Matematicas Avanzadas para IngenierıaResultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos

1. Calcule la integral indicada:

∫ 2+3 i

3−2 i

(−3− 3 i+ (−3 + 4 i) z + 3 z2

)dz

Reporte el modulo del resultado.

Solucion

En este caso la funcion a ser integrada:

f(z) = −3− 3 i+ (−3 + 4 i) z + 3 z2

es entera (es decir, es analıtica en todo el plano complejo)

al ser una funcion polinomial.

11

Por tanto, para calcular la integral basta encontrarle una

primitiva; es decir, una funcion cuya derivada sea f(z).

Si integramos por las tecnicas tradicionales tenemos que

una primitiva es:

g(z) = (−3− 3 i) z + (−3 + 4 i)1

2z2 + z3

Por tanto,

I =

∫ 2+3 i

3−2 i

f(z) dz = g(2 + 3 i)− g(3− 2 i)

La siguiente grafica ilustra su solucion en la calculado-

ra TI; primeramente se limpian las variables a trabajar,

despues se define el integrando, seguido se determina una

primitiva del integrando, y por ultimo se obtiene el modu-

lo de la diferencia de la sustitucion de la primitiva en los

lımites de integracion.

En la siguiente pantalla se ilustra el calculo directo de la

integral usando el comando de integracion.

2. Calcule la integral indicada:∫ 3−i

1−3 i

e3 i z z dz

Reporte el modulo del resultado.

Solucion

La funcion que se integra

f(z) = e3 i z z

es una funcion entera; es decir, es analıtica en todo el

plano complejo. Por consiguiente, para calcular la integral

debemos calcular una primitiva F (z) y evaluarla en los

lımites de integracion:∫ 3−i

1−3 i

f(z) dz = F (3− i)− F (1− 3 i)

Este tipo de primitivas y de evaluaciones es lo que hace la

calculadora: Procedemos como en el problema anterior:

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3. Calcule la integral ∮C

1− 3 i+ z

−4− 2 i+ zdz

donde C es el cırculo |z| = 11. Reporte el modulo del re-

sultado.

Solucion

La expresion a integrar se escribe

f =1− 3 i+ z

−4− 2 i+ z=p

q

Siendo f racional, los polos de f ocurriran en los ceros de

q:

q = 0→ z = zo = 4 + 2 i

11

Por otro lado, el cırculo donde se integra tiene centro en

z = z1 = 0 y radio 11. Puesto que la distancia de zo a z1es:

d(zo, z1) = |zo − z1| = |zo − 0| = |zo| ≈ 4.47214 < 11

el polo se encuentra dentro de la curva de integracion. Para

calcular la integral requeriremos la formula de Cauchy:∮C

f dz =

∮C

1− 3 i+ z

z − zodz = 2π i [1− 3 i+ z]z=zo

Ası ∮C

f dz = 2π i (1− 3 i+ (4 + 3 i))

Los calculos se ilustran en la siguiente figura:

4. Calcule la integral ∮C

e−i z

3 + i+ zdz

donde C es el cırculo |z| = 10. Reporte el modulo del re-

sultado.

Solucion

El integrando se escribe como

f =e−i z

3 + i+ z=f1f2

Donde f1 = e−i z es entera y f2 = 3 + i+ z. Por tanto, los

unicos polos de f son los ceros del denominador f2:

f2 = 0→ zo = −3− i

1

Como la curva de integracion C es un cırculo con centro

en z1 = 0 y radio r = 10 y la distancia de zo a z1 es

d(zo, z1) = |z1 − zo| = | − 3− i| =√

4 ≈ 3.162

Entonces, el polo se encuentra dentro de C; por tanto, para

calcular la integral debemos usar la formula de Cauchy:∮C

e−i z

z − (−3− i)dz = 2π i [e−i,z]z=−3−i

Los calculos se ilustran en la siguiente figura. Los calculos

se ilustran en la siguiente figura:

Ma3002, Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos 3

5. Calcule la integral∮C

−4 i+ z

(−2 + 2 i+ z) (3 + i+ z)dz

donde C es el cırculo |z| = 3. Reporte el modulo del resul-

tado.

Solucion

Los polos de la expresion se obtienen de los ceros del de-

nominador:

(−2 + 2 i+ z) (3 + i+ z) = 0

lo cual da los valores:

z1 = −3− i y z2 = 2− 2 i

Como la curva de integracion es un cırculo con centro en

zo = con radio r = 2, vemos si estan en el interior de C:

d(z1, zo) = |z1 − zo| = |z1| ≈ 3.162 > 3

d(z2, zo) = |z2 − zo| = |z2| ≈ 2.828 < 3

Concluimos que solo z2 esta en el interior de C.

1

1

1

Entonces reescribimos el integrando original como

−4 i+ z

(−2 + 2 i+ z) (3 + i+ z)=

−4 i+z3+i+z

z − (2− 2 i)=f1f2

Ası f1 es analıtica en C y su interior. Podemos entonces

calcular la integral usando la formula de Cauchy:∮o

−4 i+z3+i+z

z − (2− 2 i)dz = 2π i

[−4 i+ z

3 + i+ z

]z=2−2 i

En la calculadora procedemos a capturar por separado nu-

merador y denominador. Asimismo calculamos los polos.

Cuando salen mas de una raız conviene manejarlos como

una tabla. Para ello el comando expIlist puede servir.

Observe como es utilizado en la figura.

El resultado de este comando es una matriz a una columna

y para disponer de sus elementos habra que seleccionar por

renglon y columna. Por ejemplo, para calcular los modulos

de los polos se procede como en la figura siguiente.

Para hacer el ultimo calculo, debemos quitar del denomi-

nador el factor z − z2 y el resultado debemos reunirlo con

el numerador. Evaluar la expresion resultante en z = z2 y

multiplicar por 2π i. Estos ultimos calculos se ilustran en

la siguiente figura.

6. Calcule la integral∮C

−1− 6 i+ i z

(−2 + 2 i+ z) (−1− 2 i+ z)dz

donde C es el cırculo |z| = 9. Reporte el modulo del resul-

tado.

Ma3002, Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos 4

Solucion

Siendo la funcion a integrar racional (es decir, el cociente

de dos polinomios) y la curva donde se integra una curva

cerrada simple, para poder utiizar el teorema de Chauchy,

debemos ver cuales de los polos (es decir, de los ceros del

denominador) estan dentro de C. Tomaremos el denomi-

nador y obtendremos sus raıces:

(−2 + 2 i+ z) · (−1− 2 i+ z) = 0

al estar igualdada a cero y teniendo factorizada la expre-

sion, las raıces seran las raıces de cada factor:

−2 + 2 i+ z = 0→ z1 = 2− 2 i

y

−1− 2 i+ z = 0→ z2 = 1 + 2 i

la curva donde se integra es una circunferencia con centro

en zo = 0 y con radio r = 9; para ver si alguna de las

raıces esta dentro de C, basta determinar la distancia al

centro y comparar contra el radio: como

|z1 − zo| = |2− 2 i− 0| = |2− 2 i| =√

8 < 9

por tanto, z1 esta en el interior de C. como

|z2 − zo| = |1 + 2 i− 0| = |1 + 2 i| =√

5 < 9

por tanto, ambas raıces esta en el interior de C. En esta

situacion tenemos tres alternativas posibles:

aplicar integracion numerica y obtener el resultado

por fuerza bruta usando una caculadora TI,

aplicar fracciones parciales para cambiar la expresion

a integrar por la suma de dos expresiones cada una

de ellas con un solo polo, o

cambiar a C por dos cırculos que no se traslapen, que

esten encerrados en C y donde cada uno encierre un

polo por separado.

Por fuerza bruta Limpiamos las variables de trabajo,

definimos la funcion a integrar, la parametrizacion de z y

tras de varios minutos y la senal de bateria baja obtene-

mos:

Por fracciones parciales Una de las ventajas y a la

vez desventajas de la calculadora es la forma como ope-

ra los numeros complejos: intenta escribirlos en su forma

rectangular (es decir, en una expresion donde este por se-

parado la parte real y la parte imaginaria). Por ejemplo,

en la siguiente figura se ilustra como opera con un binomio

al cuadrado. Si no esta explıcitamente declarado que tiene

el complejo i, la potencia no se desarrolla. Pero si aparece

i en el binomio, el producto se desarrolla.

En el caso de las fracciones donde aparece el complejo i

ocurre lo mismo.

Nos podemos imaginar que la TI es un animalito que se

pone muy impaciente cuando aparece i. En general, esto

es una ventaja. Pero hay muchas situaciones donde esta

impaciencia es negativa. Cuando se vea transformada de

Fourier y transformada Z se entedera esta desventaja. De

momento confie en que hay situaciones donde una expre-

sion tiene imaginarios en el denominador y conviene que

no quede en la forma rectangular. La pregunta es, ¿como

evitar que la calculadora TI la lleve a la forma rectangu-

lar? Como el algebra de complejos es el algebra tradicional

de expresiones donde i2 = −1, una alternativa es escon-

der el comportamiento de i. Esto lo lograremos usando la

Ma3002, Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos 5

variable i en lugar de i( i previamente limpiada) y sim-

plificando la expresion de manera tal que cada vez que

aparezca i2 pondremos −1. No se si sea la mejor solucion,

pero esto funciona. En la siguiente imagen se ilustra que

la expresion se reescribe usando i en lugar de i.

Posteriormente utilizamos el proceso de desarrollo en frac-

ciones parciales de una expresion:

Observe que es una expresion con un buen numero de

terminos. Lo que haremos ahora es seleccionar solo aque-

llas fracciones que tienen z − 2 i − 1 en el denominador:

limpiando la lınea de comando en la TI, subiremos a la

lınea superior que ilustra el resultado y daremos enter.

Ahora borraremos manualmente aquellas expresiones que

no contengan el denominador z − 2 i − 1 y salvaremos en

una nueva variables como se ilustra en la siguiente figura.

La fraccion donde aparece z−2 i−1 en el denominador pue-

de obtenerse de la siguiente manera: como lo que importa

son los coeficientes, nos quedaremos con ellos haciendo 1

la expresion z−2 i−1. Esto lo lograremos con el comando

que nos permite hacer reemplazos de expresiones. Esto se

ilustra en la siguiente figura.

Despues regresaremos nuestra variable i a ser de nuevo i:

Esto nos dice que ya temos una parte del desarrollo en

fracciones parciales:

f(z) =−1 + i

z − 2 i− 1+ · · ·

Para la parte que nos queda quitamos de la expresion desa-

rrollada la parte que llevamos:

Ma3002, Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos 6

cuando la invocamos nuestra expresion es solo una fraccion

con denominador z + 2 (i− 1):

Procedemos de nuevo a obtener su coeficiente:

Resumiendo, nuestra expresion original desarrollada en

fracciones parciales es:

f(z) =−1 + i

z − 2 i− 1+

1

z + 2 (i− 1)

Tenemos la obligacion cientıfica de verificar que este desa-

rrollo es efectivamente valido: en lugar de la variable i

pondremos i y compararemos con nuestro desarrollo como

se ilustra en la figura

Que obtengamos 0 significa que nuestro desarrollo en frac-

ciones parciales es correcto. Esto es la tecnica de fracciones

parciales con denominadores con polos complejos. Confie

en que vale la pena aprender hacer esto en su calculadora.

Continuemos con el proceso de integracion: nuestra inte-

gral original queda∮C

f(z) dz =

∮C

(−1 + i

z − 2 i− 1+

1

z + 2 (i− 1)

)dz

Como los polos estan en el interior de C por la formula de

Cauchy tenemos:∮C

−1 + i

z − 2 i− 1dz = 2π i [−1 + i]z=2 i+1 = −2π − 2π i∮

C

1

z − 2 i + 2dz = 2π i [1]z=2 i−2 = 2π i

Por lo tanto, ∮C

f(z) dz = −2π

Por el teorema de Cauchy-Goursat La siguiente

imagen describe la curva C y los polos del denominador

en el plano complejo.

C1

1

1−1

1

C1

C2

Notemos que C1 encierra al polo z1 = 2−2 i, mientras que

C2 encierra al polo z2 = 1 + 2 i. Observe que no especifi-

camos los radios de las curvas C1 y C2, pero imaginamos

que son lo suficientemente pequenos para que el segundo

polo no este dentro de la circuenferencia con centro en el

primero. Por medio del teorema de Cauchy-Goursat, cam-

biaremos la integracion sobre C por la integral sobre las

curvas C1 y C2:∮C

f(z) dz =

∮C1

f(z) dz +

∮C2

f(z) dz

Para hacer cada una de las integrales reescribiremos el

integrando de forma tal que en el denominador quede so-

lamente la expresion que tiene el polo dentro de la curva

Ma3002, Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos 7

(esto hara que la expresion racional en el numerador sea

una funcion analıtica en el disco al no tener su polo en tal

disco lo cual nos permitira usal el teorema de Cauchy en

el calculo de la integral):∮C1

f(z) dz =

∮C1

−1− 6 i + i z

(−2 + 2 i + z) (−1− 2 i + z)dz

=

∮C1

−1−6 i+i z−1−2 i+z

−2 + 2 i + zdz

= 2π i[−1−6 i+i z−1−2 i+z

]z=2−2 i

= 2π i

y por otro lado∮C2

f(z) dz =

∮C2

−1− 6 i + i z

(−2 + 2 i + z) (−1− 2 i + z)dz

=

∮C2

−1−6 i+i z−2+2 i+z

−1− 2 i + zdz

= 2π i[−1−6 i+i z−2+2 i+z

]z=1+2 i

= −2π − 2π i

Por lo tanto,∮C

f(z) dz = 2π i + (−2π − 2π i) = −2π

Observe que los tres calculos llevan al mismo resultado.

Aunque en el primero se debe descartar la pequenısima

parte imaginaria 4.5591×10−12. El procedimiento numeri-

co puede llevar a errores de calculo, por ello es que no es re-

comendable confiar plenamente en la integracion numerica

cuando se conocen y son relativamente faciles de usar las

tecnicas analıticas.

7. Calcule la integral∮C

9 + 3 i+ (1− 3 i) z

(−2 + 2 i+ z)2 dz

donde C es el cırculo |z| = 9. Reporte el modulo del resul-

tado.

Solucion

La raız del denominador se repite y es:

z1 = 2− 2 i

es decir, su multiplicidad es 2. Como la curva C donde se

integra es un cırculo con centro en zo = 0 y con radio 9 y

d(z1, zo) = |z1 − zo| = |z1| ≈ 2.828

tenemos que z1 esta en el interior de C.

21

Para calcular la integral debemos usar la formula de

Cauchy, si

f =9 + 3 i+ (1− 3 i) z

(−2 + 2 i+ z)2 =

f1(z − z1)2

entonces∮C

f dz =2π i

1!

[d

dz(f1)

]z=z1

= π (6 + 2 i)

8. Calcule la integral∮C

16 + 8 i+ (−4− 12 i) z + (−1 + 2 i) z2

(2 + z)3 dz

donde C es el cırculo |z| = 5. Reporte el modulo del resul-

tado.

Solucion

En nuestro caso la region de integracion es un cırculo con

centro en zo = 0 y de radio 5. Por otro lado, la funcion

Ma3002, Resultados sobre Integrales de Contorno en Variable Compleja, problemas resueltos 8

que se desea integrar es una funcion racional cuyo unico

polo

(2 + z)3 = 0→ z1 = −2

z1 = −2 tiene orden 3. Como la distancia de z1 a zo es me-

nor que el radio, z1 esta dentro de C. La grafica siguiente

describe la situacion.

C

31−1

1

De acuerdo con el teorema de Cauchy, si f(z) es analıtica

dentro de la curva cerrada y orientada positiva C entonces∮C

f(z)

(z − z1)n+1 dz =

2π i

n!

[dn

dznf(z)

]z=z1

ası ∮C

16+8 i+(−4−12 i) z+(−1+2 i) z2

(2+z)3dz =

2π i2!

[d2

dz

(16 + 8 i + (−4− 12 i) z + (−1 + 2 i) z2

)]z=−2

=

2π i (−1 + 2 i)