mekflu uas

Click here to load reader

Post on 24-Jul-2015

32 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Mechanism of fluids

TRANSCRIPT

1 4.1. HUKUM KEKEKALAN MASSA 4.1.1. Persamaan umum. Formulasipersamaankekekalanmasadalambentukdifferensialbisadidapatkandengan menerapkan persamaan integral kekekalan massa pada suatu control volume yang cukup kecil dan diletakkan tidak menyentuh dinding sehingga harga V n di seluruh permukaannya tidak samadengannol.Untukmemudahkananalisa,controlvolumeinidipilihberbentukbalok dengansisidx,dy,dandzdimananotasix,y,danzmelambangkansumbu-sumbupada koordinat cartesian. Gambar XXX. Bila diterapkan pada situasi diatas, maka persamaan kekekalan massa yang semula: ddtd V n dAscv cv + =} }0 akan menjadi: ( ) ddtV nAi ii+ =0 [4-1] dimana adalah isi total dari control volume dan integral dA pada masing-masing bidang permukaan i akan sama dengan Ai. Dengan menggunakan aturan rantai (chain rule) suku pertama dari persamaan [4-1] dapat diuraikan menjadi: ddt t t( ) cccc= + [4-2] Suku kedua persamaan [4-1] menunjukan besarnya massa yang masuk serta yang keluar dari ruangcontrolvolumemelaluibidang-bidangpermukaannya.BilaVxadalahkomponen kecepatanpadaarahsumbuxmasukkedalamruangcontrolvolumesecarategaklurus menembuspenampangABCD,maka V n VABCD x = .Dengandemikian,totalmassayang masukmelaluibidanginiadalahsebesarV Ax x.Padasaatkeluarmelaluibidangdi hadapannya (bidang EFGH), besarnya massa ini telah berubah menjadi ( )c cV AV Axdxx xx x+sehingga jumlah neto massa yang masuk dan keluar control volume pada arah sejajar sumbu x adalah sebesar: ( )( ) c cc cV n A V A V AVAxdxVAxdxxxx x x xx xx x = + +|\

|.|=[4-3a] 2 Bila Ax dianggap tidak berubah sepanjang dx, tetapi tetap sebesar Ax = dx dz maka; ( )( )( )c cc cc cV n AVAxdxVxdx dy dzVxxxx xxx === [4-3b] Dengan cara yang sama dapat dicari jumlah neto massa pada arah sejajar sumbu y dan z, sehingga ( ) ( ) ( )c cc cc cccccccccccccV n AVxVyVzVxVyVzVxVyVzxxxyzxyzx y z = + +|\

|.||= + +|\

|.| + + +|\

|.|[4-4] Substitusi persamaan [4-2] dan [4-4] kedalam persamaan [4-1] akan menghasilkan persamaan umum kekekalan massa dalam bentuk differensial: cccccccccccccccc t tVxVyVzVxVyVzxyzx y z+ + + +|\

|.| + + +|\

|.| = 0[4-5] 4.1.2. Contoh-contoh Penerapan. 1.Turunkanpersamaan[4-5]untuksuatusituasidimanavolumefluidayangmenempati ruang control volume dapat dianggap tidak berubah menurut waktu. Solusi: Bila volume tetap dari waktu ke waktu maka: cct = 0 sehingga: + + +|\

|.| + + +|\

|.| =cccccccccccccc tVxVyVzVxVyVzxyzx y z0 Atau cc cccccccccccc tVxVyVzVxVyVzxyzx y z+ + +|\

|.| + + + = 0 Dengan memanfaatkan definisi-definisi: DDt tVxVyVzx y z + + +cccccccc dan kzjyix cc+cc+cc V3 dimana masing-masing vektor i, j, k adalah vektor yang searah dengan sumbu-sumbu x, y,z.Dengandemikian V V i Vj Vkx x x= + + danpersamaandiatasdapatditulissecara ringkas sebagai DDtVV + =0 2.Turunkanpersamaan[4-5]untuksuatusituasidimanafluidayangditinjaulayakuntuk diasumsikan bersifat incompressible Solusi: Incompressibleartinya,untukjenisfluidayangditinjau,perubahankerapatanmassa menurut ruang dan waktu kecil sekali sehingga layak untuk diabaikan. Sehingga: cccccccc t x y z= = = ~ 0 dan persamaan [4-4] direduksi menjadi: cccccccc tVxVyVzxyz+ + +|\

|.| = 0 3. Persentasikan example 5.2 pp 187-188. 4. Persamaan [4-3b] menganggap Ax tidak berubah sepanjang dx. Untuk penerapan pada alur sungai, baik lebar sungai (dy) maupun kedalaman air (dz) mungkin saja berubah sepanjang dy.Bilaairsungaidianggapincompressiblefluid,turunkanpersamaandifferensial kekekalanmassauntukkasus1-D.AsumsikanlebarsungaikonstansebesarB(sehingga dy B) dan kedalaman air sebagai h yang berubah sepanjang x sehingga dz h(x). Solusi: Persamaanuntuksituasi1-Dincompressibleflow,bisadidapatkandengan mensubstitusikanpersamaan[4-2]dan[4-3a]kedalampersamaan[4-1],kemudian mengeliminasisuku-sukuyangmengandungbentukturunanterhadapjarakmaupun waktu. Hasilnya adalah:

( )( )( )cccccccccccctVAxdxh BdxtV h BxdxBht dx BV hxdxx xxx+ =+ =+ =000( ) Sehingga didapatkan cccccchthVxVhxxx+ + = 0 PersamaaninidikenalsebagaibagiandaripersamaanSaintVenantuntukkekekalan massa,yangmerupakandasardariperumusanmodelaliranunsteadynon-uniformdi saluran terbuka. 4 4.2. HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM 4.2.1. Persamaan Umum Tinjauan terhadap persamaan kekekalan momentum dapat diterapkan pada control volume yang identik dengan yang dipakai di dalam menganalisa persamaan kekekalan massa pada butir 4.1 di atas. Pada bagian terdahulu telah diperlihatkan bahwa bentuk persamaan kekekalan momentum dapat dituliskan sebagai: ( )( )( )ddtV dddtV dddtVdV V n dAV V n dAV V n dAFFFxcvycvzcvxscvyscvzscvxyz`)+`) `) =}}}}}}0 Agar mudah diikuti, akan diturunkan untuk yang searah dengan sumbu x terlebih dahulu: ( )( )| |( )( ) ( )02 2122122= + + = ++ + +

(((`)= ++} } FddtV d V V n dAFVtV A V AV AxdxFVtV Axdxx xcvxscvxxx x x xx xxxx x c c c cc cc c Atau ( ) ( ) c cc cVtVV Axdx Fxxx xx+ =0[4-2.1] UntukkondisidimanavolumetidakberubahmenurutwaktudanluaspenampangAtidak berubah menurut x maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: 0 = + = + ccccccccVtA dxVVxFVtVVxFxx xxxxxxx Atau ccccVtVVxFxxxx+|\

|.| =0[4-2.2] Secaraumum,bukanhanyauntukfluida,gaya-gayaluarF yangbekerjapadapermukaan control volume terdiri dari tegangan normal (normal stress; ditimbulkan oleh teganganyang arahnyategaklurusbidang)dantegangangeser(shearstress;ditimbulkanolehtegangan yang arahnya sejajar bidang) seperti tergambar: Gambar (XYZ-fig 5.2 pp190) Sepertiterlihatpadagambar,tegangandilambangkanolehtijdimanai=x,y,zdanj=x,y,z. Untuk tegangan normal i=j. Sedangkan untuk tegangan geser bila i=j. Dengan demikian, pada arah x, akan berlaku: 5 F dydzxdx dydz dx dzydy dx dzdxdyzdz dxdy g dxdy dzxdxdydzydydxdzzdz dxdy g dxdydzx y zgx xx xxxxyx yxyxzx zxzxxxxyxzxxxxyxzxx= + +|\

|.| + +|\

|.| + +|\

|.|+= + += + + +|\

|.|t tctct tctct tctcctcctcctcctcctcctc[4-2.3] Dengan memasukkan persamaan ini ke dalam persamaan [4-2.2] akan didapatkan ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0 Atau ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0[4-2.4a] Dandengancarapenurunanyangsamaakandidapatkanpersamaanuntuksumbuydanz sebagai berikut: ccccctcctcctcVtVVy x y zgyyy xy yy zyy+|\

|.| + + +|\

|.| = 0[4-2.4b] ccccctcctcctcVtVVz x y zgzzz xzyzzzz+|\

|.| + + +|\

|.| = 0[4-2.4c] Sebagaialternativepersamaan[4-2.4]inidapatdituliskandalambentuksubstantial derivative, menjadi: ctcctcctcctcctcctcctcctcctcDVDt x y zgDVDt x y zgDVDt x y zgx xxyxzxxy xy yy zxyyz xzyzzzz= + + += + + += + + +[4-2.5] Atau cccccct t tt t tt t tDVDt x y zgggxx yx zxxy yy zyxz yz zzxyz=

((

((((+ `) atau lebih ringkas lagi DVDt= V + t g[4-2.6] dimana matriks stress tensor (t) dan percepatan gravitasi (g) adalah 6 t =

((((t t tt t tt t txx yx zxxy yy zyxz yz zzdang = `)gggxyz 4.2.2. Persamaan Euler Apabilapersamaan[4-2.6]diterapkanpadafluidadenganmenganggapbesarnyategangan geserakibatviskositastidaklahberartidibandingkandenganbesarnyategangannormal,dan tegangannormalyangbekejaadalahtekananstatis(p)yangmengarahkearahdalamruang control volume, maka matriks stress tensor akan menjadi t =

(((ppp0 00 00 0 Selanjutnya,denganmemasukkangx=gy=0danmemilihtandapositipuntukarahkeatas padasumbuvertikalsehinggagz=-g,makamatrikspercepatangravitasig=-g.Dengan demikian, persamaan [4-2.5] dapat ditulis sebagai: ccccccDVDtpxDVDtpyDVDtpzgxyz= = = + Persamaan Euler, yang mengabaikan tegangan geser ini, dapat ditulis secara ringkas sebagai: DVDtp gk= V + [4-2.7] dimanavektorkadalahvektoryangsearahdengansumbuvertikalpositip.Persamaan terakhir ini dikenal sebagai persamaan Euler. 4.2.3. Persamaan Navier-Stokes Pada banyak jenis fluida, hubungan antara komponen-komponen tegangant dengangradien kecepatan(velocitygradient),seringkalibersifatlinear.Fluidasepertiini,disebutsebagai NewtonianFluids.Apabilasifatlinearityinisamapadaarahsumbux,y,maupunz,maka fluida ini juga memiliki sifat isotropic. Air dan udara umumnya dikategorikan pada jenis ini. Dalambabterdahulutelahdiperlihatkanbahwabilasadalahsumbupadaarahyangtegak lurusterhadapbidangdimanatbekerja,makarasioantaratdengangradientkecepatan(c c V s ) yang menimbulkannya akan sama dengan viskositas (), sehingga: t cc=Vs Persamaanini,hanyaberlakuuntukIsotropicNewtonianFluidyangdiasumsikansebagai incompressible.Untukfluidajenisini,ditambahdenganasumsibahwaviskositasdianggap konstan menurut ruang dan waktu, maka stress tensor dapat dituliskan sebagai: 7 t =

((((= + + +

(((((((=

(((+

t t tt t tt t t cc cc cc cc cc cc cc cc ccccccccccccccccccccxx yx zxxy yy zyxz yz zzy yzxyzxyzxyzxyzxyzpVxVxVxVypVyVyVzVzpVzpppVxVxVxVyVyVyVzVzVz0 00 00 0

((((((( Dandenganmensubstitusikanpersamaaninikedalampersamaan[4-2.6]akandidapatkan persamaan Navier-Stoke sebagai berikut: cc cccccccc cccccccc ccccccDVDtpxgVxVyVzDVDtpygVxVyVzDVDtpzgVxVyVzxxx x xyyy y yzzz z z= + + + +|\

|.|= + + + +|\

|.||= + + + +|\

|.|222222222222222222 Atau VDVDtp g V= V + +2[4-2.8] 4.3. CONTOH PENERAPAN. 1. Example 5.4 pp193 2. Perlihatkan hubungan antara persamaan Euler dengan persamaan penyebaran tekanan Solusi: Bentukturunankecepatanterhadapwaktusebenarnyaadalahpercepatana(lihatbab 3.1.4.). Dengan demikian, persamaan Euler DVDtp g= V + ,juga dapat ditulisakan sebagai: a p g = V + , yang bila dituliskan secara lebih rinci akan menjadi: 8 ccccccapxgapygapzgx xy yz z= += += + atau ( )( )( )ccccccpxa gpya gpza gx xy zz z= += += + Perludicatatbahwa,disinipercepatangravitasiditetapkanpositipbilasearahsumbu cartesian.Umumnya,percepatangravitasipadaarahvertikalgz=-gdantidakada percepatan gravitasi pada arah lainnya. Padasituasidimanatekananbervariasimenurutruang,makap=p(x,y,z)sehingga bentuk derivativenya adalah dppx dxpy dypz dz = + +cccccc. Maka: dp a dx a dy a g dzx y y= + ( ) . yangmerupa