tese 1,4 mb

i

Regimes transitórios em linhas aéreas de transporte de energia com transposição cíclica

Luís Manuel Antunes Fiel

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Doutor Gil Domingos Marques

Orientador: Prof. Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves

Co-Orientador: Prof. Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Vogal: Prof. Doutor José António Marinho Brandão Faria

Setembro de 2008

iii

1 Agradecimentos

Ao Professor Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves pela sua preciosa orientação e

apoio científico, pela sua disponibilidade revelada ao longo do tempo, pelas críticas e sugestões feitas

durante a orientação, sem as quais não teria sido possível a concretização desta dissertação.

À Professora Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro, pela sua

disponibilidade.

Aos meus pais, pelo incentivo, o apoio e o amor constante que manifestaram durante a

realização deste trabalho.

Ao colega Jorge Filipe Guerreiro Casaca, pelo companheirismo. E verdadeira amizade

revelada ao longo da elaboração deste trabalho.

Aos meus amigos, pelo apoio e paciência demonstrados, em particular nos últimos meses

de conclusão deste trabalho, qualquer referência a algum em particular seria injusto para com os

restantes.

iv

À memória de Filipe José dos Reis Galvão

v

2 Resumo

Descreve-se neste trabalho um método de cálculo de regimes transitórios em redes de

energia eléctrica que incluam linhas aéreas polifásicas de transmissão de energia.

Utiliza-se para esse efeito o método da Transformada de Fourier, devido à rapidez de

cálculo que proporciona graças à utilização do algoritmo da FFT ( Fast Fourier Transform).

O grande objectivo deste trabalho é analisar as diferenças para três tipos de configuração

da linha, linha sem transposição, linha com transposição perfeita e linha com transposição cíclica.

O regime transitório é analisado com recurso à ferramenta da “The MathWorks, Inc”, o

MATLAB®, com fins de calcular e apresentar os regimes transitórios de uma linha aérea polifásica.

3 Palavras Chave

Electrotecnia Teórica. Linhas de Transmissão de Energia. Transitórios. Transposição cíclica.

Transformada de Fourier.

vi

4 Abstract

This work describes an analysis method suitable for the computation of transient waveforms in

networks with overhead multiphase power lines included.

For this model we have used Fourier Transform, due to the great speed of calculation with the

use of the FFT algorithm (Fast Fourier Transform).

The main concern of this work is to analyze the differences of three types of configuration of the

line: line with non-transposition, line with perfect transposition and line with cyclical transposition.

The transient regime is analyzed with resource of the “The MathWorks, Inc.”, the MATLAB®, with

the objective of calculating and representing the transient regimes of a multiphase airline.

5 Key Words

Theoretical Electrotechnic. Power lines. Transient Analysis. Cyclical transposition. Fourier

Transform.

vii

6 Índice

1 Agradecimentos .............................................................................................................................. iii

2 Resumo ............................................................................................................................................ v

3 Palavras Chave ................................................................................................................................ v

4 Abstract ........................................................................................................................................... vi

5 Key Words ....................................................................................................................................... vi

6 Índice .............................................................................................................................................. vii

7 Lista de Figuras ............................................................................................................................... ix

3. Método da transformada de Fourier ................................................................................................ ix

4. Análise transitória em linhas sem transposição .............................................................................. ix

5. Análise transitória em linhas com transposição perfeita ................................................................. ix

6. Análise transitória em linhas com transposição cíclica .................................................................... x

7. Resultados ....................................................................................................................................... x

8 Lista de Tabelas .............................................................................................................................. xi

9 Lista de Abreviações ...................................................................................................................... xii

1. Introdução ........................................................................................................................................ 1

2. Equações das linhas polifásicas ...................................................................................................... 4

2.1. Linhas de transmissão com condutores perfeitos sobre a terra condutora perfeita ............... 4

2.2. Coeficientes 𝑪𝒌𝒊 e 𝑳𝒌𝒊 da linha ............................................................................................... 7

2.3. Solução das equações da linha no domínio do tempo ......................................................... 10

2.4. Solução das equações da linha no domínio da frequência ................................................... 10

2.5. Consideração da imperfeição dos condutores aéreos e da terra ......................................... 11

2.5.1. Correcção devida aos condutores aéreos ..................................................................... 12

2.5.2. Correcção devida à terra imperfeita .............................................................................. 12

2.6. Redução dos Cabos de Guarda ............................................................................................ 13

2.7. Equações de propagação das grandezas modais no domínio da frequência ...................... 15

2.7.1. Constante de propagação, 𝜸 ......................................................................................... 18

2.7.2. Impedância característica de onda modal, 𝒁𝒘.............................................................. 19

3. Método da transformada de Fourier ............................................................................................... 20

3.1. A transformada de Fourier ..................................................................................................... 20

3.2. Linha trifásica com gerador trifásico na presença de carga .................................................. 22

3.3. Cálculo das Funções de Transferência ................................................................................. 23

3.4. Passagem ao domínio do tempo ........................................................................................... 26

4. Análise transitória em linhas sem transposição ............................................................................. 27

4.1. Análise da atenuação e da velocidade de fase, numa linha sem transposição .................... 28

4.2. Transitórios com impedância de carga ................................................................................. 29

4.3. Transitórios em vazio ............................................................................................................ 31

4.4. Transitórios em curto-circuito ................................................................................................ 32

viii

5. Análise transitória em linhas com transposição perfeita ........................................................ 34

5.1. Cálculo de 𝒁 e de 𝒀 com a transposição perfeita .................................................................. 34

5.2. Análise da atenuação e da velocidade de fase, numa linha com transposição perfeita....... 37

5.3. Transitórios numa linha com impedância de carga ............................................................... 38

5.4. Transitórios numa linha em vazio .......................................................................................... 40

5.5. Transitórios numa linha em curto-circuito ............................................................................. 42

5.6.1. Constante de propagação, 𝜸, numa linha transposta ................................................... 44

5.6.2. Impedância característica de onda, 𝒁𝒘, numa linha transposta ................................... 45

6. Análise transitória em linhas com transposição cíclica .......................................................... 46

6.1. Cálculo das Funções de Transferência ................................................................................. 47

6.2. Cálculo dos Parâmetros da Matriz de Transferência ............................................................ 50

6.3. Transposição Cíclica da Matriz de Transferência ................................................................. 53

6.4. Análise da atenuação e da velocidade de fase, numa linha com transposição cíclica......... 54

6.5. Transitórios numa linha com transposição cíclica ................................................................. 56

6.5.1. Transitórios numa linha com carga ............................................................................... 56

6.5.2. Transitórios numa linha em vazio .................................................................................. 58

6.5.3. Transitórios numa linha em curto-circuito ..................................................................... 61

7. Comparação das várias tipologias de transposição ................................................................ 64

7.1. Linha com carga resistiva ...................................................................................................... 64

7.1.1. Linha sem transposição ................................................................................................. 64

7.1.2. Linha com transposição perfeita .................................................................................... 65

7.1.3. Linha com transposição cíclica ...................................................................................... 65

7.2. Linha em vazio ...................................................................................................................... 66



7.3. Linha em curto-circuito .......................................................................................................... 67



7.3.3. Linha com transposição cíclica ...................................................................................... 68

7.4. Diferenças mais significativas ............................................................................................... 69

7.4.1. Linha em Vazio .............................................................................................................. 69

7.4.2. Linha em Curto-Circuito ................................................................................................. 70

8. Conclusões ................................................................................................................................... 71

9. Referências ................................................................................................................................... 72

ix

7 Lista de Figuras

2. Equações das linhas polifásicas Figura 2. 1 - Linha multifilar na presença da terra .................................................................................. 4

Figura 2. 2 - Superfície para determinação da variação da corrente e da tensão ao longo da linha ..... 5

Figura 2. 3 - Determinação dos coeficientes de potencial a) e dos coeficientes de indução b). ............ 7

Figura 2. 4 - Representação das linhas para auxílio ao método de Dubanton ..................................... 13

Figura 2. 5 - Gráfico da evolução da Constante de Atenuação com a frequência. .............................. 18

Figura 2. 6 - Gráfico da evolução da Constante de Fase com a frequência. ........................................ 18

Figura 2. 7 - Gráfico da evolução das Impedâncias características de onda modais com a frequência.

............................................................................................................................................................... 19

Figura 2. 8 - Gráfico da evolução das Impedâncias características de onda modais com a frequência.

............................................................................................................................................................... 19

3. Método da transformada de Fourier

Figura 3. 1 - Esquema equivalente da linha, com gerador trifásico e carga. ........................................ 22

Figura 3. 2 - Gráfico da tensão do gerador trifásico, nula para 𝒕 < 0. .................................................. 23

Figura 3. 3 - Transformada de Fourier das tensões do gerador 𝑽𝑮. .................................................... 26

4. Análise transitória em linhas sem transposição

Figura 4. 1 - Esquema auxiliar para a compreensão da metodologia adoptada. ................................. 27

Figura 4. 2 - Atenuação da linha sem transposição .............................................................................. 28

Figura 4. 3 - Velocidade de fase da linha sem transposição ................................................................ 29

Figura 4. 4 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição e com carga. .......................... 30

Figura 4. 5 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição e com carga. ........................ 30

Figura 4. 6 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição em vazio. ................................ 31

Figura 4. 7 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição em vazio. .............................. 32

Figura 4. 8 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição em curto-circuito..................... 33

Figura 4. 9 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição em curto-circuito................... 33

5. Análise transitória em linhas com transposição perfeita

Figura 5. 1 – Representação da linha trifásica, de comprimento 𝑳 transposta ciclicamente. ............... 34

Figura 5. 2 - Atenuação da linha com transposição perfeita. ................................................................ 37

Figura 5. 3 - Velocidade de fase da linha com transposição perfeita. .................................................. 38

Figura 5. 4 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita e com carga. ............. 39

Figura 5. 5 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita e com carga. ........... 40

Figura 5. 6 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita em vazio. ................... 41

Figura 5. 7 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita em vazio. ................. 41

Figura 5. 8 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita em curto-circuito. ...... 42

Figura 5. 9 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita em curto-circuito. .... 43

x

Figura 5. 10- Gráfico da evolução da Constante de Atenuação com a frequência para a linha

transposta. ............................................................................................................................................. 44

Figura 5. 11- Gráfico da evolução da Constante de Fase com a frequência para a linha transposta. . 44

Figura 5. 12 - Gráfico da evolução da Impedância característica de onda com a frequência para a

linha transposta. .................................................................................................................................... 45

Figura 5. 13- Gráfico da evolução da Impedância característica de onda com a frequência para a linha

transposta. ............................................................................................................................................. 45

6. Análise transitória em linhas com transposição cíclica

Figura 6. 1 - Esquema equivalente da linha, com gerador trifásico e impedância de carga. ............... 46

Figura 6. 2 - Atenuação da linha com transposição cíclica. .................................................................. 54

Figura 6. 3 - Velocidade de fase da linha com transposição cíclica. .................................................... 55

Figura 6. 4 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica com carga. ....................... 56

Figura 6. 5 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica com carga. ..................... 57

Figura 6. 6 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica com carga. .................. 57

Figura 6. 7 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica com carga. ................ 58

Figura 6. 8 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em vazio. ......................... 59

Figura 6. 9 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em vazio. ....................... 59

Figura 6. 10 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em vazio. ................... 60

Figura 6. 11 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em vazio. ................. 60

Figura 6. 12 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em curto-circuito. ........... 61

Figura 6. 13 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em curto-circuito. ......... 62

Figura 6. 14 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em curto-circuito. ...... 62

Figura 6. 15 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em curto-circuito. .... 63

7. Resultados

Figura 7. 1 - Tensão perto da carga, linha sem transposição. .............................................................. 64

Figura 7. 2 - Tensão perto da carga, linha com transposição perfeita. ................................................. 65

Figura 7. 3 - Tensão perto da carga, linha com transposição cíclica. ................................................... 65

Figura 7. 4 - Tensão perto da carga, linha em vazio e sem transposição. ........................................... 66

Figura 7. 5 - Tensão perto da carga, linha em vazio e com transposição perfeita. .............................. 66

Figura 7. 6- Tensão perto da carga, linha em vazio e com transposição cíclica. ................................. 67

Figura 7. 7 - Corrente perto da carga, linha em curto-circuito e sem transposição. ............................. 67

Figura 7. 8 - Corrente perto da carga, linha em curto-circuito e com transposição perfeita. ................ 68

Figura 7. 9 - Corrente perto da carga, linha em curto-circuito e com transposição cíclica. .................. 68

Figura 7. 10 - Tensão perto da carga, linha em vazio para as três situações de transposição. ........... 69

Figura 7. 11– Corrente perto da carga, linha em curto-circuito para as três situações de transposição.

............................................................................................................................................................... 70

xi

8 Lista de Tabelas

Tabela 4. 1 - Configuração da linha trifásica ensaiada. ........................................................................ 27

xii

9 Lista de Abreviações

SLIT – Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

FFT – Transformada Rápida de Fourier

IFFT – Transformada Rápida de Fourier Inversa

1

1. Introdução

Neste trabalho pretende-se comparar os regimes transitórios em redes que incluam linhas

aéreas de transmissão de energia, nomeadamente em linhas sem transposição, linhas com

transposição, utilizando a aproximação da transposição perfeita ou o cálculo mais rigoroso.

Em primeiro lugar, é conveniente calcular os parâmetros característicos da linha, tais como a

Impedância Longitudinal e a Admitância Transversal, tendo para isso em consideração os efeitos

peliculares na terra, condutora imperfeita, e nos condutores aéreos. Para a correcção dos efeitos

peliculares na terra condutora imperfeita vai-se recorrer ao método de Dubanton, que é uma

aproximação bastante razoável da realidade e que para as frequências que iremos ensaiar nos serve

perfeitamente. Para a correcção dos efeitos peliculares nos condutores aéreos, apesar de haver

modelos aproximados mais simples embora menos exactos, iremos recorrer às funções de Bessel,

devido à sua maior exactidão.

Uma vez tendo os parâmetros característicos da linha, passaremos à análise transitória para

as diversas situações de transposição e de carga da linha, nomeadamente iremos proceder a ensaios

em carga, vazio e curto-circuito, mas mantendo-nos sempre fiéis a uma única configuração de linha e

de meio envolvente, para que possamos fazer uma comparação rigorosa e exacta.

Para tal foi utilizado o método da transformada de Fourier que permite tratar as soluções no

domínio da frequência. A vantagem da utilização deste método reside na rapidez de cálculo que

proporciona. Com recurso à transformada inversa de Fourier, passa-se essas soluções para o

domínio do tempo.

A análise no domínio do tempo corresponde à resolução dum sistema de equações

diferenciais, as quais podem não ser lineares. Os métodos de análise no domínio da frequência

utilizam por sua vez as transformadas integrais, o que os restringe assim a sistemas estritamente

lineares e invariantes no tempo (SLIT).

Para a concretização dos ensaios acima referidos, ir-se-á elaborar um programa informático

com o recurso à ferramenta da “The MathWorks, Inc”, o MATLAB®, com fins de calcular os regimes

transitórios de uma linha aérea determinada pelo utilizador, tendo este o grau de liberdade para

escolher a sua geometria, as suas características, o tipo de carga, assim como o método de cálculo

da transposição que se pretende ensaiar.

Como o objectivo central deste trabalho é comparar os dois métodos de cálculo da

transposição para uma linha idêntica, ir-se-á proceder ao cálculo para cada um dos métodos,

transposição perfeita e transposição cíclica, das respectivas funções de transferência que relacionam

a tensão aplicada com as restantes grandezas eléctricas, tensões e correntes, sendo o caso da

transposição perfeita, completamente trivial, pois em tudo é igual à linha não transposta, com a

diferença que neste caso as matrizes das Impedâncias longitudinais e as Admitâncias transversais

são a média aritmética de cada um dos três troços da linha transposta.

2

No capítulo 2 são estabelecidas as equações de propagação das linhas polifásicas. De início

é apresentada a solução para linhas constituídas por condutores perfeitos, sobre a terra também

condutora perfeita. De seguida são apresentadas as expressões para o cálculo dos parâmetros que

caracterizam a linha. É apresentada a solução para as grandezas eléctricas, tensão e corrente, num

determinado ponto longitudinal da linha, tanto no domínio do tempo como no domínio da frequência.

Embora se trate de um caso ideal, vamos tratar o problema da linha com pequenas perdas

como uma perturbação em relação à linha sem perdas, o que nos permite, uma vez calculados os

parâmetros característicos da linha, somar essas perdas originadas pelo efeito pelicular, tanto nos

condutores como na terra à linha sem perdas.

Efectuaremos também a redução dos cabos de guarda, somando as suas contribuições aos

condutores na matriz de Impedâncias Longitudinais, e desprezamos as contribuições das guardas na

matriz de Admitâncias Transversais, uma vez que consideramos os condutores de guarda ligados à

terra, e não estamos interessados nas correntes que os percorrem.

Seguidamente, apresentamos a solução do problema da propagação numa linha com perdas

no domínio da frequência, as soluções são apresentadas para as grandezas físicas, tensões e

correntes, assim como para as grandezas modais.

No capítulo 3 é exposto o método do cálculo de regimes transitórios que utiliza a

transformada de Fourier, e que é apenas válido para redes lineares e invariantes no tempo. Esse

método consiste na introdução de funções de transferência que relacionam as transformadas de

Fourier das tensões do gerador à entrada da linha com a grandeza a determinar, tensão ou corrente,

num dado ponto da linha.

Uma vez obtidas as funções de transferência no domínio da frequência passamo-las para o

domínio do tempo com recurso a transformada inversa de Fourier, para assim podermos analisar o

regime transitório pretendido.

No capítulo 4 são analisados os regimes transitórios para uma linha sem transposição cíclica,

uma vez tendo as funções de transferência devidamente calculadas no capítulo anterior, começa-se

por definir uma linha trifásica de 400𝑘𝑉, de circuito simples com dois condutores por fase e com duas

guardas, frequentemente usada no nosso país. Como não nos interessa tratar os dois condutores do

feixe independentemente faremos a média da posição que eles apresentam na disposição da torre de

suporte, embora o programa desenvolvido contemple a situações de uma linha com n condutores.

A linha descrita neste capítulo irá servir como modelo para todos os ensaios realizados neste

trabalho. Apresentam-se os resultados para a situação de carga, assim como as duas

particularizações para o caso da terminação em vazio assim como para a terminação em curto-

circuito.

Procede-se ainda ao cálculo e representação do coeficiente de atenuação e da velocidade de

fase para a linha sem transposição.

No capítulo 5 começa-se por descrever a transposição numa linha trifásica, assim como o

propósito do seu uso nas redes de transporte de energia. De seguida vamos particularizar para o

caso da transposição perfeita cujo método é em tudo igual à linha não transposta, com a diferença

das matrizes das Impedâncias Longitudinais e das Admitâncias Transversais, que neste caso

3

contemplam a transposição das fases. Apresentaremos os resultados para os três casos diferentes

de terminação da linha, carga, vazio e curto-circuito, mantendo as escalas das figuras idênticas às

adoptadas no capítulo anterior de forma a serem facilmente comparáveis as eventuais diferenças.

Procede-se depois ao cálculo e representação da atenuação e da velocidade de fase para a

linha utilizando a aproximação da transposição perfeita, de modo a entender as diferenças entre os

modos de propagação.

No capítulo 6, iremos tratar da transposição cíclica, para isso iremos calcular as novas

funções de transferência, que neste caso, relacionam as transformadas de Fourier das tensões do

gerador à entrada da linha com as grandezas eléctricas a calcular, tensões e correntes, tanto no lado

do gerador como no lado da carga.

Procede-se então ao cálculo da matriz de transferência da linha, para relacionar essas

grandezas, que contempla a transposição cíclica.

Representam-se a atenuação e a velocidade de fase para a linha com transposição cíclica e

apresentam-se os resultados da análise transitória para as diversas situações de carga. As situações

particulares de terminação da linha, em vazio e em curto-circuito, são feitas considerando a

Impedância de carga da linha de 1𝑀𝛺 e 0𝛺, respectivamente.

De modo à análise transitória ser comparada com as análises dos capítulos anteriores, usou-

se a mesma linha e manteve-se as escalas das figuras o mais uniforme possível.

No capítulo 7, iremos apresentar os resultados das análises anteriores, para isso iremos

comparar o andamento de apenas meio comprimento de onda de cada um dos três tipos de carga,

isto para a linha sem transposição, linha com transposição perfeita e para a linha com transposição

cíclica, de modo a tornar perceptíveis eventuais diferenças entre as três tipologias de transposição.

4

2. Equações das linhas polifásicas

2.1. Linhas de transmissão com condutores perfeitos sobre a

terra condutora perfeita

Considerando um sistema com 𝑛 condutores perfeitos sobre a terra condutora perfeita e

plana, como representado na Figura 2.1.

Designemos o condutor 𝑘 com raio 𝑟𝑘 , abcissa 𝑥𝑘 e ordenada 𝑦𝑘 ao longo da coordenada

longitudinal 𝑧, de acordo com a Figura 2.1, tomando a terra como referência, potencial zero, e

considerando dois condutores, 𝑘 e 𝑖, designamos a distância entre eles por 𝑑𝑖𝑘 e por 𝐷𝑖𝑘 a distância

entre o condutor 𝑘 e a imagem do condutor 𝑖 ou vice-versa.

Figura 2.1 Linha multifilar na presença da terra

Vamos considerar o troço longitudinal com coordenadas de 𝑧 a 𝑧 + ∆𝑧 do condutor 𝑘 envolto

na superfície fechada S representada na Figura 2.2 e que contêm o volume 𝑉, atendendo às

Equações de Maxwell[CHEN72]:

𝑟𝑜𝑡 𝑯 = 𝑱 + 𝜕𝑫

𝜕𝑡 (2.1)

𝑑𝑖𝑣 𝑫 = 𝜌 (2.2)

e à equação (2.3)

𝑑𝑖𝑣 𝑱 +𝜕𝑫

𝜕𝑡 = 𝟎 (2.3)

𝒙 𝒛

… 𝑥𝑛 𝑥2 𝑥1

2𝑟𝑛

2𝑟2

2𝑟1

𝑦𝑛

𝑦2 𝑦1

𝒚

Figura 2.1 Linha multifilar na presença da terra

Figura 2. 1 - Linha multifilar na presença da terra

5

Aplicando o Teorema de Gauss:

𝑱.𝒏 𝑑𝑆 = − 𝜕𝝆

𝜕𝑡 𝑑𝑉

𝑉

𝑆 (2.4)

em que:

𝒏 – é a normal exterior à superfície S

𝑱 - é a densidade de corrente eléctrica

𝜌 - é a densidade volumétrica de carga eléctrica

𝑫 - é o campo de deslocamento eléctrico

𝑯 - é a intensidade de campo magnético

Pela análise da Figura 2.2, considerando o dieléctrico perfeito, a contribuição para o integral

da superfície 𝑆 da corrente de condução transversal é nula. Existe contribuição da corrente de

deslocamento transversal e da corrente de condução longitudinal que em 𝑧 e 𝑧 + ∆𝑧 vale –𝑖𝑘(𝑧) e

𝑖𝑘(𝑧 + ∆𝑧), respectivamente.

Considerando o meio linear, e sendo 𝑞𝑘 𝑧 a carga por unidade de comprimento do condutor

𝑘 função de 𝑧, então 𝑞𝑘 𝑧 é a combinação linear da contribuição dos 𝑛 condutores na coordenada 𝑧:

𝑞𝑘 𝑧 = 𝐶𝑘𝑖𝑛𝑖=1 𝑣𝑖(𝑧) (2.5)

𝑧 + ∆𝑧

𝒗𝒌(𝑧 + ∆𝑧)

𝑖𝑘(𝑧 + ∆𝑧) 𝑺 𝑖𝑘(𝑧)

𝒗𝒌(𝑧)

𝑧

s 𝑛𝑆

𝒛

𝑛

Figura 2. 2 - Superfície para determinação da variação da corrente e da tensão ao longo da linha

6

Para a superfície 𝑆 do condutor exprime-se a condição [NEVES90]:

𝒊𝑘(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑖𝑘(𝑧) = −𝜕𝑞𝑘 (𝑧)

𝜕𝑡∆𝑧 (2.6)

Sendo as duas primeiras parcelas a corrente de condução e a ultima parcela a corrente de

deslocamento através da superfície 𝑆. Dividindo por ∆𝑧 e admitindo que ∆𝑧 → 0 para que se possa

considerar que 𝝆 é constante, obtemos a expressão que exprime a não consistência da corrente 𝒊 ao

longo da linha:

𝒊𝑘(𝑧+∆𝑧)−𝑖𝑘 (𝑧)

∆𝑧= − 𝐶𝑖𝑘

𝑛𝑖=1

𝜕𝒗𝑖(𝑧)

𝜕𝑡 (2.7)

Para os n condutores:

𝜕𝒊

𝜕𝑧= −𝑪

𝜕𝒗

𝜕𝑡 (2.8)

Vamos agora considerar a lei geral de indução aplicada ao caminho 𝑆 representada na

Figura 2.2:

𝑬

𝑠.𝑑𝒔 = −

𝜕

𝜕𝑡 𝑩

𝑆.𝒏𝑺 𝑑𝑠 (2.9)

em que 𝑆 é a superfície delimitada pelo caminho 𝑆 e 𝒏𝑺 é a normal em cada ponto desse mesma

superfície, com o sentido da regra de Stokes:

𝑣𝑘 𝑧 + ∆𝑧 − 𝑣𝑘 𝑧 = −𝜕𝜑𝑠

𝜕𝑡 (2.10)

Considerando igualmente o meio linear, e sendo 𝜑𝑠 é a combinação linear da contribuição dos

𝑛 condutores na coordenada 𝑧:

𝜑𝑠 𝑧 = ∆𝑧 𝐿𝑘𝑖𝑛𝑖=1 𝑖𝑖 (2.11)

Analogamente à situação anterior, obtemos:

𝑣𝑘 (𝑧+∆𝑧)−𝑣𝑘(𝑧)

∆𝑧= − 𝐿𝑘𝑖

𝑛𝑖=1

𝜕𝑖𝑖(𝑧)

𝜕𝑡 (2.12)

7

Para os 𝑛 condutores:

𝜕𝒗

𝜕𝑧= −𝑳

𝜕𝒊

𝜕𝑡 (2.13)

ficamos finalmente com:

𝜕𝒊

𝜕𝑧= −𝑪

𝜕𝒗

𝜕𝑡𝜕𝒗

𝜕𝑧= −𝑳

𝜕𝒊

𝜕𝑡

(2.14)

2.2. Coeficientes 𝑪𝒌𝒊 e 𝑳𝒌𝒊 da linha

Considerando a matriz 𝑺, a matriz dos coeficientes de potencial, cuja inversa, é a matriz dos

coeficientes de capacidade, matriz 𝑪;

Considerando também o condutor 𝑖 com carga 𝑞𝑖 por unidade de comprimento, tal como

representado na Figura 2.3, o campo eléctrico 𝑬, proveniente da carga 𝑞𝑖 e respectiva imagem na

terra, é dado por:

𝑬𝑖 𝑥, 𝑦 =𝑞𝑖

2𝜋𝜀𝑑𝑖𝒆𝒅𝒊 −

𝑞𝑖2𝜋𝜀𝐷𝑖

𝒆𝑫𝒊 (2.15)

(𝑥, 𝑦)

S2

S2

S1 S1

𝑒∅𝑑𝑖

𝑒∅𝐷𝑖

(𝑥, 𝑦)

xk xi

di

ii

qk

dik

Dik

-qi

hk

hi

qi

hi

𝒙

qk

Di

ii

hk

hi

hi

a) b)

𝑒𝑑𝑖

𝑒𝐷𝑖

Figura 2. 3 - Determinação dos coeficientes de potencial a) e dos coeficientes de indução b).

8

A distância entre o ponto 𝑥, 𝑦 e o condutor 𝑖, foi designada por 𝑑𝑖 , sendo 𝐷𝑖 a distância do

mesmo ponto à imagem do condutor 𝑖.

No plano que contem o condutor 𝑖, pudemos calcular o potencial condutor 𝑖, 𝑣𝑖 :

𝑣𝑖 = 𝑞𝑖

2𝜋𝜀𝑑𝑖𝑑𝑑𝑖 +

𝑕𝑖

𝑟𝑖

𝑞𝑖

2𝜋𝜀𝐷𝑖𝑑𝐷𝑖 (2.16)

2𝑕𝑖

𝑕𝑖

Esta integração é feita ao longo do caminho designado por 𝑆1 na Figura 2.3 a).

Resolvendo o integral:

𝑣𝑖 =𝑞𝑖

2𝜋𝜀𝑙𝑛𝑕𝑖𝑟𝑖

+𝑞𝑖

2𝜋𝜀𝑙𝑛

2𝑕𝑖𝑕𝑖

=𝑞𝑖

2𝜋𝜀𝑙𝑛

2𝑕𝑖𝑟𝑖

(2.17)

Obtemos assim os elementos da diagonal principal da matriz 𝑺:

𝑆𝑖𝑖 =1

2𝜋𝜀𝑙𝑛

2𝑕𝑖𝑟𝑖

(2.18)

Para o condutor 𝑘, temos 𝑣𝑘 :

𝑣𝑘 = 𝑞𝑖

2𝜋𝜀

𝑕𝑘

0

. 𝑕𝑖 − 𝑦 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 2−1

.𝑕𝑖 − 𝑦

𝑕𝑖 − 𝑦 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 2𝑑𝑦

+ 𝑞𝑖

2𝜋𝜀

𝑕𝑘

0

. 𝑕𝑖 + 𝑦 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 2−1

.𝑕𝑖 + 𝑦

𝑕𝑖 + 𝑦 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 2𝑑𝑦 2.19

Sendo que a integração é feita ao longo do caminho designado por 𝑆2 na Figura 2.3 a).

Resolvendo o integral:

𝑣𝑘 =𝑞𝑖

2𝜋𝜀𝑙𝑛

𝑕𝑖 + 𝑕𝑘 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘

2

𝑕𝑖 − 𝑕𝑘 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘

2

12

(2.20)

Os elementos não-diagonais da matriz 𝑆, ficam assim:

𝑆𝑘𝑖 |𝑘≠𝑖 =1

2𝜋𝜀𝑙𝑛

𝑕𝑖 + 𝑕𝑘 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘

2

𝑕𝑖 − 𝑕𝑘 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘

2 =

1

2𝜋𝜀𝑙𝑛

𝐷𝑘𝑖𝑑𝑘𝑖

(2.21)

Sendo a matriz 𝑪 a inversa da matriz 𝑺.

9

Vamos agora determinar a matriz das indutâncias 𝑳, através da análise o campo magnético

𝑯, e considerando que o condutor 𝑖 é percorrido pela corrente 𝑖𝑖 e a sua imagem pela corrente −𝑖𝑖 .

Para um ponto genérico (𝑥, 𝑦) o campo magnético 𝑯, tem-se:

𝑯𝑖 𝑥, 𝑦 =1

2𝜋𝑑𝑖𝑖𝒆∅𝒅𝒊 −

1

2𝜋𝐷𝑖𝑖𝒆∅𝑫𝒊 (2.22)

No plano que contêm o condutor 𝑖, 𝑒∅𝑑𝑖 = −𝑒∅𝐷𝑖 = −𝑒𝑥 . O fluxo de 𝑩 através da superfície 𝑆1

na representada na Figura 2.3 b), em relação ao condutor 𝑖, é dada por:

𝜓𝒊𝒊 = ∆𝑧𝜇0 𝑖

2𝜋𝑑𝑖 𝑑𝑑𝑖 +

𝑕𝑖

𝑟𝑖

𝑖

2𝜋𝐷𝑖 𝑑𝐷𝑖

2𝑕𝑖

𝑕𝑖

(2.23)

Dividindo (2.24) por ∆𝑧 obtemos o coeficiente de auto-indução por unidade de comprimento,

de onde resulta os elementos da diagonal principal da matriz 𝑳:

𝐿𝑖𝑖 =𝜇0

2𝜋𝑙𝑛

2𝑕𝑖𝑟𝑖

(2.24)

Procedendo de forma análoga para o condutor 𝑘 e considerando agora a superfície 𝑆2 na

Figura 2.3 b), ficamos com:

𝜓𝒌𝒊 = ∆𝑧𝜇0 𝑖 𝑕𝑖 − 𝑦

2𝜋 𝑕𝑖 − 𝑦 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 2

+𝑖 𝑕𝑖 + 𝑦

2𝜋 𝑕𝑖 + 𝑦 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 2 𝑑𝑦

𝑕𝑘

0

(2.25)

ficamos assim com os elementos não-diagonais da matriz 𝑳:

𝐿𝑘𝑖 |𝑘≠𝑖 =𝜇0

2𝜋𝑙𝑛

𝑕𝑖 + 𝑕𝑘 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘

2

𝑕𝑖 − 𝑕𝑘 2 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑘

2 =

𝜇0

2𝜋𝑙𝑛

𝐷𝑘𝑖𝑑𝑘𝑖

(2.26)

Note-se que fazendo o cálculo atrás descrito se verifica que os coeficientes 𝑆𝑖𝑘 e 𝐿𝑘𝑖são obtidos

por integração de expressões semelhantes, à parte uma constante multiplicativa. As matrizes 𝐿 e 𝑆

são asssim proporcionais, vindo portanto 𝑪 = 𝑺−𝟏 proporcional à matriz inversa de 𝐿. O produto 𝐿 𝐶 é

assim uma matriz diagonal.

10

2.3. Solução das equações da linha no domínio do tempo

Dispomos então das equações (2.14), em que 𝒗 representa o vector das tensões entre cada

condutor aéreo e a terra, de dimensão 𝑛, e 𝒊 o vector das correntes representando os 𝑛 condutores

aéreos. 𝑳 e 𝑪 são matrizes 𝑛 𝑥 𝑛, dependentes apenas dos parâmetros geométricos:

𝑪 = 𝑺−𝟏 (2.27)

𝑳 =1

𝑣2𝑺 (2.28)

com 𝑣2 =1

𝜇0𝜀.

A solução de (2.14) escreve-se, assim, da seguinte forma:

𝒗 𝑧, 𝑡 = 𝒗𝒊 𝑡 −

𝑧

𝑣 + 𝒗𝒓(𝑡 +

𝑧

𝑣)

𝒊 𝑧, 𝑡 = 𝑮 𝒗𝒊 𝑡 −𝑧

𝑣 − 𝒗𝒓(𝑡 +

𝑧

𝑣)

(2.29)

com 𝑮 = 𝑣𝑪.

As funções 𝑣𝑖 e 𝑣𝑟 representam, respectivamente, uma onda incidente e uma onda reflectida.

2.4. Solução das equações da linha no domínio da frequência

Para a solução das equações da linha no domínio da frequência, vamos considerar em (2.14),

𝒗 = 𝑅𝑒 𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡 e 𝒊 = 𝑅𝑒 𝑰𝑒𝑗𝜔𝑡 .

Assim:

𝑑𝑰

𝑑𝑧= −𝒀𝑽

𝑑𝑽

𝑑𝑧= −𝒁𝑰

(2.30)

com:

𝒀 = 𝑗𝜔𝑪 (2.31)

𝒁 = 𝑗𝜔𝑳 (2.32)

11

A partir de (2.30), obtemos:

𝑑2𝑰

𝑑𝑧2= 𝛾2𝑰

𝑑2𝑽

𝑑𝑧2= 𝛾2𝑽

(2.33)

sabendo que:

𝛾2 = −𝜔2𝑳𝑪 = −𝜔2

𝑣2 𝐸 (2.34)

𝛾2 é portanto uma matriz diagonal, com os elementos da diagonal iguais a -𝜔2

𝑣2 .

Obtém-se assim facilmente:

𝑽 = 𝑽𝟏𝑒

−𝑗𝜔𝑣𝑧 + 𝑽𝟐𝑒

+𝑗𝜔𝑣𝑧

𝑰 = 𝑰𝟏𝑒−𝑗

𝜔𝑣𝑧 + 𝑰𝟐𝑒

+𝑗𝜔𝑣𝑧

(2.35)

Derivando as expressões (2.35) em ordem a 𝑧 e substituindo em (2.30), obtemos:

𝑰𝟏 = 𝑣𝑪 𝑽𝟏𝑰𝟐 = −𝑣𝑪𝑽𝟐

(2.36)

2.5. Consideração da imperfeição dos condutores aéreos e da

terra

Vamos considerar a imperfeição dos condutores aéreos e da terra, com vista a aproximarmo-

nos dum modelo que melhor espelhe a realidade, para isso vamos considerar as expressões em

(2.30), e mantendo 𝒀, vamos substituir 𝒁, por [NEVES90]:

𝒁 = 𝑗𝑤𝑳 + 𝒁𝒑(𝑤) + 𝒁𝒆(𝑤) (2.37)

em que:

𝒁𝒑(𝑤) – representa a correcção devida aos condutores aéreos

𝒁𝒆(𝑤) – representa a correcção devida à terra imperfeita

12

2.5.1. Correcção devida aos condutores aéreos

Considerando os 𝑛 condutores como sendo cilindros circulares homogéneos, para esse caso

a correcção devida aos condutores aéreos vem dada por [BRAND06]:

𝒁𝒑 𝑤 = 𝑅𝑐𝑐𝑝 .𝑟𝑛 .𝐽0 𝑝 .𝑟𝑛

2.𝐽1 𝑝 .𝑟𝑛 (2.38)

sendo p dado por:

𝑝 = −𝑗𝜔𝜇𝜍 (2.39)

em que:

𝐽0 – função de Bessel de 1ª espécie de ordem 0

𝐽1 – função de Bessel de 1ª espécie de ordem 1

𝑅𝑐𝑐 - resistência do condutor 𝑛 em corrente continua

𝑟𝑛 – raio do condutor 𝑛

𝜍 − condutividade do condutor 𝑛

2.5.2. Correcção devida à terra imperfeita

Para as correcções devida à terra imperfeita vamos recorrer ao método de Dubanton

[DUBAN69], pois permite calcular as impedâncias longitudinais próprias e mútuas dos condutores, já

com a correcção devida à penetração dos campos na terra.

Vamos considerar um sistema de dois condutores a uma distância 𝑕1 e 𝑕2 da terra,

respectivamente, distando as suas imagens à superfície da terra, 𝑕1 e 𝑕2

, respectivamente, de

seguida calculam-se as impedâncias longitudinais mútuas, dadas por:

𝑧12 = 𝑧21 = 𝑗𝜔𝜇0

2𝜋ln(

𝐷′12

𝑑12) (2.40)

em que:

𝑑12 = (𝑕1 − 𝑕2)2 + (𝑥1 − 𝑥2)2 (2.41)

𝐷′12 = (𝑕1 + 𝑕2 + 2𝑑)2 + (𝑥1 − 𝑥2)2 (2.42)

Vindo agora 𝑑 =1

𝑗𝜔𝜇𝜍.

13

Sendo as impedâncias próprias dadas por:

𝑧11 = 𝑗𝜔𝜇0

2𝜋𝑙𝑛

2(𝑕1+𝑑)

𝑟 (2.43)

𝑧22 = 𝑗𝜔𝜇0

2𝜋𝑙𝑛

2(𝑕2+𝑑)

𝑟 (2.44)

A generalização para 𝑛 condutores é imediata.

2.6. Redução dos Cabos de Guarda

Normalmente os cabos de guarda são contínuos e estão ligados à terra em cada torre de

suporte, o que nos permite reduzir as matrizes das impedâncias longitudinais, matriz 𝒁 e a matriz das

admitâncias transversais, matriz 𝒀.

𝑥2 𝑥1

𝑕1

𝐷′12

𝑑12

−𝑕1

𝑕1

−𝑞1

𝑞1

𝑞2

−𝑕2

−𝑞2

𝑕2

𝑑

𝑕2

x

Figura 2. 4 - Representação das linhas para auxílio ao método de Dubanton

14

Vamos considerar o índice 𝑓, de fases e o índice 𝑔, de guardas, assim temos:

𝑑𝑽𝑓

𝑑𝑧

𝑑𝑽𝑔

𝑑𝑧 = −

𝒁′𝑓𝑓 𝒁′𝑓𝑔

𝒁′𝑔𝑓 𝒁′𝑔𝑔 𝑰𝑓

𝑰𝑔 (2.45)

Admitindo que 𝑽𝑔 = 0 e que 𝑑𝑽𝑔

𝑑𝑧 = 0, podemos rescrever (2.45):

𝑑𝑽𝑓

𝑑𝑧 = − 𝒁′𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑰𝑓 (2.46)

onde [EMTP87]:

𝒁′𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 = 𝒁′𝑓𝑓 − 𝒁′𝑓𝑔 𝒁′𝑔𝑔 −1 𝒁′𝑔𝑓 (2.47)

No caso da matriz das admitâncias transversais, matriz 𝒀, o processo é mais simples,

atendendo a:

𝑑𝑰𝑓

𝑑𝑧

𝑑𝑰𝑔

𝑑𝑧 = −

𝒀′𝑓𝑓 𝒀′𝑓𝑔

𝒀′𝑔𝑓 𝒀′𝑔𝑔 𝑽𝑓

𝑽𝑔 (2.48)

basta considerar [EMTP87]:

𝒀′𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 = 𝒀′𝑓𝑓 (2.49)

ficamos assim, com:

𝑑𝑰𝑓

𝑑𝑧 = − 𝒀′𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑽𝑓 (2.50)

15

2.7. Equações de propagação das grandezas modais no

domínio da frequência

Para a análise modal, atendendo que a matriz 𝒁 é simétrica, embora não seja proporcional à

matriz inversa de 𝒀.

Do sistema de (2.33), ficamos com:

𝑑2𝑰

𝑑𝑧2 = +𝒀𝒁𝑰

𝑑2𝑽

𝑑𝑧2 = +𝒁𝒀𝑽

(2.51)

Sendo 𝒁 e 𝒀 matrizes simétricas, vamos considerar que o produto (𝒁𝒀) e o produto (𝒀𝒁), do

sistema de equações (2.51) são diagonalizáveis pelas matrizes de transformação 𝑻 e 𝑾,

respectivamente. De notar que o facto de 𝑍 e 𝑌 serem simétricas garante de imediato que os valores

próprios dos dois produtos são iguais.

Seja 𝜸2 a matriz dos valores próprios de (𝒁𝒀) que pode ser representada por:

𝜸2 = 𝑻−𝟏 𝒁𝒀 𝑻 = 𝑾−𝟏(𝒀𝒁)𝑾 (2.52)

Considerando 𝒀 e 𝒁 duas matrizes diagonais, então podemos escrever a equação (2.52)

como:

𝜸2 = 𝒀 𝒁 = 𝒁 𝒀 (2.53)

o que resulta no sistema:

𝒁 = 𝑻−𝟏 𝒁 𝑾

𝒀 = 𝑾−𝟏 𝒀 𝑻 (2.54)

Devido à relação expressa na equação (2.53), uma das matrizes 𝒀 e 𝒁 , pode ser arbitrária,

pois a matriz 𝑾 pode ser calculada a partir de (2.54).

16

Para 𝒁 arbitrário temos:

𝑾 = 𝒁−𝟏 𝑻 𝒁 (2.55)

Para 𝒀 arbitrário temos:

𝑾 = 𝒀 𝑻 𝒀 −1 (2.56)

o sistema (2.51) pode ser escrito por:

𝑾−1 𝑑2𝑰

𝑑𝑧2 = 𝑾−1 𝒀 𝒁 𝑾 𝑾−1 𝑰

𝑻−1 𝑑2𝑽

𝑑𝑧2 = 𝑻−1 𝒁 𝒀 𝑻 𝑻−1 𝑽

(2.57)

Designando 𝑰 = 𝑾−1 𝑰 e 𝑽 = 𝑻−1 𝑽 e atendendo a (2.53) escrevemos:

𝑑2𝑰

𝑑𝑧2 = 𝜸2𝑰

𝑑2𝑽

𝑑𝑧2 = 𝜸2𝑽

(2.58)

A solução do sistema (2.58) pode ser descrita sob forma matricial:

𝑰 = 𝑒𝑥𝑝(−𝜸𝒛)𝑰 1 + 𝑒𝑥𝑝(𝜸𝒛)𝑰 2

𝑽 = 𝑒𝑥𝑝(−𝜸𝒛)𝑽 1 + 𝑒𝑥𝑝(𝜸𝒛)𝑽 2 (2.59)

em que 𝑰 1 , 𝑰 2 ,𝑽 1 ,𝑽 2, são vectores coluna não independentes a determinar pelas condições de

fronteira.

Substituindo 𝑰 e 𝑽 no sistema (2.30) e atendendo a (2.54) fica:

𝑑𝑰

𝑑𝑧= −𝑾−1 𝒀 𝑻 𝑽

𝑑𝑽

𝑑𝑧= −𝑻−1 𝒁 𝑾 𝑰

(2.60)

17

o que atendendo a (2.60) e (2.54) pode ser escrito por:

𝑑𝑰

𝑑𝑧= −𝒀 𝑽

𝑑𝑽

𝑑𝑧= −𝒁 𝑰

(2.61)

Substituindo (2.59) em (2.61) podemos escrever:

𝛾𝑒𝑥𝑝(−𝛾𝑧) 𝑰 1 − 𝛾𝑒𝑥𝑝(𝛾𝑧) 𝑰 2 = 𝒀 𝑒𝑥𝑝(−𝛾𝑧) 𝑽 1 + 𝒀 𝑒𝑥𝑝(𝛾𝑧) 𝑽 2 (2.62)

Vamos agora desenvolver a equação (2.62) aplicando a transformação inversa de modo a

ficarmos com todas as grandezas modais, e consequentemente diagonais, o que resulta nos produtos

serem comutativos:

𝑰 = 𝒀 𝛾−1𝑒𝑥𝑝 −𝛾𝑧 𝑽 1 − 𝒀 𝛾−1𝑒𝑥𝑝(−𝛾𝑧) 𝑽 2 (2.63)

Considerando [NEVES90]:

𝜞−1 = 𝑻 𝛾−1 𝑻−1

𝑒𝑥𝑝(±𝜞𝒛) = 𝑻 𝑒𝑥𝑝(±𝛾𝑧) 𝑻−1 (2.64)

finalmente temos as equações escritas convenientemente em termos das grandezas reais:

𝑰 = 𝒀 𝜞−1𝑒𝑥𝑝(−𝜞𝒛)𝑽1 − 𝒀 𝜞−1𝑒𝑥𝑝(𝜞𝒛)𝑽2

𝑽 = 𝑒𝑥𝑝(−𝜞𝒛) 𝑽1 + 𝑒𝑥𝑝(𝜞𝒛) 𝑽2 (2.65)

Para a representação dos seguintes gráficos, utilizou-se uma linha de transmissão de energia

trifásica em esteira sem transposição na presença da terra imperfeita que está caracterizada na

Tabela 4.1, fazendo variar a frequência até à escala indicada, obtivemos os respectivos gráficos que

representam a variação da impedância característica de onda, 𝒁𝑤 , sendo 𝒁𝑤 a matriz das

impedâncias características de onda modais, 𝒁𝑤 = 𝒁 𝒀 −1

, e da constante de propagação, 𝜸, com

a frequência, para os dois modos aéreos e o de terra.

18

2.7.1. Constante de propagação, 𝜸

Figura 2. 5 - Gráfico da evolução da Constante de Atenuação com a frequência.

Figura 2. 6 - Gráfico da evolução da Constante de Fase com a frequência.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

-5

Frequencia [Hz]

[

dB

/m]

Modo terra

Modo aéreo

Modo aéreo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

Frequencia [Hz]

[

rad/m

]

Modo terra

Modo aéreo

Modo aéreo

19

2.7.2. Impedância característica de onda modal, 𝒁𝒘

Figura 2. 7 - Gráfico da evolução das Impedâncias características de onda modais com a

frequência.

Figura 2. 8 - Gráfico da evolução das Impedâncias características de onda modais com a

frequência.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

350

400

450

500

550

600

650

700Impedância Característica - Parte Real

Frequencia [Hz]

Zw

[]

Modo terra

Modo aéreo

Modo aéreo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0Impedância Característica - Parte Imaginaria

Frequencia [Hz]

Zw

[]

Modo terra

Modo aéreo

Modo aéreo

20

3. Método da transformada de Fourier

3.1. A transformada de Fourier

A transformada de Fourier é uma ferramenta matemática de extrema importância na análise

de sinais e sistemas, mas apenas útil para sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT), sendo

essa a sua principal limitação [ARIEH05].

A sua importância na análise de sinais deve-se ao facto de uma vasta classe de sinais

poderem ser representados pela combinação linear de exponenciais complexas periódicas na forma

𝑒𝑠𝑡 onde 𝑠 = 𝑗𝜔, e de estas serem funções próprias dos SLIT’s.

Porem a propriedade de 𝑒𝑠𝑡 ser função própria, permanece imutável para valores arbitrários

de 𝑠 e não apenas para os imaginários puros.

A transformada de Fourier representa os sinais como sendo a soma de sinusóides mas de

amplitude exponencialmente variável.

Um sinal pode ser representado como sendo a combinação linear de exponenciais

complexas:

𝑓 𝑡 =1

2𝜋 exp(𝑠𝑡)𝐹(𝑠)𝑐+𝑗∞

𝑐−𝑗∞𝑑𝑠 (3.1)

em que o peso 𝐹(𝑠) de cada uma das exponenciais na construção do sinal 𝑓(𝑡) é dado por:

𝐹 𝑠 = exp −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)+∞

−∞𝑑𝑡 (3.2)

em que (3.1) pode ser chamada de transformada de Fourier Inversa e (3.2) de transformada de

Fourier.

21

Para a análise de transitórios interessa-nos impor que o transitório se dê a partir de 𝑡 = 0 ou

𝑡 = 𝑡0, o que implica que a tensão até ao instante 𝑡 = 0 ou 𝑡 = 𝑡0 seja imposta a 0, por isso vamos

usar a função 𝑢 como auxiliar, sendo:

𝑢 𝑡 = 0, 𝑡 < 0 (𝑡 < 𝑡0)1, 𝑡 > 0 (𝑡 > 𝑡0)

(3.3)

o que rescrevendo (3.2) fica:

𝐹 𝑠 = exp(−𝑠𝑡)𝑢(𝑡)𝑓(𝑡)+∞

−∞𝑑𝑡 = exp(−𝑠𝑡)𝑓(𝑡)

+∞

0−𝑑𝑡 (3.4)

Como sabemos, a expressão (3.4) é a Transformada de Laplace. Neste trabalho optámos por

utilizar a Transformada Rápida de Fourier (FFT) e a Transformada Rápida de Fourier Inversa (IFFT)

principalmente por duas razões, a primeira por uma questão de simplicidade, pois o algoritmo já se

encontra programado no programa de cálculo por nós utilizado, o MATLAB®, e em segundo lugar por

uma questão de esforço computacional, pois a computação da transformada de Fourier para 𝑁

pontos de amostragem de entrada, requer 𝑁2 multiplicações complexas e 𝑁2 − 𝑁 adições complexas,

para obtermos 𝑁 amostras no domínio da frequência, este número de multiplicações e de adições faz

com que o tempo de execução do programa se torne proibitivo para um número conveniente de

pontos de análise.

A Transformada Rápida de Fourier (FFT) é um algoritmo rápido para se implementar, mais

eficiente que a transformada de Fourier, onde um 𝑁 número de amostras do sinal de entrada são

transformados em 𝑁 pontos de frequência. O esforço computacional requerido neste caso é de

1

2𝑙𝑜𝑔2𝑁 multiplicações e 𝑙𝑜𝑔2𝑁 adições [ARIEH05].

Os únicos inconvenientes do uso dos algoritmos FFT e IFFT residem principalmente no facto

da imposição de uma carga linear na linha para que os mesmos possam ser aplicados, e também

devido a periodicidade do sinal, há informação indesejável transferida de um período para o seguinte,

porém no âmbito do nosso trabalho tais inconvenientes não são significativos, por isso optámos por

utilizar os algoritmos FFT e IFFT.

22

3.2. Linha trifásica com gerador trifásico na presença de carga

Consideremos o gerador trifásico tal como representado na Figura 3.1, temos:

𝑽𝑠 = 𝑽𝐺 − 𝒁𝐺𝑰𝑠 (3.7)

em que:

𝑽𝑠 – vector coluna das amplitudes complexas da tensão à entrada dos 𝑛 condutores da linha, 𝑧 = 0

𝑽𝐺 – vector coluna das amplitudes complexas da tensão em cada fase do gerador ideal trifásico

𝑰𝑠 – vector coluna das amplitudes complexas da corrente à entrada de cada condutor da linha, 𝑧 = 0

𝒁𝐺 – matriz 3x3 com as impedâncias do gerador

ou seja representa o equivalente de Thévenin de um gerador trifásico, com malha de adaptação entre

o gerador e a carga.

Considerando agora a carga trifásica no final da linha, tal como representado na Figura 3.1,

temos:

𝑽𝐶 = 𝒁𝐶𝑰𝐶 (3.8)

em que:

𝑽𝐶 – vector coluna das amplitudes complexas da tensão à saída da linha, 𝑧 = 𝑙

𝑰𝐶 – vector coluna das amplitudes complexas da corrente à saída da linha, 𝑧 = 𝑙

𝒁𝐶 – matriz 3x3 com as impedâncias da carga

𝑧 = 𝑙 𝑧 = 0

𝑽𝐶 𝑽𝑠 𝑽𝐺

𝒁𝐺

𝒁𝐶

𝑰𝑠 𝑰𝐶

~

~

Figura 3. 1 - Esquema equivalente da linha, com gerador trifásico e carga.

23

3.3. Cálculo das Funções de Transferência

Neste ponto pretendemos estabelecer as funções de transferência matriciais que relacionam

as amplitudes complexas das tensões e das correntes num ponto específico da linha de transmissão,

com a tensão trifásica do gerador ideal 𝑽𝐺 , com desfasagem de 120°.

Figura 3. 2 - Gráfico da tensão do gerador trifásico, nula para 𝒕 < 0.

Consideremos o sistema (2.65), e vamos particularizar para 𝑧 = 0 e 𝑧 = 𝑙.

𝑰0 = 𝒀𝜞−1 𝑽1 − 𝒀𝜞−1 𝑽2

𝑽0 = 𝑽1 + 𝑽2

𝑰𝑙 = 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝(−𝜞𝑙)𝑽1 − 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙) 𝑽2

𝑽𝑙 = 𝑒𝑥𝑝(−𝜞𝑙) 𝑽1 + 𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙) 𝑽2

(3.9)

Substituindo (3.7) e (3.8) no sistema (3.9) e considerando:

𝑰0 = 𝑰𝑠𝑽0 = 𝑽𝑠𝑰𝑙 = 𝑰(𝑙)

𝑽𝑙 = 𝑽(𝑙)

(3.10)

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tensão [

pu]

Tempo[s]

24

obtemos assim:

𝑰0 = 𝒀𝜞−1 𝑽1 − 𝒀𝜞−1 𝑽2

𝑽𝐺 − 𝒁𝐺𝑰0 = 𝑽1 + 𝑽2

𝑰𝑙 = 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝(−𝜞𝑙) 𝑽1 − 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙) 𝑽2

𝒁𝐶𝑰𝑙 = 𝑒𝑥𝑝(−𝜞𝑙) 𝑽1 + 𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙) 𝑽2

(3.11)

No sistema (3.11), eliminando 𝑰0 nas duas primeiras equações e 𝑰𝑙 , nas últimas duas, ficamos

com um sistema de duas equações:

𝑽𝐺 − 𝒁𝐺𝒀𝜞

−1𝑽1 + 𝒁𝐺𝒀𝜞−1𝑽2 = 𝑽1 + 𝑽2

𝒁𝐶𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝(−𝜞𝑙)𝑽1 − 𝒁𝐶𝒀𝜞

−1𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙)𝑽2 = 𝑒𝑥𝑝(−𝜞𝑙) 𝑽1 + 𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙) 𝑽2

(3.12)

Rescrevendo sistema (3.12), e designando 𝑬 como a matriz identidade, temos:

𝑽𝐺 − 𝒁𝐺𝒀𝜞

−1 + 𝑬 𝑽1 = (−𝒁𝐺𝒀𝜞−1 + 𝑬)𝑽2

𝒁𝐶𝒀𝜞−1 − 𝑬 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽1 = 𝒁𝐶𝒀𝜞

−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙)𝑽2

(3.13)

de onde:

𝑽1 = 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝒁𝐶𝒀𝜞−1 − 𝑬 −1 𝒁𝐶𝒀𝜞

−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙)𝑽2 (3.14)

Substituindo (3.14) na primeira equação do sistema (3.13), ficamos com:

𝑽𝐺 = 𝒁𝐺𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝒁𝐶𝒀𝜞

−1 − 𝑬 −1 𝒁𝐶𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑽2 + 𝑬 − 𝒁𝐺𝒀𝜞

−1 𝑽2 (3.15)

25

definindo 𝑨 = 𝒁𝐺𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙) 𝒁𝐶𝒀𝜞

−1 − 𝑬 −1 𝒁𝐶𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝(𝜞𝑙) + 𝑬 − 𝒁𝐺𝒀𝜞

−1 , e

abreviando (3.15), ficamos com:

𝑽2 = 𝑨−1 𝑽𝐺 (3.16)

obtemos assim:

𝑽1 = 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝒁𝐶𝒀𝜞−1 − 𝑬 −1 𝒁𝐶𝒀𝜞

−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑨−1𝑽𝐺 (3.17)

definindo agora 𝑩 = 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝒁𝐶𝒀𝜞−1 − 𝑬 −1 𝒁𝐶𝒀𝜞

−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 , e abreviando (3.17) obtemos:

𝑽1 = 𝑩 𝑨−1 𝑽𝐺 (3.18)

Temos finalmente as funções de transferência pretendidas, que nos permitem determinar as

transformadas das tensões e as correntes, num ponto 𝑧 genérico da linha, para geradores alternados

sinusoidais, e que são dadas por:

𝑰𝑧 = 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑩𝑨−1𝑽𝐺 − 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑨−1𝑽𝐺

𝑼𝑧 = 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑩𝑨−1𝑽𝐺 + 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑨−1 𝑽𝐺 (3.19)

26

3.4. Passagem ao domínio do tempo

Para a análise dos transitórios, os elementos de 𝑽𝐺 devem ser substituídos pelas

transformadas de Fourier das tensões do gerador trifásico ideal. Sendo estas nulas para 𝑡 < 0 tal

como representado na Figura 3.2, o que através da transformada de Fourier pode ser representada

no domínio da frequência tal como representa a Figura 3.3, onde a azul é representada a parte real e

a vermelho a parte imaginaria.

Figura 3. 3 - Transformada de Fourier das tensões do gerador 𝑽𝑮.

Para calcular o andamento no tempo a fim de representar o andamento temporal dessas

grandezas, temos que recorrer à transformada de Fourier Inversa.

Que é definida por:

𝑓 𝑡 =1

2𝜋 𝑒𝑥𝑝(𝑠𝑡)𝐹(𝑠)𝑐+𝑗∞

𝑐−𝑗∞𝑑𝑠 (3.20)

embora, como já referido, usou-se o algoritmo IFFT.

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

-1000

0

1000

Frequencia [Hz]

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

-1000

0

1000

Frequencia [Hz]

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

-1000

0

1000

Frequencia [Hz]

27

4. Análise transitória em linhas sem transposição

Vamos neste capítulo analisar os regimes transitórios numa linha de transmissão de energia

sem transposição, num determinado ponto da mesma, para uma situação de carga conhecida, assim

como para as particulares situações de vazio e de curto-circuito.

Na Tabela 4.1 é descrita a configuração da linha de transmissão em esteira típica de três

condutores e duas guardas que é frequentemente usada para transmissão de energia eléctrica, daí o

interesse na sua análise transitória.

Condutor Raio Equivalente

[𝒎𝒎]

Coordenada 𝑿 [𝒎] Coordenada 𝒀 [𝒎] Condutividade

[𝑺/𝒎]

𝑪𝟏 15.9 −12 26 4.5 × 106

𝑪𝟐 15.9 0 26 4.5 × 106

𝑪𝟑 15.9 12 26 4.5 × 106

𝑮𝟏 7.3 −8 36 4.5 × 106

𝑮𝟐 7.3 8 36 4.5 × 106

Tabela 4. 1 - Configuração da linha trifásica ensaiada.

Para efeitos de simulação usaremos uma linha trifásica de comprimento 𝑙 = 300𝑘𝑚, a 50𝐻𝑧

com configuração descrita na Tabela 4.1, na presença da terra imperfeita e com condutividade do

solo (𝜍 = 1 × 10−3[𝑆/𝑚]). Para efeitos de simulação usamos uma impedância de gerador 𝑍𝐺 = 25Ω e

uma impedância de carga 𝑍𝑐 = 400Ω, e fizemos a análise no ponto da linha, 𝑧 = 300𝑘𝑚.

Xc3 Xg2 Xc2 Xg1 Xc1

Yg2 Yg1

Yc3 Yc2 Yc1

𝑮𝟐

𝑪𝟑

𝑪𝟐 𝑪𝟏

𝒛 𝒙

𝒚

𝑮𝟏

Figura 4. 1 - Esquema auxiliar para a compreensão da metodologia adoptada.

28

4.1. Análise da atenuação e da velocidade de fase, numa linha

sem transposição

Foi calculado no Capitulo 2 a constante de propagação, 𝜸 cuja parte real define a constante

de atenuação, 𝛼 e a parte imaginaria a constante de fase, 𝛽.

Neste capítulo é conveniente representar a atenuação e a velocidade de fase normalizada,

por motivos que mais tarde se tornarão óbvios, para a linha representada na Tabela 4.1 sem

transposição.

Vamos para isso definir a atenuação e a velocidade de fase, onde o modo terra, índice 𝑡, e os

dois modos aéreos, índice 𝑎, são dados por [FARIA02]:

𝜸𝑡 = 𝛼𝑡 𝜔 + 𝑗𝜔

𝜗𝑡 𝜔 (4.1)

𝜸𝑎 = 𝛼𝑎 𝜔 + 𝑗𝜔

𝜗𝑎 𝜔 (4.2)

Sendo 𝛼 𝜔 a constante de atenuação expressa em 𝑑𝐵 considerando 𝛼 𝜔 ∗ 𝑙 ∗ 20𝑙𝑜𝑔10𝑒 e

𝜗 𝜔 a velocidade de fase normalizada considerando 𝜗 𝜔 /𝑐 para cada um dos modos com o

respectivo índice, em que 𝑙 é o comprimento total de linha e 𝑐 é velocidade de luz no vácuo.

Figura 4. 2 - Atenuação da linha sem transposição

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Frequencia [Hz]

Ate

nuação[d

B]

𝑡

𝑎

29

Figura 4. 3 - Velocidade de fase da linha sem transposição

É observável através do andamento da atenuação e da velocidade de fase com a

frequência os dois modos aéreos e o modo de terra, sendo no caso da atenuação a curva superior o

modo de terra no caso da velocidade de fase o modo de terra é a curva inferior do gráfico.

É também de notar que para as altas frequências, no caso da atenuação, os dois modos

aéreos vão sendo cada vez mais distintos, apesar de a resolução gráfica não ser a melhor, pode

observar-se tal comportamento

4.2. Transitórios com impedância de carga

Para o cálculo dos transitórios numa linha sem transposição com impedância de carga de

400Ω usamos as funções de transferência expressas no sistema (3.19).

Optou-se nas seguintes análises por se usar andamentos temporais independentes para cada

uma das três fases para uma melhor leitura dos resultados, estando representado a azul a parte real

das grandezas e a vermelho a parte imaginária. Note-se que a parte imaginária deve ser

uniformemente zero (as grandezas são reais), como alias se verifica.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.85

0.9

0.95

1

1.05

Frequencia [Hz]

Velo

cid

ade d

e F

ase N

orm

aliz

ada

𝑎

𝑡

30

A tensão do gerador 𝑽𝐺 foi considerada unitária, apenas desfasada de 120° em cada fase,

não só para efeitos de simplificação mas também por apenas nos interessar a análise transitória, que

depende da função de transferência e não das grandezas naturais do sistema.

Figura 4. 4 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição e com carga.

Figura 4. 5 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição e com carga.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

31

4.3. Transitórios em vazio

Vamos considerar a linha descrita e nas mesmas condições ensaiadas, mas com a

particularização para o caso desta se encontrar em vazio, ou seja com impedância de carga infinita,

𝒁𝐶 = ∞.

Na equação (3.14) vamos resolver considerando 𝒁𝐶 = ∞, ficamos assim com:

𝑽1 = 𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 𝑽2 (4.1)

Resolvendo igualmente em (3.15) considerando 𝒁𝐶 → ∞, temos:

𝑽𝐺 = 𝒁𝐺𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 𝑽2 + 𝑬−𝒁𝐺𝒀𝜞

−1 𝑽2 (4.2)

o que neste caso, para efeitos de simplificação definimos, 𝑨 = 𝒁𝐺𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 + 𝑬−𝒁𝐺𝒀𝜞

−1 ,

e 𝑩 = 𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 , o que pode ser substituído nas funções de transferências presentes no sistema

(3.19).

Considerando a linha anteriormente descrita, e realizando o ensaio nas condições do ensaio

anterior para a situação da linha em vazio, obtivemos:

Figura 4. 6 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição em vazio.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

32

Figura 4. 7 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição em vazio.

4.4. Transitórios em curto-circuito

Considerando a mesma linha, nas mesmas condições, mas com a particularização para o

caso da mesma se encontrar em curto-circuito, ou seja com 𝒁𝐶 = 0.

Na equação (3.14), vamos resolver com 𝒁𝐶 = 0, ficamos com:

𝑽1 = −𝑒 2𝜞𝒍 𝑽2 (4.3)

Resolvendo igualmente em (3.15) com 𝒁𝐶 = 0, temos:

𝑽𝐺 = − 𝒁𝐺𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒 2𝜞𝒍 𝑽2 + 𝑬−𝒁𝐺𝒀𝜞

−1 𝑽2 (4.4)

o que neste caso, para efeitos de simplificação definimos,

𝑨 = − 𝒁𝐺𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 + 𝑬−𝒁𝐺𝒀𝜞

−1 , e 𝑩 = −𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 , o que pode ser substituído nas

funções de transferências presentes no sistema (3.19).

Considerando a linha descrita na Tabela 4.1, e realizando o ensaio nas condições dos

ensaios anteriores, para a situação da linha em curto-circuito, obtivemos:

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

33

Figura 4. 8 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição em curto-circuito.

Figura 4. 9 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha sem transposição em curto-circuito.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

34

5. Análise transitória em linhas com transposição perfeita

Um sistema de energia eléctrica não deve conter nenhum tipo de assimetria no sistema de

transporte. Contudo, a própria geometria da torre de suporte cria desequilíbrios devido à distância dos

condutores à terra ou mesmo devido à distância entre eles não ser sempre idêntica ao longo do

percurso da linha.

A geometria da torre de suporte de uma linha de transporte cria uma assimetria na

impedância da linha, assimetria que se repercute na tensão e na corrente no final da linha. Para

eliminar esses desequilíbrios sofridos pela linha usa-se a transposição que consiste em dividir a linha,

em troços múltiplos de três, na sua extensão de modo a balancear a mesma.

Ou seja, a transposição consiste em alterar a posição das fases ao longo do troço a transpor

tal com representado na Figura 5.1

5.1. Cálculo de 𝒁 e de 𝒀 com a transposição perfeita

Com a linha transposta, tal como representado na Figura 5.1, resulta que no final tenhamos

uma linha não uniforme, pois a Impedância longitudinal, 𝒁 da linha e a Admitância transversal, 𝒀 da

linha expressas em unidades de comprimento, não são constantes ao longo da linha pois

[BORGES95]:

𝒁 𝜔 = 𝑹 + 𝑗𝜔𝑳 (5.1)

𝒀 𝜔 = 𝑮 + 𝑗𝜔𝑪 (5.2)

𝑧 𝐿 0

𝐿𝐵

𝐿𝐴

𝐿𝑐

3

2

2 1

1

3

3

2

1

Figura 5. 1 – Representação da linha trifásica, de comprimento 𝑳 transposta ciclicamente.

35

Definindo a matriz de permutação 𝑃 por [FARIA02]:

𝑃 = 0 1 00 0 11 0 0

(5.3)

que obedece as seguintes propriedades:

𝑃2 = 𝑃−1 = 𝑃𝑡

𝑃3 = 𝑬 (5.4)

em que 𝐸 é a matriz identidade.

A linha transposta, tal como representado na Figura 5.1 está dividida em três troços de

comprimento 𝐿𝐴, 𝐿𝐵 e 𝐿𝐶 , segundo o eixo longitudinal 𝑧.

Assumindo que todos os troços são uniformes, podemos definir a matriz das Impedâncias

longitudinais como:

𝒁 𝑧 =

𝒁𝐴 , 0 < 𝑧 < 𝐿𝐴𝒁𝐵 = 𝑃 𝒁𝐴𝑃

−1 , 𝐿𝐴 < 𝑧 < 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵𝒁𝐶 = 𝑃−1 𝒁𝐴 𝑃 , 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 < 𝑧 < 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 + 𝐿𝐶

(5.5)

e a matriz das Admitâncias transversais como:

𝒀 𝑧 =

𝒀𝐴 , 0 < 𝑧 < 𝐿𝐴𝒀𝐵 = 𝑃 𝒀𝐴𝑃

−1 , 𝐿𝐴 < 𝑧 < 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵𝒀𝐶 = 𝑃−1 𝒀𝐴 𝑃 , 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 < 𝑧 < 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 + 𝐿𝐶

(5.6)

em que 𝒁𝐾 e 𝒀𝐾 com o índice 𝐾 = 𝐴,𝐵,𝐶, representam as matrizes de Impedância longitudinal e as

matrizes de Admitância transversal em cada um dos três troços da linha, respectivamente.

Para obter a transposição perfeita, fazemos uma aproximação que consiste na determinação

da média aritmética das matrizes 𝒁𝐾 e 𝒀𝐾, e posterior soma das três contribuições dessa mesma

média, o que não é mais que um processo de homogeneização que só nos é permitido realizar pelo

facto das grandezas se encontrarem expressas em unidades por comprimento.

36

Posto isto, podemos escrever a matriz de Impedância longitudinal, 𝒁 da linha por:

𝒁 =1

3(𝒁𝐴 + 𝒁𝐵 + 𝒁𝐶) (5.7)

𝒁 =

𝑍𝑝 𝑍𝑚 𝑍𝑚𝑍𝑚 𝑍𝑝 𝑍𝑚𝑍𝑚 𝑍𝑚 𝑍𝑝

(5.8)

e a matriz de Admitância transversal, 𝒀 da linha por:

𝒀 =1

3(𝒀𝐴 + 𝒀𝐵 + 𝒀𝐶) (5.9)

𝒀 =

𝑌𝑝 𝑌𝑚 𝑌𝑚𝑌𝑚 𝑌𝑝 𝑌𝑚𝑌𝑚 𝑌𝑚 𝑌𝑝

(5.10)

Atendendo que as matrizes (5.8) e (5.10), podem ser usadas para o cálculo dos parâmetros

de propagação que são caracterizados como os modos normais, são eles o modo terra, índice 𝑡, e os

dois modos aéreos, índice 𝑎.

Modo terra:

𝛼𝑡 𝜔 + 𝑗𝜔

𝜗𝑡 𝜔 = 𝑍𝑝 + 2𝑍𝑚 (𝑌𝑝 + 2𝑌𝑚 ) (5.11)

Modo aéreo:

𝛼𝑎 𝜔 + 𝑗𝜔

𝜗𝑎 𝜔 = 𝑍𝑝 − 𝑍𝑚 (𝑌𝑝 − 𝑌𝑚 ) (5.12)

Sendo 𝛼 𝜔 a constante de atenuação modal e 𝜗 𝜔 a velocidade de fase para cada um dos

modos com o respectivo índice.

37


com transposição perfeita

Foi representado no Capitulo 4 a constante de propagação, 𝜸 cuja parte real define a

constante de atenuação, 𝛼 e a parte imaginaria a constante de fase, 𝛽, da linha sem transposição.

Vamos agora representar a atenuação e a velocidade de fase normalizada da linha

representada na Tabela 4.1 mas para a situação de transposição perfeita, que podem ser calculadas

atendendo a (5.11) e a (5.12).

Figura 5. 2 - Atenuação da linha com transposição perfeita.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Frequencia [Hz]

Ate

nuação[d

B]

𝑡

𝑎

38

Figura 5. 3 - Velocidade de fase da linha com transposição perfeita.

Neste caso é observável através do andamento da atenuação e da velocidade de fase com a

frequência os dois modos aéreos sobrepostos e o modo de terra, sendo no caso da atenuação a

curva superior o modo de terra no caso da velocidade de fase o modo de terra é a curva inferior do

gráfico.

O facto dos dois modos aéreos se encontrarem sobrepostos, ou seja de as suas variações

com a frequência serem iguais, é devido ao equilíbrio entre as fases resultante da transposição

perfeita.

5.3. Transitórios numa linha com impedância de carga

Vamos agora ensaiar a linha descrita na Tabela 4.1, nas mesmas condições do ensaio do

Capitulo 4, ou seja, para uma distancia de 𝑧 = 300𝑘𝑚, e três ensaios para diferentes situações de

finalização da linha, carga, vazio e curto-circuito, tal com acima realizada, para que possamos

comparar a analise transitória da linha sem e com transposição perfeita.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.85

0.9

0.95

1

1.05

Frequencia [Hz]

Velo

cid

ade d

e F

ase N

orm

aliz

ada

𝑎

𝑡

39

Para o cálculo dos transitórios numa linha com transposição perfeita com impedância de

carga, usamos as funções de transferência expressas no sistema (3.19). Também todo o método de

calculo foi idêntico, ou seja, o método foi o da transformada de Fourier apenas com a consideração

descrita no capítulo anterior, que consiste em permutar as fases da matriz da Impedância longitudinal,

𝒁 e da matriz da Admitância transversal, 𝒀.

Tal como no capítulo anterior a tensão do gerador 𝑽𝐺 foi considerada unitária, apenas

desfasada de 120º em cada fase e com impedância de 25𝛺, considerou-se igualmente uma

impedância de carga de 400𝛺.

Houve mais uma vez a preocupação de não alterar as escalas das figuras, para melhor

compararmos visualmente os resultados, mais uma vez representa-se a azul a parte real das

grandezas e a vermelho a sua parte imaginária.

Figura 5. 4 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita e com carga.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

40

Figura 5. 5 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita e com carga.

5.4. Transitórios numa linha em vazio

Para a mesma linha e nas ensaiada nas condições anteriores, mas com a particularização

para o caso da mesma se encontrar em vazio, ou seja com 𝒁𝐶 = ∞.

À semelhança do que se fez no Capitulo 4, vamos usar as funções de transferência

expressas no sistema (3.19), com a particularização, 𝑨 = 𝒁𝐺𝒀𝜞−1 + 𝑬 𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 + 𝑬−𝒁𝐺𝒀𝜞

−1 e

𝑩 = 𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 , alterando a matriz da Impedância longitudinal, 𝒁 e a matriz da Admitância transversal,

𝒀, para as que contemplam a transposição perfeita.

Obtivemos então os seguintes resultados:

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

41

Figura 5. 6 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita em vazio.

Figura 5. 7 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita em vazio.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

42

5.5. Transitórios numa linha em curto-circuito

Considerando a mesma linha, nas mesmas condições, mas com a particularização para o

caso da mesma se encontrar em curto-circuito, ou seja com 𝒁𝐶 = 0.

Analogamente ao processo realizado no Ponto 5.4, vamos mais uma vez usar as funções de

transferência expressas no sistema (3.19), agora com a particularização que 𝑨 = − 𝒁𝐺𝒀𝜞−1 +

𝑬 𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 + 𝑬−𝒁𝐺𝒀𝜞−1 e 𝑩 = −𝑒𝑥𝑝 2𝜞𝑙 alterando também a matriz das Impedâncias

longitudinais, 𝒁 e a matriz das Admitâncias transversais, 𝒀, para que agora contemplem a

transposição perfeita.

Considerando a mesma linha, e realizando o ensaio nas condições dos ensaios anteriores,

para a situação da linha em curto-circuito, obtivemos:

Figura 5. 8 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita em curto-circuito.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

43

Figura 5. 9 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição perfeita em curto-

circuito.

Numa primeira análise, comparando com os resultados anteriores, expressos no Capitulo 4,

a linha não transposta e a linha com transposição perfeita, apresentam praticamente os mesmos

andamentos temporais.

5.6. Representação da Impedância característica de onda e da

Constante de propagação para a linha transposta

Uma vez tendo a linha transposta é interessante notar as eventuais diferenças da impedância

característica de onda, 𝒁𝑤 , e a constante de propagação, 𝜸, com a linha não transposta, à

semelhança do que foi feito no Capitulo 2, considerando a mesma linha descrita na Tabela 4.1 nas

mesmas condições ensaiadas, mas neste caso com transposição perfeita , temos:

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

44

5.6.1. Constante de propagação, 𝜸, numa linha transposta

Figura 5. 10- Gráfico da evolução da Constante de Atenuação com a frequência para a linha

transposta.

Figura 5. 11- Gráfico da evolução da Constante de Fase com a frequência para a linha

transposta.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

-5 Parte Real de - Constante de Atenuação

Frequencia [Hz]

[

dB

/m]

Modo aéreo

Modo terra

Modo aéreo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3 Parte Imaginaria de - Constante de Fase

Frequencia [Hz]

[

rad/m

]

Modo aéreo

Modo terra

Modo aéreo

45

5.6.2. Impedância característica de onda, 𝒁𝒘, numa linha transposta

Figura 5. 12 - Gráfico da evolução da Impedância característica de onda com a frequência para

a linha transposta.

Figura 5. 13- Gráfico da evolução da Impedância característica de onda com a frequência para

a linha transposta.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

400

450

500

550

600

650

700Impedância Característica - Parte Real

Frequencia [Hz]

Zw

[]

Modo aéreo

Modo terra

Modo aéreo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0Impedância Característica - Parte Imaginaria

Frequencia [Hz]

Zw

[]

Modo aéreo

Modo terra

Modo aéreo

46

6. Análise transitória em linhas com transposição cíclica

No capítulo anterior analisámos o comportamento transitório na linha com transposição

perfeita, que consiste numa aproximação pouco rigorosa da realidade, pois cinge-se à média

aritmética da matriz das impedâncias longitudinais e da matriz das admitâncias transversais, com a

devida transposição entre fases.

Vamos agora analisar uma linha de transporte de energia com transposição cíclica não

perfeita, e para isso iremos calcular novas funções de transferência.

Há neste modelo uma limitação que nos restringe a análise ao inicio e ao fim da linha, ou seja

do lado do gerador e do lado da carga, respectivamente, e não a um ponto genérico longitudinal

arbitrário tal como nos modelos anteriores.

Vamos para isso considerar a linha de transmissão com um gerador trifásico de tensão 𝑽𝑮 e

impedância 𝒁𝑮 e como terminação uma impedância de carga 𝒁𝑪, tal como mostra a Figura 6.1.

No inicio da linha temos:

𝑽0 – vector coluna das amplitudes complexas da tensão à entrada dos 𝑛 condutores da linha, 𝑧 = 0

𝑽𝐺 – vector coluna das amplitudes complexas da tensão em cada fase do gerador ideal trifásico

𝑰0 – vector coluna das amplitudes complexas da corrente à entrada de cada condutor da linha, 𝑧 = 0

𝒁𝐺 – matriz 3𝑥3 com as impedâncias do gerador

𝒁𝑪

𝑧 = 𝑙 𝑧 = 0

𝑽𝒍 𝑽𝟎 𝑽𝑮

𝒁𝑮

𝑰𝟎 𝑰𝒍

~

~

Figura 6. 1 - Esquema equivalente da linha, com gerador trifásico e impedância de carga.

47

Vamos agora considerar que a carga é trifásica no final da linha, tal como representado na

Figura 6.1, temos:

𝑽𝑙 = 𝒁𝐶 𝑰𝑙 (6.1)

em que:

𝑽𝑙 – vector coluna das amplitudes complexas da tensão à saída da linha, 𝑧 = 𝑙

𝑰𝑙 – vector coluna das amplitudes complexas da corrente à saída da linha, 𝑧 = 𝑙

𝒁𝐶 – matriz 3𝑥3 com as impedâncias da carga

Pelas leis de Kirchoff, circulando na malha à entrada da linha temos a equação:

𝑽𝐺 = 𝒁𝐺 𝑰0 + 𝑽0 (6.2)

6.1. Cálculo das Funções de Transferência

Para efeitos de simplificação vamos considerar a matriz da função de transferência dada por:

𝑻 = 𝑨 𝑩𝑪 𝑫

(6.3)

tal que:

𝑽0

𝑰0 = 𝑻

𝑽𝑙𝑰𝑙 (6.4)

que pode ser representada pelo sistema:

𝑽𝟎 = 𝑨 𝑽𝑙 + 𝑩 𝑰𝒍𝑰𝟎 = 𝑪 𝑽𝑙 + 𝑫 𝑰𝒍

(6.5)

substituindo a equação (6.2) no sistema (6.5), ficamos com:

48

𝑽𝐺 = 𝒁𝐺𝑰0 + 𝑨 𝑽𝑙 + 𝑩 𝑰𝑙

𝑰0 = 𝑪 𝑽𝑙 + 𝑫 𝑰𝑙 (6.6)

Atendendo à equação (6.1) rescrevemos o sistema (6.6), ficamos assim com:

𝑽𝐺 = 𝒁𝐺𝑰0 + 𝑨 𝑽𝑙 + 𝑩 𝑰𝑙

𝑰0 = 𝑪 𝒁𝐶𝑰𝑙 + 𝑫 𝑰𝑙 (6.7)

Podemos através da segunda equação do sistema (6.7) isolar 𝑰𝑙 , e escrevê-lo em função de

𝑰0, o que não terá utilidade prática em termos das funções de transferência pretendida pois queremos

que todas as grandezas fiquem em função da tensão do gerador, 𝑽𝐺 tensão imposta à linha, mas que

é de extrema utilidade para o cálculo das funções de transferência pretendidas.

Ficamos assim com a corrente 𝑰𝑙 em função de 𝑰0 escrita por:

𝑰𝑙 = (𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫)−1 𝑰0 (6.8)

Em primeiro lugar vamos tratar das funções de transferência das correntes, ou seja, vamos

expressar 𝑰0 e 𝑰1 em função da tensão do gerador 𝑽𝐺 .

Vamos para isso substituir a expressão (6.1) na primeira equação do sistema (6.7), e ficamos

com:

𝑽𝐺 = 𝒁𝐺𝑰0 + 𝑨 𝒁𝐶𝑰𝑙 + 𝑩 𝑰𝑙 (6.9)

e substituindo agora (6.9) em (6.8), ficamos com a primeira função de transferência pretendida que

relaciona a corrente no inicio da linha com a tensão do gerador.

𝑽𝐺 = 𝒁𝐺𝑰0 + (𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩)(𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫)−1 𝑰0 (6.10)

que pode ser escrito por:

𝑰0 = [𝒁𝐺 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 −1]−1𝑽𝐺 (6.11)

49

Pela relação entre a corrente 𝑰𝑙 e a corrente 𝑰0 expressa na equação (6.8), podemos

rescrever a tensão 𝑽𝐺 em função de 𝑰𝑙 , o que resulta:

𝑽𝐺 = 𝒁𝐺(𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫)𝑰𝑙 + (𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩)𝑰𝑙 (6.12)

que pode ser escrito por:

𝑰𝑙 = [𝒁𝐺 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 ]−1𝑽𝐺 (6.13)

Neste momento temos as correntes expressas em função da tensão do gerador 𝑽𝐺 , vamos

agora analogamente tratar as tensões à entrada e à saída da linha, 𝑽0 e 𝑽𝑙 respectivamente.

Rescrevendo a equação (6.2), temos:

𝑽0 = 𝑽𝐺 − 𝒁𝐺𝑰0 (6.14)

substituindo a equação (6.11) em (6.14), ficamos com:

𝑽0 = 𝑽𝐺 − 𝒁𝐺[𝒁𝐺 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 −1]−1 𝑽𝐺 (6.15)

Com 𝑽𝐺 em evidencia e definindo 𝐸 como a matriz identidade, ficamos finalmente com a

função de transferência que relaciona 𝑽0 com 𝑽𝐺 , e que é expressa por:

𝑽0 = 𝑬 − 𝒁𝐺[𝒁𝐺 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 −1]−1 𝑽𝐺 (6.16)

Analogamente para a tensão no final da linha 𝑽𝑙 , basta substituir a equação (6.13) na

equação (6.1), o que resulta:

𝑽𝑙 = 𝒁𝐶[𝒁𝐺 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 ]−1𝑽𝐺 (6.13)

50

Deste modo ficamos com as funções de transferência pretendidas que nos permitem calcular

a tensão e a corrente no inicio e no final da linha em função da tensão do gerador 𝑽𝐺 .

𝑽0 = 𝑬 − 𝒁𝐺[𝒁𝐺 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 −1]−1 𝑽𝐺

𝑰0 = 𝒁𝐺 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 −1 −1𝑽𝐺𝑽𝑙 = 𝒁𝐶 𝒁𝐺 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 −1𝑽𝐺𝑰𝑙 = [𝒁𝐺 𝑪 𝒁𝐶 + 𝑫 + 𝑨 𝒁𝐶 + 𝑩 ]−1𝑽𝐺

(6.14)

6.2. Cálculo dos Parâmetros da Matriz de Transferência

Neste ponto vamos proceder ao cálculo da matriz de transferência, de modo a esta ser

substituída pelas funções de transferência representadas no sistema (6.14).

Atendendo à Figura 6.1 e ao sistema (3.9), abaixo transcrito:

𝑰0 = 𝒀𝜞−1 𝑽1 − 𝒀𝜞−1 𝑽2

𝑽0 = 𝑽1 + 𝑽2

𝑰𝑙 = 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽1 − 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑽2

𝑽𝑙 = 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽1 + 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑽2

(6.15)

Multiplicando a última equação do sistema (6.15), pelo termo 𝒀𝜞−1, obtemos:

𝒀𝜞−1𝑽𝑙 = 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽1 + 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑽2 (6.16)

e somando a equação (6.16) com a terceira equação do sistema (6.15), ficamos com:

𝑰𝑙 + 𝒀𝜞−1𝑽𝑙 = 2 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽1 (6.17)

Vamos agora isolar 𝑽1 e 𝑽2, que representam a onda de tensão incidente e reflectida,

respectivamente, de modo a obtermos os parâmetros desejados.

51

ficamos assim com:

𝑽1 = 2 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 −𝟏

(𝑰𝑙 + 𝒀𝜞−1𝑽𝑙) (6.18)

Multiplicando agora a ultima equação do sistema (6.15), pelo termo −𝒀𝜞−1, obtemos:

−𝒀𝜞−1𝑽𝑙 = −𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽1 − 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑽2 (6.19)

o que somando a equação (6.19) com a terceira equação do sistema (6.15), ficamos com:

𝑰𝑙 − 𝒀𝜞−1𝑽𝑙 = −2 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑽2 (6.20)

o que resulta:

𝑽2 = −2 𝒀𝜞−1𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 −𝟏

(𝑰𝑙 − 𝒀𝜞−1𝑽𝑙) (6.21)

Como temos as tensões 𝑽1 e 𝑽2, vamos rescrevê-las de modo a podermos ter uma

configuração parecida ao sistema (6.5)

temos assim:

𝑽1 =

1

2𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝜞𝒀−1 𝑰𝑙 + 𝒀𝜞−1𝑽𝑙

𝑽2 = −1

2𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝜞𝒀−1 (𝑰𝑙 − 𝒀𝜞−1𝑽𝑙)

(6.22)

desenvolvendo (6.22), obtemos:

𝑽1 =

1

2 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝑽𝑙 +

1

2 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 𝜞𝒀−1 𝑰𝑙

𝑽2 = 1

2 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽𝑙 −

1

2 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝜞𝒀−1 𝑰𝑙

(6.23)

Da segunda equação do sistema (6.15) ficamos finalmente com:

𝑽0 = 1

2 (𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 + 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 ) 𝑽𝑙 +

1

2 (𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 − 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 )𝜞𝒀−1 𝑰𝑙 (6.24)

52

Da primeira equação do sistema (6.15) ficamos com:

𝑰0 = 1

2 𝒀𝜞−1 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 − 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽𝑙 +

1

2 𝒀𝜞−1 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 + 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝜞𝒀−1 𝑰𝑙 (6.25)

obtemos assim o sistema:

𝑽0 =

1

2 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 + 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽𝑙 +

1

2 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 − 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝜞𝒀−1 𝑰𝑙

𝑰0 = 1

2 𝒀𝜞−1 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 − 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝑽𝑙 +

1

2 𝒀𝜞−1 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 + 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝜞𝒀−1 𝑰𝑙

(6.26)

o que fazendo corresponder com o sistema (6.5), facilmente identificamos os parâmetros seguintes:

𝐴 =

1

2 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 + 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙

𝐵 = 1

2 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 − 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝜞𝒀−1

𝐶 = 1

2 𝒀𝜞−1 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 − 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙

𝐷 = 1

2𝒀𝜞−1 𝑒𝑥𝑝 𝜞𝑙 + 𝑒𝑥𝑝 −𝜞𝑙 𝜞𝒀−1

(6.27)

O co-seno hiperbólico e o seno hiperbólico podem ser expressos na forma matricial por:

𝑠𝑖𝑛𝑕 𝑧 =𝑒𝑧−𝑒−𝑧

2 (6.28)

𝑐𝑜𝑠𝑕 𝑧 =𝑒𝑧+𝑒−𝑧

2 (6.29)

Assim podemos escrever os nossos parâmetros, como:

𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑕 𝜞𝑙

𝐵 = 𝑠𝑖𝑛𝑕 𝜞𝑙 𝜞𝒀−1

𝐶 = 𝒀𝜞−1 𝑠𝑖𝑛𝑕 𝜞𝑙

𝐷 = 𝒀𝜞−1 𝑐𝑜𝑠𝑕 𝜞𝑙 𝜞𝒀−1

(6.30)

53

Finalmente podemos definir a matriz de transferência por:

𝑇 = 𝑐𝑜𝑠𝑕 𝜞𝑙 𝑠𝑖𝑛𝑕 𝜞𝑙 𝜞𝒀−1

𝒀𝜞−1 𝑠𝑖𝑛𝑕 𝜞𝑙 𝒀𝜞−1 𝑐𝑜𝑠𝑕 𝜞𝑙 𝜞𝒀−1 (6.31)

6.3. Transposição Cíclica da Matriz de Transferência

Neste momento calculámos as funções de transferência e consequentemente vamos ter que

transpor a matriz de transferência da linha, pois interessa-nos ensaiar a linha com transposição

cíclica, e para isso, vamos recorrer mais uma vez à matriz de permutação 𝑃 definida em (5.3), de

modo a transpor ciclicamente as três fases da linha.

A matriz de transferência 𝑇 é obtida multiplicando as matrizes de cada troço da linha

transposta, tal que [FARIA02]:

𝑇 = 𝑇𝐴 𝑇𝐵 𝑇𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 𝐷

(6.32)

Atendendo a Figura 5.1, através das relações expressas em (5.5) e em (5.6), e considerando:

𝜞 𝑧 =

𝜞𝐴 , 0 < 𝑧 < 𝐿𝐴𝜞𝐵 = 𝑃𝜞𝐴𝑃

−1 , 𝐿𝐴 < 𝑧 < 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵𝜞𝐶 = 𝑃−1 𝜞𝐴𝑃 , 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 < 𝑧 < 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 + 𝐿𝐶

(6.33)

é fácil concluir que:

𝑇𝐵 = 𝑃 00 𝑃

𝑇𝐴 𝑃 00 𝑃

−1

(6.34)

𝑇𝐶 = 𝑃 00 𝑃

−1

𝑇𝐴 𝑃 00 𝑃

(6.35)

o que resulta finalmente em:

𝑇 = 𝐴 𝐵𝐶 𝐷

= 𝐴𝐴𝑃 𝐵𝐴𝑃𝐶𝐴𝑃 𝐷𝐴𝑃

3

(6.36)

54


com transposição cíclica

Tendo a matriz transferência 𝑇 para a linha com transposição cíclica, sabemos que os

valores próprios de 𝑇 são as exponenciais positivas e negativas dos factores de propagação, e que

são dados por [FARIA02]:

𝑒+𝛾𝑡𝐿 , 𝑒−𝛾𝑡𝐿 , 𝑒+𝛾𝑎 ′ 𝐿 , 𝑒−𝛾𝑎 ′ 𝐿 , 𝑒+𝛾𝑎 ′′ 𝐿 , 𝑒−𝛾𝑎 ′′ 𝐿 (6.37)

em que 𝐿 representa o comprimento total da linha, 𝐿 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 + 𝐿𝐶 , e o índice 𝑡 representa o modo

terra e os índices 𝑎’ e 𝑎’’ representam os dois modos aéreos.

Vamos então representar a atenuação e a velocidade de fase normalizada da linha

representada na Tabela 4.1 para a situação de transposição cíclica, que podem ser calculadas

atendendo a (6.37), (5.11) e a (5.12).

Figura 6. 2 - Atenuação da linha com transposição cíclica.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Frequencia [Hz]

Ate

nuação[d

B]

𝑡

𝑎

55

Figura 6. 3 - Velocidade de fase da linha com transposição cíclica.

Neste caso é patente através do andamento da atenuação e da velocidade de fase com a

frequência os dois modos aéreos independentes e o modo de terra, sendo no caso da atenuação a

curva superior o modo de terra no caso da velocidade de fase o modo de terra é a curva inferior do

gráfico.

Porem é de notar o efeito de ressonância que se manifesta muito acentuadamente nos

modos aéreos e ligeiramente no modo terra.

A frequência de ressonância é dada pelo múltiplo inteiro de meio comprimento de onda,

𝐿 ≈ 𝑚𝜆 2 , o que pode ser convenientemente representado por [FARIA02]:

𝑓𝑟𝑒𝑠 ≈𝑚𝑣

2𝐿 (6.38)

em que 𝑚 é um número inteiro positivo, 𝑣 é velocidade da luz no vácuo, e 𝐿 o comprimento total da

linha.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000.85

0.9

0.95

1

1.05

Frequencia [Hz]

Velo

cid

ade d

e F

ase N

orm

aliz

ada

𝑎

𝑡

56

6.5. Transitórios numa linha com transposição cíclica

6.5.1. Transitórios numa linha com carga

Vamos agora ensaiar a linha descrita na Tabela 4.1 nas condições dos ensaios anteriores,

com uma Impedância de gerador, 𝑍𝐺 = 25Ω e uma Impedância de carga, 𝑍𝐶 = 400Ω, para assim

podermos analisar as diferenças entre os tipos de transposição adoptados, com a limitação que neste

caso apenas podemos analisar a tensão e a corrente, perto do gerador e perto do final da linha, daí

termos escolhido nos ensaios anteriores o ponto genérico 𝑧 = 300𝑘𝑚, que coincide com o

comprimento da linha ensaiada que são de 300𝑘𝑚.

Do lado do gerador temos a seguinte análise transitória, que depende apenas da tensão

imposta pelo gerador:

Figura 6. 4 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica com carga.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

57

Figura 6. 5 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica com carga.

Do lado da carga temos os seguintes comportamentos:

Figura 6. 6 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica com carga.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

58

Figura 6. 7 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica com carga.

6.5.2. Transitórios numa linha em vazio

Considerando a mesma linha, nas condições anteriores, mas com a particularização para o

caso da mesma se encontrar em vazio, ou seja com 𝒁𝐶 = ∞.

Neste caso não podemos calcular as funções de transferência para 𝒁𝐶 = ∞, vamos assim

considerar uma impedância de carga suficientemente grande, de modo a termos as condições de

ensaio muito semelhantes a um circuito em vazio, vamos então considerar a impedância de carga,

com o valor 𝒁𝐶 = 1𝑀Ω

Considerando a tensão e a corrente do lado do gerador:

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

59

Figura 6. 8 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em vazio.

Figura 6. 9 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em vazio.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

60

Considerando a tensão e a corrente do lado da carga:

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

Tensão perto da Carga [Vl]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

Figura 6. 10 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em vazio.

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2x 10

-6

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

Corrente perto da Carga [Il]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2x 10

-6

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2x 10

-6

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

Figura 6. 11 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em vazio.

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

Tensão perto da Carga [Vl]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-2

0

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2x 10

-6

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

Corrente perto da Carga [Il]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2x 10

-6

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-2

0

2x 10

-6

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

-2

0

2

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

61

6.5.3. Transitórios numa linha em curto-circuito

Para a mesma linha, nas condições anteriores, mas com a particularização para o caso da

mesma se encontrar em curto-circuito, ou seja com 𝒁𝐶 = 0.

À semelhança do ponto anterior, vamos apenas ensaiar a linha do lado da carga, e do lado do

gerador.


Figura 6. 12 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em curto-circuito.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

62

Figura 6. 13 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em curto-circuito.


Figura 6. 14 - Tensão no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em curto-circuito.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-1

0

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

63

Figura 6. 15 - Corrente no ponto 𝒛 = 𝟑𝟎𝟎𝒌𝒎 da linha com transposição cíclica em curto-

circuito.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045-0.01

0

0.01

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

64

7. Comparação das várias tipologias de transposição

De forma a comparar os resultados da análise transitória tal como é expresso nos objectivos

propostos no inicio deste trabalho, optou-se por dedicar um capítulo à comparação de resultados de

modo a ser mais perceptível o andamento transitório para os três diferentes tipos de configuração da

linha: linha sem transposição, linha com transposição cíclica perfeita e linha com transposição cíclica

verdadeira.

7.1. Linha com carga resistiva

Para os ensaios seguintes, foi considerado o mesmo valor das impedâncias de gerador e de

carga utilizadas nos ensaios anteriores, 𝑍𝐺 = 25Ω e 𝑍𝑐 = 400Ω, respectivamente.

Devido ao facto de se estar a utilizar uma carga meramente resistiva, e as grandezas

ensaiadas, tensão e corrente, estarem expressas em valores por unidade, pela lei de ohm, os

andamentos temporais das grandezas eléctricas são iguais em forma, apenas diferem nas escalas,

daí se ter optado por representar apenas o andamento das tensões.

No caso dos ensaios em curto-circuito representa-se a corrente.

7.1.1. Linha sem transposição

Figura 7. 1 - Tensão perto da carga, linha sem transposição.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

65

7.1.2. Linha com transposição perfeita

Figura 7. 2 - Tensão perto da carga, linha com transposição perfeita.

7.1.3. Linha com transposição cíclica

Figura 7. 3 - Tensão perto da carga, linha com transposição cíclica.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo [s]

Tensão [

pu]

66

7.2. Linha em vazio


Figura 7. 4 - Tensão perto da carga, linha em vazio e sem transposição.


Figura 7. 5 - Tensão perto da carga, linha em vazio e com transposição perfeita.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

67

Figura 7. 6- Tensão perto da carga, linha em vazio e com transposição cíclica.

7.3. Linha em curto-circuito


Figura 7. 7 - Corrente perto da carga, linha em curto-circuito e sem transposição.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

68


8

Figura 7. 8 - Corrente perto da carga, linha em curto-circuito e com transposição perfeita.

7.3.3. Linha com transposição cíclica

Figura 7. 9 - Corrente perto da carga, linha em curto-circuito e com transposição cíclica.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

69

7.4. Diferenças mais significativas

Vamos neste ponto analisar as eventuais diferenças nos andamentos dos regimes transitórios,

particularizando para a linha em curto-circuito e em vazio pois é nesse caso que as diferenças são

mais notórias.

7.4.1. Linha em Vazio

Figura 7. 10 - Tensão perto da carga, linha em vazio para as três situações de transposição.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo [s]

Tensão [

pu]

Tensões no ponto z=300km da linha

Sem Transposição

Com Transposição Perfeita

Com Transposição Cíclica

70

7.4.2. Linha em Curto-Circuito

Figura 7. 11– Corrente perto da carga, linha em curto-circuito para as três situações de

transposição.

Como é possível observar nos andamentos dos regimes transitórios representados no

presente capítulo, cuja escala temporal é de apenas meio período o que nos confere uma grande

precisão de análise visual, constata-se que o regime transitório da linha sem transposição e o regime

transitório da linha com transposição são bastante semelhantes, ao ponto de se tornar difícil detectar

essas pequenas diferenças.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x 10-3

Tempo [s]

Corr

ente

[pu]

Corrente no ponto z=300km da linha

Sem Transposição

Com Transposição Perfeita

Com Transposição Cíclica

71

8. Conclusões

Com este trabalho, e através das representações gráficas representadas no final dos últimos

capítulos, criteriosamente divididos nos três tipos de tipologia de configuração da linha de

transmissão de energia eléctrica, pode facilmente observar-se as diferenças no andamento das

tensões e correntes transitórias que é o objectivo principal deste trabalho.

Como esse objectivo foi comparar a transposição perfeita com a transposição cíclica, para tal

foram usadas funções de transferência diferentes em ambos os casos, no caso da transposição

cíclica perfeita fez-se uso das funções de transferência da matriz não transposta, apenas nos

limitámos a transpor a matriz de impedância longitudinais e a matriz de admitâncias transversais e

obter a média aritmética dos troços simetricamente transpostos, e que apresentam resultados

distintos em relação à transposição cíclica como se pode observar através gráficos atrás

representados.

A transposição perfeita apresenta resultados muito semelhantes à não transposição, tal facto

advêm dos ensaios terem sido realizados à frequência de 50𝐻𝑧, que é a frequência natural da rede

eléctrica nacional e em baixas frequências o efeito da transposição perfeita não é notório.

No caso da transposição cíclica é notória a diferença nos regimes transitórios quando

comparados com os da não transposição ou mesmo da transposição perfeita.

Em relação à impedância característica de onda e à constante de propagação da linha, fez-se

um estudo dessas grandezas para o caso da linha não transposta e da linha transposta, o que

revelou que têm andamentos diferentes com a frequência, ficando os modos aéreos sobrepostos, ou

seja de valores numéricos iguais no caso da linha transposta, o que se entende devido ao

comportamento dinâmico da linha que leva a um balanço entre os modos aéreos, tornando-os

idênticos.

Particularmente em relação à atenuação e à velocidade de fase existem diferenças

significativas quando se usa a transposição cíclica, pois nesta dá-se o aparecimento de frequências

de ressonância para os múltiplos inteiros de meio período.

No caso da transmissão de energia eléctrica, como a rede opera à frequência de 50𝐻𝑧, tais

efeitos de ressonância não são relevantes pois a primeira frequência para o caso da linha com

300𝐾𝑚, dá-se a uma frequência de 500𝐻𝑧, o que não interfere com o funcionamento do sistema de

energia eléctrica.

Mas atendendo que as linhas de transporte podem ter, não só a função de transporte de

energia mas também de transmissão de dados, é necessário ter o cuidado de não usar sinais que

contenham portadoras com a mesma frequência das frequências de ressonância da linha com

transposição cíclica.

Pode-se finalmente concluir que a transposição perfeita é uma excelente aproximação da

transposição cíclica para as baixas frequências, levando mesmo à obtenção de resultados muito

semelhantes, também para análises transitórias à frequência natural da rede eléctrica o seu uso é

recomendável, pois é muito mais simples de implementar e como foi referido não apresenta

diferenças significativas em relação a transposição cíclica.

72

9. Referências

[NEVES90] M. V. Guerreiro Neves, “Cálculo de Transitórios em Linhas de Transmissão de

energia baseado no Emprego de um Esquema Equivalente por Troços – Comparação

com o Método da Transformada de Laplace”, IST, UTL, Lisboa, Abril 1990.

[FARIA02] J. A. Brandão Faria and M. V. Guerreiro das Neves, “Resonance Effects due to

Conductor Transposition in Three-Phase Power Lines”, 14th PSCC, Sevilla, 24-28,

June 2002.

[DUBAN69] C. Dubanton, “Calcul Approché dês Paramètres Primaires et Secundaires d’une Ligne

de Transport”, EDF Bulletin de la Direction dês Études et Recherches, no.1, pp. 53-

62, 1969.

[EMTP87] W. Scoot Meyer and Tsu-Huei Liu “Electro-Magnetic Transients Program, Theory

Book”, 1987.

[CHEN72] Chen-To Tai “On the presentation of Maxwell’s Theory”, Proceeding of the IEEE,

vol.60, no.8, 1972.

[BORGES95] J. F. Borges da Silva, “Electrotecnia Teórica”, IST, UTL, Lisboa, 1995.

[BRAND06] J. A. Brandão Faria and M. E. Almeida, “Accurate Calculation of Magnetic-Field

Intensity due to Overhead Power Lines with or without Mitigation Loops with or without

Capacitor Compensation”, IEEE, Jan. 2006.

[ARIEH05] ARIEH L. SHENKMAN, “Transient Analysis of Electric Power Circuits Handbook”,

Holon Academic Institute of Technology, Holon, Israel, 2005.

73

Anexo I

Fluxograma do Programa de Cálculo

Configuração da Linha

Tipologia da Linha

Cálculo dos

parâmetros da

Linha

Análise modal da

linha

Análise

Transitória

Cálculo dos

parâmetros

ondulatórios da

Linha

Secção do método de

Transposição

Tensões do

Gerador

FFT

Cálculo dos

Transitórios

IFFT

Apresentação dos

Resultados

tese 1,4 mb

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