau acelai sen

View more