persamaan linier - himasta.unimus.ac.id

of 15 /15
PERSAMAAN LINIER METODE ITERASI, METODE NEWTON ROPSON DAN METODE SECANT Abdul Rohman, ST.MT

Author: others

Post on 03-Oct-2021

13 views

Category:

Documents


9 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

PowerPoint PresentationPERSAMAAN LINIER METODE ITERASI, METODE NEWTON ROPSON DAN METODE SECANT
Abdul Rohman, ST.MT
Metode ini menggunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi f (x) = 0, sehingga parameter x berada pada sisi kiri dari persamaan, yaitu:
METODE ITERASI
contoh, :
Suatu Persamaan : x3 + x2 – 3x – 3 = 0, dapat ditulis menjadi bentuk
3
323
xx x
Persamaan (1) menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga dengan memberi nilai perkiraan awal dari akar xi dapat dihitung perkiraan baru xi + 1 dengan rumus iteratif berikut:
xi + 1 = g(xi) (2)
% x
xx
i
ii
f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
Penyelesaian: Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk: x3 = –x2 + 3x + 3 x = (–x2 + 3x + 3)1/3
Dalam bentuk persamaan (2), persamaan diatas menjadi: xi + 1 = (–xi2 + 3xi + 3)1/3
Apabila ditentukan perkiraan awal x1 = 2, didapat: x2 = (–x1
2 + 3x1 + 3)1/3 = (–22 + 3(2) + 3)1/3 = 1,70998.
%100 2

Selanjutnya, nilai x2 = 1,70998 tersebut digunakan untuk menghitung nilai x3 pada iterasi berikutnya, sehingga:
x3 = (–x2 2 + 3x2 + 3)1/3 = (–(1,709982) + 3(1,70998) + 3)1/3 = 1,73313.
= 1,34 %.
• Metode ini banyak digunakan dalam mencari akar-akar persamaan.
• jika perkiraan awal dari akar adalah xi, maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f (xi)).
• Titik dari garis singgung tersebut memotong sumbu-x, biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

Contoh :
Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metode Newton-Raphon. f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
Penyelesaian:
f (x) = 3x2 + 2x – 3, Dengan menggunakan persamaan (), yaitu:
i
i
x1 = 1, maka:
f (x1 = 1) = 3(1)2 + 2(1) – 3 = 2.
3 2
4 12
x
Langkah berikutnya nilai x2 = 3, tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya.
f (x2 = 3) = (3)3 + (3)2 – 3(3) – 3 = 24.
f (x2 = 3) = 3(3)2 + 2(3) – 3 = 30.
2,2 30
24 3x3
1 1.00000 3.00000 - 4.0000 24.00000
2 3.00000 2.20000 24.0000 5.88800
3 2.20000 1.83015 5.88800 0.98900
4 1.83015 1.73780 0.98900 0.05457
5 1.73780 1.73207 0.05457 0.00021
6 1.73207 1.73205 0.00021 0.00000
Hasil hitungan metode Newton-Raphson
• Mungkin sulit untuk mencari turunan dari persamaan yang diselesaikan, maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga
Metode Secant

1
1
1
ii xfxf
xxxf xx
Contoh soal:
Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metode Secant. f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
Penyelesaian
Iterasi pertama, diambil dua nilai awal yaitu x = 1 dan x = 2. Untuk x1 = 1, f (x1 = 1) = 4, dan x2 = 2, f (x2 = 2) = 3. Dengan menggunakan persamaan didapat:
12
= = 1,57142.
Pada iterasi kedua, hitungan dilakukan berdasar nilai x2 = 2 dan x3 = 1,57142.
Untuk x2 = 2, f (x2 = 2) = 3, dan x3 = 1,57142, f (x3 = 1,57142) = 1,36449.
Dengan menggunakan persamaan