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  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 1

    GEOMETRA

    TRINGULOS

    1. DEFINICIN:SiA,B yCson tres puntos nocolinealesentonces la uninde lossegmentosAB ,BC y AC sedenominatringuloysedenotacomoABC.

    ABC AB BC AC D = /A,ByCsonpuntosnocolineales

    1.1. VrticesyLados

    Vrtices:Soncadaunode lospuntosA,ByC.

    Lados:Sonlossegmentos AB, BCyAC.

    1.2. ngulosdeunTringuloTodo tringulo determina tres ngulos.As el tringulo ABC determina losngulos ABC, BCA y BAC, los culesse denominan ngulos o ngulosinternosdeltringuloABC.

    Unnguloexternodeuntringuloeselnguloadyacenteysuplementariode un ngulo del tringulo, es decir es cada uno de los ngulos quedeterminaunparlinealconunngulointernodeltringulo

    Ejemplo: BCQ

    1.3. InterioryexteriordeuntringuloEl interior de un tringulo es el conjunto de todos los puntos que soninteriores a cada uno de los ngulos del tringulo. El exterior de untringuloeselconjuntodetodoslospuntosquenoestnnieneltringuloniensuinterior.

    A C

    B

    AC

    B

    Q

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 2

    1.4. PermetrodeltringuloEslasumadelaslongitudesdelostresladosdeltringuloyesdenotadacomo2p.

    2p=a+b+c

    Elsemipermetroesdenotadacomopyesiguala

    a b cp

    2 + +

    =

    2. CLASIFICACINDELOSTRINGULOS

    2.1. SegnsusladosTringuloequilterosisustresladossoncongruentes.Tringuloisscelessislotienedosladoscongruentes.Tringuloescalenosiningnpardesusladossoncongruentes.

    2.2. SegnsusngulosTringulorectngulo,sitieneunngulorecto.Tringulooblicungulo,sinotieneunngulorecto.Si los tres ngulosson agudos, se llama tringulo acutngulo, si unodesusngulosesobtuso,sellamatringuloobtusngulo.

    A C

    B

    c a

    b

    Tringuloequiltero

    Tringuloissceles

    Tringuloescaleno

    Tringuloacutngulo

    Tringulorectngulo

    Tringuloobtusngulo

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 3

    3. LNEASNOTABLES

    3.1Al turaSegmento perpendicular a un lado del tringulo trazado desde el vrtice

    opuestohasta larectaquecontieneadicho lado.ElOrtocentroeselpuntodeinterseccindelasalturas(odesusprolongaciones)deuntringulo.

    3.2. MedianaSegmentocuyosextremossonunvrticedeltringuloyelpuntomediodellado opuesto. Se denomina Baricentro al punto de interseccin de lasmedianasdeuntringulo.

    M:PuntomediodeAC .BM : medianarelativa

    allado AC .

    3.3. MediatrizRecta perpendicular a un lado del tringulo en su punto medio. SedenominaCircuncentroalpuntodeinterseccindelasmediatricesdelosladosdeuntringulo.

    M:PuntomediodeAC . L :mediatrizdellado AC .

    3.4. BisectrizinteriorSegmentodeunabisectrizdeunngulodeun tringulo, cuyosextremosson el vrtice del ngulo y un punto del lado opuesto. Se denominaIncentro al, punto de interseccin de las bisectrices interiores de untriangulo.

    BH: alturarelativaalladoAC.

    A CH

    B

    A

    B

    CH

    M

    B

    CA

    L B

    CAM

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 4

    BD : bisectrizinteriorrelativaalladoAC .

    3.5. BisectrizexteriorSegmento de una bisectriz de un ngulo externo de un tringulo cuyosextremossonelvrticedelnguloy unpuntode la rectaquecontieneallado opuesto. Se denomina Excentro al punto de interseccin de lasbisectricesdedosngulosexternosyunngulointernomideuntringulo.

    BE : bisectrizexteriorrelativaaAC .

    3. TEOREMASFUNDAMENTALES

    3.1. TeoremadeladesigualdadtriangularEn todo tringulo la longitud de un lado es menor que la suma de laslongitudesdelosotrosdoslados.

    a

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 5

    3.2. TeoremadecorrespondenciaEn todo tringulo al lado demayor longitud le corresponde el ngulo demayormedida.Elreciprocodesteteoremaesverdadero.

    a>c >

    3.3. TeoremadelasumadelasmedidasdelosngulosinternosLa sumade lasmedidas de los tres ngulos internos de un tringulo es180.

    180 a + b + q =

    3.4. TeoremadelnguloexternoLamedidadeunnguloexternodeuntringuloesigualalasumadelasmedidasdelosngulosinternosnoadyacentesalnguloexterno.

    q = a + b

    3.5. TeoremadelasumadelasmedidasdelosngulosexternosEn todo tringulo la suma de las medidas de los ngulos externosconsideradosunoporvrticees360.

    360 a + b + q =

    a

    B

    CA

    ac

    b

    a

    B

    CA q

    b

    a

    B

    CA

    q

    b

    a

    B

    CA q

    b

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 6

    CONGRUENCIADETRINGULOS

    Dos figurassoncongruentessitienenlamismaformayelmismotamao.Enelcasodelostringulossetienelasiguientedefinicin.

    1. DEFINICIN:Dos tringulos son congruentes si sus lados y ngulos son respectivamentecongruentes, de tal modo que a lados congruentes le correspondan nguloscongruentesyviceversa.

    EnlafiguralostringulosABCyDEFsoncongruentes,locualsedenotacomo:

    ABC DEF D @ D

    yseleetringuloABCcongruenteconeltringuloDEF.AB DE A D

    ABC DEF BC EF B E

    AC DF C F

    @ @

    D @ D @ @

    @ @

    Estanotacinnosoloexpresalacongruenciadelostringulossinoademscules la congruencia. Es decir, el orden de los vrtices establece unacorrespondenciaentreellos:A D B E y C F Deahqueesposibleestablecerunacorrespondenciaentresuslados.AB DE, BC EF y AC DF yentresusngulosinternosA D, B E y C F

    OBSERVACIONES:

    a) Si ABC DEF D @ D ,entonces ACB DFE D @ D .b) Si ABC DEF D @ D ,esfalsoque ABC DFE D @ D .c) La congruencia de tringulos es una relacin reflexiva, simtrica y

    transitiva.

    E

    D F

    c

    b

    a

    B

    A C

    c

    b

    a

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 7

    2. POSTULADOYTEOREMASDELACONGRUENCIAParadeterminarlacongruenciadedostringulossloesnecesarioestablecerlacongruenciadetreselementosloscualesdebenestarenunordendeterminadoy por lo menos uno de ellos tiene que ser un lado. Se presenta el siguientepostulado.

    2.1. Postulado (congruencia LAL): Si dos tringulos tienen ordenadamentecongruentesdosladosyelngulocomprendidoentrelosdoslados,entonceslostringulossoncongruentes.

    Si:

    AB DE

    A D BAC EDF

    AC DF

    @

    @ D @ D @

    2.2. Teorema (congruencia ALA): Si dos tringulos tienen ordenadamentecongruentes un lado y los ngulos adyacentes a este lado, entonces lostringulossoncongruentes.

    Si:A D

    AC DF ACB DFE

    C F

    @

    @ D @ D @

    b

    a

    E

    D Fb

    B

    A C

    a

    b

    B

    A C

    E

    D Fb

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 8

    DEMOSTRACIN:

    . Supongamosque AB @ DE.

    . SiAB>DE,seaQ AB talqueAQ DE @ .

    . QAC EDF D @ D (LAL)m QCA m EFD = = b

    . Estocontradiceelpostuladodelaconstruccindeunngulo,entoncesABnoesmayorqueDE

    . SiAB

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 9

    DEMOSTRACIN:

    . Por el postulado de la construccin de un nguloAG /m HAC m EDF $ = = q uuur

    .. SeaH AG / AH DE @

    uuur

    CAH FDE D @ D CH EF @

    . LostringulosBAHyBCHsonissceles m ABC m AHC =

    . AHC ABC D @ D

    ABC DEF \ D @ D

    2.4. Corolario(congruenciaLLA)Sidostringulostienenordenadamentecongruentesdosladosyelnguloopuesto al mayor de stos dos lados, entonces los tringulos soncongruentes.

    B

    A C

    H

    G

    q

    c

    c

    b

    a

    a

    b

    E

    D F q

    c a

    E

    D F

    ac

    B

    A C

    ac

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 10

    SiAB DE

    BC EF ABC DEFBC AB

    A D

    @ @ D @ D

    > @

    DEMOSTRACIN:

    . DEF : D a > b

    . Supongamosque AC @ DE

    . Si AC DF < ,seaQ DF talque AC DQ @

    . ( ) BAC EDQ LAL D @ D BC EQ =

    . QEF D isscelesm EQF = b

    . DEF D pornguloexterior b > a

    . Locualesunaconcentracinconlaprimeraafirmacin.

    . SiAC>DF,prosiguiendodelamismamaneraeneltringuloABCsellegaalamismacontradiccin.

    . Porlotanto AC DE @ .

    . PorelcasoLLLABC DEF D @ D

    E

    D F a

    Q

    b b

    a Q

    b

    cc

    b

    B

    A C a

    a

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 11

    3.APLICACIONESDELACONGRUENCIADETRINGULOS

    3.1 TeoremadelaMediatrizTodo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos delsegmento.

    DEMOSTRACIN

    L:mediatrizdeAB y P L " PDQAP=PB

    AMP BMP(LAL) AP=PB

    3.2. TeoremaEntodotringuloissceleslaalturarelativaalabase,estambinuna medianayuna bisectrizinterior.

    DEMOSTRACIN

    ABC D isscelesdebase ACyBHalturarelativaalabaseAC

    PDQ BH :medianaybisectrizinterior.

    AHB CHB(congruenciaLLAM) AH=HC(BHmediana)y

    mABH=mCBH(BHbisectrizinterior)

    3.3. TeoremadelabisectrizTodopuntodeunabisectrizdeunnguloequidistadelosladosdelngulo.

    DEMOSTRACIN

    OP bisectrizdel AOB yPOP

    PDQ AP=PB

    OQA OBQ(congruenciaALA) QA=QB

    A C

    a

    B

    a

    H

    M l l A B

    P

    L

    a a

    aa

    l l

    OQa

    l

    l

    90 a 90 a

    A

    B

    P a a

  • ADMISIN 2011-2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS

    CEPRE-UNI GEOMETRA 12

    3.4. TeoremadelospuntosmediosTodarectatrazadaporelpuntomediodeunladodeuntringuloparalelaaotrolado,intersectaaltercerladoensupuntomedio.

    DEMOSTRACIN

    BM=MAy L//AC PDQ BN=NC

    Sea CQ MB m AMC=mMCQy

    mQMC=mMCAMAC CQB(congruenciaALA)

    AM=QC MNB QNC(congruenciaALA)

    BN=NC