matemáticas avanzadas para ingeniería: funciones...

MatematicasAvanzadas

paraIngenierıa:Funcionesextendidas

Departamentode

Matematicas

Intro

Exponencial

Nota 1

Logaritmo

Potencias

Raıces

Trigonometricas

El resto

Nota 2

Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Funciones extendidas

Departamento de Matematicas

MA3002



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Nota 2

En esta seccion veremos como se extienden las funciones queya conocemos para numeros reales pero ahora al planocomplejo. En lo que sigue, las funciones cuyo nombre esta enletra azul son funciones de variable compleja y las que tienen sunombre en color negro son las funciones reales conocidas; apriori no se tiene informacion para pensar que tienen algo quever su contraparte real, aunque a posteriori son efectivamentesu extension al plano complejo.



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La funcion exponencial complejaSea z = x + y i un numero complejo. Se define la funcionexponencial compleja por la expresion:

ez = ex · cos(y) + ex · sen(y) i

Propiedades que cumple:

• La exponencial compleja extiende la real: ex = ex

• ez1+z2 = ez1 · ez2

• La funcion satisface la ecuaciones de Cauchy-Riemann enel plano complejo (es decir, es entera) y

d

dzez = ez

• La funcion exponencial es una funcion periodica conperiodo 2π i:

ez+2π i = ez



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Para probar la ley de los exponentes usando la calculadoraprocedemos como en la siguiente figura. Como hemos visto enalgun ejemplo anterior, notemos que para probar queez1+z2 = ez1 · ez2 , nos conviene revisar queez1+z2 − ez1 · ez2 = 0. La expresion a la izquierda tiene muchosterminos pero cuando se desarrolla por medio de identidadestrigonometricas se simplifica a cero.



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Nota 2

Para comprobar que la funcion exponencial es entera, es decir,que es derivable en todo complejo usaremos las ecuaciones deCauchy-Riemann. Comprobaremos el cumplimiento de lasecuaciones de Cauchy-Riemann para la funcion exponencial.Revisaremos tambien que su derivada es ella mismacomprobando que d

dz ez − ez es cero. Esto lo ilustramos en las

siguientes figuras.



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Para comprobar que la funcion es periodica verificamos queez+2π i − ez es cero.



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Ejemplos de evaluacion de la funcionexponencialCalcule ez para z1 = 2 + 3 i y para z2 = 0.5π/3

• ez1

• ez2



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• ez1 = e2(cos(3) + sen(3) i) ≈ −7.3151 + 1.0427 i

• ez2



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• ez1 = e2(cos(3) + sen(3) i) ≈ −7.3151 + 1.0427 i

• ez2

Como

z2 = 0.5π/3

= 0.5 · cos(π/3) + 0.5 · sen(π/3) i≈ .2500 + 0.4330 i



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Nota 2


• ez1 = e2(cos(3) + sen(3) i) ≈ −7.3151 + 1.0427 i

• ez2

Como

z2 = 0.5π/3

= 0.5 · cos(π/3) + 0.5 · sen(π/3) i≈ .2500 + 0.4330 i

Ası

ez2 ≈ e0.25 (cos(0.4330) + sen(0.4330) i)≈ 1.1655 + 0.5388 i



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• ez1 = e2(cos(3) + sen(3) i) ≈ −7.3151 + 1.0427 i

• ez2 ≈ 1.1655 + 0.5388 iComo

z2 = 0.5π/3

= 0.5 · cos(π/3) + 0.5 · sen(π/3) i≈ .2500 + 0.4330 i

Ası

ez2 ≈ e0.25 (cos(0.4330) + sen(0.4330) i)≈ 1.1655 + 0.5388 i



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Los calculos anteriores pueden relizarse en la TI como se ilustraen las siguientes figuras. Al final del primer calculo se uso lacombinacion punto verde-enter para calcular el valoraproximado. En el segundo ejemplo no hubo necesidad decalcular el valor aproximado; ya lo dio aproximado. Esto sedebe a que en el numero complejo dado habıa un numero depunto flotante. Esto arrastra la artimetica de manera que todose haga en forma aproximada. Si esto no hubiera sido deseable,entonces debimos haber puesto 1/2 en lugar de 0.5 en nuestroejemplo.



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Mapeo asociado a f (z) = ez

(recuerde que el periodo es 2π i ≈ 6.28 i)

Ox

y

u

v2π i

e−1 i

e1 i



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Con la introduccion de la funcion exponencial complejapodemos extender nuestra forma de representar numeroscomplejos en la forma polar: si z tiene modulo r y argumentoprincipal θ tenemos que

z = rθ = r · eθ i



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La funcion logaritmo ln(z)

Sea z un numero complejo diferente de cero cuyo modulo es ry cuyo argumento es θ, se define como el logaritmo naturalcomplejo de z a la expresion

ln(z) = ln(r) + (θ + 2 n π) i para n = 0,±1,±2, . . .

y el logaritmo natural principal complejo de z esta dado por:

Ln(z) = ln(r) + θ i

Propiedades:

• ln y Ln estan definidas en C excepto en z = 0.

• Ln extiende el logaritmo natural sobre los reales positivos;Ln(x) = ln(x) para x real y positivo.

• ln es la inversa de la exponencial eln(z) = z .



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Nota 2

Para comprobar que la funcion logaritmo es derivable en todo punto excepto en z = 0, comprobaremos el

cumplimiento de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la funcion exponencial. Revisaremos tambien que

su derivada es 1/z comprobando que ddz

ln(z)− 1/z es cero. Esto lo ilustramos en las siguientes figuras.

Note que en la primera de las ecuaciones de Cauchy-Riemann aparece la derivada del la funcion signo en y .

Esta funcion vale -1 para negativos y vale 1 para positivos; es indefinida en cero. La derivada de esta funcion

es cero para cualquier y diferente de 0; y en cero no esta definida. Pero cuando y = 0 entonces la funcion

logaritmo coincide en su rama principal con ln(|x|) el cual es derivable en todo punto excepto en cero. O sea

que (x = 0, y = 0) es nuestro problema para la derivacion; pero no hay problema porque no esta en el

dominio.



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La funcion logaritmo ln(z); ejemplos

Calcule ln(z) para z1 = −4 , z2 = 2 i y para z3 = 3 + 4 i:

• ln(z1)Como z1 = 4 eπ i , |z1| = 4 y θ = π por tanto:

ln(−4) = ln(4) + (π + 2 n π) i

• ln(z2)Como z2 = 2 eπ/2 i , |z1| = 2 y θ = π/2 por tanto:

ln(2 i) = ln(2) + (π/2 + 2 n π) i

• ln(z3)Como |z3| = 5 y θ = π/2− tan−1(3/4) por tanto:

ln(3 + 4 i) = ln(5) +(π/2− tan−1(3/4) + 2 n π

)i



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Los calculos anteriores pueden relizarse en la TI como se ilustraen las siguientes figuras. Note el uso de la variable @n1 paralas comprobaciones de que los resultados encontradossatisfacen la propiedad; este sımbolo en la calculadorarepresenta un entero cualquiera. El sımbolo @ se obtiene de lacombinacion 2nd + 3 9.



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Si en la formula para el logaritmo de z tomamos n = 0, elresultado se llama el valor principal del ln(z) y paradiferenciarlo de ln(z) se utiliza la notacion:

Ln(z) = ln(|z |) + θ i

esta funcion esta definida para z diferentes de cero y se cumple:

d

dzLn(z) =

1

z



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Mapeo asociado a f (z) = Ln(z)usando el valor principal

O Ox

y

u

v

0.5 ln(0.5)4 ln(4)



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Potencias complejas

Con base en la igualdad xa = ea·ln(x) que se cumple para realespositivos se define:

zα = eα·ln(z)

Si se usa Ln(z) en lugar de ln(z), al resultado se le llama elvalor principal de zα.Ejemplo: calcule el valor i3 i: aquı z = i, |z | = 1 y θ = π/2:

i3 i = e3 i·ln(i) = e3 i(ln(1)+(π/2+2π n) i)

= e−3/2π−6π n

El valor principal queda:n = 0

= e−3/2π ≈ 0.008983291021



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Raıces de complejosEjemplo: Calcule las raices cubicas de z1 =

√2

2 +√

22 i.

Estas pueden calcularse como z1/31 = e1/3·ln(z1): como |z1| = 1

y θ = π/4, entonces

ln(z1) = ln(1) + (π/4 + 2π n) i = 0 + (π/4 + 2π n) i

por tanto

z1/31 = e1/3·ln(z1) = e0+1/3(π/4+2π n) i

= e0 (cos (π/12 + 2π n/3) + sen (π/12 + 2π n/3) i)Para n = 0

r0 = cos (π/12) + sen (π/12) iPara n = 1

r1 = cos (3π/4) + sen (3π/4) iPara n = 2

r2 = cos (17π/12) + sen (17π/12) iPara n = 2

r3 = cos (25π/12) + sen (25π/12) i = r0



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Los calculos anteriores pueden relizarse en la TI como se ilustraen las siguientes figuras.



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Seno y Coseno complejasPara cualquier numero complejo z = x + y i se define:

sen(x + y i) = sen(x) cosh(y) + cos(x) senh(y) i =e i z − e−i z

2 i

cos(x + y i) = cos(x) cosh(y)− sen(x) senh(y) i =e i z + e−i z

2

Recuerde que:

• La funcion seno hiperbolico se define como

senh(t) =1

2

(et − e−t

)• La funcion coseno hiperbolico se define como

cosh(t) =1

2

(et + e−t

)



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Seno y coseno: Resultados

• sen y cos extienden a sus contrapartes reales.

• Son analıticas en todo el plano complejo.

• Son periodicas con periodo 2π.

•d

dzsen(z) = cos(z) y

d

dzcos(z) = −sen(z)

• sen(−z) = −sen(z), cos(−z) = cos(z)

• cos2(z) + sen2(z) = 1



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Nota 2

Para comprobar que las funciones sen(z) y cos(z) son enteras yque sus derivadas cumplen las relaciones conocidas,procedemos como en la figura.



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Otras funciones:

tan(z) = sen(z)cos(z) , cot(z) = cos(z)

sen(z) ,

sec(z) = 1cos(z) , csc(z) = 1

sen(z)

senh(z) =ez − e−z

2y cosh(z) =

ez + e−z

2

sen−1(z) = −i ln(

i z +√

1− z2)

cos−1(z) = −i ln(z + i

√1− z2

)tan−1(z) = i

2 ln(

i+zi−z

)



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Nota 2No haremos mas la distincion de colores entre las funciones:por ejemplo cuando escribamos

ez

se entendera que si z es complejo la funcion debe ser ez .

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