sistem persamaan linier -...

of 15 /15
Sistem Persamaan linier

Author: others

Post on 08-Jan-2020

19 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Sistem Persamaan linier

  • Persamaan linier Definisi N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :

    a1x1 + a2x2+…+ an xn=b

    disebut persamaan linier, dengan a1, a2, … ,an dan b adalah konstanta-

    konstanta riil.

    Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable :

    a1=k1, x2=k2 … xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebut

    terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut

    himpunan penyelesaian (solusi set). Contoh

    2x1 + x2 + 3x3=5 x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi

    x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi

    x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi

    suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.

  • Definisi

    Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: x1, x2, …, xn disebut sistem persamaan linier.

    Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi

    disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten.

    Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0) P2: a1x1+ a2x2=b2 (c1, c2≠0)

  • Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:

    U2

    X1

    U2

    X1

    U2

    X1

    P1

    P2

    Inconsisten

    P1 P2 P2

    Konsisten

  • Penyajian SPL dengan persamaan matriks

    a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1

    a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2 :

    am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm

    x = b =

    matriks koefisien

    SPL umum:

    a11 a12 a13 a1n

    a21 a22 a23 a2n :

    am1 am2 am3 amn

    x1

    x2

    :

    xm

    b1

    b2

    :

    bm

    A =

    Ax = b

  • Penyajian SPL sebagai matriks augmented

    a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1

    a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2

    :

    am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm

    matriks augmented

    a11 a12 a13 … a1n b1

    a21 a22 a23 … a2n b2 :

    .

    am1 am2 am3 … amn bm

  • SUSUNAN PERSAMAAN LINIER

    HOMOGEN

    AX=0

    NON HOMOGEN

    AX=B, B≠0

    SELALU ADA JAWAB

    TAK PUNYA JAWAB

    R(a)≠r(A,B)

    MEMPUNYAI JAWAB

    JAWAB HANYA

    JAWAB TRIVIAL

    (NOL);R=N

    SELAIN JAWAB TRIVIAL,

    ADA JUGA JAWAB

    NONTRIVIAL R

  • Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0

    Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :

    Rank(A) = Rank(A|B)

    Contoh ;

    1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3

    Jawab:

    -3x+6y=-9

    x-2y=3

    Dalam bentuk matriks=

    0:00

    3:21B

    9:63

    3:21B

    3:21

    9:63-B)|(A

    BxA 3

    9

    21

    63

    ~

    (3)

    21~12

    atauy

    x

    R(a)=r(A|B)=1 r

  • Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen

    Di bawah ini :

    Jawab :

    4 2x 4x 2x

    3 x 3x 4x

    1 2x x 3x

    2 x 2x x

    321

    321

    321

    321

    B xA

    4

    3

    1

    2

    x

    x

    x

    242

    134

    213

    121

    3

    2

    1

    4242

    3134

    1213

    2121~

    )3(

    21B

    ~

    )4(

    31B

    ~

    )2(

    41B

    0000

    55110

    5550

    2121

    ~

    )5/1(

    2B

    0000

    55110

    1110

    2121

  • 0000

    55110

    1110

    2121~

    )2(

    12B

    )11(

    32B

    0000

    6600

    1110

    0101~

    )6/1(

    3B

    0000

    1100

    1110

    0101~

    )1(

    13B

    )1(

    23B

    0000

    1100

    0010

    1001

    Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabel

    Jadi jawabnya tunggal

    Matriks lengkap di atas menyatakan:

    Sehingga sebagai penyelesaiannya :

    1 x 1 x 0x 0x

    0 xatau 0 0x x 0x

    1 x 1 0x 0x x

    3321

    2321

    1321

    1

    0

    1

    x

    x

    x

    x

    3

    2

    1

  • Sistem Persamaan Linier Homogen

    Bentuk umum: Ax = 0, yaitu:

    a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0

    a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0

    am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0 Atau=

    0

    0

    0

    2

    1

    2

    22221

    11211

    nmnmmn

    n

    n

    x

    x

    x

    aaa

    aaa

    aaa

    Matriks A berukuran (m x n) Matriks x berukuran (n x 1) Matriks o berukuran (m x 1) Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).

  • Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :

    Jawab :

    Sehingga solusinya :

    Yaitu solusi trivial atau

    0 x 2x x

    0 2x x x

    0 x x x

    321

    321

    321

    0

    0

    0

    x

    x

    x

    121

    211

    111

    atau

    3

    2

    1

    0121

    0211

    0111

    0)|(A~

    )1(

    21B

    )1(

    31B

    0010

    0100

    0111~23B

    0100

    0010

    0111~

    )1(

    12B

    )1(

    13B

    0100

    0010

    0001

    0 x 0x 0x

    0 0x x 0x

    0 0x 0x x

    321

    321

    321

    0 x, 0 x, 0 x 321

    0 x

  • 2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :

    Jawab :

    0 x x2x

    0 4x 2x 3x x

    0 x x x x

    431

    4321

    4321

    0

    0

    0

    x

    x

    x

    x

    1102

    4231

    1111

    atau

    4

    3

    2

    1

    01102

    04231

    01111

    0)|A(~

    )1(

    21B

    )2(

    31B

    03120

    03120

    01111~

    )1(

    32B

  • Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4

    jadi solusinya tidak tunggal

    (banyak)

    00000

    03120

    01111~

    )2/1(

    2B

    00000

    02/32/110

    01111~

    )1(

    12B

    00000

    02/32/110

    02/12/101

    0 x2

    3 x

    2

    1 x 0x

    0 x2

    1 x

    2

    1 0x x

    4321

    4321

    432

    431

    x2

    3 x

    2

    1 x

    x2

    1 x

    2

    1x

  • Dimana : x3 dan x4 bebas.

    Sehingga :

    Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b

    b 2

    3 a

    2

    1- x

    b 2

    1 a

    2

    1- didapat x

    b dan x a untuk x

    2

    1

    43

    1

    0

    3/2-

    1/2

    b

    0

    1

    1/2-

    1/2-

    a

    b0a

    0ba

    3/2b-1/2a-

    1/2b1/2a-

    x

    x

    x

    x

    x

    4

    3

    2

    1