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Resúmenes teóricos de los ejercicios de examen Oposición Matemáticas de secundaria

Aritmética. Teoría de Números.

1. Bases numéricas: Todo número se puede escribir en cualquier base b (b2):

Nb=anan−1 .. . .a1a0=an · bn+an−1 ·b

n−1+ .. .. .+a1 · b+a0 con ai∈ {0,1 .. . .. , b−1}

Cambios de base:

7318=1 ·80+3 ·81+7 ·82=473

3461=d8516

212=31104

Acotación de Nb=anan−1 .. . .a1a0 : 10 . ..⏞n

0b≤N b<10 . . .⏞n+1

0b →bn≤Nb<bn+1

nota: (tiene n+1 dígitos)

2. Criterios de divisibilidad:

3→ S=∑ ai=3¿

9→ S=∑ ai=9¿

4¿

→2a1+a0=4¿

8¿

→4 a2+2a1+a0=8¿

11¿

→a0−a1+a2+. ..(−1)nan=11¿

7¿

,13¿

→( a2a1 a0 )−(a5a4 a3 )+(a8a7 a6 )−. . .=7¿

,13¿

Un número N es múltiplo de n=

2n2·3

n3 ·. . .. · pn p⇔{N=2

n2

¿

.. .

N=pnp¿

3. Descomposición factorial: N=2n2·3

n3 ·. . .. · pn p

a. Número de divisores=(n2+1)·( n3+1)·….·( np+1)

b. Suma de divisores=

2n2+1

−12−1

· 3n3+1

−13−1

····· pn3+1

−1p−1 (Nota cada fracción es un

N

igual suma geométrica · p

n3+1−1

p−1 =1+p+p2+…+pn )

José Luis Lorente Aragón ([email protected])

Dígitos >9

10 a

11 b

12 c

13 d

…


4. Terminaciones de los cuadrados perfectos: {0,1,4,5,6,9}- Si a0=6 a1=impar- Si a0=1,4,9 a1=par- Si a0=5 a1=2- Si a0=0 a1=0

5. Relación mcd y mcm: mcd(a,b)=d a=d·a’, b=d·b’(con mcd(a’,b’)=1)

mcm(a,b)=d·a’·b’=

a·bd

6. Identidad de Bezount (muy útil ecuaciones diofantica): Si dos números (m y

n) son primos entre sí ⇔α·m+β·n=1 siendo y Z también primos entre sí

7. Relación primos entre si : mcd(x,y)=1, mcm(x,y)=x·y, mcd(a-y,x+y)=2

8. Congruencia en Z (a)mod(n)=(b)mod(n) ⇔mismo resto ⇔ a-b=n¿

.

Propiedades de Zn

a. (a+b)mod(n)=(a)mod(n)+(b)mod(n)b. (a·b)mod(n)=(a)mod(n)·(b)mod(n)

En Zn podemos igualar los números con mismo módulo Para calcular el módulo número negativo hacer el del opuesto positivo y será el

complementario.

9. Pequeño teorema de Fermat: ∀ n∈Z y con p=primo { npmod ( p )=n mod ( p )

np−1mod ( p )=1 mod ( p)

10. Ecuaciones diofánticas: intentar factorizar y acotar las soluciones.



Sucesiones. 1. Formas de conocer una sucesión:

a. Recurrente: an=f(an-1, an-2,…). Ejemplo Fibonacci: an=an-1+an-2

b. General (lo deseado): an=f(n)c. Mixto: an=f(an-1 ,n)

Para obtener an=f(n) tenemos que bajar la recurrencia hasta obtener an en función a1.

2. Sucesión aritmética: Término general: an=a1+(n−1 )· d

Suma finita:Sn=

(a1+an)2

·n

3. Sucesión geométrica: Término general: an=a1 · rn−1

Suma finita:Sn=

a1−an ·r1−r

Suma infinita:S∞=

a1

1−r (sólo progresiones decrecientes)

4. Convergencia de una sucesión limn→∞

an=l→∀ ε>0 ∃ n0∈N : n>n0 |an−l|<ε. Se

cumple también que limn→∞

an=limn→∞

an+1=l

5. Divergencia a : limn→∞

an=∞→∀M>0 ∃ n0∈N : n>n0 an>M

6. Divergencia a -: limn→∞

an=−∞→∀m<0 ∃ n0∈N : n>n0 an<m

7. Oscilantes divergentes (no tienen límite): ejemplo an=cos (n) limn→∞

an≠ limn→∞

an+1

8. Teorema de convergencia: a. Si an es creciente (decreciente) y acotada inferiormente (superiormente) entonces

la sucesión an converge a la cota inferior (superior) de la sucesión b. Si an es creciente (decreciente) y no acotada inferiormente (superiormente)

entonces la sucesión an diverge a (-). 9. Algebra de límites:

a.limn→∞

(an+bn )= limn→∞

an+ limn→∞

bn

b.limn→∞

(an · bn )= limn→∞

an · limn→∞

bn

c.limn→∞

(an /bn )= limn→∞

an / limn→∞

bn

10. Cálculo de límites:

a. Si no somos capaces de obtener expresión general de la forma recurrente ver posibles límites, crecimiento y acotación.



b. Si tenemos la expresión general :

i. Cálculo de límites de expresiones elementales.

Orden crecimiento log ( n)<n1

3<n1

2¿n<n2 ¿n3 ¿1,1n¿2n ¿n !<nn

Si tenemos 1 buscar el número e: e=lim

n→∞(1+ 1f (n ))

f (n)

ii. Método sándwich(oscilantes): anbn Cn y

limn→∞

an= limn→∞

cn=l→ limn→∞

bn=l

iii. Stolz:

00, ∞∞

, an y bn crecientes ambas limn→∞

anbn= lim

n→∞

an+1−anbn+1−bn (se usa

con numerador o denominador con series).

c. Infinitésimos (n):

i. n !≈√2πn·nn · e−n (Stirling)

ii.

n√an≈an+1

an=1+

ln (an )n

iii. ln (1+an )≈an (si an→0 )

iv.

p√an≈1+anp (si an→0 )

11. Sucesiones recurrentes lineales de orden 2 homogéneo (o mayor orden): an =·an-1+·an-2. Su término general an=a·r1

n+b·r2n (obtener a y b por las dos primeros valores a1 y a2). Se

calcula r1 y r2 por ecuación característica r2=·r1+. Casos

a. Raíces reales distintas : an=a·r1n+b·r2

n

b. Raíces dobles (r): an=a·r1n+b·n·r1

n

c. Complejas conjugadas: r=ρ·eiϑ

an=a·n·cos(n)+b·n·sen(n)

Si no son homogéneas añadir un polinomio genérico del mismo grado que la parte no homogénea y sacar más condiciones iniciales.



Series1. Criterios de convergencia series definidas positivas

Condición necesaria: limn→∞

an=0

Comparación

limn→∞

anbn=l→¿ {l≠0⇒an lo mismoquebn ¿ {¿ ¿

¿¿

Cociente

limn→∞

an+1

an=l→¿ {l<1⇒converge ¿ {l=1⇒? ¿ ¿¿

Raíz

limn→∞

n√an=l→¿ {l<1⇒ converge ¿ {l=1⇒? ¿ ¿¿

Logaritmolimn→∞

ln ( 1an )

ln(n)=l→¿ {l<1⇒diverge ¿ {l=1⇒? ¿ ¿¿

Raabe Cuando l=1

en Cr. Cociente:

limn→∞ [n·(1− an+1

an)]=l→¿ {l<1⇒diverge ¿ {l=1⇒? ¿¿¿¿

Comparación con series armónicas: ∑nan=∑

n

1rn {n>1 converge

n≤1 diverge

2. Criterios de convergencia series oscilantes: converge si y sólo sí se cumple limn→∞

an=0



3. Cálculo de sumas (definidas positivas)

Aritmético-geométricaS=∑

n=1

∞

bnn ·Cn

1. Determinamos r.2. Restamos: Sn−r·Sn

3. Calculamos S∞ de la geométrica que queda.

4. Resolvemos:(1−r )· Sn=a1+S∞

HipergeométricaS=∑

n=1

∞ k(n+r ) ·(n+r+1 )

1. Comprobamos que cumpla:

an+1

an=α·n+βα·n+γ

2. Confirmamos convergencia:γ−βα

>1→converge

3. Descomponemos la fracción. Quedará de la forma: A=−B4. Obtenemos una Telescópica. Nos queda sin eliminar sólo el primer término.

Reducible a HipergeométricasS=∑

n=1

∞ p(n )q (n)

1. Comprobamos que cumpla:gradode q(n )=2+gradode p( n)

q (n)=(n+r ) ·(n+r+1) ·(n+r+2)· . ..

2. Confirmamos convergencia por comparación con: ∑n=1

∞ 1n ²

3. Descomponemos la fracción cogiendo de 2 en 2 los factores del denominador:

4. Resolvemos las Hipergeométricas resultantes.

Polinómicas con n!: S=∑

n=0

∞ p (n)n!

S=∑n=1

∞ n2+n+1n!

=4 · e−1


S=∑n=1

∞ 3n−13n =( 1

3 )n

· (3n−1)

S=∑n=1

∞ 2(n+2) ·(n+3 )

S=∑n=1

∞ 3n+1(n+1) ·(n+2) ·(n+3 )

A(n+1 )·(n+2 )

+ B( n+2) ·(n+3 )


1.

p (n)n!

=A1

n!+

A2

(n−1)!+ .. .+

A p+1

(n−p )!n≥p (siendo p=grado( p( n))

2. Relacionamos cada sumando con e=∑

n=0

∞ 1n !

Exponencial con n!: S=∑

n=0

∞ k n

n! S=∑

n=1

∞ 22n

(n+2) !=1

4( e2−5 )

1. Buscar kn y n! con cambio variable

2. Relacionamos con ek=∑

n=0

∞ kn

n !

Telescópicas: S=∑

n=0

∞

(bn−bn+1 )

S=∑n=1

∞ √n+1−√n√n2+n

=1

1. Buscar bn-bn-1 (cuando no es de ninguno de los anteriores tipos)2. Los términos se anulan todos menos el primero (y el último si es serie finita).

4. Cálculo de sumas (oscilantes)

Valor aproximado: S=∑

n=0

∞

(−1)n · an=Sn±En donde En=|S−Sn|=|an+1|

Valor exacto (buscar desarrollos de Lagrange)

e x=∑n=0

∞ 1n !

· xn ln (1+x )=∑n=1

∞(−1)n+1 · x

n

n

sen( x )=∑n=0

∞(−1)n · x2 n+1

(2n+1)!cos ( x )=∑

n=0

∞(−1)n+1 · x2 n

(2n )!

5. Sumas infinitas que se convierten en integrales definidas

1. Son de la forma limn→∞

∑k=k 0

n

f (n)

limn→∞

∑k=1

n n2n2+ jn

=∫0

1dx 1

2+x=ln (3 /2 )

2. Buscar poner un factor inicial

1n y todas las k transformarlas en

kn

3. Cambiar suma por integral: limn→∞

∑k=a

n

f ( n)=∫a

bg( x )

, siendo dx=

1n ,

kn=x

,

a=limn→∞

k0

n , b=limn→∞

nn .

4. Si queda alguna n sin cuadrar poner fuera de la integral y calcular el límite n



6. Suma importante ∑k=0

n

k2=n (n+1)(2n+1)

6



Complejos1. Formas de definir los complejos:

a. Cartesiana y binómica: z=(a,b)0a+b·i (se usan para la suma y resta)

b. Polar y exponencial: ρα=ρ·e iα (multiplicar, dividir, potencias…)

2. Complejos y razones trigonométricas

a.cos (α )=Re(eiα )= e iα+e−iα

2 sen(α )=Im(e iα )= eiα−e−iα

2 i

b. e iα=cos(α )+i· sen( α )

c. Expresiones de la forma:

1±eiα

1±eiα multiplicar por e−iα /2

para buscar sen y cos3. Calculo de raíces cuadradas complejas sin calculadora:

a. Necesitamos cos (ϑ /2)=±√ 1+cos (ϑ )

2 y sen(ϑ /2 )=±√ 1−cos (ϑ )

2

b. Calculamos cos (ϑ )=Re( z )

|z| y según el cuadrante ajustamos el 4. Operaciones con logaritmos : poner siempre en el ángulo +2k (infinitas solcuiones)

5. Raíces de complejos n√ z=n√ ρ·ei(α+2πk )=n√ ρ·e

i(α+2 πk )n k={0,1. . , n−1}

a. Afijos en los vértices de un polígono regularb. Suma de las raíces es cero (centro de gravedad en el origen)

c. Las raíces están en suma geométrica de r=eiπn

6. Raíces de números reales positivos : n√k=n√k·ei(0+2 πk )=n√k· e

i2 πkn k={0,1 .. , n−1}

a. Si n=par tiene dos soluciones reales (una + y otra -). Si n es impar una sólo (+)b. Las demás raíces son complejas conjugadas dos a dos.

7. Raíces de números reales negativos : n√−k=

n√k·ei (π+2 πk )=n√k· ei (π+2 πk )

n k={0,1. . , n−1}a. Una solución real negativa si n=par. Si n=impar dos imaginarias purasb. Las demás raíces complejas conjugadas dos a dos

8. Polinomios reales con raíces complejas conjugadas : (x-(a+bi)(x-(a-bi))=(x-a)2+b2

9. Movimientos: a. Traslaciones: sumamos la traslación z0

b. Giros respecto origen: multiplicamos por eiϑ ϑ=giro

c. Homotecias con centro en origen: multiplicar por k. Si k<0 k>0 y giro de 180o

10. Ángulos entre tres complejos:

a. Alineados:

z1−z2

z1−z3=k∈ R


12. Potencias de i:

in={ 1 si n=0 mod ( 4 )i si n=1 mod ( 4 )−1 si n=2mod (4 )−i si n=3mod ( 4 )


b. Perpendiculares

z1−z2

z1−z3=k·e±i 90=±k·i

11. Lugares geométricos : |z-z0|=r z en circunferencia centro z0 y radio r. z=z0+r·ei

Álgebra1. Definición K-espacio vectorial (V,+,·): (Rn ,+, ·¿, (Mnxm ,+, ·), (Pn(R),+,·).

Grupo con la suma (V,+): asociativa, conmutativa, elemento neutro, opuesto.

Con el producto (escalar) (V,·): distributiva con vectores y escalares (elementos del cuerpo K), asociativa y elemento neutro.

2. Subespacio vectorial: (U,+,·) ⊂ (V,+,·) si cumple:

∀ u , v∈U→ u+v∈U

∀ u∈U , ∀ λ∈K→ λ u∈U

Subespacios vectoriales: definidos de tres formas:

A partir de los vectores de la base S=<v1 , v2 , . .. , vr

>

Paramétricas: v=( x1 , x2 ,. . ., xn)=λ1 v1+ λ2 v2+λr vr

Implícitas: nº ecuaciones linealmente independientes =n-r

Operaciones con subespacios:

Intersección: U1∩U2={v∈V : v∈U1 y v∈U 2}

Suma: U1+U2={v∈V : ∃ u1∈U 1 y u2∈U 2 v=u1+u2}

Fórmula de la dimensión: dim(U1)+dim(U2)=dim(U1+U2)+dim(U1∩U2

)

3. Dependencia e independencia vectorial, generadores y base:

{v1 , v2 , . .. , vm

}Linealmente independientes si λ1 v1+. .+λm vm=0↔λ1=. . .=λm=0

:

Ningún vector es combinación lineal de los demás

Rg(v1 , v2 , . .. , vm

)=m

Si m>n (dimensión de n) serán seguro linealmente dependientes.



{v1 , v2 , . .. , vm

} generadores si : todo vector se puede poner como combinación

lineal de estos vectores: ∀ u∈V u=λ1 v1+. .+ λm vm

Notación: V=<v1 , v2 , . .. , vm

>

Rg(v1 , v2 , . .. , vm

)=n=dimensión de V

Si m<n (dimensión de n) no será generador.

Base: {v1 , v2 , . .. , vn

} si cumple a) linealmente independiente y generador.

n vectores son base de espacio de dimensión n si det(v1 , v2 , . .. , vn )≠0

Teorema de la base: Todas las bases tienen mismo número de vectores (n=dimensión del espacio vectorial).

4. Cambio de base:

B1={v1 , v2 , . .. , vn

} B2={w1 , w2 , . . . , wn

}

w i=ai1·

v1+ai 1 v2+. . .+ain vn

P12=( a11 . .. an 1

.. . . .. . ..a1 n . .. ann

)

Si v=( λ1 , λ2 , .. . , λn)B1

y v=( μ1 , μ2 ,. .. , μn )B2

(μ1

. ..μn)=( a11 . .. an 1

.. . . .. . ..a1 n . .. ann

) ·( λ1

.. .λn)

B2 B1 matriz P12-1

Se suele trabajar con la Base canónica como referencia.

B1 Bc B2

5. Aplicaciones lineales: f: V W. Cumpliéndose (dim(V)=n, dim(W)=m):

f(u+v)=f(u)+f(v)

f(·u)=·f(u) (son operaciones lineales entre coordenadas homogéneas).

Matriz aplicación (asociada a las bases):

f (v i )=a1i ·w1+a2iw2+. . .+amiwm

A=( a11 . .. a1 n

. . . .. . .am1 . .. amn )

Matriz asociada en otras bases


P1 P2-1

P2-1·P1

A’= Pw-1·A· Pv


f: V V W W

Bv’ Bv Bw Bw’

Nucleo e Imagen:

Nucleo: ker(f)V={v∈V : f (v )=0

}

Imagen: Img(f)W={w∈W : ∃ v∈V : f (v )=w

}

Dim(V)=dim(Img(f))+dim(ker(f))

Tipo de aplicaciones:

Inyectivas: f(v1)=f(v2) v1=v2. Se cumple: Ker(f)=0, rg(A)=dim(V)

Sobreyectiva si im(f)=W. Se cumple rg(A)=dim(W)

Biyectiva: intectiva+sobreyectiva. A cuadrada, |A|0. Rg(A)=dim(V)=dim(W). Existe inversa f-1, tal que ff-1=id

6. Diagonalización y matriz de Jordan:

Polinomio característicos: p(x)=det(A-x·I). Autovalores p(x)=0. Diagonaliza si:

Raíces simples. Autovectores: Vi=ker(A-iId)

Raíces múltiples pero igual a la dimensión del kek(A-iId).

A=P·D·P-1 y eA=P·eD·P-1

Matriz de Jordan cuando no diagonaliza.

J=N+D

A=P·J·P-1 y eA=utilizar N es nilpotente.

7. Ortogonalizaciónd de Grand-Smith: B={e1,…,en} - B*={u1,..,un} tal que ui·uj=δ ij

Definida en espacios normados.

w1=u1, w2=u2-

w1 · e2

|w1|2 w1

, w3=u3-

w1 · e3

|w1|2 w1−

w2 · e3

|w2|2 w2

8. Ecuaciones de Cardano: p(x)=anxn+an-1·xn-1+…+a0=an (x-x1)(x-x2)…(x-xn)

x1+x2+…+xn =-an-1/an

x1·x2·…·xn =(-1)n·a0/an

x1·x2+x1·x3+…+xn·xn-1=

∑i=1,2 ,. . . , n ¿

¿ i < j ¿¿=an-2/an

9. Morfismo: (u homomorfismos) a las aplicaciones entre estructuras matemáticas que preservan la estructura de la aplicación.


Pv Pw-1A


Morfismo de grupos: sean dos grupos (conjunto y operación interna): (G,*), (G’,) es una aplicación que transforma una operación en otra cumpliéndose: f:G G’1. f(g1*g2)=f(g1) f(g2) para todo g1, g2 G2. f(eG )=eG’ siendo eG=elemento neutro con * y eG’=elemento neutro con

Ejemplo: f: (R,+) (R,·) 1. f(x+y)=ex+y=ex·ey=f(x)·f(y) x ex 2. f(0)=e0=1

Morfismo de Anillos y de Cuerpos: sean dos Anillos (cuerpos) (G,·,+) y (G’,+,·) es una aplicación que transforma las dos operaciones: f:G G’. Cumpliéndose:1. f(g1+g2)=f(g1)+f(g2)2. f(g1·g2)=f(g1)·f(g2)

Morfismo entre espacios vectoriales es lo que llamamos aplicación lineal. Cumple:

1. f(u+ v )= f ( u )+ f ( v )

2. f(λ u )=λf ( u )

Si f es inyectiva, se llama monomorfismo; si es sobreyectiva, epimorfimo, y si f es biyectiva, isomorfismo. En este último caso se dice que (A, ∗) y (B, ) son estructuras isomorfas

Automorfismo: isomorfismo de un objeto matemático en sí mismo (A, ∗) en (A, ∗)

Análisis. 1) Integración en 1-variable

1.1. Cambio de variable, por partes, racionales (Ver apuntes de2ºBachillerato)

1.2. Trigonométricas:

Tipo 1: impar en seno o coseno

a)si seno impar cos( x )=tb )si cos seno impar sen( x )=t}si ambos impar a ) o b)

Ejemplo:

∫ sen4 x ·cos3 xdx= =∫ t 4 ·cos2 ( x )dt=∫ t4 (1− t2)dt= sen5 x5

− sen7 x7

Tipo 2: par en seno y/o coseno Se utilizan sen2 x=1−cos (x )

2y sen2 x=1+cos (x )

2 o el

C. variable (si están denonomiador) tg(x)=t sen(x)=

t√1+t 2

, cos(x)=

1√1+t 2

, dx= 1

1+t2dt

Ejemplo:

∫ sen4 xdx=∫ ( sen2 x )2 dx=∫( 1−cos (2x )2 )

2

= 14∫1−2 cos(2 x )+cos2(2x )=


sen(x)=t

cos(x)dx=dt


14∫ 1−2cos (2x )+ 1+cos( 4 x )

2= 1

4 ( 32x−sen(2 x )+ sen (4 x )

8 )+C

Tipo 3: Cambio general (paso racional) :tg ( x2 )=t→dx=2 ·dt

1+ t2, sen( x )= 2t

1+t2 , cos( x )=1−t 2

1+t2

Ejemplo:

∫ sen( x )+cos ( x )1−sen (x )

dx=∫2 t

1+ t2+ 1−t2

1+t2

1− 2t1+t2

2dt1+t2=2∫ 1+2 t−t2

( t 2−2 t+1)(1+t 2)dt

1.3. Hermite (Racionales con raíces complejas dobles):

∫ P (x )Q( x )

dx= =f ( x )D (x )

+∫ g( x )d ( x )

dx

Ejemplo:

I=∫ 1( x2+1)2

dx= = Ax+Bx2+1

+∫ Cx+Dx2+1

dx

Calculo A,B,C,D (derivar)

1(x2+1 )2

=A( x2+1 )+( Ax+B) ·2x

(x2+1)2+Cx+D( x2+1)

(x2+1 )2B=C=0,A=D=-1/2

I=12

xx2+1

+ 12∫

11+x2

dx= 12

xx2+1

+ 12arctg ( x )+C

1.4. Irracionales

Tipo 1:∫ √a2−b2 x2dx

(C. Variable

bax=sen (t ) o cos ( t )

)

Ejemplo:

∫ √4−9 x2=2∫ √1−( 3 x2 )

2= =4

3∫√1−sen2 t cos tdt= 43∫ cos2 tdt=. ..

Tipo2:∫ √a2+b2x2 dx

(C.Vble

bax=tg( t ) o sh (x )=t

)1+tg2(t)=1/cos2(t), 1+sh2(t)=ch2(t)

Ejemplo:


D(x)=mcd(Q(x),Q’(x))

d(x)=

Q( x )D( x )

f y g genéricos de grado 1menos numerador

Q(x)=(x2+1)2 D(x)=macd(Q,Q’)=(x2+1)

Q’(x)=4x(x2+1) d(x)=(x2+1)2/(x2+1)=x2+1

3 x2

=sen( t )

32=cos ( t )dt

3 x2

=tg( t )

32dx=1

cos2 tdt


∫ √4+9 x2=2∫√1+( 3 x2 )

2= =4

3∫√1+tg 2 t 1cos2 t

dt= 43∫

dtcos3 t

=. . .

Tipo 3:∫ √b2 x2−a2dx

(C. Vble

bax=ctg( t ) o ch( t )

)cotg2(t)-1=1/sen2(t), ch2(t)-1=sh2(t)

Ejemplo:

∫ √9 x2−4=2∫√( 3 x2 )

2+1= = 4

3∫ √sh2 t−1 shtdt=43∫ sh2 tdt=

=43∫

(ch (2 t )−1 )2

dt=13sh(2 t )− 2

3t+C

(Nota he usado ch(2t)=sh2(t)+ch2(t)=1+2sh2(t)

Tipo 4:∫ √ax 2+bx+cdx=∫ √a ( x+ b

2a)2+c− b2

4a (Buscar tipo I, II o III)

Tipo 5 (método Alemán):

∫ p (x )dx

√ax2+bx+c=h( x )√ax2+bx+c+K∫ dx

√ax2+bx+c con

h(x)=polinomio genérico de grado 1 menor que p(x)

Ejemplo:

I=∫ x2

√x2+2x+4=( Ax+B )√ x2+2 x+4+C∫ dx

√x2+2 x+4

Derivamos:

x2

√x2+2x+4=A√x2+2x+4+( Ax+B)(2 x+2)

2√x2+2 x+4+ C√ x2+2 x+4

→ A=12, B=−3

2C=−1

2

I= x−32 √ x2+2 x+4+ 1

2∫dx

√ x2+2x+4= x−3

2 √x2+2 x+4+ 12∫

dx

√( x+1)2+3=( tipo 4 )

Tipo 6: I=∫R((ax+b )

a1b1 , (ax+b )

a2b2 , ,(ax+b )

anbn) ,

C. Variable (ax+b )=tmcm(b1 , . . .. , bn)

Ejemplo:

∫ √ x4√ x3+1

dx= =4∫ t2

t 3+1t 3dt=4∫ t 5

t3+1dt (Racional)

2) Integrales definidas tabuladas


3 x2

=ch ( t )

32=sh ( t )dt

x=t4

dx=4t3dt


a.

Γ ( n)=∫0

∞e−t t n−1dt={ Γ (n )=(n−1 )!

Γ ( n2)=n−2

2n−4

2. . .· 1

2·√ π

Eje:

∫0

∞e−t t3 /2dt=Γ ( 5

2 )=32· 12 √ π

b. β (m ,n )=∫0

1tm−1 (1−t )n−1 dt=Γ (m)· Γ (n )

Γ (m+n )

c. ∫0

∞e−x2 a2

dx=√π2a

3) Cálculo áreas, volúmenes y longitudes.

3.1. Áreas:

1.A=∫x0

x f |f ( x )|dx (con eje OX)

2.A=∫y0

y f |g ( y )|dy (con eje OY)

3.

A=∫ϑ0

ϑ f ρ2

2dϑ

3.2 Longitudes:

1. Cartesianas: l=∫x0

xf √1+ f ' ( x )2dx

2. Paramétricas: l=∫t0

t f √(∂ x∂ t )

2+(∂ y

∂ t )2dt

3. Polares: l=∫ϑ0

ϑ f √ ρ2+(∂ ρ∂ ϑ )2dϑ

3.3 Volúmenes de revolución:

1. Giro sobre el eje OX: V=∫x0

x f π·f ( x )2 dx

2. Giro sobre el eje OY: V=∫y0

y f π·g( y )2dy

3.4 Superficie de revolución:

1. Giro sobre el eje OX: V=∫x0

x f 2π·f ( x )√1+ f ( x )2 dx

2. Giro sobre el eje OY: V=∫y0

y f 2 π·g( y )√1+g ( y )2 dy



3. Paramétricas eje OX: V=∫t0

t f 2π·y ( t )√(∂ x∂ t )2+(∂ y∂ t )

2dt

Teorema de Pappus para calcular superficies y volúmenes de revolución:

1. Superficie: S=L·2π·d con L=longitud curva y d=distancia centro gravedad de la curva al eje.

2. Volúmenes: V=A·2··d con A=área de la curva =distancia centro gravedad de la superficie al eje (nota no siempre es el mismo que el de la curva)

4) Teoremas de continuidad y derivabilidad.

1. Bolzano: Si f(x) continua en (a,b) y f(a)·f(b)<0 existe c(a,b) tal que f(c)=02. Rolle: si f(x) continua y derivable en (a,b) y f(a)=f(b) existe c(a,b) tal que f’(c)=03. Incrementos finitos (Lagrange): si f(x) continua y derivable en (a,b) existe c(a,b) tal

que f ' (c )= f (b )−f (a )

b−a

4. Cauchy: f(x) y g(x) continua y derivable en (a,b) existe c(a,b) :

f ' (c )g ' (c )

=f (b )−f (a )g (b )−g(a )

5) Desarrollo de Taylor (Mc’Laurin en x0=0).

1. Exacto (ver radio de convergencia): f ( x )=∑

i=0

∞ f ' i( x0 )i !

( x−x0 )i

2. Aproximado (hasta n): f ( x )=∑

i=0

n f ' i( x0 )i !

( x−x0 )i+En+1 (x )

Siendo el error a) Lagrange: En+1 (x )=

( x−x0 )n+1 f 'n+1 (c )

(n+1 )! con c(x0,x)

b) Cauchy: En+1(x )=

( x−x0 )( x−c )n f 'n+1( c )n! con c(x0,x)

6) Sucesiones funcionales: xn+1=f(xn ) convergente si |f’(x)|<1

Geometría.1) Cuádricas.

1.1. Ecuaciones reducidas:

- Elipse:

x2

a2+y2

b2 =1 o x2

b2+y2

a2=1 (2a=eje mayor , 2b=eje menor ,2c=distacia focal



- Hipérbola:

x2

a2−y2

b2=1 o x2

b2−y2

a2=1 (2a=eje real , 2b=eje imag ,2c=distacia focal

- Parábola: x2=4 py y2=4 px

- Hipérbola equilátera (a=b) girada 45o (funciones): x·y=k=a2/2


OO'

O

O’1v

2v

ji,}, 21 vv


1.2. Ecuaciones genéricas (giradas y desplazadas):Sistema de referencia (O(0,0),i , j ).

C: a00+a11x2+a22y2+2(a01x+a02 y+a21XY)=0 (FORMA BILINEAL)

(1 x y )(a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22)(1xy )=0

La matriz de la cónica es A=(a00 a01 a02

a01 a11 a12

a02 a12 a22)

1.3 Cambio de sistema de referencia ’(O’(p,q),v1=(v1 x , v1 y ) , v2=(v2 x , v2 y )): La nueva cónica

matriz asociada A’=Pt·A·P con P=(1 0 0p v1 x v2 x

q v1 y v2 y)

Gα=( v1 x v2 x

v1 y v2 y)=(cos (α ) sen(α )

−sen( α ) cos (α ) )

Para encontrar la matriz de giro diagonalizamos A00 =(a11 a12

a12 a12)

siendo los autovectores v1 y v2 (hay que normalizarlos, y siempre son perpendiculares al ser matriz simétrica).



Buscamos A’ (en el sistema de referencia ’) que será de la forma:

1. Elipse: (−a2b2 0 0

0 b2 00 0 a2 )

. Se cumple det(A)0 y det(A00)>0 (invariantes no dependen de ’)

2. Hipérbola: (−a2b2 0 0

0 b2 00 0 −a2 )

det(A)0 y det(A00)<0

3. Parábola: Hipérbola: ( 0 0 2 p

0 1 02 p 0 0 )

o ( 0 2 p 02 p 0 00 0 1 ) det(A)0 y det(A00)=0

2) Cuádricas.

2.1. Ecuaciones reducidas:



2.2. Ecuaciones genéricas (giradas y desplazadas):En sistema (O(0,0,0),i , j , k ).

C: a00+a11x2+a22y2+a33·z2+ 2(a01x+a02 y+a03z+ a12xy+a13xz+a23yz)=0 (FORMA BILINEAL)

(1 x y z )(1 a01 a02 a03

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23

a03 a13 a23 a33)(1xyz )=0

Matriz cuádrica es A=(

1 a01 a02 a03

a01 a11 a12 a13

a02 a12 a22 a23

a03 a13 a23 a33)

2.3 Cambio de sistema de referencia ’{O’(p,q,r),v1=(v1 x , v1 y , v1 z ) , v2=( v2 x , v2 y , v2 z ) , v3=(v3 , x , v3 y , v3 z )}

La nueva cónica matriz asociada A’=Pt·A·P con P=(1 0 0 0p v1 x v2 x v3 x

q v1 y v2 y v3 y

r v1 z v2 z v3 z)

.

Los vectores v1 , v2 , v3 se consiguen diagonalizando la matriz A00 (al ser simétrica siempre diagonaliza). Los vectores son perpendiculares.

3) Representación curvas en forma implícita: F(x,y)=0.

3.1 Simetría:

- Respecto eje OX : F(x,y)=F(x,-y)- Respecto eje OY: F(x,y)=F(-x,y)- Respecto el origen: F(x,y)=F(-x,-y)- Respecto y=x: F(x,y)=F(y,x)

3.2 Cortes con los ejes:

- Eje OX: F(x,0)=0 - Eje OY: F(0,y)=0

3.3 Puntos con tangente horizontal y vertical:

- Horizontal (máximo o mínimo de y):

F( x , y )=0∂F∂ x

=0 } Si

y ''=−

∂2 F∂ x2

∂F∂ y

si <0 (máximo)si >0 (mínimo )



- Vertical (máximo o mínimo de x):

F( x , y )=0∂F∂ y

=0 } Si

x ''=−

∂2 F∂ y2

∂F∂ x

si <0 (máximo)si >0 (mínimo)

3.4 Puntos múltiples o de cruzamiento:

∂F∂ x

=0

∂ F∂ y

=0 }que sean F( x , y )=0

3.5 Asíntotas :- Verticales: igualamos a cero el coeficiente de mayor grado de y, siendo las asíntotas las

soluciones. - Horizonatales: igualamos a cero el coeficiente de mayor grado de x, siendo las

asíntotas las soluciones. - Oblicuas: y=mx+n. Sustituimos F(x,mx+n) e igualamos a cero el coeficiente de mayor

grado y el de grado 1 menos.

4) Representación curvas en forma polar: ()

4.1. Curva cerradas si ()=(+2)

4.2. Dominio: donde ()>0

4.3. Simetría:

- Respecto eje OX: ()=(-) - Respecto eje OY: ()=(-)- Respecto el origen: ()=(+)

4.4 Cortes con los ejes:

- Eje OX: =0 ((0),0) y = (-(),0) - Eje OY: =/2 (0, (/2)) y =3/2 (0, -(3/2))

4.5. Puntos con tangente horizontal y vertical:

- Horizontal (máximo o mínimo de y): y’=0 con y=·sen()- Vertical (máximo o mínimo de x): x’=0 con x=·cos()

4.6.Puntos múltiples: ()=(+2) (sin ser cerrada) y ver soluciones de ()=0

4.7 Asíntotas: limθ→θ0

ρ(θ )=∞

- Horizontales: 0 =0 o y=lim

θ→ 0, πρ· sen (θ)

- verticales: 0 =/2 o 3/2 x=lim

θ→ π /2,3 π /2ρ·cos(θ )

- Oblicua: y=mx+n. m=tg(0 ), n=limθ→θ0

ρ· sen(θ )−mρ ·cos(θ )



5) Representación curvas en forma paramétricas: (x(t), y(t))

5.1. Simetría:

- Respecto eje OX: x(t)=x(t’), y(t)=-y(t’) t y t’ distintos intervalos (generalmente t y –t)- Respecto eje OY: x(t)=-x(t’), y(t)=y(t’) t y t’ distintos intervalos (generalmente t y –t)- Respecto origen: x(t)=-x(t’), y(t)=-y(t’) t y t’ distintos intervalos (generalmente t y –t)

5.2. Cortes con los ejes:

- Eje OX: y(t)=0 resolvemos y los puntos de corte son (x(t0),0) - Eje OY: x(t)=0 resolvemos y los puntos de corte son (0,y(t0))

5.3. Puntos con tangente horizontal y vertical:

- Horizontal : y’(t)=0

∂2 y∂ x2=

y ''( t )x '( t )− y ' ( t )x ''( t )(x ' ( t ))3 {¿0 min

¿0 max

- Vertical x’(t)=0

∂2 x∂ y2=

x ''(t ) y ' ( t )−x ' ( t ) y ''( t )( y ' ( t ))3 {¿0 min

¿0 max

5.4 Puntos múltiples: dos opciones: a)

x ' ( t )=0y '( t )=0} b) puntos donde

x ( t 1 )=x ( t2 )y ( t1)= y ( t2 )

5.5. Asíntotas:

- Verticales: buscamos los valores t1 donde y(t1)= siendo las asíntotas x=x(t1)- Horizontales: buscamos los valores t2 donde x(t2)= siendo las asíntotas y=y(t2)

- Oblicuas (y=mx+n): valores t3 donde x(t3) =, y(t3)= =.

m=limt→t3

y ( t )x ( t )

,

n=limt→t3

y ( t )−m·x ( t )



Probabilidad y estadística

1) Probabilidad Discreta1.1 Espacio Muestral : sucesos elementales de una variable aleatoria

Ejemplo: Lanzar un dado: E={1,2,3,4,5,6}En el cálculo de la probabilidad es importante que sean sucesos equiprobables (simetría). Ejemplo lanzar dos monedas y ver el número de caras E={0caras,1cara,2caras} No equiprobables E={cc,cx,xc,xx} equiprobables.

1.2 Probabilidad clásica o de Laplace : p(A)=sucesos elementales de A

sucesos de E=casos favorables

casos totales

1.3 Propiedades de la probabilidad (Diagramas de Venn) Unión: p (A∪B )=p (A )+ p (B )−p (A ∩B) Unión genérico

p( A1∪A2∪. ..∪An )=∑i=1

n

p( A i)−∑i≠ j

p (A i∩A j )+ ∑i≠ j≠k

p (A i∩A j∩A j)−.. .(−1)n+1 p(A1∩A2 . ..∩An )

Suceso contario: p (A )=1−p ( A ) Diagramas de Venn.

Sucesos incompatibles: p (A∩B )=0: p (A∪B )=p (A )+ p (B )

1.4 Probabilidad condicional : p (A ∕ B )= p (A∩B )p (B )

=sucesos favorables de A y Bsucesos de B

1.5 Intersección sucesos compuestos : p (A∩B )=p (A ) · p (B /A )

Sucesos independientes: p (A ∕ B )=p ( A )→p ( A∩B )=p ( A ) · p (B )

1.6 Probabilidad total(diagrama de árbol): p(A)=p(A∩B1)+p(A∩B2)+…+p(A∩Bn)

1.7 Teorema de Bayes: p (A /B )=p (B/ A ) · p (A )

p(B)


E


2) Probabilidad Continua

2.1 . Función densidad: f(x) tal que se cumple a)∫−∞

∞f ( x )dx=1

, b) f(x)0

2.2. Cálculo de la probabilidad: p(a< x<b )=∫a

bf ( x )dx

2.3 Función distribución: F (x )=∫−∞

xf ( x )dx

; f(x)=(F(x))’ Se cumple p(x<b)=F(b).

2.4. Laplace continua (2 variables x e y), representar casos totales y favorables

p( A )=area favorablearea total

3) Parámetros estadísticos

Discreta (x1,x2,..xn ) Continua (f(x))

3.1 Valor esperado(esperanza): E( x )= x=μ=∑

i=1

n

p ( xi )x i E( x )= x=∫−∞

∞xf ( x )dx

3.2. Varianza:

var( x )=σ2=∑i=1

n

( x i− x )2 p ( xi )=

¿∑i=1

n

xi2· p ( xi )−( x )2

var ( x )=σ2=∫−∞

∞f (x )(x− x )2dx=

¿∫−∞

∞x2 · f ( x )dx−( x )2

3.3:Desviación típica σ=√var (x )

3.4: Coeficiente de desviación: cv=σ

x

3.4 : Desigualdad de Chebyshov : Sea X una variable aleatoria de media x

y desviación σ

entonces, para todo número real a se cumple:

p(|x− x|>aσ )≤ 1a2

4) Distribución binomial (discreta).

4.1. Definición: X=”nº veces ocurre el suceso A de n” B(p,n), siendo p(A)=p, p( A )=1-p=q



Se cumple p(x=k)=(nk ) pk ·(1−p )n−k

4.2.x=∑

i=1

n

x i · p (x i )=n·p

4.3. σ 2=∑

i=1

n

( x i− x )2 · p( x i)=n·p·q

5. Distribución normal (continua).

5.1. Definición: Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones: a)

x toma todo valor real, b) función densidad: f ( x )= 1

σ·√2 π· e

−( x−μ )2

2· σ 2

5.2. La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1. (Tabla de F(x))

5.3. Tipificar una variable: Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una

distribución N(0, 1). Z= X−μ

σ

5.4. Teorema de Moivre( aproximación Binomial a Normal): B(n,p) N(n·p,√npq )



6. Distribución Poisson (discreta).

6.1. Definición: X=”nº veces que ocurre un evento en un tiempo” P(), siendo =x . Expresa a partir de frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos en cierto periodo de tiempo. Dominio de X={0, 1, 2, 3,…}.

Probabilidad: p( x=k )= e− λ · λk

k !

6.2 La varianza es σ2= λ

7. Distribuciones marginales continuas (variables x,y):

7.1 . Se cumple (área total)∬ f (x , y )dx ·dy=1

7.2. Conocido y: f ( x )=∫y inicial

y final f ( x , y )dy

7.3. Conocido x∈[ c , d ] : f ( y )=∫xinicial

x final f ( x , y )dx

7.4. Si x e y son independientes se cumple: f(x,y)=f(x)·f(y).

8. Propiedades de números combinatorios:

8.1 : (nm)· n+1

m+1=(n+1

m+1)

8.2:∑i=k

n

( ik )=(kk )+(k+1k )+. ..+(nk )=(n+1

k )


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