algebra numerica liniara

Download Algebra Numerica Liniara

Post on 10-Aug-2015

24 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

7. ALGEBRNUMERICLINIAR 7.1. Analiz matriceal De notat c, n MATLAB, indicii matricei ncep ntotdeauna cu 1 i nu cu 0;deaicirezultcelementelematriceiA(1,1),B(1,1)iC(1,1)corespund mulimilor matematice (elementele matricelor) A(0, 0), B(0, 0) i C(0,0). 7.1.1. Urma unei matrice UrmauneimatriceA,A Ur,este,prindefiniie,sumaelementelordepe diagonala principal, ==nii ia1,Ur A . Urma produsului a dou matrice este independent de ordinea factorilor, ) ( Ur) ( Ur ,1,1,1,1A B B A = = = = = = =j inii jnji jnjj inib b b a . Demeionatcurmauneimatriceestenealteratdeotransformare ortogonal i c aceasta este totodat i suma valorilor proprii ale lui A. nMatlab,secalculeazcufunciatrace(A),careestesimilarcu sum(diag(A)).ConsiderndmatriceaA=[123;456;789],atunciurmaacesteia, calculat cu trace(A), este 15, la fel ca i cu sum(diag(A)). 7.1.2. Calculul normelor vectorilor i ale matricelorConcepteledenormvectorial,normmatricealirazspectralaunei matrice, joac un rol important n analiza matriceal. Prin definiie, norma euclidian sau lungimea vectorului x este ( )1/2n1 i2i1/2x|||

\|= ==x x xT unde x i xT sunt, prin definiie: [ ]nTnx x xxxx... ,...2 121=(((((

= x x . Normele vectorilor i ale matricelor se calculeaz cu funcia norm, apelat cu una dintre sintaxele: Algebr numeric liniar139 n=norm(X) saun=norm(X,p),unde p=1, 2, inf, sau fro. Pentru o matrice, X, sunt definite urmtoarele tipuri de norme: norma1aluiX,respectivceamaimaresumaelementelordepe coloan,N j 1 cu, x max XN1 kjk ||

\|==,calculatcufuncia norm(X,1), care este egal cu max(sum(abs((X)))); norma 2, sau raza spectral a lui X, definit prin aceea c toate valorile proprii (reale, pentru matrice real simetrice i complexe, pentru matrice realnesimetrice)senscriuntr-uncerc,derazegalcumaximul valorilor proprii n modul, ntr-un plan (real sau complex), cu centrul n origine, respectiv( ) N i 1 cu, max X Xi2 = = , undeeste raza spectral,iar i suntvalorilesingulare,calculatcufuncianorm(X) sau norm(X,2), egal cu max(svd(X)); normainfinitaluiX,sauceamaimaresumaelementelordepe linie,respectivN k 1 cu, x max XN1 jjk |||

\|==,calculatcu funcia norm(X,inf), egal cu max(sum(abs((X')))) ; normaFrobenius,calculatcufuncianorm(X,fro),definitcu relaia 2NN222211N1 k j,jkF... x X x x x + + + =|||

\|==iegalcu sqrt(sum(diag(X'*X))). Pentrucazulmatricelorrare(sparse)saufoartemari,serecomand utilizareafuncieinormest(X),nloculfuncieinorm(X),saunorm(X,2).Aceast funcie se poate utiliza sub forma [nrm,cnt] = normest(X,tol), unde nrm norma, cnt numrul de iteraii, iar tol eroarea relativ, avnd valoarea implicit 10-6. ConsiderndmatriceaX=[123;4 56;7 89],atunci:norm(X)=16.8481; norm(X,1)=18;norm(X,2)=16.8481;norm(X,'fro')=16.8819;norm(X,inf)=24,iar [nrm,cnt] = normest(X,1e-9) conduce la nrm=16.8481, cnt=4. Pentru un vector V, pot fi definite urmtoarele tipuri de norme: norma,norma2saulungimeavectoruluidefinitderelaia 2N22212N1 kk2V ... V V V V + + + = ||

\|==secalculeazcu funcia norm(V) sau norm(V,2) ; normadegradulpsaulungimeadeordinulp,definitcurelaia SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE I SIMULARE140 ppNp2p1ppN1 kkpV ... V V V V + + + = ||

\|==,secalculeazcu norm(V,p), egal cu sum(abs(V).^P)^(1/P); valoareamaximnmodul,respectiv( ) N k 1 , V max Vk =, este calculat cu funcia norm(V,inf) ; valoareaminimnmodul,respective( ) N k 1 , V min Vk = , este calculat cu funcia norm(V,-inf) . ConsiderndvectorulV=[-10120111525],atunci: norm(V)=34.8569;norm(V,2)=34.8569;norm(V,3)=28.4630;norm(V,inf)=25; norm(V,-inf)=0. 7.1.3. Determinantul unei matrice O matrice ptrat este o matrice care are numrul de linii egal cu numrul de coloane. Dac tipul su este {n, n}, se spune c matricea este de ordinul n. Fie o matrice ptrat de ordinul n,[ ]ija A = , cu elementele n R (sau C). Determinantulformatcuelementelematicei[ ]ija A = ,pstrndu-le poziia,senumetedeterminantulmatriceiAisenoteazcu[ ]ij ija A a A det , det , , , fiind calculat n Matlab cu funcia det(A).ConsiderndmatriceleA=[12;34]iB=[123;456;789], determinanii acestora sunt: det(A)=-2 i det(B)=0. OmatriceBsenumetesingulardacdet(B)=0,iardacdeterminantul det(A)0, matricea A este nesingular (sau nedegenerat). Determinantul produsului a dou matrice ptrate, de ordinul n, este egal cu produsul determinanilor celor dou matrice, det(A*B)=det(B*A)=det(A)*det(B) . 7.1.4. Rangul unei matrice ConsidermomatriceA,dreptunghiular,mxnip,unnumrnatural, astfelnct, n m p , .DacalegemdinA,plinii pi i i ,..., ,2 1ipcoloane pj j j ,..., ,2 1,oarecare,obinem,nlturndelementelematriceicarenusegsesc peliniileicoloanelealese,omatriceptrat,M,deordinulp () , min( , ,..., 2 , 1 n m q q p = =, Algebr numeric liniar141 ((((((

=p p p pppj i j i j ij i j i j ij i j i j ia a aa a aa a aM...... ... ... .........2 12 2 2 1 21 2 1 1 1. n modul acesta, cu liniile i coloanele matricei A se poate forma un numr de ( ) ( )! ! ! !! !p n p p m pn mC Cpnnm = matricedeordinulp.Determinaniiacestor matrice se numesc determinanii de ordinul p ai matricei A. Dac0 A , atunci nu toi aceti determinani sunt nuli. Seobservc,dactoideterminaniideordinulssuntnuli,atuncitoi determinanii de ordin superior luis sunt nuli, deoarece, dezvoltnd determinanii deordinuls+1,deexemplu,dupoliniesaucoloan,coeficieniielementelor respectivesuntdeterminanideordinuls,caresuntnuli.Dac0 A ,existun numr) , min( n m q r = ,astfelnctcelpuinundeterminantalmatriceiA,de ordinul r, este diferit de zero i toi determinanii de ordin r+1 sunt nuli. Numrul r,carendeplineteaceastcondiie,senumeterangulmatriceiA.DacA=0, rangul matricei A este zero, r=0. Calcululranguluiseefectueazcufunciar=rank(A)saur=rank(A,tol), unde tol este eroarea relativ, avnd valoarea implicit 10-6 sau tol = max(size(A)) * norm(A) * eps. De exemplu, dac A=[2314 -1; 14 -216; 1-133 -7], atunci rangulmatriceiesterank(A)=2.Toideterminaniideordinultreisuntnuli, deoarece,dacnmatriceaAscdemliniaadouadinlinianti,obinemliniaa treia. Aceast operaie, fiind efectuat n toi determinanii de ordinul trei, arat c toi sunt nuli. Rangul matricei este doi, deoarece matricea format cu primele dou linii i coloane, [23; 14], are determinantul diferit de zero. Rangul matricei este egal cu ordinul determinantului. 7.1.5. Matricea transpus Considernd[ ]ija A = ,omatricen m ,decin j m i ,... 2 , 1 , ,..., 2 , 1 = = , atunci,prindefiniie,matriceacareseobinedinA,prinnlocuirealiniilorcu coloanele de acelai rang, se numete matricea transpus i se noteaz cu At sau AT, iarnMatlabsecalculeazisenoteazcuA'sautransp(A).Pentrutranspusa neconjugat, se utilizeaz transpose(A). Din definiie rezult c [ ]ji ta A= ,m i n j ,..., 2 , 1 , ,... 2 , 1 = = . Dac, B = [ 2 3 1 4-1 1 4-2 1 6 1-1 3 3-7 ], SISTEME DE PROGRAMARE PENTRU MODELARE I SIMULARE142 atunci: B' = [ 2 1 1 3 4-1 1-2 3 4 1 3 -1 6-7]. OmatriceptratA,sespunecestesimetricdacelementelesimetrice fadediagonalaprincipalsuntegale,ji ija a = icesteantisimetricdac ji ija a = . Prin urmare: o matrice simetric este egal cu transpusa sa, deoarece ji ija a = ; ntr-o matrice antisimetric, elementele de pe diagonala principal sunt nule,0 =iia(pentru a putea satisface definiia ji ija a = ) ; transpusa unei matrice antisimetric este opusa matricei iniiale, A'= -A; dac A'= -A atunci, matricea A este antisimetric ; traspusa transpusei este matricea iniial, (A') ' = A ; transpusa sumei a dou matrice este suma transpuselor, (A+B) '=A'+B' ; transpusa produsului a dou matrice este (A*B) '= B' * A'; orice matrice ptrat poate fi considerat ca suma a dou matrice, una simetric, cealalt antisimetric, iar aceast descompunere este unic. Datfiindomatrice,cuunnumroarecaredeliniisaucoloane,alecrei elemente sunt numere reale sau complexe, conjugata sa este matricea format prin nlocuireafiecruielementcuimaginarulsuconjugat.nmatematicaclasic,se utilizeaz notaia A*. Matricea adjunct a unei matrice este conjugata transpusei sale. Conjugata uneimatriceesteobinutprinnlocuireafiecruielementcuimaginarulsu conjugat. n general, un numr complex, Z, este scris ca suma dintre o parte real i una imaginar, Z = x + i*y = real(Z) + i*imag(Z) astfel nct, conjugatul lui Z este: conj(Z) = x - i*y = real(Z) - i*imag(Z) De exemplu, pentru matricea X, X = [1+i2-i ; 3+2*i1-2*i] conjugata este, conj(X) = [1 - i 2 + i;3 2 i1 + 2 i]. Se numete matrice real, o matrice care are toate elementele numere reale. inndseamadeceleanterioare,rezultcomatricerealesteegalcu conjugatasai,reciproc,dacomatriceesteegalcuconjugatasa,matriceaeste real. Matricea conjugat are urmtoarele proprieti evidente: Algebr numeric liniar143 conj(X+Y)=conj(X)+conj(Y)-conjugatasumeiadoumatriceesteegal cu suma conjugatelor; conj(X*Y)=conj(X)*conj(Y)conjugataprodusuluiesteprodusul conjugatelor; transpose(conj(X))= conj(transpose(X)) i totodat conj(X')= (conj(X))'; conj(conj(X)) = X. Matricea adjunct a unei matrice este conjugata transpusei sale. Dac, X =[1.0000 + 1.0000i 2.0000 - 1.0000i 3.0000 + 2.0000i 1.0000 - 2.0000i ] transpusa acestei matrice (neconjugat) este, XT=transp(X) = [1.0000 + 1.0000i3.0000 + 2.0000i 2.0000 - 1.0000i 1.0000 -2.0000i ] iar conjugate transpusei este, Xa=conj(XT)=conj(transp(X)) = X' = [ 1.0000 - 1.0000i 3.0000 - 2.0000i 2.0000 + 1.0000i 1.0000 + 2.0000i ] care este matricea adjunct, notat X+, care se vede c n Matlab este: X+ = X'. Dinproprietilematricelortranspuseialematricelorconjugate,rezult proprietile: (X+Y)'= X'+Y' ; (X*Y)' = Y'*X' ; (X')' = X . Se numete matrice hermitic sau autoadjunct, o matrice ptrat care este egalcuadjunctasa,Z+=Z=Z'.nparticular,matriceahermiticaretoate elementeledepediagonalaprincipalreale,iarcelesimetricefadeaceast diagonal sunt imaginar conjugate. Urmtoarele matrice sunt hermitice sau autoadjuncte: Z=[ 11-i ; 1+i-3],ZZ=[3 -i 2+3*i ;i05 ;2-3*i 5 1]. Principalele proprieti ale matricelor hermitice sunt: dac o matrice hermitic are toate elementele reale, matricea este simetric, adic aij = aji ; suma a dou matrice hermitice este tot o matrice hermitic; produsuladoumatricehermiticeestetotomatricehermitic,daci numai dac, cel