1

CURS 1

CAPITOLUL I - GEOMETRIE VECTORIALA

§ 1 VECTORI LIBERI

Notăm cu E3 mulţimea punctelor din spaţiul înconjurător. Vom utiliza toate noţiunile, relaţiile şi

rezultatele din geometria in spaţiu precum:

- punctele notate A,B,C,... şi care sunt elementele primare, cele mai mici în sensul incluziunii,

ce aparţin spaţiului E3.

- dreptele, ce sunt mulţimi de puncte cu proprietăţi specifice notate d,e,d1,d2,...

- planele ce sunt mulţimi de puncte, cu alte proprietăţi, notate 1 2α, β, γ, π , π ,...

Axiomele pe care le respectă aceste noţiuni primare (împreună cu relaţiile de apartenenţă, de

congruenţă şi relaţia între, constituind modelul axiomatic al geometriei in spaţiu) se numesc Axiomele

lui Hilbert. Ele sunt structurate pe V grupe, modelul matematic rezultat fiind modelul axiomatic al

geometriei în spaţiu.

Definiţia1.1. Pentru A, B E3 x E3 AB numim segment orientat cu originea în A şi cu

extremitatea in B perechea (A,B) E3 x E3 notata AB .

În particular segmentul orientat cu aceeaşi origine şi extremitate , se numeşte segment

orientat nul. Adică AA este segmentul orientat nul.

Observaţie Pentru AB segment orientat nenul putem vorbi de dreapta AB numind-o dreapta

suport a segmentului orientat AB . Mai mult, existenţa unui segment orientat pe dreapta sa suport,

determină un sens de parcurs, dreapta împreună cu sensul de parcurs ales se numeşte dreaptă

orientată. Evident pe o dreaptă avem doar două sensuri de parcurs. Alegerea unuia sau a altuia din

acestea o simbolizam considerând segmentul de dreaptă ce apare in desen ca un segment orientat cu

originea şi extremităţile nenotate.

Definiţia1.2. Spunem ca două segmente orientate nenule au aceeaşi direcţie dacă dreptele

lor suport sunt paralele sau coincid.

Pentru exemplificare AB şi CD au aceiaşi direcţie :

B A

2

rezultând că pentru segmentele orientate nenule de aceiaşi direcţie avem două cazuri.

Dacă au aceiaşi dreapta suport orientarea datorată segmentelor orientate AB şi CD poate fi

aceiaşi sau diferită.

Dacă au drepte suport paralele, atunci extremităţile pot fi sau nu separate de dreapta

determinată de origini.

Putem astfel, pentru două segmente orientate nenule de aceeaşi direcţie să definim când acestea au

acelaşi sens sau au sensuri contrare.

Definiţia 1.3.

Spunem că două segmente orientate nenule ce au aceiaşi dreaptă suport sunt de acelaşi

sens dacă orientările induse de ele pe dreaptă coincid şi că sunt de sensuri diferite dacă orientările

induse nu coincid.

Spunem că două segmente orientate nenule ce au aceiaşi direcţie cu dreptele suport paralele

şi neconfundate sunt de acelaşi sens dacă extremităţile nu sunt separate de dreapta ce uneşte

originile în planul determinat de dreptele suport şi că au sensuri contrare dacă extremităţile sunt

separate de dreapta determinată de origini.

Exemplu

a) AB şi CD au acelaşi sens:

A

C

B D

A

B

C

D A

B

C

D

A

B

C

D

3

b) AB şi CD au sensuri contrare:

Pentru segmentul orientat AB putem vorbi de lungimea sa ca fiind numărul real egal cu distanţa de la

A la B. Utilizăm pentru lungimea lui AB notaţia | AB | sau || AB || sau, atunci când nu este pericol de

confuzie cu dreapta suport, AB. Adică prin DAB înţelegem evident că punctul D aparţine dreptei AB

iar expresia AB+CD o înţelegem ca suma lungimilor segmentelor orientate AB şi CD .

Definiţia 1.4. Spunem că segmentele orientate AB şi CD nenule sunt echipolente şi notăm

AB ~ CD dacă au aceiaşi direcţie, lungime şi sens.

Proprietatea 1.1. Relaţia de echipolenţă a segmentelor orientate este o relaţie reflexivă,

simetrică şi tranzitivă (adică o relaţie de echivalenţă E3 x E3).

Demonstraţie

AB are aceiaşi direcţie cu AB (dreptele lor suport coincid) aceiaşi lungime (evident) şi acelaşi

sens (evident). În consecinţă AB ~ AB deci relaţia este tranzitivă.

A B C D

A

B

C

D

A B C D

A

B C

D

4

Dacă AB ~ CD atunci AB are aceiaşi direcţie, sens şi lungime cu CD deci CD are aceiaşi

direcţie, sens şi lungime cu AB , adică CD ~ AB .

Dacă AB ~ CD şi CD ~EF avem AB are aceiaşi direcţie cu CD care are aceiaşi direcţie

cu EF . Rezultă că AB are aceiaşi direcţie cu EF . Pentru a arăta că dacă AB , CD au acelaşi

sens iar CD , EF la fel rezultă că AB , EF au acelaşi sens, trebuie să folosim teorema lui Desarque

pentru triunghiuri omologice (vezi Anexa III). Dacă AB şiCD au aceiaşi lungime iar CD şiEF la

fel rezultă din tranzitivitatea relaţiei de egalitate în R că AB şi EF au aceiaşi lungime. În consecinţă

AB ~EF , deci relaţia este tranzitivă.

Definiţia 1.5. Clasele de echivalenţă ale relaţiei de echipolenţă a segmentelor orientate se

numesc vectori liberi sau simplu vectori. Notăm mulţimea vectorilor liberi cu V3 iar pentru clasa de

echivalenţă a segmentului orientat AB folosim notaţia AB .

Observaţie Aşadar prin vectorul liber AB înţelegem mulţimea segmentelor orientate

echipolente cu segmentul orientat AB adică :

AB ={ CD | AB ~ CD }.

Dacă AB AB sau CD AB spunem că AB şi CD sunt doi reprezentanţi ai vectorului AB . Evident

pentru vectorul AB cu A B putem vorbi de direcţia sa : ca fiind fasciculul de drepte paralele sau

confundate cu AB, putem vorbi de lungimea sa : ca fiind numărul real notat | AB | sau || AB || sau AB şi

egal cu lungimea unui reprezentant al sau, putem vorbi de sensul vectorului AB : ca fiind sensul indus

pe fascicolul de drepte paralele cu un reprezentant, de exemplu, de AB .

Utilizăm pentru vectori şi notaţiav , atunci când nu avem nevoie de precizarea unui

reprezentant, apartenenţa AB v însemnând că v = AB .

Astfel definim egalitatea vectorilor având : v =w dacă există un segment orientat ce este

reprezentat pentru ambii vectori, adică există AB v şi ABw.

Evident AB CD implică AB CD . Clasa de echivalenţă a segmentului orientat nul o numim vectorul

nul şi o notam cu o. Adică 0 o. Folosim in continuare următoarele noţiuni:

Definiţia 1.6. Doi sau mai mulţi vectori nenuli care au aceiaşi direcţie se numesc vectori

coliniari. Doi vectori coliniari care au aceiaşi lungime şi sensuri opuse se numesc vectori opuşi.

Preferam notaţia a pentru opusul vectorului a. Trei sau mai mulţi vectori se numesc vectori

coplanari dacă există un plan astfel încât direcţiile lor sunt paralele sau conţinute în acest plan.

Negaţiile celor două noţiunii definesc relaţiile de necoliniaritate respectiv necoplanaritate a vectorilor.

Propoziţia 1.2. Fie O E3 un punct fixat numit origine. Atunci aplicaţia :

0: E3 V3, 0(M) = OM , M E3.

5

este bijecţie, vectorul OM numindu-se “vectorul de poziţie” al punctului M faţă de originea O.

Demonstraţie Din 0(M) = 0(N) avem OM = ON adică OM ON adică O nu se găseşte

pe segmentul MN iar | OM | = | ON | de unde rezultă M = N, deci 0 este injectivă. Pentru v V3 fie

AB v cu 0 AB . Notăm cu C punctul construit astfel ca ABCO sa fie paralelogram.

Evident OC AB deoarece OC|| AB şi OC AB , iar OA nu separă extremităţile B şi C.

Atunci OC AB v , iar 0(C) = OC =v de unde avem că 0 este surjectivă. În concluzie

bijectivitatea este demonstrată, obţinând astfel un prim model matematic, eficient, de investigare al

spaţului E3 în care avem fixat un punct, model ce apelează la proprietăţi ale mulţimii vectorilor liber.

§ 2 SPAŢIUL VECTORIAL AL VECTORILOR LIBERI

Vom înzestra mulţimea vectorilor liberi cu o structură de spaţiu vectorial de dimensiune trei.

Definiţia 2.1. Prin suma vectorilor a,b V3 înţelegem vectorul liberc cu reprezentantul

OC unde OACB este un paralelogram cu laturile OA a şi OB b.

Notăm c =a +b sau OC = OA OB

Observaţie În definiţia de mai sus a adunării vectorilor (adunare despre care spunem că s-a

făcut cu regula paralelogramului) a intervenit punctul OE3. Pe baza bijecţiei din Propoziţia 1.2. notăm

:

1 1 1 1

O O' O O'Φ a A, Φ a A', Φ b B, Φ b B'

O

A

B C

O A

B C

6

Aplicăm regula paralelogramului segmentelor orientate OA şi OB respectiv O'A ' şi O'B' , adică

formăm paralelogramele OACB respectiv O’A’C’B’, despre care avem :

OA , O'A ' a adică OA || O’A’ şi OA = O’A’

OB , O'B' b adică OB || O’B’ şi OB = O’B’

Considerând ΔOAC şi ΔO’A’C’ avem :

OA = O’A’

AC = A’C’ (deoarece AC = OB = O’B’ = A’C’)

∡OAC ∡O’A’C’ (unghiuri cu laturi paralele)

deci cele două triunghiuri sunt congruente conform cazului L.U.L. prin urmare OC = O’C’.

Analog ΔOAC ΔO’A’C’ urmând egalităţile unghiurilor ∡AOC ∡A’O’C’ şi ∡BOC ∡B’O’C’.

Aceasta implică că OC || O’C’ deci au aceiaşi direcţie. Referitor la a arăta că OC şi O'C' au acelaşi

sens să observăm că patrulaterul OO’C’C este paralelogram sau aceste patru puncte sunt coliniare.

Dacă OO’C’C este paralelogram atunci OO’ nu se separă punctele C şi C’ adică OC şi O'C' au

aceiaşi direcţie. Dacă OO’C’C sunt coliniare alegem un punct O” OO’ şi evident notăm

o" o"A" Φ a , B" Φ b , iar C” E3 cu O”A”C”B” paralelogram. Evident OO”C”C şi O’O”C”C’ sunt

paralelograme nedegenerate în o dreaptă deci OC şi O"C" au aceeaşi direcţie.

Concluzia este că OC şi O'C' sunt segmente orientate echipolente adică OC O'C' ,

aşadar adunarea este independentă de alegerea lui O.

Observaţie Dacă OA a, OB b în paralelogramul OACB putem să vedem că ACb.

Atunci c = a +b unde OC c ; OA a; AC b. Am obţinut regula de adunare a vectorilor liberi

numită regula triunghiului şi anume.

Dacă OA a şi AC b atunci OC a +b.

b

a

O

A

C

O

A

B

C

O’ A’

B’

C’

7

Propoziţia 2.1. Mulţimea vectorilor liberi cu operaţia de adunare formează o structură de grup

comutativ.

Demonstraţie

Asociativitatea : Pentru a, b, c V3 considerăm reprezentanţii OA a , AB b şi BC c .

Atunci conform regulii triunghiului avem : OB a +b iar OC (a +b) + c, AC b +c iar OC

a + (b +c). În consecinţă avem:

(a +b) + c =a + (b +c).

Comutativitatea : Pentru a, b V3 considerăm reprezentanţii OA a şi OB b şi paralelogramul

OACB. Avem OC a +b dar acelaşi paralelogram se construieşte dacă aplicăm regula de

însumare a vectorilor b +a. În consecinţă avem: a +b = b +a.

Elementul neutru; luând a V3 şi o V3 vectorul nul putem să considerăm reprezentanţii lor : OA

a şi AA o. Prin regula triunghiului obţinem OA a +o de unde a +o =a.

Simetricul unui element; fie -a V3 opusul lui a, adică luând OA a avem AO -a iar OO a

+ (-a) de unde a + (-a) = o. ٱٱٱ

Observaţie Asociativitatea adunării permite adunarea unui număr finit de vectori liberi putând

enunţa o regulă a „poligonului strâmb” :

Pentrua1,a2,..,an V3 cu reprezentanţii:

0 1 1 1 2 2 2 3 3 n 1 n nA A a , A A a , A A a , ..., A A a

avem :

0 n 1 2 nA A a a ... a

Observaţie importantă: (Relaţia lui Chasles) Pentru AB V3 şi O E3 avem relaţia :

AB OB OA (2.1.)

Verificarea ei este evidentă deoarece adunând la ambii membrii OA obţinem :

AB OA OB - OA OA

iar folosind comutativitatea şi simetricul elementului OA rezultă :

OA AB OB

relaţie evidentă deoarece OA OA, AB AB şi deci OB OA AB .

A1

A2

A3

A4 An-2

An-1

An

8

Importanţa relaţiei (2.1) se va vedea în paginile următoare, ea permiţând scrierea oricărui

vector liber în funcţie de vectorii de poziţie a extremităţii şi originii unui reprezentant al său, faţă de un

punct convenabil ales (origine).

Definiţia 2.1. Fie t R şia V3. prin vectorul t a numit produsul sau înmulţirea vectoruluia

cu scalarul (numărul) real t înţelegem :

vectorul nul atunci cânda = 0 sau t = 0.

vectorul de aceeaşi direcţie cu a având lungimea |t||a| cu acelaşi sens cua dacă t > 0 şi cu

sens contrar lui a dacă t < 0, atunci când a 0 şi t 0.

Exemplu Pentru a V3 să figurăm câte un reprezentant pentrub=2 a şi c =-3 a :

Propoziţia 2.2. Vectorii a şib sunt coliniari şi numai dacă există t R* cu

a = t b. (2.2.)

Dacăa,b sunt coliniari având acelaşi sens, atunci :

|a +b| = |a| + |b|

Dacăa,b sunt coliniari având sensuri contrare, atunci :

|a +b| = ||a| - |b||

Demonstraţie Cazul a = t b implică din definiţia înmulţirii vectorului b cu scalarul t că t b

şi b au aceeaşi direcţie, deci a şib sunt coliniari. Reciproc pentru a şib coliniari notăm 1

1a a

| a |

şi 1

1b b

| b | . Evident a1 şib1 au aceiaşi direcţie cu a respectiv b care fiind coliniari implică a1 şi

b1 de aceiaşi direcţie. Mai mult 1

1 1a a a 1

| a | | a | şi analog |b1| = 1. Avem deci cazurile : a1

şib1 au acelaşi sens adică a1 =b1 echivalent cu b

b a| a |

sau 1a şib1 au sensuri contrare

adicăa1 = -b1 echivalent cu b

b a| a |

. În ambele cazuri am găsit t R* cu proprietatea a = t b.

1) Dacă a,b sunt coliniari de acelaşi sens considerăm segmentele orientate OA a şi AB b :

a a2b

c 3a

9

avem OB a b iar din O, A, B coliniare cu A situat între O şi B rezultă OB=OA+AB adică

OB OA AB sau |a +b| = |a| + |b|.

2) Dacă a,b sunt coliniare de sensuri contrare considerăm segmentele orientate OA a şi AB b .

Pentru |a| |b| avem : OB a b iar B este situat între O şi A

având OB = OA – BA sau OB OA AB de unde:

|a +b| = |a| - |b| = | |a| + |b| |.

Pentru |a| < |b| avem OBa +b iar O este situat între A şi B având OB = OA – BA sau

OB OA AB de unde |a +b| = |b| - |a| = | |a| - |b| |.

ٱٱٱ

Propoziţia 2.3. Mulţimea vectorilor liberi cu operaţia internă de adunare şi operaţia externă de

înmulţire cu scalari, formează un spaţiu vectorial peste corpul numerelor reale.

Demonstraţie Cum (V3,+) este grup comutativ rămân de demonstrat :

1) t(a + b ) = ta + tb

2) (t + s) = ta + sa

3) t(s a) = (t s) a

4) 1 a =a

Pentru 1) luăm AB a, BC b adică AC a +b, iar pentru t 0 notăm A'B ta şi BC' tb

de unde A'C' ta + tb. Luând ΔABC şi ΔA’B’C’ observăm că acestea sunt asemenea. Atunci t

AC = A'C' de unde relaţia 1).

a

b

O B A

a

b

A

B

O

a

b

A B O

10

Pentru 2). cazul t > 0, s > 0 sau t<0, s<0 implică (t + s) a ca fiind vectorul de aceiaşi direcţie şi sens

cu a iar lungimea |t + s| |a|. Cum ta şi sa sunt coliniari avem din Propoziţia 2.2 :

|t a + s a| = |t a| + |s a| = | t | |a| + | s | |a|=|t+s|a.

Mai mult t a + sa au aceiaşi direcţie şi sens cu a. Analog cazul t<0, s<0. Obţinem astfel relaţia 2).

Cazul t > 0, s < 0 ţine cont de relaţia 3 din Propoziţia 2.2 pentru compararea lungimilor având :

|t a + s a| = | |t a| - |s a| | = | t |a| + s |a| | = | (t + s) |a|

Cazul t < 0, s > 0 se tratează analog.

Egalitatea 3). este evident adevărată pentru t = 0 sau s = 0, rămânând să o verificăm pe cazurile t >0

şi s >0; t > 0 şi s < 0; t < 0 şi s > 0; t < 0 şi s < 0.

Discuţia în cele 4 cazuri este analogă, exemplificăm pentru t < 0 şi s > 0 când : s a are direcţia lui a

şi sensul acestuia, iar t(s a) are direcţia luia şi sensul opus luia. Cum t s < 0 avem (t s)a au

direcţia luia şi sens opus acestuia, rezultă că t(s a) şi (t s)a au aceiaşi direcţie şi sens. Pentru

lungime avem :

|t(sa)| = | t | |s a| = | t | | s | |a| = |t s| | a|

în consecinţă avem egalitatea vectorilor:

t(s a) = (t s)a.

Pentru 4) avem 1 a are aceeaşi direcţie şi sens cua iar |1 a| = | 1 | |a| = |a| de unde rezultă că :

1a = a. ٱٱٱ

Propoziţia 2.4. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi are dimensiunea 3.

Demonstraţie Fie A,B,C trei puncte necoliniare.

A’ A

B

C

C’

11

Pentru M un punct din planul ABC putem duce prin M paralele la AB şi AC, obţinând paralelogramul

AB’MC’. Evident AM AB' AC' iar din AB ; AB' coliniari (cu presupunerea AB' O) şi

AC ; AC' coliniari ( cu presupunerea AC' O) rezultă din relaţia (2.2) că există R* astfel

încât AB' α AB iar AC' β AC obţinând :

AM α AB βAC (2.3)

Cazul AB' = O implică M AC deci AC şi AM coliniari (dacă AM O) şi deci există =0, R*

astfel încât să avem relaţia (2.3), analog AC' = O, cazul AM = O fiind evident pentru = = 0.

Din axiomele geometriei în spaţiu avem că există în spaţiu 4 puncte necoplanare, fie acestea notate A,

B, C, D. Să arătăm că sistemul S={ AB, AC, AD } este liniar, independent. Presupunem că S este

liniar dependent, adică există s, t, u R cu s²+t²+u²0 şi

sAB t AC uAD 0 (2.4)

Evident atunci unul din scalarii s, t, u este nenul, şi presupunem că u 0, celelalte cazuri tratându-le

analog. Relaţia (2.4) devine :

s t

AD AB ACu u

Notând s

AB' ABu

şi t

AC' ACu

, rezultă că B’ AB şi C’ AC, adică B’ şi C’, aparţine planului

ABC, relaţia de mai sus devenind :

AD AB' AC'

care implică D, A, B, C coplanare, fals. În consecinţă S este sistem liniar independent.

Pentru M E3 considerăm planul (M,A,D) (presupunând că M AD), care taie planul (A,B,C) după

dreapta d, pe care luăm punctul E, E A.

Aplicând punctelor necoliniare A,D,E şi M din planul lor relaţia (2.3) obţinem :

AM αAD δAE (2.5)

Notând δAE AF aplicăm punctelor necoliniare A,B,C şi F din planul lor relaţia (2.3) obţinând :

AF βAB γAC

M

A B B’

C C’

12

astfel egalitatea (2.5) devine :

AM αAD βAB γAC .

Relaţia rămâne adevărată şi dacă M AD, caz în care are forma :

AM αAD 0AB 0AC

Pentru că a V3 notăm 1

AM Φ a şi deci AM a . Rezultă că există ,,R cu:

a αAD βAB γAC

prin urmare S este sistem de generatori pentru V3. În consecinţă S este bază rezultând că

dimensiunea V3 este 3. ٱٱٱ

Consecinţe

1). Relaţia a = t b, t R*, implică despre sistemul S = {a, b } că este liniar dependent. Atunci

Propoziţia 2.2 se poate transcrie : sistemul S = {a, b } este liniar dependent dacă şi numai dacă a şi

b sunt coliniari, fiind liniar independent în caz contrar.

2). Sistemul S = {a, b,c } este sistem liniar dependent, dacă şi numai dacă a, b,c sunt coplanari.

Considerând bijecţia A : E V3 din Propoziţia 1.2 a,b,c coplanari implică D se găseşte în planul

(A,B,C) unde B=-¹A (a), C=-¹A (b), D=¹A (c), adică relaţia AD αAB βAC se scrie c = a +

b deci S este liniar dependent. Reciproca este evidentă.

Observaţie Dacă B = {a,b,c } sunt vectori nenuli şi necoplanari, atunci conform consecinţei

2) ei formează un sistem liniar independent în V3 spaţiul vectorial de dimensiunea 3, deci este o bază

a lui V3. Avem pentru orice d V3 scalarii , , R cu :

d = a + b + c

ce sunt coordonatele lui d in baza aleasă.

Reamintind rezultatele din teoria spaţiilor vectoriale finit dimensiunile şi consecinţe ale afirmaţilor de

mai sus avem :

1) Egalitatea vectorilor are loc dacă şi numai dacă coordonatele lor în baza B coincid:

aa

db

ac

a

A

B C

M

A’

B’

C’

13

1 2

1 1 1 1

1 2 1 2

2 2 2 21 2

α αd α a β b γ c

d d β β unded α a β b γ c

γ γ

2) Coordonatele sumei a doi vectori se obţin din suma coordonatelor vectorilor, adică :

1 2

1 2 1 2 i i i i

1 2

α α α

d d αa βb γc cu β β β iar d α a β b γ c, i 1,2

γ γ γ

3) Coordonatele înmulţirii unui vector cu un scalar se obţin din înmulţirea coordonatelor vectorului cu

acel scalar adică:

1

1 1 1 1

1

α tα

t d α a β b γ c cu β tβ iar d αa βb γc

γ t γ

4) Condiţia de coliniaritate a doi vectori este echivalentă cu proporţionalitatea coordonatelor.

d1,d2 coliniari 1 1 1

2 2 2

α β γ

α β γ unde i i i id α a β b γ c, i 1,2

5) Condiţia de coplanaritate a trei vectori este echivalentă cu anularea determinatului ce are liniile

exact coordonatele vectorilor, adică:

d1,d2,d3 coplanari

1 1 1

2 2 2

3 3 3

α β χ

α β χ 0

α β χ

unde i i i id α a β b γ c, i 1,3

Observaţie Un caz particular de bază in V3 este atunci când direcţiile lui a,b,c sunt

perpendiculare iar lungimea acestor vectori este unitară (|a| = |b| = |c|=1). Numim această bază “

bază ortonormată ”, desigur existând pericolul confuziei cu noţiunea de bază ortonormată de la spaţii

vectoriale euclidiene. Înlăturarea ei ne stabileşte următoarea ţintă, adică de a înzestra V3 cu o

structură de spaţiu vectorial euclidian real.

14

CURS 2

§ 3 PRODUS SCALAR, VECTORIAL ŞI MIXT

Fie a un vector liber nenul şi d o dreaptă în E3.

Definiţia 3.1. Prin proiecţia ortogonală a lui a pe d înţelegem vectorul liber notat

dπ a având drept reprezentant segmentul orientat A',B' unde A’ respectiv B’ sunt

proiecţiile pe d a le lui A respectiv B iar ABa.

Observaţie Să arătăm că dπ a este bine definită, adică nu depinde de

reprezentantul AB a. Luăm pentru aceasta şi CD a şi considerăm , , , planele

ce trec prin A, B, C respectiv D şi sunt perpendiculare pe d, cu punctele de intersecţie cu

d: A’, B’, C’ respectiv D’. Construim prin A şi C câte o paralelă la d care taie respectiv

când B” respectiv D”.

Evident A’B’B”A şi C’D’D”C sunt paralelograme obţinând AB" = A'B' iar C'D' = CD"

au aceiaşi direcţie cu d şi acelaşi sens obţinem AB" = CD" , de unde A'B' = C'D' . Aceasta

dovedeşte că dπ a nu depinde de reprezentantul ales pentru a, deci proiecţia este bine

definită.

a

A

B

C

D

A’ B’

C’ D’

B”

D”

15

Propoziţia 3.1. Pentru d o dreaptă în E3 şi a,b V3 iar t R avem:

d d d

d d

π a b π a π b

π ta tπ a

3.1.

Demonstraţie

Fie OA a, OB b cu O d şi B’, C’ proiecţiile lui B respectiv C pe d.

Cum a = OA BC , avem d dπ a π BC B'C' , a +b = OC şi deci dπ a b OC'

iar d dπ b π OB OB' . Egalitatea vectorilor coliniari OB' +B'C' = OC' se scrie:

d d dπ a π b π a b .

Luând OA a iar OB ta cu O d şi notând cu A’, B’ proiecţiile lui A şi B pe d

rezultă din asemănarea Δ OAA’ cu Δ OBB’ că: OB' tOA' , relaţie care transcrisă

vectorial implică OB' tOA' adică: d dπ ta tπ a . ٱٱٱٱٱٱ

Fie a un vector liber şi un plan din E3.

a

O

A

A’ B’

d

B

a

b

O

A

B

C

B’

C’

16

Definiţia 3.2. Prin proiecţia ortogonală a luia pe înţelegem vectorul liber notat

cu απ a având drept reprezentant segmentul orientat A'B' unde A’, B’ sunt

picioarele perpendicularelor din A respectiv B pe iar ABa.

Observaţie Să arătăm că απ a este bine definită, adică, nu depinde de

reprezentantul ABa. Fie CDa şi C'D' proiecţia pe .

Construim AE BB’ şi CF DD’, rezultând dreptunghiurile AA’B’E respectiv CC’D’F.

Triunghiurile dreptunghice AEB şi CFD sunt congruente (C.U.) de unde rezultă că AE CF

sau A’B’ C’D’. Cum A’B’ || C’D’ rezultă A’B’D’C’ paralelogram adică A'B' ~ C'D' ceea

ce înseamnă că şi C'D' poate fi un reprezentant a lui απ a .

Propoziţia 3.2. Pentru un plan în E3 şi a,b V3 iar t R avem:

α α α

α α

π a b π a π b

π ta tπ a

3.2.

Demonstraţie:

Fie OA a, OBb, iar OABC paralelogram. Rezultă că OC a +b. Notăm cu O’, A’,

B’, C’ proiecţiile lui O, A, B, respectiv C pe .

A

B

A’ B’

C

D

C’

D’

E F

17

Evident OA || BC ; OO’ || BB ‘ implică planele (OO’A’A) şi (BB’C’B) paralele, deci O’A’||

B’C’. Analog planele (OO’BB’) şi (AA’C’C) paralele implică O’B’ || A’C’ adică O’A’C’B’

paralelogram. Atunci O'C' = O'A ' + O'B' adică:

α α α α α απ OC π OA π OB sau π a b π a π b

Fie OA a şi OB ta. Notăm cu O’, A’ respectiv B’ proiecţiile lui O, A respectiv B pe .

Avem OB

OA=

O'B'

O'A ' dar

OB

OA= t, de unde rezultă O'B' =tO'A ' sau α απ ta tπ a ٱٱٱ.

Consecinţă Pentru d dreaptă fixată sau plan fixat proiecţiile ortogonale

dπ :E3 E3 şi απ : E3 E3 sunt aplicaţii liniare.

Fie a,b doi vectori liberi.

a

O

A B

O’ A’ B’

a

b

O’

O

A

B

C

A’

B’

C’

18

Definiţia 3.3. Prin produsul scalar al vectorilor a şi b înţelegem numărul real

notat a b şi definit prin:

0 daca a 0 sau b 0a b

a b cosφ daca a 0 sau b 0

(3.3)

unde = m( AOB ) cu OA a şi OBb.

Observaţie Unghiul mai sus definit se numeşte unghiul dintre vectorii nenuli a

şi b având [0, π].

Propoziţia 3.3. Produsul scalar verifică proprietăţile:

1)a a 0, a V3; a a = 0 a=0.

2) a b = b a, a,b V3.

(3.4)

3) (a +b)c = a c + b c, a,b,c V3.

4) (t a)b = t(a b), a, b V3, t R.

Demonstraţie

1) Evidentă pentrua =0, iar pentrua 0 avem a a = |a|2 > 0. Cazul a =0

a a = 0, este evident din definiţia produsului scalar. Presupunând a 0 avem

a a= 0 cu |a|2 = 0 a = 0, fals deci a a= 0 a =0.

2) Evidentă din definiţie.

4) În cazul a =0 sau b =0 sau t = 0, egalitatea este evidentă. Pentru rest vom

considera t > 0, când ta şi a au acelaşi sens deci unghiul dintre ta şi b coincide cu

unghiul dintre a şi b. Prin urmare avem:

(ta)b = |ta| |b| cos = t|a| |b| cos = t(ab)

Dacă t < 0, ta şia au sensuri contrare, notând cu unghiul dintre a şib rezultă că π -

este unghiul dintre ta şi b deci:

(ta)b=|ta| |b|cos(π - )=(- t )|a| |b| (- cos) = t |a| |b| cos = t(ab).

3) Pentru a,b V3 şi e versor (|e| = 1) considerăm cazurile:

). A, B şi E neseparate de planul perpendicularelor pe DE în O unde OEe; OA a iar

OBb. Evident OC = a +b se găseşte in acelaşi semiplan deci proiecţiile pe d

(dreapta luie) ale lui a,b respectiv a +b au acelaşi sens.

19

Avem:

(a +b)e= |a + b| |e| cos = | OC |cos C’ÔC = | OC' | =

d d dπ a b π a π b = | OA' | + | OB' | =

= | OA | cos A’ÔA + | OB |cos B’ÔB =ae +be

). A, E, C neseparate de planul perpendicularelor pe OE în O iar A şi B separate unde

OE e; OA a; OBb; OC a +b.

Avem:

(a +b)e = | OC | cos C’ÔC = | OC' | = d d dπ a b π a π b =

d dˆ ˆπ a π b OA ' OB' OA cosA 'OA OB cosB'OB

ˆ ˆae OB cos π B'OB ae OB cos EOB ae be

). Analog dacă planul perpendicular în O pe OE separă A şi B şi pe A şi C. În consecinţă

pentru oricee vector unitar avem:

(a+b) e = ae + be.

Atunci luânde = c

| c | obţinem:

O E A’ B’ C’

A

B

C

d

B

B’ O E

C

C’

A

A’

20

(a +b) c

| c | = a

c

| e | +b

c

| c |.

sau înmulţind cu |c| şi ţinând cont de Proprietatea 4) şi 2) avem:

(a +b)c = ac +bc.

Observaţie Am definit astfel pe V3 un produs scalar, obţinând structura de spaţiu

vectorial euclidian pentru V3. Doi vectori nenuli sunt ortogonali dacă produsul lor scalar

este nul. Adică luând a 0 şi b 0 avem:

a b cu a b = 0 |a| |b| cos = 0 = 90.

Mai mult obţinem:

|a|² =|a| |a| cos0 = a a, deci |a| = a a ;

deci considerând B = {i, j, k} o bază ortonormată avem:

i i j j k k 1, i j j k k i 0

Expresiile produsului scalar a doi vectori în funcţie de coordonatele lor în baza ortonormată

B sunt:

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

a a i a j a ka b a b a b a b unde

b b i b j b k

(3.5.)

Pentru lungimea luia avem:

2 2 2

1 2 3a a a a (3.6.)

iar pentru unghiul [0,π] dintre vectorii a şi b avem:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a b a b a ba bcosφ

a b a a a b b b

(3.7)

Observaţie Bazele ortonormate în V3 sunt de două tipuri. Baze de mână stângă, să le

numim prescurtat s-baze şi baze de mână dreaptă, d-baze.

21

O d-bază este modelul schematic al dispunerii primelor trei degete ale mâinii

drepte desfăcute astfel încât să aibă în ordine direcţiile vectorilor {i, j, k} ai d-bazei.

Aceleaşi considerente pentru s-baze şi primele trei degete de la mâna stângă.

Definiţia 3.4. Fie B ={i,j,k} o d–bază a lui V3 şi a V3 – {0}. Numim cosinuşii

directori ai lui a unghiurile , , [0,π] dintre a şi i,j respectiv k.

Observaţie Dacă a = a1i + a2j + a3k atunci:

1

2 2 2

1 2 3

2

2 2 2

1 2 3

3

2 2 2

1 2 3

acosα

a a a

acosβ

a a a

acosγ

a a a

Luăm OE3, OM a, OA i, OBj , OC k şi proiectăm M pe OA, OB, OC

în M1, M2 respectiv M3. Aplicăm în triunghiurile dreptunghice formate funcţiile

trigonometrice obţinând relaţiile de mai sus.

Evident cos² + cos² + cos² = 1.

ij

k M

M3

M1

M2

ij

k

s-bază

k

d-bază

j

i

22

Definiţia 3.5. Prin produsul vectorial al vectorilora şib înţelegem un vector notat

a xb definit prin:

0, daca a 0 sau b 0 sau a,b coliniari

a ba b sinφe daca a 0 si b 0 si a,b necoliniar

(3.8)

unde e are sensul dat de direcţia de înaintare a burghiului cu axul perpendicular pe

direcţiile lui a şib ce se roteşte astfel încât a ajunge de aceeaşi direcţie şi sens cub.

Observaţie Determinarea direcţiei lui e din definiţia de mai sus se face şi cu

regula mâinii drepte. Orientând degetul mare al mâinii drepte pe direcţia lui a (primul

factor al produsului) şi celelalte degete pe direcţia luib (al doilea factor al produsului), faţa

palmei indică direcţia luie.

Pentru lungimea produsului vectorial găsim următoarea interpretare geometrică.

Fie OA a şi OBb iar în planul OAB construim paralelogramul OACB. Notând cu

măsura unghiului AOB şi cu A’ proiecţia lui A pe OB avem:

OA = |a| ; AA’= OA sin = |a|sin. Aria paralelogramului este:

A = OB AA’ = |a| |b|∙sin

Considerând produsul vectorial dintre a şi b avem:

a xb = |a| |b| ∙ sin e ,

având lungimea:

b

a

O

A

B A’ C

eb

ae b

a

23

|a xb| = |a| |b| sin.

În concluzie lungimea vectorului produs vectorial este egală cu aria paralelogramului

având laturile reprezentanţi ai factorilor produsului vectorial.

Propoziţia 3.5. Fie B = {i,j,k} o d–bază ortonormată în V3. Atunci:

i xi =0 i xj =k i xk = -j

j x i = -k j x j = 0 j xk = i (3.9)

k x i = j k x j = -i k xk=0

Demonstraţie

Pentru 3a V avem 2

a a a sin0e 0

Cum oricare doi vectori din B sunt perpendiculari rezultă că produsul lor vectorial este

coliniar cu cel de al treilea vector. Mai mult pentru a b, a,b B avem:

|a xb| = |a| |b| sin90 |e | =1

deci a xb = c undec B - {a,b}. Alegerea semnului se face cu regula mâinii drepte

(burghiului) obţinând uşor egalităţile de mai sus.

Observaţie Dacă B={i,j,k} este o d – bază ortonormată, atunci relaţiile (3.9) se

pot obţine utilizând o regulă de permutări circulare. Notăm cu i,j,k vârfurile triunghiului

echilateral înscris într-un cerc în ordine direct trigonometrică, indicând prin săgeţi sensul

direct trigonometric. La calculul produsului a xb avem:

a xb =c dacă de la a lab merg în sensul săgeţilor (direct trigonometric).

a xb = -c dacă de laa lab merg în sens contrar săgeţilor (invers trigonometric), unde

a,b,c B sunt vectori diferiţi.

j

i

k

24

Propoziţia 3.6. Fie a,b 3V şi B ={i,j,k} o d – bază ortonormată. Dacă

1 2 3a a i a j a k iar 1 2 3b b i b j b k atunci:

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1a b a b a b i a b a b j a b a b k (3.10)

Demonstraţie În cazul a =0 sau b =0 avem a xb =0 iar egalitatea (3.10)

este îndeplinită. Pentru a 0 şib 0 notăm cu unghiul dintre a şib.

Cazul =0 sau =π implică a,b coliniare deci există k0 cu a = kb adică

31 2

1 2 3

aa ak

b b b iar a xb = |a| |b| sin e = 0. La fel membrul drept al relaţiei (3.10)

este nul deci egalitatea este îndeplinită.

Rămâne de studiat cazul 0 < < π adică OA a, OBb determină planul

(OAB). Evident a xb este perpendicular pe acest plan care este paralel cu a şi b. În

consecinţă (a xb) a = 0, (a xb) b = 0 deci considerânda b xi yj zk avem:

1 2 3

1 2 3

a x a y a z 0

b x b y b z 0

Condiţia de necoliniaritate implică 1 2 3

1 2 3

a a arang 2

b b b

deci putem presupune că

1 2 2 1a b a b 0 . Găsim soluţia sistemului:

2 3 3 2

1 2 2 1

a b a bx

a b a b

z ; 3 1 1 3

1 2 2 1

a b a by

a b a b

z

La particular pentru 1 2 2 1z a b a b λ avem :

2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

x a b a b λ

y a b a b λ

z a b a b λ

λR

Pentru determinarea lui λ vom apela la lungimea produsului vectorial.

Pentru a xb =xi + yj + zk avem conform formulei (3.6):

2 2 2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1a b a b a b a b a b a b a b λ

şi de la definiţia pătratului lungimii produsului vectorial avem :

22 2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

a b a b sin α a b 1 cos α a b a b cosα

a a a b b b a b a b a b

25

Egalând cele două expresii obţinute pentru |a xb|2 avem:

2 2

i j i j i j

i j 1,3 i j 1,32

2 2

i j i j i j

i j 1,3 i j 1,3

a b a a bb

λ 1a b a a bb

adică =1.

În particular a =i, b =j avem i xj = λk şi am arătat că i xj =k, de unde rezultă

λ=1.

Observaţie Formal expresia produsului vectorial în d–baza B ={i,j,k} se poate

obţine dezvoltând după prima linie determinantul de ordinul trei ce are prima linie formată

din vectorii i,j,k, celelalte fiind în ordine, linia coeficienţilor luia respectiv linia

coeficienţilor luib în baza B.

Dacă 1 2 3a a i a j a k şi 1 2 3b b i b j b k atunci:

1 2 3

1 2 3

i j k

a b a a a

b b b

=2 3

2 3

a a

b bi -

1 3

1 3

a a

b bj +

1 2

1 2

a a

b bk (3.11)

Propoziţia 3.7. Pentru produsul vectorial găsim proprietăţile :

(1)a xb = - b xa, a,bV3

(2)a x (b +c) = a x b + a xc, a,b,c V3

(3) (a +b) x c = a xc +b xc, a,b,c V3

(4) (a) xb = a x (b) = (a xb), a,b, V3, R

(5)a x (b xc) +b x (c xa) +c x (a xb)=0

Demonstraţie Fie d – baza B ={i,j,k} şi 1 2 3a a i a j a k , 1 2 3b b i b j b k

iar 1 2 3c c i c j c k . Atunci 1 2 3

1 2 3

i j k

a b a a a

b b b

= 1 2 3

1 2 3

i j k

b b b a b

a a a

adică relaţia (1)

Pentru (2):

26

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

i j k i j k

a b c a a a a a a

b c b c b c b b b

i j k

a a a a b a c.

c c c

Relaţia (3) este analogă cu (2).

Pentru (4):

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

i j k i j k

λa b λa λa λa λ a a a λ a b a λb

b b b b b b

Pentru (5) să demonstrăm întâi egalitatea:

a b c ac b ab c

Cum b xc este perpendicular peb şi c iar a x(b xc) este perpendicular pe b xc

rezultă că d = a x (b xc) este coplanar cu b şi c, adică d = b + c. Cum d este

perpendicular pea avem da=0 sau

(ab) + (ac ) = 0

Adică α β

λa c a b

sau d = (ac)b – (ac)c

În particular pentru a = i , b =j, c =i avem d = i x (j xi) = i x(-k )=j şi

d ii λ j i j λi λ j deci =1 adică a b c ac b ab c

Prin permutări circulare obţinem:

b x (c xa) = (ba)c – (bc)a

c x (a xb) = (cb)a – (ca)b

Prin adunare obţinem identitatea (5) numită identitatea lui Jacobi. ٱٱٱ

Observaţie Vectorii a x (b xc) şi (a xb) xc se numesc dublul produs

vectorial ai vectorilor a,b,c. Evident ei sunt diferiţi, găsind în demonstraţia de mai sus

formulele:

a x (b xc) = (ac)b – (ab)c = b c

ab ac (3.12)

27

ultima egalitate fiind formală, în sensul dezvoltării determinantului după linia formată din

vectori. Pentru dublul produs a b c avem:

a b

a b c c a b ac b bc aca cb

Observaţie În demonstraţia Propoziţiei 3.6. am justificat identitatea lui Lagrange:

22 2 2

a b a b ab

Definiţia 3.6. Numim produsul mixt al vectorilor a,b,c V3 numărul real notat

(a,b,c) şi definit prin:

(a,b,c) = (a xb)c (3.13)

Observaţie Pentru a,b,c nenuli şi necoplanari să considerăm segmentele

orientate OA a, OBb, OC c, OD a xb şi să formăm paralelipipedul cu laturile

OA, OB, OC.

Notând cu măsura unghiului COD avem: a,b,c a b c a b c cosα

Am arătat că |a xb| este egală cu aria paralelogramului OAEB, iar dacă considerăm C’

proiecţia lui C pe planul OAEB avem din triunghiul dreptunghic OCC’:

CC’ = OC cos OCC’ = |c| cos.

O

A

B

C

D

E

F G

H

C’

28

În consecinţă am găsit pentru modulul produsului mixt a vectorilor nenuli şi

necoplanari a,b,c expresia:

|(a,b,c)| = AOAEBCC’ = Volumul paralelipipedului OAEBCFGH.

Deci modulul produsului mixt a trei vectori este egal cu volumul paralelipipedului construit

din reprezentanţii acestora cu originea comună.

Propoziţia 3.8. Produsul mixt are următoarele proprietăţi. Fie d–baza B={i,j,k}

şi 1 2 3a a i a j a k , 1 2 3b b i b j b k iar 1 2 3c c i c j c k . Atunci:

(1) (a,b,c) =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

c c c

(3.14)

(2) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) , a,b,c V3

(3) (a,b,c) = - (b,a,c), a,b,c V3

(4) (a +a’,b,c) = (a,b,c) + (a’,b,c), a,b,c,a’ V3

(5) (a,b,c) = (a,b,c), a,b,c V3, λ R

(6) (a,b,c) = 0 dacă şi numai dacă:

α) cel puţin unul din vectori este vectorul nul.

β) doi vectori sunt coliniari

γ) vectorii sunt coplanari

Demonstraţie Avem :

a xb= 1 2 3

1 2 3

i j k

a a a

b b b

= 2 3

2 3

a a

b bi -

1 3

1 3

a a

b b j +

1 2

1 2

a a

b bk

şi atunci:

a,b,c a b c = 2 3

1

2 3

a ac

b b-

1 3

2

2 3

a ac

b b +

1 2

3

1 2

a ac

b b

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

c c c

,

ultima egalitate rezultând din proprietatea de dezvoltare a determinantului după ultima

linie. Egalităţile (2) – (5) sunt consecinţe directe ale lui (1) şi a proprietăţilor

determinantului.

(6) În situaţiile ) sau ) avem că volumul paralelipipedului format de reprezentanţi

cu originea comună a celor trei vectori este nul. În consecinţă |(a,b,c)| = 0 de unde

(a,b,c) = 0. Evident cazul ) implică produsul mixt nul. Reciproc, dacă presupunem

29

căa,b,c sunt nenuli şi necoplanari avem că volumul paralelipipedului este strict pozitiv

adică (a,b,c) 0, contrazicem ipoteza. Rămân deci posibilităţile ) saua,b,c

coplanari adică ) sau ).ٱٱٱ

Observaţie Expresia (1) ne permite să calculăm:

a (b xc) = 2 3

1

2 3

b ba

c c -

1 3

2

1 3

b ba

c c +

1 2

3

1 2

b ba

c c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

c c c

=(a,b,c).

Rezultă deci :

a,b,c a b c a b c

(3.15)

relaţie care arată că ordinea de dispunere a produsului scalar şi vectorial între cei trei

vectori poate fi inversată. Afirmaţia de mai sus era previzibilă şi din notaţia produsului mixt.

Atragem atenţia că ordinea vectorilor nu poate fi schimbată decât ţinând cont de egalităţile

din Propoziţia 3.8.

Să prezentăm in încheierea capitolului un scurt rezumat al produselor introduse, insistând

asupra condiţiilor de anulare a lor.

Rezumat

Fie B ={i,j,k} o d–bază în V3 şi 1 2 3a a i a j a k , 1 2 3b b i b j b k iar

1 2 3c c i c j c k vectori din V3.

- Produsul scalar

Expresia: 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b (3.16)

Anulare: ab = 0 ) a b

) cel puţin unul din vectori este vectorul nul.

- Produsul vectorial

Expresia: a xb = 1 2 3

1 2 3

i j k

a a a

b b b

(3.17)

Anulare: a xb =0 ) a,b coliniari

30

) cel puţin unul din vectori este vectorul nul

- Produsul mixt

Expresia: (a,b,c) =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

c c c

(3.18)

Anularea: (a,b,c) = 0 ) a,b,c coplanari

) cel puţin doi vectori sunt coliniari

) cel puţin un vector este vectorul nul

- Dublul produs vectorial

Expresia:

1) a x (b xc) = b c

ab ac=

3 3 3 3

1 m m 1 m m 2 m m 2 m mm 1 m 1 m 1 m 1

3 3

3 m m 3 m mm 1 m 1

b a c c a b i b a c c a b j

b a c c a b k.

(3.19’)

2) (a xb) xc = a c b c

a b=

3 3 3 3

1 m m 1 m m 2 m m 2 m mm 1 m 1 m 1 m 1

3 3

3 m m 3 m mm 1 m 1

b a c a b c i b a c a b c j

b a c a b c k.

(3.19”)

Observaţie Interpretând produsul vectorial ca o lege de compoziţie internă

aceasta nu este asociativă, deoarece expresiile 1) şi 2) de mai sus sunt diferite.

Anularea:

1) a x (b x c)=0 ) este perpendicular pe planul paralel cu direcţiile lui b şi c

) b şic coliniari

) cel puţin unul din vectori este vectorul nul

2) (a xb) xc=0 ) c este perpendicular pe planul paralel cu direcţiile luia şib

) a şib coliniari

31

) cel puţin unul din vectori este vectorul nul

Exemplu În d – baza B ={i,j,k} avem vectorii

a = 2i + 3j + xk b = -4i + 5j + k

c = -i + 2j d = 3i + yj + 2k

e = zi + tj + 2k

Să se găsească valoarea parametrilor x,y,z,t R pentru care

1)a b

2) a coliniar cu d

3) a,b,c coplanari

4)e perpendicular pe planul determinat de direcţiile lui b şic.

Soluţie

a b a b = 0 -8 +15+x =0 x = -7

a,d coliniari a xd =

i j k

2 3 x

3 y 2

=(6-xy)i – (4-3x)j + (2y -9)k = 0

x = 4

3; y =

9

2

a,b,c coplanari (a,b,c) = 0

2 3 x

4 5 1

1 2 0

= 0 -8x-3 + 5x -4 = 0 x=-7

3

e perpendicular pe planul determinat de direcţiile luib şic e x ( b x c)=0

b c

eb e c = 0 eb = 0; ec = 0

-4z+5t -2 = 0; -z+2t = 0

2t

3

4z

3

.

Capitolul 5

GEOMETRIE PLANATRATATA VECTORIAL

§1. Definitie, operatii

Numim segment orientat O, pereche ordonata de puncte din plan.Folosim pentru notatie expresia: AB cele doua puncte fiind numite:A originea, iar B extremitatea segmentului orientat AB. Segmentulorientat AA se numeste segmentul orientat nul, utilizand pentru el sinotatia 0, iar multimea segmentelor orientate o notam cu S.

Definitia 1.1. Segmentele orinetate nenule AB si CD se zic echipo-lente daca mijloacele segmentelor AD si BC coincid. Notam AB ∼CD.

Propozitia 1.1. Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta peS. Multimea cat se numeste multimea vectorilor, o notam cu V iar unelement al ei, adica o clasa de echivalenta este:

−→AB =

{CD | CD ∼ AB

}.

Observatia 1.1. a) Vom utiliza pentru vectori si notatia −→v , vectorul

nul−→0 fiind clasa de echivalenta a segmentelor orientate nule.

b) Pentru un vector nenul −→v =−→AB putem pune ın evidenta:

111

112 Capitolul 5

- directia sa: orice dreapta d‖AB. Spunem deci ca vectorii nenuli auaceeasi directie sau sunt paraleli daca directiile lor sunt paralele.Utilizam notatia −→v 1‖−→v 2;

- lungimea sa: numarul real pozitiv egal cu lungimea segmentului AB.Notam lungimea lui −→v cu ‖−→v ‖ sau |−→v | sau v iar lungimea lui−→AB cu ‖−→AB‖ sau |−→AB| sau AB. Spunem ca doi vectori au aceeasilungime daca lungimile lor sunt egale.

c) Intre doi vectori −→v 1 si −→v 2 de aceeasi directie putem vorbi si derelatia de a avea sau nu acelasi sens, prin definitia: Daca AB ∈ −→v 1

si CD ∈ −→v 2 sunt cate un reprezentant al celor doi vectori astfel ıncatpunctele A,B, C, D sa nu fie coliniare (evident −→v1 ,

−→v2 de aceeasi directieimplica AB‖CD) vom spune ca −→v1 si −→v2 au acelasi sens (au sensuricontrare) daca dreapta AC adica cea determinata de origini nu separa(separa) punctele B si D adica extremitatile.

d) Pentru orice −→v ∈ V si orice A punct din plan, exista un unic B ın

plan astfel ıncat AB ∈ −→v sau echivalent cu−→AB = −→v .

e) Daca −→v 6= −→0 si d este o dreapta, putem construi vectorul proiectie

a lui −→v pe d notat prd−→v egal cu prd

−→v def=−−→A′B′, unde AB ∈ −→v iar

A′ si B′ sunt picioarele perpendicularelor din A respectiv B pe d. Inparticular pentru −→v 1,

−→v 2 ∈ V− {−→0 } putem vorbi de proiectia lui −→v 1

pe −→v 2 ca fiind pr−→v2

−→v1def= prd

−→v 1 unde d este o dreapta paralela cudirectia lui −→v 2.

Definitia 1.2. Prin suma vectorilor −→v 1 si −→v 2 ıntelegem vectorul notat−→v 1 + −→v 2 si care are drept reprezentant segmentul orientat AC undeAB ∈ −→v 1, BC ∈ −→v 2.

Observatia 1.2. a) Am obtinut:−→AB +

−−→BC =

−→AC, adica relatia lui

Chasles.

b) Daca −→v 1 si −→v2 sunt nenuli, neparaleli si AB ∈ −→v 1, AD ∈ −→v 2,AC ∈ −→v 1 +−→v 2, atunci ABCD este un paralelogram. (Regula parale-logramului).

c)−−−→A1A2 +

−−−→A2A3 +

−−−→A3A4 + · · ·+−−−−−−→

An−2An−1 +−−−−−→An−1An =

−−−→A1An (Regula

poligonului).

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 113

Definitia 1.3. Pentru vectorul nenul −→v si numarul nenul λ definimprodusul dintre λ si −→v ca fiind vectorul notat λ−→v ce are directia lui−→v , lungimea: ‖λ−→v ‖ = |λ| · ‖−→v ‖, iar pentru λ > 0 acelasi sens cu −→vsi pentru λ < 0 sens contrar cu −→v . Pentru −→v =

−→0 sau λ = 0 prin

definitie luam λ−→v =−→0 .

Observatia 1.3. Notam (−1) · −→v = −−→v si-l numim opusul lui −→v .

Evident opusul lui−→AB este

−→BA.

Propozitia 1.2. Sunt verificate egalitatile:

(−→v 1 +−→v 2) +−→v 3 = −→v 1 + (−→v 2 +−→v 3) ,−→v 1 +−→v 2 = −→v 2 +−→v 1,−→v 1 +−→0 = −→v 1,−→v 1 + (−−→v 1) = 0,

λ (−→v 1 +−→v 2) = λ−→v 1 + λ−→v 2,(λ1 + λ2)

−→v 1 = λ1−→v 1 + λ2

−→v 1,λ1 (λ2

−→v 1) = (λ1λ2)−→v 1,

1 · −→v 1 = −→v 1,

pentru orice −→v 1,−→v 2,

−→v 3 ∈ V si orice λ1, λ2 ∈ IR.

Propozitia 1.3. Fie −→v 1,−→v 2 ∈ V− {−→0 }.

a) −→v 1‖−→v 2 daca si numai daca exista λ ∈ IR astfel ıncat −→v 1 = λ−→v 2.

b) Daca −→v 1 si −→v 2 nu sunt paraleli, egalitatea λ1−→v 1 = λ2

−→v 2 implicaλ1 = λ2 = 0.

Observatia 1.4. Daca A,B, C sunt puncte coliniare atunci−→AB =

‖−→AB‖‖−→AC‖

·−→AC daca−→AB si

−→AC au acelasi sens si

−→AB = −‖

−→AB‖‖−→AC‖

·−→AC daca

−→AB si

−→AC au sensuri contrare.

Definitia 1.4. Pentru vectorii nenuli −→v 1 si −→v 2 definim produsul lorscalar ca fiind numarul real notat −→v 1 · −→v 2 ce respecta:

−→v 1 · −→v 2 = ‖−→v 1‖ · ‖−→v 2‖ cos AOB unde OA ∈ −→v 1,−−→OB ∈ −→v 2.

Daca unul din vectorii −→v 1 sau −→v 2 este vectorul nul, atunci −→v 1·−→v 2 = 0.

114 Capitolul 5

Propozitia 1.4. Sunt verificate egalitatile:

−→v 1 · −→v 2 ≥ 0, −→v 1 · −→v 1 = 0 ⇔ −→v 1 =−→0 , −→v 1 · −→v 1 = ‖−→v 1‖2,

−→v 1 · −→v 2 = −→v 2 · −→v 1

(λ1−→v 1 + λ2

−→v 2) · −→v 3 = λ1(−→v 1 · −→v 3) + λ2(

−→v 2 · −→v 3)

λ1(−→v 1 · −→v 2) = (λ1

−→v 1) · −→v 2 = −→v 1 · (λ1−→v 2)

−→v 1 · −→v 2 = −→v 1pr−→v 1

−→v2 = −→v 2 · pr−→v2

−→v1

pentru orice −→v 1,−→v 2,

−→v 3 ∈ V si orice λ1, λ2 ∈ IR.

Observatia 1.5. a) Daca −→v 1,−→v 2 ∈ V − {−→0 } iar d1, d2 sunt doua

drepte ce au directiile lui −→v 1 respectiv −→v 2 atunci d1 ⊥ d2 daca sinumai daca −→v 1 · −→v 2 = 0.

b) Daca C este cercul de diametru AB, atunci−→OA · −−→OB = ρC(0) (unde

ρC(0) este puterea lui O fata de C).

Demonstratie. Fie P mijlocul lui AB si avem:

P

A

O B

−→OA =

−→OP +

−→PA;

−−→OB =

−→OP +

−−→PB.

Calculam: −→OA · −−→OB =

(−→OP +

−→PA

)(−→OP +

−−→PB

)=

=−→OP · −→OP +

−→OP

(−−→PB +

−→PA

)+−→PA · −−→PB =

= ‖−→OP‖2 +−→OP

(−−→PB +

−−→BP

)−−−→PB · −−→PB = OP 2 −

(AB

2

)2

= ρC(0).

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 115

§2. Reper ın plan; descompunerea dupa

doua directii; reper ortonormat

Sa consideram un sistem de referinta format dintr-un singur punctR = {0}. Atunci oricarei punct A din plan putem sa-i punem ın

corespondenta bijectiva vectorul−→OA numit vectorul de pozitie al lui

A.

Sa consideram un sistem de referinta format din un punct si doivectori nenuli si neparaleli: R = {0;−→v ,−→w }. Atunci oricarui vector−→u ∈ V ıi putem pune ın corespondenta bijectiva perechea de numere(a, b) ∈ IR2 numite coordonatele lui −→u fata de R ce respecta:

−→u = a−→v + b−→w .

Notam −→u (a, b). Prin compunere, stabilirea unui sistem de referintaR = {0;−→v ,−→w } implica alocarea ın mod bijectiv pentru fiecare punct

din plan M a unei perechii (a, b) ∈ IR2 unde−−→OM = a−→v +b−→w , numerele

(a, b) numindu-le coordonatele lui M fata de R. Notam M(a, b).

Observatia 2.1. In particular daca sistemul de referinta R = {0;−→ı ,−→ }respecta ‖−→ı ‖ = ‖−→ ‖ si −→ı ·−→ = 0 acesta se numeste reper ortonormat,iar coordonatele fata de acesta se obtin cu formulele:

−→v (a, b) unde a = −→v · −→ı , b = −→v · −→ ;

M(a, b) unde a =−−→OM · −→ı , b =

−−→OM · −→ .

Propozitia 2.1. Fie R = {0;−→ı ,−→ } un sistem de referinta.

a) Daca A(xA, yA), B(xB, yB) atunci−→AB = (xB−xA)−→ı +(yB−yA)−→ .

b) Daca −→v (x1, y1),−→w (x2, y2) atunci −→v ‖−→w ⇔ x1

x2

=y1

y2

. 1

In particular pentru R reper ortonormat avem:

c) Vectori −→v (x1, y1);−→w (x2, y2) sunt perpendiculari, notam: −→v ⊥ −→w ⇔

x1x2 + y1y2 = 0.

1fractiile pot avea si numitorul zero, caz ın care si numaratorul trebuie sa fiezero, fractia de acest tip fiind egala aici cu oricare alta.

116 Capitolul 5

§3. Corespondente ıntre anumite rezultate

geometrice si vectoriale

Precizam de la ınceput ca doar o parte din rezultatele geometrice potfi tratate vectorial convenabil. O clasificare ın functie de rezultatelevectorial folosite s-ar face prin:

A) Folosind suma vectorilor si produsul cu scalari.

Propozitia 3.1. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) ABCD este paralelogram;

b)−→AB +

−−→AD =

−→AC;

c) Exista O un punct astfel ıncat:−→OA +

−→OC =

−−→OB +

−−→OD;

d) Oricare ar fi O un punct avem:−→OA +

−→OC =

−−→OB +

−−→OD;

e)−→AB =

−−→DC sau

−−→AD =

−−→BC.

Demonstratie. Evidenta din definitia sumei vectoriale si proprietatiale paralelogramului.

Observatia 3.1. a) Daca−→AC =

−→AB +

−−→AD putem avea informatii

asupra directiei vectorului suma raportat la modulul vectorilor termeni

adica:sin DAC

sin BAC=‖−→AB‖‖−−→AD‖

.

Demonstratie. Se aplica teorema sinusului ın 4ABC si 4ACD pre-cum si proprietati ale paralelogramului obtinand:

AB

sin DAC=

DC

sin DAC=

AC

sin ADC=

AC

sin ABC=

BC

sin BAC=

AD

sin BAC.

b) In particular daca ‖−→AB‖ = ‖−−→AD‖, directia lui−→AC =

−→AB +

−−→AD este

chiar directia bisectoarei unghiului BAD.

Propozitia 3.2. Dreptele d1 si d2 sunt paralele daca si numai dacaexista vectorii nenuli −→v 1 si −→v 2 de directii paralele cu d1 respectiv d2

astfel ıncat: −→v 1 = λ−→v 2 cu λ ∈ IR.

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 117

Demonstratie. Evidenta din definitia ınmultirii unui vector cu unscalar.

Propozitia 3.3. Urmatoarele afirmatii sunt echivalante:

a) A,B, C sunt coliniare;

b) Exista X, Y, Z distincte, X,Y, Z ∈ {A,B,C} cu−−→XY ‖−−→XZ;

c) Exista O un punct si λi ∈ IR, i = 1, 3 cu3∑

i=1

λ2i 6= 0 astfel ıncat

λ1−→OA + λ2

−−→OB + λ3

−→OC =

−→0 si λ1 + λ2 + λ3 = 0.

d) Oricare ar fi M un punct exista λi ∈ IR, i = 1, 3 cu3∑

i=1

λ2i 6= 0 astfel

ıncat

λ1−−→MA + λ2

−−→MB + λ3

−−→MC =

−→0 si λ1 + λ2 + λ3 = 0.

Demonstratie. X,Y, Z distincte cu−−→XY ‖−−→XZ implica X, Y, Z coliniare

adica A,B, C coliniare sau echivalenta a) cu b).

a) ⇒ c) Avem din Propozitia 1.3:−→AB = ±AB

AC

−→AC adica exista O = A

si λ1 = −λ2 − λ3, λ2 = 1, λ3 = ±AB

ACastfel ıncat:

λ1−→OA + λ2

−−→OB + λ3

−→OC =

−→0 si λ1 + λ2 + λ3 = 0.

c) ⇒ d) Relatia λ1−→OA + λ2

−−→OB + λ3

−→OC =

−→0 se mai scrie

λ1

(−−→OM +

−−→MA

)+ λ2

(−−→OM +

−−→MB

)+ λ3

(−−→OM +

−−→MC

)=−→0

sau(λ1 + λ2 + λ3)

−−→OM + λ1

−−→MA + λ2

−−→MB + λ3

−−→MC =

−→0

de undeλ1−−→MA + λ2

−−→MB + λ3

−−→MC =

−→0 .

d) ⇒ b) Presupunem ca pentru M dat exista3∑

i=1

λi = 0, cu3∑

i=1

λ2i 6= 0

si λ1−−→MA+λ2

−−→MB+λ3

−−→MC =

−→0 . Presupunem λ1 6= 0 iar λ3 = −λ1−λ2

obtinand:

λ1−−→MA + λ2

−−→MB − λ1

−−→MC − λ2

−−→MC =

−→0

118 Capitolul 5

adicaλ1−→CA + λ2

−−→CB =

−→0

sau −→CA = −λ2

λ1

−−→CB

cea ce ınseamna−→CA‖−−→CB adica conditia b).

Propozitia 3.4. (Expresia vectoriala a cevienei). Fie M un punctpe dreapta BC.

a) Daca M se gaseste pe segmentul BC pe care-l ımparte ın raportul:MB

MC= k, atunci

−−→AM =

1

1 + k

−→AB +

k

1 + k

−→AC.

b) Daca M nu se gaseste pe segmentul BC pe care-l ımparte ın raportul:MB

MC= k atunci

−−→AM =

1

1− k

−→AB − k

1− k

−→AC.

Demonstratie.−−→AM =

−−→BM −−→BA =

k

1 + k· −−→BC +

−→AB =

=k

1 + k

(−→AC −−→AB

)+−→AB =

1

1 + k

−→AB +

k

1 + k

−→AC.

B C

A

M

Analog cazul b).

Observatia 3.2. a) Daca definim k ∈ IR ca respectand egalitatea−−→MB = −k

−−→MC atunci cele doua formule coincid adica:

−−→AM =

1

1 + k

−→AB +

k

1 + k

−→AC.

b) Daca M este mijlocul lui BC avem

−−→AM =

−→AB +

−→AC

2.

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 119

c) Daca AM este bisectoarea unghiului BAC:

- pentru bisectoarea interioara:−−→AM =

b

b + c

−→AB +

c

b + c

−→AC;

- pentru bisectoarea exterioara:−−→AM =

b

b− c· −→AB − c

b− c

−→AC;

unde ‖−→AB‖ = c, ‖−→AC‖ = b.

O aplicatie interesanta a expresiei vectoriale a medianei se obtineexploatand rezultatul geometric prin care simetricul ortocentrului fatade mijlocul unei laturi este diametral opusul varfului opus acelei laturi.

Propozitia 3.5. Fie O si H centrul cercului circumscris respectiv or-tocentrul 4ABC.

a) Pentru orice M din plan avem:

−−→MH + 2

−−→MO =

−−→MA +

−−→MB +

−−→MC.

b) Daca exista M din plan astfel ıncat:

−−−→MH ′ + 2

−−→MO =

−−→MA +

−−→MB +

−−→MC

atunci H ′ este ortocentrul 4ABC.

c) Daca exista M din plan astfel ıncat:

−−→MH + 2

−−→MO′ =

−−→MA +

−−→MB +

−−→MC

atunci O′ este centrul cercului circumscris 4ABC.

Demonstratie. a) Stiind ca segmentele BC si HA′ se ınjumatatescavem:

A1 A'

H

A2

O

A

BC

120 Capitolul 5

−−→MB +

−−→MC =

−−→MH +

−−→MA′.

Adunam−−→MA si obtinem:

−−→MA +

−−→MB +

−−→MC =

−−→MH +

−−→MA′ +

−−→MA.

Dar−−→MO este mediana ın 4MAA′ deci

−−→MA +

−−→MA′ = 2

−−→MO

adica −−→MA +

−−→MB +

−−→MC =

−−→MH + 2

−−→MO.

b) Din relatia data pentru M scadem relatia a) scrisa pentru M obti-nand −−−→

MH ′ −−−→MH =−→0 adica H ′ = H.

c) Cu acelasi rationament ca la b) obtinem:

2MO′ − 2−−→MO =

−→0 adica O′ = O.

Observatia 3.3. Pentru M = O relatia a) devine:

−−→OH =

−→OA +

−−→OB +

−→OC

numita relatia lui Sylvester.

Pentru M = H relatia a) devine:

2−−→HO =

−−→HA +

−−→HB +

−−→HC.

Pentru M = G, centrul de greutate avem:

−−→GH + 2

−→GO =

−→GA +

−−→GB +

−→GC

iar cum G se gaseste pe dreapta lui Euler OH a triunghiului si o ımparte

ınGO

GH=

1

2deducem

−−→GH = −2

−→GO cea ce implica egalitatea:

−→GA +

−−→GB +

−→GC =

−→0 .

Obtinem astfel pentru G caracterizarea vectoriala:

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 121

Propozitia 3.6. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) G este centrul de greutate al 4ABC;

b)−→GA +

−−→GB +

−→GC =

−→0 ;

c) Exista M din plan cu−−→MA +

−−→MB +

−−→MC = 3

−−→MG.

d) Pentru orice punct N din plan avem:−−→NA +

−−→NB +

−−→NC = 3

−−→NG.

Demonstratie. a) ⇒ b) demonstrata prin particularizarea M = Gın Propozitia 3.5.

b) ⇒ c). Avem−→GA =

−−→GM +

−−→MA si analoagele care se ınlocuiesc ın

relatia b).

c) ⇒ d) Avem−−→NA =

−−→NM +

−−→MA si analoagele care se ınlocuiesc ın c).

d) ⇒ a). Notam cu G′ centrul greutate al 4ABC si avem din b)−−→G′A +

−−→G′B +

−−→G′C =

−→0 . Pentru N = G′ relatia d) devine

−−→G′A +

−−→G′B +

−−→G′C = 3

−−→G′G sau

−−→G′G =

−→0

adica G este centrul de greutate al 4ABC.

Se stie ca la un patrulater inscriptibil perpendicularele duse prin mi-jlocul unei laturi pe latura opusa (antimediatoare) sunt concurente ınanticentrul sau punctul lui Mathot, acesta fiind simetricul centrului cer-cului circumscris fata de centrul de greutate (intersectia bicevienelor).Rezulta astfel un paralelogram care poate fi exploatat vectorial ın:

Propozitia 3.7. Fie O si H centrul cercului circumscris respectiv an-ticentrul patrulaterului inscriptibil ABCD.

a) Pentru orice M din plan avem:

2−−→MH + 2

−−→MO =

−−→MA +

−−→MB +

−−→MC +

−−→MD.

b) Daca exista M din plan astfel ıncat:

2−−−→MH ′ + 2

−−→MO =

−−→MA +

−−→MB +

−−→MC +

−−→MD

atunci H ′ este anticentrul patrulaterului ABCD.

122 Capitolul 5

c) Daca exista M din plan astfel ıncat

2−−→MH + 2

−−→MO′ =

−−→MA +

−−→MB +

−−→MC +

−−→MD

atunci O′ este centrul cercului circumscris patrulaterului ABCD.

Demonstratie. a) Fie E, F mijloacele laturilor AD respectiv BC.Cum laturile patrulaterului EHFO sunt paralele doua cate doua avem−−→OH =

−−→OE +

−→OF sau

Q

P

H

F

E

O

A

BC

D

2−−→OH = 2

−−→OE + 2

−→OF =

−→OA +

−−→OD +

−−→OB +

−→OC.

Adunam la ambii membrii 4−−→MO si obtinem:

2−−→MH + 2

−−→MO =

−−→MA +

−−→MB +

−−→MC +

−−→MD.

Pentru b) si c) rationam identic ca ın Propozitia 3.5.

Observatia 3.4. a) Pentru M = O relatia a) devine

2−−→OH =

−→OA +

−−→OB +

−→OC +

−−→OD

adica o relatie a lui Sylvester pentru patrulaterul inscriptibil.

b) Pentru M = H, anticentrul relatia d) devine

2−−→HO =

−−→HA +

−−→HB +

−−→HC +

−−→HD.

c) Pentru M = G, intersectia bimedianelor avem−−→GH +

−→GO =

−→0 adica

−→0 =

−→GA +

−−→GB +

−→GC +

−−→GD.

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 123

Evident punctul G de intersectie al bimedianelor este complet carac-terizat de relatia de mai sus sau de oricare din afirmatiile:

Exista M din plan cu:−−→MA +

−−→MB +

−−→MC +

−−→MD = 4

−−→MG.

Oricare ar fi M din plan:−−→MA +

−−→MB +

−−→MC +

−−→MC = 4

−−→MG.

Motivarea acestor echivalente este asemanatoare cu cea de Propozitia3.6.

Propozitia 3.8. (Expresia vectorului cu extremitatea ın inter-sectia cevienelor ın functie de vectorii tripolari ai originii sale).

Cevienele AA′ si BB′ ale 4ABC se interesecteaza ın P . Daca Meste un punct oarecare ın plan atunci:

−−→MP =

kh

kh + k + 1

−−→MA +

1

kh + k + 1

−−→MB +

k

kh + k + 1

−−→MC

undeA′BA′C

= k iarB′CB′A

= h.

Demonstratie. Din Propozitia 3.4 pentru M ; B,A′, C avem:

−−→MA′ =

1

1 + k

−−→MB +

k

1 + k

−−→MC.

C'

P

A

B C

M

A'

B'

Aplicam ın4AA′C cu secanta B′, P, B teorema lui Menelaus obtinand:

PA

PA′ ·BA′

BC· B′CB′A

= 1 adicaPA

PA′ ·k

k + 1· h = 1

de undePA

PA′ =k + 1

kh.

124 Capitolul 5

Aplicam din nou Propozitia 3.4 pentru M ; A,P, A′ si avem:

−−→MP =

1

1 +k + 1

kh

· −−→MA +

k + 1

kh

1 +k + 1

kh

· −−→MA′ =kh

kh + k + 1· −−→MA+

+k + 1

kh + k + 1

(1

k + 1

−−→MB +

k

k + 1

−−→MC

).

Deci:

−−→MP =

kh

kh + k + 1

−−→MA +

1

kh + k + 1

−−→MB +

k

kh + k + 1

−−→MC.

Observatia 3.5. a) Daca AA′, BB′, CC ′ sunt ceviene ce se intersecteazaın P iar M un punct oarecare din plan, atunci relatia propozitiei ante-rioare devine:

−−→MP =

1

1 +AC ′

C ′B+

AB′

B′C

· −−→MA +1

1 +BA′

A′C+

BC ′

C ′A

· −−→MB+

+1

1 +CA′

A′B+

CB′

B′A

· −−→MC.

Daca utilizam relatiile lui Van Aubel adica:

AC ′

C ′B+

AB′

B′C=

AP

PA′ ;BC ′

C ′A+

BA′

A′C=

BP

PB′ ;CA′

A′B+

CB′

B′A=

CP

PC ′

obtinem pentru vectorul−−→MP expresia:

−−→MP =

PA′

AA′ ·−−→MA +

PB′

BB′ ·−−→MB +

PC ′

CC ′ ·−−→MC.

b) Particularizarile relatiei conduc la expresii utilizabile:

- Pentru mediane:

−−→MG =

1

3

−−→MA +

1

3

−−→MB +

1

3

−−→MC

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 125

sau pentru M = G avem:

−→GA +

−−→GB +

−→GC =

−→0 .

- Pentru bisectoare interioare:

−−→MI =

a

a + b + c

−−→MA +

b

a + b + c

−−→MB +

c

a + b + c

−−→MC

sau pentru M = I avem:

a−→IA + b

−→IB + c

−→IC =

−→0 .

- Pentru ınaltimile AA′, BB′, CC ′ avemA′BA′C

=tg C

tg B;

B′CB′A

=tg A

tg C;

C ′AC ′B

=tg B

tg Adeci pentru triunghi nedreptunghic avem:

−−→MH =

tg A∑tg A

−−→MA +

tg B∑tg A

−−→MB +

tg C∑tg A

−−→MC

sau pentru M = H avem:

tg A · −−→HA + tg B · −−→HB + tg C · −−→HC =−→0 .

- Pentru simedianele AA′, BB′, CC ′ avem din teorema lui Steiner:

A′BA′C

=c2

b2;

B′CB′A

=a2

c2;

C ′AC ′B

=b2

a2

deci

−−→MK =

a2

a2 + b2 + c2· −−→MA +

b2

a2 + b2 + c2· −−→MB +

c2

a2 + b2 + c2· −−→MC

sau pentru M = K avem:

a2−−→KA + b2−−→KB + c2 · −−→KC =−→0 .

- Pentru razele cercului circumscris: AA′ ∩ BB′ ∩ CC ′ = {O} pentrucare

A′BA′C

=sin 2C

sin 2B;

B′AB′C

=sin 2C

sin 2A;

C ′AC ′B

=sin 2B

sin 2A.

126 Capitolul 5

Aceste relatii se obtin prin aplicarea teoremei sinusului ın 4AA′B si

4AA′C unde avem: mA′AB = 90 − m(C

); mA′AC = 90 − m

(B

)

adicaA′Ccos B

=AA′

sin C;

cos C

A′B=

sin B

AA′

care ınmultite dau

A′CA′B

=cos B sin B

cos C sin C=

sin 2B

sin 2C.

Analog celelalte relatii. Obtinem deci:

−−→MO =

sin 2A∑sin 2A

−−→MA +

sin 2B∑sin 2B

−−→MB +

sin 2C∑sin 2C

−−→MC

sau ın particular pentru M = O:

sin 2A · −→OA + sin 2B · −−→OB + sin 2C · −→OC =−→0

relatie care ınmultita cuR2

2unde R = OA = OB = OC devine:

σ4OBC · −→OA + σ4OAC · −−→OB + σ4AOB · −→OC =−→0

unde σ4XY Z este aria 4XY Z.

c) Evident particularizarile pot continua pentru punctele Gergonne,Nagel, Toriocelli, Spiecker (centrul cercului ınscris ın triunghiul median)etc.

B) Folosind toate operatiile cu vectori din plan (adunarea, ınmultireacu scalari si produsul scalar).

Propozitia 3.9. (Conditii necesare si suficiente pentru perpen-dicularitate). Urmatoarele conditii sunt echivalente:

a)−→AB ⊥ −−→

CD;

b) Exista O din plan cu−→AB ·−→OC =

−→AB ·−−→OD (sau

−→OA·−−→CD =

−−→OB ·−−→CD);

c) Oricare ar fi M din plan avem−→AB ·−−→MC =

−→AB ·−−→MD (sau

−−→MA·−−→CD =−−→

MB · −−→CD);

d) AC2 + BD2 = AD2 + BC2.

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 127

Demonstratie. Oricare din cele patru relatii de la b) sau c) conduce

la−→AB · −−→CD = 0 adica AB ⊥ CD.

Relatia d) se mai poate scrie: AC2 − AD2 = BC2 −BD2 sau

(−→AC −−−→AD

) (−→AC +

−−→AD

)=

(−−→BC −−−→BD

)(−−→BC +

−−→BD

)

−−→DC

(−→AC +

−−→AD

)=−−→DC ·

(−−→BC +

−−→BD

)

−−→DC

(−→AC +

−−→AD +

−−→CB +

−−→DB

)= 0

sau −−→DC

(−→AB +

−→AB

)= 0 adica

−−→DC · −→AB = 0.

Propozitia 3.10. (Relatia lui Euler). Daca A, B, C, O sunt patrupuncte distincte atunci avem:

−→OA · −−→BC +

−−→OB · −→CA +

−→OC · −→AB = 0.

Demonstratie. Scriem−−→BC =

−→BA +

−→AC relatia devenind:

−→OA · −→BA +

−→OA · −→AC +

−−→OB · −→CA +

−→OC · −→AB = 0

sau−−→OA · −→AB −−→OA · −→CA +

−−→OB · −→CA +

−→OC · −→AB = 0

−→AB

(−→OC −−→OA

)+−→CA

(−−→OB −−→OA

)= 0

−→AB · −→AC +

−→CA · −→AB = 0

−→AB

(−→AC +

−→CA

)= 0

−→AB · −→0 = 0.

Pentru a exemplifica importanta relatiei lui Euler vom studia douarezultate:

Consecinta 3.1. Intr-un triunghi ınaltimile sunt concurente.

128 Capitolul 5

Demonstratie. Aplicam patrupunctului H; A,B, C unde HA ⊥ BCsi HB ⊥ AC relatia lui Euler:

B1

A1

H

A

B C

−−→HA · −−→BC +

−−→HB · −→CA +

−−→HC · −→AB = 0.

Ipoteza asupra lui H implica

−−→HA · −−→BC =

−−→HB · −→CA = 0

rezulta deci−−→HC · −→AB = 0 sau HC ⊥ AB.

Consecinta 3.2. (Teorena ortopolului). Fie A′, B′, C ′ picioareleproiectiilor varfurilor A,B respectiv C pe o dreapta oarecare d. Atunciperpendicularele duse prin A′, B′, C ′ pe laturile BC, AC respectiv ABsunt concurente ıntr-un punct numit ortopolul dreptei d fata de tri-unghiul ABC.

Demonstratie. Fie P intersectia a doua dintre perpenduiculare, PA′ ⊥BC si PB′ ⊥ AC.

d

P

B'C'A'

CA

B

Scriem pentru P ; A′, B′, C ′ relatia lui Euler:

−−→PA′ · −−→B′C ′ +

−−→PB′ · −−→C ′A′ +

−−→PC ′ · −−→A′B′ = 0

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 129

sau

−−→PA′

(−−→B′B +

−−→BC +

−−→CC ′

)+−−→PB′

(−−→C ′C +

−→CA +

−−→AA′

)+

+−−→PC ′

(−−→A′A +

−→AB +

−−→BB′

)= 0

sau

−−→PA′ · −−→BC + PB′ · −→CA +

−−→PC ′ · −→AB +

−−→AA′

(PB′ −−−→PC ′

)+

+−−→BB′

(−−→PC ′ −−−→PA′

)+−−→CC ′

(−−→PA′ −−−→PB′

)= 0

adica

−−→PA′ ·−−→BC +

−−→PB′ ·−→CA+

−−→AA′ ·−−→C ′B′+

−−→BB′ ·−−→A′C ′+

−−→CC ′−−→B′A′ = −−−→PC ′ ·−→AB.

Dar−−→PA′ ⊥ −−→

BC,−−→PB′ ⊥ −→

CA,−−→AA′ ⊥ −−→

C ′B′,−−→BB′ ⊥ −−→

A′C ′,−−→CC ′ ⊥ −−→

B′A′

rezultand ca membrul stang al egalitatii de mai sus este nul deci−−→PC ′ ⊥−→

AB.

Consecinta 3.3. (Lema lui Carnot vectoriala). Fie A′, B′, C ′

puncte pe laturile BC, AC respectiv AB ale triunghiului ABC. Per-pendicularele ın A′, B′, C ′ pe laturile pe care acestea se gasesc sunt con-curente daca si numai daca este ındeplinita relatia:

−−→AA′ · −−→BC +

−−→BB′ · −→CA +

−−→CC ′ · −→AB = 0

Demonstratie. Necesitatea. Aplicam relatia lui Euler pentru O; A,B,C unde O este punctul de concurenta al perpendicularelor ridicate ınA′, B′, C ′ pe laturile pe care se gasesc aceste puncte. Avem:

−→OA · −−→BC +

−−→OB · −→CA +

−→OC · −→AB = 0.

Perpendicularitatile OA′ ⊥ BC, OB′ ⊥ AC si OC ′ ⊥ AB implica−−→OA′ · −−→BC =

−−→OB′ · −→AC =

−−→OC ′ · −→AB = 0. Scriind

−→OA =

−−→OA′ +

−−→A′A si

analoagele pentru−−→OB si

−→OC relatia lui Euler devine:

−−→OA′ ·−−→BC +

−−→A′A ·−−→BC +

−−→OB′ ·−→CA+

−−→B′B ·−→CA+

−−→OC ′ ·−→AB +

−−→C ′C ·−→AB = 0

sau: −−→A′A · −−→BC +

−−→B′B · −→CA +

−−→C ′C · −→AB = 0

130 Capitolul 5

care ınmultita cu (−1) da exact relatia ceruta.

Suficienta. Fie O intersectia perpendicularelor ridicate ın A′ si B′ pelaturile respective. Scadem din relatia:

−−→OA′ · −−→BC +

−−→OB′ · −→CA +

−−→OC ′ · −→AB =

−−→OC ′ · −→AB

relatia din ipoteza obtinand:

−−→OA′·−−→BC+

−−→OB′·−→CA+

−−→OC ′·−→AB−−−→AA′·−−→BC−−−→BB′·−→CA−−−→CC ′·−→AB =

−−→OC ′·−→AB

sau(−−→OA′ +

−−→A′A

)−−→BC +

(−−→OB′ +

−−→B′B

)−→CA+

(−−→OC ′ +

−−→C ′C

)−→AB =

−−→OC ′ ·−→AB

−→OA · −−→BC +

−−→OB · −→CA +

−→OC · −→AB =

−−→OC ′ · −→AB.

Aplicam acum membrului stang relatia lui Euler obtinand−−→OC ′ ·−→AB = 0

adica perpendiculara ın C ′ pe AB treece prin O.

Observatia 3.6. Consecinta 3 conduce la gasirea unei alte conditiiexprimabila ın rapoarte ca perpendicularele ridicate ın trei puncte pelaturile unui triunghi sa fie concurente.

Fie A′ ∈ BC, B′ ∈ CA, C ′ ∈ AB cu−−→BA′ = λ

−−→BC,

−−→CB′ = µ

−→CA

si−−→AC ′ = ν

−→AC. Perpendicularele ın A′, B′, C ′ pe laturile BC, AC

respectiv AB sunt concurente daca si numai daca:

(2λ− 1)a2 + (2µ− 1)b2 + (2ν − 1)c2 = 0.

Observatia 3.7. In concluzie cele trei consecinte arata aportul esen-tial al relatiei vectoriale a patru-punctelor a lui Euler ın demonstrareaconcurentei unor drepte perpendiculare pe laturile unui triunghi.

Un domeniu important al utilizarii produsului scalar este ın calculul

distantelor dintre doua puncte. Utilizam aici exprimarea AB2 =−→AB ·−→

AB sau mai general daca−→AB si

−−→CD sunt coliniari:

−→AB · −−→CD = ±AB ·

CD, plus (minus) dupa cum vectorii au (nu au) acelasi sens.

Propozitia 3.11. (Teorema lui Pitagora, catetei, ınaltimii). Intriunghiul ABC cu D proiectie lui A pe BC urmatoarele afirmatii suntechivalente:

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 131

a) m(A

)= 900;

b) BC2 = AB2 + AC2;

c) AC2 = DC ·BC sau AB2 = DB · CB;

d) AD2 = DC ·DB.

Demonstratie. a) ⇔ b).−−→BC =

−→BA +

−→AC care ınmultita scalar cu

ea ınsasi avem:

BC2 =−−→BC · −−→BC =

(−→BA +

−→AC

)(−→BA +

−→AC

)=

= BA2 + AC2 +−→BA · −→AC +

−→AC · −→BA = AB2 + AC2 + 2

−→AB · −→AC.

Daca m(A

)= 900 avem

−→BA · −→AC = 0, atunci obtinem b). Daca avem

b) atunci−→BA · −→AC = 0 deci BA ⊥ AC adica a).

a) ⇔ c). Inmultim scalar relatiile:−→AC =

−−→AD +

−−→DC;

−→AC =

−→AB +

−−→BC

si obtinem:

AC2 =−→AC · −→AC = DC ·BC +

−→AB

(−−→AD +

−−→DC

)+−−→BC · −−→AD =

= DC ·BC +−→AB · −→AC

de unde echivalenta este imediata.

a) ⇔ d). Inmultim scalar relatiile:−→AC =

−−→AD +

−−→DC;

−→AB =

−−→AD +

−−→DB

si obtinem:

−→AC · −→AB = AD2 +

−−→DC · −−→DB +

−−→AD

(−−→DB +

−−→DC

)=

= AD2 −DC ·DB +−−→AD · −−→DE

unde E ∈ BC iar din AD ⊥ BC avem−−→AD · −−→DE = 0. Am ajuns deci

la relatia: −→AC · −→AB = AD2 −DC ·DB

de unde echivalenta ceruta este evidenta.

132 Capitolul 5

Propozitia 3.12. Notam cu a, b, c lungimile laturilor BC, AC respec-tiv AB ale 4ABC cu A′ mijlocul lui BC si cu D punctul de intersectieal bisectoarei interioare a lui A cu BC. Atunci:

1) (Teorema cosinusului) a2 = b2 + c2−2−→AB ·−→AC = b2 + c2−2bc cos A;

2) (Lungimea medianei) AA′2 =1

2(b2 + c2)− 1

4a2;

3) (Lungimea bisectoarei) AD2 = b · c − −−→DB · −−→DC =4bc

(b + c)2p(p − a)

unde p este semiperimetrul.

Demonstratie. 1)−−→BC =

−→AC −−→AB care ınmultita cu ea ınsasi ne da:

a2 = BC2 =−−→BC · −−→BC =

−→AC · −→AC +

−→AB · −→AB − 2

−→AC · −→AB =

= b2 + c2 − 2−→AC · −→AB = b2 + c2 − 2bc cos A.

2)−−→AA′ =

1

2

(−→AB +

−→AC

)care la fel ınmultita cu ea ınsasi ne da:

AA′2 =1

4

(−→AB · −→AB +

−→AC · −→AC + 2

−→AB · −→AC

)=

=1

4

(c2 + b2 + 2

−→AB · −→AC

).

Utilizand acum pentru produsul scalar relatia rezultata din teoremacosinusului obtinem:

AA′2 =1

4

(c2 + b2 + b2 + c2 − a2

)=

1

2(b2 + c2)− 1

4a2.

3) Am demonstrat pentru expresia vectoriala a bisectoarei formula:

−−→AD =

b

b + c

−→AB +

c

b + c

−→AC.

Analog

AD2 =−−→AD · −−→AD =

b2−→AB · −→AB + c2−→AC · −→AC + 2bc−→AB · −→AC

(b + c)2=

=2b2c2 + 2b2c2 cos A

(b + c)2=

2b2c2(1 + cos A)

(b + c)2=

2b2c2

(b + c)2· 2 cos2 A

2=

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 133

=4b2c2

(b + c)2· p(p− a)

bc=

4bc

(b + c)2· p(p− a)

unde am folosit formula cunoscuta: cos1

2=

√p(p− a)

bc.

Propozitia 3.13. (Distantele de la O la H, I,G). In 4ABC culungimile laturilor a, b, c notam cu O,N, I,G centrul cercului circum-scris, ortocentrul, centrul cercului ınscris, respectiv centrul de greutatesi r, R razele cercurilor ınscris si circumscris. Avem:

OH2 = 9R2 − (a2 + b2 + c2)

OG2 = R2 − 1

9(a2 + b2 + c2)

OI2 = R2 − 2Rr.

Demonstratie. Inmultim−−→OH obtinut prin relatia lui Sylvester cu el

ınsasi:

OH2 =−−→OH · −−→OH =

(−→OA +

−−→OB +

−→OC

)(−→OA +

−−→OB +

−→OC

)=

= OA2 + OB2 + OC2 + 2−→OA · −−→OB + 2

−→OA · −→OC + 2

−−→OB · −→OC =

= 3R2 +OA2 +OB2−AB2 +OA2 +OC2−AC2 +OB2 +OC2−BC2 =

= 9R2 − (a2 + b2 + c2).

Am aplicat ın 4OAB teorema cosinusului: 2−→OA ·−−→OB = OA2 +OB2 =

AB2, si analoagele ın 4OAC respectiv 4OBC.

OG2 =−→OG · −→OG =

1

9· −−→OH · −−→OH =

1

9[(9R2 − (a2 + b2 + c2)] =

= R2 − a2 + b2 + c2

9.

Pentru−→OI gasim din Observatia 5:

−→OI =

a

a + b + c· −→OA +

b

a + b + c· −−→OB +

c

a + b + c· −→OC

deci

OI2 =−→OI · −→OI =

1

(a + b + c)2(a2R2 + b2R2 + c2R2 + 2ab

−→OA · −−→OB+

134 Capitolul 5

+2ac−→OA · −→OC + 2bc

−−→OB · −→OC =

1

(a + b + c)2(a2R2 + b2R2 + c2R2+

+ab(2R2 − c2) + ac(2R2 − b2) + bc(2R2 − a2) =

=1

(a + b + c)2[R2(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac)− abc(a + b + c)] =

= R2− abc

a + b + c= R2− abc

4R

2

(a + b + c)r· 2Rr = R2− σ(ABC)

σ(ABC)· 2R =

= R2 − 2Rr.

Propozitia 3.14. (Distanta de la centrul cercului circumscrisunui patrulater la anticentrul sau). In patrulaterul inscriptibilABCD cu laturile AB = a, BC = b, CD = c, DA = d si diagonaleleAC = d1, BD = d2, R raza cercului circumscris, iar O si H centrulcercului circumscris respectiv anticentrul sau, avem:

OH2 = 4R2 − a2 + b2 + c2 + d2 + d21 + d2

2

4.

Demonstratie. Am aratat ca 2−−→OH =

−→OA +

−−→OB +

−→OC +

−−→OD deci:

4OH2 = 4−−→OH · −−→OH =

(−→OA +

−−→OB +

−→OC +

−−→OD

)(−→OA +

−−→OB +

−→OC+

+−−→OD

)= 4R2 + 2

−→OA · −−→OB + 2

−→OA · −→OC + 2

−→OA · −−→OD + 2

−−→OB · −→OC+

+2−−→OB · −−→OD + 2

−→OC · −−→OD = 4R2 + 2R2 − a2+

+2R2 − d21 + 2R2 − d2 + 2R2 − b2 + 2R2 − d2

2 + 2R2 − c2 =

= 16R2 − (a2 + b2 + c2 + d2 + d21 + d2

2)

sau

OH2 = 4R2 − a2 + b2 + c2 + d2 + d21 + d2

2

4.

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 135

Definitia 3.4. Prin sistem de puncte materiale ıntelegem o multimede puncte geometrice din plan caracterizate fiecare de cate o masa.

Daca A1, . . . , An cu masele m1, . . . , mn este un sistem de punctemateriale numim centrul de greutate al sistemului punctul G definitprin:

n∑i=1

mi−−→GAi = 0.

Exemple. 3.1) Considerand un sistem format din trei puncte A,B, Ccu mase egale m1 = m2 = m3 = m, centrul de greutate al acestuisistem de puncte materiale coincide cu centrul de greutate (intersectiamedianelor) al 4ABC, deoarece din Propozitia 3.6 avem:

−→GA +

−−→GB +

−→GC =

−→0 .

3.2) Pentru un sistem format din patru puncte A,B, C, D cu maseegale m1 = m2 = m3 = m4 = m, centrul de greutate al acestui sis-tem de puncte materiale este G, intersectia bimedianelor, deoarece dinObservatia 3.4 avem:

−→GA +

−−→GB +

−→GC +

−−→GD =

−→0 .

Propozitia 3.15. (Teorema lui Lagrange). Fie G centrul de greu-tate al sistemului de puncte materiale A1, . . . , An cu masele m1, . . . ,mn.Atunci pentru orice punct M din plan avem:

n∑i=1

miMA2i =

(n∑

i=1

mi

)MG2 +

n∑i=1

miGA2i .

Demonstratie. Aplicam teorema cosinusului ın 4MGAi si avem;

MA2i = MG2 + GA2

i − 2−−→GM · −−→GAi.

Inmultim relatiile cu mi si prin ınsumare avem:

n∑i=1

miMA2i =

(n∑

i=1

mi

)MG2 +

n∑i=1

miGA2i − 2

−−→GM

(n∑

i=1

mi−−→GAi

).

Cumn∑

i=1

mi−→GAi =

−→0 rezulta egalitatea ceruta.

136 Capitolul 5

Consecinta 3.4. Daca A1, . . . , An este un sistem de puncte materialede mase egale, mi = m, ∀i = 1, n, teorema lui Lagrange devine:

n∑i=1

MA2i =

n∑i=1

GA2i + nMG2

asa numita teorema a lui Steiner referitoare la momentul de inertie alunui punct fata de un sistem de puncte materiale de mase egale. Se de-fineste momentul de inertie al punctului P fata de sistemul A1, . . . , An

ca fiind numarul real notat I(P ) =n∑

i=1

PA2i . Relatia de mai sus ia

atunci forma:

I(M) = I(G) + nMG2.

Consecinta 3.5. In cazul particular al unui sistem de trei puncte ma-teriale A,B, C cu mase egale, cu lungimile laturilor a, b, c teorema luiLagrange devine:

MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + (GA2 + GB2 + GC2).

Din Propozitia 3.12 si rezultatul ca G ımparte fiecare mediana ın ra-portul 1/2 avem:

GA2 + GB2 + GC2 =4

9(AA′2 + BB′2 + CC ′2) =

=4

9

[(a2 + b2 + c2)− 1

4(a2 + b2 + c2)

]=

1

3(a2 + b2 + c2).

Relatia din teorema lui Lagrange devine:

MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 +1

3(a2 + b2 + c2)

numita relatia lui Leibnitz pentru triunghi.

Consecinta 3.6. La sistemul de patru puncte materiale ABCD demase egale cu lungimile laturilor a, b, c, d si a diagonalelor d1 si d2 teo-rema lui Lagrange devine:

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2.

GEOMETRIE PLANA TRATATA VECTORIAL 137

Din Observatia 3.4 avem∑−→

GA =−→0 care ınmultita scalar cu ea ınsasi

ne da: ∑GA2 + 2

∑−→GA · −−→GB = 0.

Dar 2−→GA · −−→GB = GA2 + GB2 −AB2 si deci

∑−→GA · −−→GB = 3

∑GA2 −

(a2 + b2 + c2 + d2 + d21 + d2

2). Atunci relatia lui Lagrange devine:

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 +1

4(a2 + b2 + c2 + d2 + d2

1 + d22)

adica relatia lui Leibnitz pentru patrulater.

Incheiem aceasta ıncercare de sistematizare a unor rezultate de ge-ometrie vectoriala prin prezentarea unei inegalitati puternice din arti-colul Produs scalar si aplicatiile sale de D. si R. Marinescu, RevistaMatematica a elevilor si profesorilor din judetul Hunedoara An II, Nr.2–2002, pag. 26–29.

Propozitia 3.16. Fie ABC triunghiul cu laturile a, b, c si M un punctdin plan. Pentru orice numere reale α, β, γ avem:

(α + β + γ)(αMA2 + βMB2 + γMC2) ≥ a2βγ + b2αγ + c2αβ.

Demonstratie. Fie −→v = α−−→MA + β

−−→MB + γ

−−→MC. Conditia −→v · −→v ≥ 0

devine:

α2MA2 + β2MB2 + γ2MC2 + 2αβ−−→MA · −−→MB + 2αγ

−−→MA · −−→MC+

+2βγ−−→MB · −−→MC ≥ 0

α2MA2 + β2MB2 + γ2MC2 + αβ(MA2 + MB2 − c2)+

+αγ(MA2 + MC2 − b2) + βγ(MB2 + MC2 − a2) ≥ 0

α(α + β + γ)MA2 + β(α + β + γ)MB2 + γ(α + β + γ)MC2 ≥≥ a2βγ + b2αγ + c2αβ

sau

(α + β + γ)(αMA2 + βMB2 + γMC2) ≥ a2βγ + b2αγ + c2αβ.

138 Capitolul 5

Consecinta 3.7. Pentru M = O, centrul cercului circumscris, α =β = γ = 1 obtinem: 9R2 ≥ a2 + b2 + c2.

Pentru M = O, α = a, β = b, γ = c avem:

(a + b + c)(aR2 + bR2 + cR2) ≥ a2bc + ab2c + abc2

sau R2 ≥ abc

a + b + cadica

R ≥(

abc

4R

)(2

(a + b + c) · r)· 2r = σABC · 1

σABC

· 2r = 2r.

60

CAPITOLUL III - DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU

§ 1 REPER CARTEZIAN, SCHIMBAREA REPERULUI.

Fie B ={__ __ __

i , j , k } o d-bază în V3 si O un punct în spaţiul

3E .

Definiţia 1.1. Ansamblul R = {__ __ __

O; i , j , k } se numeşte reper cartezian cu originea in O şi

versorii__ __ __

i , j , k .

Propoziţia 1.1. Dat R = {__ __ __

O; i , j , k } un reper cartezian, putem defini bijecţiile:

I R 3 3V : E V prin RV A OA .

II R3

R 3C : E prin RC A x,y,z unde ____

OA = x__

i +y__

j +z__

k .

Demonstraţie

I Injectivitatea : RV (A) =

RV (B) ____ ____

OA OB A B

Surjectivitatea : __

3a V , __

OA a

iar RV (A)=

____

OA =__

a .

Vectorul ____

OA se numeşte vectorul de poziţie al punctului A faţă de reperul R.

II Injectivitatea :RC (A) =

RC (B) = (x,y,z) implica : ____

OA = x__

i +y__

j +z__

k = ____

OB A=B

Surjectivitatea : (x,y,z) R3 notam : x__

i +y__

j +z__

k a şi luăm reprezentantul __

OA a

adică

____

OA = x__

i +y__

j +z__

k deci RC (A) = (x,y,z).

Elementele tripletului (x,y,z) se numesc coordonatele lui A faţă de reperul R (mai precis : x este

abscisa lui A ; y este ordonata lui A ; z este cota lui A ). Bijecţia RC se numeşte sistem de coordonate

cartezian, notaţia A (x,y,z) înţelegând-o prin faptul că punctul A are coordonatele (x,y,z) faţă de reperul

ales.

Observaţie La reperul R = {__ __ __

O; i , j , k } putem distinge

- axele de coordonate :

61

x’x ; y’y ; z’z ce sunt dreptele ce trec prin O orientate in acelaşi sens cu __ __

i , j respectiv __

k

având direcţiile acestor vectori.

- semiaxele de coordonate :

semiaxele pozitive: Ox, Oy, Oz sunt semidreptele pe axele de coordonate ce

păstrează sensul acestor axe.

semiaxele negative: Ox’, Oy’, Oz’ sunt semidreptele pe axele de coordonate cu sens contrar

acestora.

- planele de coordonate

planele (x,O,y) ; (x,O,z) si (y,O,z) sunt planele determinate de axele de coordonate : x’x si

y’y ; x’x si z’z respectiv y’y si z’z.

Caracterizarea acestor mulţimi de puncte şi a bijecţiilor de mai sus implică :

M x’x R_____ __

OM λ i , λ M( Rλ,0,0) ,λ

M _____ __

Ox OM λ i , λ 0 M( λ,0,0) ,λ 0

M _____ __

x'O OM λ i , λ 0 M( λ,0,0) ,λ 0 .

La fel :

M R_____ __

y'y OM λ j , λ M R(0,λ,0), λ

M R_____ __

z'z OM λ k , λ M R(0,0,λ), λ .

şi analoagele pentru semiaxele corespunzătoare.

M

R_____ __ __

_____ __

OM α i β j M(α,β,0) , α,β

xOy sau

OM k 0.

M

R_____ __ __

_____ __

OM β j γ k M(0,β,γ), β,γ

yOz sau

OM i 0.

M

R_____ __ __

_____ __

OM α i γ k M(α,0,γ), α,γ .

xOz sau

OM j 0.

62

Să cercetăm mai departe comportarea reperului la o translaţie a spaţiului euclidian real 3V şi apoi la

o transformare ortogonală.

Reamintim că spaţiul vectorial al vectorilor liberi 3V cu produsul scalar :

__ __ __ __

a b a b cosφ unde

φ este unghiul dintre __

a si __

b , este spaţiu vectorial euclidian real.

I) Pentru __

3a V fixat definim ( în contextul Observaţiei de la pagina 79) translaţia de vector __

a ca fiind

aplicaţia :

3 3a

T : V V unde __ __ __

3aT x x a ., x V

Existenţa reperului cartezian R = {__ __ __

O; i , j , k } implica extinderea translaţiei ca aplicaţie de la E3 la E

3 prin :

~

1a R Ra

T V T V

Adică :

____ ___ __ ___~

1 1 1 1a R R R R Ra a

T (A) V (T (V (A)) V (T (OA)) V (OA a) V (OB) B

unde __

AB a .

k

ij

x

y

z

x’

y’

z’

(x,O,y)

(y,O,z)

(x,O,z)

. M(,,0)

. M’(o,,)

. M”(0,,)

O

63

În concluzie in 3E putem considera “ translaţia de vector

__

a ” ca fiind aplicaţia :

~

a 3 3T : E E , __

~

aT (A) B unde ____ __

AB a.

Tot existenţa reperului R = {__ __ __

O; i , j , k } implică extinderea „translaţiei de vector __

a , a

T „ la aplicaţie

de la R3 la R3 :

3 3R Ra aT : , T x,y,z x ',y ',z'

unde __ __ __ __ __ __

aT (x i y j z k ) x ' i y ' j z ' k

Notând cu B=___

~

aT (A) adică AB a avem în d-baza {__ __ __

i , j , k } că __ __ __ __

1 2 3a a i a j a k . Deci :

____ ____ ____ __ __ __ __ __ __ __ __ __

1 2 3OA AB OB x i y j z k a i a j a k x' i y ' j z' k

sau :

1

2

3

x ' x a

y ' y a

z ' z a

(1.2)

Nu este de lipsit de interes să notăm Q=___

~

aT (O) , adică ____ __

OQ a, şi să definim reperul R’ = {Q ;__ __ __

i , j , k }

ca fiind reperul translatat cu vectorul __

a .

a

ik

j

a

k '

j 'i '

M(x,y,z) (x’,y’,z’)

O

Q

k

ij

x

y

z

O

a

A

B

Q

64

Pentru M 3E fie

RC (M)=(x,y,z) ; R'C (M)=(x’,y’,z’),

____ __ __ __ __

1 2 3OQ a a i a j a k ,

egalitatea ____ _____ _____

OQ QM OM implică:

__ __ __

1 2 3a i a j a k x ' __ __ __

i y ' j z ' k = __ __ __

x i y j z k

adică :

1

2

3

x ' x a

y ' y a

z ' z a

(1.3)

Observaţie Remarcăm diferenţa dintre formulele (1.2) si (1.3) care provine din faptul că în

(1.2) (x’,y’,z’) sunt coordonatele lui ___

~

aT (A) faţă de acelaşi reper R, pentru A având coordonatele

(x,y,z) , iar în (1.3) (x’,y’,z’) sunt coordonatele lui a

T A faţă de reperul translatat R’, A având

coordonatele (x,y,z) faţă de reperul iniţial R.

II) Fie S : 3 3V V o transformare ortogonală in sensul Definiţiei 6.4. Capitolul .III, adică păstrează

produsul scalar.

Notând cu __

i ' = S(__

i ) ; __

j ' = S(__

j ) ; __

k' S(__

k ) avem:

i ' j ' S i S j i j 0 i' i ' S i S i i i 1

i' k ' S i S k i k 0 j' j ' S j S j j j 1

k ' j ' S k S j k j 0 k ' k ' S k S k k k 1

In concluzie { __

i ' , __

j ' , __

k' ) formează o baza ortonormată in 3V şi atunci putem considera

reperul R’ = { O; i ', j ',k '}. Analog ca la translaţie putem considera extinderea la aplicaţiile lui 3E şi la R

3 prin :

~ ~

1

3 3 R RS : E E , S A V S V A , 3A E

şi

R R3 3S : ;S (x,y,z) (x ',y ',z')

unde S xi yj zk x 'i y ' j z'k . Notăm cu M = [ i

ja ] R3x3M ( ) matricea asociată lui S in baza

reperului R. Adică :

__ __ __ __

1 2 3

1 1 1S i a i a j a k i '

__ __ __ __

1 2 3

2 2 2S j a i a j a k j ' (1.4)

65

__ __ __ __

1 2 3

3 3 3S k a i a j a k k'

Din Propoziţia 6.6 (Capitolul III ) avem t

3M M I iar dacă A (x,y,z) şi ~

S A = C cu C(x’,y’,z’), avem din

Propoziţia 3.1 (Capitolul III).

x ' x

y ' M y

z ' z

(1.5)

relaţie ce leagă coordonatele lui A de cele ale lui ~

S A , ambele raportate la reperul R.

Să considerăm acum reperele R = {__ __ __

O; i , j , k } şi R’ = {O; __ __ __

i ', j ',k ' } şi A 3E de coordonate (x, y,

z) în R şi de coordonate (x’, y’, z’) în R’. Avem : ____

OA xi yj zk x 'i' y ' j' z 'k ' . Evident matricea

M cu elementele ce respectă (1.4) este şi matricea de trecere de la baza B’ = {__ __ __

i ', j ',k ' } la baza B = {

__ __ __

i , j , k } a lui 3V .

Notăm cu X =

x

y

z

respectiv X’ =

x '

y '

z '

matricea coloană a coordonatelor lui _____

OA în bazele B

respectiv B’. Relaţia (5.5) , Capitolul II se scrie: X = MX’ sau

x '

y '

z '

= tM .

x

y

z

, am obţinut astfel relaţia dintre coordonatele lui A faţă de reperele R şi R’.

Observaţie Translaţia de vector __

a a lui 3V a determinat o aplicaţie numită de noi translaţie

de vector __

a a lui 3E pe el însuşi. Am putut astfel defini reperul translatat cu vectorul __

a care este un

reper in sensul Definiţiei 1.1.

k

ij

x

y

z

O 'k

'i

'j

A(x,y,z) (x’,y’,z’)

66

Transformarea ortogonală S a lui 3V a determinat o aplicaţie S de la

3E la 3E pe care să o

numim rotaţie, ea implicând asocierea la reperul R = {__ __ __

O; i , j , k } a ansamblului R’ = {O; i ', j ',k ' }, vectori

definiţi în (1.4) şi care nu este totdeauna un reper in sensul Definiţiei 1.1. Adică baza ortonormată {

i ', j ',k ' } nu este neapărat o d-bază ea putând fi şi o s-bază. Lărgind deci noţiunea de reper cartezian

prin înlocuirea restricţiei de d-bază cu bază putem spune că R’ este un reper cartezian, numit reperul

rotit de aplicaţia ortogonală S.

Cum t

3M M I avem ( det 2M) 1 şi obţinem cazurile :

a) det M = 1 când reperul rotit este format din o d-bază.

b) det M =-1 când reperul rotit este format din o s-bază.

Definiţia 1.2. Aplicaţia surjectivă 3 3T: E E ce păstrează distanţa în

3E , adică :

T(A)T(B) = AB , A,B 3E (1.7)

se numeşte izometrie. Evident mulţimea izometriilor lui 3E , notată I(

3E ) cu compunerea este grup

numit grupul izometriilor spaţiului 3E .

.

Observaţie Izomeria T a lui 3E induce aplicaţia I :

3 3V V prin :

I(__ __

a) a' unde __

AB a

, T(A)T(B) a' (1.8)

În definiţia lui I : 3 3V V am folosit reprezentantul lui

__

a . Să arătam că I este bine definită.

Vom arăta întâi că T conservă unghiurile luând Δ ABC şi A’ = T(A), B’=T(B) şi C’=T(C) avem evident

Δ ABC congruent cu Δ A’B’C’ (L.L.L) cea ce implică ^ ^

m(BAC) m(B'A 'C') . Mai mult raţionamentul de

mai sus implică faptul că prin T coliniaritatea este păstrată, deci imaginea unui paralelogram rămâne

paralelogram. Atunci considerând __

AB, CD a şi A’ , B‘ , C’ , D’ imaginile prin T ale lui A, B, C

respectiv D, ABCD paralelogram implică A’B’C’D’ paralelogram sau ______ _____

A'B' C'D' adică I este bine

definită.

Să arătăm că I este izometrie în sensul Definiţiei 6.4 (Capitolul III).

Adică pentru __ __

3a ,b V fie __ __

OA a, OB b

, 0’ =T(0), A’ =T(A), B’ = T(B) avem :

d I a ,I b d O'A ',O'B' O'A ' O'B' B'A ' A 'B'

T A T B AB BA OA OB d a,b

Surjectivitatea lui I este implicată de cea a lui T.

Propoziţia 1.2. Dacă T este o izometrie, atunci există o rotaţie şi o translaţie :

~

3 3S: E E ; şi ~

3 3T:E E astfel încât :

67

T = ~

T ~

S .

Demonstraţie Fie I : 3 3V V aplicaţia asociată izomeriei definită de relaţiile (1.8.). Cu

raţionamentul de mai sus avem I izometrie a spaţiului vectorial euclidian 3V iar din Propoziţia 6.6

(Capitolul III) există translaţia de vector __

a , __ 3 3a

T : V V şi transformarea ortogonală S :3 3V V

astfel încât : I=T __

a

S. Considerăm reperele carteziene R={__ __ __

O; i , j , k } şi R’ = {O’; i ', j ', k ' } unde O’ =

T(O).

__

1 1 1

R' R R' R R Ra

V I V V T V V S V .

Evident ~

1 1

R' R R' RaV I V T , T V T V este translaţia de vector

_____ ___

OO' a iar ~

1

R RS V S V este o rotaţie, obţinând ~ ~

T T S. ٱٱٱ

§ 2 PLANUL IN SPATIU

Presupunem că avem fixat un reper cartezian R = {__ __ __

O; i , j , k } pentru toate rezultatele din

paragrafele următoare.

Propoziţia 2.1. Un plan din 3E este caracterizat de punctele M (x,y,z) ce respectă :

ax + by+cz+d = 0 (2.1)

unde : a2+b

2+c

2 0. Ecuaţia (2.1) se numeşte ecuaţia carteziană generală a planului.

Demonstraţie Notând cu α un plan din 3E cu 0 0 0 0M x ,y ,z α un punct fixat iar cu M(x,y,z) un

punct curent al planului avem _______ __

0M M n unde __ __ __ __

n a i b j c k este normala la plan. Relaţia

_______ __

0M M n = 0 implică :

( 0 0 0x x )a (y y )b (z z )c 0

sau notând cu d = -0 0 0ax by cz avem :

ax by cz d 0 .

Reciproc dacă M(x, y, z) respectă relaţia (2.1), alegem 0 0 0 0M x ,y ,z astfel încât :

0 0 0ax by cz d 0

care scăzută din (2.1) implică :

0 0 0a(x x ) b(y y ) c(z z ) 0.

adică vectorul __ __ __ __

n a i b j c k este normal pe vectorul

68

________ __ __ ___

0 0 0 0M M (x x ) i (y y ) j (z z ) k .

Cum mulţimea punctelor perpendiculare pe __

0 0M M ' n in 0M formează un plan rezultă că ecuaţia

caracterizează coordonatele unui punct din acest plan. ٱٱٱ

Propoziţia 2.2. Pentru 0 0 0 0M (x ,y ,z ) şi

__ __ __ __

3n a i b j c k V fixate, ecuaţia carteziană a

planului ce trece prin 0M şi admite normala

__

n este :

0 0 0a(x x ) b(y y ) c(z z ) 0 (2.2)

Demonstraţie Pentru M(x,y,z) un punct din acest plan avem evident _______ __

0M M n sau ______ __

0M M n 0

care scrisă in baza ortonormată ce alcătuieşte reperul devine relaţia cerută. ٱٱٱ

Propoziţia 2.3. Pentru 0 0 0 0M (x ,y ,z ) ,

__ __ __ __

1 2 3a a i a j a k şi __ __ __ __

1 2 3b b i b j b k , fixate (__ __

a,b

necoliniare), ecuaţia carteziana a planului ce trece prin 0M şi este paralel cu direcţiile lui

__ __

a si b este :

0 0 0

1 2 3

1 2 3

x x y y z z

a a a 0

b b b

(2.3) R

0 1 1

0 2 2

0 3 3

x x ta sb

y y ta sb , t,s

z z ta sb

(2.3’)

Demonstraţie Luând M(x,y,z) un punct din plan avem coplanaritatea vectorilor _______ __ __

0M M, a, b

adică (_______ __ __

0M M, a, b ) = 0 relaţie care scrisă în baza ortonormată din reper ne dă (2.3.). Coplanaritatea

lui ______

0M M cu __ __

a,b necoliniari implică descompunerea ______

0M M =__ __

t a s b care în coordonate implică

relaţiile (2.3’). Ecuaţiile (2.3’) se numesc ecuaţiile parametrice ale planului ce trece prin M0 şi este

paralel cu __ __

a si b ٱٱٱ .

Proprietatea 2.4. Pentru ____

m m mM (x ,y ,z ) , m 1,3 puncte necoliniare, ecuaţia carteziană a

planului determinat de 1 2 3M ,M ,M este :

1 2 3

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

x y z 1x ax bx cx

x y z 1 unde a,b,c0 (2.4) sau y ay ay ay

x y z 1 a b c 1z az az az

x y z 1

R (2.4')

Demonstraţie Scăzând ultima linie din celelalte, condiţia (2.4) este echivalentă cu :

3 3 3

1 3 1 3 1 3

2 3 2 3 2 3

x x y y z z

x x y y z z 0

x x y y z z

(2.4’’)

Dar pentru M(x, y, z) avem _______ __ __ __

3 3 3 3M M (x x ) i (y y ) j (z z ) k,

69

________ __ __ __ ___

3 m m 3 m 3 m 3M M (x x ) i (y y ) j (z z ) k , m 1,2.

Relaţia (2.4’) este echivalentă cu (_______ _______ ________

3 3 1 3 2M M,M M , M M ) = 0 adică 1 2 3M, M , M , M coplanare.

Coplanaritatea vectorilor _______ _______ _______

3 3 1 3 2M M, M M si M M cu _____ ______

3 1 3 2M M , M M necoliniari implică existenţa scalarilor

Ra,b cu :

_______ _______ _______

3 3 1 3 2M M aM M bM M

sau :

__ __ __ __ __ __

3 3 3 1 3 1 3 1 3(x x ) i (y y ) j (z z ) k a(x x ) i a(y y ) j a(z z ) k

__ __ __

2 3 2 3 2 3b(x x ) i b(y y ) j b(z z ) k .

Egalităţile pe coordinate fiind :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x ax bx (1 a b)x .

y ay by (1 a b)y .

z az bz (1 a b)z .

unde notând 1 a b c adică a b c 1 obţinem (2.4’).

Ecuaţiile (2. 4’) se numesc ecuaţiile parametrice ale planului determinat de 1 2M , M şi

3M ٱٱٱ .

Propoziţia 2.5. Ecuaţia carteziană a planului determinat de direcţia normalei __ __ __ __

n a i b j c k

şi la distanţa p de O este :

xcosα ycosβ zcosγ p 0 (2.5)

unde:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

acosα

a b c

bcosβ

a b c

ccosγ

a b c

(2.5’)

Ecuaţia (2.5) se numeşte ecuaţia normală a planului, alegerea semnelor în (2.5’) fiind o dată pentru +

şi apoi pentru -, obţinând astfel două plane paralele ce respectă condiţiile cerute.

Demonstraţie Calculând __

2 2 2n a b c avem

__ _____ __

1 2__ ___

n nn si n

n n

vectori normali la

plan şi unitari. Obţinem :

__ __ __ __

12 2 2 2 2 2 2 2 2

a b cn i j k

a b c a b c a b c

__ __ ___ __

22 2 2 2 2 2 2 2 2

a b cn i j k

a b c a b c a b c

.

70

Considerând perpendiculara din O pe plan ce-l înţeapă în M0 0 0 0(x ,y ,z ) avem

____

0OM coliniar cu ___

1n şi

___

2n . Adică ____

0OM =__

1p n sau ______

0OM =___

2p n iar un punct curent al planului M(x,y,z) respectă :

______ _____

o 0M M OM 0

sau

0 0 0(x x )pcosα (y y )pcosβ (z z )pcosγ 0

deci

0 0 0xcosα ycosβ zcosγ (x cosα y cosβ z cosγ) 0 .

Egalitatea _____ __ __ __

0OM p cosα i p cosβ j p cosγ k implică :

0

2 2 2

0

0

x pcosα

y pcosβ cu cos α cos β cos γ 1.

z pcosγ

astfel ecuaţia planului devine :

2 2 2xcosα ycosβ zcosγ (pcos α pcos β pcos γ) 0

de unde rezultă (2.5.). ٱٱٱ

Propoziţia 2.6. Pentru 0 0 0 0M (x ,y ,z ) distanţa la planul π de ecuaţie carteziană generală :

ax by cz d 0 este :

0 0 0

02 2 2

ax by cz dd(M ,π)

a b c

(2.6)

Dacă π este dat prin ecuaţia carteziana : xcosα ycosβ zcosγ p 0 atunci :

0 0 0 0d(M ,π) x cosα y cosβ z cosγ p (2.6’)

Demonstraţie Notăm cu __ __ __ __

n a i b j c k normala la planul π şi cu 1 1 1 1M (x ,y ,z ) piciorul

perpendicularei din 0M pe π . Evident

________

0 1M M şi __

n sunt coliniari, adică:

______ __ ______ __

0 1 0 1M M n M M n cosφ , unde 0φ {0 ; 180 } .

Cum _____

0 1 0M M d(M ,π) avem :

0 1 0 1 0 1 0

2 2 2

1d(M ,π) (x x )a (y y )b (z z )c

a b c

=0 0 0 1 1 1 0 0 0

2 2 2 2 2 2

ax by cz ax by cz ax by cz d.

a b c a b c

deoarece 1M π adică 1 1 1ax by cz d . Aplicând rezultatul la ecuaţia carteziana normală

obţinem (2.6’). ٱٱٱ

71

Exemplu 1) Pentru planele 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

π : a x b y c z d 0

π : a x b y c z d 0

Locul geometric al punctelor egal depărtate de cele două plane este format din cele două plane

bisectoare a unghiurilor diedre formate. Ele au ecuaţia :

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

a x b y c z d a x b y c z d

a b c a b c

(2.7)

2) Pentru planul π: ax by cz d 0 , locul geometric al punctelor situate la distanta k,

constantă de acest plan, are ecuaţia :

2 2 2

ax by cz dk.

a b c

sau

2 2 2ax by cz d k a b c 0

evident două plane paralele cu π .

Propoziţia 2.7. Fie 1 1 1 1 1π : a x b y c z d 0 şi

2 2 2 2 2π : a x b y c z d 0 două plane.

a) 1π este paralel cu

2π cu 1π

2π dacă şi numai dacă:

1 1 1 1

2 2 2 2

a b c d

a b c d

1) (2.8.)

b) 1π şi

2π sunt confundate dacă şi numai dacă:

1 1 1 1

2 2 2 2

a b c d

a b c d

1) (2.9.)

c) 1π şi

2π sunt concurente dacă şi numai dacă relaţiile (2.8.) si (2.9.) nu sunt adevărate.

Expresia cosinusului unghiurilor diedre formate fiind :

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

a a b b c ccosα

a b c a b c

Demonstraţie

a) Sistemul:

1 1 1 1

2 2 2 2

a x b y c z d 0

a x b y c z d 0

nu are soluţie dacă şi numai dacă 1 1 1 1

2 2 2 2

a b c d

a b c d

b) Condiţiile (2.9.) implică: 1 2 2 2 2π : ta x tb y tc z td 0 unde 1

2

at

a

1 Egalităţile le consideram extinse şi în cazul în care unul din coeficienţi este 0. Dacă aceasta este

numitor (sau numărător) implică şi numărătorul (sau numitorul ) 0, considerând că fracţia cu numitorul şi

numărătorul zero este egală cu orice altă fracţie.

72

iar prin împărţire la t obţinem ecuaţia lui 2π , adică

1 2π π .

c) Cum două plane în spaţiu pot fi paralele, confundate sau concurente, înseamnă că negarea

condiţiilor (2.8.) si (2.9.) implică concurenţa planelor. Unghiurile diedrelor formate de cele 4 semiplane

sunt congruente cu unghiurile formate de cele 4 normale adică :

__ __ __

1,2 1 1 1n (a i b j c k ) şi __ __ __

3,4 2 2 2n (a i b j c k ).

Deci:

1 2 1 2 1 21,2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

a a b b c ccosα

a b c a b c

ٱٱٱ .

Exemplu Planele : 1

2

π : 3x 2y 6

π : 6x 4y 0

verifică :

3 2 0 6

6 4 0 0

ele fiind ecuaţiile a două plane paralele iar

planele: 1

2

π :2x z 1 0

π : y 3 0

verifica

2 0 1 1

0 1 0 3

ele fiind ecuaţiile a două plane concurente.

Observaţie Date planele concurente 1 1 1 1 1π : a x b y c z d 0 şi

2 2 2 2 2π : a x b y c z d 0 ,

putem scrie ecuaţia fasciculelor de plane ce trec prin 1π

2π :

R1 2 1 1 1 1 2 2 2 2π λπ : a x b y c z d λ(a x b y c z d ) 0, λ

Propoziţia 2.8. Pentru p 3 plane ___

m m m m mπ : a x b y c z d 0, m 1,p

notăm A =

1 1 1

2 2 2

p p p

a b c

a b c

...............

a b c

şi B =

1 1 1 1

2 2 2 2

p p p p

a b c d

a b c d

.....................

a b c d

şi avem :

1) Dacă rang A = 3 = rang B = 3 , atunci planele sunt concurente într-un punct.

2) Dacă rang A = 3 rang B, atunci între p (p 4) plane avem cel puţin 3 concurente iar unul din

celelalte nu trece prin punctul lor de concurenţă.

3) Dacă rang A = 2 = rang B, atunci planele ce intersectează după o dreaptă ( fascicol de plane ).

4) Dacă rang A = 2 rang B, atunci dreptele de intersecţie a câte două plane sunt paralele şi cel

puţin două distincte.

5) Dacă rang A = 1 = rang B, atunci toate planele sunt confundate.

6) Dacă rang A = 1 rang B, atunci planele sunt paralele cel puţin două distincte.

Demonstraţie Evidentă din discuţia sistemului format de ecuaţiile celor p plane. ٱٱٱ

De multe ori este mai eficient să lucrăm vectorial. Pentru M un punct curent al planului notăm cu

__

r vectorul său de poziţie.

1) Ecuaţia generală vectorială a planului :

73

__ __

r n a

unde __

3n V {0} iar a R

2) Ecuaţia parametrică vectorială a planului:

R__ ___ __ __

0r r t a s b, t,s

unde __

0r este vectorul de poziţie al punctului M0 din plan,

__ __

3a, b V 0 vectori necoliniari.

3) Ecuaţia vectorială a planului ce trece prin M0 având vectorul de poziţie

__

0r şi are normala __

n :

(__ __ __

0r r ) n 0

4) Ecuaţia vectorială a planului ce trece prin M0 având vectorul de poziţie

__

0r şi este paralel cu

vectorii necoliniari şi nenuli __

a şi __

b :

(__ __ __ __

0r r , a,b) 0

5) Ecuaţia vectorială a planului ce trece prin punctele necoliniare Mi având vectorii de poziţie

___

ir , i 1,3 :

(__ __ __ __ __ __

1 2 1 3 1r r , r r , r r ) 0.

Exemplu Ecuaţia planului care taie axele de coordonate în A(a,0,0) ; B(0,b,0) ;C(0,0,c) are

expresia :

x y z

1 0a b c

şi se numeşte ecuaţia planului prin tăieturi.

74

§ 3 DREAPTA IN SPATIU

În spaţiu o dreaptă este perfect determinată de :

a) două puncte distincte.

b) un punct şi o direcţie.

c) intersecţia a două plane.

Să găsim ecuaţiile dreptei in fiecare din aceste cazuri :

a) Presupunem date 1 1 1 1M (x ,y ,z ) şi

2 2 2 2M (x ,y ,z ) două puncte distincte iar __

1r respectiv

__

2r vectorii lor de poziţie. Să notăm cu d dreapta determinată de 1M şi

2M iar M(x,y,z) cu

vectorul de poziţie __

r un punct curent al dreptei. Condiţia de coliniaritate a punctelor

1 2M,M , M implică vectorial:

R_____ ______

1 1 2MM λMM , λ

sau :

R__ __ __ __

1 2 1d : r r λ(r r ) ; λ (3.1)

numită ecuaţia vectorială a dreptei 1 2M M . Scriind în coordonate obţinem :

R

1 2 1

1 2 1

1 2 1

x x λ(x x ).

d: y y λ(y y ) ; λ

z z λ(z z ).

(3.2)

numite ecuaţiile parametrice ale dreptei 1 2M M . Eliminând λ între ecuaţiile de mai sus

obţinem :

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z zd:

x x y y z z

(3.3.)

numite ecuaţiile carteziene ale dreptei 1 2M M

Exemplu Ecuaţiile laturilor ΔABC unde A (a,0,0) ; B (0,b,0) , C(0,0,c) cu a,b,c 0

sunt :

- ecuaţia vectorială a dreptei AB :

Vezi nota de la pagina 192

75

AB : R__ __ __ __

r a i λ(b j a i ), λ

- ecuaţiile parametrice ale dreptei BC :

BC : R

x 0.

y b λb. λ

z λc.

- ecuaţiile carteziene ale dreptei AC :

AC : x a y z

a 0 c

b) Presupunem date punctul 1 1 1 1M (x ,y ,z ) cu vectorul de pozitie

__

1r şi __ __ __ __

v l i m j n k

un vector nenul. Să notăm cu d dreapta ce trece prin punctul 1M şi are direcţia vectorului

__

v numindu-l vectorul director al dreptei d, pe care considerăm M(x,y,z) cu __

r vectorul

său de poziţie. Condiţia de coliniaritate a vectorilor ______

1M M şi __

v implică :

__ __ __

1d: ( r r ) v 0 sau R__ __ __

1r r λ v , λ (3.4)

numite ecuaţiile vectoriale ale dreptei ce trece prin 1M şi are direcţia

__

v .

Scrise pe coordonate acestea revin la :

R

1

1

1

x x λl

d: y y λm, λ .

z z λn.

(3.5)

numite ecuaţiile parametrice ale dreptei ce trece prin 1M şi are direcţia

__

v .

Eliminarea lui λ implică ecuaţiile:

1 1 1x x y y z zd:

l m n

(3.6.)

numite ecuaţiile carteziene ale dreptei ce trece prin 1M şi are direcţia __

v .

Vezi nota de l;a pagina 192

76

Exemplu Fie ___

i i i iM (x ,y ,z ), i 1,4 patru puncte ce determină un tetraedru în spaţiu.

Să găsim ecuaţiile înălţimilor sale. Notăm cu (1,2,3) planul determinat de ____

iM , i 1,3

care are normala ___ _______ _________

4 2 1 3 4n M M M M adică :

___ __ __ __ __ __ __

4 1 2 2 3 3 1n r r r r r r

Ecuaţia vectorială a înălţimii 4d din

4M este :

__ __

4 4d : ( r r ) ( __ __ __ __ __ __ __

1 2 2 3 3 1r r r r r r ) 0

sau ecuaţiile carteziene :

4 4 44

1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

3 3 3

x x y y z zd :

y z z x x y

y z z x x y

.

unde sumele sunt sume circulare cu schimbarea indicilor sugerată de săgeţi.

Analog pentru celelalte înălţimi.

c) Presupunem date planele 1 1 1 1 1π : a x b y c z d 0 şi 2 2 2 2 2π : a x b y c z d 0 cu

rang 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

= 2 pentru ca cele două plane să se intersecteze. Notând cu

1 2d π π , un punct M(x,y,z) cu vectorul de pozitie __

r se găseşte pe d dacă verifică

sistemul :

4n

(1,2,3)

M1

M2

M3

M4 d4

77

1 1 1 1

2 2 2 2

a x b y c z d 0d:

a x b y c y d 0

(3.7)

Dacă 0 0 0 0M (x ,y ,z ) cu vectorul de poziţie

__

0r este un punct al dreptei d [adică o soluţie

particulară a sistemului (3.7)], atunci :

- ecuaţia vectorială a dreptei 1 2d π π este :

__ __ __ __ __

0 1 2d : ( r r ) (n n ) 0 (3.8)

unde __ __ __ __ ____

h h h hn a i b j c k , h 1,2 sunt normalele la cele două plane.

- ecuaţiile carteziene ale dreptei 1 2d π π sunt :

0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

x x y y z zd :

b c c a a b

b c c a a b

(3.9)

- ecuaţiile parametrice ale dreptei 1 2d π π sunt :

R

1 1

0

2 2

1 1

0

2 2

1 1

0

2 2

b cx x λ

b c

c ay y λ λ

c a

a bz z λ

a b

(3.10)

Să vedem acum ce probleme pot fi puse dacă avem date o dreapta d şi un punct 0M

din spaţiu.

Propoziţia 3.1. Fie d dreaptă având vectorul director v şi care trece prin M1 cu 1r

vectorul său de poziţie şi M0 cu __

0r vectorul sau de poziţie un punct , nesituat pe ea.

Atunci :

- Punctul M cu __

r vectorul de poziţie se găseşte in planul determinat de 0M şi d

dacă :

__ __ __ __ __

0 1 0( r r , r r , v ) 0 (3.11)

- Distanţa de la 0M la d se calculează după formula :

78

__ __ __

1 0

0 __

(r r ) v

d(M ,d)

v

(3.12)

Demonstraţie Planul determinat de 0M şi d este evident paralel cu

__

v , cu ______

0 1M M şi

_______

0M M , coplanaritatea celor trei vectori implicând relaţia cerută. Luăm 2M d astfel încât

_______ __

1 2M M v . Aria paralelogramului 0 1 2M M M N se poate calcula :

0 1 2

______ _______ ________

M M M N 0 1 1 2 0 1 2A M M M M d(M ,d) M M , egalitate care implică :

.

________ ________ ___ ___

0 1 1 2 1 0

0 ________ __

1 2

M M M M ( r r ) v

d(M ,d)

M M v

ٱٱٱ

În continuare să vedem ce probleme pot fi puse dacă avem date două drepte în spaţiu.

Propoziţia 3.2. Pentru ___

h 1,2 consider dreapta hd cu vectorul director

__

hv ce trece

prin hM cu vectorul de poziţie __

hr . Atunci :

- Dreptele 1d şi 2d sunt concurente dacă şi numai dacă :

__ __ __ __

1 2 1 2(r r , v , v ) 0 (3.13)

- Dreptele 1d şi

2d sunt paralele dacă şi numai dacă :

__ __ __

1 2v v 0 (3.14)

- Dreptele 1d şi 2d sunt perpendiculare dacă şi numai dacă :

__ __

1 2v v 0 (3.15)

v

d

N

M M2

M0

79

- Pentru 1d şi

2d neparalele punctul M aparţine perpendicularei comune pe cele două

drepte dacă şi numai dacă :

______ __ __ __

1 1 1 2

_______ __ __ __

0 2 1 2

(M M, v , v v ) 0

( M M,v , v v ) 0

(316).

- Distanţa dintre d1 şi d2 (neparalele) având expresia:

________ __ __

1 2 1 2

1 2 __ __

1 2

( M M , v ,v )

d(d ,d )

v v

(3.17)

- Unghiul α determinat de cele două drepte are măsura :

__ __

1 2

__ __

1 2

v vcosα

v v

(3.18)

Demonstraţie Concurenţa dreptelor 1d şi

2d este echivalentă cu coplanaritatea

vectorilor ______ __

2 1 1M M , v şi __

2v adică relaţia (3.13). Paralelismul si perpendicularitatea dreptelor

este echivalentă cu vectorii directori de aceeaşi direcţie şi perpendiculari adică relaţiile

(3.14) respectiv (3.15). Evident perpendiculara comuna are direcţia vectorului __ __

1 2v v ea

fiind la intersecţia planelor :

- planul ce trece din 1d şi este paralel cu

__ __

1 2v v de ecuaţie :

_____ __ __ __

1 1 1 2(M M, v , v v ) 0

- planul ce trece prin 2d şi este paralel cu __ __

1 2v v de ecuaţie :

______ ___ ___ ___

2 2 1 2(M M, v , v v ) 0

80

Obţinem astfel pentru perpendiculara comună ecuaţiile (3.16.)

Considerând '

1 1M d şi '

2 2M d cu ________ _________ __

' '

1 1 1 2 2 2M M v , M M v putem construi

paralelipipedul 2 2 1 1M M 'FEMHGM ' .

Înălţimea 1M J este chiar distanţa dintre cele două drepte putând scrie pentru volum

expresiile :

V '2 2

______ __ __

1 1 2 1 2M M FEM J A (M M , v , v ) .

Cum '2 2

__ __

1 2M M FEA v v obţinem :

______ __ __

1 2 1 2

1 2 __ __

1 2

(M M , v , v )

d(d ,d )

v v

.

1vd1 M1

M2 d2 2v

M1’

M2’

A

B

J

F

H G

E

1vd1

M1

M2

d2 2v

21 vv

M

81

Unghiul dintre cele două drepte este unghiul α dintre vectorii lor directori adică relaţia

ٱٱٱ .(.3.18)

Să considerăm acum o dreaptă şi un plan.

Propoziţia 3.3. Fie d o dreapta cu vectorul director __ __ __ __

v l i m j n k , care trece prin

0 0 0 0M (x ,y ,z ) şi planul π :ax by cz d 0 . Atunci :

a) dreapta d este paralelă cu planul π dacă şi numai dacă :

0 0 0

al bm cn 0

ax by cz d 0

(3.19)

b) dreapta d este conţinută în planul π dacă şi numai dacă:

0 0 0

al bm cn 0

ax by cz d 0

(3.20)

c) dreapta d intersectează planul π dacă şi numai dacă :

al bm cn 0

- coordonatele punctului de intersecţie fiind :

0

0

0

x x λl

y y λm

z z λn

unde 0 0 0ax by cz dλ

al bm cn

(3.21)

- unghiul π

θ [0, ]2

format de dreapta d şi planul π (unghiul dintre d şi proiecţia ei pe

planul π ) are valoarea :

2 2 2 2 2 2

al bm cnsinθ

a b c l m n

(3.22)

- dreapta d perpendiculară pe planul π dacă :

l m n

a b d

(1 (3.23.)

Demonstraţie Notăm cu N ai bj ck normala la plan. Dreapta este paralelă cu

planul dacă v N 0 adică al bm cn 0 Dacă în plus avem că 0M π adică

0 0 0ax by cz 0 atunci dreapta este conţinută în plan, dacă nu, atunci dreapta este

1 Vezi convenţia de la pagina 192

82

exterioară planului. Evident v N 0 înseamnă ca d nu e paralela cu π adică se

intersectează. Punctul de intersecţie se găseşte rezolvând sistemul :

0

0

0

ax by cz d 0

x x λl

y y λm

z z λn

în necunoscutelor x,y,z,λ . Adică :

0 0 0a(x λl) b(y λm) c(z λn) d 0

sau 0 0 0ax by cz dλ

al bm cn

.

Notând cu θ unghiul lui d cu π avem :

__ __

_ __ 2 2 2 2 2 2

π v N al bm cncos( θ)

2 a b c l m nv N

Dreapta d este perpendiculară pe planul π dacă __

N şi __

v sunt coliniari, adică :

l m n

a b c

ٱٱٱ

Exemplu Considerăm tetraedrul ABCO unde A (a,0,0) ; B (0,b,0) ; C(0,0,c), abc 0. Să

se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin C şi este egal înclinată faţă de feţele tetraedrului ce

trec prin C. Ecuaţia planului (ABC) este :

x y z

1 0,a b c

deci normala la acest plan are expresia __ __ __ __

0

1 1 1n i j k

a b c .

Evident normala la planul (OAC) este __

j iar normala la planul (OBC) este __

i .

v

A

N

2

d

d’

83

Să considerăm ecuaţia vectorială a dreptei cerute cu __ __ __ __

v l i m j n k vectorul director şi

care trece prin punctul C : R__ __ __

r c k λ v , λ şi impunem că unghiul format de aceasta cu

feţele (AOC) ; (BOC) şi (ABC) să fie acelaşi, adică :

__ ____ __ __ __

0

__ __ __ __

0

n vi v j v

v v n v

sau :

2 2 2

l m n

a b cl m1 1 1

a b c

ecuaţia cerută fiind de forma:

R.__ __ __ __

2 2 2

1 1 1 λ λr λ i λ j c 1 λ k, λ

a ba b c

84

CAPITOLUL IV - CONICE

§ 1 DEFINIŢIE, PARTICULARIZĂRI

Fie E2 mulţimea punctelor dintr-un plan dat. Notăm V2 mulţimea vectorilor din V3 cu direcţiile

paralele cu E2. Se poate demonstra uşor că V2 este un subspaţiu bidimensional al lui V3.

Definiţia 1.1. Ansamblul unde iar este o bază ortonormată a lui V2

se numeşte reper cartezian în planul E2.

Evident prin analogie cu reperul în spaţiu putem defini bijecţiile :

numindu-se vectorul de poziţie al punctului A faţă de reperul R iar perechea (x,y) reprezintă

coordonatele lui A faţă de acest reper.

Observaţie . Pentru reperul numim O originea sa, axele de coordonate fiind:

axa absciselor x'x ce trece prin O şi ale direcţiei lui ;

axa ordonatelor y'y ce trece prin O şi are direcţia lui .

I) Pentru translaţia de vector putem defini extinderea ei la mulţimea

punctelor planului considerând compunerea :

adică pentru dacă şi numai dacă .

Numim translatatul reperului R cu vectorul reperul unde . Dacă

atunci avem :

(1.1.)

R O; i , j 2O E i , j

R 2 2 R 2v : E V v A OA A E

2

R 2 R 2C : E R C A x,y unde OA x i yj A E

OA

R O; i , j

i

j

a 2 2T : V V 2a V

1

a 2 2 a R a RT : E E , T v T v

2 aA E , B T A AB a

a R Q; i , j aQ T 0

R RC A x,y ; C A x ,y

1 1 2

2

x x - a unde a a i a j

y z a

85

II) Pentru S:V2V2 transformare ortogonală notăm cu avem:

Cum şi notăm cu unghiul dintre obţinând :

(1.2.)

când determinantul matricei asociate lui S este 1 şi

(1.3.)

când determinantul matricei asociate lui S este –1.

Notând noul reper şi cu (x,y) coordonatele lui A faţă de acesta obţinem :

(1.4.)

numite ecuaţiile rotaţiei de unghi sau :

(1.5.)

numite ecuaţiile roto-simetriei în jurul lui 0x şi de unghii .

i S i , j S j

1 2

2 2

1 2

2 2

i S i a i a j

j S j a i a j

i i j j 1 i j 0 i şi i

i cosα i sinα j

j sinα i cosα j

i cosα i sinα j

j sinα i cosα j

R O; i , j

x x cosα y sinα

y x sinα y cosα

x xcos α y sinα

y x sinα y cosα

i

j

'i

'j

a

O

Q

x

y

x’

y’

i

j'i

'j

x’

y’

'j 'ii

j

86

Pentru noţiunile şi rezultatele din acest capitol în lipsa altor precizări considerăm date un reper

cartezian plan .

Definiţia 1.2. Numim conică sau curbă algebrică plană de ordinul al doilea submulţimea

punctelor din plan a căror coordonate anulează expresia:

(1.6.)

unde . Notând cu Γ conica avem .

Observaţie : Egalitatea g(x,y) = 0 se scrie matriciale ca sistemul :

(1.7.)

Cei şase coeficienţi a11, a12, a22, a10, a20, a00 se numesc coeficienţii neesenţiali ai

conicei, condiţia implicând cel puţin unul diferit de zero, prin împărţire cu acesta

obţinem doar 5 coeficienţi ce determină până la unicitate conica. Aşadar pentru 5 puncte diferite

putem găsi o conică care să treacă prin ele.

Una din problemele esenţiale ale geometriei analitice este de a dovedi că pentru fiecare

conică există un reper faţă de care ecuaţia conicei are una din formele din tabelul

următor :

Tabelul l

Denumirea conicei Ecuaţia în forma

canonică Reprezentarea

A.- Conice nedegenerate

Cerc cu centrul în 0 şi raza

R.

R O; i , j

2 2

11 12 22 10 20 00g x,y a x 2a x y a y 2a x 2a y a

2 2 2

11 12 13a a a 0 Γ M x,y g x,y 0

11 12 10

not

12 22 20

10 20 00

a a a x

g x,y,z x z y a a a z 0

ya a a

z 1

2 2 2

11 12 22a a a 0

R O; i , j

2 2 2x y R

(R,0)

87

Eclipsă cu centrul în 0 şi

semiaxele a şi b

Hiperbola cu centrul în 0 şi

semiaxele a şi b

Parabolă cu vârful în 0 şi

focarul

B.- Conice degenerate

Pereche de drepte concurente

în 0

b

a

-b

Pereche de drepte paralele şi

simetrice faţă de OY

-a a

Pereche de drepte confundate

Un punct , originea

2 2

2 2

x y1 0

a b

2 2

2 2

x y1 0

a b

p,0

2

2y 2 p x

2 2

2 2

x y0

a b

2

2

x1 0

a

2

2

x0

a

2 2

2 2

x y0

a b

(a,0)

(0,b)

(a,0) (-a,0)

(p/2,0)

88

Mulţimea vidă

sau

§ 2 REDUCEREA CONICELOR LA FORMA CONICĂ

Considerăm conica Γ de ecuaţie :

Definiţia 2.1. Numerele definite prin :

(2.1.)

se numesc invarianţii metrici ai conicei Γ.

Propoziţia 2.1. Invarianţii conicei nu se modifică dacă efectuăm o translaţie sau o rotaţie.

Demonstraţie: Evident funcţia definită în (1.7.) este omogenă de gradul 2, teorema lui

Euler implicând :

sau particularizând pentru (x, y, 1) avem :

(2.2.)

A).- Considerăm translaţia de ecuaţii (1.1.) şi avem :

(2.3.)

ultima egalitate fiind scrisă prin aplicarea formulei lui Taylor funcţiei g.

Cum , , iar din relaţia (2.2.) pentru (a1,a2) avem :

2 2

2 2

x y1 0

a b

2

2

x1 0

a

2 2

11 12 22 10 20 00g x,y a x 2a x y a y 2a x 2a y a 0

Δ, δ, I

11 12 10

11 12

12 22 20 11 22

12 22

10 20 00

a a aa a

Δ a a a ; δ ; I a aa a

a a a

g

g g gx y z 2g

x y z

10 20 00

g x,y g x,yx y 2 a x 2a y 2a 2g x,y

x y

1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 22 2

1 2 1 2 1 22 2

0 g x,y g x a ,y a

g gg a ,a x a ,a y a ,a

x y

1 g g gx a ,a 2x y a ,a y a ,a

2! x yx y

2

112

g2a

x

2

122

g2a

x

2

222

g2a

x

1 21 2 1 2 1 2 10 1 20 2 oo

a ag gg a ,a a ,a a ,a a a a a a

2 x 2 y

89

obţinem pentru relaţia (2.3.) egalitatea :

(2.4.)

Invarianţii metrici ataşaţi ecuaţiei sunt :

unde :

Înmulţind prima linie cu (-a1) a doua cu (-a2) şi adunându-le peste a treia obţinem :

Înmulţim prima coloană cu (-a1) a doua cu (-a2) şi adunându-le peste a treia obţinem :

În concluzie deci am arătat invarianţa la translaţia :

B) Considerăm rotaţia de ecuaţii :

avem pentru ecuaţia conicei expresia :

=0

unde :

(2.5.)

2 2

11 12 22 1 2 1 2

1 21 2 1 2 10 1 20 2 00

g ga x 2a x y a y x a ,a y a ,a

x y

a ag ga ,a a ,a a a a a a 0.

2 y 2 y

11 12

11 22

12 22

a aI a a , δ

a a

11 12 10

12 22 20

10 20 00

a a a

Δ a a a

a a a

10 1 2 11 1 12 2 10

1 ga a ,a a a a a a

2 x

20 1 2 12 1 22 2 20

1 ga a ,a a a a a a

2 y

1 200 1 2 1 2 10 1 20 2 00

a ag ga a ,a a ,a a a a a a

2 x 2 y

11 12 10

12 22 20

10 20 10 1 20 2 00

a a a

Δ a a a

a a a a a a a

11 12 10

12 22 20

10 20 00

a a a

Δ a a a

a a a

Δ Δ, δ δ , I I

x x cosα y sinα

y x sinα y cosα

2 2

11 12 22 10 20 00a x 2a x y a y 2a x 2a y a

2 2

11 11 12 22a a cos α 2a sinα cosα a sin α

12 12 22 11a a cos2α a a sinα cosα

2 2

22 11 12 22a a sin α 2a sinα cosα a cos α

10 10 20a a cosα a sinα

20 10 20a a sinα a cosα

00 00a a

90

Calculând :

(2.6.)

avem :

Calculând :

(2.7.)

avem :

În concluzie elementele metrice sunt invariante la rotaţie. ٱٱٱ

Definiţia 2.2. Numim centrul de simetrie al conicei Γ punctul din plan faţă de care conica este

simetrică. Când acesta există conica se numeşte conica cu centru.

Exemplu Conica Γ: are centru C(1,0) pentru că din M(x,y) avem

deci .

Propoziţia 2.2. Conica admite centrul de simetrie dacă şi numai dacă

, perechea fiind soluţia a sistemului :

(2.8.)

Mai mult efectuând o translaţie astfel încât reperul translatat este obţinem

ecuaţia conicei faţă de acesta de forma :

(2.9.)

11 22I a a I

11 12 11 12

12 22 12 22

a a a acosα sinα cosα - sinα

sinα cosα a a sinα cosα a a

11 12

12 22

a a cosα sinα cosα - sinαδ δ δ

a a sinα cosα sinα cosα

11 12 10

12 22 20

10 20 00

a a acosα sinα 0 cosα - sinα 0

sinα cosα 0 a a a sinα cosα 0

0 0 1 0 0 a a a

11 12 10

12 22 20

10 20 00

a a a

a a a

a a a

cosα sinα 0 cosα - sinα 0

Δ sinα cosα 0 Δ sinα cosα 0 Δ

0 0 1 0 0 1

Δ, δ, I

2 2g x,y x y 2x 0 Γ

2 2 2 2g 2 x, y 4 4x x y 4 2x x y 2x 0 M 2 x, y Γ

Γ : g x,y 0 0 0C x ,y

11 12

12 22

a aδ 0

a a 0 0x ,y

11 12 10

12 22 20

1 δga x a y a 0

2 δx

1 δga x a y a 0

2 δy

R C; i , j

2 2

11 12 22

ΔΓ : a x 2a x y a y' 0

δ

91

Demonstraţie Efectuăm translaţia şi avem :

Simetria faţă de înseamnă echivalenţa: adică :

sau este unica soluţie a sistemului (2.7.).

Ecuaţia conicei faţă de noul reper fiind :

(2.10.)

Dar :

Rezultă deci că verifică ecuaţiile :

(2.11.)

sistem de trei ecuaţii cu două necunoscute iar .

Aceasta implică :

sau

de unde .

Înlocuind în (2.10.) obţinem expresia cerută.

Observaţie

1.- Dacă şi , atunci sistemul (2.11.) nu are soluţie

0

0

x x x

y y y

0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 22 2

0 0 0 0 0 02 2

g g0 g x,y g x x ,y y g x ,y x x ,y y x ,y

x y

1 g g gx x ,y 2x y x ,y y x ,y .

2! x yx y

0 0C x ,y M x ,y Γ M x , y Γ

0 0 0 0

g gx ,y x ,y 0

x y

0 0x ,y

2 2

11 12 22 0 0a x 2a x y a y g x ,y 0

2 2

0 0 11 0 12 0 0 22 o 10 0 20 0 00

0 11 0 12 0 10 0 12 0 22 0 20 10 0

20 0 00 0 0 0 0 0 0 10 0

20 0 00 10 0 20 0 00

g x ,y a x 2a x y a y 2a x 2a y a

x a x a y a y a x a y a a x

1 g 1 ga y a x x ,y y x ,y a x

2 x 2 x

a y a a x a y a

0 0x ,y

11 12 10

12 22 20

10 20 00 0 0

a x a y a 0

a x a y a 0

a x a y a g x ,y 0

11 12

12 22

a aδ 0

a a

11 12 10 11 12 1011 12

12 22 20 12 22 12 22 20

10 20 0010 20 0 010 20 00 0 0

a a - a a a aa a 0

0 a a - a a a 0 a a a

a a aa a g x ,ya a a g x ,y

0 0g x ,y δ Δ 0 0

Δg x ,y

δ

δ 0 Δ 0

92

deci conica nu admite centru, este cazul parabolei.

2.- Dacă şi , atunci sistemul (2.11.) este compatibil nedeterminat, adică conica admite o

dreaptă de centre de simetrie este cazul perechilor de drepte paralel sau confundate şi mulţimea vidă.

Să ne ocupăm în continuare de reducerea la forma conică a ecuaţiei unei conice, adică de

găsirea reperului faţă de care conica are una din ecuaţiile din TABELUL 1 (pag.213). Vom face acest

lucru prin două metode :

Considerăm conica Γ:

I) Dacă avem

a) Pentru efectuăm restrângeri de pătrate şi avem :

Efectuăm translaţia :

şi avem :

b) Pentru , condiţia implică şi sau

invers, caz care se tratează analog.

Pentru avem :

Efectuăm translaţia :

şi avem :

care este forma canonică (parabola).

11 12 10

12 22

12 22 20 0 0

10 20

10 20 00 0 0

a a aa a

Δ' 0 a a a Δ g x ,y δ Δa a

a a a g x ,y

δ 0 Δ 0

2 2

11 12 22 10 20 00g x,y a x 2a xy a y 2a x 2a y a 0

12a 0 2 2

11 10 22 20 00g x,y a x 2a x a y 2a y a 0

11 22a a 0

2 2

2 210 10 20 2011 222 2

11 2211 22

2 2

10 2000

11 22

a a a ag x,y a x 2 x a y 2 y

a aa a

a aa 0

a a

10

11

20

22

ax x

a

ay y

a

2 2

11 22 00a x a y a 0

11 22a a 0 2 2 2

11 12 22a a a 0 11a 0 22a 0

20a 0

2 2

2 10 10 00 1011 202

11 20 20 1111

a a a ag x,y a x 2 x 2a y 0

a 2a 2a aa

10

11

2

00 10

20 20 11

ax x

a

a ay y

2a 2a a

2

11 20a x 2a y 0

93

Pentru a20=0 avem :

Efectuăm translaţia:

şi avem:

care este conică în ecuaţia canonică (două drepte paralele, confundate sau mulţimea vidă).

II) Dacă avem două metode de a găsi forma canonică a ecuaţiei conicei.

A) Metoda valorilor proprii Ea constă din etapele:

1) Extragem forma pătratică ce intervine în ecuaţia conicei:

2) Matricea are polinomul caracteristic cu rădăcinile reale

(pentru că ) distincte ( sau imposibil deoarece

), unde .

3) Găsim vectorii proprii unde este o soluţie a sistemului:

.

Obţinem vectorii ortogonali şi apoi baza ortonormată:

.

4) Notând matricea de trecere de la baza ortonormată la baza ,

avem cazurile:

a) Dacă det R =1 efectuăm rotaţia:

2 2

2 10 10 1011 002

11 1111

a a ag x,y a x 2 x a 0

a aa

10

11

ax ' x

a

y ' y

2

11 00a x' a' 0

12a 0

11 122 2

11 12 22

12 22

a a xh x,y a x 2a xy a y x y

a a y

11 12

12 22

a aA

a a

2P λ λ I λ δ

tA A1 2λ , λ

2

1 2λ λ 4δ I 2 2

11 22 12a a 4a 0

12a 011 12

11 22

12 22

a aI a a iar δ

a a

h h hv x i y j, h 1,2 h hx ,y

11 h h 12 h

12 h 22 h h

a λ x a y 0, h 1,2

a x a λ y 0

1 1 1

2 2 2

v x i y j

v x i y j

11 11 21

1

22 12 22

2

ve b i b j

v

ve b i b j

v

11 12

21 22

b bR

b b

i, j 1 2e ,e

11 12

21 22

b bx x '

b by y '

94

b) Dacă det R=-1, atunci efectuăm rotaţia :

ecuaţia conicei luând forma :

în cazul a)

în cazul b).

Obţinem astfel ecuaţia conicei în situaţia I).

Exemplu. Să se aducă la forma canonică conica de ecuaţie.

1) Forma pătratică asociată :

2) Matricea are polinomul caracteristic : cu rădăcinile

.

3) Pentru vectorul propriu verifică :

adică x1=y1, în particular perechea (1,1) este soluţie. Atunci :

deci .

Pentru vectorul propriu verifică :

adică x1= -y1, în particular perechea (2,-2) este soluţie. Atunci :

deci .

Avem deci baza ortonormată unde:

4) Matricea de trecere :

12 11

22 21

b bx x

y b b y

2 2

1 2 10 20 00λ x λ y 2a x 2a y a 0

2 2

2 1 10 20 00λ x λ y 2a x 2a y a 0

2 2Γ : 3x 2xy 3y 4x 0

2 2 3 -1 xh x,y 3x 2xy 3y x y

1 3 y

3 -1A

1 3

2P λ λ 6λ 8

1 2λ 2, λ 4

1λ 2 1 1 1v x i y j

1 1

1 1

3 2 x y 0

x 3 2 y 0

1v i y 11

1

v 1 1e i j

v 2 2

2λ 4 2 2 2v x i y j

1 1

1 1

3 4 x y 0

x 3 4 y 0

2v 2 i 2j 22

2

v 1 1 1e 2 i 2y i j

v 8 2 2

1 2e ,e

1

2

1 1e i j

2 2

1 1e i j

2 2

95

au determinat R = -1

Efectuăm rotaţia unde în matricea R am schimbat coloanele între ele:

şi obţinem :

adică :

sau

Am ajuns astfel la ecuaţia conicei din cazul I); formăm pătrate perfecte :

Efectuăm translaţia :

ecuaţia conicei devine :

sau înmulţită cu avem :

adică faţă de acest reper o elipsă cu centrul în originea reperului şi cu semiaxele .

1 1

2 2R

1 1

2 2

1 1

x x2 2

y 1 1 y

2 2

2 2x y x y y x x y x y

3 2 3 4 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 23 3 3 3 4 4

x 1 y 1 x y 3 3 x y 02 2 2 2 2 2

2 2 4 4

4 x 2 y x x 02 2

2 21 1 2 1 3

4 x x 2 y y 08 2 22 2

1x x

2 2

1y y

2

2 2 3

4 x 24 y 02

2

3

2 2

2 2

x y1 0

3 3

8 2

3 3 şi

8 2

96

B) Metoda roto – translaţiei. Să considerăm că efectuăm rotaţia de unghi adică :

Ecuaţia conicii are forma :

unde noii coeficienţi sunt daţi în formulele (2.5.). Pentru avem :

.

Alegem unghiul astfel încât :

(2.12.)

şi obţinem astfel în urma rotaţiei de acest unghi ecuaţia conicei în forma I).

Exemplu. Pentru conica : ecuaţia (2.12.) are forma :

adică

Efectuăm rotaţia :

Formulele (2.5.) ne dau :

Deci ecuaţia conicei este :

.

Formând pătratele perfecte avem :

x x cosα y sinα

y x sinα y cosα

2 2

11 12 22 10 20 00a x 2a x y a y 2a x 2a y a 0

12a

12 12 22 11 12 22 112a 2a cos2α a a 2sinαcosα 2a cos2α a a sin2α

12a ' 0 adica

11 12 12a a sin2α 2a cos2α

2 2Γ : 3x 2xy 3y 4x 0

0 2cos2α π

α4

π π x yx x cos y sin

4 4 2 2

π π x yy x sin y cos

4 4 2 2

11

22

3 1 3a 2 2

2 2 2

3 1 3a 2 4

2 2 2

10 00

20

2a a 0

2

2a

2

2 2 4 4

2 x 4 y x y 02 2

x

y

x’

y’

x’’

y”

97

Cu translaţia :

ecuaţia conicei devine :

sau

cu reprezentarea :

Observaţie Pentru conica notăm

invarianţii : şi folosim

denumirile :

1) Γ este conică degenerată dacă =0 şi nedegenerată dacă 0.

2) Γ este conică de gen :

eliptic dacă .

hiperbolic dacă

parabolic dacă

Putem sintetiza rezultatele referitoare la natura şi genul conicii în tabelul :

=0 >0 Un punct

2 22 1 1 1 3

2 x x 4 y y 02 8 22 2

1x x

2

1y y

2 2

2 2 3

2 x 4 y 02

2 2

2 2

x y1 0

3 3

2 8

2 2

11 12 22 10 20 00Γ : g x,y a x 2a xy a y 2a x 2a y a 0

11 12 10

11 12

11 22 12 22 20

12 22

10 20 00

a a aa a

I a a ; δ ; Δ a a a a a

a a a

δ 0

δ 0

δ 0

x

y y’

x’

y’’

x”

=π/4

98

=0 Reuniune de drepte (paralele, confundate) sau

<0 Reuniune de drepte (concurente)

0 >0 I 0 Elipsă

I 0

=0 Parabolă

<0 Hiperbolă

99

§ 3 INTERSECŢII, DREPTE ŞI PUNCTE PARTICULARE

1.- Intersecţia conicei cu o dreaptă

Fie conica 2 2

11 12 22 10 20 00Γ : g x,y a x 2a xy a y 2a x 2a y a 0 şi dreapta

0

0

x x λlΔ :

y y λm

, λR ce trece prin 0 o 0M x ,y şi are vectorul director v l i m j . Pentru a afla

intersecţia lor înlocuim coordonatele dreptei în ecuaţia conicei rezultând ecuaţia în :

2

0 0 0 0 0 0

g gλ h l,m λ l x ,y m x ,y g x ,y 0

x y

(4.1.)

unde 2 2

11 12 22h x,y a x 2a xy a y .

Distingem cazurile :

I) h l,m 0 .

Dacă 0 0 0 0

g gl x ,y m x ,y 0

x x

atunci taie conica într-un singur punct.

Dacă 0 0 0 0

g gl x ,y m x ,y 0

x x

iar 0 0g x ,y 0 atunci nu taie conica.

Dacă 0 0 0 0

g gl x ,y m x ,y 0

x x

iar 0 0g x ,y 0 atunci Γ , conica fiind formată din o

pereche de drepte.

II) h l,m 0 şi notăm:

2

0 0 0 0 0 0

g gσ l x ,y m x ,y 4g x ,y h l,m

x x

(4.2.)

şi avem :

Dacă σ 0 , atunci intersectează conica în două puncte distincte.

Dacă σ 0 , atunci este tangentă conicii Γ.

Dacă σ 0 , atunci nu intersectează conica.

Observaţie Să determinăm ecuaţiile tangentei şi normalei într-un punct al conicei.

Considerăm 0 o 0M x ,y Γ , conica Γ : g x,y 0 . Dreapta este tangentă la Γ dacă :

0 0 0 0

g gσ l x ,y m x ,y 0

x x

adică:

0 0

0 0

gx ,y

m xgl

x ,yy

.

Ecuaţia tangentei devine :

100

0 0

0 0 0

0 0

gx ,y

m xy y x x x xgl

x ,yy

adică :

0 0 0 0 0 0

g gx x x ,y y y x ,y 0

x y

. (4.3.)

Normala în M0 la Γ are panta l

m adică ecuaţia sa este :

0 0

0 0 0 0

x x y y

g gx ,y x ,y

x y

(4.4.)

2. - Direcţii asimptotice, asimptote

Definiţia 4.1. Spunem că vectorul a l i m j au direcţia asimptotică dacă :

2 2

11 12 22h l,m a l 2a lm a m 0

Dreapta de direcţie asimptotică ce nu taie conica nedegenerată se numeşte asimptotă a acelei conice.

Observaţie Conform discuţiei de mai sus dreapta este asimptotă dacă :

0 0

0 0 0 0

g x ,y 0

h l,m 0

g gl x ,y m x ,y 0

x y

Cum 0 0x ,y este un punct al dreptei iar ultima ecuaţie este o ecuaţie liniară rezultă că ea

reprezintă exact ecuaţia dreptei cerute deci asimptotă are ecuaţia :

g g

l x,y m x,y 0x y

(4.5.)

unde h(l,m)=0.

3. - Pol, polară

Fie 0 0P x ,y şi conica Γ de ecuaţie:

2 2

11 12 22 10 20 00g x,y a x 2a xy a y 2a x 2a y a 0

Definiţia 4.2. Numim dedublare în punctul P pentru monoamele de grad cel mult 2

următoarele transformări.

101

2

0

2

0

0 0

αx α x x

αy α y y

ααxy xy x y

2

0

0

ααx x x

2

ααy y y

2

k k,k R

În consecinţă dedublata ecuaţiei g(x,y)=0 în punctul P(x0,y0) este ecuaţia:

11 0 12 0 0 22 0 10 0 20 0 00a xx a xy x y a yy a x x a y y a 0 (4.6.)

sau eliminând a00 între această ecuaţie şi :

2 2

0 0 11 0 12 0 0 22 0 10 0 20 0 00g x ,y a x 2a x y a y 2a x 2a y a

obţinem:

11 0 12 0 10 0 11 0 12 0 10 12 0 22 0 20

0 12 0 22 0 20 0 0

x a x a y a x a x a y a y a x a y a

y a x a y a g x ,y 0.

Adică :

0 0 0 0 0 0 0 0

g gx x x ,y y y x ,y 2g x ,y 0

x y

(4.7.)

Definiţia 4.3. Dacă 22

0 0 0 0

g gx ,y x ,y 0

x y

, atunci ecuaţia (4.7.) reprezintă o

dreaptă numită polara punctului P, în raport cu conica Γ, P numindu-se polul acestei drepte.

Observaţie

1) Notând cu pA polara lui A faţă de o conică dată, avem :

A BB p A p deoarece luând 1 1 2 2A x ,y ; B x ,y .

A 11 2 1 12 2 1 1 2 22 2 1 10 1 2

20 1 2 00 B

B p a x x a x y x y a y y a x x

a y y a 0 A p

2) Pentru a afla polul P al unei drepte date d (dacă există) alegem două puncte distincte pe ea A

şi B avem : P A P AA p P p ; B p P p . Adică P este intersecţia polarelor din A şi B.

3) Dacă P Γ polara sa este chiar tangenta la Γ în acel punct deoarece

0 0 0 0P x ,y Γ g x ,y 0 situaţie în care ecuaţiile (4.5.) şi (4.1.) coincid.

4) Dacă A, B, C sunt colinare şi admit polare, acestea sunt concurente. Reciproc dacă trei

drepte sunt concurente, atunci polurile lor sunt colinare.

5) Dacă A este polul dreptei pA faţă de conica Γ şi este o dreaptă oarecare ce trece prin A şi

taie conica în M şi N iar dreapta pA în B atunci :

AM BM

AN BN (4.8.)

Pe s-a ales un sens pozitiv, luând AM AM dacă A precede M şi AM AM dacă M precede A.

Analog pentru celelalte segmente.

102

Considerăm conica: 2 2

11 12 22 10 20 00Γ : g x,y a x 2a xy a y 2a x 2a y a 0 şi punctul

0 0A x y . Avem :

A 11 0 12 0 0 22 0 10 0 20 o 00p : a xx 2a xy x y a yy a x x 2a y y a 0

şi fie dreapta Δ ce trece prin A de ecuaţie:

Δ:0

0

x x λl

y y λm

λR .

Dar M şi N sunt punctele de intersecţie ale lui cu Γ, ele obţinându-se pentru λ1; λ 2 rădăcinile ecuaţiei

(4.1.). Din asemănare avem :

M 0 1 1

N 0 2 2

x x λ l λAM

AN x x λ l λ

Considerăm 3 3B x ,y unde 3 0 3

3 0 3

x x λ l

y x λ m

iar prin calcul

AB p dacă şi numai dacă :

0 0

3

0 0 0 0

2g x ,yλ

g gl x ,y m x ,y

x y

.

Deci :

0 1 0 3 1 3M B

N B 0 2 0 3 2 3

x λ l x λ l λ λx xBM

BN x x x λ l x λ l λ λ

egalitatea de demonstrat revine la :

1 31

2 2 3

λ λλ

λ λ λ

sau 1 2 3 1 22λ λ λ λ λ unde înlocuind suma şi produsul rădăcinilor ecuaţia (4.1) obţinem :

0 0

0 0 0 00 0

0 0 0 0

g x ,y2

h l,m

g gl x ,y m x ,y

2g x ,y x y

g g h l,ml x ,y m x ,y

x y

egalitate evidentă.

A

M

B

N

Δ

Γ

103

Aplicaţie. Fie ABC un triunghi neisoscel, nedreptunghic şi notăm cu TA, TB, TC tangentele în

A, B respectiv C la cercul său circumscris. Arătaţi că punctele în care aceste tangente intersectează

latura opusă sunt colinare (Dreapta ortică a triunghiului ABC).

Notăm punctele de intersecţie a tangentelor cu laturile opuse cu A, B, C şi intersecţia

tangentelor cu ,,. Evident αB αC; βA βC; γA γB deoarece tangentele dintr-un punct exterior

la cerc sunt congruente. Aplicând Δαβγ cu punctele pe laturi A, B, C teorema lui Ceva avem :

Aγ Cβ Bα1

Aβ Cα Bγ . Adică dreptele A, B, C sunt concurente într-un punct, fie acesta P. Polara lui

este BC, a lui este AC, a lui este AB, a lui A este TA, a lui B este TB, a lui C este TC. Cum

AA BC T avem că polara lui A trece prin polul lui BC adică şi prin polul lui TA adică A.

Rezultă deci că polara lui A este A. Analog polara lui B este B iar polara lui C este C.

Dar concurenta dreptelor A, B, C implică faptul că polara lui P trece prin A, B, C deci ele sunt

colinar

A

B C

TA

TB

TC

A’

C’

B’

α

γ

β

104

CAPITOLUL V - CUADRICE

§ 1 DEFINIŢIE PARTICULARIZĂRI

Vom descrie în acest capitol mulţimi de puncte din E3 având fixat un reper R = {O; , , }.

Definiţia 1.1. Numim cuadrică mulţimea punctelor M(x,y,z) din E3 a căror coordonate verifică

ecuaţia:

g(x,y,z) = a11x2 + a22y

2 + a33z

2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +

+ 2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0 şi 0 (1.1)

Notăm = {M(x,y,z) | g(x,y,z) = 0} sau pe scurt : g(x,y,z) = 0

Observaţie. Ecuaţia (1.1) este echivalentă cu:

A. SFERA

Definiţia 1.2. Numim sfera de centru C(x0,y0,z0) şi rază R R+ mulţimea punctelor M(x,y,z)

din E3 a căror distanţă la centru este egală cu R. Condiţia revine la:

(x -x0)2 + (y - y0)

2 + (z - z0)

2 = R

2 (1.2)

care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a sferei.

Observaţie Efectuând calculele din ecuaţia (1.2) cu notaţii corespunzătoare obţinem:

x2 + y

2 + z

2 + 2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0 (1.3)

ecuaţie care se numeşte ecuaţia carteziană generală a sferei. Evident legătura dintre ele impune:

x0 = -a10; y0 = -a20; z0 = -a30; R2 = - a00

obţinând:

- sfera cu centrul C(-a10, -a20, -a30) şi raza R= pentru - a00

> 0 ;

- punctul C(-a10, -a20, -a30) pentru - a00 = 0;

- mulţimea vidă pentru .

i j k

2

ij1 i j 3

a

11 12 13 10

12 22 23 20

13 23 33 30

10 20 30 00

a a a a x

a a a a yg(x,y,z,t) [x y z t] 0

a a a a z

a a a a t

t 1

2 2 2

10 20 30a a a

2 2 2

10 20 30 00a a a a 2 2 2

10 20 30a a a

2 2 2

10 20 30a a a

2 2 2

10 20 30 00a a a a 0

105

Găsirea ecuaţiilor parametrice ale sferei implică considerarea coordonatelor sferice ataşate

reperului R = {O; } în care fiecărui punct M de coordonate carteziene (x,y,z) îi ataşăm

coordonatele sferice (r,u,v) unde:

(1.4.)

adică r reprezintă distanţa de la M la O; u este unghiul dintre şi unde M' este proiecţia lui M pe

planul x0y; v este unghiul dintre şi .

Exprimarea coordonatelor carteziene în funcţie de cele sferice se face prin:

(1.5)

Ecuaţiile parametrice ale sferei de ecuaţie (1.2) sunt:

u [0,2]; v [0,]

Observaţie Ecuaţia (1.3) are patru coeficienţi, înseamnă că avem nevoie de 4 condiţii pentru

a determina unic o sferă. Considerând M(x,y,z) un punct curent al sferei de ecuaţie (1.3.), iar Mi(xi, yi,

zi), i = puncte necoplanare ce aparţin sferei, avem că sistemul:

de 5 ecuaţii cu 4 necunoscute admite soluţie. Adică determinantul:

= 0. (1.6)

Ecuaţia (1.6) fiind ecuaţia sferei ce trece prin punctele necoplanare Mi, i= .

i ; j;k

2 2 2

2 2

2 2 2

r x y z

xcosu

x y

zcosv

x y z

i 0M

k 0M

x r cosusinv

y r sinusinv

z r cosv

0

0

0

x x r cosusinv

y y r sinusinv

z z r cosv

1,4

2 2 2

10 20 30 00

2 2 2

10 1 20 1 30 1 00 1 1 1

2 2 2

10 2 20 2 30 2 00 2 2 2

2 2 2

10 3 20 3 30 3 00 3 3 3

2 2 2

10 4 20 4 30 4 00 4 4 4

2a x 2a y 2a z a x y z

2a x 2a y 2a z a x y z

2a x 2a y 2a z a x y z

2a x 2a y 2a z a x y z

2a x 2a y 2a z a x y z

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 2 2

4 4 4 4 4 4

x y z x y z 1

x y z x y z 1

x y z x y z 1

x y z x y z 1

x y z x y z 1

1,4

106

Pentru dreapta

d:

intersecţia ei cu sfera:

: g(x,y,z) = x2 + y

2 + z

2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

înseamnă rezolvarea sistemului format din cele trei ecuaţii. Adică punctele de intersecţie au

coordonatele exprimate parametric prin soluţiile ecuaţiei:

t2(l

2 + m

2 + n

2) + 2t[l(x0 + a) + m(y0 + b) + n(z0 + c)] + g(x0,y0,z0) = 0

Dacă ecuaţia are două soluţii reale distincte atunci dreapta taie sfera, dacă are două soluţii

confundate atunci dreapta este tangentă, iar dacă nu are soluţii reale dreapta nu intersectează sfera.

Pentru planul

: l(x - x0) + m(y - y0) + n(z - z0) = 0

putem calcula distanţa de la centrul sferei la acest plan adică:

d =

care se compară cu raza R = , obţinând pentru d > R faptul că este exterior sferei,

pentru d < R înseamnă că este secant sferei, iar pentru d = R planul este tangent sferei. Evident

când planul este tangent în M0(x0,y0,z0) înseamnă că normala la acest plan este deci ecuaţia lui

o scriem ca ecuaţia planului ce trece prin M0(x0,y0,z0) şi are normala = (-a-x0) + (-b-y0) + (-

c-z0)

` : (x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) + (z - z0)(z0 - c) = 0

sau

xx0 + yy0 + zz0 + a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) - = 0.

Cum M0 avem:

deci, ecuaţia planului tangent are forma:

xx0 + yy0 + zz0 + a(x + x0) + b(y + y0) + c(z + z0) + d = 0 (1.7)

Observaţie. Relaţia obţinută implică faptul că putem scrie ecuaţia planului tangent în

M0(x0,y0,z0) la sfera : x2 + y

2 + z

2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 prin dedublare termenilor ecuaţiei în M0,

adică utilizând modificările:

x2 xx0 y

2 yy0 z

2 zz0 2ax a(x + x0) 2by b(y + y0)

2cz c(z + z0) d d (d fiind o constantă).

Fie P E3 şi sfera de centru Q şi rază R. Ducem prin P un plan ce taie sfera după cercul

C de centru Q' şi rază r. Notăm AB coarda lui C ce trece prin P şi este perpendiculară pe Q’P.

0 0 0x x y y z y

l m n

0 0 0

2 2 2

| l(a x ) m(b y ) n(c z ) |

l m n

2 2 2a b c d

0M C

0M C i j

k

2 2 2

0 0 0x y z

2 2 2

0 0 0 0 0 0x y z 2ax 2by 2cz d 0

107

Să calculăm puterea lui P faţă de cercul C (vezi Anexa 4), adică în situaţia din figură P fiind interior

cercului avem:

C(P) = - PB2 = PQ’

2 - r

2.

Din Teorema celor trei perpendiculare aplicată pentru: QQ' ; Q'P AB, rezultă QP AB,

deci QPB este dreptunghi în P. Obţinem:

C(P) = PQ2 - R

2

adică puterea punctului P nu depinde de cercul C de intersecţie al sferei cu planului ce trece prin

P şi . Putem deci defini puterea punctului faţă de o sferă.

Definiţia 1.3. Numim puterea punctului P faţă de sfera de centru Q şi rază R numărul real

notat (P) şi definit prin:

(P) = PQ2 - R

2 (1.8)

Observaţie. Dacă este un plan ce trece prin P şi taie sfera după cercul C atunci

raţionamentul de mai sus implică: (P) = C(P). Dacă d este o dreaptă în ce trece prin P şi taie

sfera în A şi B, avem:

C(P) = PAPB (1.9)

unde:

= . (1.10)

În concluzie pentru orice dreaptă d ce trece prin P şi taie sfera în A şi B avem:

1 dacă P este în interiorul sferei Σ

-1 dacă P este în exteriorul sferei Σ

108

(P) = PAPB

unde respectă (1.10).

Propoziţia 1.1. Pentru 1 şi 2 două sfere de centre diferite şi ecuaţii:

i : x2 + y

2 + z

2 + 2aix + 2biy + 2ciz + di = 0, i =

mulţimea punctelor din spaţiu care au puteri egale faţă de cele două sfere este un plan numit planul

radical având ecuaţia:

2(a1 - a2)x + 2(b1 - b2)y + 2(c1 - c2)z + d1 - d2 = 0 (1.11)

Demonstraţie. Fie Qi(-ai, -bi, -ci), Ri, i = centrele respectiv razele celor două sfere.

Egalând puterile lui M(x,y,z) faţă de 1 şi 2 avem:

M - = M - (1.12)

Adică presupunând R1 R2 deducem M - M = - . Fie M1 piciorul perpendicularei din M

pe dreapta Q1Q2. Din triunghiurile dreptunghice MM1Q1 şi MM1Q2 avem: M - M = M1 - M2

= - , egalitatea care implică faptul că M1 Q1Q2 este un punct fix. Atunci M aparţine planului ce

trece prin M1 şi este perpendicular pe Q1Q2, însemnând că locul geometric al punctelor ce au puteri

egale faţă de cele două sfere este inclus în acest plan. Se arată simplul că orice punct din planul de

mai sus are puteri egale faţă de cele două sfere, rezultând că mulţimea punctelor cu proprietatea

cerută este un plan, numit planul radical.

Avem:

M = (x + a1)2 + (y - b1)

2 + (z + c1)

2

M = (x + a2)2 + (y - b2)

2 + (z + c2)

2

iar - di , i = .

Relaţia (1.12.) devine:

2(a1 - a2)x + 2(b1 - b2)y + 2(c1 - c2)z + d1 - d2 = 0.

obţinând ecuaţia planului radical.

Observaţie 1) Se observă că ecuaţia planului radical se obţine scăzând ecuaţiile celor două

sfere.

2) Pentru 1 şi 2 cu acelaşi centru nu există nici un punct care să aibă puteri egale

faţă de cele două sfere.

3) Pentru 1 şi 2 secante (tangente) planul radical este evident planul ce conţine

cercul C = 1 2 (planul tangent la sfere în punctul lor de tangenţă).

Aplicaţie. Planul : lx + my + nz + p = 0 taie sfera : x2 + y

2 + z

2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

după cercul C. Să se scrie ecuaţiile sferelor ce trec prin C.

1,2

1,2

2

1Q 2

1R 2

2Q 2

2R

2

1Q 2

2Q 2

1R 2

2R

2

1Q 2

2Q 2

1Q 2

2Q

2

1R 2

2R

2

1Q

2

2Q

2 2 2 2

i i i iR a b c 1,2

109

Soluţie. Dacă ' : x2 + y

2 + z

2 + 2a'x + 2b'y + 2c'z + d' = 0 este ecuaţia unei astfel de sfere,

atunci este planul lor radical. Adică efectuând diferenţa ecuaţiilor celor două sfere avem ecuaţia lui

:

: 2(a - a')x + 2(b - b')y + 2(c - c')z + d - d' = 0

adică:

.

Egalând şirul rapoartelor cu -2 R avem:

Adică ecuaţia sferei căutate este:

' : x2 + y

2 + z

2 + 2(a + l)x + 2(b + m)y + 2(c + n)z + d + 2p = 0 (1.13.)

cu R.

B. ELIPSOIDUL

Definiţia1.4. Numim elipsoid mulţimea punctelor din E3 pentru care există un reper

ortonormat R = {O; } astfel încât coordonatele lor faţă de acest reper verifică o ecuaţie de forma:

, a > 0, b > 0, c > 0 (1.14)

Numerele pozitive a,b,c se numesc semiaxele elipsoidului.

Observaţie. Pentru a = b = c elipsoidul este o sferă. Să vedem forma acestei suprafeţe

intersectând-o cu planele şi axele reperului.

Intersecţia cu planul (xOy):

sau

am obţinut elipsa cu semiaxele a şi b din planul z = 0.

Intersecţia cu planul (yOz):

sau

am obţinut elipsa cu semiaxele b şi c din planul x = 0.

Intersecţia cu planul (xOz):

sau

2(a a') 2(b b') 2(c c ') d d'

l m n p

a' a λl

b' b λm

c ' c λn

d' d 2λp

i , j, k

2 2 2

2 2 2

x y z1 0

a b c

2 2 2

2 2 2

x y z1 0

a b c

z 0

2 2

2 2

x y1 0

a b

z 0

2 2 2

2 2 2

x y z1 0

a b c

x 0

2 2

2 2

y z1 0

b c

x 0

2 2 2

2 2 2

x y z1 0

a b c

y 0

2 2

2 2

x z1 0

a c

y 0

110

am obţinut elipsa cu semiaxele a şi c din planul y = 0.

Mai general dacă considerăm paralele la planele de coordonate, intersecţiile vor fi tot elipse.

Să justificăm intersectând cu plane paralele cu (xOy) adică:

sau

care este o elipsă pentru |k| c şi în caz contrar.

Avem astfel reprezentarea elipsoidului sub forma:

Observaţia. Pentru elipsoidul E avem:

– dacă M(x,y,z)E atunci M'(-x.-y,-z)E adică O este centru de simetrie.

– dacă M(x,y,z)E atunci M'(x.-y,-z)E adică OX este axă de simetrie. Analog Oy şi Oz sunt

axe de simetrie.

– dacă M(x,y,z) E atunci M'(x.y,-z) E adică planul (xOy) este plan de simetrie pentru E.

Analog planele (xOz) şi (yOz) sunt plane de simetrie.

Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului (1.14.) sunt:

unde u [0,2), v [0,] (1.15)

Referitor la interpretarea geometrică a unghiurilor u şi v aceasta nu este chiar simplă, să

judecăm înainte următoarea aplicaţie.

Aplicaţie. Prin originea O a reperului din spaţiu se duce semidreapta variabilă [OM pe care

se consideră punctele A, B şi C astfel încât = a, = b şi = c, a, b, c fiind constante.

Prin A, B şi C se duc plane paralele la planele de coordonate ale reperului. Aflaţi locul geometric al

punctelor de intersecţie al acestor plane ele fiind determinate de intersecţia a 3 plane paralele cu cele

ale reperului, fiecare trecând doar prin unul din cele trei puncte. Câte astfel de puncte avem?

Notăm 0 = (x,O,y), iar ,', '' paralelele la 0 prin A, B respectiv C cu 0 = (x,O,z) iar cu ,',''

paralelele la 0 prin A, B respectiv C şi cu 0 = (y,O,z) şi ,','' paralelele prin A, B respectiv C la el.

2 2 2

2 2 2

x y z1 0

a b c

z k

2 2 2

2 2 2

x y k1 0

a b c

z k

x acosusinv

y bsinusinv

z ccosv

AO BO CO

111

Punctele căutate sunt la intersecţia:

{M} = unde {,',''}; {,',''}; {,', ''},

adică M1 ...M6 din figură.

Notăm

cu A', B',

C'

proiecţiile

lui A, B

respectiv

C pe (x

O y), iar

u unghiul

dintre

şi şi

v unghiul dintre şi , este simplu de calculat coordonatele punctelor cerute de exemplu M3.

- 1 = 0

deci M3 se găseşte pe elipsa cu vârful în 0 şi semiaxele c, b, a, adică {M3} = ' '' aparţine

elipsei cu semiaxele c,b,a. Prin analogie avem:

{M4} = ' '' aparţine elipsei - 1 = 0

{M1} = ' '' aparţine elipsei - 1 = 0

{M2} = ' '' aparţine elipsei - 1 = 0

{M5} = ' '' aparţine elipsei - 1 = 0

{M6} = ' '' aparţine elipsei - 1 = 0.

Deci considerând elipsoidul de ecuaţie (1.14.) cu ecuaţiile parametrice (1.15.) vedem că

punctul M5 se găseşte pe acest elipsoid iar unghiurile v şi u sunt cele formate de cu respectiv

de proiecţia lui pe (x,o,y) cu .

C. HIPERBOLOIZII

α β γ α β γ

i

OA'

k OA

3

3

3

x OC' cosu c sinvcosu

y OB' sinu bsinv sinu

z OA cosu acosu

2 2 2

3 3 3

2 2 2

x y z

c b a

2 2 2

2 2 2

x y z

c a b

2 2 2

2 2 2

x y z

b a c

2 2 2

2 2 2

x y z

b c a

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

2 2 2

2 2 2

x y z

a c b

OA k

OA i

112

Definiţia 1.5. Numim hiperboloid cu o pânză, mulţimea punctelor din E3 pentru care există un

reper R = {O; } astfel încât coordonatele lor faţă de acest reper verifică o ecuaţie de forma:

H1 : - 1 = 0 (1.16)

Numerele pozitive a, b,c se numesc semiaxele hiperboloidului cu o pânză.

Observaţie. Intersecţiile hiperboloidului cu o pânză cu planele de coordonate sunt:

H1(yOz) : ,adică o hiperbolă cu semiaxele b şi c care taie axa Oy.

H1(x,O,z) : , adică o hiperbolă cu semiaxele a şi c ce taie axa Ox.

H1 (x,O,y) : , adică o elipsă cu semiaxele a şi b.

Mai mult considerând un plan paralel cu (xOy) de ecuaţie z=k, intersecţia cu H1 este:

- 1 = 0 , z = k

adică elipse cu semiaxele şi .

Reprezentarea grafică a hiperboloidului cu o pânză este:

i , j, k

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

2 2

2 2

y z1 0

b c

x 0

2 2

2 2

x z1 0

a c

y 0

2 2

2 2

x y1 0

a b

z 0

2 2

2 22 2 2 2

2 2

x y

a b(k c ) (k c )

c c

2 2ak c

c 2 2b

k cc

113

Observaţie. Remarcăm la hiperboloidul H1 că axa Oz nu îl intersectează. Putem atunci numi

H1 ca hiperboloidul cu o pânză cu axa netransversală Oz. Analog hiperboloizii cu o pânză de ecuaţii:

- 1=0 şi - 1=0

îi numim hiperboloizi cu o pânză cu axa netransversală 0x respectiv 0y.

O proprietate importantă a hiperboloidului cu o pânză folosită mai ales în construcţii şi

mecanisme (roţi dinţate hiperbolice) este următoarea:

Propoziţia 1.2. Prin fiecare punct al hiperboloidului cu o pânză putem duce două drepte

distincte conţinute în această suprafaţă. O suprafaţă cu proprietatea de mai sus se numeşte suprafaţă

dublu riglată.

Demonstraţie. Scriem ecuaţia (1.16.) a hiperboloidului H1 sub forma:

echivalentă cu:

.

Să considerăm familiile de drepte:

2 2 z

2 2 2

x y z

a b c

2 2 z

2 2 2

x y z

a b c

2 2 2

2 2 2

x z y1

a c b

x z x z y y1 1

a c a c b b

114

(D) : , R* şi (D) : , R*

Evident ele sunt conţinute în suprafaţa hiperboloidului cu o pânză H1 iar pentru

M0(x0,y0,z0)H1 fixat găsim un unic şi un unic cu proprietatea că M0 D şi M0D.

Definiţia 1.6. Numim hiperboloid cu două pânze mulţimea punctelor din E3 pentru care există

un reper R = {O; } astfel încât coordonatele lor faţă de acest reper verifică o ecuaţie de forma:

H2 : + 1 = 0 (1.17)

Numerele pozitive a,b,c se numesc semiaxele hiperboloidului H2.

Observaţie. Intersecţiile hiperboloidului cu două pânze cu planele de coordonate sunt:

H2 (yOz) : o hiperbolă cu semiaxele b şi c ce taie axa 0z.

H2 (xOz) : o hiperbolă cu semiaxele a şi c ce taie axa 0z.

H2 (xOy) : mulţimea vidă.

Considerând plane paralele la (xOz) de ecuaţia z = k avem ecuaţia intersecţiei:

care este mulţimea vidă pentru |k| < c, punctele M1,2(0,0,c) pentru k = c şi elipsa:

- 1 = 0 pentru |k| > c.

Reprezentarea grafică a hiperboloidului cu două pânze este:

x z yλ 1

a c b

x z 1 y1

a c λ b

x z yμ 1

a c b

x z 1 y1

a c μ b

i , j, k

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

2 2

2 2

y z1 0, x 0

b c

2 2

2 2

x z1 0, y 0

a c

2 2

2 2

x y1 0, z 0

a b

2 2 2 2

2 2 2

x y k c0, z k

a b c

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

x y

a (k c ) b (k c )

c c

115

Cum H2 taie numai axa Oz putem să-l numim hiperboloidul cu două pânze cu axa transversală

Oz. Analog avem hiperboloizii cu două pânze cu axa transversală Ox, respectiv Oy de ecuaţii:

+ 1 = 0 respectiv + 1 = 0

Definiţia 1.7. Pentru hiperboloizii de ecuaţie:

numim conul asimptot, suprafaţa punctelor având coordonatele ce respectă ecuaţia:

C : = 0.

Parametrizarea suprafeţei hiperboloizilor se face apelând la funcţiile sinus şi cosinus

hiperbolic definite prin:

sh : R R, ch : R R, shx= , chx= , fiind evidentă relaţia: ch2x-sh

2x=1.

Pentru hiperboloidul cu o pânză de ecuaţie (1.16.) ecuaţiile parametrice sunt:

H1 : u [0,2), v R. (1.18)

Pentru hiperboloidul cu două pânze de ecuaţie (1.17.), ecuaţiile sale parametrice sunt:

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

2 2 2

2 2 2

x y zH: 1 0

a b c

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

x xe e

2

x xe e

2

x acosu chv

y bsinu chv

z c shv

116

u [0,2), v R. (1.19)

Observaţie. Hiperboloizii admit aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul (vezi observaţia de la

elipsoid).

D. PARABOLOIZII

Definiţia 1.8. Numim paraboloid eliptic mulţimea punctelor din E3 pentru care există un reper

R = {O; } faţă de care coordonatele lor verifică:

Pe : z = (1.20)

Intersecţiile paraboloidului eliptic Pe cu planele de coordonate sunt:

Pe (yOz) : o parabolă cu vârful în O şi axa de simetrie 0z.

Pe (xOz) : o parabolă cu vârful în O şi axa de simetrie 0z.

Pe (xOy) : originea reperului O(0,0,0).

Pentru plane paralele cu (xOy) de ecuaţie z = k intersecţia este:

care reprezintă mulţimea vidă pentru k < 0, punctul O pentru k = 0 şi elipsa

pentru k > 0.

Avem pentru paraboloidul eliptic reprezentarea grafică:

x acosu shv

y bsinu shv

z c chv

i , j, k

2 2

2 2

x y

a b

2

2

yz

b

x 0

2

2

xz

a

y 0

2 2

2 2

x y0

a b

z 0

2 2

2 2

x yk 0

a b

z k

2 2

2 2

x y1 0

a b

k k

z k

117

Observaţie. – Dacă M(x,y,z) Pe atunci M'(-x,y,z) Pe deci planul (yOz) este plan de

simetrie. Analog planul (xOz), ele se numesc plane principale.

– Dacă M(x,y,z) Pe, atunci M'(-x,-y,z) Pe deci axa Oz este axa de simetrie pentru

paraboloid, ea numindu-se axă principală.

Numim paraboloidul eliptic cu ecuaţia (1.20.) paraboloid eliptic cu axa de simetrie Oz. Analog

ecuaţiile paraboloizilor eliptici cu axele de simetrie Ox, Oy au respectiv ecuaţiile:

x = ; y =

Paraboloidul eliptic de ecuaţie (1.20.) admite parametrizarea:

u R, v [0,2) (1.21)

Definiţia 1.9. Numim paraboloid hiperbolic mulţimea punctelor din E3 a căror coordonate faţă

de un reper R = {O; } verifică ecuaţia:

Ph : z = (1.22)

Intersecţiile sale cu planele de coordonate sunt:

Ph (y,0,z) o parabolă cu vârful în origine şi cu ramurile în jos

Ph (x,0,z) o parabolă cu vârful în origine şi cu ramurile în sus

Ph (x,0,y) două drepte ce trec prin origine.

Pentru intersecţia cu plane paralele la (xOy) de ecuaţie z = k obţinem:

2 2

2 2

y z

a b

2 2

2 2

x z

a b

2

x aucosv

y businv

z u

i , j, k

2 2

2 2

x y

a b

2

2

yz

b

x 0

2

2

xz

a

y 0

2 2

2 2

x y0

a b

z 0

118

adică hiperbole.

Avem pentru reprezentarea grafică a lui Ph:

Observaţie. Aceleaşi simetrii sunt adevărate ca şi la paraboloidul eliptic, planele principale

fiind (yOz) şi (xOz) iar axa principală Oz. Paraboloizii de ecuaţii:

x = ; y =

îi numim paraboloizi cu axa de simetrie Ox respectiv Oy.

Parametrizarea paraboloidului hiperbolic de ecuaţie (1.22.) se face după:

u R, v R (1.23.)

Propoziţia 1.3. Paraboloidul hiperbolic este o suprafaţă dublu riglată, adică prin fiecare punct

există două drepte distincte conţinute în această suprafaţă.

Demonstraţie. Ecuaţia (1.22.) se mai scrie:

z =

Putem astfel considera familiile de drepte:

D : R* şi D : R* (1.24)

care sunt conţinute în paraboloidul hiperbolic. Rezultă astfel că paraboloidul hiperbolic este o

suprafaţă dublu riglată. ٱٱٱ

2 2

2 2

x yk 0

a b

z k

2 2

2 2

y z

a b

2 2

2 2

x z

a b

2

x achv

y bshv

z u

x y x y

a b a b

x yλz

a b

x y 1

a b λ

x yμz

a b

x y 1

a b μ

119

E. CONUL

Definiţia 1.9. Numim con mulţimea punctelor din E3 pentru care există un reper R = {O;

} astfel încât coordonatele acestora verifică ecuaţia:

C : = 0 (1.25)

unde a, b, c > 0.

Intersecţiile cu planele de coordonate sunt:

C (y,0,z) : două drepte concurente simetrice faţă de 0z.

C (x,0,z) : două drepte concurente simetrice faţă de 0z.

C (x,0,y) : punctul O.

Intersecţia cu plane orizontale de ecuaţie z = k:

sunt elipse cu semiaxele şi .

Reprezentarea grafică a conului este:

Observaţie. Conul C este simetric faţă de O, numit vârful conului, faţă de axele de

coordonate şi faţă de planele de coordonate. Dintre axele de simetrie Oz are proprietatea că orice

i , j, k

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

2 2

2 2

y z0

b c

x 0

2 2

2 2

x z0

a c

y 0

2 2

2 2

x y0

a b

z 0

2 2 2

2 2 2

x y k0

a b c

z k

a k

c

b k

c

120

secantă perpendiculară pe ea taie conul. Să o numim atunci axa completă de simetrie a conului de

ecuaţie (1.25.). Conurile cu axa completă Oy respectiv Ox au ecuaţiile:

= 0, respectiv = 0

Ecuaţiile parametrice ale conului de ecuaţie (1.25.) sunt:

u R, v [0,2) (1.26)

Propoziţia 1.4. Dreapta determinată de vârful conului şi un alt punct diferit al acestuia este

conţinută în con.

Demonstraţie. Pentru M(x0,y0,z0)O dreapta OM are ecuaţiile parametrice:

tR,

iar

= = = 0.

ٱٱٱ

Observaţie. O suprafaţă care poate fi generată prin mişcarea unei drepte ce se sprijină pe o

curbă fixată se numeşte suprafaţă riglată. Dreapta ce generează suprafaţa se numeşte generatoarea

suprafeţei riglate, iar curba fixată se numeşte curbă directoare. Evident în cazul conului (1.25.)

generatoarea trece prin punctul fix O şi putem considera ca directoare elipsa:

Pentru a = b curba directoare este un cerc conul numindu-se con circular.

F. CILINDRUL

Definiţia 1.10. Mulţimea punctelor din E3 a căror coordonate faţă de un reper R={O; }

verifică ecuaţia:

CE : , a > 0, b > 0 se numeşte cilindru eliptic

CH : , a > 0, b > 0 se numeşte cilindru hiperbolic (1.27)

CP : y2 - 2ax = 0, a > 0 se numeşte cilindru parabolic.

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

x aucosv

y businv

z c u

0

0

0

x t x

y t y

x t z

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2

t x t y t z

a b c

2 2 22 0 0 0

2 2 2

x y zt

a b c

2 2

2 2

x y1 0

a b

z c

i , j, k

2 2

2 2

x y1 0,

a b

2 2

2 2

x y1 0

a b

121

Intersecţiile cu plane paralele cu (xOy) înseamnă curbele în care coordonatele x,y verifică

ecuaţii identice. Dacă un punct M(x0,y0,z0) se găseşte pe cilindru atunci şi paralela la Oz prin el este

inclusă în cilindru. Numim paralelele la Oz generatoarele cilindrului. Pentru cilindrul eliptic şi hiperbolic

orice punct de pe axa Oz este punct de simetrie. Reprezentarea grafică a cilindrilor este:

În particular cilindrul eliptic cu semiaxele egale se numeşte cilindru circular.

Ecuaţiile parametrice ale cilindrilor sunt:

Cilindrul eliptic: Cilindrul hiperbolic: Cilindrul parabolic:

(1.28.)

Ecuaţiile parametrice pentru cilindrul circular implică considerarea coordonatelor cilindrice

ataşate reperului R = { O; } în care fiecărui punct M de coordonate carteziene (x,y,z) îi ataşăm

coordonatele cilindrice (r,,z) unde:

x acos t

y bsin t

z u

t [0,2π)

u

R

x acht

y bsht

z u

t

u

R

R

2tx

2a

y t

z u

t

u

R

R

i , j, k

122

(1.29)

Semnificaţiile coordonatelor cilindrice sunt: r este distanţa de la O la proiecţia M’ a punctului M

pe planul (xOy); este unghiul dintre vectorii şi ; a treia coordonată rămânând neschimbată.

Observaţie. Cilindrii sunt suprafeţe riglate determinate de deplasarea unei drepte ce

parcurge curbele din planul (xOy) având ecuaţiile (1.27.) şi rămânând paralelă cu Oz. Numim aceste

curbe, curbele directoare ale cilindrului, iar axa Oz generatoarea sa.

G. ALTE SUPRAFEŢE ce se pot obţine prin particularizarea ecuaţiei unei cuadrici sunt:

1) Pereche de plane concurente:

2) Pereche de plane paralele: x2 - a

2 = 0

3) Plane confundate: x=0

4) O dreaptă:

2 2

2 2

r x y r [0, )

xcosθ θ [0,2π)

x y

z z z R

i OM'

2 2

2 2

x y0

a b

2 2

2 2

x y0

a b

123

5) Un punct:

6) Mulţimea vidă: , sau , sau

2 2 2

2 2 2

x y z0

a b c

2 2 2

2 2 2

x y z1 0

a b c

2 2

2 2

x y1 0

a b

2

2

x1 0

a

124

§ 2 REDUCEREA CUADRICELOR LA FORMA CANONICĂ, REPREZENTAREA

Considerăm cuadrica de ecuaţie:

g(x,y,z) = a11x2 + a22y

2 + a33z

2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +

+ 2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0 (2.1)

Faţă de rotaţii şi translaţii ale reperului cartezian g(x,y,z) = 0 are următorii invarianţi:

= det A , = detA, J = 11 12

12 22

a a

a a +

11 13

13 33

a a

a a +

22 23

23 33

a a

a a (2.3)

unde:

A =

11 12 13

12 22 23

13 23 33

a a a

a a a

a a a

şi A =

11 12 13 10

12 22 23 20

13 23 33 30

10 20 30 00

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

Definiţia 2.1. Pentru cuadrica de ecuaţie (2.1.) vom spune că ea este cuadrică nedegenerată

(degenerată) după cum 0 (sau = 0).

Observaţie. Cuadricile nedegenerate sunt: elipsoidul, hiperboloizii, paraboloizii şi mulţimea

vidă, iar cuadrici degenerate: conul, cilindrii, perechile de plane, dreapta, punctul sau mulţimea vidă.

Exemplu. În cazul elipsoidului de ecuaţie (1.14.) avem:

J = 2 2 2

2 2 2

a b c

a b c

, =

2 2 2

1

a b c, =

2 2 2

1

a b c

Ca şi în cazul conicei, cuadrica g(x,y,z) = 0 are centru de simetrie dacă sistemul:

g0

x

g0

y

g0

z

echivalent cu

11 12 13 10

12 22 23 20

13 23 33 30

a x a y a z a 0

a x a y a z a 0

a x a y a z a 0

(2.3)

are soluţie. Cum determinantul sistemului este chiar avem următoarele cazuri:

1) 0, adică sistemul (2.3.) este compatibil determinat, existând un unic punct ca

centru de simetrie; este cazul elipsoidului, hiperboloizilor conului şi un punct.

2) = 0, rang A = 2 şi unicul determinant caracteristic nenul; este cazul paraboloidului

eliptic sau hiperbolic.

3) = 0, rang A = 2, iar determinantul caracteristic este nul; soluţia sistemului este o

dreaptă de centre, fiind cazul cilindrului eliptic, hiperbolic sau a dreptei.

4) = 0, rang A = 1, cel puţin unul din determinanţii caracteristici este nenul; este

cazul cilindrului parabolic.

125

5) = 0, rang A = 1, cei doi determinanţi caracteristici sunt nuli; este cazul cuadricilor

care au un plan de centre de simetrie, adică a planelor paralele sau confundate.

Aducerea ecuaţiei cuadrici:

g(x,y,z) = a11x2 + a22y

2 + a33z

2 + 2a12xy + 2a13xz +

+ 2a23yz + 2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0

la forma canonică implică etapele:

1) Dacă a12 = a13 = a23 = 0, vom efectua translaţia:

1011

11

11

2022

22

22

3033

33

33

ax dacă a 0

ax'

x dacă a 0

ay dacă a 0

ay'

y dacă a 0

az dacă a 0

az'

z dacă a 0

obţinând una din formele A,…,F prezentate în paragraful anterior.

2) Dacă cel puţin unul din numerele a12, a13, a23 este nenul, vom determina valorile proprii 1,

2, 3 şi vectorii proprii 1 2 3v ,v ,v ai endomorfismului ce are matricea:

A =

11 12 13

12 22 23

13 23 33

a a a

a a a

a a a

Normând aceşti vectori obţinem baza ortonormată {1 2 3e ,e ,e } unde:

1 11 21 31

2 12 22 32

3 13 23 33

e c i c j c k

e c i c j c k

e c i c j c k

Notând matricea de trecere cu R =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

c c c

c c c

c c c

avem detR = 1. Pentru că matricea

rotaţiei are determinantul 1, în situaţia detR = -1 schimbăm între ei doi vectori din baza ortonormată,

renotând valorile proprii astfel încât valoarea proprie i să aibă vectorul propriu ie , i = 1,3 .

3) Efectuăm schimbările de coordonate:

x

y

z

=

11 12 13

12 22 23

31 32 33

c c c

c c c

c c c

x '

y '

z '

obţinând pentru cuadrică ecuaţia:

g(x',y',z') = 1x'2 + 2y'

2 + 3z'

2 + 2a'10x' + 2a'20y' + 2a'30z' + a'00 = 0

Am ajuns astfel la etapa 1.

126

Exemplu. Aduceţi la forma canonică ecuaţia cuadrici şi reprezentaţi-o:

6x2 + 5y

2 + 4z

2 - 2 2 yz + 6x = 0

Valorile proprii ale endomorfismului cu matricea:

A =

6 0 0

0 5 2

0 2 4

sunt: 1 = 3; 2 = 3 = 6, iar vectorii proprii corespunzători sunt:

1

1 2e j k

33 ; 2e i ;

3

2 1e j k

3 3 .

Pentru matricea rotaţiei:

R =

0 1 0

1 20

33

2 10

3 3

avem det R = 1

deci efectuăm schimbările de coordonate:

x y '

x ' 2y z '

33

2 z 'z x '

3 3

.

Obţinem ecuaţia: 3x'2 + 6y2 + 6z2 + 6y = 0 în care efectuăm translaţia:

x '' x '

1y '' y '

2

z '' z '

şi avem: 3x''2 + 6y''2 + 6z'' - 1

4 = 0 sau

2 2 2

2 2 2

x y z1 0

1 1 1

12 24 24

care reprezintă ecuaţia elipsoidului cu axele:

1 1 1; ;

2 3 2 6 2 6.

127

§ 3 INTERSECŢII

Fie cuadrica de ecuaţie:

g(x,y,z)=a11x2 + a22y

2 + a33z

2 + 2a12xy + 2a13xz +

+ 2a23yz + 2a10x + 2a20y + 2a30z + a00=0 (3.1)

şi dreapta D de ecuaţie:

0

0

0

x x l t

y y m t

z z n t

, t R. (3.2)

Considerând intersecţia lor şi obţinem pentru t că este soluţie a ecuaţiei:

a11(x0 + lt)2 + a22(y0 + mt)

2 + a33(z0 + nt)

2 + 2a12(x0 + lt)(y0 + mt) +

+2a13(x0 + lt)(z0 + nt) + 2a23(y0 + mt)(z0 + nt) + 2a10(x0 + lt) +

+2a20(y0 + mt) + 2a30(z0 + nt) + a00=0.

sau:

t2(a11l

2+a22m

2+a33n

2+2a12lm+2a13ln+2a23mn)+

+t[l(2a11x0+2a12y0+2a13z0+2a10)+m(2a12x0+2a22y0+2a23z0+2a20)+

+n(2a13z0+2a23y0+2a33z0+2a30)]+a112

0x +a222

0y +a332

0z +2a12x0y0+

+2a13x0z0+2a23y0z0+2a10x0+2a20y0+2a30z0+a00=0. (3.3)

Notând forma pătratică din ecuaţia cuadrici:

h(x,y,z)=a11x2 + a22y

2 + a33z

2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz

ecuaţia (3.3) devine:

t2h(l,m,n)+t

0 0 0 0 0 0 0 0 0

g g gl (x ,y ,z ) m (x ,y ,z ) n (x ,y ,z )

x y z

+

+g0 0 0(x ,y ,z ) =0 (3.4)

I) Dacă h(l,m,n)0, notăm:

d=0 0 0

2

(x ,y ,z )

g g gl m n

x y z

- 4h(l,m,n)g(x0,y0,z0)

şi avem cazurile:

1) Pentru d>0 dreapta D taie cuadrica în două puncte distincte

2) Pentru d=0 dreapta D este tangentă la

3) Pentru d<0 dreapta D şi cuadrica nu au puncte comune.

128

II) Dacă h(l,m,n)=0, notăm p=0 0 0(x ,y ,z )

g g gl m n

x y z

şi avem:

1) Pentru p0 dreapta D taie cuadrica într-un singur punct

2) Pentru p=0 şi g(x0,y0,z0)0 dreapta D şi cuadrica nu au puncte comune

3) Pentru p=0 şi g(x0,y0,z0)=0 dreapta D este inclusă în conica .

O consecinţă a discuţiei de mai sus este:

Propoziţia 3.1. Fie M(x0,y0,z0) şi dreapta D de ecuaţie (3.2.) cu h(l,m,n) 0. Dreapta D

este tangentă cuadricii în M dacă şi numai dacă:

g

x

(x0,y0,z0) + m

g

y

(x0,y0,z0) + n

g

z

(x0,y0,z0)=0 (3.4)

Demonstraţie. Evidentă pentru că suntem în cazul I 2) al discuţiei de mai sus. ٱٱٱ

Să considerăm M(x0,y0,z0) un punct al cuadrici de ecuaţie (3.1.) şi să presupunem că el nu

este centru acesteia.

Propoziţia 3.2. Ecuaţia planului tangent la cuadrică se obţine prin dedublare:

a11xx0 + a22yy0 + a33zz0 + a12(x0y +xy0) + a13(x0z + xz0) + a23(y0z + yz0) +

+ a10(x + x0) + a20(y + y0) + a30(z + z0) + a00=0 (3.5.)

Demonstraţie. Fie dreapta D de ecuaţii (3.2.) ce trece prin M şi aparţine planului tangent. Din

Propoziţia 3.1 avem verificată relaţia (3.4), deci înlocuind l,m,n cu expresiile lor din (3.2) obţinem:

0x x g

t x

(x0,y0,z0) + 0y y g

t y

(x0,y0,z0) + 0z z g

t z

(x0,y0,z0)=0 (3.6)

sau:

2(x - x0)(a11x0 + a12y0 + a13z0 + a10) + 2(y - y0)(a12x0 + a22y0 + a23z0 + a20) +

+ 2(z - z0)(a13x0 + a23y0 + a33z0 + a30)=0

adică:

a11xx0 + a22yy0 + a33zz0 + a12(x0y +xy0) + a13(x0z + xz0) +

+ a23(y0z + yz0) + a10(x -x0) + a20(y -y0) + a30(z -z0) - a112

0x - a222

0y -

- a332

0z -2a12x0y0 - 2a13x0z0 - 2a23y0z0=0.

Dar g(x0,y0,z0)=0 implică:

a112

0x + a222

0y + a332

0z +2a12x0y0 + 2a13x0z0 + 2a23y0z0 =

= - a00 - 2a10x0 - 2a20y0 - 2a30z0

care înlocuită în expresia de mai sus ne dă ecuaţia (3.5). ٱٱٱ

Observaţie. Egalitatea (3.6) implică pentru planul tangent în M la şi forma:

(x - x0)g

x

(x0,y0,z0) + (y - y0)

g

y

(x0,y0,z0) + (z - z0)

g

z

(x0,y0,z0) = 0 (3.7)

de unde deducem ecuaţia normalei la conica în M ca fiind:

129

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

x x y y z z

g g g(x ,y ,z ) (x ,y ,z ) (x ,y ,z )

x y z

(3.8)

Pentru cazul general al intersecţiei unui plan de ecuaţie ax + by + cz + d = 0 cu conica de

ecuaţie (3.1.) condiţia a2 + b

2 + c

2 0 implică cel puţin unul din coeficienţii a, b, c nenul. Presupunând

c 0 putem elimina z între cele două ecuaţii obţinând:

2 2

11 22 12 10 20 00a' x a' y 2a' xy 2a' x 2a' y a' 0

a b dz x y

c c c

care este ecuaţia unei conice din planul , rezultând că intersecţia dintre un plan şi o cuadrică este o

conică.

Chapter 2

Spatii afine

2.1 Structura afina a unui spatiu vectorial

Fie V un spatiu vectorial cu scalarii ıntr-un corp K. O submultime a lui V de forma

A = a+ U = {a+ u, u ∈ U},

unde a ∈ V si U este un subspatiu vectorial al lui V , se numeste varietate liniara ın V .U poarta numele de subspatiu director al varietatii A.

Multimea tuturor varietatilor liniare ale spatiului vectorial V , ımpreuna cu multimeavida, formeaza structura afina A(V ) a lui V .

A(V ) = {a+ U, a ∈ V,U ≺ V } ∪ ∅.

Exemple

• In spatiul EO3 al vectorilor legati ın punctul O, consideram multimea A a vectorilor cu

extremitatea pe o dreapta d ⊂ EO3 (care nu trece prin punctul O). Aceasta multime

este o varietate liniara, al carei spatiu director este dreapta vectoriala (deci caretrece prin ”originea” O) d′, care are directia paralela cu cea a dreptei d.

Evident, pentru orice vector v0 ∈ A fixat, un vector v ∈ A se scrie sub formav = v0 + u, unde u ∈ d′, deci A = v0 + d′.

Daca identificam vectorul v ∈ A cu extremitatea acestuia, situata pe dreapta d,structura de varietate liniara a lui A se transmite dreptei d. O astfel de varietateliniara se numeste dreapta din EO

3 (deci dreptele care nu trec prin origine suntvarietati liniare ın EO

3 ).

• In acelasi spatiu EO3 al vectorilor legati ın punctul O, consideram multimea B a

vectorilor cu extremitatea ıntr-un plan π ⊂ EO3 (care nu trece prin punctul O).

Aceasta multime este o varietate liniara, al carei spatiu director este planul vectorial(deci care trece prin ”originea” O) π′, paralel cu planul π.

Evident, pentru orice vector v0 ∈ B fixat, un vector v ∈ B se scrie sub formav = v0 + u, unde u ∈ π′, deci B = v0 + π′.

58

Daca identificam vectorul v ∈ B cu extremitatea acestuia, situata ın planul π, struc-tura de varietate liniara a lui B se transmite planului π. O astfel de varietate liniarase numeste plan din EO

3 (deci planele care nu trec prin origine sunt varietati liniareın EO

3 ).

• Consideram un sistem neomogen de m ecuatii liniare, cu n necunoscute.n∑

j=1

aijxj = bi, i = 1,m, aij ∈ K.

Presupunem ca sistemul este compatibil, adica

rang (aij) = rang (aij , bi) = r ≤ n.

Multimea A a solutiilor sistemului neomogen de ecuatii este o varietate liniara a luiKn. Spatiul sau director este multimea U a solutiilor sistemului de ecuatii liniare siomogene asociat (acesta este un subspatiu al lui Kn).

Intr-adevar, daca x = (x1, . . . , xn) este o solutie fixata a sistemului dat, atuncipentru orice solutie u = (u1, . . . , un) a sistemului omogen asociat, este imediat faptulca (x1 + u1, . . . , xn + un) este, de asemenea, o solutie a sistemului neomogen. DeciA = x+ U .

Propozitie. Daca A = a+ U ∈ A(V ) si b ∈ A, atunci A = b+ U .

Dem: b ∈ A =⇒ ∃u ∈ U, b = a + u, deci a = b − u si A = a + U = (b − u) + U =b+ (−u) + U = b+ U . �

Rezulta ca o varietate liniara A nu depinde de punctul a ales din A (de exemplu, odreapta din EO

3 este determinata de directia sa — spatiul sau director — si un punctarbitrar al dreptei).

• O varietate liniara A ∈ A este un subspatiu vectorial al lui V daca si numai daca0V ∈ A.

Dimensiunea unei varietati liniare

Propozitie. Daca A = a+ U = a′ + U ′ ∈ A, atunci U = U ′.

Dem: Deoarece a′ ∈ A, rezulta ca A = a′+U ′ = a+U ′, deci a+U = a+U ′ si U = U ′.�

In consecinta, ın reprezentarea unei varietati liniare sub forma A = a+ U , subspatiulsau director U este unic determinat. Il vom nota cu D(A) si o varietate liniara A va fide forma

A = a+D(A).

Definim dimensiunea unei varietati liniare A = a+D(A) astfel:

dimA ={

dimD(A) daca A 6= ∅−1 daca A = ∅ .

59

• Daca dimA = 0, atunci A = a+ < 0V > si multimea A (formata dintr-un singurvector a) se numeste punct. Identificam vectorul a cu punctul {a}.

• Daca dimA = 1, dimA = 2, dimA = p, atunci varietatea liniara A se va numi re-spectiv dreapta, plan sau p-plan. Daca 0V ∈ A, atunci vom avea o dreapta vectoriala,un plan vectorial, respectiv un p-plan vectorial.

• Daca U este un hiperplan vectorial, atunci A = a + U se numeste hiperplan. Inparticular, daca V are dimensiunea n, un hiperplan va avea dimensiunea n− 1.

Propozitie. Daca Aα ∈ A(V ), pentru α ∈ I, atunci⋂

α∈I

Aα ∈ A(V ).

Dem: Daca⋂

α∈I

Aα = ∅, propozitia este evidenta. Fie a ∈⋂

α∈I

Aα 6= ∅. Rezulta ca

Aα = a+D(Aα), pentru orice α ∈ I. Este imediat faptul ca⋂

α∈I

Aα = a+⋂

α∈I

D(Aα). �

Corolar. Daca varietatile liniare Aα sunt finit dimensionale, α ∈ I, si au intersectianevida, atunci

dim⋂α∈I

Aα = dim⋂α∈I

D(Aα).

Teoreme de caracterizare pentru varietatile liniare

Propozitie 2.1.1. Daca a si b sunt doua puncte distincte din V , atunci exista o singuradreapta ın A(V ) care contine punctele a si b; o vom nota cu ab.

Dem: Dreapta a+ < b − a >= {a + λ(b − a), λ ∈ K} contine punctele a si b, deciexistenta este asigurata.

Presupunem acum ca D este o adreapta arbitrara din A(V ), care contine puncteledistincte a si b. Vom arata ca D = a+ < b− a >. Intr-adevar, deoarece a ∈ D, rezulta caD = a+U , unde U ≺ V , de dimeniune 1 (adica generat de un singur vector al lui U). Darb ∈ D =⇒ b = a+ u, cu u ∈ U , deci b− a = u si este imediat faptul ca < b− a >=< u >,adica < b− a >= U . �

Deci, dreapta ab care trece prin punctele distincte a si b este

ab = {a+ λ(b− a), λ ∈ K}

si ea se mai poate scrie sub forma

ab = {(1− λ)a+ λb, λ ∈ K}.

Dam acum o caracterizare a varietatilor afine cu ajutorul dreptelor.

Propozitie 2.1.2. Fie V un spatiu vectorial peste un corp K care contine cel putin treielemente. O submultime A a lui V este o varietate liniara daca si numai daca

∀ a, b ∈ A, a 6= b =⇒ ab ⊂ A.

60

Dem: ”=⇒” Daca A ∈ A(V ), atunci A = x + D(A), unde x ∈ A si D(A) ≺ V . Fiea 6= b doua puncte din A. Varietatea A se poate scrie

A = a+D(A).

Deoarece b ∈ A =⇒ b− a ∈ D(A), deci < b− a >⊂ D(A), adica ab ⊂ A.”⇐=” Fie A o submultime a lui V care satisface conditia din enunt. Daca A = ∅,

atunci A este o varietate liniara.Presupunem ca A 6= ∅. Fie a ∈ A si notam U = A − a = {u = x − a, x ∈ a}. Vom

demonstra ca U este subspatiu vectorial al lui V .

• Pentru orice u1, u2 ∈ U si orice λ ∈ K, rezulta ca

(1− λ)u1 + λu2 ∈ U. (2.1)

Intr-adevar, daca u1 = x1 − a si u2 = x2 − a, cu x1, x2 ∈ A, avem

(1− λ)u1 + λu2 = (1− λ)(x1 − a) + λ(x2 − a) = (1− λ)x1 + λx2︸ ︷︷ ︸x1x2

−a ∈ A− a = U.

• In (2.1) ınlocuim u1 = 0V (deoarece a ∈ A =⇒ 0V = a− a ∈ U) si obtinem

∀λ ∈ K, ∀u ∈ U, =⇒ λu ∈ U.

• Deoarece corpul K are cel putin trei elemente, rezulta ca exista α ∈ K, α 6= 0, α 6= 1.Inlocuim ın (2.1) λ = α, u1 = (1− α)−1v1 si u2 = α−1v2, cu v1, v2 ∈ U . Atunci

∀, v1, v2 ∈ U =⇒ v1 + v2 ∈ U.

Deci U este un subspatiu vectorial al lui V , iar A = a+ U este o varietate liniara. �Daca K are doar doua elemente, propozitia nu mai este adevarata. Fie K = Z2 = {0, 1},

V = Z2 × Z2 si M = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)} ⊂ V . Orice dreapta din Z2 × Z2 contine exactdoua elemente (ab = {a+ λ(b− a), λ = 0, 1}), deci oricare ar fi doua elemente ale lui M ,dreapta care trece prin ele este continuta ın M . Dar M nu este varietate liniara, caci dacaar fi, tinand cont de faptul ca (0, 0) ∈ M , ar rezulta ca M este un subspatiu vectorial allui Z2 × Z2. Dar atunci (0, 1) + (1, 0) ∈M , deci (1, 1) ∈M , ceea ce este fals.

In urmatoarea caracterizare a varietatilor liniare nu excludem nici un corp.

Propozitie 2.1.3. Fie V un spatiu vectorial peste un corp K. O submultime A ⊂ V esteo varietate liniara a lui V daca si numai daca este satisfacuta urmatoarea conditie:

(∀x1, . . . , xn ∈ A, ∀λ1, . . . , λn ∈ K,n∑

i=1

λi = 1) =⇒n∑

i=1

λixi ∈ A. (2.2)

61

Dem: ”=⇒” Daca A ∈ A(V ), atunci A = x + D(A), unde x ∈ A si D(A) ≺ V . Fiex1 ∈ A. Varietatea A se poate scrie

A = x1 +D(A).

Pentru xi ∈ A, i = 1, n si λi ∈ K, i = 1, n, cun∑

i=1λi = 1,=⇒ xi − x1 ∈ D(A) ≺ V , deci

n∑i=1

λi(xi − x1) ∈ D(A). In consecinta,

n∑i=1

λixi =n∑

i=1

λi(xi − x1) +n∑

i=1

λix1 =n∑

i=1

λi(xi − x1)︸ ︷︷ ︸∈D(A)

+x1 ⊂ D(A) + x1 ∈ A.

”⇐=” Fie A o submultime a lui V care satisface conditia din enunt. Daca A = ∅,atunci A este o varietate liniara.

Presupunem ca A 6= ∅. Fie a ∈ A si notam U = A − a = {u = x − a, x ∈ a}. Vomdemonstra ca U este subspatiu vectorial al lui V .

• Pentru orice u1, . . . , un ∈ U si orice λi ∈ K, cun∑

i=1λi = 1, rezulta ca

n∑i=1

λiui ∈ U. (2.3)

Intr-adevar, daca ui = xi − a, cu xi ∈ A, ı = 1, n, avemn∑

i=1

λiui =n∑

i=1

λi(xi − a) =n∑

i=1

λixi −n∑

i=1

λia =n∑

i=1

λixi︸ ︷︷ ︸∈A

−a ⊂ A− a = U.

• In (2.3) ınlocuim n = 3, λ1 = α ∈ K, λ2 = β ∈ K, λ3 = 1−α−β, u3 = 0V (deoarecea ∈ A =⇒ 0V = a− a ∈ U) si obtinem

∀α, β ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U, =⇒ αu1 + βu2 ∈ U.Deci U este un subspatiu vectorial al lui V , iar A = a+ U este o varietate liniara. �

Infasuratoarea afina a unei submultimi

Combinatia liniaran∑

i=1λixi, ın care coeficientii λi ∈ K verifica

n∑i=1

λi = 1, se numste

combinatie afina a punctelor x1, . . . , xn ∈ V .Am vazut ca intersectia varietatilor liniare este o varietate liniara. Fie M ⊂ V .

Intersectia tuturor varetatilor liniare ale lui V , care contin peM , se numeste ınfasuratoareaafina (sau ınchiderea afina) a lui M si se noteaza cu af M . Este clar ca af M este elementulminim al lui A(V ) (ın raport cu incluziunea) care contine pe M .

A ∈ A(V ),M ⊂ A =⇒ afM ⊂ A.

62

Propozitie 2.1.4. Fie V un spatiu vectorial peste un corp K. Infasuratoarea afina a uneimultimi M ⊂ V este multimea tuturor combinatiilor afine care se pot forma cu un numarfinit de elemente din M .

afM = {n∑

i=1

λixi, n ∈ N, x1, . . . , xn ∈M,λ1, . . . , λn ∈ K,n∑

i=1

λi = 1} (sume finite).

Dem: Fie X = {n∑

i=1λixi, n ∈ N, x1, . . . , xn ∈M,λ1, . . . , λn ∈ K,

n∑i=1

λi = 1}. Vom arata

ca af M = X.”⊆” Pentru aceasta incluziune, este suficient sa verificam faptul ca X este o varietate

liniara care contine pe M . Evident, M ⊂ X, deoarece orice x ∈M este de forma x = 1 ·x.Pentru a demonstra ca X ∈ A(V ), vom folosi Propozitia 2.1.3. Fie yj =

n∑i=1

λijxi ∈ X,

cun∑

i=1λij = 1, j = 1, k si fie µj ∈ K, j = 1, k, cu

k∑j=1

µj = 1. Atunci

k∑j=1

µjyj =k∑

j=1

µj(n∑

i=1

λijxi) =n∑

i=1

(k∑

j=1

µjλij)xi ∈ X,

deoarecen∑

i=1(

k∑j=1

µjλij) =n∑

i=1(

k∑j=1

µj)λij =n∑

i=1λij = 1, deci X ∈ A(V ). Deoarece af M este

cea mai mica varietate liniara a lui V care contine pe M , rezulta ca af M ⊆ X.”⊇” Fie A ∈ A(V ) o varietate liniara arbitrara, astfel ıncat M ⊂ A. Vom arata

ca X ⊂ A. Intr-adevar, fie x ∈ X. Deci x =n∑

i=1λixi, unde xi ∈ M , iar

n∑i=1

λi = 1.

Deoarece xi ∈ M , iar M ⊂ A, atunci xi ∈ A. Folosind din nou Propozitia 2.1.3, rezulta

ca x =n∑

i=1λixi ∈ A, deci X ⊂ A. Adica X este inclusa ın orice varietate liniara A, cu

M ⊂ A, deci X ⊂ af M . �Rezulta imediat ca

• M = af M ⇐⇒M ∈ A(V ).

• af {a, b} = ab.

Ecuatiile unei varietati liniare

Presupunem acum ca spatiul vectorial V este finit dimensional, de dimeniune n, si fieB = {e1, . . . , en} o baza a sa. Fie A ∈ A(V ) o varietate liniara de dimensiune r, r ≤ n.Atunci A este de forma

A = a+ < d1, . . . , dr >,

unde a ∈ A, iar vectorii d1, . . . , dr sunt liniar independenti. Aceasta este ecuatia vectorialaa varietatii A.

63

In raport cu baza B a lui V , putem determina coordonatele vectorilor a, d1, . . . , dr.

Daca a =n∑

i=1aiei si dj =

n∑i=1

dijei, j = 1, r, atunci varietatea liniara A este data de

A = {x = (x1, . . . , xn) ∈ V, xi = ai +r∑

j=1

dijλj , λj ∈ K}

si am obtinut ecuatiile parametrice ale varietatii A.Pe de alta parte, varietatile liniare coincid cu solutiile sistemelor de ecuatii liniare, deci

A = {x = (x1, . . . , xn) ∈ V,n∑

j=1

aijxj = bi, i = 1,m},

unde rangul matricei (aij) este r.

Teorema dimensiunii. Paralelism

Varietatile liniare A,B ∈ A(V ) se numesc paralele daca D(A) ⊆ D(B) sau D(B) ⊆ D(A).Vom nota A ‖ B.

Propozitie. Daca A,B ∈ A(V ), cu A ‖ B, atunci A ⊆ B, sau B ⊆ A, sau A ∩B = ∅.

Dem: Daca A∩B = ∅, nu mai e nimic de demonstrat. Presupunem ca A∩B 6= ∅ si fiea ∈ A∩B. Rezulta ca A = a+D(A) si B = a+D(B). Deoarece A ‖ B, putem presupuneca D(A) ⊆ D(B). Atunci, A = a+D(A) ⊆ a+D(B) = B si propozitia este demonstrata.�

Propozitie 2.1.5. Fie A,B ∈ A(V ), A = a+D(A), B = b+D(B). Atunci

af (A ∪B) = a+D(A) +D(B)+ < b− a > .

Dem: ”⊆”. Intr-adevar, deoarece A ⊆ a + D(A) + D(B)+ < b − a > si B ⊆ a +D(A) + D(B)+ < b − a >, rezulta ca A ∪ B ⊆ a + D(A) + D(B)+ < b − a >, deci af(A∪B) ⊆ a+D(A) +D(B)+ < b− a > (deoarece af (A∪B) este cea mai mica varietateliniara care contine pe A ∪B).

”⊇”. Am vazut ca af (A∪B) este o varietate liniara (ca intersectie de varietati liniare).Deci af (A ∪B) = a+D( af (A ∪B)). Avem:

A ⊆ af (A ∪B) =⇒ D(A) ⊆ D( af (A ∪B)),

B ⊆ af (A ∪B) =⇒ D(B) ⊆ D( af (A ∪B)),

a, b ∈ af (A ∪B) =⇒< b− a >⊆ D( af (A ∪B)),

decia+D(A) +D(B)+ < b− a >⊆ a+D( af (A ∪B)) = af (A ∪B). �

64

Propozitie 2.1.6. Fie A,B ∈ A(V ), A = a+D(A), B = b+D(B). Atunci

A ∩B 6= ∅ ⇐⇒< b− a >⊂ D(A) +D(B).

Dem: ”=⇒” Fie c ∈ A ∩ B. Atunci exista u1 ∈ D(A) si u2 ∈ D(B) astfel ıncat c =a+u1 = b+u2. Rezulta ca b−a = u1−u2 ∈ D(A)+D(B), deci < b−a >⊂ D(A)+D(B).

”⇐=” Daca < b−a >⊂ D(A)+D(B) =⇒ b−a ∈ D(A)+D(B), deci exista u1 ∈ D(A) siu2 ∈ D(B), astfel ıncat b−a = u1 +u2. In consecinta, b− u2︸ ︷︷ ︸

∈B

= a+ u1︸ ︷︷ ︸∈A

= c, deci c ∈ A∩B.

�

Consecinta. Fie A,B ∈ A(V ), A = a+D(A), B = b+D(B). Atunci

af (A ∪B) ={

a+D(A) +D(B) daca A ∩B 6= ∅a+D(A) +D(B)+ < b− a > daca A ∩B = ∅ . (2.4)

Exemplu. Presupunem ca V este un spatiu vectorial de dimensiune 3 si fie d1 = a+ <d1 > si d2 = b+ < d2 > doua drepte distincte din A(V ).

• Daca d1 ∩ d2 = {P}, atunci

af (d1 ∪ d2) = a+ < d1 > + < d2 >= a+ < d1, d2 >,

obtinand planul determinat de cele doua drepte.

• Daca d1 ‖ d2, atunci < d1 >=< d2 >, deci

af (d1 ∪ d2) = a+ < d1 > + < b− a >= a+ < d1, b− a >,

obtinand planul determinat de vectorii (liniar independenti) d1 si b− a (acesta este,evident, planul determinat de d1 si d2).

• Daca d1 si d2 sunt necoplanare, atunci

af (d1 ∪ d2) = a+ < d1 > + < d2 > + < b− a >= a+ < d1, d2, b− a >

si, deoarece d1, d2 si b − a sunt liniar independenti, af (d1 ∪ d2) este ıntreg spatiulV .

Propozitie 2.1.7. (Teorema dimensiunii) Fie A si B doua varietati liniare nevide, dedimensiuni finite, din spatiul vectorial V . Atunci

dim af (A ∪B) ={

dimA+ dimB − dim(A ∩B) daca A ∩B 6= ∅dim[D(A) +D(B)] + 1 daca A ∩B = ∅ . (2.5)

Dem: Daca A ∩ B 6= ∅, atunci af (A ∪ B) = a + D(A) + D(B) si, folosind teoremadimensiunii (Grassmann), obtinem

dim af (A ∪B) = dim[D(A) +D(B)] = dimD(A) + dimD(B)− dim(D(A) ∩D(B)) =

65

= dimA+ dimB − dim(A ∩B).

Daca A ∩ B = ∅, atunci, conform Propozitiei 2.1.6, < b − a >* D(A) + D(B), decivectorul b− a este liniar independent de vectorii din [D(A) +D(B)]. Rezulta ca

dim af (A ∪B) = dim[D(A) +D(B)+ < b− a >] =

= dim[D(A)+D(B)]+dim < b−a > −dim([D(A)+D(B)]∩ < b−a >) = dim[D(A)+D(B)]+1,

deoarece [D(A) +D(B)]∩ < b− a >= {0V } (altfel subspatiul 1-dim < b− a > ar fi inclusın subspatiul D(A) +D(B)). �

Exemplu. Vom determina pozitiile relative ale unei drepte si un plan ıntr-un spatiu vec-torial 4-dimensional V . Fie d = a+ < d1 > o dreapta si π = b+ < d2, d3 > un plan.

• Daca d ∩ π 6= ∅, atunci

af (d ∪ π) = a+ < d1 > + < d2, d3 >,

iardim [af (d ∪ π)] = 1 + 2− dim(d ∩ π) ≤ 4,

de unde rezulta ca dim(d ∩ π) ≥ −1, deci dim(d ∩ π) = {0, 1}.

a) Daca dim(d ∩ π) = 0 =⇒ d ∩ π = {P}, dim ( af (d ∪ π)) = 3, deci intersectiadintre d si π este un punct, iar ınfasuratoarea afina a lui d∪π este un hiperplan.

b) Daca dim(d ∩ π) = 1 =⇒ d ∩ π = d, dim ( af (d ∪ π)) = 2, deci d ⊂ π.

• Daca d ∩ π = ∅, atunci

af (d ∪ π) = a+ < d1 > + < d2, d3 > + < b− a >,

iardim [af (d ∪ π)] = dim[< d1 >,< d2, d3 >] + 1 ≤ 4,

de unde rezulta ca dim < d1, d2, d3 >≤ 3, deci dim < d1, d2, d3 >= {2, 3} (evident,d2 si d3 sunt liniar independenti, deci dim < d1, d2, d3 >≥ 2).

a) Daca dim < d1, d2, d3 >= 2 =⇒< d1 >⊂< d2, d3 >=⇒ d ‖ π, iar af (d ∪ π) =a+ < d2, d3 > + < b− a > este un hiperplan.

b) Daca dim < d1, d2, d3 >= 3 =⇒ dim af (d ∪ π) = 4 =⇒ af (d ∪ π) = V si d ∦ π(dreapta d nu este paralela cu planul π si nici nu are puncte comune cu π).

66

2.2 Spatii afine. Proprietati imediate

Fie A = {A,B,C, . . .} o multime nevida de puncte.

• Un element (A,B) ∈ A×A se numeste bipunct al lui A, de origine A si extremitateB.

• Un bipunct de forma (A,A) este un bipunct diagonal sau bipunct nul.

• Bipunctele (A,B) si (B,A) sunt bipuncte simetrice.

Un K-spatiu vectorial V determina o structura afina pe A daca se poate defini o functieϕ : A×A → V , astfel ıncat:

1) ϕ(A,B) + ϕ(B,C) = ϕ(A,C), pentru oricare A,B,C ∈ A;

2) Pentru orice A ∈ A si orice v ∈ V , exista un unic punct B ∈ A, astfel ıncatϕ(A,B) = v.

Multimea A, dotata cu o structura afina, se numeste spatiu afin. Un spatiu afin este,deci, determinat de un triplet (A, V, ϕ) care verifica cele doua conditii de mai sus.

• Multimea A este spatiul baza (sau spatiul suport), iar elementele sale sunt punctelespatiului afin.

• Spatiul vectorial V este spatiul director al spatiului afin, iar elementele sale nenulesunt vectori directori.

• Functia ϕ este functia structurala a spatiului afin.

Spatiul afin este real sau complex, dupa cum scorpul K al scalarilor lui V este real saucomplex.

Notand ϕ(A,B) = AB, cele doua conditii din definitia structurii afine devin:

1) AB +BC = AC, pentru oricare A,B,C ∈ A;

2) Pentru orice A ∈ A si orice v ∈ V , exista un unic punct B ∈ A, astfel ıncat AB = v.

In continuare, vom mentiona un spatiu afin prin (A, V, ϕ) sau, folosind notatia ϕ(A,B) =AB, prin (A, V ) sau, cand se subıntelege spatiul director V , doar prin spatiul sau suportA.

Propozitie. Intr-un spatiu afin (A, V ), avem

1) Vectorul asociat oricarui bipunct diagonal este vectorul nul,

AA = 0V ∈ V, ∀A ∈ A.

2) Vectorii asociati la doua puncte simetrice sunt vectori opusi,

BA = −AB, ∀A,B ∈ A.

67

3) Pentru fiecare punct A ∈ A, aplicatia

ϕA : A → V, ϕA(B) = AB

este o bijectie.

Fie O ∈ A un punct fixat si fie AO = {O} ×A multimea bipunctelor lui A, de origineO. Prin bijectia AO → V , (O,A) → OA, bipunctul (O,A) se poate identifica cu vectorulOA. In acest mod, structura vectoriala din V se introduce pe AO.

• Spatiul vectorial AO astfel determinat se numeste spatiu vectorial tangent ın O laA.

• Un vector din AO se numste vector tangent ın O la A (sau vector legat al spatiuluiafin A, de origine O).

• Evident, spatiul vectorial AO este izomorf cu V .

• Considerand bijectiaA → AO, A→ (O,A),

vectorul (O,A), asociat punctului A, se numeste vector de pozitie al punctului A ınraport cu originea O.

Vom spune ca bipunctul (A,B) este echipolent cu bipunctul (C,D) si vom scrie (A,B) ∼(C,D) daca (A,B) si (C,D) determina acelasi vector ın V , adica

(A,B) ∼ (C,D) ⇐⇒ ϕ(A,B) = ϕ(C,D).

Este imediat faptul ca ∼ este o relatie de echivalenta pe A×A. Fie (A×A)/∼ multimeaclaselor de echivalenta si [(A,B)] clasa bipunctului (A,B). Aplicatia

(A×A)/∼ → V, [(A,B)] → v = ϕ(A,B)

este bine definita (evident, nu depinde de alegerea reprezentantului (A,B) al clasei [(A,B)])si este o bijectie. Putem, deci, sa identificam clasa [(A,B)] cu vectorul ϕ(A,B) = AB.In acest fel, structura de spatiu vectorial a lui V se poate transporta pe spatiul factor(A×A)/∼ care va avea, astfel, o structura de spatiu vectorial.

• Spatiul vectorial astfel definit se numeste spatiul vectorial al vectorilor liberi dinspatiul afin A.

• (A×A)/∼ este izomorf cu spatiul sau director V .

• O clasa oarecare de bipuncte echipolente se numeste vector liber al spatiului afin A.

68

2.3 Exemple de spatii afine

Structura afina a spatiului E3

Daca E3 este spatiul punctual euclidian 3-dimensional, iar E3 este spatiul vectorial alvectorilor liberi din E3, consideram functia

ϕ : E3 × E3 → E3, ϕ(A,B) = AB,

unde AB este vectorul liber asociat vectorului legat−−→AB determinat de bipunctul (A,B).

Tripletul (E3, E3, ϕ) este un spatiu afin real.Fie O ∈ E3 un punct arbitrar. Putem identifica spatiul E3 al vectorilor liberi cu spatiul

vectorial EO3 tangent la E3 ın punctul O. Structura afina pe E3 este determinata de un

triplet (E3, EO3 , ϕ), unde ϕ este operatia de scadere din EO

3 ,

ϕ : E3 × E3 → EO3 , ϕ(A,B) =

−−→OB −

−→OA.

Structura afina asociata unei varietati liniare

Fie A o varietate liniara dintr-un spatiu vectorial V , A = a+D(A). Pe A se poate definio structura afina, numita structura afina canonic asociata lui A, considerand functia

ϕ : A×A→ D(A), ϕ(a+ u, a+ w) = w − u.

Se verifica imediat cele doua conditii din definitia structurii afine, deci tripletul (A,D(A), ϕ)determina o structura afina pe A.

Structura afina asociata unui spatiu vectorial

Fie V un K-spatiu vectorial. Structura afina canonic asociata lui V este data de tripletul(V, V, ϕ), unde

ϕ : V × V → V, ϕ(v, w) = w − v.

Spatiul afin standard Kn

Pe spatiul vectorial aritmetic Kn, structura afina este data de tripletul (Kn,Kn, ϕ), unde,din nou,

ϕ : Kn×Kn → Kn, ϕ(A,B) = AB = (b1−a1, . . . , bn−an), ∀A = (a1, . . . , an), B = (b1, . . . , bn) ∈ Kn.

2.4 Combinatii afine de puncte

Propozitie. Fie A un spatiu afin si S = {A0, A1, . . . , Ap} ⊂ A un sistem finit de punctedin A. Fie {αo, α1, . . . , αp} ⊂ K un sistem de scalari cu proprietatea ca α0+α1+. . .+αp =1. Atunci exista un unic punct P ∈ A, astfel ıncat

OP = α0OA0 + α1OA1 + . . .+ αpOAp, (2.6)

oricum am alege punctul origine O ∈ A.

69

Dem : Presupunem ca, alegand originea ın O, gasim punctul P astfel ıncat

OP = α0OA0 + α1OA1 + . . .+ αpOAp

si, pentru originea ın O′, avem punctul P ′, cu

O′P ′ = α0O′A0 + α1O

′A1 + . . .+ αpO′Ap.

Atunci

O′P = O′O +OP =p∑

i=0

αiO′O +

p∑i=0

αiOAi =p∑

i=0

αi(O′O +OAi) =p∑

i=0

αiO′Ai = O′P ′,

deci O′P = O′P ′ si P = P ′. �Deoarece alegerea lui O ın (2.6) nu este esentiala, putem folosi notatia

P = α0A0 + α1A1 + . . .+ αpAp.

• Fie S = {A0, A1, . . . , Ap} ⊂ A un sistem finit de puncte din A. Un punct P ∈ A senumeste combinatie afina (sau baricentru) a sistemului de puncte S daca exista unsistem de scalari {αo, α1, . . . , αp} ⊂ K, cu α0 + α1 + . . .+ αp = 1, astfel ıncat

P = α0A0 + α1A1 + . . .+ αpAp. (2.7)

• Sistemul de scalari {αo, α1, . . . , αp, α0 + α1 + . . .+ αp = 1} se numeste sistemul deponderi al punctului P fata de S.

• Daca S = {Aα, α ∈ J} este un sistem oarecare de puncte din A, atunci un punctP ∈ A este combinatie afina a lui S daca exista un subsistem finit al lui S, astfelıncat P sa fie combinatie afina a acestuia.

• Un sistem oarecare S de puncte din A se numeste sistem de generatori al spatiuluiafin A daca orice punct P ∈ A este o combinatie afina a lui S.

Propozitie. Fie S = {A0, A1, . . . , Aq, Aq+1, . . . , Ap} un sistem de puncte din A si

P = α0A0 + . . .+ αqAq + αq+1Aq+1 + . . .+ αpAp, α0 + . . .+ αq + αq+1 + . . .+ αp = 1,

un baricentru al sau. Daca α = α0 + . . .+ αq 6= 0, atunci

P = αQ+ αq+1Aq+1 + . . .+ αpAp, α+ αq+1 + . . .+ αp = 1,

unde Q este baricentru al subsistemului {A0, A1, . . . , Aq}, cu ponderile {α0

α,α1

α, . . . ,

αq

α}.

Reciproc, daca P ∈ A este dat de

P = αQ+ αq+1Aq+1 + . . .+ αpAp, α+ αq+1 + . . .+ αp = 1,

cu α 6= 0, iar

Q = β0A0 + β1A1 + . . .+ βqAq, β0 + β1 + . . .+ βq = 1,

atunci P este baricentru al sistemului S, de ponderi {αβ0, . . . , αβq, αq+1, . . . , αp}.

70

• Un sistem finit de puncte S = {A0, A1, . . . , Ap} din A se numeste afin dependentdaca cel putin unul din punctele sale este combinatie afina a sistemului format cucelelalte puncte. Punctele lui S se numesc afin dependente.

• Sistemul S = {A0, A1, . . . , Ap} se numeste afin independent daca nu este afin de-pendent sau daca este alcatuit dintr-un singur punct. Punctele lui S se numesc afinindependente.

Propozitie. Sistemul de puncte S = {A0, A1, . . . , Ap} din A este afin dependent daca sinumai daca sistemul de vectori S = {A0A1, . . . , A0Ap} din V este liniar dependent.

Dem: Presupunem ca sistemul de puncte S = {A0, A1, . . . , Ap} este afin dependent.Rezulta ca

∃α1, . . . , αp ∈ K, α1 + . . .+ αp = 1, A0 = α1A1 + . . .+ αpAp,

adica∀O ∈ A, OA0 = α1OA1 + . . .+ αpOAp.

Alegand, ın ultima relatie, originea O sa fie chiar punctul A0, obtinem ca

0V = α1A0A1 + . . .+ αpOAp,

unde scalarii αi nu sunt toti zero, deoarece suma lor este egala cu 1. Rezulta ca sistemulde vectori S = {A0A1, . . . , A0Ap} este liniar dependent.

Reciproc, presupunem ca sistemul S = {A0A1, . . . , A0Ap} este liniar dependent. Rezultaca

∃α1, . . . , αp ∈ K, nu toti nuli, cu α1A0A1 + . . .+ αpA0Ap = 0V ,

adica∀O ∈ A, α1(A0O +OA1) + . . .+ αp(A0O +OAp) = 0V ,

sau∀O ∈ A, (α1 + . . .+ αp)︸ ︷︷ ︸

α

A0O + α1OA1 + . . .+ αpOAp = 0V .

• Daca α 6= 0, atunci

∀O ∈ A, αOA0 = α1OA1 + . . .+ αpOAp,

deci

∀O ∈ A, OA0 =α1

αOA1 + . . .+

αp

αOAp, cu

p∑i=1

αi

α= 1

si

A0 =α1

αA1 + . . .+

αp

αAp, cu

p∑i=1

αi

α= 1,

adica sistemul de puncte S este afin dependent.

71

• Daca α = 0, atunci α1OA1 + . . . + αpOAp = 0V , unde nu toti scalarii αi sunt nuli.Presupunem ca α1 6= 0. Atunci

−α1OA1 = α2OA2 + . . .+ αpOAp,

deci

∀O ∈ A, OA1 = −α2

α1OA2 − . . .−

αp

α1OAp, cu

p∑i=2

−αi

α1= 1,

si

∀O ∈ A, A1 = −α2

α1A2 − . . .−

αp

α1Ap, cu

p∑i=2

−αi

α1= 1,

deci, si ın acest caz, sistemul de puncte S este afin dependent. �

Sistemul de vectori S = {A0A1, . . . , A0Ap} se numeste sistem de vectori asociat sis-temului de puncte S = {A0, A1, . . . , Ap}. Schimband rolul punctului A0 cu alt punct dinsistem, se pot obtine alte sisteme de vectori asociate unui sistem de puncte. Toate acestesisteme se deduc din primul prin transformari elementare.

• Un sistem format din doua puncte {A,B} este afin independent daca si numai dacapunctele sunt distincte A 6= B.

• In E3, trei puncte necoliniare sunt afin independente. La fel sunt si patru punctenecoplanare.

• Orice sistem de puncte care contine un un subsistem afin dependent este afin depen-dent.

• Daca un sistem este afin independent, atunci orice subsistem al sau este afin inde-pendent.

Vom spune ca un sistem oarecare de puncte S = {Aα, α ∈ J} din A este afin inde-pendent daca orice subsistem finit al sau este afin independent.

2.5 Subspatii afine

Fie (A, V, ϕ) un spatiu afin. Fie A′ ⊂ A o submultime nevida a lui A si ϕ′ = ϕ|A′×A′

restrictia lui ϕ la A′ × A′. Daca V ′ = ϕ′(A′ × A′) este un subspatiu vectorial al lui V ,atunci tripletul (A′, V ′, ϕ′) are o structura de spatiu afin.

Se numeste subspatiu afin al spatiului afin (A, V, ϕ) un triplet (A′, V ′, ϕ′), unde A′ esteo submultime nevida a lui A, ϕ′ este restrictia lui ϕ la A′ ×A′, iar V ′ = ϕ′(A′ ×A′) esteun subspatiu vectorial al lui V . Multimea vida se considera, prin definitie, subspatiuafin al oricarui spatiu afin A.

Un subspatiu afin (A′, V ′) este determinat fie de multimea A′ a punctelor sale, fie deun punct P0 ∈ A′ si de spatiul sau director V ′.

72

• Cand cunoastem pe A′, spatiul director va fi

V ′ = {AB, A,B ∈ A′},

sau, fixand un punct P0 ∈ A′,

V ′ = {P0A, A ∈ A′}.

• Cand cunoastem punctul P0 ∈ A′ si spatiul V ′, atunci

A′ = {A ∈ A, P0A ∈ V ′}.

Exemple. • Orice submultime formata dintr-un singur punct A′ = {A} ⊂ A este unsubspatiu afin al lui A. Spatiul sau director este V ′ = {0V } ≺ V .

• Orice dreapta d si orice plan π din E3 sunt subspatii afine ale lui E3. Spatiile lordirectoare sunt, respectiv, o dreapta vectoriala d′ ∈ EO

3 si un plan vectorial π′ ∈ EO3 ,

care le determina directia (adica d ‖ d′, resp. π ‖ π′).

• Varietatile liniare din Kn, determinate de multimea solutiilor sistemelor de ecuatiiliniare, sunt subspatii afine ale spatiului afin standard Kn. Spatiile lor directoaresunt subspatiile vectoriale ale lui Kn, determinate de solutiile sistemelor liniare siomogene, asociate sistemelor date.

De exemplu, ın K3, spatiul solutiilor ecuatiei Ax + By + Cz + D = 0, cu rang(A,B,C) = 1, este un subspatiu afin al lui K3. Spatiul sau director este spatiulvectorial al solutiilor ecuatiei omogene asociate Ax+By + Cz = 0.

Urmatoarea propozitie este o generalizare a axiomei paralelelor din E3.

Propozitie. Fie (A, V, ϕ) un spatiu afin. Pentru orice punct P0 ∈ A si orice subspatiuvectorial V ′ al lui V , exista un unic subspatiu afin A′ al lui A care contine punctul P0 siadmite pe V ′ ca spatiu director.

Dem: Definim A′ = {A ∈ A, P0A ∈ V ′} si fie ϕ′ restrictia lui ϕ la A′×A′. Tripletul(A′, V ′, ϕ′) este un subspatiu afin al lui (A, V, ϕ), contine pe P0 si admite pe V ′ ca spatiudirector.

Deoarece aplicatia ϕ′P0: A′ → V ′, A 7−→ P0A, este o bijectie, rezulta ca A′ este unic

determinat. �

• Un subspatiu afin al lui A este o dreapta ın A daca spatiul sau director este o dreaptavectoriala din V .

• Un subspatiu afin al lui A este un plan ın A daca spatiul sau director este un planvectorial din V .

• Un subspatiu afin al lui A este un hiperplan ın A daca spatiul sau director este unhiperplan vectorial din V .

73

Propozitie 2.5.1. O conditie necesara si suficienta pentru ca o submultime nevida A′ ⊂ Asa fie un subspatiu afin al lui A este ca

∀ P,Q ∈ A′, ∀ α, β ∈ K, α+ β = 1 =⇒ αP + βQ ∈ A′.

Dem: Presupunem ca A′ este un subspatiu afin al lui A. Inseamna ca spatiul directorV ′ al lui A′ este un subspatiu vectorial al spatiului director V al lui A.

Fixam A0 ∈ A′. Atunci

V ′ = {A0P, P ∈ A′} ≺ V.

Fie P,Q ∈ A′. Atunci A0P,A0Q ∈ V ′ si, deoarece V ′ ≺ V , rezulta ca, pentru orice λ ∈ K,(1 − λ)A0P + λA0Q ∈ V ′. Deci exista R ∈ A′, astfel ıncat A0R = (1 − λ)A0P + λA0Q.Deci R = (1− λ)P + λQ ∈ A′.

Reciproc, presupunem ca implicatia din propozitie este adevarata. Fixam A0 ∈ A′ sifie

V ′ = {A0P, P ∈ A′}.

Vom arata ca V ′ este un subspatiu vectorial al lui V .Fie v ∈ V ′. Rezulta ca exista P ∈ A′, astfel ıncat v = A0P . V ′ este o submultime

a lui V , deci v ∈ V si, deoarece A este un spatiu afin cu spatiul director V , rezulta ca,pentru orice λ ∈ K, exista un unic R ∈ A, astfel ıncat A0R = λv. Deci λv = A0R =(1− λ)A0A0 + λv = (1− λ)A0A0 + λA0P si, cum A0, P ∈ A′, rezulta ca R ∈ A′, ceea ceınseamna ca λv ∈ V ′.

Daca v, w ∈ V ′, atunci exista punctele (unice) P,Q ∈ A′, astfel ıncat v = A0P si

w = A0Q. Combinatia afina T =12P +

12Q se va afla ın A′, deci A0T =

12v +

12w ∈ V ′.

Rezulta ca si suma v + w ∈ V ′, deci V ′ ≺ V , iar A′ este subspatiu afin al lui A. �Evident, propozitia anterioara este valabila pentru orice combinatie afina a unui numar

finit de puncte din A′.

Propozitie 2.5.2. Fie (A, V ) un spatiu afin, S = {A0, A1, . . . , Ap} un sistem finit depuncte din A si S = {A0A1, . . . , A0Ap} sistemul de vectori asociat. Atunci multimeabaricentrelor lui S,

S = {P ∈ A, P = α0A0 + . . .+ αpAp, α0 + . . .+ αp = 1},

este un subspatiu afin al lui A. Spatiul sau director este ınfasuratoarea liniara a lui S(deci subspatiul < S > generat de S).

Dem: Pentru a demonstra ca S este un subspatiu afin, vom folosi Propozitia 2.5.1. Fie

P,Q ∈ S si λ ∈ K. Punctele P si Q sunt de forma P = α0A0 + . . .+ αpAp, cup∑

i=0αi = 1,

respectiv Q = β0A0 + . . .+ βpAp, cup∑

i=0βi = 1. Atunci

(1− λ)P + λQ = (1− λ)p∑

i=0

αiAi +p∑

i=0

βiAi =p∑

i=0

[(1− λ)αi + λβi]Ai ∈ S,

74

deoarecep∑

i=0

[(1− λ)αi + λβi] = (1− λ)p∑

i=0

αi + λn∑

i=0

βi = (1− λ) + λ = 1.

Deci S este un subspatiu afin al lui A.Vom arata ca spatiul director al lui S este chiar < S >. Spatiul director al lui S este

(relativ la punctul A0, dar acest spatiu nu depinde de alegerea punctului din S)

V = {A0P, P ∈ S}.

Vom verifica dubla incluziune V =< A0A1, . . . , A0Ap >.”⊆” Fie v ∈ V . Rezulta ca exista un unic P ∈ S, astfel ıncat v = A0P , deci v =

α0A0A0 + α1A0A1 + . . .+ αpA0Ap, adica v ∈< A0A1, . . . , A0Ap >.”⊇” Fie v ∈< A0A1, . . . , A0Ap >. Rezulta ca v = α1A0A1 + . . . + αpA0Ap, unde nu

toti scalarii αi sunt nuli. Vectorul v poate fi scris sub forma

v = (1− α1 − . . .− αp)A0A0 + α1A0A1 + . . .+ αpA0Ap.

Deci v = A0T , unde

T = (1− α1 − . . .− αp)A0 + α1A1 + . . .+ αpAp ∈ S,

adica v ∈ V . �Daca S = {A0, Aα, α ∈ J} este un sistem infinit de puncte, notam cu S multimea

baricentrelor tuturor subsistemelor finite ale lui S. Se arata, ın acelasi fel, ca S este unsubspatiu afin al lui A si ca spatiul sau director este ınfasuratoarea liniara a sistemului devectori S = {A0Aα, α ∈ J}, asociat lui S.

Subspatiul afin S ⊂ A se numeste ınchiderea afina (sau ınfasuratoarea afina) a sis-temului S.

Exemple. • Inchiderea afina a sistemului alcatuit dintr-un singur punct S = {A} ⊂A este punctul A ınsusi, iar spatiul sau director este subspatiul trivial {0V } ≺ V .

• Inchiderea afina a unui sistem de doua puncte afin independente (deci distincte)S = {A0, A1} din A este dreapta afina

S = {P ∈ A, P = (1− λ)A0 + λA1, λ ∈ K},

iar spatiul sau director este dreapta vectoriala

< S >=< {A0A1} >= {A0P ∈ V, A0P = λA0A1, λ ∈ K}.

• Inchiderea afina a unui sistem de trei puncte afin independente (deci necoliniare)S = {A0, A1, A2} din A este planul afin

S = {P ∈ A, P = (1− λ− µ)A0 + λA1 + µA2, λ, µ ∈ K},

iar spatiul sau director este planul vectorial

< S >=< {A0A1, A0A2} >= {A0P ∈ V, A0P = λA0A1 + µA0A2, λ, µ ∈ K}.

75

Propozitie. Fie A1 si A2 doua subspatii afine ale lui A si fie V1 si V2 subspatiile lordirectoare. Atunci intersectia A1 ∩ A2 este, de asemenea, un subspatiu afin al lui A iar,daca A1 ∩ A2 6= ∅, atunci spatiul sau director este V1 ∩ V2.

Dem: Daca A1 ∩ A2 = ∅, atunci propozitia este evidenta.Presupunem ca A1 ∩ A2 6= ∅. Fie P,Q ∈ A1 ∩ A2 si fie λ ∈ K. Deoarece A1 si

A2 sunt subspatii afine, rezulta ca (1 − λ)P + λQ ∈ A1 si (1 − λ)P + λQ ∈ A2, deci(1− λ)P + λQ ∈ A1 ∩ A2, deci A1 ∩ A2 este un subspatiu afin.

Fie A0 ∈ A1 ∩ A2. Spatiul director al lui A1 ∩ A2 este

V12 = {A0P, P ∈ A1 ∩ A2}.

Vom arata ca V12 = V1 ∩ V2, unde

V1 = {A0Q, Q ∈ A1}, V2 = {A0R, R ∈ A2}.

”⊆” Fie v ∈ V12 =⇒ exista un unic P ∈ A1 ∩ A2, v = A0P , deci v ∈ V1 ∩ V2.”⊇” Fie v ∈ V1∩V2. Exista un unicQ ∈ A1 si un unicR ∈ A2, astfel ıncat v = A0Q = A0R,deci Q = R ∈ A1 ∩ A2, adica v ∈ V12. �

• Daca S este un sistem de puncte din A, atunci intersectia tuturor subspatiilor afineale lui A, care contin pe S, este un subspatiu afin (cel mai mic — ın raport cuincluziunea — spatiu afin care contine pe S). Acesta coincide cu ınfasuratoareaafina a sistemului S.

Propozitie. Fie (A, V ) un spatiu afin, A1, A2 ⊂ A doua subspatii afine nevide si V1, V2

spatiile lor directoare.

a) Daca V1 si V2 sunt independente, atunci A1 ∩ A2 contine cel mult un punct.

b) Daca V1 + V2 = V , atunci A1 ∩ A2 contine cel putin un punct.

c) Daca V1 ⊕ V2 = V , atunci A1 ∩ A2 contine exact un punct.

Dem: a) Daca A1 ∩ A2 = ∅, atunci afirmatia de la a) este adevarata. Presupunemca A1 ∩ A2 6= ∅. Fie P,Q ∈ A1 ∩ A2. Spatiul director al lui A1 ∩ A2 este V1 ∩ V2, deciPQ ∈ V1 ∩ V2. Dar V1 si V2 sunt independente, deci V1 ∩ V2 = {0V }, deci PQ = 0V si, ınconsecinta, P = Q.

b) Presupunem, prin absurd, ca A1 ∩ A2 = ∅. Fie A1 ∈ A1 si A2 ∈ A2. Spatiiledirectoare ale lui A1 si A2 sunt, respectiv

V1 = {A1P, P ∈ A1}, V2 = {A2Q, Q ∈ A2}.

Deoarece V = V1 + V2, rezulta ca ∀ v ∈ V , exista v1 ∈ V1 si v2 ∈ V2, astfel ıncatv = v1 + v2. Pentru A1A2 ∈ V , exista un unic P ∈ A1 si un unic Q ∈ A2, astfel ıncatA1A2 = A1P+A2Q. Deci A1A2 = A1A2+A2P+A2Q, de unde rezulta ca A2P+A2Q = 0V ,ceea ce este absurd, caci A2Q ∈ V2 si ar rezulta ca A2P ∈ V2, dar P ∈ A1, deci A2P /∈ V2.

c) Rezulta imediat din a) si b). �

76

• Fie A1 si A2 doua subspatii afine ale spatiului afin A. Inchiderea afina a multimiiA1 ∪ A2 se numeste uniunea subspatiilor A1 si A2 si se noteaza A1 ∨ A2.

Propozitie. Fie (A, V ) un spatiu afin, A1 si A2 doua subspatii afine ale sale si V1,respectiv V2 spatiile lor directoare.

a) Daca A1 ∩A2 6= ∅, atunci spatiul director al subspatiului afin A1 ∨A2 este V1 + V2.

b) Daca A1 ∩ A2 = ∅, atunci spatiul director al subspatiului afin A1 ∨ A2 este (V1 +V2)⊕D, unde D este dreapta directoare a unei drepte afine D, determinate de douapuncte A1 ∈ A1 si A2 ∈ A2.

Dem: a) Fie A ∈ A1 ∩ A2. Spatiile directoare ale lui A1 si A2 sunt, respectiv

V1 = {AP, P ∈ A1}, V2 = {AQ, Q ∈ A2},

iar spatiul director al lui A1 ∨ A2 este

W = {AR, R = αP + βQ, α+ β = 1, P ∈ A1, Q ∈ A2}.

Aratam ca W = V1 + V2.”⊆” Fie v ∈ W . Rezulta ca v este de forma v = AR, unde R = αP + βQ, cu P ∈ A1 siQ ∈ A2. Deci AR = αAP +βAQ. Dar AP ∈ V1 ≺ V , deci αAP ∈ V1 si, analog, AQ ∈ V2,adica v ∈ V1 + V2.

”⊇” Fie v ∈ V1 + V2. Rezulta ca v se poate scrie sub forma v =12v1 +

12v2, unde v1 ∈ V1

si v2 ∈ V2. Deci v =12AP +

12AQ, unde P ∈ A1 si Q ∈ A2, adica v ∈W .

b) Fie A1 ∈ A1, A2 ∈ A2 si D dreapta afina determinata de punctele A1 si A2. Spatiiledirectoare ale lui A1 si A2 sunt, respectiv

V1 = {A1P, P ∈ A1}, V2 = {A2Q, Q ∈ A2}.

Vom arata caA1 ∨ A2 = A1 ∨ A2 ∨ D.

Incluziunea ⊆ este evidenta. Fie M ∈ A1 ∨ A2 ∨ D. Punctul M va fi de forma M =αP + βQ+ γR, unde P ∈ A1, Q ∈ A2 si R ∈ D si α+ β + γ = 1.

Daca γ = 0, atunci M ∈ A1 ∨ A2. Daca γ 6= 0, atunci, scriind punctul R sub formaR = (1− λ)A1 + λA2, obtinem

M = αP + βQ+ γ(1− λ)A1 + γλA2 = αP + γ(1− λ)A1 + βQ+ γλA2 ∈ A1 ∨ A2,

deoarece este o combinatie afina (evident, α+β+γ(1−λ)+γλ = 1) de puncte din A1∪A2.Avem, deci,

A1 ∨ A2 = A1 ∨ A2 ∨ D = A1 ∨ (A2 ∨ D).

Aplicand punctul a) al propozitiei, rezulta ca spatiul director al lui A1∨A2 este V1 +(V2 +D), deci (V1 + V2) +D.

77

Ramane de aratat ca (V1 + V2) ∩ D = {0V }. Presupunem, prin absurd, ca existaun vector nenul v ∈ D, astfel ıncat v ∈ V1 + V2. Deoarece D este un spatiu vectorial1-dimensional, vectorul v este coliniar cu vectorul A1A2. Deci A1A2 ∈ V1 +V2. Rezulta caexista P ∈ A1 siQ ∈ A2, astfel ıncat A1A2 = A1P+A2Q. Deci A1A2 = A1A2+A2P+A2Q,adica A2P + A2Q = 0V , imposibil, deoarece A2Q ∈ A2, iar A2P /∈ A2. In consecinta,suma spatiilor V1 + V2 si D este directa. �

• Fie A un spatiu afin, A1 si A2 doua subspatii afine ale sale si V1, respectiv V2 spatiilelor directoare. Spunem ca A1 si A2 sunt paralele daca V1 contine V2 sau V2 contineV1.

A1 ‖ A2 ⇐⇒ V1 ⊆ V2 sau V2 ⊆ V1.

• In multimea subspatiilor afine ale unui spatiu afin A, relatia de paralelism este orelatie reflexiva si simetrica.

• Pentru subspatiile afine ale lui A care admit acelasi spatiu director, relatia de par-alelism este o relatie de echivalenta. De exemplu, toate dreptele afine din A, careau dreapta afina D ca spatiu director, sunt paralele ıntre ele.

• Subspatiile afine A1 si A2 sunt strict paralele daca A1 ‖ A2 si A1 ∩ A2 = ∅ (dacaintersectia lor este nevida, atunci unul dintre subspatii ıl contine pe celalalt).

2.6 Spatii afine finit dimensionale

2.6.1 Dimensiunea unui spatiu afin

Un spatiu afin A este finit dimensional daca spatiul sau director V este finit dimensional.Se numeste dimensiune a unui spatiu afin A dimensiunea spatiului sau director V .

• Multimea vida este considerata, prin definitie, un spatiu afin de dimensiune −1.

• Spatiile afine de dimensiune 0 sunt punctele.

• Un spatiu afin de dimensiune 1 se numeste dreapta afina (sau dreapta).

• Un spatiu afin de dimensiune 2 se numeste plan afin (sau plan).

• Un subspatiu afin al unui spatiu afin n-dimensional A va fi, deci, un spatiu afin dedimensiune p ≤ n. El se va numi p-plan afin (sau p-plan).

Propozitie. Daca S = {A0, A1, . . . , Ap} este un sistem de puncte afin independent, atunciınchiderea sa afina este un p-plan.

Dem: Inchiderea afina a lui S este un spatiu afin, al carui spatiu director este generatde sistemul de vectori {A0A1, . . . , A0Ap}, deci are dimensiunea p. �

78

Teorema 2.6.1.1. (Teorema dimensiunii pentru spatii afine) Fie A un spatiu afinfinit dimensional, A1, A2 subspatii afine, avand spatiile directoare V1, respectiv V2, cudimV1 = p si dimV2 = q. Daca s = dim(A1 ∨ A2), iar i = dim(V1 ∩ V2), atunci

p+ q ={

s+ i daca A1 ∩ A2 6= ∅s+ i− 1 daca A1 ∩ A2 = ∅ . (2.8)

Dem: Conform teoremei lui Grassmann, dimV1+dimV2 = dim(V1∩V2)+dim(V1+V2),adica p+ q = i+ dim(V1 + V2).

Dimensiunea spatiului afin A1 ∨ A2 este dimensiunea spatiului sau director. Acestspatiu director este dat de{

V1 + V2 daca A1 ∩ A2 6= ∅V1 + V2 +D daca A1 ∩ A2 = ∅ ,

deci

dim(V1 + V2) ={

s daca A1 ∩ A2 6= ∅s− 1 daca A1 ∩ A2 = ∅ . �

2.6.2 Repere si coordonate carteziene

Fie A un spatiu afin finit dimensional, de dimensiune n si fie V spatiul sau director. Senumeste reper cartezian ın A un sistem R = (O;B), unde O ∈ A, iar B = {e1, . . . , en}este o baza a lui V . Punctul O se numeste originea reperului R.

Daca R = (O;B) este un reper cartezian ın A, atunci oricarui punct P ∈ A i seasociaza vectorul sau de pozitie OP ∈ V , iar acesta este de forma OP = x1e1 + . . .+xnen,cu (x1, . . . , xn) ∈ Kn. Deci, orice reper R = (O;B) al lui A defineste o bijectie

A → Kn, P 7→ (x1, . . . , xn).

Sistemul de scalari (x1, . . . , xn) poarta numele de coordonatele carteziene ale punctului Pfata de reperul R.

Vrem sa vedem ce se ıntampla la o schimbare de reper ın A. Fie R = (O;B) siR′ = (O′, B′) doua repere ın spatiul afin (finit dimensional) A, cu B = {e1, . . . , en} siB′ = {e′1, . . . , e′n}. Reperul R′ este determinat fata de reperul R atunci cand cunoastemcoordonatele lui O′ ın baza B si componentele vectorilor e′i fata de baza B. Presupunemca

OO′ =n∑

i=1

pi0ei, e′i =n∑

j=1

pjiej .

Fie P0 = (pi0) matricea (coloana) a coordonatelor lui O′ ın baza B si P = (pij) ma-tricea de trecere de la baza B la baza B′ (vom avea det P 6= 0). Sistemul de scalari(pi0, pij ,det(pij) 6= 0) poarta numele de coordonatele reperului R′ fata de reperul R. Aces-tui sistem de coordonate ıi asociem atat perechea de matrice (P0, P ), cat si matriceapatratica nesingulara, de ordinul n+ 1,(

1 0P0 P

),

79

numita matrice de coordonate ale reperului R′ fata de reperul R.Putem sa determinam, ın acelasi fel, si reperul R fata de reperul R′, exprimand vectorul

O′O si vectorii ej ın baza B′.

O′O =n∑

i=1

p′i0e′i, ej =

n∑i=1

p′ije′i.

Daca matricea coordonatelor lui O ın baza B′ este P ′0, iar matricea de trecere din baza B′

ın baza B este P ′ = (p′ji), cu detP ′ 6= 0, atunci matricea de coordonate a lui R fata de R′

este (1 0P ′0 P ′

).

Avem(

1 0P ′0 P ′

)=(

1 0P0 P

)−1

. Intr-adevar,(

1 0P0 P

)·(

1 0P ′0 P ′

)=(

1 0A In

),

unde matricea coloana A este data de A = P0+P ·P ′0. Dar P0 este matricea componentelorvectorului OO′ ın baza B, iar OO′ = −O′O. Scriind A = [OO′]B + P · [O′O]B′ si folosindforma matriceala a trecerii din baza B ın baza B′, avem

A = −[O′O]B + P · [O′O]B′ = −P · [O′O]B′ + P · [O′O]B′ = 0.

Vom vedea acum cum se schimba coordonatele unui punct din A la o schimbare de

reper. Fie P ∈ A. Coordonatele lui P fata de reperul R sunt date de OP =n∑

i=1xiei, iar

fata de reperul R′ sunt date de O′P =n∑

j=1x′je

′j . Fie, de asemenea, OO′ =

n∑i=1

pi0ei. (desen)

Deoarece OP = OO′ +O′P , rezulta ca

n∑i=1

xiei =n∑

i=1

pi0ei +n∑

j=1

x′je′j =

n∑i=1

pi0ei +n∑

j=1

x′j(n∑

i=1

pijei),

decin∑

i=1

xiei =n∑

i=1

(pi0 +n∑

j=1

pijx′j)ei.

In consecinta, ecuatiile transformarilor de coordonate corespunzatoare schimbarii de repersunt

xi = pi0 +n∑

j=1

pijx′j , i = 1, n, det(pij) 6= 0. (2.9)

Ecuatiile (2.9) au o forma matriceala

X = P0 + PX ′,

unde X = (xi), X ′ = (x′i) si P0 = (pi0) sunt matrici coloana.

80

• O schimbare de reper se numeste translatie daca e′i = ei, ∀ i = 1, n. In acest caz,P = In. Ecuatiile unei translatii sunt

xi = pi0 + x′i, i = 1, n.

• O schimbare de reper se numeste centro-afinitate daca O′ = O, adica P0 = 0.Ecuatiile unei centro-afinitati sunt

xi =n∑

j=1

pijx′j , i = 1, n, det(pij) 6= 0.

2.6.3 Repere si coordonate afine

Un reper afin ıntr-un spatiu afin n-dimensional (A, V ) este un sistem ordonat de n + 1puncte afin independente din A,

R = {E0, E1, . . . , En}.

Reperului afin R ıi asociem reperul cartezian

R = {E0; (E0E1, . . . , E0En)},

unde {E0E1, . . . , E0En} este o baza ın V . Rezulta ca, pentru orice punct P ∈ A, vectorulE0P se scrie ın mod unic sub forma

E0P = α1E0E1 + . . .+ αnE0En, α1, . . . , αn ∈ K,

adicaOP −OE0 = α1(OE1 −OE0) + . . .+ αn(OEn −OE0), ∀ O ∈ A.

In consecinta, pentru orice punct P ∈ A, exista un unic sistem de scalari α0 = 1 −α1 − . . .− αn, α1, . . . , αn ∈ K, astfel ıncat

P = α0E0 + α1E1 + . . .+ αnEn, cu α0 + α1 + . . .+ αn = 1.

Sistemul de scalari {α0, α1, . . . , αn} poarta numele de sistem de coordonate afine (saubaricentrice) ale punctului P fata de reperul afin R.

Exista o bijectie ıntre multimea reperelor afine ale unui spatiu afin n-dimensional simultimea reperelor sale carteziene. Daca R = {E0, E1, . . . , En} este un reper afin, atuncireperul cartezian asociat are ca origine punctul E0, iar baza este data de sistemul de vectori{E0E1, . . . , E0En}. Daca un vector E0P ∈ V are coordonatele carteziene (α1, . . . , αn),atunci coordonatele afine ale punctului P ∈ A sunt (α0 = 1−α1− . . .−αn, α1, . . . , αn).

Fie (A,B) un bipunct nenul. Punctele A si B, fiind afin independente, determina odreapta afina D = {P = αA+ βB, α+ β = 1}.

81

Fie P ∈ D, P 6= B. Rezulta ca exista α, β ∈ K, cu α 6= 0, astfel ıncat P = αA+ βB,deci PP = αAP + βBP , echivalent cu faptul ca αAP = βPB. Notand k = βα−1 ∈ K,rezulta ca, pentru orice punct P ∈ D, P 6= B, exista un scalar k ∈ K astfel ıncat

AP = kPB.

Scalarul k astfel definit poarta numele de raport ın care punctul P divide bipunctul (A,B).Daca P ∈ D, P 6= B, are coordonatele afine (1−x, x), x 6= 1, atunci raportul ın care P

divide (A,B) este k =x

1− x. Coordonatele afine ale lui P se mai numesc coordonate afine

omogene, iar raportul k este coordonata sa afina neomogena (sau coordonata raport).Fie dreapta afina reala D, determinata de bipunctul nenul (A,B). Exista o bijectie

ıntre axa R a numerelor reale si D.

R → D, x 7−→ P = (1− x)A+ xB.

Pe R avem o relatie de ordine: P1(x1) precede pe P2(x2) daca x1 < x2. Aceasta relatiede ordine induce o relatie de ordine pe D. Rezulta ca P precede pe A daca x < 0, P esteıntre A si B daca 0 < x < 1 si B precede pe P daca 1 < x. Daca P are coordonata raport

k =x

1− x, rezulta imediat ca P este ıntre A si B daca k > 0 si P nu se afla ıntre A si B

daca k < 0.

Putem extinde coordonatele raport ıntr-un spatiu afin n-dimensional A. Fie R ={E0, E1, . . . , En} un reper afin si R = {E0;E0E1, . . . , E0En} reperul cartezian asociat.Fie P ∈ A, astfel ıncat coordonatele carteziene ale vectorului E0P sa fie (α1, . . . , αn) si, ınconsecinta, cu α0 = 1− α1 − . . .− αn, coordonatele baricentrice ale lui P fata de reperulafin R sunt (α0, α1, . . . , αn). Deci

P = α0E0 + α1E1 + . . .+ αnEn, E0P = α1E0E1 + . . .+ αnE0En.

Daca P 6= E1, . . . , En (ceea ce este echivalent cu faptul ca α0 6= 0), avem

E0P = α1(E0P + PE1) + . . .+ αn(E0P + PEn),

deciα0E0P = α1PE1 + . . .+ αnPEn.

Deoarece α0 6= 0, obtinem

E0P = k1PE1 + . . .+ knPEn,

unde ki = αiα−10 , i = 1, n, sunt coordonatele raport ale lui P fata de reperul afin R.

82

2.6.4 Raport si biraport de puncte coliniare

Fie {A,B,C} un sistem de trei puncte coliniare si distincte. Notam prin k = (A,B|C)raportul ın care punctul C divide bipunctul (A,B),

(A,B|C) =AC

CB.

Considerand un reper cartezian pe dreapta suport a celor trei puncte, cu originea ıntr-un punct oarecare O si baza data de un vector nenul v, coordonatele carteziene ale celortrei puncte vor fi A(a), B(b) si C(c). Atunci, raportul (A,B|C) este

k = (A,B|C) =c− a

b− c.

Putem asocia sistemului dat ınca cinci astfel de rapoarte si ele vor lua valorile

(B,A|C) =1k, (A,C|B) = −(1+k), (C,A|B) = −

11 + k

, (C,B|A) = −k

1 + k, (B,C|A) = −

1 + k

k.

Punctele A, B si C fiind distincte, rezulta ca k 6= 0 (C 6= A) si k 6= 1 (C 6= B). Evident,daca unul dintre cele sase rapoarte este determinat, toate celelalte sunt determinate.

Fie {A,B, P,Q} un sistem de patru puncte coliniare si distincte. Numim biraportal cuaternei ordonate (A,B, P,Q) scalarul

(A,B|P,Q) =(A,B|P )(A,B|Q)

.

Punctele A si B se numesc puncte de baza, iar punctele P si Q puncte de diviziune.Se arata usor (de exemplu, considerand un reper cartezian pe dreapta suport a celor

patru puncte), ca

(A,B|P,Q) = (B,A|Q,P ) = (P,Q|A,B) = (Q,P |B,A).

Deci, din cele 4! = 24 cuaterne ordonate care se pot forma cu patru puncte distincte date,numai sase dintre ele pot avea birapoarte distincte.

Daca A,B, P,Q sunt patru puncte coliniare distincte, atunci

(A,B|P,Q) = λ, (A,B|Q,P ) =1λ, (A,P |B,Q) = 1− λ,

(A,P |Q,B) =1

1− λ, (A,Q|B,P ) =

λ− 1λ

, (A,Q|P,B) =− λ

1− λ.

O cuaterna de puncte coliniare distincte {A,B, P,Q} este armonica daca biraportulsau (A,B|P,Q) este egal cu −1. Punctele P si Q se numesc comjugate armonic fata debipunctul (A,B).

(A,B|P,Q) = −1 ⇐⇒ (A,B|P ) = −(A,B|Q),

deci daca punctul P se afla ıntre A si B, atunci conjugatul sau armonic Q nu se poate aflaıntre A si B.

83

2.6.5 Reprezentari analitice ale unui p-plan

Fie A un spatiu afin de dimensiune n si V spatiul sau director. Fie A′ un subspatiu afin allui A, avand spatiul director V ′, cu dimV ′ = p, deci A′ este un p-plan al lui A. El poatefi determinat fie printr-un punct P0 al sau si spatiul sau director V ′, fie printr-un sistemde p+ 1 puncte ale sale, afin independente.

Reprezentari ale unui p-plan determinat de un punct si spatiul sau director

Fie P0 ∈ A′ si {u1, . . . , up} o baza a lui V ′, astfel ıncat R′ = {P0; (u1, . . . , up)} este unreper cartezian al lui A′. Fie, de asemenea, R = {O; (e1, . . . , en)} un reper cartezian ın A.

Pentru orice P ∈ A′, avemOP = OP0 + P0P.

(desen)

Dar P0P ∈ V ′, deci P0P =p∑

j=1tjuj . Exprimand si vectorii OP si OP0 ın baza din V ,

avem OP =n∑

i=1xiei si OP0 =

n∑i=1

xi0ei. In plus, fiecare vector uj din baza lui V ′ se scrie

uj =n∑

i=1uijei. Inlocuind, obtinem

OP = OP0 +p∑

j=1

tjuj ecuatia vectoriala a unui p plan,

saun∑

i=1

xiei =n∑

i=1

xi0ei +p∑

j=1

tj(n∑

i=1

uijei)

de unde rezulta

xi = xi0 +p∑

j=1

tjuij , i = 1, n ecuatiile parametrice ale unui p plan.

Scrise dezvoltat, ecuatiile parametrice ale unui p-plan devinx1 = x10 + t1u11 + t2u12 + . . .+ tpu1p

x2 = x20 + t1u21 + t2u22 + . . .+ tpu2p

· · ·xn = xn0 + t1un1 + t2un2 + . . .+ tpunp

, t1, . . . , tn ∈ K.

• Daca p = 1, obtinem dreptele din A. Fie D o dreapta afina, P0 un punct al sau siv 6= 0V un vector din spatiul sau director V ′ (V ′ este o dreapta vectoriala, deci {v}este o baza ın V ′). Vectorul v 6= 0V se numeste vector director al dreptei D. In raportcu baza {e1, . . . , en} din V , v este de forma v = u1e1 + . . . + unen. Coordonatele(u1, . . . , un) ale lui v se numesc parametrii directori ai dreptei D. Obtinem, ın acestcaz,

84

x1 = x10 + tu1

x2 = x20 + tu2

· · ·xn = xn0 + tun

ecuatiile parametrice ale unei drepte

saux1 − x10

u1= . . . =

xn − xn0

unecuatiile simetrice ale unei drepte.

Daca A este chiar E3, ecuatiile unei drepte care trece prin P0(x0, y0, z0) si are vectoruldirector v(p, q, r) sunt

x = x0 + tpy = y0 + tqz = z0 + tr

, t ∈ R,

saux− x0

p=y − y0

q=z − z0

r.

Daca dreapta este continuta ın E2 (identificat cu xOy), atunci ecuatiile dreptei devin{x = x0 + tpy = y0 + tq

, t ∈ R,

x− x0

p=y − y0

q,

sau, ın cazul ın care D nu este paralela cu Oy,

y − y0 = m(x− x0).

• Daca p = n − 1, obtinem hiperplanele din A. Sistemul de ecuatii parametrice aleunui hiperplan este

x1 = x10 + t1u11 + t2u12 + . . .+ tn−1u1n−1

x2 = x20 + t1u21 + t2u22 + . . .+ tn−1u2n−1

· · ·xn = xn0 + t1un1 + t2un2 + . . .+ tn−1unn−1

si rezulta ca ∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − x10 u11 u12 . . . u1n−1

x2 − x20 u21 u22 . . . u2n−1

· · · · · · · · · · · ·xn − xn0 un1 un2 . . . unn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

deoarece prima coloana este o combinatie liniara a celorlalte. Ecuatia de mai sus esteecuatia hiperplanului sub forma de determinant. Obtinem, de asemenea,

a1(x1 − x10) + . . .+ an(xn − xn0) = 0 ecuatia carteziana a unui hiperplan

sau

a1x1 + . . .+ anxn + a0 = 0 ecuatia carteziana generala a unui hiperplan.

85

Reprezentari ale unui p-plan determinat de p+ 1 puncte afin independente

Presupunem ca p-planulA′ este determinat de p+1 puncte afin independente {A0, A1, . . . , Ap}.Vom putea asocia p-planului A′ reperul cartezian {A0; (A0A1, . . . , A0AP )} si problema esteredusa la cazul anterior.

Daca R = {O; (e1, . . . , en)} este un reper cartezian ın spatiul afin A, atunci vectorulde pozitie al unui punct arbitrar P ∈ A′ este

OP = OA0 +A0P,

sau

OP = OA0 +p∑

j=1

tjA0Aj .

(desen)Exprimand ın baza {e1, . . . , en}, ca si ın cazul anterior, vectorii care intervin, obtinem

OP =n∑

i=1

xiei, OA0 =n∑

i=1

xi0ei, A0Aj = OAj −OA0 =n∑

i=1

(xij − xi0)ei,

iar ecuatiile parametrice ale p-planului determinat de punctele {A0, A1, . . . , Ap} sunt

xi = xi0 +p∑

j=1

tj(xij − xi0), i = 1, n.

Scriind desfasurat, avemx1 = x10 + t1(x11 − x10) + t2(x12 − x10) + . . .+ tp(x1p − x10)x2 = x20 + t1(x21 − x20) + t2(x22 − x20) + . . .+ tp(x2p − x20)

· · ·xn = xn0 + t1(xn1 − xn0) + t2(xn2 − xn0) + . . .+ tp(xnp − xn0)

, t1, . . . , tn ∈ K.

De exemplu, ecuatiile parametrice ale dreptei afine determinate de punctele A0

si A1 sunt x1 = x10 + t(x11 − x10)x2 = x20 + t(x21 − x20)

· · ·xn = xn0 + t(xn1 − xn0)

, t ∈ K,

iar ecuatiile simetrice ale acesteia sunt

x1 − x10

x11 − x10=

x2 − x20

x21 − x20= . . . =

xn − xn0

xn1 − xn0.

Ecuatiile parametrice hiperplanului determinat de sistemul de puncte afin indepen-dente {A0, A1, . . . , An−1} sunt

x1 = x10 + t1(x11 − x10) + t2(x12 − x10) + . . .+ tn−1(x1n−1 − x10)x2 = x20 + t1(x21 − x20) + t2(x22 − x20) + . . .+ tn−1(x2n−1 − x20)

· · ·xn = xn0 + t1(xn1 − xn0) + t2(xn2 − xn0) + . . .+ tn−1(xnn−1 − xn0)

, t1, . . . , tn ∈ K,

86

iar ecuatia hiperplanului sub forma de determinant este∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − x10 x11 − x10 x12 − x10 . . . x1n−1 − x10

x2 − x20 x21 − x20 x22 − x20 . . . x2n−1 − x20

· · · · · · · · · · · ·xn − xn0 xn1 − xn0 xn2 − xn0 . . . xnn−1 − xn0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

ecuatie echivalenta cu ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 x10 x11 . . . x1n−1

x2 x20 x21 . . . x2n−1

. . . . . . . . . . . . . . .xn xn0 xn1 . . . xnn−1

1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

Daca un punct P are, ın raport cu un reper cartezian R, coordonatele carteziene(x1, . . . , xn) atunci coordonatele sale afine ın raport cu reperul afin R asociat lui R, sunt(α0, α1, . . . , αn), unde α0 = 1− x1 − . . .− xn, α1 = x1, . . . αn = xn.

Daca ın ultimul determinant scadem din ultima linie suma celorlalte linii, obtinemecuatia hiperplanului ın coordonate baricentrice∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α1 α10 α11 . . . α1n−1

α2 α20 α21 . . . α2n−1

. . . . . . . . . . . . . . .αn αn0 αn1 . . . αnn−1

α0 α00 α01 . . . α0n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

Este imediat faptul ca conditia necesara si suficienta pentru ca un sistem den+ 1 puncte {A0, A1, . . . , An} din A sa fie afin independent este ca∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x10 x11 . . . x1n−1

x2 x20 x21 . . . x2n−1

. . . . . . . . . . . . . . .xn xn0 xn1 . . . xnn−1

1 1 1 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0 sau

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣α1 α10 α11 . . . α1n−1

α2 α20 α21 . . . α2n−1

. . . . . . . . . . . . . . .αn αn0 αn1 . . . αnn−1

α0 α00 α01 . . . α0n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0.

Vom da o alta reprezentare parametrica a unui p-plan, folosind coordonatele ra-port ale p-planului. Fie {A0, A1, . . . , Ap} un sistem afin independent de puncte din A,care determina p-planul afin A′. Acestui sistem de puncte i se poate asocia reperul afin(A0, A1, . . . , Ap). Orice punct P ∈ A′ este de forma

P = α0A0 + α1A1 + . . .+ αpAp, α0 + α1 + . . .+ αp = 1.

Raportand spatiul afin A la un reper cartezian, obtinem sistemul de ecuatii parametriceale p-planului A′

xi = α0xi0 + α1xi1 + . . .+ αpxip, i = 1, n, α0 + α1 + . . .+ αp = 1.

87

Asociind reperului afin de mai sus reperul cartezian {A0, (A0A1, . . . , A0Ap)}, vectorulde pozitie al punctului P este

A0P = α1A0A1 + . . .+ αpA0Ap,

deciA0P = α1(A0P + PA1) + . . .+ αp(A0P + PAp) ⇐⇒

⇐⇒ (1− α1 − . . .− αp)︸ ︷︷ ︸α0

A0P = α1PA1 + . . .+ αpPAp.

Daca P 6= A1, . . . , Ap (echivalent cu α0 6= 0), atunci

A0P = k1PA1 + . . . kpPAp, kj =αj

α0, j = 1, p.

Rezulta ca

P −A0 = k1(A1−P )+ . . .+kp(Ap−P ) ⇐⇒ P (1+k1 + . . .+kp) = A0 +k1A1 + . . .+kpAp.

In consecinta, coordonatele baricentrice ale punctului P sunt date de

P = α0A0 + α1A1 + . . .+ αpAp,

unde

α0 =1

1 +p∑

j=1kp

, αj =kj

1 +p∑

j=1kp

, j = 1, p,

iar ecuatiile parametrice ale p-planului A′ sunt

xi =

xi0 +p∑

j=1kjxij

1 +p∑

j=1kj

, i = 1, n.

Aplicatie. Teorema lui Menelaus. Fie ABC un triunghi oarecare. Punctele A1 ∈ BC,B1 ∈ CA, C1 ∈ AB (diferite de A, B, C) sunt coliniare daca si numai daca

(B,C|A1)(C,A|B1)(A,B|C1) = −1.

Solutie: Punctele (A,B,C) determina un reper afin. In raport cu acest reper, avem

A1 = (1− λ)B + λC,

B1 = µA+ (1− µ)C,

C1 = (1− ν)A+ νB,

88

iar rapoartele din teorema sunt

(B,C|A1) =λ

1− λ, (C,A|B1) =

µ

1− µ, (A,B|C1) =

ν

1− ν.

Punctele A1, B1, C1 sunt coliniare daca si numai daca determinantul coordonatelor lorafine se anuleaza, adica∣∣∣∣∣∣

0 1− λ λµ 0 1− µ

1− ν ν 0

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ λµν + (1− λ)(1− µ)(1− ν) = 0.

2.7 Morfisme de spatii afine

Fie (A, V, ϕ) si (B,W, ψ) doua K-spatii afine. O aplicatie σ : A → B se numeste aplicatieafina (sau morfism afin) daca

σ(αP + βQ) = ασ(P ) + βσ(Q), ∀ P,Q ∈ A, ∀ α, β ∈ K, α+ β = 1.

Daca (A, V, ϕ) este un spatiu afin si O ∈ A, aplicatia ϕ : A×A → V induce o aplicatiebijectiva ϕO : A → V , P 7−→ OP .

Propozitie 2.7.1. O aplicatie σ : A → B este afina daca si numai daca exista O ∈ Aastfel ıncat, daca O′ = σ(O), aplicatia t : V →W , determinata de relatia

t ◦ ϕO = ψO′ ◦ σ,

este liniara.

Dem: Relatia t ◦ ϕO = ψO′ ◦ σ este echivalenta cu

∀ P ∈ A, (t ◦ ϕO)(P ) = (ψO′ ◦ σ)(P ) ⇐⇒ t(OP ) = σ(O)σ(P ).

∗A σ−→ B↓ ↘ ↓V

−→t W

(2.10)

”=⇒” Presupunem ca σ este aplicatie afina si demonstram ca t : V →W este liniara.

• t este omogena daca ∀ v ∈ V , ∀ λ ∈ K, t(λv) = λt(v).

Fie O ∈ A, v ∈ V si λ ∈ K.

v ∈ V =⇒ ∃ !P ∈ A, v = OP,

λv ∈ V =⇒ ∃ !Q ∈ A, λv = OQ,

OQ = λOP =⇒ AQ−AO = λ(AP −AO), ∀ A ∈ A =⇒ Q = (1− λ)O + λP.

Avem

t(λv) = t(OQ) = σ(O)σ(Q) = σ(O)σ[(1− λ)O + λP ] = λσ(O)σ(P ) = λt(OP ) = λt(v).

89

• t este aditiva daca ∀ v, w ∈ V , t(v + w) = t(v) + t(w).

Fie O ∈ A si v, w ∈ V .v ∈ V =⇒ ∃ !P ∈ A, v = OP,

w ∈W =⇒ ∃ !Q ∈ A, w = OQ,

12v +

12w ∈ V =⇒ ∃ !R ∈ A,

12v +

12w = OR =⇒ R =

12P +

12Q.

Avem

t(v+w) = 2t

(12v +

12w

)= 2t(OR) = 2σ(O)σ(R) = 2σ(O)σ

[12P +

12Q

]= 2σ(O)

[12σ(P ) +

12σ(Q)

]=

= σ(O)σ(P ) + σ(O)σ(Q) = t(OP ) + t(OQ) = t(v) + t(w).

”⇐=” Presupunem ca t este liniara si demonstram ca σ este aplicatie afina. Fie O ∈ Afixat, λ ∈ K, P,Q ∈ A si R = (1− λ)P + λQ. Avem

σ(O)σ(R) = t(OR) = t[(1−λ)OP+λOQ] = (1−λ)t(OP )+λt(OQ) = (1−λ)σ(O)σ(P )+λσ(O)σ(Q),

deciσ(R) = (1− λ)σ(P ) + λσ(Q). �

Aplicatia liniara t : V → W , definita prin t(OP ) = σ(O)σ(P ) se numeste aplicatialiniara asociata lui σ (sau aplicatia tangenta la σ, sau urma lui σ) si are proprietatea ca

∀ A,B ∈ A t(AB) = σ(A)σ(B).

Intr-adevar,

t(AB) = t(OB −OA) = t(OB)− t(OA) = σ(O)σ(B)− σ(O)σ(A) = σ(A)σ(B).

• O aplicatie afina este unic determinata de o pereche de puncte corespondente O siO′ si de aplicatia liniara indusa t : V →W .

• Deoarece t◦ϕO = ψO′ ◦σ, iar aplicatiile ϕO si ψO′ sunt bijective, rezulta ca aplicatiaafina σ : A → B este injectiva (surjectiva, resp. bijectiva) daca si numai dacaaplicatia liniara indusa t : V →W este injectiva (surjectiva, resp. bijectiva).

Propozitie. Fie σ : A → B o aplicatie afina.

a) Daca A′ ⊂ A este un subspatiu afin al lui lui A, A′ 6= ∅, iar V ′ este spatiul saudirector, atunci σ(A′) este un subspatiu afin al lui B, cu spatiul director t(V ′).

b) Daca B′ ⊂ Im σ este un subspatiu afin al lui lui B, B′ 6= ∅, iar W ′ este spatiul saudirector, atunci σ−1(B′) este un subspatiu afin al lui A, cu spatiul director t−1(W ′).

90

Dem: a) Fixam O ∈ A′ si fie O′ = σ(O). Atunci

A′ = {P ∈ A, OP ∈ V ′},

deciσ(A′) = {σ(P ) ∈ B, OP ∈ V ′} = {σ(P ) ∈ B, σ(O)σ(P ) =

= t(OP ) ∈ t(V ′)} = {σ(P ) ∈ B, O′σ(P ) ∈ t(V ′)}.

Dar O′ ∈ σ(A′) si t(V ′) ≺ t(V ) ≺W , deci σ(A′) este un subspatiu afin al lui B, cu spatiuldirector t(V ′).

b) AvemB′ = {P ′ ∈ B, O′P ′ ∈W ′},

deciσ−1(B′) = {σ−1(P ′) ∈ A, O′P ′ ∈W ′} = {P ∈ A, O′σ(P ) ∈W ′} =

= {P ∈ A, σ(O)σ(P ) ∈W ′} = {P ∈ A, t(OP ) ∈W ′} = {P ∈ A, OP ∈ t−1(W ′)}.

Dar O ∈ A si t−1(W ′) ≺ t−1(W ) ≺ V , deci σ−1(B′) este un subspatiu afin al lui A, cuspatiul director t−1(W ′). �

Consecinte:

• Daca σ : A → B este o aplicatie afina, atunci

a) Im σ este un subspatiu afin al lui B.

b) Daca A1 si A2 sunt subspatii afine ale lui A, atunci A1 ‖ A2 =⇒ σ(A1) ‖ σ(A2).Intr-adevar, daca A1 ‖ A2, atunci V1 ⊂ V2 sau V2 ⊂ V1, deci t(V1) ⊂ t(V2) saut(V2) ⊂ t(V1) si, deci, σ(A1) ‖ σ(A2).

• Daca σ : A → B este o aplicatie afina injectiva, atunci pentru fiecare B ∈ Imσ, σ−1(B) este un punct din A. Intr-adevar, B este un subspatiu afin al lui B,cu spatiul director {0W }, deci σ−1(B) este un subspatiu afin al lui A, cu spatiuldirector t−1(0W ) = ker t. Dar σ este injectiva, deci t este injectiva si ker t = {0V }.In consecinta, spatiul director al lui σ−1(B) este {0V }, deci σ−1(B) este un punctal lui A.

• Daca σ : A → B este o aplicatie afina surjectiva, atunci pentru fiecare B ∈ B,spatiul director al subspatiului σ−1(B) este ker t ⊂ V . In consecinta, daca B1, B2 ∈B, atunci σ−1(B1) ‖ σ−1(B2).

Exemple de aplicatii afine

• Aplicatii definite pe Kn cu valori ın Km

91

Fie σ : Kn → Km, σ(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym), unde

yj =n∑

i=1

ajixi + bj , j = 1,m.

Aceasta este o aplicatie afina, iar aplicatia liniara asociata este

t : Kn → Km, t(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym),

unde

yj =n∑

i=1

ajixi, j = 1,m.

• Omotetii de centru O si raport k

Fie O ∈ A un punct fixat si k ∈ K∗. Aplicatia

σk : A → A, σ(P ) = (1− k)O + kP,

se numeste omotetie de centru O si raport k. Evident, σk(O) = O. Aceasta este o aplicatieafina, iar aplicatia liniara asociata este

tk : V → V, tk(OP ) = kOP,

adica omotetia vectoriala de centru O si raport k.Omotetia de raport k = 1 este 1A, iar t1 = 1V . Omotetia de raport k = −1 este

simetria lui A fata de O, σ−1(P ) = 2O − P , iar t−1(OP ) = −OP .

Propozitie. Fie (A1, V1), (A2, V2) si (A3, V3) trei spatii afine si σ1 : A1 → A2, σ2 : A2 →A3 aplicatii afine, cu aplicatiile liniare induse t1 : V1 → V2, respectiv t2 : V2 → V3. Atunciσ2 ◦ σ1 : A1 → A3 este aplicatie afina, iar aplicatia liniara indusa este t = t2 ◦ t1.

Dem: Pentru orice α, β ∈ K, α+ β = 1, si orice P,Q ∈ A1, avem

(σ2 ◦ σ1)(αP + βQ) = σ2(ασ1(P ) + βσ1(Q)) = ασ2(σ1(P )) + βσ2(σ1(Q)),

deci σ2 ◦ σ1 este o aplicatie afina. In plus, pentru orice A,B ∈ A,

(σ2 ◦ σ1)(A)(σ2 ◦ σ1)(B) = σ2(σ1(A))σ2(σ1(B)) = t2(σ1(A)σ1(B)) = t2(t1(AB)),

deci aplicatia liniara asociata lui σ2 ◦ σ1 este t2 ◦ t1. �

Propozitie. Daca σ : A → B este o aplicatie afina bijectiva, iar aplicatia liniara indusaeste t : V → W , atunci σ−1 : B → A este aplicatie afina, iar aplicatia liniara indusa estet−1 : W → V .

92

Dem: Fie α, β ∈ K, cu α + β = 1 si fie P,Q ∈ B. Rezulta ca exista A,B ∈ A, astfelıncat σ(A) = P , σ(B) = Q. Avem

σ−1(αP+βQ) = σ−1(ασ(A)+βσ(B)) = σ−1(σ(αA+βB)) = αA+βB = ασ−1(P )+βσ−1(B),

Deci σ−1 este aplicatie afina. In plus, deoarece

σ−1(P )σ−1(Q) = σ−1(σ(A))σ−1(σ(B)) = AB = t−1(PQ),

rezulta ca aplicatia liniara indusa de σ−1 este t−1. �

O aplicatie afina bijectiva σ : A → A se numeste afinitate (sau automorfism afin, sautransformare afina) a spatiului afin A.

Multimea afinitatilor unui spatiu afin A formeaza un grup ın raport cu operatia decompunere. Acest grup se noteaza GA(A) si se numeste grupul afinitatilor lui A.

2.7.1 Translatii si centro-afinitati

O translatie pe un spatiu afin A este o afinitate σ : A → A, cu proprietatea ca aplicatialiniara indusa este aplicatia identica t = 1V : V → V . Rezulta ca o translatie este unicdeterminata de o pereche de puncte corespondente.

Fie σ : A → A o translatie, O ∈ A si σ(O) ∈ A corespondentul lui O prin σ. Aplicatialiniara indusa de σ este 1V , deci, pentru orice P ∈ A, avem OP = t(OP ) = σ(O)σ(P ). Inconsecinta,

OP = Oσ(O) + σ(O)σ(P ) + σ(P )P,

de unde rezulta ca∀ P ∈ A, Oσ(O) = Pσ(P ).

Vectorul v = Pσ(P ) ∈ V , (care depinde numai de σ), poarta numele de vectorul translatieiσ.

Propozitie. Multimea translatiilor unui spatiu afin A este un subgrup al grupului afinitatilorGA(A), izomorf cu grupul aditiv al lui V . Este, deci, un grup comutativ.

Dem: FieGT(A) = {σ : A → A, t = 1V }

multimea translatiilor spatiului afin A. Este evident ca produsul (compunerea) a douatranslatii este o translatie (daca σ1, σ2 sunt translatii, atunci aplicatia liniara indusa deprodul σ2 ◦ σ1 este t2 ◦ t1 = 1V ◦ 1V = 1V ) si ca inversa unei translatii este tot o translatie(inversa lui 1V este tot 1V ). Deci GT (A) este un subgrup al lui GA (A).

Orice translatie σ este unic determinata de vectorul v = Pσ(P ) ∈ V , iar acest vectoreste independent de alegerea lui P ∈ A. Consideram aplicatia

h : GT (A) → V, σ → v = Pσ(P ).

93

• h este un morfism de grupuri.

Intr-adevar, fie σ1, σ2 ∈ GT (A), v1, respectiv v2 vectorii corespunzatori si fie P ∈ A unpunct fixat. Avem

h(σ2 ◦ σ1) = P (σ2 ◦ σ1)(P ) = Pσ1(P ) + σ1(P )(σ2 ◦ σ1)(P ) = v1 + v2 = h(σ1) + h(σ2).

• h este injectiva.

Daca h(σ1) = h(σ2), atunci Pσ1(P ) = Pσ2(P ), ∀ P ∈ A, deci σ1(P ) = σ2(P ) ⇒ σ1 = σ2.

• h este surjectiva.

Pentru orice v ∈ V si P ∈ A, fixat, exista un unic punct Q ∈ A, astfel ıncat PQ = v.Notand Q = σ(P ), aplicatia h este surjectiva.

Deci h este un izomorfism de grupuri. Deoarece V este abelian, si grupul translatiilorGT (A) este abelian. �

Izomorfismul de mai sus ne permite sa definim pe grupul abelian al translatiilor GT(A) o structura de K-spatiu vectorial. Operatia externa este data de

K× GT (A) → GT (A), (λ, σ) → σ′ = λσ,

unde translatia λσ este definita prin

Pσ′(P ) = λPσ(P ), ∀ P ∈ A.

O centro-afinitate de centru O a spatiului afin A este o afinitate σ : A → A, cuproprietatea ca σ(O) = O.

Daca t : V → V este aplicatia liniara indusa de aplicatia afina σ : A → A, atunci σeste o centro-afinitate daca si numai daca

t(OP ) = Oσ(P ), ∀ P ∈ A.

Notam prin GCAO(A) multimea centro-afinitatilor de centru O ale spatiului afin A.

Propozitie. GCAO(A) este un subgrup al grupului afinitatilor GA(A), izomorf cu grupulGL(V ) al transformarilor liniare ale spatiului director V .

Dem: Este evident ca produsul (compunerea) a doua centro-afinitati de centru O esteo centro-afinitate de centru O (daca σ1, σ2 sunt centro-afinitati, σ1(O) = O, σ2(O) = O,deci σ2 ◦ σ1(O) = O) si ca inversa unei centro-afinitati este tot o centro-afinitate (dacaσ(O) = O, atunci σ−1(O) = O). Deci GCAO(A) este un subgrup al lui GA (A). Fie

h : GCAO(A) → GL(V), σ → t.

94

• h este un morfism de grupuri.

Intr-adevar, fie σ1, σ2 ∈ GCAO(A) si t1, respectiv t2 aplicatiile liniare induse. Avem

h(σ2 ◦ σ1) = t2 ◦ t1 = h(σ1) ◦ (σ2).

• h este injectiva.

Daca h(σ1) = h(σ2), atunci t1 = t2, deci t1(OP ) = t2(OP ) ⇒ Oσ1(P ) = Oσ2(P ) ⇒σ1(P ) = σ2(P ) ⇒ σ1 = σ2.

• h este surjectiva.

Fie t ∈GL(V ) si O ∈ A fixat. Pentru orice P ∈ A, exista un unic punct Q ∈ A, astfelıncat t(OP ) = OQ. Notand Q = σ(P ), aplicatia h este surjectiva.

Deci h este un izomorfism de grupuri. �

Teorema. Fie O ∈ A. Orice afinitate σ : A → A se scrie, ın mod unic, sub formaσ = σ1 ◦ σO, unde σO ∈ GCAO(A) si σ1 ∈ GT(A).

Dem: Fie σ1 translatia definita de perechea de puncte O si σ(O). Deci Oσ1(O) =Oσ(O), adica σ(O) = σ1(O). Evident, σ1, definita ın acest fel, este unica. Fie σO = σ−1

1 ◦σ.Deoarece

σO(O) = σ−11 (σ(O)) = σ−1

1 (σ1(O)) = O,

rezulta ca σO este o centro-afinitate de centru O si σ = σ1 ◦ σO. �

2.7.2 Proiectori si automorfisme afine involutive

Un proiector afin pe un spatiu afin A este un endomorfism afin π : A → A, cu proprietateaca π2 = π.

• Aplicatia liniara p : V → V , asociata unui proiector afin π : A → A, satisface p2 = p,adica este un proiector vectorial. In consecinta, V = Im p⊕ ker p.

• Fiecare punct P ∈ Im π este un punct fix pentru π. Intr-adevar, daca P ∈ Im π,atunci P = π(Q) si π(P ) = π2(Q) = π(Q) = P . Deci A1 = Im π este un subspatiude puncte fixe. Mai mult, orice proiector afin π : A → A reprezinta o proiectie alui A pe subspatiul sau A1 =Im π, facuta paralel cu un subspatiu A2, de directiesuplimentara V2 = ker p. Daca O ∈ A1, fixat, atunci pentru orice P ∈ A, avem

OP = Oπ(P ) +OP ′,

unde Oπ(O) ∈ Im p, iar OP ′ ∈ ker p.

(desene)

Un automorfism afin involutiv al unui spatiu afin A este un endomorfism afin σ : A →A, cu proprietatea ca σ2 = 1A.

95

• Aplicatia liniara s : V → V , asociata lui σ, satisface relatia s2 = 1V , deci este unautomorfism vectorial involutiv. In consecinta, si σ este un automorfism afin.

Legatura dintre proiectori si automorfisme afine este data de:

• Daca σ este un automorfism afin involutiv, atunci aplicatia

πσ : A → A, πσ(P ) =12P +

12σ(P )

este un proiector afin.

• Daca π : A → A este un proiector afin, atunci aplicatia

σπ : A → A, σπ(P ) = 2π(P )− P

este un automorfism afin involutiv.

(desene)

2.7.3 Morfisme de spatii afine finit dimensionale

Fie (A, V, ϕ) si (B,W, ψ) doua spatii afine finit dimensionale, de dimensiuni n, respectivm, σ : A → B o aplicatie afina, iar t : V →W aplicatia liniara indusa.

Se numeste rang (respectiv defect) al aplicatiei σ, rangul (respectiv defectul) aplicatieiliniare induse t. Rezulta imediat ca

• rang σ = dim Im σ;

• ∀Q ∈ Im σ, def σ = dimσ−1(Q);

• rang σ+ def σ = n.

Propozitie. Fie R = (O; (e1, . . . , en)) un reper cartezian ın A, iar B′ = (O′; (f1, . . . , fm))un reper cartezian ın B. Daca P (x1, . . . , xn) ∈ A si P ′(y1, . . . , ym) ∈ B, atunci o aplicatieafina

σ : A → B, P → σ(P ) = P ′

este determinata de sistemul de ecuatii

yj =n∑

i=1

ajixi + bj , j = 1,m, (2.11)

iar aplicatia liniara indusat : V →W

are ecuatiile

yj =n∑

i=1

ajixi, j = 1,m. (2.12)

96

Dem: Ecuatiile (2.11) sunt numite ecuatiile aplicatiei σ fata de reperele R si R′.Fie (bj) coordonatele lui σ(O) ın reperul R′. Avem

O′P ′ = O′σ(P ) = O′σ(O) + σ(O)σ(P ) = O′σ(O) + t(OP ),

decim∑

j=1

yjfj =m∑

j=1

bjfj + t(n∑

i=1

xiei) ⇔m∑

j=1

yjfj =m∑

j=1

bjfj +n∑

i=1

xit(ei) ⇔

⇔m∑

j=1

yjfj =m∑

j=1

bjfj +n∑

i=1

xi

m∑j=1

ajifj ⇔m∑

j=1

yjfj =m∑

j=1

bjfj +m∑

j=1

(n∑

i=1

ajixi)fj ,

de unde rezulta (2.11). Deoarece t(OP ) = σ(O)σ(P ) = O′σ(P )−O′σ(O), obtinem (2.12).�

Sistemul de scalari (aji, bj) poarta numele de coordonatele aplicatiei afine σ fata dereperele R si R′. Acest sistem este format din coordonatele (aji) ale aplicatiei liniareinduse t ın bazele (ei) si (fj) si din coordonatele (bj) ale punctului σ(O) ın reperul R′.

Ecuatiile (2.11) se pot scrie sub forma matriceala

Y = AX +B,

unde Y = (yj), X = (xi) si B = (bj) sunt matrici coloana, iar A ∈ Mmn(K). Aceastaecuatie matriceala se mai poate scrie sub forma(

1Y

)=(

1 0B A

)(1X

),

iar matricea(

1 0B A

)este matricea asociata aplicatiei σ. Rezulta imediat ca

rangσ = rangA = rang(

1 0B A

).

In cazul unui endomorfism afin, raportam atat P cat si σ(P ) la acelasi reper R.Ecuatiile lui σ sunt de acelasi tip, iar A este o matrice patratica.

Fie σ : A → A un endomorfism afin al spatiului afin n-dimensional A si R =(O, (e1, . . . , en)) un reper cartezian. Ecuatiile lui σ sunt

yj =n∑

i=1

ajixi + bj , j = 1, n,

iar ecuatiile aplicatiei liniare induse t sunt

yj =n∑

i=1

ajixi, j = 1, n.

97

• σ este un automorfism afin daca si numai daca t este un izomorfism de spatiivectoriale, ceea ce este echivalent cu detA = det(aij) 6= 0; avem X = A−1Y −A−1B;

• σ este o translatie daca si numai daca t = 1V , adica A = In, sau aij = δij ; vectorul

corespunzator translatiei σ are coordonatele bj = yj − xj ;

• σ este o centro-afinitate de centru O daca si numai daca σ(O) = O, adica B = 0,deci bj = 0.

Teorema 2.7.3.1. Fie R = (O; (e1, . . . , en)) si R′ = (O′; (e′1, . . . , e′n) doua repere carteziene

ale unui spatiu afin n-dimensional A. Exista o transformare afina σ : A → A, unic deter-minata de

O′ = σ(O), e′i = t(ei), i = 1, n.

Daca P are coordonatele (xi) ın reperul R si σ(P ) are coordonatele (x′i) ın reperul R′,atunci ecuatiile transformarii σ ın reperele R, R′ sunt

x′i = xi, i = 1, n.

Dem: Exista ıntotdeauna o transformare afina σ : A → A, pentru care O′ = σ(O) si

e′i = t(ei), i = 1, n. Fie OP =n∑

i=1xiei si O′P ′ =

n∑i=1

x′ie′i. Avem

t(OP ) = t(n∑

i=1

xiei) =n∑

i=1

xit(ei) =n∑

i=1

xie′i

si, ın acelasi timp,

t(OP ) = σ(O)σ(P ) = O′P ′ =n∑

i=1

x′ie′i,

deci x′i = xi, ∀, i = 1, n.Deoarece t este unic determinata de valorile sale pe vectorii bazei (ei), iar σ este

determinata de o pereche de puncte corespondente O si σ(O) si de aplicatia liniara tindusa, rezulta ca σ este unica. �

2.7.4 Ecuatiile carteziene ale unui p-plan

Consideram Km atat cu structura canonica de K-spatiu vectorial, cat si cu structuracanonica de spatiu afin.

Fie A un spatiu afin de dimensiune n si σ : A → Km o aplicatie afina. Nucleul aplicatieiσ, notat kerσ, este subspatiul afin σ−1(0), unde 0 ∈ Km.

Am vazut ca, daca σ este surjectiva, atunci kerσ este un p -plan A′ ⊂ A, undep = n −m. Deci, nucleul unei aplicatii afine surjective este un p -plan. Mai mult, oricep-plan se poate ”vedea” ca nucleul unei aplicatii afine surjective.

Propozitie. Pentru orice p-plan A′ ⊂ A, exista o aplicatie afina surjectiva σ : A → Kn−p,astfel ıncat kerσ = A′.

98

Dem: Fie R′ = {O; (ej), j = 1, p} un reper ın A′. Baza acestuia se poate completa panala o baza a spatiului director al lui A, astfel ıncat R = {O; (ej , eβ), j = 1, p, β = p+ 1, n}este un reper cartezian ın A. Consideram reperul canonic {O; (fγ), γ ∈ 1, n− p} al luiKn−p.

Conform Teoremei 2.7.3.1, exista o aplicatie afina σ : A → Kn−p, caracterizata prin

σ(O) = 0, t(e1) = . . . = t(ep) = 0,

t(ep+1) = f1, . . . , t(en) = fn−p,

unde t este aplicatia liniara indusa de σ. Coordonatele lui σ sunt

bj = 0, j = 1, n− p, (aji) = (Θp, In−p), j = 1, p, i = 1, n.

• P ∈ A′ ⇐⇒ σ(P ) = 0;

• rang (aji) = n− p, deci σ este surjectiva. �

Fie (x1, . . . , xn) coordonatele unui punct P ∈ A fata de un reper cartezian R ={O; (e1, . . . , en)} din A si fie A′ ⊂ A un p-plan. Acesta coincide, deci, cu nucleul uneiaplicatii afine surjective σ : A → Kn−p, A′ = kerσ. Tinand cont de ecuatiile unei aplicatiiafine (2.11), rezulta ca P ∈ A′ daca si numai daca sistemul de coordonate (x1, . . . , xn)este o solutie a sistemului de ecuatii

n∑i=1

ajixi + bj = 0, j = 1, n− p, rang (aji) = n− p. (2.13)

Spatiul director V ′ al lui A′ este determinat de ker t, unde t este aplicatia liniara indusade σ. Folosind (2.12), rezulta ca un vector v se afla ın subspatiul director al p-planului A′,v = (v1, . . . , vn) ∈ V ′, daca si numai daca componentele sale (v1, . . . , vn) verifica sistemulde ecuatii omogene

n∑i=1

ajixi = 0, j = 1, n− p, rang (aji) = n− p. (2.14)

Sistemul de ecuatii (2.13) poarta numele de ecuatiile carteziene generale ale p-planuluiafin A′ ⊂ A ın raport cu reperul R, iar (2.14) ecuatiile p-planului vectorial director.

• Daca p-planul considerat este un hiperplan, el va fi determinat de o singura ecuatiecarteziana

n∑i=1

aixi + b = 0, rang (ai) = 1.

99