uc algebra liniara cu mathcad 1

Nicolae Danet UTILIZAREA CALCULATOARELORIntroducere in Mathcad

Ca urmare, pe ecran apare fereastra de dialog Insert Matrix in care se completeaza campurile care solicita numarul de linii (Rows) si de coloane (Columns) ale matricei ce urmeaza a fi introdusa. Valorile implicite ale acestora sunt 3 si 3.

Deoarece operatia de introducere a unei matrice se va face foarte frecvent, se recomanda retinerea comenzii de introducere a unei matrice folosind tastatura: Ctrl+M.

3. Se deschide meniul Insert si se da comanda Matrix sau se apasa butonul corespunzator de pe bara Matrix.

A :=

2. Se tasteaza numele matricei urmat de operatorul de definire (atribuire).

1. Se da clic cu mouse-ul sau, cu ajutorul tastelor sageti, se face deplasarea cursorului in forma de cruce in locul din document in care se doreste sa fie introdusa matricea.

Pentru introducerea unei matrice intr-un document Mathcad se parcurg etapele:

Mathcad are predefinite functiile uzuale pentru calculul matriceal. Matricele care au n linii si o singura coloana se numesc vectori.

Introducerea matricelor

Calcul matricealNicolae Danet - ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

AL_010_Matrice.mcd / Pag. 1 din 4


Schimbarea originii indicilor de la zero la unu se face in ferestra Math Options. Pentru aparitia acesteia se da comanda Options... din meniul Math. De regula, la aparitia acestei ferestre functia Built-In Variables este activa si rubrica Array Origin (ORIGIN) este vizibila. Aici se face schimbarea originii indicilor inlocuind pe 0 cu 1.

La versiunea Mathcad 2001

Schimbarea originii indicilor

a0 2, 8−=a0 1, 6=a0 0, 3=Atunci avem

a A:=

Pentru ca elementele matricei A sa poata fi scrise cu litera mica "a" se redefineste

Scrierea elementelor unei matrice cu litera mica corespunzatoare numelui acesteia

A2 0, 10=A1 0, 5−=A0 0, 3=

iar elementele primei coloane sunt

A0 2, 8−=A0 1, 6=A0 0, 3=

Pentru matricea A de mai sus elementele primei linii sunt

Scrierea la nivel de indice se face tastand [ (paranteza dreapta deschisa) sau folosind butonul xn aflat pe bara Matrix.

Elementele matricei sunt variabile indexate de forma Ai,j. Indicii se scriu desparti de virgula si au valoarea initiala zero.

Elementele unei matrice. Indici

A

3

5−

10

6

7

12−

8−

2

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

4. Se completeaza pozitiile marcate cu valori numerice. Trecerea de la o pozitie la alta se face cu ajutorul tastei Tab sau folosind mouse-ul si dand clic pe fiecare pozitie.

A⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Dupa complerare se tasteaza Enter sau se da clic cu mouse-ul pe unul dintre butoanele Insert sau OK ale ferestrei Insert Matrix. In document este inserata macheta matricei.



La versiunea Mathcad 11

Schimbarea originii indicilor de la zero la unu se face in ferestra Worksheet Options... Pentru aparitia acesteia se da comanda Worksheet Options din meniul Tools. De regula, la aparitia acestei ferestre functia Built-In Variables este activa si rubrica Array Origin (ORIGIN) este vizibila. Aici se face schimbarea originii indicilor inlocuind pe 0 cu 1.



Acest mod de schimbare a indicilor se face fara ca in pagina documentului sa apara o mentiune expresa despre modificarea facuta.

Uneori este preferabil ca aceasta modificare sa fie vizibila in document. Pentru acesta se recomanda ca la inceputul documentului sa se faca schimbarea valorii parametrului ORIGIN de la0 la 1 scriind explicit instructiunea de atribuire a valorii 1.

ORIGIN 1:=

Pentru ca efectul acestei instructiuni sa se manifeste in intreg documentul ea trebuie plasata ca prima instructiune in document.

O alta posibilitate de modificare a originii indicilor este folosirea instructiunii de definire globala, care poate fi amplasata oriunde in document.

ORIGIN 1≡

Observatie. Locul marcat (patratul negru) de langa numarul 1 arata ca in acest caz instructiunea nu functioneaza fiind selectata optiunea "Disable Evaluation" . Pentru a schimba acesta optiune in "Enable Evaluation" se selecteaza regiunea si se da click cu butonul drept al mouse-ului pentru aparitia meniului contextual unde apare aceasta comanda.



A 2−6.556

23.556

38.444−

6.667

25.667

41.333−

5.778−

21.778−

35.222

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=A235

68

118

36

79

132

28

60

101

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

A 1−0.333

3.333

4.667−

1

3

5−

0.667−

2.667−

4.333

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=A11

6

8

3

5

9

2

4

7

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=A01

0

0

0

1

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

La ridicarea la puterea m (m numar intreg) a unei matrice patratice A se va tine sema de urmatoarele reguli:Daca m = 0, se obtine matrice unitate.Daca m = 1, se obtine matricea A.Daca m = -1, se obtine inversa matricei A.Daca m 2≥ , se obtine puterea m a matricei A. Daca m 2−≤ , se obtine puterea |m| a inversei matricei A. Pentru obtinerea operatorului de ridicare la putere a unei matrice (la fel ca la numere) se tasteaza Shift+6. Ca efect se obtine plasarea pozitiei marcate la nivel de indice superior: A

La inmultirea a doua matrice A(m,n) cu B(n,p) trebuie se tina seama ca numarul de coloane din prima matrice sa fie egal cu numarul de linii din matricea a doua. Rezultatul, matricea C, este o matricea de tipul (m,p). Simbolic scriem A(m,n)*B(n,p) = C(m,p)

A C⋅

26

56

94

20

41

70

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=A B−

8−

0

5

5−

0

7

5−

0

6

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=A B+

10

12

11

11

10

11

9

8

8

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Adunarea, scaderea si inmultirea matricelor folosesc operatorii uzuali

C

2

4

6

1

3

5

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=B

9

6

3

8

5

2

7

4

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=A

1

6

8

3

5

9

2

4

7

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Mathcad permite efectuarea tuturor operatiilor posibile cu matrice.Pentru exemplificare consideram matricele A, B si C definite mai jos.

Operatii cu matrice


AL_011_Operatii_cu_matrice.mcd / Pag. 1 din 2


A 2 U⋅+

3

8

10

5

7

11

4

6

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=U

1

1

1

1

1

1

1

1

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

in loc de

A 2+

3

8

10

5

7

11

4

6

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=A

1

6

8

3

5

9

2

4

7

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

De exemplu

Pentru a aduna un numar real r la toate elementele unei matrice se scrie A + r si nu A +rU, unde U este matricea care are toate elementele egale cu 1.

3 A⋅

3

18

24

9

15

27

6

12

21

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Inmultirea unei matrice cu un numar real r foloseste simbolul obisnuit de inmultire. De exemplu

D⎯ 1 2i−

4

i−

3 i−

1 2i+

1−⎛⎜⎝

⎞⎠

=AtunciD1 2 i⋅+

4

i

3 i+

1 2 i⋅−

1−⎛⎜⎝

⎞⎠

:=

Daca elementele matricei date sunt numere compleze se poate determina matricea conjugata, adica matricea care are toate elementele egale cu conjugatele numerelor complexe din matricea data. Matricea conjugata se obtine tastand dupa numele ei ". De exemplu, fie

CT 2

1

4

3

6

5⎛⎜⎝

⎞⎠

=C

2

4

6

1

3

5

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Pentru determinarea transpusei unei matrice se scrie numele matricei si se tasteaza Ctrl+1 sau se apasa butonul MT aflat pe bara Matrix.

A 3−=

Pentru calculul determinantului unei matrice patratice se apasa butonul |x| aflat pe bara Matrix sau se tasteaza Shift+\. Pe ecran apare simbolul determinantului in Mathcad, care are in interior o pozitie marcata ce trebuie completata cu numele matricei.

AL_011_Operatii_cu_matrice.mcd / Pag. 2 din 2


M augment a b, c, d,( ):=

Cu acestia se poate forma matricea

d

10

11

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=c

7

8

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=b

4

5

6

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=a

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

De exemplu, fie vectorii

Reciproc, daca se dau mai multi vectori cu ajutorul lor se poate obtine o matrice, care are drept coloane vectorii dati. Pentru aceasta operatie se foloseste functia din Mathcad numita augment.

AT( ) 3⟨ ⟩T

7 8 9( )=AT( ) 2⟨ ⟩T

4 5 6( )=AT( ) 1⟨ ⟩T

1 2 3( )=

Pentru extragerea liniilor se transpune matricea data, se extrag coloanele matricei transpuse AT care se transpun din nou. Pentru transpunerea unei matrice folosind tastatura se foloseste comanda CTRL+1.

A 3⟨ ⟩3

6

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=A 2⟨ ⟩2

5

8

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=A 1⟨ ⟩1

4

7

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

ORIGIN 1:=

sunt

A

1

4

7

2

5

8

3

6

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

De exemplu, coloanele matricei

Coloanele unei matrice sunt indexate cu indici superiori incadrati de paranteze unghiulare. Pentru a scrie un astfel de indice cu ajutorul tastaturii se tasteaza Ctrl+6.

de pe bara Matrix.

Pentru a extrage o coloana dintr-o matrice data se foloseste butonul

Extragerea coloanelor, liniilor si a submatricelor dintr-o matrice


AL_012_Submatrice.mcd / Pag. 1 din 3


submatrix M 2, 4, 3, 5,( )

8

13

18

9

14

19

10

15

20

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Atunci

M

1

6

11

16

2

7

12

17

3

8

13

18

4

9

14

19

5

10

15

20

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

:=

De exemplu, fie matricea

Functia submatrix(M,ir,jr,ic,jc) extrage din matrice M o submatrice care contine liniile de la ir la jr si coloanele de la ic la jc.

Extragerea unei submatrice dintr-o matrice

z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Matricea obtinuta are numele z.

z 4⟨ ⟩10

11

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=z 3⟨ ⟩7

8

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=z 2⟨ ⟩4

5

6

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=z 1⟨ ⟩1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

O alta metoda de a obtine o matrice din mai multi vectori este aceea de a da vectorilor acelasi nume si de a folosi indicii superiori.

M 4⟨ ⟩10

11

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=M 3⟨ ⟩7

8

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=M 2⟨ ⟩4

5

6

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=M 1⟨ ⟩1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

M

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=



∆4 84=∆4 A:=

∆3 24=∆3 submatrix A 1, 3, 1, 3,( ):=

∆2 9=∆2 submatrix A 1, 2, 1, 2,( ):=

∆1 5=∆1 a1 1,:=

Calculati valorile minorilor principali ai matricei A.

a A:=A

5

4

3

2

4

5

4

3

3

3

5

4

2

2

2

5

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

:=ORIGIN 1:=

Fie matricea Exemplu

submatrix M 2, 4, 5, 3,( )

10

15

20

9

14

19

8

13

18

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

submatrix M 4, 2, 3, 5,( )

18

13

8

19

14

9

20

15

10

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Daca se inverseaza indicii ir cu jr sau ic cu jr se schimba ordinea liniilor sau a coloanelor.



Pentru calculul normei euclidiene Mathcad foloseste operatorul care are aceeasi forma grafica cu cel folosit pentru calculul valorii absolute a unui numar real sau complex sau pentru calculul determinantului unei matrice patratice.

x abs x1( )2 abs x2( )2+ abs x3( )2

+ abs x4( )2+( )

12

→

Pentru un vector x, real sau complex, norma euclidiana este egala cu radical din suma patratelor modulelor componentelor vectorului x. Daca vectorul x este real, atunci nu mai este nevoie de a modul elementelor deoarece patratul unui numar real este egal cu patratul modulului sau.

x x x⋅=

Norma euclidiana a vectorului x este egala cu radical din produsul scalar:

Nu este neaparat nevoie sa se dea acesta comanada existenta pe bara Matrix.

Pentru a calcula produsul scalar al celor doi vectori in Mathcad se da comanda obisnuita de inmultire de la tastatura: SHIFT + *.

x y⋅ x1 y1⋅ x2 y2⋅+ x3 y3⋅+ x4 y4⋅+→

Produsul scalar al celor doi vectori este definit prin formula

y

y1

y2

y3

y4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟

⎠

:=

y

x

x1

x2

x3

x4

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟

⎠

:=

x

ORIGIN 1:=

Fie x si y doi vectori din R4.

In plus, pentru vectori se adauga unele operatii specifice acestora:produsul scalar•calculul normei euclidiene•produsul vectorial (numai pentru vectorii cu trei componente). •

Vectorii n dimensionali sunt matrice cu n linii si o singura coloana. Prin urmare, toate operatiile prezentate pentru matrice se pot utiliza si pentru vectori.

Operatii cu vectori


AL_013_Produse_de_vectori.mcd / Pag. 1 din 4


Acest operator se poate introduce si de la tastatura tastand Ctrl+8.

al carui buton se afla pe bara Matrix.

×

Pentru calculul produsului vectorial Mathcad are un operator specific

x y×

x2 y3⋅ x3 y2⋅−

x3 y1⋅ x1 y3⋅−

x1 y2⋅ x2 y1⋅−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟

⎠

→

care are componentelex y×

produsul lor vectorial este un vector din R3, notat

y

y1

y2

y3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟

⎠

:=

y

x

x1

x2

x3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟

⎠

:=

x

Produsul vectorial se poate calcula numai pentru vectorii din R3. Rezultatul este tot un vector din R3. Dati vectorii din R3

z 5=z 4 3 i⋅−:=a 21.345=a 21.345−:=

Pentru numere reale sau complexe cu acelasi operator se calculeaza modulul, dupa cum se poate vedea mai jos:

este valoarea normei euclidiane a vectorului xw 5=w

2

4

5

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟

⎠

:=

este valoarea determinantului matricei AA 267=A

1

5

0

2−

3−

6

7

1

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

De exemplu

Observatie.1. Daca pozitia marcata este completata cu o matrice patratica se calculeaza determiantul acesteia.2. Daca in pozitia marcata se scrie numele unui vector atunci se calculeaza norma euclidiana a acestuia. 3. Daca pozitia marcata se completaeza cu un numar real sau complex atunci se va calcula modulul acelui numar.



Vabc 30=Vabc a b c×( )⋅:=

4) Volumul paralelipiledului determinat de vectorii a, b si c este egal cu valoarea absoluta a produsului mixt dintre cei trei vectori.

ATab 3.674=ATaba b×

2:=

Aria triunghiului determinat de vectorii a si b este jumatate din aria paralelogramului, deci

APab 7.348=APab a b×:=

3) Aria paralelogramului determinat de vectorii a si b este egala cu norma produsului vectorial dintre cei doi vectori. Deci

Observatie. Pentru transformarea partii fractionare a numarului de grade in minute si secunde a se vedea fisierul consacrat special acestui subiect.

θ 12.933deg=

Pentru transformarea in grade sexazecimale se foloseste posibilitatea Mathcad-ului de a face transformari de unitati de masura. In acest scop, se da click pe rezultatul obtinut si in locul marcat care apare in partea dreapta a rezultatului se completeaza noua unitate de masura deg (degree = gradul hexazecimal).

Masura unghiului θ se determina implicit in radiani.

θ 0.226=θ acos cosab( ):=Masura unghiului dintre vectorii a si b

cosab 0.975=cosaba b⋅

a b⋅:=3) Cosinusul unghiului dintre vectorii a si b

a b×

3−

6

3−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=2) Produsul vectorial

a b⋅ 32=1) Produsul scalar Solutie.

Calculati:1) Produsul scalar si produsul vectorial dintre vectorii a si b.2) Masura unghiului dintre vectrorii a si b.3) Aria paralelogramului si aria triunghiului determinat de vectorii a si b.4) Volumul paralelipipedului determinat de vectorii a,b si c.

c

1−

2

5−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=b

4

5

6

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=a

1

2

3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Se dau vectoriiExemplul 1.



ORIGIN 1≡

u1 u1⎯⋅ u2 u2

⎯⋅+ u3 u3

⎯⋅+ 4.359=

u 4.359=Norma vectorului u are valoarea

v1 u1⎯⋅ v2 u2

⎯⋅+ v3 u3

⎯⋅+ 2 11i+=

v u⋅ 2 11i+=

Produsul scalar complex este anticomutativ. Aceasta inseamna ca daca in produsul scalar se se schimba ordinea factorilor atunci se obtine numarul complex conjugat.

u1 v1⎯⋅ u2 v2

⎯⋅+ u3 v3

⎯⋅+ 2 11i−=

u v⋅ 2 11i−=Atunci produsul scalar este

v

i

2 3 i⋅+

1−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=u

1 2 i⋅−

3

2 i+

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

De exemplu, fie vectorii

u u u⋅=

iar norma este data de relatia

u v⋅ u1 v1⎯⋅ u2 v2

⎯⋅+ u3 v3

⎯⋅+=

atunci produsul scalar este definit prin formula

v

v1

v2

v3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟

⎠

=u

u1

u2

u3

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟

⎠

=

Daca vectorii u si v au componente complexe

Cazul vectorilor cu componente complexe



Determinarea solutiei unui sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute

Ax = b,

unde A este o matrice patratica nesingulara se poate face in Mathcad folosind functia lsolve(A,b)

1. Utilizarea functiei lsolve

Rezolvarea sistemelor liniare nesingulare

b

b1

b2

....

bn

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

:=....

x

x1

x2

....

xn

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

:=....

A

a1 1,

a2 1,

....

an 1,

a1 2,

a2 2,

....

an 2,

....

....

....

....

a1 n,

a2 n,

....

an n,

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

:=

....

undeA este matricea sistemului;•x este vectorul necunoscutelor;•b este vectorul termenilor liberi.•

A x⋅ b=sau

a1 1,

a2 1,

....

an 1,

a1 2,

a2 2,

....

an 2,

....

....

....

....

a1 n,

a2 n,

....

an n,

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

x1

x2

....

xn

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

⋅

b1

b2

....

bn

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

=

Pentru rezolvarea sistemului in Mathcad acesta trebuie scris sub forma matriceala

an 1, x1⋅ an 2, x2⋅+ ....+ an n, xn⋅+ bn=...........................................................

a2 1, x1⋅ a2 2, x2⋅+ ....+ a2 n, xn⋅+ b2=

a1 1, x1⋅ a1 2, x2⋅+ ....+ a1 n, xn⋅+ b1=

Fie sistemul de n ecuatii liniare cu n necunoscute

Forma matriceala a unui sistem liniar

Rezolvarea sistemelor liniareNicolae Danet - ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

AL_020_Sisteme_liniare_patratice.mcd / Pag. 1 din 4


Pentru rezolarea sa scriem matricea sistemului A si vectorul termenilor liberi b.

4 x1⋅ x2− 9 x3+ 19=

2− x1⋅ 8 x2⋅+ 7 x3⋅+ 17=

5 x1⋅ 3 x2⋅+ 6 x3⋅− 15=

Exemplul 2. Fie sistemul de ecuatii liniare

x A 1− b⋅=

Daca matricea A este nesingulara, atunci exista matricea inversa A-1 si solutia sistemului este data de formula

2. Utilizarea matricei inverse. Calcul numeric

A x⋅ b−

0.000000000000000

0.000000000000000

0.000000000000000

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=Verificarea solutiei:

x

3

2

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=Se calculeaza solutia:

x lsolve A b,( ):=Se defineste solutia:

Deoarece determinantul matricei A este nenul, sistemul are solutie unica.

A 713=

Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matricea este nesingulara.

b

15

17

19

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=A

5

2−

4

3

8

1−

6−

7

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Pentru rezolarea sa scriem matricea sistemului A si vectorul termenilor liberi b.

4 x1⋅ x2− 9 x3+ 19=

2− x1⋅ 8 x2⋅+ 7 x3⋅+ 17=

5 x1⋅ 3 x2⋅+ 6 x3⋅− 15=

Exemplul 1. Fie sistemul de ecuatii liniare



b

α

β

γ

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟

⎠

:=

γ

A

5

2−

4

3

8

1−

6−

7

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

Pentru rezolvare se procedeaza ca mai sus, dar in locul comenzii de calcul numeric se da comandade calcul simbolic.

4 x1⋅ x2− 9 x3+ γ=

2− x1⋅ 8 x2⋅+ 7 x3⋅+ β=

5 x1⋅ 3 x2⋅+ 6 x3⋅− α=

Exemplul 3. Fie sistemul de ecuatii liniare in care termenii liberi sunt variabile reale si nu numer

3. Utilizarea matricei inverse. Calcul simbolic

Observatii. 10-15 inseamna "practic zero" sau "zero Mathcad". •Deoarece in calculul matricei inverse se fac mai multe erorii de rotujire decat cele care se fac i•metoda de rezolvare folosita de functia lsolve, se recomanda ca sistemele liniare sa fie rezolvacu lsolve si nu prin inversarea maticei.

A x⋅ b−

1.776 10 15−×

3.553 10 15−×

0.000

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟

⎠

=

Verificare

x

3

2

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

Decix A 1− b⋅:=

Deoarece determinantul matricei A este nenul, matricea A este inversabila si solutia sistemului este data de formula

A 713=

Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matricea este inversabila.

b

15

17

19

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=A

5

2−

4

3

8

1−

6−

7

9

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=



Calculam determinantul matricei A pentru a vedea daca matricea este inversabila.

A 713=

Deoarece determinantul matricei A este nenul, matricea A este inversabila si solutia sistemului este data de formula

s A 1− b⋅:= b

Pentru determinarea solutiei se da comanda de calcul simbolic (CRTL + . )

s

79713

α⋅21713

β⋅−331

γ⋅+

231

α⋅331

β⋅131

γ⋅−+

30−713

α⋅17713

β⋅+231

γ⋅+

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟⎟

⎠

→

Verificarea solutiei.

A s⋅ b−

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

→

Observatie. Deoarece procesorul numeric si cel simbolic al Mathcad-ului folosesc methode diferite de calcul se recomanda ca in acelasi document Mathcad sa nu se amestece cele doua tipuri de calcul.



A 0=Calculam determinntul ei

A

1

2

1

2

6

2−

3−

11−

7

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=Matricea sistemului este

x 2y− 7z+ 0=2x 6y+ 11z− 0=x 2y+ 3z− 0=

Fie sistemul liniar si omogen

Exemplul 1

Determinarea solutiilor diferite de solutia banala se poate face in Mathcad folosind blocul Given si dand pentru functia Find comanda de calcul simbolic.

Solutia admisa va depinde de un numar de parametrii egal cu diferenta dintre dimensiunea matricei sistemului si rangul ei.

Daca determinatul sistemului este nul, sistemul admite si solutii diferite de solutia nula.

Daca determinantul sistemului este nenul, sigura solutie a sistemului este solutia nula.

admite intotdeauna solutia nula x = 0.

A x⋅ 0=

a1 1,

a2 1,

....

an 1,

a1 2,

a2 2,

....

an 2,

....

....

....

....

a1 n,

a2 n,

....

an n,

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

x1

x2

....

xn

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

⋅

0

0

....

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

=

sau, scris matricea,

an 1, x1⋅ an 2, x2⋅+ ....+ an n, xn⋅+ 0=...........................................................

a2 1, x1⋅ a2 2, x2⋅+ ....+ a2 n, xn⋅+ 0=

a1 1, x1⋅ a1 2, x2⋅+ ....+ a1 n, xn⋅+ 0=

Orice sistem liniar si omogen de n ecuatii cu n necunoscute

Rezolvarea unui sistem patratic liniar si omogen

Rezolvarea sistemelor liniareNicolae Danet - ALGEBRA LINIARA CU MATHCAD

AL_021_Sisteme_liniare_patratice_omogene.mcd / Pag. 1 din 3


A 0=are determinantul nulA

1

2

3

1

2

3

1−

2−

3−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

:=Matricea sistemului

3 x⋅ 3 y⋅+ 3 z⋅− 0=

2 x⋅ 2 y⋅+ 2 z⋅− 0=

x y+ z− 0=

In acest exemplu dorim sa rezolvam sistemul liniar si omogen

Exemplul 2

Verificare A s⋅

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

→

z z=y52

z⋅=x 2− z⋅=Solutia sistemului, care depinde de parametrul real z, este

s

2− z⋅

52

z⋅

z

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

→

s Find x y, z,( ):= z

x 2 y⋅− 7 z⋅+ 0=

2 x⋅ 6 y⋅+ 11 z⋅− 0=

x 2 y⋅+ 3 z⋅− 0=

Given

Solutia se determina folosind blocul given Given si dand comanda Find in mod simbolic.

In concluzie, solutia sistemului depinde de un parametru real.

nr_par 1=nr_par cols A( ) rank A( )−:=

si se scade din dimensiunea matricei

rank A( ) 2=

Pentru a vedea numarul de parametri de care depinde solutia se calculeaza rangul matricei A

Deoarece matricea este singulara (i.e., determinantul ei este egal cu zero) sistemul admite si solutii diferite de solutia nula: x = 0, y = 0, z = 0.



Numarul de parametri de care va depinde solutia nenula a sistemului este

nr_par cols A( ) rank A( )−:= nr_par 2=

Determinarea solutie se face folosind Given si Find simbolic

Given

x y+ z− 0=

2 x⋅ 2 y⋅+ 2 z⋅− 0=

3 x⋅ 3 y⋅+ 3 z⋅− 0=

sol Find x y, z,( ):= z

sol

y− z+

y

z

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

→

Solutia depinde de doi parametri reali y si z, x fiind egal cu -y+x.

Verificare A sol⋅

0

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

→

Observatie. Folosirea blocului Given impune darea unor valori initiale variabilele x, y si z atunci cand se rezolva ecuatiile numeric, ceea ce aici nu este cazul deoarece rezolvarea se face simbolic.



mmin_int 17=mmin_int trunc mmin( ):=

Se trunchiaza numarul de minute la partea intreaga.

mmin 17.747=mmin mdeg mdeg_int−( ) 60⋅:=

In continuare partea fractionara a numarului de grade este transformata in minute.

mdeg_int 57=mdeg_int trunc mdeg( ):=

Se trunchiaza numarul de grade la partea intreaga.

mdeg 57.296=mdeg mrad180π

⋅:=

mrad 1:=

b) Se scrie firmula de transformare din radiani in grade sexazecimale

mung 57.296 deg=

a) Pentru a utiliza prima metoda se da click pe rezultatul obtinut si in locul marcat care apare in partea dreapta a rezultatului se completeaza noua unitate de masura deg (degree = gradul sexazecimal).

Transformarea in grade se poate face prin doua metode:a) folosind facilitatile pe care le ofera Mathcad pentru transformarea unitatilor de masura.b) direct, scriind formula de calcul pentru transformare.

mung 1rad:=

Fie dat un unghi a carei masura este

Notatii folosite:mung - masura unghiului (cand unitatea de masura este specificata dupa masura unghiului)mrad - masura unghiului in radianimdeg - numarul de grade din mausura unghiului in grade, minute si secundemmin - numarul de minute din masura unghiului in grade, minute si secundemsec - numarul secundelor din masura unghiului in grade, minute si secunde

In Mathcad masura unui unghi se obtine in radiani. De multe ori avem nevoie de a exprima acestmasura in grade, minute si secunde sexazecimale. In continuare vom arata cum se poate face aceasta transformare si transformarea inversa.

Trasformarea masurii unui unghi din radiani in grade sexazecimale


AL_0131_Trasformare_rad_deg.mcd / Pag. 1 din 2


grade

mmin 17:= minute

msec 45:= sec

Petru a transforma masura unghiului in radiani se transforma mai intai totul in grade

msecdegmsec60 60⋅

:= msecdeg 0.013=

mmindegmmin

60:= mmindeg 0.283=

mdeg_total mdeg msecdeg+ mmindeg+:= mdeg_total 57.296=

Se face apoi transformarea din grade in radiani.

mrad mdeg_totalπ

180⋅:= mrad 1.00000093934058=

Observatie. Valoarea obtinuta nu este exact un radian deoarece in calculele de mai sus numarul de secunde a fost aproximat prin adaos.

In final, partea fractionara a numarului de minute este trasformata in secunde

msec mmin mmin_int−( ) 60⋅:= msec 44.806=

Se rotunjeste numarul de secunde la un numar intreg prin lipsa (daca partea fractionara este strict mmica decat 0.5) sau prin adaos (daca partea fractionara este mai mare sau egala cu 0.5).

msec_int round msec( ):= msec_int 45=

In concluzie, unghi de mrad 1= are

mdeg_int 57= grade

mmin_int 17= minute

msec_int 45= secunde

Transformarea masurii unui unghi din grade sexazecimale in radiani

Fie un unghi care are mdeg 57:=

AL_0131_Trasformare_rad_deg.mcd / Pag. 2 din 2

uc algebra liniara cu mathcad 1

Documents