bölüm 5 Örneklem ve Örneklem dağılımları

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001)

Bölüm 5

Örneklem ve Örneklem Dağılımları

Bölüm-5-1

İşletme İstatistiği Araçları

Tanımlayıcı İstatistik Veriyi toplama, sunma ve betimleme

Çıkarımsal İstatistik Sadece örneklem verisine dayanarak bir

popülasyon hakkında sonuç çıkarma ve/veya karar verme

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm-5-2

Popülasyonlar ve Örnekler

Bir Popülasyon araştırmaya konu olan öge veya bireylerin kümesidir.

Örnekler: Gelecek seçimlerdeki muhtemel tüm seçmenler Bugün imal edilen tüm parçalar

Kasım ayı için alınan tüm makbuzlar

Bir Örnekler popülasyonun bir alt kümesidir Örnekler: Bir görüşme için rastgele seçilmiş olan 1000 seçmen

Tahribatlı test için seçilmiş olan çok az sayıdaki parça

Denetim için rastgele seçilmiş olan makbuzlar


Popülasyona karşı Örneklem


a b c d

ef gh i jk l m n

o p q rs t u v w

x y z

Popülasyon Örneklem

b c

g i n

o r u

y

Bölüm-5-4

Neden Örneklem?

Genele göre daha az zaman alıcı

Genele göre daha düşük maliyetli

Örnekleme dayanan yeterince yüksek bir hassasiyet ile istatistiksel sonuçlar elde etmek mümkündür.


Basit Rastgele Örneklem

Popülasyondaki tüm nesneler eşit seçilme şansına sahiptir

Nesneler bağımsız bir şekilde seçilmektedir

Örnekler rastgele sayılar tablosundan veya bilgisayardaki rastgele sayı üreteçlerinden elde edilebilmektedirler

Basit bir rastgele örneklem diğer örneklem yöntemleriyle kıyaslandığında en ideal olanıdır


Çıkarımsal İstatistik

Örneklem sonuçlarını inceleyerek bir popülasyon hakkında çıkarımda bulunma

Örneklem İstatistiği Popülasyon parametreleri (bilinen) çıkarım (bilinen fakat, örneklem

bulgularından tahmin

edilebilinen)


Çıkarımsal İstatistik

Kestirim Örneğin, örneklem ortalama ağırlığını

kullanarak popülasyon ortalama ağırlığını kestirmek

Hipotez testi Örneğin, popülasyonun ortalama

ağırlığının 62 kg olduğu iddiasının test edilmesi


Çıkarım örneklem sonuçlarına dayanarak bir popülasyon hakkında sonuç çıkarma sürecidir.

Bölüm-5-8

Örneklem Dağılımları

Bir örneklem dağılımı bir popülasyondan seçilmiş olan verilmiş bir örnek büyüklüğü için olan bir istatistiğin tüm muhtemel sonuçlarının dağılımıdır


Bölümün Anahatları



Örneklem Ortalaması Örneklem Dağılımı

Örneklem Orantısı

Örneklem Dağılımı

Örneklem Varyansı Örneklem Dağılımı

Bölüm-5-10








Bölüm-5-11

Örneklem Dağılımının Geliştirilmesi

Bir popülasyon olduğunu varsayınız… Popülasyon büyüklüğü N=4 Rassal Değişken, X,

bireylerin yaşıdır X Değerleri:

18, 20, 22, 24 (yıl olarak)


A B C D

Bölüm-5-12



0,25

0 18 20 22 24

A B C D

Tekdüze Dağılımı

P(x)

x

(devam)

Popülasyon Dağılımı için Özet Ölçütler:

214

24222018

N

Xμ i

2i(X μ)

σ 2,236N

Bölüm-5-13

Şimdi büyüklüğü n=2 olan tüm muhtemel

örneklemleri göz önüne alınız


1. 2. Gözlem Göz 18 20 22 24

18 18,18 18,20 18,22 18,24

20 20,18 20,20 20,22 20,24

22 22,18 22,20 22,22 22,24

24 24,18 24,20 24,22 24,24

16 muhtemel örneklem (yerine

koyarak örnekleme)

1. 2. Gözlem Göz 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

(devam)


16 Örneklem Ortalamaları

Bölüm-5-14

Tüm örneklem ortalamalarının Örneklem

Dağılımı


1. 2. Gözlem Göz 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

18 19 20 21 22 23 240

.1

.2

.3 P(X)

X

Örneklem Ortalamalarının

Dağılımı

16 Örneklem Ortalamaları

_


(devam)

(artık Tekdüze değil)

_

Bölüm-5-15

Bu Örneklem Dağılımının Özet Ölçütleri:



(devam)

μ2116

24211918

N

X)XE( i

1.5816

21)-(2421)-(1921)-(18

N

μ)X(σ

222

2i

X

Bölüm-5-16

Popülasyonun Örneklem Dağılımı ile Karşılaştırılması


18 19 20 21 22 23 240

0,1

0,2

0,3 P(X)

X 18 20 22 24

A B C D

0

0,1

0,2

0,3

PopülasyonN = 4

P(X)

X_

1.58σ 21μXX

2.236σ 21μ

Örneklem Ortalamaları Dağılımı n = 2

_

Bölüm-5-17

Örneklem Ortalamasının Beklenen Değeri

X1, X2, . . . Xn bir popülasyondan olan rassal örnekleri temsil ediyor olsun

Bu gözlemlerin Örneklem Ortalaması değeri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır


n

1iiX

n

1X

Bölüm-5-18

Ortalamanın Standart Hatası Aynı popülasyondan olan aynı örneklem büyüklüğündeki

farklı örnekler farklı örneklem ortalamalarına yol açabilirler

Örneklemden örnekleme göre değişen ortalamanın değişkenliğinin bir ölçütü de Ortalamanın Standart Hatası ile verilmektedir

Ortalamanın standart hatasının, örneklem büyüklüğü arttıkça azaldığına dikkat ediniz


n

σσ

X

Bölüm-5-19

Eğer örneklem değerleri bağımsız değilse

Eğer örneklem büyüklüğü n, popülasyon büyüklüğü N’e göre küçük bir kesri temsil etmiyorsa, o halde bireysel örneklem üyeleri bir diğerinden bağımsız olarak dağılmamışlardır

O halde, gözlemler bağımsız olarak seçilmemişlerdir Bunu hesaba katan bir düzeltme yapmak gerekir

veya


(devam)

1N

nN

n

σσ

X

1N

nN

n

σ)XVar(

2

Eğer Popülasyon Normal ise Eğer bir popülasyon μ ortalama ve σ standart

sapma ile normal dağılıyorsa, örneklem

dağılımı da ortalama ile normal olarak

dağılmaktadır

ve

Eğer örneklem büyüklüğü n popülasyon büyüklüğü N’e göre büyük değilse, o halde

ve


X

μμX

n

σσ

X

Bölüm-5-21

1N

nN

n

σσ

X

μμX

Ortalamanın Örnekleme Dağılımı için Z-değeri

‘in örnekleme dağılımı için Z-değeri:


burada: = örneklem ortalaması

= popülasyon ortalaması

= ortalamanın standart hatası

Xμ

Xσ

μ)X(Z

X

Bölüm-5-22

xσ

Örnekleme Dağılımının Özellikleri

(yani yansız ise)


Normal Popülasyon Dağılımı

Normal Örnekleme Dağılmı(aynı ortalamaya sahiptir

x x

x

μμx

μ

xμ

Bölüm-5-23

Örnekleme Dağılımının Özellikleri

Yerine koyarak örnekleme için:

n arttıkça,

azalır


Büyük örneklem

büyüklükleri

Küçük örneklem

büyüklüğü

x

(devam)

xσ

μ

Bölüm-5-24

Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa

Merkezi Limit Teoremi uygulanabilir:

Popülasyon normal olmasa bile, …popülasyondan olan örneklem ortalamaları,

örneklem büyüklüğü yeterince büyük olduğu ölçüde yaklaşık olarak normal olacaktır.

Örnekleme dağılımının özellikleri:

ve


μμx n

σσx

Bölüm-5-25

Merkezi Limit Teoremi


n↑Örneklem büyüklüğü yeterince büyük oldukça…

Örnekleme dağılımı popülasyonun şekli ne olursa olsun neredeyse normale dönüşür

xBölüm-5-26

Eğer Popülasyon Normal dağılmamışsa


Popülasyon Dağılımı

Örneklem Dağılımı (n arttıkça normale dönüşür)

Merkezi Eğillim

Varyasyon

x

x

Büyük örneklem büyüklüğü

Küçük örneklem

büyüklüğü

(devam)

Örnekleme dağılımı özellikleri:

μμx

n

σσx

xμ

μ

Bölüm-5-27

Ne Kadar Büyük Olmalı?

Pek çok dağılım için, n > 25 neredeyse normal bir örnekleme dağılımı verecektir

Normal popülasyon dağılımları için, örnekleme dağılımları daima normal olarak dağılmıştır.


Örnek

Ortalaması μ = 8 ve standart sapması σ = 3 olan bir büyük popülasyonu ele alınız. Büyüklüğü n = 36 olan rassal bir örneklemi ele alınız.

Örneklem ortalamasının 7,8 ile 8,2 arasında olma olasılığı nedir?


Örnek

Çözüm:

Popülasyon normal olarak dağılmamışsa bile, merkezi limit teoremi kullanılabilmektedir (n > 25)

… yani örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normaldir

… ortalaması = 8

…ve standart sapması


(devam)

x

xμ

x

σ 3σ 0,5

n 36

Bölüm-5-30

Örnek

Çözüm (devam):


(devam)

X

X

μ -μ7,8-8 8,2-8P(7,8 μ 8,2) P

3 σ 336 n 36

P(-0,5 Z 0,5) 0,3830

Z7,8 8,2 -0,5 0,5

Örnekleme Dağılımı

Standart Normal Dağılımı 0,1915

+0,1915

Popülasyon Dağılımı

??

??

?????

??? Örneklem Standardize et

8μ 8μX

0μz xX

Bölüm-5-31

Kabul Aralıkları

Amaç: Bir popülasyon ortalaması ve varyansı verilmişken örneklem ortalamalarının meydana gelmesinin muhtemele olacağı bir aralığı tespit ediniz

Merkezi Limit Teoremi ile, dağılımının eğer n yeterince büyükse μ ortalama ve ile yaklaşık olarak normaldir.

zα/2 normal dağılımda α/2 ‘lik bir alanı kaplayan z-değeri olsun

(yani - zα/2 ‘den zα/2 ‘ye kadar 1 – α’lik bir olasılığa karşılık gelir)

O halde,

X’i 1 – α olasılık ile kapsayan bir aralıktır.


X/2σzμ

Bölüm-5-32

Xσ

X

Xσ


Örnekleme Dağılımları





Bölüm-5-33

Örneklem Orantısının Örnekleme Dağılımları

Örneklem Orantısı Örneklem Dağılımı

P = aynı özelliklere sahip olan popülasyonun orantısı

Örnek orantısı ( ) P’nin bir tahmini verir:

0 ≤ ≤ 1 bir binom dağılıma sahiptir, fakat nP(1 – P) > 5

olduğunda bir normal dağılıma yaklaştırılabilirler


X örneklemde söz konusu özelliklere sahip olan ögelerin sayısı p̂

n örneklem büyüklüğü

p̂

p̂

Bölüm-5-34

p̂

’nin Örnekleme Dağılımı

Normale yaklaşma:

Özellikler:

ve


(burada P = popülasyon orantısı)

Örnekleme Dağılımı

0,30,20,1 0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

P)pE( ˆn

P)P(1

n

XVarσ2

p

ˆ

)PP( ˆ

P̂

Bölüm-5-35

p̂

Orantılar için Z-Değerleri


nP)P(1

Pp

σ

PpZ

p

ˆˆ

ˆ

’yi aşağıdaki formül ile Z değerine standardize ediniz:

Bölüm-5-36

p̂

Örnek

Halk oylaması A’yı destekleyen seçmenlerin

orantısı P = 0,4 ise, büyüklüğü 200 olan bir

örneklem için orantının 0,40 ile 0,45 arasında

olma olasılığı nedir?


yani: eğer P = 0,4 ve n = 200, ise

P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir?p̂

Bölüm-5-37

Örnek

eğer P = 0,4 ve n = 200, ise

P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir?


(devam)

0p̂

P(1 P) 0,4(1 .0,4)σ ,03464

n 200

0 00

0,40 ,40 0,45 ,40ˆP(0,40 p ,45) P Z

0,03464 0,03464

P(0 Z 1,44)

‘yi bulunuz:

Standart normale dönüştürünüz:

pσ ˆ

Bölüm-5-38

p̂

Örnek

eğer P = 0,4 ve n = 200, ise

P(0,40≤ ≤ 0,45) nedir?


Z0,45 1,44

0,4251

Standardize ediniz

Örnekleme DağılımıStandardize

Normal Dağılım

(devam)

Standard normal tabloyu kullanınız: P(0 ≤ Z ≤ 1,44) = 0,4251

0,40 0p̂

Bölüm-5-39

p̂



Örnekleme Dağılımları





Bölüm-5-40

Örneklem Varyansı x1, x2, . . . , xn bir popülasyondan rassal örneklem olsun.

Örneklem varyansı aşağıdaki gibidir

örneklem varyansının kare kökü örneklem standart sapması olarak anılmaktadır.

örneklem varyansı aynı popülasyona ait olan farklı rassal örneklemler için farklı varyansa sahiptirler.


n

1i

2i

2 )x(x1n

1s

Bölüm-5-41

Örneklem Varyanslarının Örnekleme Dağılımı

s2’ in örnekleme dağılımı σ2 ortalamasına sahiptir

Eğer popülasyon dağılımı normal ise, o halde

Eğer popülasyon dağılımı normal ise, o halde

has bir n – 1 serbestlik derecesi ile 2 dağılımına sahiptirler


22 σ)E(s

1n

2σ)Var(s

42

2

2

σ

1)s-(n

Bölüm-5-42

Ki-kare Dağılımı

Ki-kare dağılımı serbestlik derecesine bağımlı olan bir dağılımlar ailesidir:

ν = n – 1

2 Tabloları ki-kare olasılıklarını içermektedir.


0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28 0 4 8 12 16 20 24 28

ν= 1 ν= 5 ν= 15

2 22

Bölüm-5-43

Serbestlik Derecesi (ν)

Fikir: Örneklem ortalaması hesaplandıktan sonra değişkenlik gösterebilme serbestliğine sahip olan gözlem sayısı

Örnek: 3 sayının ortalamasının 8,0 olduğunu varsayınız

X1 = 7

X2 = 8

ise X3nedir?


Eğer bu üç değerin ortalaması 8,0 ise, X3 9 olmalıdır(yani, X3 değişkenlik gösterme serbestliğine sahip değildir

Burada, n = 3, yani serbestlik derecesi = n – 1 = 3 – 1 = 2

(2 değer herhangi bir değer i almaktadır, fakat üçün değer verilen bir ortalama için değişebilme serbestliğine sahip değildir)

Bölüm-5-44

Ki-kare Örnek

Bir ticari soğutucu imalatçısı sıcaklığı çok küçük bir varyasyonla muhafaza etmelidir. Şartnameye göre standart sapma 4 dereceden daha yüksek olmamalı (16 derece2).


14 soğutucudan oluşan bir örneklem test edilecektir

Popülasyon standart sapmasının 4’ü aşma olma olasılığı 0,05 ise örneklem varyansının üst limit olan (K) nedir?

Bölüm-5-45

Ki-kare Değerinin Bulunması

Üst kuyrukta alanı 0,05 alanı olan ki-kare dağılımını kullanınız:


olasılık α =0,05

213

2

213

= 22,36

= 22,36 (α = 0,05 and 14 – 1 = 13 ν.)

2

22

σ

1)s(n χ serbestlik derecesi ile dağılmış olan ki-

kare dağılımıdır

Bölüm-5-46

Ki-kare Örnek


22 2

13

(n 1)sP(s K) P χ 0,05

16

O halde:

(devam)

213 = 22,36 (α = 0,05 ve 14 – 1 = 13 ν)

(n 1)K22,36

16

(burada n = 14)

so(22,36)(16)

K 27,52(14 1)

Eğer n=14 örnekleminden olan s2 27,52’den daha büyükse, popülasyon varyansının 16’yı aştığına dair güçlü bir kanıt mevcuttur.

veya

Bölüm-5-47

bölüm 5 Örneklem ve Örneklem dağılımları

Documents