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AlgebraLineal:Bases y

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Algebra Lineal:Bases y Dimension

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IntroduccionUno de los conceptos mas importantes en Espacios de Vectoreses el concepto de Dimension. Este concepto se relaciona con elnumero de elementos mınimo que se requieren para representara los elementos de un espacio de vectores. Por ejemploubicados en el contexto de las ecuaciones diferenciales linealesy homogeneas, la solucion general tiene la forma

y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) + · · ·+ cn yn(x)

de aquı vemos que hacen falta n funciones yi (x) para construirtodas las soluciones a la ecuacion: la dimension del conjunto desoluciones es n. Primero definiremos el tipo de conjuntos a losque podremos aplicar el concepto de dimension yposteriormente definiremos aquellos conjuntos que nos sirvenpara representar a los vectores.


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Espacio LinealUn conjunto V de vectores de Rn se llamara subespacio linealde Rn si cumple las siguientes tres condiciones:

• V no es vacıo. Es decir, V tiene por lo menos un elemento.

• V es cerrado bajo la suma.La definicion de ser cerrado bajo la suma es que tomadosdos elementos x y y cualquiera de V, la suma de ellosx + y tambien es un elemento de V.

• V es cerrado bajo el producto por escalares.La definicion de ser cerrado bajo el producto por escalareses que tomados un elemento x cualquiera de V y unescalar c cualquiera, el producto c · x tambien es unelemento de V.


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Ejemplos 1Los subconjuntos de Rn que son mas faciles de verificar queson subespacios lineales son:

1.- El mismo Rn

Claramente no es vacıo. La suma entre vectores de ncomponentes como se tiene definida resulta en un vectorcon n componentes. Es decir, en un vector en Rn. Elproducto de un vector con n componentes por un escalarcomo se ha definido resulta en un vector con ncomponentes. Es decir, en un vector en Rn.

2.- El subconjunto de Rn que solo consta del vector cero: {0}Como el vector cero pertence al conjunto, el subconjuntono es vacıo. Aunque los requisitos para ser subespaciosson que tomemos cualquier vector del conjunto, solopodemos elegir el vector cero. Y la suma resulta siemprede nuevo en el vector cero, es decir, en un elemento denuestro conjunto. Y tambien cualquier escalarmultiplicado por el vector cero resulta en el vector cero.


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Ejemplos 2Los subespacios de Rn mas importantes para nuestro curso son:

3.- Un espacio generado V = Gen {x1, x2, . . . , xk}

• No es vacıo: 0 = 0 · x1 + 0 · x2 + · · ·+ 0 · xk ∈ V• Es cerrado bajo la suma: pues la suma de combinaciones

lineales de los xi ’s resulta en un combinacion lineal de losxi ’s: (

k∑i=1

ci · xi

)+

(k∑

i=1

ai · xi

)=

k∑i=1

(ci + ai ) · xi

• Es cerrado bajo el producto por escalares: pues el productode una combinacion lineal de los xi ’s por un escalar resultaen una combinacion lineal de los xi ’s:

a

(k∑

i=1

ci · xi

)=

k∑i=1

(a · ci ) · xi


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4.- El espacio nulo de una matriz A m × n:

Ker (A) = {x ∈ Rn |A · x = 0m }

Es decir, el conjunto de todas las soluciones a un sistemade ecuaciones lineales homogeneo.

• No es vacıo: 0n ∈ Ker (A), pues A · 0n = 0m

• Es cerrado bajo la suma: Si x1 y x2 cumplen la ecuacionA · x = 0m, tambien x1 + x2 la cumple:

A · (x1 + x2) = A · x1 + A · x2 = 0m + 0m = 0m

• Es cerrado bajo el producto por escalares: Si x1 cumple laecuacion A · x = 0m, tambien c · x:

A · (c · x1) = c · (A · x1) = c · 0m = 0m

0k representa el vector con solo ceros en todas sus kcomponentes.


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Diga si es un subespacio de R3 los vectores que pertencen alconjunto

V =

a

bc

∈ R3

∣∣∣∣∣∣ a + b ≥ 0

• No es vacıo, porque < a = 1, b = 1, c = 1 >∈ V puesa + b = 1 + 1 = 2 ≥ 0

• Es cerrado bajo la suma, por que si x1 =< a1, b1, c1 >cumple a1 + b1 ≥ 0, y x2 =< a2, b2, c2 > cumplea2 + b2 ≥ 0, entonces

x1 + x2 =< a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2 >

cumple que(a1 + a2) + (b1 + b2) = (a1 + b1) + (a2 + b2) ≥ 0

• Pero no es cerrado bajo el producto porque < 1, 1, 1 >esta en V pero −1· < 1, 1, 1 >=< −1,−1,−1 > no estaen V al no cumplir −1 +−1 ≥ 0


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Base para un Subespacio LinealPara un subespacio lineal V de Rn, un conjunto B se dice unabase para V , si B es linealmente independiente y ademas es unconjunto generador para V .Ejemplos

En referencia a R3, de los conjuntos:

B1 =

1

00

,

120

,

122

,B2 =

1

00

,

1−10

B3 =

1

22

,

122

,

122

,B4 =

1

22

,

11−1

,

041

,

101

• B2 no es base porque no genera a R3: el vector < 1, 1, 1 >no es combinacion lineal de B2 al ser inconsistente elsistema con aumentada 1 1 1

0 −1 10 0 1


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• B4 no es base porque linealmente dependiente; Al formarla matriz para hacer la prueba de la independiencia lineal,la matriz tiene 3 renglones y cuatro columnas; una de ellasen la reducida quedara sin pivote.

• B1 es base: En la prueba de la independencia lineal lamatriz formada ya es escalonada y tiene pivote en cadacolumna: 1 1 1 0

0 2 2 00 0 2 0

Por otro lado en la prueba para ver si B1 genera a R3 lamatriz aumentada que se forma con un vector < a, b, c >cualquiera da consistente: 1 1 1 a

0 2 2 b0 0 2 c

indicando que todo vector de R3 es generado por B1


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• B3 es base R3. La regla para que un conjuntoB = {x1, . . . , xk} sea base para Rn es que cuando sereduce la matriz cuyas columnas son los xi ’s quede lamatriz identidad. La logica de la regla es simple: al quedarla identidad, cada columna tiene pivote y por tanto elconjunto de vectores es linealmente independiente. Porotro lado, al quedar la identidad, no importa que vectorpongamos a la derecha para formar una aumentada, estadara consistente probando que todo vector es combinacionlineal de los elementos del conjunto, lo cual a su vez indicaque el conjunto genera a todo el espacio lineal. En el casodel conjunto B3, al formar la matriz cuyas son loselementos y reducir obtenemos: 1 1 1

1 2 11 0 0

→ 1 0 0

0 1 00 0 1

Como nos queda la matriz identidad B3 es base para R3.


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El siguiente resultado es la piedra angular para poder definir ladimension de un subespacio lineal:

Teorema del IntercambioSea V un subespacio lineal de Rn. SiA = {x1, x2 . . . , xk} es un subconjunto de vectoresde V que es linealmente independiente, y siB = {y1, y2 . . . , ym} es un conjunto de vectores de Vque genera a V , entonces

k ≤ m

Es decir, en un subespacio lineal de Rn, el numero total devectores de un subconjunto linealmente independiente NOEXCEDE el numero total de vectores de un conjunto generador.

La prueba de este resultado puede ser consultada aquı.

http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-15.pdf


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Teniendo como referencia el teorema del intercambio es directodemostrar el siguiente resultado:

Corolario al Teorema del IntercambioSi V es un subespacio lineal de Rn y B1 = {x1, x2 . . . , xk} yB2 = {y1, y2 . . . , ym} son dos bases para V , entonces k = m.

Si B1 es base para V , B1 es linealmente independiente. Si B2es base para V , B2 genera a V . Por el teorema del intercambiok ≤ m. Si B2 es base para V , B2 es linealmente independiente.Si B1 es base para V , B1 genera a V . Por el teorema delintercambio m ≤ k. Por tanto m = k .

Nuestro resultado indica que dos bases cualquiera para unmismo subespacio lineal tienen siempre el mismo numero devectores.


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DimensionSi V es un subespacio lineal de Rn, la dimension de V es elnumero de elementos que tiene una base cualquiera de V .

dim (V )

• dim(R2)

= 2, porque

B =

{(10

),

(01

)}es una base para R2.

• dim(R3)

= 3, porque

B =

1

00

,

010

,

001

es una base para R3.


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• dim (Rn) = n, porque

B = {e1, e2 . . . , en}

es una base para Rn.

A priori, usted no puede indicar la dimension de un subpespaciosi no tiene una base para el.Aquı

ei =

0...010...0

es el vector que tiene ceros en toda componente excepto que

en la posicion i tiene un 1.


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Dimension de espacios generados, ejemplo

Determine la dimension del subespacio:

V = Gen

−6

511

,

−4

5−2

2

,

−42

40−111

,

16−10−8

0

SolucionRequerimos una base; ya tenemos un conjunto generador perono sabemos si es linealmente independiente. Formando lamatriz aumentada y reduciendo tenemos:

−6 −4 −42 16 05 5 40 −10 01 −2 −1 −8 01 2 11 0 0

→

1 0 5 −4 00 1 3 2 00 0 0 0 00 0 0 0 0

El conjunto generador es linealmente dependiente: no es basepara V .


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¿Que otra informacion podemos obtener del calculo anterior?Si hubieramos puesto la matriz aumentada con la parte decoefiecientes hasta el segundo vector quedarıa:

−6 −4 −42 165 5 40 −101 −2 −1 −81 2 11 0

→

1 0 5 −40 1 3 20 0 0 00 0 0 0

Lo cual dirıa que los vectores 3 y 4 son combinacion lineal delos vectores 1 y 2. Como tenemos un resultado teorico queindica que aquellos vectores que son combinaciones lineales delos otros pueden ser removidos del conjunto generador y seguirgenerando el mismo subespacio, concluimos que

V = Gen {v1, v2, v3, v4} = Gen {v1, v2}

El mismo calculo indica que el conjunto formado por losvectores 1 y 2 es linealmente independiente. Por lo tanto, losvectores 1 y 2 son una base para el subespacio V . Por tanto, ladimension de V es 2 �


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Regla 1Para subspacios V de Rn del tipo espacios generados por unconjunto de vectores:

V = Gen {x1, x2, . . . , xk}

la dimension de V es el numero de pivotes que queda al reducirla matriz de la prueba de si el conjunto generador eslinealmente independiente

[x1 x2 · · · xk |0 ]


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Determine la dimension para el subespacio de R3 formado porlas soluciones al sistema:

6 x − 5 y − 3 z = 0

−12 x + 10 y + 6 z = 0

36 x − 30 y − 18 z = 0

SolucionObserve que usted no tiene una base y ni siquiera un conjuntogenerador. El conjunto generador lo vamos a encontrarobteniendo la solucion general para el sistema. Al formar laaumentada y reducir: 6 −5 −3 0

−12 10 6 036 −30 −18 0

→ 1 −5/2 −1/2 0

0 0 0 00 0 0 0

Concluimos que hay infinitas soluciones. Vamos ahora por laformula de todas las soluciones. Este proceso se sigue como eneste ejemplo.

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/dudas/prb-formulasoluciones.pdf


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De la reducida y siguiendo el proceso comentado tenemos quela formula que da todas las soluciones queda: x

yz

= y

5/210

+ z

1/201

Por tanto, la solucion a nuestro sistema homogeneo quedacomo un espacio generado:

V =

x

yz

∣∣∣∣∣∣6 x − 5 y − 3 z = 0−12 x + 10 y + 6 z = 036 x − 30 y − 18 z = 0

= Gen

x1 =

5/210

, x2 =

1/201

Por la forma como estan ubicados los pivotes en los vectores

del conjunto generador B = {x1, x2}, el conjunto generador eslinealmente independiente Por tanto, B es base para V . Portanto, la dimension del subespacio lineal V es 2 �


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Regla 2La dimension del conjunto formado por todas las soluciones aun sistema de ecuaciones homogeneo (es decir, el kernel de lamatriz de coeficientes):

Ker (A) = {x ∈ Rn |A · x = 0m }

es el numero de pivotes que quedan en la reducida de [A|0].


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Comentarios sobre la dimensionLa dimension de un subespacio lineal V de Rn es un numeromuy especial. Si se dice que la dimension de V es k:

• Se esta diciendo que debe haber una base B de V con kelementos. Este conjunto es linealmente independiente ydebe generar a V .

• Siendo B un conjunto linealmente de vectores de V , lo estambien en Rn y por tanto k ≤ n. Es decir, la dimensionde un subespacio de Rn debe ser menor que n.

• Si por casualidad k = n, entonces V = Rn. Es decir,alcanzando la dimension de un subespacio, se alcanza todoel espacio. Por que en caso contrario B no generarıa a Rn

y si x ∈ Rn − V , entonces B ∪ {x} serıa un conjuntolinealmente independiente de Rn con n + 1 elementos, locual es imposible.


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• Si un subespacio V esta generado por k elementosentonces, la dimension de V es menor o igual que k. Esdecir, cualquier conjunto generador debe tener por lomenos dim(V ) vectores. Dicho de otra manera, unconjunto que tiene menos vectores que la dimension delespacio, no puede generarlo. La dimension representa unlımite inferior para el numero de vectores que debecontener un conjunto generador. Esto no significa quetodo conjunto con mas vectores que la dimension generaal espacio.

• Si se tiene un conjunto linealmente independiente de V , elnumero de vectores del conjunto no puede rebasar ladimension: si se tienen mas vectores que la dimension, elconjunto es dependiente. La dimension representa unlımite superior para el numero de vectores que puede tenerun conjunto linealmente independiente. Esto no significaque todo conjunto que tiene menos vectores que ladimension es linealmente independiente.

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