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Cálculo do campo magnético originado por cabos
subterrâneos de trânsito de energia
Pedro Miguel Vaz Osório Marchante
Dissertação para a obtenção de grau de mestre em
Engenharia Electrotécnica e de computadores
Júri
Presidente: Prof. Gil Domingos Marques Orientador: Prof. Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado Co-Orientador: Prof.ª Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro Vogal: Prof. José António Marinho Brandão Faria
Outubro de 2008
II
Agradecimentos
Gostava de agradecer ao Prof. Vítor Maló Machado, orientador, e à Prof.ª Maria Eduarda Pedro, co-orientador, por todo o apoio, dedicação e material disponibilizado ao longo da elaboração do trabalho.
III
Resumo
Este trabalho tem como objectivo, estudar o campo de indução magnética criado por cabos
subterrâneos à superfície da terra. O modelo proposto, permite calcular o campo criado pela
corrente que percorre os condutores dos cabos, tendo em conta, a frequência, a
permeabilidade magnética e condutividade do solo; a configuração e o tipo de ligação das
bainhas dos cabos.
A validação do modelo foi feita em comparação com um modelo simplificado. Este último
permite calcular o campo criado por um cabo ideal infinitamente longo, percorrido por uma
corrente, na hipótese que todo o meio envolvente é o ar, com o retorno de corrente feito pelo
infinito.
O modelo é desenvolvido, primeiro através de uma formulação geral do campo com base em
integrais e séries de Fourier e depois aplicando a essa formulação a aproximação de
Pollaczek. Uma vez definido, o campo, é calculado utilizando um método numérico de
integração.
De entre as diversas conclusões retiradas é importante destacar que a disposição geométrica,
o tipo de ligação das bainhas e o número de cabos de transmissão permitem uma mitigação do
campo à superfície. Este trabalho permitiu concluir, que a disposição dos cabos em triângulo é
a geometria mais favorável, e que de entre os métodos de mitigação estudados o que permitiu
obter melhores resultados foi a utilização de 2 sistemas trifásicos independentes, em vez de
um único sistema.
Palavras chave – Campo indução Magnética, Cabos subterrâneos, Corrente, Integrais de
Pollaczek
IV
Abstract
The aim of this work is to study the magnetic field at earth surface created by underground
power cables. The developed model, allows to calculate the field created by the cables’ current,
regarding, the frequency, the magnetic permeability and conductivity of the earth, the
configuration and type of sheath connection.
The model validation was made comparing it with a simplified model. The last one allows to
calculate the field created by an infinitely long ideal cable, transversed by an electrical current
and supposing that the involving media is the air, with the return current located in the infinite.
The model is developed, first through a general field formulation based on Fourier integrals and
series developments and later applying the Pollaczek approach. Once the field is formulated, a
numeric method is developed in order to quantify field quantities.
Among the several conclusions it is important to detach that the geometric disposition, type of
sheath connection and number of transmission cables allows field mitigation at Earth surface.
This work allows to conclude, that the triangle cable disposition is the most favourable
geometry, and among all mitigation methods studied the one that allows to obtain better results
was the one with 2 three phase independent circuits, instead of a single one.
Key words - Magnetic Field, underground Power Cables, Current, Pollaczek Integral
V
Índice
Pág.
Agradecimentos II
Resumo III
Abstract IV
Listagem de figuras VI
Listagem de tabelas X
Listagem de Símbolos XI
Cap.1 Introdução
1. Motivação 12
2. Introdução ao texto 14
3. Campo magnético e a saúde publica
3.1 Estudos Epidemiológicos 15
3.2 Campo magnético em diferentes locais 16
3.3 Posição da OMS relativamente ao efeito do campo magnético. 20
3.4 Legislação e medidas já existentes 21
3.5 Campo criado por linhas de transporte de energia 24
Cap.2 Campo magnético em cabos subterrâneos
1. Formulação do campo. Descrição do campo através de integrais de Pollaczek. 26
2. Cálculo da matriz de impedâncias longitudinais 38
3. Método de cálculo dos integrais de Pollaczek
3.1 Algoritmo de integração 46
3.2 Definição dos limites de integração 47
Cap.3 Resultados Numéricos
1. Comparação dos resultados com o método simplificado 52
2. Sistemas trifásico e monofásico com bainhas ligadas num único ponto
2.1 Comparação de um sistema trifásico com um sistema monofásico 57
2.2 Influência da profundidade a que os cabos estão enterrados no valor do
campo de indução magnética à superfície
59
2.3 Influência da frequência da corrente na distribuição do campo de indução
magnética no ar
60
2.4 Variação da permeabilidade magnética do solo 62
2.5 Variação da posição geométrica dos condutores 65
3. Variação do tipo de ligação das bainhas 73
4. Sistema de transmissão com 6 cabos em esteira horizontal 76
Cap.4 Conclusões 80
Anexos 83
Referências bibliográficas 85
VI
Listagem de figuras
Pág.
Figura 1.1 – Média do campo magnética de todas as divisões de uma casa em 992
casa nos EUA. (Extraído de [5])
17
Figura 1.2 – Exposição de diferentes trabalhadores ao campo magnético (extraído de
[5]) . 1mG=0.1 [T]
19
Figura 1.3 – Classificação do potencial cancerígeno pela agência Internacional para a
Investigação do Cancro (IART) da OMS, revista em 2001 (extraído de [7])
21
Figura 1.4 – Listas referentes ao posicionamento internacional no que diz respeito, às
recomendações quantitativas da ICNIRP de 1998.(extraído de [2])
22
Figura 1.5 – Medidas precaucionais contra eventuais efeitos crónicos dos campos
magnéticos em diferentes países(extraído de [2])
23
Figura 1.6 – Campo magnético medido durante uma semana e criado por um cabo de
transmissão de 500KV nos EUA(extraído de [5])
24
Figura 2.1 – Esquema ilustrativo, da superfície cilíndrica fronteira de raio rc enterrada
a uma profundidade constante h
26
Figura 2.2 – Representação de uma superfície fronteira genérica S entre um meio 1 e
um meio 2
27
Figura 2.3 – Representação da bainha exterior do cabo 35
Figura 2.4 – Secção recta de um cabo coaxial típico usado num cabo subterrâneo
trifásico de 400Kv
38
Figura 2.5 – Ilustração do método de integração trapezoidal 46
Figura 3.1 – Esquema ilustrativo do campo criado por um cabo infinitamente longo 52
Figura 3.2 – Representação geométrica de arB com a definição do ângulo α, para um
cabo com corrente I
53
Figura 3.3 – Esquema ilustrativo da situação em estudo com a respectiva localização
dos eixos coordenados e do cabo subterrâneo
53
Figura 3.4 – Perfil com o valor eficaz do campo, utilizando o método simplificado e o
método em estudo, em y=0, para um sistema monofásico
54
Figura 3.5 – Valor eficaz do campo, utilizando o método simplificado e o método em
estudo, em y=0m, para um sistema monofásico
54
Figura 3.6 – Esquema ilustrativo de um sistema trifásico em esteira horizontal 55
Figura 3.7 – Perfil com o valor eficaz do campo, utilizando o método simplificado e o
método em estudo, em y=0, para um sistema trifásico em esteira horizontal
55
Figura 3.8 – Valor eficaz do campo, utilizando o método simplificado e o método em
estudo, em y=0m, para um sistema trifásico em esteira horizontal
56
Figura 3.9 – Ilustração representativa do a) Sistema monofásico a corrente no cabo é
b) Sistema trifásico em esteira horizontal
57
VII
Figura 3.10 – perfil em y=0 [m] com a comparação de um sistema monofásico com um
sistema trifásico em esteira horizontal
58
Figura 3.11 – Comparação de um sistema monofásico com um sistema trifásico em
esteira horizontal através de linhas de nível no espaço
58
Figura 3.12 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética,
com os cabos dispostos em esteira horizontal e enterrados a 3 profundidades (h)
diferentes
59
Figura 3.13 – Valor eficaz do campo de indução magnética, com os cabos dispostos
em esteira horizontal e a 3 profundidades (h) diferentes
59
Figura 3.14 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética
para um sistema monofásico e para diferentes frequências de funcionamento
60
Figura 3.15 – Valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema
monofásico e para diferentes frequências de funcionamento
61
Figura 3.16 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética
para um sistema trifásico em esteira horizontal e diferentes frequências de
funcionamento
61
Figura 3.17 – Valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema trifásico
em esteira horizontal e diferentes frequências de funcionamento.
63
Figura 3.18 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética
para um sistema trifásico com os cabos dispostos em esteira horizontal e
diferentes permeabilidades do solo.
62
Figura 3.19 – a)Variação do valor eficaz do campo de indução magnética na origem
dos eixos com a permeabilidade relativa do solo b) Profundidade de penetração
na terra do campo de indução magnética em função da permeabilidade relativa
do solo
63
Figura 3.20 – Valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema trifásico
com os cabos dispostos em esteira horizontal e diferentes permeabilidades do
solo
63
Figura 3.21 – Perfil em y=0 [m] do valor eficaz do campo de indução magnética para
um sistema trifásico à frequência de 1MHz com os cabos dispostos em esteira
horizontal e diferentes permeabilidades do solo
64
Figura 3.22 – a)Variação do valor eficaz do campo de indução magnética na origem
dos eixos com a permeabilidade relativa do solo b) Profundidade de penetração
na terra do campo de indução magnética em função da permeabilidade relativa
do solo
64
Figura 3.23 – Valor eficaz do campo de indução magnética a 1MHz com os cabos
dispostos em esteira horizontal e diferentes permeabilidades do solo
65
Figura 3.24 – Esquema ilustrativo das 3 geometrias em estudo a) Esteira horizontal b)
Triângulo c) Esteira vertical
66
VIII
Figura 3.25 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no
ar, para cabos dispostos em esteira horizontal, esteira vertical e triângulo.
66
Figura 3.26 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos
dispostos em esteira horizontal , esteira vertical e triângulo
67
Figura 3.27 – Esquema ilustrativo das 3 geometrias em estudo a) Esteira horizontal b)
Triângulo c) Esteira vertical
67
Figura 3.28 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no
ar, para cabos dispostos em esteira horizontal e com diferentes distâncias entre
os cabos
68
Figura 3.29. – Linhas de nível no espaço com o valor eficaz do campo de indução
magnética no ar, para cabos dispostos em esteira horizontal e com diferentes
distâncias entre os cabo
68
Figura 3.30 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no
ar, para cabos dispostos em esteira vertical e com diferentes distâncias entre os
cabos
69
Figura 3.31 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos
dispostos em esteira vertical e com diferentes distâncias entre os cabos.
69
Figura 3.32 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética
no ar, para cabos dispostos em triângulo e com diferentes distâncias entre os
cabos.
70
Figura 3.33 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos
dispostos em triângulo e com diferentes distâncias entre os cabos.
70
Figura 3.34 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética
no ar para os cabos dispostos nas três diferentes geometrias, e com uma
distância entre cabos de 0.872 m
71
Figura 3.35 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar para os cabos
dispostos nas três diferentes geometrias, e com uma distância entre cabos de
0.872 m
72
Figura 3.36 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética
para um sistema monofásico à frequência de 50Hz para os 2 diferentes modos
de ligação das bainhas.
73
Figura 3.37 – Valor eficaz do campo de indução magnética a 50Hz para o caso
monofásico para os 2 diferentes modos de ligação das bainhas à terra
74
Figura 3.38 - Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética
para um sistema trifásico à frequência de 50Hz com os cabos dispostos em
esteira horizontal para os 2 diferentes modos de ligação das bainhas
74
Figura 3.39 – Valor eficaz do campo de indução magnética a 50Hz com os cabos
dispostos em esteira horizontal para os 2 diferentes modos de ligação das
bainhas
75
IX
Figura 3.40 – Ilustração da posição dos cabos para 3 situações. Cada um dos 3
circuitos trifásicos representado, é constituído pelas fases A, B e C, em que cada
letra corresponde a uma fase diferente. a)Situação 1 b) Situação 2 c)Situação 3
76
Figura 3.41 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no
ar, para cada uma das situações ilustradas na fig5.1. O circuito da situação 1
transmite a mesma potência que os circuitos com 6 cabos , situações 2 e 3.
77
Figura 3.42 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cada uma das
situações ilustradas na fig4.1. O circuito da situação 1 transmite a mesma
potência que os circuitos com 6 cabos, situações 2 e 3
77
Figura 3.43 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no
ar, para cada uma das situações ilustradas na fig. 4.1. O circuito da situação 1
transmite metade da potência que os circuitos com 6 cabos , situações 2 e 3
78
Figura 3.44 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cada uma das
situações ilustradas na fig4.1. O circuito da situação 1 transmite metade da
potência que os circuitos com 6 cabos, situações 2 e 3
78
X
Listagem de tabelas
Tabela1.1- Densidade de fluxo de campo magnético a 50 e 60 Hz em diferentes
electrodomésticos (extraída de [4])
18
Tabela1.2- campos magnéticos no sistema eléctrico ferroviário do reino Unido (extraído de
[4]
20
Tabela1.3 - Campo Eléctrico e magnético medido em linhas Portuguesas (extraído de [7]) 24
Tabela A1 -– Valor eficaz da corrente para diferentes geometria e temperaturas (extraído de [20]).
85
XI
Listagem de simbolos
μ – Permeabilidade Magnética
σ –Condutividade
f- frequência
ω- Frequência angular
Z- Impedância
s –solo
c –Condutor
b – bainha
I- Corrente
t- tempo
A – Potencial Vector
H - Vector campo magnético
D – Vector Deslocamento eléctrico
E – Vector Campo eléctrico
J – Densidade de Corrente
∇ - Gradiente
∇. – Divergência
∇× - Rotacional
2∇ - Laplaciano
mJ - Função de Bessel de 1º tipo
mY -Função de Bessel de 2º tipo
(1)mH - Função de Hankel de 1º tipo
(2)mH - Função de Hankel de 2º tipo
12
Capítulo 1
Introdução
1. Motivação
Os campos eléctricos e magnéticos existem em qualquer sistema de energia eléctrica,
quer estes sejam de geração, transmissão ou distribuição, em linhas ou cabos, ou mesmo em
outros dispositivos eléctricos. Assim a exposição aos campos eléctricos e magnéticos, é uma
constante no dia a dia de cada um, desde que o consumo de electricidade se tornou um
produto indispensável na sociedade moderna.
No início dos anos 60, na antiga União Soviética, os trabalhadores de uma subestação
eléctrica anexa a uma central nuclear queixaram-se de fadiga, dores de cabeça, insónias e
falta de apetite. Deste modo, surgiram as primeiras preocupações com os efeitos biológicos
dos campos electromagnéticos.
A partir de final dos anos 70, um vasto número de estudos epidemiológicos têm sido
feitos para identificar os possíveis efeitos na saúde humana, entre os quais se destacam a
leucemia infantil, o cancro da mama e tumores cerebrais.
Embora a maior parte da preocupação seja com as linhas de transmissão aéreas, a
verdade é que muitas pessoas estão sujeitas a campos electromagnéticos em suas casas e
local de trabalho tendo, nestes casos, o campo diversas fontes. A exposição ao campo
13
electromagnético é uma consequência inevitável da dependência de energia eléctrica nas
actividades diárias.
Quando surgiram as primeiras contestações relativas aos possíveis efeitos nocivos das
linhas de transmissão, também surgiram os primeiros estudos relativos aos efeitos do campo
eléctrico. Esses estudos demonstraram que, aparentemente, o campo eléctrico não tinha
qualquer consequência para a saúde. O campo eléctrico pode ser facilmente bloqueado pela
vegetação, prédios, vedações, e outros objectos. Podem ser muito atenuados por cabos com
bainhas. Assim, cabos subterrâneos quase não produzem campo eléctrico à superfície. Em
contrapartida o campo magnético à frequência da rede, tem uma elevada profundidade de
penetração e passa facilmente pela maioria dos objectos, incluindo prédios, terra e pessoas.
Daí a importância do seu estudo, que será feito ao longo deste trabalho.
14
2. Introdução ao texto
A presente tese está organizada em 4 capítulos. No primeiro capítulo é feita uma introdução ao
tema, onde são levantados os problemas criados na sociedade moderna pela presença do
campo magnético e quais as medidas legislativas adoptadas.
No segundo capítulo é desenvolvido todo o modelo de cálculo do campo de indução magnética
criado por cabos subterrâneos, onde são descritas todas as aproximações do modelo
permitindo saber quais as suas condições de validade. No capítulo seguinte, apresentam-se
resultados de simulações numéricas do campo de indução magnética no ar criado por
diferentes números de cabos subterrâneos e dispostos em diferentes geometrias, sendo
também feita a validação do modelo de cálculo utilizado.
No capítulo 4, último capítulo, são apresentadas as conclusões e sugeridas hipóteses de
desenvolvimento para trabalhos futuros.
É importante referir alguns aspectos da notação utilizada. Os símbolos que representam o valor
numérico das grandezas são letras em itálico, as grandezas vectoriais são representadas em
negrito.
15
3. O Campo magnético e a saúde publica
3.1.Estudos Epidemiológicos
A hipótese de ligação dos campos magnéticos com o cancro, baseia-se em estudos
epidemiológicos. Enquanto que o raciocínio clínico utilizado na medicina procura associar
sinais e sintomas com características pessoais conduzindo a um diagnóstico rigoroso, os
estudos epidemiológicos são baseados numa relação causa efeito. A epidemiologia é uma
ciência de associação com base em estatística que faz correlações entre agentes
potencialmente perigosos e padrões de doenças na população.
Leucemia infantil e o campo magnético
Há uma controvérsia considerável sobre uma possível ligação entre campos magnéticos de
baixa frequência e o cancro. Muitos estudos sobre o assunto surgiram desde que Wertheimer e
Leeper reportaram (1979) uma associação entre mortalidade por leucemia infantil e a
proximidade de casas às linhas de distribuição de energia. Nancy Wertheimer, uma
epidemiologista, procurava factores ambientais que se pudessem relacionar com a leucemia
infantil. Ao verificar que havia, em regra, linhas eléctricas e pequenos transformadores nas
proximidades das vivendas, no Colorado (EUA) surgiu a ideia que poderia haver uma relação
causa efeito entre as linhas de transporte de energia e a leucemia infantil. Inventou um sistema
de classificação da proximidade magnética entre casas de habitação e linhas denominado “wire
codes”[19], que permitiu a outros investigadores realizarem estudos sobre os efeitos do campo
magnético.
Para além dos estudos feitos para relacionar o campo magnético com a leucemia, que não
foram conclusivos, também tentou com outras patologias, tendo esses estudos também sido
considerados inconclusivos.
Mais tarde em 1988, foi feito um estudo na Universidade da Carolina do Norte sobre 356 casos
de leucemia e linfoma. Este estudo teve como base inquéritos telefónicos (aleatórios) com uma
baixa taxa de colaboração, o que fez com que os resultados pudessem estar deturpados.
Embora este estudo não tenha sido conclusivo, permitiu desencadear um conjunto de estudos
epidemiológicos com um maior número de casos em estudo e qualidade superior.
Em 1991 na Universidade da Califórnia do sul, foi feito um estudo sobre 164 casos de leucemia
em menores de 10 anos. Os autores, concluíram, que não era possível estabelecer uma
relação entre os valores dos campos medidos e a doença, mas que haveria uma relação entre
esta e a proximidade de condutores e uso de electrodomésticos de potência.
Em 1997, Martha linet, do instituto do cancro dos EUA, realizou um estudo envolvendo uma
amostra populacional muito maior do que as anteriores investigações realizadas nos EUA, até
à data. Este estudo foi realizado sobre 638 casos de leucemia infantil em crianças com menos
de 15 anos, e foram usadas 620 crianças de controle que viviam em casas expostas a campos
16
magnéticos criados por linhas de energia eléctrica. As exposições a campos magnéticos foram
determinadas usando medições, efectuadas durante 24 h no quarto da criança e medições de
30 segundos noutras divisões da casa e na rua em frente da porta de casa. Também foi usado
o método criado por Nancy Wertheimer, “wire codes” [19], em 416 casos de pacientes e 416
casos de controle. Os resultados mostraram que o risco de leucemia em crianças “não estava
ligado aos de medição do campo magnético. O risco de doença não aumentou mesmo quando
as crianças se encontravam na categoria mais alta utilizando o “wire code”. Os resultados
também mostraram, que o risco não estava associado aos níveis de campo magnético.
Em 1999, McBride et al, realizou 2 estudos, um dos quais envolvendo medidas directas dos
valores do campo magnético. Porém o estudo também se baseou no inquérito por carta ou
telefone o que levou a OMS (Organização Mundial de Saúde) a considerar os resultados
enviusados.
Na Europa, também se realizaram diversos estudos contudo, as populações sujeitas aos
campos magnéticos na Europa são em menor quantidade, o que fez com que os estudos
europeus tivessem um número reduzido de doentes conhecidos.
3.2. Campo de indução magnética em diferentes locais
Campo de indução magnética em casas de habitação
O campo de indução magnética a baixa frequência tem uma elevada profundidade de
penetração, não sendo por isso bloqueado pela maioria dos materiais. Na fig1.1 que se segue,
é feito um sumário da informação de um estudo feito pela “Electric Power Research Institute”
(ERPRI), onde se mostra a média do campo de indução magnética em todas as divisões de
992 casas nos Estado Unidos. As medições realizaram-se minimizando a influência dos
campos criados por aparelhos eléctricos no interior das casas, de modo a que o campo medido
fosse devido ao circuito eléctrico da casa e fontes exteriores a esta, como linhas de transporte
de energia.
17
Figura 1.1 - Média do campo de indução magnética de todas as divisões de uma casa em 992 casa
nos EUA. (Extraído de [5]) 1mG=0.1 [T].
Como se pode observar no gráfico da figura, metade das casas têm campos médios inferiores
a 0.6 mG, que corresponde a 0.06 T [microtesla], tendo o valor médio obtido, sido igual a 0.09
T.
Todo o tipo de aparelhos electrónicos que se encontram nas habitações são uma fonte interna
de campo de indução magnética sendo, nestes aparelhos, criado pelas correntes eléctricas que
os percorrem. Assim, conforme o tamanho, o tipo e a qualidade do aparelho relativa à
optimização do campo de indução magnética exterior, o valor do campo criado varia.
Na tabela seguinte, encontram-se os valores do campo de indução magnética criado por
diversos aparelhos à frequência de 50 Hz.
18
Tabela1.1- Densidade de fluxo de campo de indução magnética a 50 Hz em diferentes
electrodomésticos (extraída de [4])
Densidade de fluxo campo de indução magnético [T] Fonte Valor médio a 30 cm
e à frequência de 50Hz
Resultado de simulação para f=50Hz a uma distância de 50 cm
Casa de banho Secador de cabelo 1 Máquina de barbear 2 Cozinha Batedeira 1 Abre-latas 15 1.33 Máquina da loiça 1 0.8 Microondas 0.4 1.66 Misturadora 1 0.69 Forno eléctrico 0.4 0.39 Frigorifico 0.2 0.05 Torradeira 0.3 0.09 Lavandaria Máquina de secar a
roupa 0.2 0.34
Máquina de lavar 0.7 0.96 Ferro de engomar 0.1 0.03 Secador portátil 2 0.22 Aspirador 6 0.78 Sala de estar TV 0.7 0.26 VCR 0.06 Aparelhagem 0.08 Rádio 0.06 Relógio com
despertador 0-50 0.05
Escritório Máquina de fotocopias
2
Luz florescente 0.6 Ferramentas Carregador de bateria 0.3 Broca 3 Serra eléctrica 4 Variados Central de
bombagem 0.51
Alarme anti roubo 0.18
Como se pode ver na tabela 1.1, os valores do campo andam na ordem das centésimas de
[T] microtesla a 50Hz embora possam atingir valores superiores. É importante ter em conta
que estes valores são obtidos a distâncias próximas dos aparelhos e que muitos deles não
estão em funcionamento 24h por dia. O que significa que, não se está constantemente sobre o
efeito destes campos.
19
Campo de indução magnética no trabalho
O campo de indução magnética não está apenas presente nas casas de habitação,
mas também em outros locais tais como escritórios, oficinas ou mesmo na rua. Na figura1.2
que se segue encontram-se valores do campo de indução magnética a que 4 trabalhadores, de
diferentes profissões, foram sujeitos durante parte do dia de trabalho.
Figura 1.2 - Exposição de diferentes trabalhadores ao campo de indução magnética (extraído de
[5]) . 1mG=0.1 [T]
Na leitura destes valores há que ter em conta que não representam uma classe de
trabalhadores, mas apenas uma leitura de valores instantâneo durante as horas de trabalho de
cada um dos indivíduos. Os valores do campo de indução magnética variam muito conforme a
sua proximidade a qualquer tipo de aparelhos eléctricos. Como se pode observar na fig1.2 uma
pessoa que trabalha num escritório pode estar sujeita a valores instantâneos de campo de
indução magnética tão elevados como uma pessoa que trabalha com máquinas numa fábrica.
Para isso basta, por exemplo, estar próximo de um computador.
Campo de indução magnética nos transportes
O campo de indução magnética não existe apenas em casas de habitação e nos locais
de trabalho, mas também, nos diversos tipos de transportes. Um dos sistemas de transporte
que usam energia eléctrica nos dias de hoje é o sistema ferroviário. Os valores do campo de
indução magnética variam muito num sistema de caminho de ferro, conforme o tipo de
comboio, tracção e alimentação eléctrica de todo o sistema. Em França, foram feitas medições
20
dentro de um comboio de alta velocidade e à distância de 10 m fora do comboio, tendo-se
obtido valores de pico próximos de 7 T. Num estudo Sueco (Anger,Berglund &Hansson
Mild,1997) , obtiveram-se campos na ordem dos 100 T dentro da cabine do condutor.
Na tabela seguinte encontram-se resultados de campos magnéticos no sistema
eléctrico ferroviário do Reino Unido.
Tabela1.2- campos magnéticos no sistema eléctrico ferroviário do reino Unido (extraído de [4]).
Densidade do campo de indução magnético [T] Sistemas e fontes Densidade de fluxo
magnético [T] em AC
Frequência Explicação
Metro de Londres Até 20 100Hz Na cabine do condutor; resultantes dos componentes de tracção
Comboio sub urbano com motor 750 DC
16-64 100Hz Na carruagem dos passageiros à altura de uma mesa
16-48 100Hz Na plataforma fora do comboio
Locomotivas na linha principal 5-50 50Hz Na carruagem dos passageiros
Como se pode observar na tabela da figura, o campo de indução magnética tem
grandes oscilações conforme o local onde é medido e o tipo de alimentação. Neste estudo
verificaram-se valores de campo de indução magnética que varia entre 5 e 50 T nas
carruagens de passageiros.
Num automóvel em movimento também existem campos electromagnéticos. O valor do
campo de indução magnética nos assentos pode atingir entre 2 a 5 T, sendo os valores
máximos obtidos nos pés dos passageiros da frente e nas ancas dos passageiros que viajam
atrás.
3.3. Posição da Organização Mundial de saúde relativamente aos efeitos
do campo magnético
Segundo a IARC (International Agency for Researched and Cancer) da OMS são identificados
vários factores que podem aumentar o risco de cancro. Nele são incluídos diversos tipos de
factores, entre químicos, físicos, agentes biológicos etc. Estes factores são divididos em
diferentes tipos de riscos. Na tabela 1.3 que se segue estão presentes alguns exemplos de
factores correspondentes aos vários tipos de riscos.
21
Figura 1.3 Classificação do potencial cancerígeno pela agência Internacional para a Investigação do Cancro (IARC) da OMS, revista em 2001 (extraído de [7])
O campo electromagnético encontra-se no grupo 2B “possivelmente cancerígeno”. Esta
categoria contempla factores que têm uma evidência cancerígena limitada em humanos e
menos do que suficiente em animais. Na análise destes grupos há que notar que o campo
magnético se encontra no mesmo grupo que o café. E que o campo eléctrico, no mesmo que a
cafeína e o chá.
Uma vez que não está provada qualquer relação sobre efeitos crónicos do campo magnético
na saúde pública a OMS, apenas aconselha a utilização de medidas de precaução. A OMS
aconselha a diminuir o valor do campo magnético em diferentes tipos de instalações e
aparelhos desde que os custos das medidas de precaução sejam muito baixos ou mesmo
nulos.
3.4. Legislação e medidas já existente
Independentemente da posição das instituições de saúde e da realidade relativamente ao
efeito do campo magnético na saúde, existe um problema de opinião pública relativamente ao
tema. O que faz com que exista um aumento do numero de contestações das linhas de energia
eléctrica.
Nos EUA existem casos em que as empresas de energia responsáveis pelas linhas de
transmissão foram obrigadas a pagar indemnizações aos proprietários dos terrenos onde as
linhas estão instaladas, não por danos físicos, uma vez que não existe qualquer prova
cientifica, mas por danos pessoais e devido à desvalorização dos terrenos. Esta desvalorização
dos terrenos, resulta dos medos públicos associados aos campos magnéticos.
Na figura seguinte encontram
que respeita à protecção contra campos magnét
Figura 1.4 - Listas referentes ao posicionamento intern
recomendações quantitativas da ICNIRP de 1998.(extraído de [2])
Alguns países adotaram algumas medidas precaucionais contra eventuais efeitos nocivos dos campos magnéticos. Estas medidas têm como função,diminuir o possível risco de cancro, ou apenas o medo associado à proximidade de linhas ou cabos de transmissão de energia electrica.
Países sem politica oficial definida
• Arménia• Uzbequistão• Cazaquistão• Mongólia• Bahrain• Índia• Malasia• Tailândia• EUA• Canadá
Países que incorporaram as recomendações da ICNIRP na sua
legislação
nacional:
•Áustria
•Finlândia
•Grécia
•Portugal
22
seguinte encontram-se a situação de diversos países relativamente à exigência no
que respeita à protecção contra campos magnéticos:
Listas referentes ao posicionamento internacional no que diz respeito, às
recomendações quantitativas da ICNIRP de 1998.(extraído de [2])
Alguns países adotaram algumas medidas precaucionais contra eventuais efeitos nocivos dos pos magnéticos. Estas medidas têm como função,diminuir o possível risco de cancro, ou
apenas o medo associado à proximidade de linhas ou cabos de transmissão de energia
Países que estão a estudar a adopção das recomendações da ICNIRP
• Colômbia• Uruguai• Chile• América Latina em geral
Países que adoptaram de facto as recomendações da ICNIRP, mas que
não as obrigam por lei
• Austrália• Nova Zelândia• Singapura• Coreia do Sul• Taiwan• Venezuela• Brasil• África do Sul• Lituânia• Bulgária• Dinamarca• Suécia• Luxemburgo• Malta• Bélgica• Irlanda• Holanda• Alemanha• França• Reino• Reino Unido• Espanha
Países que já tinham restrições mais severas que as recomendadas pela
ICNIRP mas que se ajustaram a estas
•Estónia
• Hungria
•Noruega
•Croácia
•República Checa
Países com políticas mais exigentes que as recomendadas pela ICNIRP:
•Rússia
•Polónia
•China
•Japão
•Argentina
se a situação de diversos países relativamente à exigência no
acional no que diz respeito, às
Alguns países adotaram algumas medidas precaucionais contra eventuais efeitos nocivos dos pos magnéticos. Estas medidas têm como função,diminuir o possível risco de cancro, ou
apenas o medo associado à proximidade de linhas ou cabos de transmissão de energia
Países que adoptaram de facto as recomendações da ICNIRP, mas que
não as obrigam por lei
Nova Zelândia
Coreia do Sul
Venezuela
África do Sul
Dinamarca
Luxemburgo
Reino Unido
Países com políticas mais exigentes que as recomendadas pela ICNIRP:
Figura 1.5 - Medidas precaucionais contra eventuais efeitos crónicos do
diferentes países (extraído de[2]).
Legislação em Portugal
A 23 de Novembro de 2004, o Diário da República I
1421/2004 que adopta para Portugal a Recomendação 519/EC/1999 do Conselho Europeu.
Para as frequências de 50Hz prescrevem
a fim de prevenir efeitos sobre o sistema nervoso. Assim o limite de densidade de corrente
básico estabelecido, é de 0.16 mA/m
magnética 100 T. Estes valores
valores limites diferentes para outras frequências. É também necessário ter em conta o facto
de se poder estar exposto a múltiplas frequências, sendo nesses casos necessário ter em
conta a densidade de correntes induzidas por cada
Suiça(1999)
•Definiubaseadosconómicasnão é aplicável
Israel
•(2001)Definiuultrapassar
•(2005)Definiudos residentes,temporariamentevalorespara a saúde"
Holanda(2005)
•Requer-criançasinstalações
Itália(2003)
•Definiu umhabitaçõesque garanta,horas/dia,
Eslovénia(2006)
•Definiu um limite fixo para todas as novas instalações acima de 1 kV
23
Medidas precaucionais contra eventuais efeitos crónicos dos campos magnéticos em
(extraído de[2]).
A 23 de Novembro de 2004, o Diário da República I-Série B nº 275 publicou a portaria nº
1421/2004 que adopta para Portugal a Recomendação 519/EC/1999 do Conselho Europeu.
ara as frequências de 50Hz prescrevem-se restrições básicas para a densidade de corrente,
a fim de prevenir efeitos sobre o sistema nervoso. Assim o limite de densidade de corrente
0.16 mA/m2, a que corresponde um limite de campo
. Estes valores são apenas referentes à frequência de 50 Hz, sendo os
valores limites diferentes para outras frequências. É também necessário ter em conta o facto
de se poder estar exposto a múltiplas frequências, sendo nesses casos necessário ter em
nta a densidade de correntes induzidas por cada uma deles.
Suiça(1999)
um limite fixo para instalações em áreas sensíveis 1 [ T]. Adoptoubaseados no menor nível possível de exposição, tendo em conta consideraçõesconómicas e isentando as novas instalações que tenham para isso razões técnicas
aplicável a instalações antigas que ptimizem a geometria dos condutores
)Definiu a orientação, para novas instalações, de o campoultrapassar em média diária, o valor de 1 T.
)Definiu que "sejam tomadas medidas para reduzir significativamenteresidentes, em geral, e de crianças em particular, que são
temporariamente expostos a campos magnéticos da rede eléctricavalores citados na literatura profissional como possíveis causadores
saúde". Na prática: redução dos níveis para 0.3-0.4 T
Holanda(2005)
-se o aumento da distância de novas instalações, de modo quecrianças ao campo magnético não ultrapasse os 0.4 T. Não se recomendaminstalações existentes.
Itália(2003)
um limite fixo para novas instalações relativamente a habitaçõeshabitações próximas de linhas existentes - 3 T. Para instalações pré-existentes,
garanta, para áreas sensíveis, que o campo magnético não ultrapassa,horas/dia, o valor de 10 T.
Eslovénia(2006)
Definiu um limite fixo para todas as novas instalações acima de 1 kV - 10 T.
s campos magnéticos em
Série B nº 275 publicou a portaria nº
1421/2004 que adopta para Portugal a Recomendação 519/EC/1999 do Conselho Europeu.
para a densidade de corrente,
a fim de prevenir efeitos sobre o sistema nervoso. Assim o limite de densidade de corrente
campo de indução
são apenas referentes à frequência de 50 Hz, sendo os
valores limites diferentes para outras frequências. É também necessário ter em conta o facto
de se poder estar exposto a múltiplas frequências, sendo nesses casos necessário ter em
Adoptou limites precaucionaisconsiderações técnicas etécnicas ou económicas, e
condutores de fase.
campo magnético não
significativamente o númerosão contínua ou mesmo
eléctrica que excedam oscausadores de riscos acrescidos
que a exposição média derecomendam alterações às
existentes, e para novasexistentes, adoptou um limite
ultrapassa, durante mais do que 4
T.
24
3.5. Campo criado por linhas aéreas de transporte de energia
Na tabela seguinte encontram valores de medições e valores previstos de campos magnéticos
em linhas de 400 kV portuguesas.
Tabela1.3 - Campo Eléctrico e magnético medido em linhas Portuguesas (extraído de [7])
Figura 1.6 - Campo de indução magnética medido durante uma semana e criado por um cabo de
transmissão de 500KV nos EUA (extraído de [5])
O valor eficaz do campo eléctrico numa linha de transmissão é relativamente estável, pois a
tensão não varia muito. O campo de indução magnética por outro lado varia com a carga que
está aplicada à linha. A carga tem grandes variações conforme a época do ano e as horas do
dia, o que faz com que o campo de indução magnética criado por uma linha tenha grandes
variações. Na tabela estão valores de campos medidos e previstos, em algumas linhas de
400KV em Portugal, onde é possível verificar que mesmo que as linhas estejam a trabalhar à
25
carga máxima, que é uma situação pouco comum, os limites do campo de indução magnética
estão abaixo dos permitidos por lei.
Nos cabos Subterrâneos, tal como nas linhas aérea, a carga também não é constante ao longo
do dia, o que significa que o campo de indução magnética criado por este tipo de cabos varia.
26
Capítulo 2
Campo magnético em cabos subterrâneos
1. Formulação do campo. Descrição do campo através
de integrais de Pollaczek
Figura 2.1 -Esquema ilustrativo, da superfície cilíndrica fronteira de raio re enterrada a uma
profundidade constante h.
Ar
Solo
,s sµ σ
0arµ µ=
Cabo
X
re r
z
h
I 0’
Sa
φ
Sc
y
27
Nesta secção, será desenvolvida a solução para o campo de indução magnética no solo e no
ar satisfazendo condições fronteira em Sc, fronteira entre o solo e uma bainha dieléctrica
cilíndrica, e em Sa, fronteira plana entre o ar e o solo.
Figura 2.2 – Representação de uma superfície fronteira genérica S entre um meio 1 e um meio 2
Para uma fronteira arbitrária S, como a representada na fig.2.2 verificam-se as seguintes
condições:
1 2
1 21 2
1 1
A A
A A
n nµ µ
=
∂ ∂= ∂ ∂
(2.1)
Ou seja, existe continuidade de A na fronteira entre o meio 1 e o meio 2, assim como também
existe continuidade da componente tangencial do campo magnético 1 A
nµ
∂−
∂ .
Para o desenvolvimento da solução será assumido que:
• A terra é um meio semi-infinito em que a superfície terra/ar é um plano;
• A geometria é considerada infinitamente longa segundo a coordenada z, sendo por
isso o campo dependente apenas das coordenadas (x,y) (geometria axial);
• A superfície cilíndrica de centro 0’ está enterrada a uma profundidade constante;
• A terra e o ar são ambos considerandos homogéneos, o ar é caracterizado pela
permeabilidade magnética μ0 , a terra pela permeabilidade μs e condutividade σs.
• O campo tem uma variação sinusoidal no tempo, e é criado por uma corrente i(t)
dentro da cavidade cilíndrica que é dada por:
( ) [ ]j ti t Re Ie ω=
(2.2)
Onde I é a amplitude complexa de i(t), ω é a frequência angular e t o tempo;
n
1
2
S
28
• A hipótese de regime quase estacionário é assumida, em consequência de
0
t
∂
∂
D
(2.3)
Ou seja, despreza-se o efeito capacitivo distribuído e consequentemente as correntes de
deslocamento.
No domínio da frequência, tendo em conta que o sistema está em regime alternado sinusoidal,
no interior dos condutores verifica-se:
( )
j
j
σ ωε
σ ωε
∇ × = + =
= +
H E E
E (2.4)
Para uma condutividade do solo 10.01s Smσ −= e para uma frequência = 1f MHz obtém-se
5 15,5510 Smωε − −= o que implica que σ ωε>> . Aplicando a aproximação a (2.4) obtém-se,
para o interior dos condutores
σ∇ ×H E
(2.5)
Que é equivalente a dizer que se está em regime quase estacionário.
O potencial vector do campo magnético é uma grandeza vectorial A, de tal forma que o campo
de indução magnética é obtido por:
= ∇ ×Β A
(2.6)
Tendo em conta todas as condições anteriormente assumidas e considerando a condição de
restrição de Maxwell ( . 0∇ =A ), o potencial vector A em meio condutor e em meio dieléctrico
satisfaz as seguintes equações válidas no domínio do tempo:
2
2
Em meio condutor
0 Em meio diel ctrico
Vt
é
σµ σµ∂
∇ = ∇ +∂
∇ =
AA
A (2.7)
em que V é o potencial escalar do campo eléctrico.
Considerando que o problema tem simetria axial, isto é, considerando que a corrente só tem
componente segundo a direcção axial (z);
zJu=J
(2.8)
E atendendo que o potencial vector A é dado em função de J por:
4V
dVr
µ
π= ∫
JA
(2.9)
então A também só tem componente segundo z:
29
zAu=A
(2.10)
Por outro lado, também V∇ só tem componente segundo z, isto é:
( ) z
dVV u V V z
dz∇ = ⇔ =
(2.11)
Como o potencial escalar satisfaz a equação de Laplace no interior dos condutores, então,
22
20 0
d V dVV const
dzdz∇ = ⇒ = ⇔ =
(2.12)
Ou seja, a queda de tensão por unidade de comprimento dentro dos condutores é constante e
é dada por:
constante condutores
dV
dzη = − =
(2.13)
Admitindo que a referência para a tensão é o solo,η = 0solo , e tendo em conta as equações
(2.7), (2.11) e (2.13) obtém-se:
2
2
nos condutores
0 no solo
c c c c
s s
t
t
σ µ σ µ η
σ µ
∂∇ − = − ∂
∂∇ − = ∂
AA
AA
(2.14)
Uma vez que A é um vector que varia no tempo com a mesma forma que a corrente e apenas
depende da coordenada z, é possível escrever o sistema (2.14) com a forma de uma equação
escalar, sobre o componente axial de A, A, e no domínio da frequência.
2
2
nos condutores
0 no solo
c c
s s
A j A
A j A
ωσ µ σµη
ωσ µ
∇ − = −∇ − =
(2.15)
Podendo também ser escrita da seguinte forma,
2 2
2 2
nos condutores
0 no solo
c c c
s
A q A
A q A
σ µ η∇ + = −∇ + =
(2.16)
Onde :
2
/4
s s s
js s s
q j
q e π
ωµ σ
ωµ σ −
= −
= (2.17)
e
30
2
/4
c c c
jc c c
q j
q e π
ωµ σ
ωµ σ −
= −
= (2.18)
A forma da solução pode ser dada pela combinação linear de duas componentes. A primeira
'A tem em conta a fronteira entre o solo e o ar (Sa) e a segunda ''A entre a bainha dieléctrica
e o solo (Sc). Assim, a primeira solução é desenvolvida em coordenadas cartesianas (x,y,z) e a
segunda em coordenadas cilíndricas (r,,z).
1) Forma da solução 'A , tendo em conta a presença da fronteira solo/ar (Sa na fig. 2.1).
O potencial vector do campo magnético no solo é solução da equação (2.16) , podendo a
solução para o solo ser escrita em coordenadas cartesianas.
2 22
2 20s
A Aq A
x y
∂ ∂+ + =
∂ ∂ (2.19)
Tomando para a solução da equação (2.19) a forma de integral de Fourier, dado por:
∞
−∞
= ∫' ( , ) jaxA f a y e da
(2.20)
Tomando para 'A uma solução com a forma ( , ) jaxf a y e , obtém-se de (2.19).
22 2
22 2
2
( , )( ) ( , ) ( , ) 0
( , )( ) ( , ) 0
jax jax jaxs
s
f a yja f a y e e q f a y e
y
f a ya q f a y
y
∂+ + = ⇔
∂
∂⇔ − − =
∂
(2.21)
A solução de (2.21) é dada por:
−=
2 2
( , ) ( ) sa q yf a y F a e
(2.22)
Em que foi escolhido o ramo que satisfaz 2 2Re[ ] 0sa q− > de modo que a função f seja
regular em y=-∞.
Assim a solução para 'A é:
2 2
' ( ) ,sa q y jaxA F a e e da
∞−
−∞
= ∫
(2.23)
onde ( )F a é uma função a ser determinada.
31
2) Forma da solução de ''A , tendo em conta a presença da fronteira solo/dieléctrico (Sc
na fig.2.1).
Devido à forma geométrica da superfície dieléctrica a solução será escrita em coordenadas
cilíndricas. O Laplaciano em coordenadas cilíndricas tem a forma:
2 2 22
2 2 2 2
1 1( ) onde 0
;
A A A AA r
r r r r z z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + =
∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ (2.24)
Sendo a solução de (2.24) dada por uma série de Fourier:
'' ( ) jm
m
m
A R r e∞
ϕ
=−∞
= ∑
(2.25)
Tomando para ''A uma solução com a forma ( ) jmmR r e ϕ
, obtém-se de (2.24) a seguinte
equação de Bessel de ordem m onde sq rξ = ,
22
2
2 2
2 2
( )1( ) ( ) 0
( ) ( )1(1 ) ( ) 0
mm s m
m mm
R r mr R q R r
r r r r
R r R r mR r
ξ ξξ ξ
∂∂− + =
∂ ∂
∂ ∂⇔ + + − =
∂∂
(2.26)
Em que a solução mR é:
1 2
1 2
(1) (2)
( ) ( ) ( )
ou
( ) ( ) ( )m
m m m m m
m m m m
R r F J F Y
R r G H G H
ξ ξ
ξ ξ
= +
= + (2.27)
mJ é uma função de Bessel de 1º tipo , mY uma função de Bessel de segundo tipo, (1)mH e
(2)mH são as funções de Hankel de 1º e 2º tipo respectivamente, sendo todas de ordem m.
As funções de Bessel e as funções de Hankel são usadas uma ou outra conforme o caso que
se pretende estudar.
a) Para um condutor maciço usam-se as funções de Bessel,
( )
1m m m sR F J q r=
(2.28)
F2m é igual a 0, pois a função Ym é singular em 0.
32
b) Para um condutor oco, caso em estudo, usa-se a equação de Hankel de 2ª espécie.
( )
2
(2)m m m sR G H q r=
(2.29)
G1m é 0, pois mH é singular no ∞.
Deste modo a solução da equação de ’’ A é dada por:
'' ( ) jm
m m s e
m
A G H q r e para r r∞
ϕ
=−∞
= >∑
(2.30)
Onde Gm é um coeficiente a ser determinado e em que Hm representa a função de Hankel do 2º
tipo.
Com vista à soma das 2 soluções ’A e ’’A é conveniente colocar (2.30) em coordenadas
cartesianas, o que se obtém usando a definição integral das funções de Hankel. Sendo a
função de Hankel de 2º tipo definida por:
2
( ) (1/ ) ( ) sy h a qjm jaxm s mH q r e W a e e daπ
∞− + −ϕ
−∞
= ∫
(2.31)
onde:
2 2
2 2( ) ( ) ,y hs m
ms s
a a q jW a
jq a q
− −= > −
− (2.32)
É fácil obter a solução ’’A na forma integral:
2 2
'' (1/ ) ( )sy h a q
jaxm m
m
A e e G W a daπ
∞ ∞− + −
=−∞−∞
= ∑∫
(2.33)
A solução global de A na terra tendo em conta as duas fronteiras pode ser obtida pela soma
de 'A (2.23) e ''A (2.30):
∞
−∞
= + = − < <∫( , ) ' '' ( , ) , h y 0jaxterraA x y A A G a y e da
(2.34)
33
Onde:
2 22 2
( , ) ( ) (1/ ) ( )ss
y h a qy a q
m m
m
G a y F a e e G W aπ∞− + −−
=−∞
= + ∑
(2.35)
Sendo Wm(a) conhecido e dado por (2.32) e F(a) uma solução a calcular tendo em conta as
condições de fronteira em Sa.
A solução no ar que satisfaz a equação de Laplace (2.7) pode ser escrita de forma análoga ao
procedimento para o solo:
2 22
2 20 0ar ar
ar
A AA
x y
∂ ∂∇ = ⇔ + =
∂ ∂ (2.36)
Em que a solução é dada por:
∞
−∞
= ∫ ( , ) jaxarA f a y e da
(2.37)
Tomando para A uma solução com a forma ( , ) jaxf a y e , obtém-se de (2.36).
22
2
( , )( ) ( , ) 0
f a ya f a y
y
∂− =
∂ (2.38)
Sendo a solução de (2.38),
−= >( , ) ( ) , y 0
a yf a y U a e
(2.39)
Substituindo ( , )f a y em (2.37) obtém-se:
∞−
−∞
= >∫( , ) ( ) ,y 0 a y jaxA x y U a e e da
(2.40)
Uma vez definidas as formas das soluções de A para a terra e para o ar, está-se em
condições de se poder impor as condições fronteira. Para isso será aplicado (2.1) ao caso em
estudo.
34
a)Para satisfazer as condições fronteira na fronteira solo/ar:
- +
00 0
y=0 y=0
( , )1 ( , ) 1
A(x,y) =A (x,y)
ar
s y y
ar
A x yA x y
y yµ µ= − = +
∂∂=
∂ ∂
(2.41)
Substituindo (2.40), solução de A no ar, e (2.34) , solução de A no solo, nas equações
fronteira de (2.41) obtém-se:
2 22 2
2 2 -
0
2 -1( ) ( )
-
sh a qsm m
s ms
a qU a e G W a
a a qµπ
µ
∞− −
= ∞
=
+∑
(2.42)
2 2
2 2
0
2 2
0
1F(a) - ( )s
ss
h a qm m
s ms
a a q
e G W a
a a q
µ
µ
µπ
µ
∞− −
=−∞
− −
=
+ −∑
(2.43)
Substituindo (2.42) em (2.40) obtém-se a equação de A no ar tendo em conta as duas
fronteiras.
2 22 2
2 2
0
21( , ) ( )s
ma yh a qs jax
ar m ms m
s
a qA x y e e e G W a da
a a qµπ
µ
∞ =∞−− −
=−∞−∞
−=
+ −∑∫
(2.44)
Considerando o pior caso, 1 2cr 6cm;f 1MHz; 0.01Sm 1.7 *10 1s sq rσ − −= = = ⇒ = . Assim é
possível aplicar a aproximação de Pollaczek em que se tem:
, 00m m mG ∈ ≠→ ∀
(2.45)
Ou seja, apenas se considera o primeiro termo do somatório de (2.34) .
Aplicando a aproximação de Pollaczek a ''A obtém-se:
(2)0 0'' ( ) '' ( ) para jm
m m s s e
m
A G H q r e A G H q r r r∞
ϕ
=−∞
= ⇒ = >∑
(2.46)
Para estabelecer as soluções do campo na superfície cilíndrica Sc, é conveniente formular 'A
(2.23) , onde ( )F a é dado por (2.43) em coordenadas cilíndricas. Assim,
' ( ) ,
sinjm
m e
m
hA E r e r r
∞ϕ
=−∞
= < <ϕ∑
(2.47)
35
em que
, 0 0,( ) ( ) ( )m m m k m m m
m
E r J qr G b J q r G b∞
=−∞
= ∑
(2.48)
Tendo em conta a aproximação de Pollaczek, e em que:
, 2 2
2 ( )
0
( 1)
s
Kk m K m K m
p
jq h ch a pap
jb Int Int
Int e e da
π − − + +
∞− −
= − +
= ∫
.
(2.49)
Tendo 'A e ''A , é fácil obter A na terra, pela aproximação de Pollaczek, à superfície do
dieléctrico (Sc):
(2)0 0 0 0 0.0' '' ( ) ( )s e s eA A A G H q r J q r G b= + +
(2.50)
Tendo agora em conta as condições fronteira solo/dieléctrico,
0
1 ( , ) 1 ( , )
A( , ) =A( , )
e e
e e
s r r r r
r r r r
A r A r
r r
r r
µ µ+ −
+ −
= =
= =
∂ ϕ ∂ ϕ=
∂ ∂
ϕ ϕ
(2.51)
Figura 2.3 – Representação da bainha exterior do cabo
rbe
re Bainha
diélectrica
Solo
36
No interior do cabo na bainha dieléctrica exterior:
2
1 2
0 ( ) 0
1ln , be e
d dAA r
dr dr
A C C r r rr
∇ = ⇔ = ⇔
⇔ = + < < (2.52)
Substituindo (2.52)e (2.50) em (2.51) obtém-se:
(2)0 0 0,0 1 20
(2)0 1 0,01
0
10 (2)
0 1 0,01
20,
1 0
1G ( ) ( ) ln
1 1 1( ) ( ) 1
1G
( ) ( )
1ln
s e s ee
s e s es s e
s
s e s e s e
s
e
H q r J q r b C Cr
G H q r J q r b Cq r
C
q r H q r J q r b
CK
C r
µ µ
µ
µ
µ
µ
+ = + ⇔
+ =
=
+⇔
= − +
(2.53)
Em que,
(2)0 0,00
0 (2)1 0.,01
( ) ( )1
( ) ( )s e s e
s e s e s e
H q r J q r bK
q r H q r J q r b
+=
+ (2.54)
0,0 2
2 ( ) 22
0
2
sjq h ch a a
jb Int
Int e e da
π∞
− −
=
= ∫ (2.55)
0
1 2
IC
µ
π=
(2.56)
Uma vez determinada a solução de 'A está-se em condições de definir o cálculo do campo
magnético no ar.
Tal como já foi referido o campo de indução magnética é dado por:
x y
A Au u
y x
∂ ∂= ∇ × = −
∂ ∂B A
(2.57)
em que as derivadas parciais do vector A , de (2.57) ,são :
∞−
−∞
∂= − ≥
∂ ∫ ( ) , 0a y jaxAa U a e e da y
y (2.58)
37
∞−
−∞
∂− = − ≥
∂ ∫ ( ) , 0a y jaxAj aU a e e da y
x (2.59)
Sendo U(a) dado por (2.42), tendo em conta (2.45).
µπ
µ
− − − =
+ − = −
2 22 2
0 02 2
0
0 2 2
21( ) ( )
W (a)
sh a qs
ss
s
a qU a e G W a
a a q
j
a q
(2.60)
Assim para calcular o campo de indução magnética no ar é necessário calcular os integrais
com limites indefinidos. É importante notar que o valor de A depende da soma da corrente da
bainha e do condutor, sendo o resultado dessa soma a corrente unifilar localizada em 0’ (fig.
2.1)
Depois de calculado o valor do integrais (2.58) e (2.59), e para um sistema constituído por 3
cabos o valor eficaz do campo de indução magnética (2.57) é:
2 2ef xef yef
x x y y
B B B
B u B u
= +
= +B
(2.61)
38
2. Cálculo da matriz de impedâncias longitudinais
Figura 2.4- Secção recta de um cabo coaxial típico usado num cabo subterrâneo trifásico de 400Kv.
A determinação da matriz de impedâncias tem em conta os seguintes pressupostos:
• O sistema de cabos têm eixos paralelos entre si e paralelos à superfície da terra.
• O sistema é considerado homogéneo longitudinalmente
É conveniente assumir que o sistema é constituído por N cabos, cada um com a secção
apresentada na fig.2.4. Cada cabo é constituído por 2 condutores metálicos, em que um deles
é o condutor central (IV) e o outro é uma bainha condutora (II). Também é constituído por duas
zonas de material dieléctrico (I e III). A secção (fig. 2.4.) é típica de cabos de alta tensão.
O sistema é constituído por n=2N condutores e o solo onde os cabos estão enterrados. O solo
constitui mais um condutor que pode ser escolhido como referência para a tensão eléctrica.
O primeiro passo a dar é a obtenção do potencial vector A do cabo, nas diferentes regiões
indicadas na fig. 2.4.
Solução para a região I:
= + < <1 2
1ln be eA C C r r r
r (2.62)
Solução para a região II:
= + + < <1 0 2 0( ) ( ) b b b bi beA F J q r F Y q r A r r r
(2.63)
IV(condutor central ou de fase)
III(dieléctrico)
II( Bainha condutora)
I(dieléctrico)
Solo
rc rbi
rbe re
Sc
39
Solução para a região III:
= + < <3 4
1ln c biA C C r r r
r (2.64)
Solução para a região IV:
= + <3 0( ) c c cA F J q r A r r
(2.65)
Onde, decorrente da lei do circuito magnético se obtém:
0 01 3
( ),
2 2c b cI I I
C Cµ µ
π π
+= =
(2.66)
em que cI e bI são amplitudes complexas da corrente nos condutores de fase (central) e na
bainha condutora respectivamente.
Para a bainha condutora (2.63), a constante bA tem o seguinte significado:
b bj Aω η=
(2.67)
em que bη é a queda de tensão por unidade de comprimento da bainha.
Por outro lado, o condutor central ou de fase (2.65), a constante cA tem o significado:
c cj Aω η=
(2.68)
em que cη é a queda de tensão por unidade de comprimento no condutor de fase.
A solução obtém-se calculando as constantes que figuram em (2.62) a (2.65). Para isso é
necessário ter em conta as condições fronteira entre as diferentes zonas e entre a zona I e o
solo. Sendo eA (2.50) , o valor de A na região exterior ao cabo, no solo, na superfície Sc (fig.2.4), é
possível definir 2C tendo em conta a continuidade de A . Assim:
+ = ⇔
⇔ = − +
1 2
2 1
1ln
1ln
ee
ee
C C Ar
C C Ar
(2.69)
Dentro do cabo as condições fronteira são definidas do seguinte modo:
be ber r 1 2 1 0 2 0
11 1 2 10 0
1 A =A ln ( ) ( )
1 1 1 1 1 ( ) ( )be be
b be b be bbe
b b e b b esr r be b b
C C F J q r F Y q r Ar
dA dA CF q J q r F q Y q rdr dr rµ µ µ µ µ
+ −
+ −
+ = + +
⇔
= = +
(2.70)
40
bi bir r 3 4 1 0 2 0
31 1 2 10 0
1 = ln ( ) ( )
1 1 1 1 1 ( ) ( )bi bi
b bi b bi bbi
b b bi b b bisr r bi b b
A A C C F J q r F Y q r Ar
dA dA CF q J q r F q Y q rdr dr rµ µ µ µ µ
− +
− +
+ = + +
⇔
= = +
(2.71)
3 4 3 0
33 10 0
1 ln ( )
1 1 1 1 ( )
c c
c c
r r c c cc
c b ccr r c c
A A C C F J q r Ar
dA dA CF q J q rdr dr rµ µ µ µ
+ −
+ −
= + = +
⇔ = =
(2.72)
Uma vez definidas as condições fronteira está-se em condições de calcular os diferentes
parâmetros que permitem definir Aem cada uma das zonas do cabo. Resolvendo o sistema
com 6 equações (2.70), (2.71) e (2.72), obtém-se.
1 0 1 04 3 1
0
1 0 1 03
0
( ) ( ) ( ) ( )ln( )
( ) ( ) ( ) ( )
b bi b bi b bi b bibbi
b be
b b be b bi b be b bib
b bi
J q r Y q r Y q r J q rC C r C
q r D
Y q r J q r J q r Y q rC A
q r D
µ
µ
µ
µ
− = + +
−+ +
(2.73)
1 11 3 1
0 0
( ) ( )b b be b b bi
b bi b be
Y q r Y q rF C C
q r D q r D
µ µ
µ µ= −
(2.74)
1 12 1 3
0 0
( ) ( )b b bi b b be
b be b bi
J q r J q rF C C
q r D q r D
µ µ
µ µ= −
(2.75)
3
30 1
1( )
c
c c c c
CF
q r J q r
µ
µ=
(2.76)
1 0 1 01 32
0
1 0 1 01
0
( ) ( ) ( ) ( )ln( )
( ) ( ) ( ) ( )b
b be b be b be b be b bee bb e
be be bi
b b bi b be b bi b be
b be
q r J q r Y q r Y q r J q rrA A C C
r q r r D
Y q r J q r J q r Y q rC
q r D
µ
µ
µ
µ
− = + + +
−+
(2.77)
03 3
0 1
1 0 1 03
0
12
0
( )ln( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
bi c c cc
c c c c c
b b be b bi b be b bi
b bi
bb
b be bi
r J q rA C C
r q r J q r
Y q r J q r J q r Y q rC
q r D
CA
q r r D
µ
µ
µ
µ
µ
µ π
= − +
−+ +
+ +
(2.78)
41
Onde :
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )b bi b be b be b biD J q r Y q r J q r y q r= −
(2.79)
Uma vez definido Ano cabo pode-se proceder ao cálculo das impedâncias longitudinais.
A queda de tensão longitudinal nos condutores dos cabos ( )du
dzη
= −
é dada por:
( ) ( )Z Iη =
(2.80)
Considerando um sistema trifásico constituído por 3 cabos coaxiais iguais, (2.80) toma a seguinte forma,
( )( )( )
( )( )( )
111 12 131
2 21 22 23 2
331 32 33 3
IZ Z Z
Z Z Z I
Z Z Z I
η
η
η
=
(2.81)
em que ( )kη e ( )kI são as matrizes coluna 2×1 contendo as quedas de tensão por unidade de
comprimento do condutor central e da bainha e as correntes do condutor central e da bainha, respectivamente, do cabo k=1,2,3.
Os elementos da diagonal principal são dados por:
kk kk
kk kk
cc cb
kk
bc bb
Z ZZ
Z Z
=
(2.82)
É de notar que os elementos da diagonal principal da matriz de impedâncias só têm em conta a
influência do próprio cabo e da profundidade a que estão enterrados.
A impedância própria da bainha é ainda independente do índice k no caso dos cabos serem
todos iguais. Assim,
0
0 1 0 1 01 1
1 0
6 5
( ) ( ) ( ) ( )ln( )
2
bbb
b Ic
e b b bi b be b bi b bee
be b be
s
j AZ
I
j r Y q r J q r J q r Y q rA C C
C r q r D
Z Z Z
ω
ωµ µ
π µ
=
= =
−= + + =
= + +
(2.83)
42
Sendo:
0
02
e ss
b Ic
j AZ j K
I
ω ωµ
π=
= =
(2.84)
em que 0K é dado por (2.53)
06 ln( )
2e
be
rZ j
r
µω
π=
(2.85)
1 0 1 05
( ) ( ) ( ) ( )
2b b bi b be b bi b be
b be
Y q r J q r J q r Y q rZ j
q r D
µω
π
−=
(2.86)
sZ é uma impedância interna do caminho de retorno da corrente pela terra, 6Z é a impedância
associada à taxa de variação do fluxo magnético no tempo no dieléctrico exterior ,zona I, e 5Z
é a impedância interna da bainha, definida pela queda de tensão ao longo da superfície externa
da bainha quando o retorno é feito pelo condutor exterior.
A impedância mútua entre a bainha e o condutor de fase é:
0 0
2
1 0 1 01
00
4
( ) ( ) ( ) ( )
b c
b bi
c
b cbc
c bI I
q r
b b bi b bi b bi b bib
b beb I
bb
n nZ
I I
J q r Y q r Y q r J q rjC A
q r DI
Z Z
π
µω
µ
= =
=
= = =
− = + =
= −
(2.87)
em que 4Z , é a impedância definida pela queda de tensão ao longo da superfície exterior da
bainha por unidade de corrente de retorno pelo condutor central e pela queda de tensão ao
longo da superfície interior da bainha por unidade de corrente de retorno pelo solo.
4 2 2
b
b be bi
Z jq r r D
µω
π= −
(2.88)
43
A impedância própria do condutor é dada por:
0
01 1
0 1
1 0 1 01
0
1 0 1 012
0
( )ln( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
ccc
c I
bi c c c
c c c c c
b b be b bi b be b bi
b bic
b bi b bi b bi b bi b bibb
be bi
nZ
I
r J q rC C
r q r J q r
Y q r J q r J q r Y q rjC
q r DI
q r J q r Y q r Y q r J q rC A
q r r D
µ
µ
µω
µ
µ
µ
=
= =
− +
− = + + − + +
1 2 3 4bcZ Z Z Z Z
=
= + + + −
(2.89)
Sendo 1Z a impedância interna do condutor de fase, 2Z a impedância devida à taxa de variação
no tempo do fluxo magnético no isolante interno e 3Z é a impedância interna da bainha. Esta
última impedância é definida como a queda de tensão na superfície interna da bainha por
unidade de corrente que retorna pelo condutor central. As impedâncias são dadas por:
01
02
1
1 0 1 03
ln( )2
( )
2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
bi
c
c c c
c c c c
b b be b bi b be b bi
b bi
rZ j
r
J q rZ j
q r J q r
Y q r J q r J q r Y q rZ j
q r D
µω
π
µω
π
µω
π
=
= −
−=
(2.90)
Agora falta calcular as impedâncias para os elementos fora da diagonal. Elas traduzem a
influência dos diferentes cabos uns nos outros.
Assim a impedância entre o cabo k e o cabo j é dada por:
kj kj
kj kj
cc bc
kj
cb bb
Z ZZ
Z Z
=
(2.91)
Tendo em conta (2.81), é possível escrever cada um dos elementos da matriz (2.91):
, 0
0
k
kj
k j Ij jk
b j
c ecc kj
c c
I
j AZ Zm
I I
η ω
≠ =∀
=
= = =
(2.92)
44
, 0
0
k
kj
k j Ij jk
c j
b ebb kj
b b
I
j AZ Zm
I I
η ω
≠ =∀
=
= = =
(2.93)
, 0
0
k
kj
k j Ij jk
b j
b ebc kj
c c
I
j AZ Zm
I I
η ω
≠ =∀
=
= = =
(2.94)
, 0
0
k
kj
k j Ij jk
c j
c ecb kj
b b
I
j AZ Zm
I I
η ω
≠ =∀
=
= = =
(2.95)
Onde:
( , ) kjjax
kj kjZm j G a y e daω
∞
−∞
= ∫
(2.96)
2 22 2
00( , ) ( ) (1/ ) ( )
kj skj s
y h a qy a q
kj
j
GG a y F a e e W a
Iπ
− + −−= +
(2.97)
2 2
2 2
0 00
2 2
0
1F(a) - ( )s
ss
h a q
s js
a a qG
e W aI
a a q
µ
µ
µπ
µ
− −
− −
=
+ − (2.98)
=
−0 2 2( )
s
jW a
a q (2.99)
É importante notar que 0G (2.53) depende linearmente da corrente que faz com que kjZm não
seja dependente da corrente.
O cálculo da matriz de impedâncias permite calcular as correntes induzidas nas bainhas, caso
estas estejam ligadas à terra em múltiplos pontos, permitindo que a tensão ao longo da mesma
seja 0bη .
45
O sistema (2.81) pode ser reorganizado do seguinte modo, para um sistema trifásico de cabos,
com bainhas ligadas à terra em múltiplos pontos.
( )
( )
( )( )
ccc cbc
b bc bb b
IZ Z
Z Z I
η
η
=
(2.100)
Em que ( )cη , ( )bη são submatrizes coluna 3×1 contendo as quedas de tensão por unidade
de comprimento do condutor e da bainha, respectivamente, de cada um dos 3 cabos
constituintes de um sistema trifásico. ( )cI e ( )bI são submatrizes 3×1 contendo as correntes
do condutor central e da bainha, respectivamente.
Substituindo 0bη em (2.100) e tendo em conta que apenas se pretende calcular a corrente
bI .
( ) ( ) ( )0 bc c bb bZ I Z I = +
(2.101)
ou
( ) ( )
1
b bb bc cI Z Z I−
= −
(2.102)
46
3. Método de cálculo dos integrais de Pollaczek
3.1 Algoritmo de integração
O algoritmo de integração utilizado é o algoritmo de Romberg (extraído de [8] e [9]) que permite o cálculo de integral
= ∫ ( )
b
a
I f x dx
(2.103)
Em que ( )f x é uma qualquer função a integrar no intervalo definido [a,b].
Este método utiliza como ponto de partida a regra dos trapézios, que consiste em dividir o
intervalo de integração em trapézios de modo a se poder aproximar a área por baixo da curva à
soma da área dos diversos trapézios.
Figura 2.5- Ilustração do método de integração trapezoidal.
Designando T(m,1) o resultado desta regra com −= 12mN intervalos de comprimento −
=( )b a
hN
, obtém-se,
−
=
= + + +
∑
1
1
1 1( ,1) ( ) ( ) ( )
2 2
N
k
T m h f a f b h f a kh
(2.104)
Usando a estrapolação de Richardsen obtém-se:
− −+ =
−
[4 ( , ) ( 1, )]( , 1)
4 1
j
j
T m j T m jT m j
(2.105)
47
Estes termos podem ser organizados segundo o triângulo:
(1,1)
(2,1) (2,2)
(3,1) (3,2) (3,3)
... ... ... ...
( ,1) ( ,2) ( ,3) ... ( , )
T
T T
T T T
T m T m T m T m m
A primeira coluna do triângulo é dada pela fórmula dos trapézios, e as colunas seguintes são
construídas com a relação de recorrência (2.105). O erro associado a T(m,j) é da ordem de
−∼2 22j jmh [extraído de 8].
Na prática, é mais conveniente calcular os termos do triângulo linha por linha, ao invés de
coluna a coluna, parando o processo quando uma certa precisão for alcançada.
3.2. Definição dos limites de integração
Os integrais a calcular dependem de alguns parâmetros de natureza geométrica. Tomemos as
seguintes constantes.
1 7 101.5 0.01 4 10 sh m m Hmσ µ π− − −= = Ω = ×
(2.106)
A função a estudar é (2.55):
π= 0,0 22
jb Int
(2.107)
2 ( ) 22
0
sjq hch a aInt e e da
∞− −= ∫
(2.108)
A primeira aproximação a fazer é a determinação do limite aproximado de integração de
(2.108). A ideia é substituir o limite superior pelo valor mais baixo que permite obter um valor
próximo do valor do integral até ∞ .Definindo ( )f a como a função a integrar:
4
22 ( ) 2 2 22
limite de integração
2 22 22 2
21
( )
a a
ass s
a aja s s
s
e ejq h
jq hch a jq hea a a
a
j h e h ejq e he a a
termotermo
f a e e e e e e
e e e e e
πωσ µ ωσ µ
−
−
+−− −− − −
→
− −− − −
= =
(2.109)
Em que s sq q= é dado por (2.17).
Para se poder definir qual o limite máximo de integração aproximado, é necessário verificar
qual é o termo de (2.109) que tende mais rapidamente para 0 quando a aumenta. Quando esse
termo é próximo de 0 a função a integrar também o é, não sendo por isso necessário estudar o
respectivo limite. Por inspecção de (2.109) verifica-se que o termo 1 é o que tende mais
rapidamente para zero. Por isso, basta calcular um valor de a que torna o termo 1
suficientemente próximo de 0 para anular a função a integrar.
48
22
1
22
2ln
2
asq e
L
termo
as
a
s
e e
q e L
Le
q
−−> ⇔
⇔ − < ⇔
⇔ <
(2.110)
Sendo neste caso, L=10. O valor de L permite definir a proximidade de 0 da equação a integrar quando se atinge o limite aproximado de integração.
Limites de integração para o cálculo de matriz de impedâncias
No cálculo da matriz de impedâncias é necessário definir os limites de integração da equação
(2.96), sendo por isso importante fazer o estudo da função a integrar. O valor limite aproximado
a ser definido é válido tanto para o limite superior como inferior de integração. Para o calcular
basta analisar o termo ( , )ijG a y que é dado por (2.97) e pode também ser escrito da seguinte
forma:
2 22 2
2 2
2 2
0 0
2 22 2
0
00
1( , ) -
(1/ ) ( ), 0
s
kj s
ss
yij a qh a qij
s j ss
y h a q
j
ua a q
G jG a y e e
u Ic a qa a qu
Ge W a y
I
µ
π
π
−− −
− + −
− −
= +−+ −
+ <
(2.111)
Fazendo uma análise semelhante ao caso anterior fazendo variar a variável a . Obtém-se de
(2.111):
2 22 2
2 2
limite de integração
2 2
)Re(0 0
2 22 2 2
0 31
Re( )
4
( , )
Re( )1
-Re( )
(1/ )
kj ss
kj s
ij a
ss
y a qh a q
s termo j ss
termo
termo
y h a q
termo
G a y
ua a q
G je
Ic a qa a q
e
µ
µπ
µ
π
→
+ −− −
− + −
− −
+−+ −
+
0
0
5
0
aproximação termo 2
aproximação termo30
aproximação termo1
0
aproximação termo 4
aproximação termo5
( )
1 1-
1(1/ )
kj
kj
j termo
s
y ah a
s
y h a
j
GW a
I
a a
e ja
a a
Ge j
aI
µ
µ
µπ
µ
π
+−
− +
−
+
+
+
(2.112)
49
Para definir o limite aproximado de integração é necessário fazer uma inspecção a (2.112).
Se μs=0 o termo 1 é o que tende mais rapidamente para 0, no entanto se μs ≠ μ0 o termo 1 não
tende para 0 mas apenas o termo 2 .Relativamente aos termos 4 e 5 qualquer um deles pode
definir o limite de integração conforme o caso. No caso de ykj=-h o termo 4 é constante e igual
a 1 sendo nesse caso o limite dado pelo termo 3. Por outro lado se ykj≠-h o termo 4 deixa de
ser constante e tende para 0 mais rapidamente que o termo 5 .
De entre os termos 1 e 2 ir-se-á proceder apenas à análise do termo 2 pois para o caso da
permeabilidade magnética do solo ser diferentes da do ar o termo 1 não tende para 0. Assim
sendo apenas com a análise do termo 2 fica-se com o limite definido para ambos os casos.
A partir do aproximação do termo 2 pode-se calcular um valor de a analiticamente que serve de
limite de integração:
lim 2
h yij a L
iteakjkj
e e LL
h y ah y
− + −> ⇔ < ⇔ <− +
− (2.113)
Do mesmo modo para a aproximação do termo 4 de (2.112) ,e para ykj h≠ − :
lim 4kj ite
kj
y h a L aL
y h− + = ⇔ =
+ (2.114)
Para a aproximação do termo 5 de (2.112) obtém-se:
lim 5
11 3 1000itee a
a= − → =
(2.115)
Neste caso o valor de L =30. A expressão que define o limite aproximado de integração varia conforme o valor de ykj h≠ −
. Caso kjy h≠ − o valor do limite é dado pelo maior valor numérico obtido com (2.113) e (2.114)
Caso contrário o limite aproximado é obtido por (2.115).
Limites de integração para as funções do campo de indução magnética do ar
Neste caso existem 2 funções a integrar dadas por (2.58) e (2.59). Em primeiro lugar proceder-
se-á à análise da função (2.58), sendo o integral a calcular dado por:
( ) , 0a y jaxa U a e e da y
∞−
−∞
≥∫
(2.116)
50
Designado ( , , )f a x y a função a integrar:
2 2
2 2
2 2
2 2
0 2 22 2
0
02 2
0
( )0
2 2 2
0
1
( , , ) ( )
21
1 2
1 2( )
a y jax
a
a y s h a qs
sss
a y h a qs
ss
real h a qs a y
s termos
termo
f a x y aU a e e
a q jae e G
a qa a q
jae e G
a a q
ja real e G
a a q
ja
µπ
µ
µπ
µ
µπ
µ
−
→+−∞
− − −
− − −
− − −
=
−=
−+ −
=
+ −
+ −
0 2
0
1
1 2 h a a y
s aproximação termo
aproximação termo
e G
a aµπ
µ
− −
+
(2.117)
Por inspecção de (2.117) verifica-se que o termo 2 é o que tende mais rapidamente para 0.
Assim o limite de integração é obtido utilizando a aproximação do termo 2 de (2.117) e dado
por:
L
Lha a y L
e e h a a y ay h
−< ⇒ − < − →
− −− =
+ (2.118)
Em que L=30.
Para o integral (2.59) a análise é semelhante:
( ) , 0a y jaxaU a e e da y
∞−
−∞
≥∫ (2.119)
Sendo f(a,x,y) a função a integrar.
2 2
2 2
2 2
2 2
0 2 22 2
0
02 2
0
02 2 2
0
1
0
( , , ) ( )
21
1 2
1 2
1 2
a y jax
a
a y h a qs
ss
a y h a qs
ss
h a qs a y
s termos
termo
s
aproximação
f a x y a U a e e
a qs ja e e G
a qa a qs
j a e e G
a a q
j a e G
a a q
j a
a a
µπ
µ
µπ
µ
µπ
µ
µπ
µ
−
→∞
− − −
− − −
− − −
=
−=
−+ −
= =
+ −
=
+ −
+
0 2
1
h a a y
aproximação termo
termo
e G− −
(2.120)
51
Em que a definição do limite de integração é igual ao obtido em (2.118), uma vez que os
termos 1 e 2 de (2.120) são iguais aos de (2.117) e já foram analisados anteriormente.
Capítulo
Resultados Numéricos
1. Comparação dos resultados
simplificado
Figura 3.1 – Esquema ilustrativo do campo criado por um cabo infinitamente longo
52
ítulo 3
Numéricos
Comparação dos resultados com o método
ilustrativo do campo criado por um cabo infinitamente longo
com o método
ilustrativo do campo criado por um cabo infinitamente longo
53
Uma vez que as equações do campo e os limites de integração já estão definidos, está-se em
condições de calcular o campo de indução magnética no ar.
Os resultados do método em estudo serão comparados com o campo criado por um cabo ideal
infinitamente longo, percorrido por uma corrente I , em que o meio envolvente é o ar com
permeabilidade magnética igual a μ0. Para estas condições o campo de indução magnética por
este método simplificado é:
00 2
Iu
rϕ
µµ
π= =ar arB H
(3.1)
Para se poder comparar os valores dos 2 métodos, é necessário considerar que a
permeabilidade magnética do solo é μ0 e a frequência da corrente é 50 Hz para o método em
estudo.
Uma vez definido o campo pelos dois métodos, estão reunidas as condições para calcular, por
um e por outro método, o campo de indução magnética criado por um cabo subterrâneo,
enterrado a uma profundidade constante de 1,5 m e percorrido por uma corrente de fase
2 1025 AI = . O valor de corrente utilizado encontra-se na tabela A1 em anexo. Corresponde
à corrente máxima permitida para os cabos dispostos em esteira horizontal e com bainhas
ligadas em vários pontos à terra, é a pior situação.
Figura 3.3 – Esquema ilustrativo da situação em estudo com a respectiva localização dos eixos
coordenados e do cabo subterrâneo.
54
De seguida apresentam-se os resultados numéricos em perfil, ou seja a distribuição do campo
de indução magnética ao longo do plano x e através de linhas de contorno no plano (x,y).
Figura 3.4 – Perfil com o valor eficaz do campo, utilizando o método simplificado e o método em estudo, em y=0, para um sistema monofásico
Figura 3.5 – Valor eficaz do campo, utilizando o método simplificado e o método em estudo, em y=0m, para um sistema monofásico
Nas figuras 3.4 e 3.5 é possível observar o valor eficaz do campo magnético calculado através do método simplificado e pelo método em estudo. Os valores obtidos pelos 2 métodos são idênticos uma vez que as linhas do gráfico estão sobrepostas, não sendo possível por isso distinguir uma da outra.
-15 -10 -5 0 5 10 150
20
40
60
80
100
120
140 Perfil em y=0[m] para um sistema monofásico
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] Método em estudo
Método simplificado
20
20
20
20
2040
4080
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
Valor eficaz do campo de indução magnético em [µT] para o caso monofásico
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10Método em estudo
Método simplificado
55
Repetindo os mesmo ensaios para um sistema trifásico de 400 KV em esteira horizontal tal como a figura seguinte ilustra, com um sistema de correntes dado por:
120º 120º2 1025 A; 2 1025 A; 2 1025 Aj j
a b cI I e I e−= = =
(3.2)
Figura 3.6 – Esquema ilustrativo de um sistema trifásico em esteira horizontal
Obtiveram-se os seguintes resultados de simulação numérica.
Figura 3.7 – Perfil com o valor eficaz do campo, utilizando o método simplificado e o método em estudo, em y=0, para um sistema trifásico em esteira horizontal.
-15 -10 -5 0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35 Perfil em y=0[m] para um sistema trifásico em esteira horizontal
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] Metodo em estudo
Método simplificado
56
Figura 3.8 – Valor eficaz do campo, utilizando o método simplificado e o método em estudo, em y=0m, para um sistema trifásico em esteira horizontal.
Nas figuras 3.7 e 3.8, observa-se que os resultados são equivalentes ao caso monofásico na
medida em que, tanto por um método como pelo outro, os resultados são idênticos, permitindo
assim verificar o bom funcionamento do programa.
1
1
1
1
5
5
20
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
1
11
1
5 5
20
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] para um trifásico em esteira horizontal
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10Método em estudo
Método simplificado
57
2. Sistemas trifásicos e monofásicos com bainhas
ligadas num único ponto
Nesta secção estão os resultados das diversas simulações numéricas. Para o cálculo do
campo de indução magnética a corrente que percorre os condutores é imposta. Assim, ao
longo de toda a secção a corrente nos condutores de fase são :
120º 120º2 1025 A; 2 1025 A; 2 1025 Aj j
a b cI I e I e−= = =
(3.3)
em que A, B e C são as fases que constituem um sistema trifásico equilibrado. Nos casos em
que se está perante um sistema monofásico a corrente da fase é, 2 1025 A=aI .A corrente
nas bainhas é nula, pois estas estão ligadas à terra num único ponto.
2.1 - Comparação de um sistema trifásico com um sistema
monofásico
Na figura seguinte estão ilustradas as situações monofásicas e trifásicas em estudo nesta
secção.
a)
b) Figura 3.9- Ilustração representativa do a) Sistema monofásico a corrente no cabo é b) Sistema trifásico em esteira horizontal
58
a) Figura 3.10 – perfil em y=0 [m] com a comparação de um sistema monofásico com um sistema trifásico em esteira horizontal
b) Figura 3.11 – Comparação de um sistema monofásico com um sistema trifásico em esteira horizontal através de linhas de nível no espaço.
Através dos resultados presentes na fig.3.11 é possível verificar que o campo de indução
magnética à superfície é menor com um sistema trifásico de cabos em esteira horizontal, do
que no caso monofásico em que apenas uma única fase está presente. A corrente de retorno
difunde-se pela terra, sendo a corrente total de retorno dada por:
= ∫retorno
S
I JdS
(1.4)
Em que J é a densidade de corrente na terra sendo esta diferente em cada ponto. Tanto no
caso monofásico como no trifásico o retorno da corrente do sistema é feito pela terra. Enquanto
que no caso monofásico a corrente retornoI tem igual amplitude mas está em oposição de fase
relativamente à corrente no condutor de fase, no caso trifásico a corrente 0retornoI = . É
-15 -10 -5 0 5 10 150
20
40
60
80
100
120
140 Perfil em y=0[m] a 50Hz
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T]
Sistema trifásico
Sistema monofásico
1
1
1
1
55
20
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
20
20
20
20
20
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] com os cabos dispostos em esteira horizontal
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10Sistema trifásico
Sistema monofásico
59
importante realçar que a corrente total é que é nula, não a corrente em cada ponto. No sistema
trifásico existe corrente de retorno, só que está confinada à zona mais próxima dos cabos,
fazendo com que o campo de indução magnética seja inferior ao caso monofásico.
2.2 -Influência da profundidade a que os cabos estão enterrados
no valor do campo de indução magnética à superfície.
a) Figura 3.12– Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética, com os cabos dispostos em esteira horizontal e enterrados a 3 profundidades (h) diferentes.
Figura 3.13 – Valor eficaz do campo de indução magnética, com os cabos dispostos em esteira horizontal e a 3 profundidades (h) diferentes.
-15 -10 -5 0 5 10 150
10
20
30
40
50
60
70
80
Perfil em y=0[m] a 50Hz com os cabos dispostos em esteira horizontal e diferentes profundidades
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] h=1m
h=1.5m
h=2m
11
1
1
1 11
1
1
1
10
10
10
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
11
1
11 1
1
1
1110 10
1
1
1
11
1
1
1
1
10 10
Valor eficaz do campo de indução magnético em [µT] a 50Hz para cabos dispostos em esteira horizontal e com diferentes profundidades
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10h=1m
h=1.5m
h=2m
60
A profundidade a que os cabos estão enterrados, provoca uma variação no valor do campo de
indução magnética na zona mesmo por cima do local onde estão enterrados, não sendo a
variação significativa para zonas afastadas segundo a coordenada x da origem. Para
profundidades maiores o valor de pico do campo diminui, para profundidades menores o
campo aumenta. É possível constatar as conclusões na fig.3.12. Para as zonas compreendidas
entre x=5 m e x=-5 m o valor do campo sofreu uma grande variação com a profundidade h e
para fora desses valores o campo pouco se alterou. Este resultado também é visível na
fig.3.13, pois para zonas afastadas da origem dos eixos segundo x as linhas de nível ficam
sobrepostas.
2.3 Influência da frequência da corrente na distribuição do campo
de indução magnética no ar
a) Figura 3.14 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema monofásico e para diferentes frequências de funcionamento.
-15 -10 -5 0 5 10 150
20
40
60
80
100
120
140 Perfil em y=0[m] para o caso monofásico e com diferentes frequências
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] f=50Hz
f=1MHz
61
Figura 3.15 - Valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema monofásico e para diferentes frequências de funcionamento.
a) Figura 3.16 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema trifásico em esteira horizontal e diferentes frequências de funcionamento.
20
20
20
20
20
50
50posição x [m]
posi
ção
y [m
]
20
20
20
50
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] para o caso monofásico e com diferentes frequências
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
1050Hz
1MHz
-15 -10 -5 0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35 Perfil em y=0[m] com os cabos dispostos em esteira horizontal e diferentes frequências
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tia e
m [ µ
T] f=50Hz
f=1MHz
62
Figura 3.17 – Valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema trifásico em esteira horizontal e diferentes frequências de funcionamento. Analisando em primeiro lugar apenas o caso monofásico, verifica-se que o aumento da
frequência faz com que as linhas de campo no ar tenham tendência a ficar confinadas numa
zona mais próxima dos condutores. Como se pode observar nos resultados das simulações na
fig.3.14 o campo diminui com o aumento de frequência e na fig.3.15. em que as linhas de nível
estão visivelmente mais próximas da origem para uma frequência mais elevada.
Para o caso trifásico o fenómeno também se verifica embora não seja tão acentuado (figuras
3.16 e 3.17).
2.4 - Variação da permeabilidade magnética do solo
Nesta secção será feita uma análise variando a permeabilidade magnética do solo, para duas frequências de funcionamento diferentes.
Variação de permeabilidade magnética do solo à frequência de 50Hz.
Figura 3.18 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema trifásico com os cabos dispostos em esteira horizontal e diferentes permeabilidades do solo.
1
1
1
110
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
1
1 1
1
10
Valor eficaz do campo magnético em [µT] para os cabos dispostos em esteira horizontal com diferentes frequências
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10f=50Hz
f=1MHz
-15 -10 -5 0 5 10 150
10
20
30
40
50
60
70 Perfil em y=0[m] com cabos em esteira horizontal e diferentes permeabilidades do solo com f=50Hz
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] µsolo=µ0
µsolo=2µ0
µsolo=3µ0
µsolo=5µ0
µsolo=10µ0
µsolo=100µ0
63
a) b) Figura 3.19 – a)Variação do valor eficaz do campo de indução magnética na origem dos eixos com a permeabilidade relativa do solo b) Profundidade de penetração na terra do campo de indução magnética em função da permeabilidade relativa do solo.
Figura 3.20 – Valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema trifásico com os cabos dispostos em esteira horizontal e diferentes permeabilidades do solo.
Na fig. 3.18 estão representados perfis com o valor eficaz do campo de indução magnética no
ar com os cabos dispostos em esteira horizontal e para diferentes valores de permeabilidade
magnética do solo. Como se pode observar, o aumento da permeabilidade do solo faz com que
o campo de indução magnética fique mais intenso à superfície, o que também é visível na fig.
3.20.
Na fig. 3.19 a) está representada a variação do valor eficaz do campo de indução magnética na
origem dos eixos com a permeabilidade relativa do solo. Neste gráfico é possível observar a
não linearidade do fenómeno. Para valores de permeabilidade relativa inferiores a 10, o valor
eficaz do campo de indução magnética, tem um declive muito mais acentuado do que fora
desta zona.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10030
35
40
45
50
55
60
65
70Valor eficaz do campo de indução magnética em [uT] na origem dos eixos coordenados 50Hz
Permeabilidade relativa do solo
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [
uT]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
100
200
300
400
500
600
700
800Profundidade de penetração no solo em metros [m] a 50Hz
Permeabilidade relativa do solo
Pro
fund
idad
e de
pen
etra
ção
2
2
2
10
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
2
2
2
210
10
40
2
2
2
2
10
10
40
Valor eficaz do campo de indução magnética em [uT] a 50Hz para cabos dispostos em esteira horizontal e com diferentes permeabilidades do solo
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10
µsolo=µ0
µsolo=10µ0
µsolo=100µ0
64
Variação da permeabilidade magnética do solo a 1MHz
Figura 3.21 – Perfil em y=0 [m] do valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema trifásico à frequência de 1MHz com os cabos dispostos em esteira horizontal e diferentes permeabilidades do solo.
a) b) Figura 3.22– a)Variação do valor eficaz do campo de indução magnética na origem dos eixos com a permeabilidade relativa do solo b) Profundidade de penetração na terra do campo de indução magnética em função da permeabilidade relativa do solo.
-15 -10 -5 0 5 10 150
10
20
30
40
50
60
Perfil em y=0[m] com cabos em esteira horizontal e diferentes permeabilidades do solo com f=1MHz
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] µsolo=µ0
µsolo=2µ0
µsolo=3µ0
µsolo=5µ0
µsolo=10µ0
µsolo=100µ0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10015
20
25
30
35
40
45
50
55Valor eficaz do campo de indução magnética em [uT] na origem dos eixos coordenados a 1MHz
Permeabilidade relativa do solo
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [
uT]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5Profundidade de penetração no solo em metros [m] a 1MHz
Permeabilidade relativa do solo
Pro
fund
idad
e de
pen
etra
ção
65
Figura 3.23 – Valor eficaz do campo de indução magnética a 1MHz com os cabos dispostos em esteira horizontal e diferentes permeabilidades do solo. Como se pode observar pelos resultados das simulações, a variação da permeabilidade
provoca efeitos diferentes no campo de indução magnética conforme a frequência da corrente
que percorre os cabos. Na fig. 3.22 a), onde se encontra representada a variação do campo de
indução magnética com a permeabilidade magnética do ar, existe um máximo. Isso significa
que até um determinado valor de permeabilidade magnética, o valor do campo de indução
magnética no ar vai aumentando tal como acontecia para a situação de 50 Hz. A partir desse
valor o campo de indução magnética diminui contrariamente ao que acontecia a 50Hz. Isso
deve-se à profundidade de penetração no solo, representada na fig. 3.22 b), atingir valores
iguais ou inferiores à profundidade a que os cabos estão enterrados. Quando a profundidade
de penetração, atinge valores próximos da profundidade a que os cabos estão enterrados, o
campo no ar começa a diminuir sendo esta diminuição tanto maior quanto menor for a
profundidade de penetração. Analisando a fig. 3.22b) verifica-se que a 1.5 metros corresponde
uma permeabilidade magnética relativa de 10. Na fig. 3.22 a) verifica-se que é próximo desse
valor que se inverte a variação do valor do campo de indução magnética com o aumento da
permeabilidade relativa.
Também é possível a partir dos resultados retirar conclusões relativamente à corrente de
retorno. Uma vez que o campo magnético diminui para valores elevados de permeabilidade
magnética a frequências altas, pode-se dizer que a corrente de retorno neste caso distribui-se
por uma zona mais próxima dos cabos, ao contrário do que acontece a 50 Hz e com baixas
permeabilidades magnéticas do solo. Este confinamento de corrente ocorre devido à
diminuição da profundidade de penetração do campo de indução magnética no solo.
2.5 Variação da posição geométrica dos cabos
Análise da geometria em triângulo, esteira horizontal e esteira vertical
De seguida será feita uma análise da posição geométrica dos cabos. Serão estudas 3
situações diferentes. Uma com os cabos dispostos em triângulo outra com os cabos dispostos
1
1
1
1
10
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
1
1
1
1
101 1
10
Valor eficaz do campo de indução magnética em [uT] a 1MHz para cabos dispostos em esteira horizontal e para diferentes permeabilidades do solo
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10
µsolo=µ0
µsolo=10µ0
µsolo=100µ0
66
em esteira horizontal e outra com os cabos dispostos em esteira vertical tal como é ilustrado na
figura seguinte.
a) b)
c) Figura 3.24 – Esquema ilustrativo das 3 geometrias em estudo a) Esteira horizontal b) Triângulo c) Esteira vertical
Figura 3.25 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos dispostos em esteira horizontal , esteira vertical e triângulo.
-15 -10 -5 0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35 Perfil em y=0[m] para uma frequência de 50Hz e com diferentes geometrias
posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] Esteira Horizontal
TriânguloEsteira Vertical
67
Figura 3.26 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos dispostos em esteira horizontal, esteira vertical e triângulo. Através dos resultados de simulação, verifica-se que de entre as 3 geometrias em estudo
aquela que origina um menor valor de campo de indução magnética no ar à superfície é a
geometria em triângulo. Na geometria em triângulo a corrente de retorno pela terra está
confinada a uma zona mais próxima dos cabos, pois a distância entre cada um deles é menor,
o que faz com que fiquem mais próximos entre si. Nas outras duas geometrias a distância entre
cada um dos cabos é diferente, fazendo com que fiquem mais afastados relativamente à
geometria em triângulo. Por esse motivo a corrente de retorno fica mais dispersa, o que faz
com que o campo à superfície na geometria em triângulo seja menor.
Variação da distância entre os cabos nas 3 diferentes geometrias
De seguida apresentam-se os resultados das simulações, em que se varia a distância entre os
3 cabos para cada uma das 3 geometrias, mantendo a profundidade do cabo mais à superfície
igual a 1.5 [m].
a)
b) c) Figura 3.27 – Esquema ilustrativo das 3 geometrias em estudo a) Esteira horizontal b) Triângulo c) Esteira vertical
1
1
1
1
10
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
1
1 1
110
1
1
1
1
10
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] a 50Hz para diferentes geometrias
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10Esteira Horizontal
Triângulo
Esteira Vertical
68
Figura 3.28 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos dispostos em esteira horizontal e com diferentes distâncias entre os cabos.
Figura 3.29. – Linhas de nível no espaço com o valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos dispostos em esteira horizontal e com diferentes distâncias entre os cabos.
-15 -10 -5 0 5 10 150
20
40
60
80
100
120
Perfil em y=0[m] para uma frequência de 50Hz e com os cabos dispostos em esteira horizontale com diferentes distâncias entre cabos
posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T]
d= 0.218[m]
d= 0.436[m]
d= 0.872[m]
1
1
1
1
10
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
1
1
1
1
1
1
10
10
40
1
1
10
10
10
40
Valor eficaz do campo de indução magnético em [µT] a 50Hz para os cabos dispostos em horizontal com diferentes distâncias entre cabos
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10d= 0.218[m]
d= 0.436[m]
d= 0.872[m]
69
Figura 3.30 –Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos dispostos em esteira vertical e com diferentes distâncias entre os cabos
a) b) Figura 3.31 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos dispostos em esteira vertical e com diferentes distâncias entre os cabos.
-15 -10 -5 0 5 10 150
10
20
30
40
50
60
70
Perfil em y=0[m] para uma frequência de 50Hz e com os cabos dispostos em esteira verticale com diferentes distâncias entre cabos
posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po m
agné
tico
em [ µ
T]
d= 0.218[m]
d= 0.436[m]
d= 0.872[m]
1
1 1
1
10
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
1
1
11
1
1
10
10
1 1
10
1040
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] a 50Hzpara os cabos dispostos em esteira vertical e com diferentes distâncias entre cabos
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10d= 0.218[m]
d= 0.436[m]
d= 0.872[m]
70
Figura 3.32 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos dispostos em triângulo e com diferentes distâncias entre os cabos.
a) b) Figura 3.33 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cabos dispostos em triângulo e com diferentes distâncias entre os cabos.
Como é possível observar nos vários resultados de simulação, o valor do campo de indução
magnética à superfície varia com a distância entre os cabos, para qualquer uma das
geometrias. Quanto mais afastados estão os cabos, dentro da mesma geometria, maior é o
valor do campo de indução magnética à superfície. No caso limite em que os três cabos
estariam todos na mesma posição o campo de indução magnética seria nulo, isto porque o
campo de indução magnética criado por cada um dos cabos está desfasado de 120º
relativamente aos outros dois em cada ponto do espaço.
Há que notar que, principalmente na geometria em esteira vertical, à medida que se afastam os
cabos, 2 deles ficam a uma profundidade cada vez maior. Tal como já foi demonstrado o
-15 -10 -5 0 5 10 150
10
20
30
40
50
60
Perfil em y=0[m] para uma frequência de 50Hz e com os cabos dispostos em triânguloe com diferentes distâncias entre cabos
posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T]
d= 0.218[m]
d= 0.436[m]d= 0.872[m]
2
2
210
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
2
2
2
2
10
2
2
2
2
2
10 10
40
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] a 50Hz para os cabos dispostos em triângulo e com diferentes distâncias entre cabos
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10d= 0.218[m]
d= 0.436[m]
d= 0.872[m]
71
aumento da profundidade dos cabos faz com que o campo à superfície seja cada vez menor, o
que não acontece neste caso. Nesta situação, o fenómeno de afastamento entre os cabos
prevalece relativamente ao fenómeno do aumento da profundidade.
Relativamente à corrente de retorno é possível concluir que o afastamento dos cabos provoca
uma dispersão de corrente na terra.
Análise da geometria em triângulo, esteira horizontal e esteira vertical com os
cabos afastados de 0.872m
De seguida, será feita uma comparação entre as 3 geometrias com os cabos
afastados 0.872 m, que constitui o pior caso e por isso aquele que origina valores de
campo mais elevados.
Figura 3.34 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no ar para os cabos dispostos nas três diferentes geometrias, e com uma distância entre cabos de 0.872 m
-15 -10 -5 0 5 10 150
20
40
60
80
100
120
Perfil em y=0[m] para uma frequência de 50Hz e com diferentes geometrias e com os cabos distânciados de 0.872m
posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] Esteira Horizontal
Triângulo
Esteira Vertical
72
a) b) Figura 3.35 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar para os cabos dispostos nas três diferentes geometrias, e com uma distância entre cabos de 0.872 m
A partir dos resultados das simulações é possível verificar que mesmo que a distância entre os
cabos aumente, a geometria que permite obter um valor menor de campo de indução
magnética continua a ser a configuração em triângulo.
2
2
2
2
2
2
10
10
10
40
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
2
2
2
2
2
10
10
40
2
2
22
2
2
10
10
40
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] a 50Hz para cabos com diferentes geometrias e com os cabos afastados de 0.872m
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10Esteira Horizontal
Triângulo
Esteira Vertical
73
3. Variação do tipo de ligação das bainhas
As bainhas dos cabos, podem ser ligadas de 2 modos distintos: com ligação à terra em vários
pontos; e com ligação num só ponto.
Na ligação à terra em vários pontos, as bainhas estão ligadas à terra em vários pontos ao
longo do comprimento do cabo, o que permite tornar a tensão uniforme e igual ao potencial da
terra, ao longo de toda a bainha. A consequência é a indução de correntes nas bainhas pelo
campo de indução magnética criado pelas correntes nos diferentes condutores. Nesta situação
o campo de indução magnética no ar, resulta das correntes nos condutores e das correntes
induzidas nas bainhas. É importante ter em conta que a existência de correntes nas bainhas
aumenta as perdas na transmissão de energia, por efeito de joule, o que leva a que a corrente
máxima admissível nos condutores de fase seja inferior para os cabos ligados à terra em vários
pontos.
Na ligação à terra num único ponto, as bainhas dos cabos estão ligadas à terra ou no início, ou
no fim, ou a meio do cabo. O facto de estarem ligadas num único ponto faz com que não
existam correntes induzidas nas bainhas.
Sistema monofásico
A corrente no condutor de fase é: 2 512 AI =
Figura 3.36 – Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema monofásico à frequência de 50Hz para os 2 diferentes modos de ligação das bainhas.
-15 -10 -5 0 5 10 150
10
20
30
40
50
60
70Perfil em y=0 [m] para o caso monofásico a 50Hz e diferentes tipos de ligação à terra
posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po m
agné
tico
em [ µ
T]
Ligação em vários pontos
Ligação num só ponto
74
Figura 3.37 – Valor eficaz do campo de indução magnética a 50Hz para o caso monofásico para os 2 diferentes modos de ligação das bainhas à terra. Como se pode observar nos resultados das simulações, o facto das bainhas estarem ligadas à
terra em vários pontos faz com que o campo de indução magnética sofra uma redução. O valor
de pico, como se pode observar na fig.3.36 a) diminui aproximadamente 3.5 vezes com a
ligação em vários pontos A corrente nas bainhas num sistema monofásico tem sentido
contrário à corrente no condutor. Assim pode-se concluir que a ligação das bainhas em vários
pontos permitiu que a maior parte do retorno da corrente seja feito pelas bainhas em vez de ser
feito pela terra. De facto obtém-se uma corrente na bainha 162.62º2 476,32 A−= j
bI e .
Sistema com os cabos dispostos em esteira horizontal
As correntes nos condutores de fase são dadas por (3.3).
Figura 3.38 - Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética para um sistema trifásico à frequência de 50Hz com os cabos dispostos em esteira horizontal para os 2 diferentes modos de ligação das bainhas.
10 15
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] a 50Hz para o caso monofásico e com diferentes tipos de ligação à terra
10
10
10
10
1015
15
15
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10
Ligação em vários pontos
Ligação num só ponto
-15 -10 -5 0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35
Perfil em y=0[m] a 50Hz com cabos em esteira horizontal e diferentes tipos de ligação das bainhas à terra
posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] Ligação em vários pontos
Ligação num só ponto
75
Figura 3.39 – Valor eficaz do campo de indução magnética a 50Hz com os cabos dispostos em esteira horizontal para os 2 diferentes modos de ligação das bainhas. No caso trifásico em esteira, os resultados em termos da ligação da bainha à terra em vários
pontos, são diferentes, relativamente ao caso monofásico. No caso trifásico, a corrente
induzida numa bainha não resulta apenas da corrente num único condutor, como no caso
monofásico, mas sim das correntes nos 3 condutores e das correntes induzidas pelas outras
bainhas. O que se verifica é que existe uma diminuição do valor de pico do campo de indução
magnética no ar.
Relativamente ao retorno de corrente verificou-se que para a corrente nos condutores igual a
132.9º j131.5396º j13.2º2 441.45 A; 2 299.39 A; 2 528.34 A−= = =b b b
j
a b bI e I e I e , o valor da corrente de retorno nas
bainhas é em duas das fases inferior a metade da corrente do condutor, e aproximadamente
metade no outro condutor. Somando a corrente nas 3 bainhas obtém-se:
j54.314º 2 26,29 A+ + =bainha bainha bainhaa b cI I I e
(1.5)
A sua soma é diferente de 0, o que leva a concluir que existe corrente de retorno pela terra.
Comparando a corrente de retorno pela terra, entre os 2 tipos de ligação nas bainhas, é
possível concluir que a densidade de corrente J, na ligação em vários pontos, é maior numa
zona próxima do cabo, originando por isso um menor valor de campo magnético à superfície.
No caso de se ligarem as bainhas em vários pontos à frequência de 1MHz, o campo criado à
superfície é praticamente nulo.
Neste caso a corrente nas bainhas fica em oposição de fase e com a mesma amplitude que a
corrente do respectivo condutor de fase, o que leva a concluir que o retorno da corrente é todo
feito pelas bainhas, fase a fase, sendo a corrente de retorno pela terra praticamente nula. Sem
corrente de retorno na terra, o valor de campo à superfície é nulo.
1
1
1
1
110
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
1
1
1
1
10
Valor eficaz do campo de indução magnético em [µT] a 50Hz para os cabos dispostos em esteira horizontal e diferentes tipos de ligação das bainhas à terra
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10Ligação em vários pontos
Ligação num só ponto
76
4. Sistema de transmissão com 6 cabos em esteira
horizontal
Nesta secção será, estudado um conjunto de 2 circuitos trifásicos em esteira horizontal, tal como está ilustrado na figura seguinte.
a)
b) c) Figura 3.40 – Ilustração da posição dos cabos para 3 situações. Cada um dos 3 circuitos trifásicos representado, é constituído pelas fases A, B e C, em que cada letra corresponde a uma fase diferente. a)Situação 1 b) Situação 2 c)Situação 3
Na realização das seguintes simulações numéricas, foram atribuídas diferentes correntes a
cada uma das fases A, B e C, representadas na fig. 3.40.
Para a situação 1:
120º 120º2 1025A; 2 1025 A; 2 1025 A−= = =j j
a b cI I e I e
(3.6)
Para a situação 2 e 3:
120º 120º2 512.5 A; 2 512.5 A; 2 512.5 A−= = =j j
a b cI I e I e
(3.7)
77
a) Figura 3.41– Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cada uma das situações ilustradas na fig5.1. O circuito da situação 1 transmite a mesma potência que os circuitos com 6 cabos , situações 2 e 3.
Figura 3.42 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cada uma das situações ilustradas na fig4.1. O circuito da situação 1 transmite a mesma potência que os circuitos com 6 cabos, situações 2 e 3.
Para as seguintes simulações as correntes consideradas nas 3 situações são iguais a (3.7)
-15 -10 -5 0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35 Perfil em y=0[m] a 50Hz para cada uma das situações em estudo
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
p m
agné
tica
em [ µ
T] Situação 1
Situação 2Situação 3
1
1
1
1
2
2
2
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
12
1
1 1
1
2
2
2
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] a 50Hz para cada uma das situações em estudo
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10Situação 1
Situação 2
Situação 3
78
Figura 3.43 - Perfil em y=0 [m] com o valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cada uma das situações ilustradas na fig4.1. O circuito da situação 1 transmite metade da potência que os circuitos com 6 cabos , situações 2 e 3.
Figura 3.44 – Valor eficaz do campo de indução magnética no ar, para cada uma das situações ilustradas na fig4.1. O circuito da situação 1 transmite metade da potência que os circuitos com 6 cabos, situações 2 e 3.
A partir dos resultados de simulação numérica verifica-se que com a colocação de 6
condutores, em vez de 3 é possível obter uma redução do campo de indução magnética no ar.
Nas figuras 3.41 e 3.42 estão feitas simulações em que se comparam 3 situações diferentes.
Compara-se o campo criado por um sistema trifásico de 3 condutores, com 2 sistemas de 6
condutores com diferentes distribuições de fases, em que a potência transmitida nas 3
situações é a mesma. Assim pode-se concluir que a colocação de 6 condutores para a
transmissão da mesma potência, diminui o valor do campo magnético independentemente da
distribuição das fases. No entanto, comparando a situação 2 com a 3, ambas com 6
condutores, é possível verificar que a variação da posição das fases faz com que o valor do
-15 -10 -5 0 5 10 150
5
10
15
20
25
30 Perfil em y=0[m] a 50Hz para cada uma das situações em estudo
Posição x [m]
Val
or e
ficaz
do
cam
po d
e in
duçã
o m
agné
tica
em [ µ
T] Situação 1
Situação 2Situação 3
1
1
1
2
2
posição x [m]
posi
ção
y [m
]
12
1
1 1
1
2
2
2
Valor eficaz do campo de indução magnética em [µT] a 50Hz para cada uma das situações em estudo
-15 -10 -5 0 5 10 150
2
4
6
8
10Situação 1
Situação 2
Situação 3
79
campo de indução magnética no ar seja muito atenuado. Quando se colocam as fases tal como
está ilustrado na figura 3.40b), o campo criado por uns cabos atenua o campo criado pelos
outros provocando uma diminuição significativa no campo total.
A outra situação estudada, fig. 3.43 e 3.44, corresponde à comparação dos sistemas com 3 e 6
cabos em que, a potência transmitida pelo de 6 é o dobro da transmitida pela de 3. A partir das
figuras referidas, é possível verificar que a situação que provoca um menor valor de campo à
superfície é a Situação 2. Neste caso, a colocação das fases com a distribuição que está
ilustrada na fig3.40b) é essencial para que o campo criado pelos 6 cabos seja menor do que o
criado apenas por 3, mesmo para o dobro da potência transmitida.
Na análise deste resultados, é preciso ter em conta que a colocação de 6 cabos aumenta a
temperatura no local junto dos mesmos, isso significa que o valor limite de corrente, no caso de
se ter 3 cabos é superior ao de ter 6. Por esse motivo, pode não ser possível transmitir o dobro
da potência com 6 cabos, relativamente à situação de 3 cabos.
80
Capítulo 4
Conclusões
Através do estudo realizado foi possível retirar diversas conclusões relativamente ao campo
magnético à superfície da terra criado por cabos subterrâneos, tendo-se verificado que existem
diversos factores que influenciam os valores do campo entre os quais se destacam: o número
de cabos utilizado, a profundidade a que os mesmos estão enterrados no solo, a frequência de
funcionamento e a permeabilidade magnética do solo.
Neste estudo constatou-se que o campo de indução magnética no ar criado por um sistema
trifásico de cabos é inferior ao de um sistema monofásico, tendo em conta que o valor da
amplitude da corrente nos cabos é a mesma. Num sistema trifásico a corrente de retorno é nula
embora seja não nula a densidade de corrente na vizinhança dos cabos, ao passo que no cabo
monofásico a corrente de retorno é não nula, igual e de sentido contrário à do cabo, fazendo
com que o campo de indução magnética seja inferior. Outro factor que influência o valor do
campo é a profundidade a que os cabos estão enterrados. A profundidade provoca uma
variação no valor do campo de indução magnética na vertical mesmo por cima do local onde
estes estão enterrados. Quanto mais profundos os cabos estão enterrados menor será o valor
do campo magnético à superfície.
81
Outro factor que influencia a distribuição do campo é a frequência. Quanto maior é o seu valor
mais confinado é o campo na vizinhança dos cabos e portanto tende a diminuir o campo de
indução magnética no ar.
A permeabilidade magnética foi um dos factores inicialmente mencionados, tendo este de ser
analisado em conjunto com a frequência do sistema. Para a frequência de 50Hz, o aumento da
permeabilidade do solo faz com que o campo à superfície aumente, sendo o seu valor menor
para solos com permeabilidade magnética mais baixa. Para frequências maiores, na ordem de
1MHz, que corresponde à frequência máxima dos transitórios da rede, por exemplo em
descargas atmosféricas, a variação do campo com a permeabilidade apresenta um máximo, o
que significa que o aumento da permeabilidade magnética sµ para valores baixos da mesma,
provoca um aumento de campo à superfície e o aumento para valores elevados tende a
diminuir o valor do campo máximo à superfície. Se esse aumento for para valores elevados de
sµ então, o valor do campo no ar depende entre outros parâmetros da profundidade a que os
cabos estão enterrados. Na ausência de correntes turbilhonares decorrente da penetração do
campo magnético na terra, o aumento de sµ tende a aumentar o campo de indução magnética
no solo e portanto também no ar. O aumento de frequência em conjunto com o aumento de sµ
tem o efeito contrário: o campo tende a ser confinado à vizinhança dos cabos por causa da
diminuição de profundidade de penetração. A existência destes dois efeitos contrários explica o
comportamento não monotónico da variação do campo máximo com a permeabilidade
magnética do solo.
Nesta tese foram também estudas formas de mitigação do campo à superfície, entre as quais
se destacam: a posição geométrica dos cabos; o tipo de ligação das bainhas dos mesmos e o
aumento do número de cabos de transmissão.
Relativamente à posição geométrica dos cabos, foram estudadas 3 situações diferentes, cabos
dispostos em esteira horizontal, em esteira vertical e em triângulo. De entre as 3 geometrias a
que permite obter menores valores de campo à superfície é a geometria em triângulo, seguida
da esteira vertical, sendo o pior resultado obtido com os cabos dispostos em esteira horizontal.
Dentro de cada uma das geometrias quanto mais próximos entre si estiverem os cabos menor
será o campo à superfície por eles criado. É preciso ter em conta que o facto de se aproximar
os cabos faz com que a temperatura dos mesmos aumente, o que pode criar limitações no
valor máximo de corrente de cada um deles.
Outro modo mencionado que permite diminuir o campo criado é a utilização de bainhas ligadas
à terra em múltiplos pontos, o que faz com que sejam induzidas correntes nas mesmas. Assim,
para a frequência de 50 Hz, o retorno da corrente é feito parcialmente pela bainha provocando
uma diminuição do campo à superfície. À frequência de 1MHz, a corrente de retorno tende a
ser feita totalmente pela bainha fase a fase, o que torna o campo praticamente nulo à
superfície. É importante notar que o facto de se utilizar um sistema com ligação da bainha em
múltiplos pontos à terra, faz com que não se possam utilizar valores de corrente tão elevados
como para o caso em que não existem correntes nas bainhas, ligação num único ponto à terra,
devido às perdas elevadas por efeito de Joule na bainha.
82
O método que permite uma melhor mitigação do campo magnético é o aumento do número de
cabos de transmissão. Em vez se utilizar, um sistema trifásico com um circuito eléctrico, utiliza-
se sistemas trifásicos com 2 circuitos em paralelo. O estudo realizado nesta tese, permitiu
concluir que com uma distribuição de fases onde num dos circuitos se tem o sistema trifásico
inverso, é possível obter valores menores de campo à superfície, mesmo a transmitir o dobro
da potência em relação ao sistema trifásico com um único circuito.
Para trabalhos futuros fica como sugestão a realização dum estudo utilizando os cabos
inseridos em tubos cilíndricos de um material condutor, estudar a utilização de um sistema
hexafásico e compara-lo com o sistema trifásico com um ou dois circuitos.
83
Anexos
84
TabelaA1 – Valor eficaz da corrente para diferentes geometria e temperaturas (extraído de [20]).
85
Esquema Ilustrativo de funcionamento do programa de cálculo do
campo de indução magnética
Definição dos parâmetros do programa de cálculo entre osquais se destacam::- Número de cabos-Posição dos mesmo no solo-Valor eficaz das correntes nos condutores de fase-Limites das variáveis (x,y) para o cálculo do campo no ar.
Cálculo das variáveis G0 e qs
Lig ação combainha em
vár ios pontosà terra?
Cálculo de Zbc (2.87)e Zbb(2.83).
Cálculo do limite deintegração de Zmkj(2.96).
Cálculo dascorrentes nasbainhas Ib (2.102).
Definição de correntesnulas nas bainhas.
Gráfico emperfil?
Cálculo dos limites deintegração e cálculo docampo de indução magnética.Os pontos a cálcular sãopara um y fixo e x variável.
Criação de um gráfico com osvalores obtidos para o campoem função de x.
Cálculo dos limites de integração ecálculo do campo de induçãomagnética. Os pontos a cálcularsão para um y fixo e x variável. Ospontos a cálcular são para (x,y)variáveis.
Criação de um gráfico com linhasde nível de campo em função dascoordenadas (x,y).
Sim
N ão
Sim
N ão
Cálculo da matrizde Impedâncias.
86
Referencias Bibliográficas
[1] - S.Linet 1997, “Resendential exposure to magnétic Fields and acute lymphoblastic leukemia
in children”,The new England jounal of medicine
[2] - C. Pinto De Sá, Doutor Eng.º José Luís ,”Campos electromagnéticos de extremamente
baixa frequência, saúde pública e linhas de alta tensão”, <<https://
dspace.ist.utl.pt/bitstream/2295/164948/1/CEMEBF%20saude%20publica%20e%20linhas%20d
e%20Alta%20Tensao.pdf>>
[3]- Ahmad, Firoz (1996), “Magnetic Field Management in Underground Cables”, Faculty of the
College Of Graduate Studies King Fahd University Of Petroleum & Minerals Dhahran Saudi
Arabia,
[4]- “Extremely Low Frequency Fields Environmental Health Criteria Monograph No.238”, <<
http://www.who.int/peh-emf/publications/elf_ehc/en/index.html>>
[5]- “Results of Research – EMF Questions &Answers Booklet”,
<<http://www.niehs.nih.gov/health/topics/agents/emf/docs/emf2002.pdf >>
[6]- Diário da republica -I série –B nº 275 - 23 Novembro de 2004 Portaria nº 1421/2004
[7]- Marçal Liça, Jorge, “Infra-estruturas de transporte de electricidade: a responsabilidade social da concessionária e dos cidadãos”, <<http://www.simposiobiocem.com>>
[8]- “O método de Romberg”,
<<http://omnis.if.ufrj.br/~carlos/fiscomp/calcnum/romb/romb.html>>
[9] – Ralston, Anthony, “First Course in Numerical Analysis”, Consulting Editors.
[10] – Borges Da Silva, J.F. , “Electrotecnia Teórica”, Departamento de Engenharia
Electrotecnica e de Computadores do Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de
Lisboa
[11] –“Campos Electromagnéticos e Sistemas Biológicos”, BioCem,<<
www.simposiobiocem.com/pdf/brochura_biocem.pdf>>
[12] – Lemos Antunes, Prof. Carlos (Janeiro 2008), “ Campos electromagnéticos saúde e
ambiente”,<<www.barrosbrito.com/.../Palestra%20Univ_%20Piaget%20-%20Praia%20-
%20CVerde,%20Jan%202008.pdf>>
87
[13] – Carson, John R.(1926) , “ Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return”,Bell
System Tech Vol 5.pp539-554
[14] – Wedepohl, L. M. and Wilcox, D. J. (1973) “ Transient analisis of underground power-
transmission”, Proc. IEE Vol 120 Nº2, FEBRUARS.
[15] – Maló Machado, Prof. Victor e Borges da Silva, Prof. J. F.(1988), “Series-Impedance of
underground Transmission Systems”, IEEE transactions on Power Delivery, Vol. 3, Nº 2
[16]- Pollaczek, F.,”Uber das Feld einer unendlich langen wechselstromdurchflossenen
Einfachleitung”,Elektr. Nachr. Tech. , Vol 3, pp339-360,1926.
[17]- Ametani, A. (1962)“ A general formultion of impedance and admittance of cables”, IEEE
trans. On Power App. And Sist., Vol. Pas-99, pp902-910
[18]- Sommefeld, A. (1949), “Partial differential equations in physics.” New York: Academic
Press Inc., pp84-123
[19]- Hafemeister David(1996), “Possible Health Effects of Exposure to Residential Electric and
Magnetic Fields”, National Research Council, National Academy Press, Washington DC
<<http://www.aps.org/units/fps/newsletters/1997/april/rapr97.html>>
[20]- “XLPE Cable Systems”, <<http://library.abb.com/global/scot/scot245.nsf/veritydisplay/1e286b0cdad18e9ec12571cc003a3df3/$File/XLPE%20Cable%20Systems%20Users%20Guide.pdf>>