SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO.

EN 1876, Alberto Castigliano anuncio un teorema que permite encontrar cualquier componente de deflexin de una estructura a partir de la energa de deformacin de la misma. Al aplicarlo a las reacciones redundantes de una estructura indeterminada, se obtiene un corolario que se conoce tambin como segundo teorema de Castigliano. El teorema original dice:

La componente de deflexin del punto de aplicacin de una accin sobre una estructura, en la direccin de dicha accin, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energa interna de deformacin de la estructura con respecto a la accin aplicada.

El teorema es aplicable tanto a fuerzas como a momentos, obtenindose en el primer caso la componente de deflexin en la direccin de la fuerza y en el segundo la rotacin en el plano del momento.

Para demostrarlo se puede utilizar la viga de la figura 3.7, en la que se supone que existe una relacin lineal entre cargas y deflexiones. En la parte (a) de la misma se considera que las fuerzas P y Q se han aplicado gradual y simultneamente y la deflectan segn la lnea de trazos. En virtud del supuesto de linealidad entre cargas y deflexiones, el trabajo externo realizado, que es igual a la energa interna de deformacin, esta dada por:

Si se le aade al sistema una pequea carga dP con la misma direccin y sentido de la carga P original, se producir una deflexin adicional segn se indica en la parte (b) de la misma figura. A su vez resulta un trabajo adicional :

y si se desprecia el producto de las dos diferenciales dicho trabajo se reduce a :

El mismo estado final se podra haber obtenido aplicando desde el principio (p+dp) y Q, gradual y simultneamente. Es evidente que en tal caso se obtendra de una vez la posicin deflectada de la parte (b) de la figura y en consecuencia el trabajo total externo estara dada por :

que al desperdiciar de nuevo el producto de dos diferenciales se convierte en :

pero ; por consiguiente, de las ecuaciones

y se obtiene:

Despejando ahora de la ecuacin :

Reemplazando este valor resulta:

y despejando

Que era lo que se quera demostrar, pues el hecho de haber mantenido a Q constante, equivale matemticamente a derivar parcialmente con respecto a . Por lo tanto, el teorema de Castigliano se puede expresar en general as:

Si el signo de la respuesta da negativo quiere decir que la deflexin es opuesta al sentido de la accin con respecto a la cual se tomo la derivada. Si se quiere averiguar la deflexin en un punto donde no hay aplicada ninguna accin, o en una direccin distinta de la accin aplicada, sencillamente se aplica una accin imaginaria en el sitio y direccin deseados hasta encontrar la derivada parcial de la energa de deformacin: luego la accin imaginaria se iguala a cero. Generalmente se ahorra tiempo si la derivacin se efecta antes de integrar las expresiones que dan la energa de deformacin como se ilustra a continuacin. Estas expresiones deducidas aparecen en el cuadro 3.1 para facilitar su utilizacin.

Por consiguiente, si se quiere averiguar una deflexin lineal en una armadura, basta con aplicar:

Las deflexiones lineales por flexin estn dadas por:

El efecto de corte es:

y el de torsin:

Si se quiere averiguar rotaciones, en el lado izquierdo de las expresiones anteriores se escribira y las derivadas parciales se tomaran con respecto a un momento aplicado en el punto de la rotacin deseada. En todos los casos es muy importante dar a las fuerzas internas los signos apropiados.

El Teorema de Castigliano se puede aplicar a cualquier componente de reaccin. Si se tiene en cuenta que la deflexin correspondiente es nula, es claro que en tal caso los lados derechos de las ecuaciones anteriores debern dar cero. Esta observacin constituye el corolario del teorema y resulta muy til para evaluar las reacciones redundantes en estructuras estticamente indeterminadas.

COROLARIO: la derivada parcial de la energa interna de deformacin de una estructura cargada, con respecto aun componente de reaccin, es igual a cero.

Si se presta atencin el significado matemtico del enunciado anterior y se aplica a una estructura indeterminada, el corolario puede expresarse en una forma alterna:

En cualquier estructura indeterminada a cargas los valores de las redundantes deben ser tales que hagan mnima la energa total interna de deformacin elstica que resulta de la aplicacin del sistema de cargas dado.

Aplicando en esta forma da origen al Mtodo del trabajo mnimo, que resulta muy efectivo para analizar estructuras articuladas indeterminadas y en la formulacin de las matrices de rigidez utilizadas en el anlisis matricial de estructuras. No puede, sin embargo, ser utilizados para determinar esfuerzos debidos a errores de fabricacin, cambios de temperatura o corrimientos de los apoyos.