algebra liniara geometrie analitica ecuatii diferentiale

7/28/2019 Algebra Liniara Geometrie Analitica Ecuatii Diferentiale

1/165

Monica Ana Paraschiva PURCARU

ALGEBR LINIAR, GEOMETRIE ANALITIC

I ECUAII DIFERENIALE

2010


2/165


3/165


4/165


5/165


6/165


7/165

1

Introducere

Cursul de fa se adreseaz n principal studenilor de anul I de la Facultatea de InginerieTehnologic, programul de studii: Inginerie Economic Industrial, care se pregtesc s deviningineri la forma de nvmnt ID (nvmnt deschis i la distan).

Acest curs reprezint un ghid practic, care include noiunile, rezultatele teoretice de baz,precum i tipurile de probleme care apar n cadrul disciplinei: ALGEBR LINIAR,GEOMETRIE ANALITICI ECUAII DIFERENIALE.

Aceste ramuri ale matematicii constituie o component important a pregtirii tiinifice afiecrui student din nvmntul superior tehnic, prin numeroasele aplicaii pe care le au, prinabilitile de calcul pe care le dezvolti prin numeroasele metode de modelare matematic pe carele propune.

Cunotiele prezentate n acest curs sunt fundamentale pentru pregtirea studenilor att princontribuia adus la definirea unei gndiri riguroase a fiecrui student, dar i prin aceea c ele igsesc n ntregime aplicabilitate n practic.

Asimilarea problemelor teoretice, a exemplelor i a exerciiilor prezentate n curs permit

studentului s redescopere funcia modelatoare a matematicii i s o exerseze n acest sens.Cursul a fost scris astfel ca limbajul, noiunile i succesiunea unitilor de nvare s fie nconcordan cu programa analitic de la forma de nvmnt: zi.

Paragrafele teoretice sunt susinute de numeroase exemple i de probleme rezolvate, care dauposibilitatea aprofundrii noiunilor cuprinse n paragraful respectiv.

Lucrarea ncearc s rspund unor necesiti de adncire a pregtirii n domeniul matematiciia tuturor celor interesai.

Obiectivele cursului

Obiectivul principal al acestui curs este de a-i iniia pe studeni n tainele a treidintre ramurile de baz ale matematicii: algebra liniar, geometria analitici

ecuaiile difereniale, att de necesare unei culturi tehnice solide.Competene conferite

Dup parcurgerea i asimilarea materialului studentul va fi capabil: s acumuleze i s opereze cu cunotinele de baz din domeniul algebrei

liniare, geometriei analitice i ecuaiilor difereniale; s pun n practic cunotinele acumulate att la disciplinele matematice, ct

i la celelalte discipline de specialitate, utilizatoare ale noiunilor; s-i formeze o gndire logic, un limbaj matematic adecvat i s-i dezvolte

capacitatea de analizi sintez; s-i formeze capacitatea de autoevaluare.

Resurse i mijloace de lucru

Deoarece acest curs este parcurs n anul I, vom insista mai mult asupramodului de utilizare eficient a acestuia.

Coninuturile unitilor de nvare sunt ntrerupte de diverse sarcini de lucru.Acestea sunt anunate printr-o imagine sugestiv i au titlul TO DO:. Este

indicat rezolvarea cu consecven a cerinelor formulate n sarcinile de lucru,imediat dup parcurgerea coninuturilor tematice i a exerciiilorrezolvate,intitulate sugestiv Exemple.

Fiecare unitate de nvare conine un test de autoevaluare,care permitecititorului s verifice singur calitatea nsuirii cunotinelor studiate. n cazulapariiei unor neclariti n legtur cu rezolvarea testelor de autoevaluare se potfolosi rspunsurile i sugestiile de rezolvare ale acestora, care se afl la sfritul


8/165

2

fiecrui test de autoevaluare. Dac neclaritile persist este indicat a se lualegtura cu tutorele, la una dintre ntlnirile prevzute prin calendarul disciplinei.

Parcurgerea unitilor de nvare aferente primului i ultimului modul nunecesit existena unor mijloace sau instrumente de lucru.

Modulul al doilea, destinat geometriei analitice, necesit utilizarea unuicalculator avnd acces la internet, iar ca instrumente de lucru: calculator de

buzunar, rigl, compas, echer, raportor i creioane colorate.Structura cursului

Materialul cursului este structurat n trei module: primul modul este destinatstudiului algebrei liniare, modulul II, geometriei analitice, iar n modulul III sestudiaz ecuaiile difereniale. Cursul cuprinde un numr total de dousprezeceuniti de nvare.

Modulul I cuprinde patru uniti de nvare: UI.I.1- Spaii vectorialeeuclidiene, UI.I.2- Transformri liniare, UI.I.3- Valori proprii. Vectori proprii iUI.I.4- Forme biliniare i forme ptratice.

Modulul II conine ase uniti de nvare: UI.II.1- Spaiul vectorial euclidian

al vectorilor liberi, UI.II.2- Planul i dreapta n spaiu, UI.II.3-Translaii irotaii.Schimbri de repere n plan i n spaiu,UI.II.4- Conice, UI.II.5- Cuadrice iUI.II.6- Generarea suprafeelor.

Modulul III cuprinde dou uniti de nvare: UI.III.1- Ecuaii difereniale deordinul nti i UI.III.2- Ecuaii difereniale de ordin superior.

Elementele constitutive ale fiecrui modul sunt: cuprinsul, introducerea,competenele, unitile de nvare i tema de control, care ncheie modulul.

Tema de control 1- cuprinde exerciii de baz din algebra liniar, tema decontrol 2-cuprinde aplicaii de baz din geometria analitic, iar tema de control 3-din ecuaiile difereniale.

Cele trei teme de control, rezolvate, vor fi transmise tutorelui, scrise de mni

ndosariate.Rezultatele obinute de ctre studeni la temele de control, vor fi ncrcate pe

platforma e-learning a Universitii Transilvania Braov, pn la o datprestabilit.

Fiecare unitate de nvare are ca elemente constitutive: titlul unitii, cuprinsulunitii, o introducere, competenele unitii de nvare, durata medie deparcurgere a unitii de nvare, coninutul unitii de nvare, rezumatul, testulde autoevaluare cu rspunsuri i indicaii.Cerine preliminare

Parcurgerea cursului presupune cunoaterea noiunilor i rezultatelor dealgebri analiz matematic din clasele a XI-a i a XII-a i geometria claselor IX-XI, predate n liceu.Discipline deservite

Alegerea temelor acestui curs i nsui modul de tratare al lor au i un alt scoputilizarea acestui instrument de investigaie i de calcul i n : fizic, inginerie,economie, statistic, etc.

Se pot enumera numeroase discipline din planul de nvmnt care sedezvolt pe baza cunotinelor dobndite n cadrul disciplinei de fa: fizicteoretic, mecanic, rezistena materialelor, mecanica fluidelor, termotehnic,metoda elementelor finite, teoria elasticitii i plasticitii, organe de maini,

mecanisme, prelucrri mecanice, etc.


9/165

3

Durata medie de studiu individual

Parcurgerea de ctre studeni a aspectelor teoretice i ale exemplelor unitilorde nvare ale cursului intitulat: ALGEBR LINIAR, GEOMETRIEANALITICI ECUAII DIFERENIALE se poate face n 2 - 3 ore pentrufiecare unitate.Evaluarea

Pentru disciplina ALGEBR LINIAR, GEOMETRIE ANALITIC IECUAII DIFERENIALE, evaluarea are dou componente: evaluarea continui evaluarea final.

Evaluarea continu va fi fcut pe baza temelor de control( notate de tutore).Punctajul propus pentru notarea fiecrei teme se afl menionat dup enunulsubiectelor.

Nota obinut la fiecare tem de control, reprezint cte 15 % din nota final.Evaluarea final pentru acest curs este examenul scris.Nota obinut la examenul scris, reprezint 55% din nota final.

NU EZITAI S LUAI LEGTURA CU TUTORELE PENTRU A OBINEALTE INDICAII SAU PRECIZRI, SAU PENTRU A DEPI EVENTUALELEBLOCAJE N NVARE !

SPOR LA TREABI SUCCES!


10/165

4

Chestionar evaluare prerechizite

1. Fie matricile:

=

11

01A ,

=

21

53B . S se calculeze A+B, AB, BA, A

2.

2. S se calculeze determinanii:180

922672

1

=d i

300

523102

2

=d .

3. S se studieze dac matricea A =

103

012

325

este inversabili n caz afirmativ s se

determine inversa ei.

4. S se rezolve sistemul de ecuaii liniare:

=

=

.0

,12

21

21

xx

xx

5. S se rezolve sistemul de ecuaii liniare:

=++

=+

=++

.653

,123

,13

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

6. S se defineasc structurile algebrice de grup abelian i de corp.7. S se completeze rezultatele: sin (a+b) = , sin 2a = , =+ aa 22 cossin .8. S se calculeze: .

334cos

6sin

ctgtg ++

9. S se scrie cinci derivate ale unor funcii elementare.10.S se scrie cinci primitive ale unor funcii elementare.


11/165

5

MMOODDUULLUULL II..AAllggeebbrr lliinniiaarr

Cuprins

Introducere................................................................................................................................5

Competene............................................................................................................................... 5

UUII II..11..Spaii vectoriale euclidiene .................................................................................................................................................................................... 66UUII II..22..Transformri liniare .......................................................................................................................................................................................................................................... ..2211

UUII II..33..Valori proprii. Vectori proprii..................................................................................... 3300

UUII II..44..Forme biliniare i forme ptratice ............................................................................................................................................................ 3399

Tem de control 1-Algebr liniar.......................................................................................... 49

Introducere

Algebra liniar, domeniu important al algebrei abstracte, constituie fundamentul

i furnizeaz metode de lucru pentru geometria analitic dar i pentru o serie de

ramuri ale matematicii, fizicii teoretice, mecanicii, al disciplinelor tehnice n general.Noiunile sale abstracte de: spaiu vectorial, transformri linare, valori i vectori

proprii, forme biliniare i forme ptratice, au aplicaii relativ imediate n disciplinele

care se predau viitorilor ingineri i permit o mai bun sintetizare a cunotinelor

domeniilor amintite, precum i o dezvoltare matematic riguroas a diverselor

concepte fizice folosite.

CompeteneDup parcurgerea materialului studentul va fi capabil:

-s identifice, s defineasc, s caracterizeze i s exemplifice principalele noiuni i

rezultate teoretice de algebr liniar referitoare la spaiile vectoriale euclidiene,

transformrile liniare, valorile i vectorii proprii corespunztori unei transformri

liniare, precum i la formele biliniare i ptratice;

-s utilizeze n exerciii principalele rezultate referitoare la spaiile vectoriale

euclidiene, transformrile liniare, valorile i vectorii proprii corespunztori unei

transformri liniare, precum i la formele biliniare i ptratice.


12/165

6

Unitatea de nvare I.1. Spaii vectoriale euclidiene

CuprinsI.1.1. Introducere ....................................................................................................................... 6I.1.2. Competene ...................................................................................................................... 6II..11..33.. SSppaaiiii vveeccttoorriiaallee.. DDeeffiinniiiiee.. EExxeemmppllee .............................................................................................................................................................. 66

II..11..44.. CCoommbbiinnaaiiee lliinniiaarr.. SSiisstteemm ddee ggeenneerraattoorrii.. LLiinniiaarr iinnddeeppeennddeennii lliinniiaarr ddeeppeennddeenn ............ 88II..11..55.. BBaazz.. DDiimmeennssiiuunnee .................................................................................................................................................................................................................... 1100II..11..66.. SScchhiimmbbaarreeaa bbaazzeeii .................................................................................................................................................................................................................... ..1122II..11..77.. SSuubbssppaaiiii vveeccttoorriiaallee.. OOppeerraaiiii ccuu ssuubbssppaaiiii vveeccttoorriiaallee ........................................................................................................ 1144II..11..88.. SSppaaiiii vveeccttoorriiaallee eeuucclliiddiieenneeii uunniittaarree ........................................................................................................................................................ 1177II..11..99.. OOrrttooggoonnaalliittaattee nnttrr--uunn ssppaaiiuu vveeccttoorriiaall eeuucclliiddiiaann.. .................................................................................................................... 1199I.1.10. Rezumat ....................................................................................................................... 20I.1.11. Test de autoevaluare a cunotinelor........................................................................... .20II..11..1122.. RRssppuunnssuurriiii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree ............................................................................................................ 2200

I.1.1. Introducere

Pe lng diverse structuri algemrice precum cele de monoid, grup, inel, modul sau corp, nstudiul disciplinelor aplicate intervine cu prioritate structura de spaiu vectorial.n cadrul acestei uniti de nvare se trec n revist principalele rezultate referitoare la

obiectul de studiu de baz al algebrei liniare, care este conceptul de K-spaiu vectorial.

I.1.2. Competenele unitii de nvareDup parcurgerea materialului studentul va fi capabil:

-s defineasci s exemplifice noiunea de spaiu vectorial;-s verifice liniara independen sau liniara dependen a unui sistem de vectori;-s reini s utilizeze noiunile de: bazi dimensiune i s opereze cu schimbri debaze;

-s decid cnd o submulime nevid a unui spaiu vectorial este un subspaiuvectorial al acestuia i s opereze cu subspaii vectoriale;-s defineasc, s exemplifice i s aplice noiunile de: produs scalar , spaiuvectorial euclidian i unitar;-s defineasc conceptul de ortogonalitate.

Durata medie de parcurgere a acestei uniti de nvare este de 2 ore.

II..11..33.. SSppaaiiii vveeccttoorriiaallee.. DDeeffiinniiiiee.. EExxeemmppllee

Definiia 1.Fie Vo mulime nevid, ale crei elemente se noteaz cu litere latine (a, b, x, y, z, u,v, w, ..., x1, x2, ...)i se numesc vectorii fie K un corp comutativ (cmp), ale crui elemente senoteaz prin (k, l, ...) sau prin litere greceti (,, , ...)i se numescscalari.

Un triplet (V, +, , KKKK ), care const dintr-o mulime Vde vectori, o lege de compoziie internpe V, + : VVV, (x, y)x + y, numitadunareavectorilori o lege de compoziie extern peVn raport cu K, : KVV, (, x) x (sau (, x) x), numitnmulirea cu

scalari, se numetespaiu vectorial peste K, sauspaiu liniar peste K, sau K-spaiu vectorial(liniar), dac:

I. Perechea (V, +) este un grup abelian.II. nmulirea cu scalari satisface urmtoarele patru axiome:

1. Oricare ar fi Ki pentru oricex, y Vrezult(x + y) = x +y.2. Oricare ar fi ,Ki pentru oricex Vrezult(+)x = x +x.3. Oricare ar fi ,Ki pentru oricex Vrezult()x = (x).


13/165

7

4. Oricare ar fix V, dac1 este identitatea lui K, atunci 1 x = x.Elementul neutru n grupul (V, +) se noteaz 0 i se numete vectorul nul al spaiului

vectorial, iar simetricul unui elementx n grupul (V, +) se noteaz cu xi poart denumirea deopusul vectoruluix.

Cnd K este corpul R al numerelor reale, un K-spaiu vectorial se numete spaiuvectorial real, iar pentruK = C ,spaiu vectorial complex.

Dac nu exist pericol de confuzie, se va nota un K-spaiu vectorial (V, +, , K) mai simplu,prin V/KKKK, sau prin V.

Exemple 1

1. V = {0}, care const dintr-un singur vector (cel nul), este K-spaiu vectorial,pentru orice cmp Ki se numetespaiu vectorial nul.

2. Spaii vectoriale aritmetice. Fie (K, +, , K) un cmp i n N , iarn

K =

=43421

orinKK ... ( ){ nixxxxx in ,1,...,,, 21 == K , pentru n 1 i

0K = {0}, (0 -

elementul zero al lui K).

Dac, pentru == )...,,,(,)...,,,( 2121 nn yyyyxxxx nK i K, se

definete:I. )y...,,( n11 ++=+ nxyxyx i II. )...,,( 1 nxxx = ,

atunci (n

K , +, , K) este un K-spaiu vectorial i se numete spaiulcoordonatelor (sau spaiul aritmetic). Pentru K = Ri n = 2 sau n = 3 se obineplanul real, sauspaiul real.3. Spaii vectoriale de matrice. Pentru un cmp ( nK , +, , K) i m, n *K , fiemulimea matricelor de tip m n (cu m linii i n coloane), cu elemente din K,

{ }naAijnm

,1j,m1,i,a)()(ij

====

KKM .

Dac, pentruA = (aij), B = (bij) )(nm KM i K, se definete:

I. A + B = (aij + bij)iII. A = ( aij), atunci tripletul ( )KK ,,,)(nm +M este un K-spaiu

vectorial, numit KKKK-spaiul vectorial al matricelor de tipulm n.

4. Spaii vectoriale de polinoame. Fie K[X] mulimea polinoamelor nnedeterminataX, cu coeficieni dintr-un cmp K.

Dac se consider + ca fiind adunarea uzual a polinoamelor din K[X] i nmulirea unui polinom din K[X] cu elemente din K, se obine spaiul vectorial(K[X], +, , K), numitspaiul vectorial al polinoamelor peste corpulKKKK.

5. Spaii vectoriale de funcii continue.

Fie [a, b] R i { }continufbafba = R],[:0

],[C .

Dac, pentru R i pentru orice 0 ],[, bagf C , se definete:

I. (f + g)(x) = f(x) + g(x), oricare ar fix [a, b]iII. (f)(x) = f(x), pentru oricex [a, b],

atunci tripletul ( 0 ],[ baC , +, , R) este un R-spaiu vectorial, numitspaiul vectorial al

funciilor continue pe[a, b].

n mod analog se raioneaz pentru mulimea b],a[M = {f : [a, b] fR -mrginit} nzestrat cu aceleai operaI. Se observ incluziunea 0 ],[ baC b],[aM .


14/165

8

Teorema 1.ntr-un K-spaiu vectorial, (V, +, , K), au loc proprietile:1. Oricare ar fi x V rezult 0 x = 0.

2. Oricare ar fi K se obine 0 = 0.3. Oricare ar fi Ki oricare ar fi x V rezult () x = (x) =(x).4. Din x = 0 se obine = 0 sau x = 0.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.5.Verific axiomele din definiia 1 a spaiului vectorial n cazul Exemple1-2.,pentru n=3 (spaiul real).

S ne reamintimStructura algebric despaiu vectorialconst dintr-un grup aditiv comutativ Vi

o operaie de nmulire extern definit pe KV cu valori n V, care satisface patruaxiome, unde Keste un corp comutativ (cmp). Elementele spaiului vectorial Vsenumesc vectori, iar cele ale cmpului Kse numescscalari.

II..11..44.. CCoommbbiinnaaiiee lliinniiaarr.. SSiisstteemm ddee ggeenneerraattoorrii.. LLiinniiaarr iinnddeeppeennddeenn ii lliinniiaarr ddeeppeennddeenn

Fie Vun K-spaiu vectorial i {xi}iI o familie de vectori din V, adicxi V, pentru orice i I(I- o mulime de indici), iar {i}iI o familie de scalari cu proprietatea c exist numai unnumr finit de indici i Icu proprietatea i0 - numitfamilie de suport finit.

Definiia 2. Se numete combinaie liniar a vectorilor xi relativ la familia de scalari {i}iI,suma:

Ii

ii x .

Observaia 1.

1.innd cont de proprietatea familiei de scalari, rezult c suma

Ii

ii x este o sum

finiti deci are sens n spaiul V.2.n cazul i N , familia {xi} Ni se va numisistem de vectori.3.Dac mulimeaIeste finit, cererea asupra familiei {i}iI este oricnd satisfcut.

Definiia 3. O submulime S = {x1, ..., xn}, SV, se numete sistem finit de generatori pentru

spaiul V, dac oricare ar fix V, exist1, 2, ..., nK astfel nct: =

=n

iiixx

1

(adic se poate

spune c x este o combinaie liniar de vectorii submulimii S).Un spaiu vectorial se numete finit generat, dac exist un sistem finit de generatori al

su; n caz contrar, se numete infinit generat.

Exemple 2

n spaiul R[X] al polinoamelor peste R , se consider sistemul {Xi} Ni , X0= 1. Atunci orice polinompR[X] este o combinaie liniar a vectorilor sistemului {Xi},

p = anXn + an1X

n1 + + ... + a1X1 + a0X

0.

Fie familia {i} Ni R astfel nct:

+

==

.1ni0

,n0,i

pentru

pentruaii

Se obine: )(XX0

i

0

i Xpan

ii

ii

=

=

== .

Deci spaiul R[X] este un spaiu vectorial care nu este finit generat, pe cnd spaiulvectorial real Rn[X] al polinoamelor de grad n, este finit generat deoarece exist,de exemplu, sistemul finit de generatori S = {1, X, X2, ..., Xn}al spaiului Rn [X].


15/165

9

Definiia 4. Fie Vun K-spaiu vectorial i S = {xi}i IVo familie de vectori din V. MulimeaS se numete familie (mulime) liniar independent dac pentru orice {i}i I, i K, dincombinaia liniar

Ii

ii x = 0 rezulti = 0, oricare ar fi i I(evident {i}iI este o familie

de suport finit). O familie (mulime)S = {xi}i IVcare nu este liniar independent, se numeteliniar dependent, adic exist scalarii {i}i IK, nu toi nuli, astfel nct

Ii iix = 0.

Exemple 3

1. n R[X] familia B = {Xi} Ni este liniar independent.

2. n spaiul aritmetic nK , sistemul B = {e1, ..., en} n carei

i )0...,,0,1,0...,,0,0(e = , este liniar independent.

3. n spaiul )(nm KM , mulimea { }n1,jm1,iij

E==

=B , unde

i

0......0......0

....................

0......1......0

....................

0......0......0

j

E ij

= , este liniar independent.

4. n spaiul funciilor 0 ]b,a[C familia de funcii fn : [a, b] R , fn(x) = enx, n N ,

este o familie liniar independent.Propoziia 1. Orice submulime a unui spaiu vectorial, format dintr-un singur vector esteliniar independent daci numai dac acel vector este diferit de vectorul nul.

2.Dac S = {x1, , xn}V este o mulime liniar dependent, atunci exist cel puin unvector al lui S care poate fi exprimat printr-o combinaie liniar de ceilali vectori ai lui S.

3.Fie S = {x1, , xk}, xi0, k1,i = o mulime liniar dependent. Atunci exist xj, 2 j k, astfel nct: ,

1

1

=

=j

iiij xx iK.

4.Orice submulime a unei mulimi liniar independente este liniar independent.Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.8.

Observaia 2. Reciprocele propoziiilor 2i 3 din propoziia 1 sunt evidente.

Exemple 4

n spaiul vectorial 3R se consider vectorii:x = (1, 2, 3), y = (2, 3, 1), z = (a+3, a+1, a+2), aR .

S se afle valorile parametrului a pentru care aceti vectori sunt liniar dependenii s se scrie relaia de dependen liniar.Soluie:

Pentru ca vectorii dai s fie liniari dependeni, trebuie s existe scalarii reali 1,

2,

3 nu toi nuli astfel nct s aib loc relaia:1x + 2y + 3z = 0, sau 1(1, 2, 3)+ 2(2, 3, 1) + 3(a+3, a+1, a+2) = (0, 0, 0). Se obine sistemul liniar i omogen:


16/165

10

( )

( )

( )

=+++

=+++

=+++

,023

,0132

,032

321

321

321

a

a

a

care are soluii nebanale dac determinantul su este

nul:

)6(3

213

132321

+=

+

++

a

a

aa

.Deci pentru a =6vectorii dai sunt liniar dependeni.

Pentru a afla relaia de dependen liniar se nlocuiete cu a = 6n sistemul demai sus:

=+

=+

=+

.043

,0532

,032

321

321

321

Se exprim 1, 2 n funcie de 3 din primele dou

ecuaii:1 = 3; 2 = 3; 3 0.nlocuind n combinaia liniar i simplificnd cu 3 seobine relaia de dependen liniar:x + y + z = 0.

Stabilete care dintre urmtoarele mulimi de vectori sunt liniar dependente:i) S1 = {x1 = (3, 1, 5), x2 = (6, 2, 15)}.

ii) S2 = {x1 = (1, 2, 3), x2 = (2, 5, 7), x3 = (3, 7, 10)}. R: ii)

S ne reamintimO submulime Sa unui K - spaiu vectorial Vse numete liniar independent dac

pentru orice combinaie liniar (de vectori din Scu scalari din K)nul, rezult scalarii

nuli. n caz contrar, submulimea Sse numete liniar dependent.II..11..55.. BBaazz.. DDiimmeennssiiuunnee

Fie Vun K-spaiu vectorial i B= {xi}i IVo familie de vectori din V.

Definiia 5.Mulimea B se numetebaz a spaiului Vdac este o familie liniar independentidac este un sistem de generatori pentru V.

Teorema 2.(de existen)Fie V{0}un K-spaiu vectorial finit generat. Din orice sistem degeneratori finit al lui V se poate construi o baz a sa.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.8-9.

Teorema 3. Fie V un K-spaiu vectorial finit generat.Atunci: 1. (teorema completrii) Orice mulime liniar independent dintr-un sistem degeneratori poate fi completat cu vectori din sistemul de generatori pn la o baz a lui V.

2.(lema schimbului) Dac S este un sistem de generatori al lui Vi {y1, , yr} este o mulimeliniar independent de vectori din V, atunci:

i) rmiii) {y1, , yr, xr+1, , xm} este un sistem de generatori pentru V (dup o eventualrenumerotare a vectorilor x1, , xm).

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.9-10.Teorema 4. Fie V{0}un K-spaiu vectorial finit generat. Toate bazele lui V sunt finite i auacela

i num

r de elemente.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.10.Aceast teorem permite:


17/165

11

Definiia 6. Se numete dimensiune a unui spaiu vectorial finit generat V, numrul de vectoridintr-o baz a lui, notat: dimV. Spaiul nul: {0} are dimensiunea zero. Un spaiu vectorial dedimensiune finit se numete: spaiu vectorialfinit dimensional.

Observaia 3. 1. Dac exist o baz a spaiului cu o infinitate de vectori, atunci dimensiunea estei spaiul se numete infinit dimensional.

2. Spaiile vectoriale finit dimensionale, de dimensiune n se mai noteazVn.Exemple 5

1. Fie nK spaiul vectorial aritmetic. Vectorii e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ...,0), ..., en = (0, 0, 0, ..., 1), determin o bazB = {e1, e2, , en}. Pentru a demonstrac B este o mulime liniar independent relaia 1e1 + 2e 2 + ... + nen = 0 esteechivalent cu (1, 2, ..., n) = (0, 0, ..., 0), adic1 = 2 = ... = n = 0. Pe de alt

parte oricare ar fix nK , rezultx = (x1, x2, , xn) = x1e1 + x2e 2 + ... + xnen, deci B genereaz pe V.

2. Spaiul vectorial Kn [X] al tuturor polinoamelor de gradn are dimensiunea n+1,

o baz fiind B = {1, X1

, X2

, , Xn

}, numitbaz canonic din Kn [X].Se observ c mulimea B este liniar independent: adic din 0 + 1X1 + 2X

2 +... + + nX

n = 0 se obine 0 = 1 = 2 = ... = n = 0 i orice polinom de grad n esteo combinaie liniar finit de elemente din B .

3. Spaiul vectorial )(nm KM al matricelor dreptunghiulare are dimensiunea m n.

O baz este mulimea B = {Eij, 1 i m, 1 j n},Eij fiind matricea care areelementul 1 la intersecia liniei i cu coloana j, celelalte elemente fiind nule.

4. Fie K[X] spaiul vectorial al tuturor polinoamelor n nedeterminataX. Polinoamele1, X, X2, ... Xn, ... constituie o baz a lui K[X]i deci dim K[X] = .

5. C are ca R-spaiu vectorial o baz B = {1, i}i deci dimR C = 2, pe cnd C caC -spaiu vectorial are pe B = {1} ca bazi deci dim C C = 1.

Teorema 5. Fie V un K-spaiu vectorial n-dimensional. Atunci B = {e1, e2, , en} este o baz a sa

daci numai dac oricare ar fi xV, ,exxn

1iii

=

= cu xiK unici.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.11.

Definiia 7. Scalarii xi din combinaia =

=n

iii exx

1

se numesccoordonatele vectoruluix n baza

B .Exemple 6S se arate c spaiul vectorial real al matricelor de forma:

== Rdcba

abcd

badc

cdab

dcba

MM ,,,,,A ,

are dimensiunea 4 i s se determine o baz n acest spaiu.

Soluie: Se consider matricele:


18/165

12

=

1000

0100

0010

0001

A ,

=

0100

1000

0001

0010

B ,

=

0010

0001

1000

0100

C ,

=

0001

0010

0100

1000

D ,

rezult relaia: dDcCbBaA

abcd

badc

cdab

dcba

M +++=

= ,de unde rezult c

se obine aA + bB + cC + dD = O daci numai daca = b = c = d = 0, deci

matriceleA, B, C, D sunt liniar independente. Aceeai relaie arat c orice matriceM este o combinaie liniar a matricelor A, B, C, D. Deci matricele A, B, C, Dformeaz o baz, adic spaiul vectorial al matricelor M de forma dat aredimensiunea 4.

n spaiul vectorial 3R se consider urmtoarele sisteme de vectori: B = {e1 =(1, 1, 0), e2 = (1, 0, 0), e3 = (1, 2, 3)}, B = {e1 = (1, 3, 3), e2 = (2, 2, 3), e3 = (6,7, 9)}.Arat c mulimile B i B sunt baze.

R:B i B suntliniar independente i au cte 3 elemente.

S ne reamintimO submulime B a unui K - spaiu vectorial Vse numetebaz pentru V, dac este

liniar independenti genereaz pe V.Se numete dimensiune a unui spaiu vectorial finit generat V, numrul de vectori dintr-

o baz a lui, notaie:dim V.

II..11..66.. SScchhiimmbbaarreeaa bbaazzeeii

Fie Vun K-spaiu vectorial n-dimensional, iar B = {e1, e2, , en} i B = {e1, e2, ,

en} dou baze ale lui V. Atunci pentru orice x V, se obine =

=n

iii exx

1

, unde xi K sunt

coordonatele lui x n baza B i =

=n

jjj exx

1

'' , undexj K sunt coordonatele lui x n baza

B (xi, xj sunt unice cf. teoremei 5).n plus, se pot exprima vectorii ej, nj ,1= n baza B ,

adic: ,'1

=

=n

iiijj ese nj ,1= unde sij -K unici.


19/165

13

Definiia 8.Matricea S = (sij) )(n KM , unic determinat, ce are ca elemente, puse pe coloane,

coordonatele sij din egalitile ,'1

=

=n

iiijj ese nj ,1= , se numetematricea de trecere de la baza

B la baza B ', iar egalitile ,'

1

=

=n

i

iijj ese nj ,1= se numescrelaii de trecere.

Observaia 4.Cum det S0 (altfel ar rezulta c vectorii ej sunt liniar dependeni (absurd)) rezultc matricea de trecere este nesingulari deci are inversa: S1. Mai departe folosind relaiile detrecere se obine:

== =

n

iii exx

1

==

n

jii ex

1

'' =

= =

n

j

n

iiijj esx

1 1

' = =

n

ii

n

jjij xs

1 1

e'

i cum scrierea ntr-o baz este unic, rezult:

=

=n

jjiji xsx

1

' , ni ,1= .

Aceste egaliti exprimlegea de schimbare a coordonatelor unui vector la schimbareabazelor.

Observaia 5. Prin convenie se noteaz: )(

x

...

x

x

X 1

n

2

1

K

= nM , )(

x'

...

x'

x'

X' 1

n

2

1

K

= nM ,

)(

...

.........

...

1

111

Kn

nnn

n

ss

ss

S M

= , )(

e...

e

e

B 1

n

2

1

K

= nM i )(

e'...

e'

e'

B' 1

n

2

1

K

= nM .

Atunci relaiile de trecere se exprim n forma matriceal: B = ST B,

unde ST este transpusa matricei S, de trecere de la baza B la baza B , iar legea de schimbare acoordonatelor unui vector la schimbarea bazelor se exprim n forma matriceal:X = S X.

S-a obinut astfel:

Teorema 6. Fie V un -K spaiu vectorial, dim KV = n


20/165

14

Analog: e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3 de unde s12 = 0, s22 = 1, s32 = 1e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 de unde s13 =1, s23 = 2, s33 = 3.

Astfel c matricea de trecere este:

=

311

211

101

S .

ii) DacX = T(2 5 7) (matrice coloan), atunci matricea coloan X coninndcomponentele vectorului x n baza B se obine din ecuaia matriceal X = SX.Se calculeaz:

=

112

325

1111S , deci X = S1X, adic:

=

=

2

1

0

7

5

2

112

325

111

'X .

Astfel cx = 0e1 + 1e2 + 2e3, n baza B .

Gsete matricea de trecere de la baza:

B =

=

=

=

010

100000

,

001

000100

,

000

001010

321 EEE

la baza:B ' =

=

=

=

011

100

100

,

010

101

010

,

001

001

110

' 3'2'1 EEE

din spaiul matricelor antisimetrice de ordin trei i determin descompunerea matricei

=032301

210

A dup baza B '. R:

=110101

011

S ;

3'

2'

1 2'3 EEEA = .

S ne reamintimOrice schimbare de baz ntr-unK - spaiu vectorial Veste guvernat de dou ecuaii

matriceale:B = ST B, care conduce la determinarea matricei Sde trecere de la bazaveche la baza nou i X = SX , care conduce la obinerea legii de schimbare acoordonatelor unui vector la o schimbare a bazei.

II..11..77.. SSuubbssppaaiiii vveeccttoorriiaallee.. OOppeerraaiiii ccuu ssuubbssppaaiiii vveeccttoorriiaallee

Fie Vun -K spaiu vectorial i V V, V .Definiia 9. Submulimea V se numetesubspaiu vectorialal lui V, dac restriciile celor doulegi de compoziie + i la V determin pe aceast mulime o structur de -K spaiuvectorial.Teorema 7. O condiie necesari suficient ca V V s fie un subspaiu vectorial al lui V esteca: 1. Oricare ar fi x, y V s rezulte x + y V.

2. Pentru orice Ki oricare ar fi x V s rezulte x V.Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.13.

Corolarul 1.Dac V este un -K spaiu vectoriali V este o submulime nevid a lui V, atunci Veste un subspaiu vectorial al lui V daci numai dac are loc condiia: Oricare ar fi ,Kipentru orice x, y V s rezulte x +y V.


21/165

15

Exemple 8

{0} V este subspaiu vectorial.

Definiia 10. {0} se numetesubspaiul nulal lui V. Orice spaiu vectorial Veste subspaiu al luinsui - numitsubspaiu impropriu. Un subspaiu al lui Vse numetesubspaiu propriu, dac eleste diferit de {0}i de V.

Exemple 91. Mulimea funciilor pare i mulimea funciilor impare sunt subspaii proprii alespaiului vectorial real al tuturor funciilor cu valori reale: )(RF .2. Mulimea matricelor simetrice i mulimea matricelor antisimetrice de ordin nsunt subspaii proprii ale spaiului matricelor ptratice de ordin n: )(n KM .

3. Mulimea n1n

n21 0x)x...,,x,(' KK === xxV este un subspaiu vecto-

rial al spaiului vectorial aritmetic: nK .

Teorema 8. 1.Dac V este un -K spaiu vectorial dim KV = n, iar U V este un subspaiuvectorial, atunci dim KUn.

2. Dac V este un -K spaiu vectorial i UV este un subspaiu al lui V cu dim KU = dim KV,atunci U = V.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.14.Definiia 11. Fie Vun -K spaiu vectorial i V, V subspaii vectoriale ale lui V.

1. Se numetesubspaiu intersecie, mulimea: V V.2. Se numetesubspaiu sum a lui Vi V mulimea:V + V { }V"x",V'x'Vx"x'x +== .3. Fie S = {xi}i I V o familie de vectori din V. Se numete subspaiugenerat de S

mulimea notat: [S] (sau L(S)) a tuturor combinaiilor liniare finite de vectori ai lui S, adic:

= KK dinscalaridefinit,suportdefamilieoeste,}{][ Iii

Iiii axaS

Observaia 6. Analog se poate defini intersecia i suma a m subspaii vectoriale ViV, mi ,1= .De exemplu:

m1,i,Vx,x...xxxVxV...VV iim21m21 =+++==+++ .

Propoziia 2.V V, V + V, [S] sunt subspaii vectoriale ale lui V.


Observaia 7. n general reprezentarea unui vectorx V + V sub formax = x + x, x V

ix V nu este unic. ntr-adevr, dacVV{0}i yVV, y 0, atunci se poate scrie x=x + x = (x + y) + (x - y) cu x + y Vi x y V.

Definiia 12.Suma V + V a subspaiilor Vi V se numete sum directi se noteaz: V V, dac orice vectorx V + V se reprezint n mod unic sub formax = x + x cux Vi

x V.Definiia 13. Fie Vun -K spaiu vectorial i So familie de vectori din V. S se numetesistem de

generatori pentru V, dac[S] = V.

Observaia 8. n general reuniunea a dou subspaii vectoriale V i V Vnu este un subspaiuvectorial.

De exemplu, n spaiul aritmetic

2R

, fie subspaiile { }R

= xxV )0,(' i{ }R= yyV ),0(" . Se observ cVV nu este un subspaiu vectorial al lui 2R .


22/165

16

Teorema 9. Fie V un -K spaiu vectorial i V,V dou subspaii vectoriale ale lui V. Atunci:[VV] = V + V.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.16.Observaia 9. n general diferena a dou subspaii vectoriale: V-V nu este un subspaiu vecto-rial.

Propoziia 3.Dac S = {x1, , xn} V este o mulime de vectori liniar independeni din spaiulV, iar [S] este acoperirea liniar a lui S, atunci orice mulime de n+1 vectori din [S] esteliniar dependent.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.16.Teorema 10. Fie V, V V dou subspaii vectoriale ale lui V. Sunt echivalente condiiile:

1. Suma V + V este direct.2. VV = {0}.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.17.Definiia 14.DacVV = V, atunci subspaiile Vi V se numescsuplimentare n V.

Teorema 11. (Grassmann - teorema dimensiunii) Fie V un -K

spaiu vectorial i V, V Vsubspaii vectoriale. Atunci: dim K(V + V) = dim KV + dim KV dim K(V V).

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.17-18.Observaia 10. Dac suma V + V este direct, atunci: dim K(V V) = dim KV + dim KV.

Exemple 101. S se determine dimensiunile subspaiilor sum i intersecie a subspaiilorgenerate de sistemele de vectori:U = {u1 = (2, 3, -1), u2 = (1, 2, 2), u3 = (1, 1, -3)},V

= {v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 1, -1), v3 = (1, 3, 3)} n spaiul vectorial3

R i s severifice teorema lui Grassmann.Soluie: Vectorii u1, u2, u3 sunt liniari dependeni, o baz n [U] poate fi {u1, u2},

deci: [U] = {1u1 + 2u2|1, 2R}, dim[U] = 2.Vectorii v1, v2, v3 sunt liniari dependeni i [V] = {1v1 +2v2|1,2R}, dim[V]= 2,deoarece o baz n [V] poate fi {v1, v2}.

Subspaiul [U] + [V] este generat de reuniunea sistemelor Ui V.O baz n reuniune este {u1, u2, v1}i deci dim([U] + [V]) = 3, adic[U] +

[V] = 3R .Subspaiul [U] [V] conine vectorii pentru care 1u1 + 2u2 =1v1 +2v2,

Adic 21 + 2 =1 +2, 31 + 22 = 21 +2, 1 + 22 =1 -2,sistem cu trei ecuaii cu necunoscutele principale 1, 2, 1, iar 2 = , necunoscutsecundar, se obine 1 = , 2 = ,1 = 2. Rezult astfel: [U] [V] = {(3, 5,), R}, iar dim([U] [V]) = 1. Se verific teorema lui Grassmann: dim[U] +dim[V] = dim([U] + [V]) + dim([U] [V]).

2.S se arate c n spaiul vectorial al matricelor ( )KK ,,),(n +M submulimiledefinite prin { }AA n == AT)(KMS (matrice simetrice), A= {A )(n KM /TA= A}(matrice antisimetrice) formeaz subspaii vectoriale i )(n KM = SA.

Soluie: DacA, BS, atunci: T(A + B) = TA + TB = A + B rezultA + B SiT(A) = TA= A se obine A S. Analog pentru A. DacA )(n KM , atunci

matricele: ( ) S+= AA21B T i ( )AA

21C T= A


23/165

17

verificA = B + C. n plus SA= {O}, astfel c )(n KM = SA.

Fie [U] subspaiul generat de sistemul de vectori U = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (5,2, 1)}i [V] subspaiul generat de sistemul de vectori V = {(1, 1, 2), (1, 3, 0),(2, 0, 3)}, [U], [V] 3R .Calculeaz: dim [U], dim [V], dim ([U] + [V]).

R: dim[U] = 3, dim[V] = 3, dim ([U] + [V]) = 3.

S ne reamintimDat fiind un K - spaiu vectorial V, se numetesubspaiu vectorialal K- spaiului

vectorial V, o submulime a lui Vcare este ea nsi spaiu vectorial relativ la operaiileinduse din V.Procedee de obinere de subspaii vectoriale ale lui V:

1.intersecia adou subspaii vectoriale ale lui V;2.suma a dou subspaii vectoriale ale lui V;3.subspaiul generat de o submulime a spaiului vectorial V.

II..11..88.. SSppaaiiii vveeccttoorriiaallee eeuucclliiddiieenneeii uunniittaarree

Se adaug la structura de spaiu vectorial o nou operaie cu vectori, aceea de produsscalar, cu ajutorul creia se pot defini lungimile vectorilor, unghiurile, ortogonalitatea a doivectori, proiecia unui vector pe un alt vector sau pe un subspaiu vectorial, etc.

Definiia 15. Fie Vun spaiu vectorial complex (C -spaiu vectorial). Se numeteprodusscalarpe V, o aplicaie: : VVC, astfel nct:

1.Pentru oricex, y Vimplic xyyx ,, = , ( = conjugatul numrului complex ).

2.Oricare ar fix1, x2, y Vrezult yxx ,21 + = yx ,1 + yx ,2 .

3.Oricare ar fi C i pentru oricex, y Vse obine yx, = yx, .

4.Pentru oricex Vse obine 0, xx i 0, =xx daci numai dacx = 0.Numrul complex yx, se numete produsul scalar al vectorilorxiyi uzual se mai

noteazi astfel:g(x, y), saux y, sau (x, y) etc.

Observaia 11. 1. Condiiile 2i 3 implic: Oricare ar fi 1, 2Ki pentru oricex1, x2, y Vrezult: yxx ,2211 + = yx ,11 + yx ,22 .

2. Condiiile 1, 2i 3 implic: yxyx ,, = i

22112211 ,,, yxyxyyx +=+ .

Dac se restrng scalarii la corpul numerelor reale, 1 devine:1. Oricare ar fix, y Vrezult xyyx ,, = .

Definiia 16. Un spaiu vectorial peste corpul K pe care s-a definit un produs scalar senumete: 1. Spaiu vectorial euclidian, cnd K = R . 2. Spaiu vectorial unitar, cnd K = C .

Exemple 111. Fie x = (x1, x2, , xn) i y = (y1, y2, , yn) doi vectori oarecare din spaiul

vectorial real aritmetic nR . Aplicaia definit prin:

: nR nR R , )(..., 2211 yxyxyxyxyx nn =+++=

este un produs scalar pe

nR

.( nR , ) este un spaiu vectorial euclidian, iar produsul scalar definit maisus se numeteprodus scalar uzual (canonic) n nR .


24/165

18

2. Pe spaiul vectorial real al tuturor funciilor cu valori reale, continue pe un interval[a, b], ],[ baC , aplicaia definit: : ],[ baC ],[ baC R ,

=b

adttgtfgf )()(, este un produs scalar. ( ],[ baC , ) este un spaiu

vectorial euclidian.n continuare se discut cazul spaiilor euclidiene, proprietile care nu sunt valabile

n spaii unitare sunt menionate separat.

Definiia 17. Se numete lungimea (saunorma) unui vectorx Vn spaiul euclidian (V, ),

numrul real pozitiv: xx,x = .

Teorema 12. Dac (V, ) este un spaiu vectorial euclidian, atunci este satisfcutinegalitatea lui Cauchy-Schwarz:

yxyx , , oricare ar fi x, y V,

cu egalitate daci numai dac x i y sunt liniar dependeni ( = modulul numrului R

sau C - pentru spaii unitare).Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.20.Teorema 13. Fie (V, ) un spaiu vectorial euclidian. Aplicaia +RV: definit prin

xxx ,= este o norm pe V, adic satisface relaiile:

1. x >0, oricare ar fi x V, x 0, 0 = 0.

2. x = x , pentru orice R i x V.

3. yx + x + y , oricare ar fi x, y V (inegalitatea triunghiului).

Norma din aceast teorem se numetenorm euclidian.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.20.Observaia 12. Primele dou proprieti ale normei asigur c orice elementx din Vpoate fi scris

n forma x = x e, unde e = 1. Vectorul e cu proprietatea e = 1 se numete versor.

Evident, versorul asociat unui vector nenul este: xx

e =1

.

Observaia 13. Pe submulimea V-{0}, inegalitatea lui Cauchy-Schwarz, yxyx , , se

transcrie: 1,

1

yx

yx.

Aceast observaie justific urmtoarea definiie:Definiia 18. 1. Fie (V, ) un spaiu vectorial euclidian i x, y doi vectori nenuli din V.Numrul [0, ] definit de egalitatea:

yx

yx

=

,cos ,

se numete unghiul vectorilorxiy.2. Un spaiu vectorial dotat cu o norm se numetespaiu vectorial normat.3.Un spaiu vectorial normat n care norma provine dintr-un produs scalar se numete

spaiu prehilbertian.

n spaiul 0 ]e,1[C al funciilor continue pe intervalul [1, e] arat c =gf,


25/165

19

=e

dxxgxfx1

)()()(ln este un produs scalar.

R: Verific axiomele din definiia produsului scalar .S ne reamintim

Se numteprodus scalar pe un spaiu vectoral V, o aplicaie : VVK, ce verific patru axiome :

UnK- spaiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar se numetespaiu vectorialeuclidian cnd RK = ispaiu vectorial unitar cnd CK = .

I.1.9. Ortogonalitate ntr-un spaiu vectorial euclidian

Ortogonalitatea este una dintre cele mai importante relaii ntre vectorii unui spaiuvectorial euclidian.

Definiia 19. Fie (V, ) un spaiu euclidian. Doi vectori din Vse numesc ortogonali, dacprodusul lor scalar este nul. O submulime SVse numete ortogonal, dac vectorii si suntortogonali doi cte doi, adic 0, =yx , oricare ar fi x, y S, x y. O mulime ortogonal se

numeteortonormat, dac fiecare element al su este de lungime (norm) egal cu unitatea.

Propoziia 4. Fie (V, ) un spaiu euclidian, dim V = n.1.Orice mulime ortogonal din V, format din elemente nenule este liniar independent.2.Orice mulime ortogonal din V, care conine n elemente nenule este o baz a lui V.


Pentru studiul spaiilor vectoriale euclidiene se utilizeaz baze ortonormate.Conform definiiei 19, baza B = {e1, e2, , en} Veste ortonormat dac:

===

.,0

,,1,

jidac

jidacee ijji

Simbolul ij se numetesimbolul lui Kronecker.Teorema 14.(procedeul de ortonormare Gram-Schmidt) Fie (V, ) un spaiu euclidian i S= {v1, , vp} V o mulime de vectori liniar independeni.Exist o mulime ortonormat S = {e1, , ep} V de vectori astfel nct [S] = [S]. Dac S

formeaz o baz n V, atunci S este o baz ortonormat.Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.23.

Definiia 20. Dou subspaii vectoriale U, WVse numesc ortogonale (UW) dac pentruoricex Ui pentru oricey W, rezult 0, =yx (adic orice vector al lui Ueste ortogonal pe

orice vector al lui W).

Dac n plus, UW = V, atunci Wse numetecomplementortogonalal lui Ui se noteaz: W= U

.Observaia 14. Dou subspaii ortogonale au n comun doar vectorul 0, sau sunt disjuncte.

Definiia 21. O aplicaie bijectivh : U V ntre dou spaii euclidiene (U, g)i (V, g) senumete izomorfism dac:

1. Oricare ar fi ,R i pentru oricex, y Uare loc h(x + y) = =h(x) +h(y).2. Oricare ar fix, y R are loc g(x, y) = g(h(x), h(y)).

Teorema 15. Toate spaiile euclidiene, finit dimensionale sunt izomorfe ntre ele.Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.24.


26/165

20

S ne reamintimDoi vectori dintr-un spaiu vectorial euclidian se numescortogonali, dac

produsul lor scalar este nul.O submulime a unui spaiu vectorial euclidian se numete ortogonal, dac

vectorii si sunt ortogonali doi cte doi iortonormat, dac este ortogonalifiecare element al su are lungimea egal cu unitatea.

I.1.10. Rezumatn cadrul acestei uniti de nvare se prezint noiunile de: K-spaiu vectorial, una

dintre cele mai importante structuri algebrice, utilizate att n diferitele ramuri alematematicii ct i n disciplinele aplicate i de subspaiu vectorial al acestuia cuexemplificri, precum i operaii cu subspaii ale unui K-spaiu vectorial. Se definescnoiunile de liniar independeni liniar dependen a unui sistem de vectori. Submulimilede vectori liniari independeni i liniar dependeni permit definirea noiunilor de bazide dimensiune ale unui K-spaiu vectorial. Se prezint de asemenea spaiile vectorialepe care s-a definit un produs scalar, ceea ce permite concretizarea noiunilor de lungimea unui vector, unghi a doi vectori, ortogonalitate.

II..11..1111..Test de autoevaluare a cunotinelor

1. Continu definiia : Fie Vun K-spaiu vectorial i S = {xi}i IVo familie devectori din V. Mulimea Sse numete familie (mulime) liniar independent dac2. Definete noiunile de bazi dimensiune ntr-un K spaiu vectorial.3. Continu definiia: Submulimea V` se numete subspaiu vectorial al K

spaiului vectorial Vdac4. Continu definiiile: i) Fie Vun spaiu vectorial complex (C -spaiu vectorial).

Se numete produs scalar pe V, o aplicaieii) Se numete lungimea (sau norma)unui vectorx Vn spaiul euclidian (V, )

5. i) Enun inegalitatea lui Cauchy-Schwarz. ii) Definete noiunile de: vectoriortogonali, mulime ortogonali mulime ortonormat.

6. Stabilete care dintre urmtoarele mulimi de vectori sunt liniar independente: i)S1 = {x1 = (8, 1, 0), x2 = (6, 5, 1)}. ii) S2 = {x1 = (- 1, 5, 3), x2 = (- 2, - 5, 7),

x3 = (1, 2, 10)}.7. Studiaz care dintre urmtoarele submulimi din spaiul aritmetic 3R formeaz

subspaii vectoriale: i)S1 = {x = (x1, x2,, x3) 3

R | x1 + x2 + x3 = 5}, ii) S2 = {x =(x1, x2,, x3)

3R | x1 = 0}.

8. Fie [U] subspaiul generat de sistemul de vectori U = {(2, 3, 11, 5), (1, 1, 5, 2),(0, 1, 1, 1)}i [V] subspaiul generat de sistemul de vectori V = {(2, 1, 3, 2),(1, 1, 3, 4), (5, 2, 6, 2)}, [U], [V] 4R . Demonstreaz c aceste subspaii

generate sunt suplimentare. Verific teorema lui Grassmann.9. Fie ]X[nr spaiul vectorial real al polinoamelor de grad ni fie 1P mulimea

polinoamelor pare (p(X) = p(X))i 2P mulimea polinoamelor impare (p(X) =

p(X)). Arat c: i) 1P i 2P sunt subspaii vectoriale ale lui ]X[nr , ii) ]X[nr =

1P 2P .

II..11..1122.. RRssppuunnssuurriiii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree11..RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 44..22..RReevveezzii ddeeffiinniiiiiillee 55..ii 66..33..RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 99..44..ii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 1155.. iiii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 1177..55..ii)) RReevveezzii tteeoorreemmaa 1122.. iiii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 1199..66..ii))ii iiii))..77..iiii))..

88.. RReevveezzii ddeeffiinniiiiiillee 1111 --33 ii 1144.. 9. i) Verific condiiile din teorema 7 (decaracterizare a unui subspaiu vectorial). ii) Revezi definiia 11 i teorema 10(recitete i Exemple 10, aplicaia 2 a paragrafului I.1.7.


27/165

21

Unitatea de nvare I.2. Transformri liniare

Cuprins

I.2.1. Introducere.....................................................................................................................21I.2.2. Competene.................................................................................................................... 21II..22..33.. Noiunea de transformare liniar ...................................................................................21II..22..44.. Transformri liniare pe spaii vectoriale finit dimensionale.......................................... 24II..22..55.. Transformri liniare pe spaii vectoriale unitare (euclidiene) .......................................26I.2.6. Rezumat......................................................................................................................... 28I.2.7. Test de autoevaluare....................................................................................................... 29II..22..88.. RRssppuunnssuurriiii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree ................................................................................................................ 2299

I.2.1. Introducere

n studiul spaiilor vectoriale, un rol important este jucat de transformrile liniare.Un rol aparte este jucat de transformrile liniare bijective, numite izomorfisme de

spaii vectoriale. Cu ajutorul acestora din urm se pun n eviden anumite spaii

vectoriale, al cror studiu prezint o importan deosebit n cadrul studiului algebreiliniare, ele fiind izomorfe cu o clas ntreag de spaii vectoriale. Un astfel de

exemplu este spaiu vectorial aritmetic nr , care este izomorf cu orice -r spaiuvectorial n-dimensional.

I.2.2. Competenele unitii de nvare:

Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil: s defineasc i s exemplifice noiunile de transformare liniar, form liniar,transformare p-liniar, endomorfism, monomorfism, epimorfism, automorfism,izomorfism;

s decid cnd o aplicaie dat ntre dou spaii vectoriale este o transformare liniar; s defineasci s exemplifice noiunile de subspaiu imagine, nucleu i respectivcontraimagine i s le aplice n exerciii; s defineasc, s determine i s exemplifice noiunile de rang i defect al uneitransformri liniare; s determine matricea asociat unei transformri liniare n raport cu o pereche debaze considerate, precum i transformarea liniar corespunztoare acesteia, n anumiteipoteze; s defineasc noiunile de adjunct, respectiv transpus a unei transformri liniare,pe cele de endomorfism hermitian, respectiv simetric i antihermitian, respectiv

antisimetric, precum i pe cele de operator unitar, respectiv ortogonal, translaie iizometrie.


II..22..33.. NNooiiuunneeaa ddee ttrraannssffoorrmmaarree lliinniiaarr

Definiia 1. Fie V1i V2 dou -K spaii vectoriale. Se numete transformare liniar(operatorliniar) de la V1 la V2 orice aplicaie T : V1V2 cu proprietile:

1. Oricare ar fix, y V1, s rezulte T(x + y) = T(x) + T(y), (proprietatea de aditivitate).2. Pentru orice Ki oricare ar fix V1, s rezulte T(x) = T(x), (proprietatea de

omogenitate).


28/165

22

Condiiile 1i 2 sunt echivalente cu condiia:3. Oricare ar fi ,Ki pentru oricex, y V1, T(x +y) = T(x) +T(y).

Observaia 1. Operaiile din spaiile vectoriale V1i V2 au fost notate la fel, subnelegndu-se n caredin cele dou spaii acioneaz.

Observaia 2. Dac n particular V2 =K

atunci transformarea liniar T se numete formliniar pe V1.

Exemple 1

1. Fie K[X]-spaiul vectorial al polinoamelor n nedeterminataXcu coeficieni dincorpul comutativ K. Aplicaia de derivareD : K[X] K[X] este o transformareliniar, numitoperator de derivare.2. Fie Vun -K spaiu vectorial i UVun subspaiu vectorial al lui V. Aplicaia i : U V, i(x) = x, pentru orice x U este evident o transformare liniar, numit

aplicaia deincluziune.

3. Fie 0 ],[ baC -spaiul vectorial al funciilor reale, continue pe [a, b]. Aplicaia T :0

],[ baC

R, =b

adxxffT )()( , oricare ar fif 0 ],[ baC , este o transformare liniar.

Se noteaz:Hom K(V1, V2) = {T : V1V2|T - transformare liniar} sau LLLL KKKK (V1, V2)i secitete: mulimea transformrilor liniare de la V1 la V2. n cazul cnd V1 = V2 = V,transformarea liniar T : V V se numete endomorfism i LLLL KKKK (V) este mulimeaendomorfismelor peV.

Definiia 2. Se numetetransformare p-liniar de la V1 n V2, o aplicaieT : 2111 V

'-orip'"de

V...VV 44 344 21

liniar n fiecare argument.

n cazulp = 1 se obine definiia 1.

n continuare se va discuta numai cazul transformrilor liniare.

Propoziia 1. Mulimea L K(V1, V2) are o structur natural de -K spaiu vectorial n raportcu operaiile: oricare ar fi T1, T2L K(V1, V2), T1 + T2 : V1V2, (T1 + T2) (x) = T1(x) + T2(x),

pentru orice x V1. Oricare ar fi Ki pentru orice TL K(V1, V2), T : V1V2, (T) (x) = T(x), pentru orice x V1.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.38.Definiia 3. 1.TL K(V1, V2) injectiv, se numetemonomorfism.

2.TL K(V1, V2) surjectiv, se numete epimorfism.3. TL K(V1, V2) monomorfism i epimorfism (adic o transformare liniar i bijectiv) se

numete izomorfism de spaii vectoriale. Spaiile vectoriale V1i V2 n acest caz se numescspaii vectoriale izomorfe.

4. TL K(V) bijectiv, se numeteautomorfism.Propoziia 2. 1.Dac T : V1V2 este un izomorfism, atunci T

1 : V2V1 este de asemeneaizomorfism.

2. Dac T1 : V1V2i T2 : V2V3 sunt izomorfisme, atunci T2 o T1 : V1V3 este tot izomorfism(T2 o T1 : V1 V3, (T2 o T1)(x) = T2(T1(x)), pentru orice x V1i se numete compunerea

transformrilor liniare T1i T2).



29/165

23

Teorema 1.n raport cu operaiile de adunare i compunere a transformrilor liniare, mulimeaL K(V) are o structur de inel.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.39.Observaia 3. Mulimea izomorfismelor din L K(V) are o structur de grup fa de compunereatransformrilor.

Teorema 2. Dac T : V1V2 este o transformare liniar, atunci:1. T(0) = 0.

2. T(x) = T(x), oricare ar fi x V1.3. Dac V1 este un subspaiu al lui V1, atunci:

{ }vxTVxexistVvVT == )(,')'( 121 este subspaiu n V2.4. Dac V2 este un subspaiu n V2, atunci imaginea invers:

{ }2121 ')()'( VxTVxVT = este subspaiu n V1.


Consecina 1. 1. T(V1) este un subspaiu n V2, notat:Im T.2. T1(0) este un subspaiu n V1, notat:Ker T.3. T1(V2) este un subspaiu n V1.

Definiia 4. SubspaiileIm T, Ker T, T1(V2) se numescsubspaiuimagine, nucleui respectivcontraimagine.

Definiia 5. dim (Im T) se numeterangullui Ti se noteaz:rang T. dim(Ker T) se numetedefectullui Ti se noteaz:def T.

Propoziia 3. Fie T : V1V2 o transformare liniar. Atunci:1. T este injectiv, daci numai dac Ker T = {0}.

2. T este surjectiv, daci numai dac Im T = V2.Demonstraie: Rezult direct din definiia injectivitii i surjectivitii unei transformri liniare.

Propoziia 4. Dac T : V1V2 este o transformare liniar injectivi {x1, x2, , xn} V1 este omulime liniar independent de vectori din V1, atunci {T(x1), T(x2), , T(xn)} este o mulime liniarindependent de vectori din V2.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.41.Teorema 3. Fie Vi W douK-spaii vectoriale. Fie B = {e1, e2, , en} o baz a lui V, iar f1,

f2, , fn, n - vectori arbitrari din W.

1. Exist o transformare liniar unic T : VW care satisface T(ei) = fi, ni ,1= .2.Dac f1, f2, , fn sunt liniar independeni, atunci transformarea liniar T determinat

de condiiile T(ei) = fi, ni ,1= este injectiv.Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.41.Teorema 4. Fie TL K(V) o transformare liniar n spaiul vectorial V, dim V = n. Atunci areloc:

dim V = rang T + def T.Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.41-42.

Exemple 2

1.S se demonstreze c aplicaia T: 2R 3R definit prin: T((x1, x2)) = (x1, x2, x1

+ x2), este o transformare liniar.Soluie: T((x1, x2) + (y1, y2)) = T((x1 + y1, x2 + y2)) = (x1 + y1, x2 + y2, x1 + y1 + x2+ y2) =


30/165

24

= (x1, x2, x1 + x2) + (y1, y2, y1 + y2) = T((x1, x2)) + T((y1, y2)),

oricare ar fi (x1, x2), (y1, y2) 2

R . Analog:T((x1, x2)) = T((x1, x2)) = (x1, x2, x1 + x2) =(x1, x2, x1 + x2) =T((x1, x2)),

oricare ar fi R i pentru orice (x1, x2) 2

R .

Verific dintre urmtoarele aplicaii care sunt transformri liniare:i) T : 3R 3R , T(x) = (x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1), unde x = (x1, x2, x3). 3R .ii) T : 3R 4R , T(x) = (x1 + x2, 0, x1 + x2 + x3, x4).iii) T : 3R 3R , T(x) = (x1, x1 + x2, x2x3). R: i) i ii).

S ne reamintim

Fie 1V i 2V douk- spaii vectoriale. Se numetetransformare liniar de la

1V la 2V orice aplicaie 21: VVT cu proprietatea: 1Vyx,,, R

( ) ).()( yTxTyxT +=+ Dac n plus Teste bijectiv, atunci ea se

numete izomorfism. Dac 1V = 2V , atunci Tse numete endomorfism.{ } { }0)(|)0(;)(,exist| 1

112 =====

xTVxTvxTVxVv TKerImT .

II..22..44.. TTrraannssffoorrmmrrii lliinniiaarree ppee ssppaaiiii vveeccttoorriiaallee ffiinniitt ddiimmeennssiioonnaallee

Fie Vi Wdou -K spaii vectoriale, dim V = n, dim W = mi T : VWo transformareliniar.

Teorema 5. DacB = {e1, e2, , en} este o baz a lui V, iarB = {f1, f2, , fm} este o baz alui W, atunci exist o matrice i numai una A = (aij) de tipul m n astfel nct

=

=

m

i

iijj faeT

1

)( . n plus, dac =

=

n

j

jj exx

1

are imaginea ,)(

1

=

=

m

i

ii fyxT atunci

=

=

n

jjiji xay

1

, mi ,1= .


Dac se noteaz:

=

n

2

1

x

...

x

x

X ,

=

m

2

1

y

...

y

y

Y se obine scrierea matriceal: Y = AXa lui T.

Definiia 6. A, se numetematricea asociat transformrii liniare Tn raport cu perechea de bazeconsiderate.

n continuare se consider cazul particular al transformrilor liniare T L K(V),dimV = n.

Intereseaz n ce mod se schimb matriceaA a transformrii liniare Tla schimbri de bazn V.

5

Teorema 6. Dac A = (aij) i A = (aij) sunt matricele transformrii liniare T n bazele B respectiv B i S este matricea trecerii de la baza B la B n V, atunci:

A = S1A S.


Consecina 2. Rangul matricei asociate unei transformri liniare T ntr-o baz n V esteinvariant la schimbri de baze.


31/165

25

Definiia 7. MatriceleA, B )(nn KM se numesc asemenea dac exist o matrice nesingu-

larS )(nn KM , astfel nctB = S1A S.

Observaia 4. 1. Asemnarea matricelor este o relaie de echivalen pe spaiul vectorial)(nn KM . Fiecare clas de echivalen corespunde unui endomorfism T al lui V i conine toate

matricele asociate endomorfismului T relativ la bazele spaiului vectorial V.2. Matricele asemenea au urmtoarele proprieti:-Deoarece Seste nesingular, matriceleB = S1A SiA au acelai rang; acest numr se

mai numeterangul endomorfismului T i este asociat clasei de asemnare a matriceiA.-Deoarece: det B = det(S1) det(A) det(S) = det(A), toate matricele unei clase de

echivalen au acelai determinant. Astfel, se poate defini determinantul unui endomorfism alspaiului V, ca fiind determinantul matricei asociate endomorfismului relativ la o baz dat.

Exemple 3

1. Se considerT : 3R 3R , astfel nct T(e1) = (1, 1, 1), T(e2) = (0, 1, 0), T(e3) =

=(0, 1, 0), unde B = {e1, e2, e3}este baza canonic din3

R .

i) S se calculeze T(u), unde u = (1, 2, 3).ii)S se determine KerTiImT.

Soluie: i)Matricea lui Tn baza B este:

=

001

111

001

A .

Din relaia: Y = AXse obine:

++=

=

1

321

1

3

2

1

001111

001

xxxx

x

xx

x

Y ,

adic: T(x) = (x1, x1 + x2 + x3, x1), deci T(u) = (1, 6, 1).

ii)KerT = {x 3R |T(x) = 0}, de unde rezult:

=

=++

=

,0

,0

,0

1

321

1

x

xxx

x

sistem liniar omogen, simplu nedeterminat, cu soluiax1 = 0, x2 = , x3 = ,adicKerT = {(0, , ) |R}.

Din definiie,ImT = {y 3R |T(x) = y}, deci:

=

=++

=

,

,,

31

2321

11

yx

yxxxyx

undey =

(y1, y2, y3).Se noteazy1 = y3 = miy2 = n astfel nct:ImT = {(m, n, m) |m, n R}.

2. S se determine rangul i defectul transformrii liniare T : 3R 3R definitprin:

T(x) = (x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3), x = (x1, x2, x3) 3

R ,

explicitnd cte o baz n KerTiImT.

Soluie: Conform definiiei, KerTeste mulimea vectorilorx = (x1, x2, x3) 3

R


32/165

26

pentru care T(x) = 0, deci: (x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3) = (0, 0, 0).

Se obine sistemul:

=++

=++

=++

,0

,0

,0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

dublu nedeterminant i care are soluia (x1, x2, x1x2).

n concluzie orice vectorx KerTare forma:x = (x1, x2, x1x2) = x1(1, 0, 1)+ x2(0, 1, 1). Vectorii e1 = (1, 0, 1)i e2 = (0, 1, 1) sunt liniari independeni, deaceea {e1, e2}este o baz pentru KerTi dim KerT = 2. Se obine cdef T = 2.

Avnd n vedere definiia subspaiului ImTi definiia lui Trezult c orice vectordinImTare toate componentele egale. Deci oricare doi vectori din aceast mulimesunt liniari dependeni.Dacx ImTatunci x se poate exprima funcie de vectorulf= (1, 1, 1). O baz nImTeste format de acest vector, rezult crang T = 1.

Determin transformarea liniarT : 3R 3R astfel nct T(vi) = ui, i = 3,1 , unde

v1 = =(2, 3, 5), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 0, 0)i respectiv u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, -1), u3 =(2, 1, 2).R: T(x) = (2x1 -11x2 +6 x3, x1 - 7x2 + 4x3, 2x1 - x2 ) , undex = (x1, x2, x3).

S ne reamintim

Matricea asociat transformrii liniare T, ( WVT : ) n raport cu perechea debaze considerate, are coloanele alctuite din coordonatele vectorilor

),...(),( 21 eTeT )(, neT n raport cu baza W.

Scrierea matriceal a lui T: .XAY =

II..22..55.. TTrraannssffoorrmmrrii lliinniiaarree ppee ssppaaiiii vveeccttoorriiaallee uunniittaarree ((eeuucclliiddiieennee))Definiia 8. Fie V, Wdou spaii vectoriale unitare (n particular euclidiene) cu produsul scalar,care s-a notat la fel: < , > i fie T LK(V, W).

1. Transformarea liniarT* : WVdefinit prin relaia:

yxTyTx ),()(, *= , oricare ar fix Wi pentru oricey V

se numeteadjuncta (respectiv:transpusa) transformrii liniare T.2. Un endomorfism T L K(V) se numetehermitian (respectiv:simetric) dacT

* = T.3. Un endomorfism T L K(V) se numete antihermitian (respectiv:antisimetric)

dacT = T*.

Teorema 7. Fie (V, ) un spaiu vectorial unitar, dim V = n. Endomorfismul T L K(V) estehermitian daci numai dac produsul scalar )(, xTx este real oricare ar fi x V.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.44.Teorema 8. Fie (V, ) un spaiu vectorial unitar, dim V = n, TL K(V)i T

*L K(V) adjunctasa.

Dac matricea lui T ntr-o baz ortonormat B este A, atunci matricea lui T* n baza B

este A* = AT , matricea adjunct a lui A (elementele lui A* se obin prin transpunereaconjugatelor complexe ale elementelor din A).


Teorema 9. Fie (V,) un spaiu vectorial unitar. Fie *1T , *2T adjunctele transformrilorliniare T1, T2. Atunci:


33/165

27

1. (T1 + T2)* = *1T +

*2T .

2. (T1 o T2)* = *2T o

*1T .

3. (T*)* = T.4. (T)* = T*, pentru orice K.5. (1

V)* = 1

V, (0)* = 0.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.45-46.Definiia 9. Fie (V, < , >) un spaiu vectorial unitar (sau euclidian, n particular), dim V = n. Unendomorfism T : V Vse numeteoperator unitar (respectivortogonal), dac transform oricebaz ortonormat ntr-o baz ortonormat, n spaiul Vcomplex (respectiv real).

Definiia 10. O matriceA = (aij) )(n RM se numetematriceortogonal dac este inversa-

biliA1 = AT .Teorema 10. Fie (V, ) un spaiu vectorial euclidian, dim V = n. Dac T : V V este unendomorfism, atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

1. T este operator ortogonal.2. T pstreaz produsele scalare.3.Matricea A n orice baz ortonormatB V are proprietatea AT = A1.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.46-47.Consecina 3.Din condiia2 rezult c un operator ortogonal pstreaz distanelei unghiurile.

Propoziia 5. Dac A )(n RM este o matrice ortogonal, atunci det A = 1.Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.47.Definiia 11. O matrice ortogonal A )(n RM , cu det A = +1 se numetematrice derotaie

n nR .

Definiia 12. Mulimea matricelor ortogonale este un subgrup al grupului GL(n, R) numitgrupulortogonal i notat O(n), iar mulimea matricelor de rotaie este un subgrup al lui O(n) numitgrupul special ortogonal, notat: SO(n).

Observaia 6. Exist i alte transformri (aplicaii) pe spaii euclidiene, n afara transformrilorortogonale, ce pstreaz distana euclidian: translaia i izometria, care se vor defini ncontinuare.

Definiia 13. Fie V un spaiu vectorial euclidian. Funcia VV: T definit prin T(x) = x + a,oricare ar fix Vi a V, a fixat se numetetranslaie de vector a.Observaia 7. ntruct T(x + y) = x + y + ai T(x) + T(y) = x + y + 2a rezult T(x + y) T(x)+

+ T(y) n cazul a 0, deci translaia de vector a 0 nu este un operator liniar.Propoziia 6. 1. DacT1 este o translaie de vector a1, iarT 2 este o translaie de vector a2,atunci T1 o T2 = T2 o T1 este tot o translaie de vector a1 + a2.

2. DacT este o translaie de vector a, atunci T1 existi este translaia de vector (a).3. Orice translaie pstreaz distana euclidian.Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.48.Consecina 4. Compunerea definete pe mulimea tuturor translaiilor lui Vo structur de grupcomutativ, numitgrupul translaiilor, care este izomorf cu grupul aditiv comutativ V.

Definiia 14. O funcie f : VV, surjectivi care pstreaz distana euclidian se numeteizometrie.

Observaia 8. 1. Dac se are n vedere definiia, transformrile ortogonale i translaiile suntizometrI.


34/165

28

2. Dacf1, f2 : VVsunt izometrii atunci i compunerea lor este tot o izometrie.

Teorema 11. Fie V un spaiu vectorial euclidian i f : VV o izometrie. Atunci:1. Dac f(0) = 0, f este o transformare ortogonal.

2. Exist o translaie VV: T i o transformare ortogonal VV: S astfel nct f = =To S. Se admite c V este un spaiu vectorial euclidian.


Exemple 4

1. S se gseasc transformarea liniar adjunct urmtoarei transformri liniare din

spaiul euclidian menionat: T : nR nR , T(x) = (x1 + x2, x2 + x3, ..., xn1 + xn, xn +x1), iar < , > este produsul scalar uzual.Soluie: Matricea transformrii liniare T, relativ la baza canonic a spaiului

vectorialn

R

este:

=

1...001

1...000...............

0...100

0...110

0...011

A .Cum baza spaiului vectorialn

R

este

ortonormat, se obine c matricea transformrii adjuncteA* = AT (real).

Aadar T*(x) are componentele date de matricea AT X, adic:T*(x) = (x1 + xn, x1 + x2, x2 + x3, ..., xn1 + xn).

Arat c urmtoarea transformare liniar este hermitian: T: 3R 3R , ncare < , > este produsul scalar uzual i aplicaia T(x) = (11x1 + 2x28x3, 2x1 + 2x2 +

+10x3, 8x1 + 10x2 + +5x3).R:T* = T.

S ne reamintim

Se numeteadjuncta (respectiv: transpusa) transformrii liniare T L K(V, W)

transformarea liniarT* : WV, .,,),()(, * VyWxyxTyTx =

Un endomorfism se numetehermitian (respectiv:simetric) dacT* = Tiantihermitian (respectiv:antisimetric) dacT = T*n spaiul Vcomplex (respectivreal).

AA T=* (elementele adjunctei lui A se obin prin transpunerea conjugatelor

complexe ale elementelor din A)O matriceA )(n RM se numetematriceortogonal dac este inversabili

A1 = AT .

II..22..66..Rezumatn cadrul acestei uniti nvare, alturi de noiunea fundamental de spaiu

vectorial se studiaz o clas particular de aplicaii ntre dou spaii vectoriale ianume, acelea care conserv operaiile ce definesc structurile acestor spaiivectoriale. Astfel, se prezinti se exemplific noiunile de transformare liniar, deform liniar, de monomorfism, epimorfism, automorfism i de izomorfism. Se

prezint apoi transformrile liniare pe spaii vectoriale finit dimensionale, precum itransformrile liniare pe spaii vectoriale unitare (euclidiene). Astfel, se definesc, sedetermin, se exemplific noiunile de matricea asociat transformrii liniare T n


35/165

29

raport cu perechea de baze considerate, matrice asemenea, adjuncta unei transformriliniare, endomorfism hermitian, antihermitian, operator ortogonal, matriceortogonal, matrice de rotaie, translaia de vector a i izometria .

II..22..77..Test de autoevaluare1. Continu definiiile: i) Fie V1 i V2 dou -K spaii vectoriale. Se numete

transformare liniar (operator liniar) de la V1 la V2 ii) Se numetetransformare p-liniar de la V1 n V2,

22.. Continu definiiile: i) se numete monomorfism. ii) se numeteepimorfism. iii) se numete izomorfism de spaii vectoriale. iv) se numete automorfism.

33.. DDeeffiinneettee ssuubbssppaaiiiillee KKeerr TTii IImm TT..44.. Continu definiiile: i) Matricele A i B )(nn KM se numec asemenea

dac ii) se numete adjuncta (transpusa) transformrii liniare T. iii) Unendomorfism T L K(V) se numete hermitian (simetric) daciv) Unendomorfism T LK(V) se numete antihermitian (antisimetric) dac

5. Definete noiunile de: i) operator unitar (ortogonal); ii) matrice ortogonal;iii) matrice de rotaie; iv) translaie de vector a; v) izometrie.

6. Verific dintre urmtoarele aplicaii care sunt transformri liniare: i) T : 3R 3R , T(x) = x , undex = (x1, x2, x3)

3R , R . ii) T : 3R 3R ,

T(x) = (x1, x2, (x3)2 ), undex = (x1, x2, x3)

3R .

7. Determin transformarea liniar T : 3R 3R astfel nct T(vi) = ui, i =3,1 , unde v1 = (2, 1, 6), v2 = (0, 0, 1), v3 = (1, 0, 1) i respectiv u1 = (1, 0, 0),

u2 = (2, 0, 1), u3 = (0, 0, 6).

II..22..88.. RRssppuunnssuurriiii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree11.. ii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 11..iiii)) )) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 22..22.. ii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 33..--11.. iiii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 33..--22..iiiiii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 33..--33.. iivv))

RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 33..--44..33.. RReevveezzii ccoonnsseecciinnaa 11..ii ddeeffiinniiiiaa 44..44.. ii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 77.. iiii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 88..--11..iiiiii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 88..--22.. iivv))

RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 88..--33..55.. ii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 99 ..iiii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 1100.. iiiiii)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 1111.. iivv))

RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 1133.. vv)) RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 1144..66.. ii)) eessttee oo ttrraannssffoorrmmaarree lliinniiaarr..7. T(x) = (-2x1+5x2 +2 x3,0, 5 x1 - 46x2 + x3 ) , undex = (x1, x2, x3).


36/165

30

Unitatea de nvare I.3.Valori proprii. Vectori propriiCuprins

I.3.1. Introducere .................................................................................................................... 30I.3.2. Competene .................................................................................................................. 30II..33..33.. Valori i vectori proprii................................................................................................. 30

II..33..44.. Reducerea unei matrice la forma diagonal .................................................................. 33II..33..55.. FFoorrmmaa JJoorrddaann.................................................................................................................................................................................................................................. 3355I.3.6. Rezumat ......................................................................................................................... 37I.3.7. Test de autoevaluare....................................................................................................... 38II..33..88.. RRssppuunnssuurriiii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree .............................................................................................................. 3388

I.3.1. Introducere

Legea de schimbare a matricelor unei transformri liniare n diverse baze ale unui K-spaiu vectorial V, finit dimensional, conduce la punerea urmtoarei probleme: fiind dat unendomorfism T L K(V) se cere s se determine o baz B n Vastfel nct matriceaataat lui Tn aceast baz,A, s aib o form ct mai simpl: diagonal, triunghiular,Jordan. Soluia acestei probleme necesit folosirea unor mrimi ca: valori proprii, vectoriproprii, polinom caracteristic etc.care se introduc n continuare. Conceptele de valoareproprie i vector propriu ale unui endomorfism sunt n strns legatur cu noiunea desubspaiu invariant al unui endomorfism.

I.3.2. Competenele unitii de nvare:

Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil:s defineasc i s determine valorile proprii ale unei transformri liniare, precum ivectorii proprii corespunztori fiecrei valori proprii;

s enune i s utilizeze teorema lui Hamilton-Cayley n scopul determinrii inverseiunei matrici, precum i a valorii unui polinom pentru o matrice dat; s studieze posibilitatea reducerii unei matrice la forma diagonali n caz afirmativ sgseasc matricea diagonalizatoare, pentru un endomorfism caracterizat de matricea dat;-- s determine forma Jordan pentru o matrice dat.


II..33..33.. VVaalloorriiii vveeccttoorrii pprroopprriiii

Fie Vun K-spaiu vectorial de dimensiune ni T LK(V) un endomorfism al lui V.

Definiia 1. Un vector x V {0}, se numete vector propriu al transformrii liniareTLK(V) dac existK astfel nct T(x) = x (sau (T1V)(x) = 0)). Scalarul se numetevaloare proprie a lui T, iarx se numete vectorpropriu al lui T, corespunztor valorii proprii .Mulimea tuturor valorilor proprii ale lui Tpoart numele despectrullui T.

Teorema 1.Dac K este o valoare proprie pentru T LK(V), atunci mulimea tuturorvectorilor proprii corespunztori valorii proprii , plus vectorul nul al spaiului, este unsubspaiu vectorial al lui V, invariant n raport cu T.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.57.V() se numetesubspaiu propriu corespunztor valorii proprii.


37/165

31

n plus, oricare ar fi x V () rezult c T(x) = x (deci T(x) este o combinaie liniar avectoruluix), rezult cT(x) V ().

Teorema 2. 1. La un vector propriu al lui T, corespunde o singur valoare proprie.2. Vectorii proprii corespunztori la valori proprii distincte sunt liniar independeni.3. Subspaiile proprii corespunztoare la valori proprii distincte, sunt disjuncte.


Observaia 1. Odat cunoscute valorile proprii ale transformrii liniare T, sau - ceea ce esteacelai lucru - ale matriceiA, sistemul de mai sus permite determinarea vectorilor proprii ataai.

Deoarece orice vector propriu este nenul, sistemul liniar i omogen obinut mai sus aresoluii nenule, deci:

0

a...aa

............

a...aa

a...aa

nn2n1n

n22221

n11211

=

,

ceea ce arat c valorile proprii ale transformrii liniare Tsunt rdcinile polinomului de grad n:P() = det(A In) numit polinomcaracteristic al transformrii liniare T n baza B , sau

polinom caracteristic al matriceiA.

Teorema 3. Polinomul caracteristic al matricei A are expresia:

P() = (1)n [n1n1 + 2n2 + ... + (1)n n],

unde 1 = a11 + ... + ann, 2 = suma minorilor principali de ordinul doi cu elemente de pediagonala principal, ai matricei A I

n, ...,

n= det A.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.59-60.Definiia 2. Ecuaia det(A In) = 0 se numete ecuaia caracteristic a transformrii liniare T,sau ecuaia caracteristic a matriceiA.

Observaia 2. Rdcinile din K ale ecuaiei caracteristice sunt valorile proprii ale transformriiliniare T.

Propoziia 1. Polinomul caracteristic al unei transformri liniare este invariant fa de

schimbrile de baz ale spaiului vectorial.


Teorema 4. (Teorema Hamilton-Cayley) Orice matrice este rdcin a propriului su polinomcaracteristic.


Teorema 5.Dou matrice asemenea au acelai polinom caracteristic.

Demonstraie: FieA=S1 ASi P() = det(A In), P() = det(A In). Atunci: P() = det(A In) = det(S1A S In) = det(S1A S S1S) = det((S1) (A In) S) = det(S1) det(A -In) det S = det(A In) = P().

Exemple 11. Fie T: 4R 4R endomorfismul dat prin matricea:


38/165

32

=

2112

1012

2410

1201

A .

S se determine valorile proprii i vectorii proprii ai endomorfismului T.

Soluie: ( )

=

2112

112

2410

1201

P = (1)4.

Polinomul caracteristic P() are drept rdcini valorile proprii ale matricei A.Din ecuaia P() = 0 se obine 1 = 2 = 3 = 4 = 1 valoare proprie multipl de

ordinul patru. Din ecuaia matriceal (A 1I4)X = O4, unde

=

4

3

2

1

x

x

x

x

X , se obine

sistemul:

=+

=

,02

,02

4321

43

xxxx

xxcu soluia:

=

=

+=

=

.,,2

,

,2

,

4

3

2

1

R

x

x

x

x

Aadar valorii proprii 1 = 1 i corespund doi vectori proprii liniar independeni: v1

= (1, 2, 0, 0)i v2 = (0, 1, 1, 2), baz a subspaiului propriu V (1) = {v1 +v2 |,R}.

2.Folosind teorema Hamilton-Cayley s se calculeze A1 pentru matricea:

=

300

020

101

A .

Soluie: Polinomul caracteristic al matriceiA este: ( )

=

300

020

101

P =

3 62 + +11 6. Conform teoremei Hamilton-Cayley rezult:A3 6A2 + 11A 6I3 = O3.

Relaia de mai sus poate fi pus n forma:A(A2 6A + 11 I3) = 6 I3.

Rezult:

=+=

3100

02

10

3

101

)116(6

13

21IAAA .


39/165

33

DDeetteerrmmiinn valoarea polinomului matriceal P(A) = A4 4A3 + 6A2 4A + I4, pentru

matricea:

=

3222

5233

7254

4132

A . R: P(A) = O4 .

S ne reamintim

Rdcinile din K ale ecuaiei caracteristice:det(A In) = 0 sunt valorileproprii ale transformrii liniare T.

Sistemul scris matriceal:det(A In) = 0permite determinarea vectorilor propriiataai.Teorema Hamilton-Cayley: Orice matrice este rdcin a propriului su polinomcaracteristic.

II..33..44.. RReedduucceerreeaa uunneeii mmaattrriiccee llaa ffoorrmmaa ddiiaaggoonnaall

Deoarece matricea oricrui endomorfism T : VVdepinde de alegerea bazei n spaiulvectorial V, prezint interes cazul cnd se poate gsi o baz n V fa de care matriceaendomorfismului Ts aib o form ct mai simpl.

Fie Vun K-spaiu vectorial de dimensiune n.

Definiia 3. Un endomorfism T : VVse numetediagonalizabildac exist o baz{e1, e2, ,en} astfel nct matricea lui n aceast baz s fie diagonal (are toate elementele nule, n afar decele de pe diagonala principal).

Matricele din clasa de asemnare care i corespunde endomorfismului Tse numescmatricediagonalizabile.

Teorema 6.Un endomorfism T : VV este diagonalizabil daci numai dac exist o baz aspaiului vectorial V, format din vectori proprii ai endomorfismului.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.62.Teorema 7.Dimensiunea unui subspaiu propriu al endomorfismului T : VV este cel mult egal cuordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunztoare subspaiului.


Teorema 8. Un endomorfism T : V V este diagonalizabil daci numai dac polinomulcaracteristic are toate rdcinile n corpul comutativ K, peste care este luat Vi dimensiunea

fiecrui subspaiu propriu este egal cu ordinul de multiplicitate al valorii propriicorespunztoare.

Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.63.Consecina 1.Dac T : VV este diagonalizabil, atunci:

V = V (1) V (2) ... V (p).

Concluzii: Practic, pentru diagonalizarea unui endomorfism T : V V se procedeaz n felulurmtor:

1. Se fixeaz o baz n Vi se determin matriceaA = (aij) a endomorfismului Tn aceast baz.2. Se determin valorile proprii, care sunt soluiile n K ale ecuaiei P() = 0.3.

Dac existp (p n) valori proprii distincte 1, ..., p cu ordinele de multiplicitate m1, ..., mp, secalculeaz rangul fiecrei matriceA jIn, pj ,1= . Dacrang (A jIn) = n mj, pj ,1= ,


40/165

34

dim V (j) = dim(Ker(A .jIn)) este numrul de soluii independente ale sistemuluiomogen (A jIn) X = On , atunci Teste diagonalizabil.

4. Se rezolv cele p sisteme omogene (A jIn) X = On . Un sistem fundamental de soluiipentru un asemenea sistem, reprezint coordonatele vectorilor proprii corespunztori valoriiproprii j.

5. Matricea endomorfismului T, n raport cu baza format din vectorii proprii ai lui T, are pediagonal elementele 1, ...,1, ...,p, ...,p, adic valorile proprI.6. Se noteaz prinA )(nn KM matricea diagonal ataat endomorfismului T, n raport cu

baza format din vectorii proprii ai lui T.DacS )(nn KM este matricea ale crei coloane sunt vectorii proprii care alctuiesc noua

baz a lui V, adic matricea de trecere de la baza iniial din V(baza canonic n nR ) la bazaformat din vectorii proprii, atunci A = S1A S.

Exemple 2

S se cerceteze dac matricea A =

5201

21000010

1001

este diagonalizabil. n caz

afirmativ s se determine matricea diagonal.

Soluie: Polinomul caracteristic al matricei A este:

=

5201

2100

0010

1001

)(P = (1 )2 ( 6).

Rezult valorile proprii reale: 1 = 0, 2 = 3 = 1i 4 = 6.

Deoarece rangul matricei A 1I4 este egal cu 3, se obine un singur vectorpropriu liniar independent corespunztor lui 1.

Ecuaia matricial (A 1I4) X = O4 , X = T(x1, x2, x3, x4) este echivalent cu

sistemul:

=

=

=+

,02

,0

,0

43

2

41

xx

x

xx

cu soluia:

=

=

=

=

.,

,2

,0

,

4

3

2

1

R

x

x

x

x

Vectorul propriu liniar independent corespunztor lui 1 = 0 este: v1 = (1, 0, 2, 1).Deci dim V (1) = 1 = ordinul de multiplicitate al valorii proprii 1.Analog, rang(A 2I4) = 2 i deci valorii proprii duble 2 = 3 = 1 i

corespund doi vectori proprii liniar independeni. Ecuaia matricial(A 2I4) X =O4, este echivalent cu sistemul:

=+

=

,042

,0

431

4

xxx

xcu soluia:

=

=

=

=

.,,0

,

,

,2

4

3

2

1

R

x

x

x

x

Aadar, valorii proprii 2 i corespund vectorii proprii liniar independeni:


41/165

35

v2 = (0, 1, 0, 0)i v3 = (2, 0, 1, 0). Deci dim V (2) = 2 = ordinul de multiplicitate alvalorii proprii 2.Rang(A 4I4) = 3i deci valorii proprii 4 = 6 i corespunde unsingur vector propriu liniar independent. Efectund calculele, rezult:

v4 = (1, 0, 2, 5).Astfel, dim V (4) = 1 = ordinul de multiplicitate al valoriiproprii 4.n concluzie, matriceaA este diagonalizabil.

Vectorii v1, v2, v3, v4 constituie o nou baz n 4R , iar matricea de trecere la aceast baz

este:

=

5001

2102

0010

1201

S . De unde se obine:A = S1A S

=

6000

0100

0010

0000

.

Cerceteaz dac matricea A=

103

012

325

, este diagonalizabil. n caz afirmativ

determin matricea diagonal. R: A=

700

020000

.

S ne reamintim

Un endomorfismT : VVestediagonali

algebra liniara geometrie analitica ecuatii diferentiale

Documents