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Lógica IIEQUIVALENCIAS E IMPLICACIONES NOTABLES. DEDUCCIÓN NATURAL.

LÓGICA E INFORMÁTICADOCENTE: ENRIQUE SARANGO ZÁRATE

TAUTOLOGÍAS NOTABLES Son las fórmulas lógicas que al ser sometidas a las tablas de verdad resultan ser tautológicas. Son de dos tipos: las equivalencias notables y las implicaciones notables.

1. EQUIVALENCIAS NOTABLES Son reglas lógicas a través de las cuales se reemplaza una fórmula por otra. Estas tautologías se utilizan para reducir expresiones de un lenguaje formalizado a otro.

Equivalencias notables Idempotencia

(p Λ p) ↔ p (p v p) ↔ p

DOCENTE: Enrique Sarango Zárate

LAS EQUIVALENCIAS NOTABLES Conmutatividad

(p Λ q) ↔ (q Λ p)

(p v q) ↔ (q v p) Asociación

[p Λ (q Λ r)] ↔ [(p Λ q) Λ r] [p v (q v r)] ↔ [(p v q) v r]


LAS EQUIVALENCIAS NOTABLES Distribución

[p Λ (q v r)] ↔ [(p Λ q) v (p Λ r)] [p v (q Λ r)] ↔ [(p v q) Λ (p v r)]

De Morgan ~(p Λ q) ↔ (~p v ~q)

~(p v q) ↔ (~p Λ ~q) Definición de condicional

(p → q) ↔ (~p v q) // (p → q) ↔ ~(p Λ ~q)


LAS EQUIVALENCIAS NOTABLES Definición de bicondicional

(p ↔ q) ↔ [(p → q) Λ (q → p)] (p ↔ q) ↔ [(p Λ q) v (~p Λ ~q)]

Transposición (p → q) ↔ (~q → ~p)

Absorción [(p Λ q) v p] ↔ p / [(p v q) Λ p] ↔ p


IMPLICACIONES NOTABLES Las implicaciones son tautologías donde las premisas implican a la conclusión. Es decir, el consecuente (conclusión) es derivado del antecedente (premisas) porque se encuentra contenido en este.

Modus Ponens Si en una estructura de fórmula condicional el antecedente es verdadero, por lo tanto, el consecuente también será verdadero.

Ejemplo: Si la matemática es una ciencia formal, entonces usa símbolos. La matemática usa símbolos. Por lo tanto, es una ciencia formal.

p → q p __________ /q


IMPLICACIONES NOTABLES Modus Tollens Si en una estructura de fórmula condicional el consecuente es falso, por lo tanto, el antecedente también será falso.

Ejemplo: Si hay luz solar, entonces es de día. No es de día. Por lo tanto no hay luz solar. p → q ~q ____________ / ~p


IMPLICACIONES NOTABLES Silogismo Hipotético Si de dos estructuras de fórmulas condicionales, se tiene que de la primera fórmula

condicional su consecuente es el antecedente de la segunda fórmula condicional. Se obtiene como conclusión una fórmula condicional formada por el antecedente de la primera fórmula condicional y el consecuente de la segunda fórmula condicional.

Ejemplo: Si estudio, entonces puedo resolver el examen. Puedo resolver el examen, entonces ingresaré a la universidad. Por lo tanto, Si estudio entonces ingresaré a la universidad. p → q

q → r ________ / p → r


IMPLICACIONES NOTABLES Silogismo Disyuntivo De una estructura de fórmula disyuntiva, por la negación de una de sus variables se obtiene la afirmación de la otra variable.

Ejemplo: La física es una ciencia formal o fáctica. No es una ciencia formal. Por lo tanto, la física es una ciencia fáctica.

p v q ~p ____________ / q


IMPLICACIONES NOTABLES Simplificación De una estructura de fórmula conjuntiva, se concluye una de sus variables. Ejemplo: Leibniz inventó el cálculo infinitesimal y fue filósofo. Entonces, Leibniz fue filósofo.

p Λ q _________ / q


IMPLICACIONES NOTABLES Adición De una variable se obtiene una formula disyuntiva con cualquier variable o con

cualquier fórmula lógica que se le adicione. Ejemplo: La matemática es una ciencia formal. Entonces, la matemática es una

ciencia formal o Newton fue un físico. p ________ / p v q


IMPLICACIONES NOTABLES Conjunción o adjunción De dos variables o premisas se puede obtener la conjunción entre estas. Ejemplo: La teoría de la oxidación fue creada por Lavoisier. Pasteur inventó la vacuna. Por lo tanto, La teoría de la oxidación fue creada por Lavoisier y Pasteur inventó la vacuna.

p q _______ / p Λ q


INFERENCIAS Es un razonamiento que procede como regla y permite llegar a la verdad de una proposición, es decir, a una conclusión muy particular y específica que se obtiene a través de conocimientos dados mediante premisas. Ejemplo:

Si el cielo está nublado, tendremos frio Premisa Si tenemos frio, nos abrigaremos Premisa No es cierto que estemos abrigados Premisa _________________________________ Por lo tanto, no es cierto que el cielo este nublado Conclusión


DEDUCCIÓN NATURALEs un método que sirve para la evaluación de inferencias y procede por transformaciones de las fórmulas aplicando a las premisas las equivalencias e implicaciones notables. De acuerdo con el método de la deducción natural, para mostrar que la conclusión de una inferencia se sigue lógicamente de las premisas, es preciso indicar las reglas de inferencia válidas elementales que conducen de las premisas a la conclusión.

En 1934 Gerahrd Gentzen, lógico y matemático alemán,

fue quien sostuvo este proceso de inferencias denominado Deducción natural.


PASOS PARA EL PROCESO DERIVATIVO DE UNA INFERENCIA

A cada proposición dada en lenguaje natural se le asigna una variable proposicional, para pasarla al lenguaje formal.

1. Si Juan termina su tarea temprano, entonces irá al cine. p → s 2. Si Juan no termina su tarea temprano, entonces no se sentirá contento. ~ p → ~r 3. Juan se siente contento. r Por lo tanto, irá al cine. s


PASOS PARA EL PROCESO DERIVATIVO DE UNA

INFERENCIA Una vez simbolizadas las premisas y la conclusión se procede a enumerarlas en forma vertical y se escribe la conclusión a continuación de la última premisa en el mismo renglón. Entre la última premisa y la conclusión se escribe una barra separatoria ‘/’ seguida del símbolo ‘…’ que se lee ‘por lo tanto’ o ‘en conclusión’.

1. p → s 2. ~ p → ~r 3. r / s


PASOS PARA EL PROCESO DERIVATIVO DE UNA

INFERENCIA Ordenadas las premisas en lenguaje formal, se procede a realizar las derivaciones. Para ello se toma como punto de partida cualquiera de las premisas. Pero siempre indicando a la derecha qué premisas y mediante qué regla se ha obtenido la nueva expresión.

4. p Modus Tollens de 2 y 3. 5. s Modus Ponens de 1 y 4.


MODALIDADES DE LA DEDUCCIÓN NATURAL

1. Prueba directa (PD) Es una de las más importantes, para esta oportunidad nos encargaremos solo de ella; no obstante, cabe señalar que también hay prueba condicional y reducción al absurdo.

Sea la siguiente inferencia: “No es verdad que estudias y trabajas. Si tienes dinero, entonces trabajas. Luego, si estudias entonces no tienes dinero”.

Primer paso: Hallar la forma lógica de la inferencia. 1. No es verdad que estudias y trabajas 2. Si tienes dinero, entonces trabajas

Luego, si estudias entonces no tienes dinero.



Segundo paso: Una vez que se halla la inferencia, se procede a pasar del lenguaje natural al lenguaje formal.

1. No es verdad que estudias y trabajas ~(p Λ q) 2. Si tienes dinero, entonces trabajas r → q Luego, si estudias entonces no tienes dinero. p → ~r Tercer paso: Se ordenan las proposiciones que han sido formalizadas. 1. ~(p Λ q) 2. r → q / p → ~r



Cuarto paso: Se procede con las derivaciones. 3. ~p V ~q De Morgan en 1 4. p → ~q Def. de condicional en 3 5. ~q → ~r Transposición de 2 6. p → ~r Silogismo hipotético de 4 y 5 Una vez obtenida la conclusión, se afirma que la inferencia original es válida.


LÓGICA E INFÓRMATICA La Lógica es una de las ciencias básicas vinculadas con la Informática. La Lógica investiga la estructura (forma) de la información y permite examinar la consistencia de los lenguajes de programación. La validez de la sintaxis de un lenguaje informático es una de las condiciones indispensables para su aplicación.

Ejemplo: El bit y sus múltiples byte, kb, etc., son sistemas de medidas de información que pueden ser introducidos en una computadora para que estos sean procesados correctamente. La información que contenga los bits, bytes, kbs, etc., no representa por sí misma información científica. La secuencia de 0 y 1 no es por sí mismo conocimiento, pero lo es cuando son “traducidos” a un ordenador. La información científica no es medible por los bits, pero los bits sirven para poder ingresar información y después medirla con otros procedimientos como el de las implicaciones notables.


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