sistem persamaan linier ( s.p.l )
DESCRIPTION
SISTEM PERSAMAAN LINIER ( S.P.L ). Matakuliah: K0034 – Aljabar Linier Terapan Tahun: Feb-2007. Konsepsi SPL. Batasan ♦ Persamaan linier dalam dua variabel • Sistem koordinat kartesian • Persamaan garis lurus ♦ Persamaan linier dalam n variabel • Bentuk umum - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Matakuliah : K0034 – Aljabar Linier Terapan
Tahun : Feb-2007
SISTEM PERSAMAAN LINIER( S.P.L )
Batasan
♦ Persamaan linier dalam dua variabel • Sistem koordinat kartesian • Persamaan garis lurus♦ Persamaan linier dalam n variabel • Bentuk umum • Jawab persamaan linier • Himpunan jawab
Konsepsi SPL
3
Jawab Tunggal dan Jawab Banyak
S.P.L
KONSISTEN(Mempunyai Jawab)
TIDAK KONSISTEN (Tidak mempunyai jawab)
JAWAB TUNGGAL JAWAB BANYAK
4
SPL Dalam Matriks
• Bentuk umum SPL
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.
.
.
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
aij , bi tetapan-tetapan SPL
5
xj variable SPL ( i = 1,2,...,m ; j = 1,2,...,n)
• Jawab SPL
Barisan p1, p2, ... , pn suatu jawab SPL jika :
a11p1 + a12p2 + ... + a1npn = b1
a21p1 + a22p2 + ... + a2npn = b2
. . .
am1p1 + am2p2 + ... + amnpn = bm
6
• SPL dalam bentuk matriks
a a ... a
a a ... a
.
.
.
a a ... a
X
X
.
.
.
X
=
b
b
.
.
.
b
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
1
2
n
1
2
m
7
• SPL dalam bentuk matriks lengkap
a a ... a b
a a ... a b
. .
. .
. .
a a ... a b
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m2 mn m
8
Mencari Jawab SPL
* Operasi Tanpa Mengubah Jawab
• Mempertukarkan letak persamaan
• Mengalikan suatu pers. dengan bilangan <> 0
• Menambah / mengurangkan suatu pers. dengan kelipatan pers. lain
9
• Metode Penentuan Jawab SPL
• Eliminasi Gauss a. Membentuk matriks lengkap SPL b. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks
eselon dengan sejumlah OBE c. Mendapatkan jawab SPL
• Eliminasi Gauss - Jordan a. Membentuk matriks lengkap SPL b. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks
eselon tereduksi dengan sejumlah OBE c. Mendapatkan jawab SPL
10
Untuk penyelesaian n persamaan dari n varibel ( A ⋅ x = B ) dapat diselesaikan dengan empat cara,yaitu :
1. Dengan eliminasi biasa.(telah dipelajari di SLTP dan SLTA)
2. Dengan cara OBE :3.4. Aturan Cramer :
)()( xIBA OBE BAx .1
A
Ax jj
Dalam hal ini penulis menggunakan cara kedua(Cara OBE).
11
Persyaratan Sistem Persamaan Linear :
BxA . dimana : A = Matriks koefisien (harus matriks bujur sangkar)
= Matriks variabel
(berbentuk matriks kolom)
B = Matriks suku tetap (berbentuk matriks kolom)
x
12
Dalam penyelesaian SPL ini, penulis menggunakan cara OBE (operasi baris elementer):
)()( xIBA OBE
Contoh:1) Tentukan SPL dibawah ini!
1353
432
21
21
xx
xx
13
a. Dengan Cara Eliminasi di SLTP dan SLTA
2
1
13
3
33
10133
13103
13253
1353
219
38
3819
2610621353
12963432
2
1
1
1
1
1
1
21
2
2
2121
2121
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xxxxx
xxxxx
Jadi
14
b. Dengan cara OBE : )()( xIBA OBE
1353
432
21
21
xx
xx
BxA
x
x
.
13
4
53
32
2
1
)()( xIBA OBE
19
2
)3(2
12
211
19
2
2
190
2
31
13
2
532
31
1353
432 bb
b
15
2
1
2
1
10
01
2
2
102
31
2
12
312
x
xb
c. Dengan cara : BAx .1
BxA
x
x
.
13
4
53
32
2
1
13
4,
53
32:dim
2
1 Bdanx
xxAana
16
)(11 AadjA
A
23
35
19
1
23
35
3352
11
xxA
maka BAx .1
2
1
2
1
38
19
19
1
2612
3920
19
1
13243
13345
19
1
13
4
23
35
19
1
2
1
2
1
x
xjadi
x
x
x
x
17
d. Dengan cara Aturan Cramer :A
Ax jj
BxA
x
x
.
13
4
53
32
2
1
13
4,
53
32:dim
2
1 Bdanx
xxAana
19910335253
32
A
18
2
1
219
38
19
1226
19
34132
53
32
133
42
119
19
19
3920
19
13354
53
32
513
34
2
1
2
1
x
xjadi
x
x
19
Program MAPLEnya :
# SPL Dua Persamaan dengan Dua Variabel
> restart:
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> A := matrix([[2,-3],[3,5]]);
20
53
32
:
A
> B:=vector([-4,13]);
B := [-4, 13]
> AB:=augment(A,B);
[2 -3 -4]AB := [ ] [3 5 13 ]
21
> spl:=geneqns(A,[x1,x2],B);
spl := {3 x1 + 5 x2 = 13, 2 x1 - 3 x2 = -4}
> x:=linsolve(A,B);
x := [1, 2]
22
2) Tentukan SPL dibawah ini !
32
1
22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
a. Dengan Cara Eliminasi di SLTP dan SLTA
3.......32
2.......1
1.......22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
23
13
3
33
12
221
1
1
321
321
x
x
xxx
xxx
4
323
12
2
321
321
x
xxx
xxx
4
141
12
3
3
321
x
x
xxx
4
4
1
3
2
1
x
x
x
jadi
24
b. Dengan cara OBE : )()( xIBA OBE
32
1
22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
BxA
x
x
x
.
3
1
2
121
111
112
3
2
1
)()( xIBA OBE
12 312112
3
0
1
121
330
111
3
2
1
121
112
111
3
1
2
121
111
112bbb
25
113
1
32122
4
0
1
010
110
001
4
0
1
010
110
111
4
0
1
010
330
111bb
b
4
4
1
4
0
1
100
010
001
4
0
1
100
110
001
3
2
1123
x
x
x
jadib
c. Dengan cara : BAx .1
26
3
1
2
121
111
112
3
2
1
x
x
x
3
1
2
,,
121
111
112
:dim
3
2
1
Bdan
x
x
x
xAana
121112
111
121
111
11211
11
K
27
121112
111
121
111
112
112121
111
121
111
112
011111
111
121
111
112
1221
3113
2112
K
K
K
28
011111
111
121
111
112
514121
121
121
111
112
312111
121
121
111
112
1331
3223
2222
K
K
K
29
312111
121
121
111
112
312111
121
121
111
112
3333
2332
K
K
3102
,110112
,... 131312121111
A
A
KaKaKaA
30
351
330
011
330
531
101
:int
330
531
101
:
t
tKAadjAdjoMatriks
KKofaktorMatriks
)(.11 AadjA
A
351
330
011
3
11A
31
BAx .1
3
1
2
351
330
011
3
1
3
2
1
x
x
x
331521
331320
301121
3
1
3
2
1
x
x
x
32
4
4
1
4
4
1
,
12
12
3
3
1
952
930
012
3
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
Jadi
x
x
x
x
x
x
33
d. Dengan cara Aturan Cramer :A
Ax
j
j
3
1
2
121
111
112
3
2
1
x
x
x
3
1
2
,,
121
111
112
:dim
3
2
1
Bdan
x
x
x
xAana
34
Solusi :
321
141212
21
11
12
121
111
112
A
A
A
1
3
3
3
63
3
143232
121
111
112
23
11
12
123
111
112
1
x
35
4
3
12
3
93
3
342416
121
111
112
21
11
12
321
111
212
43
12
3
57
3
261322
121
111
112
31
11
22
131
111
122
3
2
x
x
36
4
4
1
3
2
1
x
x
x
jadi
Program MAPLEnya :# SPL Tiga Persamaan dengan Tiga Variabel> restart:> with(linalg):Warning, new definition for norm> A := matrix([[1,-1,1],[2,1,-1],[-1,2,-1]]);
37
121
112
111
:
A
> B:=vector([1,2,3]);
B := [1, 2, 3]
> AB:=augment(A,B);
38
3121
2112
1111
:
BA
> spl:=geneqns(A,[x1,x2,x3],B);
spl := {x1 - x2 + x3 = 1, -x1 + 2 x2 - x3 = 3, 2 x1 + x2 - x3 = 2}
> x:=linsolve(A,B);
x := [1, 4, 4]
39
Tentukan penyelesaian SPL di bawah ini dengan cara : a. Eliminasi b. OBE c. Kofaktor / Adjoint d. Aturan Cramer
4
3
5
:
1132
1532
2023
.1
3
2
1
321
321
321
x
x
x
Jawab
xxx
xxx
xxx
40
1
1
5
:
5643
342
7252
.3
2
1
3
:
534
923
1134
.2
3
2
1
321
321
321
3
2
1
321
321
321
x
x
x
Jawab
xxx
xxx
xxx
x
x
x
Jawab
xxx
xxx
xxx
41
1
3
2
:
834
1725
17432
.5
0
75
45
:
30711
0335
1523
.4
3
2
1
321
321
321
3
2
1
21
321
321
x
x
x
Jawab
xxx
xxx
xxx
x
x
x
Jawab
xx
xxx
xxx
42
2
1
5
:
82
532
1523
.7
3
1
4
:
1723
32
1632
.6
3
2
1
321
321
321
3
2
1
321
321
321
x
x
x
Jawab
xxx
xxx
xxx
x
x
x
Jawab
xxx
xxx
xxx
43
2
4
3
5
:
93234
443
1122
1732
.9
3
1
6
:
432
72
1323
.8
4
3
2
1
4321
4321
4321
4321
3
2
1
321
321
321
x
x
x
x
Jawab
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
x
x
x
Jawab
xxx
xxx
xxx