capítulo ii planimetria 1. introdução um alinhamento topográfico

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  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    8

    Captulo II

    PLANIMETRIA

    1. Introduo

    Um alinhamento topogrfico um segmento de reta materializado por dois pontos nos seus

    extremos. Tem extenso, sentido e orientao.

    Por exemplo:

    Figura 2.1

    Orientao: 45

    Sentido: de A para B.

    Extenso: x metros.

    2. Definio de Rumo, Azimute e ngulo interno

    Rumo o menor ngulo formado entre a linha Norte-Sul e o alinhamento em questo. O

    Rumo varia de 0 a 90 e necessita a indicao do quadrante em que se encontra o alinhamento (Fig.

    2.2).

    Figura 2.2

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    9

    Considerando-se a Fig. 2.3, por exemplo:

    Figura 2.3

    ROA = 35 NE

    ROB = 35 SE

    ROC = 70 SW

    ROD = 20 NW

    Azimute o ngulo formado entre o Norte e o alinhamento em questo. medido a partir do

    Norte, no sentido horrio, podendo variar de 0 a 360.

    Considerando-se a Fig. 2.4, por exemplo:

    Figura 2.4

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    10

    AzOA = 35

    AzOB = 145

    AzOC = 250

    AzOD = 340

    Converso de Rumo em Azimute e vice-versa

    Quadrante NE: Az = 180 R = Az

    Quadrante SE: Az = 180 - R R = 180 - Az

    Quadrante SW: Az = 180 + R R = Az - 180

    Quadrante NW: Az = 360 - R R = 360 - Az

    A seqncia apresentada na Fig. 2.5, mostra o rumo e o azimute nos diversos quadrantes.

    Figura 2.5

    Rumos e azimutes, magnticos e verdadeiros

    At o momento, ao falar em rumos e azimutes no foi especificado a sua referncia, a partir

    do Norte verdadeiro ou magntico. Quando o azimute medido a partir da linha Norte-Sul verdadeira

    ou geogrfica, o azimute verdadeiro; quando medido a partir da linha Norte-Sul magntica, o

    azimute magntico. O mesmo se d para os rumos.

    A diferena angular entre o Norte verdadeiro e o Norte magntico a Declinao magntica

    local. A declinao magntica sempre medida do Norte verdadeiro para o magntico.

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    11

    As agulhas imantadas colocadas em bssolas fornecem os azimutes magnticos; para

    transform-los em verdadeiros necessrio que se conhea a declinao magntica local e fazer a

    transformao adequada.

    A posio do Norte verdadeiro pode ser conhecida, diretamente, atravs de observaes aos

    astros (sol e estrelas), obtendo-se assim o azimute verdadeiro.

    A declinao magntica pode variar em funo dos fatores tempo e lugar. Os tipos de

    variao so:

    Variao geogrfica: numa mesma poca, cada local apresenta um determinado valor para a

    declinao. Os pontos da Terra que, num dado instante, tem o mesmo valor de declinao,

    quando ligados por linhas imaginrias, formam as linhas isognicas.

    Variao secular: com o decorrer dos sculos, o plo norte magntico caminha em torno do

    plo norte verdadeiro, havendo grandes alteraes no valor da declinao em um lugar,

    mudando inclusive de sentido (de E para W, por ex.).

    Variao anual: esta variao no bem definida e sua distribuio no uniforme pelos

    meses do ano, sendo pequena e sem importncia para trabalhos topogrficos comuns. As linhas

    que unem locais de mesma varaiao annual da declinao so ditas isopricas.

    Sabendo-se disto, quando se vo utilizar azimutes magnticos de antigos levantamentos,

    devem-se reajustar os seus valores para a poca atual. Este procedimento chamado de

    reaviventao de rumos e azimutes.

    Figura 2.6

    AzBC = AzAB + DAbd (2.1)

    AzCD = AzBC DBce (2.2)

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    12

    Azn = Azn-1 Dde (2.3)

    ngulo Interno o ngulo formado por dois alinhamentos consecutivos de um polgono, sempre medido no sentido horrio e tomado internamente.

    POLIGONAL FECHADA:

    Figura 2.7

    Ai = (n 2).180 (2.4)

    POLIGONAL ABERTA:

    Caminhamento esquerda ou no sentido horrio

    Figura 2.8

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    Az23 = Az12 Ai2 + 180

    Az34 = Az23 Ai3 + 180

    Caminhamento direita ou no sentido anti-horrio

    Figura 2.9

    Az23 = Az12 + Ai2 - 180

    Az34 = Az23 + Ai3 - 180

    Generalizando tem-se a Frmula geral dos azimutes:

    Azn = Azn -1 Ai 180 (2.5)

    onde:

    Azn o azimute do alinhamento;

    Azn-1 o azimute do alinhamento anterior; e

    Ai o ngulo horizontal interno.

    Se o caminhamento na poligonal for direita ou no sentido anti-horrio, soma-se o valor do

    ngulo interno ao azimute do alinhamento anterior (Azn -1 + Ai); se o caminhamento na poligonal for

    esquerda ou no sentido horrio, subtrai-se o valor do ngulo interno do azimute do alinhamento

    anterior (Azn -1 - Ai).

    Se (Azn-1 Ai) > 180 , subtrai-se 180; se (Azn-1 Ai) < 180 , soma-se 180.

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    3. Medidas de distncias: mtodos e instrumentos (analgicos e eletrnicos)

    A medida entre dois pontos, em topografia, corresponde medida da distncia horizontal

    entre esses dois pontos, mesmo que o terreno seja inclinado.

    A medio de uma distncia pode ser efetuada por processo direto, por processo indireto ou,

    por processos eletrnicos, sendo este ltimo o mais moderno e mais preciso.

    3.1. Medida direta de distncias

    A determinao da extenso de um alinhamento pode ser feita por medida direta quando o

    instrumento aplicado no terreno ao longo do alinhamento.

    Instrumentos

    Os instrumentos destinados para a medida direta so genericamente denominados de

    diastmetros. Entre os principais tm-se:

    (a) Corrente de agrimensor: composta de barras de ferro ligadas por elos, dois em cada

    extremidade, para facilitar a articulao; cada barra, com um elo de cada lado, mede 20 cm e a

    corrente toda de 20 m. De metro em metro, encontra-se presa uma medalha onde se acha gravado

    o n de metros desde o incio da corrente. Nas extremidades da corrente existem as manoplas, as

    quais permitem a extenso para eliminar a catenria (curvatura que o peso da prpria corrente

    ocasiona).

    Atualmente se encontra em desuso devido pouca preciso e praticidade.

    (b) Trena de ao: uma fita de ao graduada em centmetros, enrolada no interior de uma

    caixa atravs de uma manivela. Geralmente o primeiro decmetro milimetrado, para medidas de

    maior preciso. Ocorrem em comprimentos variados, at 50 m, sendo mais comuns as de 20 e 30 m.

    Apesar de apresentar boa preciso nas medidas, a trena de ao muito pouco prtica no uso

    comum. Pode sofrer influncia da variao de temperatura (dilatao e contrao do ao); parte-se

    facilmente; pode enferrujar-se rapidamente, necessitando ao final de cada dia de trabalho, limp-la

    com querosene e besunt-la com vaselina; e no pode ser arrastada pelo solo, pois gastar a

    gravao dos nmeros e dos traos que constituem sua marcao.

    (c) Fita de ao: so tambm trenas de ao, porm so enroladas em crculos descobertos

    munidos de um cabo de madeira. No so gravadas de ponta a ponta, apenas o primeiro e o ltimo

    decmetro so milimetrados, a parte intermediria marcada a cada 50 cm, tendo nos metros inteiros

    uma chapinha com o nmero.

    So mais rsticas que as trenas, permitindo serem arrastadas pelo solo sem maiores

    prejuzos.

    (d) Trena plstica: so fitas plsticas reforadas com fibra de vidro. Tem diversos

    comprimentos, sendo que a mais utilizada a de 20 m. So normalmente prticas e apresentam uma

    preciso razovel, o que as torna intensamente utilizadas.

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    Acessrios

    Existe uma srie de acessrios utilizados na medida direta de distncia, dentre os quais se

    apresentam os principais:

    (a) Baliza: vara de ferro ou madeira, de 2 m de comprimento, pintadas geralmente de branco

    e vermelho. Tem a funo de destacar o ponto sobre o terreno. A sua extremidade inferior tem forma

    cnica, para facilitar sua fixao no terreno.

    A verticalidade da baliza muito importante, podendo vir acompanhada de um nvel de bolha.

    (b) Fichas: pequenas barras de ferro ( 30 cm), pontiagudas em uma das extremidades e

    com alas na outra, para serem cravadas no solo. So utilizadas para controle do nmero de vezes

    que o diastmetro aplicado para a obteno da medida de uma grandeza.

    So normalmente compostas por grupos de 10 fichas, presas a uma argola.

    (c) Piquetes e estacas: peas de madeira que so cravadas no terreno para a determinao

    dos pontos. O piquete, geralmente com 20 cm, cravado na posio do ponto visado, enquanto que

    a estaca, com aproximadamente 40 cm, cravada a aproximadamente 50 cm do piquete, para

    facilitar a localizao deste.

    (d) Dinammetro: aparelho destinado a medir as tenses aplicadas s trenas, para correo

    dos valores obtidos, nas medidas de maior preciso.

    (e) Termmetro: para medir a temperatura no momento da medio, para efetuar correes

    nas medidas de preciso.

    Execuo da medida

    Seja, por exemplo, medir o comprimento horizontal do alinhamento AB, com um diastmetro e

    cujo perfil est representado na Fig. 2.10.

    Figura 2.10

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    Com o teodolito instalado e calado no ponto A (o teodolito opcional, pode ser posta apenas

    uma baliza), colima-se uma baliza posta sobre o ponto B. O balizeiro de r segura a graduao zero

    da trena sobre o ponto A e o balizeiro de vante caminha segurando a outra extremidade da trena e

    uma baliza, at que a trena fique estendida. Neste momento, o operador do instrumento indica se o

    balizeiro de vante deve deslocar a baliza para a esquerda ou direita, a fim da linha de visada coincidir

    com o eixo da baliza. Estabelecida a posio correta da baliza na direo AB, a graduao zero da

    trena mantida firme no ponto A e a graduao 20 m encostada na baliza, estando a trena na

    horizontal e bem esticada, para diminuir ao mximo a catenria; e assinala-se no terreno o ponto 1,

    com uma ficha; deste modo estar medido um trecho de 20 m.

    O balizeiro de r segue para o ponto 1 com o zero da graduao da trena, e o balizeiro de

    vante, caminha na direo do ponto B, com a outra extremidade da trena e a baliza, para efetuar a

    medida do trecho 12, de modo idntico ao anterior. Procede-se da mesma forma na medida do trecho

    23, com uma trenada de 20 m.

    Quando o terreno fortemente inclinado, como no trecho 35, reduz-se a extenso da trena e

    completa-se a medio.

    A DHAB ser: 3.20 + 2.10 + 8,2 = 88,2 m.

    3.2. Medida indireta de distncias

    O processo de medida indireto quando a distncia obtida em funo da medida de outras

    grandezas, no havendo, portanto, necessidade de percorrer a distncia.

    A medida indireta das distncias baseada na resoluo de tringulos issceles ou

    retngulos.

    A taqueometria, do grego takhys (rpido), metren (medio), compreende uma srie de

    operaes que constituem um processo rpido e econmico para a obteno indireta da distncia

    horizontal e diferena de nvel.

    Instrumentos

    O instrumento utilizado so os teodolitos providos de fios estadimtricos, que alm de medir

    ngulos, acumulam tambm a propriedade de medir ticamente as distncias horizontais e verticais.

    O instrumento empregado fornece os dados referentes s leituras processadas na mira com

    auxlio dos fios estadimtricos, bem como o ngulo de inclinao do terreno lido, no limbo vertical do

    aparelho.

    Se observarmos um teodolito, atravs da ocular, veremos uma srie de fios paralelos e

    perpendiculares entre si, como pode ser visto na Fig. 2.11.

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    Figura 2.11

    As miras so rguas de madeira ou metal usadas no nivelamento para determinao de

    distncias verticais, medidas entre a projeo do trao do retculo horizontal da luneta na mira e o

    ponto do terreno onde a mira est instalada.

    As miras mais utilizadas so as miras falantes. Geralmente apresentam 4 metros de

    comprimento, sendo graduadas em centmetros. Os centmetros so pintados alternadamente em

    preto e branco, os decmetros numerados em preto e os metros assinalados por crculos pintados em

    preto ou vermelho.

    As miras normalmente so de encaixe. So constitudas de trs peas, encaixadas a primeira

    dentro da segunda e esta na terceira. Um dispositivo com mola fixa uma pea na outra quando a

    mira est completamente distendida, de maneira que a graduao de uma seja a continuao de

    outra.

    Existem miras com graduao direta e graduao indireta, para leitura com instrumentos de

    luneta de imagem direta ou indireta, respectivamente.

    Algumas miras vm acompanhadas de nvel esfrico, que auxiliam na tarefa de mant-las

    verticalizadas (Fig. 2.12).

    A leitura na mira constituda de um nmero de quatro casas decimais (metro, decmetro,

    centmetro e milmetro por estimativa). O ponto indica o nmero de metros; o algarismo o nmero de

    decmetros; os traos pretos e brancos alternados, o nmero de centmetros e o nmero de

    milmetros so estimados.

    Princpio da estadimetria

    Pode-se analisar o que se passa na luneta com as linhas de vista inicialmente com a luneta

    em posio horizontal, conforme pode ser visto na Fig. 2.13.

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    Figura 2.12

    Figura 2.13

    onde:

    P a vista do observador;

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    C o eixo vertical do instrumento;

    F o foco do sistema;

    O-O a ocular da luneta;

    O -O a objetiva da luneta;

    A o ponto estao;

    B o ponto onde est a mira;

    c a distncia entre o eixo vertical do instrumento e a objetiva;

    f a distncia focal;

    S distncia entre o foco e a mira; e

    D a distncia entre os pontos A e B.

    Baseando-se na semelhana dos tringulos OOI e LsLiF:

    S / f = LsLi / OO (2.6)

    Podendo-se dizer:

    OO = ab = distncia entre os dois retculos, que chamamos de intervalo i. Em Ls feita a

    leitura superior da mira e em Li feita a leitura inferior. A diferena de leitura Ls - Li nos d o intervalo

    de leitura de mira ou nmero gerador (I), portanto:

    S / f = I / i S = I.(f / i) (2.7)

    Mas quer-se obter D; a distncia entre as estacas A e B, sendo D = S + f + C, portanto:

    D = I.(f / i) + (f + C) (2.8)

    a relao f / i chamada de constante multiplicativa e (f + C) chamada de constante aditiva.

    Nos teodolitos atuais a constante multiplicativa igual a 100, para facilitar os clculos.

    Nos teodolitos antigos, as medidas eram efetuadas a partir da objetiva (teodolitos no

    analticos). Para se obter a medida a partir do centro tico da luneta era necessrio adicionar a

    distncia entre a objetiva e o centro tico da luneta, denominada constante aditiva. Nos teodolitos

    atuais (teodolitos analticos) o ngulo diastimomtrico (ngulo formado entre o foco da objetiva e os

    fios estadimtricos) forma-se no centro tico da luneta, fazendo com que a constante aditiva seja

    igual a zero.

    Ento, a frmula para o clculo da distncia entre os dois pontos, isto , o ponto onde est o

    teodolito e o ponto onde est a mira verticalizada, desde que a luneta esteja em posio horizontal,

    igual ao intervalo de leituras da mira (I) multiplicado pela constante multiplicativa:

    D = I.100 (2.9)

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    20

    Na Fig. 2.14 observa-se linha de vista central inclinanda com um ngulo qualquer ().

    Ainda, por semelhana de tringulos tem-se:

    S / f = LsLi / I (2.10)

    Portanto,

    S = LsLi.(f / i) (2.11)

    A distncia D = S + f + C, portanto,

    D = LsLi .(f / i) + (f + C) (2.12)

    Figura 2.14

    Porm, no se conhece a distncia LsLi j que a mira colocada na posio vertical e LsLi,

    imaginariamente, seria obtida se a mira fosse colocada inclinada perpendicularmente a linha de vista

    central CM. Relacionando LsLi com LsLi, pode-se dizer que a reta LsLi perpendicular linha de

    vista central e logicamente os ngulos e so diferentes do ngulo reto, j que as linhas de vista

    superior e inferior no so paralelas linha de vista central.

    Mas suponha-se que e = 90, tem-se:

    LsM = LsM.cos (2.13)

    e

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    LiM = LiM.cos (2.14)

    Resolvendo:

    LsM + LiM = (LsM + LiM).cos (2.15)

    Portanto, LsLi = LsLi .cos , mas LsLi = I que o intervalo de leituras de mira, assim:

    LsLi = I.cos ; logo,

    D = I.(f / i).cos + (f + C) (2.16)

    Assim, a distncia horizontal, DH = D . cos , substituindo, tem-se:

    DH = I.(f / i).cos2 + (f + C) .cos (2.17)

    Voltando-se, agora, a analisar a suposio de e serem igualados a 90. Realmente no

    so, porm a diferena desprezvel. um pouco maior que 90 e um pouco menor. Faz-se =

    90 + e e = 90 - e , sendo e a diferena para 90. Dos tringulos LsLsM e LiLiM:

    LsM / LsM = sen 90 + e / sen [90 - ( + e)] (2.18)

    LiM / LiM = sen 90 - e / sen [90 - ( - e)] (2.19)

    Portanto,

    LsM + LiM = (LsM + LiM).[cos e / cos ( + e)] + [cos e / cos ( - e)] (2.20)

    LsB = Ls Li .[(cos e / cos ( + e)) + (cos e / cos ( - e))] (2.21)

    Por transformaes trigonomtricas, tem-se:

    Ls Li = Ls Li .cos - Ls Li .(sen2 / cos ).tg2e (2.22)

    Sendo a constante multiplicativa igual a 100, o valor de e ser:

    tg e = 0,5 / 100 = 0,005 , portanto e = 0 17 11 .

    Simplificando a frmula do clculo da distncia horizontal, tem-se:

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    22

    DH = 100.I.cos2 (2.23)

    ou

    DH = 100.I.sen2 Z (2.24)

    no caso do teodolito ter o limbo vertical zerado no znite.

    3.3. Medida eletrnica de distncias

    Instrumentos

    O distancimetro eletrnico (DE) o instrumento utilizado na medio eletrnica de

    distncias. O primeiro distancimetro eletrnico surgiu em 1943, graas ao cientista sueco E.

    Bergstran, que projetou o primeiro DE, que recebeu o nome de Geodimiter NASM-2.

    O aparecimento dos DEs facilitou muito a medio de distncias, alm de aumentar a

    qualidade das medidas. A preciso das medidas de distncias saltou da ordem do milmetro para

    dcimos de milmetros.

    O DE, que inicialmente, devido s suas dimenses, era utilizado sozinho, com o avano da

    tecnologia, passou a ser montado sobre um teodolito. Essa combinao, evidentemente aumentou a

    eficincia da coleta de dados nos trabalhos topogrficos. A combinao de um teodolito eletrnico

    com um distancimetro eletrnico em um nico instrumento denomina-se estao total (do ingls

    total station). A estao total tem a facilidade de um controle central nico.

    Princpio de medida de distncias utilizando ondas eletromagnticas

    O princpio de funcionamento de um distancimetro eletrnico baseado na medida da

    diferena de fase, isto , a medida de tempo que uma onda eletromagntica leva para percorrer duas

    vezes a distncia entre o aparelho receptor e um refletor instalado em outro extremo.

    Pode-se dividir as ondas eletromagnticas usadas na medida precisa de distncias, de

    acordo com o seu comprimento de onda, nas seguintes classes:

    (a) micro-ondas, com comprimento de onda entre 1 e 10 cm;

    (b) luz visvel, com comprimento de onda mdio de 0,5 m; e

    (c) infravermelho, com comprimento de onda entre 0,72 e 0,94 m.

    Quase todos os equipamentos de medio eletrnica de distncias usados em

    levantamentos so baseados em mtodos que utilizam a medida da diferena de fase, considerada

    como parte de um ciclo expresso em unidades de tempo ou de comprimento.

    Um sinal modulado transmitido de uma das extremidades da linha a ser medida. Na outra

    extremidade, esse sinal refletido para a estao origem e o sinal modulado de retorno ento

    analisado.

    Na Fig. 2.15 tem-se o esquema do percurso de uma onda eletromagntica numa distncia D.

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    23

    Figura 2.15

    A distncia D, entre o sinal transmitido e o sinal refletido, pode ser expressa da seguinte

    forma:

    D = m. / 2 + U (2.26)

    onde:

    m representa o nmero de meio-comprimento de onda;

    representa o comprimento da onda de modulao bsica; e

    U representa a trao do meio-comprimento de onda.

    O instrumento obtm eletronicamente os valores de m e de U. Geralmente m obtido pela

    combinao apropriada de ondas com frequncias diferentes. U resultado da transformao do

    valor obtido eletronicamente para a diferena de fase, e para a obteno deste valor, diferentes

    distancimetros podem utilizar diferentes componentes eletrnicos.

    O comprimento de onda uma funo da frequncia de modulao f e da velocidade v de

    propagao das ondas eletromagnticas:

    = v / f (2.26)

    No vcuo, a velocidade de propagao constante para todas as ondas eletromagnticas,

    sendo igual a: c = 299.792,5 km/s; conforme recomendao da Unio Geodsica e Geofsica

    Internacional (1957).

    Na atmosfera, a velocidade de propagao das ondas eletromagnticas (v) sempre menor

    que a velocidade de propagao no vcuo e pode ser calculada por:

    v = c / n (2.27)

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    onde n o ndice de refrao do ar, que uma funo da densidade do ar e do comprimento da onda

    portadora.

    O valor de n pode ser determinado com base em medidas meteorolgicas da temperatura,

    presso e umidade do ar ao longo da linha que liga os dois pontos cuja distncia desejada. Por esta

    razo, o valor do comprimento do sinal modulado desconhecido durante a medio, a menos que o

    ndice de refrao seja conhecido, ento:

    = c / n.f (2.28)

    pode ser calculado. A frequncia f de modulao pode ser estabilizada e usualmente conhecida

    com alto grau de preciso.

    O fabricante usualmente d o valor de = 1 para condies atmosfricas especficas, isto ,

    para um certo valor de n = n1. Ento:

    1 = c / n1.f (2.29)

    Por esta razo, a distncia que registrada pelo medidor eletrnico de distncias igual a:

    D1 = U1 + m. 1 / 2 (2.30)

    onde U1 uma frao de 1 / 2.

    Se durante as medidas o ndice de refrao diferente do valor padro do fabricante, ento,

    o valor do comprimento de onda ser:

    2 = c / n2.f (2.31)

    e a distncia medida :

    D = m. 2 / 2 + u2 (2.32)

    Das equaes (2.31) e (2.32) tira-se:

    2 = 1 .n1 / n2 (2.33)

    e, finalmente, a distncia correta pode ser igual a:

    D = u1.n1 / n2 + m. 1.n1 / 2.n2 = D1.n1 / n2 (2.34)

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    25

    A equao (2.34) corresponde a frmula bsica para a correo da distncia medida de

    acordo com as condies atmosfricas no instante em que foi efetuada a medio.

    O centro eletrnico do instrumento medidor eletrnico de distncias geralmente no coincide

    exatamente com o centro geomtrico de centragem, logo, tem-se que acrescentar (ou subtrair)

    distncia uma constante denominada erro de zero ou constante aditiva (Zo). Devem-se realizar

    correes adicionais para reduzir a distncia medida na superfcie ao elipside ou ao plano de

    refercia de trabalho.

    A distncia final reduzida Do calculada da seguinte forma:

    Do = D1.n1 / n2 + Zo + D (2.35)

    onde:

    D1 a distncia medida;

    n1 o ndice de refrao aceito pelo laboratrio de calibrao;

    n2 o ndice de refrao durante a medida de campo (a ser determinado pelo observador);

    Zo o erro de zero; e

    D uma composio de correes devido s redues da medida efetuada na superfcie terrestre

    at atingir o elipside ou o plano de referncia de trabalho.

    Instrumentos que usam micro-ondas:

    Os instrumentos que usam micro-ondas tem comprimentos de onda da ordem de alguns centmetros. Nos equipamentos telurmetros, os primeiros modelos tinham comprimentos de onda de

    3 a 10 cm, e o modelo mais recente, o MRA-4, tem um valor de em torno de 9 mm.

    Devido ao curto comprimento de onda, a propagao direta, podendo em certas

    circunstncias haver reflexes no solo.

    Os sinais so irradiados de dipolos de meia onda, colocados no ponto focal do refletor

    parablico, com isso obtm-se uma propagao bastante direcional, sendo o ngulo do cone de

    divergncia uma funo das dimenses do refletor e comprimento de onda usado.

    Como o sinal direto, o alcance do instrumento limitado linha de visada, o que implica em

    distncias normalmente menores que 100 km.

    O equipamento pode ser utilizado de dia ou noite, e mesmo a fraca visibilidade no impede

    as operaes de medida. No caso de chuva o alcance diminui, principalmente com o uso de

    comprimentos de onda menores, como o caso do MRA-4.

    Os equipamentos com micro-ondas utilizam a modulao em frequncia da onda portadora, e

    utilizam diversas frequncias para a eliminao de ambiguidades.

    A frequncia mais alta define o limite de preciso possvel, sendo que os instrumentos mais

    recentes utilizam uma frequncia em torno de 7,5 MHz. A medida o dobro deste valor, o que

    corresponde a um meio de comprimento de onda de 10 m. Como possvel medir 1 / 1.000 partes do

    ciclo, tem-se uma resoluo de 1 cm. Como h a possibilidade de medir longas distncias e

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    26

    considerando-se a resoluo de 1 cm, as condies atmosfricas tem grande influncia, e

    normalmente so feitas medidas meteorolgicas nas extremidades da linha. As experincias tm

    indicado que uma preciso da ordem de 3 ppm (partes por milho) pode ser obtida com cuidadosas

    observaes meteorolgicas.

    Na realidade, da definio aproximadamente precisa do ndice de refrao do percurso no

    instante da medio, que se pode obter uma maior ou menor preciso.

    Nas pequenas distncias, da ordem de 1 km, os erros instrumentais tm maior peso,

    bastando efetuar as medidas em uma das extremidades da linha.

    Os equipamentos com micro-ondas foram concebidos para medidas geodsicas, isto ,

    bases de triangulaes, poligonaes de preciso ou trilateraes de lados curtos, mas a segurana

    nas medidas, facilidade de operao, preo relativamente baixo, permitiu uma utilizao mais ampla,

    de maneira que qualquer distncia superior a 100 m pode, com grandes vantagens, ser medida com

    equipamento eletrnico, havendo necessidade de obteno de uma preciso acima de 1/10.000 ou

    1/20.000.

    Somente os ltimos modelos permitem sua utilizao em tneis, pois os feixes dos primeiros

    era muito grande, produzindo problemas com reflexes.

    Instrumentos que usam luz visvel:

    Nos instrumentos que usam luz visvel, uma lmpada emite luz que passa por um primeiro prisma de Nicol (ou filtro polaroide) que produz uma polarizao segundo um plano, e se a clula

    Kerr no estiver funcionando, a luz no passa pelo segundo prisma de Nicol, por estar o mesmo

    cruzado em relao ao primeiro.

    Porm, a clula Kerr sob a influncia da voltagem aplicada pelo oscilador controlado por

    cristal, gira o plano de polarizao em funo da diferena de potencial em cada instante, portanto,

    uma parte do feixe pode atravessar o segundo prisma de Nicol. Em outras palavras, a quantidade de

    luz transmitida proporcional voltagem e, portanto, rotao produzida pela clula Kerr, e o feixe

    agora modulado em intensidade na frequncia de modulao, transmitido por um espelho cncavo

    para o refletor. O feixe de luz que retorna para o instrumento recebido por um outro espelho que

    focaliza o feixe no foco do primeiro ctodo da vlvula fotomultiplicadora.

    A corrente que flui da vlvula fotomultiplicadora varia com a intensidade da luz que incide no

    segundo espelho e com a voltagem aplicada a ela, de acordo com o segundo gerador controlado por

    cristal.

    O primeiro gerador funciona na frequncia de aproximadamente 30 MHz e o segundo em

    aproximadamente 30,0015 MHz, ou seja, 1,5 KHz acima do primeiro.

    O sinal de sada do fotomultiplicador tem um valor de 1,5 KHz e fase 2 relacionada com o

    sinal de sada de 30 MHz.

    Por outro lado, os sinais dos dois geradores controlados por cristal so levados para um

    misturador que determina a diferena dos sinais de 1,5 KHz, com a fase 1 da onda emitida que a

    referncia de medida de fase.

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    27

    Portanto, pode ser medida a diferena de fase 2 e 1 utilizando um resolvedor, isto , a fase

    de referncia 1 retardada at que os dois valores, 1 e 2, se igualem dando um valor de zero no

    indicador de nulo, sendo o seu valor indicado no dial de leitura digital.

    Nestes instrumentos a propagao da luz direta e dificilmente ocorrem reflexes

    secundrias, pois a maior parte das superfcies encontradas na natureza no produz fortes reflexes

    para esse comprimento de onda. Por outro lado, durante o dia sempre existe a entrada de outras

    luzes no sistema tico, reduzindo, assim, sua potencialidade de medida.

    O feixe altamente colimado com uma divergncia de apenas fraes do grau, razo pela

    qual o receptor tico tem um dimetro bastante pequeno e, portanto, pequeno ngulo de aceitao.

    Com exceo dos equipamentos providos com laser, o alcance em geral bem menor do

    que os instrumentos que usam micro-ondas, sendo que noite o alcance aumenta. Por outro lado, o

    chuvisco ou neblina diminuem bastante o alcance.

    O ndice de refrao afetado pelas condies atmosfricas pouco influencivel para o curto

    comprimento de onda usado, e a umidade que tem grande importncia nas medidas com micro-

    ondas de pequena influncia no geodmetro, principalmente devido a essas razes, o erro externo

    agora considerado com um valor de 1 ppm. Para linhas curtas basta tomar as medidas

    meteorolgicas em uma extremidade da linha. A curvatura do percurso somente levada em conta

    para as maiores distncias e o seu valor bastante pequeno.

    Com luz visvel, as leis da tica geomtrica podem ser aplicadas com maior preciso aos

    transmissores e refletores dos sinais, pois o percurso da onda mais bem definido e tambm mais

    estvel.

    Em geral, os equipamentos eletro-pticos so mais apropriados para medir distncias

    menores para a obteno de alta preciso, sendo o erro de zero o mais importante fator de sua

    limitao em preciso.

    O uso do equipamento bastante aplicado na engenharia civil, podendo ser usado na

    abertura de tneis ou minas, barragens, pontes, instalao de mquinas, etc.; e no levantamento de

    campo, medidas de bases de triangulaes, poligonais de preciso ou trilateraes de lados curtos.

    Instrumentos que usam infravermelho:

    Os instrumentos que usam infravermelho como onda portadora tm um comprimento de onda

    em torno de 0,9 m.

    O ndice de refrao padro usados para os instrumentos a infravermelho tomado

    geralmente como 1,00028 e para uma preciso de 1 ppm a temperatura deve ser obtida com erro

    inferior a 3 mm Hg.

    Na regio do infravermelho a atmosfera tem uma forte absoro, com exceo da regio

    entre 0,72 m e 0,94 m, que chamado de janela do infravermelho, que implica no uso desta

    regio em todos os instrumentos.

    Todos os equipamentos que funcionam na regio do infravermelho so limitados pela

    potncia de sada da fonte, que um diodo luminescente de arseniato de glio, que emite radiao

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    28

    incoerente de aproximadamente 0,9 m e que tem como principal caracterstica a de poder ser

    modulado diretamente em intensidade.

    O diodo consiste em dois extratos semicondutores, um dos quais um condutor positivo

    (falta de eltrons) e o outro negativo (excesso de eltrons). Na zona de depleo, os eltrons podem

    ser levados a um estado de maior energia com a aplicao de uma corrente de excitao, e a energia

    se desprende sob a forma de radiao luminosa espontnea. A radiao emitida pelo diodo

    proporcional corrente de excitao, ou corrente aplicada.

    Outros instrumentos

    Outro instrumento utilizado para a medio eletrnica de distncias a trena laser DISTO,

    fabricada exclusivamente pela empresa Leica (Wild do Brasil S.A.). A trena laser no possui a

    preciso de um distancimetro eletrnico, porm possui uma preciso razovel e muito prtica, por

    ser de reduzido tamanho.

    A trena laser um instrumento eletro-tico de medio de pequenas distncias. Utiliza o raio

    laser visvel.

    O raio laser projeta um ponto luminoso que indica exatamente o lugar medido.

    Com o refletor a trena laser tem um alcance de at 100 m, e sem, de at 30 m.

    A trena laser pode ser conectada no teodolito e, ainda, pode-se acoplar trena um telescpio

    para medidas mais longas.

    A trena laser bastante utilizada para efetuar medidas em minas subterrneas, onde muitas

    vezes o acesso a um ponto difcil. Como o instrumento calcula rapidamente a rea e o volume de

    superfcies medidas, a partir de valores memorizados, se torna muito til para clculos preliminares

    de custos e mo-de-obra.

    4. Medidas de ngulos: mtodos e instrumentos (analgicos e eletrnicos)

    4.1. Instrumentos

    Teodolito tico (Mecnico)

    0 Teodolito um instrumento capaz de medir tanto ngulos horizontais como verticais.

    O teodolito consta essencialmente das seguintes partes: uma base provida de trs ou quatro

    parafusos niveladores (parafusos calantes), contendo um limbo graduado destinado leitura dos

    ngulos horizontais. Em torno do eixo concntrico com o crculo horizontal giram os montantes da

    luneta e o limbo vertical do instrumento. O eixo YY denominado eixo vertical de rotao ou eixo

    principal. O eixo XX denominado de eixo horizontal ou eixo secundrio (Fig. 2.16).

    Para a leitura dos ngulos horizontais, os montantes arrastam consigo a alidade do

    instrumento, que possui dois ndices de referncia diametralmente opostos; estes ndices podem ser

    de vernier ou micrmetro e permitem apreciar fraes dos ngulos menores que cada diviso do

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    29

    limbo horizontal. Para a leitura dos ngulos verticais a luneta gira em torno do eixo horizontal XX,

    levando em seu movimento ndices de leitura, tambm por vernier ou por micrmetro, podendo-se

    apreciar as fraes da diviso do crculo vertical.

    So, ento, em nmero de trs os eixos fundamentais do instrumento: eixo principal (YY),

    eixo secundrio (XX) e o eixo de colimao (LL). O eixo principal passa pelo centro do aparelho e

    pelo centro do limbo horizontal; o eixo secundrio o eixo de rotao da luneta, e o eixo de

    colimao passa pelo centro do aparelho e pelo cruzamento dos fios do retculo. Estes trs eixos,

    portanto, cruzam-se no centro do instrumento.

    Figura 2.16

    Componentes de um Teodolito

    A seguir sero apresentadas as componentes de um teodolito e as suas funes:

    (a) Elementos de visada:

    Luneta astronmica: fornece imagem invertida; e

    Luneta terrestre: fornecem imagem direta.

    A luneta do teodolito constituda de um tubo em cujas extremidades se situam a objetiva e a

    ocular. A objetiva um sistema de lentes com a funo de fornecer a imagem do objeto visado, e a

    ocular uma lente cuja funo aumentar as dimenses do objeto. Na extremidade da ocular esto

    alojados os fios de retculo, formados por dois fios ortogonais: um o fio colimador (vertical) e o outro

    o fio nivelador (horizontal).

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    30

    (b) Elementos de leitura de ngulos:

    Nos teodolitos, as leituras de ngulos so feitas nos limbos graduados. Geralmente, quando

    se mede um determinado ngulo, o ndice de leitura do visor cai entre duas divises do limbo, de

    maneira que preciso medir esta frao do limbo, para se ter o ngulo determinado com a

    aproximao do instrumento. Assim, torna-se necessrio adaptar ao limbo dispositivos capazes de

    medir fraes da menor diviso. Tais dispositivos so:

    nnio ou vernier;

    microscpio de estima;

    microscpio de escala;

    microscpio de vernier; e

    microscpio micromtrico.

    (c) Elementos de sustentao:

    trip;

    plataforma ou prato do trip; e

    parafuso de fixao (fio de prumo).

    (d) Elementos de manobra:

    parafusos calantes ou niveladores;

    parafuso do movimento geral (controla o movimento da alidade);

    parafuso do movimento particular (controla o movimento do limbo); e

    fixao do eixo horizontal de rotao da luneta.

    (e) Elementos de ajuste:

    parafuso de chamada do limbo horizontal;

    parafuso de chamada do limbo vertical; e

    parafuso de chamada do movimento geral.

    Os elementos de ajuste so elementos indispensveis para a obteno de uma coincidncia

    perfeita da linha de colimao com o objeto visado.

    (f) Elementos acessrios:

    nveis de bolha de ar: destinados ao nivelamento do aparelho;

    fio de prumo ou prumo tico: permite a coincidncia do centro do instrumento com o ponto

    da estao;

    lupas ou microscpios: para facilitar a leitura do limbo;

    bssola; e

    ala de mira.

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    31

    Teodolito eletrnico

    Os teodolitos eletrnicos so instrumentos que permitem a medio eletrnica dos ngulos

    verticais e horizontais.

    Os teodolitos eletrnicos surgiram na dcada de 70. A diferena essencial em relao aos

    teodolitos clssicos se d na substituio do leitor tico de um crculo graduado por um sistema de

    captores eletrnicos.

    Os teodolitos eletrnicos possuem as mesmas caractersticas construtivas de um teodolito

    clssico, sendo um aparelho de alta preciso, composto por partes mecnicas e eletrnicas.

    A medida eletrnica dos ngulos baseada na leitura digital de um crculo graduado em

    forma binria.

    Alm da leitura automtica de ngulos, uma outra caracterstica importante dos teodolitos

    eletrnicos a existncia de um compensador eletrnico. O compensador eletrnico permite corrigir,

    automaticamente, os possveis erros de calagem do eixo vertical do teodolito e corrigir, desta forma,

    os valores das direes horizontais e verticais lidas.

    Em termos de eficincia, o teodolito eletrnico apresenta fundamentalmente trs vantagens

    com relao aos teodolitos mecnicos:

    (a) os ngulos medidos passaram a ser exibidos diretamente em um visor de cristal lquido;

    (b) os distancimetros eletrnicos passaram a ser conectados diretamente ao teodolito; o

    processador central do teodolito passou a controlar tambm o distancimetro; e

    (c) a leitura automtica dos ngulos e das distncias, na composio teodolito

    eletrnico/distancimetro, permitiu a adio de uma caderneta eletrnica ao conjunto.

    4.2. Mtodos de medies de ngulos

    Em geral, nos levantamentos topogrficos so empregados 4 processos de medio de

    ngulos horizontais:

    (a) medida simples;

    (b) ngulo duplo;

    (c) repetio; e

    (d) reiterao.

    Medida simples

    o processo mais simples de medio de um ngulo, pois o valor do ngulo medido uma

    nica vez.

    Considerando-se a Fig. 2.17, seja medir o ngulo entre dois alinhamentos OA e OB.

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    32

    Procedimento:

    1) instalar e nivelar o teodolito no ponto O;

    2) soltar os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo;

    3) acertar, aproximadamente, o zero do vernier e o do limbo horizontal e fixar o parafuso de

    movimento do limbo;

    4) acertar, exatamente, zero a zero, usando o parafuso micromtrico do movimento do limbo;

    5) girar a alidade, visar o ponto A com o auxlio da ala de mira e fixar o movimento da alidade;

    6) fazer a colimao perfeita do ponto A com o parafuso micromtrico do movimento da alidade;

    7) soltar os parafusos de movimento do limbo e da alidade e visar o ponto B, com a ala de mira;

    8) fixar o parafuso do movimento da alidade e fazer a colimao perfeita do ponto B com o auxlio do

    parafuso micromtrico;

    9) fixar o parafuso do movimento do limbo e fazer a leitura do ngulo .

    A realizao da medida de ngulos horizontais sempre feita no sentido horrio, ou seja, da

    esquerda para a direita.

    Zerar o vernier com o limbo horizontal opcional: pode-se visar o ponto A e anota-se a leitura

    do limbo horizontal (LA). O zero do limbo horizontal est em uma posio qualquer, e em seguida

    visa-se o ponto B, anotando-se a leitura do limbo (LB); ento = LB - LA.

    Figura 2.17

    ngulo duplo

    O procedimento o mesmo efetuado na medio simples, do tem 1 ao 9, com acrscimo:

    10) depois de obter a leitura do ngulo ; solta-se o parafuso do movimento da alidade e mantm-se

    fixo o parafuso do movimento do limbo;

    11) visa-se novamente o ponto A e fixa-se o movimento da alidade;

    12) faz-se a perfeita colimao com o parafuso micromtrico;

    13) soltam-se os parafusos dos movimentos da alidade e do limbo e torna-se a visar o ponto B;

    fixando-se ento, o movimento da alidade;

    14) faz-se a colimao perfeita do ponto B com o parafuso micromtrico e ento fixa-se o limbo;

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    33

    15) o ngulo lido no limbo representa o duplo valor do ngulo procurado = 2; podendo haver apenas

    o erro de preciso do instrumento.

    5. Levantamento planimtrico por Caminhamento Perimtrico Por levantamento planimtrico se entende como sendo o conjunto de operaes que tem por

    objeto a determinao da posio relativa de feies naturais ou artificiais na superfcie terrestre

    destinada determinao da projeo horizontal. Nos levantamentos planimtricos pode-se

    considerar duas fases distintas. A inicial constituda pelos trabalhos de campo. A outra formada

    pelos trabalhos de escritrio incluindo entre outras operaes o planejamento do trabalho a realizar,

    os clculos, plantas e a elaborao de relatrios.

    Na fase dos trabalhos de campo, nos levantamentos planimtricos, deve-se considerar o

    instrumental a ser utilizado no levantamento, os mtodos existentes de levantamento e o problema da

    orientao do trabalho.

    Os levantamentos planimtricos, geralmente, tm por objetivo:

    a) determinar a situao de determinados detalhes na configurao do terreno; e

    b) a sinalizao ou a locao de pontos ou de distncias e azimutes de alinhamentos dados,

    que havero de servir de base para o projeto de certas obras.

    Pode ser que um mesmo levantamento planimtrico satisfaa aos dois objetivos anteriores.

    O mtodo do caminhamento perimtrico consiste em percorrer o polgono efetuando-se a medida de cada um dos lados, e dos ngulos horizontais em cada um dos vrtices. Os ngulos

    horizontais podem ser medidos pelos processos das deflexes ou ngulos internos, sendo mais

    comum o processo dos ngulos internos.

    Mede-se, ainda, a orientao de um dos lados do polgono.

    Costuma-se percorrer a poligonal no sentido anti-horrio.

    Quanto forma as poligonais podem ser classificadas em: (a) poligonais fechadas, que

    iniciam e terminam no mesmo ponto. Estas poligonais so controladas com erro angular e linear,

    podendo ter as coordenadas dos vrtices ajustadas; (b) poligonais apoiadas ou fechadas em bases

    diferentes, partem de pontos com coordenadas conhecidas e chegam em pontos com coordenadas

    tambm conhecidas; e (c) poligonais abertas, aquelas que partem de pontos conhecidos por suas

    coordenadas e terminam em pontos de coordenadas no conhecidas.

    Ainda, quanto preciso, as poligonais so classificadas como principais ou secundrias. A

    poligonal principal a que constitui o arcabouo do levantamento, geralmente posicionada nos limites

    da rea a ser levantada. A poligonal secundria so poligonais apoiadas ou que se desenvolvem

    entre dois vrtices da poligonal principal.

    o mtodo de levantamento de poligonais mais utilizado na prtica, por ser o mais preciso.

    Quando a poligonal eletrnica, ou seja, a medio das distncias feita pelo distancimetro

    eletrnico, a preciso do levantamento aumenta consideravelmente.

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    34

    Procedimentos de campo

    Para realizar um caminhamento perimtrico com medio dos ngulos internos, deve-se

    orientar o caminhamento da poligonal no sentido contrrio graduao do limbo, a fim de se ter a

    leitura direta dos ngulos.

    A medida dos ngulos, geralmente feita pelo mtodo do ngulo duplo ou da reiterao,

    sempre no sentido horrio.

    A medida das distncias normalmente feita de forma direta, com a trena, ou ento com

    distancimetro eletrnico.

    necessrio, ainda, orientar um dos alinhamentos da poligonal. Orientar um alinhamento

    assegurar sua posio em respeito a alguma direo inicial. As linhas que representam a direo

    inicial em topografia so as linhas do meridiano verdadeiro e do meridiano magntico, assim como a

    imagem de um meridiano central de um fuso.

    Um meridiano verdadeiro a linha traada sobre a superfcie da Terra por um plano

    passando ao longo de um ponto dado e o eixo de rotao da Terra.

    Um meridiano magntico dado por um plano vertical atravs dos plos da agulha

    magntica em um ponto dado.

    Um meridiano central o que passa atravs do meio do fuso.

    A linha do meridiano verdadeiro estabelecida a partir de observaes astronmicas.

    Alternativamente pode ser encontrada fazendo-se uso de teodolitos giroscpios, desde que se

    conheam suas constantes de calibrao.

    A linha do meridiano magntico estabelecida pelo eixo da agulha de uma bssola.

    Os meridianos verdadeiros e magnticos em um mesmo ponto da superfcie terrestre

    dificilmente coincidem, e formam entre si um ngulo denominado de declinao magntica.

    A declinao magntica ser negativa se o meridiano magntico deflete a oeste do

    verdadeiro e ser positiva em caso contrrio.

    Para que um trabalho fique orientado, torna-se necessrio determinar o azimute de um alinhamento. O azimute pode ser medido em relao ao meridiano verdadeiro ou magntico, devendo

    ser acrescido esses termos palavra azimute. Assim, pode-se ter azimute verdadeiro ou azimute

    magntico.

    Exemplo: Seja o levantamento planimtrico pelo mtodo do caminhamento perimtrico da poligonal fechada

    ABCD:

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    35

    Planilha de Campo: Estao Ponto

    Visado Angulo horizontal DH(m)

    Simples Duplo A

    D 000 901430 27,83 B 901430 18029 137,42

    B

    A 000 8944 137,42 C 8944 17929 28,17

    C

    B 000 9005 28,17 D 9005 18009 137,36

    D

    C 000 8955 137,86 A 8955 17949 27,83

    Observaes e croqui: AzAB = 15915

    Figura 2.18

    Clculo do Erro angular de fechamento da poligonal: Ai = (n2)180 Onde: Ai = ngulo lido = ngulo duplo/2 n = n de vrtices Portanto: Ai = (4-2)180 = 360 Ai lidos =3595800 EA=Ai lidosAi Onde: EA = erro angular

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    Portanto: EA=3595800 360= 002 EAT = 1 n Onde: EAT = erro angular tolervel n = n de vrtices Portanto: EAT = 1 4 = 2

    5.1. Distribuio dos erros Vamos demonstrar este item atravs de um exemplo prtico de um levantamento planimtrico atravs do mtodo do Caminhamento perimtrico. Seja o polgono abcd, levantado atravs de uma poligonal de apoio ABCD. Croqui:

    Figura 2.19

  • Topografia I Profa. Andra Ritter Jelinek

    37

    Planilha de campo:

    Estao Ponto visado

    ngulo horizontal DH (m) Simples Duplo

    A

    D 00000 904950 31,00 B 904950 1813940 65,62 a 192340 8,07

    B

    A 00000 883500 65,02 C 883500 1771000 31,61 b 730420 8,46

    C

    B 00000 904510 31,61 D 904510 1813020 65,28 c 160810 5,83

    D

    C 00000 894920 65,28 A 894920 1793840 31,00 d 620200 6,00

    Planilha de calculo analtico:

    Est P.V. Ai Lido

    Ai comp. Az. DH (m)

    Proj. Calc. Correes Proj. Comp. Coordenadas X Y Cx Cy X Y X Y

    A B 904950 905000 3131250 65,62 -47,82 44,93 0,03 00,4 -47,85 44,89 0,00 0,00 B C 883500 883510 2214800 31,61 -21,07 -23,56 0,02 0,02 -21,09 -23,58 -47,85 44,89C D 904510 904520 1323320 65,28 48,09 -44,15 0,03 0,04 48,06 -44,19 -68,94 21,31D A 894920 894930 422250 31,00 20,90 22,90 0,02 0,02 20,88 22,88 -20,88 -22,88 3595920 360 193,51 X=0,10 Y=0,12 0,10 0,12 0,00 0,00

    a) Erro angular: Angulo lido = ang. Duplo/2 O erro angular determinado pela frmula: EA =Ai [(n-2) . 180] Onde: EA = erro angular; Ai = somatrio dos ngulos internos lidos; e n = nmero de vrtices da poligonal. Neste caso: AiLIDOS = 904950 + 883500 + 904510 + 894920 = 3595920 Portanto, o EA = 00040 O erro angular tolervel dado pela frmula:

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    EAT = P. n Onde: EAT = erro angular tolervel; e P = preciso do instrumento. b) Distribuio do erro angular: Normalmente o erro angular distribudo por vrtice em quantidades iguais, embora a prtica tem demonstrado que nas maiores distncias os erros angulares so menores. Ai comp.=EA/n c) ngulo compensado: O ngulo compensado determinado pela adio ou subtrao do erro no ngulo lido. O somatrio do erro por vrtice dever ser igual ao erro total da poligonal. O sinal da correo dever ser contrrio ao do erro. d) Azimutes: A partir do primeiro azimute, medido no campo, so calculados os azimutes dos demais alinhamentos. Azn =(Azn-1 + Ai ) +180 Onde: Azn = azimute do alinhamento; Azn-1 = azimute do alinhamento anterior; e Ai = ngulo interno do vrtice comum aos dois alinhamentos. Se o caminhamento for direita ou no sentido anti-horrio, a frmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) +180 , porm, se o caminhamento for esquerda ou no sentido horrio a frmula fica: Azn =(Azn-1 - Ai ) +180. Se Azn-1 + Ai < 180, a frmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) + 180, porm, se Azn-1 + Ai > 180, a frmula fica: Azn =(Azn-1 + Ai ) - 180. Neste caso, AzBC = (AzAB + Ai) 180 = (3131250 + 883510) - 180 = 2214800 AzCD = (AzBC + Ai) 180 = (2214800 + 904520) - 180 = 1323320 AzDA = (AzCD + Ai) 180 = (1323320 + 894930) - 180 = 422250 e) Projees: As projees so calculadas da seguinte forma: x =DH . sem Az y =DH . cos Az Onde: x = projeo no eixo x; y = projeo no eixo y; DH = distncia horizontal do alinhamento; e Az = azimute do alinhamento.

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    Neste caso: xAB = DHAB . sen AzAB = 65,62 . sen 3131250 = - 47,82 yAB = DHAB . cos AzAB = 65,62 . cos 3131250 = 44,93 xBC = DHBC . sen AzBC = 31,61 . sen 2214800 = - 21,07 yBC = DHBC . cos AzBC = 31,61 . cos 2214800 = - 23,56 xCD = DHCD . sen AzCD = 65,28 . sen 1323320 = 48,09 yCD = DHCD . cos AzCD = 65,28 . cos 1323320 = - 44,15 xDA = DHDA . sen AzDA = 31,00 . sen 422250 = 20,90 yDA = DHDA . cos AzDA = 31,00 . cos 422250 = 22,90 f) Erro linear: O erro linear determinado pela frmula: EL = (x)2 + (y)2 Onde: EL = erro linear; x = somatrio das projees do eixo x; e y = somatrio das projees do eixo y. Neste caso, EL = 0,16 m O erro linear tolervel dado pela frmula: ELT = 0,8 . PERMETRO (km) Onde: ELT = erro linear tolervel. Neste caso, ELT = 0,35 m g) Correo das projees: A correo do erro linear, nos eixos x e y, dada pela frmula: Cx = x . DH/perim. Cy = y . DH/perim. Onde: Cx = correo da projeo no eixo x; Cy = correo da projeo no eixo y; DH = distncia horizontal do alinhamento; x = somatrio das projees do eixo x; e y = somatrio das projees do eixo y. Ateno, o sinal da correo contrrio ao sinal do erro. Neste caso:

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    CxAB = x . DHAB / PERMETRO = 0,10 . 65,62 / 193,51 0,03 CyAB = y . DHAB / PERMETRO = 0,12 . 65,62 / 193,51 0,04 CxBC = x . DHBC / PERMETRO = 0,10 . 31,61 / 193,51 0,02 CyBC = y . DHBC / PERMETRO = 0,12 . 31,61 / 193,51 0,02 CxCD = x . DHCD / PERMETRO = 0,10 . 65,28 / 193,51 0,03 CyCD = y . DHCD / PERMETRO = 0,12 . 65,28 / 193,51 0,04 CxDA = x . DHDA / PERMETRO = 0,10 . 31,00 / 193,51 0,02 CyDA = y . DHDA / PERMETRO = 0,12 . 31,00 / 193,51 0,02 h) Projees compensadas: A projeo compensada calculada adicionando ou subtraindo o erro na projeo calculada:

    X= x + |Cx| Y= y + |Cy| Onde: X e Y = projees compensadas nos eixos X e Y, respectivamente; X e y = projees calculadas nos eixos X e Y, respectivamente; e Cx e Cy = correes das projees nos eixos x e y, respectivamente. Neste caso: XAB = xAB CxAB = - 47,82 - 0,03 = - 47,85 YAB = yAB CyAB = 44,93 - 0,04 = 44,89 XBC = xBC CxBC = - 21,07 - 0,02 = - 21,09 YBC = yBC CyBC = - 23,56 - 0,02 = - 23,58 XCD = xCD CxCD = 48,09 - 0,03 = 48,06 YCD = yCD CyCD = - 44,15 - 0,04 = - 44,19 XDA = xDA CxDA = 20,90 - 0,02 = 20,88 YDA = yDA CyDA = 22,90 - 0,02 = 22,88 Obs: Se a correo est correta, o somatrio das projees dever ser igual a zero. 5.2. Clculo de Coordenadas a) Coordenadas dos vrtices da poligonal de apoio: As coordenadas so calculadas por soma algbrica das projees compensadas, partindo das coordenadas do ponto inicial: Xn= Xn-1+X Yn= Yn-1+Y Onde: Xn= abcissa do ponto; Yn= Ordenada do ponto; Xn-1= abcissa do ponto anterior;

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    Yn-1 = ordenada do ponto anterior; X = projeo compensada no eixo x; e Y = projeo compensada no eixo y. OBS: ponto conhecido colocado na origem. Neste caso: Vamos arbitrar que XA = 0,00 e YA = 0,00. XB = XA + XAB = 0,00 + (- 47,85) = - 47,85 YB = YA + YAB = 0,00 + 44,89 = 44,89 XC = XB + XBC = - 47,85 + (- 21,09) = - 68,94 YC = YB + YBC = 44,89 + (- 23,58) = 21,31 XD = XC + XCD = - 68,94 + 48,06 = - 20,88 YD = YC + YCD = 21,31 + (- 44,19) = - 22,88 b) Clculo das coordenadas dos vrtices da poligonal de interesse: Est P V Ai DH(m) Az Projees Coordenadas

    X Y X Y A a 192340 8,07 2414630 -7,11 -3,82 -7,11 -3,82 B b 730420 8,46 2061710 -3,75 -7,59 -51,60 37,31 C c 160810 5,83 575610 4,94 3,09 -64,00 24,40 D d 620200 6,00 143520 1,51 5,81 -19,37 -17,07

    Vrtice a:

    AzAa = (AzDA + Ai) 180 = (422250 + 192340) + 180 = 2414630 XAa = DHAa . sen AzAa = 8,07 . sen 2414630 = - 7,11 YAa = DHAa . cos AzAa = 8,07 . cos 2414630 = - 3,82 Xa = XA + XAa = 0,00 + (- 7,11) = - 7,11 Ya = YA + YAa = 0,00 + (- 3,82) = - 3,82

    Vrtice b: AzBb = (AzAB + Ai) 180 = (3131250 + 730420) - 180 = 2061710 XBb = DHBb . sen AzBb = 8,46 . sen 2061710 = - 3,75 YBb = DHBb . cos AzBb = 8,46 . cos 2061710 = - 7,58 Xb = XB + XBb = - 47,85 + (- 3,75) = - 51,60 Yb = YB + YBb = 44,89 + (- 7,58) = 37,31

    Vrtice c:

    AzCc = (AzBC + Ai) 180 = (2214800 + 160810) - 180 = 575610 XCc = DHCc . sen AzCc = 5,83 . sen 575610 = 4,94

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    YCc = DHCc . cos AzCc = 5,83 . cos 575610 = 3,09 Xc = XC + XCc = - 68,94 + 4,94 = - 64,00 Yc = YC + YCc = 21,31 + 3,09 = 24,40

    Vrtice d:

    AzDd = (AzCD + Ai) 180 = (1323320 + 620200) - 180 = 143520 XDd = DHDd . sen AzDd = 6,00 . sen 143520 = 1,51 YDd = DHDd . cos AzDd = 6,00 . cos 143520 = 5,81 Xd = XD + XDd = - 20,88 + 1,51 = - 19,37 Yd = YD + YDd = - 22,88 + 5,81 = - 17,07

    5.3. Reconstituio de poligonais

    possvel, a partir das coordenadas dos vrtices de uma poligonal, calcular os seus

    elementos:

    a) Clculo da distncia horizontal:

    _________________ DH12 = (X2 - X1)2 + (Y2 - Y1)2

    b) Clculo de azimutes:

    arc tg R12 = (X2 - X1) / (Y2 - Y1)

    Definio do quadrante:

    +/+ NE Az = R

    +/- SE Az = 180 - R

    -/- SW Az = 180 + R

    -/+ NW Az = 360 - R

    Aps a definio do quadrante, transforma-se o rumo em azimute.

    c) Clculo dos ngulos internos:

    Azn = Azn-1 Ai 180

    Ai = Azn - Azn-1 180

    5.4. Clculo da rea

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    A rea de uma superfcie plana limitada por uma poligonal fechada pode ser determinada analiticamente quando so conhecidas as coordenadas ortogonais dos seus vrtices. um mtodo deduzido para reas formadas de lados retos. Para se calcular a rea interna a uma poligonal, pode-se considerar os trapzios formados por cada lado da poligonal. Da poligonal 0123, tem-se

    Figura 2.20

    S = S0123 + SF12G + SG23H - SE03H A frmula para clculo da rea do trapzio Strapzio = (B + b) . h / 2 Onde: B = base maior; B = base menor; e H = altura. Portanto: S0123 = (Y1 + Y0) . (X1 - X0) = X1Y1 - X0Y1 + X1Y0 - X0Y0

    2 2 SF12G = (Y2 + Y1) . (X2 - X1) = X2Y2 - X1Y2 + X2Y1 - X1Y1

    2 2 SG23H = (Y2 + Y3) . (X3 - X2) = X3Y2 - X2Y2 + X3Y3 - X2Y3

    2 2 SE03H = (Y3 + Y0) . (X3 - X0) = X3Y3 - X0Y3 + X3Y0 - X0Y0

    2 2 2 . S0123 = X1Y1 - X0Y1 + X1Y0 - X0Y0 + X2Y2 - X1Y2 + X2Y1 - X1Y1 + + X3Y2 - X2Y2 + X3Y3 - X2Y3 - X3Y3 + X0Y3 - X3Y0 + X0Y0

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    2 . S0123 = - X0Y1 + X1Y0 - X1Y0 + X2Y1 + X3Y2 - X2Y3 + X0Y3 - X3Y0 Isolando X0, X1, X2 e X3: 2 . S0123 = X0 (Y3 - Y1) + X1 (Y0 - Y2) + X2 (Y1 - Y3) + X3 (Y2 - Y0) Multiplicando por (-1): -2 . S0123 = X0 (Y1 - Y3) + X1 (Y2 - Y0) + X2 (Y3 - Y1) + X3 (Y0 - Y2) Generalizando: m 2 . S0123 = Xi (Yi+1 - Yi-1) i=1 J isolando Y0, Y1, Y2 e Y3: 2 . S0123 = Y0 (X1 - X3) + Y1 (X2 - X0) + Y2 (X3 - X1) + Y3 (X0 - X2) Generalizando: m 2 . S0123 = Yi (Xi+1 - Xi-1) i=1 No nosso caso: 2 . S = {- 7,11 . [37,31 - (-17,07]} + {- 51,60 . [24,40 - (- 3,82)]} + + [64,00 . (- 17,07 - 37,31)] + [- 19,37 . (- 3,82 - 24,40)] 2 . A = - 386,6418 + (- 1456,1520) + 3480,3200 + 546,6214 = 2184,1476 S = 1092,0738 m2 ou 2 . S = {- 3,82 . [- 51,60 - (-19,37)]} + {37,31 . [- 64,00 - (- 7,11)]} + + {24,40 . [- 19,37 - (- 51,60)]} + {- 17,07 . [- 7,11 - (- 64,00)]} 2. S = - 2184,1476 S = 1092,0738 m2 6. Normas tcnicas para desenho de plantas A planta deve ser feita com escala entre 1:200 e 1:300 (a que for mais conveniente para o

    Papel A2), atravs do mtodo das COORDENADAS TOTAIS. O trabalho deve ser desenhado com

    auxlio do software AutoCad, obedecendo as especificaes acima.