algebra liniara teste grila

ALGEBRA LINIARA TESTE GRILA

ILEA MIHAIL-OVIDIU

Department of Informatics and Biomathematics Faculty of Medicine 'Gr.T.Popa' University of Medicine and Pharmacy 16 Universitatii Street, 700115, Iasi,Romania mobile: 40 744 869328 http:ilea2004.webgarden.ro

Teste grila de algebra liniara


1.Fie urmatoarea forma patratica:Aflati matricea asociata acestei forme patratice:

b.

c.

d.

.

2. Fie urmatoarea forma patratica: Aflati matricea asociata acestei forme patratice:

a. b.

d. 3. Fie urmatoarea forma patratica: Aflati matricea asociata acestei forme patratice: a. b. b.

M.Ilea,M.Turnea

d.

4. Fie urmatoarea forma patratica: Aflati matricea asociata acestei forme patratice:

a. b.

c. d. 5. Fie urmatoarea forma patratica: Aflati matricea asociata acestei forme patratice:

a. b.

c. d.

6. Se considera matricea:Sa se determine forma patratica asociata : a. b.


c. d. 7. Se considera matricea: Sa se determine forma patratica asociata : a. b. c. d.

8. Se considera matricea:Sa se determine forma patratica asociata : a. b. c. d. 9. Se considera functia biliniara : g: Sa se determine functia patratica asociata: a. b. c. d. ,g (x,y)= .

10. Se considera functia biliniara : g:Sa se determine functia patratica asociata: a. b. c. d. 11. Se considera functia biliniara : g: Sa se determine functia patratica asociata: a. b.

,g (x,y)=

.

,g (x,y)=

M.Ilea,M.Turnea

c. d. 12. Fie urmatoarea forma patratica: Elementul a. b. c. d. al matricei asociate acestei forme patratice este : .

13. Fie urmatoarea forma patratica:Elementul a. b. c. d. 14. Fie urmatoarea forma patratica: Elementul a. b. c. d. 15. Fie g: Elementul a. b. c. d. 16. Fie g: Elementul a. b. c. d. 17. Fie g: ,definit prin formula: g (x,y)= ,definit prin formula: g (x,y)= al matricei asociate acestei forme biliniare este: ,definit prin formula: g (x,y)= al matricei asociate acestei forme biliniare este: al matricei asociate acestei forme patratice este : al matricei asociate acestei forme patratice este :

.

.

Teste grila de algebra liniaraElementul a. b. c. d. al matricei asociate acestei forme biliniare este:

18. Fie funcia patratica : Fa) b) c) d) = = = = ,

,

=

Functia biliniara asociata acestei functii patratice este:

19. Fie funcia patratica F

=

Functia biliniara asociata acestei functii patratice este: a) b) c) = = = =

20. Fie funcia patratica Fa) b) c) = = = = 21. Se considera functia biliniara : g:

,

=

Functia biliniara asociata acestei functii patratice este:

,g (x,y)=

.

Sa se determine matricea functiei in baza B={(0,2,-1),(-1,1,1),(1,0,1)}

b.

M.Ilea,M.Turnea

c.

d.

.

22. Se considera functia biliniara : g:

,g (x,y)=

Sa se determine matricea functiei in baza B={(1,0,-1),(2,1,0),(1,1,-1)}

b.

c.

d. 23. Fie functia biliniara g: ,g (x,y)= .

Sa se determine matricea functiei in baza B={(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}.

b.

c.

d. 24. Fie urmatoarea forma patratica: F , =

Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice a. b.

d.

Teste grila de algebra liniara25. Fie forma patratica: F ,

Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice: a. b.

d. 26. Fie forma patratica: F ,

Precizati sirul minorilor asociati acestei forme patratice:

b.

d. 27. Se considera matricea: Atunci forma biliniara atasata este: a) b) c) d) = = = = atasata unei forme biliniare. atasata unei forme biliniare.

28. Se considera matricea:Atunci forma biliniara atasata este: a) b) c) = = = = 29. Se considera matricea: Atunci forma biliniara atasata este: a) b) c) =2 = =

atasata unei forme biliniare.

M.Ilea,M.Turnea= 30. Valorile proprii pentru matricea : sunt:

b.

d. 31. Valorile proprii pentru matricea : sunt :

b.

d. 32. Valorile proprii pentru matricea : sunt :

b.

d. 33. Fie funcia biliniar: , = .

Atunci matricea functiei biliniare in baza canonica este:

b.

c.

d. 34. Fie functia biliniar : , =



b.

c.

d. 35. Fie funcia biliniar : , =


b.

c.

d.

36. Se considera matricea: a.

.Polinomul caracteristic este de forma:

d.

37. Se considera matricea:a.


d.

M.Ilea,M.Turnea

38. Se considera matricea: a.


d. 39. Fie vectorii

S se scrie vectorul z=

ca o combinaie liniar a vectorilor

.

b. c.. d. 40. Fie vectorii S se scrie vectorul z= ca o combinaie liniar a vectorilor .

b. c.. d. 41. Fie vectorii S se scrie vectorul z= ca o combinaie liniar a vectorilor .

b. c.. d.

42. Fie vectorii S se scrie vectorul ca o combinaie liniar a vectorilor .

.

b. x c..

Teste grila de algebra liniara d. x 43. Fie urmatoarea forma patratica: F Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi : .

b. c. d. 44. Fie F

.

Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi :

b. c. d.

45. Fie urmatoarea forma patratica: F Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi :b. c. d.

.

46. Fie urmatoarea forma patratica: F Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Jacobi :

.

b. c. d. 47. Fie forma patratica F

Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Gauss :

M.Ilea,M.Turnea





b. c. d.

50. Fie forma patratica F Sa se aduca la o suma de patrate prin metoda lui Gauss :

b. c. d.

51. Se considera matricea:

. Atunci produsul valorilor proprii este:


b. -1 c.. d. 1. Atunci suma valorilor proprii este :


b. 0 c.. d. 1. Atunci suma patratelor valorilor proprii este :


b. 18 c.. d. 17. Atunci modulul sumei valorilor proprii este :


b. 2 c.. d. 0. Atunci suma cuburilor valorilor proprii este :


b. 4 c.. d. 6. Atunci media aritmetica a valorilor proprii este

56 . Se considera matricea: b. 4 c.. d. 5

M.Ilea,M.Turnea

57. Se considera matricea: b. 0 c.. d. 1 58. Fie urmatoarea forma patratica: Valoarea parametrului

. Atunci media geometrica a valorilor proprii este :

pentru care forma patratica este pozitiv definita:

b. 0 c.. d. 4

59. Fie urmatoarea forma patratica: Valoarea parametrului pentru care forma patratica este pozitiv definita:

b. c.. d. 60. Fie urmatoarea forma patratica: F Valoarea parametrului pentru care forma patratica este pozitiv definita:

b. 2 c.. d. -3 61. Valoarea parametrului u ,pentru care mulimea: S={(1,2,3),(4,5,6),(7,8,u)} este liniar dependent b. 9 c..2 d. -9 62. Valoarea parametrului u ,pentru care mulimea: S={(1,1,2u),(2,-1, ),(1,2,3)}

Teste grila de algebra liniara este liniar dependent

b. c. d.

}

63. Se considera multimea S={(1,2,1),(2,3,3),(3,7,1)} . Sa se determine matricea schimbarii de baza , de la baza canonica a lui la S .

b.

c.

d. 64. Coordonatele elementului

in baza {(1,2,1),(2,3,3),(3,7,1)} sunt:

b.

d. 65. Coordonatele elementului in baza {(1,1,2),(1,1,1),(1,2,1)} sunt:

b.

d. 66. Coordonatele elementului in baza {(1,1,-1),(-3,1,2),(1,1,1)} sunt:

b. d.

M.Ilea,M.Turnea 67. Coordonatele elementului ) b. in baza {(1,4,2),(-1,2,0),(3,1,5)} sunt:

d. 68. Coordonatele elementului ) b. in baza {(2,4,5),(-1,1,0),(-2,0,2)} sunt:

d. 69. Matricea de trecere de la baza {(1,4,2),(-1,2,0),(3,1,5)} la baza {(2,4,5),(-1,1,0),(-2,0,2)}

b.

c.

d.

70. Care dintre submulimile de mai jos nu formeaz subspaii vectoriale n spaiile vectoriale indicate :

Teste grila de algebra liniara a.S1 = {(x, y) b.S2 = {(x, y) c.S3 = {(x, y) R2 | 2x - y = 0} R2 | 2x - y + 1 = 2} R2 | x2 - y2 - 1 = 0} R3 | x1 - x2 + 2 x3 = 0}

d.S4 = {(x1, x2, x3)

71. Care dintre submulimile de mai jos formeaz subspaii vectoriale n spaiile vectoriale indicate : a.S1 = {(x, y) b.S2 = {(x, y) c.S3 = {(x, y) R2 | 3x - 4y = 0} R2 | 5x - 7y + 1 = 2} R2 | 2x2 + y2 - 1 = 0} R3 | 8x1 - 7x2 + 9 x3 = 0}

d. S4 = {(x1, x2, x3) 72. Fie vectorii

S se scrie vectorul z ca o combinaie liniar a vectorilor

.

b. c.. d. 73. Valoarea parametrului u ,pentru care mulimea: S={(u,-1,4,0),(3,a,3,1),(5,1,u-1,-2)} este liniar dependenta :

b. c. d. 74. Valoarea parametrului u ,pentru care mulimea: S={(1,2,4),(1,-3,9),(1,u, este liniar dependenta : )}

b. c. d.

}

.

75. Dimensiunea subspatiului generat de : S={(1,2,1),(2,3,1),(3,5,2) ,(5,8,3),(4,7,3)} este: 1

M.Ilea,M.Turnea b. c. d. 3 4 2

76. Mulimea: S={(u,1,1,1),(1,u,1,1),(1,1,u,1) ,(1,1,1,u)} este liniar dependenta pentru : a. b. c. d. 77. Matricea de trecere de la baza {(2,1,0),(0,-1,1),(1,1,0)} la baza {(-2,1,1),(3,-1,1),(1,1,-1)} }

b.

c. d. 78. Matricea de trecere de la baza {(-3,2,1),(1,-3,1),(1,1,-2)} la baza {(-1,2,0),(0,-1,2),(2,0,-

1)} este:

b.

c.


d.

79. Dimensiunea subspatiului generat de : S={(0,-3,1,-1),(1,0,2,1),(1,3,1,2) } este:

1 b. c. d. 3 2 4

80. Formulele de transformare a coordonatelor de la baza{(-1,2,0),(0,-1,2),(2,0,-1)} la baza {(-3,2,1),(1,-3,1),(1,1,-2)} sunt:

a.

b.

c.

d.

81. Matricea de trecere de la baza B={(-1,2,0),(0,-1,2),(2,0,-1)} la baza B={(-3,2,1), ,(1,-3,1),(1,1,-2)} este :

M.Ilea,M.Turnea

b.

c.

d.

82. Formulele de transformare a coordonatelor de la baza

{(1,-1),(-3,1) }

la baza {(2,1),(1,-1)} sunt :

a.

b. b.

d.

83. Fie matricile

,

, .

S se scrie matricea Z ca o combinaie liniar a matricilor

b. c..

Teste grila de algebra liniara d. 84. Se considera operatorul liniar Matricea operatorului in cele doua baze canonice este:

b. c. d. 85. Se considera operatorul liniar Matricea operatorului in cele doua baze canonice este : a.

b.

b.

c.

d.

86. Fie matricea 16 b. c. d. 8 32 64

. Atunci o valoare proprie pentru matricea

este :

87. Se considera operatorul liniar : .Atunci un element care apartine nucleului operatorului T este de forma:

b.

M.Ilea,M.Turnea d. 88. Se considera operatorul liniar : Care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate? a. Rang T=1 b. b. Rang T=2 .

c.Rang T=3 d. T este un operator liniar.

89. Fie matricea

. Care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate?

a. b. c. d.

90. Sa se determine aplicatia liniara T

astfel incat:

.

a. b. c. d. 91. Sa se calculeze

pentru operatorul liniar : .

) ) c. d. ) )


PROBLEME PREGTITOARE PENTRU EXAMEN

1. n

se consider vectorii a = (1; 1; 2; 1); b = (1;-1; 0; 1);

c =(0; 0;-1; 1); d = (1; 2; 2; 0). S se arate ca acetia formeaz o baz. Se cer coordonatele vectorului v = (1; 1; 1; 1) n aceast baz. 2. n se dau vectorii a = (1; 1; 1); b = (1; 1; 2); c = (1; 2; 3). S se arate c acetia formeaz o baz i apoi s se determine coordonatele vectorilor x = (5;-1; 3) si y = (2; 3;-1). 3. Se dau vectorii a = (1; 0; 0); b = (2; 1; 0); c = (3; 2; 1) si x =-8a + 4b-c. De asemnea se consider vectorii u = a+b+c; v = a+b-c; w = a-b+c. S se calculeze coordonatele vectorului x n baza{ u; v; w}. 4. S se studieze dependena liniar a vectorilor: a) a = (1; 2; 2; 1); b = (5; 6; 6; 5); c = (-1;-3; 4; 0); d = (0; 4;-3;-1) b) a = (2;5; 3; 10); b = (1;1; 1; 3); c = (3; 3; 1; 1) c) a = (1; 2; 5;1); b = (3; 6; 5;6); c = (2; 4; 0;2) d) a = (2; 0; 4; 2); b = (1; 2;2;3); c = (3; 1; 3; 4); d=(2; 4; 9; 5) 5. S se determine coordonatele vectorului v = (2;3; 5) n raport cu baza: a) a= (1; 0; 0); b = (1; 1; 0); c = (1; 1; 1) b) a = (1;-1; 0); b = (-4; 6;-10); c = (1; 3;9) c) a = (1; 1; 0); b = (0; 1; 1); c = (1; 0; 1) d) a = (1; 0; 0); b = (0; 1; 0); c = (0;-5; 5). 6. S se determine matricea trecerii de la baza B la baza B n urmtoarele cazuri: a) B = {(2; 3); (0; 1)}, B = {(6; 4); (4; 8)} in b) B = {(5; 1); (1; 2)}, B = {(1; 0); (0; 1)} in c) B = {(1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)}, B = {(2; 0; 3); (1; 4; 1); (3; 2; 5)} in d) B = {t; 1; e) B = {t; +1; ; B = {3 + 2t + +t};B = { ; - 4; 2 + t} in +t+2; -2t+1} in .

+3t-3; 4

7. S se studieze dependena i independena liniar pentru urmtoarele sisteme de vectori: a) x = (2; 1; 3; 1); y = (1; 2; 0; 1); z = (1; 1;3; 0) in .

M.Ilea,M.Turnea b) p = 8 - t + 7 ; q= 2 - t + 3 ; r = 1 + t in .

c) x = (2; 0; 1; 3;1); y = (1; 1; 0;1; 1); z = (0;-2; 1; 5;3); t =(1;3; 2; 9;5) in e) x = (2; 1; 3;1); y= (1; 1;3; 1); z = (4; 5; 0; 0); t = (1; 5; 0; 1) in f) x = (0; 1; 2;1); y = (1; 2;1; 0); z = (0; 2;1; 1); t = (4; 6; 1; 3) in 8 S se verifice dac urmtoare funcii sunt produse scalare pe spaiile considerate: a) (x,y)=3 b) (x,y)= c) (x,y)=9 d) (x,y)=5 e) (x,y)=5 + +2 pe + + pe . pe pe . . pe . .

9. S se calculeze rangul funciilor ptratice:

a) Fb) F c) F d) F e) F(x) =

, F(x) = , F(x) = , F(x) = , F(x) = . . . .

.

10. S se scrie funciile ptratice asociate urmtoarelor funciilor biliniare: a) g (x,y)= b) g (x,y)= c), = +2 + .

d) g(x,y)=3 e) g(x,y)=

11. S se scrie formele biliniare din care provin urmtoarele funcii ptratice: a) F b) F(x) = c) F(x) = d) F e) F , F(x) = , F(x) = . , F(x) = . . .

12. S se scrie matricea funciilor biliniare de la exerciiul 11, n baza B={(1,0,2),(0,1,1),(1,2,1)} .

Teste grila de algebra liniara 13. S se scrie matricile funciilor biliniare de la exerciiul 10. 14. S se scrie matricile functiilor ptratice de la exerciiul 11. 15. Utiliznd metoda eliminrii successive a lui Gauss, s se rezolve sistemele liniare: a) b) .

.

c)

d)

.

16. Utiliznd transformri elementare s se calculeze rangul matricelor: a) A=

b) A=

c) A=

d) A=

.

e)

.

17. Utiliznd transformri elementare s se calculeze inversele matricelor: a) A= .

b) A=

.

c) A=

M.Ilea,M.Turnea

d)

.

e) 18. Fie

. spaiul vectorial real al funciilor polinomiale reale de grad mai mic sau egal cu 3. ., unde f(x)= , g(x)= , g(x)= , h(x)= . .

Se consider produsul scalar (f,g)= Considerm polinoamele : f(x)= a) b) Unghiul ( .

19. S se verifice care din urmtoarele funcii sunt biliniare: a) g (x,y)= b) g (x,y)= c), d) g(x,y)= e) g(x,y)= 20. Fie vectorii : liniar a valorilor . + . S se scrie elementul = + . ca o combinaie

21. S se exprime vectorul v = ( 2, 1, 3 ) ca o combinaie liniar n baza B = = ( 1, 4, 2 ) ; = (-1, 2, 0 ); = ( 3, 2, 5 ) . 22. S se determine valorile parametrului real pozitiv ,respectiv negativ definite a) h(x) = x12 +( + 3)x22 2( + 1)x1x2 b) h(x) = x12 + x22 + x3 2 2x1x2 4x1x3 . c) h(x) = d) h(x) = e) h(x) = . . pentru care urmtoarele forme ptratice sunt

23. Utiliznd metoda lui Jacobi s se determine forma canonic pentru funciile : a) h(x) = x12 +3 x22 +x32 + 4x1x2 + 6x1x3 + 8x2x3 b) h(x) = x12 + x22 + x32 x42 + 4x2x3 + 2x2x4 + 6x3x4 .

Teste grila de algebra liniara c) h(x) = d) h(x) = e) h(x) = f) h(x) = . . .

24. Folosind metoda lui Gauss, s se reduc la forma canonic pentru formele ptratice : a) F(x) = 2x12 + x22 - 4x1x2 2x1x3 b) F(x) = x1x2 x1x3 + 2x2x3 c) F(x) = d) F(x) = e) F(x) = f) F(x) = g) F(x) = . . . . .

25. Care din urmtoarele funcii ptratice sunt pozitiv sau negativ definite: a) F(x) = b) F(x) = c) F(x) = d) F(x) = spaiului liniar( a) V = { b) V = { c) V = { d) V = { e) V = { 27. S se precizeze care dintre urmtoarele perechi de operaii definesc pe o structur de spaiu liniar real : a) b) . sunt subspaii liniare ale . . .

26. S se precizeze care din urmtoarele submulimi din :

M.Ilea,M.Turnea

c) 28. Se dau vectorii liniar independeni S se verifice dac: a) Vectorii b) Vectorii c) Vectorii d) Vectorii sunt liniar independeni . sunt liniar dependeni sunt liniar dependeni . sunt liniar independeni . n spatiul liniar X peste corpul comutativ R .

29. S se afle vectorii i valorile proprii pentru matricile: a) A=

b) A=

c) A=

d) A= 30. S se scrie polinoamele caracteristice asociate matricilor: a) A=

b) A=

c) A=

d) A=

.

31. S se scrie polinoamele caracteristice asociate matricilor dac: a) b) c) .


d) e) f) . .

32. S se calculeze inversele matricilor folosind teorema lui Hamilton: a) A=

b) A=

c) A=

d) A=

e) A=

. care au valorile proprii . ,

33. Determinai toate matricile cu vectorii proprii corespunztori:

34. S se verifice dac urmtoarele matrice sunt diagonabilizabile: a) A=

b) A= c) A=

d)

e)

M.Ilea,M.Turnea

f)

.

35.Se dau vectorii a = (1; -1; 2); b = (0; -1; 0); c = (3; 2; 1) si x =-a + b-4c. De asemnea se consider vectorii u = a-2b+c; v = a+2b-c; w = a-3b+c. S se calculeze coordonatele vectorului x n baza{ u; v; w}. 36. Folosind procedeul Gramm-Schimdt s se ortonormeze mulimile: a) S={(1; -2; 2); (-1; 0; -1); (5; -3; -7)} b) S={(1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)} c) S={(2; 1; -3); (3; 2; -5); (1; -1; 1)} d) S={(2; 3; 0;-1); (1; 2; -1;-2); (1; 2; 1;4), (1; 3; -1;0} . 37. Pe mulimea , S se calculeze: a) b) c) unghiul (2x-y,y+x) d) e) unghiul (2x-y+z,y+x-z) f) E= g) E= 38. Sa se verifice daca aplicatiile urmatoare sunt operatori liniari : a) T: b) T: c) T: d) T: e) T: f) T: g) T: ,T ,T ,T ,T ,T ,T ,T se consider produsul scalar uzual. Fie elementele , unghiul (x,y)= astfel nct

,unghiul (x,z)= , unghiul (y,z)= .


h) T:

,T

.

39. Sa se determine operatorii liniari corespunzatori matricilor: a) A=

b) A=

c) A= d) A= e) A= . , =

40. Fie functia biliniar : a) S se scrie matricea funciei

n baza B={(1,1,0),(1,1,1),(1,1,1)} .

b) S se determine funcia patratic F asociat funciei c) S se calculeze determinantul Gramm asociat mulimii B . d) S se verifice dac F este pozitiv definit . 41. Fie i elementele: x=(3,2,1),y=(1,2,6),z=(0,1,1) . S se verifice dac mulimea S={xy,y-z,z-x} este liniar independent. 42. Utiliznd transformari elementare s se calculeze rangul matricei A= 43. Fie i elementele: x=(2,0,0),y=(3,2,0),z=(4,4,1) .S se calculeze: b) c) unghiul dintre (3x+2y+y, 4x-z+2y) = . .

a) 5x-3y+z=., 44.

Se consider matricea:

a) S se scrie polinomul caracteristic asociat matricei. b) Folosind teorema lui Hamilton, s se afle inversa matricei. 45. Fie B={(1,1),(2,4)} si B={(1,1),(4,6)} dou baze in spatiul matricea de trecere de la baza B, la baza B. (B este liniar dependent . ). . S se determine

46. S se afle valoarea parametrului u ,pentru care mulimea: S={(1,1,3),(1,3+u,0),(0,-1,-2)}

M.Ilea,M.Turnea 47. Se consider matricea : .

a) S se scrie polinomul caracteristic asociat matricei. b) Folosind teorema lui Hamilton, s se afle inversa matricei. c) S se scrie funcia biliniar corespunzatoate matricii A. 48. Fie i mulimea B = {(1, 3), (4,6)} . . Utiliznd procedeul Gramm s se aduc a) S se arate c B este o baz n spaiul

b) S se afle coordonatele elementului x= (-2, -4) n baza B. 49. Fie B= {(1, 0, 0), (0, 6, 0),(0,0,4)} o baz in aceast baz la o baz ortonormat i ortogonal. 50. S se verifice dac urmtoarea funcie este un produs scalar pe spaiul considerat: (x,y)= 51. F Fie funcia patratic: , F(x) = . pe .

a) S se verifice dac F este negativ definit. b) Utiliznd metoda lui Jacobi, s se aduca funcia F la forma canonic . 52. Utiliznd metoda eliminarii successive a lui Gauss ,s se rezolve sistemul liniar: . 53. Fie i mulimea B= {(1, -3), (2, 8)} .

a) S se arate c B este o baz n spaiul

b) S se afle coordonatele elementului x= (-2, -3) n baza B. 54. S se diagonalizeze matricea: .


Grila raspunsurilor

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

d b a c d b d a b c d a d b c a b a c d b a d c b c a b d a b c d d a d b

51

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

c a c d b c d a c d b a d c a b d c a b d c a b d c a d b c a b b,c a,d d a,b,c,d a d c b d c a d b c a d c d c,d a b

91

c

algebra liniara teste grila

Documents

se considera matricea

forma patratica asociata

urmatoarea forma patratica

forma patratica f sa

se considera functia

functia patratica asociata

functia biliniara g

funcia patratica fa