matem aticas avanzadas para ingenier...

Matematicas Avanzadas para IngenierıaSeries y Transformada de Fourier

1. Considere la funcion periodica definida como

f(x) =

0 −1 < x < 0

2 0 < x < 1

−2 1 < x < 2

Determine la serie de Fourier para f(x). Determine los coeficientes a0, a4, a6, a8 y a9.

1−1

1

−1

−2

2

O

Solucion

En este ejemplo, T = 3 (la longitud del intervalo de definicion de la funcion) y

ωo =2π

T=

2π

3

Para determinar a0:

a0 =1

T/2

∫T

f(x) dx

=2

3

(∫ 0

−10 dx+

∫ 1

0

(2) dx+

∫ 2

1

(−2) dx

)=

2

3

(0 + [2x ]

x=1x=0 + [−2x]

x=2x=1

)a0 =

2

3(0 + (2− 0) + (−4− (−2))) = 0

Esto podıa facilmente deducirse porque el area bajo la curva en el intervalo [−1, 2] es cero en total: en el intervalo (−1, 0)

la funcion es cero lo que nos da una area entre la funcion y el eje x cero; en el intervalo (0, 1) dado que la figura formada es

un rectagulo el area es 2; mientras que en el intervalo (1, 2) y puesto que la figura esta hacia abajo el area es -2: esto nos da

una area total de cero.

Por otro lado, para determinar la formula de cada uno los coeficientes de los cosenos en el desarrollo trigonometrico de f(x):

an =1

T/2

∫T

f(x) cos(nωo x) dx

=2

3

(∫ 0

−10 dx+

∫ 1

0

2 cos(nωox) dx+

∫ 2

1

−2 cos(nωox) dx

)=

2

3

([2

ωo nsen(nωo x)

]x=1

x=0

+

[−2

ωo nsen(nωo x)

]x=2

x=1

)=

2

3

(2 sin(nωo)

nωo+

2

nωo(−sen(2nωo) + sen(nωo))

)an =

1

π n

(3 sen

(2

3π n

)− 2 sen

(4

3π n

))Dando valores a n obtenemos:

Ma3002, Series y Transformada de Fourier 2

i an1 3

π

√3 +1.653986685

2 − 32π

√3 −0.8269933426

3 0 0

4 34π

√3 +0.4134966712

5 − 35n

√3 −0.3307973366

6 0 0

7 37π

√3 +0.2362838122

8 − 38π

√3 −0.2067483353

9 0 0

Para hacer el problema en la calculadora, capturemos la funcion en el formato siguiente:

Definicion de la funcion en le formato requerido

definimos el intervalo de definicion de la funcion periodica y su frecuencia fundamental:

Perıodo y frecuencia


Valor de ao y formula de an

Usando las formulas podemos obtener la tabla de valores para an:

Tabla de valores de an

2. Con base en la definicion de la funcion periodica mas reciente previa, Determine los coeficientes b1, b2, b6, b7 y b10.

Solucion

Usando las formulas para bn:

bn =1

T/2

∫T

f(x) sen(nωo x) dx

=2

3

(∫ 0

−10 dx+

∫ 1

0

2 sen(nωox) dx+

∫ 2

1

−2 sen(nωox) dx

)=

2

3

(0 +

[− 3

nπcos

(2

3nπ x

)]x=1

x=0

+

[3

nπcos

(2

3nπ x

)]x=2

x=1

)=

2

3

(− 3

nπ

(cos

(2

3nπ

)− 1

)+

3

nπ

(cos

(4

3nπ

)− cos

(2

3nπ

)))bn = − 2

nπ

(−cos

(4

3nπ

)+ 2 cos

(2

3nπ

)− 1

)Dando valores a n obtenemos:


i bn1 3

π 0.95492

2 32π 0.47746

3 0 0

4 34 /π 0.238732

5 35π 0.190985

6 0 0

7 37π 0.1364185

8 38π 0.11936620

9 0 0

Habiendo definido la funcion, generamos la formula de bn

Definicion de la funcion en le formato requerido

Similarmente a la generacion de la tabla de valores de an, generamos la tabla de valores de bn:

Tabla de valores de bn

3. Con base en la definicion de la funcion periodica mas reciente previa, considere la forma compacta en base a cosenos. De-

termine los coeficientes A0, A5, A6, A7 y A8.

Solucion

Directamente de la formula

Ao =a02

y An =√a2n + b2n

y de las tablas construidas tenemos:

n an bn An1 +1.653986685 0.95492 1.9098

2 −0.8269933426 0.47746 0.9549

3 0.0 0.0 0.0

4 +0.4134966712 0.238732 0.4774

5 −0.3307973366 0.190985 0.3819

6 0.0 0.0 0.0

7 +0.2362838122 0.1364185 0.2728

8 −0.2067483353 0.11936620 0.2387

9 0.0 0.0 0.0


Para realizar este problema mas convenientemente en la TI, creamos una lista con los valores de an y otra con los valores

de bn. Para aclarar el porque, recuerde que en la TI la variable a es una matriz y para obtener los elementos debe referirse

al renglon y a la columna, mientras que en una lista solo se hace referencia a la posicion en la lista.

Los valores an y de bn en las listas a y b

Habiendo hecho lo anterior, los valores de An son obtenidos directamente:

Tabla de valores de An

4. Con base en la definicion de la funcion periodica mas reciente previa, considere la forma compacta en base a cosenos.

Determine valores θ2, θ3, θ5, θ7 y θ8.

Solucion

Directamente de la formula

φn = arctan

(−bnan

)= arg (an − bn i)

y de las tablas construidas tenemos:

n an bn φn (en radianes)

1 +1.653986685 0.95492 −0.5235

2 −0.8269933426 0.47746 −2.6179

3 0.0 0.0 0.0

4 +0.4134966712 0.238732 −0.5235

5 −0.3307973366 0.190985 −2.6179

6 0.0 0.0 0.0

7 +0.2362838122 0.1364185 −0.5235

8 −0.2067483353 0.11936620 −2.6179

9 0.0 0.0 0.0

Para hacer este problema en la TI y teniendo definidas las listas a y b con los valores de an y de bn respectivamente, los

valores de φn son obtenidos directamente:


Tabla de valores de φn

5. Con base en la definicion de la funcion periodica mas reciente previa, calcule el valor de S9(x = 32 ).

Solucion

Para hacerlo con la TI tenemos dos opciones: usando

S9(1.5) = a/2 +

9∑n=1

(an cos (nωo 1.5) + bn sin (nωo 1.5))

esto se ilustra en la siguiente grafica:

S9(1.5) usando las listas a y b

La otra forma, es utilizando la forma compacta:

S9(1.5) = a/2 +

9∑n=1

An cos (nωo 1.5 + φn)

esto se ilustra en la siguiente grafica (recuerde que los valores de An estan en la lista c):

S9(1.5) usando las listas An y φn

6. Considere la funcion definida como

f(x) =

0 −∞ < x < −4

4− x −4 < x < 4

0 4 < x < ∞

Determine la transformada de Fourier, F (ω), para f(x). Determine el valor promedio de la parte real y de la parte imaginaria

de F (ω) en el intervalo [0, 1].

4−4

1

4

8

O


Solucion

Obtengamos F {f(x)} directamente de la integral, para un ω fijo:

F (ω) = F {f(x)} =

∫ ∞−∞

f(x) e−ω i x dx

=

∫ 0

−∞f(x) e−ω i x dx+

∫ 4

−4f(x) e−ω i x dx+

∫ ∞4

f(x) e−ω i x dx

=

∫ 4

−4(4− x) e−ω i x dx

=

[4 i

ωe−iω x − ix

ωe−iω x − 1

ω2e−iω x

]x=4

x=−4

= − 1

ω2

(e−4 iω + 8 i e4 iω ω − e4 iω

)= 8

sen(4ω)

w+

2 sen(4ω)− 8ω cos(4ω)

ω2i

Las graficas de la parte real y la parte imaginaria de F {f(x)} aparecen en la siguiente grafica.

5−5

10

20

30

−5

O

ω

Los promedios son calculados en [0, 1] con calculados integrando en tal intervalo y diviendo entre su longitud

promedio[0,1] (re (F {f(x)})) =1

1− 0

∫ 1

0

8sen(4ω)

wdω

= 14.06562511

promedio[0,1] (im (F {f(x)})) =1

1− 0

∫ 1

0

2 sen(4ω)− 8ω cos(4ω)

ω2dω

= 9.513604991

En la TI los calculos quedan:


Promedios de la parte real e imaginaria de F {f(x)} en [0, 1]


f(x) =

0 −∞ < x < −5

sen(π x) −5 < x < 5

0 5 < x < ∞



5−5

1

−1

O

Solucion


F (ω) = F {f(x)} =

∫ ∞−∞

f(x) e−ω i x dx

=

∫ 5

−5f(x) e−ω i x dx

= 0 +

(sen(5ω + 25)

ω + 25− sen(5ω − 25)

ω − 5

)i



5−5

5

−5

O

ω

Los promedios son calculados integrando en [0, 1]:

promedio[0,1]F {f(x)} =∫ 1

0F {f(x)} dω ≈ 0 + 0.52033 i

Promedio de F {f(x)} en [0, 1]


f(x) =

0 −∞ < x < −3

|x| −3 < x < 3

0 3 < x < ∞Determine la transformada de Fourier, F (ω), para f(x). Determine el valor promedio de la parte real y de la parte imaginaria


3−3

1

3

O

Solucion


F (ω) = F {f(x)} =

∫ ∞−∞

f(x) e−ω i x dx

=

∫ 3

−3f(x) e−ω i x dx

=6

ωsen(3ω) +

2

ω2cos(3ω)− 2

ω2+ 0 i



5−5

5

−5

O

ω


promedio[0,1]F {f(x)} =∫ 1

0F {f(x)} dω ≈ 3.797 + 0 i

Para hacer el calculo en la TI, observe que la integracion batalla con expresiones que tienen valor absoluto: lo que debe

hacerse es desarrollar el valor absoluto:



f(x) = 2 (U1(x)− U2(x))




1 2 3−3

1

2

O

Solucion


F (ω) = F {f(x)} =

∫ ∞−∞

f(x) e−ω i x dx

=

∫ 2

1

f(x) e−ω i x dx

= − 2

ωsen(ω) +

2

ωsen(2ω) +

(− 2

ωcos(ω) +

2

ωcos(2ω)

)i


5−5

2

−2

O

ω


promedio[0,4]F {f(x)} = 14

∫ 4

0F {f(x)} dω ≈ −.0920081586− .2148658001 i

Para hacer el calculo en la TI:




f(x) = U4(x) e−1 x



Solucion


F (ω) = F {f(x)} =

∫ ∞−∞

f(x) e−ω i x dx

=

∫ ∞4

f(x) e−ω i x dx

=exp(−4) (cos(4ω)− ω sen(4ω))

1 + ω2+

(−exp(−4) (sen(4ω) + ω cos(4ω))

1 + ω2

)i



promedio[4,5]F {f(x)} = 11

∫ 5

4F {f(x)} dω ≈ 0.001636− .000689 i

Para hacer el calculo en la TI:




f(x) =2x

9 + x2

5−5

0.5

−0.5

x



Solucion

Dentro de las formulas desarrolladas en el curso estan:

f(x) f(ω)

e−a x U(x) aa2+ω2 − ω

a2+ω2 i

e−a |x| 2 aa2+ω2

De donde deducimos que

F

{1

2e−a |x|

}=

a

a2 + ω2

Y si a esta le restamos la primera formula de nuestra mini tabla deducimos que:

F

{1

2e−a |x| − e−a x U(x)

}=

ω

a2 + ω2i

y donde obtenemos (recuerde que 1/i = −i):

F

{(e−a x U(x)− 1

2e−a |x|

)i

}=

ω

a2 + ω2


Por otro lado, si recordamos la propiedad de simetrıa:

F{f(x)

}= 2π f(−ω)

deducimos una nueva formula:

F

{x

a2 + x2

}= 2π

(e−a (−ω) U(−ω)− 1

2e−a |−ω|

)i

Aplicada a nuestro problema:

F (ω) = F

{2x

32 + x2

}= 0 + 2× 2π

(e3ω U(−ω)− 1

2e−3 |ω|

)i


3−3

6

−6

w

En valor promedio de F (ω) en [2, 3] queda: ∫ 3

2

F (ω) dω ≈ 0− 0.004933 i

Observe que en la integral 2 ≤ ω ≤ 3 y por tanto ω > 0. Por consiguiente, el termino U(−ω) = 0. Ası el calculo de la integral

debe hacerse como ∫ 3

2

F (ω) dω =

∫ 3

2

−π i e−3 |ω| dω = −π i

∫ 3

2

e−3ω dω


f(x) = 2x e−5 x2

3−3

1

−1

x




Solucion

Buscando formulas de la transformada de Fourier encontramos que para a > 0:

F{e−a x

2}

=

√π

ae− 1

4 aω2

Si por otro lado recordamos la propiedad de la derivacion respecto al tiempo:

F {x f(x)} = id

dωf(ω)

tenemos:

F{

2x e−5 x2}

= 2 i ddωF

{e−5 x

2}

= −√5π25 ω e

− 1

20ω2

i


6−6

0.5

−0.5

x

Por tanto, el valor promedio de f(ω) en [2, 3] queda:

1

3− 2

∫ 3

2

f(ω) dω ≈ 0− 0.28710 i


f(x) = 5x e−5 x U(x)

3−3

0.5

−0.5

x




Solucion

Usando la propiedad de la derivacion respecto al tiempo:

F{

5x e−5 x U(x)}

= 5 i ddωF

{e−5 x U(x)

}= 5 i d

dω

(1

5+ω i

)= 5

(5+ω i)2


10−10

0.2

−0.2

x

Y su promedio en el intervalo [5, 6]:

1

6− 5

∫ 6

5

f(ω) dω ≈ −0.008197− 0.090164 i


f(x) = x (U(x+ 4π)− U(x− 4π))

12−12

10

−10

x



Solucion

La expresion g(x) = U(x + 4π) − U(x − 4π) actua como una ventana para la senal h(x) y la deja pasar en el intervalo

[−4π, 4π]. La transformada de Fourier puede ser calculada usando la definicion:

F {f(x)} =∫∞−∞ f(x) e−iω x dx =

∫ 4π

−4π x e−iω x dx

= 4 iπω e4 iπ ω − 1

ω2 e4 iπ ω + 4π i

ω e−4π ω i + 1ω2 e

−4 iπ w


y por tanto su valor promedio en el intervalo [4, 5] queda:

1

5− 4

∫ 5

4

f(ω) dω = 0 = 0 + 0 i


F (ω) =3ω

25 + ω2

Determine la transformada de Fourier inversa, f(x). Determine el valor promedio de la parte real y de la parte imaginaria

de f(x) en el intervalo [0, 5].

Solucion

Usando la formula deducida en el primer problema:

F

{(e−a x U(x)− 1

2e−a |x|

)i

}=

ω

a2 + ω2

Aplicada a nuestro problema:

f(x) = F−1{

3ω

25 + ω2

}= 3

(e−5 x U(x)− 1

2e−5 |x|

)i

Por tanto, el valor promedio en [0, 5] queda:

1

5− 0

∫ 5

0

f(x) dx =1

5

(0 +

3

10i

)= 0 + 0.06 I


F (ω) =5

25 + ω2

Determine la transformada de Fourier inversa, f(x). Determine el valor promedio de la parte real y de la parte imaginaria

de f(x) en el intervalo [0, 5].

Solucion

Usando la formula para a > 0:

F{e−a |x|

}=

2 a

a2 + ω2

obtenemos que

f(x) = F−1{

5

52 + ω2

}= 5 · 1

2 · 5e−5 |x| =

1

2e−5 |x|

y por tanto su promedio en el intervalo [0, 5] queda:

1

5− 0

∫ 5

0

f(x) dx =1

50

(1− e−25

)+ 0 i = 0.02 + 0.0 i

17. La solucion general a la ecuacion diferencial:

y′(x)− 5 y(x) = e−5 x U(x)

es

y(x) = − 1

10e−5 xU(x) +

(C +

1

10U(x)

)e5 x

Observe que para valores de x positivos, y dependiendo del valor de la constante C, el segundo sumando da un termino,

que por la exponencial e5 x, crece indefinidamente. Indique para que valor de C la exponencial e5 x se cancela para valores

positivos de x. Observe que esta determinando el valor de C para el cual se tiene una solucion acotada a la ecuacion

diferencial.

Solucion

Para valores negativos de x el primer sumando se hace cero por el factor U(x); mientras que el segundo sumando por la

exponencial e5 x se acerca a cero para valores negativos y grandes de x. Es decir, que para cuando x → −∞, y(x) se va a


cero independientemente del valor de C.

Para valores de x > 0, el primer sumando tiende a cero para cuando x→ +∞; mientras que el segundo sumando es:(C +

1

10

)e5 x

Ası, el unico valor de C que hace cero este sumando es C = −1/10. La solucion particular queda:

yp(x) = − 1

10e−5 xU(x) +

(− 1

10+

1

10U(x)

)e5 x

o lo que es lo mismo:

yp(x) = − 1

10e−5 xU(x) +

1

10(U(x)− 1) e5 x

Observando que para valores positivos de x, U(x) − 1 = 0; mientras que para valores negativos de x, U(x) − 1 = −1. Es

decir, que el segundo sumando puede escribirse como

− 1

10U(−x) e5 x

Y por tanto, la unica solucion particular acotada (que y(x) → 0 cuando → ∞; y que y(x) → 0 cuando x → −∞) que

proviene de la solucion general es la obtenida para C = −1/10 y queda:

yp(x) = − 1

10U(x) e−5 x − 1

10U(−x) e5 x = − 1

10e−5 |x|

18. Resuelva mediante la transformada de Fourier la ecuacion diferencial del problema anterior:

a) Aplique la transformada de Fourier en ambos lados.

b) Aplique propiedades de la transformada para desarrollar; como y(x) es deconocida en lugar de ella ponga y(ω).

c) Despeje y(ω).

d) Determine y(x) obteniendo la transformada inversa de Fourier de y(ω).

Reporte el promedio de y(ω) para valores de ω en [0, 1] (la parte real y la parte imaginaria) y el promedio de y(x) para

valores de x en [0, 1].

Solucion

Al tomar la transformada de Fourier tenemos:

F {y′(x)− 5 y(x)} = F{e−5 x U(x)

}Por linealidad obtenemos:

F {y′(x)} − 5F {y(x)} = F{e−5 x U(x)

}Por la formula para un pulso exponencial lateral tenemos:

F {y′(x)} − 5F {y(x)} =1

5 + ω i

Y por la formula de la transformada de la derivada:

iωF {y(x)} − 5 F {y(x)} =1

5 + ω i

factorizando:

(iω − 5) F {y(x)} =1

5 + ω i

despejando F {y} tenemos:

F {y(x)} =1

(−5 + ω i)

1

(5 + ω i)=

1

−52 + ω2 i2=

1

−1 (52 + ω2)=

−1

52 + ω2


5−5

0.04

−0.04

ω

y(ω) = − 125+ω2

por tanto,

y(x) = F−1 {F {y(x)}} = F−1{−1

52 + ω2

}= − 1

2 · 5e−5 |x| = − 1

10e−5 |x|

5−5

0.1

−0.1

xy(x) = − 1

10e−5 |x|

Por tanto, el promedio de y(ω) = F {y(x)} para ω en el intervalo [0, 1] es:

y(ω) =1

1− 0

∫ 1

0

− 1

25 + ω2dω ≈ −0.03947

mientras que el promedio de y(x) para x en el intervalo [0, 1] es:

y(x) =1

1− 0

∫ 1

0

− 1

10e−5 |x| dx =

∫ 1

0

− 1

10e−5 x dx ≈ −0.019865

19. La solucion general a la ecuacion diferencial:

y′(x) + 3 y(x) = e−3 x U(x)

es

y(x) = (C + xU(x)) e−3 x

Indique para que valor de C la solucion es una funcion acotada. Vea un problema anterior como referencia.

Solucion

Debemos revisar lo que ocurre para valores positivos y negativos de x:

Para x > 0 la exponencial e−3 x se tiende a cero para valores de x grandes. Entonces, la funcion es acotada para esos

valores. Por tanto, cualquier valor de C funciona adecuadamente.

Para x < 0 la exponencial e−3 x se hace grande para cuando x→ −∞. El signo menos en la exponencial es el que hace

que −3x se haga positivo. Este es el caso en el cual debemos ajustar el valor de C. Para x < 0 la expresion queda:

y(x) = (C + xU(x)) e−3 x = C e−3 x

Por lo tanto, el valor C = 0 es el unico que da en la solucion general una solucion acotada que es la funcion:

yp(x) = x e−3 x U(x)


5−5

0.15

−0.15

x

yp(x) = −x e−3 x U(x)

20. Resuelva mediante la transformada de Fourier la ecuacion diferencial del problema anterior:

a) Aplique la transformada de Fourier en ambos lados.

b) Aplique propiedades de la transformada para desarrollar; como y(x) es deconocida en lugar de ella ponga y(ω).

c) Despeje y(ω).

d) Determine y(x) obteniendo la transformada inversa de Fourier de y(ω).


valores de x en [−1, 1].

Solucion


F {y′(x) + 3 y(x)} = F{e−3 x U(x)


F {y′(x)}+ 3F {y(x)} = F{e−3 x U(x)


F {y′(x)}+ 3F {y(x)} =1

3 + ω i


iωF {y(x)}+ 3 F {y(x)} =1

3 + ω i

factorizando:

(iω + 3) F {y(x)} =1

3 + ω i


F {y(x)} =1

(3 + ω i)

1

(3 + ω i)=

1

(3 + ω i)2

por tanto,

y(x) = F−1 {F {y(x)}} = F−1{

−1

(3 + ω i)2

}= x e−3 x U(x)


y(ω) =1

1− 0

∫ 1

0

1

(3 + ω i)2dω =

1

10− 1

30i ≈ 0.1− 0.033 i

mientras que el promedio de y(x) para x en el intervalo [−1, 1] es:

y(x) = 11−(−1)

∫ 1

−1 x e−3 |x| U(x) dx

= 12

∫ 0

−1 0 dx+ 12

∫ 1

0x e−3 |x| dx

≈ 0.04449176259


21. Resuelva mediante transformada de Fourier la ecuacion diferencial:

5 y′(x) + y(x) = e−6 |x|



Solucion


F {5 y′(x) + y(x)} = F{e−6 |x|


5 F {y′(x)}+ F {y(x)} = F{e−6 |x|

}Por la formula para un pulso exponencial tenemos:

5 F {y′(x)}+ F {y(x)} =2× 6

62 + ω2


5 iωF {y(x)}+ F {y(x)} =12

36 + ω2

factorizando:

(5 iω + 1) F {y(x)} =12

36 + ω2


y(ω) = F {y(x)} =1

(5 iω + 1)

12

(36 + ω2)

5

0.3

ω

Re(y(ω))

Im(y(ω))

Por tanto,

y(x) = F−1 {F {y(x)}} = F−1{

1

(5 iω + 1)× 12

(36 + ω2)

}Utilizando fracciones parciales tenemos

1

(5 iω + 1)× 12

(36 + ω2)= − 12

899× 1

(36 + ω2)+

60

899× ω i

(36 + ω2)+

300

899× 1

(1 + 5ω i)

Hemos hecho fracciones parciales en la calculadora TI como se ilustra en las siguientes graficas (observe que no utilizamos

el imaginario i si no mas bien el sımbolo i para evitar que la calculadora lleve la expresion a la forma rectangular; observe

tambien que hubo necesidad de cambiar i2 por −1):


Teniendo la expresion en fracciones parciales, debemos obtener la inversa de cada expresion:

F−1{− 12

899× 1

(36 + ω2)

}= − 12

899× 1

2× 6e−6 |x| = − 1

899e−6 |x|

Para obtener la inversa de la segunda fraccion parcial usaremos la formula:

F

{ω i

a2 + ω2

}= −1

2e−a x U(x) +

1

2ea x U(−x)

Esta formula se deduce utilizando la formula del pulso lateral exponencial y el pulso exponencial lateral en sentido contrario

(cambiando x por −x y para a como −a). Por tanto,

F−1{

60

899× ω i

(36 + ω2)

}= − 60

899× 1

2e−6 x U(x) +

60

899× 1

2e6 x U(−x)

Para ultima fraccion parcial debemos hacer un poco de algebra (esto porque en nuestra formulas tenemos a + ω i y no

1 + aω i:

F−1{

300

899× 1

(1 + 5ω i)

}= F−1

{300

899× 1

5 ( 15 + ω i)

}=

300

899× 5F−1

{1

15 + ω i

}=

60

899e−1/5 x U(x)

Por lo tanto,

y(x) = − 1

899e−6 |x| − 60

899× 1

2e−6 x U(x) +

60

899× 1

2e6 x U(−x) +

30

899e−1/5 x U(x)

Entrada r(x) al sistema (Lado derecho de la ED):

5

1

x

r(x) = e−6 |x|

Respuesta y(x) del sistema (Solucion a la ED):

0.05

5

y(x)


y(ω) =1

1− 0

∫ 1

0

1

(5 iω + 1)× 12

(36 + ω2)dω ≈ 0.09129449240− .1078097074 i

para calcular el promedio de y(x) para x en el intervalo [0, 1] observamos que como 0 ≤ x ≤ 1: e−6 |x| = e−6 x mientras que

el termino con factor U(−x) es 0 y el factor U(x) es 1:

y(x) =1

1− 0

∫ 1

0

(− 1

899e−6 x − 30

899e−6 x +

30

899e−1/5 x

)dx ≈ 0.0245122662


22. Resuelva mediante transformada de Fourier la ecuacion diferencial:

3 y′(x) + y(x) =(e−x − e−6 x

)U(x)



Solucion


F {3 y′(x) + y(x)} = F{(e−x − e−6 x

)U(x)


3 F {y′(x)}+ F {y(x)} = F{e−x U(x)

}−F

{e−6 x U(x)

}Por la formula para un pulso exponencial tenemos:

3 F {y′(x)}+ F {y(x)} =1

1 + ω i− 1

6 + ω i


3 iωF {y(x)}+ F {y(x)} =1

1 + ω i− 1

6 + ω i

factorizando:

(3 iω + 1) F {y(x)} =5

(1 + ω i) (6 + ω i)


y(ω) = F {y(x)} =1

(3 iω + 1)× 5

(1 + ω i) (6 + ω i)

Por fracciones parciales tenemos:

y(ω) =45

34× 1

1 + 3ω i+

1

17× 1

6 + ω i− 1

2× 1

1 + ω i

Por tanto:

y(x) =1

34

(−17 e−x + 2 e−6 x + 15 e−

13 x)U(x)


5

1

x

r(x) =(e−x − e−6 x

)u(x)

Respuesta y(x) del sistema (Solucion a la ED)

1 2−2

1

−0.5

x

y(x)


23. Resuelva mediante Transformada de Fourier la ecuacion diferencial:

1

144y′′(x) +

1

6y′(x) + y(x) = e−x U(x)



Utilice que

ω2 − 4 a2 − 4 aω i = −(2 a+ ω i)2

y que

F{

(1− a x) e−a x U(x)}

=ω i

(a+ ω i)2

Solucion


F

{1

144y′′(x) +

1

6y′(x) + y(x)

}= F

{e−x U(x)


1

144F {y′′(x)}+

1

6F {y′(x)}+ F {y(x)} = F

{e−x U(x)


1

144F {y′′(x)}+

1

6F {y′(x)}+ F {y(x)} =

1

1 + ω i


1

144(ω i)2 F {y′′(x)}+

1

6(ω i) F {y′(x)}+ F {y(x)} =

1

1 + ω i

factorizando: (− 1

144ω2 +

1

6ω i + 1

)F {y(x)} =

1

1 + ω i


y(ω) = F {y(x)} =1(

− 1144 ω

2 + 16 ω i + 1

) × 1

(1 + ω i)=

−144

(ω2 − 24ω i− 144) (1 + ω i)

2−2

1

−1

ω

Re(y(ω))

Im(y(ω))

Por fracciones parciales:

−144

(ω2 − 24ω i− 144) (1 + ω i)=

144

121× 1

1 + ω i+

144× 23

121× 1

(ω2 − 24ω i− 144)+

144

121× ω i

(ω2 − 24ω i− 144)

Hemos hecho fracciones parciales en la calculadora TI como se ilustra en las siguientes graficas (observe que no utilizamos

el imaginario i si no mas bien el sımbolo i para evitar que la calculadora lleve la expresion a la forma rectangular; observe

tambien que hubo necesidad de cambiar i2 por −1):


Comprobando la factorizacion dada en la sugerencia y utilizandola para a = 12 en las fracciones parciales tenemos:

−144

(ω2 − 24ω i− 144) (1 + ω i)=

144

121× 1

1 + ω i+

144× 23

121× −1

(12 + ω i)2+

144

121× −ω i

(12 + ω i)2

Ahora calculemos la transformada inversa de cada fraccion parcial:

F−1{

144

121× 1

1 + ω i

}=

144

121e−1 x U(x)

F−1{

144× 23

121× −1

(12 + ω i)2

}= −3312

121x e−12 x U(x)

y

F−1{−144

121× ω i

(12 + ω i)2

}= −144

121(1− 12x) e−12 x U(x)

Por tanto,

y(x) = F−1 {F {y(x)}} =144

121e−1 x U(x)− 3312

121x e−12 x U(x)− 144

121(1− 12x) e−12 x U(x)

Simplificando queda:

y(x) =144

121

(e−x − (1 + 11x) e−12 x

)U(x)


5

1

x

r(x)



1 2−2

1

−0.5

x

y(x)

El valor promedio de y(ω) en [0, 1] es:

y(ω) =

∫ 1

0

y(ω) dω ≈ 0.7454616548− 0.400809757 i

Mientras que el valor promedio de y(x) en [0, 1] es:

y(x) =

∫ 1

0

y(x) dx ≈ 0.5622009323

24. Resuelva mediante Transformada de Fourier la ecuacion diferencial:

1

42y′′(x) +

13

42y′(x) + y(x) = e−x U(x)



Utilice que

ω2 − 13ω i− 42 = −(7 + ω i) (6 + ω i)

Solucion

Al aplicar transformada de Fourier obtenemos:(− 1

42ω2 +

13

42ω i + 1

)y(ω) =

1

1 + ω I

de donde

y(ω) =42

(1 + ω i) (−ω2 + 13ω i + 42)

por fracciones parciales tenemos:

y(ω) =7

5× 1

1 + ω i+

7

5× −12− ω i

−ω2 + 13ω i + 42=

7

5× 1

1 + ω i− 7

5× 12 + ω i

(6 + ω i) (7 + ω i)

haciendo de fracciones parciales sobre el segundo sumando obtenemos:

y(ω) =7

5× 1

1 + ω i− 42

5× 1

6 + ω i+ 7× 1

7 + ω i

De donde

y(x) =7

5e−x U(x)− 42

5e−6 x U(x) + 7 e−7 x U(x)


5

1

x

r(x)



5

0.6

x

y(x)

matem aticas avanzadas para ingenier...

Documents