1 4.1. HUKUM KEKEKALAN MASSA 4.1.1. Persamaan umum. Formulasipersamaankekekalanmasadalambentukdifferensialbisadidapatkandengan menerapkan persamaan integral kekekalan massa pada suatu control volume yang cukup kecil dan diletakkan tidak menyentuh dinding sehingga harga V n di seluruh permukaannya tidak samadengannol.Untukmemudahkananalisa,controlvolumeinidipilihberbentukbalok dengansisidx,dy,dandzdimananotasix,y,danzmelambangkansumbu-sumbupada koordinat cartesian. Gambar XXX. Bila diterapkan pada situasi diatas, maka persamaan kekekalan massa yang semula: ddtd V n dAscv cv + =} }0 akan menjadi: ( ) ddtV nAi ii+ =0 [4-1] dimana adalah isi total dari control volume dan integral dA pada masing-masing bidang permukaan i akan sama dengan Ai. Dengan menggunakan aturan rantai (chain rule) suku pertama dari persamaan [4-1] dapat diuraikan menjadi: ddt t t( ) cccc= + [4-2] Suku kedua persamaan [4-1] menunjukan besarnya massa yang masuk serta yang keluar dari ruangcontrolvolumemelaluibidang-bidangpermukaannya.BilaVxadalahkomponen kecepatanpadaarahsumbuxmasukkedalamruangcontrolvolumesecarategaklurus menembuspenampangABCD,maka V n VABCD x = .Dengandemikian,totalmassayang masukmelaluibidanginiadalahsebesarV Ax x.Padasaatkeluarmelaluibidangdi hadapannya (bidang EFGH), besarnya massa ini telah berubah menjadi ( )c cV AV Axdxx xx x+sehingga jumlah neto massa yang masuk dan keluar control volume pada arah sejajar sumbu x adalah sebesar: ( )( ) c cc cV n A V A V AVAxdxVAxdxxxx x x xx xx x = + +|\

|.|=[4-3a] 2 Bila Ax dianggap tidak berubah sepanjang dx, tetapi tetap sebesar Ax = dx dz maka; ( )( )( )c cc cc cV n AVAxdxVxdx dy dzVxxxx xxx === [4-3b] Dengan cara yang sama dapat dicari jumlah neto massa pada arah sejajar sumbu y dan z, sehingga ( ) ( ) ( )c cc cc cccccccccccccV n AVxVyVzVxVyVzVxVyVzxxxyzxyzx y z = + +|\

|.||= + +|\

|.| + + +|\

|.|[4-4] Substitusi persamaan [4-2] dan [4-4] kedalam persamaan [4-1] akan menghasilkan persamaan umum kekekalan massa dalam bentuk differensial: cccccccccccccccc t tVxVyVzVxVyVzxyzx y z+ + + +|\

|.| + + +|\

|.| = 0[4-5] 4.1.2. Contoh-contoh Penerapan. 1.Turunkanpersamaan[4-5]untuksuatusituasidimanavolumefluidayangmenempati ruang control volume dapat dianggap tidak berubah menurut waktu. Solusi: Bila volume tetap dari waktu ke waktu maka: cct = 0 sehingga: + + +|\

|.| + + +|\

|.| =cccccccccccccc tVxVyVzVxVyVzxyzx y z0 Atau cc cccccccccccc tVxVyVzVxVyVzxyzx y z+ + +|\

|.| + + + = 0 Dengan memanfaatkan definisi-definisi: DDt tVxVyVzx y z + + +cccccccc dan kzjyix cc+cc+cc V3 dimana masing-masing vektor i, j, k adalah vektor yang searah dengan sumbu-sumbu x, y,z.Dengandemikian V V i Vj Vkx x x= + + danpersamaandiatasdapatditulissecara ringkas sebagai DDtVV + =0 2.Turunkanpersamaan[4-5]untuksuatusituasidimanafluidayangditinjaulayakuntuk diasumsikan bersifat incompressible Solusi: Incompressibleartinya,untukjenisfluidayangditinjau,perubahankerapatanmassa menurut ruang dan waktu kecil sekali sehingga layak untuk diabaikan. Sehingga: cccccccc t x y z= = = ~ 0 dan persamaan [4-4] direduksi menjadi: cccccccc tVxVyVzxyz+ + +|\

|.| = 0 3. Persentasikan example 5.2 pp 187-188. 4. Persamaan [4-3b] menganggap Ax tidak berubah sepanjang dx. Untuk penerapan pada alur sungai, baik lebar sungai (dy) maupun kedalaman air (dz) mungkin saja berubah sepanjang dy.Bilaairsungaidianggapincompressiblefluid,turunkanpersamaandifferensial kekekalanmassauntukkasus1-D.AsumsikanlebarsungaikonstansebesarB(sehingga dy B) dan kedalaman air sebagai h yang berubah sepanjang x sehingga dz h(x). Solusi: Persamaanuntuksituasi1-Dincompressibleflow,bisadidapatkandengan mensubstitusikanpersamaan[4-2]dan[4-3a]kedalampersamaan[4-1],kemudian mengeliminasisuku-sukuyangmengandungbentukturunanterhadapjarakmaupun waktu. Hasilnya adalah:

( )( )( )cccccccccccctVAxdxh BdxtV h BxdxBht dx BV hxdxx xxx+ =+ =+ =000( ) Sehingga didapatkan cccccchthVxVhxxx+ + = 0 PersamaaninidikenalsebagaibagiandaripersamaanSaintVenantuntukkekekalan massa,yangmerupakandasardariperumusanmodelaliranunsteadynon-uniformdi saluran terbuka. 4 4.2. HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM 4.2.1. Persamaan Umum Tinjauan terhadap persamaan kekekalan momentum dapat diterapkan pada control volume yang identik dengan yang dipakai di dalam menganalisa persamaan kekekalan massa pada butir 4.1 di atas. Pada bagian terdahulu telah diperlihatkan bahwa bentuk persamaan kekekalan momentum dapat dituliskan sebagai: ( )( )( )ddtV dddtV dddtVdV V n dAV V n dAV V n dAFFFxcvycvzcvxscvyscvzscvxyz`)+`) `) =}}}}}}0 Agar mudah diikuti, akan diturunkan untuk yang searah dengan sumbu x terlebih dahulu: ( )( )| |( )( ) ( )02 2122122= + + = ++ + +

(((`)= ++} } FddtV d V V n dAFVtV A V AV AxdxFVtV Axdxx xcvxscvxxx x x xx xxxx x c c c cc cc c Atau ( ) ( ) c cc cVtVV Axdx Fxxx xx+ =0[4-2.1] UntukkondisidimanavolumetidakberubahmenurutwaktudanluaspenampangAtidak berubah menurut x maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: 0 = + = + ccccccccVtA dxVVxFVtVVxFxx xxxxxxx Atau ccccVtVVxFxxxx+|\

|.| =0[4-2.2] Secaraumum,bukanhanyauntukfluida,gaya-gayaluarF yangbekerjapadapermukaan control volume terdiri dari tegangan normal (normal stress; ditimbulkan oleh teganganyang arahnyategaklurusbidang)dantegangangeser(shearstress;ditimbulkanolehtegangan yang arahnya sejajar bidang) seperti tergambar: Gambar (XYZ-fig 5.2 pp190) Sepertiterlihatpadagambar,tegangandilambangkanolehtijdimanai=x,y,zdanj=x,y,z. Untuk tegangan normal i=j. Sedangkan untuk tegangan geser bila i=j. Dengan demikian, pada arah x, akan berlaku: 5 F dydzxdx dydz dx dzydy dx dzdxdyzdz dxdy g dxdy dzxdxdydzydydxdzzdz dxdy g dxdydzx y zgx xx xxxxyx yxyxzx zxzxxxxyxzxxxxyxzxx= + +|\

|.| + +|\

|.| + +|\

|.|+= + += + + +|\

|.|t tctct tctct tctcctcctcctcctcctcctc[4-2.3] Dengan memasukkan persamaan ini ke dalam persamaan [4-2.2] akan didapatkan ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0 Atau ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0[4-2.4a] Dandengancarapenurunanyangsamaakandidapatkanpersamaanuntuksumbuydanz sebagai berikut: ccccctcctcctcVtVVy x y zgyyy xy yy zyy+|\

|.| + + +|\

|.| = 0[4-2.4b] ccccctcctcctcVtVVz x y zgzzz xzyzzzz+|\

|.| + + +|\

|.| = 0[4-2.4c] Sebagaialternativepersamaan[4-2.4]inidapatdituliskandalambentuksubstantial derivative, menjadi: ctcctcctcctcctcctcctcctcctcDVDt x y zgDVDt x y zgDVDt x y zgx xxyxzxxy xy yy zxyyz xzyzzzz= + + += + + += + + +[4-2.5] Atau cccccct t tt t tt t tDVDt x y zgggxx yx zxxy yy zyxz yz zzxyz=

((

((((+ `) atau lebih ringkas lagi DVDt= V + t g[4-2.6] dimana matriks stress tensor (t) dan percepatan gravitasi (g) adalah 6 t =

((((t t tt t tt t txx yx zxxy yy zyxz yz zzdang = `)gggxyz 4.2.2. Persamaan Euler Apabilapersamaan[4-2.6]diterapkanpadafluidadenganmenganggapbesarnyategangan geserakibatviskositastidaklahberartidibandingkandenganbesarnyategangannormal,dan tegangannormalyangbekejaadalahtekananstatis(p)yangmengarahkearahdalamruang control volume, maka matriks stress tensor akan menjadi t =

(((ppp0 00 00 0 Selanjutnya,denganmemasukkangx=gy=0danmemilihtandapositipuntukarahkeatas padasumbuvertikalsehinggagz=-g,makamatrikspercepatangravitasig=-g.Dengan demikian, persamaan [4-2.5] dapat ditulis sebagai: ccccccDVDtpxDVDtpyDVDtpzgxyz= = = + Persamaan Euler, yang mengabaikan tegangan geser ini, dapat ditulis secara ringkas sebagai: DVDtp gk= V + [4-2.7] dimanavektorkadalahvektoryangsearahdengansumbuvertikalpositip.Persamaan terakhir ini dikenal sebagai persamaan Euler. 4.2.3. Persamaan Navier-Stokes Pada banyak jenis fluida, hubungan antara komponen-komponen tegangant dengangradien kecepatan(velocitygradient),seringkalibersifatlinear.Fluidasepertiini,disebutsebagai NewtonianFluids.Apabilasifatlinearityinisamapadaarahsumbux,y,maupunz,maka fluida ini juga memiliki sifat isotropic. Air dan udara umumnya dikategorikan pada jenis ini. Dalambabterdahulutelahdiperlihatkanbahwabilasadalahsumbupadaarahyangtegak lurusterhadapbidangdimanatbekerja,makarasioantaratdengangradientkecepatan(c c V s ) yang menimbulkannya akan sama dengan viskositas (), sehingga: t cc=Vs Persamaanini,hanyaberlakuuntukIsotropicNewtonianFluidyangdiasumsikansebagai incompressible.Untukfluidajenisini,ditambahdenganasumsibahwaviskositasdianggap konstan menurut ruang dan waktu, maka stress tensor dapat dituliskan sebagai: 7 t =

((((= + + +

(((((((=

(((+

t t tt t tt t t cc cc cc cc cc cc cc cc ccccccccccccccccccccxx yx zxxy yy zyxz yz zzy yzxyzxyzxyzxyzxyzpVxVxVxVypVyVyVzVzpVzpppVxVxVxVyVyVyVzVzVz0 00 00 0

((((((( Dandenganmensubstitusikanpersamaaninikedalampersamaan[4-2.6]akandidapatkan persamaan Navier-Stoke sebagai berikut: cc cccccccc cccccccc ccccccDVDtpxgVxVyVzDVDtpygVxVyVzDVDtpzgVxVyVzxxx x xyyy y yzzz z z= + + + +|\

|.|= + + + +|\

|.||= + + + +|\

|.|222222222222222222 Atau VDVDtp g V= V + +2[4-2.8] 4.3. CONTOH PENERAPAN. 1. Example 5.4 pp193 2. Perlihatkan hubungan antara persamaan Euler dengan persamaan penyebaran tekanan Solusi: Bentukturunankecepatanterhadapwaktusebenarnyaadalahpercepatana(lihatbab 3.1.4.). Dengan demikian, persamaan Euler DVDtp g= V + ,juga dapat ditulisakan sebagai: a p g = V + , yang bila dituliskan secara lebih rinci akan menjadi: 8 ccccccapxgapygapzgx xy yz z= += += + atau ( )( )( )ccccccpxa gpya gpza gx xy zz z= += += + Perludicatatbahwa,disinipercepatangravitasiditetapkanpositipbilasearahsumbu cartesian.Umumnya,percepatangravitasipadaarahvertikalgz=-gdantidakada percepatan gravitasi pada arah lainnya. Padasituasidimanatekananbervariasimenurutruang,makap=p(x,y,z)sehingga bentuk derivativenya adalah dppx dxpy dypz dz = + +cccccc. Maka: dp a dx a dy a g dzx y y= + ( ) . yangmerupakanpersamaanpenyebarantekanansepertiyangtelahditurunkanpada Bab 3.1.4. 3.Diketahui bahwa untuk saluran terbuka; Sg y zfyxzx +|\

|.|1ctcctc dantekananairsetinggihdaridasarsaluransebesarp = g(h+z).Dasarsaluran mempunyaikemiringansebesarS z x0 c c sehinggag g z xx = c c .Turunkan persamaan momentum untuk saluran terbuka dari persamaan [4-2.4a] Solusi: ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0 ( )( )cccccc cccccc c cccccccccccccccccVtVVxpxg S gzxVtVVxghxg S gzxVtVVxghxg SzxVtVVxghxg S Sffff+ + + + =+ + + + =+ + + +|\

|.| =+ + + =010000 9 4.Perlihatkan bahwa persamaan Bernouli adalah persamaan momentum bila dipakai asumsi-asumsi: a. steady. ; b. Laju kehilangan energy Ah sepanjang cx didefinisikan sebagai ( ) cc ctcctcAhx g x yxxyx +|\

|.|1 c. Tinjauan 1-D pada sistem yang mempunyai kemiringan terhadap sumbu horizontal sebesarc c z xSolusi: ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0 ( )( )( )( )ccccc ccccccccccccc ccccccccccccccccVVxpxg hxgzxVVxpxghxgzxVgVxpxhxzxVgxpxhxzxVgpz hx+ + + =+ + + =+ + + =|\

|.|+|\

|.|+ + =+ + +|\

|.|=AAAAA0010202022 Sehingga: c Vgpz hVgpz hVgpz hVgpz hXXXXX X222 220202 2012122 2+ ++|\

|.| =+ ++|\

|.|=+ ++|\

|.| + ++|\

|.|=}AAA A 10 BAGIAN II ALIRAN AIR PADA PIPA Orientasi dan Asumsi. Bagianiniakanmembicarakanpenerapanpraktisilmumekanikafluidapadakasusdasar perencanaanjaringanpipadistribusiairbersihdimanaaliranairumumnyadiasumsikan steady,1-Ddanincompressible.Rumusutamabagiperencanaan,padadasarnyamerupakan penyederhanaanpersamaanNavier-Stoke(kekalanmomentumdalambentukpersamaan [4.2.8])sedemikianrupasehinggahanyamengandungfaktor-faktorpenggerak(driving force)danpenghambataliranyangdominanpadakondisialiranairdijaringanpipa distribusiairbersih.Disini,faktorpenggerakyangdominanadalahvelocityhead(suku g v 22) dan piezometric head ( z p + ). Sedangkan faktor penghambat,yang menyebabkan kehilangan energy, yang dipandang dominan adalah gesekan dinding dan turbulensi Persamaan Dasar PERSAMAAN KEKALAN MASA 0 = }SYSdDtD karena ( )} } } + = CV CV SYSAdA n V ddtddDtD maka0 = + } }CV CVACV CVdA n V ddtd [5.1] Penerapanrumusaninimenjadirumusankerjadapatdapatdiilustrasikanpadapercabangan situasi T berikut ini Secara skematis situasi yang dipersoalkan dapat digambar sebagai berikut V1V3A1A3A2V211 Perhatikanbahwabentukruangcontrolvolumetidakperluharusketatmengikutibentuk bendayangditinjau.Disinidipilihbentukyangsederhanasajayaitubentukpersegiempat. Perluditekankanbahwaintegrasi0 = dA hanyapadaperbatasanruangcontrolvolumeyang ditembus oleh V saja, sehingga } } }} } + + = = 3 2 13 2 1A A AAdA V dA V dA VdA n V ddtdCV CV[5.2] BilaVadalahuniformdimasing-masingAdanmasajenisadalahkonstanmenurutruang dan waktu, maka suku disebelah kanan tanda sama dengan menjadi ( )3 3 2 2 1 13 3 2 2 1 1 3 2 13 2 1A V A V A VA V A V A V dA V dA V dA VA A A+ + = + + = + + } } } dan suku disebelah kiri tanda sama dengan menjadi dtdddtdCVCV = } Substitusi kedua persamaan ini kembali ke perssamaan [9] akan didapat ( )3 3 2 2 1 13 3 2 2 1 1A V A V A VdtdA V A V A VdtdCVCV+ + =+ + =[5.3] MengingatbahwaCVadalahvolumeairdidalamruangcontrolvolume(danbukanvolume dariruangitusendiri)yangdalamkasusiniadalahtetapmenurutwaktu(percabanganT selalupenuhterisiair),makad/dt=0sehinggapersamaan[5.3]dapatdisederhanakan menjadi V2V3V1A1A2A3Batas ruang control volume12 3 3 2 2 1 1A V A V A V + =Bentukpersamaaninimungkintelahdikenalsemenjakdisekolahmenengah,tetapidengan mengikutisetiapdetillangkahpenurunannyadaripersamaan[5.1]diharapkandapat dimengerti seluruh asumsi untuk menyederhanakan masalah yang telah dilakukan. PERSAMAAN KEKALAN MOMENTUM DAN KEKEKALAN ENERGY Suatutitikyangdalamsistimcartesianmempunyaikoordinat(x,y,z),biladituliskandalam koordinatsilinderakanmenjadi(x,rsino,rcoso).Koordinatsilinder,memudahkankita untukmemahamiartifisiksuku-sukudidalampersamaanaliranfluidayangmengalirdi dalam pipayang berbentuk silindris. Dalam kerangka pikir koordinat silindris ini, kecepatan Vdapatdiuraikanmenurutkomponenyangsearahdengansumbux,searahsumbur,dan searah perputaran sudut o yang masing masing dinotasikan sebagai Vx,, Vr, dan Vo. Persamaan Navier-Stoke pada pipa silindris VDVDtp g V= V + +2 1-D( ) 0 = + } }xscvxcvxF dA n V V d Vdtd ccccVtVVxFxxxx+|\

|.| =0 ||.|

\| +cct+cct+cct=xzxyxxxxgz y xF Maka ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0 Persamaan aliran pada pipa (persamaan Bernouli) adalah persamaan momentum diatas bila dipakai asumsi-asumsi: a. steady. ; 13 b. Laju kehilangan energy Ah sepanjang cx didefinisikan sebagai ( )||.|

\|cct+cctcA cy x g xhzxyx 1 c. Tinjauan 1-D pada system yang mempunyai kemiringan terhadap sumbu horizontal sebesar c c z x Sehinga ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0 ( )( )( )( )ccccc ccccccccccccc ccccccccccccccccVVxpxg hxgzxVVxpxghxgzxVgVxpxhxzxVgxpxhxzxVgpz hx+ + + =+ + + =+ + + =|\

|.|+|\

|.|+ + =+ + +|\

|.|=AAAAA0010202022 Sehingga: c Vgpz hVgpz hVgpz hVgpz hXXXXX X222 220202 2012122 2+ ++|\

|.| =+ ++|\

|.|=+ ++|\

|.| + ++|\

|.|=}AAA A Sering dituliskan sebagai x h zpgVzpgVX XA A +||.|

\|++ =||.|

\|++2 22 22 2 Dimana suku Ah Ax adalah total kehilangan enegri sepanjang dx. 14 Kehilangan Energi Kehilanganenergi(energyloss),yangumumnyadisajikandalambentukheadloss(Ah), dapatdibagidalamduakategory;(I)majorlosses-yangmempengaruhialirandisepanjang alurpipa,dan(ii)minorlosses-yangpengaruhnyabersifatlokalsepertipadaperubahan diameter, tikungan dlsb. Mekanisme terjadinya major losses, dapat dipahami melalui teory viskositas sebagai elemen terpenting Teory yang dapat dipakai sebagai dasar untuk RUMUSAN TEORITIS KEHILANGAN ENERGI SEPANJANG PIPA AKIBAT GESEKAN DINDING Pengaruh Viskositas Terhadap Bentuk Profil Penyebaran Kecepatan. Aliransutaufluidadapatdibayangkansebagaialirandariberjuta-jutapartikel 1fluida. Apabiladuabuahpartikelyangsalingbersebelahanmempunyaikecepatanyangberbeda, maka diantara kedua partikel ini akan timbul tegangan gesek (shear stress). Viskositas, yang rumusan matematisnya adalah sebagai berikut ini; tc c=V yx memberikangambarantimbalbalikantarabesarnyagayagesekpersatuanluasdengan perbedaankecepatannya(lihatgambar1.6pp41).Artinya,kenaikanperbedaankecepatan akan menimbulkan kenaikan gaya gesek persatuan luas sebesar t. Dari sudut pandang lain, viskositas dapat dipandang sebagai tingkat kelekatan suatu partikel airterhadappartikelairlaindisekelililingnya.Misalnya,sepertiterlihatpadaganbarberikut ini,sebuahbanberjalankitaletakkanbersentuhandenganpermukaanairsuatusaluran terbuka.Airdisaluranpadamulanyadiam,kemudianbanberjalandigerakkandengan putaran pada arah berlawanan dengan jarum jam. Disebabkan oleh lekatan tegangan gesek antarabanberjalandenganpartikelyangterletakdipermukaan,makapartikeliniakan bergerakselarasdengangerakbanberjalan.Akibatnya,antarapartikelairyangteratasini dengan partikel air dibawahnya, akan timbul gaya gesekan sebesar t. Bagipartikelyangdisebelahatas,gayagesekaniniakanmengarahkekiridanbagipartikel dibawahnyamengarahkekanansearahdenganarahgerakpartikeldiatasnya.Untuk memahamihalini,keduapartikeldiatasdapatdibayangkansebagaiduabuahmobil,yang satubergerakkearahkanansedangkanyangsatunyalagidiam.Apabilakeduamobilini bergesekan,makamobilyangbergerakkearahkananakantergoresmemanjangkearahkiri.

1 Yang dimaksud dengan kata partikel disini, adalah suatu benda konseptual yang terdiri dari sekelompok molekul pembentuk fluida. Molekul-molekul dalam kelompok ini sedemikian sedikitnya sehingga dapat dianggap selalu bergerak secara bersamaan sebagaimana satu buah benda pejal yang utuh. Meskipun jumlah molekulnya sedikit, tetapi sifat partikel sepenuhnya sama dengan sifat makroskopis fluida yang dibentuknya dan tidak dipengaruhi lagi oleh sifat-sifat molekuler yang mengakibatkan prasyarat continuum mechanic tidak terpenuhi. 15 Sedangkanmobilyangdiamakantergoresmemanjangkearahkanan.Arahgoresanini, menggambarkanbagaimanasebuahgayagesekanyangsamamemberiarahgesekanyang berlawanan pada masing-masing mobil. Kembalipadapersoalanpartikeldiatas,gerakpartikelairdipermukaankearahkanan,bagi partikeldibawahnyaakanterasasebagaigayagesekanyangjugamengarahkekanan. Selanjutnya,gayagesekaniniakanmenyebakanpartikelinpunakanturutbergerakkearah kanan.Sehingga,seakaan-akankeduapartikeltadisalingmelekat.Denganmekanisme sepertiini,gerakkearahkananpartikelairyangterletakdipermukaanakandijalarkanpada partikel-partikel dibawahnya. Dayalekatantarpartikelolehadanyaviskositasyangmengakibatkangerakduapartikel saling mempengaruhi akan disebut sebagai tegangan kekentalan (viscousstress). Pada kasus banberjalandiatas,tegangankekentalanmenjalarkandorongangerakkearahkananyang dialami oleh partikel-partikel permukaan ke partikel-partikel dibawahnya, sampai ke partikel terbawah yang letaknya bersebelahan dengan dinding saluran. Pada saat partikel air yang terbawah ini turut bergerak kekanan, maka akan timbul gaya gesek padasisiyangbersentuhandengandasarsaluran.Karenadasarsalurantidakmungkin bergerak,makagayagesekaniniakanmenjadipenghambatgerakpartikeltersebut. Hambatanini,olehtegangankekentalan,akandijalarkanpadapartikel-partikeldiatasnya sampai ke permukaan. Interaksiantaradoronganuntukbergerakdariarahpermukaandanhambatanyang ditimbulkanolehdasarsaluraninilahmenyebabkanterjadinyaperbedaankecepatandititik-titikyangkedalamannyaberbedasehinggaterbentukprofilpenyebarankecepatan.Pada kasusbanberjalandiatas,profilpenyebarankecepatannyaberbentukparabolisdimana kecepatan maksimum terdapat pada permukaan air dan nol pada dasar saluran. Didalampipasilindris,bentuktipikalprofilaliranadalahparabolissepertitergambar. Mengingatbahwaterjadinyabentukiniterutamaadalahakibattegangankekentalan,maka profilkecepatanparabolismerupakanciridarijenisaliranviscous.Padaaliraninviscid, dimana viskositas cairan kecil sekali sehingga tegangan kekentalan dapat dianggap nol, maka profil kecepatan tidak akan berpola parabolis tetapi berpola seragam. Peran dari viskositas ini dapat terlihat lebih jelas bila kita mengamati perubahan bentuk profil aliran dari suatu cairan yang baru saja meninggalkan outlet suatu bejana dan masuk kedalam pipa silindris seperti tergambar dibawah ini. (a) Profil kecepatan =0~ (b) Profil kecepatan ~0 16 Padagambarini,kecepatandibidangpenampangmelintangterhulu(dititikoutlet) dimisalkanuniformsehinggakecepatandidekatdindingdanditengahpenampangsama besarnyadandiagramkecepatanakanberbetukpersegiempat.Semakinkehilir,pengaruh hambatandindingsemakinmeluaskearahpusatpenampangdirambatkanolehtegangan kekentalan.Akhirnyaseluruhpenampangdipengaruhiolehhambatandinding.Akibatnya, profil kecepatan semakin kehilir bentuknya semakin nyata berubah menjadi parabolis. Antaratitikoutletsampaiketitikdimanaseluruhpenampangmelintangdipengaruhioleh hambatandinding(sepanjangLi),tejadidualapisandengansifataliranyangberbeda;.(i) dipusat penampang aliran bersifat inviscid dan (ii) semakin mendekati dinding aliran berubah sifatmenjadialiranviscous.Garismayayangmerupakanbatasdimanasifataliranini berubahdisebutbidangdindingviscous(viscouswalllayer).Bagiandalamkerucutyang dibentuk oleh bidang ini, dikenal sebagai inviscid core. Setelah melalui daerah inviscid core, profil kecepatan sepenuhnya telah berbentuk parabolis. Tetapiprosesperubahanbentukprofilkecepatannyatidaklangsungterhenti,melainkan masihberlanjutbeberapatsaatkearahhilirsebelumakhirnyabenar-benartidakberubah. Jarakantaratitikoutletdengantitikdimanaprofilkecepatantelahstabildikenalsebagai entrancelength(Le).Daripengamatanpadaberbagaipercobaan,selamaaliranbersifat laminar, didapat hubungan empiris; LDe= 0065 . RedimanaDadalahdiameterpipadanReadalahbilanganReynoldyanguntukpipasilindris ReVD/v.Disinivadalahviskositaskinematis(kinematicviscousity)yangbesarnyav=/, dan adalah massa jenis cairan. Persamaan Profil Kecepatan Telahdiuraikandiatasbahwa,akibattegangankekentalan,profilkecepatancenderung berubahmenjadaiparabolis.Apabilatidakadagangguanhidrolislainnya(sepertibelokkan tajam (elbow), katup, percabangan (tee), dlsb), maka pada setelah menempuh jarak sepanjang Lebentukprofilkecepatanakanstabil.PersamaanKecepatanhanyadapatditurunkansecara teoritis apabila keadaan stabil ini telah tercapai. Penurunan persamaan dapat dilakukan berangkat dari persamaan momentum, dimana Viscous flow region Viscous wall layer Inviscid flow region Inviscid core length Entrance length (Le) Profile development region Developed laminar flow region 17 ( ) FddtV d V V n dASCV CV= + } } Untuktinjauandalamkeadaansteady,sukupertamadaripersamaandisebelahkanantanda sama dengan akan sama dengan nol. Selanjutnya, diasumsikan bahwa tidak terjadi perubahan momentumketikaaliranmelintasicontrolvolume,sehinggasukukeduapunakansama dengannol.Dengandemikianpersamaandiatasdapatdisederhanakanmenjadipersamaan keseimbangan gaya dalam keadaan statis: F= 0 Gaya-gayayangbekerjapadacontrolvolumeadalahtekananstatisdiseluasbidang penampangkiridankanan(Fp),totalgayagesekandiseluasselimutsilindercontrolvolume (Ft), dan komponen berat air yang searah sumbu pipa (Wx).Dari gambar ini terlihat bahwa: ( ) F p r p dp rr dpp= += t tt2 22 dan ( ) F r dxtt t = 2sedangkan ( )W r dxx = t o2sin( )sehingga ( )( )F F F Wr dp r dx r dxp x = + += + +tt t t t o 0 22 2sin atau ( )r dp dx r dxr dx= += +22t ot osinsin yang dapat disusun menjadi dpdxrrr=+= +22t ot osinsin 18 Bila dipakai harga sin o=-dh/dx, dimana h adalah jarak vertikal dari datum ke sumbu pipa, maka ( )dpdx rdhdxrd hdx= = 22tt Atau ( ) dp hdx r+=t 2 sehingga ( )t=+rdp hdx 2 Apabila kedalam persamaan terakhir ini dimasukkan definisi dari tegangan geser t dengan memakai notasi yang sesuai, maka akan didapatkan: ( )dVdrrdp hdx=+2 Atau ( )dVdp hdxr dr =+

(((12 Dengan demikian, persamaan kecepatan akan didapatkan dengan mengintegralkan persamaan terakhir yang didapatkan ini, yaitu ( )( )( ) ( )dVdp hdxr drVdp hdxr Cdp hdxr C} }=+

(((=+

(((|\

|.| +=+

(((+1212121422 UntukmencarikonstantaCyangtimbulakibatprosedurintegral,dipakaihargaVpadatitik yangterletakdidindingpipa.Dititikini,dimanar=ro,kecepatanakansamadengannol (perhatikan bentuk profil kecepatan), sehingga ( ) ( )( ) ( )014140202=+

(((+= +

(((dp hdxr CCdp hdxr Hasil substitusi harga C ini kedalam persamaan asalnya adalah ( ) ( )Vdp hdxr r =+

(((14202[3-1] Persamaan ini, merupakan persamaan kecepatan yang bila digambar akan membentuk profil parabolis. 19 Sepertidiuraikanpadabab1diawalBagianIIini,didalammeninjaualirandidalampipa, umumnya aliran diasumsikan uniform, dalam arti variasi kecepatan di titik-titik yang terletak pada bidang penampang melintangyang sama akan diabaikan. Dengan demikian, untuk satu penampangmelintanghanyaakanadasatuhargakecepatansaja.Untukmemenuhiasumsi ini, besarnya kecepatan kecepatan yang dipakai biasanya adalah kecepatan rata-rata (V ) pada penampang tersebut. Besarnya kecepatan rata-rata ini umumnya didefinisikan sebagai VAV dAA}1 sehingga untuk kasus aliran dalam pipa silindris akan menjadi ( )( )VrV r drrdp hdxr r r drrrr==+

(((}}122 140200220200tt yang hasilnya adalah ( )Vrdp hdx= +028[3.2] Persamaan Kehilangan Energy Sukud(p+h)/dxdidalampersamaan[3.2]menggambarkanbesarnyapenurunantekanan untuk lintasan sepanjang sepanjangdx. Dengan kata lain, suku ini adalah kemiringan di tiap titik pada garis lengkung hasil plot tekanan terhadap jarak. Sebenarnya, apabila bentuk profil kecepatantelahstabil,kemiringaninipunakankonstan.Artinyahasilplottekananterhadap jarakbukanmerupakangarisyangmelengkung,melainkangarislurus.Dengandemikian, bilatotalpenurunantekananpadapipasepanjangLadalahsebesarAp,makaAp/L= d(p+h)/dx. Sehingga persamaan [3.2] dapat dituliskan sebagai; Vr pL= 028 A atau ApLVr= 802[3.3] Persamaan terakhir ini, dapat dipakai untuk memperhitungkan besarnya penurunuan tekanan secarateoritis.Biladibandingkandenganpenerapanpraktisdilapangan,acapkaliterdapat biasyangcukupberarti.Biladikajilebihmendalam,biasiniterjaditerutamadikarenakan alirandalampipayangterjadidilapanganjarangyangbersifatbenar-benarlaminer.Pada sebagian besar kasus, yang terjadi adalah aliran turbulen. Hal inilah yang mendasari perlunya perumusan penurunan tekanan pada aliran turbulen. Sebelum melakukakan menyajikan rumusan kehilangan tekanan akibat gesekan dinding pada aliranpipayangturbulen,akandipaparkanterlebihbentukpenulisanpersamaan[3.3]yang mengakomodasikanindikatortingkatlaminer-turbulennyasuatualiran.Sepertidiketahui, suatu aliran bersifat laminer atau turbulen dapat dikenali melalui besarnya bilangan Reynold 20 yangterjadi.DefinisibilanganReynoldmenyatakanbahwaReVD/.Apabiladi persamaan definisi ini dibuat eksplisit menjadi ==VDVDgReRe kemudian disubstitusikan kedalam persamaan [3.3], maka akan didapatkan; ApLVrVDgLDDVgLDVg===81626420214222ReReRe DalamprakteknyadilapanganbesarnyakehilangantekananApdinyatakandalamtinggi tekanandengannotasiAhdansatuanmeter.KonversisatuandilakukanmelaluiAh=Ap/. Mengikuti kebiasaan ini persamaan diatas akan menjadi gVDL pH2 Re642=A= ADengan mendefinisikan koefisien kehilangan tekanan akibat gesekan dinding f sebagai f 64/Re, maka gVDLf H22= A [3.4] Perludikemukakanbahwaperumusanpersamaan[3.4]dan[3.3]sebenarnyaidentikdalam artikeduanyamemuatasumsiyangsama.Dengandemikian,dalampenerapannyakeduanya menuntutpersyaratakondisiyangsama.Penulisansecarapersamaan[3.4]lebihumum dipakaikarenamengakomodasikanbilanganReynolddandiformulasikandalamformat bentuk umum persamaan kehilangan energi dimanaAh kVg=22[3.5] dimana untuk kasus yang sedang dibahas, koefisien k=fL/D 21 PERSAMAAN KEKEKALAN MASSA Pada control volume ddtd V n dAscv cv + =} }0 atau ( ) ddtV nAi ii+ =0Dimana ddt t t( ) cccc= + dan ( )( ) c cc cV n A V A V AVAxdxVAxdxxxx x x xx xx x = + +|\

|.|= Sehingga ( )( )( )cccccccccccctVAxdxh BdxtV h BxdxBht dx BV hxdxx xxx+ =+ =+ =000( ) atau cccccchthVxVhxxx+ + = 0 22 PERSAMAAN KEKEKALAN MOMENTUM Pada suatu control volume bentuk persamaan kekekalan momentum dapat dituliskan sebagai: ( )( )( )0 =`)+`)`)}}}}}}ddtV dddtV dddtV dV V n dAV V n dAV V n dAFFFxcvycvzcvxscvyscvzscvxyz Untuk arah sumbu x: ( )( )| |( )( ) ( )02 2122122= + + = ++ + +

(((`)= ++} } FddtV d V V n dAFVtV A V AV AxdxFVtV Axdxx xcvxscvxxx x x xx xxxx x c c c cc cc c Atau ( ) ( )0 =+ = + = + = +|\

|.| c cc cccccccccccccVtVVAxFVtAdxVVxFVtVVxFVtVVxFxxx xxxx xxxxxxxxxxx Sedangkan F dydzxdx dydz dx dzydy dx dzdxdyzdz dxdy g dxdy dzxdxdydzydydxdzzdz dxdy g dxdydzx y zgx xx xxxxyx yxyxzx zxzxxxxyxzxxxxyxzxx= + +|\

|.| + +|\

|.| + +|\

|.|+= + += + + +|\

|.|t tctct tctct tctcctcctcctcctcctcctc Sehingga 23 ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0 Bila 1) +|\

|.| 1ctcctc g y zSyxzxf 2) =ctcccxxxpx 3)tekanan air setinggi h di dasar saluran sebesar p = gh. 4) c c z x S0 5)g g z xx = c c Maka ccccctcctcctcVtVVx x y zgxxx xxyxzxx+|\

|.| + + +|\

|.| = 0 ( )( )cccccc cccccc c cccccccccccccccccVtVVxpxg S gzxVtVVxghxg S gzxVtVVxghxg SzxVtVVxghxg S Sffff+ + + + =+ + + + =+ + + +|\

|.| =+ + + =010000 PERSAMAAN ALIRAN DI SALURAN TERBUKA (PERS. SAINT VENANT) (kondisi 1-D, Unsteady, NonUniform) kekekalan massa cccccchthVxVhxxx+ + = 0 kekekalan momentum( )ccccccVtVVxghxg S Sf+ + + =00 KEHILANGAN ENERGY AKIBAT GESEKAN DINDING Semi Empiris: 24 Chezy: SVCRf =22 Manning: 3 42 2RV nSf =(dalam metrik) 1-D, STEADY, UNIFORM Artinya: Steady 0 =cct Uniform0 =ccx Kekekalan momentum menjadi ( )g S Sf =00 0S Sf =Memakai Manning 03 42 2SRV n= 03 42 2SRV n= 0321S RnV =Memakai Chezy 01S RCV = Kekekalan momentum menjadi: Q=AV 1-D, STEADY, NON-UNIFORM kekekalan massa hVxVhxxxcccc+ = 0 ( )0 =ccxV hx0 =ccxQ 01 1=AxQ Q01 1= Q Q hx1 Vx1= hx2 Vx2 kekekalan momentum 25 ( )VVxghxg S Sfcccc+ + =000 =|.|

\|cc+ +cc+ccxzSxhxVgVf 0 = +cc+cc+ccfSxzxhxVgV ( )022= +cc+cc+ccfgVSxzxhx ( )022= +c+ + cfgVSxz h ( ) ( )022122 2= +A+ + + +fgVgVSxz h z h x S z hgVz hgVf A =||.|

\|+ + ||.|

\|+ +12222 2 ||.|

\|A =||.|

\|+ + ||.|

\|+ +3 42 212222 2RV nx z hgVz hgV