2º teorema de castigliano - ocw.ehu.eus
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Indice del capítulo 1
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 2
2º Teorema de Castigliano
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 3
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 4
2º Teorema de Castigliano
El 2º Teorema de Castigliano permite calcular giros y desplazamientos en cualquier lugar
Durante la exposición se intentará relacionar visualmente las operaciones del Teorema con el modelo con objeto de adquirir un conocimiento cualitativo de estas operaciones
Las figuras de los ejemplos que acompañan a esta exposición son muy sencillas con la intención de reducir las operaciones y fijar así la atención en el procedimiento
Indice del capítulo 5
Definición
2º Teorema de Castigliano
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 6
Definición
Indice del capítulo 7
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
Definición
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 8
Definición
1P
iP
nPSea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 9
Definición
1P
iP
nP
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 10
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
Definición
1P
iP
nP
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 11
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
Definición
1P
iP
nP
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 12
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
Definición
1P
iP
nP
“La derivada parcial de esta energía respecto de cualquiera de las acciones exteriores coincide con el desplazamiento de dicha acción”, es decir:
Siempre se cumple que:
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 13
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
Definición
1P
iP
nP
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 14
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
Definición
1P
iP
nP
kP Acción externa sobre la estructura
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 15
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
Definición
1P
iP
nP
Pk
kP Acción externa sobre la estructura
Desplazamiento total de la acción en función de P
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 16
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
Definición
1P
iP
nP
Pk
kP Acción externa sobre la estructura
Desplazamiento total de la acción en función de P
Esta ecuación expresa el movimiento de P en función de su valor. Es la ecuación de una recta que, en general, no concurre en el (0,0)
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 17
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
Definición
1P
iP
nP
Pk
kP Acción externa sobre la estructura
Desplazamiento total de la acción en función de P
kP
Esta ecuación expresa el movimiento de P en función de su valor. Es la ecuación de una recta que, en general, no concurre en el (0,0)
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 18
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
Definición
1P
iP
nP
Pk
kP Acción externa sobre la estructura
Desplazamiento total de la acción en función de P
kP
Pk
kP
U
Esta ecuación expresa el movimiento de P en función de su valor. Es la ecuación de una recta que, en general, no concurre en el (0,0)
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 19
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
Definición
1P
iP
nP
Pk
kP Acción externa sobre la estructura
Desplazamiento total de la acción en función de P
kP
Pk
kP
U
Esta ecuación expresa el movimiento de P en función de su valor. Es la ecuación de una recta que, en general, no concurre en el (0,0)
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 20
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
Definición
1P
iP
nP
Pk
kP Acción externa sobre la estructura
Desplazamiento total de la acción en función de P
kP
Pk
kP
U
KEsta ecuación expresa el movimiento de P en función de su valor. Es la ecuación de una recta que, en general, no concurre en el (0,0)
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 21
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
kP
Pk
kP
U
K
Definición
1P
iP
nP
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 22
)P,..,P,..,P(fUW ni1INT
EA2
LN
GI2
dxT
EI2
dxM 2L
0 T
2L
0
2
kPk
k
PKP
U
kP
Pk
kP
U
K
Definición
1P
iP
nP
Repetir la secuencia
La energía de deformación acumulada vale:
Sea un objeto deformable sometido a unas acciones exteriores:
ni1 P,..,P,..,P
Indice del capítulo 23
Definición
2º Teorema de Castigliano
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 24
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 25
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 26
Interpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 27
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 28
Caso general
Indice del capítulo 29
Caso generalEn una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 30
Caso general
Expresión del Teorema cuando la acción es una carga :
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 31
Pk
kP
U
Caso generalEn una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 32
Pk
kP
U
Caso general
queda de la siguiente manera para las estructuras lineales:
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 33
Caso general
Pk
kP
U
PK
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 34
Caso general
Pk
kP
U
PK
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Por ser la ecuación de una recta, puede escribirse de forma:
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 35
Caso general
Pk
kP
U
PK
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 36
Caso general
Pk
kP
U
PK
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 37
Pk
kP
U
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Significa que la estructura, a efectos de deformación en la dirección de , se comporta como una barra de rigidez K
kP
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 38
Pk
kP
U
Estructura formada por tramos lineales
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
1P
iP
nP
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP
Significa que la estructura, a efectos de deformación en la dirección de , se comporta como una barra de rigidez K
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 39
Pk
kP
U
Estructura formada por tramos lineales
kP
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Estructura equivalente de rigidez K
1P
iP
nP
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP
Significa que la estructura, a efectos de deformación en la dirección de , se comporta como una barra de rigidez K
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 40
Pk
kP
U
Estructura formada por tramos lineales
kPPk
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Estructura equivalente de rigidez K
1P
iP
nP
Pk
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP
Significa que la estructura, a efectos de deformación en la dirección de , se comporta como una barra de rigidez K
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 41
Pk
kP
U
Estructura formada por tramos lineales
kPPk
kP
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Estructura equivalente de rigidez K
1P
iP
nP
Pk
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP
Significa que la estructura, a efectos de deformación en la dirección de , se comporta como una barra de rigidez K
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 42
Pk
kP
U
Estructura formada por tramos lineales
kPPkPk
kP
U
kP
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Estructura equivalente de rigidez K
1P
iP
nP
Pk
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP
Significa que la estructura, a efectos de deformación en la dirección de , se comporta como una barra de rigidez K
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 43
Pk
kP
U
Estructura formada por tramos lineales
K
Recta que no pasa por el (0,0)
kPPkPk
kP
U
kP
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Estructura equivalente de rigidez K
1P
iP
nP
Pk
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse en la dirección de kP
Significa que la estructura, a efectos de deformación en la dirección de , se comporta como una barra de rigidez K
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 44
Pk
kP
U
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 45
Pk
kP
U
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
El desplazamiento de está expresado en forma de una serie de términos, que pueden agruparse de dos maneras diferentes:
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 46
Pk
Pk
kP
U
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 47
Pk
Pk
kP
U
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
En función de las deformaciones de los tramos
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 48
Pk
Pk
kP
U
ni1Pk .........
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 49
Pk
Pk
kP
U
ni1Pk .........
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Contribución en el desplazamiento de por la deformación de un tramo i
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 50
Pk
Pk
kP
U
ni1Pk .........
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Contribución en el desplazamiento de por la deformación de un tramo i
kP
En función de las deformaciones por cada una de las acciones exteriores
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 51
Pk
Pk
kP
U
ni1Pk .........
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Contribución en el desplazamiento de por la deformación de un tramo i
kP
mi1Pk ´.....´....´
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 52
Contribución en el desplazamiento de por la deformación de la estructura al actuar una acción i
Pk
Pk
kP
U
ni1Pk .........
mi1Pk ´.....´....´
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Contribución en el desplazamiento de por la deformación de un tramo i
kP
kP
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 53
Contribución en el desplazamiento de por la deformación de la estructura al actuar una acción i
Pk
Pk
kP
U
ni1Pk .........
mi1Pk ´.....´....´
Caso general
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
Contribución en el desplazamiento de por la deformación de un tramo i
kP
kP
Repetir la secuencia
En una estructura lineal cuando se deriva la energía de deformación respecto de una carga se obtiene el desplazamiento de ( ) que es proporcional a su valorPk
kP
kP
Indice del capítulo 54
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 55
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 56
Caso particular
Indice del capítulo 57
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Caso particular
Indice del capítulo 58
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Caso particular
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Indice del capítulo 59
Estructura formada por
tramos lineales
P
P
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Indice del capítulo 60
Estructura formada por
tramos lineales
P
P
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el desplazamiento en función de P
Indice del capítulo 61
Estructura formada por
tramos lineales
P
P
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
PP
U
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el desplazamiento en función de P
Indice del capítulo 62
Estructura formada por
tramos lineales
Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo desplazamiento en función de P
P
P
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
PP
U
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el desplazamiento en función de P
Indice del capítulo 63
Estructura formada por
tramos lineales
Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo desplazamiento en función de P
P
P
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
PP
U
PKEA2
LNdx
GI2
Tdx
EI2
M
P
2 2B
A
B
A T
22
P
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el desplazamiento en función de P
Indice del capítulo 64
Estructura formada por
tramos lineales
Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo desplazamiento en función de P
Por ambos caminos se obtiene la misma recta que
pasa por el (0,0)
P
P
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
PP
U
PKEA2
LNdx
GI2
Tdx
EI2
M
P
2 2B
A
B
A T
22
P
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el desplazamiento en función de P
Indice del capítulo 65
Estructura formada por
tramos lineales
K
Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo desplazamiento en función de P
Por ambos caminos se obtiene la misma recta que
pasa por el (0,0)P
P
P
PKEA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
k
PP
U
PKEA2
LNdx
GI2
Tdx
EI2
M
P
2 2B
A
B
A T
22
P
P
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un única acción exterior
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el desplazamiento en función de P
Indice del capítulo 66
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 67
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 68
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformaciones
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 69
Desplazamiento en función de las deformaciones
Indice del capítulo 70
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Desplazamiento en función de las deformaciones
Indice del capítulo 71
1PkP
km
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 72
1PkP
km
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
El desplazamiento de una acción cualquiera
vale la siguiente expresión:
kP
Indice del capítulo 73
1PkP
km
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 74
1PkP
km
Pk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 75
1PkP
km
Pk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Esta expresión está formada por una serie de términos
Indice del capítulo 76
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 77
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Indice del capítulo 78
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Indice del capítulo 79
1PkP
km
iPk
kP
U
iPk
kP
U
Contribución del tramo i en el desplazamiento de
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
kP
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Indice del capítulo 80
1PkP
km
iPk
kP
U
iPk
kP
U
Contribución del tramo i en el desplazamiento de
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Indice del capítulo 81
1PkP
km
iPk
kP
U
iPk
kP
U
Contribución del tramo i en el desplazamiento de
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Indice del capítulo 82
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Indice del capítulo 83
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
1
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
= desplazamiento por la deformación del tramo 1
Indice del capítulo 84
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
i
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
= desplazamiento por la deformación del tramo i
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Indice del capítulo 85
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
n
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
= desplazamiento por la deformación del tramo n
Indice del capítulo 86
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
n
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Supóngase que corresponde a
un tramo indeformable
= desplazamiento por la deformación del tramo n
Indice del capítulo 87
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
n
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
ni1Pk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Supóngase que corresponde a
un tramo indeformable
= desplazamiento por la deformación del tramo n
Indice del capítulo 88
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
ni1Pk ....
iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Desplazamiento simplificado
Indice del capítulo 89
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las deformaciones
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
ni1Pk ....
iContribución del tramo i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando el tramo se considera indeformable
0i 0i Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Desplazamiento simplificado
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 90
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformaciones
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 91
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 92
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 93
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 94
1PkP
km
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 95
1PkP
km
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
El desplazamiento de una acción cualquiera
vale la siguiente expresión:
Indice del capítulo 96
1PkP
km
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 97
1PkP
km
Pk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 98
1PkP
km
Pk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Esta expresión está formada por una serie de términos
Indice del capítulo 99
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Indice del capítulo 100
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Indice del capítulo 101
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
mi1Pk ....
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Indice del capítulo 102
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
mi1Pk ....
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Indice del capítulo 103
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
mi1Pk ....
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Indice del capítulo 104
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
mi1Pk ....
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i
0i Cuando se desee considerar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Indice del capítulo 105
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i
0i
mi1Pk ....
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Cuando se desee considerar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Indice del capítulo 106
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
1 = desplazamiento por la carga 1
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i
0i
mi1Pk ....
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Cuando se desee considerar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Indice del capítulo 107
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
i = desplazamiento por la carga i
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i
0i
mi1Pk ....
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Cuando se desee considerar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Indice del capítulo 108
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
m = desplazamiento por la carga m
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i
0i
mi1Pk ....
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Cuando se desee considerar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Indice del capítulo 109
1PkP
km
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
m
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i
0i
mi1Pk ....
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Eliminación del desplazamiento
por km
Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Cuando se desee considerar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de
= desplazamiento por la carga m
kP
Indice del capítulo 110
1PkP
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i
0i
mi1Pk ....
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Desplazamiento de sin considerar
kP
km
Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Cuando se desee considerar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Indice del capítulo 111
1PkP
iPk
kP
U
Pk
kP
U
i
Desplazamiento en función de las acciones exteriores
iContribución de la acción i en el desplazamiento de kP
0i 0i
0i
mi1Pk ....
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Desplazamiento de sin considerar
kP
km
Repetir la secuencia
Cuando se desee eliminar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Cuando se desee considerar
la influencia de la acción i
en el desplazamiento de kP
Indice del capítulo 112
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 113
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 114
Relación con la energía de deformación
Indice del capítulo 115
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Indice del capítulo 116
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 117
1P
nP
km
Relación con la energía de deformación
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
En este caso, la energía de deformación será variable y valdrá:
kP
Indice del capítulo 118
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 119
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Esta expresión es una parábola de 2º grado positiva de eje de simetría vertical que no pasa por el (0,0)
kP
Indice del capítulo 120
U
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 121
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 122
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Derivando la parábola respecto de se obtiene el desplazamiento de esta acción:
kP
kP
Indice del capítulo 123
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 124
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
U
kP
Indice del capítulo 125
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Esta expresión desarrollada vale:
kP
U
kP
Indice del capítulo 126
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
U
kP
Indice del capítulo 127
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada que, representada en función de , es la ecuación
de una recta que no pasa por el (0,0)kP
kP
U
kP
Indice del capítulo 128
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
U
kP
Indice del capítulo 129
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
U
kP
Indice del capítulo 130
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
Desplazamiento de P
kP
kP
U
kP
Indice del capítulo 131
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
Pk
kP
U
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
Desplazamiento de P
kP
kP
U
kP
El signo positivo de P coincide con el sentido de P que se ha tomado al derivar la energía de deformación
Indice del capítulo 132
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Indice del capítulo 133
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
Indice del capítulo 134
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
Caso 1
Indice del capítulo 135
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
negativo
Caso 1
negativo
Indice del capítulo 136
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
negativo
Caso 1
negativo
Indice del capítulo 137
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
Pk
kP
U
kP
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
Casos posibles:
kP
kP
negativo
Caso 1
negativo
Indice del capítulo 138
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
Indice del capítulo 139
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
Caso 2
Indice del capítulo 140
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
nula
Caso 2
negativo
Indice del capítulo 141
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
nula
Caso 2
negativo
Indice del capítulo 142
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
Pk
Casos posibles:
kP
kP
nula
Caso 2
negativo
Indice del capítulo 143
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Pk
kP
U
kP
Pk
Casos posibles:
kP
kP
nula
Caso 2
negativo
Este desplazamiento en la dirección de es el producido por el resto de las acciones exteriores
kP
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Indice del capítulo 144
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
Indice del capítulo 145
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
kP
kP
Caso 3
Casos posibles:
Indice del capítulo 146
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
kP
kP
positiva
Caso 3
negativo
Casos posibles:
Indice del capítulo 147
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
kP
kP
positiva
Caso 3
negativo
Casos posibles:
Indice del capítulo 148
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
Pk
kP
U
kP
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
kP
kP
positiva
Caso 3
negativo
Casos posibles:
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Pk
Indice del capítulo 149
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
Indice del capítulo 150
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
kP
kP
Caso 4
Casos posibles:
Indice del capítulo 151
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
kP
kP
positiva
Caso 4
nulo
Casos posibles:
Indice del capítulo 152
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
Pk
kP
U
kP
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
kP
kP
positiva
Caso 4
nulo
Casos posibles:
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 153
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
Pk
kP
U
kP
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
kP
kP
positiva
Caso 4
nulo
Casos posibles:
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Este caso sucede cuando es la reacción exterior hiperestática de una estructura sin asientos
kP
Indice del capítulo 154
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
Casos posibles:
kP
kP
Indice del capítulo 155
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
kP
kP
Caso 5
Casos posibles:
Indice del capítulo 156
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
kP
kP
positiva
Caso 5
positivo
Casos posibles:
Indice del capítulo 157
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Pk
kP
U
kP
kP
kP
kP
positiva
Caso 5
positivo
Casos posibles:
Indice del capítulo 158
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
Pk
kP
U
kP
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
kP
kP
positiva
Caso 5
positivo
Casos posibles:
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Pk
Indice del capítulo 159
UEnergía de
deformación del sistema
Energía de deformación del
sistema
EA
LP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MMk
L
0 T
k
L
0
kPk
Pk
kP
U
kP
kP
EA2
L)P(N
GI2
dx)P(T
EI2
dx)P(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
kP
kP
positiva
Caso 5
positivo
Casos posibles:
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Pk
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 160
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 161
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 162
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Interpretación del Teorema
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 163
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es un M
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 164
Caso general
Indice del capítulo 165
Caso generalCuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 166
Caso general
La expresión del Teorema de Castigliano cuando la acción es un momento puntual
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 167
Caso general
mk
km
U
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 168
Caso general
queda expresada de la siguiente manera para las estructuras lineales:mk
km
U
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 169
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 170
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
Por ser la ecuación de una recta, puede escribirse de forma:
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 171
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 172
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 173
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por
Significa que la estructura a efectos de deformación en la dirección de se comporta como una barra de rigidez K
km
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 174
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por
Significa que la estructura a efectos de deformación en la dirección de se comporta como una barra de rigidez K
Estructura formada por tramos lineales
1P
iP
nP
km
km
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 175
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por
Significa que la estructura a efectos de deformación en la dirección de se comporta como una barra de rigidez K
Estructura formada por tramos lineales
Estructura equivalente
km1P
iP
nP
km
km
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 176
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por
Significa que la estructura a efectos de deformación en la dirección de se comporta como una barra de rigidez K
Estructura formada por tramos lineales
Estructura equivalente
kmmk
1P
iP
nP
km
mk
km
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 177
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por
Significa que la estructura a efectos de deformación en la dirección de se comporta como una barra de rigidez K
Estructura formada por tramos lineales
Estructura equivalente
kmmk
1P
iP
nP
km
mk
km
mk
km
U
km
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 178
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por
Significa que la estructura a efectos de deformación en la dirección de se comporta como una barra de rigidez K
Estructura formada por tramos lineales
Estructura equivalente
kmmk
1P
iP
nP
km
mk
km
mk
km
U
Recta que no pasa por el (0,0)
km
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 179
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El coeficiente K indica la rigidez que presenta la estructura al deformarse por
Significa que la estructura a efectos de deformación en la dirección de se comporta como una barra de rigidez K
km
Estructura formada por tramos lineales
Estructura equivalente
kmmk
1P
iP
nP
km
mk
K
km
mk
km
U
Recta que no pasa por el (0,0)
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 180
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 181
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
El giro de está expresado en forma de una serie de términos, que pueden agruparse de dos maneras diferentes:
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 182
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
mk
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 183
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
mk
En función de las deformaciones de los tramos de la estructura
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 184
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
mk
ni1mk .........
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 185
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
mk
ni1mk ......... Contribución en el giro de por la deformación de un tramo i
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 186
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
mk
ni1mk ......... Contribución en el giro de por la deformación de un tramo i
km
En función de las deformaciones de la estructura por cada una de las acciones exteriores
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 187
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
mk
ni1mk ......... Contribución en el giro de por la deformación de un tramo i
km
ni1mk ´.....´....´
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 188
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
mk
ni1mk ......... Contribución en el giro de por la deformación de un tramo i
km
ni1mk ´.....´....´ Contribución en el giro de por la deformación de la estructura al actuar una acción i
km
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 189
Caso general
kk
L
0 T
k
L
0
k mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
mk
km
U
mk
ni1mk ......... Contribución en el giro de por la deformación de un tramo i
km
ni1mk ´.....´....´ Contribución en el giro de por la deformación de la estructura al actuar una acción i
km
Repetir la secuencia
Cuando se deriva la energía de deformación respecto de un momento puntual , se obtiene la expresión del giro de ( ), que es proporcional a su valormk
km
km
Indice del capítulo 190
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es un M
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 191
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Si la acción es una P
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 192
Caso particular
Indice del capítulo 193
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Caso particular
Indice del capítulo 194
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Caso particular
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Indice del capítulo 195
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Estructura formada por
tramos lineales
m
Indice del capítulo 196
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Estructura formada por
tramos lineales
m
m
Indice del capítulo 197
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el giro en función de m
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Estructura formada por
tramos lineales
m
m
Indice del capítulo 198
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el giro en función de m
mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM L
0 T
L
0
mm
U
Estructura formada por
tramos lineales
m
m
Indice del capítulo 199
Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo giro en función de m
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM L
0 T
L
0
mm
U
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el giro en función de m
Estructura formada por
tramos lineales
m
m
Indice del capítulo 200
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo giro en función de m
mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM L
0 T
L
0
mm
U
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el giro en función de m
mKEA2
LNdx
GI2
Tdx
EI2
M
m
2 2B
A
B
A T
22
m
Estructura formada por
tramos lineales
m
m
Indice del capítulo 201
Por ambos caminos se obtiene la misma recta que
pasa por el (0,0)
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo giro en función de m
mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM L
0 T
L
0
mm
U
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el giro en función de m
mKEA2
LNdx
GI2
Tdx
EI2
M
m
2 2B
A
B
A T
22
m
Estructura formada por
tramos lineales
m
m
Indice del capítulo 202
KPor ambos caminos se obtiene la misma recta que
pasa por el (0,0)m
m
Caso particular
La expresión que se obtiene tiene que coincidir con la utilizada en el Teorema de Clapeyron
Cuando la estructura solamente tiene un único momento exterior
Aplicando el teorema de Clapeyron se obtiene el mismo giro en función de m
mKEA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM L
0 T
L
0
mm
U
Aplicando el teorema de Castigliano se obtiene el giro en función de m
mKEA2
LNdx
GI2
Tdx
EI2
M
m
2 2B
A
B
A T
22
m
Estructura formada por
tramos lineales
m
m
Indice del capítulo 203
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 204
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Interpretación física
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 205
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformaciones
Interpretación física
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 206
Giro en función de las deformaciones
Indice del capítulo 207
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Giro en función de las deformaciones
Indice del capítulo 208
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Giro en función de las deformaciones
Indice del capítulo 209
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
El giro de un momento cualquiera
vale la siguiente expresión:
km
Giro en función de las deformaciones
Indice del capítulo 210
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
Indice del capítulo 211
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
mk
km
U
Indice del capítulo 212
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U Esta expresión está formada por una suma de términos
mk
km
U
Indice del capítulo 213
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
mk
km
U
Indice del capítulo 214
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
mk
km
U
Indice del capítulo 215
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
ni1mk ....
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
mk
km
U
Indice del capítulo 216
1PkP
km
iContribución del tramo i en el giro de
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
km
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
ni1mk ....
mk
km
U
Indice del capítulo 217
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
mk
km
U
0i
Indice del capítulo 218
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
mk
km
U
0i
0i
Indice del capítulo 219
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk .... i
mk
km
U
0i
0i
Indice del capítulo 220
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
0i
i
mk
km
U
1 = giro por la deformación del tramo 1
0i
Indice del capítulo 221
1PkP
km
i
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
0i
i
mk
km
U
0i
= giro por la deformación del tramo i
Indice del capítulo 222
1PkP
km
n
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
0i
i
mk
km
U
0i
= giro por la deformación del tramo n
Indice del capítulo 223
1PkP
km
n
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
0i
i
mk
km
U
0i
Supóngase que corresponde a
un tramo indeformable
= giro por la deformación del tramo n
Indice del capítulo 224
1PkP
km
n
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
0i
i
mk
km
U
0i
Supóngase que corresponde a
un tramo indeformable
= giro por la deformación del tramo n
Indice del capítulo 225
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
0i
i
mk
km
U
Giro simplificado
0i
Indice del capítulo 226
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
Si estos términos se agrupan en función de las deformaciones de los tramos, entonces el desplazamiento se descompondrá en n términos:
Giro en función de las deformaciones
imk
km
U
iContribución del tramo i en el giro de km
ni1mk ....
0i
i
mk
km
U
Repetir la secuencia
0i
Giro simplificado
Indice del capítulo 227
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformaciones
Interpretación física
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 228
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación física
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 229
Giro en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 230
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Giro en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 231
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Giro en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 232
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
El giro de un momento cualquiera
vale la siguiente expresión:
km
Giro en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 233
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 234
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U
mk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 235
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U Esta expresión está formada por una suma de términos
mk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 236
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U
mk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Indice del capítulo 237
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U
mk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Indice del capítulo 238
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U
mk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
mi1mk ....
Indice del capítulo 239
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U
mk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
i km
mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de
Indice del capítulo 240
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U
mk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Cuando el tramo se considera indeformable
i km
mi1mk ....
0i
Contribución de la acción i en el giro de
Indice del capítulo 241
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
imk
km
U
mk
km
U
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
i km
mi1mk ....
0i
0i
Contribución de la acción i en el giro de
Indice del capítulo 242
1PkP
km
1 = giro por la carga 1
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
imk
km
U
i km
0i
i
mk
km
U
0i
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de
Indice del capítulo 243
1PkP
km
i
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
imk
km
U
i km
0i
i
mk
km
U
0i
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de
= giro por la carga i
Indice del capítulo 244
1PkP
km
m
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
imk
km
U
i km
0i
i
mk
km
U
0i
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de
= giro por la carga m
Indice del capítulo 245
1PkP
km
m
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
imk
km
U
i km
0i
i
mk
km
U
0i
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de
Eliminación del giro por km
= giro por la carga m
Indice del capítulo 246
1PkP
km
m
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
imk
km
U
i km
0i
i
mk
km
U
0i
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de
Eliminación del giro por km
= giro por la carga m
Indice del capítulo 247
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
imk
km
U
i km
0i
i
mk
km
U
Giro simplificado
0i
Giro en función de las acciones exteriores
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de
Indice del capítulo 248
1PkP
km
Sea una estructura formada por n tramos y cargada con m acciones exteriores
Cuando el tramo se considera indeformable
Cuando el tramo se considera deformable
imk
km
U
i km
0i
i
mk
km
U
0i
Giro en función de las acciones exteriores
Repetir la secuencia
Si estos términos se agrupan considerando la incidencia de las acciones exteriores, el desplazamiento se descompondrá en m términos:
mi1mk .... Contribución de la acción i en el giro de
Giro simplificado
Indice del capítulo 249
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación física
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 250
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 251
Relación con la energía de deformación
Indice del capítulo 252
Relación con la energía de deformación
1P
nP
km
kP
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Indice del capítulo 253
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 254
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
En este caso, la energía de deformación será variable y valdrá:
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 255
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 256
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Esta expresión es una parábola de 2º grado positiva, de eje de simetría vertical y que no pasa por el (0,0)
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 257
U
km
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 258
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 259
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Derivando la parábola respecto de se obtiene el desplazamiento de esta acción:
km
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
Indice del capítulo 260
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
Indice del capítulo 261
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
Indice del capítulo 262
Relación con la energía de deformación
Esta expresión desarrollada vale:
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
Indice del capítulo 263
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
km
km
U
Indice del capítulo 264
Relación con la energía de deformación
que, representada en función de , es la ecuación de una recta que no pasa por el (0,0)
km
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Indice del capítulo 265
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
km
km
km
U
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Indice del capítulo 266
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
km
km
km
U
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Indice del capítulo 267
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
km
km
km
U
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Giro de km
Indice del capítulo 268
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
km
km
km
U
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Giro de km
El signo positivo de m es el que se ha tomado al derivar la energía de deformación
Indice del capítulo 269
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Indice del capítulo 270
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Indice del capítulo 271
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 1
Indice del capítulo 272
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 1
negativo
negativo
Indice del capítulo 273
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 1
negativo
negativo
Indice del capítulo 274
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 1
negativo
negativo
Indice del capítulo 275
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Indice del capítulo 276
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 2
Indice del capítulo 277
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 2
nulo
negativo
Indice del capítulo 278
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 2
nulo
negativo
Indice del capítulo 279
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 2
nulo
negativo
Este giro en el sentido de es el que se produce por el resto de las acciones exteriores
km
Indice del capítulo 280
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 2
nulo
negativo
km
U
Este giro en el sentido de es el que se produce por el resto de las acciones exteriores
km
Indice del capítulo 281
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Indice del capítulo 282
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 3
Indice del capítulo 283
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 3
positivo
negativo
Indice del capítulo 284
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 3
positivo
negativo
Indice del capítulo 285
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 3
positivo
negativo
Indice del capítulo 286
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Indice del capítulo 287
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 4
Indice del capítulo 288
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 4
positivo
nulo
Indice del capítulo 289
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 4
positivo
nulo
Indice del capítulo 290
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 4
positivo
nulo
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
Este caso podría suceder cuando fuera la reacción exterior hiperestática de una estructura
km
Indice del capítulo 291
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Indice del capítulo 292
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 5
Indice del capítulo 293
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 5
positivo
positivo
Indice del capítulo 294
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 5
positivo
positivo
Indice del capítulo 295
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 5
positivo
positivo
Indice del capítulo 296
Relación con la energía de deformación
Sea una estructura lineal bajo la acción de un conjunto de cargas puntuales:
Energía de deformación del
sistema
Energía de deformación del
sistema
U
km
EA2
L)m(N
GI2
dx)m(T
EI2
dx)m(MU
2
k
L
0 T
2
k
L
0
2
k
1P
nP
km
km
Supongamos que todas las acciones no varían de valor salvo una, llamada
kP
km
U
km
km
U
km
EA
Lm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MMk
L
0 T
k
L
0
kmk
Casos posibles:
km
km
Caso 5
positivo
positivo
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 297
Definición
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 298
Definición
Demostración
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 299
Demostración
Indice del capítulo 300
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Demostración
Indice del capítulo 301
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Demostración
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 302
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 303
Demostración
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 304
1P
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 305
1PU
1P
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 306
1PU
1P
1P
1PU
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 307
1PU
1P
1P 2P
1PU
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 308
1PU
2P1PU
1P
1P 2P
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 309
1PU
2P1PU
1P
1P 2P
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 310
1PU
2P1PU
1P
1P 2P
2P
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 311
1PU
2P1PU
2PU
1P
1P 2P
2P
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 312
1PU
2P1PU
2PU
1P
1P 2P
2P
2P
2PU
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 313
1PU
2P1PU
2PU
1P
1P 2P
2P
2P 1P
2PU
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 314
1PU
2P1PU
2PU
1P2PU
1P
1P 2P
2P
2P 1P
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 315
1PU
2P1PU
2PU
1P2PU
=
1P
1P 2P
2P
2P 1P
2P1PU 1P2PU
Ejemplo: variación en el orden de aplicación de las acciones exteriores en una estructura
Demostración
“El orden de aplicación de las cargas no afecta el valor de la energía de deformación del sistema”
Este Teorema se demuestra partiendo de la siguiente propiedad de la energía de deformación:
Indice del capítulo 316
Demostración
Indice del capítulo 317
Demostración
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 318
Demostración
Supongamos que se aplica un conjunto
A de acciones exteriores sobre una estructura
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 319
Demostración
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 320
Demostración
kP1P
nP
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 321
Demostración
kP1P
nP
El trabajo producido por estas acciones vale:
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 322
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 323
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
Supongamos que en la posición de equilibrio se
aplica otra acción exterior diferencial en
la posición y en la dirección de una acción
puntual kP
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 324
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 325
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 326
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
Ahora el trabajo realizado vale:
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 327
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 328
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
Supongamos que se invierte el orden de aplicación de las acciones: se aplica primero la acción diferencial
kdP
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 329
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 330
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
El trabajo producido vale:
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 331
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
Pkd
El trabajo producido vale:
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 332
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
Pkd
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 333
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
Pkd En la posición de equilibrio se aplica el conjunto A de
acciones
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 334
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 335
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 336
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Ahora el trabajo realizado vale:
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 337
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Ahora el trabajo realizado vale:
Pk
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 338
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Pkknk1 dPP,..,P,..,PU0U
Pk
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 339
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Pkknk1 dPP,..,P,..,PU0U
Este término es el trabajo de la acción diferencial al deformarse la estructura por las acciones del sistema A. Durante el desplazamiento, la acción diferencial no cambia de valor
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 340
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Pkknk1 dPP,..,P,..,PU0U
Pk
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 341
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Pkknk1 dPP,..,P,..,PU0U
Deben ser iguales
Pk
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 342
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Pkknk1 dPP,..,P,..,PU0U
Deben ser iguales
Pk
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 343
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Pkknk1 dPP,..,P,..,PU0U
Deben ser iguales
Pk
kP
U
Pk
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 344
Demostración
kP1P
nP
nk1 P,..,P,..,PU
kP1P
nP
kdP
k
k
nk1 dPP
UP,..,P,..,PUU
kdP
02
ddPU Pkk
PkdkdP
kP1P
nP
Pkknk1 dPP,..,P,..,PU0U
Deben ser iguales
Pk
kP
U
Repetir la secuencia
Pk
El orden de aplicación de las
acciones no afecta el valor de la energía de deformación del
sistema
Indice del capítulo 345
Definición
Demostración
Casos2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 346
Definición
Demostración
Casos
Aplicaciones
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 347
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 348
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 349
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
GiroDe una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 350
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
Donde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 351
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
PlanteamientoDonde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 352
Planteamiento
Indice del capítulo 353
Planteamiento
En este esquema se muestran las
operaciones que se desarrollan durante la aplicación del Teorema cuando se calcula el giro de una sección donde existe un
momento m
Indice del capítulo 354
Planteamiento
Sea la siguiente estructura de la cual se desea conocer el giro de la sección A
Indice del capítulo 355
Planteamiento
m
P
A
Indice del capítulo 356
?
Planteamiento
m
P
A
Indice del capítulo 357
?
Planteamiento
m
P
A
Al aplicar el Teorema se crea una situación
ficticia en la estructura alterando el sistema de cargas
Indice del capítulo 358
?
Planteamiento
m
P
A
m
P
Indice del capítulo 359
?
Planteamiento
m
P
A
m
P
dm
Indice del capítulo 360
?
Planteamiento
m
P
A
m
P
dm
dm = momento diferencial aplicado en A
Indice del capítulo 361
?
Planteamiento
m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
Indice del capítulo 362
?
Planteamiento
m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
En esta situación se considera que
las acciones reales se aplican antes
que dm
Indice del capítulo 363
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
Indice del capítulo 364
Pm
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
Indice del capítulo 365
Pm
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
Obteniéndose una energía de
deformación:
Indice del capítulo 366
P,mU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
Pm
Indice del capítulo 367
En esta situación, se supone que se aplica dm
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
P,mU
Pm
Indice del capítulo 368
m
P
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
P,mU
Pm
Indice del capítulo 369
mdm
P
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
P,mU
Pm
Indice del capítulo 370
mdm
P
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
P,mU
Pm
Obteniendo una energía de
deformación final:
Indice del capítulo 371
dm,P,mU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
P,mU
Pm
mdm
P
Indice del capítulo 372
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticia
Variando el orden de aplicación de las acciones se hubiera llegado al mismo resultado, es
decir, si se aplica en primer lugar dm
dm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
Indice del capítulo 373
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
Indice del capítulo 374
dm
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
Indice del capítulo 375
0Udm
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
dm
Indice del capítulo 376
En esta situación se aplican las acciones
restantes
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Indice del capítulo 377
dm
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Indice del capítulo 378
Pdmm
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Indice del capítulo 379
Pdmm
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
El trabajo final vale:
Indice del capítulo 380
P,m,dmU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Pdmm
Indice del capítulo 381
P,m,dmdm,P,m UU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Pdmm
P,m,dmU
Indice del capítulo 382
P,m,dmdm,P,m UU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Pdmm
P,m,dmU
Desarrollando esta igualdad se obtiene:
Indice del capítulo 383
m
U P,m
Am
P,m,dmdm,P,m UU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Pdmm
P,m,dmU
Indice del capítulo 384
m
U P,m
Am
P,m,dmdm,P,m UU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Pdmm
P,m,dmU
Utilizándose el siguiente criterio
de signos:
Indice del capítulo 385
m,0 mm
m
U P,m
Am
P,m,dmdm,P,m UU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Pdmm
P,m,dmU
Indice del capítulo 386
m,0 mm
m,0 mm m
U P,m
Am
P,m,dmdm,P,m UU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Pdmm
P,m,dmU
Indice del capítulo 387
m,0 mm
m,0 mm m
U P,m
Am
P,m,dmdm,P,m UU
Planteamiento
?m
P
A
m
P
dm
Situación ficticiadm,P,mU
P,mU
Pm
mdm
P
0Udm
dm
Pdmm
P,m,dmU
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 388
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
PlanteamientoDonde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 389
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Donde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 390
Aplicación
Indice del capítulo 391
Aplicación
En este apartado se va a repetir el ejemplo anterior, pero desde
un punto de vista práctico
Indice del capítulo 392
Aplicación
En este apartado se va a repetir el ejemplo anterior, pero desde
un punto de vista práctico
Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el giro en
la sección A
Indice del capítulo 393
P
m
Aplicación
A
Indice del capítulo 394
?A
Aplicación
P
m
A
Indice del capítulo 395
?A
Aplicación
P
m
A Con el 2º Teorema de Castigliano puede calcularse el giro del momento, que
coincide con el de A
Indice del capítulo 396
mA
Aplicación
?A
P
m
A
Indice del capítulo 397
mA
Aplicación
?A
P
m
A
La derivada parcial de la energía de deformación respecto de m vale:
Indice del capítulo 398
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am
Aplicación
?A
P
m
A
Indice del capítulo 399
=(Ecuación de una recta)
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
Aplicación
?A
P
m
A
Indice del capítulo 400
=(Ecuación de una recta)
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
Aplicación
?A
P
m
A
La energía del sistema al cambiar m varía de la
manera siguiente:
Indice del capítulo 401
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
Aplicación
?A
P
m
A
Indice del capítulo 402
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
Aplicación
?A
P
m
A
La función derivada respecto de m vale:
Indice del capítulo 403
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
m
Aplicación
?A
P
m
A
Indice del capítulo 404
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
m
Aplicación
P
m
A
En la estructura En la gráfica
Indice del capítulo 405
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
m
Aplicación
P
m
A
En la gráfica
m,A
En la estructura
A
Indice del capítulo 406
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
)m(fm
m
Aplicación
A
P
m
A
0m
En la gráfica
m,A
En la estructura
Indice del capítulo 407
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
m
Aplicación
P
m
A
0m
En la gráfica
m,A
En la estructura
Indice del capítulo 408
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
Aplicación
m
P
m
A
0m
En la gráfica
m,A
m,A
En la estructura
A
Indice del capítulo 409
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
A
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
Aplicación
m
P
m
A
0m
En la gráfica
m,A
0m m,A
En la estructura
Indice del capítulo 410
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
Aplicación
m
P
m
A
0m
En la gráfica
m,A
0m m,A
En la estructura
Indice del capítulo 411
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
Aplicación
m
P
A
0m
En la gráfica
m,A
0m m,A
0m
En la estructura
A
Indice del capítulo 412
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
A
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
C
m
mm
U
Aplicación
m
P
0m
En la gráfica
m,A
0m m,A
0m A
En la estructura
A
Indice del capítulo 413
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
Aplicación
m
P
0m
En la gráfica
m,A
0m m,A
0m A
En la estructura
A
Indice del capítulo 414
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
A
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
m
mm
U
Aplicación
m
P
0m
En la gráfica
m,A
0m m,A
0m A
En la estructura
A
m,Am
Indice del capítulo 415
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
A
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
C
m
mm
U
Aplicación
m
P
0m
En la gráfica
m,A
0m m,A
0m A
En la estructura
A
0m m,Am
Indice del capítulo 416
=(Ecuación de una recta)
)P,m(U
P
mA
A
EA
dxm
NN
GI
dxm
TT
EI
dxm
MM
m
U L
0
L
0 T
P,m
Am)m(fm
C
m
mm
U
Aplicación
m
P
0m
En la gráfica
m,A
0m m,A
0m A
En la estructura
A
0m m,Am
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 417
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Donde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 418
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 419
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
PlanteamientoEn una sección cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 420
Planteamiento
Indice del capítulo 421
Planteamiento
En este esquema se muestran las
operaciones que se desarrollan durante la aplicación del Teorema cuando se calcula el giro de una sección
cualquiera
Indice del capítulo 422
M
P
Planteamiento
Indice del capítulo 423
Planteamiento
M
PA
A
Indice del capítulo 424
Planteamiento
Al aplicar el Teorema se crea una situación ficticia, alterando el sistema de cargas
M
PA
A
Indice del capítulo 425
Planteamiento
M
PA
A
M
P
Indice del capítulo 426
Planteamiento
M
PA
A
P
Mk
P
Indice del capítulo 427
Planteamiento
M
PA
A
P
Mk
P
k = momento genérico en A
Indice del capítulo 428
Planteamiento
M
PA
A
P
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
Indice del capítulo 429
Planteamiento
M
PA
A
P
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
Indice del capítulo 430
Planteamiento
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
Indice del capítulo 431
Planteamiento
En esta situación se considera que primero se aplican las
acciones M, k y P :M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
Indice del capítulo 432
Planteamiento
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
Indice del capítulo 433
Planteamiento
PM
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k
Indice del capítulo 434
Planteamiento
PM
Obteniéndose una energía de
deformación:
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k
Indice del capítulo 435
Planteamiento
PM k
k,P,MU
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
Indice del capítulo 436
Planteamiento
PM
En la posición de equilibrio se aplica dk
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k
k,P,MU
Indice del capítulo 437
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k
k
k,P,MU
Indice del capítulo 438
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
kdk
k
k,P,MU
Indice del capítulo 439
Planteamiento
PM
P
M
P
Obteniéndose una energía final:
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
kdk
k
k,P,MU
Indice del capítulo 440
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
Indice del capítulo 441
Planteamiento
PM
P
M
P
Variando el orden de aplicación de las acciones se hubiera llegado al mismo resultado, es
decir, si se aplica en primer lugar dk
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
Indice del capítulo 442
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 443
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 444
Planteamiento
PM
P
M
P En esta situación se aplican las acciones
restantes
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 445
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
P
dk
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 446
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
P
Mk
Pdk
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 447
Planteamiento
PM
P
M
P
Obteniéndose la misma energía de
formación:
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
P
Mk
Pdk
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 448
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
P
Mk
Pdk
k,P,M,dkU
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 449
Planteamiento
PM
P
M
P
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k,P,M,dkdk,k,P,M UU
P
Mk
Pdk
k,P,M,dkU
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 450
Planteamiento
PM
M
PA
A
P
M
P
Desarrollando esta igualdad se obtiene:
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k,P,M,dkdk,k,P,M UU
P
Mk
Pdk
k,P,M,dkU
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 451
Planteamiento
PM
M
PA
A
P
M
P
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k,P,M,dkdk,k,P,M UU 0k
k,P,M
CKk
U
P
Mk
Pdk
k,P,M,dkU
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 452
Planteamiento
PM
M
PA
A
P
M
P
Utilizándose el siguiente criterio
de signos:
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k,P,M,dkdk,k,P,M UU 0k
k,P,M
CKk
U
P
Mk
Pdk
k,P,M,dkU
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 453
Planteamiento
PM
M
PA
A
P
M
P
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k,P,M,dkdk,k,P,M UU 0k
k,P,M
CKk
U
k,0 kk
P
Mk
Pdk
k,P,M,dkU
0Udk
kdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 454
Planteamiento
PM
M
PA
A
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
k,P,M,dkdk,k,P,M UU 0k
k,P,M
CKk
U
k,0 kk
k,0 kk
P
Mk
Pdk
k,P,M,dkU
0Udk
P
Mk
Pdk
dk,k,P,MU
k
k,P,MU
dk
Indice del capítulo 455
Planteamiento
PM kM
PA
A
k,P,MU
P
Mk
Pdk
dk,k,P,MU
dk
0Udk
k,P,M,dkdk,k,P,M UU 0k
k,P,M
CKk
U
k,0 kk
k,0 kk
Repetir la secuencia
P
Mk
Pdk
k,P,M,dkU
P
Situación ficticia
Mk
Pdk
k = momento genérico en A
dk = momento diferencial en A
Indice del capítulo 456
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
PlanteamientoEn una sección cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 457
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 458
Aplicación
Indice del capítulo 459
Aplicación
En este apartado se va a repetir el ejemplo anterior, pero desde
un punto de vista práctico
Indice del capítulo 460
Aplicación
En este apartado se va a repetir el ejemplo anterior, pero desde
un punto de vista práctico
Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el giro en
la sección A
Indice del capítulo 461
Aplicación
P
m
A
Indice del capítulo 462
Aplicación
P
m
A
?A
Indice del capítulo 463
Aplicación
P
m
A
?A
Si existiera un momento k en A, con el 2º Teorema de Castigliano podría calcularse el giro de A. Por este motivo, se acepta que
existe k en A
Indice del capítulo 464
Aplicación
P
m
A
?A
k
Si existiera un momento k en A, con el 2º Teorema de Castigliano podría calcularse el giro de A. Por este motivo, se acepta que
existe k en A
Indice del capítulo 465
Aplicación
P
m
A
?A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
Indice del capítulo 466
Aplicación
P
m
A
?A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck
Indice del capítulo 467
Aplicación
P
m
A
?A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
Indice del capítulo 468
Aplicación
P
m
A
?A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
La energía de deformación al variar k tiene la forma
siguiente:
Indice del capítulo 469
Aplicación
P
m
A
?A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
Pk
)P,k(U
Indice del capítulo 470
Aplicación
P
m
A
?A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
Pk
Y su derivada respecto de k
al variar k vale:
)P,k(U
Indice del capítulo 471
Aplicación
P
m
A
?A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
Indice del capítulo 472
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
En la gráficaEn la estructura
Indice del capítulo 473
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
En la gráfica
k,A
En la estructura
A
Indice del capítulo 474
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
En la gráfica
k,A
En la estructura
A
0k
k
Indice del capítulo 475
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
En la gráfica
k,A
En la estructura
0k
k
Indice del capítulo 476
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
0k
En la gráfica
k,A
k,A
En la estructura
A
Indice del capítulo 477
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
0k
En la gráfica
k,A
k,A
En la estructura
A
0k
Indice del capítulo 478
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
0k
En la gráfica
k,A
k,A
En la estructura
0k
Indice del capítulo 479
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
0k
En la gráfica
k,A
0k k,A
0k
En la estructura
A
Indice del capítulo 480
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
0k
En la gráfica
k,A
0k k,A
0k A
En la estructura
A
Indice del capítulo 481
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
)P,k(U
Pk
kk
U
k
0k
En la gráfica
k,A
0k k,A
0k A
En la estructura
A
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Indice del capítulo 482
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
0k
En la gráfica
k,A
0k k,A
0k A
En la estructura
Indice del capítulo 483
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
A
0k
En la gráfica
k,A
0k k,A
0k A
En la estructura
k,A
Indice del capítulo 484
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
A
0k
En la gráfica
k,A
0k k,A
0k A
En la estructura
0k k,A
k
Indice del capítulo 485
Aplicación
P
m
A
En esta situación, aplicamos el Teorema:
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Ck =(Ecuación de una recta)
)k(fk
)P,k(U
Pk
kk
U
k
A
0k
En la gráfica
k,A
0k k,A
0k A
En la estructura
0k k,A
k
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 486
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 487
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 488
Relativo entre dos secciones
Indice del capítulo 489
Relativo entre dos secciones
Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el giro
entre las secciones A y B
Indice del capítulo 490
M
P
Relativo entre dos secciones
Indice del capítulo 491
A B
Relativo entre dos secciones
M
P
Indice del capítulo 492
El giro relativo entre A y B
se puede dibujar conociendo los giros en ambas secciones, del siguiente modo:
A B
Relativo entre dos secciones
M
P
Indice del capítulo 493
A B
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
El giro relativo entre A y B
se puede dibujar conociendo los giros en ambas secciones, del siguiente modo:
Indice del capítulo 494
A B
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
El giro relativo entre A y B
se puede dibujar conociendo los giros en ambas secciones, del siguiente modo:
Indice del capítulo 495
A B
A
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
El giro relativo entre A y B
se puede dibujar conociendo los giros en ambas secciones, del siguiente modo:
Indice del capítulo 496
A B
B A
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
El giro relativo entre A y B
se puede dibujar conociendo los giros en ambas secciones, del siguiente modo:
Indice del capítulo 497
A B
B A
BA
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
El giro relativo entre A y B
se puede dibujar conociendo los giros en ambas secciones, del siguiente modo:
Indice del capítulo 498
Giro relativo entre A y B
A B
B A
BA
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
El giro relativo entre A y B
se puede dibujar conociendo los giros en ambas secciones, del siguiente modo:
AB
Indice del capítulo 499
Giro relativo entre A y B
A B
B A
BA
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
AB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 500
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 501
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 502
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
En esta situación ficticia aplicamos el Teorema:
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 503
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 504
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 505
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
k
AB
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 506
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
k
AB
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 507
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
k
AB
)0(fAB
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 508
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
k
AB
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
= BA )0(fAB
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 509
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
k
AB
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
= BA )0(fAB
Giro relativo entre las secciones A y B debido a todas las acciones menos a los momentos k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 510
kk
Relativo entre dos secciones
A B
M
P
En este caso se observa que el giro relativo es negativo, lo que quiere decir que el sentido de k es contrario al supuesto
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
k
AB
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
= BA )0(fAB
Giro relativo entre las secciones A y B debido a todas las acciones menos a los momentos k
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 511
Relativo entre dos secciones
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
k
AB
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
= BA )0(fAB
Giro relativo entre las secciones A y B debido a todas las acciones menos a los momentos k
BA A B
M
P
En este caso se observa que el giro relativo es negativo, lo que quiere decir que el sentido de k es contrario al supuesto
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 512
Relativo entre dos secciones
= )k(fAB (Ecuación de una recta)
k
AB
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
= BA )0(fAB
Giro relativo entre las secciones A y B debido a todas las acciones menos a los momentos k
BA A B
M
P
En este caso se observa que el giro relativo es negativo, lo que quiere decir que el sentido de k es contrario al supuesto
Repetir la secuencia
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BAAB
Para resolver el problema se aplican dos momentos k
iguales y de signos opuestos en las dos secciones A y B
Indice del capítulo 513
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 514
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 515
De un tramo
Indice del capítulo 516
De un tramo
El giro de las barras y de las vigas se calculan igual. Es la rotación de la directriz y se determina con la tangente del ángulo
que describe este giro
Indice del capítulo 517
De un tramo
El giro de las barras y de las vigas se calculan igual. Es la rotación de la directriz y se determina con la tangente del ángulo
que describe este giro
A modo de ejemplo se va a calcular el giro que describe la barra AB de la estructura
isostática siguiente
Indice del capítulo 518
P
M
A
B
De un tramo
Indice del capítulo 519
P
M
A
B
De un tramo
Observemos cómo puede ser el giro de la barra:
Indice del capítulo 520
P
M
A
B
De un tramo
A
B
Indice del capítulo 521
P
M
A
B
De un tramo
A
B
B
A
Indice del capítulo 522
P
M
A
B
De un tramo
A
B
B
A
Indice del capítulo 523
P
M
A
B
De un tramo
?
A
B
B
A
Indice del capítulo 524
P
M
A
B
De un tramo
?
A
B
B
ABL
A
Indice del capítulo 525
P
M
A
B
De un tramo
?
A
B
B
ABL
A
Indice del capítulo 526
P
M
A
B
De un tramo
?
A
B
B
ABLtan
ABL
A
Indice del capítulo 527
P
M
A
B
De un tramo
?
A
B
A
B
ABLtan
ABL
Este es el término que se determina con el
Teorema
Indice del capítulo 528
P
M
A
B
De un tramo
?
A
B
A
B
ABLtan
ABL
Este es el término que se determina con el
Teorema
Para calcularlo, se añaden a la estructura dos fuerzas variables k iguales y de signo contrario que se aplican en los extremos del tramo en dirección perpendicular a la directriz, formando un par a favor del sentido del giro positivo (que es arbitrario)
Indice del capítulo 529
P
M
A
B
De un tramo
Para calcularlo, se añaden a la estructura dos fuerzas variables k iguales y de signo contrario que se aplican en los extremos del tramo en dirección perpendicular a la directriz, formando un par a favor del sentido del giro positivo (que es arbitrario)
Indice del capítulo 530
P
M
A
B
De un tramo
Para calcularlo, se añaden a la estructura dos fuerzas variables k iguales y de signo contrario que se aplican en los extremos del tramo en dirección perpendicular a la directriz, formando un par a favor del sentido del giro positivo (que es arbitrario)
k
k
Indice del capítulo 531
P
M
A
B
De un tramo
Para calcularlo, se añaden a la estructura dos fuerzas variables k iguales y de signo contrario que se aplican en los extremos del tramo en dirección perpendicular a la directriz, formando un par a favor del sentido del giro positivo (que es arbitrario)
k
kB
A
Indice del capítulo 532
P
M
A
B
De un tramo
Para calcularlo, se añaden a la estructura dos fuerzas variables k iguales y de signo contrario que se aplican en los extremos del tramo en dirección perpendicular a la directriz, formando un par a favor del sentido del giro positivo (que es arbitrario)
k
kB
A
BA
Indice del capítulo 533
P
M
A
B
De un tramo
Para calcularlo, se añaden a la estructura dos fuerzas variables k iguales y de signo contrario que se aplican en los extremos del tramo en dirección perpendicular a la directriz, formando un par a favor del sentido del giro positivo (que es arbitrario)
k
kB
A
BA
Si se aplica el Teorema derivando respecto de k, se obtiene el corrimiento relativo entre los extremos de la barra:
Indice del capítulo 534
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
BA
Indice del capítulo 535
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
BA
Indice del capítulo 536
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
BA
Indice del capítulo 537
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
kk
U
k
BA
Indice del capítulo 538
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
kk
U
k
BA
Solución del problema
Indice del capítulo 539
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
kk
U
k
0k
L
0
L
0 T
k,P,m
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U
BA
Solución del problema
Indice del capítulo 540
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
kk
U
k
0k
L
0
L
0 T
k,P,m
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U
BA
Valoración del signo del desplazamiento:
Solución del problema
Indice del capítulo 541
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
kk
U
k
0k
L
0
L
0 T
k,P,m
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U
barra
AB
barra
AB
L0
L0
El giro de la barra es en el sentido del par que describen las fuerzas k
BA
Valoración del signo del desplazamiento:
Si
Solución del problema
Indice del capítulo 542
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
kk
U
k
0k
L
0
L
0 T
k,P,m
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U
barra
AB
barra
AB
L0
L0
El giro de la barra es de sentido contrario
BA
Valoración del signo del desplazamiento:
Si
Si
Solución del problema
El giro de la barra es en el sentido del par que describen las fuerzas k
Indice del capítulo 543
P
M
A
B
De un tramo
k
kB
A
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
kk
U
k
0k
L
0
L
0 T
k,P,m
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U
barra
AB
barra
AB
L0
L0
BA
Valoración del signo del desplazamiento:
Si
Si
Repetir la secuencia
Solución del problema
El giro de la barra es de sentido contrario
El giro de la barra es en el sentido del par que describen las fuerzas k
Indice del capítulo 544
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 545
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 546
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 547
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo Donde existe una acción
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 548
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo PlanteamientoDonde existe una acción
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 549
Planteamiento
Indice del capítulo 550
Planteamiento
En este esquema se muestran las
operaciones que se desarrollan durante la aplicación del Teorema cuando se calcula el
desplazamiento de una sección donde existe
una carga P
Indice del capítulo 551
Planteamiento
Sea la siguiente estructura de la cual se
desea conocer el desplazamiento vertical
de la sección A
Indice del capítulo 552
m
P
Planteamiento
A
Indice del capítulo 553
Planteamiento
?A
m
P
A
Indice del capítulo 554
Planteamiento
?A
m
P
A
El desplazamiento vertical se puede determinar en función del de P mediante la relación
trigonométrica siguiente:
Indice del capítulo 555
P
Planteamiento
?A
m
P
A
El desplazamiento vertical se puede determinar en función del de P mediante la relación
trigonométrica siguiente:
Indice del capítulo 556
Planteamiento
Pm
P
A
?A
El desplazamiento vertical se puede determinar en función del de P mediante la relación
trigonométrica siguiente:
Indice del capítulo 557
Planteamiento
sen
PA
Pm
P
A
?A
El desplazamiento vertical se puede determinar en función del de P mediante la relación
trigonométrica siguiente:
Indice del capítulo 558
Planteamiento
Se aplica el Teorema alterando el sistema de cargas, creándose una situación ficticia
sen
PA
Pm
P
A
?A
Indice del capítulo 559
Planteamiento
sen
PA
Pm
P
A
?A
Indice del capítulo 560
Planteamiento
m
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
Indice del capítulo 561
Planteamiento
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
Indice del capítulo 562
Planteamiento
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 563
Planteamiento
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 564
Planteamiento
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
En esta situación se considera que
las acciones reales se aplican antes
que dP
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 565
Planteamiento
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 566
Pm
Planteamiento
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 567
Pm
Planteamiento
Obteniéndose una energía de
deformación:
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 568
Pm
P,mU
Planteamiento
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 569
Con la estructura equilibrada, se aplica dP
Planteamiento
Pm
P,mU
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 570
m
P
Planteamiento
Pm
P,mU
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 571
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 572
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
Obteniéndose una energía final:
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 573
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 574
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
Variando el orden de aplicación de las acciones se hubiera llegado al mismo resultado, es
decir, si se aplica en primer lugar dP
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 575
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 576
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 577
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
En esta situación se aplican las acciones
restantes
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 578
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
dP
Indice del capítulo 579
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
Pm
dP
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
Indice del capítulo 580
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
El trabajo final vale:
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 581
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 582
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 583
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU Desarrollado esta
igualdad se obtiene:
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 584
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU P
U P,m
P
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 585
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU P
U P,m
P
Utilizándose el siguiente criterio
de signos:
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 586
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU P
U P,m
P
P,0 PP
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 587
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU P
U P,m
P
P,0 PP
P,0 PP
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 588
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU P
U P,m
P
P,0 PP
P,0 PP
Conocido el desplazamiento de la carga se obtiene el de P
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 589
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU P
U P,m
P
P,0 PP
P,0 PP
sen
PA
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 590
m dP
P
Planteamiento
Pm
P,mU
dP,P,mU
dP
0UdP
m
P,m,dmU
P,m,dPdP,P,m UU P
U P,m
P
P,0 PP
P,0 PP
Repetir la secuencia
Situación ficticia
m dP
P
sen
PA
Pm
P
A
?A
sen
PA
dP = fuerza diferencial en la dirección de P
P
dP
Indice del capítulo 591
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo PlanteamientoDonde existe una acción
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 592
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
Donde existe una acción
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 593
Aplicación
Indice del capítulo 594
Aplicación
En este apartado se va a repetir el ejemplo anterior, pero desde
un punto de vista práctico
Indice del capítulo 595
Aplicación
En este apartado se va a repetir el ejemplo anterior, pero desde
un punto de vista práctico
Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el
descenso vertical de la sección A
Indice del capítulo 596
M
P
Aplicación
A
Indice del capítulo 597
Aplicación
M
?A
A
P
Indice del capítulo 598
Aplicación
M
?A
A
P
Con el 2º Teorema de Castigliano puede calcularse
el desplazamiento de P
Indice del capítulo 599
Aplicación
PM
?A
A
P
Con el 2º Teorema de Castigliano puede calcularse
el desplazamiento de P
Indice del capítulo 600
Aplicación
PM
?A
A
P
Con este desplazamiento se puede determinar geométricamente
A
Indice del capítulo 601
Aplicación
PM
?A
A
P
Con este desplazamiento se puede determinar geométricamente
A
Indice del capítulo 602
Aplicación
sen
PA
PM
?A
A
P
Indice del capítulo 603
Aplicación
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 604
Aplicación
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Apliquemos el Teorema derivando la energía de deformación respecto de P:
Indice del capítulo 605
Aplicación
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
Indice del capítulo 606
=(Ecuación de una recta)
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P )P(fP
Aplicación
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 607
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
Aplicación
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 608
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 609
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
es dato de partida
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
P
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 610
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
Solución del problema
es dato de partida
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
P
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 611
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
P
Solución del problema
es dato de partida
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
P
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 612
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
P
Solución del problema
Valoración del signo del desplazamiento:
es dato de partida
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
P
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 613
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
P
Solución del problema
Valoración del signo del desplazamiento:
Si
es dato de partida
PP P0
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
P
A es descendente
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
Indice del capítulo 614
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
P
Solución del problema
Valoración del signo del desplazamiento:
Si
es dato de partida
PP P0
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
P
A es descendente
sen
PA
PM
?A
A
P
El objetivo será calcular P
PP P0 Si A es ascendente
Indice del capítulo 615
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
El objetivo será calcular PP
Solución del problema
PP P0
Valoración del signo del desplazamiento:
Si
Si
es dato de partida
PP P0
A es ascendente
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
AP
sen
PA
M
A
P
P
A es descendente
Indice del capítulo 616
EA
dxP
NN
GI
dxP
TT
EI
dxP
MM
P
U L
0
L
0 T
P,m
P
PP
U
P
)P(fP
Aplicación
El objetivo será calcular PP
Solución del problema
Valoración del signo del desplazamiento:
es dato de partida
=(Ecuación de una recta)
)P(fP
AP
sen
PA
M
A
P
Repetir la secuencia
P
PP P0
Si
Si
PP P0
A es ascendente
A es descendente
Indice del capítulo 617
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
Donde existe una acción
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 618
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 619
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
AplicaciónEn una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 620
Aplicación
Indice del capítulo 621
Aplicación
Sea la estructura siguiente de la cual se desea conocer el desplazamiento
en una sección A cualquiera
Indice del capítulo 622
M
P
Aplicación
A
Indice del capítulo 623
Aplicación
M
P
?A
A
Indice del capítulo 624
Aplicación
M
P
?A
A
Se aplica sobre A una acción k en la dirección en la que se desea conocer
el desplazamiento
Indice del capítulo 625
k
Aplicación
M
P
?A
A
Se aplica sobre A una acción k en la dirección en la que se desea conocer
el desplazamiento
Indice del capítulo 626
Aplicación
Ak
M
P
?A
Ak
Indice del capítulo 627
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
Se aplica el teorema derivando la energía de deformación respecto de k
k
Indice del capítulo 628
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
Ak
Indice del capítulo 629
=(Ecuación de una recta)
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
Ak
Indice del capítulo 630
(Ecuación de una recta)
k
kk
U
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
=
k
Indice del capítulo 631
(Ecuación de una recta)
k
kk
U
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
=
k
Solución del
problema
Indice del capítulo 632
(Ecuación de una recta)
k
kk
U
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
=
k
k
Solución del
problema
Indice del capítulo 633
(Ecuación de una recta)
k
kk
U
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
=
k
k
Solución del
problema
0k
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Indice del capítulo 634
(Ecuación de una recta)
k
kk
U
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
=
k
k
Solución del
problema
Valoración del signo del desplazamiento:
0k
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Indice del capítulo 635
(Ecuación de una recta)
k
kk
U
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
=
k
k
Solución del
problema
Valoración del signo del desplazamiento:
Si PP P0 A es descendente
0k
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Indice del capítulo 636
(Ecuación de una recta)
k
kk
U
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
=
k
k
Solución del
problema
PP P0
Valoración del signo del desplazamiento:
Si
Si
PP P0
A es ascendente
A es descendente
0k
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Indice del capítulo 637
(Ecuación de una recta)
k
kk
U
)k(fk
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
P,m
k
Aplicación
Ak
M
P
?A
A
=
k
k
Solución del
problema
PP P0
Valoración del signo del desplazamiento:
Si
Si
PP P0
A es ascendente
A es descendente
0k
0k
L
0
L
0 T EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 638
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 639
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 640
Relativo entre dos secciones
Indice del capítulo 641
Relativo entre dos secciones
El desplazamiento relativo entre dos secciones en una dirección determinada, se calcula igual que el del giro relativo entre ambas. Para el desplazamiento se utilizan dos acciones k de signo contrario que se disponen en la dirección en la que se quiere conocer el movimiento relativo
Indice del capítulo 642
Relativo entre dos secciones
Para ilustrar lo comentado, se propone determinar de una estructura el movimiento relativo de dos de sus secciones en una dirección d
El desplazamiento relativo entre dos secciones en una dirección determinada, se calcula igual que el del giro relativo entre ambas. Para el desplazamiento se utilizan dos acciones k de signo contrario que se disponen en la dirección en la que se quiere conocer el movimiento relativo
Indice del capítulo 643
M
P
Relativo entre dos secciones
A B
Indice del capítulo 644
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
Objetivo: determinar el desplazamiento relativo entre las secciones A y B en la dirección d
Indice del capítulo 645
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
d = Dirección del desplazamiento relativo
Objetivo: determinar el desplazamiento relativo entre las secciones A y B en la dirección d
Indice del capítulo 646
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
d = Dirección del desplazamiento relativo
Se aplican dos cargas k en A y B
en la dirección d
Objetivo: determinar el desplazamiento relativo entre las secciones A y B en la dirección d
Indice del capítulo 647
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
d = Dirección del desplazamiento relativo
Se aplican dos cargas k en A y B
en la dirección d
Objetivo: determinar el desplazamiento relativo entre las secciones A y B en la dirección d
k
k
Indice del capítulo 648
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
d = Dirección del desplazamiento relativo
Objetivo: determinar el desplazamiento relativo entre las secciones A y B en la dirección d
k
k
Si se disponen en este sentido, con el Teorema se calcula el alejamiento de A respecto de B
Indice del capítulo 649
Relativo entre dos secciones
d = Dirección del desplazamiento relativo
Objetivo: determinar el desplazamiento relativo entre las secciones A y B en la dirección d
k
M
P
A B
k
Si se disponen en este otro, se calcula el acercamiento de A
respecto de B
Indice del capítulo 650
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Indice del capítulo 651
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
Indice del capítulo 652
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k
Indice del capítulo 653
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
Indice del capítulo 654
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
Indice del capítulo 655
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
k
kk
U
)k(fk
Indice del capítulo 656
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
k
kk
U
)k(fk Solución del
problema
Indice del capítulo 657
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
k
kk
U
)k(fk Solución del
problema
k
Indice del capítulo 658
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
k
kk
U
)k(fk Solución del
problema
k
Valor de la función cuando k no existe
Indice del capítulo 659
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
0k
L
0
L
0 T
kEA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
kk
U
)k(fk Solución del
problema
k
Indice del capítulo 660
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
k
kk
U
)k(fk
Valoración del signo del desplazamiento:
Solución del
problema
k
0k
L
0
L
0 T
kEA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Indice del capítulo 661
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
k
kk
U
)k(fk
k,0 kk
A y B se acercan
Valoración del signo del desplazamiento:
Solución del
problema
k
Si
0k
L
0
L
0 T
kEA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Indice del capítulo 662
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
k
kk
U
)k(fk
k,0 kk
k,0 kk
A y B se acercan
Valoración del signo del desplazamiento:
A y B se alejan
Solución del
problema
k
Si
Si
0k
L
0
L
0 T
kEA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Indice del capítulo 663
k
Relativo entre dos secciones
M
P
A B
k
Obtención del acercamiento relativo aplicando el Teorema
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
k =(Ecuación de una recta)
BAk
)k(fk
k
kk
U
)k(fk
k,0 kk
k,0 kk
A y B se acercan
Valoración del signo del desplazamiento:
A y B se alejan
Solución del
problema
k
Si
Si
0k
L
0
L
0 T
kEA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 664
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 665
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 666
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Aplicación
Planteamiento
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 667
Planteamiento
Indice del capítulo 668
Se define una estructura simétrica cuando sus diagramas y su deformada son simétricos respecto de algún eje de simetría. En estos casos, para calcular el movimiento de una sección puede resultar conveniente considerar la simetría a la hora de plantear el conjunto de acciones puntuales imaginarias en la estructura
Planteamiento
Indice del capítulo 669
Planteamiento
Ejemplo: estructura simétrica
Se define una estructura simétrica cuando sus diagramas y su deformada son simétricos respecto de algún eje de simetría. En estos casos, para calcular el movimiento de una sección puede resultar conveniente considerar la simetría a la hora de plantear el conjunto de acciones puntuales imaginarias en la estructura
Indice del capítulo 670
Eje de simetría
Estructura
Planteamiento
Ejemplo: estructura simétrica
Se define una estructura simétrica cuando sus diagramas y su deformada son simétricos respecto de algún eje de simetría. En estos casos, para calcular el movimiento de una sección puede resultar conveniente considerar la simetría a la hora de plantear el conjunto de acciones puntuales imaginarias en la estructura
Indice del capítulo 671
Eje de simetría
S
S´
Objetivo: conocer el movimiento de S
Estructura
Planteamiento
Ejemplo: estructura simétrica
Se define una estructura simétrica cuando sus diagramas y su deformada son simétricos respecto de algún eje de simetría. En estos casos, para calcular el movimiento de una sección puede resultar conveniente considerar la simetría a la hora de plantear el conjunto de acciones puntuales imaginarias en la estructura
Indice del capítulo 672
Eje de simetría
S
S´
Objetivo: conocer el movimiento de S S
S´
Estructura
Planteamiento
Ejemplo: estructura simétrica
Se define una estructura simétrica cuando sus diagramas y su deformada son simétricos respecto de algún eje de simetría. En estos casos, para calcular el movimiento de una sección puede resultar conveniente considerar la simetría a la hora de plantear el conjunto de acciones puntuales imaginarias en la estructura
Indice del capítulo 673
Eje de simetría
S
S´
Objetivo: conocer el movimiento de S S
S´
Se tratan las dos secciones conjuntamente
Estructura
Planteamiento
Ejemplo: estructura simétrica
Se define una estructura simétrica cuando sus diagramas y su deformada son simétricos respecto de algún eje de simetría. En estos casos, para calcular el movimiento de una sección puede resultar conveniente considerar la simetría a la hora de plantear el conjunto de acciones puntuales imaginarias en la estructura
Indice del capítulo 674
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 675
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 676
Aplicación
Indice del capítulo 677
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
Aplicación
Indice del capítulo 678
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
Aplicación
Indice del capítulo 679
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
Cálculo de la flecha en A
Aplicación
Indice del capítulo 680
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
A
A´
q
B
B´
Cálculo de la flecha en A
Aplicación
Indice del capítulo 681
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
A
A´
q
B
B´
k k
Cálculo de la flecha en A
Aplicación
Indice del capítulo 682
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
A
A´
q
B
B´
k k
k k
Cálculo de la flecha en A
Aplicación
Indice del capítulo 683
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
k
k,q2
k
U
A
A´
q
B
B´
k k
k k
Cálculo de la flecha en A
Aplicación
Indice del capítulo 684
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
k
k,q2
k
U
k
U
2
1 k,q
k
A
A´
q
B
B´
k k
k k
Cálculo de la flecha en A
Aplicación
Indice del capítulo 685
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
k
k,q2
k
U
k
U
2
1 k,q
k
A
A´
q
B
B´
k k
k k
Cálculo de la flecha en A Cálculo del giro en A
Aplicación
Indice del capítulo 686
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
k
k,q2
k
U
k
U
2
1 k,q
k
A
A´
q
B
B´
A
A´
q
B
B´
k k
k k
Cálculo de la flecha en A Cálculo del giro en A
Aplicación
Indice del capítulo 687
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
k
k,q2
k
U
k
U
2
1 k,q
k
A
A´
q
B
B´
A
A´
q
B
B´
k kk k
k k
Cálculo de la flecha en A Cálculo del giro en A
Aplicación
Indice del capítulo 688
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
k
k,q2
k
U
k
U
2
1 k,q
k
A
A´
q
B
B´
A
A´
q
B
B´
k kk k
k k
k k
Cálculo de la flecha en A Cálculo del giro en A
Aplicación
Indice del capítulo 689
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
k
k,q2
k
U
k
U
2
1 k,q
k
k
k,q2
k
U
A
A´
q
B
B´
A
A´
q
B
B´
k kk k
k k
k k
Cálculo de la flecha en A Cálculo del giro en A
Aplicación
Indice del capítulo 690
Ejemplo: conocer la flecha y el giro en una sección determinada
A
A´
q
k
k,q2
k
U
k
U
2
1 k,q
k
k
k,q2
k
U
k
U
2
1 k,q
k
A
A´
q
B
B´
A
A´
q
B
B´
k kk k
k k
k k
Cálculo de la flecha en A Cálculo del giro en A
Aplicación
Indice del capítulo 691
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 692
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 693
Casos sin interés práctico
Indice del capítulo 694
Son casos cuyo interés radica en que favorecen la comprensión de la aplicación del Teorema
Casos sin interés práctico
Indice del capítulo 695
Casos sin interés práctico
Sea la estructura siguiente sobre la que actúan unas acciones puntuales iguales en magnitud
Son casos cuyo interés radica en que favorecen la comprensión de la aplicación del Teorema
Indice del capítulo 696
Casos sin interés práctico
Indice del capítulo 697
k
P
k k
Casos sin interés práctico
k
Indice del capítulo 698
Si se deriva la energía de deformación respecto de k, se obtiene la suma de los movimientos de todas las acciones
k
P
k k
Casos sin interés práctico
k
Indice del capítulo 699
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m
Casos sin interés práctico
k
P
k k
k
Indice del capítulo 700
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m kCBA=
Casos sin interés práctico
k
P
k k
k
Indice del capítulo 701
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m kCBA=
Casos sin interés práctico
k
P
k k
k
Suma de giros y desplazamientos de todos los momentos y fuerzas k
Indice del capítulo 702
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m kCBA=
Casos sin interés práctico
k
A B C
k
k
k k
Suma de giros y desplazamientos de todos los momentos y fuerzas k
P
Indice del capítulo 703
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m kCBA=
Casos sin interés práctico
k
A B C
k
k
k k
(Ecuación de una recta)
)k(fkCBA
Suma de giros y desplazamientos de todos los momentos y fuerzas k
P
Indice del capítulo 704
EA
dxk
NN
GI
dxk
TT
EI
dxk
MM
k
U L
0
L
0 T
k,P,m kCBA=
(Ecuación de una recta)
)k(fkCBA
Suma de giros y desplazamientos de todos los momentos y fuerzas k
k
k
U
Casos sin interés práctico
k
A B C
k
k
k k
P
Indice del capítulo 705
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 706
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Ejemplos
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 707
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
Ejemplo 1
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Ejemplos
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 708
Ejemplo 1
Indice del capítulo 709
L
L
EI
EA
B
C
A
m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
m.Kg1000m
Ejemplo 1
Indice del capítulo 710
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Proceso:
Indice del capítulo 711
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
Indice del capítulo 712
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
Indice del capítulo 713
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
Indice del capítulo 714
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 715
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 716
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 717
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 718
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 719
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 720
Ejemplo 1
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m.Kg1000m
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Calcular el giro de A utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 721
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 722
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 723
L
L
EI
EA
B
C
A
m
m
m
Um
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 724
Ejemplo 2
L
L
EI
EAm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
Ejemplo 1
B
C
A
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 725
Ejemplo 2
L
L
EI
EAm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
Ejemplo 1
B
C
A
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 726
Ejemplo 2
L
L
EI
EAm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
Ejemplo 1
B
C
A
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 727
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 728
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
)x(m
x
L
m
B
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 729
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
)x(m
x
L
m
L
mxM)x(m
B
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 730
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
)x(m
x
L
m
L
mxM)x(m
L
x
m
M
B
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 731
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
)x(m
x
L
m
L
mxM)x(m
L
x
m
M
B
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 732
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
)x(m
x
N
L
m
L
mxM)x(m
L
x
m
M
L
m
B
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 733
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
)x(m
x
N
L
m
L
mxM)x(m
L
x
m
M
L
mN)x(N
L
m
Ejemplo 1
B
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 734
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
)x(m
x
N
L
m
L
mxM)x(m
L
x
m
M
L
mN)x(N
L
m
L
1
m
M
Ejemplo 1
B
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 735
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
)x(m
x
N
L
m
L
mxM)x(m
L
x
m
M
L
mN)x(N
L
m
L
1
m
M
Ejemplo 1
B
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 736
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 737
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 738
Ejemplo 1 EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 739
Ejemplo 1
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 740
Ejemplo 1
m
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 741
Ejemplo 1
m
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 742
Ejemplo 1
m
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 743
Ejemplo 1
m
EAL
m
EI3
mLm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 744
Ejemplo 1
)viga(m
m
EAL
m
EI3
mLm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 745
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
EAL
m
EI3
mLm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 746
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
EAL
m
EI3
mLm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 747
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(mEAL
m
EI3
mLm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 748
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
EAL
m
EI3
mLm
m
EA
Lm
NN
EI
dxm
MM
m
UL
0
m
EA
LL
1
L
m
EI
dxL
xx
L
mL
0
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 749
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
EAL
m
EI3
mLm
m
Ejemplo 1
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que pasa por (0,0))
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 750
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
m
L
L
EI
EA
A B
C
EAL
m
EI3
mLm
m
Ejemplo 1
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 751
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
m
L
L
EI
EA
m
EAL
m
EI3
mLm
m
Ejemplo 1
A B
C
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 752
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
m
L
L
EI
EA
m
EAL
m
EI3
mLm
m
Ejemplo 1
A B
C
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 753
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
m
L
L
EI
EA
m
)viga(m
EAL
m
EI3
mLm
m
Ejemplo 1
A B
C
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 754
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
m
L
L
EI
EA
m
)viga(m
)barra(m
EAL
m
EI3
mLm
m
Ejemplo 1
A B
C
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 755
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
m
L
L
EI
EA
m
)viga(m
)barra(m
EAL
m
EI3
mLm
m
Ejemplo 1
A B
C
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 756
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
m
L
L
EI
EA
m
)viga(m
)barra(m
EAL
1000
EI3
L1000m
1000m
Ejemplo 1
A B
C
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 757
Ejemplo 1
)viga(m )barra(m
m
)viga(m
)barra(m
m
L
L
EI
EA
m
)viga(m
)barra(m
EAL
1000
EI3
L1000m
1000m
Ejemplo 1
A B
C
Repetir la secuencia
Proceso:
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Calcular la ecuación del giro de A en función del momento m
- Obtener el valor del giro para m
= 1000Kg.m
Introducir las ecuaciones obtenidas en el Teorema
Indice del capítulo 758
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
Ejemplo 1
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Ejemplos
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 759
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
Ejemplo 1
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Ejemplos
Ejemplo 2
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 760
Ejemplo 2
Indice del capítulo 761
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
B
C
A
Ejemplo 2
Indice del capítulo 762
Proceso:
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
B
C
A
Ejemplo 2
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 763
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 764
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 765
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 766
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 767
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 768
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 769
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 770
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 771
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 772
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
k
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 773
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
k
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 774
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
k
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 775
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
k
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 776
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
k
k
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Calcular el giro de B utilizando el Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 777
k
Uk
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
k
k
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 778
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
k
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 779
m.Kg1000m
L
L
EI
EA
k
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
B
C
A
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 780
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 781
)x(m
x
L
km
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 782
kL
kx
L
mxM)x(m
)x(m
x
L
km
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 783
kL
kx
L
mxM)x(m
1L
x
k
M
)x(m
x
L
km
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 784
kL
kx
L
mxM)x(m
1L
x
k
M
)x(m
x
L
km
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 785
kL
kx
L
mxM)x(m
1L
x
k
M
)x(m
x
L
km
N
L
km
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 786
kL
kx
L
mxM)x(m
1L
x
k
M
L
kmN)x(N
)x(m
x
L
km
N
L
km
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 787
kL
kx
L
mxM)x(m
1L
x
k
M
L
kmN)x(N
L
1
k
M
)x(m
x
L
km
N
L
km
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 788
kL
kx
L
mxM)x(m
1L
x
k
M
L
kmN)x(N
L
1
k
M
)x(m
x
L
km
N
L
km
k
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 789
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 790
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 791
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 792
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 793
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 794
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 795
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Indice del capítulo 796
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Indice del capítulo 797
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
0k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 798
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
0k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 799
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
0k
)viga(m
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 800
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
0k
)viga(m
)barra(m
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 801
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
0k
)viga(m
)barra(m
EAL
m
EI6
mL0k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 802
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
0k
)viga(m
)barra(m)viga(k
EAL
m
EI6
mL0k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 803
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
0k
)viga(m
)barra(m)viga(k )barra(k
EAL
m
EI6
mL0k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 804
EA
Lk
NN
EI
dxk
MM
k
UL
0
k
k
0k
)viga(m
)barra(m)viga(k )barra(k
EAL
m
EI6
mL0k
EA
LL
1
L
km
EI
dx1L
xk
L
kx
L
mxL
0
k
Ejemplo 2
Expresión del giro en función de m (ecuación de una recta que no pasa por (0,0))
Proceso:
- Calcular la ecuación del giro de B en función del momento k
Aplicar el Teorema de Castigliano
Desarrollar el Teorema:
Ecuación de axiles en la barra y derivada parcial
Desarrollar el Teorema
Ecuación de momentos en la viga y derivada parcial
- Suponer que existe en la estructura un momento k aplicado en B
Repetir la secuencia
- Obtener el valor del giro para k = 0Kg.m
Indice del capítulo 805
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
Ejemplo 1
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Ejemplos
Ejemplo 2
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 806
Autoevaluación
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
Ejemplo 1
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Ejemplos
Ejemplo 2
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
2º Teorema de Castigliano
Indice del capítulo 807
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Se calcula el giro de B aplicando el T. De Castigliano y considerando que existe un momento K. En función de K vale:
EIA
P
Ninguna de las anteriores
L
B
KP
L
KEI
dx))(KxPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
Indice del capítulo 808
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Aplicando el T. de Castigliano se ha obtenido el desplazamiento horizontal de C, que vale:
ConstanteEI
m
A
B C
Ninguna de las anteriores
P
L
L
EI
mL
EI
PLδC
EI
mL
EI
PLδC
El nudo C no se puede mover en horizontal porque no existen cargas en esta dirección
Indice del capítulo 809
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castiglianose ha obtenido el desplazamiento vertical de C y se ha observado en los cálculos que el tramo AB no influye. Esto se debe:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
a un error de operaciones, ya que la deformación del tramo AB que es deformable tiene que colaborar en el desplazamiento de C
a que la deformación de AB nunca influye en el descenso de C
Podría ocurrir que fueran correctas a) y b)
Indice del capítulo 810
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EAL
m
EI
mLθA
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en A:
EA
mL
EI
mLθA
EAL
m
EI
mLθA
Indice del capítulo 811
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en B:
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
Indice del capítulo 812
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un desplazamiento en B:
EA
mδB
EI
mδB
EA
mδB
Indice del capítulo 813
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castigliano, considerando indeformable BC, se ha obtenido el desplazamiento vertical de P, que vale:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
Indice del capítulo 814
Índice2º Teorema de Castigliano
Autoevaluación
Definición
Demostración
Casos
AplicacionesCálculo de movimientos
Ejemplo 1
2º Teorema de Castigliano
Si la acción es una P
Si la acción es un M
Giro
AplicaciónPlanteamiento
Desplazamiento
AplicaciónPlanteamientoEn una sección
cualquiera
Donde existe un momento
De una sección S
Relativo entre dos secciones
De un tramo AplicaciónPlanteamiento
En una sección cualquiera
Donde existe una acción
De una sección S
Relativo entre dos secciones
Planteamiento
Aplicación
Giro y despla-zamiento en estructuras simétricas
Casos sin interés práctico
Ejemplos
Ejemplo 2
Aplicación
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Caso particular
Caso generalInterpretación del Teorema
Giro en función de las deformacionesGiro en función de las acciones exteriores
Interpretación físicaRelación con la energía de deformación
Desplazamiento en función de las deformacionesDesplazamiento en función de las acciones exteriores
Relación con la energía de deformación
Interpretación física
Indice del capítulo 815
Anexos
Indice del capítulo 816
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Se calcula el giro de B aplicando el T. De Castigliano y considerando que existe un momento K. En función de K vale:
EIA
P
Ninguna de las anteriores
L
B
KP
L
KEI
dx))(KxPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 817
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Se calcula el giro de B aplicando el T. De Castigliano y considerando que existe un momento K. En función de K vale:
EIA
P
Ninguna de las anteriores
L
B
KP
L
KEI
dx))(KxPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 818
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Se calcula el giro de B aplicando el T. De Castigliano y considerando que existe un momento K. En función de K vale:
EIA
P
Ninguna de las anteriores
L
B
KP
L
KEI
dx))(KxPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 819
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Se calcula el giro de B aplicando el T. De Castigliano y considerando que existe un momento K. En función de K vale:
EIA
P
Ninguna de las anteriores
L
B
KP
L
KEI
dx))(KxPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
L
KEI
dx))(KPx(θ
Respuesta correcta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 820
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Aplicando el T. de Castigliano se ha obtenido el desplazamiento horizontal de C, que vale:
ConstanteEI
m
A
B C
Ninguna de las anteriores
P
L
L
EI
mL
EI
PLδC
EI
mL
EI
PLδC
El nudo C no se puede mover en horizontal porque no existen cargas en esta dirección
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 821
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Aplicando el T. de Castigliano se ha obtenido el desplazamiento horizontal de C, que vale:
ConstanteEI
m
A
B C
Ninguna de las anteriores
P
L
L
EI
mL
EI
PLδC
EI
mL
EI
PLδC
El nudo C no se puede mover en horizontal porque no existen cargas en esta dirección
Respuesta correcta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 822
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Aplicando el T. de Castigliano se ha obtenido el desplazamiento horizontal de C, que vale:
ConstanteEI
m
A
B C
Ninguna de las anteriores
P
L
L
EI
mL
EI
PLδC
EI
mL
EI
PLδC
El nudo C no se puede mover en horizontal porque no existen cargas en esta dirección
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 823
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Aplicando el T. de Castigliano se ha obtenido el desplazamiento horizontal de C, que vale:
ConstanteEI
m
A
B C
Ninguna de las anteriores
P
L
L
EI
mL
EI
PLδC
EI
mL
EI
PLδC
El nudo C no se puede mover en horizontal porque no existen cargas en esta dirección
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 824
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castiglianose ha obtenido el desplazamiento vertical de C y se ha observado en los cálculos que el tramo AB no influye. Esto se debe:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
a un error de operaciones, ya que la deformación del tramo AB que es deformable tiene que colaborar en el desplazamiento de C
a que la deformación de AB nunca influye en el descenso de C
Podría ocurrir que fueran correctas a) y b)
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 825
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castiglianose ha obtenido el desplazamiento vertical de C y se ha observado en los cálculos que el tramo AB no influye. Esto se debe:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
a un error de operaciones, ya que la deformación del tramo AB que es deformable tiene que colaborar en el desplazamiento de C
a que la deformación de AB nunca influye en el descenso de C
Podría ocurrir que fueran correctas a) y b)
Respuesta correcta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 826
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castiglianose ha obtenido el desplazamiento vertical de C y se ha observado en los cálculos que el tramo AB no influye. Esto se debe:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
a un error de operaciones, ya que la deformación del tramo AB que es deformable tiene que colaborar en el desplazamiento de C
a que la deformación de AB nunca influye en el descenso de C
Podría ocurrir que fueran correctas a) y b)
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 827
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castiglianose ha obtenido el desplazamiento vertical de C y se ha observado en los cálculos que el tramo AB no influye. Esto se debe:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
a un error de operaciones, ya que la deformación del tramo AB que es deformable tiene que colaborar en el desplazamiento de C
a que la deformación de AB nunca influye en el descenso de C
Podría ocurrir que fueran correctas a) y b)
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 828
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EAL
m
EI
mLθA
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en A:
EA
mL
EI
mLθA
EAL
m
EI
mLθA
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 829
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EAL
m
EI
mLθA
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en A:
EA
mL
EI
mLθA
EAL
m
EI
mLθA
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 830
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EAL
m
EI
mLθA
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en A:
EA
mL
EI
mLθA
EAL
m
EI
mLθA
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 831
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EAL
m
EI
mLθA
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en A:
EA
mL
EI
mLθA
EAL
m
EI
mLθA
Respuesta correcta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 832
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en B:
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 833
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en B:
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
Respuesta correcta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 834
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en B:
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 835
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un giro en B:
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
EAL
m
EI
mLθB
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 836
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un desplazamiento en B:
EA
mδB
EI
mδB
EA
mδB
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 837
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un desplazamiento en B:
EA
mδB
EI
mδB
EA
mδB
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 838
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un desplazamiento en B:
EA
mδB
EI
mδB
EA
mδB
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 839
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
EIAm
L
B
EAL
Aplicando el Teorema se obtiene un desplazamiento en B:
EA
mδB
EI
mδB
EA
mδB
Respuesta correcta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 840
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castigliano, considerando indeformable BC, se ha obtenido el desplazamiento vertical de P, que vale:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
Respuesta correcta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 841
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castigliano, considerando indeformable BC, se ha obtenido el desplazamiento vertical de P, que vale:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 842
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castigliano, considerando indeformable BC, se ha obtenido el desplazamiento vertical de P, que vale:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver
Indice del capítulo 843
Autoevaluación
a) b)
c) d)
- Pregunta 1
- Pregunta 2
- Pregunta 3
- Pregunta 4
- Pregunta 5
- Pregunta 6
- Pregunta 7
Ninguna de las anteriores
Aplicando el T. de Castigliano, considerando indeformable BC, se ha obtenido el desplazamiento vertical de P, que vale:
ConstanteEI
m
A
B CP
L
L
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
EI
LmPLδC
Respuesta incorrecta
Pulsar para volver