Metodo de Castigliano

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UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI

FACULTAD DE INGENIERAESCUELA DE INGENIERA CIVIL

RESISTENCIA DE MATERIALES 2TRABAJO GRUPAL #1Tema: TEOREMA DE CASTIGLIANO

CUARTO SEMESTRE A"INTEGRANTES:RIVAS BAZURTO KELVIN ROSALES TORRES ROMMELSalmern Lpez Andrs

DOCENTE: ING. TONIO REALPE TOMALFECHA: 26 De noviembre del 2013

INDICE.1.0. INTRODUCCIN.....32.0. OBJETIVOS.......................43.0. METODOLOGIA..........5 4.0. BIOGRAFA DE ALBERTO CASTIGLIANO.......65.0. TEOREMA DE CASTIGLIANO..................75.1. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS.....96.0. EJERCICIOS PROPUESTOS.....117.0. BIBLIOGRAFIA..14

1. INTRODUCCINLa estructura es el conjunto mecnico encargado de soportar y transmitir las cargas hasta las cimentaciones, donde sern absorbidas por el terreno. Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras enlazadas entre s. Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a la deformacin; con exactitud a la flexin. Existen muchos mtodos de conservacin de energa, los cuales sirven para el clculo de las deflexiones de una viga; el primer mtodo de Castigliano es uno de ellos, es conocido como el ms exacto para estas operaciones, ya que primero calcula el trabajo realizado por la fuerza cortante que aplica la cargas en dicha viga, y por ltimo calcula lo que se desea en realidad: cun deformable es el material q vamos a utilizar en la fabricacin de esta.Los teoremas y procedimientos relacionados con la energa de deformacin ocupan una posicin central en todo clculo de estructuras. En este trabajo se a intentar determinar la deformacin de una viga, utilizando los teoremas de Castigliano.Pues calcular el desplazamiento de un cuerpo, slo se aplica a cuerpos de temperatura constante, de material con comportamiento elstico lineal; es decir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de una determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construccin de ests segn su resistencia y para que propsito la necesitamos.

2. OBJETIVOS GENERALEstudiar y analizar el Mtodo de Castigliano para determinar la deflexin o la pendiente en un punto determinado de una estructura.

2.1. OBJETIVOS ESPECFICOS Investigar los dos teoremas propuestos en el Mtodo de Castigliano para el clculo de deflexin y pendiente en una viga, armadura o un marco. Identificar cuando podemos utilizar los teoremas de Castigliano para el clculo la pendiente y la deflexin de una estructura. Aplicar estos conocimientos mediante ejercicios que vinculen este tipo de clculo en la deformacin de una estructura y comparando que los resultados sean iguales a los dems mtodos estudiados.

3.0 METODOLOGA La manera en la que se llevar a cabo la presente investigacin ser utilizando la metodologa analtica-sinttica, ya que de acuerdo con el tema referido sobre el Mtodo de Castigliano, estudiaremos el tema en cada una de sus partes para comprenderlas en forma individual y luego la integramos para aplicarla en los ejercicios que nos proponemos.En atencin a esta modalidad de investigacin, y de acuerdo con la investigacin propuesta se introducirn tres fases en el estudio, a fin de cumplir con los objetivos establecidos.En la primera fase, investigaremos el autor de este mtodo, consultaremos el Mtodo de Castigliano y sus diferentes teoremas para la determinacin de la deflexin y pendiente en la deformacin de una estructura. En la segunda fase de la investigacin identificaremos cuando podemos aplicar este mtodo, porque en el estudio de estructuras encontraremos en varias ocasiones diferentes tipos de vigas como las determinadas y las indeterminadas en las cuales tendrn procedimientos especficos a cada una de ellas.Por ltima fase, con todos estos conocimientos adquiridos podremos aplicarlos a los ejercicios propuestos en los diferentes libros de Resistencia de los Materiales que encontremos a nuestra disposicin.

3. BIOGRAFA DE CARLO ALBERTO CASTIGLIANO.Carlo Alberto Castigliano (9 de noviembre de 1847, Asti - 25 de octubre de 1884, Miln ) fue un italiano matemtico y fsico conocido por el mtodo de Castigliano para la determinacin de los desplazamientos en un elstico-lineal del sistema sobre la base de las derivadas parciales de energa de deformacin .Alberto Castigliano se traslad desde la regin de su nacimiento, Piamonte en el noroeste de Italia, para el Instituto Tcnico de Terni (en Umbra ) en 1866. Despus de cuatro aos en Terni , Castigliano se traslad al norte de nuevo, esta vez para convertirse en un estudiante de la universidad de Wilkes. Despus de tres aos de estudio en Wilkes escribi una disertacin en 1873 titulado ElasticiIntornoaisistemi por la que es famoso. En su tesis parece un teorema que ahora lleva el nombre de Castigliano. Esto se afirma que: La derivada parcial de la energa de deformacin, considerada como una funcin de las fuerzas aplicadas que actan sobre una estructura linealmente elstico, con respecto a una de estas fuerzas, es igual al desplazamiento en la direccin de la fuerza de su punto de aplicacin.Despus de graduarse de la universidad Wilkes, Castigliano era empleado de los ferrocarriles del norte de Italia. Se dirigi a la oficina responsable de la obra, mantenimiento y servicio y trabaj all hasta su muerte a una edad temprana.[footnoteRef:1] [1: http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano]

4. TEOREMA DE CASTIGLIANO

La componente de desplazamiento del punto de aplicacin de una accin sobre una estructura en la direccin de dicha accin, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energa interna de deformacin de la estructura con respecto a la accin aplicada.[footnoteRef:2] [2: Recuperado en Teoremas Energticos Fundamentales al Anlisis Estructural, pg. 8]

Este es el teorema de Castigliano, llamado as en honor al ingeniero Italiano Alberto Castigliano (1847-1884), quien lo estableci.Si un cuerpo homogneo, isotopo y elsticoest sujeto a la accin de un sistema cualquiera de fuerzas exteriores que lo mantiene en equilibrio, el trabajo de deformacin almacenado en l es funcin del sistema de cargas:

Adems, supondremos que los apoyos son fijos y que la funcin w es diferenciable. El incremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma:

En donde: Si Cuando sobre el cuerpo solamente acta la fuerza , el trabajo efectuado es:

Si aplicamos sobre el cuerpo una fuerza , se produce una deformacin y un trabajo:

Siempre que la carga se aplique gradualmente. Si una vez efectuado este trabajo se carga al cuerpo con el sistema Fi que desarrolla un trabajo Wi y produce una deformacin en direccin de la fuerza aplicada- el trabajo de deformacin en el cuerpo es:

(3.1)Por tanto, el incremento del trabajo vale:

(3.2)

Sustituyendo el valor de la ecuacin (3.2) en la ecuacin (3.1) queda:

Dividiendo entre

Tomando lmite cuando , queda:

Ya que:y

Podemos, entonces enunciar el primer Teorema de Castigliano:la derivada del trabajo de deformacin con respecto a una fuerza Fi cualquiera, mide la deformacin que experimenta el cuerpo en el punto de aplicacin de dicha fuerza.

Considerando ahora que el cuerpo en estudio solamente acta el sistema , siendo el trabajo funcin contina y diferencial, se cumple:

Al aplicar el par , gradualmente, por la ley de clapeyron:

Igualando ambos incrementemos de trabajo:

Dividiendo entre y tomando limites cuando

Esta ecuacin corresponde al segundo teorema de castigliano, que dice:la derivada del trabajo de deformacin con respecto a un par cualquiera, mide el ngulo de rotacin producido por dicho par en el punto de su aplicacin.[footnoteRef:3] [3: Ing. Alberto Martnez Castillo. Anlisis y Diseo de Estructuras Tomo 1. Resistencia de Materiales. Alfaomega. Mxico]

4.1. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURASLa energa de deformacin para un miembro de una armadura est dada por la ecuacin

Sustituyendo esta ecuacin de la ecuacin: y omitiendo el subndice (i) tenemos

Es generalmente ms fcil efectuar la diferenciacin antes de sumar. En el caso general, L, A, E son contantes para en miembro dado y por tanto puede escribirse:

= desplazamiento externo del nudo de la armadura.P= fuerza externa aplicada al nudo de la armadura en la direccin de la buscada.N= fuerza interna en un miembro causada por las fuerzas P y cargas sobre la armaduraL= longitud de un miembro.A= rea de la seccin transversal de un miembro.E= mdulo de elasticidad de un miembro.

La ecuacin es similar a la usada en el Mtodo del Trabajo Vertical:

Excepto que se desplaza por . Ntese que para determinar esta derivada parcial es necesario tratar a P como una variable (no como una cantidad numrica especifica) y adems, cada fuerza de barra N debe expresarse como funcin de P. Por esto, el clculo de requiere en general algo ms de trabajo que el requerido para calcular cada fuerza n determinada

5. EJERCICIOSEjemplo 1Calcular la mxima deformacin de una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida

Se ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto de mxima deformacin. Considerando slo la parte izquierda, el momento es:

La energa de deformacin para la viga entera es el doble de la correspondiente a la mitad de la viga.

La deformacin en el centro es:

Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.[footnoteRef:4] [4: http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teorema-castigliano.html]

Ejemplo 2Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w, determinar el valor de la deflexin en el centro de la luz.

Ejemplo 3Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga env