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MatematicasAvanzadas

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Integrales deContorno

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Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Integrales de Contorno

Departamento de Matematicas

MA3002


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Suma∫c f (z) dz

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En esta lectura veremos la integral de contorno o la integralcompleja de lınea. Recuerde la integral de lınea en dosvariables: ∫

CF • dr =

∫C

f (x(t), y(t)) • r′(t) dt

Datos: 1) funcion en dos variables f (x , y) 2) Curva en eldominio (x(t), y(t))


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Eligiendo una particion de la curva:

Se construye una pared desde el plano xy hasta la altura de lafuncion usando como referencia C ; el area es una aproximacionde la integral de lınea de f (x , y) a lo largo de C .


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Suma de una funcion sobre una curva

• Sea f (z) = u(x , y) + v(x , y) i una funcion definida entodos los puntos de una curva suave C definida porx = x(t) y y = y(t) para a ≤ t ≤ b.

• Divıdase C en n subarcos de acuerdo con la particiona = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b]. Los puntoscorrespondientes de la curva son z0 = x(t0) + y(t0) i,z1 = x(t1) + y(t1) i,. . . , zn = x(tn) + y(tn) i. Sea∆zk = zk − zk−1 para k = 1, 2 . . . , n.

• Sea ‖P‖ el valor maximo de |∆zk |.• Sea z∗k = x∗k + y∗k i un punto en cada subarco.

• Generese la suman∑

k=1

f (z∗k ) ∆zk


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C

O

x

y

C

z(ti ) = x(ti ) + y(ti ) i

z(ti+1) = x(ti+1) + y(ti+1) i

(1− r) · z(ti ) + r z(ti+1), 0 ≤ r ≤ 1zi∗ para un r∗ en [0, 1]


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Integral de Contorno

Sea f (z) una funcion de variable compleja definida sobre unacurva suave C dada por x = x(t) y y = y(t) para a ≤ t ≤ b.La integral de contorno de f (z) a lo largo de la curva C es

∫C

f (z) dz = lim‖P‖→0

n∑k=1

f (z∗k ) ∆zk

Como resultado matematico, tal lımite existe si f (z) escontinua en C y ademas C es suave o suave por tramos (Sedice que C dada por z(t) = x(t) + y(t) i es suave si x(t) yy(t) tienen derivadas continuas para a ≤ t ≤ b, o al menos Ces suave por tramos).


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Ejemplo

Consideremos la funcionf (z) = z2 = f (x + y i) = (x2 − y 2) + 2 x y i y la curvaparametrica C con ecuaciones x = x(t) = t y y = y(t) = t2

desde to = 0 y hasta tf = 1.

C

O

x

y

C

−1 1

−1

1

Dividamos el intervalo del tiempo [0, 1] usando tres puntosto = 0, t1 = 0.5 y t2 = 1.0. Estos tiempos corresponden a lospuntos zo = z(t = 0) = x(t = 0) + y(t = 0) i = 0


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TeoremaSi f (z) es continua en una curva suave C dada porz(t) = x(t) + y(t) i para a ≤ t ≤ b, entonces

∫C

f (z) dz =

∫ b

af (z(t)) z ′(t) dt


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PropiedadesSuponga que f (z) y g(z) son continuas en un dominio y C esuna curva suave que esta en tal dominio. Entonces

•∫C

k · f (z) dz = k

∫C

f (z) dz

•∫C

(f (z) + g(z)) dz =

∫C

f (z) dz +

∫C

g(z) dz

•∫C

f (z) dz =

∫C1

f (z) dz +

∫C2

f (z) dz , si C es la union de

las curvas suaves C1 y C2 contenidas en el dominio.

•∫−C

f (z) dz = −∫C

f (z) dz , donde −C representa la

curva C con orientacion opuesta.


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Determine∫C z2 dz , donde C esta dada por x(t) = t y

y(t) = t2 para 0 ≤ t ≤ 2. Aquıf (z) = f (x + y i) = (x + y i)2 = (x2 − y 2) + 2 x y i. En estecaso la curva C tiene como grafica:

C

Ox

y

C

−1 1 2 3

−1

1

2

3

4

Tenemos que x ′(t) = 1 y y ′(t) = 2 t. Por tanto,∫C z2 dz =

∫ 20

(t2 − t4 + 2 t · t2 i

)· (1 + 2 t i) dt

=∫ 2

0

(t2 − 5 t4 + 4 t3 i− 2 t5 i

)dt

=(

13 t3 − t5 + t4 i− 1

3 t6 i)t=2

t=0= −88

3 −163 i


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Determine∫C z2 dz , donde C es la union de las curvas C1 y C2

como se ilustra en la figura.

C

Ox

y

−1 1 2

−1

1

2

C1 C2

La parametrizacion para C1 es x(t) = t y y(t) = 0 para0 ≤ t ≤ 1 (Aquı x ′(t) = 1 y y ′(t) = 0); y la para C2 esx(t) = 1 y y(t) = t para 0 ≤ t ≤ 1 (Aquı x ′(t) = 0 yy ′(t) = 1). Ası∫

C f (z) dz =∫C1

f (z) dz +∫C2

f (z) dz

=∫ 1

0 (t + 0 i)2(1 + 0 i) dt +∫ 1

0 (1 + t i)2(0 + 1 i) dt

=(

13 t3)t=1

t=0+(

13 (1 + t i)3

)t=1

t=0= 1

3 +(−1 + 2

3 i)

= −23 + 2

3 i


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Si f (z) = (1− i) z , calcule:∮C

f (z) dz =

∫C

f (z) dz

Donde la curva cerrada C es la union de las curvas C1, C2, C3

y C4 como se ilustran en la figura. En la misma, en cada puntolas flechas en rojo representan una version a magnitud 0.25 deel valor de f (z) en el punto donde inicia la flecha.

C

Ox

y

−1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

C1

C2

C3

C4


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CalculosVemos que f (z) = (1− i)(x + y i) = (x + y) + (x − y) i .C1 se parametriza como x(t) = t y y(t) = 0 para 0 ≤ t ≤ 3. Ası x ′(t) = 1 yy ′(t) = 0:

∫C1

f (z) dz =

∫ 3

0((t + 0) + (t − 0) i) (1 + 0 i) dt =

9

2+

9

2i

C2 se parametriza como x(t) = 3 y y(t) = t para 0 ≤ t ≤ 3. Ası x ′(t) = 0 yy ′(t) = 1:

∫C2

f (z) dz =

∫ 3

0((3 + t) + (3− t) i) (0 + 1 i) dt = −

9

2+

27

2i

C3 se parametriza como x(t) = 3− t y y = 1/3 x + 2 y ası y(t) = 3− 1/3 t para0 ≤ t ≤ 3. Ası x ′(t) = −1 y y ′(t) = −1/3:

∫C3

f (z) dz =

∫ 3

0(((3− t) + (3− 1/3 t)) + ((3− t)− (3− 1/3 t)) i) (−1−1/3 i) dt = −13− i

C4 se parametriza como x(t) = 0 y y(t) = 2− t para 0 ≤ t ≤ 2. Ası x ′(t) = 0 yy ′(t) = −1:

∫C4

f (z) dz =

∫ 2

0((0 + (2− t)) + (0− (2− t)) i) (0−1 i) dt = −2− 2 i


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Para hacer este problema en la TI primeramente limpiaremoslas variables con las que trabajaremos, definiremos la funcion,construiremos la variable z parametrizada y definiremos elintegrando.

La gran ventaja de esto es que cada vez que cambiemos lasfunciones x(t) y y(t) el integrando se actualizara y norequeriremos recapturarlo.Cabe decir: ¡yeeesssss!


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Calculemos ahora la integral de contorno sobre cada una de lascurvas. Para ello, primero definiremos las ecuacionesparametricas para x y para y y posteriormente integraremos.Recuerde que cada vez que se defina x(t) y y(t) el integrandose actualiza! Esto no hubiera sido posible si las variables nohubieran estado limpias antes de construir en integrando. Elvalor de la integral buscada es la suma de las integralescalculadas.


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¿Que puede representar elproducto de dos

complejos?

Considere dos vectores en el plano u =< a, b, 0 > yv =< c , d , 0 >. Suponga que u se convierte en el complejoz1 = a + b i y que v se convierte en z2 = c + d i. Si hacemosz1 · z2 obtenemos:

z1 · z2 = (a · c + b · d) + (a · d − b · c) i

Por otro lado

u • v = a · c + b · d y u× v =< 0, 0, a · d − b · c >


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Si f (z) es un flujo en plano complejo, en la integral∮C

f (z) dz =

∫C

f (z) dz

a la parte real se le llama la circulacion de f (z) a traves deC ; y a la parte imaginaria se le llama el flujo neto de f (z) atraves de C .

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