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MatematicasAvanzadas

paraIngenierıa:Numeros

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Igualdad

Suma y resta

Multiplicacion

Representacionalternativa

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Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Numeros Complejos

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MA3002



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Numeros ComplejosLos numeros complejos simbolizados por C son unageneralizacion de los numeros reales. Una generalizacionalgebraica muy interesante: Toda ecuacion polinomial

cn zn + cn−1 z

n−1 + · · ·+ c1 z + c0 = 0

con coeficientes complejos (aquı z representa la incognita adespejar (zahl significa numero en aleman), los coficientes cirepresentan numeros, posiblemente complejos, n es el grado dela ecuacion y cn 6= 0) tiene todas sus raıces en los numeroscomplejos. Apesar de que los numeros complejos se les llamaimaginarios (termino acunado por Descartes en el siglo XVII) sepueden utilizar con conveniencia para representar situacionesmuy reales en el area de la Ingenierıa; inclusive en el diseno yen la generacion de imagenes fractales.



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Visiones alternativas

Veremos a los numeros complejos desde dos puntos de vista:

• Desde el punto de vista algebraico

• Desde el punto de vista geometrico

Se suponen conocidas las propiedades de los numeros reales



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Vision algebraica

Los numeros complejos se pueden definir como pares ordenadosde numeros reales z = (a, b)

• Los numeros (a, 0) se suelen identificar como los numerosreales.

• Los numeros (0, b) se suelen llamar como imaginariospuros.

• Se dice que a es la parte real de z , y b es la parteimaginaria de z .

a = Re(z) b = Im(z)



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Igualdad entre numeroscomplejos

Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos.Diremos que z1 es igual a z2, representado como z1 = z2, si ysolo si a1 = a2 y b1 = b2.Ejemplo Determine los valores de a y de b para quez1 = (2 a + b, b − 1) = z2 = (a + 3 b + 1, a + 3 b).De la definicion se requiere que

2 a + b = a + 3 b + 1b − 1 = a + 3 b

de allı que

{a = 0b = −1/2



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Potencias yraıces

Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos.

• La suma de z1 y z2, z1 + z2, es el numero complejo

z1 + z2 = (a1 + a2, b2 + b2)

Ejemplo: Si z1 = (3, 4) y z2 = (−2, 5), entonces

z1 + z2 = (3− 2, 4 + 5) = (1, 9)

• La resta de z2 a z1, z1 − z2 es el numero complejo

z1 − z2 = (a1 − a2, b2 − b2)


z1 − z2 = (3− (−2), 4− (5)) = (5,−1)



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Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos numeros complejos. Lamutiplicacion de z1 con z2 es el numero complejo

z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2, a1 · b2 + b1 · a2)


z1 · z2 = ((3)(−2)− (4)(5), (3)(5) + (4)(−2)) = (−26, 7)

En particular:

• (x , 0) + (y , 0) = (x + y , 0)

• (x , 0) · (y , 0) = (x y , 0)

• (1, 0) · (x , y) = (x , y)

Ası el sistema de los numeros complejos es una extensionnatural de los numeros reales si pensamos que el numero (x , 0)es el numero real x . Donde el numero (1, 0) se comporta comola identidad multiplicativa.



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Como (y , 0) · (0, 1) = (0, y), entonces:

(x , y) = (x , 0) + (y , 0) · (0, 1)

Si denotamos a (0, 1) como el sımbolo i y a los numeros de laforma (a, 0) como simplemente a, entonces podemos reescribiral numero complejo z = (x , y) en la forma

z = (x , y) = x + y i

Y tambien tendremos:

i ·i = (0, 1)·(0, 1) = (0−(1)(1), (0)(1)+(0)(1)) = (−1, 0) = −1

De manera que el algebra de numeros complejos se reduce alalgebra simple usando que i2 = −1.



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Potencias yraıces

EjemploClasifique los siguiente numeros:

(a) 2 + 3 i (b) 2− 72 i

(c) 5 i (d) 8(e) −4 + 8 i (f ) π(g)

√−4 (h) 1

2 − 8 i

de acuerdo a la mejor categorıa donde se pueden colocar:

1 Numero real

2 Imaginario puro

3 Numero complejo



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Potencias yraıces

EjemploClasifique los siguiente numeros:

(a) 2 + 3 i (b) 2− 72 i

(c) 5 i (d) 8(e) −4 + 8 i (f ) π(g)

√−4 (h) 1

2 − 8 i

de acuerdo a la mejor categorıa donde se pueden colocar:

1 Numero real (d),(f )

2 Imaginario puro (c),(g)

3 Numero complejo (a),(b),(e),(h)



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Ejemplo

Realice el producto de z1 = 2− 4 i con z2 = −2 + 2 i usando lanueva notacion:

z1 · z2 = (2− 4 i) · (−2 + 2 i)= (2)(−2) + (2)(2 i) + (−4 i)(−2) + (−4 i)(2 i)= −4 + 4 i + 8 i − 8 i2

= −4 + 12 i − 8(−1)= 4 + 12 i



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Inversos multiplicativos

Considere el numero complejo z = a + b i y supongamos que secumple que a2 + b2 6= 0. Definamos el numero complejo

z2 =a

a2 + b2− b

a2 + b2i

Asız1 · z2 = (a + b i) ·

(a

a2+b2− b

a2+b2i)

= a2

a2+a2− b2

a2+a2i2 = a2+b2

a2+a2

= 1

Es decir, que todo numero complejo z = a + b i , diferente de 0= (0,0), posee un inverso multiplicativo.



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EjemploRealice las siguientes operaciones con numeros complejos

• (4 + 3 i) + 3(2− 7 i)

• (2− 7 i) · (−2 + 3 i)

• (5− 3 i)2



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EjemploRealice las siguientes operaciones con numeros complejos

• (4 + 3 i) + 3(2− 7 i) = 4 + 6 + (3− 21) i

• (2− 7 i) · (−2 + 3 i)

= (2)(−2) + (2)(3)i + (−7)(−2)i + (−7)(3)i2

= −4− 21i2 + ((−7)(−2) + (2)(3))i= −4 + 21 + (14 + 6)i= 17 + 20 i

• (5− 3 i)2

= (5)2 + 2 (5) (−3 i) + (−3)2(i)2

= 25− 30 i + (9)(−1)= 25− 9− 30 i= 16− 30 i



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Propiedades del algebra de los numeros complejos:

• La suma es asociativa:z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

• La suma es conmutativa:z1 + z2 = z2 + z1

• El elemento 0 = (0, 0) = 0 + 0 i es el neutro de la suma:0 + z1 = z1 + 0 = z1

• Cada complejo tiene su inverso aditivo: Si z1 = a + b ientonces z1 + (−a− b i) = (a + b i) + (−a− b i) =(a− a) + (b − b) i = 0 + 0 i = 0

• La multiplicacion es asociativa:z1 · (z2 · z3) = (z1 · z2) · z3

• La multiplicacion es conmutativa:z1 · z2 = z2 · z1

• La multiplicacion se distribuye sobre la suma:z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3

• Existencia de identidades: (0, 0) + z1 = z1 y (1, 0) · z1 = z1



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La existencia del inversos multiplicativos nos capacita paradecir que

z1 · z2 = 0→ z1 = 0 o z2 = 0

La division por un numero complejo diferente de cero puede sercalculada como:

z1/z2 = z1 · z2= (a1, b1) ·

(a2

a22+b22, −b2a22+b22

)=

(a1 a2+b1 b2

a22+b22, b1 a2−a1 b2

a22+b22

)



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Note que

• para hacer

(x + y i) · (a + b i) = (x · a− y · b) + (x · b + y · a) i

se requieren 4 multiplicaciones y 2 sumas/restas: es decir,6 operaciones para un producto.

• para obtener

(x + y i)−1 =x

x2 + y2− y

x2 + y2i

se requieren 2 multiplicaciones, 1 suma y 2 divisiones: esdecir, 5 operaciones para un inverso multiplicativo.

• para calcular

a + b i

x + y i=

a · x + b · yx2 + y2

+b · x − a · yx2 + y2

i

se requieren 6 productos, 3 sumas/restas y 2 divisiones; esdecir, 11 operaciones aritmeticas para una division.



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Considere el numero complejo z = x + y i . Se define el modulode z como:

|z | =√

x2 + y2

En terminos geometricos, el modulo de z es la distancia desdeel punto z = (x , y) al origen. El conjugado de z es el numerocomplejo:

z = x − y i



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Propiedades del modulo y del conjugado:

• z1 ± z2 = z1 ± z2

• z1 · z2 = z1 · z2• z1

z2= z1

z2

• |z1 · z2| = |z1| · |z2|

•∣∣∣ z1z2 ∣∣∣ = |z1|

|z2|

• z · z = |z |2

• |z1 ± z2| ≤ |z1|+ |z2|• |z1 ± z2| ≥ ||z1| − |z2||• Re z = z+z

2 y Im z = z−z2 i



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El plano complejo

Es comun representar a los numeros complejos graficamente enun plano llamado el plano complejo. Esto es identico a unarepresentacion cartesiana tradicional cuya diferencia es que aleje y se le llama el eje imaginario y al eje x se le llama el ejereal:

z = x + y i

x

y |z |Eje real

Eje imaginario

z = x − y i



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Ejemplo

Relacione los siguientes numeros complejos con suscorrespondientes representaciones el el plano complejo:

(a) 2 + 1 i (b) −2− i(c) −2 + i (d) 2 i(e) −2

A

B

C

D

E

F

H

I

K L

M

N

o



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Ejemplo

Relacione los siguientes numeros complejos con suscorrespondientes representaciones el el plano complejo:

(a) 2 + 1 i→ H (b) −2− i→ A(c) −2 + i→ C (d) 2 i→ N(e) −2→ K

A

B

C

D

E

F

H

I

K L

M

N

o



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Notacion Alternativa de x + y i

• Notacion de par ordenado:

(x , y)

• Notacion CIS

r cis(θ) = r (cos(θ) + i sen(θ))

• Representacion trigonometrica o polar

z = r · eθ i

• Representacion Matricial

x + y i =

[x −yy x

]r es el modulo de z y θ es el argumento.



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Potencias y RaıcesLas potencias y las raıces de un numero complejo son faciles decalcular cuando el complejo esta en su notacion polar:(

r · eθ i)n

= rn · en·θ i

n√r · eθ i = n

√r · e

θn

i



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Potencias y RaıcesLas potencias y las raıces de un numero complejo son faciles decalcular cuando el complejo esta en su notacion polar:(

r · eθ i)n

= rn · en·θ i

n√r · eθ i = n

√r · e

θn

i

Todas las raıces de una numero complejo z = r CIS(θ) puedenser calculadas por la formula:

zk = n√r CIS

(θ + 2 k π

n

)para k = 0, 1, . . . , n − 1

A zk=0 se le llama raız principal.



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EjemploSi z = (1 + 2 i)4 calcule z4 y la raız principal de 5

√z .

Usamos que el modulo de z es r =√

5 ≈ 2.2360 y que elargumento es θ = tan−1(21) ≈ 1.10714 radianes y aplicamos laformula anterior:

(1 + 2 i)4 ≈(2.2360e1.10714 i

)4≈ 2.23604 e4×1.10714 i

≈ 25 e4.4285 i

≈ 25 cos(4.4285) + 25 sen(4.4285) i≈ −6.99999− 24 i

5√

1 + 2 i ≈ 5√

2.2360e1.10714 i

≈ 5√

2.2360 e1.10714

5i

≈ 1.1746 e0.22142 i

≈ 1.1746 cos(0.22142) + 1.1746 sen(0.22142) i≈ 1.14593 + 0.25797 i



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Ejercicios

• Si |z | < 1, entonces∣∣Im (1− z + z2

)∣∣ < 3

• Si |z | = 2, entonces:∣∣∣∣ 1

z4 − 4 z2 + 3

∣∣∣∣ ≤ 1

3

• Pruebe que la hiperbola x2 − y2 = 1 puede escribirsecomo z2 + z2 = 2.



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EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 1.



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EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 1. Directamente de laformula:

• Para k = 0: z0 = 1

• Para k = 1: z1 = 1 · CIS(2π3

)= −1

2 +√32 i

• Para k = 2: z2 = 1 · CIS(4π3

)= −1

2 −√32 i

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