algebra liniara iii

Download Algebra Liniara III

Post on 16-Sep-2015

250 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

aaaa

TRANSCRIPT

  • Cap. 4

    Exemple de spatii vectoriale siaplicatii liniare

    In acest capitol vom trata si alte spatii vectoriale decat cele de coloane,1

    precum si aplicatii liniare ntre aceste spatii.

    4.1 Exemple de spatii vectoriale

    EXEMPLUL 4.1.1. Spatiul vectorilor liberi (geometrici) V3 se de-fineste plecand de la notiunea de segment orientat.

    Consideram spatiul fizic ca fiind alcatuit din puncte, notate :A,B,C,Aetc.Perechile ordonate de puncte vor reprezenta segmentele orientate: AA, BB,etc.

    Suma vectoriala a doua segmente orientate avand acelasi punct initial sedefineste cu ajutorul regulei paralelogramului.

    Produsul cu scalari reali se face amplificand lungimea segmentului cumodulul scalarului si pastrand sensul sau daca scalarul e pozitiv, respectiv

    1Notiunea generala de spatiu vectorial real este definita ca multime de elemente numitevectori cu care se fac doua operatii: adunarea (sau compunerea) si nmultirea cu scalari.Adunarea este comutativa, asociativa, exista un unic element neutru si pentru fiecarevector cate un element opus. Inmultirea cu scalari - numere reale - verifica urmatoarelepatru proprietati, pentru orice scalari , si vectori v, w:1. (+ )v = v + v;2. (v + w) = v + w;3. (v) = ()v;4. 1v = v.

    57

  • 58CAP. 4. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE SI APLICATII LINIARE

    inversandu-l daca e negativ.Definim n multimea segmentelor orientate o relatie de echivalenta (i.e.

    reflexiva, simetrica si tranzitiva) numita echipolenta. Segmentele orientateAA si BB sunt echipolente daca:- fie A = A si B = B;- fie A 6= A si B 6= B, caz n care lungimile lor sunt egale (adica|AA| = |BB|), au aceeasi directie (AA||BB) si acelasi sens. In acest modmultimea segmentelor orientate se desface n clase de echipolenta, disjunctedoua cate doua si numite vectori liberi. Vectorul liber se noteaza:- n primul caz de echipolenta, cu ~0;- iar n al doilea caz, cu ~AA, unde (AA) este unul, oarecare, dintre seg-mentele orientate apartinnd clasei de echipolenta respective; sau chiar cu~a,~b, ~a . . . .

    Fixand n spatiu un punct O (origine), din el pleaca cate un reprezentantal fiecarui vector liber. Acesti vectori pot fi apoi deplasati, prin translatie,n orice alt punct O din spatiu.2

    Vectorii liberi alcatuiesc un spatiu vectorial n raport cu operatiile deadunare si nmultire cu scalari - numere reale, definite anterior pentru reprezen-tantii lor.

    Dependenta si independenta liniara pentru vectorii liberi se definesc lafel ca pentru vectorii - coloana din Rn (vezi 2.2). Au loc urmatoarele

    Proprietati.1. Doi vectori liberi ~v1, ~v2 sunt liniar dependenti d.n.d. suntcoliniari, adica daca R : ~v1 = ~v2 sau ~v2 = ~v1.

    2. Acesti vectori sunt liniar independenti daca sunt necoliniari.3. Trei vectori liberi ~v1, ~v2, ~v3 sunt liniar dependenti d.n.d. sunt coplanari,

    adica daca unul dintre ei este combinatie liniara a celorlalti:

    (i, j, k {1, 2, 3})(, R) : i 6= j 6= k 6= i

    ~vi = ~vj + ~vk.

    4. Acesti vectori sunt liniar independenti daca sunt necoplanari.5. Orice patru vectori liberi sunt liniar dependenti.

    Rezulta de aici ca dimensiuna spatiului vectorilor liberi este 3 si ca oricetrei vectori liberi necoplanari alcatiesc o baza a sa. Vom nota acest spatiuvectorial cu V3.

    2Deplasarea consta n alegerea altui reprezentant al vectorului respectiv si care pleacadin O.

  • 4.1. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE 59

    EXEMPLUL 4.1.2. Spatiul polinoamelor cu coeficienti reali n nede-terminata X se noteaza R[X] si are drept generatori liniar independentimultimea infinita 1, X,X2, . . . , Xn, . . . . Asadar nu este finit dimensional.Dar putem considera n el subspatii finit dimensionale.

    Vom nota cu Rn[X] multimea alcatuita din toti vectorii - polinoame avandgradul n. Pentru a arata ca dimRn[X] = n + 1 este suficient sa precizamo baza a sa; anume sistemul 1, X,X2, . . . , Xn.

    Exercitiul 1. Verificati ca acest sistem este liniar independent si cagenereaza fiecare vector - polinom din Rn[X]. Ceea ce, conf. teoremei 2 din2.3, dovedeste ca este baza.

    In subspatiul Rn[X] distingem alte doua submultimi si anume- cea a polinoamelor - functii pare si

    - cea a polinoamelor - functii impare3.

    Sa le notam S1 si respectiv S2.

    Exercitiul 2. Verificati ca S1 si S2 sunt subspatii.

    Exercitiul 3. Aratati ca sistemele de vectori - polinoame 1, X2, . . . , X2[n2

    ],respectiv X,X3, . . . , X2[

    n2

    ]+1, unde [n2] reprezinta functia parte ntreaga din

    n2, sunt baze pentru S1 si respectiv S2.

    Exercitiul 4. Aratati ca Rn[X] = S1 + S2.Exercitiul 5. Aratati ca descompunerea fiecarui vector - polinom este

    unica, deci ca suma de subspatii este directa (vezi 2.5, definitia 2.10).

    Regula. Pentru a stabili daca ntr-un sistem de p vectori - polinoame dinRn[X] exista o relatie de dependenta liniara (vezi definitia 2.4) construim ma-tricea (n+1)p avand drept coloane coeficientii a0k, a1k, . . . , ank ai fiecaruiadintre polinoamele

    Pk(X) = a0k + a1kX + + ankXn, k = 1, 2, . . . , p,

    matrice pe care o transformam prin operatii elementare de linii la forma re-dusa (pe linii) U.

    3Functia f : R R este para daca t R : f(t) = f(t) si este impara dacat R : f(t) = f(t).

  • 60CAP. 4. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE SI APLICATII LINIARE

    Exercitiul 6. De ce orice relatie de dependenta liniara ntre coloanele uiale matricei reduse, reprezinta o relatie de dependenta liniara identica (i.e.cu aceiasi coeficienti) ntre polinoamele Pk(X), k = 1, 2, . . . , p ?

    Extrageti de aici un criteriu de independenta liniara pentru un sistem dep vectori - polinoame neidentic nule. Verificati n acest mod ca p (p n+1)astfel de polinoame de grade diferite din Rn[X], sunt ntotdeauna liniar in-dependente.

    EXEMPLUL 4.1.3. Spatiul matricelor m n cu coeficienti reali senoteaza Mmn(R) si este alcatuit din toate matricele de acest tip.4

    Operatiile de suma vectoriala si nmultire cu scalari sunt cele de sumantre matrice, respectiv de nmultire a lor cu numere reale.

    Pentru a reprezenta ntr-un mod convenabil combiatiile liniare cu vec-torii - matrice apelam, ca si n cazul polinoamelor, la coloanele coeficientiloracestora. Iata un caz particular de matrice 3 2. Combinatiei liniare

    c1

    a11 a12a21 a22a31 a32

    + c2 b11 b12b21 b22b31 b32

    i va corespunde urmatoarea reprezentare compacta

    c1

    a11a21a31a12a22a32

    + c2b11b21b31b12b22b32

    =a11 b11a21 b21a31 b31a12 b12a22 b22a32 b32

    [c1c2

    ]

    Si tot ca n cazul polinoamelor, vom testa dependenta/independentaliniara a vectorilor - matrice echivalandu-le cu dependenta/independentacoloanelor matricei reduse (pe linii) corespunzatoare.

    Exercitiul 7. Stabiliti n acest mod relatii de dependenta liniara ntreurmatorii vectori - matrice din spatiul vectorial M2(R):

    V1 =

    [1 12 1

    ], V2 =

    [3 36 2

    ], V3 =

    [2 31 0

    ], V4 =

    [1 23 1

    ], V5 =

    [4 31 1

    ].

    4In cazul particular cand m = n notatia va fi Mm(R).

  • 4.1. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE 61

    Considerand subspatiul generat de acestia, determinati-i dimensiunea si obaza a sa.

    EXEMPLUL 4.1.4. Spatiul T al polinoamelor trigonometrice. Acesteasunt polinoame ntr-un sens mai larg5 avand forma

    a0 + a1 cosx+ b1 sinx+ a2 cos 2x+ b2 sin 2x+ + am cosmx+ bm sinmx

    unde ak, bk R, k = 0, 1, . . . ,m.Daca am sau bm sunt nenuli, atunci m se va numi gradul polinomului

    trigonometric respectiv.Polinoamele trigonometrice se aduna, sumand coeficientii monoamelor

    trigonometrice cos kx, sin kx corespunzatoare6

    a0 +mk=1

    (ak cos kx+ bk sin kx) + a0 +

    nk=1

    (ak cos kx+ bk sin kx) =

    = a0 + a0 +

    pk=1

    [(ak + ak) cos kx+ (bk + b

    k) sin kx] unde p = max{m,n}

    si se nmultesc cu scalari (reali) nmultind fiecare monom trigonometric cuscalarul respectiv.

    Vom nota cu TN multimea tuturor polinoamelor trigonometrice avandgradul N . Intrucat vectorii 1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, . . . sunt liniarindependenti (vezi proprietatea urmatoare) spatiul T nu are dimensiunefinita, dar TN are dimensiunea 2N + 1. Ceea ce rezulta din urmatoarea

    Proprietate. Vectorii 1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, . . . cosNx, sinNx suntliniar independenti.

    Demonstratie.7 Vom face demonstratia pentru cazul N = 2, cititorulputand observa ca ea se poate generaliza pentru N natural oarecare.

    Presupunem ca

    0 + 1 cosx+ 2 sinx+ 3 cos 2x+ 4 sin 2x = 0

    5Polinoamele n sens restrans se mai numesc polinoame algebrice, fiind o suma demonoame algebrice aXn, bXmY n etc.

    6Acolo unde monomul lipseste, coeficientul respectiv este zero.7Exista si o alta demonstratie, de natura geometrica, (conf. 5.1 comentariul 1).

  • 62CAP. 4. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE SI APLICATII LINIARE

    unde 0 este vectorul nul (i.e. functia identic nula). Derivam succesiv depatru ori aceasta egalitate si obtinem1 sinx + 2 cosx 23 sin 2x + 24 cos 2x = 01 cosx 2 sinx 43 cos 2x 44 sin 2x = 01 sinx 2 cosx + 83 sin 2x 84 cos 2x = 01 cosx + 2 sinx + 163 cos 2x + 164 sin 2x = 0

    Acest sistem liniar si omogen de 5 ecuatii (daca incluem si identitateainitiala) are determinantul nenul.8 Calculandu-l n x = 0 obtinem valoarea72. De aici rezulta ca 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 0, deci si independentaliniara a celor cinci monoame trigonometrice.

    Spatiul TN , ca si spatiul Rn(X), se descompune n suma directa a douasubspatii:- subspatiul polinoamelor - functii pare si- subspatiul polinoamelor - functii impare.

    Primul dintre ele contine toate polinoamele trigonometrice de forma

    a0 +Nk=1

    ak cos kx,

    iar al doilea - toate polinoamele trigonometrice de forma

    Nk=1

    bk sin kx.

    Notandu-le respectiv cu T sN(x) si TasN (x) (primul avand graficul simetric fat