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MatematicasAvanzadas

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Funciones deVariable

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Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Funciones de Variable Compleja

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MA3002


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Funcion de variable complejaCuando el dominio de una funcion f es un conjunto denumeros complejos y cuando los valores que proporciona lafuncion son tambien numeros complejos, diremos que f es unafuncion de variable compleja o simplemente que f es unafuncion compleja. Como la funcion evaluada en un numerocomplejo z = x + y i es un numero complejo w = f (z),entonces w debe ser de la forma:

w = f (z) = f (x + y i) = u(x , y) + v(x , y) i

donde u(x , y) es la parte real de w y v(x , y) es la parteimaginaria. Ası, una funcion de variable compleja pude ser vistacomo el resultado de dos funciones en dos variables de valorreal.

x

y

u

vz

w

w = f (z)

dominio imagen


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EjerciciosEscriba las siguientes funciones en la forma:

f (z) = f (x + y i) = u(x , y) + v(x , y) i

Es decir, determine la formula de la parte real u(x , y) y laformula de la parte imaginaria v(x , y) de la funcion f (z).

1 f1(z) = 6 z − 5 + 9 i

2 f2(z) = 7 z − 9 i z − 3 + 2 i

3 f3(z) = z2 − 3 z + 4 i

4 f4(z) = 3 (z)2 + 2 z

5 f (z) = z3 − 4 z

6 f (z) = z + 1/z

7 f (z) = z4

8 f (z) = zz+1


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Para f1(z) = 6 z − 5 + 9 i :

f1(z) = f1(x + y i)= 6 (x + y i)− 5 + 9 i= 6 x + 6 y i − 5 + 9 i= 6 x − 5 + 6 y i + 9 i= (6 x − 5) + (6 y + 9) i

Por lo tanto, para la funcion f1(z) la parte real es la funcionu(x , y) = 6 x − 5 y la parte imaginaria es v(x , y) = 6 y + 9.


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Para f2(z) = 7 z − 9 i z − 3 + 2 i :

f2(z) = f2(x + y i)

= 7 (x + y i)− 9 i (x + y i)− 3 + 2 i= 7 (x + y i)− 9 i (x − y i)− 3 + 2 i= 7 x + 7 y i − 9 x i − 9 y − 3 + 2 i= 7 x − 9 y − 3− 9 x i + 7 y i + 2 i= (7 x − 9 y − 3) + (−9 x + 7 y + 2) i

Por lo tanto, para la funcion f2(z) la parte real es la funcionu(x , y) = 7 x − 9 y − 3 y la parte imaginaria esv(x , y) = −9 x + 7 y + 2.


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Para f3(z) = z2 − 3 z + 4 i :

f3(z) = f3(x + y i)

= (x + y i)2 − 3 (x + y i) + 4 i=

(x2 − y 2 + 2 x y i

)− 3 (x + y i) + 4 i

= x2 − y 2 + 2 x y i − 3 x − 3 y i + 4 i= x2 − y 2 − 3 x + 2 x y i − 3 y i + 4 i=

(x2 − y 2 − 3 x

)+ (2 x y − 3 y + 4) i

Por lo tanto, para la funcion f3(z) la parte real es la funcionu(x , y) = x2 − y 2 − 3 x y la parte imaginaria esv(x , y) = 2 x y − 3 y + 4.


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Para f4(z) = 3 z2 + 2 z :

f4(z) = f4(x + y i)

= 3(x + y i

)2+ 2 (x + y i)

= 3 (x − y i)2 + 2 (x + y i)= 3

(x2 − y 2 − 2 x y i

)+ 2 (x + y i)

= 3 x2 − 3 y 2 − 6 x y i + 2 x + 2 y i= 3 x2 − 3 y 2 + 2 x − 6 x y i + 2 y i=

(3 x2 − 3 y 2 + 2 x

)+ (−6 x y + 2 y) i

Por lo tanto, para la funcion f4(z) la parte real es la funcionu(x , y) = 3 x2 − 3 y 2 + 2 x y la parte imaginaria esv(x , y) = −6 x y + 2 y .


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Ejemplos anteriores realizados en la calculadora TI.


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EjerciciosEvalue la funcion en los valores dados.

• f1(x + y i) = 2 x − y 2 + (x y 3 − 2 x2 + 1) i en:z1 = 5 + 3 i , z2 = 2− i y z3 = 2 i

• f2(x + y i) = ex cos(y) + ex sen(y) i en:z3 = 3 + π i/3, z2 = −1− π i y z3 = π i/4

• f3(z) = 4 z + i z + Re(z) en:z1 = 4− 6 i , z2 = −5 + 12 i y z3 = 2− 7 i


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En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de losproblemas en la TI. Observe la diferencia entre las definicionesde la funcion y la forma de evaluarla.


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Representaciones GraficasNote que ante la imposibilidad de graficar en R4 no es posiblegraficar una funcion de variable compleja. Hay varias opcionespara representar graficamente una funcion:

• Representar alguna de sus partes:• La parte real: Re (f (z))• La parte imaginaria: Im (f (z))• Su modulo: | (f (z)) |• Su argumento principal: Arg (f (z))

• Representar en el plano complejo la posicion de sus ceros yde sus polos.

• Trazar en el plano complejo las curvas de nivel de la partereal e imaginaria de la funcion.

• Representar como transforma un rectangulo.

• Representarla como un fluıdo.


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Graficas def (z) = 6 z − 5 + 9 i

Parte real de f (z) Parte imaginaria de f (z)

Argumento de f (z) Modulo de f (z)

Diagrama de

Polos y Ceros

1


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Graficas def (z) =

z

z − 3 i



Diagrama simplificado de polos y ceros (Posicion y orden)

1

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Graficas de

f (z) =2 i

z2 − 2 z + 5 i z



Diagrama simplificado de polos y ceros (Posicion y orden)

1

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Graficas de

f (z) =z3 + z

z2 + 4



1

1

1

1

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f (z) =z − 4 + 3 i

z2 − 6 z + 25



1

1

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Graficas def (z) = z2 − 3 z + 4 i



Diagrama de Polos y Ceros

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1


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Transformaciones del plano complejoUna representacion alternativa consiste en graficar las imagenesde rectas en el plano complejo. Por ejemplo, para la funcion

w = f (z) = z2 = (x + y i)2 = (x2 − y 2) + 2 x y i

Aquı u(x , y) = x2 − y 2 y v(x , y) = 2 x y . Ilustremos como semapea el segmento que va de (2, 0) a (2, 1), en rojo en lafigura.

z = x + y i f (z) = u + v i

x y u v2.000 0.000 4.000 0.0002.000 0.100 3.990 0.4002.000 0.200 3.960 0.8002.000 0.300 3.910 1.2002.000 0.400 3.840 1.6002.000 0.500 3.750 2.0002.000 0.600 3.640 2.4002.000 0.700 3.510 2.8002.000 0.800 3.360 3.2002.000 0.900 3.190 3.6002.000 1.000 3.000 4.000

x

y

u

v


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EjerciciosPara la funcion f (z) = z2 encuentre la imagen de la lıneaindicada:

• y = 2

• x = −3

• x = 0

• y = 0

• x = y

• y = −x


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Funcion complejas como fluidosUna funcion compleja w = f (z) se puede interpretar como unflujo de un fluıdo bidimensional considerando el numerocomplejo f (z) como un vector basado en el punto z . A veces,sera conveniente ilustrar el flujo con vectores normalizados.Por ejemplo, para la funcion w = f (z) = z2 generaremos elflujo graficando en cada punto z = (x , y) el vector(uesc , vesc) = 1

2 |w |(u, v).

x y u v |w| uesc vesc-1.0 -1.0 0.0 2.0 2.0 .000 .500-1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 .500 .000-1.0 1.0 0.0 -2.0 2.0 .000 -.500-1.0 2.0 -3.0 -4.0 5.0 -.300 -.400

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.4.0 1.0 15.0 8.0 17.0 .441 .2354.0 2.0 12.0 16.0 20.0 .300 .4004.0 3.0 7.0 24.0 25.0 .140 .4804.0 4.0 0.0 32.0 32.0 .000 .500

x

y


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El concepto de LımiteSuponga que usted tiene una pequena fabrica que genera unsolo producto. Suponga tambien que este artıculo esta basadoen una sola materia prima. Suponga que la materia prima quele proveen solo tiene un solo parametro medible digamos x . Porejemplo, la densidad de un lıquido; la pureza de un compuestoquımico; el grado de humedad de cal; el radio promedio de lospelets, etc. Suponga tambien que su producto que vende endiferentes cantidades tiene una sola medida, y . Por ejemplo, elgrosor de la hoja de papel que usted produce. En la situacionesproductivas es importante cumplir estandares. Por ejemplo,que el papel que usted produce tiene un cierto grosor con unvalor nominal yo y que la variacion de este valor es correctocon un margen de error ε. Es decir, que su producto tendra unvalor y que cumple |yo − y | ≤ ε. Es deseable que la cualidad yde su producto dependa de la cualidad x de su materia prima:esto lo indicaremos y = y(x).


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En general, a usted le imponen estandares en su producto:Algo como que la caracterıstica de su producto, y , se acerqueal valor pedido yo con un error maximo ε:

|y − yo | ≤ ε

Y usted a su vez solicitara a sus proveedores de materia primaque la caracterıstica medible de lo que le venden, x , cumplaciertos estandares: Algo parecido a que la materia prima tengauna caracterıstica x con valor xo con un margen de error δ. Esdecir,

|x − xo | ≤ δ

Lo que es deseable que pase en nuestro proceso es que: si lamateria prima cumple nuestro estandar de entrada entonces elproducto que generamos cumpla el estandar de salida:

|x − xo | ≤ δ implique que |y(x)− yo | ≤ ε


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Nosotros sabemos que hay circunstancias donde los estandaresvan cambiando. En muchos casos se van ajustando. Es decir,que me van pidiendo tolerancias mas pequenas en el error denuestro producto a su valor nominal. Diremos que

Nuestro proceso de generacion y = y(x) tiene comolımite el valor yo para x = xo si no importa cuanpequena sea la tolerancia ε que nos exija nuestrocomprador al valor yo , existe una tolerancia δ que lepodemos transferir a nuestro proveedor de materiaprima, para que tengamos la garantıa de que unamateria prima con medida de calidad x que cumpleeste estandar

|x − xo | ≤ δ

se transforme en un producto con medida de calidady(x) que cumple el estandar pedido

|y(x)− yo | ≤ ε


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Definicion de Lımite de una FuncionSuponga que f (z) esta definida en una vecindad de zo , exceptoposiblemente en el mismo zo . Entonces se dice que f (z) poseecomo lımite L en zo , escrito como

limz→zo

f (z) = L

si para cada aproximacion ε a L existe distancia δ de cercanıa azo de manera que todo valor de z1 que este a una distancia dezo menor que δ tendra una evaluacion f (z1) que cuyaaproximacion a L es menor que ε. En terminos matematicos:

0 < |z1 − zo | < δ garantiza que |L− f (z1)| < ε


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Definicion Equivalente

Suponga que f (z) esta definida en una vecindad de zo , exceptoposiblemente en el mismo zo . Entonces se dice que f (z) poseecomo lımite L en zo , escrito como

limz→zo

f (z) = L

Cuandolim

|z−zo |→0|f (z)− L| = 0

Es decir|f (z)− L| → 0, cuando |z − zo | → 0


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Propiedades del lımite de una funcionSuponga que las funciones f (z) y g(z) estan definidas en unavecindad de zo y ambas poseen lımite en zo y que

limz→zo

f (z) = L1 y limz→zo

g(z) = L2

entonces:

• Lımite de una suma es la suma de los lımites:limz→zo

(f (z) + g(z)) = L1 + L2

• Lımite de una constante por una funcion:limz→zo

(c · f (z)) = c · L1

• Lımite de un producto es el producto de los lımites:limz→zo

(f (z) · g(z)) = L1 · L2

• Lımite de un cociente es el cociente de los lımites, cuandoel denominador no tiene lımite cero:

Si L2 6= 0, limz→zo

f (z)

g(z)=

L1

L2


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Suponga que:

limz→zo


g(z) = L2

Como

0 ≤ |(f (z) + g(z))− (L1 + L2)| = |f (z)− L1 + g(z)− L2|≤ |f (z)− L1|+ |g(z)− L2|

Entonces: cuando |z − zo | → 0, se tiene que |f (z)− L1| → 0 y|g(z)− L2| → 0 , por tanto |(f (z) + g(z))− (L1 + L2)| → 0.Por tanto

limz→zo

(f (z) + g(z)) = L1 + L2


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Suponga que:limz→zo

f (z) = L1

Como0 ≤ |c · f (z)− c · L1| = |c | · |f (z)− L1|

Entonces: cuando |z − zo | → 0, se tiene que |f (z)− L1| → 0;por tanto |c · f (z)− c · L1| → 0. Por tanto,

limz→zo

c · f (z) = c · L1


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Suponga que:

limz→zo


g(z) = L2

Como

f (z) · g(z)− L1 · L2 = (f (z)− L1) · (g(z)− L2) +L1 · (g(z)− L2) + L2 · (f (z)− L1)

Por tanto

0 ≤ |f (z) · g(z)− L1 · L2| ≤ |f (z)− L1| · |g(z)− L2|+|L1| · |g(z)− L2|+|L2| · |f (z)− L1|

Entonces: cuando |z − zo | → 0, se tiene que |f (z)− L1| → 0 y|g(z)− L2| → 0 , por tanto |f (z) · g(z)− L1 · L2| → 0. Portanto

limz→zo

f (z) · g(z) = L1 · L2


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Suponga que:

limz→zo


g(z) = L2 6= 0

Como (compruebelo!):

f (z)

g(z)− L1

L2=

1

g(z)(f (z)− L1)− L1

L2 g(z)· (g(z)− L2)

Por tanto

0 ≤∣∣∣∣ f (z)

g(z)− L1

L2

∣∣∣∣ ≤ 1

|g(z)||f (z)− L1|+

|L1||L2| · |g(z)|

·|g(z)− L2|

Entonces: cuando |z − zo | → 0, se tiene que |f (z)− L1| → 0 y

|g(z)− L2| → 0 , por tanto∣∣∣ f (z)g(z) −

L1L2

∣∣∣→ 0. Por tanto

limz→zo

f (z)

g(z)=

L1

L2


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EjerciciosDetermine cada uno de los lımites siguientes o argumente en sucaso porque no existe.

• limz→i (4 z3 − 5 z2 + 4 z + 1− 5 i)

• limz→1−i5 z2−2 z+2

z+1

• limz→iz4−1z−i

• limz→1+iz2−2 z+2z2−2 i

• limz→0zz

• limz→1x+y−1z−1


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En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de los problemas 2

y 3 anteriores en la TI. Recuerde que para expresiones fraccionarias el

problema potencial es el valor del denominador: si es diferente de

cero, podemos calcular el lımite evaluando, pero si el denominador se

evalua en cero entonces debemos hacer un tratamiento adicional.

Conviene almacenar por separado el numerador y denominador.

Cuando ambos se evaluan en cero, se debe cancelar factores tanto

arriba como abajo; para ello hay que dividir cada uno entre el factor

(z − zo) y trabajar la expresion restante. En el segundo problema el

lımite es L2 = 8/5− 16/5 i y en el tercero es L3 = −4 i .


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Continuidad en un puntoSe dice que la funcion f (z) es continua en el punto zo si:

limz→zo

f (z) = f (zo)

¿Ejemplos de funciones continuas? Toda funcion polinomial escontinua en la totalidad de los puntos del plano complejo: lasfunciones racionales, que son cociente entre dos polinomios,son continuas en todos los puntos del plano complejo, exceptoen aquellos puntos donde el denominador se hace cero.


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Derivada de una funcion en un puntoSupongase que f (z) es una funcion de variable complejadefinida en la vecindad de un punto zo . La derivada de f (z) enel punto z = zo es

f ′(zo) = lim∆z→0

f (zo + ∆z)− f (zo)

∆z

siempre y cuando tal lımite exista.


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EjerciciosObtenga la formula de la derivada de cada una de lassiguientes funciones por medio de lımites.

• f (z) = z2

• f (z) = 1/z


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En las siguientes figuras se ilustran el calculo de la derivada por medio

de su definicion de lımite. Note que a veces es importante obligar a

una simplificacion extra a la expresion antes de evaluar en ∆z = 0.


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Propiedades de la derivadaLas reglas de derivacion de funciones complejas son las mismasque las usadas en el calculo en variables reales:

• ddz c = 0 y d

dz c · f (z) = c · f ′(z)

• ddz (f (z) + g(z)) = f ′(z) + g ′(z)

• ddz (f (z) · g(z)) = f ′(z) · g(z) + g ′(z) · f (z)

• ddz

(f (z)g(z)

)= g(z)·f ′(z)−f (z)·g ′(z)

(g(z))2

• ddz f (g(z)) = f ′(g(z)) · g ′(z)

• Para n entero: ddz zn = n zn−1


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EjerciciosPor formulas, obtenga la derivada de las siguientes funciones.

• f (z) = 4 z3 − (3 + i) z2 − 5 z + 4

• f (z) = 5 z3 − i z3 + (8− i) z2 − 6 i

• f (z) = (2 z + 1)(z2 − 4 z + 8 i)

• f (z) = (z5 + 3 i z3)(z4 + i z3 + 2 z2 − 6 i z)

• f (z) = (z2 − 4 i)3

• f (z) = (2 z − 1/z)6

• f (z) = 3 z−4+8 i2 z+i

• f (z) = 5 z2−zz3+1


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En la siguientes figura se ilustra el calculo de la derivada por formula.

De hecho, por calculadora.


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EjerciciosDetermine en que puntos no son derivables las siguientesfunciones.

• f (z) = zz−3 i

• f (z) = 2 iz2−2 z+5 i z

• f (z) = z3+zz2+4

• f (z) = z−4+3 iz2−6 z+25


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En vista que las funciones son racionales (es decir,el cociente de dos

polinomios en z , donde no aparece el conjugado de z , ni su parte real

suelta ni la parte imaginaria) la clave esta en ver donde el

denominador se hace cero. Esas raıces son los puntos donde la

expresion completa no tiene derivada.


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Analiticidad en un puntoSupongase que f (z) es una funcion de variable complejadefinida en la vecindad de un punto zo . La funcion f (z) se diceanalıtica en el punto zo si f (z) es derivable en z = zo y ademaslo es en todo punto de una vecindad de zo .Una funcion f (z) se dice una funcion entera, si es analıtica entodo punto del plano complejo. Los polinomios son funcionesenteras.


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Ejercicios

• Argumente porque la funcion f (z) = z no es derivable enningun punto.

• Argumente porque la funcion f (z) = |z |2 no es analıticaen ningun punto.

matemáticas avanzadas para ingeniería: funciones de...

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