algebra liniara cti

Download Algebra Liniara CTI

Post on 16-Jul-2016

20 views

Category:

Documents

4 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Curs algebra liniara CTI

TRANSCRIPT

  • Capitolul 1

    SPATII LINIARE

    1.1 Structuri algebrice

    (recapitulare)

    1.1.1 Grupuri

    Definitia 1.1 Fie X o multime nevida. O functie f definita pe XX si cu valori n X senumeste lege de compozitie interna n X.

    Notam, pentru (x, y) X2, f(x, y) = x y si se citeste x compus cu y dupa legea .Legile de compozitie interne pot avea urmatoarele proprietati:

    Definitia 1.1 O lege de compozitie interna n X se numeste lege asociativa daca(x, y, z) X3 avem:

    (x y) z = x (y z).

    Definitia 1.2 O lege de compozitie interna n X se numeste lege cu element neutrudaca e X astfel ncat x X avem: x e = e x = x. Elementul e se numeste elementneutru a legii .

    Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o multime si o lege decompozitie interna n X. Daca admite un element neutru atunci acesta este unic.

    Definitia 1.3 Daca o lege de compozitie interna n X admite un element neutru eatunci spunem ca unui element x X i corespunde un element numit element simetricn raport cu legea daca exista x X astfel ncat

    x x = x x = e. (1.1)

    Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o multime si o legede compozitie interna n X asociativa cu elementul neutru e. Daca un element x X areun element simetric n raport cu legea , atunci acest element simetric este unic.

    1

  • 2 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE

    Definitia 1.4 O lege de compozitie interna n X se numeste lege comutativa daca(x, y) X2 avem x y = y x.

    Definitia 1.5 Fie X o multime si o lege de compozitie interna n X. Perechea ordonata(X, ) se numeste semigrup daca legea este asociativa.

    Definitia 1.6 Semigrupul (X, ) se numestemonoid daca legea are si element neutru.

    Definitia 1.7 Monoidul (X, ) se numeste grup daca legea daca orice element din Xare simetric n raport cu legea . Un grup (X, ) se numeste grup comutativ (abelian)daca legea este comutativa.

    Observatia 1.1 Daca (X, ) este un grup si notam legea cu simbolul + , atuncigrupul (X, +) se numeste grup aditiv, legea + se numeste adunarea elementelordin X, elementul sau neutru se numeste zero si se noteaza 0, iar simetricul unuielement x X, se numeste opusul elementului x n raport cu adunarea n X, si senoteaza (x). n grupul aditiv (X, +) notam x y n loc de x+ (y).

    Observatia 1.2 Daca (X, ) este un grup si notam legea cu simbolul , atunci grupul(X, ) se numeste grup multiplicativ, legea se numeste nmultire a elementelor dinX, elementul sau neutru se numeste unitate si se noteaza 1, iar simetricul unuielement x X, se numeste inversul elementului x n raport cu nmultirea n X, si senoteaza x1.

    1.1.2 Morfisme de grupuri

    Definitia 1.8 Fie (X,) si (Y, B) doua grupuri. Aplicatia f : X Y se numeste morfismde grupuri daca satisface conditia:

    x, y X : f(x y) = f(x) B f(y).

    Daca morfismul f este injectiv (respectiv surjectiv) atunci el se numestemonomorfism(respectiv epimorfism) de grupuri. Daca morfismul f este bijectie atunci grupurile (X,)si (Y, B) se numesc izomorfe iar f : X Y este un izomorfism. Daca X Y si Batunci orice izomorfism f se numeste automorfism.

    Observatia 1.3 Izomorfismul a doua grupuri identifica un grup cu altul si astfel din punctde vedere algebric este suficient sa se studieze unul din ele. Un morfism nu are aceastaproprietate.

  • 1.1. STRUCTURI ALGEBRICE 3

    1.1.3 Inele si corpuri

    Definitia 1.9 Daca si sunt doua legi de compozitie interne n X, spunem calegea este distributiva la stanga (respectiv la dreapta) n raport cu lugea daca(x, y, z) X3 avem x (y z) = (x y) (x z) (respectiv (x y) z = (x z) (y z)).In cazul n care legea este distributiva la stanga si la dreapta n raport cu legea spunem ca legea este dublu distributiva n raport cu legea .

    Definitia 1.10 Fie (X,+, ) o terna ordonata unde X este o multime, + este operatia deadunare n X, iar este operatia de nmultire n X. Terna ordonata (X,+, ) se numesteinel daca (X,+) este grup comutativ aditiv, iar nmultirea este asociativa ((X,)este semigrup) si dublu distributiva n raport cu adunarea.

    Definitia 1.11 Un inel (X,+, ) se numeste inel cu unitate daca nmultirea are unitate.Un inel (X,+, ) se numeste inel cu comutativ daca nmultirea este comutativa.

    Exemplul 1.1 Multimea Z a numerelor ntregi nzestrata cu operatiile de adunare sinmultire este un inel comutativ cu element unitate.

    Intr-un inel (X,+, ) elementul neutru fata de legea + se noteaza cu 0X sau, cand nu suntposibile confuzii, se noteaza cu 0. De asemenea elementul neutru fata de legea multiplicativase noteaza cu 1X sau, cand nu sunt posibile confuzii, se noteaza cu 1.Este usor de demonstrat ca n orice inel (X,+, ),a = 0 a b = 0,b Xb = 0 a b = 0,a X,

    dar nu ntotdeauna a b = 0 a = 0 sau b = 0. De exemplu n inelul (M2(Z),+, ) avem:1 00 0

    0 01 2

    =

    0 00 0

    .

    Definitia 1.12 Daca ntr-un inel exista a 6= 0, b 6= 0, astfel ncat a b = 0 se spune ca asi b sunt divizori ai lui zero si ca inelul admite divizori ai lui zero. Orice inel care nuadmite divizori ai lui zero se numeste inel integru. Daca un inel integru este comutativsi cu element unitate, el se numeste domeniu de integritate.

    Definitia 1.13 Un inel (X,+, ) se numeste corp daca (X,+, ) este inel cu unitate si oriceelement din X, diferit de zeroul adunarii, are invers n aport cu legea .

    Definitia 1.14 Un corp (X,+, ) se numeste corp comutativ sau camp daca nmultireaeste comutativa.

    Observatia 1.4 Daca (X,+, ) este un corp, notam xy1 = xy, x X, y X, y 6= 0.

    Teorema 1.3 Corpurile nu au divizori ai lui zero. Orice corp comutativ este un domeniude integritate.

  • 4 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE

    1.1.4 Morfisme de corpuri

    Definitia 1.15 Fie (X,+, ) si (Y,,) doua corpuri. Aplicatia f : X Y se numestemorfism de corpuri daca satisface relatiile:

    f(x+ y) = f(x) f(y)x, y X,f(x y) = f(x) f(y)x, y X.

    Daca n plus, f este bijectie, corpurile se numesc izomorfe iar f este un izomorfism.

    1.2 Spatii liniare

    In acest capitol sunt studiate proprietati matematice ale unei multimi de elemente careformeaza un spatiu liniar sau vectorial. Elementele acestui spatiu pot fi entitati de naturacu totul diferita: forte, viteze, semnale electrice, vectori geometrici, solutii ale unor ecuatiidiferentiale etc. In ciuda acestei diversitati vom descrie spatiul vectorial n mod abstract,adica printr-o multime de elemente lipsita de orice atribut fizic.O componenta importanta a notiunii de spatiu liniar este notiunea de corp. Vom utiliza

    corpurile numerelor reale R si numerelor complexe C. Fie K un corp comutativ (care poatefi R sau C) ale carui elemente sunt numite scalari.

    Definitia 1.16 Fie (K,+, ) un corp comutativ cu elementul unitate notat 1 si elementulnul notat 0. Fie X 6= este o multime, pe care se definesc doua legi de compozitie:- o lege interna aditiva,

    : XX X : x,y X, (x, y) x y X,- o lege externa multiplicativa,

    : K X X : K,x X, (,x) x X.Cuaterna ordonata (X,,,K) se numeste spatiu liniar (vectorial) peste campul K (sauKspatiu liniar) daca (X,) este grup comutativ adica

    G1. x,y, z X : x (y z) = (x y) z,G2. Exista n X un vector notat X (vectorul X se numeste vectorul nul al lui X), astfel

    ncat oricare ar fi x X :x X = Xx = x,G3. x X exista un vector notat cu x (vectorul x se numeste opusul vectorului

    x) :x (x) = (x) x = X,G4. x,y Xx y = y x,si sunt satisfacute axiomeleSL1. , K,x X : ( x) = ( ) xSL2. , K,x X : (+ ) x = ( x) ( x)SL3. K,x,y X : (x y) = ( x) ( y)SL4. x X : 1 x = x, unde 1 este elementul neutru pentru operatia din K.

  • 1.2. SPATII LINIARE 5

    Elementele multimii X se numesc vectori (vom nota vectorii cu litere mici bold).

    Exemplul 1.2 X = {X} , constand dintr-un singur vector, vectorul nul, este un Kspatiuliniar, peste orice camp K, numit spatiu vectorial nul.

    Exemplul 1.3 Spatiul liniar aritmetic Kn. Fie (K,+, ) un corp comutativ si n N, n 1. Consideram produsul cartezianKn = K K, Kn = {x|x = (x1, . . . , xn), xi K, i = 1, n}.Pe Kn definim operatiile(x,y) KnKn,x y = (x1, . . . , xn)+(y1, . . . , yn) = (x1+y1, . . . , xn+yn) (adunarea

    pe componente)si

    (,x) K Kn, x = ( x1, . . . , xn) (nmultirea cu un scalar a fiecareicomponente).Folosind cele doua operatii si proprietatile campului K se verifica axiomele spatiului

    liniar. (Kn,,,K) se numeste spatiu liniar aritmetic.In particular, daca consideram K = R atunci (Rn,+, ,R) se numeste spatiu liniar

    aritmetic real, iar daca consideram K = C atunci (Cn,+, ,C) se numeste spatiu liniararitmetic complex.Pentru n = 1 obtinem (K,+, K) spatiu liniar. Putem vorbi deci despre spatiul liniar

    real al numerelor reale si de spatiu liniar complex al numerelor complexe.

    Exemplul 1.4 Analog definim spatiul Kn = {x|x =

    x1...xn

    , xi K, i = 1, n}.

    Teorema 1.4 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar) Daca (X,+, ,K) este unspatiu liniar, atuncia) x X : 0x = X;b) K : X = X;c) x X : (1)x = x;d) K,x X : x = X = 0 sau x = X;e) , K,x (X \ {X}) : x = x = f) (K \ {0}),x,y X : x = y x = yDemonstratie.

    a) x X : 0x = (0 + 0)x = 0x 0x 0x = X.b) K, X = (X X) = X X X = X.c) x X : x (1)x = 1x (1)x = ((1 + (1))x = 0x = X (1)x = xd) daca 6= 0 1 K x = X 1(x) = 1X (1 )x =X 1x = X x = Xe) , K,x (X \ {X}) : x = x (+ ())x = X, x 6= X = f) (K\{0}),x,y X : x = y x()y = X x(y) = X (x ( y)) = X, 6= 0 x = y.

  • 6 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE

    Consecinta 1.1 a) K,x X : x = ()x = (x),()x x = (+ )x = 0x = X ()x = x;b), K,x X : ( )x = x ()x = x x;c) K,x,y X : (x y) = (x (y)) = x (y) = x y.

    Observatia 1.5 In cele ce urmeaza nu vom mai face n scriere distinctie ntre + si , lafel ntre si , dar vom tine seama de semnifica