algebra liniara

Contents

Chapter 1. Spatiul vectorilor liberi 31. Vectori liberi 32. Operatii cu vectori liberi 53. Coliniaritate si coplanaritate 84. Produse cu vectori liberi 155. Probleme 22

Chapter 2. Spatii vectoriale 271. De�nitia unui spatiu vectorial. Exemple 272. Subspatii vectoriale. Operatii cu subspatii vectoriale 283. Combinatii liniare. Sisteme de generatori. Dependent¼a si independent¼a

liniar¼a 314. Baz¼a. Dimensiune 335. Dimensiunea unui subspatiu vectorial 366. Rangul unui sistem de vectori si rangul matricei sale. Sisteme de ecuatii

liniare 377. Matricea de trecere de la o baz¼a la alta. Schimbarea coordonatelor unui

vector la schimbarea bazei 428. Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice

liniare 449. Probleme 49

Chapter 3. Aplicatii liniare 531. Aplicatii liniare. Izomor�sme de spatii

vectoriale 532. Nucleu si imagine 553. Matricea asociat¼a unei aplicatii liniare 584. Matrice si aplicatii liniare 605. Transformarea matricei unei aplicatii liniare la schimbarea bazelor 626. Probleme 64

Chapter 4. Valori si vectori proprii. Forma canonic¼a a unui endomor�sm 671. Valori si vectori proprii ai unui

endomor�sm 672. Polinom caracteristic. Polinoame de matrice si de endomor�sm.

Teorema Hamilton-Cayley 703. Diagonalizarea matricelor 724. Forma canonic¼a Jordan 765. Probleme 80

1

2 CONTENTS

Chapter 5. Spatii euclidiene. Endomor�sme pe spatii euclidiene 831. Spatii euclidiene 832. Ortogonalitate. Baze ortonormate 863. Complementul ortogonal al unui subspatiu 904. Transform¼ari liniare autoadjuncte 915. Transform¼ari liniare ortogonale 936. Probleme 95

Chapter 6. Forme biliniare. Forme p¼atratice 991. Forme biliniare. Matrice asociat¼a. Rangul unei forme biliniare 992. Forme p¼atratice. Reducerea la forma canonic¼a 1013. Legea de inertie a formelor p¼atratice 1094. Reducerea simultan¼a la forma canonic¼a a dou¼a forme p¼atratice 1105. Probleme 112

Chapter 7. Elemente de calcul tensorial 1151. Dualul unui spatiu vectorial 1152. Aplicatii multiliniare. Forme multiliniare 1183. Tensori. Coordonatele unui tensor într-o baz¼a 1194. Operatii cu tensori 1205. Transformarea coe�cientilor unui tensor la schimbarea bazei 1226. Probleme 124

CHAPTER 1

Spatiul vectorilor liberi

Calculul vectorial este o creatie matematic¼a, care îsi a�¼a originea în �zic¼a(mecani-c¼a). În acest capitol prezent¼am operatiile cu vectori care constituie algebra vec-torial¼a. Vectorii sunt entit¼ati matematice introduse pentru a reprezenta m¼arimimecanice ca: forta, viteza, acceleratia etc.

1. Vectori liberi

Fie S spatiul geometriei elementare de�nit cu axiomele lui Euclid (numit sispatiul �zic sau spatiul intuitiv). Spatiul S este tocmai spatiul în care tr¼aim sieste conceput ca o multime de puncte. Dreptele, planele sunt submultimi ale luiS. Punctul, dreapta, planul si spatiul S sunt notiuni primare legate prin anumiteaxiome, cunoscute din geometria elementar¼a.

În geometrie, vectorii sunt segmente orientate, iar în �zic¼a acele m¼arimi repre-zentabile geometric prin segmente orientate. Astfel forta aplicat¼a într-un punct alunui sistem material este un vector legat.

DEFINITIE. O pereche ordonat¼a de puncte (A;B) 2 S �S se numeste segmentorientat sau vector legat si se noteaz¼a

��!AB (�g. 1.1). Punctul A se numeste origine,

iar punctul B extremitate. Dac¼a A 6= B, dreapta determinat¼a de punctele A si Bse numeste dreapta suport a vectorului

��!AB. Vectorul legat

�!AA se numeste vector

legat nul, dreapta sa suport �ind nedeterminat¼a.Vectorii legati

��!AB si

��!BA se numesc opusi si sunt distincti dac¼a A 6= B.

DEFINITIE. Doi vectori legati nenuli��!AB si

��!CD au aceeasi directie dac¼a dreptele

lor suport sunt paralele sau coincid.

Un vector legat nenul��!AB determin¼a unic dreapta AB si un sens de parcurs pe

aceast¼a dreapt¼a: sensul de la A la B.

Fig. 1.1

3

4 1. SPATIUL VECTORILOR LIBERI

DEFINITIE. Fie punctele necoliniare A;B;C;D. Vectorii legati nenuli��!AB si��!

CD au aceeasi orientare (acelasi sens) dac¼a au aceeasi directie si dac¼a puncteleB si D se a�¼a de aceeasi parte a dreptei determinat¼a de A si C (�g. 1.2). Dac¼aA;B;C;D sunt coliniare, consider¼am punctele E;F =2 AB astfel încât ��!AB si ��!EF auacelasi sens. Spunem c¼a

��!AB si

��!CD au acelasi sens dac¼a

��!CD si

��!EF au acelasi sens.

Doi vectori legati care au aceeasi directie, dar nu au aceeasi orientare, se spune c¼aau orient¼ari opuse (sensuri opuse).

Fig. 1.2 Fig. 1.3

DEFINITIE. Se numeste norma (lungimea sau modulul) unui vector legat��!AB,

distanta dintre punctele A si B (relativ la o unitate de m¼asur¼a �xat¼a) si se noteaz¼ak��!ABk. Evident lungimea vectorului legat nul este egal¼a cu zero.

OBSERVATIE. Vectorii legati��!AB si

��!CD sunt egali dac¼a si numai dac¼a A � C

si B � D.

DEFINITIE. Doi vectori legati nenuli��!AB si

��!CD se numesc echipolenti (vom

nota��!AB � ��!CD) dac¼a au acelasi sens si aceeasi lungime (�g.1.3). Vom admite c¼a

toti vectorii legati nuli sunt echipolenti.

Este clar c¼a:a)��!AB � ��!CD () �!

AC � ��!BD;b)��!AB � ��!CD () ABDC este paralelogram;

c)��!AB � ��!CD () [AD] si [BC] au acelasi mijloc.

EXEMPLU. În patrulaterul ABCD, �e I, J , K, L,M , N mijloacele segmentelor[AB], [BC], [CD], [DA], [AC], respectiv [BD]. Deoarece IJ si LK sunt liniimijlocii în triunghiurile ABC respectiv ACD, rezult¼a c¼a IJkLK si k�!IJk = k��!LKk =1

2k�!ACk. Cum J si K se a�¼a în acelasi semiplan,

�!IJ si

��!LK au acelasi sens. În

consecint¼a�!IJ � ��!LK. Similar se arat¼a c¼a

��!NL � ��!JM si

��!LM � ��!NJ .

Relatia de echipolent¼a în multimea vectorilor legati are aceleasi propriet¼ati casi relatia de egalitate a numerelor si anume:

1)��!AB � ��!AB; (re�exivitate)

2)��!AB � ��!CD ) ��!

CD � ��!AB; (simetrie)3)��!AB � ��!CD si

��!CD � ��!EF ) ��!

AB � ��!EF . (tranzitivitate)

2. OPERATII CU VECTORI LIBERI 5

Aceste propriet¼ati rezult¼a din de�nitia echipolentei. De exemplu, 3) este con-secint¼a a tranzitivit¼atii paralelismului si a egalit¼atii numerelor reale.

Fiind dat un vector legat, exist¼a o in�nitate de vectori legati echipolenti cuacesta.

DEFINITIE. Se numeste vector liber multimea tuturor vectorilor legati echipolenticu un vector legat dat.

Vom nota vectorii liberi cu litere latine mici cu s¼ageat¼a: �!a ;�!b ; :::

Fie��!AB un vector legat. Consider¼am vectorul liber �!a =f��!CD;��!CD � ��!

ABg.Orice vector legat din �!a se numeste reprezentant al vectorului liber �!a . Normal ar� s¼a scriem

��!AB 2 �!a , îns¼a cum se obisnuieste (prin abuz) vom scrie

��!AB = �!a .

Vectorul liber determinat de toti vectorii legati nuli îl vom nota cu�!0 si se va

numi vectorul nul.

Vom nota cu V3 multimea vectorilor liberi din spatiul S.DEFINITIE. Fie �!a 2 V3. Prin directie, sens si lungime ale vectorului liber �!a

vom întelege directia, sensul respectiv lungimea comune tuturor vectorilor legatidin �!a .

Pentru orice vector liber �!a 2 V3 vom nota cu k�!a k norma sau lungimea lui �!a ,care coincide deci cu norma oric¼arui reprezentant al s¼au. Dac¼a �!a =

��!AB, atunci

vectorul liber determinat de��!BA îl vom nota cu ��!a , deci ��!BA = ��!a .

DEFINITIE. Doi vectori liberi �!a si�!b sunt egali si vom scrie �!a =

�!b dac¼a

reprezentantii lor sunt echipolenti sau, echivalent, dac¼a au acelasi sens si aceeasilungime.

DEFINITIE. Un vector liber cu lungimea unu se numeste versor.

DEFINITIE. Doi sau mai multi vectori liberi nenuli care au aceeasi directie senumesc vectori coliniari. Trei sau mai multi vectori liberi nenuli care au reprezen-tantii paraleli cu acelasi plan se numesc vectori coplanari.Vectorul nul

�!0 având

directia nedeterminat¼a, se consider¼a coliniar cu orice vector liber.Vectorul nul�!0

este coplanar cu orice doi vectori liberi nenuli.

OBSERVATIE. Fie O 2 S un punct �xat, numit origine. Pentru orice �!a 2 V3exist¼a un singur punct M astfel încât

��!OM = �!a . În acest fel se stabileste o bijectie

între V3 si spatiul �zic S în care am �xat originea O.

2. Operatii cu vectori liberi

Fie, deci, V3 multimea tuturor vectorilor liberi din S3. Multimea V3 se poateorganiza ca un grup aditiv comutativ, de�nind adunarea prin regula triunghiuluisau a paralelogramului.

DEFINITIE. Fie �!a ;�!b 2 V3 si�!OA 2 �!a ; ��!AB 2 �!

b . Vectorul liber �!c dereprezentant

��!OB (�g. 2.1) se numeste vectorul sum¼a al vectorilor �!a si

�!b si se

noteaz¼a �!c = �!a +�!b sau în reprezentanti

��!OB =

�!OA+

��!AB.

Este evident c¼a vectorii �!a ;�!b ;�!c = �!a +�!b sunt coplanari. Regula cuprins¼a în

aceast¼a de�nitie se numeste regula triunghiului.


Fig. 2.1

OBSERVATII. 1) Vectorul liber sum¼a �!c = �!a + �!b nu depinde de alegereapunctului O, deci de�nitia este �corect¼a�. Asadar dac¼a

��!CD 2 �!a ;C 6= O si

��!DE 2�!

b , atunci��!CE este echipolent cu

��!OB.

2) Dac¼a�!OA 2 �!a si

��!OB 2 �!b , atunci vectorul liber �!c = ��!

OC, unde OC estediagonala paralelogramului OACB , este, evident, vectorul sum¼a �!c = �!a +

�!b (�g.

2.2), iar regula respectiv¼a se numeste regula paralelogramului. Aceast¼a regul¼a sepoate aplica numai dac¼a vectorii �!a si

�!b nu sunt coliniari. Mention¼am c¼a cele dou¼a

reguli pot � extinse la suma unui num¼ar oarecare de vectori liberi.

Fig. 2.2

3) Experienta arat¼a c¼a actiunea a dou¼a forte în acelasi punct poate � înlocuit¼acu actiunea unei singure forte reprezentat¼a de diagonala paralelogramului constituitcu cele dou¼a forte (vectori). Asadar, regula paralelogramului îsi are originea înmecanic¼a, compunerea fortelor f¼acându-se dup¼a aceast¼a regul¼a:

��!OC este rezultanta

fortelor�!OA si

��!OB.

PROPOZITIA 2.1. (V3;+) este un grup comutativ.Mai precis au loc:

1) �!a +�!b = �!b +�!a ;8�!a ;�!b 2 V3; (comutativitate)2) (�!a +�!b ) +�!c = �!a + (�!b +�!c );�!a ;�!b ;�!c 2 V3; (asociativitate)3) 9�!0 2 V3 astfel încât �!a +

�!0 = �!a ;8�!a 2 V3;

4) 8�!a 2 V3 9 ��!a 2 V3 astfel încât �!a + (��!a ) =�!0 :

Demonstratie. Comutativitatea este asigurat¼a de regula paralelogramului. S¼ajusti�c¼am acum asociativitatea. Fie �!a ; �!b ; �!c 2 V3, cu

�!OA 2 �!a ; ��!AB 2 �!

b ;��!BC 2 �!c (�g. 2.3). Atunci (�!a +�!b ) +�!c are ca reprezentant pe ��!OC = ��!OB +��!BC,unde

��!OB 2 �!a + �!b , iar vectorul �!a + (�!b + �!c ) are ca reprezentant pe ��!OC =

=�!OA +

�!AC, unde

�!AC 2 �!b + �!c . Deci (�!a + �!b ) + �!c = �!a + (�!b + �!c ), deoarece

au acelasi reprezentant��!OC. Elementul neutru este vectorul nul

�!0 . Pentru orice

�!a 2 V3, vectorul ��!a este simetricul (opusul) vectorului �!a . �

2. OPERATII CU VECTORI LIBERI 7

Fig. 2.3

OBSERVATIE. Existenta opusului unui vector permite de�nirea sc¼aderii a doivectori liberi �!a ;�!b prin �!a ��!b = �!a + (��!b ).

În continuare, vom introduce o lege de compozitie extern¼a: � : R � V3 ! V3numit¼a înmultirea unui vector liber cu un num¼ar real (scalar) astfel:

DEFINITIE. Fie � 2 R si �!a 2 V3. Prin vectorul liber ��!a întelegem un vectorliber determinat astfel:

a) k��!a k = j�j k�!a k;b) dac¼a �!a 6= 0 si � > 0 atunci ��!a si �!a au acelasi sens, iar dac¼a � < 0 au

sensuri opuse; când � = 0 sau �!a = �!0 , atunci ��!a = �!0 .

PROPOZITIA 2.2. În V3, înmultirea cu scalari a vectorilor liberi are urm¼a-toarele propriet¼ati:

5) 1 � �!a = �!a ; 8�!a 2 V3;6) �(��!a ) = (��)�!a ;8�; � 2 R;8�!a 2 V3;7) (�+ �)�!a = ��!a + ��!a ;8�; � 2 R;8�!a 2 V3;8) �(�!a +�!b ) = ��!a + ��!b ;8� 2 R;8�!a ;�!b 2 V3.

Demonstratie. Propunem 5) si 6) ca exercitiu. 7) Asadar, �e �; � 2 R si�!a 2 V3. Vom ar¼ata c¼a (�+ �)�!a = ��!a + ��!a . Distingem mai multe cazuri.

a) Dac¼a �� > 0, atunci vectorii (� + �)�!a si ��!a + ��!a au acelasi sens cu�!a dac¼a �; � > 0 si sens contrar lui �!a dac¼a �; � < 0. Totodat¼a j�+ �j = j�j+ j�j.Atunci k��!a + ��!a k = k��!a k + k��!a k = j�j k�!a k + j�j k�!a k = (j�j + j�j)k�!a k == j�+ �j k�!a k = k(�+ �)�!a k.

b) Dac¼a � > 0; � < 0 si �+� < 0, atunci ��!a +��!a = ��!a +[��+(�+�)]�!a == ��!a � ��!a + (�+ �)�!a = (�+ �)�!a , conform a).

Similar se trateaz¼a celelalte cazuri.


Fig. 2.4

8) Fie � > 0 si�!OA;

��!OB;

��!OC;

��!OD reprezentanti ai vectorilor �!a ;�!b ; �!a + �!b ;

�(�!a +�!b ) (�g. 2.4). Dac¼a ED k OB, E 2 OA si FD k OA, F 2 OB, din teoremafundamental¼a a asem¼an¼arii rezult¼a k

��!OEk = �k�!OAk . Similar k��!OFk = �k��!OBk. În

consecint¼a��!OE = �

�!OA;

��!OF = �

��!OB. Din

��!OD =

��!OE +

��!OF rezult¼a 8). Dac¼a � < 0

, atunci �(�!a +�!b ) = � (��) (�!a +�!b ) = �[(��)�!a + (��)�!b ]. Dar �(�!u +�!v ) == ��!u ��!v si (�1) (��)�!a = ��!a (vezi 6)). Se obtine 8). �

DEFINITIE. Dac¼a �!a 6= �!0 , atunci �!u = 1

k�!a k�!a se numeste versor al vectorului

�!a :

3. Coliniaritate si coplanaritate

Fie �!a ;�!b 2 V3;�!a 6=�!0 ;�!b 6= �!0 .

PROPOZITIA 3.1. Dac¼a�!b si �!a sunt coliniari, atunci exist¼a � 2 R, unic,

astfel încât�!b = ��!a .

Demonstratie. Cum �!a ;�!b 2 V3nf�!0 g, atunci exist¼a versorii acestor vectori�!

a0

=

= �!a =k�!a k;�!b0=�!b =k�!b k. Deoarece �!a si �!b sunt coliniari rezult¼a

�!a0 = �

�!b0 . Atunci

avem succesiv:�!b = k�!b k �

�!b0 = k�!b k(�

�!a0 ) = �k

�!b k

k�!a k�!a = ��!a , unde � = �k

�!b k

k�!a k .�

OBSERVATII. 1) Evident, dac¼a �!a si�!b sunt coliniari, atunci exist¼a �0 2 R,

unic, astfel încât �!a = �0 �!b .2)�!0 = 0 � �!a .

TEOREMA 3.2. Vectorii nenuli �!a si�!b sunt coliniari dac¼a si numai dac¼a

exist¼a �; � 2 R, nenule simultan, astfel încât ��!a + ��!b =

�!0 .

Demonstratie. Folosind propozitia 3.1 rezult¼a c¼a dac¼a �!a si�!b sunt coliniari,

atunci exist¼a � 2 R astfel ca �!a = ��!b , deci 1 � �!a + (��)�!b = �!0 .

Reciproc, dac¼a, de exemplu, � 6= 0, atunci �!a = ��

�!b , adic¼a �!a si

�!b sunt

coliniari. Cazul � 6= 0 se trateaz¼a similar. �

3. COLINIARITATE SI COPLANARITATE 9

PROPOZITIA 3.3. Dac¼a �!a si�!b sunt necoliniari, atunci ��!a +��!b = �!0 dac¼a

si numai dac¼a � = � = 0.

Demonstratie. Dac¼a � 6= 0 sau � 6= 0 ar rezulta c¼a �!a si�!b sunt coliniari ceea

ce ar contrazice ipoteza, deci � = � = 0. Reciproca este imediat¼a. �PROBLEM¼A. Fie vectorii necoliniari �!u si �!v . S¼a se determine �, astfel încât

vectorii �!a = ��!u + 3�!v , �!b = �!u ��!v s¼a �e coliniari.

Solutie. Din �!a = ��!b , rezult¼a (�� )�!u + (3� �)�!v = �!0 . Conform propoz-itiei 3.3, �� = 0, 3� � = 0, deci � = 3 si � = 3.

Fie, acum, �!a ;�!b ;�!c 2 V3,�!b si �!c necoliniari.

PROPOZITIA 3.4. (Descompunerea unui vector dup¼a dou¼a directii necoliniare)Dac¼a vectorii �!a ;

�!b ;�!c sunt coplanari, atunci exist¼a �; � 2 R unic determinati

astfel ca �!a = ��!b + ��!c .

Demonstratie. Dac¼a �!a = �!0 propozitia este evident¼a. Presupunem c¼a �!a 6= �!0 .Fie

�!OA 2 �!a , ��!OB 2 �!b , ��!OC 2 �!c . Cum �!a ;�!b ;�!c sunt coplanari, rezult¼a c¼a punctele

O;A;B;C sunt coplanare (�g. 3.1).

Fig. 3.1

Cazurile�!b si �!a coliniari sau �!c si �!a coliniari sunt evidente si nu le abord¼am.

Ducem AA1kOC si AA2kOB. Deoarece��!OA1 este coliniar cu

��!OB si

��!OA2 este col-

iniar cu��!OC, conform propozitiei 3.1, exist¼a �; � 2 R, astfel ca

��!OA1 = �

��!OB;

��!OA2 =

��!OC. Dar

�!OA =

��!OA1+

��!OA2 = �

��!OB+�

��!OC. În concluzie �!a = ��!b +��!c . În plus,

dac¼a �!a = �0�!b +�0�!c , atunci (�� 0)�!b + +(��0)�!c = �!0 . Conform propozitiei

3.3 rezult¼a �0 = �, �0 = �, deci � si � sunt unic determinati. �PROBLEME REZOLVATE. 1) Fie O un punct �xat. Punctele A, B, C sunt

coliniare dac¼a si numai dac¼a exist¼a �; �; 2 R, nenule simultan, astfel ca

(3.1) ��!OA+ �

��!OB +

��!OC =

�!0 si �+ � + = 0:

Solutie. Dac¼a A, B, C sunt coliniare, conform propozitiei 3.1, exist¼a � 2 Rastfel încât

�!AC = �

��!AB sau

��!OC � �!OA = �(

��!OB � �!OA). Atunci are loc (3.1) cu

� = �� 1, � = ��, = 1. Reciproc, dac¼a, de exemplu, � 6= 0, atunci � + 6= 0 si�!OA =

�

� +

��!OB +

� +

��!OC. Dar

�!OA =

��!OB +

��!BA,

��!OC =

��!OB +

��!BC. Înlocuind,

obtinem��!BA =

� +

��!BC, deci punctele A, B, C sunt coliniare.


2) Fie O un punct �xat si A, B, C trei puncte necoliniare. Pentru orice punctM din planul ABC exist¼a �; �; 2 R, astfel încât

��!OM = �

�!OA+ �

��!OB +

��!OC si �+ � + = 1:

A�rmatia reciproc¼a este adev¼arat¼a?Solutie. Conform propozitiei 3.4 exist¼a �; � 2 R astfel ca

��!AM = �

��!AB + �

�!AC

sau��!OM � �!OA = �(

��!OB � �!OA) + �(��!OC � �!OA). În consecint¼a

��!OM = (�� +

+1)�!OA+ �

��!OB + �

��!OC. Lu¼am � = �� + 1, � = �, = �.

Reciproc, dac¼a � = 1�� , introducând în relatia dat¼a, rezult¼a��!AM = �

��!AB+

+ �!AC adic¼a punctele M , A, B, C sunt coplanare.

PROPOZITIA 3.5. Fie vectorii necoplanari �!a ;�!b ;�!c 2 V3. Dac¼a ��!a + ��!b +

+ �!c = �!0 , atunci � = � = = 0:

Demonstratie. Dac¼a, de exemplu, � 6= 0, atunci �!a = ��!b + ��!c ; � = ��=�;

� = � =�, deci vectorii �!a ;�!b ;�!c sunt coplanari, ceea ce contrazice ipoteza. Asadar� = 0: Cum

�!b si �!c sunt necoliniari, rezult¼a � = = 0 (prop. 3.3). �

TEOREMA 3.6. (Descompunerea unui vector dup¼a trei directii) Fie �!a ;�!b ; �!c 2

2 V3 necoplanari si�!d 2 V3. Atunci exist¼a �; �; 2 R unic determinati astfel ca�!

d = ��!b + �

�!b + �!c .

Demonstratie. Fie�!OA 2 �!a ;��!OB 2 �!b ;��!OC 2 �!c si ��!OD 2 �!d (�g. 3.2). Cazurile

D � O;��!OD coliniar cu �!a ; :::;��!OD coplanar cu �!a ; b etc., sunt evidente, deci nu leabord¼am.

Fie � intersectia dintre planul OAB si planul OCD. În acest din urm¼a plan,construim DC1k�, C1 2 OC si DEkOC, E 2 OAB. În planul OAB, �e EA1kOB,A1 2 OA si EB1kOA, B1 2 OB. Atunci

��!OE =

��!OA1 +

��!OB1 si

��!OD =

��!OE +

��!ED,

deci��!OD =

��!OA1 +

��!OB1 +

��!OC1, deoarece

��!ED � ��!

OC1. Deoarece��!OA1;

��!OB1;

��!OC1

sunt coliniari cu�!OA, respectiv

��!OB;

��!OC, atunci exist¼a �; �; 2 R astfel ca

��!OD =

= ��!OA + �

��!OB +

��!OC, deci

�!d = ��!a + ��!b + �!c . Dac¼a

�!d = �0�!a + �0�!b +

0�!c ;atunci (� � �0)�!a + (� � �0)�!b + ( � 0)�!c =�!0 . Aplicând propozitia 3.5

rezult¼a c¼a � = �0, � = �0, = 0, deci �; �; sunt unic determinati. �


Fig. 3.2

Fie�!i ;�!j ;�!k 2 V3 trei versori (k

�!i k = k�!j k = k�!k k = 1) astfel ca OA?OB?

?OC, unde �!OA 2 �!i ; ��!OB 2 �!j ; ��!OC 2 �!k (�g. 3.3). Deoarece acesti versori suntnecoplanari, dac¼a �!a 2 V3, atunci exist¼a a1; a2; a3 2 R, unic determinati (teorema3.6), astfel ca:

(3.2) �!a = a1�!i + a2

�!j + a3

�!k :

DEFINITIE. Numerele reale a1; a2; a3 se numesc coordonatele euclidiene alevectorului �!a , iar egalitatea (3.2) se numeste expresia analitic¼a a vectorului �!a .Vom scrie �!a = (a1; a2; a3).

Fie O 2 S, �xat.

Fig. 3.3

DEFINITIE. Dac¼a M 2 S, atunci vectorul !rM 2 V3 de reprezentant��!OM se

numeste vector de pozitie al punctuluiM . Atunci!rM = x

�!i +y

�!j +z

�!k si vom nota

M(x; y; z) (�g. 3.3). Sistemul (O;�!i ;�!j ;�!k ) se numeste reper cartezian ortogonal

în V3. Numerele x; y; z se numesc coordonatele punctului M în raport cu reperulcartezian (O;

�!i ;�!j ;�!k ).


Dac¼a A;B 2 S si �!OA = xA�!i + yA

�!j + zA

�!k ,��!OB = xB

�!i + yB

�!j + zB

�!k ;

atunci:��!AB =

��!OB ��!OA = (xB � xA)

�!i + (yB � yA)

�!j + (zB � zA)

�!k :

DEFINITIE. Fie A;B 2 S; A 6= B. Punctul M 2 AB împarte segmentul [AB]în raportul � 2 Rn f1g dac¼a

��!MA = �

��!MB. PuncteleM siM

0care împart segmentul

[AB] în raportul � respectiv �� (� 6= �1) se numesc conjugate armonic.

Evident, dac¼aM împarte segmentul [AB] în raportul �, atunci � � 0 dac¼aM 22 [AB) si � > 0 dac¼a M 2 AB � [AB].

PROPOZITIA 3.7. Dac¼a A;B 2 S; A 6= B si punctul M 2 AB împarte [AB]în raportul �, atunci

!rM =

1

1� � (�!rA � ��!rB):

Demonstratie. Deoarece�!OA =

��!OM+

��!MA =

��!OM+�

��!MB si

��!MB =

��!OB��!OM ,

rezult¼a�!OA = (1� �)��!OM + �

��!OB, adic¼a tocmai relatia din enunt. �

COROLAR 3.7.1. Dac¼a M(x; y; z) împarte segmentul [AB] în raportul � siA(xA; yA; zA); B(xB ; yB ; zB), atunci

x =1

1� � (xA � �xB) ; y =1

1� � (yA � �yB); z =1

1� � (zA � �zB) :

În particular, dac¼a M este mijlocul lui [AB], atunci � = �1 si deci

x =1

2(xA + xB) ; y =

1

2(yA + yB); z =

1

2(zA + zB) :

PROBLEME REZOLVATE 1) Fie G centrul de greutate al unui triunghi ABC

si O un punct oarecare din spatiu. S¼a se arate c¼a��!OG =

1

3(�!OA+

��!OB +

��!OC).

Solutie. Dac¼a AD este median¼a,��!DB = ��!DC, deci ��!OD =

1

2(��!OB +

��!OC).

De asemenea din�!GA = �2��!GD obtinem

��!OG =

1

3(�!OA + 2

��!OD); de unde rezult¼a

a�rmatia.

2) Fie n puncte materiale M1, M2, :::, Mn, de mase m1, m2, :::, mn, respectiv.S¼a se arate c¼a exist¼a un punct G unic determinat astfel încât

(3.3) m1��!GM1 +m2

��!GM2 + :::+mn

��!GMn =

�!0 :

Dac¼a M este un punct oarecare, atunci

(3.4) m1��!GM1 +m2

��!GM2 + :::+mn

��!GMn = (m1 +m2 + :::+mn)

��!MG:

Solutie. Punctul G, dac¼a exist¼a, este unic. Într-adev¼ar, dac¼a G1 ar � un altpunct ce satisface

m1��!G1M1 +m2

��!G1M2 + :::+mn

��!G1Mn =

�!0 ;

atunci, scazând din (3.3) si tinând seama c¼a��!G1Mi �

��!GMi =

��!G1G, 1 � i � n,

rezult¼a c¼a (m1 +m2 + :::+mn)��!G1G =

�!0 . Cum m1 +m2 + :::+mn 6= 0, obtinem

c¼a G1 = G.


În ceea ce priveste existenta punctului G, �e O un punct �xat. Cum��!GMi =

=��!OMi �

��!OG, 1 � i � n, rezult¼a c¼a

OG =1

m1 +m2 + :::+mn(m1

��!OM1 +m2

��!OM2 + :::+mn

��!OMn):

Punctul O �ind �x, iar punctele Mi si numerele reale mi; 1 � i � n �ind date,rezult¼a c¼a punctul G este bine determinat prin relatia de mai sus. Relatia (3.4) seobtine folosind faptul c¼a

��!MMi =

��!MG+

��!GMi, 1 � i � n, si (3.3).

DEFINITIE. Punctul G dat de relatia (3.3) se numeste baricentrul (centrul degreutate) sistemului de puncte (M1,M2, :::,Mn) relativ la sistemul de ponderi (m1,m2, :::, mn). Dac¼a m1 = m2 = ::: = mn 6= 0, se spune c¼a sistemul de puncte esteomogen, iar punctul G se numeste izobaricentrul sistemului de puncte.

S¼a remarc¼am c¼a:a) punctul G r¼amâne acelasi când ponderile se înmultesc cu un acelasi num¼ar

real nenul;b) baricentrul nu depinde de ordinea punctelor Mi;c) baricentrul nu se schimb¼a dac¼a se înlocuiesc r puncte (r < n) prin baricentrul

lor având ca pondere suma nenul¼a a ponderilor acestor puncte;d) dac¼a (O;

�!i ;�!j ;�!k ) este un reper cartezian ortogonal în spatiu si

Mi(xi; yi; zi), 1 � i � n, G(xG; yG; zG), atunci

xG =

nPi=1

mixi

nPi=1

mi

; yG =

nPi=1

miyi

nPi=1

mi

; zG =

nPi=1

mizi

nPi=1

mi

:

Dac¼a sistemul de puncte este omogen, atunci xG =1

n

nPi=1

xi, yG =1

n

nPi=1

yi,

zG =

=1

n

nPi=1

zi. Pentru n = 2 obtinem mijlocul segmentului [M1M2], iar pentru n = 3;

G este centrul de greutate al triunghiului M1M2M3.

Fie��!AB un vector legat si d � S o dreapt¼a. Prin A si B ducem planele P1

respectiv P2, perpendiculare pe d. Not¼am C = d \ P1; D = d \ P2.

DEFINITIE. Vectorul legat��!CD construit mai sus se numeste proiectia ortogo-

nal¼a a vectorului legat��!AB pe dreapta d.

Dac¼a AB ? d, atunci��!CD =

�!0 .

Dac¼a��!EF � ��!AB si ��!GH este proiectia ortogonal¼a a lui

��!EF pe dreapta d, atunci

este evident c¼a��!GH � ��!CD. Putem, deci, de�ni proiectia ortogonal¼a a unui vector

liber �!a 2 V3 pe o dreapt¼a ca �ind proiectia ortogonal¼a a unui reprezentant oarecareal vectorului. Dac¼a d0kd atunci proiectiile ortogonale ale unui vector legat

��!AB pe d0

respectiv d sunt vectori legati echipolenti. Putem vorbi deci de proiectia ortogonal¼aa unui vector liber �!a pe un alt vector liber nenul �!b , pe care o not¼am ��!

b�!a (este

un vector liber!).


DEFINITIE. Fie �!a ;�!b 2 V3nf�!0 g si �!OA 2 �!a ; ��!OB 2 �!b . Num¼arul real ' 2 [0; �]

ce reprezint¼a unghiul dintre dreptele suport ale vectorilor�!OA si

��!OB se numeste

unghiul dintre vectorii �!a si �!b .Evident, de�nitia nu depinde de alegerea punctului O.

DEFINITIE. Dac¼a unghiul ' =�

2, atunci vectorii �!a si

�!b se numesc vectori

ortogonali.

Prin conventie, se accept¼a c¼a vectorul nul�!0 este ortogonal pe orice vector.

Dac¼a �!u este un versor al vectorului ��!b�!a , atunci exist¼a � 2 R astfel încât

��!b�!a = ��!u . Este clar c¼a dac¼a unghiul dintre �!a si

�!b este ', atunci � = =

k�!a k cos' si c¼a � > 0, dac¼a ' 2 [0; �2), � < 0 dac¼a ' 2 (�

2; �] si � = 0 dac¼a ' =

�

2.

DEFINITIE. Fie �!a ;�!b 2 V3nf�!0 g, ' 2 [0; �] unghiul dintre ei. Num¼arul real

k�!a k cos', notat pr�!b�!a se numeste m¼arimea algebric¼a a proiectiei ortogonale a

vectorului �!a pe vectorul �!b . Deci pr�!b�!a = k�!a k cos' (�g.3.4).

Fig. 3.4

OA0 = k�!a k cos' = pr�!b�!a :

PROPOZITIA 3.8. M¼arimea algebric¼a a proiectiei ortogonale are urm¼atoarelepropriet¼ati:

1) pr�!c (�!a +�!b ) = pr�!c �!a + pr�!c

�!b ; 8�!a ;�!b ;�!c 2 V3nf

�!0 g.

2) pr�!b(��!a ) = �pr�!

b�!a ; 8� 2 R; �!a ;�!b 2 V3nf

�!0 g.

Demonstratia nu prezint¼a di�cult¼ati.Vom justi�ca, de exemplu, 1).Fie

�!OA 2 �!a ; ��!AB 2 �!b si ��!OB 2 �!a +�!b (�g. 3.5). Atunci

pr�!c�!a = O0A0; pr�!c

�!b = A0B0; pr�!c (

�!a +�!b ) = O0B0:A�rmatia rezult¼a deoarece O0B0 = O0A0 +A0B0.

Fig. 3.5

4. PRODUSE CU VECTORI LIBERI 15

4. Produse cu vectori liberi

4.1. Produsul scalar a doi vectori liberi. Fie �!a ;�!b 2 V3nf�!0 g si ' 2 [0; �]

unghiul dintre �!a si �!b :

DEFINITIE. Se numeste produs scalar al vectorilor �!a ;�!b 2 V3 num¼arul realnotat �!a � �!b , de�nit prin:

�!a � �!b =(k�!a k � k�!b k cos' , dac¼a �!a ;

�!b 2 V3nf

�!0 g

0 , dac¼a �!a = �!0 sau�!b =

�!0

.

Evident �!a � �!b > 0 dac¼a ' 2 [0; �2), �!a � �!b < 0 dac¼a ' 2 (�

2; �].

OBSERVATIE. Notiunea de produs scalar îsi are originea în �zic¼a. Este cunos-cut c¼a lucrul mecanic efectuat de o fort¼a

�!F care actioneaz¼a asupra unui punct

material care se deplaseaz¼a cu vectorul�!d este L =

�!F � �!d = k�!F � kk�!d k cos', unde

' este unghiul dintre�!F si

�!d .

PROPOZITIA 4.1. Produsul scalar al vectorilor liberi are urm¼atoarele propri-et¼ati:

1) �!a � �!b = �!b � �!a ;8�!a ;�!b 2 V3 (comutativitate);2) �(�!a � �!b ) = (��!a ) � �!b = �!a � (��!b );8�!a ;�!b 2 V3; � 2 R;3) �!a � (�!b +�!c ) = �!a � �!b +�!a � �!c ;8�!a ;�!b ;�!c 2 V3

(distributivitatea fat¼a de adunarea vectorilor);4) �!a � �!a > 0;8�!a 2 V3nf

�!0 g; �!a � �!a = 0() �!a = �!0 ;

5) �!a si �!b sunt ortogonali () �!a � �!b = 0;6) dac¼a �!a = a1

�!i + a2

�!j + a3

�!k ;�!b = b1

�!i + b2

�!j + b3

�!k , atunci:

�!a � �!b = a1b1 + a2b2 + a3b3;(expresia analitic�a a produsului scalar)�!a � �!a = a21 + a22 + a23 = k�!a k2;

7) dac¼a �!a ;�!b 2 V3nf

�!0 g, atunci:

cos' =�!a � �!b

k�!a k � k�!b k=

a1b1 + a2b2 + a3b3pa21 + a

22 + a

23

pb21 + b

22 + b

23

;

8) dac¼a A;B 2 S3 si A(x1; y1; z1); B(x2; y2; z2), atunci distanta dintre puncteleA si B, notat¼a d (A;B) este dat¼a de:

d (A;B) = k��!ABk =q(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 + (z2 � z1)2:

Demonstratie. Fie �!a ;�!b 2 V3nf�!0 g. Atunci avem:

1)�!b � �!a = k�!b k k�!a k cos(�') = k�!a k k�!b k cos' = �!a � �!b .

2) Pentru � > 0 obtinem:

�(�!a � �!b ) = �k�!a k k�!b k cos' = k��!a k � k�!b k cos' = (��!a ) � �!b ;iar pentru � < 0:

�(�!a � �!b ) = �(��)k�!a k k�!b k cos' = k��!a k k�!b k cos(� � ') = (��!a ) � �!b ;

deoarece unghiul dintre ��!a si �!b este � � ', dac¼a � < 0.


Analog se obtine ultima egalitate.3) Se observ¼a c¼a �!a �

�!b = k�!b k pr�!

b�!a = k�!a k pr�!a

�!b . Atunci:

�!a � (�!b + �!c ) = k�!a k pr�!a (�!b + �!c ) = k�!a k(pr�!a

�!b + pr�!a

�!c ) = �!a � �!b ++�!a � �!c (propozitia 3.5).

4) �!a � �!a = k�!a k2 cos 0 = k�!a k2 > 0; 8�!a 2 V3nf�!0 g; �!a � �!a = 0 ()

k�!a k = 0() �!a = �!0 .5) Dac¼a �!a si

�!b 2 V3nf

�!0 g sunt ortogonali, atunci ' = �

2, deci �!a � �!b = 0.

Reciproc, dac¼a �!a ��!b = 0, atunci sau k�!a k = 0 (�!a = �!0 ), sau �!b = 0 sau cos' = 0,

deci ' =�

22 [0; �], adic¼a �!a si

�!b sunt ortogonali.

6) Folosind 5) rezult¼a�!i � �!j = 0;

�!j � �!k = 0;

�!k � �!i = 0. În plus,

�!i � �!i =

= k�!i k2 = 1; �!j � �!j = 1; �!k � �!k = 1. Expresia analitic¼a se obtine atunci folosind1),2),3).

7) Tinem seama de cele de mai sus si de cos ' = �!a � �!b =(k�!a k k�!b k).8) Folosim (6).�

PROBLEME REZOLVATE. 1) Fie �!a = �!u � 3�!v ; �!b = ��!u + 2�!v ; k�!u k = 3;

k�!v k =p2; � (�) =

�

4; � �ind unghiul dintre �!u si �!v : S¼a se calculeze:

a) �!a � �!b ;b) lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe vectorii �!a si

�!b si

unghiul dintre ele.Solutie. a) Cum �!u � �!v = 3, rezult¼a c¼a �!a �

�!b = �6. b) Diagonalele parale-

logramului sunt�!d1 =

�!a +�!b ; �!d2 = �!a ��!b , deci

�!d1 = ��!v ;

�!d2 = 2

�!u � 5�!v : Atuncik�!d1k = k�!v k =

p2; k�!d2k2 = (2�!u �5�!v )(2�!u �5�!v ) = 26: În consecint¼a k

�!d2k =

p26.

cos � =

�!d1:�!d2

k�!d1k k�!d2k

=2p13.

2) Fie A;B;C;D patru puncte în spatiu. S¼a se demonstreze egalitatea lui Euler :

��!AB � ��!CD +��!BC � ��!AD +�!AC � ��!DB = 0:

Solutie. Dac¼a O este un punct din spatiu, egalitatea rezult¼a folosind��!AB =��!

OB��!OA etc.

Din aceast¼a egalitate obtinem:a) În triunghiul ABC, �e H punctul de intersectie a dou¼a în¼altimi, �e ele AH

si BH. Aplicând egalitatea lui Euler punctelor A;B;C;H, rezult¼a c¼a si CH esteîn¼altime. Astfel se demonstreaz¼a vectorial concurenta în¼altimilor într-un triunghi.

b) Dac¼a într-un tetraedru exist¼a dou¼a perechi de muchii opuse perpendiculare,atunci si cea de a treia pereche de muchii opuse este format¼a din muchii perpen-diculare.

3) Se dau punctele A (2;�1; 3), B(3; 3; 1), C(4; 2; 2). S¼a se calculeze perimetrul,aria triunghiului ABC si lungimea în¼altimii din B.

Solutie. Cum k��!ABk =p21, k�!ACk =

p14, k��!BCk =

p3, perimetrul este

p21+

+p14 +

p3. Dar 4S2 = k��!ABk2k�!ACk2 sin2A = k��!ABk2k�!ACk2 � k��!ABk2k�!ACk2�


� cos2A, deci S = 1

2

qk��!ABk2k�!ACk2 � (��!AB � �!AC)2. Calculând obtinem S =

p38

2,

hb = =2S

k�!ACk=

p19p7.

4.2. Produsul vectorial a doi vectori liberi. Fie �!a ;�!b 2 V3 si ' 2 [0; �]unghiul dintre �!a si �!b dac¼a �!a ;

�!b 2 V3nf

�!0 g.

DEFINITIE. Se numeste produs vectorial al vectorilor �!a si�!b si se noteaz¼a

�!a ��!b , vectorul:

�!a ��!b =(k�!a k � k�!b k sin' � �!e , dac¼a �!a si

�!b sunt necoliniari

�!0 , dac¼a �!a si

�!b sunt coliniari

;

unde �!e este un versor perpendicular pe planul determinat de reprezentantii lui �!asi�!b având aceeasi origine si orientat dup¼a �regula burghiului� si anume în sensul

de înaintare a unui burghiu când �!a se roteste c¼atre�!b printr-un unghi minim (�g.

4.1).

Fig. 4.1

OBSERVATIE. Efectul de rotire pe care îl produce o fort¼a�!F se m¼asoar¼a prin

momentul fortei. Dac¼a O este un punct �xat si P punctul de aplicatie al fortei�!F ,

momentul este prin de�nitie vectorul��!OP ��!F . Punctul O se mai numeste si polul

momentului.

PROPOZITIA 4.2. Produsul vectorial are propriet¼atile:1) �!a ��!b = �(�!b ��!a ); 8�!a ;�!b 2 V3; (anticomutativitate)2) �(�!a ��!b ) = ��!a ��!b = �!a � ��!b ; 8� 2 R; �!a ;�!b 2 V3;3) (�!a +�!b )��!c = �!a ��!c +�!b ��!c , 8�!a ;�!b ;�!c 2 V3;

(distributivitate fat¼a de adunarea vectorilor)4) �!a ��!a = �!0 ; 8�!a 2 V3;5) k�!a ��!b k2 = k�!a k2 � k�!b k2 � (�!a � �!b )2; 8�!a ;�!b 2 V3;

(identitatea lui Lagrange)


6) Dac¼a �!a = a1�!i + a2

�!j + a3

�!k ,�!b = b1

�!i + b2

�!j + b3

�!k , atunci

�!a ��!b = (a2b3 � a3b2)�!i + (a3b1 � a1b3)

�!j + (a1b2 � a2b1)

��!k =

=

��!i

�!j

�!k

a1 a2 a3b1 b2 b3

�� ;(expresia analitic¼a a produsului vectorial)

7) k�!a ��!b k este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentantilorlui �!a si �!b având aceeasi origine. Aria unui triunghi ABC este dat¼a de

A�ABC =1

2k��!AB ��!ACk:

Demonstratie.1) Dac¼a �!a ;

�!b 2 V3nf

�!0 g, atunci:

�!b ��!a = k�!b kk�!a k sin(�')�!e = �k�!a kk�!b k sin'�!e = ��!a ��!b :

2) Dac¼a � > 0 si �!a ;�!b 2 V3nf

�!0 g, atunci ^(��!a ;�!b ) = ^(�!a ;�!b ), deci:

�(�!a ��!b ) = �k�!a kk�!b k sin' � �!e = k��!a kk�!b k sin'�!e = (��!a )��!b :Celelalte cazuri se trateaz¼a analog.3) Fie

�!OA 2 a; ��!OB 2 �!b ;��!OC 2 �!c ; ��!OD 2 �!d = �!a +�!b (�g. 4.2) si � un plan

perpendicular pe OC în O. Fie A0; B0; D0 proiectiile ortogonale ale punctelor A;B respectiv D pe planul �. Evident OA0D0B0 este un paralelogram. Fie

��!OA00 = =��!

OA0��!OC;��!OB00 =

��!OB0��!OC;

��!OD00 =

��!OD0��!OC. Dac¼a ' este unghiul dintre

�!OA si

��!OC, atunci k

��!OA0k = k�!OAk sin' si cum unghiul dintre

��!OA0 si

��!OC este 900, rezult¼a

c¼a�!OA��!OC =

��!OA0 ��!OC . Similar obtinem ��!

OB ��!OC =��!OB0 ��!OC; ��!OD��!OC =��!

OD0 ��!OC . Dar k��!OA00k = k

��!OA0k k��!OCk;

��!OA00?��!OC;

��!OA00?

��!OA0. Rezult¼a c¼a

��!OA00

se obtine rotind vectorul��!OA0 în planul � cu un unghi de 900. Analog se obtin��!

OB00,��!OD00. Asadar OA00D00B00 se obtine rotind paralelogramul OA0D0B0 cu 900,

deci este un paralelogram. În concluzie��!OD00 =

��!OA00 +

��!OB00 sau, folosind relatiile

anterioare,��!OD��!OC = �!OA��!OC+��!OB��!OC, adic¼a (�!a +

�!b )��!c = �!a ��!c +�!b ��!c .

Fig. 4.2


4) Folosim de�nitia.5) Deoarece sin2 ' = 1� cos2 ', rezult¼a

k�!a ��!b k2 = k�!a k2k�!b k2 � k�!a k2k�!b k2 cos2 ' = k�!a k2k�!b k2 � (�!a � �!b )2:

6) Se tine seama c¼a�!i � �!j =

�!k = ��!j � �!i ;�!j � �!k =

�!i = ��!k � �!j ;

�!k ��!i = �!j = ��!i ��!k si �!i ��!i = �!j ��!j = �!k ��!k = �!0 . Determinantul se vadezvolta dup¼a elementele primei linii.

7) Dac¼a�!OA = �!a ;��!OB = �!b , atunci aria paralelogramului este

k�!OAk k��!OBk sin' = k�!a k k�!b k sin' = k�!a ��!b k. (�g. 4.3) �

Fig. 4.3

OBSERVATIE. Din proprietatea 3 rezult¼a c¼a dac¼a într-un punct P sunt aplicatemai multe forte, atunci momentul rezultantei este egal cu suma momentelor fortelor(Varignon).

PROBLEME REZOLVATE. 1) S¼a se calculeze aria paralelogramului construitpe vectorii �!v1 = �!a + 3�!b , �!v2 = 2�!a � �!b , stiind c¼a k�!a k =

p3, k�!b k = 4 si

^(�!a ;�!b ) = �

3.

Solutie. k�!a � �!b k = k�!a kk�!b k sin �3= 6, �!v1 � �!v2 = 7

�!b � �!a . Aria paralelo-

gramului este k�!v1 ��!v2k = 7k�!b ��!a k = 42.

2) Fie A (�1; 1; 0), B (2;�1; 3), C (4; 2; 2). S¼a se calculeze aria triunghiuluiABC.

Solutie.��!AB = 3

�!i � 2�!j + 3�!k , �!AC = 5

�!i +

�!j + 2

�!k ,��!AB � �!AC = �7�!i +

+9�!j + 13

�!k . Atunci

A4ABC =1

2k��!AB ��!ACk = 1

2

p299:

4.3. Produsul mixt a trei vectori liberi. DEFINITIE. Se numeste produsmixt al vectorilor �!a ;�!b ;�!c 2 V3, num¼arul real, notat (�!a ;

�!b ;�!c ), care este egal cu

produsul scalar al vectorilor �!a si �!b ��!c :

(�!a ;�!b ;�!c ) = �!a � (�!b ��!c )PROPOZITIA 4.3. Produsul mixt are urm¼atoarele propriet¼ati:1) Dac¼a�!a = a1

�!i + a2

�!j + a3

�!k ;�!b = b1

�!i + b2

�!j + b3

�!k ;�!c = c1

�!i + c2

�!j + c3

�!k ;

atunci

(4.1) (�!a ;�!b ;�!c ) =

��a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

�� :(expresia analitic¼a a produsului mixt a trei vectori liberi);


2) (�!a ;�!b ;�!c ) = (�!b ;�!c ;�!a ) = (�!c ;�!a ;�!b ); (�!a ;�!b ;�!c ) = �(�!a ;�!c ;�!b );3) (�!a ;�!b ;�!c ) = 0 dac¼a si numai dac¼a �!a ;

�!b ;�!c sunt coplanari;

4)��(�!a ;�!b ;�!c )�� este volumul paralelipipedului oblic construit pe suporturile reprezen-

tantilor vectorilor �!a ;�!b ;�!c considerati cu origine comun¼a;5) (�!u +�!v ;�!b ;�!c ) = (�!u ;�!b ;�!c ) + (�!v ;�!b ;�!c ).

Demonstratie. 1) Se folosesc expresiile analitice ale produsului scalar si aleprodusului vectorial.

2) Se utilizeaz¼a propriet¼atile determinantilor.3) Produsul mixt este nul dac¼a si numai dac¼a o linie a determinantului din (4.1)

este combinatie liniar¼a de celelalte dou¼a, ceea ce este echivalent cu faptul c¼a unuldintre vectori este combinatie liniar¼a a celorlalti doi, adic¼a sunt coplanari.

4) Dac¼a

�!OA 2 �!a ;��!OB 2 �!b ;��!OC 2 �!c ;��!OD 2 �!b ��!c ; ' = ^(�!a ;�!b ��!c );

atunci considerând ca baz¼a paralelogramul OBCM (�g. 4.4) si cum OA0 esteîn¼altimea paralelipipedului relativ la aceast¼a baz¼a, rezult¼a:

V = k�!b ��!c k OA0 = k�!b ��!c kk�!a k jcos'j =��(�!a ;�!b ;�!c )�� :

5) Se folosesc propriet¼atile determinantilor.

Fig. 4.4

PROBLEME REZOLVATE. 1) S¼a se determine volumul paralelipipedului con-struit pe vectorii �!a = �!u + 2�!v , �!b = 5�!u � 4�!v + 3�!w , �!c = �!u +�!v ��!w , stiind c¼ak�!u k = 2

p2, k�!v k =

p3, k�!w k = 2, ^(�!v ;�!w ) = �

3, iar unghiul dintre vectorul �!u si

planul determinat de vectorii �!v si �!w este�

4.

Solutie. (�!a ;�!b ;�!c ) = 17(�!u ;�!v ;�!w ); (�!u ;�!v ;�!w ) = �!u � (�!v � �!w ) = k�!u k��k�!v � �!w k cos �

4= 6, deoarece k�!v � �!w k = k�!v kk�!w k sin �

3= 3. Atunci volumul

este V = 17 � 3 = 51.

2) S¼a se determine volumul V si în¼altimea h din D ale tetraedrului ABCD,dac¼a A (1;�5; 4), B (0;�3; 1), C (2; 4; 3), D (1; 0; 1).


Solutie.��!AB = ��!i + 2�!j � 3�!k , �!AC =

�!i + 9

�!j � �!k , ��!AD = 5

�!j � 3�!k ,

(��!AB;

�!AC;

��!AD) = 13,

��!AB ��!AC = 25�!i � 4�!j � 11�!k . V =

��(��!AB;�!AC;��!AD)��6

=13

6.

Aria 4ABC estep762

2, deci h =

13p762

.

4.4. Dublul produs vectorial. DEFINITIE. Dac¼a �!a ;�!b ;�!c 2 V3, vectorul

�!a � (�!b ��!c ) se numeste dublul produs vectorial al vectorilor �!a ;�!b ;�!c .

PROPOZITIA 4.4. Dublul produs vectorial�!d = �!a � (�!b � �!c ) este un vector

coplanar cu vectorii�!b si �!c si

�!d =

��!b �!c

�!a � �!b �!a � �!c:

��Demonstratie. Din de�nitie

�!d ?�!a ;�!d ?�!b ��!c . Dar si �!b ?�!b ��!c ; �!c ? �!b ��!c ,

deci�!d este coplanar cu

�!b si �!c . Egalitatea din enunt se demonstreaz¼a folosind

expresiile analitice ale produsului vectorial si ale produsului scalar. �

OBSERVATIE. Deoarece produsul vectorial nu este asociativ, este obligatoriee-xistenta parantezelor în expresia dublului produs vectorial. Spre exemplu, dac¼a�!a = �!

i +�!j ;�!b =

�!j +

�!k ; �!c = �!

k +�!i ; atunci �!a � (�!b � �!c ) = ��!i + �!j ; iar

(�!a ��!b )��!c = ��!i +�!k :

PROPOZITIA 4.5. Dac¼a �!a ;�!b ;�!c ;�!d 2 V3, atunci

(�!a ��!b ) � (�!c ��!d ) =�� !a � �!c �!a � �!d�!b � �!c �!

b � �!d

�� :Demonstratie. Fie �!v = �!c � �!d . Folosind propriet¼atile produsului mixt si

produsului scalar, rezult¼a:

(�!a ��!b ) � �!v = (�!v ��!a ) � �!b = ((�!c ��!d )��!a ) � �!b = [(�!a � �!c )�!d ��(�!a � �!d )�!c ] � �!b = (�!a � �!c )(�!b � �!d )� (�!a � �!d )(�!b � �!c ):�

DEFINITIE. Dac¼a �!a ;�!b ;�!c 2 V3, num¼arul real:��!a � �!a �!a � �!b �!a � �!c�!b � �!a �!

b � �!b �!b � �!c

�!c � �!a �!c � �!b �!c � �!c

��se numeste determinantul Gram al celor trei vectori.

PROPOZITIA 4.6. Vectorii �!a ;�!b ;�!c sunt coplanari dac¼a si numai dac¼a deter-minantul lor Gram este nul.

Demonstratie. Folosind expresiile analitice ale vectorilor �!a ;�!b ;�!c se arat¼a c¼adeterminantul Gram este egal cu (�!a ;�!b ;�!c )2. �


5. Probleme

1. Fie ABC un triunghi si M un punct variabil. S¼a se arate c¼a vectorul��!MA+ 2

��!MB � 3��!MC este constant.

2. Dac¼a O este punctul de intersectie al diagonalelor paralelogramului ABCD,iar M un punct oarecare, atunci

��!MA+

��!MB +

��!MC +

��!MD = 4

��!MO.

3. Fie AB si CD dou¼a coarde perpendiculare în cercul de centru O si I punctullor de intersectie. S¼a se arate c¼a

�!IA+

�!IB +

�!IC +

�!ID = 4

�!IO.

4. S¼a se arate c¼a G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, dac¼a sinumai dac¼a

�!GA+

��!GB +

��!GC =

�!0 . În plus, dac¼a M; N; P sunt mijloacele laturilor

triunghiului ABC, atunci triunghiurileMNP si ABC au acelasi centru de greutate.

5. Fie Ai, 1 � i � 6 mijloacele laturilor unui hexagon convex. S¼a se arate c¼a:a) se poate construi un triunghi cu segmentele [A1A2], [A3A4], [A5A6];b) triunghiurile A1A3A5 si A2A4A6 au acelasi centru de greutate.

6. Punctul C se a�¼a pe segmentul [AB] la3

5de B. Dac¼a M este un punct

oarecare, s¼a se exprime��!MC în functie de �!a = ��!MA si �!b = ��!MB.

7. Dac¼a punctele A1, B1, C1 împart segmentele [BC], [CA], [AB] respectiv înacelasi raport �, s¼a se arate c¼a segmentele [AA1], [BB1], [CC1] pot � laturile unuitriunghi.

8. Dac¼a AD este bisectoarea unghiului A a triunghiului ABC, D 2 (BC), iar

b, c sunt lungimile laturilor [BC] si [AB] ; atunci�!rD =b�!rB + c�!rCb+ c

.

9. Dac¼a a; b; c sunt lungimile laturilor [BC], [CA], respectiv [AB] ale unuitriunghi ABC, iar I centrul cercului înscris în triunghiul ABC, atunci are loc

a�!rA + b�!rB + c�!rC = (a+ b+ c)�!rI :

10. S¼a se demonstreze c¼a cele trei drepte care unesc mijloacele muchiilor opuseale unui tetraedru si cele patru drepte care unesc �ecare vârf cu centrul de greutateal fetei opuse sunt concurente.

11. Fie A si B dou¼a puncte distincte. Determinati multimea punctelor Mpentru care exist¼a t 2 R astfel încât �!rM = t�!rA+(1 + t)�!rB . Caz particular t 2 [0; 1].

12. Punctele C1, A1, B1 împart laturile [AB], [BC] respectiv [CA] în rapoartele�, �, respectiv �. Punctele A1, B1, C1 sunt coliniare dac¼a si numai dac¼a �� = 1(teorema lui Menelaus).

13. Se dau punctele A (2;�3; 4), B (3; 2;�1), C (0; 1;�2). S¼a se determine unpunct D astfel încât ABCD s¼a �e paralelogram.

14. a) S¼a se arate c¼a punctele A (1; 5;�2), B (9;�1; 22), C (�3; 8;�14) suntcoliniare;

b) Pentru ce valoare a lui � punctele A, B si D (�7; 11;�2 + 12�) sunt coli-niare?

c) Punctele A, B si E (�7; 5� 2�;�2 + 12�) pot � coliniare?

5. PROBLEME 23

15. S¼a se determine � astfel încât vectorii �!a =�!i + 2

�!j + 4

�!k ,

�!b =

�!i +

+(�� 1)�!j + (6� �)�!k , �!c = 2�!i � ��!j + (�+ 4)�!k s¼a �e coplanari. Pentru

� =20

9s¼a se descompun¼a vectorul �!a dup¼a directiile lui

�!b si �!c .

16. Fie �!m, �!n , �!p trei vectori necoplanari.a) Sunt coplanari vectorii �!u = �!m + �!n + �!p , �!v = �!m + 2�!n � 3�!p , �!w =

= �!m + 4�!n + 9�!p ?b) S¼a se descompun¼a vectorul �!a = 2�!m + 7�!n + 21�!p dup¼a directiile vectorilor

�!u , �!v , �!w .

17. Fie �!a , �!b vectori nenuli. S¼a se arate c¼a vectorii �!a +�!b si �!a � �!b sunt

ortogonali dac¼a si numai dac¼a k�!a k = k�!b k.

18. S¼a se arate c¼a vectorii �!u = (�!a ��!b ) ��!c � (�!a ��!c ) ��!b si �!a sunt ortogonali.

19. Dac¼a �!u si �!v sunt doi versori ortogonali, atunci vectorii �!a = ��!u � �!v si�!b = �!u + ��!v sunt ortogonali.

20. S¼a se interpreteze geometric egalitatea k�!a +�!b k2 = k�!a ��!b k2 = k�!a k2+

+k�!b k2.

21. S¼a se arate c¼a k�!a +�!b k2 + k�!a � �!b k2 = 2(k�!a k2 + k�!b k2). Interpretare

geometric¼a.

22. Dac¼a G este baricentrul sistemului de puncte materiale (M1;M2; :::;Mn)re-lativ la sistemul de ponderi (m1;m2; :::;mn), iarM un punct arbitrar, s¼a se arate

c¼anPi=1

mik��!MMik2 = k

��!MGk2

nPi=1

mi +nPi=1

mik��!GMik2 (Stewart).

23. S¼a se calculeze rezultanta fortelor�!F1 = 2

�!m+3�!n +�!p , �!F2 = �!m�3�!n , dac¼ak�!mk = 1, k�!p k = 2, ](�!m;�!p ) = �

3.

24. Dac¼a k�!a k = k�!b k = k�!c k = 1 si �!a + �!b + �!c =�!0 , s¼a se calculeze

�!a �!b +�!b �!c +�!a �!c .

25. Fie vectorii �!m si �!n , unde k�!mk = 2, k�!n k =p2, ](�!m;�!n ) = �

4. S¼a se

determine � astfel ca vectorii �!a = 2�!m � 3�!n si�!b = ��!m +�!n s¼a �e ortogonali.

26. Pentru ce valoare a lui �, vectorii �!u =�!i + 2

�!j + (�� 1)�!k , �!v =

= 2�!i ��!j + 3�!k sunt ortogonali?

27. Fie vectorii �!u = 2�!a � �!b , �!v = �3�!a + 2�!b , unde k�!a k = 3, k�!b k = 4,iar �!a si �!b sunt ortogonali. S¼a se calculeze lungimile diagonalelor paralelogramuluiconstruit pe vectorii �!u si �!v si unghiul dintre ele.

28. Se dau punctele A (1;�1; 1), B (2;�1;�1), C (0; 2; 4). S¼a se calculezeperime-trul si unghiurile triunghiului ABC:

29. Se dau punctele A (12;�4; 3), B (3; 12;�4), C (2; 3;�4). S¼a se arate c¼a:a) triunghiul AOB este isoscel;b) triunghiul AOC este dreptunghic;c) s¼a se calculeze perimetrul triunghiului ABC.


30. S¼a se determine un vector de norm¼a 26 situat în planul xOy, care s¼a �eperpendicular pe vectorul �!a = 12�!i + 5�!j � 7�!k .

31. Se consider¼a vectorii �!a = 2�!i +5�!j �7�!k ,�!b =

�!i +

�!j +

�!k . S¼a se calculeze

unghiul dintre vectorii �!a si �!b , precum si pr�!a��!b�!b .

32. S¼a se determine un versor al bisectoarei unghiului C al triunghiului ABC,unde A (0; 1; 1), B (�1; 1; 2), C (1; 2; 3).

33. S¼a se arate c¼a punctele A (�4; 0; 1), B (0; 1; 1), C (4; 4; 0), D (4; 6;�1) suntcoplanari. S¼a se calculeze aria patrulaterului ABCD.

34. S¼a se calculeze (�!a +�!b )� (�!b ��!a ). Interpretare geometric¼a.

35. S¼a se arate c¼a în orice triunghi ABC are loc��!AB � ��!BC =

��!BC � �!CA =

=�!CA��!AB.36. S¼a se calculeze aria si lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe

vectorii �!u = �!a �2�!b , �!v = 2�!a +3�!b , stiind c¼a k�!a k = 4, k�!b k = 5, ](�!a ;�!b ) = �

3.

37. S¼a se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii �!a = �!i + 2�!j ��!k , �!b = 2�!i ��!j +�!k . S¼a se determine un versor perpendicular pe cei doi vectori.

38. Fie vectorii necoliniari �!u si �!v . Pentru ce valoare a lui � vectorii �!a =

= ��!u � 2�!v , �!b = 2�!u +�!v sunt coliniari?39. Se dau punctele A (�1; 2; 0), B (1; 1; 1), C (2; 3; 4). S¼a se calculeze aria

triunghiului ABC si lungimea în¼altimii din C pe AB.

40. Fie vectorii �!a =�!i � �!j + �!k , �!b = �!

i + 2�!j +

�!k . S¼a se determine un

vector �!v astfel încât �!v ��!a = �!b .

41. S¼a se determine volumul paralelipipedului construit pe vectorii �!a ,�!b , �!c ,

unde �!a = �!m+2�!n +�!p , �!b = 2�!m+3�!n +3�!p , �!c = 3�!m+7�!n +�!p , unde k�!mk = 1,k�!n k = 2

p2, k�!p k = 2

p3, ](�!n ;�!p ) = �

3, iar unghiul dintre vectorul �!m si planul

determinat de vectorii �!n si �!p are m¼asura �4.

42. S¼a se arate c¼a vectorii �!m = �!a + 2�!b + �!c , �!n = �!a + �!b � �!c , �!p =

= �!a + 3�!b + 3�!c sunt coplanari.

43. S¼a se arate c¼a vectorii �!a = �!i +

�!j +

�!k ,�!b =

�!i +

�!j + 2

�!k , �!c = �!

i +

+2�!j + 3

�!k nu sunt coplanari. S¼a se descompun¼a vectorul �!v = 6�!i + 9�!j + 14

�!k

dup¼a directiile vectorilor �!a ,�!b , �!c .

44. Se dau vectorii �!a = 2�!i +�!j �3�!k , �!b = 3�!i +2�!j �5�!k , �!c = = �!i ��!j +�!k .Se cere:

a) volumul paralelipipedului construit pe vectorii �!a , �!b , �!c ;b) lungimea în¼altimii paralelipipedului pe baza determinat¼a de �!a si

�!b .

45. Se dau punctele A (3; 1; 4), B (5; 2; 1), C (1; 1;�6), D (1; 2; 3). S¼a se cal-culeze volumul tetraedrului ABCD si lungimea în¼altimii din B pe planul ACDaacestui tetraedru.

5. PROBLEME 25

46. S¼a se determine � astfel încât volumul paralelipipedului construit pe vectorii�!a = 2�!i � 3�!j +�!k , �!b = �!i +�!j � 2�!k , �!c = ��!i + 2�!j s¼a �e 10.

47. S¼a se determine � astfel încât vectorii �!a = �!i + ��!j � 4�!k ,�!b = (� � 1)�

��!j +�!k , �!c = �!i + 4�!j � 2�!k s¼a �e coplanari. Pentru � = 2 s¼a se descompun¼a �!adup¼a directiile vectorilor

�!b si �!c .

48. S¼a se arate c¼a �!a � (�!b ��!c ) +�!b � (�!c ��!a ) +�!c � (�!a ��!b ) = �!0 .

49. S¼a se arate c¼a (�!a ��!b ;�!b ��!c ;�!c ��!a ) = (�!a ;�!b ;�!c )2.

CHAPTER 2

Spatii vectoriale

Notiunea de spatiu vectorial este una din notiunile cele mai importante înmatematic¼a si în aplicatiile acesteia în alte stiinte. În �zic¼a si în stiintele ingineresti,spatiile vectoriale constituie un aparat indispensabil pentru a reprezenta anumitem¼arimi: forte, viteze, starea unui sistem în mecanica cuantic¼a etc.

1. De�nitia unui spatiu vectorial. Exemple

În cele ce urmeaz¼a vom nota cuK, �e corpul numerelor complexe (C), �e corpulnumerelor reale (R).

DEFINITIE. O multime nevid¼a V se numeste spatiu vectorial (sau liniar) pestecorpul K dac¼a este înzestrat¼a cu dou¼a legi de compozitie: una intern¼a, notat¼aaditiv, (x; y)! x+ y (deci o aplicatie a produsului cartezian V � V în V ) si unaextern¼a, notat¼a multiplicativ (�; x) ! �x (deci o aplicatie a produsului cartezianK � V în V ), cu urm¼atoarele propriet¼ati:

1) x+ y = y + x; 8x; y 2 V ;2) (x+ y) + z = x+ (y + z); 8x; y; z 2 V ;3) exist¼a un element 0V astfel încât x+ 0V = x; 8x 2 V ;4) pentru orice x 2 V exist¼a un element x

0 2 V astfel încât x+ x0= 0V ;

5) 1 � x = x; 8x 2 V ;6) �(�x) = (��)x; 8�; � 2 K; 8x 2 V ;7) (�+ �)x = �x+ �x; 8�; � 2 K; 8x 2 V ;8) �(x+ y) = �x+ �y; 8� 2 K; 8x; y 2 V .Adesea, în loc de spatiu vectorial peste corpul K vom spune, simplu, K-spatiu

vectorial. Când K = R, V se numeste spatiu vectorial real, iar când K = C, V senumeste spatiu vectorial complex.

Elementele lui V se numesc vectori, iar cele din K se numesc scalari. Vom nota,în general, vectorii cu litere latine, iar scalarii prin litere grecesti.

Propriet¼atile 1)-4) spun c¼a (V;+) este grup comutativ. Vectorul 0V din 3) esteunic si se numeste vector nul al spatiului V . De asemenea, pentru orice x 2 V ,elementul x

0care intervine în 4) este unic, se numeste opusul lui x si se noteaz¼a

�x. Suma dintre vectorul x si opusul vectorului y se noteaz¼a x � y si se numestediferenta dintre x si y.

PROPOZITIA 1.1. (Reguli de calcul într-un spatiu vectorial).a) �(x� y) = �x� �y; 8x; y 2 V; 8� 2 K;b) � � 0V = 0V ; 8� 2 K;c) (�� )x = �x� �x; 8x 2 V; 8�; � 2 K;d) 0 � x = 0V ; 8x 2 V ;e) (��)x = � (�x) = � (�x) ; 8x 2 V; 8� 2 K;

27

28 2. SPATII VECTORIALE

f) dac¼a x 2 V si � 2 K, atunci �x = 0V () � = 0 sau x = 0V .

Demonstratie. a) �(x� y) + �y = �[(x� y) + y] = �x: b) În a) se ia x = y.c) (�� )x+ �x = [(�� ) + �]x = �x. d) În c) se ia � = �.e) �x + � (�x) = � (x� x) = �0V = 0V . �x + (��)x = [� + (��)]x =

= (�� )x = 0 � x = 0V . f) Conform b) si d), � � 0V = 0 � x = 0V . Reciproc, dac¼a�x = 0V si � 6= 0, atunci exist¼a ��1 (K �ind corp), deci ��1 (�x) = ��1 �0V = 0V .Dar ��1 (�x) = =

��1 � �

�x = 1 � x = x, deci x = 0V . �

EXEMPLE. 1) Multimea vectorilor liberi din spatiu sau din plan, notat¼a V3respectiv V2 (cap.1), este un R-spatiu vectorial în raport cu adunarea vectorilorliberi si înmultirea cu un scalar a unui vector liber(prop. 2.1, 2.2, cap. 1).

2) Fie n 2 N� si Kn = K �K � ::: �K =�(x1; x2; :::; xn) ;xi 2 K; i = 1; n

.

Dac¼a x = (x1; :::; xn) 2 Kn; y = (y1; :::; yn) 2 Kn si � 2 K, de�nim:x+ y = (x1 + y1; :::; xn + yn); �x = (�x1; :::; �xn) :

De exemplu, în R2, (2;�3)+ (0; 3) = (2; 0); (�5)(1;�2) = (�5; 10). De aseme-nea, în R3, (1; 2;�2) + (�2; 0; 1) = (�1; 2;�1); 3(1; 2; 0) = (3; 6; 0). Înzestrat cucele dou¼a legi de compozitie Kn este un K-spatiu vectorial. Vectorul nul este 0 =(0; 0; :::; 0), iar opusul vectorului x = (x1; :::; xn) este vectorul �x = (�x1; :::;�xn).Propriet¼atile 1)-8) se veri�c¼a imediat. Astfel se poate organiza Rn ca R-spatiuvectorial, iar Cn ca C-spatiu vectorial. Elementele lui Kn se numesc vectori (linie)n-dimensionali, iar Kn se numeste spatiu aritmetic cu n dimensiuni. În particularRn se numeste spatiu aritmetic real cu n dimensiuni.

În unele aplicatii este avantajos s¼a d¼am vectorii lui Kn sub form¼a de coloane

x =

0BBBB@x1x2::xn

1CCCCA ; xi 2 K; i = 1; n:În acest caz Kn va � numit spatiul vectorilor coloan¼a n-dimensionali.3) Multimea matricelor cu m linii si n coloane cu coe�cientii în K, notat¼a

Mm;n (K), poate � înzestrat¼a cu o structur¼a de K-spatiu vectorial, cele dou¼a oper-atii �ind adunarea matricelor si înmultirea cu un scalar a unei matrice.

4) Fie R [X] multimea polinoamelor în nedeterminata X cu coe�cienti în R.În raport cu adunarea polinoamelor si înmultirea unui polinom cu un scalar, R [X]este un R-spatiu vectorial.

5) Fie M o multime oarecare, V un K-spatiu vectorial siF (M;V ) = ff ; f :M ! V g: Dac¼a f; g 2 F (M;V ) si � 2 K, de�nim

(f + g) (x) = f (x) + g (x) ; 8x 2M; (�f) (x) = �f (x) ; 8x 2M:Se veri�c¼a usor c¼a F (M;V ) înzestrat cu cele dou¼a legi de compozitie este un

K-spatiu vectorial.

2. Subspatii vectoriale. Operatii cu subspatii vectoriale

DEFINITIE. Fie V un K-spatiu vectorial. O submultime nevid¼a S � V senumeste subspatiu vectorial dac¼a:

1) x; y 2 S ) x+ y 2 S;2) x 2 S; � 2 K ) �x 2 S.

2. SUBSPATII VECTORIALE. OPERATII CU SUBSPATII VECTORIALE 29

Multimea S înzestrat¼a cu legile induse de (x; y)! x+ y si (x; y)! �x este unK-spatiu vectorial.

PROPOZITIA 2.1. (Criteriul subspatiului). S � V este subspatiu vectorial() 8x; y 2 S si �; � 2 K ) �x+ �y 2 S.

EXEMPLE. 1) Multimea f0V g este un subspatiu vectorial al lui V numit sub-spatiu nul, iar V se numeste subspatiu total. f0V g este cel mai mic (fat¼a de incluzi-une) subspatiu posibil al lui V , iar V cel mai mare subspatiu posibil al lui V . Celedou¼a subspatii se numesc improprii sau triviale. Orice subspatiu diferit de acestedou¼a subspatii se numeste subspatiu propriu.

2) În Kn consider¼am, pentru orice 1 � i � n, multimileSi = fx 2 Kn;x = (x1; :::; xi�1; 0K ; xi+1; :::; xn)g :

Se veri�c¼a usor c¼a Si este subspatiu vectorial al lui Kn, pentru orice indice i;1 � i � n. Mai general, �e m 2 N;m � n. Submultimea S � Kn format¼a din totivectorii ce au pe m componente �xate elementul 0K , este un subspatiu vectorial allui Kn.

3) Fie n 2 N�. Multimea Rn [X] a polinoamelor în nedeterminata X, cu coe�-cienti în R, de grad � n, este un subspatiu vectorial al lui R [X]. Într-adev¼ar, dac¼af; g 2 Rn [X] si �; � 2 R, atunci grad(�f +�g) � max(grad f; grad g), deci Rn [X]este un subspatiu vectorial al lui R [X].

4) Fie a; b 2 R, a < b. Submultimea C([a; b];R) � F([a; b];R), C([a; b];R) == ff : [a; b]! R; f continu¼ag este un subspatiu vectorial al lui F([a; b];R).

PROPOZITIA 2.2. Dac¼a V1 si V2 sunt dou¼a subspatii vectoriale ale lui V ,atunci V1 \ V2 este un subspatiu vectorial al lui V .

Demonstratie. De remarcat c¼a V1\V2 6= �, deoarece 0V 2 V1\V2. De asemeneadac¼a x; y 2 V1 \ V2, atunci x; y 2 Vi; i = 1; 2, deci �x+ �y 2 Vi; i = 1; 2;8�; � 2 K,deoarece Vi sunt subspatii vectoriale. În consecint¼a, �x+ �y 2 V1 \ V2. �

OBSERVATIE. În general, orice intersectie de subspatii vectoriale este un sub-spatiu vectorial.

Fie acum M o submultime a unui K-spatiu vectorial V . Exist¼a subspatii vec-toriale ale lui V care contin submultimea M (spre exemplu V însusi). Intersectiaacestor subspatii vectoriale este cel mai mic subspatiu vectorial (în raport cu in-cluziunea) care contine M .

DEFINITIE. Se numeste subspatiu vectorial generat de M si se noteaz¼a Sp (M)intersectia tuturor subspatiilor vectoriale ale lui V care contin M . Multimea Mse numeste sistem de generatori pentru Sp (M). Prin conventie, vom considera c¼aSp (�) = f0V g.

DEFINITIE. Dac¼a V1, V2 sunt dou¼a subspatii vectoriale ale lui V , de�nim sumasubspatiilor V1 si V2, notat¼a V1 + V2, ca �ind:

V1 + V2 = fx 2 V ; x = x1 + x2; x1 2 V1; x2 2 V2g:Analog se poate de�ni:

V1 + V2 + :::+ Vn = fx 2 V ; x = x1 + :::+ xn; xi 2 Vi; i = 1; ng:OBSERVATIE. În general, reuniunea a dou¼a subspatii vectoriale ale unui spatiu

vectorial nu este subspatiu vectorial. De exemplu, multimile V1 = f(x; 0) ;


x 2 Rg � R2; V2 = f(0; y); y 2 Rg � R2 sunt subspatii vectoriale ale lui R2;dar reuniunea lor nu este subspatiu vectorial al lui R2, deoarece (1; 0) 2 V1 si(0; 1) 2 V2, dar (1; 0) + (0; 1) = (1; 1) =2 V1 [ V2. Dac¼a V1 � V2 sau V2 � V1 atunciV1 [ V2 este subspatiu vectorial al lui V si în acest caz V1 [ V2 = V2 respectivV1 [ V2 = V1.

PROPOZITIA 2.3. Dac¼a V1; V2 sunt subspatii vectoriale ale lui V , atunci:a) V1 + V2 este subspatiu vectorial al lui V ;b) V1 + V2 = Sp (V1 [ V2).

Demonstratie. a) Este clar c¼a 0V 2 V1 + V2, deci V1 + V2 6= �. Fie acumx; y 2 V1 + V2. Atunci x = x1 + x2, y = y1 + y2 cu x1; y1 2 V1 si x2; y2 2 V2. Dac¼a�; � 2 K atunci �x+ �y = (�x1 + �y1) + (�x2 + �y2). Cum V1; V2 sunt subspatiivectoriale, rezult¼a c¼a �xi+�yi 2 Vi; i = 1; 2, deci �x+�y 2 V1+V2. În consecint¼aV1 + V2 este un subspatiu vectorial.

b) Vom ar¼ata mai întâi c¼a V1+V2 � Sp (V1 [ V2). Fie x 2 V1+V2 si S un spatiuvectorial ce contine V1 [V2. Atunci x = x1+x2 cu x1 2 V1; x2 2 V2. În consecint¼axi 2 S; i = 1; 2 deci x 2 S. Asadar x este în intersectia tuturor subspatiilorcare contin V1 [ V2, adic¼a x 2 Sp (V1 [ V2). S¼a ar¼at¼am acum incluziunea invers¼a,Sp (V1 [ V2) � V1+V2. Conform a), V1+V2 este un subspatiu vectorial. A�rmatiarezult¼a dac¼a ar¼at¼am V1 [ V2 � V1 + V2. Aceasta este imediat¼a, deoarece dac¼ax1 2 V1, atunci x1 = x1 +0V 2 V1 + V2, adic¼a V1 � V1 + V2. Similar V2 � V1 + V2,deci V1 [ V2 � V1 + V2. �

OBSERVATIE. Dac¼a x 2 V1 + V2, atunci x = x1 + x2 cu xi 2 Vi, i = 1; 2.Nu înseamn¼a c¼a vectorii x1; x2 sunt unici (Construiti un exemplu!). Suntem decicondusi la examinarea conditiilor în care descompunerea este unic¼a.

DEFINITIE. Suma subspatiilor vectoriale V1 si V2 se numeste direct¼a si senoteaz¼a V1 � V2, dac¼a orice vectorx 2 V1 + V2 se scrie în mod unic sub formax = x1+x2, cu xi 2 Vi; i = 1; 2. Mai general, suma subspatiilor vectoriale V1; :::; Vneste direct¼a si se noteaz¼a V1 � :::� Vn, dac¼a orice x 2 V1 + :::+ Vn se scrie în modunic sub forma x = x1 + x2 + :::+ xn, cu xi 2 Vi, 8i = 1; n.

PROPOZITIA 2.4. Fie V1; V2 subspatii vectoriale ale unui spatiu vectorial V .Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:

a) Suma V1 + V2 este direct¼a;b) V1 \ V2 = f0V g.

Demonstratie. a))b) Fie y 2 V1 \ V2. Atunci 0V = 0V + 0V 2 V1 + V2 si0V = y + (�y). Cum suma este direct¼a, scrierea �ind unic¼a, rezult¼a y = 0V , deciV1 \ V2 = f0V g.

b))a) Dac¼a x = x1+x2, x0= x

0

1+x0

2, cu xi; x0

i 2 Vi, i = 1; 2 atunci x1�x0

1 =

x0

2 � x2. Dar x1 � x0

1 2 V1, x0

2 � x2 2 V2, iar V1 \ V2 = f0V g, deci x1 � x0

1 =

x0

2 � x2 = 0V . În consecint¼a x1 = x0

1 si x2 = x0

2, deci scrierea este unic¼a. �

DEFINITIE. Se spune c¼a dou¼a subspatii vectoriale V1, V2 ale unui subspatiuvectorial V sunt suplementare în V , dac¼a V = V1 � V2.

EXEMPLE. 1) Fie V1 = f(x; 0) ; x 2 Rg, V2 = f(0; x) ; x 2 Rg, V3 = f(x; x) ;x 2 Rg. V1; V2; V3 sunt subspatii vectoriale ale lui R2. Atunci R2 = V1 � V2 = =V1�V3 = V2�V3. Vom ar¼ata, de exemplu, c¼a R2 = V1�V3. Fie x; y 2 R2. Atunci

3. COMBINATII LINIARE. SISTEME DE GENERATORI. DEPENDENT ¼A SI INDEPENDENT ¼A LINIAR ¼A31

(x; y) = (x � y; 0) + (y; y), deci (x; y) 2 V1 + V3. Fie acum (x; y) 2 V1 \ V3. Cum(x; y) 2 V1, rezult¼a y = 0, iar din (x; y) 2 V3, rezult¼a x = y = 0, deci (x; y) = (0; 0).

2) Fie D � R, o multime simetric¼a fat¼a de origine (adic¼a x 2 D ) �x 2 D),V = F (D;R) (ex. 5, §1), V1 multimea functiilor pare din V si V2 multimea functiilorimpare din V . Atunci V1 si V2 sunt subspatii vectoriale suplementare în V . Într-adev¼ar, orice functie f se scrie în mod unic sub forma f (x) = h (x) + g (x), unde

h (x) =f (x) + f (�x)

22 V1 si g (x) =

f (x)� f (�x)2

2 V2.

3. Combinatii liniare. Sisteme de generatori. Dependent¼a siindependent¼a liniar¼a

Fie V un K-spatiu vectorial. Orice parte �nit¼a a lui V se numeste sistem devectori sau familie �nit¼a de vectori din V .

DEFINITIE. Fie fx1; :::; xng un sistem �nit de n vectori din V . Se numestecombinatie liniar¼a a vectorilor x1; :::; xn orice vector x 2 V , de forma x = �1x1++:::+ �nxn, unde �1; �2; :::; �n 2 K si se numesc coe�cientii combinatiei liniare.

EXEMPLU. În Rn (n � 2), consider¼am vectorii

e1 = (1; 0; :::; 0) ; e2 = (0; 1; 0; :::; 0) ; :::; en = (0; :::; 0; 1) :

Orice vector x = (x1; :::; xn) 2 Rn este combinatie liniar¼a de e1; e2; :::; en,deoarece

(x1; :::; xn) = (x1; 0; :::; 0) + (0; x2; 0; :::; 0) + :::+ (0; :::; xn) == x1e1 + x2e2 + :::+ xnen:

În particular pentru n = 2, e1 = (1; 0); e2 = (0; 1) si (2;�3) = 2e1 � 3e2:Fie acum o submultime nevid¼a M � V .

DEFINITIE. Se numeste combinatie liniar¼a a vectorilor din M , orice vectorx 2 V cu proprietatea urm¼atoare: exist¼a n 2 N�, o familie �nit¼a de vectorifx1; :::; xng �M si scalarii �1; �2; :::; �n 2 K astfel încât x = �1x1 + :::+ �nxn.

TEOREMA 3.1. Fie V un K-spatiu vectorial si M o submultime nevid¼a a lui V .Atunci subspatiul vectorial generat de M coincide cu multimea tuturor combinatiilorliniare ale vectorilor din M .

Demonstratie. Fie M0multimea combinatiilor liniare ale vectorilor din M .

Vom ar¼ata mai întâi c¼a M0este subspatiu vectorial al lui V care contine M , deci

Sp (M) � M0. Dac¼a x 2 M , atunci 0V = x � x 2 M 0

, deci M0 6= �. Fie acum

x = �1x1 + ::: + �nxn; y = �1y1 + ::: + �mym doi vectori din M0si �; � 2 K.

Atunci �x + �y = ��x1 + ::: + ��nxn + ��1y1 + ::: + ��mym este o combinatieliniar¼a a vectorilor x1; :::; xn; y1; :::; ym din M , deci �x+ �y 2M 0

si, în consecint¼a,M

0este subspatiu vectorial al lui V . În plus M � M

0, deoarece pentru orice

x 2M;x = 1 � x 2M 0. Pentru incluziunea invers¼a, s¼a remarc¼am c¼a dac¼a S este un

subspatiu vectorial al lui V ce contine M , atunci S contine multimea combinatiilorliniare ale vectorilor din M , deci M

0 � S. Prin urmare M 0 � Sp (M). �COROLAR 3.1.1. Fie V unK-spatiu vectorial si x1; :::; xn 2 V . Subspatiul

vectorial generat de fx1; :::; xng este multimea combinatiilor liniare cu vectoriix1; x2; :::; xn.


În particular, pentru orice vector nenul x 2 V , subspatiul generat de fxg estemultimea f�x;� 2 Kg numit¼a dreapta vectorial¼a generat¼a de x. De asemenea, dac¼ax 6= 0V si y 2 f�x;� 2 Kg, subspatiul generat de vectorii x; y 2 V este multimeaf�x+ �y;�; � 2 Kg numit¼a plan vectorial generat de x si y.

DEFINITIE. Se spune c¼a vectorii x1; :::; xn din V formeaz¼a un sistem de gene-ratori pentru V , dac¼a subspatiul vectorial generat de fx1; :::; xng coincide cu V ,adic¼a pentru orice x 2 V exist¼a �1; :::; �n 2 K astfel ca x = �1x1 + :::+ �nxn.

EXEMPLE. 1) În Rn [X], vectorii 1; X; :::;Xn constituie un sistem de generatori.2) În R3, vectorii v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 = (0; 0; 1) formeaz¼a un sistem

de generatori. Într-adev¼ar, �e x 2 R3; x = (x1; x2; x3). Trebuie s¼a ar¼at¼am c¼aputem determina �1; �2; �3 astfel încât x = �1v1 + �2v2 + �3v3. Aceast¼a relatiese mai scrie (x1; x2; x3) = (�1; �1 + �2; �1 + �2 + �3), de unde �1 = x1; �1 + �2 == x2; �1 + �2 + �3 = x3. Rezult¼a �1 = x1; �2 = x2 � x2; �3 = x3 � x2, deciv1; v2; v3 formeaz¼a un sistem de generatori în R3.

DEFINITIE. Vom spune c¼a vectorii x1; :::; xn din V sunt liniar independenti(sau c¼a familia fx1; :::; xng este liber¼a) dac¼a din �1x1 + ::: + �nxn = 0V rezult¼a�1 = �2 = ::: = �n = 0. Vom spune c¼a vectorii x1; :::; xn din V sunt liniardependenti (sau c¼a familia fx1; :::; xng este legat¼a) dac¼a exist¼a scalarii �1; :::; �n nutoti nuli astfel încât �1x1 + :::+ �nxn = 0V . O familie in�nit¼a de vectori din V senumeste liniar independent¼a sau liber¼a dac¼a orice submultime �nit¼a a sa este liniarindependent¼a.

OBSERVATII. 1) Orice subfamilie a unei familii libere este o familie liber¼a.2) Elementele unei familii libere sunt nenule.3) Orice suprafamilie a unei familii legate este o familie legat¼a.

EXEMPLE. 1) În Rn [X], familia f1; X; :::;Xng este liniar independent¼a, deoa-rece orice polinom nul are toti coe�cientii nuli.

2) În Rn, vectorii e1 = (1; 0; :::; 0) ; e2 = (0; 1; 0; :::; 0) ; :::; en = (0; :::; 0; 1) suntliniar independenti, deoarece din �1e1+ :::+�nen = 0 se obtine �1 = ::: = �n = 0.

3) În R3, vectorii x1 = (1; 0; 0) ; x2 = (0; 1; 1) ; x3 = (1; 1; 1) sunt liniar depen-denti deoarece x1 + x2 � x3 = 0.

4) În Mm;n (R), matricele Eij ; i = 1;m; j = 1; n date de

Eij =

0BBBB@0 ::: 0 ::: 0::: ::: ::: ::: :::0 ::: 1 ::: 0::: ::: ::: ::: :::0 ::: 0 ::: 0

1CCCCA! i

#j

sunt liniar independente.5) În R3, vectorii v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 = (0; 0; 1) sunt liniar inde-

pendenti. Într-adev¼ar, dac¼a �1; �2; �3 2 R satisfac �1v2 + �2v2 + �3v3 = (0; 0; 0),atunci �1 = 0; �1 + �2 = 0; �1 + �2 + �3 = 0, de unde �1 = �2 = �3 = 0.

PROPOZITIA 3.1. Fie V un K-spatiu vectorial si x1; :::; xn vectori în V .Pentru ca familia fx1; :::; xng s¼a �e legat¼a este necesar si su�cient ca unul dintrevectorii xi s¼a �e combinatie liniar¼a de ceilalti.

4. BAZ ¼A. DIMENSIUNE 33

Demonstratie. Dac¼a familia fx1; :::; xng este legat¼a, atunci exist¼a scalarii �1;:::; �n nu toti nuli astfel ca �1x1 + ::: + �nxn = 0V . Dac¼a, de exemplu, �1 6= 0,atunci x1 = ��11 �2x2� :::��11 �nxn, deci xi este combinatie liniar¼a de x2; :::; xn:Reciproc, dac¼a, de exemplu, x1 = �2x2 + :::+�nxn, �2; :::; �n 2 K, atunci 1 � x1 +(��2)x2+ :::+(��n)xn = 0V , ceea ce arat¼a c¼a familia fx1; x2; :::; xng este legat¼a,deoarece coe�cientul lui x1 este 1, deci nenul. �

4. Baz¼a. Dimensiune

Familiile de vectori care sunt simultan sisteme de generatori si familii libere vorjuca un rol fundamental în ceea ce urmeaz¼a.

DEFINITIE. Fie V un K-spatiu vectorial. Se spune c¼a familia fe1; :::; eng devectori din V este o baz¼a în V dac¼a vectorii e1; :::; en sunt liniar independenti sigenereaz¼a V .

TEOREMA 4.1. Familia F = fe1; :::; eng este baz¼a în V dac¼a si numai dac¼aorice vector x 2 V se exprim¼a în mod unic ca o combinatie liniar¼a de vectoriie1; :::; en.

Demonstratie. Necesitatea. Familia F �ind baz¼a în V , exist¼a �1; :::; �n 2 Kastfel încât x = �1e1 + ::: + �nen. Dac¼a ar exista �1; :::; �n 2 K astfel ca x =�1e1+:::+�nen, atunci (�1��1)e1+:::+(�n��n)en = 0V . Familia fe1; :::; eng �indliber¼a, rezult¼a �1 � �1 = �2 � �2 = ::: = �n � �n = 0, adic¼a �1 = �1; :::; �n = �n,deci scrierea lui x ca o combinatie liniar¼a de e1; e2; :::; en este unic¼a.

Su�cienta. Cum orice vector x 2 V se scrie în mod unic ca o combinatie liniar¼ade e1; e2; :::; en, rezult¼a c¼a familia fe1; :::; eng genereaz¼a V . Fie acum �1; :::; �n 2 Kastfel încât �1e1+:::+�nen = 0V . Cum 0�e1+:::+0�en = 0V si scrierea elementuluinul este unic¼a, rezult¼a �1 = �2 = ::: = �n = 0, adic¼a familia fe1; :::; eng este liber¼a,deci este baz¼a în V . �

DEFINITIE. Fie V unK-spatiu vectorial si B = fe1; :::; eng o baz¼a în V . Atuncipentru orice x 2 V exist¼a o familie unic¼a de scalari din K, f�1; :::; �ng astfel încâtx = �1e1 + :::+ �nen. Scalarii �1; :::; �n se numesc coordonatele sau componentelelui x în raport cu baza B :

Este evident¼a

TEOREMA 4.2. Dac¼a B = fe1; :::; eng este baz¼a în V si x = x1e1 + :::+ xnen,y = y1e1 + :::+ ynen, atunci

x+ y = (x1 + y1)e1 + :::+ (xn + yn)en; �x = �x1e1 + :::+ �xnen; � 2 K:�x = �x1e1 + :::+ �xnen; � 2 K:

COMENTARIU. Teorema scoate în evident¼a importanta notiunii de baz¼a. Ope-ratiile de�nite în mod abstract într-un spatiu vectorial devin operatii uzuale cunumere si anume cu coordonatele vectorilor relativ la acea baz¼a:

DEFINITIE. Spunem c¼a spatiul vectorial V este de dimensiune n sau n-dimen-sional si se noteaz¼a dimKV = n dac¼a exist¼a în V n vectori liniar independentisi orice n + 1 vectori sunt liniar dependenti. În acest caz spatiul se numeste �nit-dimensional. Spatiul vectorial care contine o familie liber¼a in�nit¼a se numestein�nit-dimensional.

Deoarece orice sistem de n + 1 vectori este legat rezult¼a c¼a toate sistemele devectori care contin mai mult de n vectori este legat. În consecint¼a dimensiunea


unui spatiu vectorial este num¼arul maxim de vectori liniar independenti din acestspatiu vectorial.

TEOREMA 4.3. Într-un spatiu vectorial V de dimensiune n exist¼a o baz¼aformat¼a din n vectori; mai mult, orice sistem de n vectori liniar independenti dinV constituie o baz¼a a lui V .

Demonstratie. Cum V este de dimensiune n, exist¼a un sistem de vectori liniarindependenti, S = fe1; e2; :::; eng. Vom ar¼ata c¼a S este sistem de generatori, decibaz¼a a lui V . Fie x 2 V . Vectorii x; e1; e2; :::; en sunt liniar dependenti, deciexist¼a �; �1; �2; :::; �n 2 K, nu toti nuli astfel încât �x + �1e1 + ::: + �nen = 0V .Atunci � 6= 0, deoarece în caz contrar, S ar � liniar dependent. În consecint¼ax = ��1(�1e1 + :::+ �nen), deci S este sistem de generatori. �

TEOREMA 4.4. Dac¼a B = fe1; :::; eng este baz¼a în V , atunci dimKV = n.

Demonstratie. Evident în V exist¼a n vectori liniar independenti. Fie S == fx1; :::; xn; xn+1g un sistem format din n + 1 vectori. Presupunem prin absurdc¼a S este liber. Atunci x1 = �1e1 + �2e2 + ::: + �nen. Cum x1 6= 0V rezult¼a c¼a�1; �2; :::; �n nu sunt toti nuli. Renumerotând eventual elementele lui B, putempresupune c¼a �1 6= 0. În consecint¼a putem scrie e1 = �1x1 + �2e2 + ::: + �nen.Cum x2 = 1e1 + 2e2 + ::: + nen, tinând seama de expresia lui e1 rezult¼a c¼ax2 = �1x1 + �2e2 + ::: + �nen. Dac¼a �2 = �3 = ::: = �n = 0, atunci x2 = �1x1,deci vectorii x1, x2 sunt liniar dependenti, ceea ce contrazice ipoteza c¼a S esteliber. Renumerotând convenabil elementele lui B, putem presupune c¼a �2 6= 0.Atunci din expresia lui x2 rezult¼a c¼a e2 = �1x1 + �2x2 + �3e3+::: + �nen, x3 == �1x1 + �2x2 + �3e3+::: + �nen. Procedând din aproape în aproape, obtinem c¼axn+1 = �1x1+ �2x2+ :::+ �nxn, ceea ce contrazice ipoteza c¼a S este liber. AsadarS este liniar dependent, deci dimKV = n. �

TEOREMA 4.5. (Teorema bazei incomplete) Fie V un spatiu vectorial de di-mensiune n. Pentru orice parte liber¼a S = fx1; :::; xpg din V , p < n, exist¼a vectoriixp+1; :::; xn 2 V astfel încât fx1; :::; xp; xp+1; :::; xng s¼a �e baz¼a în V .

Demonstratie. Fie V0= Sp(S): Atunci dimV

0= p < n, V

0 6= V . AsadarV � V 0 6= � si nu contine 0V . Orice x 2 V � V

0formeaz¼a împreun¼a cu S un sistem

liber. Într-adev¼ar, dac¼a S [ fxg ar � legat, ar exista �1; �2; :::; �p; � 2 K nu totinuli astfel încât �1x1+ :::+�pxp+�x = 0V . Dac¼a � = 0, ar rezulta c¼a S este legat,deci � 6= 0. Atunci x = ��1( �1x1 + :::+ �pxp), adic¼a x 2 V

0, ceea ce contrazice

faptul c¼a x 2 V � V 0. Not¼am xp+1 = x, deci S

0= fx1; :::; xp; xp+1g este liber. Fie

V00= Sp(S

0), dimV

00= p + 1. Dac¼a p + 1 < n se repet¼a procedeul de mai sus.

Alegem xp+2 2 V � V00si sistemul S

0 [ fxp+2g este liber etc. Obtinem astfel dinaproape în aproape un sistem liber B = fx1; :::; xng care conform teoremei 4.3 estebaz¼a în V . �

EXEMPLE. 1) În V3 orice trei vectori necoplanari formeaz¼a o baz¼a (teorema3.6, prop. 3.5, cap. 1). În particular f�!i ;�!j ;�!k g este o baz¼a, numit¼a baza canonic¼aa lui V3. Deci dimV3 = 3: Similar în V2 orice doi vectori liberi necoli-niari formeaz¼ao baz¼a, deci dimV2 = 2: În V1 orice vector nenul este baz¼a, deci dimV1=1:

2) În Rn (n � 2) vectorii e1 = (1; 0; :::; 0), e2 = (0; 1; 0; :::; 0) ; :::; en = (0; :::; 0; 1)formeaz¼a o baz¼a, deci dimRRn = n. Cum pentru orice x 2 Rn; x = (x1; x2; :::; xn)avem x = x1e1 + ::: + xnen , rezult¼a c¼a coordonatele în baza canonic¼a a unui

4. BAZ ¼A. DIMENSIUNE 35

vector x 2 Rn coincid cu componentele acestuia. De aceea baza fe1; :::; eng senumeste baza canonic¼a a lui Rn. S¼a observ¼am c¼a coordonatele unui vector difer¼ade la o baz¼a la alta. De exemplu, în R3, coordonatele vectorului x = (2; 1; 3) înbaz¼a canonic¼a sunt 2; 1; 3, coincizând cu componentele lui x. Pe de alt¼a parte,vectorii v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 = (0; 0; 1) formeaz¼a, de asemenea, o baz¼aa lui R3. Coordonatele lui x = (2; 1; 3) în baza v1; v2; v3 sunt 2;�1; 2, pentru c¼ax = 2v1 � v2 + 2v3.

3) În Rn [X], polinoamele 1; X; :::;Xn formeaz¼a o baz¼a, numit¼a baza canonic¼a alui Rn [X]. De asemenea, pentru orice a 2 R�, polinoamele pi = (X � a)i, 0 � i � nformeaz¼a o baz¼a a lui V , deci dimRRn[X] = n+1. Vom ar¼ata aceasta pentru n = 3.Fie �0; �1; �2; �3 astfel încât

�0 � 1 + �1 � (X � a) + �2 (X � a)2 + �3 � (X � a)3 = 0:

Rezult¼a c¼a �3 = 0, �2 � 3�3a = 0, �1 � 2�2a+ 3�3a2 = 0, �0 � �1a+ �2a2��3a3 = 0, de unde �0 = �1 = �3 = 0, deci polinoamele p0; p1; p2; p3 sunt liniarindependente. S¼a ar¼at¼am c¼a aceste polinoame formeaz¼a un sistem de generatoripentru R3 [X]. Fie f 2 R3 [X]. Trebuie s¼a ar¼at¼am c¼a exist¼a �0; �1; �2; �3 astfelîncât

f = �0 � 1 + �1 � (X � a) + �2 (X � a)2 + �3 (X � a)3 :Derivând formal, obtinem succesiv:

Df = �1 + 2�2 (X � a) + 3�3 (X � a)2 ;D2f = 2!�2 + 2 � 3�3 (X � a) ;

D3f = 3!�3:

Luând în egalit¼atile de mai sus valoarea polinomului în punctul a, obtinem

�0 = f (a) ; �1 =1

1!Df (a) ; �2 =

1

2!D2f (a) ; �3 =

1

3!D3f (a), deci:

f = f (a) +1

1!Df (a) (X � a) + 1

2!D3f (a) (X � a)2 + 1

3!D3f (a) (X � a)3 :

În general, în Rn [X], pentru orice a 2 R�, polinoamele

1; X � a; (X � a)2 ; :::; (X � a)n ;

formeaz¼a o baz¼a si coordonatele unui polinom f 2 Rn [X] în aceast¼a baz¼a sunt:

f (a) ;1

1!Df (a) ;

1

2!D2f (a) ; :::;

1

n!Dnf (a) ;

deci

f = f (a) +1

1!Df (a) (X � a) + 1

2!D2f (a) (X � a)2 + :::+ 1

n!Dnf (a) (X � a)n :

4) În Mm;n (R), matricele Eij ; i = 1;m, j = 1; n,

Eij =

0BBBB@0 ::: 0 ::: 0::: ::: ::: ::: :::0 ::: 1 ::: 0::: ::: ::: ::: :::0 ::: 0 ::: 0

1CCCCA! i

#j

;


formeaz¼a o baz¼a, numit¼a baza canonic¼a a luiMm;n (R).În concluzie dimMm;n (R) == mn:

5) În spatiul vectorial C((a; b);R), functiile 1; t; t2; :::; tk sunt liniar indepen-dente. Cum aceasta se întâmpl¼a pentru orice k, rezult¼a c¼a acest spatiu vectorialeste in�nit dimensional.

OBSERVATIE. Dimensiunea unui spatiu vectorial depinde de corpul de baz¼a.Astfel dimC (C) = 1, dar dimR (C) = 2. Mai general, orice C-spatiu vecto-rial de di-mensiune n este un R-spatiu vectorial de dimensiune 2n. Este su�cient s¼a remarc¼amc¼a dac¼a fe1; :::; eng este baz¼a într-un C-spatiu vectorial, atunci fe1; :::; en; ie1; :::; iengeste baz¼a în acel spatiu considerat ca R-spatiu vectorial.

5. Dimensiunea unui subspatiu vectorial

Subspatiul nul f0V g nu contine nici un sistem liber. De aceea dimensiuneaacestuia se consider¼a egal¼a cu zero.

TEOREMA 5.1. Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n si S un subspatiuvectorial al lui V . Atunci:

a) dimK (S) = dimK (V ) dac¼a si numai dac¼a V = S;b) dac¼a S este subspatiu propriu al lui V , atunci dimK (S) < dimK (V );c) S admite un suplement S1 si avem:

dimK (V ) = dimK (S) + dimK (S1) :

Demonstratie. a) Fie n = dimK (S) = dimK (V ) si B � S o baz¼a cu n elemente.Cum B � V , conform teoremei 4.3, rezult¼a c¼a B este baz¼a în V . Atunci oriceelement din V este combinatie liniar¼a de elemente din B � S, deci este în S. Înconcluzie S = V .

b) Fie p = dimK (S), n = dimK (V ). Dac¼a p > n, deoarece S � V , rezult¼a c¼aar exista în V un sistem liber cu p vectori, dep¼asind dimensiunea lui V , ceea ce nuse poate. Cum S este subspatiu propriu al lui V , tinând seama de a), rezult¼a c¼ap < n.

c) Fie fx1; :::; xpg o baz¼a a lui S. Cum V este de dimensiune n, exist¼a n � pvectori xp+1; :::; xn astfel ca fx1; :::; xp; xp+1; :::; xng este o baz¼a în V (teorema 4.5).Familia fxp+1; :::; xng �ind liber¼a, S1 = Sp(fxp+1; :::; xng) este de dimensiune n�p.Pe de alt¼a parte, orice vector x 2 V se scrie în mod unic sub forma

x = �1x1 + :::+ �pxp + �p+1xp+1 + :::+ �nxn = y + z;

unde y = �1x1 + :::+ �pxp 2 S si z = �p+1xp+1 + :::+ �nxn 2 S1, ceea ce arat¼a c¼aV = S � S1 si dimK (V ) = dimK (S) + dimK (S1). �

TEOREMA 5.2. (Grassmann) Dac¼a S1 si S2 sunt subspatii vectoriale �nitdimensionale ale lui V , atunci

dimK (S1 + S2) = dimK (S1) + dimK (S2)� dimK (S1 \ S2) :Demonstratie. Fie B0 = fe1; :::; ekg o baz¼a în S1 \ S2 � S1. O complet¼am

pân¼a la o baz¼a a lui S1, �e aceasta B00 = fe1; :::; ek; f1; :::; flg, respectiv pân¼a la obaz¼a B000 = fe1; :::; ek; g1; :::; gmg a lui S2. Deci presupunem c¼a dimK (S1 \ S2) == k;dimK (S1) = k + l;dimK (S2) = k +m. Dac¼a ar¼at¼am c¼a sistemul de vectoridin V , B = fe1; :::; ek; f1; :::; fl; g1; :::; gmg formeaz¼a o baz¼a a subspatiului S1 + S2demonstratia este încheiat¼a, deoarece dimK (S1 + S2) = k+ l+m si identitatea dinenunt este satisf¼acut¼a.

6. RANGUL UNUI SISTEM DE VECTORI SI RANGUL MATRICEI SALE. SISTEME DE ECUATII LINIARE37

Vom ar¼ata mai întâi c¼a B este liniar independent¼a.Fie �; :::; �k; �1; :::; �l; 1; :::; k 2 K astfel ca

(5.1)kXi=1

�iei +lX

j=1

�jfj +mXs=1

sgs = 0V :

Dac¼a not¼am x =mPs=1

sgs 2 S2, atunci din (5.1) rezult¼a x 2 S1, deci x 2

S1 \ S2. În consecint¼a exist¼a �1; :::; �k 2 K astfel camPs=1

sgs =kPh=1

�h � eh;care

se mai scriemPs=1

sgs +kPh=1

(��h) eh = 0V . Deoarece B000 este baz¼a în S2, rezult¼a

1 = ::: = m = 0 si �1 = ::: = �k = 0. Atunci (5.1) se mai scriekPi=1

�iei +

lPj=1

�jfj = 0V si cum B00 este baz¼a în S1, rezult¼a �1 = ::: = �k = 0 si �1 = ::: =

= �l = 0. Asadar toti scalarii din (5.1) sunt nuli, deci B este liniar independent¼a.Vom ar¼ata acum c¼a B este un sistem de generatori pentru S1 + S2. Fie deci

x 2 S1 + S2; x = x1 + x2 cu x1 2 S1; x2 2 S2. Atunci x1 =kPi=1

�iei +lP

j=1

�jfj

si x2 =kPi=1

iei +mPs=1

�sgs, deoarece B00; B000 sunt baze în S1, respectiv S2. În

consecint¼a x =kPi=1

(�i + i)ei +lP

j=1

�jfj +mPs=1

�sgs si teorema este demonstrat¼a. �

COROLAR 5.2.1. Fie S1; S2 subspatii vectoriale �nit dimensionale ale lui V .Dac¼a suma S1 + S2 este direct¼a, atunci

dimK (S1 � S2) = dimK (S1) + dimK (S2) :

Demonstratie. Se tine seama c¼a S1 \ S2 = f0V g. �

6. Rangul unui sistem de vectori si rangul matricei sale. Sisteme deecuatii liniare

DEFINITIE. Fie V un K-spatiu vectorial si S = fx1; :::; xmg un sistem devectori din V . Se numeste rangul sistemului S dimensiunea subspatiului generat deS.

Evident, dimensiunea subspatiului generat de un sistem S � V este egal¼a cunum¼arul maxim de vectori liniar independenti continuti în S.

Dac¼a B = fe1; :::; eng este baz¼a în V , atunci xj =nPi=1

aijei;8j = 1;m.

DEFINITIE. Matricea A = (aij), de tip n�m, format¼a cu coordonatele vecto-rilor xj (unic determinate), pe coloane, se numeste matricea sistemului S în raportcu baza B.

TEOREMA 6.1. (teorema rangului). Rangul unui sistem de vectoriS = fx1; :::; xmg din V este egal cu rangul matricei sale în raport cu o baz¼a arbitrar¼aB = fe1; :::; eng din V .


Demonstratie. Fie A = (aij) matricea sistemului S în raport cu baza B. Ream-intim c¼a rangul unei matrice A, nenul¼a, este un întreg r; 0 < r � min (m;n), cuproprietatea c¼a exist¼a un minor nenul al lui A de ordin r, iar toti minorii de or-din r + 1, dac¼a exist¼a, sunt nuli. S¼a presupunem c¼a rangA = r. Deoarece rangulunei matrice nu se schimb¼a dac¼a se permut¼a liniile sau coloanele între ele, putempresupune c¼a urm¼atorul determinant este nenul:

D =

��a11 a12 ::: a1ra21 a22 ::: a2r::: ::: ::: :::ar1 ar2 ::: arr

�� :Dac¼a vectorii x1; :::; xr ar � liniar dependenti, atunci un vector ar � combinatie

liniar¼a de ceilalti, deci una dintre coloanele minorului D este combinatie liniar¼a decelelalte. Atunci D = 0, ceea ce nu este posibil. În consecint¼a, vectorii x1; :::; xrsunt liniar independenti.

Vom ar¼ata acum c¼a Sp (fx1; :::; xrg) = Sp (fx1; :::; xmg). Dac¼a r < m, estesu�cient s¼a ar¼at¼am c¼a Sp (fx1; :::; xmg) � Sp (fx1; :::; xrg). Cum rangul lui A ester, pentru �ecare j > r, urm¼atorii determinanti sunt nuli:

�i =

��a11 ::: a1r a1j::: ::: ::: :::ar1 ::: arr arjai1 ::: air aij

�� ; i = 1; n:Dezvoltând dup¼a ultima linie, obtinem: ci1ai1 + :::+ cirair +D � aij = 0, unde

prin cil; l = 1; r, am notat complementii algebrici ai elementelor de pe ultima linie.Cum D 6= 0, rezult¼a

aij = �1ai1 + :::+ �rair; i = 1; n;

unde �k = �D�1cik, k = 1; r, nu depind de i, ci numai de elementele primelor rlinii, deci r¼amân �xe când i = 1; n. Prin urmare pentru j > r, avem

xj = �1x1 + :::+ �rxr;

deci Sp (fx1; :::; xmg) � Sp (fx1; :::; xrg). În concluzie rangA = rangS. �OBSERVATIE. Din demonstratia teoremei, rezult¼a c¼a rangul unei matrice este

egal cu num¼arul maxim de coloane liniar independente. Cum rangul unei matricecoincide cu rangul matricei transpuse, rezult¼a c¼a rangul unei matrice este egal cunum¼arul maxim de linii liniar independente.

DEFINITIE. O matrice p¼atratic¼a A se numeste singular¼a dac¼a detA = 0 sinesingular¼a în caz contrar.

COROLAR 6.1.1. O matrice p¼atratic¼a este nesingular¼a dac¼a si numai dac¼atoate liniile sau toate coloanele sunt liniar independente.

Pentru determinarea rangului unei matrice se pot folosi transform¼ari elementare.

DEFINITIE. Se numesc transform¼ari elementare ale unei matrice urm¼atoareleoperatii:

- schimbarea a dou¼a linii (coloane) între ele;- înmultirea tuturor elementelor unei linii (coloane) cu acelasi factor nenul;- adunarea la elementele unei linii (coloane) a elementelor corespunz¼atoare ale

altei linii (coloane).


Tinând seama c¼a aceste transform¼ari elementare nu afecteaz¼a proprietatea unuideterminant de a � nul sau nenul, rezult¼a c¼a rangul unei matrice nu se modi�c¼adac¼a asupra matricei se efectueaz¼a transform¼ari elementare. În practic¼a, pentrudeterminarea rangului unei matrice, proced¼am astfel: se efectueaz¼a transform¼arielementare asupra matricei pân¼a când toate elementele devin nule cu exceptia unorelemente de pe diagonala principal¼a care devin 1. Rangul unei matrice este num¼arulelementelor 1 de pe diagonala principal¼a.

EXEMPLU. S¼a determin¼am rangul matricei

A =

0BB@2 4 3 51 2 1 23 1 5 3�1 5 2 8

1CCA :Avem succesiv0BB@2 4 3 51 2 1 23 1 5 3�1 5 2 8

1CCA L1 ! L1 + L4L2 ! L2 + L4L3 ! L3 + 3L4

!

0BB@1 9 5 130 7 3 100 16 11 27�1 5 2 8

1CCA L4 ! L4 + L1

!

!

0BB@1 9 5 130 7 3 100 16 11 270 14 7 21

1CCA C2 ! C2 � 9C1C3 ! C3 � 5C1C4 ! C4 � 13C1

!

0BB@1 0 0 00 7 3 100 16 11 270 14 7 21

1CCA!

L2 ! L2=7L3 ! L3 � 16L2L4 ! L4 � 14L2

!

!

0BB@1 0 0 00 1 3=7 10=70 0 29=7 29=70 0 1 1

1CCA C3 ! C3 � 3=7C2C4 ! C4 � 10=7C2

!!

!

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 29=7 29=70 0 1 1

1CCA!L3 ! 7=29L3L4 ! L4 � L3

!!

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 0

1CCA!

! C4 ! C4 � C3! !

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

1CCA ;deci rangA = 3 (În �ecare caz s-au mentionat operatiile indicate: notatiaL1 ! L1 + L4 înseamn¼a linia 1 se înlocuieste cu suma liniilor 1 si 4 etc.).

În continuare vom utiliza teorema rangului în studiul sistemelor de ecuatiiliniare. Fie deci sistemul de ecuatii liniare:

(6.1)

8>><>>:a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm

;

unde aij 2 R, i = 1;m, j = 1; n, bi 2 R, i = 1;m.


Reamintim c¼a un sistem ordonat de numere reale (�1; �2; :::; �n) se numestesolutie a sistemului (6.1), dac¼a înlocuind necunoscutele x1; x2; :::; xn respectiv prinaceste numere, toate ecuatiile acestui sistem sunt veri�cate, adic¼a:

nXJ=1

aij�j = bi; i = 1;m:

Dac¼a admite cel putin o solutie, sistemul se numeste compatibil, iar dac¼a nuadmite nici o solutie sistemul se numeste incompatibil. Dac¼a sistemul (6.1) admiteo singur¼a solutie, sistemul se numeste compatibil determinat, iar dac¼a admite maimulte solutii sistemul se numeste compatibil nedeterminat. S¼a remarc¼am c¼a sistemulse scrie sub forma Ax = b, unde

A =

0BB@a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n::: ::: ::: ::: :::am1 am2 ::: amn

1CCA ; x =0BBBBBB@x1x2:::xn

1CCCCCCA ; b =0BBBBBB@

b1b2:::bm

1CCCCCCAMatricea

eA =0BB@a11 a12 ::: a1n b1a21 a22 ::: a2n b2::: ::: ::: ::: ::: :::am1 am2 ::: amn bm

1CCAse numeste matricea extins¼a a sistemului (6.1).

Dac¼a r = rangA si

Dr =

��a11 ::: a1r::: ::: :::ar1 ::: arr

�� 6= 0atunci Dr se numeste determinant principal al sistemului (6.1), necunoscutelex1; :::; xr se numesc necunoscute principale, iar xr+1; :::; xn dac¼a n > r se numescnecunoscute secundare. Primele r ecuatii se numesc ecuatii principale, celelalte(dac¼a r < m) se numesc ecuatii secundare. Dac¼a r < m, pentru orice j > r,determinantul de forma ��

a11 ::: a1r b1::: ::: ::: :::ar1 ::: arr braj1 ::: aj bj

��se numeste determinant caracteristic al sistemului (6). Deci num¼arul determi-nantilor caracteristici este egal cu num¼arul ecuatiilor secundare.

TEOREMA 6.2. (Kronecker-Capelli) Conditia necesar¼a si su�cient¼a ca sistemul(6.1) s¼a �e compatibil este ca rangA = rang eA.

Demonstratie. �)� Not¼am cu aj ; j = 1; n, vectorii coloan¼a ai matricei A.Sistemul �ind compatibil exist¼a �1; :::; �n astfel încât:

�1a1 + :::+ �na

n = b:

Asadar b 2 Sp��a1; :::; an

�si din teorema rangului rezult¼a c¼a rangA =

= rang eA.


�(�Dac¼a rangA = rang eA, atunci b 2 Sp ��a1; :::; an�, deci exist¼a �1; :::; �nastfel încât b = �1a1+ :::+�nan, deci sistemul (�1; :::; �n) este solutie a sistemului(6). �

COROLAR 6.2.1. Sistemul (6.1) este compatibil determinat dac¼a si numai dac¼arangA = rang eA = n.

Demonstratie. Conform teoremei Kronecker-Capelli, prima egalitate este echi-valent¼a cu existenta a cel putin o solutie. Deoarece rangA = n, înseamn¼a c¼a,coloanele matricei A sunt liniar independente, deci b are o singur¼a exprimare ca ocombinatie liniar¼a de coloanele matricei A, adic¼a sistemul (6.1) este compatibil de-terminat. Reciproc, dac¼a sistemul (6.1) are o singur¼a solutie atunci rangA = rang eA(teorema 6.2), iar b are o singur¼a exprimare ca combinatie liniar¼a de coloanele matri-

cei A, deci acestea sunt liniar independente (dac¼anPj=1

�jaj = 0 cu �j ; j = 1; n nu toti

nuli si dac¼a �1; :::; �n este o solutie a sistemului (6.1) atunci si �1+ +�1; :::; �n+�nar � o solutie diferit¼a de prima, ceea ce nu este posibil). �

TEOREMA 6.3. (Rouché). Dac¼a rangA = r < m, atunci sistemul (6.1) estecompatibil dac¼a si numai dac¼a toti determinantii caracteristici sunt nuli.

Demonstratie. Dac¼a sistemul este compatibil, conform teoremei Kronecker-Capelli, rangA = rang eA = r. Cum orice determinant caracteristic este un de-terminant de ordin r + 1 din eA, deci este nul. Reciproc, dac¼a toti determinantiicaracteristici sunt nuli, atunci rangA = rang eA = r, deci sistemul este compatibil.�

În continuare vom studia multimea solutiilor unui sistem omogen de ecuatiiliniare. Fie deci sistemul Ax = 0, unde 0 este vectorul coloan¼a cu m elemente, toatenule. Evident, sistemul este compatibil, deoarece admite solutia cu toate elementeleegale cu zero (aceast¼a solutie se mai numeste solutie banal¼a). Din corolarul 6.2.1obtinem:

COROLAR 6.3.1. Sistemul Ax = 0 are numai solutia banal¼a dac¼a si numaidac¼a rangA = n. În particular, dac¼a A este matrice p¼atratic¼a, sistemul are solutieunic¼a dac¼a si numai dac¼a matricea A este nesingular¼a.

TEOREMA 6.4. Fie S multimea solutiilor sistemului Ax = 0. Dac¼a rangA == r, atunci S este un subspatiu vectorial de dimensiune n� r.

Demonstratie. Este clar c¼a S este un subspatiu vectorial al lui Rn. Vom c¼auta obaz¼a a acestui spatiu format¼a din n� r elemente. Pentru aceasta putem presupunec¼a primele r coloane ale matricei A sunt liniar independente, ceea ce se poate

realiza printr-o permutare a indicilor. Atunci pentru j > r, avem aj =rPi=1

�jiai.

Consider¼am vectorii yj = (�j1; :::; �

jr; 0; :::; 0;�1; :::; 0), unde -1 se a�¼a pe locul j >

r. Evident yj 2 S si sunt liniar independenti. Dac¼a ar¼at¼am c¼a ei genereaz¼a S,teorema este demonstrat¼a. Fie z = (�1; :::; �n) o solutie a sistemului Ax = 0.

Atunci z0 = z +nP

j=r+1

�jyj este evident si el o solutie a sistemului. În plus, dac¼a

z0 = (�01; :::; �0n), atunci �

0j = 0 pentru j > r, deci

rPj=1

�0jaj = 0 si deoarece vectorii


a1; :::; ar sunt liniar independenti, deducem c¼a �0j = 0, j = 1; r. În consecint¼a z

0 = 0

si deci z = �nP

j=r+1

�jyj . �

DEFINITIE. O baz¼a a subspatiului vectorial S se numeste sistem fundamentalde solutii al sistemului Ax = 0.

TEOREMA 6.5. Presupunem c¼a sistemul Ax = b este compatibil. Dac¼a x 2 Rneste o solutie a acestui sistem, atunci x 2 Rn este solutie a sistemului Ax = b,

dac¼a si numai dac¼a exist¼a �1; :::; �n�r 2 R astfel încât x = x +n�rPi=1

�iyi, unde

y1; :::; yn�r este un sistem fundamental de solutii al sistemului Ax = 0.

Demonstratie. Dac¼a x si x sunt solutii ale sistemului Ax = b, atunci A (x� x) == 0, deci x � x 2 S, S �ind multimea solutiilor sistemului omogen. Cum y1; :::;

yn�r este baz¼a în S, rezult¼a c¼a exist¼a �1; :::; �n�r astfel încât x � x =n�rPi=1

�iyi,

ceea ce trebuia dovedit. Reciproc Ax = Ax +n�rPi=1

�iAyi = b, deoarece Ayi = 0,

pentru c¼a yi 2 S. �

7. Matricea de trecere de la o baz¼a la alta. Schimbarea coordonatelorunui vector la schimbarea bazei

Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n si B = fe1; :::; eng, B0 = fe01; :::;e0ng dou¼a baze ale sale. Putem exprima vectorii din baza B0 în baza B. Pentruorice vector e0j ; j = 1; n, exist¼a si sunt unici cij 2 K; i = 1; n astfel încât

(7.1) e0j =nXi=1

cijei; j = 1; n:

DEFINITIE. Matricea C =

0@ c11 c12 ::: c1n::: ::: ::: :::cn1 cn2 ::: cnn

1A se numeste matricea de

trecere de la baza B la baza B0.

Se observ¼a c¼a pe coloana j se g¼asesc coordonatele vectorului e0j în baza B.

OBSERVATIE. Relatiile (7.1) se mai pot scrie sub forma0BBBBBB@e01e02:::e0n

1CCCCCCA = CT

0BBBBBB@e1e2:::en

1CCCCCCA ;

unde CT este transpusa matricei C.

PROPOZITIA 7.1. Matricea de trecere de la o baz¼a la alta este inversabil¼a.

Demonstratie. Deoarece B0 este baz¼a, din orice relatie de forma �1e01 + :::++�ne

0n = 0V rezult¼a �i = 0; i = 1; n. Tinând seama de (7.1) obtinem

(�1c11 + �2c12 + :::+ �nc1n) e1 + :::+ (�1cn1 + �2cn2 + :::+ �ncnn) en = 0V ;

7. MATRICEA DE TRECERE DE LA O BAZ ¼A LA ALTA. SCHIMBAREA COORDONATELOR UNUI VECTOR LA SCHIMBAREA BAZEI43

relatie care are loc dac¼a si numai dac¼a �i = 0; i = 1; n. Cum si B este baz¼a, seobtine sistemul omogen8<: �1c11 + �2c12 + :::+ �nc1n = 0

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::�1cn1 + �2cn2 + :::+ �ncnn = 0

;

în necunoscutele �1; :::; �n, care trebuie s¼a admit¼a numai solutia banal¼a, ceea ceimplic¼a detC 6= 0 (corolar 6.3.1). �

PROPOZITIA 7.2. Dac¼a C este matricea de trecere de la baza B la baza B0,atunci C�1 este matricea de trecere de la baza B0 la baza B.

Demonstratie. Fie D matricea de trecere de la baza B0 la baza B. Vom ar¼atac¼a D = C�1.

Tinând seama de (7.1), putem scrie

es = d1se01 + d2se

02 + :::+ dnse

0n;8s = 1; n;

decies = d1s (c11e1 + c21e2 + :::+ cn1en) + d2s (c12e1 + :::+ cn2e2)+

+:::+ dns (c1ne1 + :::+ cnnen) ;8s = 1; n:Aceste egalit¼ati se mai scriu

es = (d1sc11 + d2sc12 + :::+ dnsc1n) e1 + :::+ (d1scn1 + :::+ dnscnn) en;8s = 1; n:Cum B este baz¼a în V , rezult¼a c¼a

nXk=1

cikdkj =

�1 dac�a i = j0 dac�a i 6= j 8i; j = 1; n:

Prin urmare CD = In, unde In este matricea unitate. Cum C este inversabil¼a,rezult¼a D = C�1. �

PROPOZITIA 7.3. Fie x 2 V si x =nPi=1

xiei; x =nPj=1

x0je0j sunt reprezent¼arile

lui x în cele dou¼a baze B si B0. Atunci are loc

(7.2)

0BBBBBB@x1x2:::xn

1CCCCCCA = C

0BBBBBB@x01x02:::x0n

1CCCCCCAC �ind matricea de trecere de la baza B la baza B0.

Demonstratie. Folosind (7.1) putem scrie

x =nXj=1

x0je0j =

nXj=1

x0j (nXi=1

cijei) =nXi=1

(nXj=1

cijx0j)ei:

Pe de alt¼a parte x =nPi=1

xiei si scrierea lui x în baza B �ind unic¼a, rezult¼a

xi =nXj=1

cijx0j ;8i = 1; n;


ceea ce este echivalent cu (7.2). �EXEMPLU. În R3, �e baza canonic¼a B = fe1; e2; e3g si vectorul x = (1; 2; 3).

S¼a determin¼am coordonatele vectorului x în baza B0 = fe01; e02; e03g, unde e01 == (1; 0; 1) ; e02 = (1;�1; 0) ; e03 = (2; 0; 1). Deoarece e01 = e1 + e3; e

02 = e1�

�e2; e03 = 2e1 + e3, rezult¼a c¼a matricea de trecere de la baza B la baza B0 este

C =

0@ 1 1 20 �1 01 0 1

1A : Totodat¼a e1 = �e01 + e03; e2 = �e01 � e02 + e03; e3 = 2e01 � e03,deci matricea de trecere de la baza B0 la baza B este C�1 =

0@ �1 �1 20 �1 01 1 �1

1A :Dac¼a, în baza B0, x = x01e

01 + x

02e02 + x

03e03, atunci din (7.2) rezult¼a

0@ x01x02x03

1A =

= C�1

0@ 123

1A =

0@ 3�20

1A : Asadar x = 3e01 � 2e02. �8. Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii algebrice

liniare

S¼a cosider¼am sistemul de ecuatii algebrice liniare:

(8.1)

8>><>>:a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm

:

Metoda este de fapt procedeul de eliminare a necunoscutelor pe care îl descriemîn continuare.

S¼a presupunem a11 6= 0; atunci putem elimina prima necunoscut¼a x1 din ecuati-ile 2; 3; :::;m, înmultind prima ecuatie cu factorii:

mi1 =ai1a11; i = 2;m

si sc¼azând-o, respectiv din ecuatiile 2; 3; :::;m.Obtinem astfel sistemul echivalent

(8.2)

8>>><>>>:a(2)11 x1+ a

(2)12 x2 + a

(2)13 x3 + :::+ a

(2)1n xn = b

(2)1

a(2)22 x2 + a

(2)23 x3 + :::+ a

(2)2n xn = b

(2)2

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

a(2)m2x2 + a

(2)m3x3 + :::+ a

(2)mnxn = b

(2)m

;

unde dac¼a a(1)ij = aij , i; j = 1; n, b(1)i = bi, i = 1; n, avem

a(2)ij =

8><>:a(1)ij ; dac¼a i � 10 ; dac¼a i � 2; j � 1a(1)ij �mi1a

(1)1j ; dac¼a i � 2; j � 2

;

b(2)i =

(b(1)i ; dac¼a i � 1b(1)i �mi1b

(1)1 ; dac¼a i � 2

:

8. METODA LUI GAUSS PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII ALGEBRICE LINIARE45

Dac¼a a11 = 0 schimb¼am prima ecuatie a sistemului cu o alt¼a ecuatie în carecoe�cientul lui x1 este nenul. Se observ¼a c¼a prima ecuatie a sistemului (8.2) coincidecu prima ecuatie a sistemului (8.1). Dac¼a a(2)22 6= 0, atunci, în mod analog, putemelimina necunoscuta x2 din ultimele m�2 ecuatii ale sistemului (8.2). Introducândmultiplicatorii

mi2 =a(2)i2

a(2)22

; i = 3;m;

obtinem sistemul echivalent

(8.3)

8>>>>><>>>>>:

a(3)11 x1+ a

(3)12 x2+ a

(3)13 x3 + :::+ a

(3)1n xn = b

(3)1

a(3)22 x2+ a

(3)23 x3 + :::+ a

(3)2n xn = b

(3)2

a(3)33 x3 + :::+ a

(3)3n xn = b

(3)3

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

a(3)m3x3 + :::+ a

(3)mnxn = b

(3)m

;

cu coe�cientii si termenii liberi

a(3)ij =

8><>:a(2)ij ; dac¼a i � 20 ; dac¼a i � 3; j � 2a(2)ij �mi2a

(2)2j ; dac¼a i � 3; j � 3

respectiv b(3)i =

(b(2)i ; dac¼a i � 2b(2)i �mi2b

(2)2 ; dac¼a i � 3

:

Dac¼a a(2)22 = 0 schimb¼am ecuatia a doua cu una din ecuatiile 3; 4; :::;m în carecoe�cientul lui x2 este nenul. Primele dou¼a ecuatii ale sistemului (8.3) coincid cuprimele dou¼a ecuatii ale sistemului (8.2). Procedeul continu¼a. Elementele a(1)11 , a

(2)22 ,

a(3)33 , ::: se numesc elemente pivot. Dac¼a a

(k)kk 6= 0, notând cu A(k+1) matricea sis-

temului echivalent din care au fost eliminati x1, x2, :::, xk (adic¼a matricea sistemuluidup¼a k < m pasi), prin b(k+1) vectorul coloan¼a al termenilor liberi corespunz¼atori,atunci elementele a(k+1)ij ale lui A(k+1) si b(k+1)i ale lui b(k+1) se calculeaz¼a recursivprin formulele

a(k+1)ij =

8><>:a(k)ij ; dac¼a i � k0 ; dac¼a i � k + 1; j � ka(k)ij �mika

(k)kj ; dac¼a i � k + 1; j � k + 1

;

b(k)i =

(b(k)i ; dac¼a i � kb(k)i �mikb

(k)k ; dac¼a i � k + 1

:

unde mik =a(k)ik

a(k)kk

; i = k + 1;m. Prin urmare, matricea sistemului, dup¼a efectuarea

pasului k, va �


A(k+1) =

0BBBBBBBBBB@

a(1)11 a

(1)12 ::: a

(1)1k

0 a(2)22 ::: a

(2)2k

0 0 ::: :::

a(k)kk

a(1)1;k+1 ::: a

(1)1n

a(2)2;k+1 ::: a

(2)2n

::: ::: :::

0

a(k+1)k+1;k+1 ::: a

(k+1)k+1;n

::: ::: :::

a(k+1)m;k+1 ::: a

(k+1)mn

1CCCCCCCCCCA;

b(k+1) =

0BBBBBBBBBBBBBBBB@

b(1)1

b(2)2

::

b(k)k

b(k+1)k+1

b(k+1)k+2

::

b(k+1)m

1CCCCCCCCCCCCCCCCA:

Dac¼a a(k)kk = 0 si cel putin unul din elementele de pe coloana k si de pe liniile

k+1; k+2; :::; m este nenul, �e acesta a(k)rk , atunci permut¼am liniile k si r între elesi continu¼am eliminarea. Pe parcursul algoritmului pot apare urm¼atoarele situatii:

-coe�cientii unei ecuatii devin toti nuli, iar termenul liber corespunz¼ator estenenul, caz în care sistemul este incompatibil;

-coe�cientii unei ecuatii sunt toti nuli si termenul liber corespunz¼ator este nul,atunci ecuatia respectiv¼a este consecint¼a a celorlaltor (deci inutil¼a).

Dac¼a m = n si sistemul este compatibil, atunci este compatibil nedeterminat.Dac¼a m = n si rangul matricei sistemului este n, atunci toti pivotii sunt nenuli.

Dup¼a n�1 pasi vom obtine sistemul triunghiurilor echivalent cu sistemul (8.1):8>>><>>>:a(1)11 x1+ a

(1)12 x2 +:::+ a

(1)1n xn = b

(1)1

a(2)22 x2 +:::+ a

(2)2n xn = b

(2)2

::: :::

a(n)nn xn = b

(n)n

;

care se poate rezolva regresiv:

(8.4)

xn =b(n)n

a(n)nn

xi =

b(i)i �

nPj=i+1

a(i)ij xj

a(i)ii

; i = n� 1; :::; 1:

Algoritmul lui Gauss ne permite s¼a rezolv¼am simultan p sisteme de ecuatii cuaceeasi matrice A, dar cu termeni liberi diferiti. În acest caz, la �ecare pas ope-ratiile aplicate asupra termenului liber se aplic¼a tuturor celor p vectori coloan¼atermeni liberi. Dup¼a eliminare vom obtine p sisteme triunghiulare. Un caz particu-lar al acestui procedeu este inversarea unei matrice. Într-adev¼ar, dac¼a în relatia

8. METODA LUI GAUSS PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII ALGEBRICE LINIARE47

AA�1 = In, not¼am A�1 = X, atunci AX = In sau Axj = ej unde xj si ejsunt coloanele j din X respectiv In. Astfel, coloanele matricei A�1 sunt solutiilesistemelor liniare cu termenii liberi respectiv egali cu coloanele matricii unitate.

OBSERVATII. 1) Am v¼azut mai sus c¼a este posibil s¼a �e necesar s¼a efectu¼ampermut¼ari de linii când un element pivot este nul. Din motive de stabilitate nu-meric¼a, trebuie s¼a efectu¼am permut¼ari de linii nu numai când un element pivot esteexact egal cu zero ci si când el este aproape egal cu zero. De asemenea, pentrua preveni ca in�uenta erorilor de rotunjire s¼a devin¼a catastrofal¼a, este, de obicei,necesar s¼a alegem elementul pivot, la efectuarea pasului k; astfel: se alege num¼arulr egal sau cel mai mic num¼ar întreg pentru care��a(k)rk �� = max

k�i�m

��a(k)ik ��si se permut¼a liniile k si r. Deci, alegem ca pivot, la �ecare pas k, primul elementmaxim în modul întâlnit sub elementul a(k)kk .

2) Dac¼a m = n, atunci determinantul matricei sistemului (8.1) este egal cu(�1)s a(1)11 a

(2)22 :::a

(n)nn unde s este num¼arul total de permut¼ari de linii efectuate (evi-

dent când se aplic¼a pivotarea).3) Când m = n, exist¼a cazuri când pivotarea nu este necesar¼a si anume când:

- matricea sistemului este slab diagonal dominant¼a;- matricea sistemului este simetric¼a si pozitiv de�nit¼a.

În încheiere, mention¼am c¼a metoda lui Gauss este o metod¼a direct¼a de rezolvarea sistemelor, adic¼a dup¼a un num¼ar �nit de operatii logice si aritmetice si în ipotezaabsentei rotunjirilor, metoda d¼a solutia exact¼a a sistemului.

EXEMPLE. 1. Fie sistemul8>><>>:2x1 + 5x2 � 8x3 = 84x1 + 3x2 � 9x3 = 92x1 + 3x2 � 5x3 = 7x1 + 8x2 � 7x3 = 12

:

S¼a rezolv¼am sistemul prin metoda lui Gauss. Vom elimina pe rând necunos-cutele x1; x2; x3. Pentru simplitatea scrierii, operatiile necesare vor � efectuateasupra matricei extinse a sistemului.0BB@

2 5 �84 3 �92 3 �51 8 �7

��89712

1CCA !

0BBB@2 5 �80 �7 70 �2 3

011

2�3

��8

�7�18

1CCCA !

0BBB@2 5 �80 �7 70 0 1

0 05

2

��8

�715

2

1CCCA !

0BB@2 5 �80 �7 70 0 10 0 0

��8

�710

1CCA :Deci ultima ecuatie este consecint¼a a celorlalte. Sistemul este compatibil de-

terminat. Avem de rezolvat sistemul superior triunghiular8<: 2x1 +5x2�7x2

�8x3 =+7x3 =x3 =

8�71;

care are solutia (3; 2; 1).


2. Aceeasi problem¼a, pentru sistemul8>><>>:x1�3x1�2x1+x1+

2x2+x2�x2�3x2�

2x32x3�2x3�

x4 ==

x4 =2x4 =

�3147

:

Procedând ca mai sus, obtinem succesiv0BB@1 �2 0 13 �1 �2 02 1 �2 �11 3 �2 �2

��3147

1CCA !

0BB@1 �2 0 10 5 �2 �30 5 �2 �30 5 �2 �3

��3101010

1CCA !

0BB@1 �2 0 10 5 �2 �30 0 0 00 0 0 0

��31000

1CCA :Ultimele dou¼a ecuatii sunt consecint¼a a primelor dou¼a. sistemul este compatibil

dublu nedeterminat. Sistemul:�x1 � 2x2+

5x2� 2x3�x4 = �33x4 = 10

este echivalent cu sistemul initial si are o in�nitate de solutii:

x1 = 1 +4

5x3 +

1

5x4; x2 = 2 +

2

5x3 +

3

5x4; x3 2 R; x4 2 R:

3. Aceeasi problem¼a pentru sistemul8<: 3x1 � 5x2+7x1 � 4x2+5x1 + 7x2�

2x3 + 4x4 = 2x3 + 3x4 = 54x3 � 6x4 = 3

:

Obtinem succesiv:0@ 3 �5 2 47 �4 1 35 7 �4 �6

��253

1A !

0BBB@3 �5 2 4

023

3�113

�193

046

3�223

�383

��21

3

�13

1CCCA !

0B@ 3 �5 2 4

023

3�113

�193

0 0 0 0

��21

3�1

1CA :Sistemul este incompatibil.

4. S¼a se calculeze inversa matricei A =

0@ 1 0 10 1 11 1 1

1A.Problema se reduce la rezolvarea simultan¼a a trei sisteme de ecuatii cu aceeasi

matrice, iar termenii liberi sunt coloanele matricei unitate I3. Obtinem succesiv:

9. PROBLEME 490@ 1 0 10 1 11 1 1

��1 0 00 1 00 0 1

1A !

0@ 1 0 10 1 10 1 0

��1 0 00 1 0

�1 0 1

1A !0@ 1 0 10 1 10 0 �1

��1 0 00 1 0

�1 �1 0

1A.Pentru rezolvarea celor trei sisteme, vom c¼auta ca prin transform¼ari elementare

asupra liniilor s¼a obtinem în stânga, matricea unitate. Deci0@ 1 0 10 1 10 0 �1

��1 0 00 1 0

�1 �1 0

1A L1 + L3 ! L1L2 + L3 ! L1

�L3 ! L3

!0@ 1 0 00 1 00 0 1

��0 �1 1

�1 0 11 1 �1

1A,deci A�1 =

0@ 0 �1 1�1 0 11 1 �1

1A :9. Probleme

1. Fie V = (0;1). S¼a se arate c¼a în raport cu operatiile x� y = xy, x; y 2 Vsi � x = x� , � 2 R, x 2 V , V devine spatiu vectorial real.

2. Fie V un K-spatiu vectorial si v 2 V , v 6= 0V . De�nim x � y = x + y � v;x; y 2 V; � x = �x+ f (�) v; � 2 K; x 2 V: S¼a se determine f (�) astfel încât Vînzestrat cu cele dou¼a operatii s¼a �e spatiu vectorial.

3. S¼a se precizeze care din urm¼atoarele submultimi ale lui R3 sunt subspatiivectoriale ale lui R3?

a) S1 = f(x1; x2; x3) ; x1+2x2�3x3 = 0g; b) S2 = f(x1; x2; x3) ; x1�x2+x3 == 1g;

c) S3 = f(x1; x2; x3) ; jx1j+ jx2j = 1g; d) S4 = f(x1; x2; x3) ; x21 � x2 = 0g;e) S5 = f(x1; x2; x3) ; x1 = 2x2g.

4. În Mn (R), �e S1 = fA 2 Mn (R) ; AT = Ag, S2 = fA 2 Mn (R) ; AT == �Ag. S¼a se arate c¼a S1 si S2 sunt subspatii vectoriale ale luiMn (R) siMn (R) == S1 � S2. S¼a se g¼aseasc¼a dimensiunile acestor subspatii.

5. Fie A 2Mm;n (R), A = (aij) si S = fx 2 Rn;nPj=1

aijxj = 0, 1 � i � mg. S¼a

se arate c¼a S este un subspatiu vectorial al lui Rn.

6. Fie V un spatiu vectorial si v1, v2, v3 2 V liniar independenti. S¼a se aratec¼a si vectorii w1 = v1 + v2 + v3, w2 = v1 + v2 � v3, w3 = v1 � v2 + v3 sunt liniarindependenti.

7. S¼a se arate c¼a vectorii v1 = (1; 2; 2; 1), v2 = (5; 6; 6; 5), v3 = (�1;�3; 4; 0),v4 = (0; 4;�3;�1) sunt liniar dependenti. S¼a se scrie v4 ca o combinatie liniar¼a dev1, v2, v3.

8. S¼a se arate c¼a vectorii v1 = (2; 1;�3), v2 = (3; 2;�5), v3 = (1;�1; 1)formeaz¼a o baz¼a a lui R3. S¼a se determine coordonatele vectorilor x = (4; 4;�9)


si y = (6; 2;�7) în aceast¼a baz¼a. Aceeasi problem¼a pentru vectorii v01 = (1; 2; 1),v02 = (1; 1; 1), v

03 = (1; 3; 2), x

0 = (2; 1; 1), y0 = (1; 1; 0).

9. S¼a se arate c¼a vectorii v1, v2, v3, v4 formeaz¼a o baz¼a a lui R4. S¼a se determinecoordonatele vectorului x în raport cu aceast¼a baz¼a:

a) v1 = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; 2; 1; 1), v3 = (1; 1; 2; 1), v4 = (1; 3; 2; 3);x = (1;�4;�2;�5);

b) v1 = (1; 0; 0; 1), v2 = (2; 1; 3; 1), v3 = (1; 1; 0; 0), v4 = (0; 1;�1; 1);x = (0; 0; 0; 1).

10. Sunt liniar independente matricele A =

�2 15 3

�, B =

�5 �32 1

�,

C =

�1 �12 �3

�? Dar functiile f1; f2; f3 : R ! R; f1(x) = ex, f2(x) = e�x,

f3(x) = e2x?

11. S¼a se determine dimensiunea si o baz¼a a subspatiului generat de vectorii:a) v1 = (1; 1; 1), v2 = (1; 2; 3), v3 = (0; 1; 1), v4 = (0; 0; 0);b) v1 = (1; 0; 0;�1), v2 = (2; 1; 1; 0), v3 = (1; 1; 1; 1), v4 = (1; 2; 3; 4),

v5 = (0; 1; 2; 3).

12. S¼a se determine dimensiunile sumei si intersectiei subspatiilor generate:a) u1 = (1; 2;�1), u2 = (3; 4;�2), u3 = (2; 2;�1), respectiv v1 = (0; 1; 1),

v2 = (1; 2; 0);b) u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (1;�1; 1;�1), u3 = (1; 3; 1; 3), respectiv

v1 = (1; 2; 0; 2), v2 = (1; 2; 1; 2), v3 = (3; 1; 3; 1).

13. S¼a se completeze sistemul format din vectorii v1 = (2;�1; 3), v2 = (4; 1; 1)la o baz¼a a lui R3.

14. S¼a se arate c¼a functiile f1; f2; f3 : R ! R, f1(t) = t, f2(t) = t2 + 1,f3(t) = t2 + t formeaz¼a o baz¼a în spatiul polinoamelor de grad cel mult 2. S¼a sedetermine coordonatele functiilor t2 + 2t + 4 respectiv t2 + 3 în raport cu aceast¼abaz¼a.

15. S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a în spatiul vectorial al solutiilor sistemului x1 + x2��x3 = 0, x1 � x2 + x4 = 0, x2 + x4 = 0.

16. În spatiul vectorial al functiilor f : R ! R s¼a se arate c¼a functiile f1 (t) == sin t, f2 (t) = cos t, f3 (t) = t sunt liniar independente.

17. S¼a se g¼aseasc¼a rangul matricelor:

a)

0BB@1 2 �32 1 0

�2 �1 3�1 4 �2

1CCA; b)0@ 2 �1 3 �2 44 �2 5 1 72 �1 1 8 2

1A.18. Fie S1 si S2 subspatiile vectoriale ale lui R4 date de: S1 = f(x1; x2; x3; x4) ;

x2 + x3 + x4 = 0g, S2 = f(x1; x2; x3; x4) ; x1 + x2 = 0, x3 = 2x4g. S¼a se g¼aseasc¼adimensiunile si baze ale acestor subspatii, precum si ale subspatiilor S1\S2, S1+S2.

19. În R2 �e x = 2f1 + f2, unde f1 = (�1; 1), f2 = (2; 3). S¼a se determinecoordonatele lui x în baza fg1; g2g, unde g1 = (1; 3), g2 = (3; 8).

20. S¼a se determine matricea de trecere de la baza B = ff1; f2; f3g la bazaB0 = fg1; g2; g3g; dac¼a f1 = (1; 0; 0), f2 = (1; 1; 0), f3 = (1; 1; 1), g1 = (3; 0; 2),

9. PROBLEME 51

g2 = (�1; 1; 4), g3 = (3; 5; 2). Cum se schimb¼a coordonatele unui vector când setrece de la baza B0 la baza B?

CHAPTER 3

Aplicatii liniare

Al¼aturi de notiunea de spatiu vectorial, notiunea de aplicatie liniar¼a sau deoperator liniar are o important¼a deosebit¼a în algebra liniar¼a si în aplicatiile acesteia,ca �purt¼ator de informatie liniar¼a�de la un spatiu vectorial la altul. Vom prezentaacest concept de baz¼a în cele ce urmeaz¼a.

1. Aplicatii liniare. Izomor�sme de spatiivectoriale

DEFINITIE. Fie V , W dou¼a subspatii vectoriale peste acelasi corp K. Senumeste aplicatie liniar¼a sau operator liniar (sau mor�sm de spatii vectoriale) ofunctie T : V �!W cu propriet¼atile:

a) T (x+ y) = T (x) + T (y); 8x; y 2 V ; (T este aditiv¼a)b) T (�x) = �T (x); 8� 2 K; x 2 V . (T este omogen¼a)Dac¼a, în plus, T este bijectiv¼a, atunci T se numeste izomor�sm de spatii vec-

toriale, iar spatiile V si W se numesc izomorfe si se noteaz¼a V 'W:

Vom folosi de asemenea, notatia Tx în loc de T (x), dac¼a nu este pericol deconfuzie.

O aplicatie liniar¼a T : V �! V se numeste transformare liniar¼a sau operatorliniar al lui V sau endomor�sm al lui V . Se numeste automor�sm al lui V oriceendomor�sm bijectiv al lui V .

O aplicatie liniar¼a f : V �! K se numeste form¼a liniar¼a pe V sau functional¼aliniar¼a pe V .

Vom nota cu L(V;W ) multimea aplicatiilor liniare de la V la W si cu L(V )multimea endomor�smelor lui V .

OBSERVATII. 1) Dac¼a în conditia a) punem x = 0V , se obtine T (0V ) = 0W .De asemenea, luând � = �1 în b), se obtine T (�x) = �Tx:

2) T : V �! W este liniar¼a dac¼a si numai dac¼a T (�x + �y) = �Tx + �Ty;8x; y 2 V; �; � 2 K:

EXEMPLE. 1) Aplicatia � : V �! W; �(x) = 0W , 8x 2 V; este liniar¼a si senumeste aplicatia nul¼a de la V la W .

2) Aplicatia identic¼a, 1V : V �! V; 1V (x) = x; 8x 2 V este liniar¼a. Mai mult,este automor�sm al lui V .

3) Fie A 2Mm;n(R) o matrice �xat¼a, A = (aij): Dac¼a x 2 Rn, x = (x1; :::; xn) ;de�nim:

T : Rn �! Rm; Tx = (nXi=1

a1ixi;nXi=1

a2ixi; :::;nXi=1

amixi):

53

54 3. APLICATII LINIARE

T este o aplicatie liniar¼a numit¼a aplicatia liniar¼a asociat¼a matricei A. Deexemplu, aplicatia T : R3 �! R3; T (x1; x2; x3) = (2x1 + x2; x1 � x3; x1 + x2+

+x3); este aplicatia generat¼a de matricea A =

0@ 2 1 01 0 �11 1 1

1A :4) Fie V un K-spatiu vectorial si � un element nenul din K. Aplicatia

T� : V �! V; T�(x) = �x este un automor�sm al lui V si se numeste omotetie deraport �:

5) Fie x 2 Rn; x = (x1; :::; xn) : Pentru orice k, 1 � k � n, aplicatiapk : Rn �! R; pk(x) = xk este o aplicatie liniar¼a numit¼a proiectie canonic¼a deindice k .

6) Fie c1; :::; cn 2 Rn numere �xate; aplicatia T : Rn �! R; T (x1; :::; xn) == c1x1 + :::+ cnxn este o form¼a liniar¼a pe Rn:

7) Fie a; b 2 R; a < b: AplicatiaD : C1([a; b];R) �! C0([a; b];R); Df = f 0; 8f 2C1([a; b];R) este o aplicatie liniar¼a (numit¼a operatorul de derivare). De asemenea

I : C0([a; b];R) �! R; I(f) =bRa

f(x) dx; 8f 2 C0([a; b];R) este o functional¼a liniar¼a.

8) În spatiul vectorilor liberi V3; consider¼am baza canonic¼a f~i; ~j; ~kg: Dac¼a~v 2 V3 atunci ~v = v1~i + v2~j + v3~k: Aplicatia T : V3 �! R3; T~v = (v1; v2; v3) este,evident, un izomor�sm de spatii vectoriale.

PROPOZITIA 1.1. Dac¼a V , W sunt K-spatii vectoriale, atunci L(V;W ) are ostructur¼a natural¼a de K-spatiu vectorial.

Demonstratie. Fie T; S 2 L(V;W ) si � 2 K: De�nim T + S; �T : V �! Wastfel: (T + S)(x) = Tx + Sx; 8x 2 V si (�T )(x) = �Tx; 8x 2 V . T + S este oaplicatie liniar¼a. Într-adev¼ar,

(T + S)(�x+ �y) = T (�x+ �y) + S(�x+ �y) = �Tx+ �Ty + �Sx+ �Sy =

= �(Tx+ Sx) + �(Ty + Sy) = �(T + S)(x) + �(T + S)(x);8x; y 2 V; �; � 2 K:Similar,

(�T )(�x+ �y) = �T (�x+ �y) = �(�Tx+ �Ty) = �(�Tx) + �(�Ty) =

= �(�T )(x) + �(�T )(y);8�; � 2 K;x; y 2 V:Se veri�c¼a usor c¼a L(V;W ) înzestrat cu cele dou¼a operatii are o structur¼a de K-spatiu vectorial. �

PROPOZITIA 1.2. Fie Vi; i = 1; 2; 3; trei K-spatii vectoriale si T 2 L(V1; V2);S 2 L(V2; V3): Atunci:

a)Aplicatia S � T este liniar¼a;b) Dac¼a T este izomor�sm, atunci T�1 : V2 �! V1 este un izomor�sm de

spatii vectoriale.

Demonstratie. a) Din liniaritatea lui T si S, rezult¼a c¼a pentru orice x; y 2 V1;�; � 2 K avem:

(S � T )(�x+ �y) = S(T (�x+ �y)) = S(�Tx+ �Ty) =

= �S(Tx) + �S(Ty) = �(S � T )(x) + �(S � T )(y):

2. NUCLEU SI IMAGINE 55

b) Deoarece inversa unei aplicatii bijective este bijectiv¼a, este su�cient s¼a ar¼at¼amc¼a T�1 este liniar¼a. Fie x; y 2 V2; �; � 2 K: Exist¼a x0; y0 2 V1 astfel încât x = Tx0;y = Ty0: Atunci:

T�1(�x+ �y) = T�1(�Tx0 + �Ty0) = T�1(T (�x0 + �y0)) =

= �x0 + �y0 = �T�1x+ �T�1y;

deci T�1 este liniar¼a. �TEOREMA 1.3. a) Orice K-spatiu vectorial de dimensiune n este izomorf cu

Kn:b) Dou¼a K-spatii vectoriale �nit dimensionale V si W sunt izomorfe dac¼a si

numai dac¼a dimK(V ) = dimK(W ):

Demonstratie. a) Fie fe1; :::; eng o baz¼a în V si x 2 Kn; x = (x1; :::; xn):De�nim T : Kn �! V astfel Tx = x1e1 + ::: + xnen: Vom ar¼ata c¼a T este unizomor�sm de spatii vectoriale. T este surjectiv¼a, deoarece, dac¼a v 2 V atunci exist¼a�1; :::; �n 2 K astfel încât v = �1e1 + ::: + �nen: Exist¼a, deci, x = (�1; :::; �n) 2Kn astfel ca Tx = v. De asemenea, T este injectiv¼a, deoarece dac¼a x; y 2 Kn;x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn) si Tx = Ty, atunci (x1 � y1)e1+ +::: + (xn �yn)en = 0V : Cum sistemul de vectori fe1; :::; eng este liniar independent, rezult¼ax1 = y1; :::; xn = yn; adic¼a x = y. Asadar T este bijectiv¼a.

Vom ar¼ata acum c¼a T este liniar¼a. Fie x; y 2 Kn ca mai sus si �; � 2 K:Atunci:

T (�x+ �y) = (�x1 + �y1)e1 + :::+ (�xn + �yn)en = �(x1e1 + :::+ xnen)+

+�(y1e1 + :::+ ynen) = �Tx+ �Ty;

deci T este liniar¼a. În concluzie Kn ' V:b) " =) " S¼a presupunem c¼a V ' W; deci exist¼a T : V �! W izomor�sm.

Fie B = fe1; :::; eng baz¼a în V . Vom ar¼ata c¼a B0 = fTe1; :::; T eng este baz¼a înW , de unde dimK(V ) = dimK(W ): T �ind surjectiv¼a, pentru orice y 2 W exist¼a

x =nPi=1

xiei 2 V astfel încât y = Tx =nPi=1

xi � T (ei) (T �ind liniar¼a). Atunci B0

este un sistem de generatori în W . Pe de alt¼a parte, dac¼anPi=1

�iTei = 0W , atunci

T (nPi=1

�iei) = 0W = T0V : Cum T este injectiv¼a, rezult¼anPi=1

�iTei = 0V si cum

B este liniar independent¼a, vom avea �1 = ::: = �n = 0: Asadar B0 este liniarindependent¼a si, în consecint¼a, baz¼a în W .

" (= " Dac¼a dimK(V ) = dimK(W ) = n; conform a), exist¼a S1 : Kn �! V;S2 : K

n �! W izomor�sme de spatii vectoriale, Atunci T = S2 � S�11 este unizomor�sm. �

OBSERVATIE. Izomor�smul U : V �! Kn; x 2 V; x = x1e1 + ::: + xnen;Ux = (x1; :::; xn) se numeste izomor�sm canonic.

2. Nucleu si imagine

Fie V , W dou¼a K-spatii vectoriale si T 2 L(V;W ):TEOREMA 2.1. a) Dac¼a M este subspatiu vectorial al lui V , atunci T (M)

este subspatiu vectorial al lui W ;


b) Dac¼a N este subspatiu vectorial al lui W , atunci T�1(N) = fx 2 V ;Tx 2 Ng este subspatiu vectorial al lui V .

Demonstratie. a) Cum 0V 2 M , rezult¼a T0V = 0W 2 T (M), deci T (M) 6= �:Fie acum y; y0 2 T (M) si �; � 2 K: Exist¼a x; x0 2M astfel ca Tx = y; Tx0 = y0: T�ind liniar¼a, rezult¼a �y+�y0 = �Tx+�Tx0 = T (�x+�x0): CumM este subspatiuvectorial al lui V , rezult¼a �x+ �x0 2 M , deci �y + �y0 2 T (M); adic¼a T (M) estesubspatiu vectorial al lui W .

b) 0V 2 T�1(N), deoarece 0W 2 N , deci T�1(N) 6= �: Fie x; y 2 T�1(N);�; � 2 K: Atunci Tx; Ty 2 N; deci T (�x+�y) = �Tx+�Ty 2 N; deoarece N estesubspatiu vectorial al lui W . În consecint¼a, �x+ �y 2 T�1(N):�

DEFINITIE. Subspatiul vectorial T�1(0W ) = fx 2 V ;Tx = 0V g se numestenucleul lui T si se noteaz¼a KerT: De asemenea, subspatiul T (V ) = fy 2 W ;9x 2 V a:{: Tx = yg se numeste imaginea lui T si se noteaz¼a ImT:

Evident, KerT � V si ImT �W:

TEOREMA 2.2. a) T injectiv¼a () KerT = f0V g:b) T surjectiv¼a () ImT =W:

Demonstratie. a)" =) " Fie x 2 KerT; deci Tx = 0W = T0V : Cum T esteinjectiv¼a, rezult¼a x = 0V , deci KerT = f0V g:

" (= " Fie x; y 2 V astfel ca Tx = Ty. Atunci T (x � y) = 0V , adic¼ax� y 2 KerT , deci x� y = 0V . Asadar x = y si T injectiv¼a.

b) rezult¼a imediat din de�nitia lui ImT:�

LEM¼A 2.3. Dac¼a dimK V = n si fe1; :::; eng este o baz¼a a lui V , atuncifTe1; :::; T eng este un sistem de generatori pentru ImT .Acest sistem de generatoriva � baz¼a în ImT dac¼a si numai dac¼a T este injectiv¼a.

Demonstratie. Într-adev¼ar, dac¼a y 2 ImT , exist¼a x 2 V astfel ca Tx = y: Dar

x = �1e1 + ::: + �nen; �i 2 K; i = 1; n; deci y =nPi=1

xi � Tei, adic¼a fTe1; :::; T eng

este sistem de generatori în ImT . Dac¼a T este injectiv¼a si �1Te1 + :::+ �nTen == 0W , atunci T (�1e1 + ::: + �nen) = 0W = T (0V ); deci �1e1 + ::: + �nen == 0V : Cum fe1; :::; eng este liniar independent¼a, rezult¼a �1 = ::: = �n = 0, adic¼afTe1; :::; T eng este liniar independent¼a, deci baz¼a în ImT:

Reciproc, presupunem c¼a fTe1; :::; T eng este liniar independent¼a. Fiex 2 KerT , x = �1e1 + :::+ �nen si cum Tx = 0W , rezult¼a �1Te1 + :::+ �nTen == 0W : Cum fTe1; :::; T eng este liniar independent¼a, rezult¼a �1 = ::: = �n = 0, decix = 0V , adic¼a T este injectiv¼a. �

OBSERVATIE. Fie V astfel ca dimK(V ) = n: Cum KerT � V , conform teo-remelor 2.1 si 5.1, cap. 2, dimK(KerT ) � n. Conform teoremelor 2.1 si 4.2, cap.2, dimK(ImT ) � n:

Putem deci formula:

DEFINITIE. Presupunem c¼a dimK(V ) = n: Dac¼a T este o aplicatie liniar¼aT : V �! W , atunci dimK(KerT ) se numeste defectul lui T si se noteaz¼a defT:De asemenea, dimK(ImT ) se numeste rangul lui T si se noteaz¼a rangT:

2. NUCLEU SI IMAGINE 57

TEOREMA 2.4. (teorema rang-defect) Fie V ,W dou¼a K-spatii vectoriale cudimK(V ) = n si T 2 L(V;W ): Atunci:

dimK(V ) = defT + rangT:

Demonstratie. Fie p = defT; 0 � p � n; B = fe1; :::; eng baz¼a în KerT , deciTei = 0; 1 � i � p: Complet¼am baza B la o baz¼a B0 = fe1; :::; ep; ep+1; :::; eng a luiV . Vom demonstra c¼a B00 = fTep+1; :::; T eng formeaz¼a o baz¼a în ImT . Vom ar¼atamai întâi c¼a B00 este liniar independent¼a. Dac¼a �p+1Tep+1 + ::: + �nTen = 0W ,rezult¼a T (�p+1ep+1 + ::: + �nen) = 0W , deci �p+1ep+1 + ::: + �nen 2 KerT: Prinurmare exist¼a �1; :::; �p 2 K astfel încât �p+1ep+1 + :::+ �nen = �1e1 + :::+ �pepsau �1e1 + ::: + �pep + (��p+1)ep+1 + ::: + (��n)en = 0V : B

0 �ind baz¼a în V ,rezult¼a �1 = ::: = �n = 0, deci B00 este liniar independent¼a. S¼a ar¼at¼am acumc¼a B00 este sistem de generatori în ImT: Dac¼a y 2 ImT atunci exist¼a x 2 V

astfel ca Tx = y: Dar x =nPi=1

xiei unde x =pPi=1

xiei 2 KerT: T �ind liniar¼a,

rezult¼a y = Tx =nPi=1

�iTei, deci B00 este baz¼a în ImT: Atunci rangT = n � p =

= dimK(V )� defT . �COROLAR 2.4.1. Dac¼a V este un K-spatiu vectorial de dimensiune n si T un

endomor�sm al lui V , atunci T este injectiv () T este surjectiv.

Demonstratie. T este injectiv() KerT = f0V g () defT = 0() rangT =n() ImT = V () T surjectiv.

EXEMPLU. Fie x 2 R3; x = (x1; x2; x3) si T : R3 �! R3; Tx = (x1 + x2��x3; x1 � x2 + x3; 5x1 � x2 + x3): Se veri�c¼a usor c¼a T este liniar¼a. Pe de alt¼aparte x 2 KerT dac¼a si numai dac¼a, coordonatele sale veri�c¼a sistemul liniar

omogenx1 + x2 � x3 = 0x1 � x2 + x3 = 05x1 � x2 + x3 = 0

: Solutia general¼a a acestui sistem �ind x1 = 0; x2 = t;

x3 = t; t 2 R; rezult¼a c¼a KerT = fx 2 R3;x = t(0; 1; 1); t 2 Rg = Sp(fug); undeu = (0; 1; 1): Atunci defT = 1, o baz¼a în KerT �ind vectorul u. Conform teo-remei 2.3, rezult¼a c¼a rangT = 2: Dup¼a lema de mai sus, Te1 = (1; 1; 5); T e2 == (1;�1;�1); T e3 = (�1; 1; 1)(fe1; e2; e3g �ind baz¼a canonic¼a în R3) formeaz¼aun sistem de generatori pentru ImT: Deci doar doi sunt liniar independenti, deexemplu Te1 si Te2, acestia constituind o baz¼a în ImT:

COROLAR 2.4.2. Fie V; V 0; V 00 trei K-spatii vectoriale �nit dimensionale siS : V �! V 0; T : V 0 �! V 00 dou¼a aplicatii liniare. Atunci:

a) rang(T � S) � rangT ;b) rang(T � S) � rangS;c) dac¼a T este izomor�sm, atunci rang(T � S) = rangS;d) dac¼a S este izomor�sm, atunci rang(T � S) = rangT:Demonstratie. Evident, T � S este o aplicatie liniar¼a. a) Deoarece S(V ) � V 0,

rezult¼a T (S(V )) � T (V 0): Atunci:rang(T � S) = dimK(T � S)(V ) � dimK T (V 0) = rangT:

b) Cum KerS � Ker(T � S); rezult¼a defS � def(T � S): Conform teoremeirang-defect,

rang(T � S) = dimK(V )� def(T � S) � dimK(V )� defS = rangS:


c) Deoarece T este izomor�sm, exist¼a T�1 : V 00 �! V 0: Putem scrie S = T�1��(T �S): Conform b) rangS � rang(T �S) � rangS: d) Se scrie T = (T �S)�S�1:�

3. Matricea asociat¼a unei aplicatii liniare

Vom ar¼ata c¼a dac¼a V si W sunt K-spatii vectoriale �nit dimensionale, atunciL(V;W ) este izomorf cu un spatiu de matrice. Fie deci dimK(V ) = n; B = =fe1; :::; eng o baz¼a �xat¼a în V si dimK(W ) = m; C = ff1; :::; fmg o baz¼a �xat¼a înW .

Dac¼a T 2 L(V;W ), atunci pentru orice j; 1 � j � n; Tej 2 W , deci exist¼ascalarii aij 2 K; 1 � i � m, unic determinati, (�ind coordonatele vectorilor Tej ; 1 �j � n, în baza C) astfel ca:

(3.1) Tej =mXi=1

aijfi; j = 1; n:

DEFINITIE. Se numeste matricea lui T în raport cu bazele B si C, matriceaAB;CT = (aij) de tip (m;n) a c¼arei coloan¼a j este constituit¼a din coordonatelevectorului Tej în raport cu baza C. Dac¼a V =W si B = C, vom scrie AB;BT = ABTsi vom spune c¼a ABT este matricea endomor�smului T în raport cu baza B.

Asadar matricea lui T depinde de bazele B si C. Vom omite indicii cândnu este pericol de confuzie. Num¼arul liniilor matricei A atasat¼a aplicatiei liniareT : V !W este egal cu dimensiunea lui W , iar num¼arul coloanelor cu dimensiunealui V . Evident, în cazul unui endomor�sm num¼arul liniilor coincide cu num¼arulcoloanelor, deci matricea este p¼atratic¼a. Vom nota cu Mn(K) multimea matricelorde tip (n; n).

EXEMPLE. 1) Fie T : R2 ! R2; T (x; y) = (�x;�y) (simetria în raport cuoriginea). Consider¼am în R2, baza canonic¼a e1 = (1; 0); e2 = (0; 1). S¼a determin¼ammatricea endomor�smului T în baza fe1; e2g. Cum Te1 = �e1; T e2 = = �e2rezult¼a c¼a matricea lui T în baza fe1; e2g este A =

��1 00 �1

�.

2) În R3 consider¼am baza canonic¼a fe1; e2; e3g; e1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0);e3 = (0; 0; 1); iar în R1[X] baza ff1; f2g; f1 = 1; f2 = X. Dac¼a x = (�1; �2; �3) 22 R3, de�nim T : R3 ! R1[X]; Tx = �1+�2+(�1+2�2��3)X. S¼a se determinematricea lui T în cele dou¼a baze. Deoarece Te1 = f1 + f2; T e2 = f1 + 2f2; T e3 =

= �f2, rezult¼a A =�1 1 01 2 �1

�:

3) Fie V un K-spatiu vectorial si fe1; :::; eng baza în V . Vom determina ma-tricea aplicatiei identice 1V : V ! V; 1V (x) = x; 8x 2 V . Deoarece 1V (ei) = = ei,1 � i � n, rezult¼a c¼a matricea lui 1V este matricea unitate:

In =

0BB@1 0 ::: 00 1 ::: 0::: :::

0 0 ::: 1

1CCA :LEM¼A 3.1. Fie V siW K-spatii vectoriale, fe1; :::; eng o baz¼a în V si fy1; :::; yng

un sistem arbitrar de vectori din W . Exist¼a o unic¼a aplicatie liniar¼a T : V ! Wastfel ca Tei = yi; 1 � i � n.

3. MATRICEA ASOCIAT ¼A UNEI APLICATII LINIARE 59

Demonstratie. Dac¼a x 2 V , atunci x =nPi=1

xiei: De�nim Tx =nPi=1

xiyi. T este

evident liniar¼a si Tei = yi; 1 � i � n. S¼a veri�c¼am unicitatea. Dac¼a S : V ! Weste o alt¼a aplicatie liniar¼a satisf¼acând Sei = yi; 1 � i � n, atunci pentru oricex 2 V avem:

Sx = S(nXi=1

xiei) =nXi=1

xiSei =nXi=1

xiyi = Tx:�

Lema 3.1 d¼a posibilitatea de a de�ni în mod unic o aplicatie liniar¼a punând înevident¼a doar valorile sale pe o baz¼a a domeniului de de�nitie.

TEOREMA 3.2. Fie V si W dou¼a K-spatii vectoriale de dimensiune n sirespectiv m, B = fe1; :::; eng o baz¼a în V , C = ff1; :::; fng o baz¼a în W . Aplicatia' : L(V;W ) ! Mm;n(K) care face s¼a corespund¼a oric¼arui T 2 L(V;W ) matriceaAB;CT de�nit¼a mai sus este un izomor�sm de spatii vectoriale.

Demonstratie. Vom ar¼ata mai întâi c¼a ' este liniar¼a. Fie S; T 2 L(V;W ) si�; � 2 K. Dac¼a '(S) = (aij); '(T ) = (bij); '(�S + �T ) = (cij), atunci:

mXi=1

cijfi = (�S + �T )(ej) = �Sej + �Tej = �

mXi=1

aijfi + �

mXi=1

bijfi =

=mXi=1

(�aij + �bij)fi; j = 1; n:

Cum ff1; :::; fmg este baz¼a în W , rezult¼a cij = �aij + �bij ; i = 1;m; j == 1; n, adic¼a '(�S + �T ) = �'(S) + �'(T ), deci ' este liniar¼a. Vom ar¼atac¼a ' este bijectiv¼a. Dac¼a T 2 L(V;W ) si '(T ) = 0, atunci Tej = 0W , deci

dac¼a x =nPi=1

xiei 2 V atunci Tx = 0W deci T este aplicatia nul¼a. În concluzie

Ker' = f�g, deci ' este injectiv¼a. S¼a ar¼at¼am acum c¼a ' este surjectiv¼a. FieM = (aij) o matrice de tip (m;n) cu coe�cienti în K. Consider¼am vectorii yj

din W , yj =mPi=1

aijfi; j = 1; n. Conform lemei 3.1 exist¼a o aplicatie liniar¼a unic¼a

T : V ! W astfel ca Tej = yj ; j = 1; n, deci astfel ca '(T ) = M . În consecint¼a 'este surjectiv¼a si teorema este demonstrat¼a. �

COROLAR 3.2.1. Dac¼a dimK(V ) = n;dimK(W ) = m, atunci

dimK(L(V;W )) = m � n:Demonstratie. Se tine seama de teoremele 3.2 si 1.3.

TEOREMA 3.3. În ipotezele teoremei 3.2, �e T 2 L(V;W ) si M = (aij) ma-

tricea lui T în raport cu bazele B si C. Atunci dac¼a x =nPi=1

xiei 2 V , coordonatele

vectorului y = Tx în baza C sunt date de

(3.2) yi =nXj=1

aijxj ; i = 1;m:


Demonstratie. Avem: y = Tx =nPj=1

xjTej =nPj=1

xj(mPi=1

aijfi) =

=mPi=1

(nPj=1

aijxj)fi, de unde (3.2).

4. Matrice si aplicatii liniare

Vom de�ni operatiile cu matrice pornind de la operatiile corespunz¼atoare cuaplicatii liniare. Fie deci V , W dou¼a K-spatii vectoriale, fe1; :::; eng baza în V ,ff1; :::; fmg baza în W si S; T 2 L(V;W ).

Fie A si B matricele asociate lui S si T respectiv, în raport cu cele dou¼a baze,A = (aij); B = (bij).

Egalitatea matricelor. Dou¼a aplicatii liniare S si T sunt egale dac¼a si numaidac¼a S(ej) = T (ej); j = 1; n, adic¼a

a1jf1 + a2jf2 + :::+ amjfm = b1jf1 + b2jf2 + :::+ bmjfm:

Cum ff1; :::; fmg este baz¼a înW , rezult¼a c¼a S = T dac¼a si numai dac¼a aij = bij ;i = 1;m; j = 1; n, ceea ce conduce la urm¼atoarea

DEFINITIE. Dou¼a matrice A = (aij); B = (bij) de tip (m;n) sunt egale dac¼aaij = bij ; i = 1;m; j = 1; n.

Adunarea matricelor. Fie C = (cij) matricea aplicatiei liniare S + T . Avem:

(S + T )(ej) = S(ej) + T (ej) =mXi=1

aijfi +mXj=1

bijfi =mXi=1

(aij + bij)fi; j = 1; n:

În consecint¼a, cij = aij + bij ; i = 1;m; j = 1; n:Putem deci formula urm¼atoarea

DEFINITIE. Dac¼a A = (aij); B = (bij) sunt dou¼a matrice de tip (m;n), senumeste suma lui A si B si se noteaz¼a A + B, matricea de tip (m;n), ale c¼areielemente sunt aij + bij ; i = 1;m; j = 1; n:

Înmultirea unei matrice cu un scalar. Fie C = (cij) matricea aplicatiei �S;

� 2 K. Atunci (�S)(ej) = � � Sej = �mPi=1

aijfi =mPi=1

(�aij)fi; j = 1; n. Deci

cij = �aij ; i = 1;m; j = 1; n.

DEFINITIE. Dac¼a A = (aij) este o matrice de tip (m;n), produsul dintrescalarul � si matricea A este matricea �A obtinut¼a multiplicând toate elementelelui A cu �.

Produsul a dou¼a matrice. Fie U; V;W trei K-spatii vectoriale B1 = fe1; :::; eng,B2 = ff1; :::; fmg, B3 = fg1; :::; grg baze ale lui U; V;W respectiv. FieS 2 L(U; V ), T 2 L(V;W ), A = (aij); B = (bij) matricele lui S si T în raportcu bazele date.

Vrem s¼a determin¼am matricea lui T � S în raport cu bazele B1 si B3. FieC = (cij) matricea asociat¼a lui T � S. Atunci:

(T � S)(ej) = T (Sej) = T (mXk=1

akjfk) =mXk=1

akjTfk =

4. MATRICE SI APLICATII LINIARE 61

=mXk=1

akj(rXi=1

bikgi) =rXi=1

(mXk=1

bikakj)gi; j = 1; n:

În consecint¼a:

(4.1) cij =mXk=1

bikakj ; i = 1; r; j = 1; n:

DEFINITIE. Fie A = (aij) o matrice de tip (m;n) si B = (bij) o matrice de tip(r;m). Se numeste produsul dintre B si A si se noteaz¼a BA, matricea de tip (r; n)al c¼arei element cij situat la intersectia liniei i cu coloana j este dat de (4.1).

S¼a remarc¼am c¼a produsul BA nu este de�nit decât dac¼a num¼arul coloanelor luiB este egal cu num¼arul liniilor lui A. Expresia lui cij se obtine pornind de la liniai a lui B si de la coloana j a lui A. Spunem c¼a produsul BA se efectueaz¼a dup¼aregula �linii pe coloane�.

PROPOZITIA 4.1. Dac¼a A;B;C sunt matrice astfel încât diferitele produse demai jos s¼a �e de�nite si � 2 K, atunci:

a) A(BC) = (AB)C;b) A(B + C) = AB +AC;c) (B + C)A = BA+ CA;d) A(�B) = (�A)B = �(AB).

Demonstratie. Propozitia se demonstreaz¼a utilizând propriet¼atile binecunos-cute ale aplicatiilor liniare. Dac¼a, de exemplu, S : Kr �! Ks, T : Km �! Kr

si U : Kn �! Km sunt aplicatiile liniare ale c¼aror matrice A;B si C respectiv, înraport cu bazele canonice, atunci matricea lui S � (T �U) este A(BC), iar matricealui (S �T )�U este (AB)C: Cum S � (T �U) = (S �T )�U rezult¼a A(BC) = (AB)C.

Celelalte egalit¼ati se demonstreaz¼a asem¼an¼ator. �OBSERVATIE. Produsul a dou¼a matrice nu este comutativ în general.

Matrice inversabile. O matrice A 2 Mn(K) este inversabil¼a sau regulat¼a dac¼aexist¼a o matrice B 2Mn(K) astfel încât: AB = BA = In:

Matricea B este unic¼a, se noteaz¼a cu A�1 si se numeste inversa lui A.

TEOREMA 4.2. Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune �nit¼a n, C == fe1; :::; eng o baz¼a în V si T un endomor�sm al lui V . Pentru ca matricea A aendomor�smului T în raport cu baza C s¼a �e inversabil¼a, este necesar si su�cientca T s¼a �e un automor�sm al lui V . În acest caz matricea lui T�1 în raport cubaza C este A�1:

Demonstratie. �=)�A �ind inversabil¼a, exist¼a B 2 Mn(K) astfel ca AB == BA = In:Cum aplicatia T �! A de la L(V ) la Bn(K) este bijectiv¼a, �e Saplicatia liniar¼a asociat¼a lui B. Ea este astfel încât S �T = T �S = 1V ; deci T estebijectiv¼a si T�1 = S si matricea asociat¼a lui T�1 este A�1:

�(=� Dac¼a T este bijectiv¼a, exist¼a T�1 si T � T�1 = T�1 � T = 1V , decidac¼a B este matricea asociat¼a lui T�1; atunci AB = BA = In: Prin urmare A esteinversabil¼a si A�1 = B:

Rangul unei matrice. Are loc:

TEOREMA 4.3. Fie V , W dou¼a K-spatii vectoriale având dimensiunile n,respectiv m si T 2 L(V;W ): Dac¼a fe1; :::; eng este baz¼a în V , ff1; :::; fng este baz¼a


în W , iar A este matricea aplicatiei liniare T în raport cu cele dou¼a baze, atuncirangT = rangA:

Demonstratie. Deoarece fTe1; :::; T eng este sistem de generatori pentru ImT ,tinând seama de teorema 7.1, cap. 2, rangT = dimK(ImT ) = rangfTe1; :::;T eng = rangA; deoarece coordonatele vectorilor fTe1; :::; T eng în baza ff1; :::; fngse g¼asesc pe coloanele matricei A. �

COROLAR 4.3.1. O matrice p¼atratic¼a este inversabil¼a dac¼a si numai dac¼a estenesingular¼a.

Demonstratie. Fie T endomor�smul care într-o baz¼a fe1; :::; eng a unuiK-spatiuvectorial are matricea A. Aplicând corolar 2.4.1 si teoremele 4.2 si 4.3 obtinem:

A inversabil�a() T automorfism() defT = 0()

() n = rangT = rangA() detA 6= 0:

5. Transformarea matricei unei aplicatii liniare la schimbarea bazelor

Fie V , W dou¼a K-spatii vectoriale având dimensiunile n respectiv m si T 22 L(V;W ): Dac¼a E = fe1; :::; eng si F = ff1; :::; fng sunt baze �xate în V respectivW , iar A = (aij) este matricea aplicatiei liniare T în cele dou¼a baze atunci

Tej =mXk=1

akjfk;8j = 1; n:

Fie acum E0 = fe01; :::; e0ng si F 0 = ff 01; :::; f 0ng o nou¼a pereche de baze �xate înV respectiv W si A0 = (a0ij) matricea asociat¼a aplicatiei T în noua pereche de baze,deci

Te0i =mXl=1

a0ljf0l ; 8i = 1; n:

Vom stabili ce relatie exist¼a între A si A0:Fie C = (cij) matricea de trecere de la baza E la baza E0 si D = (dij) matricea

de trecere de la baza F la baza F 0, deci:

e0i =nXj=1

cjiej ; 8i = 1; n;

f 0l =mXk=1

dklfk;8l = 1;m:

Atunci, obtinem pe de o parte

Te0i =nXj=1

cjiTej =nXj=1

cji(mXk=1

akjfk) =mXk=1

(nXj=1

akjcji)fk; i = 1; n;

iar pe de alt¼a parte,

Te0i =mXl=1

a0lif0l =

mXl=1

a0li(mXk=1

dklfk) =mXk=1

(mXl=1

dkla0li)fk; i = 1; n:

Egalând coordonatele vectorilor Te0i în baza F rezult¼a

5. TRANSFORMAREA MATRICEI UNEI APLICATII LINIARE LA SCHIMBAREA BAZELOR63

mXl=1

dkla0li =

nXj=1

dkjcji; 8i = 1; n; k = 1;m:

Aceste relatii mai pot � scrise DA0 = AC. D �ind o matrice de schimbare debaz¼a este nesingular¼a deci

A0 = D�1AC;

aceast¼a egalitate reprezentând formula de transformare a matricei unei aplicatiiT 2 L(V;W ) la schimbarea bazelor. În particular, dac¼a V=W , iar T 2 L(V );atunci se lucreaz¼a cu aceeasi baz¼a atât în domeniul de de�nitie cât si în cel devalori. Dac¼a E = fe1; :::; eng este o baz¼a �xat¼a în V , iar A = (aij) este matriceaaplicatiei liniare T în baza E, avem:

Tej =

nXk=1

akj � ek; 8j = 1; n:

Dac¼a E0 = fe01; :::; e0ng este o alt¼a baz¼a �xat¼a în V , iar A0 = (a0ij) este matriceaasociat¼a lui T în baza E0, atunci

Te0i =nXl=1

a0lje0l; 8i = 1; n:

Dac¼a C este matricea de trecere de la baza E la baza E0, procedând ca maisus obtinem A0 = C�1AC aceasta �ind formula de transformare a matricei unuiendomor�sm T 2 L(V;W ) la schimbarea bazei.

DEFINITIE. Spunem c¼a dou¼a matrice A;B 2Mn(K) sunt similare sau aseme-nea dac¼a exist¼a o matrice C nesingular¼a astfel ca B = C�1AC:

Are loc:

PROPOZITIA 5.1. Fie A;B 2Mn(K). Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:1) A si B sunt similare;2) Exist¼a o aplicatie liniar¼a T : V �! V , V �ind un K-spatiu vectorial n-

dimensional si dou¼a baze E si E0 în V astfel ca A si B s¼a �e matricele asociatelui T în cele dou¼a baze.

Demonstratie. 2)=)1) rezult¼a din cele de mai sus. 1)=)2) A si B �ind simi-lare, �e C o matrice nesingular¼a astfel încât CB = AC. Fie E = fe1; :::; eng o baz¼a�xat¼a în V = Kn si T : V �! V unica aplicatie liniar¼a care în baza E are matriceaasociat¼a A. Deci:

Tej =nXk=1

akjek; 8j = 1; n:

Fie S : V �! V aplicatia liniar¼a care în baza E are matricea C, deci:

Sei =nPj=1

ajiej ; 8i = 1; n:

Conform teoremei 4.2, S este un automor�sm al lui V . Rezult¼a c¼a E0 = =fSe1; :::; Seng este o baz¼a în V . S¼a not¼am e0i = Sei; i = 1; n.

Vom ar¼ata c¼a matricea lui T în baza E0 este chiar B. Fie deci D = (dij)matricea lui T în baza E0, deci


Te0i =nXj=1

djie0j =

nXj=1

djiSej =nXj=1

dji(nXk=1

ckjek) =nXk=1

(nXj=1

ckjdji)ek;8i = 1; n:

Pe de alt¼a parte:

Te0i = T (Sei) = T (

nXj=1

cjiej) =

nXj=1

cji(

nXk=1

akjek) =

nXk=1

(

nXj=1

akjcji)ek;8i = 1; n:

Din unicitatea scrierii vectorilor Te0i în baza E rezult¼a

nXj=1

ckjdji =nXj=1

akjcji;8k = 1; n; j = 1; n:

Deci CD = AC sau D = C�1AC = B. �EXEMPLU. Aplicatia liniar¼a T : R3 ! R3 are în baza canonic¼a E = fe1; e2; e3g,

matricea A =

0@ 1 1 00 1 11 0 1

1A : S¼a determin¼am matricea lui T în baza E0 = =

fe01; e02; e03g; e01 = (2; 1;�3); e02 = (3; 2;�5); e03 = (1;�1; 1). Matricea de trecere dela baza E la baza E0 este:

C =

0@ 2 3 11 2 �1�3 �5 1

1A , iar C�1 =0@ �3 �8 �5

2 5 31 1 1

1A .Atunci, dac¼a A0 este matricea lui T în baza E0, rezult¼a

A0 = C�1AC =

0@ 12 19 �10�7 �11 60 0 2

1A .6. Probleme

1. S¼a se precizeze care din urm¼atoarele aplicatii sunt liniare:

a) T : R3 ! R3, Tx = (x1 + x2 � x3; x1 + 2x3; 2x1 � 3x2 + 5x3);b) T : R3 ! R3, Tx = (x3; x1 + 1; x2 � 1);c) T : R3 ! R3, Tx = (x1 + x2 + 3x3; 2x1 + x3);d) T : R2 ! R3, Tx = (x1; x2 � x1; 2x1 + 3x2);e) T : R3 ! R3, Tx = (x21; x1 + x2; x23 + 1).

Pentru aplicatiile liniare s¼a se determine KerT si ImT .

2. S¼a se g¼aseasc¼a aplicatia liniar¼a T : R3 ! R3 care duce vectorii u1 = (2; 0; 3),u2 = (4; 1; 5), u3 = (3; 1; 2) respectiv în vectorii v1 = (4; 5;�2), v2 = (1;�1; 1),v3 = (1; 2;�1) :

3. Fie T : R3 ! R3, Tx = (x1 + x2 + x3; x1 � x2 + x3; 3x1 � x2 + 3x3). S¼a sedetermine rangT , defT si câte o baz¼a în KerT si ImT .

4. Fie �!a 2 V3 si T : V3 ! V3, T�!x = (�!x � �!a )�!a . S¼a se arate c¼a T este liniar¼a.Dac¼a �!a =

�!i + 2

�!j + 3

�!k s¼a se g¼aseasc¼a matricele lui T în bazele (

�!i ;�!j ;�!k ) si

f�!v1 ;�!v2 ;�!v3g, �!v1 =�!i +

�!k , �!v2 = 2

�!i ��!k , �!v3 =

�!i +

�!j .

6. PROBLEME 65

5. Fie T : R4 ! R3 o aplicatie liniar¼a, a c¼arei matrice în raport cu bazele

canonice din R4 respectiv R3 este

0BB@1 1 1

�1 0 11 2 31 �1 �3

1CCA. S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a sidimensiunea subspatiilor KerT si ImT .

6. Fie T : R3 ! R3, Tx = (x1 � 2x2 + x3; 2x1 + x2 � x3; x2 � 3x3). S¼a secalculeze T � T si s¼a se precizeze matricea lui T în baza canonic¼a a lui R3. S¼ase arate c¼a T este automor�sm, s¼a se determine T�1 si matricea acestuia în bazacanonic¼a.

7. Fie S : R3 ! R2, T : R2 ! R4, S (x1; x2; x3) = (x1 + x2; 2x1 � x2 + x3),T (y1; y2) = (y1; y1 + y2; y2; y1 � y2). S¼a se determine T � S si matricele asociate luiS; T si T � S în bazele canonice ale spatiilor respective:

8. Fie S; T : R2 ! R2. Matricea lui S în baza f1 = (�3; 7), f2 = (1;�2) este�2 �15 �3

�, iar matricea lui T în baza g1 = (6;�7), g2 = (�5; 6) este

�1 32 7

�.

S¼a se determine S, T , S + T , S � T , S�1.9. Matricea unui endomor�sm al lui R3 în raport cu baza canonic¼a este0@ 1 �1 21 0 11 0 �1

1A. Care este matricea endomor�smului în baza f1 = (1; 2; 3),

f2 = (3; 1; 2), f3 = (2; 3; 1)?

10. Matricea unui endomor�sm al lui R3 în raport cu baza g1 = (1; 0; 0), g2 =

(1; 1; 0), g3 = (1; 1; 1)este

0@ �1 1 1�1 0 11 2 3

1A. Care este matricea acestui endomor�smîn baza f1, f2, f3 de la problema anterioar¼a?

CHAPTER 4

Valori si vectori proprii. Forma canonic¼a a unuiendomor�sm

În acest capitol ne vom pune problema determin¼arii unei baze a unui spatiuvectorial V în care matricea unui endomor�sm s¼a aib¼a o form¼a cât mai simpl¼a:diagonal¼a.

1. Valori si vectori proprii ai unuiendomor�sm

Fie V un K-spatiu vectorial (K = R sau C) si T : V ! V un endomor�sm.

DEFINITIE. Un vector x 2 V; x 6= 0V se numeste vector propriu pentru endo-mor�smul T , dac¼a exist¼a un scalar � 2 K astfel încât

(1.1) Tx = �x:

Scalarul � din (1.1) se numeste valoare proprie a endomor�smului T cores-punz¼atoare vectorului propriu x.

DEFINITIE. Dac¼a T : V ! V este un endomor�sm al lui V , un subspatiuS � V se numeste subspatiu invariant în raport cu T dac¼a T (S) � S.

OBSERVATIE. Dac¼a � este valoare proprie a endomor�smului T , atunci multi-mea tuturor vectorilor proprii corespunz¼atori lui � la care ad¼aug¼am si vectorul nul,notat¼a V� este un subspatiu vectorial invariant în raport cu T , numit subspatiupropriu asociat valorii proprii �. Asadar:

V�= fx 2 V ;Tx = �xg = fx 2 V ; (T � �1V )(x) = 0V g = Ker(T � �1V ):

Deci V�este subspatiu vectorial (teorema 2.1, cap. 3). Totodat¼a, V� �ind

subspatiu, x 2 V�implic¼a Tx = �x, deci V� este subspatiu invariant în raport cu

T . Dimensiunea acestui subspatiu vectorial se numeste multiplicitatea geometric¼aa valorii proprii � si o vom nota r

�. Remarc¼am c¼a � este valoare proprie dac¼a si

numai dac¼a Ker(T � �1V ) 6= f0V g; deci T � �1V nu este izomor�sm.

TEOREMA 1.1. Fie V un C-spatiu vectorial de dimensiune n. Atunci, oriceendomor�sm T 2 L(V ) are cel putin un vector propriu.

Demonstratie. Fie B = fe1; :::; eng e o baz¼a �xat¼a în V , iar A = (aij) 2Mn(C)matricea endomor�smului T în aceast¼a baz¼a, adic¼a:

Tei =nXj=1

ajiej ; 8i = 1; :::; n:

67

68 4. VALORI SI VECTORI PROPRII. FORMA CANONIC ¼A A UNUI ENDOMORFISM

Dac¼a x 2 V; x =nPi=1

xiei; atunci (1.1) revine lanPi=1

xiTei = �nPj=1

xjej , sau

nXi=1

xi(nXj=1

ajiej) = �nXj=1

xjej ; decinXj=1

(nXi=1

ajixi � �xj)ej = 0V :

Cum B este o baz¼a în V , de aici rezult¼anPi=1

ajixi = �xj ; 8j = 1; :::; n; adic¼a

(1.2)

(a11 � �)x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = 0a21x1 + (a22 � �)x2 + :::+ a2nxn = 0:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::an1x1 + an2x2 + :::+ (ann � �)xn = 0

:

Sistemul (1.2) este liniar omogen în necunoscutele x1; :::; xn: Vectorul x va� vector propriu pentru endomor�smul T dac¼a si numai dac¼a coordonatele salex1; :::; xn constituie o solutie nebanal¼a a sistemului (1.2). Conditia necesar¼a sisu�cient¼a ca acest sistem s¼a admit¼a solutii nebanale este

(1.3) det(A� �In) =

��a11 � � a12 ::: a1na21 a22 � � ::: a2n::: ::: ::: :::an1 an2 ::: ann � �

�� = 0;ceea ce reprezint¼a o ecuatie polinomial¼a de grad n în necunoscuta �, cu coe�-cienti în C. Conform teoremei fundamentale a algebrei, exist¼a �0 2 C astfel cadet (A� �0In) = 0. �0 va � o valoare proprie a endomor�smului T . Introducem �0în sistemul (1.2) si obtinem o solutie nebanal¼a (x01; :::; x

0n) a acestui sistem. Atunci

vectorul x0 =nPi=1

x0i ei este vector propriu al endomor�smului T corespunz¼ator val-

orii proprii �0: �Teorema 1.1 indic¼a un procedeu efectiv de determinare a valorilor proprii si

vectorilor proprii pentru un endomor�sm T .

EXEMPLE. 1) Fie T : R3 ! R3 endomor�smul dat de Tx = (7x1� 12x2+6x3,10x1� 19x2+10x3, 12x1� 24x2+13x3), x = (x1; x2; x3). Considerând în R3 bazacanonic¼a, s¼a se g¼aseasc¼a valorile proprii si vectorii proprii ai lui T .

Solutie. Matricea asociat¼a lui T în baza canonic¼a este A =

0@ 7 �12 610 �19 1012 �24 13

1A.Ecuatia (1.3) conduce la � (�� 1)2 (�+ 1) = 0. Obtinem �1 = �2 = 1, �3 = �1.

Pentru �1 = 1, rezolvând sistemul (1.2) obtinem x = (2� � �; �; �), �, � 2 R,subspatiul propriu asociat lui �1, �ind V�1 = f(2� � �; �; �); �; � 22 Rg. Similar pentru �3 = �1, obtinem V�3 = f(3t; 5t; 6t) ; t 2 Rg. Asadardac¼a �, � nu sunt simultan nuli, orice vector propriu corespunz¼ator lui �1 = 1 estede forma � (2; 1; 0) + � (�1; 0; 1), iar dac¼a t 6= 0; t (3; 5; 6) este un vector propriucorespunz¼ator lui �3 = �1.

2) Matricea unui endomor�sm de�nit pe un C-spatiu vectorial într-o baz¼a aleas¼a

este A =

0@ 4 �5 71 �4 9

�4 0 5

1A. S¼a se g¼aseasc¼a valorile proprii si vectorii proprii.

1. VALORI SI VECTORI PROPRII AI UNUI ENDOMORFISM 69

Solutie. Procedând ca mai sus ajungem la ecuatia ��3 + 5�2 � 17� + 13 = 0,care are r¼ad¼acinile �1 = 1, �2 = 2+3i, �3 = 2� 3i. Vectorii proprii corespunz¼atorivor � v1 = t (1; 2; 1), v2 = s (3� 3i; 5� 3i; 4), respectiv v3 = r (3 + 3i; 5 + 3i; 4), curst 6= 0.

Valorile proprii ale unui endomor�sm (unei matrice) pot � localizate folosind

TEOREMA 1.2 (Gerschgorin). Fie A 2 Mn (C), ri =nP

j=1; j 6=ijaij j ; Di = =

fz 2 C; jz � aiij � ri, i = 1; ng. Dac¼a � este o valoare proprie a matricei A, atunci� 2

nSi=1

Di. În particular, când A 2Mn (R) si � 2 R, rezult¼a c¼a

� 2n[i=1

[aii � ri; aii + ri] � R:

Demonstratie. Dac¼a � este o valoare proprie si x 6= 0 vectorul propriu cores-

punz¼ator, x =nPi=1

xiei, atunci din (1.2) obtinem c¼a

(1.4) (�� aii)xi =nX

j=1; j 6=iaijxj , i = 1; n.

Alegem num¼arul p; astfel încât jxpj = max fjx1j ; :::; jxnjg > 0. Din (1.4)obtinem

j�� appj �nX

j=1; j 6=i

japj j jxj jjxpj

� rp.

Asadar � 2 Dp �nSi=1

Di. �

EXEMPLE. 1) Dac¼a A =�

3 2 + 2i2� 2i 1

�, r1 = 2

p2 = r2, D1 = fz 2 C;

jz � 3j � 2p2g, D2 = fz 2 C; jz � 1j � 2

p2g. Dac¼a � este valoare proprie, atunci

� 2 D1 [D2 (�g. 1.1).

Fig. 1.1

Un calcul direct arat¼a c¼a �1 = 5, �2 = �1, deci �1;2 2 [3 � 2p2; 3 + 2

p2][

[[1� 2p2; 1 + 2

p2] = [1� 2

p2; 3 + 2

p2].

2) Dac¼a A =

0@ 3 �i 0i 3 00 0 4

1A, r1 = r2 = 1, r3 = 0, D1 = D2 =

fz 2 C; jz � 3j � 1g, D3 = fz 2 C; jz � 4j � 0g = f4g. Orice valoare proprie sea�¼a în D1 [D2 [D3 = D1.


2. Polinom caracteristic. Polinoame de matrice si de endomor�sm.Teorema Hamilton-Cayley

DEFINITIE. Dac¼a A = (aij) 2 Mn(C) este o matrice dat¼a, ecuatia (1.3) senumeste ecuatie caracteristic¼a sau ecuatie secular¼a a matricei A. Polinomul degrad n cu coe�cienti în C dat de

(2.1) pA(�) = det(A� �In);se numeste polinom caracteristic al matriceiA. R¼ad¼acinile sale le vom numi r¼ad¼acinicaracteristice.

TEOREMA 2.1. Dou¼a matrice asemenea au acelasi polinom caracteristic.

Demonstratie. Fie A si B dou¼a matrice asemenea. Exist¼a o matrice nesin-gular¼a C astfel încât B = C�1AC. Atunci B � �In = C�1A � �C�1InC == C�1 (A� �In)C, deci pB (�) = detC�1 pA (�) detC = det

�C�1C

�pA (�) =

= det In pA (�) = pA (�) si teorema este demonstrat¼a. �În consecint¼a, dac¼a se d¼a un endomor�sm T pe spatiul vectorial V , ecuatia

(1.3) nu depinde de matricea A, deci de baza aleas¼a în V , deoarece matricea luiT într-o nou¼a baz¼a este C�1AC, unde C este matricea de schimbare a bazelor siconform teoremei 2.1, ecuatia (1.3) r¼amâne aceeasi.

DEFINITIE. Se numeste polinom caracteristic al endomor�smului T si se notea-z¼a cu pT polinomul pA dat de (2.1), unde A este matricea asociat¼a lui T într-obaz¼a oarecare a lui V . Ecuatia (1.3) se numeste ecuatie caracteristic¼a a endomor-�smului T , r¼ad¼acinile acestei ecuatii numindu-se r¼ad¼acini caracteristice. Multimear¼ad¼acinilor caracteristice ale unui endomor�sm T se numeste spectrul lui T . Spunemc¼a spectrul lui T este simplu dac¼a orice r¼ad¼acin¼a caracteristic¼a �0 este r¼ad¼acin¼a sim-pl¼a a polinomului caracteristic.

Din demonstratia teoremei 1.1, rezult¼a c¼a în cazul unui C-spatiu vectorial toater¼ad¼acinile caracteristice sunt valori proprii. Dac¼a este vorba de un R-spatiu vector-ial, doar acele r¼ad¼acini caracteristice care sunt reale sunt valori proprii. În concluzie,trebuie f¼acut¼a distinctia între endomor�smele de�nite pe C-spatii vectoriale si celede�nite pe R-spatii vectoriale. Dac¼a � este o valoare proprie a endomor�smuluiT , atunci subspatiul propriu V

�corespunz¼ator va � constituit din totalitatea vecto-

rilor ale c¼aror coordonate într-o baz¼a �xat¼a, sunt solutii ale sistemului liniar omogen(1.2).

OBSERVATII. 1) Dac¼a A este matricea endomor�smului T într-o baz¼a �xat¼a,iar pA(�) = (��)n + p1(��)n�1 + :::+ pn polinomul s¼au caracteristic, atunci p1 =nPi=1

aii = TrA este urma matricei A, iar pn = detA: Se poate ar¼ata c¼a, în general,

pentru 1 < r < n, coe�cientul pr este suma minorilor diagonali de ordin r. Deexemplu, dac¼a n = 3, polinomul caracteristic are coe�cientii:

p1 = a11 + a22 + a33 = TrA;

p2 =

�� a11 a12a21 a22

��+ �� a11 a13a31 a33

��+ �� a22 a23a32 a33

�� ;p3 = detA:

2) pA(0) = detA; deci matricea A este singular¼a dac¼a si numai dac¼a � = 0 ester¼ad¼acin¼a a polinomului caracteristic.

2. POLINOM CARACTERISTIC. POLINOAME DE MATRICE SI DE ENDOMORFISM. TEOREMA HAMILTON-CAYLEY71

DEFINITIE. Dac¼a pA(�) = (��0)n�0 q(�); q(�0) 6= 0; num¼arul n�0 se numestemultiplicitate algebric¼a a lui �0:

PROPOZITIA 2.2. Fie �0 o valoare proprie a endomor�smului T , având multi-plicitatea algebric¼a n�0 si multiplicitatea geometric¼a r�0 . Atunci r�0 � n�0 :

Demonstratie. Fie V�0 subspatiul propriu corespunz¼ator valorii proprii �0 sir�0 = dimK(V�0): Dac¼a B1 = fe1; :::; er�0g este baz¼a în V�0 , o complet¼am la o baz¼aa lui V , B = fe1; :::; er�0 ; er�0+1; :::; eng:

Cum Te1 = �0e1; :::; T er�0 = �0er�0 ; T ej =nPk=1

akjek; j > r�0 , matricea

asociat¼a lui T în baza B este:

A =

0BBBBBB@

�0 0 ::: 0 a1;r�0+1 ::: a1n0 �0 ::: 0 a2;r�0+1 ::: a2n::: ::: ::: ::: ::: ::: :::0 0 ::: �0 ar�0 ;r�0+1 ::: ar�0 ;n::: ::: ::: ::: ::: ::: :::0 0 ::: 0 an;r�0+1 ::: ann

1CCCCCCA :

Atunci pA(�) = det(A � �In) = (�0 � �)r�0 q(�): Pe de alt¼a parte, dac¼a n�0este multiplicitatea algebric¼a avem pA(�) = (� � �0)n�0 r(�); cu r(�0) 6= 0: Dac¼aq(�0) 6= 0; atunci r�0 = n�0 ; iar dac¼a q(�0) = 0; atunci r�0 < n�0 : În concluzier�0 � n�0 : �

Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n, T 2 L(V ) un endomor�sm avândîntr-o baz¼a �xat¼a a spatiului matricea A 2 Mn(K) si f un polinom de grad m cucoe�cienti în K, f = a0Xm + a1X

m�1 + :::+ am; a0 6= 0:

DEFINITIE. Matricea f(A) = a0Am+a1Am�1+:::+am�1A+amIm se numestepolinom de matricea A de�nit de f . Endomor�smul f(T ) = a0T

m + a1Tm�1+

+::: + am�1T + am1V (unde T k = T k�1 � T = T � T k�1) se numeste polinom deendomor�smul T de�nit de f .

TEOREMA 2.3. (Hamilton-Cayley). Dac¼a pA(�) = det(A��In) este polinomulcaracteristic al endomor�smului T , atunci pA(A) = 0 (deci pA(T ) = 0).

Demonstratie. Fie (A � �In)� adjuncta matricei A � �In: Fiecare element alacestei matrice este un determinant de ordin n � 1. Atunci (A � �In)� = Bn�1�n�1 + Bn�2�

n�2 + ::: + B1� + B0; unde Bi 2 Mn(K); i = 0; :::; n � 1: Fie acumpA(�) = det(A� �In) = a0�n + a1�n�1 + :::+ an�1�+ an, polinomul caracteristical endomor�smului T . Deoarece (A� �In)(A� �In)� = det(A� �In) � In; avem:

(A� �In)(Bn�1�n�1 +Bn�2�n�2 + :::+B1�+B0) =

= (a0�n + a1�

n�1 + :::+ an�1�+ an)In;

sau

(�Bn�1)�n + (ABn�1 �Bn�2)�n�1 + :::+ (AB1 �B0)�+AB0 =

= (anIn)�n + :::+ (a1In)�+ anIn:


Identi�când dup¼a puterile lui �, rezult¼a:

�Bn�1 = anInABn�1 �Bn�2 = an�1In

::::::::::::::::::::::::::::AB1 �B0 = a1InAB0 = a0In

:

Ampli�când, la stânga, respectiv cu An; An�1; :::; A; In si adunând se obtinepA(A) = 0: �

În baza acestei teoreme, obtinem:

COROLAR 2.3.1. Orice polinom de matrice de grad � n, poate � exprimatprintr-un polinom de grad n� 1.

Demonstratie. Din teorema 2.3 rezult¼a c¼aAn; se exprim¼a în functie deAn; An�1;:::; A; In. Atunci, prin recurent¼a, puterile An+m; m 2 N; se exprim¼a cu ajutorulputerilor An; An�1; :::; A; In.�

Dac¼a � = 0 nu este valoare proprie atunci A este nesingular¼a. În acest caz areloc:

COROLAR 2.3.2. Dac¼a pA(0) 6= 0, atunci:A�1 = �0A

n�1 + �1An�2 + :::+ �n�1In; �i 2 K; i = 0; :::; n� 1:

Demonstratie. Din teorema 2.3 se obtine:

(�1)nAn + a1An�1 + :::+ �nIn = 0;unde an = detA 6= 0:Înmultind aceast¼a relatie cu A�1; se obtine:

A�1 =(�1)n�1an

An�1 � a1anAn�2 � :::� an�1

anIn;

ceea ce trebuia ar¼atat. �

EXEMPLU. Dac¼a A =

0@ 2 �1 25 �3 3

�1 0 �2

1A, pA (�) = ��3 � 3�2 � 3� � 1.

Cum 0 nu este r¼ad¼acin¼a a polinomului caracteristic, A este inversabil¼a. Conformteoremei Hamilton-Cayley �A3� 3A2� 3A� In = On. Înmultind cu A�1 obtinemA2+3A+3In+A

�1 = On, deci A�1 = �A2� 3A� 3In. Calculând rezult¼a A�1 =

=

0@ �6 2 �3�7 2 �43 �1 1

1A. Pe de alt¼a parte, înmultind relatia A3 = �3A2 � 3A � Incu A, obtinem A4 = �3A3 � 3A2 �A. Înlocuind A3, rezult¼a A4 = 6A2 + 6A+ 3Ins.a.m.d.

3. Diagonalizarea matricelor

Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n, B o baz¼a �xat¼a în V , T 2 L(V )si A matricea lui T în aceast¼a baz¼a.

DEFINITIE. Fie A 2 Mn(K). Matricea A este diagonalizabil¼a dac¼a exist¼a omatrice nesingular¼a C 2Mn(K) astfel încât D = C�1AC s¼a �e o matrice diagonal¼a(altfel spus, A este asemenea cu o matrice diagonal¼a). Endomor�smul T 2 L(V )

3. DIAGONALIZAREA MATRICELOR 73

este diagonalizabil dac¼a exist¼a o baz¼a în V astfel încât matricea lui T în aceast¼abaz¼a este diagonal¼a.

Dac¼a A este o matrice diagonalizabil¼a, în matricea diagonal¼a D apar chiarvalorile proprii ale lui A:

(3.1) D =

0BB@�1 0 ::: 00 �2 ::: 0::: ::: ::: :::0 0 ::: �n

1CCA(valorile proprii nu sunt neap¼arat distincte). Atunci

pD(�) = det(D � �In) = (�1)nnYi=1

(�� i) = pA(�);

deci polinomul caracteristic se descompune în factori liniari peste corpul K. Înconcluzie, dac¼a polinomul caracteristic nu se descompune în factori liniari, matriceanu se diagonalizeaz¼a.

PROPOZITIA 3.1. Endomor�smul T 2 L(V ) este diagonalizabil dac¼a si numaidac¼a exist¼a în V o baz¼a format¼a din vectori proprii ai lui T .

Demonstratie. Dac¼a T este diagonalizabil, rezult¼a c¼a exist¼a o baz¼a x1; :::; xn înV astfel încât matricea lui T în aceast¼a baz¼a are forma (3.1), unde �i sunt valorileproprii ale lui T . Rezult¼a Tx1 = �1x1; :::; Txn = �nxn; deci x1; :::; xn sunt vectoriproprii. Reciproc, dac¼a vectorii proprii x1; :::; xn formeaz¼a o baz¼a în V este imediatc¼a matricea lui T în aceast¼a baz¼a are form¼a diagonal¼a.�

TEOREMA 3.2. Dac¼a toate valorile proprii ale lui T sunt distincte dou¼a câtedou¼a, atunci T este diagonalizabil.

Demonstratie. Conform propozitiei 3.1 este su�cient s¼a ar¼at¼am c¼a vectorii pro-prii corespunz¼atori unor valori proprii distincte ale lui T sunt liniar independenti.

Vom folosi inductia matematic¼a dup¼a num¼arul n al valorilor proprii.Dac¼a n = 1, vectorul propriu x1 �ind nenul este liniar independent. Pre-

supunem a�rmatia adev¼arat¼a pentru n valori proprii distincte dou¼a câte dou¼a si �e�1; :::; �n+1 2 K; �i 6= �j 8i 6= j; i; j = 1; :::; n+ 1; Txi = �ixi; i = 1; :::; n+ 1: Fie�1; :::; �n+1 2 K astfel încât:

(3.2) �1x1 + :::+ �n+1xn+1 = 0V :

Aplicând T acestei egalit¼ati obtinem:

(3.3) �1�1x1 + :::+ �n+1�n+1xn+1 = 0V :

Înmultind (3.2) cu �n+1 si sc¼azând (3.3) obtinem:

�1(�1 � �n+1)x1 + :::+ �n(�n � �n+1)xn = 0V :Utilizând ipoteza de inductie, rezult¼a �i(�i � �n+1) = 0; 8i = 1; :::; n si cum

�i 6= �n+1; 8i = 1; :::; n; rezult¼a �i = 0; 8i = 1; :::; n. Introducând în (3.2) rezult¼a�n+1xn+1 = 0V si cum xn+1 6= 0V rezult¼a �n+1 = 0; deci x1; :::; xn+1 sunt liniarindependenti. �

Vom aborda acum cazul în care nu toate r¼ad¼acinile polinomului caracteristicsunt simple, deci când:


pA(�) = (�1)n(�� 1)n1 :::(�� p)np ; unde ni � 1; n1 + :::+ np = n:

TEOREMA 3.3. (Criteriul general de diagonalizare) Cu notatiile anterioare,dac¼a ri = ni; 8i = 1; :::; p; atunci endomor�smul T este diagonalizabil.

Demonstratie. Cum dimK(V�i) = ni; exist¼a vectorii proprii corespunz¼atori val-

orii proprii �i; ei;1; :::; ei;ni care formeaz¼a o baz¼a Bi în V�i . Vom ar¼ata c¼a B =pSi=1

Bi

este baz¼a a lui V . Dac¼a �i 6= �j ; atunci V�i \ V�j = f0V g: Evident 0V 2 V�i \ V�j :Dac¼a x 2 V�i \V�j ; Tx = �ix si Tx = �jx: Atunci (�i��j)x = 0V si cum �i 6= �j ;rezult¼a x = 0V ; deci V�i \ V�j = f0V g: Cum Bi � V�i ; rezult¼a c¼a Bi \ Bj = �;deci B are exact n elemente. Este su�cient s¼a ar¼at¼am c¼a vectorii din B suntliniar independenti (teorema 4.4, cap.2). Consider¼am scalarii �i;j 2 K astfel încâtPp

i=1

niPj=1

�i;jei;j = 0V : Notând yi =niPj=1

�i;jei;j ; i = 1; :::; p; aceast¼a egalitate se

mai scrie:

(3.4) y1 + :::+ yp = 0V :

Pe de alt¼a parte Tyi =niPj=1

�i;jTei;j =niPj=1

�i;j�iei;j = �iyi; 8i = 1; :::; p: Vom

ar¼ata c¼a din (3.4) rezult¼a yi = 0V ; 8i = 1; :::; p: Pentru simplitate, presupunemp = 3, deci:

(3.5) y1 + y2 + y3 = 0V :

Aplicând T obtinem Ty1 + Ty2 + Ty3 = 0V , deci:

(3.6) �1y1 + �2y2 + �3y3 = 0V :

Înmultind (3.5) cu �3 si sc¼azând din (3.6) se obtine:

(3.7) (�1 � �3)y1 + (�2 � �3)y2 = 0V :

Aplic¼am înc¼a o dat¼a T :

(3.8) (�1 � �3)�1y1 + (�2 � �3)�2y2 = 0V :

Înmultind (3.7) cu �2 si sc¼azând din (3.8), rezult¼a (�1 � �3)(�1 � �2)y1 = 0V :Cum �1 6= �2 6= �3, rezult¼a y1 = 0V : Înlocuind succesiv în (3.7) si (3.6) obtinemy1 = y2 = 0V : În general yi = 0V ; i = 1; :::; p: Cum Bi este baz¼a în V�i avem�i;1 = �i;2 = ::: = �i;ni = 0; 8i = 1; :::; p; deci B este baz¼a în V . În consecint¼aputem scrie

T (e1;1) = �1e1;1 = �1e1;1 + 0 � e1;2 + :::+ 0 � e1;n1 + :::+ 0 � ep;np::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

T (e1;n1) = �1e1;n1 = 0 � e1;1 + 0 � e1;2 + :::+ �1e1;n1 + :::+ 0 � ep;np::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

T (e1;1) = �pep;np = 0 � e1;1 + 0 � e1;2 + :::+ 0 � e1;n1 + :::+ �pep;np

:

3. DIAGONALIZAREA MATRICELOR 75

Atunci, matricea lui T în baza B este0BBBBBBBBBBBBBBBBBB@

�1 0 ::: 00 �1 ::: 0::: ::: ::: :::0 0 ::: �1

0

�2 0 ::: 00 �2 ::: 0::: ::: ::: :::0 0 ::: �2

0

�p 0 ::: 00 �p ::: 0::: ::: ::: :::0 0 ::: �p

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCA

;

deci T este diagonalizabil. �

OBSERVATII. 1) Reciproca teoremei 3.3 se demonstreaz¼a f¼ar¼a di�cultate.2) Teorema 3.2 este o consecint¼a a teoremei 3.3.

EXEMPLE. 1) Fie V = R3 si T : R3 ! R3 având în baza canonic¼a a lui R3, ma-

triceaA =

0@ 5 �3 26 �4 44 �4 5

1A : Polinomul caracteristic este pA(�) = =��5� � �3 26 �4� � 44 �4 5� �

�� =�(�� 1)(�� 2)(�� 3); deci valorile proprii sunt �1 = 1; �2 = 2; �3 = 3: S¼a deter-min¼am vectorii proprii. Vectorul propriu corespunz¼ator valorii proprii �1 = 1;

satisface sistemul

8<: 4x1 � 3x2 + 2x3 = 06x1 � 5x2 + 4x3 = 04x1 � 4x2 � 4x3 = 0

. Notând x3 = t; rezult¼a x1 = 2t;

x2 = t; t 2 R: Deci: V�1 = f(t; 2t; t); t 2 Rg: Un vector propriu este, de exem-plu, v1 = (1; 2; 1): Similar V�2 = f(t; t; 0); t 2 Rg; V�3 = f(t=2; t; t); t 2 Rg: Luândv2 = (1; 1; 0), v3 = (1; 2; 2) si aplicând teorema 3.2, rezult¼a c¼a T este diagonalizabil.În baza fv1; v2; v3g; matricea lui T este0@ 1 0 0

0 2 00 0 3

1A :2) Fie acum T : R4 ! R4 care în baza canonic¼a are matricea

A =

0BB@1 0 0 10 1 0 00 0 1 �21 0 �2 5

1CCA :Polinomul caracteristic este pA(�) = �(�� 6)(�� 1)2; deci valorile proprii sunt

�1 = 0; �2 = 6; �3 = �4 = 1: Procedând ca la exemplul anterior g¼asim: V�1 == f(t; 0;�2t;�t); t 2 Rg; V�2 = f(t; 0;�2t; 5t); t 2 Rg; V�3 = f(2�; �; �; 0); �; � 22 Rg: Deoarece dimR(V�3) = 2, T este diagonalizabil. În baza v1 = (1; 0;�2;�1),


v2 = (1; 0;�2; 5); v3 = (2; 0; 1; 0), v4 = (0; 1; 0; 0); matricea lui T este0BB@0 0 0 00 6 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA :

3) S¼a cercet¼am posibilitatea diagonaliz¼arii matricei A =

0@ 1 �3 44 �7 86 �7 7

1A. Înacest caz, pA(�) = �(� + 1)2(� � 3); deci valorile proprii sunt �1 = �2 = �1;�3 = 3: V�1 = f(t; 2t; t); t 2 Rg: Cum dimK(V�1) = 1 < 2; matricea A nu estediagonalizabil¼a.

4. Forma canonic¼a Jordan

DEFINITIE. Se numeste celul¼a Jordan de ordin p orice matrice p¼atratic¼a deforma

Jp (�) =

0BBBB@� 1 0 ::: 0 00 � 1 ::: 0 0::: ::: ::: ::: ::: :::0 0 0 ::: � 10 0 0 ::: 0 �

1CCCCA :O matrice J are forma canonic¼a Jordan dac¼a are pe diagonal¼a celule Jordan,

iar restul elementelor sunt nule

J =

0@ Jp1 (�1) 0Jp2 (�2)

0 Jpk (�k)

1A ;unde �1; :::; �k nu sunt neap¼arat distincte.

DEFINITIE. Fie V un spatiu vectorial �nit-dimensional si T 2 L (V ). Se spunec¼a T poate � adus la forma canonic¼a Jordan dac¼a exist¼a o baz¼a B a lui V în carematricea lui T are forma canonic¼a Jordan.

În continuare, vom spune, simplu, forma Jordan. S¼a remarc¼am c¼a matricilediagonale sunt cazuri particulare de matrice care au forma Jordan.

DEFINITIE. Un endomor�sm T 2 L (V ) se numeste nilpotent dac¼a exist¼a p 2N� astfel încât T p = � (aplicatia nul¼a) în L (V ) :

În cele ce urmeaz¼a vom presupune c¼a V este un C-spatiu vectorial de dimensiunen, T 2 L (V ) si polinomul caracteristic al lui T este p (�) = (�1)n (�� 1)n1 :::(� � �p)np , unde n1 + ::: + np = n. Not¼am cu Ei = Ker (T � �i � 1V )ni si cu V�isubspatiile proprii corespunz¼atoare valoriilor proprii �i, i = 1; :::; p.

OBSERVATIE. Evident, Ei sunt subspatii vectoriale ale lui V (teorema 3.2 b))si V�i � Ei, i = 1; :::; p. Într-adev¼ar, dac¼a ni = 1, atunci V�i = Ei. Dac¼a ni > 1

si x 2 V�i atunci (T � �i � 1V )ni (x) = (T � �i � 1V )ni�1 [(T � �i � 1V ) (x)] = 0V .

Cum V�i 6= f0V g, rezult¼a Ei 6= f0V g.LEMA 4.1. Cu notatiile de mai sus, are loc:1) Ei, i = 1; :::; p sunt spatii invariante în raport cu T ;2) V = E1 � E2 � :::� Ep.

4. FORMA CANONIC ¼A JORDAN 77

Demonstratie. 1) Fie x 2 Ei, deci (T � �i � 1V )ni (x) = 0V . Vom calcula(T � �i � 1V )ni (Tx). Deoarece T � 1V = 1V � T , rezult¼a c¼a (T � �i � 1V )ni � T == T � (T � �i � 1V )ni , deci (T � �i � 1V )ni (Tx) = T ((T � �i � 1V )ni (x)) = T0V == 0V . Asadar, pentru orice x 2 Ei, Tx 2 Ei.

2) Trebuie s¼a demonstr¼am c¼a orice x 2 V se scrie în mod unic sub formax = x1 + :::+ xp, xi 2 Ei, i = 1; :::; p.

Fie p (�) = (�1)n (�� 1)n1 ::: (� � �p)np polinomul caracteristic al lui T si

pi (�) = (�� i)ni , qi (�) =pQ

j=1; j 6=i(�� j)nj , i = 1; :::; p. Evident, p (�) = pi (�) �

qi (�). Conform teoremei lui Hamilton - Cayley, p (T ) = �, deci pi (T ) � qi (T ) = �,8i = 1; :::; p. Dac¼a x 2 V , atunci pi (T ) (qi (T ) (x)) = 0V , deci qi (T ) (x) 2 Ei,8i = 1; :::; p.

Cum polinoamele q1; :::; qp sunt prime între ele, rezult¼a c¼a exist¼a polinoameleh1; :::; hp astfel încât q1h1 + ::: + qphp = 1. Atunci: h1 (T ) � q1 (T ) + ::: + hp (T ) �

�qp (T ) = 1V . Rezult¼a x =pPj=1

(hj (T ) � qj (T )) (x), 8x 2 V . Dar yj = qj (T ) (x) 2

2 Ej si Ej este invariant în raport cu T , deci Tyj 2 Ej . În consecint¼a xj == hj (T ) (yj) 2 Ej deci orice x 2 V se scrie

x =

pXj=1

xj ; xj 2 Ej ;8j = 1; :::; p:

S¼a ar¼at¼am acum unicitatea descompunerii. S¼a presupunem c¼a x = x01+ :::+x0p

cu x0j 2 Ej , 8j = 1; :::; p. Notând xj � x0j = zj , rezult¼a:

(4.1) z1 + :::+ zp = 0V , zj 2 Ej , j = 1; :::; p.

Vom ar¼ata c¼a aceast¼a egalitate implic¼a z1 = z2 = ::: = zp = 0V . Dar

(4.2) p1 (T ) (z1) = 0V ;8z1 2 E1; q1 (T ) (zk) = 0V , k = 2; :::; p.

Aplicând q1 (T ) în (4.1), obtinem tinând cont de (4.2):

(4.3) q1 (T ) (z1) = 0V ; p1 (T ) (z1) = 0V .

Cum polinoamele p1; q1 sunt prime între ele, exist¼a polinoamele f1, g1 astfelîncât f1 � p1 + g1 � q1 = 1, deci: f1 (T ) � p1 (T ) + g1 (T ) � q1 (T ) = 1V . Atunci, din(4.3) rezult¼a

z1 = f1 (T ) (p1 (T ) (z1)) + g1 (T ) (q1 (T ) (z1)) = 0V :

Asadar z1 = 0V . Analog se obtine z2 = ::: = zp = 0V . Lema este demonstrat¼a.�

LEMA 4.2. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n si T 2 L (V ) un endo-mor�sm nilpotent. Atunci, exist¼a o baz¼a a lui V în raport cu care matricea asociat¼alui T are forma:

(4.4)

0BBBB@0 "1 0 0 ::: 0 00 0 "2 0 ::: 0 0::: ::: ::: ::: ::: ::: :::0 0 0 0 ::: 0 "n�10 0 0 0 ::: 0 0

1CCCCA , "k 2 f0; 1g , k = 1; n� 1:


Demonstratie. Fie q cel mai mic num¼ar natural cu proprietatea c¼a T q = �. Auloc incluziunile:

0V � KerT � KerT 2 � ::: � KerT q = V:Pentru simplitate vom demonstra lema în cazul q = 3, deci când 0V � KerT �

� KerT 2 � KerT 3 = V . Având în vedere alegerea lui q, rezult¼a c¼a exist¼a x 2 V ,astfel încât T q�1x 6= 0V , deci incluziunea KerT 2 � KerT 3 = V este strict¼a.Conform teoremei 1.7, KerT 2 admite un suplement, deci dac¼a B2 este o baz¼aa lui KerT 2, exist¼a x1; :::; xk 2 V � KerT 2, astfel încât B = B2 [ fx1; :::; xkgeste o baz¼a a lui V , deci V = KerT 2 � Sp (fx1; :::; xkg). În plus, Tx1; :::; Txksunt liniar independenti. Într-adev¼ar dac¼a �1Tx1 + ::: + �kTxk = 0V , atunciT (�1x1 + :::+ �kxk) = 0V , adic¼a �1x1 + ::: + �kxk 2 KerT � KerT 2. Toto-dat¼a �1x1 + ::: + �kxk 2 Sp (fx1; :::; xkg) si cum V = KerT 2 � Sp (fx1; :::; xkg)rezult¼a �1x1 + :::+ �kxk = 0V . Vectorii x1; :::; xk �ind liniar independenti, rezult¼a�1 = ::: = �k = 0. În concluzie Tx1; :::; Txk 2 KerT 2 si sunt liniar independenti.S¼a observ¼am c¼a Tx1; :::; Txk =2 KerT (dac¼a Txi 2 KerT , atunci T 2xi = 0, adic¼axi 2 KerT 2, ceea ce nu se poate), deci incluziunea KerT � KerT 2 este strict¼a.Dac¼a B1 este o baz¼a a lui KerT , o complet¼am la o baz¼a B2 a lui KerT 2, luândmai întâi sistemul fTx1; :::; Txkg. Deci KerT 2 = KerT � S0, dimK (S

0) � k,deoarece S0 contine k vectori liniar independenti. Dac¼a dimK (S

0) = k, atuncialegem B2 = B1 [ fTx1; :::; Txkg, iar dac¼a dimK (S

0) = k + r, r > 0, atunciB2 = B1 [ fTx1; :::; Txk; y1; :::; yrg, y1; :::; yr 2 KerT 2nKerT . Procedând camai sus, se arat¼a c¼a T 2x1; :::; T 2xk; T y1; :::; T yr 2 KerT si sunt liniar indepen-denti, deci dimK (KerT ) � k + r. Dac¼a dimK (KerT ) = k + r, atunci B1 == fT 2x1; :::; T 2xk; T y1; :::; T yrg, iar dac¼a dimK (KerT ) > k+ r, atunci complet¼amla o baz¼a a lui KerT , adic¼a B1 = fT 2x1; :::; T 2xk; T y1; :::; T yr; z1; :::; zsg; z1; :::; zs 2KerT . Întrucât sumele de subspatii considerate mai sus sunt sume directe, rezult¼ac¼a sistemul B = B1[B2[fx1; :::; xkg este liniar independent si contine dimK (V )�dimK

�KerT 2

�+ dimK

�KerT 2

�� dimK (KerT )+

+dimK (KerT ) = dimK(V ) = n vectori, deci formeaz¼a o baz¼a a lui V . Vomconsidera vectorii bazei B asezati în ordinea: T 2x1; Tx1; x1; T 2x2; Tx2; x2; :::;T 2xk; Txk; xk; T y1; y1; :::; T yr; yr; z1; :::; zs si îi not¼am respectiv cu f1; f2; :::; fn.Tinând seama c¼a

Tf1 = T�T 2x1

�= 0V = 0 � f1 + :::+ 0 � fn

Tf2 = T2x1 = f1 = 1 � f1 + :::+ 0 � fn

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::T fn = Tzs = 0V = 0 � f1 + :::+ 0 � fn

;

rezult¼a c¼a matricea endomor�smului nilpotent T are forma din enunt. �TEOREMA 4.3. Fie V un C-spatiu vectorial de dimensiune n si T : V ! V .

Atunci exist¼a o baz¼a B în V astfel încât matricea lui T în aceast¼a baz¼a are formaJordan.

Demonstratie. Polinomul caracteristic al lui T este

p (�) = (�1)n (�� 1)n1 :::(�� p)np ; cu n1 + :::+ np = nsi �i 6= �j ; i 6= j:Conform lemei 4.1, Ei = Ker (T � �i1V )ni , i = 1; :::; p sunt subspatii invariante

în raport cu T ale lui V = E1� :::�Ep. Fie Ti restrictia lui T la Ei. Endomor�smulSi : Ei ! Ei, de�nit prin Si = Ti � �i � 1Ei este nilpotent, deoarece Snii (x) = 0,

4. FORMA CANONIC ¼A JORDAN 79

8x 2 Ei. Conform lemei 4.2, exist¼a o baz¼a Bi a lui Ei astfel încât matricea asociat¼alui Si în baza Bi are forma0BBBB@

0 "i;1 0 ::: 0 00 0 "i;2 ::: 0 0::: ::: ::: ::: ::: :::0 0 0 ::: 0 "i;ri0 0 0 ::: 0 0

1CCCCA ;cu "i;k 2 f0; 1g, k = 1; ri; ri = dimEi � 1:

Dar Ti = Si + �i � 1Ei , deci matricea lui Ti în baza Bi este0BBBB@�i "i;1 0 ::: 0 00 �i "i;2 ::: 0 0::: ::: ::: ::: ::: :::0 0 0 ::: �i "i;ri0 0 0 ::: 0 �i

1CCCCA :

Deoarece V = E1 � ::: � Ep, B =pSi=1

Bi este o baz¼a în V si matricea asociat¼a

lui T în baza B are forma Jordan. �

EXEMPLE. 1) Endomor�smul T : R3 ! R3 are în baza canonic¼a fe1; e2; e3g

matricea

0@ 1 �3 3�2 �6 131 �4 8

1A. S¼a g¼asim forma canonic¼a Jordan a acestei matrice.

Polinomul caracteristic este p (�) = � (�� 1)3, deci valorile proprii ale lui T sunt�1 = �2 = �3 = 1: V�1 = f(3t; t; t) ; t 2 Rg, deci dimR(V�1) = 1 < 3. AsadarT nu este diagonalizabil. Vom nota S = T � 1V . S este nilpotent, deoareceS3x = 0; 8x 2 R3. S¼a vedem dac¼a 3 este exponentul minim. Matricea lui S în baza

canonic¼a este

0@ 0 �3 3�2 �7 13�1 �4 7

1A : Avem Se1 = �2e2� e3; Se2 = �3e1� 7e2� 4e3;

Se3 = 3e1 + 13e2 + 7e3. Atunci S2e1 = �2Se2 � Se3 = (3; 1; 1); S2e2 = (9; 3; 3) ;S2e3 = (�18;�6;�6), deci exponentul minim este 3. Totodat¼a KerS = V�1 ,KerS2 = f(�3�+ 6�; �; �);�; � 2 Rg, deci dimR (KerS) = 1; dimR

�KerS2

�= 2:

Cu procedeul descris în demonstratia lemei 4.2, alegem x1 2 KerS3nKerS2. Fiex1 = e1 = (1; 0; 0) : Atunci Sx1 = Se1 = �2e2 � e3 = (0;�2;�1) 2 KerS2nKerSsi S2x1 = S2e1 = (3; 1; 1) 2 KerS. Avem deci baza B =

�S2x1; Sx1; x1

în

R3, adic¼a B = ff1; f2; f3g unde f1 = (3; 1; 1) ; f2 = (0;�2;�1) ; f3 = (1; 0; 0) siTf1 = 3Te1+Te2+Te3 = (3; 1; 1) = f1, Tf2 = �2Te2�Te3 = (3;�1; 0) = f1+f2,Tf3 = Te1 = (1;�2;�1) = f2 + f3.

Matricea lui T în baza B are deci forma Jordan0@ 1 1 00 1 10 0 1

1A :2) Aceeasi problem¼a pentru endomor�smul T : R3 ! R3, care în baza canoni-

c¼a, are matricea

0@ 0 1 0�4 4 0�2 1 2

1A.


Polinomul caracteristic este p (�) = � (�� 2)3, deci valorile proprii ale luiT sunt �1 = �2 = �3 = 2: Cum V�1 = f(�; 2�; �);�; � 2 Rg; dimR(V�1) =2, deci T nu este diagonalizabil. Vom nota S = T � 2 � 1V . S este nilpotent,deoarece S3x = 0, 8x 2 R3: S¼a vedem dac¼a 3 este exponentul minim. Matricea

lui S în baza canonic¼a este

0@ �2 1 0�4 2 0�2 1 0

1A. Ca la exemplul anterior, obtinemS2e1 = S2e2 = S2e3 = 0, deci exponentul minim este 2. Asadar KerS2 = R3si KerS = V�1 . Alegem x1 2 R3nKerS; x1 = e1 = (1; 0; 0) : Atunci Sx1 == (�2;�4;�2) 2 KerS. În KerS ne mai trebuie un vector liniar independentde acesta. Vom lua y1 = (0; 0; 1) = e3. Avem deci baza B = fSx1; x1; y1g înR3; adic¼a B = ff1; f2; f3g cu f1 = (�2;�4;�2) ; f2 = (1; 0; 0) ; f3 = (0; 0; 1) siTf1 = (�4;�8;�4) = 2f1, Tf2 = (0;�4;�2) = f1 + 2f2; T f3 = (0; 0; 2) = 2f3.Matricea lui T în baza B are deci forma Jordan0@ 2 1 0

0 2 00 0 2

1A :3) Aceeasi problem¼a pentru endomor�smul T : R3 ! R3 care, în baza canoni-

c¼a, are matricea

0@ 1 �3 44 �7 86 �7 7

1A. (vezi exemplul 3) din sectiunea anterioar¼a). Deci�1 = �2 = �1; �3 = 3 si V�1 = f(t; 2t; t) ; t 2 Rg ; V�2 = f( t

2; t; t); t 2 Rg. Fie

S1 = T � 1V ; S2 = T � 3 � 1V : Avem: E1 = KerS21 = f(� � �; �; �);�; � 2 Rg;E2 = KerS2 = V�2 ; deci R3 = E1�E2: Vom lua x1 = (1; 1; 0) 2 KerS21 �KerS1 siavem S1x1 = (�1;�2;�1) 2 KerS1: Cum dimR(V�1) = 1; S1x1 este su�cient. Amobtinut o baz¼a B1 = fS1x1; x1g în E1si vom lua ca baz¼a B2 în E2, vectorul (1; 2; 2) :Obtinem astfel baza B = ff1; f2; f3g în R3; f1 = (�1;�2;�1) ; f2 = = (1; 1; 0) ;f3 = (1; 2; 2) : Atunci Tf1 = (1; 2; 1) = �f1; T f2 = (�2;�3;�1) = = f1 � f2;T f3 = (3; 6; 6) = 3f3. În raport cu baza B matricea lui T are forma Jordan

0@ �1 1 00 �1 00 0 3

1A :

5. Probleme

1. S¼a se g¼aseasc¼a valorile si vectorii proprii ai endomor�smelor:a) T : R2 ! R2, x = (x1; x2) 2 R2, Tx = (x1 cos � � x2 sin �; x1 sin � + x2�

� cos �), � 2 [0; �2];

b) T : R2 ! R2, x = (x1; x2) 2 R2, Tx = (x1 + 2x2; 2x1 + 4x2);c) T : R3 ! R3, x = (x1; x2; x3) 2 R3, Tx = (2x1 � x2 + 2x3; 5x1 � 3x2+

+3x3;�x1 � 2x3).

2. S¼a se g¼aseasc¼a valorile si vectorii proprii ai urm¼atoarelor matrice. Suntdiagonalizabile?

5. PROBLEME 81

a)�2 21 1

�; b)

0@ 6 �5 �33 �2 �22 �2 0

1A; c)0@ 0 1 0�4 4 0�2 1 2

1A; d)0@ 4 �5 25 �7 36 �9 4

1A; e)0@ 1 �3 3�2 �6 13�1 �4 8

1A; f)0BB@1 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 1

1CCA.3. S¼a se arate c¼a urm¼atoarele matrice sunt diagonalizabile, s¼a se g¼aseasc¼a forma

diagonal¼a si baza formei diagonale. Folosind forma diagonal¼a s¼a se calculeze apoiA2002.

a)�1 23 2

�; b)

0@ 1 0 32 1 23 0 1

1A; c)0@ �1 3 �1�3 5 �1�3 3 1

1A;d)

0BB@1 1 1 11 1 �1 �11 �1 1 �11 �1 �1 1

1CCA; e)0BB@1 0 0 00 0 0 01 0 0 00 0 0 1

1CCA.4. F¼ar¼a a calcula valorile proprii s¼a s determine domeniul plan în care se a�¼a

valorile proprii ale urm¼atoarelor matrice:

a)

0@ 1 �2 �1�1 1 11 0 �1

1A; b) � 1 1 + i1� i 3

�; c)

0@ 1 1� i 01 + i 3 i0 �i 1

1A.5. Fie T : C ([0; 2�])! C ([0; 2�]), T (f) = g,

g (x) =2�R0

[1 + sin (x� t)] f (t) dt, x 2 [0; 2�]. S¼a se determine valorile si

vectorii proprii.

6. S¼a se reduc¼a la forma canonic¼a Jordan matricele:

a)

0@ 1 �3 3�2 �6 13�1 �4 8

1A; b)0@ 6 6 �151 5 �51 2 �2

1A; c)0@ 0 1 0�4 4 0�2 1 2

1A;d)

0BB@1 �3 0 3

�2 �6 0 130 �3 1 3

�1 �4 0 8

1CCA.

CHAPTER 5

Spatii euclidiene. Endomor�sme pe spatiieuclidiene

În capitolele precedente am prezentat spatiile vectoriale abstracte, neînzestratecu o structur¼a geometric¼a, ceea ce restrânge domeniul de studiu. În acest capitol,vom introduce notiunea fundamental¼a de spatiu cu produs scalar, care permitedeterminarea lungimii vectorilor, a unghiului dintre doi vectori nenuli etc. Astfelmetodele geometriei metrice se extind la spatii vectoriale mai generale.

1. Spatii euclidiene

DEFINITIE. Fie V un R�spatiu vectorial. Se numeste produs scalar real pe V ,o aplicatie < �; � >: V � V ! R, cu propriet¼atile:

1) < x; y >=< y; x >; 8x; y 2 V ;2) < x+ y; z >=< x; z > + < y; z >; 8x; y; z 2 V ;3) < �x; y >= � < x; y >; 8� 2 R; 8x; y 2 V ;4) < x; x >� 0; 8x 2 V si < x; x >= 0() x = 0V :

Dac¼a V este un C�spatiu vectorial, se numeste produs scalar complex pe V , oaplicatie < �; � >: V � V ! C, cu propriet¼atile:

1�) < x; y >=< y; x >; 8x; y 2 V si 2), 3), 4) de mai sus.

OBSERVATII. 1) În cazul produsului scalar real, din 1) si 2) obtinem

< x; y + z >=< y + z; x >=< y; x > + < z; x >==< x+ y > + < x; z >; 8x; y; z 2 V;

iar în cazul produsului scalar complex, din 1�) si 2) rezult¼a:

< x; y + z >=< y + z; x >= < y; x > + < z; x > == < y; x >+< z; x > =< x; y > + < x; z >;8x; y; z 2 V:

Asadar, în ambele situatii, se obtine:

< x; y + z >=< x; y > + < x; z >; 8x; y; z 2 V:2) Dac¼a V este un R�spatiu vectorial, atunci

< x; �y >=< �y; x >= � < y; x >= � < x; y >; 8� 2 R; x; y 2 V;iar dac¼a este un C�spatiu vectorial:

< x; �y >=< �y; x >= � < y; x > =

= � < y; x >= � < x; y >; 8� 2 C; x; y 2 V:

3) În ambele cazuri: < 0V ; x >=< x; 0V >= 0; 8x 2 V:DEFINITIE. Un R�spatiu (C�spatiu) vectorial V pe care s-a de�nit un pro-

dus scalar real (complex) se numeste prehilbertian real (complex). Dac¼a V este

83

84 5. SPATII EUCLIDIENE. ENDOMORFISME PE SPATII EUCLIDIENE

�nit dimensional, atunci spatiul prehilbertian V se numeste spatiu euclidian real(complex ). Un spatiu euclidian complex se mai numeste si spatiu unitar.

EXEMPLE. 1) Fie V = Rn. Dac¼a x; y 2 Rn, x = (x1; :::; xn), y = (y1; :::; yn),de�nim produsul scalar < x; y >=

nPi=1

xiyi. Propriet¼atile 1)-4) se veri�c¼a usor

tinând seama de propriet¼atile înmultirii si adun¼arii numerelor reale. Spatiul Rn cuprodusul scalar de�nit mai sus este un �model�pentru spatiile euclidiene reale.

2) Fie V = Cn. Dac¼a x; y 2 Cn; x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn); de�nim

< x; y >=nPi=1

xiyi: Cn înzestrat cu acest produs scalar este �modelul� spatiului

unitar.3) Spatiul vectorilor liberi V3 înzestrat cu produsul scalar a doi vectori liberi

(cap. 1) este un spatiu euclidian real.4) Fie V = Mm;n(R). Dac¼a A;B 2 Mm;n(R); A = (aij); B = (bij); de�nim

produsul scalar real < A;B >= Tr(AT �B) =nPj=1

mPi=1

aijbij :

5) Fie a; b 2 R; a < b. Dac¼a f; g 2 C([a; b];R) de�nim < f; g >=bRa

f(t)g(t)dt;

iar dac¼a f; g 2 C([a; b];C), de�nim < f; g >=bRa

f(t)g(t)dt:

În ambele cazuri se obtin produse scalare. Toate produsele scalare de mai susse numesc produse scalare canonice (uzuale) în spatiile respective.

DEFINITIE. Dac¼a V este un K�spatiu vectorial (K = R;C), aplicatiak � k : V ! R, cu propriet¼atile:

1) kxk � 0; 8x 2 V ; kxk = 0() x = 0V ;2) k�xk = j�j kxk ; 8� 2 K; 8x 2 V ;3) kx+ yk � kxk+ kyk; 8x; y 2 V , (inegalitatea triunghiului)se numeste norm¼a pe V . Spatiul V pe care s-a de�nit o norm¼a se numeste

spatiu vectorial normat.

În continuare, ne vom ocupa de studiul spatiilor cu produs scalar real.

PROPOZITIA 1.1. Fie V un spatiu prehilbertian real. Atunci:a) j< x; y >j � p< x; x > � p< y; y >; 8x; y 2 V ;

(inegalitatea lui Cauchy-Schwarz-Buniakowski)b) x� kxk = p< x; x este o norm¼a peV , numit¼a norm¼a euclidian¼a;c) kx� yk2 + kx+ yk2 = 2(kxk2 + kyk2); 8x; y 2 V .

(regula paralelogramului)

Demonstratie. a) Dac¼a x; y 2 V sunt liniar dependenti, adic¼a, de exemplu,y = �x; � 2 R, atunci

j< x; y >j = j< x; �x >j = j� < x; x >j = j�j < x; x >;

iar p< x; x > �

p< y; y > = j�j < x; x >;

deci în acest caz în a) avem egalitate. Dac¼a y; x sunt liniar independenti (decix 6= 0V ; y 6= 0V ), din

< x+ �y; x+ �y >� 0; 8� 2 R;

1. SPATII EUCLIDIENE 85

folosind propriet¼atile produsului scalar, rezult¼a

< x; x > +2� < x; y > +�2 < y; y >� 0; 8� 2 R:Deci, trinomul de gradul doi în � trebuie s¼a ia numai valori nenegative, ceea ce

are loc numai dac¼a discriminantul trinomului este negativ, adic¼a

< x; y >2 � < x; x >< y; y >� 0;de unde rezult¼a

j< x; y >j �p< x; x > �

p< y; y >:

b) Trebuie s¼a veri�c¼am propriet¼atile normei. Vom justi�ca inegalitatea tri-unghiului, celelalte dou¼a propriet¼ati �ind evidente. Vom folosi inegalitatea lui Cauchy.Avem

kx+ yk2 =< x+ y; x+ y >= kxk2 + 2 < x; y > +kyk2 �� kxk2 + 2 kxk kyk+ kyk2 = (kxk+ kyk)2;8x; y 2 V;

adic¼a kx+ yk � kxk+ kyk;8x; y 2 V:c) Procedând ca mai sus, rezult¼a

kx+ yk2 = kxk2 + 2 < x; y > +kyk2;kx+ yk2 = kxk2 � 2 < x; y > +kyk2:

Adunând cele dou¼a egalit¼ati se obtine regula paralelogramului. �OBSERVATIE. Se stie c¼a orice spatiu vectorial normat V este metric, cu distanta

d : V � V ! R de�nit¼a prin relatia d(x; y) = kx � yk; 8x; y 2 V . În consecint¼a,orice spatiu prehilbertian este metric, distanta �ind dat¼a de

d(x; y) = kx� yk =p< x� y; x� y >:

DEFINITIE. Fie E un spatiu euclidian real. Se numeste unghiul a doi vectorix; y 2 E � f0Eg, num¼arul real � 2 [0; �] dat de:

cos � =< x; y >

kxk kyk :

De�nitia este corect¼a, deoarece din propozitia 1.1, a), j< x; y >j � kxk � kyk,deci j< x; y >j = (kxk � kyk) � 1:

EXEMPLE. 1) Rn poate � organizat ca spatiu vectorial normat. Dac¼ax; y 2 Rn; x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn); atunci

kxk =p< x; x > =

vuut nXi=1

x2i si d(x; y) = kx� yk =

vuut nXi=1

(xi � yi)2:

Inegalitatea lui Cauchy-Schwarz-Buniakowski devine:��nXi=1

xiyi

�� (nXi=1

x2i )1=2 � (

nXi=1

y2i )1=2:

2) Dac¼a V = C([a; b];R) si f; g 2 C([a; b];R), atunci kfk =

sbRa

f2(t)dt: Inegali-

tatea lui Cauchy-Schwarz-Buniakowski devine:

(

bZa

f(t)g(t)dt)2 � (bZa

f2(t)dt)(

bZa

g2(t)dt):


2. Ortogonalitate. Baze ortonormate

Fie E un spatiu euclidian.

DEFINITIE. Vectorii x; y 2 E se numesc ortogonali dac¼a si numai dac¼a< x; y >= 0 si vom nota aceasta x?y. Un sistem fx1; :::; xmg de vectori din Ese numeste sistem ortogonal dac¼a pentru orice j = 1;m; i 6= j, avem < xixj >= 0:Sistemul fx1; :::; xmg se numeste sistem ortonormat dac¼a pentru orice i; j = 1;m;

< xi; xj >= �ij =

�1; dac¼a i = j0; dac¼a i 6= j :

OBSERVATII. 1) 0E?x, 8x 2 E.2) Dac¼a x?x, atunci x = 0E :3) Dac¼a x?y, atunci kx+ yk2 = kxk2 + kyk2: (teorema lui Pitagora)

PROPOZITIA 2.1. Orice sistem ortogonal de vectori nenuli dintr-un spatiueuclidian este liniar independent.

Demonstratie. Fie S = fx1; :::; xmg un sistem ortogonal de vectori nenuli din

E si �1; :::; �m 2 K astfel camPi=1

�ixi = 0E : Pentru orice j = 1;m, avem:

0 =< 0E ; xj >=<mXi=1

�ixi; xj >=X

�i < xi; xj >= �j < xj ; xj >

si cum xj 6= 0E , rezult¼a �j = 0, deci S este liniar independent. �OBSERVATIE. Într-un spatiu euclidian num¼arul vectorilor dintr-un sistem or-

togonal nu poate dep¼asi dimensiunea spatiului.

PROPOZITIA 2.2. Fie S = fx1; :::; xmg un sistem ortogonal de vectori nenuliîn spatiul euclidian E. Dac¼a x 2 Sp fx1; :::; xmg, atunci:

(2.1) x =mXi=1

�ixi; cu �i =< x; xi >

< xi; xi >:

Demonstratie. Cum x 2 Sp (fx1; :::; xmg), exist¼a scalarii �1; :::; �m 2 K astfel

ca x =mPi=1

�ixi. Atunci, pentru orice i = 1;m, avem:

< x; xi >=<mXj=1

�jxj ; xi >=mXj=1

�j < xj ; xi >= �i < xi; xi > :

Deci are loc (1). �DEFINITIE. Coe�cientii �i; i = 1;m din relatia (2.1) de mai sus, se numesc

coe�cientii Fourier ai vectorului x 2 E în raport cu sistemul ortogonal S.

Dac¼a sistemul S de vectori este ortonormat, atunci coe�cientii Fourier ai vec-torului x vor � �i =< x; xi >; i = 1;m.

Din propozitia 2.1 rezult¼a:

COROLAR 2.1.1. Într-un spatiu euclidian E de dimensiune n, orice sistemortogonal fe1; :::; eng de vectori nenuli din E este o baz¼a a lui E.

Putem formula:

2. ORTOGONALITATE. BAZE ORTONORMATE 87

DEFINITIE. Se numeste baz¼a ortogonal¼a a unui spatiu euclidian E, de dimen-siune n, orice sistem ortogonal constituit din n vectori nenuli. Se numeste baz¼aortonormat¼a a lui E orice sistem ortonormat constituit din n vectori.

TEOREMA 2.3. În orice spatiu euclidian E exist¼a baze ortonormate.

Demonstratie. Pornind de la o baz¼a fe1; :::; eng a lui E, vom construi o nou¼abaz¼a, ortogonal¼a, folosind procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Vom ar¼ata,de fapt, c¼a, pornind de la un sistem liniar independent de n vectori, se poate construiun sistem ortogonal tot de n vectori, toti nenuli, dati de:

(2.2)

8>>>>>><>>>>>>:

f1 = e1f2 = e2 + �21f1:::::::::::::::::::::::::fi = ei + �i1f1 + :::+ �i;i�1fi�1:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::fn = en + �n1f1 + :::+ �n;n�1fn�1

;

unde pentru orice i = 2; n:

(2.3) �ij = �< ei; fj >

< fi; fi >; j = 1; i� 1:

Demonstratia se face prin inductie. Pentru n = 2, pornind de la sistemulliniar independent fe1; e2g, construim sistemul ff1; f2g conform formulelor (2.2)unde �21 se determin¼a din conditia < f2; f1 >= 0, adic¼a f2?f1. Mai precis, din< f2; f1 >=< e2+�21f1; f1 >=< e2; f1 > +�21 < f1; f1 >= 0, obtinem �21 = � <e2; f1 > = < f1; f1 >; deoarece < f1; f1 >=< e1; e1 >6= 0, e1 �ind nenul. În plusf2 6= 0E , c¼aci dac¼a am presupune prin absurd c¼a f2 = 0E , ar rezulta c¼a sistemulinitial fe1; e2g ar � liniar dependent, ceea ce nu este posibil.

Presupunem proprietatea adev¼arat¼a pentru k � 1 si o demonstr¼am pentru k.Fie deci fe1; :::; ekg sistemul liniar dependent. Prin formulele (2.2) de mai sus,construin un nou sistem de vectori ff1; :::; fkg dintre care primii k�1 sunt, conformipotezei de inductie, ortogonali doi câte doi si nenuli. Vom demonstra c¼a si scalarii�k1; :::; �k;k+1 pot � determinati astfel încât < fk; fi >= 0; i = 1; k � 1 si fk 6= 0E :Într-adev¼ar, avem ipoteza:

(2.4)

0 =< fk; f1 >=< ek; f1 > +�k1 < f1; f1 > +:::+ �k;k�1 < fk�1; fk >:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::0 =< fk; fk�1 >=< ek; fk�1 > +�k1 < f1; fk�1 > +

:::+ �k;k�1 < fk�1; fk�1 >

:

Cum sistemul ff1; :::; fk�1g este presupus ortogonal, relatiile (2.4) se reduc la:0 =< ek; f1 > +�k1 < f1; f1 >:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::0 =< ek; fk�1 > +�k;k�1 < fk�1; fk�1 >

;

deci �k1; :::; �k;k�1 pot � determinati conform (2.3) astfel ca fk?fi; i = 1; k � 1.Mai mult fk 6= 0E , c¼aci dac¼a prin absurd fk = 0E , atunci:0E = fk = ek + �k1f1 + :::+ �k;k�1fk�1 = ek + �k1e1 + �k2(e2 + �21f1)+

+:::+ �k;k�1(ek�1 + �k�1;1; f1 + :::+ �k�1;k�2fk�2):

În �nal s-ar obtine coe�cientii �1; :::; �k�1 din K astfel ca:

0E = fk = ek + �1e1 + :::+ �k�1ek�1;


deci sistemul fe1; :::; ekg ar � liniar dependent.În concluzie proprietatea este adev¼arat¼a pentru orice n natural. Asadar, pornind

de la o baz¼a oarecare fe1; :::; eng a spatiului euclidian E, vom putea construi o baz¼aortogonal¼a ff1; :::; fng cu ajutorul relatiilor (2.2), (2.3). Din baza ortogonal¼a astfelconstruit¼a, vom putea obtine o baz¼a ortonormat¼a a lui E, fg1; :::; gng, normând�ecare vector:

(2.5) gi =fikfik

; i = 1; n: �

EXEMPLE. 1) În spatiul euclidian R3 (în raport cu produsul scalar canonic),consider¼am baza e1 = (1;�2; 2); e2 = (�1; 0;�1); e3 = (5;�3;�7). S¼a construim,pornind de la ea, o nou¼a baz¼a, ortogonal¼a, folosind procedeul Gram-Schmidt.

Asadar f1 = (1;�2; 2), iar f2 = (�1; 0;�1) + �21 (1;�2; 2); �21 == � < e2; f1 > = < f1; f1 > : Dar < e2; f1 >= �3; < f1; f1 >= 9. În consecint¼af2 = (�

2

3;�23;�13). Fie acum f3 = (5;�3;�7) + �31(1;�2; 2) + �32(�

2

3;�23;�13)

unde: �31 = �< e3; f1 >

< f1; f1 >;�32 = �

< e3; f2 >

< f2; f2 >: Cum < e3; f1 >= �3; < e3; f2 >=

= 1; < f2; f2 >= 1, rezult¼a f3 = (6;�3;�6). Atunci baza ortonormat¼a este:

g1 =f1kf1k

= (1

3;�23;2

3); g2 =

f2kf2k

= (�23;�23;�13);

g3 =f3kf3k

= (2

3;�13;�23):

2) Fie P2(R) spatiul euclidian tridimensional al functiilor polinomiale cu coe�-cienti reali de grad � 2, cu produsul scalar dat de:

< p; q >=

1Z�1

p(t)q(t)dt; 8p; q 2 P2(R):

Sistemul�1; t; t2

formeaz¼a o baz¼a în acest spatiu. Construim, pornind de la

ea, o nou¼a baz¼a, ortogonal¼a, folosind procedeul Gram-Schmidt. Fie, deci, e1 = 1;

e2 = t; e3 = t2. Atunci f1 = 1; f2 = t + �21 � 1: Cum < e2; f1 >=1R�1t � 1dt = 0,

rezult¼a �21 = 0, deci f2 = t. Fie acum f3 = t2+�31 �1+�32 � t. Calculând, obtinem:

< e3; f1 >=1R�1t2 � 1 dt = 2

3; < e3; f2 >=

1R�1t2 � t dt = 0; < f1; f1 >= 2: Asadar

�31 = �1

3; �32 = 0, deci f3 = t2 �

1

3. Am obtinut baza ortogonal¼a f1 = 1; f2 = t;

f3 = t2 � 1

3.

Mai general, dac¼a Pn(R) este spatiul euclidian al functiilor polinomiale de grad� n cu produsul scalar de�nit ca mai sus, atunci pornind de la baza f1; t; :::; tng,construim prin procedeul de ortogonalizare o nou¼a baz¼a:

f1; t; t2 � 13; t3 � 3

5t; :::g:

2. ORTOGONALITATE. BAZE ORTONORMATE 89

Polinoamele din baza ortogonal¼a astfel construit¼a coincid, abstractie f¼acând deun factor multiplicativ, cu polinoamele:

1

2k � k! �dk[�t2 � 1

�k]

dtk; k = 0; n;

numite polinoame Legendre. Polinoamele Legendre formeaz¼a deci o baz¼a ortogonal¼aîn acest spatiu euclidian. Prin normarea vectorilor acestor baze, obtinem o baz¼aortonormat¼a fgkgk=0;n: Dac¼a q este un polinom arbitrar de grad � n, coordonatekec0; c1; :::; cn 2 R ale lui q în baza fgkgk=0;n, vor � determinate prin relatiile:

ck =< q; gk >=

1Z�1

q(t)gk(t)dt; k = 0; n:

3) Consider¼am pe intervalul [0; 2�] sistemul de functii f0; f1; :::; f2n+1, undef0 = 1; f1(t) = cos t; f2(t) = sin t; :::; f2n(t) = cosnt; f2n+1(t) = sinnt. Combinatialor liniar¼a cu coe�cientii a0; a1; :::; an; b1; ::; bn 2 R,

(2.6) p(t) =a02+ a1 cos t+ b1 sin t+ :::+ an cosnt+ bn sinnt

se numeste polinom trigonometric de grad n.Multimea tuturor polinoamelor trigonometrice de grad � n, formeaz¼a un spatiu

vectorial de dimensiune 2n + 1. Consider¼am pe acest spatiu vectorial, produsulscalar:

< p; q >=

2�Z0

p(t)q(t)dt:

Se veri�c¼a usor c¼a, dac¼a l 6= m, atunci2�Z0

cos lt cosmtdt = 0;

2�Z0

sin lt cosmtdt = 0;

2�Z0

sin lt sinmtdt = 0:

De asemenea2�R0

sin2 ktdt =2�R0

cos2 kt = �; k 2 N�;2�R0

1dt = 2�.

În consecint¼a, functiile:

(2.7)1p2�;1p�cos t;

1p�sin t; :::;

1p�cosnt;

1p�sinnt;

formeaz¼a o baz¼a ortonormat¼a în acest spatiu.

OBSERVATIE. Dac¼a E este un spatiu euclidian real de dimensiune n, iarfe1; :::; eng o baz¼a ortonormat¼a în E, produsul scalar a doi vectori x; y 2 V;

x =nPi=1

xiei; y =nPj=1

yjej , devine:

< x; y >=<nXi=1

xiei;nXj=1

yjej >=nX

i;j=1

xiyj < ei; ej >=nXi=1

xiyi:

Similar, într-un spatiu unitar, obtinem: < x; y >=nPi=1

xiyi.

În aceste conditii avem: kxk = (nPi=1

x2i )1=2 respectiv kxk = (

nPi=1

jxij2)1=2.


Reciproc, dac¼a într-o baz¼a fe1; :::; eng a spatiului euclidian E, produsul scalara doi vectori x =

nPi=1

xiei; y =nPj=1

yjej este dat de relatia < x; y >=nPi=1

xiyi, rezult¼a

c¼a < ei; ej >= �ij =�1; dac¼a i = j0; dac¼a i 6= j , deci baza este ortonormat¼a.

PROPOZITIA 2.4. Fie E un spatiu prehilbertian real sau complex. Dac¼aS = fx1; ::; xmg este un sistem ortonormat de vectori din E, x 2 E, iar�i =< x; xi >; i = 1;m sunt coe�cientii Fourier ai lui x în raport cu sistemulS, atunci:

a) vectorul y = x�mPi=1

�ixi este ortogonal pe toti vectorii sistemului S ;

b)mPi=1

�2i � kxk2 . (inegalitatea lui Bessel).

Demonstratie. a) Pentru orice xj 2 S; j = 1;m, obtinem:

< y; xj >=< x�mXi=1

�ixi; xj >=< x; xj > �mXi=1

�i < xi; xj >= �j �mXi=1

�i�ij = 0:

b) Din propriet¼atile produsului scalar, rezult¼a:

0 �< y; y >=< x; x > �2mXi=1

�i < xi; x > +mX

i;j=1

�i�j < xi; xj >=

= kxk2 �mXi=1

�2i :�

OBSERVATIE. Dac¼a sistemul S din enunt este o baz¼a ortonormat¼a, inegalitatealui Bessel devine egalitate. În acest caz �i =< x; xi > sunt chiar coordonatelevectorului x în baza S.

3. Complementul ortogonal al unui subspatiu

DEFINITIE. Fie E un spatiu euclidian si M un subspatiu vectorial al s¼au.Vectorul x 2 E este ortogonal pe M , dac¼a < x; y >= 0;8y 2M .

Se observ¼a c¼a x este ortogonal pe M dac¼a si numai dac¼a x este ortogonal pevectorii unei baze din M . Într-adev¼ar, dac¼a fe1; :::; eng este o baz¼a a lui M si

< x; ei >= 0;8i = 1;m, atunci pentru orice y 2 M;y =mPi=1

yiei, avem < x; y >=

mPi=1

yi < x; ei >= 0. Reciproca este evident¼a.

DEFINITIE. Se numeste complement ortogonal al subspatiului M în E si senoteaz¼a cu M?, multimea:

M? = fx 2 E;< x; y >= 0;8y 2Mg:Evident 0E 2M?, deci M? 6= �.PROPOZITIA 3.1. Fie E un spatiu euclidian si M un subspatiu vectorial al

s¼au. Atunci:a) M? este un subspatiu vectorial al lui E;b) E =M �M?.

4. TRANSFORM ¼ARI LINIARE AUTOADJUNCTE 91

Demonstratie. a) Fie x; y 2M? si �; � 2 K. Dac¼a z 2M , atunci:< �x+ �y; z >= � < x; z > +� < y; z >= 0;

deci �x+ �y 2M?, adic¼a M? este subspatiu vectorial al lui E.b) Vom ar¼ata c¼a orice x 2 E se poate scrie sub forma

x = x0 + x00; cu x0 2M; x00 2M?:

Într-adev¼ar, dac¼a S = fe1; :::; emg este o baz¼a ortonormat¼a a lui M , iar x 2 E,atunci x0 =

mPi=1

�iei; �i =< x; xi >; i = 1;m, este un vector din M . În consecint¼a,

conform propozitiei 2.4, x00 = x�x0 este ortogonal pe toti vectorii bazei S, deci esteortogonal peM . Asadar x = x0+x00, cu x0 2M;x00 2M?. R¼amâne s¼a veri�c¼am c¼aM \M? = f0Eg. Fie deci x 2M \M?. Atunci x 2M si < x; y >= 0;8y 2M?.Cum x 2M?, rezult¼a < x; x >= 0 si deci x = 0E . �

4. Transform¼ari liniare autoadjuncte

Fie E un spatiu euclidian de dimensiune n.

TEOREMA 4.1. Dac¼a T 2 L(E), atunci exist¼a un unic operator liniar T � :E ! E astfel ca:

(4.1) < Tx; y >=< x; T �y >;8x; y 2 E:T � se numeste adjunctul operatorului liniar T .

Demonstratie. Fie fe1; :::; eng o baz¼a ortonormat¼a a lui E si y 2 E. De�nimT � : E ! E astfel:

T �y =nXi=1

< Tei; y > ei:

Evident T � 2 L(E). În plus, dac¼a x =nPi=1

xiei 2 E, atunci conform propozitiei

2.2, xi =< x; ei >; i = 1; n, deci:

< Tx; y >=< T (nXi=1

< x; ei > ei); y >=nXi=1

< x; ei >< Tei; y > :

Totodat¼a:

< x; T �y >=< x;nXi=1

< Tei; y > ei >=nXi=1

< Tei; y >< x; ei >;

deci (4.1) este dovedit¼a.Pentru unicitatea lui T �, presupunem c¼a ar exista S 2 L(E), astfel ca:

< Tx; y >=< x; Sy >;8x; y 2 E:Atunci < x; T �y >=< x; Sy >, adic¼a < x; (T � � S)(y) >= 0;8x; y 2 E.Luând x = (T � � S)(y) în egalitatea anterioar¼a, obtinem:< (T � � S)y; (T � � S)y >= 0, de unde (T � � S)(y) = 0E , adic¼a T � = S.Teorema este demonstrat¼a. �DEFINITIE. T 2 L(E) se numeste transformare autoadjunct¼a (operator autoad-

junct) dac¼a T = T �, adic¼a dac¼a satisface:

(4.2) < Tx; y >=< x; Ty >; 8x; y 2 E.


EXEMPLU. Aplicatia identic¼a 1E si pentru � 6= 0, omotetia de raport �, T� :E ! E; T�(x) = �x;8x 2 E sunt transform¼ari autoadjuncte.

PROPOZITIA 4.2. Fie E un spatiu euclidian real si B = fe1; :::; eng o baz¼aortonormat¼a a lui E. Atunci T 2 L(E) este autoadjunct dac¼a si numai dac¼amatricea lui T în baza B este simetric¼a.

Demonstratie. " =) " Fie A = (aij) matricea asociat¼a lui T în baza B. Atunci

Tei =nPk=1

akiek; i = 1; n. Conform (4.2), < Tei; ej >=< ei; T ej >;8i; j = 1; n, deci

<nPk=1

akiek; ej >=< ei;nPk=1

akjek >, adic¼a

nXk=1

aki < ek; ej >=nXk=1

akj < ei; ek > :

Baza B �ind ortonormat¼a, rezult¼a aji = aij , deci matricea A este simetric¼a."(= " Dac¼a matricea A este simetric¼a, atunci< Tei; ej >=< ei; T ej >;8i; j = 1; n (vezi mai sus). Fie x; y 2 E;x =

nPi=1

xiei; y =nPj=1

yjej . Folosind propriet¼atile produsului scalar obtinem:

< Tx; y >=nXi=1

nXj=1

< Tei; ej >=nXi=1

nXj=1

xiyj < ei; T ej >=< x; Ty >; 8x; y 2 E;

deci T este autoadjunct¼a. �OBSERVATIE. Dac¼a E este un spatiu euclidian complex de dimensiune n, pro-

cedând ca în propozitia anterioar¼a, se poate ar¼ata c¼a T 2 L(E) este autoadjunct¼adac¼a si numai dac¼a matricea lui T într-o baz¼a ortonormat¼a, A = (aij) este her-mitic¼a, adic¼a aij = aji, 8i; j = 1; n.

PROPOZITIA 4.3. Fie E un spatiu euclidian (real sau complex) de dimensiunen. Dac¼a T 2 L(E) este transformare autoadjunct¼a atunci:

a) valorile proprii ale lui T sunt numere reale;b) la valori proprii distincte corespund vectori proprii ortogonali.

Demonstratie. a) Consider¼am mai întâi cazul când E este complex. Fie � 2 Co valoare proprie a lui T si x 2 E; x 6= 0E vectorul propriu corespunz¼ator. T �indautoadjunct¼a, din < Tx; x >=< x; Tx >, rezult¼a < �x; x >=< x; �x >. Atunci� < x; x >= � < x; x >, adic¼a (�� ) < x; x >= 0, si cum x 6= 0E , rezult¼a � = �,adic¼a � 2 R.

Dac¼a E este un spatiu euclidian real de dimensiune n, B o baz¼a ortonormat¼aa sa si T 2 L(E) o transformare autoadjunct¼a, atunci matricea asociat¼a lui Teste simetrica A 2 Mn(R) � Mn(C). Considerând, de exemplu, spatiul euclidiancomplex Cn si eB o baz¼a ortonormat¼a a sa, exist¼a un endomor�sm eT 2 L(Cn) astfelca matricea lui eT în baza eB s¼a �e A. A �ind simetric¼a, conform observatiei de maisus, eT este autoadjunct¼a.

Cele dou¼a endomor�sme T si eT au acelasi polinom caracteristic. Cum valorileproprii ale lui eT sunt reale, rezult¼a c¼a toate r¼ad¼acinile acestui polinom caracteristicsunt reale.

b) Fie � si � dou¼a valori proprii distincte ale lui T si x 6= 0E , y 6= 0E vec-torii proprii corespunz¼atori. Conform a) �; � 2 R. T �ind autoadjunct¼a, din

5. TRANSFORM ¼ARI LINIARE ORTOGONALE 93

< Tx; y >=< x; Ty >, obtinem < �x; y >=< x; �y >, adic¼a (� � �) < x; y >= 0.Cum � 6= �, rezult¼a c¼a < x; y >= 0, deci x?y. �

LEM¼A 4.4. Dac¼a T 2 L(E) este autoadjunct si M � E este un subspatiuinvariant în raport cu T , atunci si complementul s¼au ortogonal M? este invariantîn raport cu T .

Demonstratie. Fie y 2 M?, adic¼a < y; x >= 0;8x 2 M . Atunci, pentru oricex 2 M;< Ty; x >=< y; Tx >= 0, deoarece (M �ind invariant) Tx 2 M . Înconsecint¼a Ty 2M?, adic¼a M? este invariant. �

TEOREMA 4.5. Fie E un spatiu euclidian de dimensiune n si T 2 L(E) unoperator autoadjunct. Atunci exist¼a în E o baz¼a ortonormat¼a B astfel încât T estediagonalizabil în raport cu B (adic¼a matricea A a lui T în baza B este diagonal¼a).

Demonstratie. Vom folosi inductia matematic¼a. A�rmatia este evident¼a pentrun = 1. Presupunem acum c¼a a�rmatia este adev¼arat¼a pentru orice spatiu euclidiande dimensiune n� 1.

Fie �1 2 R o valoare proprie a lui T (conform propozitiei 4.3) si x1 6= 0E ,vectorul propriu corespunz¼ator. Putem presupune kx1k = 1, în caz contrar înlocuimx1 cu x1= kx1k. Consider¼am M = Sp(fx1g), care este invariant în raport cu T .Conform lemei 4.4, complementul s¼au ortogonal, M? este invariant în raport cuT . Atunci restrictia lui T la M?, T1 = T jM? : M? ! M? este, de asemenea, unoperator autoadjunct. Cum dimM? = n � 1, conform ipotezei de inductie exist¼ao baz¼a ortonormat¼a B0 = fx2; :::; xng în M? astfel ca matricea lui T1 în aceast¼abaz¼a s¼a �e diagonal¼a. Deoarece E = M �M? si < x1; xi >= 0;8i = 2; n, rezult¼ac¼a B = fx1; x2; :::; xng este o baz¼a ortonormat¼a în E si matricea lui T în baza Beste diagonal¼a:

A =

0BB@�1 0 00 �2 0

::::0 0 �n

1CCA :�Tinând seama de propozitia 4.2, obtinem:

COROLAR 3.4.1. Orice matrice simetric¼a A este diagonalizabil¼a.

5. Transform¼ari liniare ortogonale

Fie E un spatiu euclidian real.

DEFINITIE. Endomor�smul T 2 L(E) se numeste transformare ortogonal¼a (op-erator ortogonal) dac¼a transform¼a orice baz¼a ortonormat¼a într-o baz¼a ortonormat¼aîn E.

TEOREMA 5.1. Dac¼a E este un spatiu euclidian de dimensiune n si T 22 L(E), urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:

a) T este transformare ortogonal¼a;b) T �p¼astreaz¼a�produsul scalar, adic¼a:

(5.1) < Tx; Ty > = < x; y >;8x; y 2 E;

c) dac¼a A este matricea lui T într-o baz¼a ortonormat¼a B, atunci AT = A�1

(AT este transpusa lui A).


Demonstratie. a) =) b). Dac¼a fe1; :::; eng este o baz¼a ortonormat¼a în E,atunci fTe1; :::; T eng este o baz¼a ortonormat¼a în E, adic¼a < ei; ej >= �ij =

=< Tei; T ej >;8i; j = 1; n. Dac¼a x; y 2 E; x =nPi=1

xiei;nPj=1

yjej , atunci

< x; y >=nPi=1

nPj=1

xiyj < ei; ej >=nPi=1

xiyi. Pe de alt¼a parte:

< Tx; Ty >=

nXi=1

nXj=1

xiyj < Tei; T ej >=

nXi=1

xiyi:

Deci < Tx; Ty >=< x; y >;8x; y 2 E.b) =) c). Vom ar¼ata c¼a dac¼a T �p¼astreaz¼a� produsul scalar, atunci T este

injectiv¼a, deci izomor�sm. Fie x 2 KerT , deci Tx = 0E . Dar < x; x >==< Tx; Tx >= 0. Atunci x = 0E si în consecint¼a KerT = f0Eg, deci T esteinjectiv. Atunci exist¼a T�1 : E ! E. Alegând în (5.1) y = T�1z; 8z 2 E, obtinem< Tx; z >=< x; T�1z >;8x; z 2 E si deci T�1 = T �.

Fie B o baz¼a ortonormat¼a în E si A matricea atasat¼a lui T în aceast¼a baz¼a,adic¼a

Tei =nXj=1

ajiej ; i = 1; n:

Fie C matricea atasat¼a lui T � în baza B, adic¼a

T �ek =nXl=1

clkel; k = 1; n:

Atunci:

< Tei; ek >=nXj=1

aji < ej ; ek >=nXj=1

aji�jk = aki; i; k = 1; n

si

< ei; T�ek >=

nXl=1

clk < ei; el >nXl=1

clk�il = cik; i; k = 1; n:

Tinând seama de (4.1) rezult¼a cik = aki;8i; k = 1; n, adic¼a C = AT . Asadarmatricea atasat¼a lui T � în baza B este AT . Cum T�1 = T �, rezult¼a A�1 = AT .

c) =) a) Fie B = fe1; :::; eng o baz¼a ortonormat¼a si A matricea lui T în aceast¼abaz¼a. Cum AT = A�1, rezult¼a c¼a exist¼a T�1 : E ! E astfel ca T�1 = T �. Atunci< Tei; T ej >=< ei; T

�(Tej) >=< ei; ej >= �ij , deci fTe1; :::; T eng este o baz¼aortonormat¼a în E, ceea ce înseamn¼a c¼a T este ortogonal. �

COROLAR 5.1.1. Un operator ortogonal p¼astreaz¼a distantele si unghiurile.

Demonstratie. Într-adev¼ar, dac¼a T este ortogonal, atunci punând în (5.1) y =x, obtinem < x; x >=< Tx; Tx >, adic¼a kxk = kTxk ;8x 2 E. Luând x =u � v, cu u; v 2 E, obtinem ku� vk = kT (u � v)k = kTu� Tvk, adic¼a d(u; v) =d(Tu; Tv);8u; v 2 E, deci T p¼astreaz¼a distantele. Analog, dac¼a � este unghiul

dintre vectorii x; y 2 E, atunci cos � = < x; y >

kxk � kyk =< Tx; Ty >

kTxk � kTyk = cos', unde '

este unghiul dintre Tx si Ty. �

6. PROBLEME 95

EXEMPLU. Rotatia plan¼a T : R2 ! R2, cu matricea

A =

�cos� � sin�sin� cos�

�; � 2 (��; �];

în baza canonic¼a (deci ortonormat¼a) a lui R2 este o transformare ortogonal¼a, deoareceAT = A�1.

DEFINITIE. Matricea A 2 Mn(R) se numeste matrice ortogonal¼a dac¼a esteinversabil¼a si A�1 = AT .

PROPOZITIA 5.2. Dac¼a A 2Mn(R) este o matrice ortogonal¼a, atunci

detA = �1:Demonstratie. A �ind ortogonal¼a, rezult¼a AT �A = A �AT = In si cum detA =

detAT , rezult¼a c¼a (detA)2 = 1, adic¼a detA = �1. �DEFINITIE. O matrice ortogonal¼a cu detA = 1 se numeste matrice de rotatie

în Rn.

În continuare vom determina matricele ortogonale din M2(R). Dac¼a A =

=

�a bc d

�; a; b; c; d 2 R este o matrice ortogonal¼a, egalitatea At � A = I2

este echivalent¼a cu egalit¼atile a2 + c2 = 1; ab + cd = 0; b2 + d2 = 1. Rezult¼a c¼aa; b; c; d 2 [�1; 1]. Notând �a=d = c=b = �, obtinem � = �1. Cum a 2 [�1; 1]rezult¼a c¼a exist¼a � 2 [��; �] astfel ca a = cos �, deci c2 = sin2 �, adic¼a c = � sin �.Schimbând eventual � în ��, putem presupune c¼a c = sin �. Pentru � = �1, rezult¼ac¼a matricea ortogonal¼a A va avea una din formele:�

cos � � sin �sin � cos �

�;

�cos � sin �sin � � cos �

�:

În primul caz, detA = 1. Vom ar¼ata ulterior c¼a în acest caz A determin¼a orotatie de unghi � în plan. În ceea ce priveste a doua matrice pentru � = 0 sau� = �, obtinem:

(5.2) A =

�1 00 �1

�sau A =

��1 00 1

�cu detA = �1. Vom ar¼ata ulterior c¼a matricele de forma (5.2) determin¼a simetriiîn plan. În sfârsit:

A =

�cos � sin �sin � � cos �

�=

�cos � � sin �sin � cos �

��1 00 �1

�:

În concluzie, transform¼arile ortogonale în plan sunt �e rotatii, �e simetrii, �ecompuneri de rotatii cu simetrii.

6. Probleme

1. Folosind produsele scalare canonice din spatiile euclidiene corespunz¼atoares¼a se calculeze produsele scalare si normele vectorilor:

a) x = (2; 3), y = (�6; 4);b) x = (1; 1; 0), y = (1;�1; 2);c) x = (1;�1; 2; 3), y = (1; 0; 2;�4).


2. Fie x; y 2 R3, x = (x1; x2; x3), y = (y1; y2; y3) si < x; y >= x1y1++6x2y2+3x3y3 + x1y2 + x2y1 + x1y3 + x3y1. S¼a se arate c¼a < �; � > este un produs scalarpe R3. Dac¼a x = (1;�1; 0), y = (�1; 1� 2) s¼a se calculeze < x; y > si normeleacestor vectori date de produsul scalar de mai sus. Precizati dac¼a < x; y >=3x2y2+3x3y3+2x1y2+2x2y1+2x1y3+2x3y1�x2y3�x3y2 este un produs scalarpe R3 (justi�care).

3. Fie E un spatiu euclidian de dimensiune n. S¼a se arate c¼a vectorii u1, u2,:::, un de norm¼a 1 care satisfac jjui� uj jj = 1, 1 � i < j � n, formeaz¼a o baz¼a a luiE.

Pe spatiile euclidiene din problemele urm¼atoare consider¼am produsele scalarecanonice.

4. Fie u1 = (1; 1; 1), u2 = (1; 2;�3), u3 = (5;�4;�1). S¼a se arate c¼a vectoriiformeaz¼a o baz¼a ortogonal¼a a lui R3. S¼a se determine coordonatele vectoruluix = (1; 2; 3) în raport cu aceast¼a baz¼a.

5. S¼a se calculeze distanta si unghiul dintre vectorii:a) u = (1; 2;�3; 0), v = (2; 4;�3; 1);b) f (t) = 2t� 1, g (t) = t2 + 1 pe C ([0; 1]).

6. S¼a se ortonormeze sistemele de vectori:a) u1 = (1;�2; 2), u2 = (�1; 0;�1), u3 = (5; 3;�7);b) v1 = (7; 4; 3;�3), v2 = (1; 1;�6; 0), v3 = (5; 7; 7; 8), v4 = (2; 1; 3; 0).

7. S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a ortonormat¼a a subspatiului vectorial generat de vectoriiv1 = (1; 2; 2;�1), v2 = (1; 1;�5; 3), v3 = (3; 2; 8;�7). S¼a se completeze aceast¼a baz¼ala o baz¼a ortonormat¼a a lui R4.

8. S¼a se g¼aseasc¼a un vector unitar ortogonal vectorilor v1 = (1; 0; 2; 1), v2 == (2; 1; 2; 3), v3 = (0; 1;�2; 1).

9. Fie S subspatiul vectorial al solutiilor sistemului omogen8<: 2x1 +x2 +3x3 �x4 = 03x1 +2x2 �2x4 = 03x1 +x2 +9x3 �x4 = 0

:

S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a ortonormat¼a în S si S?.10. Fie S subspatiul vectorial al lui R4, generat de vectorii v1 = (2; 1; 1;�1),

v2 = (1; 1; 3; 0), v3 = (1; 2; 8; 1). S¼a se arate c¼a orice x 2 R4 se poate scrie înmod unic sub forma x = y + z, y 2 S, z 2 S?. S¼a se determine y si z cândx = (5; 2;�2; 2).

11. Fie T : R3 ! R3, Tx = (11x1+2x2� 8x3; 2x1+2x2+10x3;�8x1+10x2++5x3), x = (x1; x2; x3). S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a ortonormat¼a a lui R3 astfel încâtmatricea lui T în aceast¼a baz¼a s¼a �e diagonal¼a.

12. Aceeasi problem¼a stiind c¼a matricea lui T în baza canonic¼a a lui R3 este

A =

0@ 17 �8 4�8 17 �44 �4 11

1A.13. S¼a se arate c¼a T : R2 ! R2, Tx = (x1 cos � � x2 sin �; x1 sin � + x2 cos �),

� 2 R, x = (x1; x2) este o transformare liniar¼a ortogonal¼a.

6. PROBLEME 97

14. Este ortogonal¼a matricea A =

0@ 1 1 �11 3 47 �5 2

1A?15. Fie T : R3 ! R3 un endomor�sm a c¼arui matrice în baza canonic¼a este A =

1

7

0@ �3 �2 66 �3 22 6 3

1A. S¼a se arate c¼a T este o transformare ortogonal¼a. A�rmatiar¼amâne adev¼arat¼a dac¼a A este matricea lui T într-o baz¼a oarecare a lui R3?

CHAPTER 6

Forme biliniare. Forme p¼atratice

În acest capitol introducem notiunea de form¼a biliniar¼a care generalizeaz¼a noti-unea de form¼a liniar¼a. Studiul formelor biliniare conduce la notiunea de form¼ap¼atratic¼a, o clas¼a important¼a de functii de o variabil¼a, neliniare.

1. Forme biliniare. Matrice asociat¼a. Rangul unei forme biliniare

Fie V un spatiu vectorial real.

DEFINITIE. Se numeste form¼a biliniar¼a pe V o aplicatie F : V � V ! R, cupropriet¼atile:

a) F (�x+ �y; z) = �F (x; z) + �F (y; z);8�; � 2 R;8x; y; z 2 V ;b) F (x; �y + �z) = �F (x; y) + �F (x; z) ;8�; � 2 R;8x; y; z 2 V .Formele biliniare de�nite pe spatii in�nit-dimensionale se numesc, de obicei,

functionale biliniare.

OBSERVATIE. O form¼a biliniar¼a este liniar¼a în �ecare din cele dou¼a argumente.Astfel, dac¼a, de exemplu, �x¼am x 2 V , atunci aplicatia Fx : V ! R;

Fx(y) = F (x; y); este o form¼a liniar¼a pe V .

DEFINITIE. O form¼a biliniar¼a F : V � V ! R se numeste simetric¼a dac¼aF (x; y) = F (y; x);8x; y 2 V .

DEFINITIE. O form¼a biliniar¼a simetric¼a se numeste pozitiv semide�nit¼a dac¼aF (x; x) � 0;8x 2 V si pozitiv de�nit¼a dac¼a este pozitiv semide�nit¼a si, în plus,F (x; x) = 0 ) x = 0V . Dac¼a F (x; x) � 0;8x 2 V , F se numeste negativ semi-de�nit¼a, iar dac¼a, în plus, F (x; x) = 0) x = 0V , F se numeste negativ de�nit¼a.

EXEMPLE. 1) Fie E un spatiu euclidian real si F : E � E ! R; F (x; y) ==< x; y >. Atunci F este o form¼a biliniar¼a simetric¼a, pozitiv de�nit¼a.

2) Fie a; b 2 R; a < b; V = C([a; b];R) si K : [a; b]� [a; b]! R continu¼a. Functia

F : V � V ! R; F (f; g) =bZa

bZa

K (s; t) f (s) g (t) dsdt;8f; g 2 V;

este o functional¼a biliniar¼a pe V .3) Fie D � Rn o multime deschis¼a si f : D ! R o functie de clas¼a C2 pe D.

Fie a = (a1; :::; an) 2 D un punct arbitrar. Atunci aplicatia

F : Rn � Rn ! R; F (h; k) =nXi=1

nXj=1

@2f

@xi@xj(a)hikj ;8h; k 2 Rn;

h = (h1; :::; hn) ; k = (k1; :::; kn), este o form¼a biliniar¼a simetric¼a, numit¼a dife-rentiala a doua a lui f si se noteaz¼a cu d2f (a).

99

100 6. FORME BILINIARE. FORME P ¼ATRATICE

4) Aplicatia F : R2 �R2 ! R, F ((x1; x2) ; (y1; y2)) = x1y2 � x2y1 este o form¼abiliniar¼a, dar nu este simetric¼a.

Fie acum V un R-spatiu vectorial de dimensiune n, B = fe1; :::; eng o baz¼a asa si F : V � V ! R o form¼a biliniar¼a.

Dac¼a x =nPi=1

xiei; y =nPj=1

yjej , atunci: F (x; y) =nPi=1

nPj=1

xiyjF (ei; ej): Notând

aij = F (ei; ej); i; j = 1; n, obtinem

(1.1) F (x; y) =nXi=1

nXj=1

aijxiyj :

Aceast¼a egalitate arat¼a c¼a forma biliniar¼a F determin¼a matricea A = (aij) 22Mn (R) si reciproc, matricea A 2Mn (R) determin¼a forma biliniar¼a F .

DEFINITIE. Fie V un R-spatiu vectorial, B = fe1; :::; eng o baz¼a în V si Fo form¼a biliniar¼a pe V . Matricea A = (aij), unde aij = F (ei; ej), i; j = 1; n, senumeste matricea asociat¼a formei biliniare F în baza B.

TEOREMA 1.1. Fie V un R-spatiu vectorial de dimensiune n si F o form¼abiliniar¼a pe V. Dac¼a B = fe1; :::; eng si B0 = fe01; :::; e0ng sunt dou¼a baze în V ,iar C = (cij) este matricea de trecere de la baza B la baza B0, atunci notând cuA = (aij); D = (dij), matricele asociate formei biliniare F în bazele B respectivB0, are loc D = CTAC.

Demonstratie. Din e0j =nPk=1

ckjek, rezult¼a:

dij = F (e0i; e

0j) = F (

nXl=1

cliel;nXk=1

ckjek) =nXl=1

nXk=1

clickjF (el; ek) =

=nXl=1

clickjalk =nXl=1

cli(nXk=1

alkckj);8i; j = 1; n;

adic¼a D = CTAC. �EXEMPLU. Fie E un spatiu euclidian real de dimensiune n, B = fe1; :::; eng

o baz¼a ortonormat¼a A lui E si F forma biliniar¼a dat¼a de F (x; y) =< x; y >=

=nPi=1

xiyi, x =nPi=1

xiei; y =nPi=1

yiei. Atunci aij = F (ei; ej) = �ij ; i; j = 1; n, deci

matricea asociat¼a formei biliniare F în baza B este matricea unitate.

Este usor de stabilit:

PROPOZITIA 1.2. O form¼a biliniar¼a F de�nit¼a pe V este simetric¼a dac¼a sinumai dac¼a matricea sa într-o baz¼a a lui V este simetric¼a.

OBSERVATIE. Dac¼a A;B 2Mn (R) si B este inversabil¼a, atunci rang (AB) == rangA si rang (BA) = rangA.

Într-adev¼ar, dac¼a G = fe1; :::; eng este o baz¼a în R-spatiul vectorial V , conformteoremei 3.2, cap. 3, exist¼a endomor�smele S; T 2 L (V ) astfel ca matricele asociatelui S; T în baza G s¼a �e A respectiv B. Cum B este inversabil¼a, rezult¼a c¼a T esteautomor�sm (teorema 4.2, cap. 3). Atunci, rang (S � T ) = rangS (corolar 2.4.2,cap. 3), deci rang (AB) = rangA (teorema 4.3, cap. 3). Similar se arat¼a c¼arang (BA) = rang (A).

2. FORME P ¼ATRATICE. REDUCEREA LA FORMA CANONIC ¼A 101

În consecint¼a, dac¼a F este o form¼a biliniar¼a, cum matricea sa se schimb¼a laschimbarea bazei dup¼a formula D = CTAC, unde C este inversabil¼a, rezult¼a c¼arangD = rangA . Deci rangul matricei asociate unei forme biliniare nu depinde debaza aleas¼a. Putem deci formula urm¼atoarea

DEFINITIE. Se numeste rangul formei biliniare F , rangul matricei asociatelui F în orice baz¼a a spatiului. Forma biliniar¼a F se numeste nedegenerat¼a saunesingular¼a dac¼a rangF = dimV si degenerat¼a dac¼a rangF < dimV .

Deci F este nedegenerat¼a dac¼a matricea sa într-o baz¼a oarecare din V estenesingular¼a si degenerat¼a dac¼a aceast¼a matrice este singular¼a.

TEOREMA 1.3. Fie E un spatiu euclidian real de dimensiune n siF : E � E ! R o form¼a biliniar¼a simetric¼a. Atunci exist¼a o unic¼a transformareliniar¼a autoadjunct¼a T : E ! E astfel ca F (x; y) = < Tx; y >; 8x; y 2 E.

Demonstratie. Fie B = fe1; :::; eng o baz¼a ortonormat¼a a lui E si aij =

= F (ei; ej); i; j = 1; n. De�nim T : E ! E, prin Tei =nPk=1

akiek. Se arat¼a

usor c¼a T este liniar¼a si cum aij = aji, T este autoadjunct¼a (propozitia 3.2, cap.

5). Fie acum x =nPi=1

xiei; y =nPj=1

yjej . Atunci:

< Tx; y >=nXi=1

nXj=1

xiyj < Tei; ej >=nXi=1

nXj=1

xiyi <nXk=1

akiek; ej >=

=nXi=1

nXj=1

xiyj(nXk=1

aki < ek; ej >) =nXi=1

nXj=1

xiyj(nXk=1

aki�kj) =

=nXi=1

nXj=1

xiyjaji =nXi=1

nXj=1

aijxiyj = F (x; y):

Pentru unicitate, dac¼a S este o transformare autoadjunct¼a astfel încât F (x; y) ==< Sx; y >;8x; y 2 E, atunci < (T � S) (x) ; y >= 0;8x; y 2 E. Alegând y == (T � S) (x), rezult¼a c¼a k(T � S) (x)k = 0;8x 2 E, adic¼a kTx� Sxk = 0;8x 22 E, deci Tx = Sx;8x 2 E.

2. Forme p¼atratice. Reducerea la forma canonic¼a

DEFINITIE. Fie V un R-spatiu vectorial. O aplicatie � : V ! R se numesteform¼a p¼atratic¼a pe V dac¼a exist¼a o form¼a biliniar¼a simetric¼a F : V � V ! R astfelca � (x) = F (x; x) ;8x 2 V . Forma p¼atratic¼a se numeste pozitiv de�nit¼a (negativde�nit¼a) dac¼a forma biliniar¼a F este pozitiv de�nit¼a (negativ de�nit¼a). Formap¼atratic¼a este cu semn nede�nit, dac¼a exist¼a x; y 2 V n f0V g, astfel încât � (x) > 0si �(y) < 0.

Se veri�c¼a imediat c¼a F este unic determinat¼a de �. Mai precis, corespondentaF ! � este o bijectie între multimea formelor biliniare simetrice pe V si multimeaformelor p¼atratice pe V .

Într-adev¼ar, dac¼a � este o form¼a p¼atratic¼a, atunci forma biliniar¼a simetric¼a Fdin care provine este dat¼a de:

(2.1) F (x; y) =1

2[�(x+ y)� � (x)� �(y)];8x; y 2 V:


F se numeste polara formei p¼atratice �.Fie acum V un R-spatiu vectorial de dimensiune n si B = fe1; :::; eng o baz¼a

în V . Dac¼a � : V ! R este o form¼a p¼atratic¼a, iar F : V � V ! R polara sa, atuncipentru orice x 2 V; x =

nPi=1

xiei, avem:

(2.2) � (x) = F (x; x) = F (nXi=1

xiei;nXj=1

xjej) =nXi=1

nXj=1

aijxixj ;

unde aij = F (ei; ej); i; j = 1; n. De exemplu, când n = 2 si x = x1e1 + x2e2, avem� (x) = a11x

21 + 2a12x1x2 + a22x

22.

DEFINITIE. Matricea A = (aij) asociat¼a formei biliniare simetrice F se numestematricea asociat¼a formei p¼atratice �. Rangul formei biliniare F îl vom numi rangulformei p¼atratice � si coincide, evident, cu rangul matricei lui � într-o baz¼a a lui V .

EXEMPLU. Dac¼a x = (x1x2) 2 R2;� (x) = x21 + x22 � 4x1x2 este o form¼a

p¼atratic¼a pe R2. Dac¼a y = (y1; y2) 2 R2, atunci polara formei p¼atratice � esteF (x; y) = x1y1 + x2y2 � 2x1y2 � 2x2y1.

DEFINITIE. Fie V un R-spatiu vectorial de dimensiune n si � : V ! R o form¼ap¼atratic¼a. Spunem c¼a � este redus¼a la forma canonic¼a dac¼a se determin¼a o baz¼aB0 = fe01; :::; e0ng în V astfel:

(2.3) � (x) = �1x021 + :::+ �nx

02n ;

unde x01; :::; x0n sunt coordonatele lui x în baza B

0, iar �1; :::; �n sunt scalari din R,nu toti neap¼arat nenuli, numiti coe�cientii formei p¼atratice.

OBSERVATIE. În aceast¼a baz¼a matricea asociat¼a formei p¼atratice este o ma-trice diagonal¼a. Observ¼am c¼a num¼arul de p¼atrate cu coe�cientii nenuli din (2.3)coincide cu rangul lui �.

TEOREMA 2.1. (Metoda lui Gauss). Fie V un R-spatiu vectorial de dimen-siune n, � : V ! R o form¼a p¼atratic¼a, iar B = fe1; :::; eng o baz¼a fat¼a de care� (x) =

nPi=1

nPj=1

aijxixj, matricea A = (aij) �ind nenul¼a. Atunci exist¼a o baz¼a

B0 = fe01; :::; e0ng în V în care � se scrie sub forma canonic¼a (2.3).

Demonstratie. Distingem dou¼a situatii:a) exist¼a cel putin un indice i, 1 � i � n, astfel ca aii 6= 0.b) aii = 0;8i = 1; n. În acest caz

� (x) = 2X

1�i<j�naijxixj :

Ne ocup¼am mai întâi de cazul a), aplicând inductia matematic¼a dup¼a n. Cazuln = 1 este banal, deoarece � (x) = a11x

21, deci � este automat redus¼a la forma

canonic¼a în orice baz¼a. Presupunem proprietatea adev¼arat¼a pentru n� 1 variabilesi o demonstr¼am pentru n. Putem presupune a11 6= 0 (în caz contrar renumerot¼amconvenabil vectorii bazei). Grupând toti termenii care contin pe x1 si formând unp¼atrat perfect, obtinem:

� (x) = � (x1; :::; xn) =1

a11(a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn)

2+(x2; :::; xn) ;

unde este o form¼a p¼atratic¼a în (n� 1) variabile.


Construim baza B1 = ff1; :::; fng cu ajutorul schimb¼arii de coordonate:

y1 = a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn; y2 = x2; :::; yn = xn:

Matricea de trecere de la baza B la baza B1 este:

C =

0BBB@1

a11�a12a11

::: �a1na11

0 1 ::: 0::: ::: ::: :::0 0 ::: 1

1CCCA ;

deci f1 =1

a11e1; f2 = �

a12a11e1+ e2; :::; fn = �

a1na11

e1+ en. Dac¼a x =nPi=1

yifi, atunci

� (x) =1

a11y21 +

nPi=2

nPj=2

a0ijyiyj =1

a11y21 +(x

0), unde

x0 =nXi=2

yifi 2 V1 = Sp (ff2; :::; fng) :

Cum este o form¼a p¼atratic¼a în n� 1 variabile, conform ipotezei de inductie,

exist¼a o baz¼a fe02; :::; e0ng a lui V1 astfel încât (x) =nPi=2

�ix02i , unde x

0 =nPi=2

x0ie0i.

Cum f =2 V1, luând e01 = f1, rezult¼a c¼a fe01; :::; e0ng este o baz¼a a lui V si în aceast¼a

baz¼a � (x) =nPi=1

�ix02i , cu �1 =

1

a11si x01 = y1. Teorema este demonstrat¼a în acest

caz.b) Dac¼a toate elementele de pe diagonala principal¼a sunt nule, atunci exist¼a

cel putin un element nediagonal aij 6= 0; i 6= j. Renumerotând, eventual, vectoriibazei, putem presupune a12 6= 0. Construim baza B2 = fg1; :::; gng astfel încâtdac¼a x =

nPi=1

x0igi s¼a avem x01 =1

2(x1 + x2) ; x

02 =

1

2(x1 � x2), x0k = xk; k = 3; n.

În acest caz matricea de trecere si noua baz¼a sunt respectiv:

C =

0BBBB@1 1 0 ::: 01 �1 0 ::: 00 0 1 ::: 0::: ::: ::: ::: :::0 0 0 ::: 1

1CCCCAg1 = e1 + e2g2 = e1 � e2g3 = e3:::::::::::::gn = en

În aceast¼a baz¼a, obtinem � (x) = 2a12(x021 � x022 ) +

nPi=1

nPj=1

a0ijx0ix0j , în care

matricea asociat¼a are pe a12 ca element diagonal. Se continu¼a ca în cazul a). �

EXEMPLE. 1) Fie � : R3 ! R o form¼a p¼atratic¼a, care în baza canonic¼a B =fe1; e2; e3g a lui R3 are expresia � (x) = 5x21 + 6x22 + 4x23 � 4x1x2 � 4x1x3. S¼a sereduc¼a la forma canonic¼a folosind metoda lui Gauss.

Avem a11 = 5 6= 0. Grup¼am termenii care contin x1 si c¼aut¼am s¼a form¼am unp¼atrat perfect. Avem:

� (x) = (5x21 � 4x1x2 � 4x1x3) + 6x22 + 4x23 =

=1

5(5x1 � 2x2 � 2x3)2 +

26

5x22 +

16

5x23 �

8

5x2x3:


Fie schimbarea de coordonate y1 = 5x1�2x2�2x3; y2 = x2; y3 = x3. Matriceade trecere de la baza canonic¼a la noua baz¼a ff1; f2; f3g în care x = y1f1 + y2f2++y3f3, este

C1 =

0B@1

5

2

5

2

50 1 00 0 1

1CA :f1 =

1

5e1, f2 =

2

5e1 + e2, f3 =

2

5e1 + e3

Atunci, continuând procedeul, obtinem:

� (x) =1

5y21 +

5

26(26

5y2 �

4

5y3)

2 +40

13y23 :

Cu schimbarea de coordonate x01 = y1; x02 =

26

5y2 �

4

5y3; x

03 = y3, se obtine

forma canonic¼a:

� (x) =1

5x021 +

5

26x022 +

40

13x023 ;

unde x = x01e01 + x

02e02 + x

03e03, matricea de trecere de la baza ff1; f2; f3g la baza

fe01; e02; e03g �ind

C2 =

0B@ 1 0 0

05

26

2

130 0 1

1CA ; iar

e01 = f1

e02 =5

26f2

e03 =2

13f2 + f3

:

Matricea de trecere de la baza initial¼a B la baza fe01; e02; e03g va �:

C = C1C2 =

0BBB@1

5

1

13

6

13

05

26

2

130 0 0

1CCCA sie01 =

1

5e1

e02 =1

13e1 +

5

26e2

e03 =6

13e1 +

2

13e2 + e3

:

În aceast¼a baz¼a, matricea formei p¼atratice va � CTAC, unde A este matriceaformei p¼atratice în baza B, adic¼a:

A =

0@ 5 �2 �2�2 6 0�2 0 4

1A :Calculând

CTAC =

0BBBB@1

50 0

05

260

0 040

13

1CCCCA ;obtinem matricea formei p¼atratice redus¼a la forma canonic¼a, care este diagonal¼a.

2) Aceeasi problem¼a pentru forma p¼atratic¼a, care în baza canonic¼a B a lui R3,are expresia � (x) = x1x2+x1x3+x2x3. Matricea formei p¼atratice în baza canonic¼aeste:


A =

0BBBBB@0

1

20

1

20

1

21

2

1

20

1CCCCCA :

Deoarece aii = 0; i = 1; 3 si cum a12 =1

26= 0, consider¼am schimbarea de

coordonate x01 =1

2(x1 + x2) ; x

02 =

1

2(x1 � x2) ; x03 = x3, cu matricea de trecere de

la baza B la o nou¼a baz¼a fg1; g2; g3g

C1 =

0@ 1 1 01 �1 00 0 1

1A :În baza g1 = e1 + e2; g2 = e1 � e2; g3 = e3; x = x01g1 + x02g2 + x03g3, avem:

� (x) = x021 � x022 + 2x01x03 = (x01 + x03)2 � x022 � x023 :

Cu schimbarea x001 = x01 + x

03; x

002 = x

02; x

003 = x

03 obtinem forma canonic¼a:

� (x) = x002] � x0022 � x0023 :

În acest ultim caz, matricea de trecere de la baza fg1; g2; g3g la noua baz¼aB0 = fe01; e02; e03g este

C2 =

0@ 1 0 �10 1 00 0 1

1A ; deci e01 = g1 = e1 + e2e02 = g2 = e1 � e2e03 = �g1 + g3 = �e1 � e2 + e3

.

În concluzie, matricea de trecere de la baza B la baza B0 este C = C1C2, adic¼a:

C =

0@ 1 1 �11 �1 �10 0 1

1A :Matricea formei p¼atratice în baza B0 are form¼a diagonal¼a, calculându-se cu

formula CTAC:

CTAC =

0@ 1 0 00 �1 00 0 �1

1A :TEOREMA 2.2 (metoda lui Jacobi). Fie V un R-spatiu vectorial de dimensi-

une n si � : V ! R, având în baza B = fe1; :::; eng matricea A = (aij) ce areproprietatea c¼a pentru orice i = 1; n, minorii principali

�i=

��a11 ::: a1i::: ::: :::ai1 ::: aii

��sunt nenuli. Atunci, exist¼a o baz¼a B0 = fe01; :::; e0ng a lui V în care � are formacanonic¼a

(2.4) � (x) =�0�1x021 +

�1�2x022 + :::+

�n�1�n

x02n ;


unde x =nPi=1

x0ie0i, iar �0 = 1.

Demonstratie. Vom construi baza formei canonice B0 astfel:

(2.5)

8>>>>>><>>>>>>:

e01 = c11e1e02 = c12e1 + c22e2:::::::::::::::::::::::::::::::e0i = c1ie1 + c2ie2 + :::+ ciiei:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::e0n = c1ne1 + c2ne2 + :::+ cnnen

.

Matricea schimb¼arii de baz¼a este triunghiular¼a, coe�cientii cij 2 R, i; j = 1; n,j � i, urmând a �determinati astfel încât în noua baz¼a B0, matricea formei p¼atrat-ice s¼a �e diagonal¼a, pe diagonala principal¼a g¼asindu-se chiar coe�cientii cii; i = 1; n,din relatiile (2.5). Pentru aceasta, dac¼a F este polara formei p¼atratice �, este su�-cient s¼a cerem

(2.6) F (e0i; ej) = 0; pentru orice i; j = 1; n; j < i:

Vom ar¼ata c¼a dac¼a are loc (2.6) atunci F (e0i; e0j) = 0, pentru orice i; j = 1; n;

i 6= j. Într-adev¼ar, din (2.5) si (2.6) pentu i 6= j; j < i, avem:

F (e0i; e0j) = F (e

0i; c1je1 + :::+ cjjej) = c1jF (e

0i; e1) + :::+ cjjF (e

0i; ej) = 0:

Folosind, apoi, simetria formei biliniare F , rezult¼a c¼a pentru orice i 6= j,F (e0i; e

0j) = 0, deci matricea lui � în baza B

0 este diagonal¼a.Vom impune acum conditiile:

(2.7) F (e0i; ei) = 1;8i = 1; n:

Atunci conform (2.6) si (2.7) elementele de pe diagonala principal¼a vor �:

F (e0i; e0i) = F (e

0i; c1ie1 + :::+ ciiei) =

= c1iF (e0i; e1) + :::+ ci�1;iF (e

0i; ei�1) + ciiF (e

0i; ei) = cii:

Vom ar¼ata acum c¼a pentru i = 1; n avem:

(2.8) cii =�i�1�i

Din (2.7), pentru i = 1, obtinem c11F (e1; e1) = 1, adic¼a c11 =1

a11=�0�1.

Fixând i; 2 � i � n, din (2.6) si (2.7) obtinem:

F (e0i; e1) = c1iF (e1; e1) + c2iF (e2; e1) + :::+ cii (ei; e1) = 0:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::F (e0i; ei�1) = c1iF (e1; ei�1) + c2iF (e2; ei�1) + :::+ ciiF (ei; ei�1) = 0F (e0i; ei) = c1iF (e1; ei) + c2iF (e2; e1) + :::+ ciiF (ei; ei) = 1

:

Folosind faptul c¼a F (ei; ej) = aij precum si simetria luiF , sistemul de mai susdevine

(2.9)

8>><>>:c1ia11 + c2ia12 + :::+ ciia1i = 0:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::c1iai�1;1 + c2iai�1;2 + :::+ ciiai�1;i = 0c1iai1 + c2iai2 + :::+ ciiaii = 1

.


Determinantul sistemului (2.9) este chiar minorul principal�i, care, prin ipotez¼a,este nenul. Deci sistemul (2.9) este un sistem Cramer. În consecint¼a, avem:

cii =

��a11 ::: a1;i�1 0::: ::: ::: :::ai�1;1 ::: ai�1;i�1 0ai1 ::: ai;i�1 1

��i

=�i�1�i

:

În concluzie, matricea formei p¼atratice � în baza nou construit¼a B0, este:

(2.10)

0BBBBBBB@

�0�1

0 ::: 0

0�1�2

::: 0

::: ::: ::: :::

0 0 :::�n�1�n

1CCCCCCCAiar expresia lui � este dat¼a de (5), unde x =

nPi=1

x0ie0i. �

EXEMPLU. Forma p¼atratic¼a � : R3 ! R are în baza canonic¼a B = fe1; e2; e3gexpresia � (x) = 5x21 + 6x

22 + 4x

23 � 4x1x2 � 4x1x3, unde x = x1e1 + x2e2 + x3e3.

Matricea sa: 0@ 5 �2 �2�2 6 0�2 0 4

1Aare minorii principali:

�1 = 5;�2 =

�� 5 �2�2 6

�� = 26;�3 =��5 �2 �2�2 6 0�2 0 4

�� = 80:Putem pune deja în evident¼a forma canonic¼a a lui �, folosind (5):

� (x) =1

5x021 +

5

26x022 +

13

40x023 :

S¼a determin¼am acum baza formei canonice. Conform (2.5), e01 = c11e1 si cum

F (e01; e1) = 1, rezult¼a c11 =1

5.

Dar e02 = c12e1 + c22e2. Conditiile F (e02; e1) = 0; F (e02; e2) = 1, conduc lasistemul: �

5c12 � 2c22 = 0�2c12 + 6c22 = 1

.

Rezolvând, obtinem c12 =1

13; c22 =

5

26.

În sfârsit e03 = c13e1 + c23e2 + c33e3. Conditiile F (e03; e1) = 0; F (e03; e2) = 0;F (e03; e3) = 1, conduc la sistemul8<: 5c13 � 2c23 � 2c33 = 0

�2c13 + 6c23 = 0�2c13 + 4c33 = 1

:


care are solutia c13 =3

20; c23 =

1

20; c33 =

13

40. Asadar e01 =

1

5e1; e

02 =

1

13e1+

+5

26e2; e

03 =

3

20e1 +

1

20e2 +

13

40e3; matricea de trecere de la baza canonic¼a la baza

fe01; e02; e03g, �ind 0BBBBB@1

5

1

13

3

20

05

26

1

20

0 013

40

1CCCCCA :OBSERVATIE. S¼a remarc¼am c¼a în comparatie cu metoda lui Gauss, conditiile

pe care trebuie s¼a le satisfac¼a matricea unei forme p¼atratice într-o baz¼a �xat¼a,pentru a putea aplica metoda lui Jacobi, sunt mai restrictive. Se poate ar¼ata totusic¼a dac¼a unii minori principali sunt nuli, se poate schimba convenabil baza în Vastfel încât toti minorii principali ai matricei formei p¼atratice s¼a �e nenuli.

TEOREMA 2.3 (metoda valorilor si vectorilor proprii sau metoda transfor-m¼arilor ortogonale). Fie E un spatiu euclidian real de dimensiune n si � : V ! R oform¼a p¼atratic¼a pe E. Atunci exist¼a o baz¼a ortogonal¼a B � E astfel încât matriceaasociat¼a lui � în baza B s¼a �e diagonal¼a (deci � are form¼a diagonal¼a).

Demonstratie. Fie F polara formei p¼atratice �. Conform teoremei 1.3, exist¼ao unic¼a transformare autoadjunct¼a T : E ! E astfel încât F (x; y) =< Tx; y >;8x; y 2 E. Atunci � (x) =< Tx; x >; 8x 2 E. T �ind autoadjunct¼a, rezult¼ac¼a exist¼a o baz¼a ortonormat¼a B = fe1; :::; eng a lui E, baz¼a format¼a din vectoriproprii ai lui T corespunz¼atori valorilor proprii reale �1; :::; �n. Asadar Tei = �iei;

8i = 1; n. Dac¼a x =nPi=1

xiei, atunci

� (x) =< Tx; x >=<nPi=1

xiTei;nPj=1

xjej >=

=nPi=1

nPj=1

xixj < �iei; ej >=nPi=1

�ix2i ;

adic¼a � are form¼a diagonal¼a. �

OBSERVATIE. Pentru a reduce la forma canonic¼a o form¼a p¼atratic¼a, prinmetoda transform¼arilor ortogonale, se procedeaz¼a astfel:

- se determin¼a valorile proprii �i; i = 1; n, ale matricei asociate formei p¼atratice� si subspatiile corespunz¼atoare V�i ; i = 1; n;

- în �ecare subspatiu propriu, construim o baz¼a ortonormat¼a, folosind procedeulGram-Schmidt;

- se formeaz¼a matricea C 2 Mn (R), ale c¼arei colone contin componentele vec-torilor proprii determinati mai sus. C este ortogonal¼a si CTAC este o matricediagonal¼a cu valorile proprii pe diagonal¼a. (A este matricea formei p¼atratice înbaza ortonormat¼a initial¼a);

- forma canonic¼a este � (x) = �1x21 + ::: + �nx2n; x1; :::; xn �ind componentele

lui x în baza construit¼a mai sus.

EXEMPLU. Pentru forma p¼atratic¼a � (x) = 5x21+6x22+4x

23�4x1x2�4x1x3 s¼a

se determine forma canonic¼a, folosind metoda transform¼arilor ortogonale. Valorile

3. LEGEA DE INERTIE A FORMELOR P ¼ATRATICE 109

proprii ale matricei asociate în baza canonic¼a a lui R3, sunt �2 = 2; �2 = 5; �3 = 8,iar vectorii proprii corespunz¼atori sunt v1 = (

2

3;1

3;2

3), v2 = (

1

3;2

3;�23),

v3 = (2

3;�23;�13) respectiv (sunt ortogonali si normati). În baza fv1; v2; v3g,

� are forma diagonal¼a � (x) = 2x21 + 5x22 + 8x

23, unde x = x1v1 + x2v2 + x3v3.

OBSERVATIE. Fie V un R-spatiu vectorial si � : V ! R o form¼a p¼atratic¼aal c¼arei rang este r; 0 � r � n. S¼a presupunem c¼a a fost determinat¼a o baz¼aB = fe01; :::; e0ng a lui V în care � s¼a �e redus¼a la forma canonic¼a:

� (x) = �1x021 + :::+ �rx

02r ;

unde x01; :::; x0r sunt coordonatele lui x în baza B, iar coe�cientii �j ; j = r + 1; n

sunt nuli. Efectuând schimbarea de coordonate:

xi =pj�ij x0i; i = 1; r; xj = x0j ; j = r + 1; n;

expresia lui � devine, dup¼a o eventual¼a renumerotare a coordonatelor lui x (pre-supunând �i > 0; i = 1; p; �i < 0; i = p+ 1; r):

(2.11) � (x) = x21 + :::+ x2p � x2p+1 � :::� x2r

numit¼a forma normal¼a a formei p¼atratice.

3. Legea de inertie a formelor p¼atratice

Analizând exemplele din 6.2 se constat¼a c¼a forma canonic¼a la care este adus¼a oform¼a p¼atratic¼a, nu are coe�cientii unic determinati, ci ei depind de metoda folosit¼a.De asemenea, nici baza formei canonice nu este unic determinat¼a. Totusi, num¼arulcoe�cientilor strict pozitivi, respectiv strict negativi, nu se schimb¼a, indiferent demetoda utilizat¼a de reducere la forma canonic¼a. Vom demonstra:

TEOREMA 3.1. (legea de inertie). Fie V un R-spatiu vectorial si � : V ! Ro form¼a p¼atratic¼a. Atunci num¼arul termenilor pozitivi si a celor negativi din formanormal¼a a lui � nu depinde de alegerea bazei formei normale.

Demonstratie. Fie r rangul lui � si B = fe1; :::; eng, B0 = fe01; :::; e0ng dou¼abaze în V în care � s¼a aib¼a, respectiv, formele normale:

(3.1) � (x) = x21 + :::+ x2p � x2p+1 � :::� x2r

si

(3.2) � (x) = x021 + :::+ x02q � x02q+1 � :::� x02r ;

unde x1; :::; xn sunt coordonatele lui x în baza B, iar x01; :::; x0n sunt coordonatele

lui x în baza B0. Vom ar¼ata c¼a p = q, deci c¼a num¼arul de p¼atrate pozitiveeste acelasi, ceea ce atrage faptul c¼a si num¼arul de p¼atrate negative este ace-lasi. Presupunem prin absurd c¼a p > q. Fie S1 = Sp(fe1; :::; epg) si S2 =Sp(fe0q+1; :::; e0ng), deci dimS1 = p;dimS2 = n � q. Cum S1 + S2 este sub-spatiu vectorial al lui V , dim (S1 + S2) � n. Conform teoremei lui Grassmann,dim (S1 \ S2) = dimS1 + dimS2 � dim (S1 + S2) � p + n � q � n > 0. Ex-ist¼a deci x0 2 S1 \ S2; x0 6= 0V . Atunci x0 = x1e1 + ::: + xpep (x0 2 S1) six0 = x0q+1e

0q+1 + ::: + x

0ne0n (x0 2 S2). Obtinem: � (x) = x21 + ::: + x

2p > 0 si

� (x0) = �x02q+1 � :::� x02r < 0. Am ajuns la o contradictie, deci inegalitatea p > qnu poate avea loc. Analog se veri�c¼a si c¼a inegalitatea q > p nu poate avea loc.Rezult¼a p = q. �


Teorema urm¼atoare ne d¼a posibilitatea s¼a veri�c¼am într-un mod foarte simpludac¼a o form¼a p¼atratic¼a este pozitiv sau negativ de�nit¼a.

TEOREMA 3.2. (Sylvester) În ipotezele teoremei 2.2, forma p¼atratic¼a � estepozitiv de�nit¼a dac¼a si numai dac¼a �i > 0;8i = 1; n, iar � este negativ de�nit¼adac¼a si numai dac¼a �i�1 ��i < 0;8i = 1; n.

Demonstratie. Conform teoremei 2.2 (metoda Jacobi), exist¼a o baz¼a B0 == fe01; :::; e0ng a lui V în care:

(3.3) � (x) =�0�1x21 +

�1�2x22 + :::+

�n�1�n

x2n

unde x =nPi=1

xie0i. Dac¼a � este pozitiv de�nit¼a, alegând succesiv x = e01; x = e02;

:::; x = e0n se obtine�i�1�i

> 0;8i = 1; n. Cum �0 = 1, rezult¼a �i > 0; 8i = 1; n.

Reciproc, dac¼a �i > 0;8i = 1; n, rezult¼a�i�1�i

> 0;8i = 1; n si deci din (3.3) se

obtine � (x) > 0;8x 6= 0V . Cazul formelor p¼atratice negativ de�nite se trateaz¼asimilar. �

4. Reducerea simultan¼a la forma canonic¼a a dou¼a forme p¼atratice

Fie V un spatiu euclidian real de dimensiune n, �; : V ! R dou¼a formep¼atratice si F si G polarele celor dou¼a forme p¼atratice.

În anumite probleme de matematic¼a si �zic¼a un rol important îl are deter-minarea unei baze a lui V în raport cu care cele dou¼a forme p¼atratice au simultanforma canonic¼a.

O astfel de baz¼a nu se poate determina totdeauna. Teorema urm¼atoare pre-cizeaz¼a când aceast¼a problem¼a are solutie.

G �ind o form¼a biliniar¼a pozitiv de�nit¼a, rezult¼a imediat c¼a

(4.1) < x; y >G= G(x; y);

este un produs scalar pe V .

TEOREMA 4.1. Dac¼a este pozitiv de�nit¼a, atunci exist¼a o baz¼a ortonormat¼a(în raport cu < �; � >G) F = ff1; f2; :::; fng a lui V astfel încât dac¼a x = �1f1++:::+ �nfn, avem

(4.2) � (x) = �1�21 + :::+ �n�

2n;

(4.3) (x) = �21 + :::+ �2n:

Demonstratie. Conform teoremei 2.3, exist¼a o baz¼a ortonormat¼aF = ff1; f2; :::; fng relativ la produsul scalar dat de (4.1) în raport cu care � (x) sescrie sub forma (4.2). În aceeasi baz¼a avem

(4.4) (x) = G (x; x) =< x; x >G= �21 + :::+ �

2n;

deci � si au forma canonic¼a în baza F . �În continuare vom indica modul în care se determin¼a baza F . Fie A = (aij),

B = (bij) matricele asociate formelor p¼atratice � respectiv în baza ortonormat¼a

4. REDUCEREA SIMULTAN ¼A LA FORMA CANONIC ¼A A DOU ¼A FORME P ¼ATRATICE 111

E = fe1; :::; eng a lui V . Conform teoremei 1.3, exist¼a transform¼arile autoadjuncteS; T : V ! V ,

(4.5) Sej =nXi=1

aijei, Tej =nXi=1

bijei,

(4.6) F (x; y) =< Sx; y > , G(x; y) =< Tx; y > :

Matricele formelor p¼atratice � si în baza F sunt D = CTAC respectivIn = C

TBC, unde

D =

0BB@�1 0 ::: 00 �2 ::: 0::: ::: ::: :::0 0 ::: �n

1CCA ;iar C este matricea de trecere de la baza E la baza F . Evident C este o matriceortogonal¼a.

Asadar �1, �2, ...,�n sunt r¼ad¼acinile ecuatiei det (D � �In) = 0, adic¼adet(CTAC��CTBC) = 0: Aceast¼a ecuatie se mai scrie sub forma det (A� �B) == 0: Înlocuind �i în sistemul omogen

(4.8) (A� �iB)x = 0;

vom g¼asi Ker (S � �iT ). În �ecare astfel de subspatiu construim o baz¼a ortonor-mat¼a relativ la produsul scalar (4.1). Reuniunea acestor baze este baza c¼autat¼a. În

plus, din (4.8) rezult¼a Sfj = �iTfj ; j = 1; n: Atunci, dac¼a x =nPj=1

�jfj ,

� (x) = F (x; y) =< Sx; x >=nP

i;j=1

�i�j < Sfj ; fi >=

=nP

i;j=1

�j�i�j < Tfj ; fi >=nP

i;j=1

�j�i�jG(fj ; fi) =

=nP

i;j=1

�j�i�j < fj ; fi >G=nPi=1

�i�2i :

EXEMPLU. S¼a se reduc¼a simultan la forma canonic¼a formele p¼atratice

� (x) = �10x21 + 2x22 � 15x23 + 2x1x2 + 12x1x3;(x) = 3x21 + 4x

22 + 5x

23 + 4x1x2 � 4x1x3:

S¼a se g¼aseasc¼a baza formelor canonice.Matricele asociate formelor p¼atratice � si sunt

A =

0@ �10 1 61 2 06 0 �15

1A ; B =0@ 3 2 �2

2 4 0�2 0 5

1A :Folosind metoda lui Jacobi rezult¼a usor c¼a este pozitiv de�nit¼a. Prin cal-

cul rezult¼a c¼a det (A� �B) = � (1� 2�) (�+ 3) (4�+ 27). În concluzie, formelecanonice sunt

� (x) =1

2�21 � 3�22 �

27

4�23; (x) = �21 + �

22 + �

23:


Pentru � =1

2, obtinem x = (0; t; 0) : Pentru t = 1, kxk dat¼a de produsul scalar

(4.1) este kxk = 2, deci f1 = (0;1

2; 0). Dac¼a � = �3, atunci x = (0; 0; t). Luând

t = 1, kxk =p5. Obtinem f2 = (0; 0;

1p5). Pentru � = �27

4, x = (10t;�5t; 4t),

deci f3 = (5p30;� 5

2p30;2p30).

5. Probleme

1. S¼a se arate c¼a F : R3 �R3 ! R, F (x; y) = 2x1y1 � 5x1y2 + 2x2y1 � 3x2y2��3x2y3 + 4x3y2 � x3y3 este o form¼a biliniar¼a. Care este matricea lui F în bazae1 = (1; 0; 0), e2 = (1; 1; 0), e3 = (1; 1; 1)? Este simetric¼a forma biliniar¼a?

2. Pe R2, �e forma biliniar¼a F (x; y) = 3x1y1 + 2x1y2 � x2y2. G¼asiti matriceleasociate lui F în bazele e1 = (1; 1), e2 = (1; 0), respectiv e01 = (1; 2), e

02 = (�1; 1).

Ce relatie este între cele dou¼a matrice?

3. Fie F : C ([0; 1])� C ([0; 1])! R, F (f; g) =1R0

1R0

f (t) g (s) dt ds.

a) S¼a se arate c¼a F este o form¼a biliniar¼a;b) S¼a se determine matricele lui F în bazele e1 = 1, e2 = t, e3 = t2 respectivf1 = 1, f2 = t� 1, f3 = (t� 1)2.

4. Care este polara formei p¼atratice � : R3 ! R, � (x) = x21 � x22 + x1x2++3x2x3?

5. S¼a se reduc¼a la forma canonic¼a, folosind metoda lui Gauss, urm¼atoareleforme p¼atratice de�nite pe R3 sau R4. S¼a se speci�ce baza formei canonice. Caredin aceste forme p¼atratice este pozitiv de�nit¼a?

a) � (x) = x21 + x22 + 3x

23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3;

b) � (x) = x21 � 3x23 � 2x1x2 + 2x1x3 � 6x2x3;c) � (x) = x21 + 5x

22 � 4x23 + 2x1x2 � 4x1x3;

d) � (x) = 4x21 + x22 + x

23 + 4x1x2 � 4x1x3 � 3x2x3;

e) � (x) = 2x21 + 18x22 + 8x

23 � 12x1x2 + 8x1x3 � 27x2x3;

f) � (x) = x21 +2x22 + x

24 +4x1x2 +4x1x3 +2x1x4 +2x2x3 +2x2x4 +2x3x4.

6. S¼a se reduc¼a la forma canonic¼a, folosind metoda lui Jacobi, urm¼atoareleforme p¼atratice de�nite pe R3 sau R4. S¼a se speci�ce baza formei canonice. Caredin aceste forme p¼atratice este pozitiv de�nit¼a?

a) � (x) = x21 � 2x22 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3;b) � (x) = 3x21 � 2x22 + 2x23 + 4x1x2 � 3x1x3 � x2x3;c) � (x) = x21 + x

22 + 3x

23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3;

d) � (x) = x21 + 4x22 + 6x

23 � 2x1x2 + 2x2x3 � 2x3x4;

e) � (x) = 3x21 + 2x22 � x23 � 2x24 + 2x1x2 � 4x2x3 + 2x2x4.

7. Pentru ce valori ale lui �, urm¼atoarele forme p¼atratice sunt pozitiv de�nite?

a) � (x) = 5x21 + x22 + �x

23 + 4x1x2 � 2x1x3 � 2x2x3;

b) � (x) = 2x21 + x22 + 3x

23 + 2�x1x2 + 2x1x3;

c) � (x) = 2x21 + 2x22 + x

23 + 2�x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3.

5. PROBLEME 113

8. Folosind metoda transform¼arilor ortogonale s¼a se reduc¼a la forma canonic¼aurm¼atoarele forme p¼atratice. S¼a se g¼aseasc¼a baza formei canonice.

a) � (x) = 2x21 + x22 � 4x1x2 � 4x2x3;

b) � (x) = x21 + x22 + x

23 + x1x2 + x1x3 + x2x3;

c) � (x) = 4x1x2 � x23;d) � (x) = 2x1x2 + 2x3x4;e) � (x) = x21 + x

22 + x

23 + 5x

24 + 2x1x4 � 4x3x4.

9. Pe R3 se consider¼a formele p¼atratice � (x) = x21+2x22+3x23+2x1x2�2x1x3,(x) = x21+6x

23+2x1x2�2x1x3+3x2x3. S¼a se reduc¼a simultan la forma canonic¼a

precizându-se baza formelor canonice.

CHAPTER 7

Elemente de calcul tensorial

În acest capitol vom folosi o conventie de sumare propus¼a de Einstein, care neva permite s¼a simpli�c¼am foarte mult scrierea relatiilor în care intervin sum¼ari.

Mai precis, dac¼a într-o expresie acelasi indice intervine de dou¼a ori, odat¼a caindice superior si odat¼a ca indice inferior, atunci se sumeaz¼a dup¼a acest indice,dac¼a nu se face vreo mentiune special¼a. Semnul �

P� nu se mai scrie. Indicele

de sumare poate � notat cu orice liter¼a si se numeste indice mut. Spre exemplu,

sumelenPi=1

xiyi,

nPi=1

nPj=1

aibjcijk vor � scrise astfel: xiy

i, aibjcijk. În ultima sum¼a i; j

sunt indici muti, dar k nu este indice mut.

1. Dualul unui spatiu vectorial

Fie K un corp comutativ si V un K-spatiu vectorial. Reamintim (cap. 3)c¼a prin form¼a liniar¼a (sau functional¼a liniar¼a) pe V se intelege o aplicatie liniar¼aF : V ! K (aici K este considerat ca un K-spatîu vectorial unidimensional).

Cum am v¼azut în capitolul 3, multimea tuturor formelor liniare, pe care ovom nota V �, poate � înzestrat¼a cu o structur¼a de K-spatiu vectorial în raportcu adunarea si înmultirea cu scalari a formelor liniare. K-spatiul vectorial V �

se numeste spatiul dual al spatiului vectorial V . Vom folosi termenul de form¼aliniar¼a daca V este �nit dimensional si de functional¼a liniar¼a, dac¼a V este in�nitdimensional.

EXEMPLE. 1) Functia T : R3 ! R, care asociaz¼a oric¼arui vectorx = (x1; x2; x3) 2 R3 scalarul Tx = x1 + x2 + 3x3 este o form¼a liniar¼a.

2) Functia = : C([a; b];R) ! R care asociaz¼a oric¼arei functii continuef : [a; b]! R scalarul =(f) =

R baf (x) dx; este o functional¼a liniar¼a.

OBSERVATII. Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n si �eB = fe1; :::; eng o baz¼a în V .

1) Dac¼a x = xiei, atunci f (x) = xif (ei), deci o form¼a liniar¼a este cunoscut¼adac¼a se cunosc valorile sale pe elementele din baz¼a.

2) Dac¼a � = f�1; :::; �ng 2 Kn, atunci conform lemei 3.2, cap. 3, exist¼a o unic¼aform¼a liniar¼a F : V ! K astfel ca F (ei) = �i; i = 1; n.

În consecint¼a are loc:

PROPOZITIA 1.1. Dac¼a V este un K-spatiu vectorial n-dimensional siB = fe1; :::; eng este o baz¼a a sa, atunci pentru orice i, i = 1; n, exist¼a o form¼aliniar¼a unic¼a f i : V ! K astfel ca

(1.1) f i(ej) = �ij =

�1; dac¼a i = j0; dac¼a i 6= j :

115

116 7. ELEMENTE DE CALCUL TENSORIAL

Propozitia rezult¼a imediat din observatia anterioar¼a, luând pentru �ecare i;i = 1; n, scalarii �j = 0 pentru j 6= i si �i = 1.

În continuare, pornind de la o baz¼a B = fe1; :::; eng a spatiului vectorial V ,vom construi o baz¼a în spatiul dual, care se va numi duala bazei B. Vom folosiconventia de sumare a lui Einstein.

TEOREMA 1.2. Fie B = fe1; :::; eng o baz¼a a spatiului vectorial V . Sistemulde forme liniare B� =

�f1; :::; fn

dat de (1.1) formeaz¼a o baz¼a a spatiului vectorial

V �, numit¼a duala bazei B.

Demonstratie. Sistemul B� este liniar independent. Într-adev¼ar, �e �1; :::; �n 22 K astfel ca �1f1 + ::: + �nf

n = 0V � adic¼a��1f

1 + :::+ �nfn�(x) = 0;

8x 2 V . În particular, dac¼a x = ei, i = 1; n, obtinem��1f

1 + :::+ �nfn�(ei) = �i = 0;

deci B� este liniar independent. Fie acum f 2 V � si �i = f (ei) 2 K. Vom ar¼atac¼a f = �if

i, deci B� este sistem de generatori pentru V �, adic¼a o baz¼a a lui V �.Într-adev¼ar, dac¼a x = xjej 2 V , atunci

�ifi (x) = �if

i(xiej) = �ixif i(ej) =

= �ixj�ij = �ix

i = xif (ei) = f (x) :

Teorema este demonstrat¼a. �OBSERVATII.1) Din teorema 1.2 rezult¼a c¼a dac¼a dimK V = n, atunci

dimK V� = n, deci V ' V �.

2) Din demonstratia teoremei 1.2, rezult¼a c¼a pentru orice form¼a liniar¼a f , co-ordonatele sale în baza dual¼a B� a bazei B sunt �i = f (ei) ; i = 1; n.

În cele ce urmeaz¼a, schimbând baza lui V , vom studia transformarea bazeiduale si a coordonatelor unei forme liniare în spatiul dual V �.

TEOREMA 1.3. Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n si V � dualul s¼a.Fie B = fe1; :::; eng si B0 = fe01; :::; e0ng dou¼a baze în V , iar B� =

�f1; :::; fn

si

B0� =�f 01; :::; f 0n

bazele duale corespunz¼atoare. Dac¼a C este matricea de trecere

de la baza B la baza B0, atunci�CT��1

este matricea de trecere de la baza B�

la baza B0�. În plus, coordonatele unei forme liniare f 2 V � se transform¼a dup¼aaceeasi lege ca si baza în V . când se trece de la baza B� la baza B0�.

Demonstratie. Relatiile de schimbare a bazei în V sunt

(1.2) e0i = cki ek, i = 1; n:

(indicele superior k se refer¼a la linie, iar cel inferior i la colan¼a).S¼a presupunem c¼a, în dual, trecerea de la baza B� la B0� s-ar face prin relatiile

(1.3) f 0 j = djl fl; j = 1; n:

(dac¼a D = (djl ), Dt este matricea de trecere de la baza B� la baza B0�).

Din dualitatea bazelor rezult¼a

f l(ek) = �lk, k; l = 1; n; f 0 j(e0i) = �

li, i; j = 1; n:

Din relatiile (1.2)-(1.5), obtinem pentru orice i; j = 1; n

�ji = f0 j(e0i) = d

jl fl(cki ek) = d

jl cki f

l (ek) = djl cki �lk = d

jkcki :

1. DUALUL UNUI SPATIU VECTORIAL 117

Aceste relatii stabilesc c¼a DC = In, deci D = C�1. Matricea de trecere de labaza B� la baza B0� în spatiul V � este Dt =

�C�1

�T=�CT��1

.Fie acum f 2 V �; f = �jf

j = �if0 i, unde �j = f(ej), j = 1; n, �i = f(e0i),

i = 1; n. Atunci, din (1.2), rezult¼a:

(1.6) �i = f(cki ek) = c

ki f (ek) = c

ki �k, i = 1; n;

adic¼a, acelasi gen de relatie ca la schimbarea bazei în V . �În concluzie, din teorema 1.3 rezult¼a c¼a, la o schimbare a bazei în V , bazele

duale corespunz¼atoare se transform¼a dup¼a aceeasi lege ca si coordonatele unui vec-tor arbitrar din V transformare ce se va numi contravariant¼a, iar coordonatele uneiforme liniare din V � se transform¼a dup¼a aceeasi lege ca si baza în V , transformarece se va numi covariant¼a. Când folosim conventia lui Einstein, coordonatele vec-torilor din V , ca si vectorii bazei duale vor avea indicii trecuti superior, pe cândcoordonatele formelor liniare si vectorii bazei din V vor avea indicii trecuti inferior.Formele liniare se mai numesc si covectori.

EXEMPLU. Fie baza canonic¼a B = fe1; :::; eng în R3. Baza dual¼aB� =

�f1; f2; f3

în spatiul dual (R3)� satisface (1.1). Dac¼a x = x1e1 + x

2e2+

+x3e3, atunci f1 (x) = x1, f2 (x) = x2, f3 (x) = x3. S¼a consider¼am acum formaliniar¼a f : R3 ! R, f (x) = x1 + 2x2 + 3x3. Coordonatele lui f în baza dual¼a sunt�1 = f (e1) = 1, �2 = f (e2) = 2, �3 = f (e3) = 3. Fie acum baza B0 = fe01; e02; e03gîn R3, e01 = e1 + e2 � e3, e02 = �e1 + e2 + e3, e03 = e1 � e2 + e3.

Matricele de trecere de la baza B la baza B0 si inversa sunt

C =

0@ 1 �1 11 1 �1�1 1 1

1A ; C�1 =0BBBBB@1

2

1

20

01

2

1

21

20

1

2

1CCCCCA :Atunci, duala bazei B0 este legat¼a de B� prin relatiile

f 01 =1

2f1 +

1

2f2; f 02 =

1

2f2 +

1

2f3; f 03 =

1

2f1 +

1

2f3:

Coordonatele formei liniare f în noua baz¼a vor �

�1 = f(e01) = f (e1) + f (e2)� f (e3) = �1 + �2 � �3 = 0:

Similar �2 = f(e02) = 4, �3 = f(e

03) = 2.

Dualul lui V �, notat V �� = ff : V � ! K; f form¼a liniar¼ag se numeste bidualullui V . Conform teoremei 1.2, dimK V = dimK V � = dimK V �� = n, deci V ' V � 'V ��. Mai mult, are loc

TEOREMA 1.4. Spatiile V � si V �� sunt izomorfe prin aplicatia

= : V ! V ��;=x = Fx;unde Fx (f) = f (x) ; 8f 2 V �.Demonstratie. Stabilim mai int¼ai c¼a Fx este o form¼a liniar¼a pe V �; adic¼a

Fx 2 V ��. Fie deci f; g 2 V � si �; � 2 K. Atunci:Fx(�f + �g) = (�f + �g) (x) = �f(x) + �g(x) = �Fx(f) + �Fx(g).


Vom ar¼ata acum c¼a = este liniar¼a. Fie x; y 2 V si �; � 2 K. Atunci:

=(�x+ �y) (f) = F�x+�y (f) = f(�x+ �y) = �f(x) + �f(y) == �Fx(f) + �Fy(f) = (�Fx + �Fy)(f); 8 f 2 V �,

deci =(�x + �y) = �=x + �=y. Pentru a demonstra c¼a = este bijectiv¼a, cumdimK V = dimK V

��, este su�cient s¼a arat¼am c¼a = este injectiv¼a. Fie deci x; y 2 Vastfel încât =x = =y, adic¼a Fx = Fy. Atunci, pentru orice f 2 V �, avem:

(1.7) f(x) = Fx(f) = Fy(f) = f(y).

Dac¼a B = fe1; :::; eng este baz¼a în V , iar B� =�f1; :::; fn

este baz¼a dual¼a si

x = xjej , y = yjej , luând în (1.7), f = f i, i = 1; n, obtinem:

xi = f i (x) = f i(y) = yi;

adic¼a x = y, deci = este injectiv¼a. �OBSERVATIE. Prin acest izomor�sm canonic dintre V si V ��, vom identi�ca

un spatiu vectorial cu bidualul s¼au. Prin aceast¼a identi�care, orice vector x 2 Vpoate � privit ca o form¼a liniar¼a pe V � ce asociaz¼a oric¼arui f 2 V �, scalarul f(x).

2. Aplicatii multiliniare. Forme multiliniare

DEFINITIE. Fie V1; :::; Vn;W spatii vectoriale peste acelasi corp K. AplicatiaF : V1� V2� :::� Vn !W se numeste multiliniar¼a (n-liniar¼a) dac¼a pentru orice i,1 � i � n, avem:

F (x1; :::; xi�1; �x0i + �x

00i ; xi+1; :::; xn) = �F (x1; :::; xi�1; x

0i; xi+1; :::; xn)+

+�F (x1; :::; xi�1; x00i ; xi+1; :::; xn); 8�; � 2 K; x0i; x00i 2 Vi; xk 2 Vk; k 6= i:

EXEMPLU. Aplicatia F : V3 � V3 ! V3, F (�!u ;�!v ) = �!u � �!v , este o aplicatie

biliniar¼a antisimetric¼a (�!u ��!v = ��!v ��!u ).

DEFINITIE. Fie V1; :::; Vn spatii vectoriale peste corpul K. Se numeste form¼amultiliniar¼a (n-liniar¼a) orice aplicatie multiliniar¼a F : V1 � :::� Vn ! K.

În aceast¼a de�nitie K este considerat spatiu vectorial unidimensional peste elînsusi.

EXEMPLE .1) F : V3 � V3 ! R, F (�!u ;�!v ) = �!u � �!v (deci produsul scalar a doivectori liberi), este o form¼a biliniar¼a simetric¼a.

2) F : V3 � V3 � V3 ! R, F (�!u ;�!v ;�!w ) = �!u � (�!v � �!w ) = (�!u ;�!v ;�!w ) (deciprodusul mixt a trei vectori liberi), este o form¼a triliniar¼a.

OBSERVATIE. Multimea formelor n-liniare se poate înzestra cu o structur¼a deK-spatiu vectorial peste K, notându-se cu L (V1; :::; Vn;K). Adunarea formelorn-liniare F;G 2 L (V1; :::; Vn;K) se de�neste astfel:

(F +G) (x1; :::; xn) = F (x1; :::; xn) +G (x1; :::; xn) ; xi 2 Vi; i = 1; n:

Produsul unei forme n-liniare F 2 L (V1; :::; Vn;K) cu un scalar � 2 K sede�neste prin:

(�F ) (x1; :::; xn) = �F (x1; :::; xn) ; xi 2 Vi; i = 1; n:

Se veri�c¼a usor ca F +G si �F de�nite mai sus, sunt forme n-liniare.

3. TENSORI. COORDONATELE UNUI TENSOR îNTR-O BAZ ¼A 119

3. Tensori. Coordonatele unui tensor într-o baz¼a

DEFINITIE. Fie V un spatiu vectorial peste K, iar V � dualul s¼au. Dac¼ap; q 2 N, se numeste tensor de p ori covariant si q ori contravariant orice form¼amultiliniar¼a t : V � V � :::� V| {z }

p ori

� V � � V � � :::� V �| {z }q ori

! K.

Se spune c¼a t este tensor de tip (p,q), p numindu-se ordinul de covariant¼a, iar qordinul de contravariant¼a. Num¼arul p+q se numeste rangul sau valenta tensorului.

EXEMPLE.1) Orice form¼a liniar¼a f 2 V �, deci f : V ! K, este un tensor detip (1; 0).

2) Orice vector x 2 V , privit ca o form¼a liniar¼a Fx : V � ! K (conform teoremei1.4) este un tensor de tip (0; 1).

3) Orice scalar � 2 K poate � considerat tensor de tip (0; 0).

Vom nota cu T qp (V ) multimea tuturor tensorilor de p ori covarianti si q oricontravarianti pe spatiul vectorial V . Conform observatiei din sectiunea anterioar¼a,T qp (V ) este un K-spatiu vectorial în raport cu adunarea tensorilor si produsul unuitensor cu un scalar.

În continuare, �e B = fe1; :::; eng o baz¼a în V si B� =�f1; :::; fn

baz¼a dual¼a

în V �. Fie t 2 T qp (V ), iar x1; :::; xp 2 V , h1; :::; hq 2 V �. Atunci

xi = �jii eji ; i = 1; p; hl = alkl f

kl ; l = 1; q:

(aici ji si kl sunt indici de sumare). Folosind liniaritatea lui t în �ecare argument,avem:

(3.1) t(x1; :::; xp; h1; :::; hq) = �j11 :::�

jpp �1k1 :::�

qkqt(ej1 ; :::; ejp ; f

k1 ; :::; fkq ).

În aceast¼a relatie apar np+q scalari, pe care-i vom nota

(3.2)�ki;:::;kqj1;:::;jp

= t(ej1 ; :::; ejp ; fk1 ; :::; fkq );

ji = 1; n, 8i = 1; p; kl = 1; n, 8l = 1; q

si se numesc coe�cientii tensorului t sau componentele tensorului t în baza B �xat¼aîn V . Atunci (3.1) se scrie:

(3.3) t(x1; :::; xp; h1; :::; hq) = �j11 :::�

jpp �1k1 :::�

qkq�k1;:::;kqj1;:::;jp

În concluzie, �ec¼arui tensor t 2 T qp (V ) i se poate asocia, �xând o baz¼a în V , unsistem de np+q scalari unic determinati prin (3.2). Reciproc, se poate demonstrausor

PROPOZITIA 3.1. Fie V un K-spatiu vectorial n-dimensional si p; q 2 N. FieB = fe1; :::; eng o baz¼a în V si B� =

�f1; :::; fn

baza dual¼a ei. Dat �ind un sistem

de np+q scalari

(�k1;:::;kqj1;:::;jp

); ji = 1; n; 8i = 1; p; kl = 1; n; 8l = 1; q;

exist¼a un unic tensor t 2 T qp (V ) astfel ca

t(ej1 ; :::; ejp ; fk1 ; :::; fkq ) = �

k1;:::;kqj1;:::;jp

;

pentru orice j1; :::; jp; k1; :::; kq luând independent valori de la 1 la n.


COROLAR 3.1.1. Dac¼a V este un K-spatiu vectorial de dimensiune n, atunciT qp (V ) ' Knp+q , deci dimK T qp (V ) = n

p+q.

Demonstratie. Fie B = fe1; :::; eng o baz¼a �xat¼a în V , iar B� =�f1; :::; fn

duala sa în V �. Izomor�smul c¼autat este aplicatia care asociaz¼a �ec¼arui tensort 2 T qp (V ), coe�cientii s¼ai în baza �xat¼a. Din cele de mai sus, rezult¼a c¼a aceast¼aaplicatie este o bijectie. Liniaritatea acestei aplicatii se veri�c¼a usor si o propunemca exercitiu.

EXEMPLE. 1) Formele biliniare pe un spatiu vectorial V n-dimensional sunttensori dublu covarianti. Spatiul vectorial al acestor tensori, T 02 (V ) are dimensiunean2. Dac¼a B = fe1; :::; eng o baz¼a în V si t : V � V ! K un tensor dublu covariantoarecare, atunci pentru orice x; y 2 V , x = �iei, y = �jej , avem

t(x; y) = �i�jt(ei; ej) = �i�j� ij ;

� ij = t(ei; ej); i; j = 1; n;

�ind coe�cientii tensorului în baza �xat¼a.2) Formele biliniare pe spatiul V � sunt tensori dublu contravarianti. Dac¼a

dimK V = n, spatiul vectorial al acestor tensori notat T 20 (V ) are dimensiunean2. Fie acum B = fe1; :::; eng o baz¼a în V si B� =

�f1; :::; fn

duala sa. Dac¼a

t : V ��V � ! K este un tensor dublu contravariant, atunci pentru orice g; h 2 V �,g = �ij

i, h = �jfj , avem t(g; h) = �i�jt

�f i; f j

�= �i�j�

ij ;unde � ij =�f i; f j

�,

i; j = 1; n sunt coe�cientii tensorului în baza �xat¼a.3) Formele biliniare t : V � V � ! K sunt tensori o data covarianti si o dat¼a

contravarianti. Dac¼a dimK V = n, spatiul vectorial al acestor tensori, T 11 (V ) aredimensiunea n2. Cu notatiile de mai sus, dac¼a x = �iei 2 V , h = �jf j 2 V �, atuncit (x; h) = �i�jt

�ei; f

j�= �i�j�

ji ;unde �

ji = t

�ei; f

j�, i; j = 1; n sunt coe�cientii

tensorului t în baza �xat¼a.

4. Operatii cu tensori

Fie V un K-spatiu vectorial n-dimensional, B = fe1; :::; eng o baz¼a în V siB� =

�f1; :::; fn

duala sa. Consider¼am p; q 2 N, t; u 2 T qp (V ), � 2 K. Dac¼a

x1; :::; xp 2 V si h1; :::; hq 2 V �; atunci suma t+ u este un tensor de acelasi tip si

(t+ u) (x1; :::; xp; h1; :::; hq) = t(x1; :::; xp; h

1; :::; hq) + u(x1; :::; xp; h1; :::; hq);

iar produsul unui tensor t cu un scalar � este un tensor de acelasi tip

(�t) (x1; :::; xp; h1; :::; hq) = �t(x1; :::; xp; h

1; :::; hq):

Se veri�c¼a usor c¼a, într-o baz¼a �xat¼a, coe�cientii sumei t+u se obtin însumândcoe�cientii corespunz¼atori lui t si u, deci dac¼a:

�k1;:::;kqj1;:::;jp

= t(ej1 ; :::; ejp ; fk1 ; :::; fkq );

�k1;:::;kqj1;:::;jp

= u(ej1 ; :::; ejp ; fk1 ; :::; fkq );

atunci(t+ u) (ej1 ; :::; ejp ; f

k1 ; :::; fkq ) = �k1;:::;kqj1;:::;jp

�k1;:::;kqj1;:::;jp

:

Similar, coe�cientii produsului unui tensor cu un scalar într-o baz¼a �xat¼a, seobtin înmultind coe�cientii tensorului cu scalarul respectiv, deci

(�t) (ej1 ; :::; ejp ; fk1 ; :::; fkq ) = ��

k1;:::;kqj1;:::;jp

:

4. OPERATII CU TENSORI 121

Produsul tensorial a doi tensori. Fie p; q; r; s 2 N si t 2 T qp (V ), u 2 T sr (V ).Atunci aplicatia:

t� u : V � V � :::� V| {z }p+r ori

� V � � V � � :::� V �| {z }q+s ori

! K;

de�nit¼a prin:

(t� u) (x1; :::; xp; xp+1; :::; xp+r; h1; :::; hq; hq+1; :::; hq+s) == t(x1; :::; xp; h

1; :::; hq) � u(xp+1; :::; xp+r; hq+1; :::; hq+s);

pentru orice xi 2 Vi, i = 1; p+ r, hj 2 V �, j = 1; q + s; este un tensor de ordin(p+ r; q + s) numit produsul tensorial al celor doi tensori.

Dac¼a�k1;:::;kqj1;:::;jp

= t(ej1 ; :::; ejp ; fk1 ; :::; fkq );

�k1;:::;kqj1;:::;jp

= u(ej1 ; :::; ejr ; fl1 ; :::; f ls);

atunci:

�k1;:::;kq;l1;:::;lsj1;:::;jp;i1;:::;ir

= (t� u) (ej1 ; :::; ejp ; ei1 ; :::; eirfk1 ; :::; fkq ; f l1 ; :::; f ls) == �

k1;:::;kqj1;:::;jp

� �l1;:::;lsi1;:::;ir:

Asadar coe�cientii tensorului (t� u) 2 T q+sp+r (V ) se obtin efectuând produselecoe�cientilor celor doi tensori.

EXEMPLU. Fie dimK V = 2; B = fe1; e2g o baz¼a în V , B� =�f1; f2

baza

dual¼a, t 2 T 02 (V ), u 2 T 10 (V ). Dac¼a � ij = t(ei; ej), i; j = 1; 2 sunt coe�cientii lui tîn baza �xat¼a, iar �k = u

�fk�, k = 1; 2, coe�cientii lui u, atunci (t� u) 2 T 12 (V ),

coe�cientii s¼ai �ind:

�kij = (t� u) (ei; ej ; fk) = t(ei; ej)u�fk�= � ij�

k:

Contractia unui tensor. Fie t 2 T qp (V ) cu p; q > 1. Fix¼am un indice i, i = 1; pde covariant¼a si un indice l, l = 1; q de contravariant¼a. Vom construi un tensort0 2 T q�1p�1 (V ), astfel: t

0 : V � V � :::� V| {z }p�1 ori

� V � � V � � :::� V �| {z }q�1 ori

! K,

t0(x1; :::; xi�1xi+1; :::; xp; h1; :::; hl�1; hl+1; :::; hq) =

= t(x1; :::; xi�1; es; xi+1; :::; xp; h1; :::; hl�1; fs; hl+1; :::; hq);

cuxj 2 V; j = 1; p; j 6= i; hk 2 V �; k = 1; q; k 6= l

(în aceast¼a relatie s este indice de sumare). Coe�cientii tensorului t0 vor �

�k1;:::;kl�1;kl+1;:::;kqj1;:::;ji�1;ji+1;:::;jp

= t0(ej1 ; :::; eji�1 ; eji+1 ; :::; ejp ; fk1 ; :::; fkl�1 ; fkl+1 ; :::; fkq ) =

= �k1;:::;kl�1;s;kl+1;:::;kqj1;:::;ji�1;s;ji+1;:::;jp

;

s �ind indice de sumare, iar �k1;:::;kqj1;:::;jpcoe�cientii lui t în baza �xat¼a.

Vom spune c¼a am efectuat o contractie dup¼a indicele de ordin i de covariant¼asi indicele de ordin l de contravariant¼a. Tensorul astfel obtinut se va nota (t)li.

EXEMPLE. 1) Fie t 2 T 11 (V ) si �ji , i; j = 1; n coe�cientii tensorului. Efectuând

o contractie dup¼a cei doi indici, se obtine un tensor de tip (0; 0) deci un scalar,numit urma tensorului t si se noteaz¼a

Tr t = � ii = �11 + :::+ �

nn:


2) Fie t 2 T 12 (V ) si �kij , i; j; k = 1; n coe�cientii lui t. Coe�cientii lui t0 =

= (t)12 2 T 01 (V ) sunt

�i = t0 (ei) = t(ei; ej ; f

j) = � jij = �1i1 + �

2i2 + :::+ �

nin:

5. Transformarea coe�cientilor unui tensor la schimbarea bazei

Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune n, B = fe1; :::; eng, B0 = fe01; :::; e0ngdou¼a baze ale lui V si B� =

�f1; :::; fn

, B0� =

�f 01; :::; f 0n

bazele duale respec-

tive. Fie C = (cji ) matricea de trecere de la baza B la baza B0 si D = (dji ) inversaei. Are loc

TEOREMA 5.1. Dac¼a coe�cientii tensorului t 2 T qp (V ) în cele dou¼a baze sunt

�k1;:::;kqj1;:::;jp

= t(ej1 ; :::; ejp ; fk1 ; :::; f kq )

respectiv

�0 l1;:::;lqi1;:::;ip

= t(e0i1; :::; e 0ip ; f

0 l1 ; :::; f 0 lq );

atunci relatia de transformare a coe�cientilor este

(5.1) �0 l1;:::;lqi1;:::;ip

= cj1i1 :::cjpipdl1k1 :::d

lqkq�k1;:::;kqj1;:::;jp

.

Demonstratie. Folosind formulele de schimbare de baz¼a (1.2), (1.3), obtinem:

�0 l1;:::;lqi1;:::;ip

= t(e0i1 ; :::; e0ip; f 0 l1 ; :::; f 0 lq ) =

= t(cj1i1 ej1 ; :::; cjpipejp ; d

l1k1fk1; :::; d

lqkqfkq ) = cj1l1 :::c

jpipdl1k1 :::d

lqkq�k1;:::;kqj1;:::;jp

:

Am tinut seama de liniaritatea lui t în �ecare argument. �OBSERVATIE. Relatia (5.1) din enuntul teoremei 5.1 este folosit¼a adesea pentru

a prezenta notiunea de tensor, în modul urm¼ator.Dac¼a V este un spatiu vectorial n-dimensional, spunem c¼a am dat un tensor

de p ori covariant si q ori contravariant pe V dac¼a am asociat �ec¼arei baze B =fe1; :::; eng a spatiului V un sistem de np+q scalari:

(5.2) (�k1;:::;kqj1;:::;jp

), j1 = 1; n, 8i = 1; p, kl = 1; n, 8l = 1; q,

care la schimbarea bazei în V se transform¼a dup¼a legea (5.1).Scalarii (5.2) se numesc coe�cientii tensorului de tip (p; q) considerat în baza

B.Aceast¼a de�nitie este echivalent¼a cu de�nitia unui tensor, deoarece din propozi-

tia 3.1 rezult¼a c¼a dati �ind coe�cientii (5.2) exist¼a un unic tensor t 2 T qp (V ) careare acesti coe�cienti în baza �xat¼a B din V . Reciproca, rezult¼a din teorema 5.1.

EXEMPLE. 1). Fie t : V �V � ! K, tensorul de tip (1; 1) de�nit prin t (x; f) == f (x), 8x 2 V , f 2 V �. Consider¼am în baza B = fe1; :::; eng si B� ==�f1; :::; fn

duala sa. Coe�cientii tensorului t în baza B sunt:

t�ei; f

j�= f j (ei) = �

ji =

�1; dac¼a i = j0; dac¼a i 6= j ;8i; j = 1; n:

Dac¼a B0 = fe01; :::; e0ng este o alt¼a baz¼a în V , iar B0� = ff 0 1; :::; f 0 ng duala sa înV �, atunci coe�cientii lui t în noua baz¼a sunt t(e0k; f

0 l) = �lk, 8k; l = 1; n . Asadarcoe�cientii acestui tensor sunt independenti de baza considerat¼a. Acest tensor mai

5. TRANSFORMAREA COEFICIENTILOR UNUI TENSOR LA SCHIMBAREA BAZEI 123

putea � prezentat ca �ind sistemul de n2 scalari, f�jigi;j=1;n; care la schimbareabazei spatiului V se transform¼a dup¼a legea

�0 ji = cki djl �lk; i; j = 1; n:

Dar cum cki djl �lk = c

ki djk = �

ji , 8i; j = 1; n (D = C�1), rezult¼a

�0 ji = �ji ; 8i; j = 1; n:2) Fie t 2 T 22 (V ) si t0 = (t)

12, tensorul obtinut prin contractia dup¼a al doilea

indice de covariant¼a si primul indice de contravariant¼a, Cu relatiile de mai sus, �e

� rsjk = t(ej ; ek; fr:fs); j; k; r; s = 1; n;

respectiv� 0 � �i l = t(e0i; e

0l; f

0 �:f 0 �); i; j; �; � = 1; n;

coe�cientii lui t în cele dou¼a baze �xate.De asemenea, �e �jr = t0

�er; f

j�, r; j = 1; n si �0 pi = t0(e0i; f

0 p), i; p = 1; n;coe�cientii tensorului contractat. Atunci:

�0 pi = t(e0i; e0l; f

0 l; f 0 p) = � 0 lpil = cji ckl dlsdpr�srjk = c

ji �ksdpr�srjk =

= cjidpr�srjk = c

jidprt(ej ; ek; f

k; fr) = cjidprt0(ej ; f

r) = cjidpr�

rj ;

ceea ce reprezint¼a exact legea de transformare a unui tensor o dat¼a covariant si odat¼a contravariant la schimbarea bazei.

OBSERVATII. 1) Dac¼a x 2 V se scrie x = �iei = �0 ie0i, atunci în capitolul 1,am stabilit:

�0 i = dij�j ; i = 1; n:

Aceste relatii reprezint¼a chiar formulele de transformare ale unui tensor o dat¼acontravariant. De aceea se mai spune c¼a x 2 V este vector contravariant.

De asemenea, în acest capitol am stabilit c¼a dac¼a f 2 V � se scrie f = �jf j == �0if

0 i, atunci (vezi (1.6))

�0i = cji�j ; i = 1; n;

care reprezint¼a formulele de transformare ale unui tensor o dat¼a covariant. Deaceea, formele liniare se mai numesc vectori covarianti sau covectori.

2) În capitolul 3 am studiat endomor�smele unui spatiu vectorial. Fie T 22 L(V ) si A = (akj ) matricea lui T în baza B, A

0 = (a0 li ) matricea lui T în bazaB0. Leg¼atura dintre ele este (vezi §5, cap. 3)

a0 li ckl = c

jiakj ; 8i; k = 1; n

saua0 st = a0 li �

sl = a

0 li c

kl dsk = c

jidskakj ; 8i; s = 1; n;

care reprezint¼a formulele de transformare ale unui tensor o dat¼a covariant si odat¼a contravariant. Cum poate � interpretat acest rezultat? Endomor�smului Tîi punem în evidenta în mod unic un tensor t : V � V � ! K, t (x; f) = f (Tx) ;8x 2 V; f 2 V �. În acest fel, se de�neste o aplicatie ' : L(V ) ! T 11 (V ) care esteun izomor�sm de spatii vectoriale. Coe�cientii tensorului t astfel de�nit sunt

t�ei; f

j�= f j (Tei) = f

j(aki ek) = aki f

j (ek) = aki �jk = a

ji ; 8i; j = 1; n;

deci chiar elementele matricei lui T în baza B.În acest mod orice endomor�sm T 2 L(V ) poate � privit ca un tensor o dat¼a

covariant si o dat¼a contravariant (identi�când T cu t prin acest izomor�sm).


6. Probleme

1. Fie f : D � R3 ! R, f 2 C1 (D). S¼a se arate c¼a gradf este un vector1-covariant.

2. Fie V un R-spatiu vectorial, fe1; e2; :::; eng baz¼a în V si a1, a2, :::, an 2 R.Dac¼a x = xiei, de�nim f (x) = aix

i. S¼a se arate c¼a coe�cientii aiaj ai lui f2 suntcoe�cientii unui tensor de ordinul al doilea.

3. Fie�aij�componentele unui tensor 2-contravariant. Cum se schimb¼a ma-

tricea acestui tensor la schimbarea bazei? Dar a tensorului de componente�aji

�?

4. Dac¼a (aij) si�bij�sunt componentele unui tensor simetric respectiv antisi-

metric, s¼a se determine tensorul de componente aijbij .

5. Fie tensorul de ordinul al treilea de componente

"ijk =

8>>>><>>>>:1; dac¼a permutarea

�1 2 3i j k

�este par¼a;

�1; dac¼a permutarea�1 2 3i j k

�este impar¼a;

0; dac¼a cel putin doi indici sunt egali.

;

numit tensorul de permutare al lui Ricci.Dac¼a �!a ,

�!b , �!c 2 V3, �!a = a1

�!i + a2

�!j + a3

�!k ,

�!b = b1

�!i + b2

�!j + b3

�!k ,

�!c = c1�!i + c2�!j + c3�!k , s¼a se arate c¼a��!a ;�!b ;�!c � = "ijkaibjck.

6. Folosim notatiile de la problema 5. Fie tensorul de componente cijk = "ijk.

S¼a se arate c¼a vectorul�!d = �!a ��!b are componentele di = cijkajbk.

7. Fie t 2 T 23 (V ). S¼a se stabileasc¼a relatiile de transformare a coordonatelortensorului (t)12 la schimbarea bazei.

algebra liniara

Documents