Regresia liniară simplă- studiu de caz -

Asist. univ. drd. Cătălin Deatcu

Universitatea Artifex - Bucureşti

Etapele conceperii şi rezolvării unui model

econometricFormularea teoriei sau a ipotezelor

Alegerea unui model matematic corespunzător

Alegerea unui model statistic sau econometric

Culegerea, prelucrarea şi prezentarea datelor economice

Estimarea parametrilor modelului

Previzionarea evoluţiei fenomenului studiat

Utilizarea efectivă a modelului econometric

Testarea ipotezelor modelului

Formularea teoriei economice

Legea lui Keynes

„Omul este dispus să îşi mărească nivelului consumului pe măsură ce veniturile sale cresc, însă cu o rată de creştere mai mică decât a acestuia din urmă”.

Rata marginală a consumului este mai mare decât zero, dar mai mică de unu.

Prezentarea datelor economice

Pentru a exemplifica modalitatea de concepere şi rezolvare a unui model econometric bazat pe legea lui Keynes vom utiliza o serie de date referitoare la consumul anual şi la veniturile înregistrate de o familie în perioada 1992 – 2006:

Prezentarea datelor economice

Anul Consum (u.m.) Venituri (u.m.)

1992 3080 4620

1993 3240 4800

1994 3400 5140

1995 3570 5330

1996 3710 5490

1997 3820 5650

1998 3970 5860

1999 4070 6060

2000 4130 6140

2001 4110 6080

2002 4220 6250

2003 4340 6390

2004 4490 6610

2005 4590 6740

2006 4710 6930

Reprezentarea grafică a datelor

4500

5000

5500

6000

6500

7000

2800 3200 3600 4000 4400 4800

CONSUM

VENIT

URI

VENITURI vs. CONSUM

Alegerea modelului matematic

y = α + β·xunde: y = cheltuieli pentru consum; x = venituri realizate; α, β = parametrii modelului; β = înclinaţia marginală spre consum;

0< β < 1

Alegerea modelului econometric

y = α + β·x + u

unde: y = cheltuieli pentru consum;

y → variabila endogenă (dependentă, rezultativă); x = venituri realizate;

x → variabila exogenă (independentă, factorială); α, β = parametrii modelului de regresie; u = eroarea modelului;

u → variabila reziduală

u → reprezintă influenţa factorilor nespecificaţi în model –

factori întâmplători – asupra variabilei rezultative Y.

Estimarea parametrilor modelului liniar de

regresie

α, β = parametrii modelului de regresie

În cazul problemelor de regresie liniară simplă, metoda utilizată în mod curent pentru estimarea parametrilor modelului este metoda celor mai mici pătrate.

Estimarea parametrilor modelului liniar de

regresie

Utilizarea metodei celor mai mici pătrate porneşte de la relaţia:

yt = α + β · xt + ut

t = 1 ÷ n

t → numărul observaţiilor efectuate asupra

fenomenului considerat

t = 1 ÷ 15

Estimarea parametrilor modelului liniar de

regresiett xβα y

→ valorile teoretice ale variabilei y (consumul familiei) obţinute numai în funcţie de valorile factorului esenţial x (veniturile familiei) şi de valorile estimatorilor parametrilor α şi β, respectiv şiα

ty

β

tttt x)β (β )α (α yy u ut → estimaţiile valorilor variabilei reziduale

Estimarea parametrilor modelului liniar de

regresie

2n

1ttt

2n

1ttt )xβα(ymin)y(ymin)β,αF(

Metoda celor mai mici pătrate presupune minimizarea funcţiei:

Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din: tt yxβαn0αF

tt2

t xyxβxα0βFt

Astfel, în vederea determinării parametrilor modelului de regresie se va rezolva sistemul format din cele două ecuaţii prezentate anterior.

Estimarea parametrului β

2tt

ttt

t

xx

n

yxx

yn

βtx

Estimarea parametrului α

n:yxβαn tt

tt

tt

xβyα

n

y

n

xβα

Tabel utilitar 1t yt xt xtyt xt

2

1 3.080 4.620 14.229.600 21.344.4002 3.240 4.800 15.552.000 23.040.0003 3.400 5.140 17.476.000 26.419.6004 3.570 5.330 19.028.100 28.408.9005 3.710 5.490 20.367.900 30.140.1006 3.820 5.650 21.583.000 31.922.5007 3.970 5.860 23.264.200 34.339.6008 4.070 6.060 24.664.200 36.723.6009 4.130 6.140 25.358.200 37.699.60010 4.110 6.080 24.988.800 36.966.40011 4.220 6.250 26.375.000 39.062.50012 4.340 6.390 27.732.600 40.832.10013 4.490 6.610 29.678.900 43.692.10014 4.590 6.740 30.936.600 45.427.60015 4.710 6.930 32.640.300 48.024.900

Total 59.450 88.090 353.875.400 524.043.900

Estimarea parametrului β

0,706β

0100.810.4071.180.500

1007.759.848.-5007.860.658.5005.236.950.-0005.308.131.

β

0524.043.9088.09088.09015

0353.875.4088.09059.45015

xxxn

yxxyn

β

2tt

t

ttt

t

ˆ

706,0ˆ

ˆ

Estimarea parametrului α

tt xβyα

5.872,6715

88.090x

3.963,3315

59.450y

t

t

n

x

n

y

t

t

-183,26α

-183,265.872,670,706-3.963,33xβyα tt

ˆ

ˆˆ

Determinarea valorilor estimate ale variabilei

endogenetttt x706,026,183y xβα y

t yt xt

1 3.080 4.620 -183,26 0,706 3.261,72 3.078,462 3.240 4.800 -183,26 0,706 3.388,80 3.205,543 3.400 5.140 -183,26 0,706 3.628,84 3.445,584 3.570 5.330 -183,26 0,706 3.762,98 3.579,725 3.710 5.490 -183,26 0,706 3.875,94 3.692,686 3.820 5.650 -183,26 0,706 3.988,90 3.805,647 3.970 5.860 -183,26 0,706 4.137,16 3.953,908 4.070 6.060 -183,26 0,706 4.278,36 4.095,109 4.130 6.140 -183,26 0,706 4.334,84 4.151,5810 4.110 6.080 -183,26 0,706 4.292,48 4.109,2211 4.220 6.250 -183,26 0,706 4.412,50 4.229,2412 4.340 6.390 -183,26 0,706 4.511,34 4.328,0813 4.490 6.610 -183,26 0,706 4.666,66 4.483,4014 4.590 6.740 -183,26 0,706 4.758,44 4.575,1815 4.710 6.930 -183,26 0,706 4.892,58 4.709,32

Total 59.450 88.090 59.442,64

β txβ tyα

Determinarea valorilor variabilei reziduale

ttt yy u

t yt ut

1 3.080 3.078,46 1,542 3.240 3.205,54 34,463 3.400 3.445,58 -45,584 3.570 3.579,72 -9,725 3.710 3.692,68 17,326 3.820 3.805,64 14,367 3.970 3.953,90 16,108 4.070 4.095,10 -25,109 4.130 4.151,58 -21,5810 4.110 4.109,22 0,7811 4.220 4.229,24 -9,2412 4.340 4.328,08 11,9213 4.490 4.483,40 6,6014 4.590 4.575,18 14,8215 4.710 4.709,32 0,68

Total 59.450 59.442,64 7,36

ty

Determinarea valorii abaterii

medii pătratice a variabilei reziduale

20,97439,6ss

439,6215

71,714.5s

kn

u

kn

yys

2uu

2u

2t

2tt2

u

t yt ut ut2

1 3.080 3.078,46 1,54 2,372 3.240 3.205,54 34,46 1.187,493 3.400 3.445,58 -45,58 2.077,544 3.570 3.579,72 -9,72 94,485 3.710 3.692,68 17,32 299,986 3.820 3.805,64 14,36 206,217 3.970 3.953,90 16,10 259,218 4.070 4.095,10 -25,10 630,019 4.130 4.151,58 -21,58 465,7010 4.110 4.109,22 0,78 0,6111 4.220 4.229,24 -9,24 85,3812 4.340 4.328,08 11,92 142,0913 4.490 4.483,40 6,60 43,5614 4.590 4.575,18 14,82 219,6315 4.710 4.709,32 0,68 0,46

Total 59.450 59.442,64 7,36 5.714,71

ty

Determinarea valorii abaterii

medii pătratice a estimatorilor α şi β

2

t

22u

2α

xx

x

n

1ss

t xt

1 4.620 5.872,67 -1.252,67 1.569.173,782 4.800 5.872,67 -1.072,67 1.150.613,783 5.140 5.872,67 -732,67 536.800,444 5.330 5.872,67 -542,67 294.487,115 5.490 5.872,67 -382,67 146.433,786 5.650 5.872,67 -222,67 49.580,447 5.860 5.872,67 -12,67 160,448 6.060 5.872,67 187,33 35.093,789 6.140 5.872,67 267,33 71.467,1110 6.080 5.872,67 207,33 42.987,1111 6.250 5.872,67 377,33 142.380,4412 6.390 5.872,67 517,33 267.633,7813 6.610 5.872,67 737,33 543.660,4414 6.740 5.872,67 867,33 752.267,1115 6.930 5.872,67 1.057,33 1.117.953,78

Total 88.090 6.720.693,33

x xxt 2xxt

2

t

2u

2β xx

1ss

Determinarea valorii abaterii

medii pătratice a estimatorului α

47,82.285,18ss

2.285,18336.720.693,

,7834.488.213

15

1439,6s

,7834.488.213x5.872,67x

439,6s

xx

x

n

1ss

2αα

2α

2

2u

2t

22u

2α

0,008080,0000654ss

0,0000654336.720.693,

1439,6s

xx

1ss

2ββ

2β

2t

2u

2β

Determinarea valorii abaterii

medii pătratice a estimatorului β

Ecuaţia modelului econometric determinat

20,97s

(0,00808) (47,8)

x706,026,183y

u

tt

Ipotezele modelului liniar de regresie

I1 → seriile de date nu sunt afectate de erori de măsură;

I2 → variabila reziduală “u” are media zero;

I3 → dispersia variabilei reziduale este invariabilă în timp (proprietatea de homoscedasticitate);

I4 → reziduurile nu sunt autocorelate;

I5 → variabila explicativă nu este corelată cu variabila reziduală;

I6 → ut → N(0;σu2).