ma3002 bases y dimension

8/17/2019 Ma3002 Bases y Dimension

1/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´on

Regla 1

Regla 2

Algebra Lineal:Bases y Dimensi´ on

Departamento de Matemáticas

MA1019


2/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´on

Regla 1

Regla 2

Introducci ónUno de los conceptos más importantes en Espacios de Vectores

es el concepto de Dimensión. Este concepto se relaciona con elnúmero de elementos ḿınimo que se requieren para representar a los elementos de un espacio de vectores. Por ejemploubicados en el contexto de las ecuaciones diferenciales linealesy homogéneas, la solución general tiene la forma

y (x ) = c 1 y 1 (x ) + c 2 y 2 (x ) + · · · + c n y n (x )

de aqúı vemos que hacen falta n funciones y i (x ) para construirtodas las soluciones a la ecuación: la dimensión del conjunto de

soluciones es n. Primero deniremos el tipo de conjuntos a losque podremos aplicar el concepto de dimensión yposteriormente deniremos aquellos conjuntos que nos sirvenpara representar a los vectores.


3/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´on

Regla 1

Regla 2

Espacio Lineal

Un conjunto V de vectores de Rn

se llamará subespacio linealde Rn si cumple las siguientes tres condiciones:• V no es vaćıo. Es decir, V tiene por lo menos un elemento.• V es cerrado bajo la suma.

La denición de ser cerrado bajo la suma es que tomadosdos elementos x y y cualquiera de V , la suma de ellosx + y también es un elemento de V .

• V es cerrado bajo el producto por escalares.La denición de ser cerrado bajo el producto por escalares

es que tomados un elemento x cualquiera de V y unescalar c cualquiera , el producto c · x también es unelemento de V .


4/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´on

Regla 1

Regla 2

Ejemplos 1Los subconjuntos de Rn que son más fáciles de vericar queson subespacios lineales son:

1.- El mismo Rn

Claramente no es vaćıo. La suma entre vectores de ncomponentes como se tiene denida resulta en un vectorcon n componentes. Es decir, en un vector en Rn . Elproducto de un vector con n componentes por un escalarcomo se ha denido resulta en un vector con ncomponentes. Es decir, en un vector en Rn .

2.- El subconjunto de Rn que sólo consta del vector cero: {0}Como el vector cero pertence al conjunto, el subconjunto

no es vaćıo. Aunque los requisitos para ser subespaciosson que tomemos cualquier vector del conjunto, sólopodemos elegir el vector cero. Y la suma resulta siemprede nuevo en el vector cero, es decir, en un elemento denuestro conjunto. Y también cualquier escalar

multiplicado por el vector cero resulta en el vector cero.


5/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´on

Regla 1

Regla 2

Ejemplos 2Los subespacios de Rn más importantes para nuestro curso son:

3.- Un espacio generado V = Gen {x1 , x2 , . . . , xk }

• No es vaćıo: 0 = 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xk ∈ V • Es cerrado bajo la suma: pues la suma de combinaciones

lineales de los xi ’s resulta en un combinación lineal de losxi ’s:

k

i =1

c i · xi + k

i =1

a i · xi =k

i =1

(c i + ai ) · xi

• Es cerrado bajo el producto por escalares: pues el productode una combinación lineal de los xi ’s por un escalar resultaen una combinación lineal de los xi ’s:

a k

i =1

c i · xi =k

i =1

(a · c i ) · xi


6/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´on

Regla 1

Regla 2

4.- El espacio nulo de una matriz A m × n:

Ker(A) = {x ∈ Rn |A · x = 0m

}

Es decir, el conjunto de todas las soluciones a un sistemade ecuaciones lineales homogéneo.

• No es vaćıo: 0n ∈ Ker (A), pues A · 0n = 0m• Es cerrado bajo la suma: Si x1 y x2 cumplen la ecuación

A · x = 0m , tambíen x1 + x2 la cumple:

A · (x1 + x2 ) = A · x1 + A · x2 = 0m + 0m = 0m

•

Es cerrado bajo el producto por escalares: Si x1 cumple laecuación A · x = 0m , tambíen c · x:

A · (c · x1 ) = c · (A · x1 ) = c · 0m = 0m

0k representa el vector con sólo ceros en todas sus k


7/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´on

Regla 1

Regla 2

Diga si es un subespacio de R3 los vectores que pertencen alconjunto

V =ab

c

∈ R3 a + b ≥ 0

• No es vaćıo, porque < a = 1 , b = 1 , c = 1 >∈ V puesa + b = 1 + 1 = 2 ≥ 0

• Es cerrado bajo la suma, por que si x1 = < a1 , b 1 , c 1 >cumple a1 + b 1 ≥ 0, y x2 = < a2 , b 2 , c 2 > cumplea2 + b 2 ≥ 0, entonces

x1 + x2 = < a1 + a2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 >

cumple que(a1 + a2 ) + ( b 1 + b 2 ) = ( a1 + b 1 ) + ( a2 + b 2 ) ≥ 0

• Pero no es cerrado bajo el producto porque < 1, 1, 1 >está en V pero − 1· < 1, 1, 1 > = < − 1, − 1, − 1 > no estáen V al no cumplir − 1 + − 1 ≥ 0


8/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´on

Regla 1

Regla 2

Base para un Subespacio LinealPara un subespacio lineal V de Rn , un conjunto B se dice unabase para V , si B es linealmente independiente y además es unconjunto generador para V .EjemplosEn referencia a R3 , de los conjuntos:

B 1 =100

,120

,122

, B 2 =100

,1

− 10

B 3 =122

,122

,122

, B 4 =122

,11

− 1,

041

,101

• B 2 no es base porque no genera a R3 : el vector < 1, 1, 1 >

no es combinación lineal de B 2 al ser inconsistente elsistema con aumentada

1 1 10 − 1 1

0 0 1


9/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

• B 4 no es base porque linealmente dependiente; Al formarla matriz para hacer la prueba de la independiencia lineal,la matriz tiene 3 renglones y cuatro columnas; una de ellasen la reducida quedará sin pivote.

• B 1 es base: En la prueba de la independencia lineal lamatriz formada ya es escalonada y tiene pivote en cadacolumna:

1 1 1 0

0 2 2 00 0 2 0

Por otro lado en la prueba para ver si B 1 genera a R3 lamatriz aumentada que se forma con un vector < a, b , c >cualquiera da consistente:

1 1 1 a0 2 2 b 0 0 2 c

indicando que todo vector de R3 es generado por B 1


10/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensión

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

DimensiónRegla 1

Regla 2

• B 3 es base R3 . La regla para que un conjuntoB = {x1 , . . . , xk } sea base para Rn es que cuando sereduce la matriz cuyas columnas son los xi ’s quede lamatriz identidad. La lógica de la regla es simple: al quedarla identidad, cada columna tiene pivote y por tanto elconjunto de vectores es linealmente independiente. Porotro lado, al quedar la identidad, no importa que vectorpongamos a la derecha para formar una aumentada, ésta

dará consistente probando que todo vector es combinaciónlineal de los elementos del conjunto, lo cual a su vez indicaque el conjunto genera a todo el espacio lineal. En el casodel conjunto B 3 , al formar la matriz cuyas son loselementos y reducir obtenemos:

1 1 11 2 11 0 0

→1 0 00 1 00 0 1

Como nos queda la matriz identidad B 3 es base para R3

.


11/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

El siguiente resultado es la piedra angular para poder denir ladimensión de un subespacio lineal:

Teorema del Intercambio

Sea V un subespacio lineal de Rn

. Si A = {x1 , x2 . . . , xk } es un subconjunto de vectores de V que es linealmente independiente, y si B = {y1 , y2 . . . , ym } es un conjunto de vectores de V que genera a V , entonces

k ≤ m

Es decir, en un subespacio lineal de Rn , el número total devectores de un subconjunto linealmente independiente NOEXCEDE el número total de vectores de un conjunto generador.

La prueba de este resultado puede ser consultada aqúı .

http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-15.pdfhttp://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-15.pdfhttp://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-15.pdf


12/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensión

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

DimensiónRegla 1

Regla 2

Teniendo como referencia el teorema del intercambio es directodemostrar el siguiente resultado:

Corolario al Teorema del IntercambioSi V es un subespacio lineal de Rn y B 1 = {x1 , x2 . . . , xk } yB 2 = {y1 , y2 . . . , ym } son dos bases para V , entonces k = m.

Si B 1 es base para V , B 1 es linealmente independiente. Si B 2es base para V , B 2 genera a V . Por el teorema del intercambiok ≤ m. Si B 2 es base para V , B 2 es linealmente independiente.Si B 1 es base para V , B 1 genera a V . Por el teorema delintercambio m ≤ k . Por tanto m = k .

Nuestro resultado indica que dos bases cualquiera para unmismo subespacio lineal tienen siempre el mismo número devectores.


13/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

Dimensi ónSi V es un subespacio lineal de Rn , la dimensión de V es elnúmero de elementos que tiene una base cualquiera de V .

dim(V )

• dim R2 = 2, porque

B = 10 , 01

es una base para R2 .•

dimR3

= 3, porque

B =100

,010

,001

es una base para R3 .


14/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

• dim(Rn ) = n, porque

B = {e1 , e2 . . . , en }es una base para Rn .

A priori , usted no puede indicar la dimensión de un subpespaciosi no tiene una base para él.Aqúı

e i =

0...0

10...0

es el vector que tiene ceros en toda componente excepto queen la posición i tiene un 1.


15/22

¿Qué otra informaci ón podemos obtener del cálculo anterior?


16/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensión

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

DimensiónRegla 1

Regla 2

¿Que otra informaci on podemos obtener del calculo anterior?Si hubieramos puesto la matriz aumentada con la parte decoeecientes hasta el segundo vector quedaŕıa:

− 6 − 4 − 42 165 5 40 − 101 − 2 − 1 − 81 2 11 0

→

1 0 5 − 40 1 3 20 0 0 00 0 0 0

Lo cual diŕıa que los vectores 3 y 4 son combinación lineal de

los vectores 1 y 2. Como tenemos un resultado teórico queindica que aquellos vectores que son combinaciones lineales delos otros pueden ser removidos del conjunto generador y seguirgenerando el mismo subespacio, concluimos que

V = Gen {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } = Gen {v 1 , v 2 }El mismo cálculo indica que el conjunto formado por losvectores 1 y 2 es linealmente independiente. Por lo tanto, losvectores 1 y 2 son una base para el subespacio V . Por tanto, la

dimensión de V

es 2


17/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

Regla 1Para subspacios V de Rn del tipo espacios generados por unconjunto de vectores:

V = Gen {x1 , x2 , . . . , xk }

la dimensión de V es el número de pivotes que queda al reducirla matriz de la prueba de si el conjunto generador eslinealmente independiente

[x1 x2 · · · xk |0 ]

Al b Determine la dimensión para el subespacio de R3 formado por


18/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

Determine la dimension para el subespacio de R formado porlas soluciones al sistema:

6 x − 5 y − 3 z = 0

− 12 x + 10 y + 6 z = 036 x − 30 y − 18 z = 0

SoluciónObserve que usted no tiene una base y ni siquiera un conjuntogenerador. El conjunto generador lo vamos a encontrarobteniendo la solución general para el sistema. Al formar laaumentada y reducir:

6 − 5 − 3 0− 12 10 6 0

36 − 30 − 18 0→

1 − 5/ 2 − 1/ 2 00 0 0 00 0 0 0

Concluimos que hay innitas soluciones. Vamos ahora por lafórmula de todas las soluciones. Este proceso se sigue como eneste ejemplo.

Alg b

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/dudas/prb-formulasoluciones.pdfhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/dudas/prb-formulasoluciones.pdfhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/dudas/prb-formulasoluciones.pdf


19/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

De la reducida y siguiendo el proceso comentado tenemos quela fórmula que da todas las soluciones queda:

x y z

= y 5/ 2

10

+ z 1/ 2

01

Por tanto, la soluci ón a nuestro sistema homogéneo queda

como un espacio generado:

V =x y z

6 x − 5 y − 3 z = 0− 12 x + 10 y + 6 z = 036 x − 30 y − 18 z = 0

= Gen x1 =5 / 2

10

, x2 =1 / 2

01

Por la forma como están ubicados los pivotes en los vectoresdel conjunto generador B = {x1 , x2 }, el conjunto generador eslinealmente independiente Por tanto, B es base para V . Portanto, la dimensión del subespacio lineal V es 2

Algebra


20/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

Regla 2La dimensión del conjunto formado por todas las soluciones aun sistema de ecuaciones homogéneo (es decir, el kernel de lamatriz de coecientes):

Ker(A) = {x ∈ Rn |A · x = 0m }

es el número de pivotes que quedan en la reducida de [A|0].


21/22

Algebra


22/22

AlgebraLineal:

Bases yDimensi´on

Departamentode

Matemáticas

Intro

Espacio Lineal

Base

Tma clave

Dimensi´onRegla 1

Regla 2

• Si un subespacio V está generado por k elementosentonces, la dimensión de V es menor o igual que k . Esdecir, cualquier conjunto generador debe tener por lomenos dim(V ) vectores. Dicho de otra manera, unconjunto que tiene menos vectores que la dimensión delespacio, no puede generarlo. La dimensión representa unĺımite inferior para el número de vectores que debe

contener un conjunto generador. Esto no signica quetodo conjunto con más vectores que la dimensión generaal espacio.

• Si se tiene un conjunto linealmente independiente de V , elnúmero de vectores del conjunto no puede rebasar ladimensión: si se tienen más vectores que la dimensión, elconjunto es dependiente. La dimensión representa unĺımite superior para el número de vectores que puede tenerun conjunto linealmente independiente. Esto no signica

que todo conjunto que tiene menos vectores que ladimensión es linealmente independiente.

ma3002 bases y dimension

Documents