sistem persamaan linier homogen · sistem persamaan linier homogen suatu sistem persamaan linier...

of 13 /13
SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2013

Author: others

Post on 12-Feb-2020

98 views

Category:

Documents


2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • SISTEM PERSAMAAN

    LINIER homogen

    JURUSAN TEKNIK SIPIL

    FAKULTAS TEKNIK

    UNIVERSITAS BRAWIJAYA

    2013

  • DEFINISI…….

    Sistem Persamaan Linier Homogen

    Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada salah satu elemen bi tidak sama dengan nol, maka disebut sistem persamaan linier non homogen.

  • PENDAHULUAN

    Bentuk umum:

    Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial. Solusi non trivial didapatkan dengan menentukan nilai dari variabel X sampai dengan persamaan yang ada dapat digunakan untuk menyelesaikan atau mendapatkan nilai X yang lain.

    0xxxx

    0xxxx

    0xxxx

    0xxxx

    nmnjmj2m21m1

    nn ijj i22 i11 i

    nn2jj2222121

    nn1jj1212111

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

  • PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUA DERAJAT KEBEBASAN

    Persamaan Kesetimbangan Massa 1:

    0211

    2112

    1

    2

    1

    xxkdt

    xxdc

    dt

    xdm .…(85)

    Persamaan Kesetimbangan Massa 2:

    0211

    21122

    222

    2

    2

    2

    xxkdt

    xxdcxk

    dt

    dxc

    dt

    xdm (86)

  • Kedua persamaan tersebut disusun dalam bentuk matriks:

    0

    0

    0

    0

    2

    1

    211

    11

    2

    1

    211

    11

    2

    2

    2

    2

    1

    2

    2

    1

    dt

    dxdt

    dx

    ccc

    cc

    x

    x

    kkk

    kk

    dt

    xddt

    xd

    m

    m

    (87)

    02

    2

    dt

    dxCxK

    dt

    xdM (88)

    Untuk redaman = 0

    02

    2

    xKdt

    xdM (89)

  • Solusi persamaan homogen tersebut adalah: xdt

    xd 22

    2

    Dengan ω adalah frekuensi alami getaran. Substitusi persamaan (90) ke dalam persamaan (89):

    (90)

    02 xKxM (91) Atau:

    012 xIxMK (92)

    2

    1 1dan DMK

    Maka diperoleh persamaan homogen:

    0 xID

    Yang menghasilkan nilai eigen λ dan eigen vektor (x) melalui persamaan penentu:

    0 IDDet

    (93)

    (94)

    [D] adalah matriks dinamis

  • Contoh:

    Tentukan bentuk ragam (mode-shape) dari struktur disamping

    Jawab

    Matriks kekakuan:

    kk

    kkKkk

    kkK

    3

    1

    3

    13

    1

    3

    4

    4

    1

    Matriks massa:

    m

    mM

    0

    0

  • Matriks dinamik:

    k

    m

    k

    mk

    m

    k

    m

    MKD

    33

    33

    4

    1

    k

    m

    k

    mk

    m

    k

    m

    ID

    33

    33

    4

    0333

    40

    2

    k

    m

    k

    m

    k

    mIDDet

    k

    m

    k

    m

    mkmkm

    mkmkm

    kk

    m

    k

    m

    k

    m

    51,0833,0

    09154

    0334

    30333

    4

    2,1

    2222

    2

    2

  • m

    k

    k

    m

    m

    k

    k

    m

    ,0903 323,0

    ,7440 343,1

    2

    2

    2

    1

    Ragam getaran diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi alami ke dalam persamaan gerak:

    012 xIxMK

    k

    m

    k

    mk

    m

    k

    m

    MKD

    33

    33

    4

    1

    Ragam 1 m

    k,7440 2

    0

    0

    10

    01

    33

    33

    4

    744,02

    1

    2

    1

    x

    x

    x

    x

    k

    m

    k

    mk

    m

    k

    m

    m

    k

  • 00,1

    07,3

    0

    0

    10

    01

    248,0248,0

    248,0992,0

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    Ragam 2 m

    k,0903 2

    0

    0

    10

    01

    33

    33

    4

    090,32

    1

    2

    1

    x

    x

    x

    x

    k

    m

    k

    mk

    m

    k

    m

    m

    k

    00,1

    33,0

    0

    0

    10

    01

    03,103,1

    03,112,4

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    x

    x

    x

    x

    x

    x

  • Latihan Soal:

    Selesaikan sistem persamaan linier homogen di bawah ini dengan menggunakan variabel x3 sebagai pengali…

  • Tugas: Suatu bangunan mempunyai persamaan ragam struktur dalam bentuk sistem persamaan linier sebagai berikut:

    Tentukan penyelesaian dari persamaan ragam tersebut.

    036,103000030000

    03000054,157000040000

    04000091,2590000

    64,833

    036,103000030000

    03000054,157000040000

    04000091,2590000

    96,562

    036,103000030000

    03000054,157000040000

    04000091,2590000

    17,251

    33

    2

    323

    3323

    2

    313

    2313

    2

    3

    3

    32

    2

    222

    3222

    2

    212

    2212

    2

    2

    2

    31

    2

    121

    3121

    2

    111

    2111

    2

    1

    1

    xx

    xxx

    xx

    dtkradRagam

    xx

    xxx

    xx

    dtkradRagam

    xx

    xxx

    xx

    dtkradRagam

  • Main menu